高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】
(完整版)高等数学下册期末考试试题及答案,推荐文档
又
1 zx2
z
2 y
a
a2 x2 y2 ，…..………【３】
第3页共2页
高数
故
dS z
Dxy
adxdy a2 x2 y2
a
2 d
0
a2 h2 0
d a2 2
2
a
1 2
ln(a2
2
)0
a2 h2
2 a ln a ..【7】 h
三、【9 分】解：设 M (x, y, z) 为该椭圆上的任一点，则点 M 到原点的距离为 d x2 y2 z2 ……【1】
n1
n
4、设 z f (xy, x ) sin y ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 z ,
2z
．
y
x xy
5、计算曲面积分 dS , 其中 是球面 x2 y2 z2 a2 被平面 z h (0 h a) 截出的顶部．
z
三、（本题满分 9 分） 抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1 截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离
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的最大值与最小值．
高数
（本题满分 10 分）
计算曲线积分 (ex sin y m)dx (ex cos y mx)dy ， L
其中 m 为常数， L 为由点 A(a, 0) 至原点 O(0, 0) 的上半圆周 x2 y2 ax (a 0) ．
四、（本题满分 10 分）
xn
3 , 1 2
3 ,2
3),
1 M2( 2
3 , 1 2
3 ,2
3). …………………【7】
又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．
10-11-3高等数学A期末考试试卷(A)参考答案及评分标准
共 2 页 第 1 页10-11-3高数A 期末试卷（A ）参考答案及评分标准11.6.21一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 4；2. 2；3. 224()t f t π；4. π-；5. 4π；6. 2，3；7. i π；8. 12；9.2-，0. 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)10．解 点(1,1,1)处切线的方向向量{1,2,2}{2,2,5}{14,9,2}=-⨯-=-a ，（4分）切线方程为1111492x y z ---==-.（3分）（或223022550x y z x y z --+=⎧⎨-+-=⎩（7分）） 11．解22201d cos d cos d 2xyy x x x x y x x ===⎰⎰⎰⎰⎰.（3+2+2分） 12．解 由sin ,2sin y x y x ==(0)x π≤≤所围成的区域记为D ，利用Green 公式得2sin 220sin 033(1)d d d d d sin d 24x xCDy x xy y y x y y x x ππσπ++=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ.（3+2+2分） 13. 解 补两个面2211:1x y S z ⎧+≤⎨=⎩，2224:2x y S z ⎧+≤⎨=⎩ ，分别取下侧和上侧，（1分）由12,,S S S 所围成的区域记为Ω，利用Gauss 公式得()d d ()d d Sy x z y z x z y x y -∧+-∧⎰⎰12()d (1)d d (2)d d 0S S y x v x y x y x y x y Ω=+--∧--∧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.（3+3分）三（14）．（本题满分8分）解1()n n a a ∞=∑未必收敛，例11n a n =+，10n a n ≤<，而111n n ∞=+∑发散；（2分）1()(1)nn n b a ∞=-∑未必收敛，例111(1)sin 2n n a n n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，10n a n ≤<，而11(1)n n n ∞=-∑收敛，11sin n n ∞=∑发散，故1(1)11(1)sin 2n nn n n ∞=-⎛⎫+- ⎪⎝⎭∑发散；（2分）1()n c ∞=11n a n =+，10n a n ≤<，而1n ∞=发散；（2分）21()(1)n n n d a ∞=-∑必定收敛，2210n a n ≤<，共 2 页 第 2 页而211n n ∞=∑收敛，所以21(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛，故21(1)n n n a ∞=-∑收敛. （2分） 四（15）。
高等数学A下期末试卷A卷
南京邮电大学2009 /2010 学年第 二 学期《 高等数学A 》(下) 期末试卷（A ）院(系) 班级 学号 姓名一、选择题（每小题3分，共15分）1、设21:x y L -=，则⎰+Lds y x )(22= （ ）(A ) π2. (B ) π. (C )2π(D ) π4 2、∑为锥面 22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则=⎰⎰∑zdS （ ） (A )⎰⎰1320ρρθπd d (B ) ⎰⎰1220ρρθπd d(C ) ⎰⎰102202ρρθπd d (D ) ⎰⎰13202ρρθπd d3、已知2-=x 是∑∞=1n n n x a 的收敛点，则当21=x 时，级数 （ ） (A ) 发散 (B ) 绝对收敛 (C ) 条件收敛 (D ) 无法断定4、微分方程x y y 2cos 4=+''的特解形式可设为 （ ） (A ) x a 2cos (B ) x ax 2cos (C ) )2sin 2cos (x b x a x + (D )x b x a 2sin 2cos +5、若9:22=+y x L 为逆时针方向，则⎰-+-Ldy x x dx y xy )4()22(2= ( )(A ) π9 (B )π18 (C )π18- (D )π9-装 订 线 内 不 要 答 题自觉遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不作 弊二、填空题（每小题4分，共20分） 1、∑是球面,2222R z y x =++则.2=⎰⎰∑dS y2、∑∞=-11n n nx 的收敛域为_______，和函数=)(x s _____________.3、以x xe y -=为特解的二阶常系数线性齐次方程为__________________.4、设∑∞==≤≤=12,sin )(,10,)(n n x n b x s x x x f π其中⎰=12,sin 2xdx n x b n π,...3,2,1=n ，则.)21(=-s5、=+)1(i Ln ___________________，0=z 是函数521ze z-的____级极点. 三、讨论下列级数的敛散性。
2020-2021大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷A1(含答案)
2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷A1适用专业： 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一.填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1.设(,)z f u v =可微2(,)z f xy x =，则zx∂=∂ ，z y ∂=∂ .2.微分方程220y y y '''-+=的通解为 .3.改变积分顺序1210(,)x dx f x y dy ⎰⎰= .4.函数u=xyz 在点(1,1,1)处最大的方向导数是 .5.设以2π为周期函数()f x 傅里叶级数为1[cos sin ]2n n n a a nx b nx ∞=++∑ ， 那么n a = ，n b = .二.单项选择. (共7小题，每小题2分，共14分)1.下列说法正确的是（ ）；(A)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定连续. (B)函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，则一定连续.(C)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定可微. (D) 函数),(y x f z =在点),(00y x 处无极限，，则偏导数一定不存在. 2.级数1(1)nn ∞=-∑一定 ( )； (A) 绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)无法确定收敛性. 3.积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是( )；(A)x Q y P ∂∂=∂∂ ， (B) xQ y P ∂∂-=∂∂， (C) y Q x P ∂∂=∂∂ ， (D) y Q y P ∂∂=∂∂. 4. 设),(y x f z =可微，则曲面)32,(y x xy f z +=的一个法向量是( )；(A)12{,,1}f f - ， (B) 1212{2,3,1}yf f xf f ++-， (C) {,2,1}yf f ''-， (D) 1212{2,3,1}yf f xf f ++5.设Ω是由锥面22y x z +=与平面2z =围成，则3dxdydz Ω⎰⎰⎰=( )；(A) 83π ， (B) 3π ， (C) 4π， (D)8π.6.若∑是上半球面z =，则对面积的曲面积分∑⎰⎰=（ ）；(A) 0 ， (B) 2π ， (C) 4π， (D)8π. 7. 微分方程2dyxy dx=，(0)2y =的解为（ ）. (A) 2x ce ， (B) 2x e ， (C) 22x e ， (D) 22x ce . 三、计算下列各题.(共5小题，每小题8分，共40分)1.设01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩，求,u v x x ∂∂∂∂.2.求曲面22y x z +=夹在平面z=0,z=4之间的曲面面积.3.222()Lx y z ds ++⎰,其中L 是曲线cos ,sin ,x a t y a t z t ===上相应于t 从0到2π的一段弧.4.求I=⎰⎰∑++zdxdy ydxdz xdydz ，其中∑是上半球面z =的上侧.5.求(sin )(cos )x x L I e y ky dx e y k dy =-+-⎰，其中L 是由点)0,(a 到点（0，0）的上半圆周022=-+ax y x （y ≥0）.