数列在日常经济生活中的应用时
高中数学第一章数列 数列在日常经济生活中的应用学案含解析北师大版必修5
§4数列在日常经济生活中的应用知识点一零存整取模型[填一填](1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为利息＝本金×利率×存期．若以P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S＝P(1＋nr)．(2)复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n.[答一答]1．简单总结一下本节课中几种模型的规律方法．提示：(1)银行存款中的单利是等差数列模型,本息和公式为S＝P(1＋nr)．(2)银行存款中的复利是等比数列模型,本利和公式为S＝P(1＋r)n.(3)产值模型：原来产值的基础数为N,平均增长率为P,对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.(4)分期付款模型：a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b＝r(1＋r)n a (1＋r)n－1.知识点二数列知识的实际应用及解决问题的步骤[填一填](1)数列知识有着广泛的应用,特别是等差数列和等比数列．例如银行中的利息计算,计算单利时用等差数列,计算复利时用等比数列,分期付款要综合运用等差、等比数列的知识．(2)解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目,认真审题,将实际问题转化为数列模型；②挖掘题目的条件,分析该数列是等差数列,还是等比数列,分清所求的是项的问题,还是求和问题；③检验结果,写出答案．[答一答]2．数列应用题中常见模型是哪些？ 提示：等差模型和等比模型．1．数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,然后求解．2．处理分期付款问题的注意事项(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和,只有掌握了这一点,才可以顺利建立等量关系．类型一 单利计算问题【例1】 有一种零存整取的储蓄项目,它是每月某日存入一笔相同的金额,这是零存；到约定日期,可以提出全部本金及利息,这是整取．它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×⎣⎡⎦⎤存期＋12存期×(存期＋1)×利率. (1)试解释这个本利和公式；(2)若每月初存入100元,月利率5.1‰,到第12个月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1‰,希望到第12个月底取得本利和2 000元,那么每月应存入多少金额？【思路探究】 存款储蓄是单利计息,若存入金额为A ,月利率为P ,则n 个月后的利息是nAP .【解】 (1)设每期存入金额A ,每期利率P ,存入期数为n ,则各期利息之和为 AP ＋2AP ＋3AP ＋…＋nAP ＝12n (n ＋1)AP .连同本金,就得：本利和＝nA ＋12n (n ＋1)AP ＝A ⎣⎡⎦⎤n ＋12n (n ＋1)P . (2)当A ＝100,P ＝5.1‰,n ＝12时,本利和＝100×⎝⎛⎭⎫12＋12×12×13×5.1‰＝1 239.78(元)． (3)将(1)中公式变形得 A ＝本利和n ＋12n (n ＋1)P＝ 2 00012＋12×12×13×5.1‰≈161.32(元)．即每月应存入161.32元．规律方法 单利的计算问题,是等差数列模型的应用．王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”,已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元,王先生每月大约存入多少元？(2)若教育储蓄存款总额不超过2万元,零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？(精确到1元)解：(1)设王先生每月存入A 元,则有A (1＋2.7‰)＋A (1＋2×2.7‰)＋…＋A (1＋36×2.7‰)＝20 000,利用等差数列前n 项和公式,得A ⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰＝20 000,解得A ≈529元．(2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元,所以3年期教育储蓄每月至多存入20 00036≈555(元),这样,3年后的本息和为：555(1＋2.7‰)＋555(1＋2×2.7‰)＋…＋555(1＋36×2.7‰)＝555⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰≈20 978(元)．类型二 关于复利模型问题【例2】 小张为实现“去上海,看世博”的梦想,于2005年起,每年2月1日到银行新存入a 元(一年定期),若年利率r 保持不变,且每年到期存款自动转为新的一年定期,到2010年2月1日,将所有存款及利息全部取回,试求他可以得到的总钱数．【思路探究】 由题意知,本题为定期自动转存问题,应为等比数列前n 项和的模型． 【解】 依题意每一年的本息和构成数列{a n },则2005年2月1日存入的a 元钱到2006年1月31日所得本息和为a 1＝a (1＋r )．同理,到2007年1月31日所得本息和为 a 2＝[a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2008年1月31日所得本息和为[a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2009年1月31日所得本息和为[a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2010年1月31日所得本息和为[a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ),所以2010年2月1日他可取回的钱数为a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＝a ·(1＋r )[1－(1＋r )5]1－(1＋r )＝ar [(1＋r )6－(1＋r )](元)．规律方法 本例主要考查阅读理解能力,这里关键是每年2月1日又新存入a 元,因此每年到期时所得钱的本息和组成一个等比数列前n 项和模型．某牛奶厂2013年初有资金1 000万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金后,余下的资金投入再生产．这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金,才能实现经过5年资金达到2 000万元的目标？解：设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金． 2013年底剩余资金是1 000(1＋50%)－x ；2014年底剩余资金是[1 000(1＋50%)－x ]·(1＋50%)－x ＝1 000(1＋50%)2－(1＋50%)x －x ；……5年后达到资金1 000(1＋50%)5－(1＋50%)4x －(1＋50%)3x －(1＋50%)2x －(1＋50%)x ＝2 000, 解得x ＝459(万元)． 类型三 分期付款模型【例3】 用分期付款的方式购买一件家用电器,其价格为1 150元．购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,分20次付完．若交付150元以后的第1个月开始算分期付款的第1个月,问：分期付款的第10个月需交付多少钱？全部贷款付清后,买这件家电实际花了多少钱？【思路探究】 构建等差数列模型,利用等差数列的前n 项和公式求解．【解】 购买时付款150元,欠1 000元,以后每月付款50元,分20次付清．设每月付款数顺次构成数列{a n },则a 1＝50＋1 000×1%＝60,a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1, a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2, ……a 10＝50＋(1 000－50×9)×1%＝55.5＝60－0.5×9, 则a n ＝60－0.5(n －1)＝－0.5n ＋60.5(1≤n ≤20)． 