2008年全国初中数学竞赛

2008年全国初中竞赛(湖南衡阳市)九年级数学试卷

2008年全国初中数学竞赛试题(九年级)(湖南衡阳)一、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)1、已知a=a4与a6的大小关系为46____a a(填“>”或“<”或“=”)2、对于实数u,v，定义一种新运算“*”为：u*v=au+bv，其中a,b为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知1*2=5,1*3=7，则1*1=_______3、一天晚上停电了，小明同时点上两支粗细不同的蜡烛看书，若干分钟后电来了，小明将两支蜡烛同时熄灭，已知粗的新蜡烛可燃烧2小时，细的新蜡烛可燃烧1小时，开始时两根蜡烛一样长，熄灭时粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍，则停电时间为______分钟。

4、如图，在平面直角坐标系，点A、B分别是X轴正半轴、Y轴正半轴上的动点，∠OAB的内角平分线与∠OBA的外角平分线所在直线交于点C，则∠ACB的度数为_________。

X二、选择题(共4小题，每小题5分，满分20分)5、如果a个人n天可修路x米，那么n个人修a米路需要用的天数是( )A、2axB、2nxC、anxD、xan6、矩形ABCD中，E是CD上一点，CE：ED=1：3，AD：AE=1：2，则△ABE为( )A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形7、若关于x,y 的方程组32233x y ax y +=⎧⎨+=⎩的解是一对正数，则整数a 的值为( )A 、2,3，4,5B 、2,3，4C 、4,5D 、3,48、在直角坐标系中，已知点A(-2,2)，在X 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形(O 为坐标原点)，则符合条件的点P 的个数一共有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个三、解答题(共7个小题，9-13题每题10分，14-15题每题15分，满分80分) 9、已知实数x,y 满足42423,3x x y y +=-=。

求x 4+y 4的值。

10、把一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别m,n ，求二次函数y=x 2+mx+n 的图象与X 轴只有一个交点的概率。

2008年全国初中数学联赛

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的．将你所选择的答案的代号填在题后的括号内．每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分． 1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b +的值为（） A ．5B ．7C ．9D ．11.【答案】B【解析】由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以a ，b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====．故选B 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（） A ．185B ．4C ．215D ．245【答案】D【解析】因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知B ，C ，E ，F 四点共圆，于是AEF ABC △∽△，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=．在Rt ABE △中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=．故选D3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）A ．15B ．310C ．25D ．12. 【答案】C【解析】能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个．所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=．故选C 4．在ABC △中，12ABC ∠=，132ACB ∠=，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（） A ．BM CN > B ．BM CN =EFDCBAC ．BM CN <D ．BM 和CN 的大小关系不确定【答案】B【解析】∵12ABC ∠=，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=-=．又180********BCM ACB ∠=-∠=-=，∴180844848BMC ∠=--=， ∴BM BC =．又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=-∠=-=，∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=-∠-∠=--∠+∠168(13224)=-+12ABC ==∠，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==．故选B5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（）A ．398T ⎛⎫ ⎪⎝⎭.B ．498⎛⎫ ⎪⎝⎭.C ．598⎛⎫⎪⎝⎭. D ．98.【答案】B.【解析】容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况．设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为()()98110%120%1010kn kkn ka a --⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中k 为自然数，且0k n ≤≤．要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：981010in ia -⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1188(1010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22991010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33981010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，44981010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中i 为不超过n 的自然数.所以r 的最小值为44498910108981010i n i i n ia a +---⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ．6．已知实数x ，y 满足(2008x y =，则223233x y x y -+-2007-的值为（）A ．2008-B ．2008C ．1-D ．1.【答案】D ．【解析】∵(2008x y=，∴xy=y x=由以上两式可得x y =．所以(22008x =，解得22008x =，所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=．故选D ．二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．设a ，则5432322a a a a a a a +---+=- ．【答案】 2- 【解析】∵221a a ==-⎝⎭，∴21a a +=，∴()()32325432322222a a a a a a a a a a a a a a a a+--+++---+=-⋅- ()()333322212111(11)211a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----． 2．如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 为BD所在直线上的两点，且AM 135MAN ∠=，则四边形AMCN 的面积为．【答案】 52【解析】设正方形ABCD 的中心为O ，连AO ，则AO BD ⊥，AO OB =MO∴MB MO OB =-=又135ABM NDA ∠=∠=，13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=--∠45MAB AMB =-∠=∠，所以ADN MBA △∽△，故AD DN MB BA =，从而1AD DN BA MB =⋅=．根据对称性可知，四边形AMCN 的面积115222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯+=⎝△．3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q += ．【答案】 12【解析】根据题意，m ，n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，所以m n a +=-，mn b =．∵1m n +≤，∴1m n m n ++≤≤，1m n m n -+≤≤．∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m n b +=≤≤．22244()()()11b mn m n m n m n ==+--+--≥≥，故14b -≥，等号当且仅当12m n =-=时取得；O MNDCBA22244()()1()1b mn m n m n m n ==+----≤≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得．所以14p =，14q =-，于是12p q +=．4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是．【答案】1 【解析】 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位；24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位； 210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位； 232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位； 2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位．2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位．所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1．第二试（A ）一．（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ ①恒成立.当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值．【解析】整理不等式①并将221a b +=代入，得2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ ②在不等式②中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥．易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．由题设知，不等式②对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥．由方程组221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ③ 消去b ，得42161610a a -+=，所以2a 或2a =．又因为0a ≥，所以a 或a ，于是方程组③的解为a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或a b ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以ab 的最小值为14，此时,a b 的值有两组，分别为a，b和a =，b =．二．（本题满分25分）如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =．⑴ 证明：点O 在圆D 的圆周上．⑵ 设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值．【解析】⑴ 连OA ，OB ，OC ，AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠．因为OD AB ⊥，DB BC ⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=-∠=-∠=∠，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上．⑵ 设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aSl y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=．因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以BDO ABC △∽△，所以BD BOAB AC=，即2r a l y =，故2al r y =．所以322222224422a l a aS S a S r y y y y ⎛⎫==⋅=⋅ ⎪⎝⎭≥，即r 其中等号当a y =时成立，这时AC是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r三．（本题满分25分）设a 为质数，b 为正整数，且()()2925094511a b a b +=+①求a ，b 的值.【解析】 ①式即2634511509509a b a b++⎛⎫= ⎪⎝⎭，设63509a b m +=，4511509a b n +=，则 509650943511m a n ab --== ② 故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+=③ 由①式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程③有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数．不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-．由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：C E OA BD①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解．②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解． ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解． ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解．⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =． ⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去．综合可知251a =．此时方程③的解为3m =或5023m =（舍去）．把251a =，3m =代入②式，得5093625173b ⨯-⨯==．第二试（B ）一．（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件1x y +=，0xy ≥的一切实数对()x y ，，不等式220ay xy bx -+≥ ①恒成立.当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值.【解析】由1x y +=，0xy ≥可知01x ≤≤，01y ≤≤．在①式中，令0x =，1y =，得0a ≥；令1x =，0y =，得0b ≥．将1y x =-代入①式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即()()21210a b x a x a ++-++≥②易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．由题设知，不等式②对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥由方程组221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ③ 消去b ，得42161610a a -+=，所以2a或2a =，又因为0a ≥，所以a或a ．于是方程组③的解为a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或a b ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以满足条件的a ，b 的值有两组，分别为a =，b和a，b = 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）设a 为质数，b ，c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩①② 求()a b c +的值.【解析】 ①式即266341022511509509a b c a b c +-+-⎛⎫=⎪⎝⎭，设663509a b c m +-=，41022511509a b cn +-=，则5096509423511m a n ab c ---== ③故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= ④由①式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，于是22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程④有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数．不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-．由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况： ①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解． ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解．③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解．④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解．⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =．⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去．综合可知251a =，此时方程④的解为3m =或5023m =（舍去）．把251a =，3m =代入③式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-．代入②式得(27)2b b --=，所以5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=．。