四.(8分)验证方程2223(36)(64)0x xy dx x y y dy +++=是全微分方程，求其通解.五.(11分)求幂级数210121n n x n ∞+=+∑的收敛半径，收敛区域与和函数()s x .并且求201(21)3nn n ∞=+∑的和.六.(12分)在第一卦限内作球面2221x y z ++=的切平面，使切平面与三坐标平面所围的四面体体积最小，并且求切点坐标.2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷A1答案适用专业： 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一.填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1.设2(,)z f xy x =，则zx∂=∂122yf xf + ，z y ∂=∂1xf .2.微分方程220y y y '''-+=的通解为12(cos sin )x y e C x C x =+ .3.改变积分顺序121(,)x dx f x y dy ⎰⎰=1/2211/011/21(,)(,)ydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰. 4.函数u=xyz 在点(1,1,1)5.设以2π为周期函数()f x 傅里叶级数为01[cos sin ]2n n n a a nx b nx ∞=++∑ ， 那么n a =1()cos f x nxdx πππ+-⎰，n b =1()sin f x nxdx πππ+-⎰ .二.单项选择. (共7小题，每小题2分，共14分)1.下列说法正确的是（ B ）；(A)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定连续. (B)函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，则一定连续.(C)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定可微. (D) 函数),(y x f z =在点),(00y x 处无极限，，则偏导数一定不存在. 2.设曲线L 为正方形 1x y += 的边界，则Ldsx y+⎰ =( D )； (A) 0(B)(C) 3.积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是(A ).(A)x Q y P ∂∂=∂∂ ， (B) xQ y P ∂∂-=∂∂， (C) y Q x P ∂∂=∂∂ ， (D) y Q y P ∂∂=∂∂. 4.曲面2224x y z ++=在点的一个法向量是( B ).(A){1,1,1}- ，(B) {，(C) {1,1,， (D) {1,--5.函数22(,)44f x y x y x y =---的极大值为( C ).(A) (2,2)8f =- ， (B) (0,0)0f = ， (C) (2,2)8f -=， (D)不存在. 6. 若∑是上半球面z=，则对面积的曲面积分∑⎰⎰=（A ）.(A)0 ， (B) 2π ， (C) 4π， (D)8π. 7. 微分方程2dyxy dx=，(0)2y =的解为（C ）. (A) 2x ce ， (B) 2x e ， (C) 22x e ， (D) 22x ce . 三、计算下列各题.(共5小题，每小题8分，共40分)1.设01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩，求,u v x x ∂∂∂∂.解22u xu yvx x y ∂+=-∂+，…….. 4分 ……22u yu xv x x y∂-=∂+……. 8分 2.求曲面22y x z +=夹在平面z=0,z=4之间的曲面面积.解 ⎰⎰++=Ddxdy y x S 22441 ………… 4分=)11717(64120202-=+⎰⎰ππθrdr r d ……….. 8分3.222()Lx y z ds ++⎰,其中L 是曲线cos ,sin ,x a t y a t z t ===上相应于t 从0到2π的一段弧.解 222()L x y z ds ++⎰=dt a t t a t a 1)cos sin (2202222+++⎰π…… 4分222)a ππ+ (8)分4.求I=dydz dxdy ∑+，其中∑是上半球面z =的上侧.解 因为2221x y z ++=，则I xdydz ydxdz zdxdy ∑=++⎰⎰由高斯公式得I=⎰⎰∑+∑++1zdxdy ydzdx xdydz - ⎰⎰∑++1zdxdy ydxdz xdydz ……4分=dxdydz ⎰⎰⎰Ω3-0………… 6分=2π-0=2π………… 8分5.求(sin )(cos )x x L I e y ky dx e y k dy =-+-⎰，其中L 是由点)0,(a 到点(0,0)的上半圆周022=-+ax y x （y ≥0）.解k yPx Q =∂∂-∂∂，由格林公式 1(sin )(cos )x x L L I e y ky dx e y k dy +=-+-⎰1(sin )(cos )x x L e y ky dx e y k dy --+-⎰=⎰⎰-Dkdxdy 0=28a kπ……… 8分四.(8分)设函数()y f x =满足全微分方程2(())(())0xy yf x dx f x x dy -++=，求()f x . 解 因为是全微分方程，则()()2P Qx f x f x x y x∂∂'=-==+∂∂，………. 4分 于是()(),f x f x x '+=-或y y x '+=-则 1x y x Ce =++，即 ()1x f x x Ce =++………..8分五.(12分)求幂级数210(1)21n n n x n ∞+=-+∑的收敛半径，收敛区域与和函数()s x .并且求0(1)(21)3nnn n ∞=-+∑的和. 解 R=1lim+∞→n nn a a =1 ……3 分. 因为1-=x ，1=x ，210(1)21n n n x n ∞+=-+∑发散，所以收敛区域为(1,1)-......5分 (21)0(1)arctan 21n n n x x n ∞+=-=+∑=()s x …………………8分令x =1)0(1)(2nn n n ∞+=-+∑=arctan 6π=…(1)(21)36n nn n ∞=-=+∑…..12分 六.(10分)求均匀半球体0z ≤≤的质心坐标.解 设 质心坐标为(,,)x y z ， 球体密度为ρ ，则x = 0y =… ..2分因为 32,,3zdv z dv a dv ρρρπρΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2/22401cos sin 4azdv d d r r d a ππρρθϕθθθρπΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰………..8分 于是，38z a =则质心坐标为3(0,0,)8π………..10分。
05-06高数期末(下)试题(A)
中国农业大学2005 ~2006 学年 第 二 学期 高等数学（A 、B ） 课程考试试题 (A 卷)试 题（2006/6）一、 填空题 （满分15分，每小题3分，共5道小题），请将答案写在横线上.1．函数yz x u 2=在点)1,1,1(P 处沿(2,2,1)方向的方向导数为_____________.2．函数xy z =在条件1=+y x 下的极大值=___________.3．设L 为圆周922=+y x ，取逆时针方向，则曲线积分⎰-+-L dy x x dx y xy )2()32(2=__________.4．设⎩⎨⎧<≤+<≤--=ππx x x x f 0101)(2，且以π2为周期，则)(x f 的傅里叶级数在点π=x 处收敛于_____________.5．微分方程0)(=++dx y x xdy 的通解为__________________.二、选择题 （满分15分，每小题3分，共5道小题），请将合适选项填在括号内.1. 设有直线L :21211-=+=-z y x 和平面0224:=-+-∏z y x ,则L 与∏ （ ） (A) 垂直； (B) L 在∏上 ； (C) 平行； (D) 斜交.2．下列命题不正确的是（ ）(A)),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在该点连续；(B)),(y x f 在点),(00y x 的偏导数存在，则),(y x f 在该点连续；(C)),(y x f 的偏导数在点),(00y x 连续，则),(y x f 在该点可微；(D)),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在该点的偏导数存在.3．设∑是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截出的有限部分，则曲面积分⎰⎰∑ydS 的值是（ ） (A) 334 ； (B) 0； (C) 34； (D) π.4．设α为常数，则级数∑∞=-13]1sin [n nn n α（ ） (A) 绝对收敛； (B) 条件收敛； (C) 敛散性与α有关； (D) 发散.5．若21,y y 是二阶齐次线性微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个特解，21,C C 为两个任意常数，则2211y C y C y +=（ ）(A ) 是该方程的解； (B ) 是该方程的特解；(C ) 是该方程的通解； (D ) 不一定是该方程的解.三、（10分）求过点)2,1,3(0-P 且通过直线12354:z y x l =+=-的平面方程.四、（10分）设函数),(y x z z =由方程)(22z x yf z x -=+确定，其中f 为可微函数， 证明：x y z y x z z =∂∂+∂∂.五、（10分）计算积分：⎰⎰⎰⎰+x x x dy y x dx dy y x dx 242212sin 2sin ππ.六、（11分）设)(x f 具有二阶连续导数，1)0(',0)0(==f f ，曲线积分dy y x x f dx y x f xy y x L ])('[])([222++-+⎰与路径无关，求)(x f .解：由xQ y P ∂∂=∂∂，整理得)(x f 满足微分方程2)()(x x f x f =+''七、（12分）求幂级数∑∞=-1121n n n x n 的收敛域，并求其和函数.八、（12分）计算曲面积分⎰⎰∑++++212222)()(z y x dxdy a z axdydz ，其中∑为222y x a z ---=的上侧，a 为大于零的常数.九、（5分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(='=f f ， 证明级数∑∞=1)1(n n f 绝对收敛.。
高等数学(A)下期末试卷及答案(优选.)