所以数列{a n }是以60为首项,－0.5为公差的等差数列,所以付款总数为S 20＋150＝20×60＋20×192×(－0.5)＋150＝1 255(元)．所以第10个月需交55.5元,全部付清实际花了1 255元．规律方法 解题时务必要注意第一次付款的利息是1 000元欠款的利息,而不是950元的利息,而最后一次付款的利息是50元欠款的利息．某人在2015年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房,月利率为3.375‰,按复利计算,每月等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清,那么每月应还贷多少元？(参考数据：1.003 375120≈1.498 28)解：方法一：由题意知借款总额a ＝200 000(元),还款次数n ＝12×10＝120, 还款期限m ＝10(年)＝120(个月), 月利率r ＝3.375‰ .代入公式得,每月还款数额为： 200 000×0.003 375×(1＋0.003 375)120(1＋0.003 375)120－1≈2 029.66.故如果10年还清,每月应还贷约2 029.66元．方法二：设每月应还贷x 元,共付款12×10＝120(次),则有x [1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000×(1＋0.003 375)120,解方程得x ≈2 029.66.故每月应还贷约2 029.66元． 类型四 增长率问题【例4】 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游业．根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少15,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元,写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【思路探究】 (1)由题设知各年的投入费用及旅游业收入分别构成等比数列,利用等比数列的前n 项和公式易得a n 与b n ；(2)建立a n 与b n 的不等关系,解不等式即得．【解】 (1)第一年投入为800万元,第二年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15万元,…,第n 年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元,各年投入依次构成以800为首项,1－15＝45为公比的等比数列,所以n 年内的总投入为a n ＝800⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝4 000－4 000·⎝⎛⎭⎫45n . 第一年旅游业收入为400万元,第二年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14万元,…,第n 年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元,各年旅游业收入依次构成以400为首项,1＋14＝54为公比的等比数列,所以n 年内的旅游业总收入为b n ＝400⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫54n 1－54＝1 600⎝⎛⎭⎫54n －1 600. (2)设经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入,则b n －a n >0,即1 600⎝⎛⎭⎫54n－1 600－4 000＋4 000⎝⎛⎭⎫45n>0,化简得2⎝⎛⎭⎫54n ＋5⎝⎛⎭⎫45n－7>0.设⎝⎛⎭⎫45n＝x ,代入上式得5x 2－7x ＋2>0,根据二次函数y ＝5x 2－7x ＋2的图像解此不等式, 得x <25或x >1(舍去),即⎝⎛⎭⎫45n <25,由此得n ≥5.故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．规律方法 当问题中涉及的各量依次以相同的倍数变化时,则考虑构建等比数列模型．其解题步骤为：(1)由题意构建等比数列模型(有时需要从特殊情况入手,归纳总结出一般规律,进而构建等比数列模型)；(2)确定其首项a 1与公比q ,分清是求第n 项a n ,还是求前n 项和S n ； (3)利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解； (4)经过检验得出实际问题的答案．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑,其中甲商品因供不应求,连续两次提价10%,而乙商品由于外观过时而滞销,只得连续两次降价10%,最后甲、乙两种电脑均以9 801元售出．若商场同时售出甲、乙电脑各一台,与价格不升不降比较,商场赢利情况是少赚598元．解析：设甲原价是m 元,则m (1＋10%)2＝9 801⇒m ＝9 8011.21,设乙原价是n 元,则n (1－10%)2＝9 801⇒n ＝9 8010.81.(m ＋n )－2×9 801＝9 801×⎝⎛⎭⎫11.21＋10.81－19 602＝9 801× 2.021.21×0.81－19 602＝20 200－19 602＝598.——多维探究系列——数列中的探索性问题探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,要求考生自己去探索,结合已知条件,进行观察、分析、比较和概括．它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高的要求．这类问题不仅考查考生的探索能力,而且给考生提供了创新思维的空间,所以备受高考的青睐,是高考重点考查的内容．探索性问题一般可以分为：条件探索性问题、规律探索性问题、结论探索性问题、存在探索性问题等．【例5】 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ,使得S n ≥2 013？若存在,求出符合条件的所有n 的集合；若不存在,说明理由．【思路分析】 (1)根据已知条件得出关于a 1,q 的方程组,求解即可；(2)只需表示出前n 项和,解指数不等式．【规范解答】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ,则a 1≠0,q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ,使得S n ≥2 013,则1－(－2)n ≥2 013, 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时,(－2)n >0,上式不成立；当n 为奇数时,(－2)n ＝－2n ≤－2 012,即2n ≥2 012,则n ≥11.综上,存在符合条件的正整数n ,且n 的集合为{n |n ＝2k ＋1,k ∈N ,k ≥5}．【名师点评】 求解此类题需要同学们熟练运用公式和相关概念来构建方程(组),进而求得数列的通项．本例题的难点在于对不等式2n ≥2 012的求解及对n 的奇偶性的讨论．建议熟记2的1～10次幂的值．已知数列{a n }中,a 1＝1,且点P (a n ,a n ＋1)(n ∈N ＋)在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n,S n 表示数列{b n }的前n 项和,试问：是否存在关于n 的关系式g (n ),使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在,写出g (n )的解析式,并加以证明；若不存在,试说明理由．解：(1)由点P (a n ,a n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上, 即a n ＋1－a n ＝1,且a 1＝1,即数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列． 则a n ＝1＋(n －1)×1＝n (n ∈N ＋)．(2)假设存在满足条件的g (n ), 由b n ＝1n ,可得S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ,S n －S n －1＝1n (n ≥2),nS n －(n －1)S n －1＝S n －1＋1, (n －1)S n －1－(n －2)S n －2＝S n －2＋1, …2S 2－S 1＝S 1＋1.以上(n －1)个等式等号两端分别相加得 nS n －S 1＝S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＋n －1,即S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝nS n －n ＝n (S n －1),n ≥2.令g (n )＝n ,故存在关于n 的关系式g (n )＝n ,使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立．一、选择题1．有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( B )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟解析：依题意,得1＋21＋22＋…＋2n －1≥100, ∴1－2n 1－2≥100,∴2n ≥101,∴n ≥7, 则所求为7秒钟．2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米,木材以每年25%的增长率生长,而每年末都砍伐固定的木材量x 立方米,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x 的值是( C )A.S 32B.S 34C.S 36D.S 38解析：一次砍伐后木材的存量为S (1＋25%)－x ； 二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x ＝2516S －54x －x ＝S (1＋50%),解得x ＝S 36. 3．某工厂2013年年底制订生产计划,要使工厂的年总产值到2023年年底在原有基础上翻两番,则年总产值的平均增长率为( A )A ．4110－1B ．5110－1C ．3110－1D ．4111－1二、填空题4．一个工厂的生产总值月平均增长率是p ,那么年平均增长率为(1＋p )12－1.解析：一年12个月,故1月至12月产值构成公比为1＋p 的等比数列,设去年年底产值为a ,∴a 12＝a (1＋p )12,∴年平均增长率为a (1＋p )12－aa＝(1＋p )12－1.5．今年,某公司投入资金500万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年投入资金比上一年增加30%,那么7年后该公司共投入资金5 0003(1.37－1)万元．解析：设第n 年投入的资金为a n 万元, 则a n ＋1＝a n ＋a n ×30%＝1.3a n ,则a n ＋1a n＝1.3,所以数列{a n }是首项为500,公比为1.3的等比数列,所以7年后该公司共投入资金S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝500×(1－1.37)1－1.3＝5 0003(1.37－1)(万元)．。
数列在日常经济生活中的应用
2
A6 A4 1 0.008 x [[[[ 5000 1 0.008 1.008 x 1.008 x x
6 4 2
由题意年底还清,所以 A12 0 解得:
x
5000 1.008
2 4
12 10
1 1.008 1.008 1.008
顾 说 客 在 明 从 ： 表 中 1选 择 ： 选 分 择 期 付 付 款 款 方 中 案 规 时 定 ， 每 需 期 要 所 知 付 道 款 几 额 相 种 同 方 。 案 中
探究：采用方案 2，每期应付款多少，总共应付款多少。
（法一）：各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的 利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利 息之和。
2 每 ： 期 每 应 月 付 利 款 息 多 按 少 复 ， 利 总 计 共 算 应 方案 分几次 每期所 付 款 与一次性 ， 付款方法 例如：月利率为 0.8%，款额 a元 付 类别 付清 付款额 总额 付款差额 是 款 指 购买后 4 个月第 1 次付款，再 过 1 个月就增值为 多 上 1 3次 过 4 个月第 2 次付款，再过 4 少 月 个月第 3 次付款。 a(1+0.008)=1.008a（元） 利 ， 息 购买后 2 个月第 1 次付款，再 这 要 2 再过1个月又增值为：（经过2个月） 6次 样 过 2 个月第 2 次付款，……购 计 才 买后 12 个月第 6 次付款。 2a（元） 入 便 购买后 1 1.008a(1+0.008)=1.008 个月第 1 次付款，过 下 于 3 12 次 1 个月第 2 次付款，……购买 月 比 …… 本 后 12 个月第 12 次付款。 较 na（元） 金 经过n个月就增值为: 1.008 注 规定月利率为 0.8%，每月利息按复利计算。 。 。
数列在日常经济生活中的应用
跟踪训练3 解：（1）设林区原有的树木量为a，调整计划后， 第n年的树木量为an (n = 1,2,3, L), 则a1 = a (1 + 200 0 0 ) = 3a, a2 = a1 (1 + 100 0 0 ) = 2a1 = 6a, 1 a3 = a2 (1 + ) = 2 1 a4 = a3 (1 + ) = 4 3 a2 = 9a, 2 5 45 a3 = a. 4 4
例1、购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次 付款数组成数列{an }, 则a1 = 2 + (25 − 5) ⋅10 0 0 = （万元）； 4 a2 = 2 + (25 − 5 − 2) ⋅10 0 0 = 3.8(万元） a3 = 2 + (25 − 5 − 2 × 2) ⋅10 0 0 = 3.6(万元） LL， n −1 an = 2 + [25 − 5 − (n − 1) ⋅ 2]⋅10 0 = (4 − )(万元）n = 1,2, L,10) ( 5 1 因而数列{an }是首项为4，公差为 - 的等差数列. 5 5 −1 a5 = 4 − = 3.2(万元） . 5 1 10 × (10 − 1) × (− ) 5 = 31(万元) S10 = 10 × 4 + 2 31 + 5 = 36(万元），
例2、设每年应付款x元，那么到最后一次付款时 （即购房十年后）， 第一年付款及所生利息之和为x ×1.075 元，
9
第二年付款及所生利息之和为x ×1.0758 元， L 第九年付款及所生利息之和为x ×1.075元， 第十年付款为x元，而所购房余款的现价及
] 其利息之和为[1000 × 92 （28800 + 14400）×1.07510 （元） = 48800 ×1.07510 因此有x(1 + 1.075 + 1.0752 + L + 1.0759 ) = 48800 ×1.07510 , 1.075 − 1 ≈ 48800 × 2.061× 0.071 ∴ x = 48800 ×1.075 × 10 1.075 − 1 ≈ 7141(元） .故每年需交款7141元。
数列在日常经济生活中的应用(课堂PPT)
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月, 试 推导出到期整取是本利和的公式:
第一个月存入的x元,到期利息为: x•r•n 元
第二个月存入的x元,到期利息为: x•r•（n-1）元
第三个月存入的x元,到期利息为: x•r•（n-2）元
……
……
第n个月存入的x元,到期利息为: x•r•1 元. 本金为 n•x 元
1
……1000英磅赠给波士顿的居民，如果他 们接受了这一千英磅，那么这笔钱应该托
付给由选举出来的公民组成的基金会，基 金会得把这笔钱按每年5%的利率借给一些 年轻的手工业者去生息.这笔钱过了100年 增加到131000英磅.我希望，那时候用 100000英磅来建立一所公共建筑物，剩下 的31000英磅拿去继续生息100年.在第二个 100年末了，这笔款增加到4061000英磅， 其中1061000英磅还是由波士顿的基金会支 配，而其余的3000000英磅让马萨诸州组成 同样的基金会来管理.过此之后，我可不敢 多作主张了！”
1. 现有10万元,如果存一年,有多少钱? 100000 ×(1+3.00%)=103000
2. 10万元钱,如果存两年,又有多少钱? 存期的选择
3. 如果选择存一年期,但到期忘了取出,5年后 才去取,你猜银行会如何处理?