南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）(A ) ⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( (B )⎰⎰1),(dx y x f dy e e y(C )⎰⎰eeydx y x f dy ),(10(D )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(2、锥面22y x z +=在柱面x y x 222≤+内的那部分面积为 （D ）(A )⎰⎰-θππρρθcos 2022d d (B )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d(C )⎰⎰-θππρρθcos 202222d d (D )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d3、若级数∑∞=-1)2(n nn x a 在2-=x 处收敛，则级数∑∞=--11)2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-1)13(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n 5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c ）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x2、已知)0(:222>=+a a y x L ，则=-+⎰Lds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=及平面)0(>=R R z 所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x f )(22为三次积分为⎰⎰⎰RR dz f d d ρπρρρθ)(20204、函数x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦级数为nx nx n n sin )1(211+∞=-=∑，收敛区间为π<≤x 05、=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,解：2112yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分=∂∂∂yx z2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分四、(本题8分）在已知的椭球面134222=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。
高等数学A(下册)期末考试试题附参考答案
华侨大学高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】考试日期：2009年6月26日院（系）别班级 学号 姓名成绩 大题 一 二三 四 五 六 七 小题 1 2 34 5得分一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、满足G b G 0a b +=G G G ，2a =G，2b =G ，则a b ⋅=G G ．2、设，则ln()z x xy =32zx y∂=∂∂ ． 3、曲面在点(处的切平面方程为229x y z ++=1,2,4) ．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ−上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在处收敛于 3x =，在x π=处收敛于 ． 5、设为连接(1与两点的直线段，则L ,0)()L(0,1)x y ds +=∫ ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线在点222222233x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩90M (1,1,2)−处的切线及法平面方程．2、求由曲面及所围成的立体体积． 2222z x y =+26z x =−−2y 3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+−∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin xz f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y∂∂∂∂∂．5、计算曲面积分,dS z Σ∫∫其中Σ是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面被平面2z x y =+21x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 （本题满分10分）计算曲线积分，(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx d −+−∫y )其中为常数，为由点至原点的上半圆周m L (,0)A a (0,0)O 22(0x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nnn x n ∞=⋅∑的收敛域及和函数． 六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy Σ=++−∫∫， 其中为曲面的上侧．Σ221(z x y z =−−≥0)七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，，其中是由曲面222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++∫∫∫tΩz =与z =所围成的闭区域，求 30()lim t F t t+→．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； →不得带走试卷。
2020-2021大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷A(含答案)
第1页 共2页《高等数学（下）》期末课程考试试卷A适用专业：工科专业 考试日期：试卷所需时间120分钟 闭卷 试卷总分100分一、填空题：（每小题2分，共16分）1、(,)limx y →＝ ；2(,)(0,0)1cos lim()xyx y xyxy e →-＝ .2、若,(0)x z y y =>，则偏导数x z = ；y z = .3、曲线22220x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(0,1,1)-的切线方程为 .4、改变积分次序：23132001(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰⎰.5、L 为平面上任一不包含原点闭区域的边界，则曲线积分22Lxdy ydxx y -+⎰= .6、设()f x 是以2l 为周期的连续函数，且01()(cos sin )2n n n a n x n xf x a b l lππ∞==++∑，则n a = ，n b = .7、211x-在(1,1)-内展开成x 的幂级数为 . 8、微分方程20y y y '''++=的通解为 .二、选择题：（共6小题，每小题2分，共12分）1、函数(,)z f x xy =具有二阶连续偏导数，则22zx∂∂等于（ ）(A) 12222xf f xyf ++； (B) 112212(1)f f y f +++； (C) 21112222f yf y f ++； (D) 2111222f yf y f ++.2、积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是（ ）(A)P Q y x ∂∂=∂∂； (B) P Q y x ∂∂=-∂∂； (C) P Q x y ∂∂=∂∂； (D) P Q x y∂∂=-∂∂. 3、二元函数x y x y x z 9332233-++-=的极大值点是（ ）(A)（1，0）； (B)（1，2）； (C)（-3，0）； (D)（-3，2）.4、S 为222x y R += (0)R >上01z ≤≤部分，则22sin()Sx y dS +⎰⎰为（ ）(A) 22sin R Re R π； (B) 2sin R Re R π； (C) 22sin R R e R π； (D) 0. 5、设1n n u ∞=∑是正项级数，那么下列命题正确的是： （ ）(A) 若11n n u u +< ，则1n n u ∞=∑收敛； (B) 若lim 0n n u →∞=，则1n n u ∞=∑收敛； (C) 若21n n u ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛； (D) 若1n n u ∞=∑收敛，则21n n u ∞=∑收敛.6、函数3222222,0(,)0,0x x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩，在点(0,0)处说法正确的是（ ）(A) 偏导数存在且可微； (B) 偏导数存在但不可微； (C) 偏导数不存在且不可微； (D) 以上都不对.