自动转存
14
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
定期自动转存模型: 客户存款到期后，客户如不前往银行办理转存手
某人选择存期为1年的“零存整取”需到银行存款几次12次 ()
某人选择存期为3年的“零存整取”需到银行存款几次36次 ()
8
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
第一部分第一章§4数列在日常经济生活中的应用
1．等差、等比数列的应用题常见于：产量增减 、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方 面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知 识解决问题．
2．将实际问题转化为数列问题时应注意：(1)分 清是等差数列还是等比数列；(2)分清是求an还是求Sn ，特别要准确确定项数n；(3)前后项关系的发现是数 列建模的重要方式．
[一点通] 分期付款是一种常见的付款方式，与 存款中的“零存整取”，都属于等差数列模型．解题的 关键是确定首项、公差、项数．
1．某人从1月起每月第一天存入100元，到12月最后一 天取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按 单利计息，那么实际取出多少钱？ 解：实际取出的钱等于：本金＋利息． 到12月最后一天取款时： 第一个月存款利息：100×12×0.165% 第二个月存款利息：100×11×0.165% …
1．零存整取模型 所谓零存整取，是指开户时约定存期，分次每月固 定存款金额，到期一次支取本利和的一种个人存款． 对于零存整取，在计算利息时，每次存入的钱不计 复利．这种储蓄业务按单利利息．每期的本利和组成等 差数列，它就是等差数列模型．
2．定期自动转存模型 所谓定期自动转存，是指储户与银行约定在存款到期日 自动将本利和按原存期转入下一个存款周期，定期自动转存 业务，在计算利息时，以复利计算，是等比数列模型． 3．分期付款模型： 分期付款是一种新的付款方式，就是可以不一次性将款 付清，就使用商品(或贷款)，还款时可以分期将款逐步还清 ．
[例2] 某大学张教授年初向银行贷款20万元用于 购房，银行贷款的年利息为10%，按复利计算(即本年 的利息计入次年的本金生息)．若这笔款要分10次等额 还清，每年年初还一次，并且在贷款后次年年初开始归 还，问每年应还多少万元？(参考数据1.110≈2.594)
《数列在日常经济生活中的应用》
100×12 + 0.5×12×13×0.165%×100
= 1212.87（元 ） 答：他可取出1212.87元。
一般地,设每月月初存入银行金额A,连存 n 次,每月的利率 都是 p , 那么到第 n 个月月末
本金共有：
各月的利息是
___ 差 数 列
期 次
1 2 …
0.36% 则日利率： 0.001% 360
计息公式：利息=本金×存期×日利率
整存整取定期储蓄
这是指一次存入本金,完成约定存期后一次取出本金 及其利息的一种储蓄。中国邮政银行在近期内规定的这 种储蓄的年利率如下.
存
期
1年
2.25
2年
2.79
3年
3.33
5年
3.6
年利率(%)
计息公式：利息=本金×存期×年利率
整存整取 年利率
分期储蓄
这是指一种分期存入相同金额一次取出的 储蓄方式（即零存整取的储蓄）。现在的 分期储蓄通常指按月存入相同金额。
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例1、某人从一月起，每月第一天存入银行 100元，到12月最后一天取出全部本金及其利 息。已知月利率是0.165%，他可取得多少钱? 解：实际取出 ：
数 列 在日常经济生活中的应用
储 蓄 问 题
计息公式：利息=本金×存期×利率
月利率=年利率/12 日利率=年利率/360
本 利 和= 本 金 + 利 息
活期储蓄
这是指存期不定,可以随时存取的一种储蓄。计息时, 按日利率算存期为天数（一年按360天，一个月按30天 计算）。 若活期年利率：0.36 %
数列在日常经济生活中的应用
元；第 2 期付款以及到最后一次付款时所生利息为 x(1＋0.008)10 元；……；第 12 期付款(无
利息)为 x 元，所以各期付款连同利息之和为 x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x＝
11.0.0008812－－11x(元)．
又所购电器的现价及其利息之和为
2000×1.00812
元
，
于
是
有
1.00812－1 1.008－1
x
＝
2000×1.00812. 解得 x＝116.0×081.102－08112≈175(元)．即每期应付款 175 元．
递推关系型数列应用题 【例 3】 某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d(d>0)，因此，历年所交纳的储备金数目 a1，a2，… 是一个公差为 d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而 且计算复利．这就是说，如果固定年利率为 r(r>0)，那么，在第 n 年末，第一年所交纳的储 备金就变为 a1(1＋r)n－1，第二年所交纳的储备金就变为 a2(1＋r)n－2，…，以 Tn 表示到第 n 年 末所累计的储备金总额． (1)写出 Tn 与 Tn－1(n≥2)的递推关系式； (2)求证：Tn＝An＋Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列．
链接一：等差数列{an}的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 或 an＝am＋(n－m)d；前 n 项和公式 Sn＝a1n＋nn－2 1d 或 Sn＝na1＋ 2 an.
链接二：等比数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1 或 an＝amqn－m；当 q＝1 时，前 n 项和 Sn ＝na1，当 q≠1 时，前 n 项和 Sn＝a111－－qqn或 Sn＝a11－－aqnq.