三、计算题：（共5小题，每小题10分，共50分）1、求函数32z x y xy =-的所有二阶偏导数.2、已知2z u v =，其中u xy =，v x y =+，求zx ∂∂和z y∂∂.3、计算：22()(2sin )Lx y dx x y dy --+⎰，其中曲线L 是在圆周y =上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧.4、计算：D，其中区域D 为：0,022x y ππ≤≤≤≤.5、求：222Sx dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰，其中曲面S 为22z x y =+被1z =所割下的有限部分的下侧.四、（8分）求幂级数1n n nx ∞=∑的收敛域及其和函数.五、（8分）设一平面平行于平面6650x y z +++=，且与三坐标面围成的四面体体积为1，求此平面方程.六、（6分）设(),(0)f x x >可导，且211()1x f x f dt x =+⎰，求()f x .《高等数学（下）》期末课程考试试卷A答案适用专业：工科专业考试日期：试卷所需时间120分钟闭卷试卷总分100分一、填空题：（每小题2分，共16分）1、(,)limx y→＝ 4 ；2(,)(0,0)1coslim()xyx yxyxy e→-＝ 1/2 .2、若xz y=，(0)y>则偏导数xz=1xxy-；yz=lnxy y.3、曲线2222x y zx y z⎧++=⎨++=⎩在点(0,1,1)-的切线方程为11211x y z-+==-.4、改变积分次序：231320010(,)(,)xxdx f x y dy dx f x y dy-+=⎰⎰⎰⎰132(,)ydy f x y dx-⎰.5、L为平面上任一不包含原点闭区域的边界，则曲线积分22Lxdy ydxx y-+⎰= 0 .6、设()f x是以2l为周期的连续函数，且01()(cos sin)2n nna n x n xf x a bl lππ∞==++∑，则na=1()cos,(0,1,)lln xf x dx nl lπ-=⎰，n b=1()sin,(1,2,)lln xf x dx nl lπ-=⎰.7、211x-在(1,1)-内展开成x的幂级数为2421nx x x+++++.8、微分方程20y y y'''++=的通解为12()xy C C x e-=+.二、选择题：（共6小题，每小题2分，共12分）1、函数(,)z f x xy=具有二阶连续偏导数，则22zx∂∂等于（ C ）(A)12222xf f xyf++；(B)112212(1)f f y f+++；(C)21112222f yf y f++；(D)2111222f yf y f++.2、积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关的充要条件是（A）(A)P Qy x∂∂=∂∂；(B)P Qy x∂∂=-∂∂；(C)P Qx y∂∂=∂∂；(D)P Qx y∂∂=-∂∂.3、二元函数xyxyxz9332233-++-=的极大值点是（ D ）(A)（1，0）；(B)（1，2）；(C)（-3，0）；(D)（-3，2）.4、S为222x y R+=(0)R>上01z≤≤部分，则22sin()Sx y dS+⎰⎰为（A）(A)22sinRRe Rπ；(B)2sinRRe Rπ；(C)22sinRR e Rπ；(D) 0.5、设1nnu∞=∑是正项级数，那么下列命题正确的是：（D）(A)若11nnuu+<，则1nnu∞=∑收敛；(B)若lim0nnu→∞=，则1nnu∞=∑收敛；(C)若21nnu∞=∑收敛，则1nnu∞=∑收敛；(D)若1nnu∞=∑收敛，则21nnu∞=∑收敛.6、函数3222222,0(,)0,0xx yf x y x yx y⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩，在点(0,0)处说法正确的是（ B ）(A) 偏导数存在且可微；(B)偏导数存在但不可微；(C)偏导数不存在且不可微；(D)以上都不对.三、计算题：（共5小题，每小题10分，共50分）1、求函数32z x y xy=-的所有二阶偏导数.解：223zx y yx∂=-∂，32zx xyy∂=-∂，…………4分226zxyx∂=∂，22232z zx yx y y x∂∂==-∂∂∂∂，222zxy∂=-∂…………10分2、已知2z u v=，其中u xy=，v x y=+，求zx∂∂和zy∂∂.解：22332z z u z vx y xyx u x v x∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂…………5分22332z z u z vx y x yy u y v y∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂…………10分第3页共2页3、计算：22()(2sin )Lx y dx x y dy --+⎰，其中L是在圆周y =(0,0)到点(1,1)的一段弧. 解：1222()(2sin )(21)4L L L Dx y dx x y dy dxdy π++--+=--+=⎰⎰⎰…………4分122215sin 2()(2sin )(2sin )24L x y dx x y dy y dy --+=-+=-⎰⎰…………6分 2022211()(2sin )3L x y dx x y dy x dx --+==-⎰⎰…………8分 2213sin 2()(2sin )464Lx y dx x y dy π--+=-+⎰…………10分 4、计算：D，其中区域D 为：0,022x y ππ≤≤≤≤.解：原式=cos()Dx y dxdy +⎰⎰…………4分=222202cos()cos()xxdx x y dy dx x y dy πππππ--+-+⎰⎰⎰⎰…………8分=2π-…………10分5、求：222Sx dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰，其中曲面S 为22z x y =+被1z =所割下的有限部分的下侧.解：原式=2()Dx y z dv dxdy Ω++-⎰⎰⎰⎰⎰…………6分=22112(cos sin )d d z dz πρθρρρθρθπ++-⎰⎰⎰…………8分=3π-…………10分 四、（8分）求幂级数1nn nx ∞=∑的收敛域及其和函数，并求2121222n n+++++的和。
《高等数学》考试试卷A卷及答案解析
《高等数学》考试试卷A 卷及答案解析一．填空题（共24分，每小题3分）1．设函数x y z =，则__________________________=dz .2．方程333z e xyz e -=确定()y x z z ,=，则__________________=∂∂x z. 3. 曲线t t x sin -=，t y cos 1-=，2sin 2tz =在π=t 处切线方程为_________________________________________.4. 函数2u x y z =+在点(2,1,0)M 处最大的方向导数为__________________.5. 交换二次积分222(,)y y I dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，得__________________=I .6.设平面曲线)10(:2≤≤=x x y L ，则曲线积分__________________=⎰ds x L.7. 幂级数∑∞=12n n n x n的收敛域是 ________________________.8. 微分方程022=+'-''y y y 的通解为___________________________.二、选择题（共12分，每小题3分）1. 设曲面2232y x z +=在点)5 , 1 , 1(M 处的切平面方程为064=+-+λz y x ，则λ=（ ）.(A) 15- (B) 0 (C) 5- (D) 52. 函数),(y x f 在点),(y x 处可微是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的（ ）. (A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件3. 设曲线L 是单位圆周122=+y x 按逆时针方向，则下列曲线积分不等于零的是（ ）.(A) ds y L⎰ (B) ds x L⎰ (C) dx y xdy L⎰+ (D) ⎰+-L y x ydxxdy 224. 下列级数中收敛的是（ ）.(A) ∑∞=122n n n (B) ∑∞=+12n n n(C) ∑∞=+1)2121(n n n (D) ∑∞=133n n n三、解答题：(共59分)1.（7分）求二元函数()3132,23---=y x xy y x f 的极值. 2. （7分）设函数2,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()v u f ,具有二阶连续偏导数，求yx zx z ∂∂∂∂∂2 , .3．