数列在日常经济生活中的应用
数列在日常经济生活中的应用【学习目标】1.了解数列在“零存整取”“定期自动转存”等经济活动中的应用；2.能在具体的问题情境中，发现并建立等差数列或等比数列这两种数学模型，解决一些实际问题.【学习重点】分析“零存整取”“定期自动转存”分别是那种数列的模型【学习难点】将实际问题转化为数学问题，即数学的建模过程【课前预习案】1.单利的计算是，对本金所产生的利息计算利息；其公式为：利息= 。
其中以符号P代表，n代表，r代表，S代表，简称，则有：。
2.复利是把，在计算时。
复利的计算公式是：。
其中以符号P代表，n代表，r代表，S代表，简称。
【课堂探究案】探究一：等差数列模型应用例1：李刚从2011年1月开始，用零存整取的方式每月在10日发工资时存入银行200元，按银行规定，这种储蓄用单利计算利息，年利率为1.98%，且在取息时需扣除20%的利息税，则到2012年1月10日，李刚由这些存款可以到银行取出多少钱？探究二：等比数列模型应用2.李刚在2011年1月存入10万元定期存款，存期一年，年利率为3.25%，那么10年后李刚可以从银行取出本利和共多少钱？【课后检测案】1. 李明同学今年高三，在高一入学时，经过父母同意，即在1999年9月开始每月存入200元的零存整取教育基金储蓄，问李明毕业后上大学时（即2002年9月），他在银行的存款是多少？（年利率为2.16%）2. 某人为了观看2010年南非足球世界杯，从2006年起，每年的5月1日到银行存入a 元的定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2010年的5月1日将所有的存款及利息全部取出，则可取出多少钱？3. 某地现有耕地面积10000公顷，计划10年后粮食单产比现在提高22%，人均粮食占有量比现在提高10%。
如果人口的年增长率为1%，那么平均每年最多只能减少耕地面积多少公顷（精确到1公顷）？(注：粮食单产=，人均粮食占有量=) 4. 若购买一件售价为10000元的商品，要求在6个月内将款全部还清，月利息为0.8%，⑴ 分三期付款，那么每期付款多少元？⑵ 分六期付款，那么每期付款多少元？⑶ 分十二期付款，那么每期付款多少元？ 耕地面积总产量总人口数总产量。
高一数学中的数列在实际问题中的应用有哪些
高一数学中的数列在实际问题中的应用有哪些在高一数学的学习中，数列作为一个重要的知识板块，不仅在数学理论中具有重要地位，还在实际生活中有着广泛的应用。
通过数列，我们可以更好地理解和解决许多现实世界中的问题，从经济领域的投资和贷款计算，到自然科学中的生物繁殖和放射性物质衰变，再到日常生活中的排队和资源分配等。
接下来，让我们深入探讨一下高一数学中数列在实际问题中的具体应用。
一、经济领域1、储蓄与利息计算在银行储蓄中，常常会涉及到利息的计算。
假设我们将一笔本金 P存入银行，年利率为 r，存期为 n 年。
如果按照单利计算，到期后的本息和 A 可以用数列公式表示为：A ＝ P(1 ＋ nr) ；而如果按照复利计算，到期后的本息和 A 则为：A ＝ P(1 ＋ r)＾n 。
通过这样的数列公式，我们可以清楚地计算出不同储蓄方式下的最终收益，帮助我们做出更明智的理财决策。
2、分期付款在购买一些价格较高的商品时，如汽车、房屋等，我们可能会选择分期付款。
假设购买一件价格为 P 的商品，分 n 期付款，每期利率为 r。
每期的还款金额可以通过数列计算得出，从而帮助我们规划好每月的财务支出，避免逾期还款和额外的利息费用。
3、投资回报在投资领域，数列也发挥着重要作用。
例如，我们投资一项每年回报率为 r 的项目，初始投资为 P，经过 n 年后的投资总额可以用数列公式计算。
通过对不同投资项目的回报进行数列分析，我们可以评估其风险和收益，选择最适合自己的投资组合。
二、科学研究1、生物繁殖在生物学中，许多生物的繁殖现象可以用数列来描述。
比如，某种细菌每小时繁殖的数量是前一小时的 2 倍，如果初始时有 x 个细菌，经过 n 小时后的细菌数量就是一个等比数列。
通过数列的计算，我们可以预测生物种群的增长趋势，为生态保护和资源管理提供重要依据。
2、放射性物质衰变放射性物质的衰变过程也符合数列规律。
假设某种放射性物质的半衰期为 T，初始质量为 M，经过 n 个半衰期后的剩余质量可以用数列公式表示为：M(1/2)＾（n/T) 。
数列知识在日常生活中的应用例谈
数列知识在日常生活中的应用例谈数列知识有着广泛的应用，如生物种群数量变化，银行中的利息计算，人口增长，粮食增长、住房建设等等问题，都会用到高中的数列知识。
本文举例说明，有助于学生认识和理解数列知识。
例1：在植物组织培养过程中，某细胞在培养基中按照1个分裂为2个，2个分裂为4个，依次分裂下去进行增加，而且每15分钟分裂一次。
那么，1小时后，这种细胞会增加到多少个？解析：这是生物学上的一个比较常见的问题（细菌的分裂已是如此）。
应用数列知识我们很快就会求得。
显然，a1＝2，q＝2，n＝4，那么a4＝a1 ×qn-1＝2×23=16（个）例2：某房地产公司推出的售房有两套方案：一种是分期付款的方案，当年要求买房户首付3万元，然后从第二年起连续十年，每年付款8000元；另一种方案是一次性付款，优惠价为9万元，若一买房户有现金9万元可以用于购房，又考虑到另有一项投资年收益率为5%，他该采用哪种方案购房更合算？请说明理由．(参考数据1.059≈1.551，1.0510≈1.628)解析：如果分期付款，到第十一年付清后看其是否有结余，设首次付款后第n年的结余数为an，∵a1=(9－3)×(1＋0.5%)－0.8=6×1.05－0.8a2=(6×1.05－0.8)×1.05－0.8=6×1.052－0.8×(1＋1.05)……a10=6×1.0510－0.8(1＋1.05＋…＋1.059)=6×1.0510－0.8×=6×1.0510－16×(1.0510－1)=16－10×1.0510≈16－16.28=－0.28(万元)所以一次性付款合算．例3：假如某市2010年新建住房面积为4000平方米，其中，250平方米为中低价房，预计在今后若干年内该市每年新建住房面积平均不上一年增长8%，加50平方米，问到哪一年底该市历年新建的中低价房的累计面积将首次不少于4750平方米？解析：设中低价房的面积构成数列{ an},由题意可以知道，an 为等差数列，a1=250，d=50sn =250×n +[n(n-1)/2] ×50=25n2 +225n令25n2 +225n≥4750，解之得到：n≥10或者n≤-19（不符合题意，舍去）由此可知，要到2020年底该市历年新建的中低价房的累计面积将首次不少于4750平方米。
高中数学同步教学 数列在日常经济生活中的应用
= 390, 解得d=
16
,
29
∴a14+a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+a1+15d+a1+16d
=4a1+58d=4×5+58×
答案:B
16
29
= 52. 故选B.
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题型一
题型二
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
C.8秒 D.9秒
1-2
1
2
n-1
解析:依题意,得1+2 +2 +…+2 ≥100, 即
≥100,
1-2
整理得2n≥101.故n≥7,
则所求为7秒钟.
答案:B
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Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做2】 在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果
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Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
数列在日常经济生活中的应用
1.等差数列和等比数列是日常经济生活中的重要数学模型.
2.数列应用题常见模型:
(1)银行储蓄单利公式:
利息按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和
y=a(1+xr).
利润f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.
浅析数列在日常生活中的应用
浅析数列在日常生活中的应用在实际生活和经济活动中, 很多问题都与数列密切相关.如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析,从而予以解决. 与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用. 数学家华罗庚曾经说过:"宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日用之繁,无处不用数学. " 这是对数学与生活关系的精彩描述. 下面笔者将举几个生活中的小例子来浅谈一下数列在日常生活中的运用.一、在生产生活中在给各种产品的尺寸划分级别时, 当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时, 常按照等差数列进行分级. 若为等差数列, 且有an=m,am=n. 则a(m+n)=0.其实等差数列生活中处处可见, 关键是发现它, 并用以解决实际问题. 在路灯的排列、银行的按揭贷款、银行的利息结算等等.例如1 台电脑售价为1 万元, 如果采取分期付款, 在1 年内将款全部还清的前提下,商家还提供下表所示的几种付款方案(月利率为1%). 假定你的父母为给你创建更好的学习条件,打算买台电脑,除一次性付款外商家还提供三种分期付款方式. 你能帮他们参谋选择一下吗?方案分几次付清付款方法每期所付款额方案1.分6 次付清. 购买后2 个月第1次付款, 再过2 个月第2 次付款……购买后12 个月第6 次付款方案2.分12 次付清. 购买后1 个月第1次付款, 再过1 个月第2 次付款……购买后12 个月第12 次付款方案3.分3 次付清. 购买后4 个月第1次付款,再过4 个月第2 次付款,再过4 个月第3 次付款分析:思路1: 本题可通过逐月计算欠款来处理,根据题意,到期还清即第12 个月的欠款数为0 元.设每次应付x 元,则:二、细胞分裂中的数列自然界是由许许多多的细胞组成的,细胞分裂产生新的生命, 人的孕育也是由细胞分裂开始的. 以某种细胞为例我们一起来分析一下细胞是如何分裂的.某种细胞每过30 分钟便由 1 个分裂成 2 个,经过 5 小时,这种细胞由 1 个分裂成几个?经过N 小时,细胞由1 个能分裂成几个?该细胞分裂数是公比为2 的等比数列方式增加.显然不用减去那最初的一个母细胞了,因为题目问的是:"经过5 小时, 这种细胞由一个分裂成几个,"当然是1024 了,又不是问由一个分裂"出"几个,那就要减去最初的母细胞了.显然N 时后,该细胞会由一个分裂"成"2(k-1)个(k为自然数,k=2N+1)即:N 时后,会有22N个细胞,(其中N 表示整时,单位为时,N=0,1,2,3,……)因此,经过N 时后,细胞由一个分裂成22N个(N=0,1,2,3,…)三、爬楼梯小明同学在小的时候喜欢爬楼梯, 不为什么,只是觉得这种阶梯状的建筑非常好玩,等到他长大了,可以一次跨上一级,也可以跨两级,所以,他想知道,有多少种不同的上到楼梯顶端的方案.首先假设楼梯只有一级,那么小明只有一种爬法;如果有 2 级,那么小明可以一级一级地往上爬,也可以一次就上两级,用算式表示为1+1 或2, 说明他上 2 级楼梯有 2 种不同的爬法;如果有 3 级,小明的第一步可以上一级,也可以上二级. 如果上一级,那么还剩下 2 级, 上面已经讨论过了有 2 种不同的爬法;如果上二级,那么还剩下 1 级,上面也已经讨论过了,只有 1 种爬法;合计起来就有2+1=3 种不同的爬法. 有算式表示为3=1+2(2 种不同的爬法)=2+1(1 种不同的爬法);如果有4 级,小明的第一步可以上一级,也可以上二级. 如果上一级, 那么还剩下3级,上面已经讨论过了有3 种不同的爬法;如果上二级,那么还剩下 2 级,上面也已经讨论过了,有 2 种不同的爬法;合计起来就有3+2=5 种不同的爬法. 用算式表示为4=1+3(3种不同的爬法)=2+2(2 种不同的爬法);……照这样推下去, 可以得一串斐波那契数列:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,……由此可知,爬上有10 级台阶的楼梯,一共有89 种不同的爬法.随着科学的进步,数学学科在我们的生活中扮演着一个不可忽视的重要角色,作为跨世纪的中学生, 我们不仅要学会数学知识,而且要会应用数学知识去分析、解决生活中遇到的问题,这样才能更好地适应社会的发展和需要. 数学既不严峻,也不遥远,它既和所有的人类活动有关,又对每一个真正感兴趣的人有益. 数学研究、科学研究从身边的活动做起. 让我们从一个小小的数列开始,多思考,找规律,相信任何问题都可以迎刃而解的.。
1.4数列在日常经济生活中的应用（讲义+典型例题+小练）（原卷版）
1.4数列在日常经济生活中的应用（讲义+典型例题+小练）一、例述数列在生活中的应用数学不仅仅是我们生活中的工具，更大程度上是我们生活中的必需品，并影响着人们的生活。
以生活中的一个常见问题为例：例1：1．为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n=）.次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是n a毫克，（即1a mm=，求2a､3a；(1)已知12(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值.举一反三：1．顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0.5％.按复利计算，该顾客每月应付款多少元（精确到1元）？二、银行储蓄与分期付款中的数列应用储蓄与贷款与国计民生、社会生活发展息息相关，大到支援国家建设，小到个人家庭的财政支出管理，处处都嵌套着数列的应用。
在人们日常的生活规划中，为未来进行资金储备的零存整取的存储模式是银行储蓄中常见的一种金融计算方式。
下面将以某一常见模式为例，进行数列在储蓄领域应用的解析。
（1）储蓄业务种类①活期储蓄②定期储蓄（整存整取定期储蓄、零存整取定期储蓄、整存零取定期储蓄、存本取息定期储蓄、定活两便储蓄）③教育储蓄④个人通知存款⑤单位协定存款（2）银行存款计息方式：①单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为：利息=本金×利率×存期以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有②复利把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是（3）零存整取模型例1：1．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元.如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样的还款总额记为y元.则y-x的值为（）(参考数据：1.01512≈1.2)A．0B．1200C．1030D．9002.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取是本利和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?(3)若每月初存入一定金额,月利率为0.3%,希望到第12个月末整取时取得本利和2000元.那么每月初应存入的金额是多少?举一反三：1．某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（）A．()()1010111M mm++-B．()101Mmm+C．()()1010111Mm mm++-D．()()1010111Mm mm+++2.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.银行按国家规定到期扣除20﹪的利息税(应纳税额=应纳税利息额×税率).(1)若每月存入金额为x 元,月利率r 保持不变,存期为n 个月,试推导出到期整取时本利和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?三、 环境资源利用中的数列应用进入21世纪以来，能源的短缺成为困扰人类社会发展的主要问题之一，尤其是不可再生资源的合理有效利用问题，更是人类社会进一步发展需要解决的首要问题。
数列在实际生活中的应用探究
数列在实际生活中的应用探究摘要：自古以来就有利用数学研究实际生活当中的问题的例子，数学与人们的实际生活息息相关，取之于生活并应用于生活。
数列是数学研究中的一个重要分支，在实际生活当中银行存款利息的计算或是各种理财基金利息的计算都有着广泛的应用，具有不可忽视的重要作用。
将数学理论知识应用到实际生活当中是数学理论与实践相结合的重要体现与重大突破。
因此，本文主要探究数列在实际生活当中的应用以期激发中职学生数列相关知识的学习的兴趣和积极性。
关键词：数列；实际生活应用；数列的研究与计算和社会经济生活、资源生活等多方面有着重要的联系，这使得对于数列的研究热情异常高涨。
并且数列灵活多变的计算和趣味横生的问题也使得越来越多的人关注到数列在实际生活当中的应用研究。
因此，本文主要从数列在实际生活当中的应用探讨出发，达到提高学生对数列学习的兴趣和在生活中应用熟练解决问题的能力的目的，使学生能够做到“学以致用”，提高中职学生对数列的理解和掌握。