（7分）计算二重积分dxdy xy D⎰⎰2，其中D 是由圆周422=+y x 与y 轴所围成的右半区域.4．（7分）将函数())1ln(x x f +=展成1-x 的幂级数，并写出可展区间5．（7分）计算曲面积分(2)I xy x y z dS ∑=+++⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限中的部分.6. （8分） 求微分方程x xe y y y 223=+'-''的通解.7． （8分）计算曲线积分()()y d y xy dx yx x I L⎰+-+-=2322其中L 为曲线22x x y -=从)0,2(A 到)0,0(O 的弧段.8．（8分）利用高斯公式计算曲面积分()()d xdy x z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-+++=33332,其中∑为由上半球面224y x z --=与锥面22y x z +=围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.四．（5分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数, 且()()f x f x α'<, 其中01α<<. 任取实数0a , 定义1ln (),1,2,3n n a f a n -==.证明：级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.《高等数学》考试试卷A 卷答案一、填空题（共24分，每小题3分） 1. dy xy ydx y dz x x 1ln -+= 2. 3z z yzx e xy ∂=∂- 3.2022-=-=-z y x π4.5. 2(,)xI dx f x y dy =⎰⎰6.()11127. )21, 21[- 8. )sin cos (21x c x c e y x +=二、选择题（共12分，每小题3分） 1. C 2. B 3. D 4. D 三、解答题（共64分） 1. （7分）解： 令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=022022y x f x y f yx 得驻点⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==22y x 2 分 x f xx 2-=，2=xy f ，2-=yy f 4 分 在（0，0）处， 2 , 2 , 0-===C B A04 2<-=-B AC ， ∴（0，0）为非极值点. 5 分在（2，2）处 2 , 2 , 04-==<-=C B A04 2>=-B AC ∴ 1)2 , 2(=f 为函数),(y x f 的极大值. 7 分2.（7分） 解：2121f xy f yx z '+'=∂∂ 3分)21(212f xy f yy y x z '+'∂∂=∂∂∂ ])([ 22])([11222212221221112x f yx f xy f x x f y x f y f y ''+-''+'+''+-''+'-= 223122113212221f y x f y x f yx f x f y ''+''-''-'+'-= 7 分3. （7分） 解：⎰⎰⎰⎰--=224 0222y Dxdx dy y dxdy xy3分⎰--=2 2 22)4(21dy y y 5 分 1564)4(2 0 42=-=⎰dy y y 7 分4. （7分）解：1(1)ln(1)1n n n x x n ∞+=-+=+∑ 11≤<-x 1 分)211ln(2ln )]1(2ln[)1ln(-++=⋅-+=+x x x 3分10)21(1)1(2ln +∞=∑-+-+=n n n x n∑∞=++-+-+=011)1(2)1()1(2ln n n n nx n 6分 1211≤-<-x ⇒ 31≤<-x 7分5.（7分）解：:1z x y ∑=--dS ∴== 2分(2DI xy ∴=+⎰⎰4分1102xDdx xydy dxdy -=+⎰5分()13202xx x dx =-++6分12=7分6.（8分）解 （1）先求微分方程023=+'-''y y y 的通解Y特征方程 0232=+-r r 即 0)1)(2(=--r r ，21=r ，12=rx x e c e c Y 221+= 3 分（2）求原方程的一个特解*y 2 =λ 是特征方程的根，故设 x x e bx ax e b ax x y 222)()(+=+=*5分令bx ax x Q +=2)(，则b ax x Q +='2)(，a x Q 2)(=''将)(x Q '，)(x Q ''代入方程x x Q p x Q ='++'')()2()(λ 得 x b ax a =++22则 ⎩⎨⎧=+=1212b a a ， 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==021b a ， x xe y 221=*7 分 所求通解 x x x xe e c e c y 222121++= 8 分7.（8分） 解：⎰++-+-OAL dy y xy dx yx x )2()(322dxdy x y dxdy y Px Q DD)()(22⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂= 3 分 ⎰⎰⋅=θd ρd cos 2 0220 ρρθπ5 分⎰==20 443cos 4ππθθd 6 分dy y xy dx yx x I OA ⎰+-+--=)2()(43322π 7 分2434320-=-=⎰ππxdx 8 分8. （8分） 解：由高斯公式dV z y x I )333(222⎰⎰⎰Ω++= 3 分2244 03 sin d d r dr ππθφφ=⎰⎰⎰ 6 分192(152π=- 8 分9.（5分）解：对任意设2n ≥,由拉格朗日中值定理，有111212121'()ln ()ln (),()n n n n n n n n n n f a a f a f a a a a a f ξαξ----------=-=-<-2 分其中1n ξ-介于1n a -与2n a -之间. 于是有11101,2,.n n n a a a a n α---<-=3分又级数1101n n a a α∞-=-∑收敛, 由比较审敛法知级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.5分。
高等数学(A)下期末试卷及答案
来源于网络南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为 （c ）x e ln 1e (2积为 ((35=x(4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-113(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n来源于网络5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2来源于网络二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-来源于网络三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导2028),,(=+=x yz z y x F x λ，来源于网络028),,(=+=y xz z y x F y λ，解得：1,31,32===z y x ， (3)分，证明：yx ∂∂，所以曲线积分与路径无关….3分….5分装 订 线内 不 要 答 题自觉遵 守 考 试规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊七、(本题8分）计算⎰⎰++∑dxdy z dzdx y dydz x 333，其中?为上半球面221y x z --=的上侧。
来源于网络设,ln )(xxx f =2ln 1)(x x x f -='当e x >时单调递减，2、沿指定曲线的正向计算下列复积分⎰=-2||2)1(z zdz z z e来源于网络解：原式 =)]1),((Re )0),(([Re 2z f s z f s i +π…2分zz 解：++220)1)(1(y n y x 1)4(11++=n n π……2 分来源于网络∑∑∞=+∞=+=010)4(11n n n n nn x n x a π，,4π=R 收敛域：)4,4[-……2 分,0)0()0(='=f f 又)(x f 的二阶导数)(x f ''在]1,1[-内连续，所以K x f ≤''|)(|,!2)()0()0()(2x f x f f x f ξ''+'+= ξ在0与x 之间来源于网络|1(|n f ,22n K ≤ 所以∑∞=1n |)1(|n f 收敛，同理∑∞=1n |11(|+n f 也收敛……5 分 由于|1)11(|||||n f b b +≤|1)11(||1)1(|||n f n f b +≤|1)11(|||+≤n f b。
高等数学(A)(下)期末考试试题.解答.
2009-2010(春)高等数学A(下)期末考试试题解答（2010.6）一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在空中)．2∂z=2xyexy．∂x2函数u=xy2+z3-x2yz在点P(1,1,1)处的梯度(-1,1,2)．21设z=exy，则3设f(x,y)为二元连续函数，交换积分次序⎰10dy⎰f(x,y)dx=y⎰10dx⎰f(x,y)dy．x5级数L在p>1条件下收敛．∑pnn=1∞二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）．以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．1 二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点处连续的( D )．（A）充分而非必要条件；（B）必要而非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非必要条件又非充分条件． 2 曲面yz+zx+xy=3在点(0,1,3)处的切平面方程为( B )．(A) 2x+y-1=0； (B)4x+3y+z-6=0； (C) x+y+z-1=0； (D) 4x+3y+z-2=0．（A）bn=（B）bn=（C）bn=（D）bn=4 设级数f(x)sinnxdx(n=1,2, ),和函数为f(x)；⎰ππ-πf(x)cosnxdx(n=1,2, ),和函数为f(x)；⎰ππ-11πf(x)cosnxdx(n=1,2, ),和函数为2f(x)；⎰ππ-ππ⎰2πf(x)sinnxdx(n=1,2, ),和函数为f(x)．∑un=1∞n收敛，且∑un=1∞n=u，则级数∑(un+un+1)=( C )．n=1∞(A) 2u；（B）u；（C）2u-u1；（D）u-u1．25 已知y=1,y=x,y=x为某二阶非齐次线性微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个解，则其通解为（ C ）.（其中C1,C2为任意常数）（A）y=C1+C2x+x；（B）y=C1x+C2x+1；（C）y=C1(x-1)+C2(x-1)+1；（D）y=C1(x-1)+C2(x-1)+x-x．三、（本题满分8分）22222⎛∂2zx⎫设二元函数z=xy+f xy，⎪，其中函数f具有二阶连续的偏导数，求．∂x∂yy⎭⎝∂z1=y+yf1'+f2' ， 4分解：∂xy⎡⎛x⎫⎤1⎛x⎫⎤∂2z1⎡''''''''''⎥⎪=1+f1+y⎢xf11+ -2⎪f12⎥-2f2+⎢xf21+ -2⎪f22⎪∂x∂yy⎣⎝y⎭⎦y⎝y⎭⎦⎣1x''-3f22'' ． 4分 =1+f1'-2f2'+xyf11yy四、（本题满分10分）计算二重积分解：⎰⎰(yD2+3x+9)dxdy，其中D=(x,y)x2+y2≤1． {}22＝(y+3x+9)dxdyy⎰⎰dxdy+⎰⎰3xdxdy+⎰⎰9dxdy 2分⎰⎰DDDD2y⎰⎰dxdy+0+9π 3分D ＝＝＝⎰2π0sin2θ⎰ρ3dρ+9π 3分0137π ． 2分 4五、（本题满分16分，其中1题为8分，2题为8分）1 讨论级数∑n=1∞(-1)nann(a>0)的敛散性；2 试将函数f(x)=1 解：当a>1，lim⎰x0． sint2dt展成x的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）un+1n1=lim=<1，故原级数绝对收敛； 3分n→∞un→∞n+1aan 当0<a<1，limun+1n1=lim=>1，limun≠0，故原级数发散；3分n→∞n→∞un→∞n+1aan当a=1，原级数为∞∑n=1∞(-1)n，条件收敛. n 2分 (-1)n-1t2n-12 因为sint=∑t∈(-∞,+∞) ， 2分 (2n-1)!n=1∞(-1)n-1t4n-22 则sint=∑t∈(-∞,+∞) ． 2分n=1(2n-1)!将上式两端逐项积分，得⎛∞(-1)n-1t4n-2⎫ f(x)=⎰sintdt=⎰ ∑⎪dt (2n-1)!⎭00⎝n=1∞x(-1)n-1t4n-2=∑⎰dt (2n-1)!n=102xx(-1)n-1x4n-1=∑ (-∞<x<+∞) ． 4分 2n-1!(4n-1)n=0∞六、（本题满分12分）．∑ 2解：令∑1为z=4被z=x2+y2所截得部分的上侧, 则原式=由高斯公式z=4∑+∑1-⎰⎰∑1， 2分⎰⎰∑∑+=⎰⎰⎰[(x)'x+(y)'y+(z(x+y))'z]dv=13322ΩD=(⎰⎰Ωdxdy)xyz=x2+y2⎰[4(x2+ y2)]dz2π2z=422=⎰dθ⎰rdr⎰[4r]dz=2π⎰r[4r2](4-r2)dr=00z=r2012π8 ． 6分 3由曲面积分计算公式得2π2222=0+0+4(x+y)dxdy=dθ4(r⎰⎰⎰⎰⎰⎰)rdr=32π， 2分∑1D00128π32π ． 2分 -32π=33七、(本题满分8分)某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为故原式= c(x,y)=x2+2y2-xy （万元）若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？解：即求成本函数c(x,构造辅助函数 F(x,y)在条件x+y=8下的最小值． y)=x2+2y2-xy+λ(x+y-8) 2分⎧Fx'=2x-y+λ=0⎪解方程组⎨Fy'=-x+4y+λ=0⎪F'=x+y-8=0⎩λ解得λ=-7,x=5,y=3 4分这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为： c(5,3)=52+2⨯32-5⨯3=28（万） 2分八、（本题满分16分，其中1题为10分，2题为6分）1 设可导函数ϕ(x)满足ϕ(x)cosx+2⎰ϕ(t)sintdt=x+1，求ϕ(x)． 0x2 设函数f(u)具有二阶连续的导函数，而且z=fesiny满足方程 x()∂2z∂2z2x+=ez，22∂x∂y试求函数f(u)．解1 在ϕ(x)cosx+2⎰x0ϕ(t)sintdt=x+1两端对x求导得，ϕ'(x)+tanxϕ(x)=secx． 4分解上述一阶线性微分方程得通解为．ϕ(x)=six+nC． cxo 4分由ϕ(x)cosx+2⎰x0ϕ(t)sintdt=x+1得，ϕ(0)=1，则C=1故ϕ(x)=sinx+cosx． 2分2 设u=exsiny，则有∂z∂z=f'(u)exsiny，=f'(u)excosy ∂x∂y∂2z2x2x所以，2=f''(u)esiny+f'(u)esiny ∂x∂2z=f''(u)e2xco2sy-f'(u)exsiny 2分2∂x∂2z∂2z代入方程 +2=e2xz，2∂x∂y2x2x2x2x2x得，f''(u)esiny+f'(u)esiny+f''(u)ecosy-f'(u)esiny=ez 即，f''(u)e2x=f(u)e2x由此得微分方程 f''(u)-f(u)=0 2分解此二阶线性微分方程，得其通解为f(u)=C1e+C2eu-u （C1与C2为任意常数） 2分此即为所求函数．。
高等数学(A)下期末试卷及答案
《高等数学 A 》( 下）期末试卷 A 答案及评分标准 得 一、选择题（本大题分 5 小题，每题 3 分，共 15 分分）e dxln x f ( x, y)dy 的积分序次为1、互换二次积分1（c ）e ln xf ( x, y)dxe1 (A)dy(B)e ydyf ( x, y)dx11 eln xe(C)dy e y f ( x, y)dx(D)dy1f ( x, y)dx2、锥面zx2y 2在柱面 x2y22x 内的那部分面积为（ D ）d2 cos2d2 cos 2d(A)2d2(B)222cos 2d22 cosd(C)2 d(D)2 d2 023、若级数a n ( x 2) n在 x2 处收敛，则级数n 1na n ( x 2)n 1（ B ）在 x 5n 1(A)条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不确立4、以下级数中收敛的级数为（ A ）(A)( n ) n(B)n2 3n 1 n 1 n 1 n 1(C)sin1(D)n!n 1 3 n n 1 n 15、若函数f ( z)( x 2 y 2 2 xy) i( y 2 axy x2 ) 在复平面上到处分析，则实常数 a 的值为（c ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2得 二、填空题（本大题分 5 小题，每题 4 分，共 20 分分）、曲面 z x2y21 在点 (2,1,4) 处的切平面1方程为 4x 2 y z62 、已知L : x2y2a 2(a 0) ， 则L [ x 2y2sin( xy)]ds2 a33、 是由曲面zx2y 2及平面 zR(R0) 所围成的闭地区，在柱面坐标下化三重积分f ( x2y 2)dxdydz 为2 RR2)dz三次积分为ddf (4、函数 f (x) x (0 x) 睁开成以 2 为周期的正弦级 数 为x2 ( 1) n 1 sin nx，收敛区间为n 1n0 x5、Ln( 1 i)ln 2 i(32k ), k 0, 1, 24Re s[e z,0]12得 三、 (此题 8 分）设zf ( x2y 2) g( x, xy) ，分y此中函数 f (t) 二阶可导， g(u, v) 拥有二阶连续偏导数，求 z ,2zx x y解： z 2xf1g 1yg23 分xy2z4xyfg 2xyg 221 g 1 x g 11 5 分x yy 2 y 3得x 2y 2z 21内分四、(此题 8 分）在已知的椭球面43全部内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。
高数下册期末a卷考试题及答案