一、数列在实际经济生活中的应用数列知识可以用来解决实际生活当中较为普遍的很多问题，等差数列和等比数列是数列知识当中最基础、最常见的两种数列，在解决一些关于利息的计算时常常会运用到等比数列的相关知识。
利用等比数列进行分析能够使银行存款过程当中的存款利益实现最大化。
通过探讨数列在实际生活当中的运用逐步培养学生在实际生活当中运用数学的眼光去看待问题、思考问题，并解决问题的思维模式，从根本上拉近学生和数学的距离。
【1】例如（1）银行利息单利的计算：如果本金为元，每期利率为，我们将利息和本息按照其数排列成数列，第一期期末的利息和本金的和为，第二期期末的利息和本金之和为，第三期期末的利息和本金的和为，第n期的利息和本金的和为，通过上述的方式在单利的计算当中将利息和本息的和构成了一个公差为的等差数列，这样求解起来就能够加清晰明了。
（2）银行利息复利的计算：若本金依然为元，每期利率为，我们将梅西的利息和本金之和按期数排城等比数列，第一期期末的本金和利息之和为，第二期期末的本金和利息之和为，第三期期末的本金和利息之和为，第期期末的本金和利息之和为，在这个计算当中将利息的复利计算看作是一个等比数列计算就能够更加快速地算出利息，等差数列和等比数列在经济生活当中，对于利息的计算这类问题的应用非常广泛。
数列在日常经济生活中的应用
濉溪二中2012-2013学年导学案课题：数列在日常经济生活中的应用编制人：姚林审核人：肖亚(1)学习目标1. 了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．2. 能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.3、通过具体的问题情境，发现并建立数学模型，会利用它解决一些存款计息问题，感受数列的广泛应用.（2）预备知识①温故知新：等差数列及等比数列定义、通项公式和前n项和公式同学们，你们经历过存款吗？你们知道储蓄有哪些业务种类？存款有利息吗？（3）导学问题。
1．常见储蓄及利息的计算方法（1）银行存款计息方式有两种：单利和复利，它们分别以________和_______为数学模型（2）单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息。
以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，则有_________________（3）复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是_____________2．三种应用模型（1）零存整取储蓄每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，税率为q，则到第n期末时，应得到全部利息为： ________________（2）定期自动转存模型银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务，第二年的本金就是第一年的本利和.（3）分期付款问题贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款款额为： _______________________.（4）应用练习探究一:等差数列模型例1、某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并 加付欠款利息，月利率为1％。
数列在日常经济生活中的应用
增长率公式：C A(1+ x )n
A表示第一年的量，C表示n年后的量，x表示年增长率。
某人选择存期为1年的“零存整取”,若每月存入金额为100 元,月利率0.3%保持不变,到期能取出多少钱? 第一月存入的100元到期有多少利息? 到期为: 100× 0.3%× 12=3.6 第二月存入的100元到期有多少利息? 到期为: 100× 0.3%× 11=3.3
你会如何选择呢？
如果你有1000元钱存入 银行，年利率为1%， 一年后你有多少钱？ 二年后呢？ …… Nhomakorabea年后呢？
这与利息的计算方式有关！
1、单利：单利的计算是仅在原有本金上 计算利息，对本金所产生的利息不再计算 利息．以符号P代表本金，n代表存期，r 代表利率，S代表本金与利息和，则有
S = p(1+nr)
• 1．某钢厂的年产值由1998年的40万吨，增加 到2008年的50万吨，经历了10年的时间，如果 按此年增长率计算，该钢厂2018年的年产值将 接近( ) • A．60万吨 B．61万吨 • C．62.5万吨 D．63.5万吨
解析： 设年增长率为 x，则 2008 年为： 5 40(1＋x) ＝50，则(1＋x) ＝4.
3．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增 长率为b,2010年产生的垃圾量为a吨，由此预 测，该区2011年的垃圾量为______吨，2015 年的垃圾量为______吨. 解析：由于2010年的垃圾量为a吨，年增 长率为b，故下一年的垃圾量为 a＋ab＝a(1＋b) 吨， 同理可知2012年垃圾量为 a(1＋b)2 吨，„， 2015年的垃圾量为a(1＋b)5 吨. 答案： a(1＋b) a(1＋b)5
第一章 第四节 数列在日常经济生活中的应用
第四节 数列在日常经济生活中的应用1．某储蓄所计划从2004年起，力争做到每年的吸蓄量比前一年增加8％，则到2007年底该蓄所的吸蓄量比2004年的吸蓄量增加（ ）A ．24%B ．32%C ．（308.1－1）100％D ．（408.1－1）100％2．某工厂1996年至19999年的产量和为100吨，1998年至2001年的产量和为121吨，则该工厂1996年至2001年的年平均增长率为（ ）A ．10%B ．21%C ．7％D ．14％3．在2000年至2003年期间，甲每年6月1日都到银行存入m 元的一年定期储蓄，若年利率为q 保持不变，且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期，到2004年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（ ）A 、4)1(q m +元B 、5)1(q m +元C 、q q q m )]1()1[(4+-+元D 、qq q m )]1()1[(5+-+元 4．本金3000元，每月复利一次，一年后得到本利和3380元，月利率是_______．5．用分期付款的方式购买某家用电器，其价格为l150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为l%，若交付150元后的第一个月开始算分期付款，全部欠款付清后，买这件家电实际付钱多少元？6．某地现有居民住房的面积为a ㎡，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．（1）如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积r 是多少（可取6.21.110≈）？（2）过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少（保留到小数点后第1位）？7、某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为（ ）A 、pB 、12pC 、12)1(p +D 、1)1(12-+p8、某种产品计划每年降低成本%q ，若三年后的成本是a 元，则现在的成本是 。
拓展资料数列在生活中的应用
数列在生活中的应用
在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列紧密相关。
如分期付款、个人投资理财和人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。
与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用! 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。
这是对数学与生活关系的出色描述。
第一, 我重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。
（一）按揭货款中的数列问题
随着中央推行踊跃的财政政策，购买房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增加。
众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。
那个等额数是如何得来的，另外假设干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。
下面就来寻求这一问题的解决方法。
假设贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每一个月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有:
a1=a0(1+p)-a,
a2=a1(1+p)-a,
a3=a2(1+p)-a,
......