高数下册期末a卷考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数不是周期函数？A. \( \sin(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( e^x \)D. \( \tan(x) \)答案：C2. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x=1 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 以下哪个选项是 \( \int_0^1 x^2 dx \) 的正确计算结果？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A4. 以下哪个选项是 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B5. 以下哪个选项是 \( \int \frac{1}{x} dx \) 的原函数？A. \( \ln|x| + C \)B. \( x + C \)C. \( e^x + C \)D. \( \sin x + C \)答案：A6. 以下哪个选项是 \( \int e^x \cos x \, dx \) 的正确积分结果？A. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C \)B. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) + C \)C. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) - C \)D. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) - C \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的定义域是 \( ______ \)。
答案：\( (0, +\infty) \)2. 函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的导数是 \( ______ \)。
高等数学下期末试卷A
《 高等数学》第二 学期期末试卷（A ）3×6=18分）1、 690y y y '''-+=的特征方程是2、sin(23),z x y dz =+=则3、(,), ( (,)0 )Df x y dxdy f x y >⎰⎰的几何意义4、计算()121233⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭5、已知向量()()12122,231,αα==-则1223αα-=6、线性方程组Ax b =有解的充要条件是2×6=12分） 1、二重积分{}⎰⎰≤+==Dy x y x D d y x f I 1|),(,),(22其中σ，则可将I 化为累次积分（ ） A 、⎰⎰--dy y x f dx x ),(21011 B 、⎰⎰----dy y x f dx x y ),(221111C 、⎰⎰--dy y x f dx ),(1111D 、⎰⎰rdr r r f d )sin ,cos (1020θθθπ2、方阵 A 可逆的充分必要条件是（ ）A 0≠AB 0≠AC 0*≠A D 0>A3、下列命题成立的是（ ）A 、若AB AC =，则B C = B 、若0AB =，则00A B ==或 C 、若0A ≠，则0A ≠D 、若0A ≠，则0A ≠4、设A 为34⨯矩阵，且()2R A =，则下列结论中，不正确的是（ ）A 、A 的所有3阶子式都为零B 、A 的所有2阶子式都不为零C 、A 的列向量线性相关D 、A 的行向量线性相关5、向量()()()()1234100,010,000,110αααα====的极大线性无关组为（ ）A 、123,,ααα B 、124,,ααα C 、12,αα D 、34,αα6、若非齐次线性方程组Ax b =中方程个数少于未知数个数，那么（ ）A 、Ax b =必有无穷多解B 、0Ax =必有非零解C 、0Ax =仅有零解D 、0Ax =一定无解三、求下列微分方程的通解：(6分) 1、dxdy =yx e -，四、解答下列各题：(2×5=10分)1、已知向量→a ={1,2,3},→b ={1,0,1},求→a ∙→b ，→a ×→b2、已知平面π与平面2340x y z -+=平行，且过点(1,2,-1).求平面π的方程。
海南大学高数A下试卷及答案
海南大学高数A下试卷及答案试卷题目一：函数的极限1.计算下列极限：(a)$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\sin x}{x}$(b)$\\lim_{x\\to\\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^x$(c)$\\lim_{x\\to\\infty} \\frac{x+2}{x+3}$2.求函数$f(x)=\\frac{x^2+x-2}{x-1}$的极限，并说明极限存在的条件。
题目二：导数与微分1.求函数$f(x)=\\sqrt{x+1}$的导数。
2.求曲线y=y y在y=0处的切线方程。
题目三：积分1.计算定积分$\\int_{0}^{1}(3x^2-2x+1)dx$。
2.求曲线y=y2与y轴所围成的面积。
题目四：级数1.讨论级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n^2}$的敛散性。
2.求级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n}$的和。
答案题目一：函数的极限(a)使用夹逼定理可知，$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\sin x}{x}=1$(b)根据自然对数的性质，$\\lim_{x\\to\\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^x=e$(c)当$x\\to\\infty$时，$\\frac{x+2}{x+3}\\to1$1.当y yy1时，根据因式分解，$f(x)=\\frac{x^2+x-2}{x-1}=(x+2)$。
当y=1时，y(1)不存在。
所以存在极限的条件是y yy1。
题目二：导数与微分1.根据求导法则，$f'(x)=\\frac{1}{2\\sqrt{x+1}}$2.在y=0处，y=y y的斜率为1，所以切线方程为$y=1\\cdot x= x$题目三：积分1.根据积分的基本公式，$\\int_{0}^{1}(3x^2-2x+1)dx=\\left[x^3-x^2+x\\right]_{0}^{1}=1$2.曲线y=y2与y轴所围成的面积为$\\int_{0}^{1}x^2dx=\\left[\\frac{x^3}{3}\\right]_{0}^{1} =\\frac{1}{3}$题目四：级数1.根据比较判别法，级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n^2}$收敛，因为$\\frac{1}{n^2}$与y-级数$\\frac{1}{n^p}$（其中y>1）同阶，且y=2>1。
高等数学A下册试卷
华侨大学高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】考试日期：2012年6月22日上午08:30-10:30院（系）别班级 学号姓名 成绩一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上，答在其它地方不给分！）1、已知()222,,f x y z xy yz zx =++，则(0,0,1)xx f = .2、过点(3,1,2)-且通过直线43521x y z-+==的平面方程为 . 3、旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面方程为 .4、设曲面∑为锥面z =介于平面0z =与1z =的部分，则22()x y dS ∑+=⎰⎰ .5、已知(,)f x y 连续,交换积分次序:10(,)ydy f x y dx =⎰⎰.※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：班级、姓名、学号. 二、解下列各题：（本题共4小题，每小题8分，满分32分）1、 设()y y x =，()z z x =为由方程22201x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩所确定的隐函数，求dy dx 与dzdx . 2、 求微分方程325y y y '''-+=满足初始条件01x y ==，02x y ='=的特解． 3、 求直线234112x y z ---==与平面26x y z ++=的交点． 4、 计算曲线积分(24)(536)Lx y dx y x dy -+++-⎰ ，其中L 为三顶点分别为(0,0)、(3,0)、(3,2)的三角形正向边界.三、 （本题满分10分）在xOy 面上求一点，使它到0x =，0y =及2160x y +-=三直线的距离平方之和为最小．四、 （本题满分12分）利用高斯公式，求曲面积分222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑是锥面z =介于平面0z =与z h =（0h >）之间部分的下侧.五、 （本题满分10分）将函数21()32f x x x =++展开成(1)x -的幂级数，并求展开式成立的范围. 六、 （本题满分10分）（1） 验证函数20()(2)!nn x y x n ∞==∑满足微分方程0y y ''-=；（2） 通过解方程0y y ''-=，求幂级数20(2)!nn x n ∞=∑的和函数.七、 （本题满分6分）设()f x 是区间[0,1]上单调减少的正值连续函数，证明：111122()()()().xf x dx f x dx f x dx xf x dx ≤⎰⎰⎰⎰-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
海南大学高数A下试卷及答案.docx
力爷说 A 卷应该是理科的海南大学 2008-2009 学年度第 2 学期试卷 大家自己看着办咯科目：《高等数学 A 》（下）试题 (A 卷)姓名：怪哥学 号：学院：专业班级：08 国酒成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写）大题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分得分阅卷教师： 200 9年 月 日考试说明：本课程为 闭卷考试，可携带 计算器。
得分阅卷教师一、填空题：（ 每题 3 分，共 15 分）在以下各小题中画有 _______处填上答案。
1、设向量 1，2， 1 ，11，，2，则向量积（5， 3， 1）；2、曲线 xt, y t 2 , z t 3在点 (1,1,1)处的切线方程为 __x1 y 1 z 1 ；1 2 33,设L 为圆周X 2 Y 2 R 2 ,则积分X 2 Y 2 ds=2 R 2 ；L4、设 z log y x ，则2z1；x2x 2ln y5、将函数 f ( x)1展开成x 1 的幂级数为x 1 n( 2,0) ；, xxn 0得分阅卷教师二、选择题 （每题 3 分，共 15 分 选择正确答案的编号，填在各题前的括号内）（ B ）1、已知xdx aydy是某函数的全微分，则 a =22x y(A) 1 ; (B)– 1 ; (C) – 2 ; (D) 2。
（A） 、设曲面 是下半球面z r 2x 2y 2的下侧，则曲面积分x 2y 22dxdy2 z (A)r 4 ; (B)4 r 4 ; (C)r 4 ; (D)2 r 4 .- 1 -（ B）3、 fx函数,F tt t f x dx, F '21dyy(A) 2 f 2 ; (B)f 2; (C) 0 ;(D) - f 2 .（ B）4、 数( 1)n x n 的收 半径是（）n 02(A) 3; (B) 2 ;(C)1;(D)123（ C）5、交 分次序0 dx 1 x 21 1 f ( x, y)dyx( A)1 x 2dy 0( B) 0 1 x 2 f (x, y)dxx 1 f (x, y)dx ;dyx 1111y 11 y 1(C) 0 dy1 y 2f (x, y) dx(D) 0 dy1 y 2f ( x, y)dx得分卷教三 、计算题 （每小 6 分，共 48 分）1、x 2y2。
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高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】考试日期：2009年院（系）别班级 学号 姓名成绩一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满足0a b += ，2a = ，2b = ，则a b ⋅=．2、设ln()z x xy =，则32zx y∂=∂∂ ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dS z ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 （本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰， 其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]t F t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域，求 3()lim t F t t +→．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。
高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】参考解答与评分标准 2009年6月一、填空题【每小题4分，共20分】 1、4-； 2、21y-；3、2414x y z ++=； 4、3，0； 5二、试解下列各题【每小题7分，共35分】1、解：方程两边对x 求导，得323dydz y z x dx dx dy dz y z xdx dx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 从而54dy x dx y =-，74dz x dx z =…………..【4】 该曲线在()1,1,2-处的切向量为571(1,,)(8,10,7).488T == (5)故所求的切线方程为1128107x y z -+-==………………..【6】 法平面方程为()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++= (7)２、解：2222226z x y z x y⎧=+⇒⎨=--⎩222x y +=，该立体Ω在xOy 面上的投影区域为22:2xy D x y +≤．…..【2】 故所求的体积为Vdv Ω=⎰⎰⎰222620202(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=⎰⎰ (7)３、解：由11lim lim ln(1)limln(1)10nn n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>，知级数1n n u ∞=∑发散 (3)又111||ln(1)ln(1)||1nn u u n n +=+>+=+,1lim ||limln(1)0n n n u n→∞→∞=+=.故所给级数收敛且条件收敛．【7】 ４、解：121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂， …………………………………【3】 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111222231.x f xyf f f y y ''''''=+--【7】 ５、解：∑的方程为z =∑在xOy 面上的投影区域为2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-．=…..………【３】故22222200xyD dS adxdyd a d z a x y a πρρθρ∑==---⎰⎰⎰⎰⎰22012ln()2ln 2aa a a hπρπ⎡=--=⎢⎥⎣⎦..【7】三、【9分】解：设(,,)M x y z 为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为d =【1】令22222(,,)()(1)L x y z xy z z x y x y z λμ=+++--+++-，则由22220220201x y z L x x L y y L z z x y x y z λμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=+⎪++=⎪⎩，解得12x y -±==2z =121111(,2(2222M M -+----…………………【7】 又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．故max2min 1||||d OM d OM ==== (9)四、【10分】 解：记L 与直线段OA 所围成的闭区域为D ，则由格林公式，得22(sin )(cos )8x x D L OAI e y m dx e y mx dy m d ma πσ+=-+-=-=-⎰⎰⎰ ．………………【5】 而1(sin )(cos )ax xOAI e y m dx e y mx dy m dx ma =-+-=-=-⎰⎰ (8)∴221(sin )(cos ).8x x L e y m dx e y mx dy I I ma ma π-+-=-=-⎰ (10)五、【10分】解：()1131limlim 3133n n n n n na n R a n ρ++→∞→∞===⇒=+，收敛区间为 (3,3)-…………【2】 又当3x =时，级数成为11n n∞=∑，发散；当3x =-时，级数成为()11nn n ∞=-∑，收敛．……【4】 故该幂级数的收敛域为[)3,3- (5)令()13nn n x s x n ∞==∑（33x -≤<），则11111111()()33331/33n n n n n x x s x x x -∞∞-=='====--∑∑, (||3x <) (8)于是()()000()()ln 3ln3ln 33x xx dxs x s x dx x x x '===--=---⎰⎰，（33x -≤<） (10)六、【10分】解：取1∑为220(1)z x y =+≤的下侧，记∑与1∑所围成的空间闭区域为Ω，则由高斯公式，有()()133222222316I x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω=++-=++⎰⎰⎰⎰⎰ (5)()2211262d d z dz πρθρρρπ-=+=⎰⎰⎰ (7)而()()221133221122313133x y I x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π∑∑+≤=++-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (9)2123.I I I πππ∴=-=-=- (10)七、【6分】解：()()2224000sin cos tF t d d r f r r dr ππθϕϕϕ⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰⎰….… 【2】 ()3224400002sin cos sin t t d r dr d f r r dr πππϕϕϕϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(()422028tt r f r dr π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰….… 【4】 故()(3222320002()222lim lim lim ().333t t t t t f t F t f t a t t π+++→→→⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦=== 【6】。