an+1=an(1+p)-a,.........................(*)
将（*）变形，得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p.
由此可见，{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项，1+p为公比的等比数列。
日常生活中一切有关按揭货款的问题，都可依照此式计算。
（二）有关数列的其他经济应用问题。
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2.60
2.80
3.00 2.60 2.60
3.90
4.50 2.80 2.80
5.00 3.00 3.00
存本取息 一天通知
0.85
2.80 3.00 七天通知
1.39
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
问题2 “零存整取”是怎么回事? 规定: 每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存; 到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.
1. 现有10万元,如果存一年,有多少钱? 100000 ×(1+3.00%)=103000
2. 10万元钱,如果存两年,又有多少钱? 存期的选择
3. 如果选择存一年期,但到期忘了取出,5年后 才去取,你猜银行会如何处理?
自动转存
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
定期自动转存模型: 客户存款到期后，客户如不前往银行办理转存手
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月, 试 推导出到期整取是本利和的公式:
第一个月存入的x元,到期利息为: x•r•n 元
第二个月存入的x元,到期利息为: x•r•（n-1）元
第三个月存入的x元,到期利息为: x•r•（n-2）元
……
……
第n个月存入的x元,到期利息为: x•r•1 元.
0.85
4.50 5.00 2.80 3.00 2.80 3.00 2.80 3.00 七天通知
1.39
你知道银行存款的利息是怎么计算吗?
§4 数列在日常经济生活中的应用（一） 银行存款计息方式：
• 单利: 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所 产生的利息不再计算利息.
利息=本金×利率×存期 以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利 息和(以下简称本利和),则有
S=P(1+n•r)
§4 数列在日常经济生活中的应用（一） 问题
如果你有1000元钱存入银行 一个月后有多少钱? 二个月后呢?
这与存款的方式有关
§4 数列在日常经济生活中的应用（一） 最新农业银行存款利率表（更新日期：2016-2-9）年利率（%）
三个月 半年 一年 二年 三年 五年
整存整取 零存整取 整存零取
数列在日常经济生活中 的应用
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
最新农业银行存款利率表（更新日期：2016-2-9） 年利率（%） 三个月 半年 一年 二年 三年 五年
整存整取 零存整取 整存零取 存本取息
其他
利率
2.60 2.80
利率
活期 0.4
3.00 3.90 2.60 2.60 2.60 一天通知
如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r， 连存n年后，你能求出储户n年后所得本利和的公式吗?
1年后储户的本利和为多少? S1 P(1 r)1
2年后储户的本利和为多少? S2 P(1 r)2
3年后储户的本利和为多少? ……
S3 P(1 r)3
……
n年后储户的本利和为多少? Sn P(1 r)n
续，银行可自动将到期的存款本息按相同存期一并 转存 .
复利: 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计 算时每一期本金的数额是不同的.
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
如果储户存入定期为1年的10万元存款，定期年利 率为3%，连存5年后，试求出储户5年后所得本利和 (暂不考虑利息税)
问: 1年后储户的本利和为多少?
本金为 n•x 元
S n x x rn (n 1) 1
n x x r n(n 1) 2
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
试解决下列“零存整取”问题（只列式，不计 算）1.若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月 末整取时的本利和是多少?
S 36500 500 0.3% 36(36 1) 2
2.若每月初存入一定金额,月利率为0.3%,希望到 第12个月末整取时取得本利和2000元.那么每月初应 存入的金额是多少?
2000 12x 0.3% x 12(12 1) 2
结论:“零存整取”问题就是等差数列的实际应用
最新农业银行存款利率表（更新日期：2011-2-9）
三个月 半年 一年 二年 三年 五年
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
你发现了什么?
各月存款所得利息构成一个等差数列 本金共有多少
100 × 12=1200 到期了,你这个人连本带利能取回钱是
100 × 12+(3.6+3.3+3.0+ … +0.3)=1223.4元
若每月存入金额为x元,月利率r保持不变, 存期为n个月,你能推导出到期整取是本利和 的公式吗?
到期为: 100× 0.3%× 12=3.6
第二月存入的100元到期有多少利息?
到期为: 100× 0.3%× 11=3.3
第三月存入的100元到期有多少利息?
……
到期为: 100× 0.3%× 10=3.0
最后一月存入的100元到期有多少利息? 到期为: 100× 0.3%× 1=0.3
你发现了什么?
S1 100000 (1 3%)1
2年后储户的本利和为多少?
S2 100000(1 3%)(1 3%) 100000(1 3%)2
3年后储户的本利和为多少?
S3 100000 (1 3%)3
5年后储户的本利和为多少?
S5 100000 (1 3%)5
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
整存整取 零存整取 整存零取 存本取息
其他
利率
活期 0.4
3.00 3.90 2.60 2.60 2.60 一天通知
0.85
4.50 5.00 2.80 3.00 2.80 3.00 2.80 3.00 七天通知
1.39
问题3 “整存整取”是怎么回事?
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
存期 1年 2年 3年 5年 年利率% 3.00 3.90 4.50 5.00
你们看出了什么? 自动转存是等比数列的应用
某人选择存期为1年的“零存整取”需到银行存款几次12次 ()
某人选择存期为3年的“零存整取”需到银行存款几次36次 ()
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
某人选择存期为1年的“零存整取”,若每月存入金额为100 元,月利率0.3%保持不变,到期能取出多少钱? (暂不考虑利 息税第) 一月存入的100元到期有多少利息?