2008—2017年全国初中数学竞赛试题含答案

“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x ，y 满足：4x 4－2x 2＝3，y 4＋y 2＝3，则4x4＋y 4的值为（）（A ）7 （B ）1＋132（C ）7＋132（D ）52．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）（A ）512 （B ）49（C ）1736（D ）123．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有（）（A ）6条（B ）8条（C ）10条（D ）124．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）（A ）52a （B ）1（C ）32（D ）a5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u *v ＝uv ＋v ．若关于x 的方程x *（a *x ）＝－14有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是_______．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟． 8．如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为______．9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为______．10．关于x ，y 的方程x 2＋y 2＝208(x －y )的所有正整数解为________．三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，且使得△OAB 的面积值等于｜OA ｜＋｜OB ｜＋3．（1）用b 表示k ；（2）求FMD BA△OAB面积的最小值．12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程px2－qx＋p＝0有有理数根？13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．简答：一．选择题 ACBBD ；二．填空题 6. a ＞ 0 或 a ＜－1； 7. 4； 8. 9； 9.163； 10. x ＝48， x ＝160，y ＝32； y ＝32．三．解答题：11. （1）k ＝2b －b 22(b ＋3)，b ＞ 2；（2）当 b ＝2＋10， k ＝－1时，△OAB 面积的最小值为7＋210； 12. 存在满足题设条件的质数p ，q . 当p ＝2，q ＝5时，方程2x 2－5x ＋ 2＝0 的两根为 x 1＝12， x 2＝2. 它们都是有理数； 13. 存在满足条件的三角形. △ABC 的边 a ＝6，b ＝4，c ＝5，且∠A ＝2∠B ，证明略. 14. n 的最小值是5，证明略．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-=，则a b +等于（）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为22(3)0b a b ++-=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（）．（A）（B（C ）1 （D ）2【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BCAB AC=，即11aa a =+，所以， 210a a --=．由0a >，解得12a +=． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ．解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故S △ABC ＝12×8×4＝16.5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（）．（A ）2组（B ）3组（C ）4组（D ）无穷多组【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为 22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0，解得 2y ≤11616.577≈．于是 2y0 1 4 9 16 ∆11610988534显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．（第4题）图1 图2解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kxky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加，得()()250003000k x y k x y k +++=，则 237501150003000x y +==+．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EFA 中，90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EFA ，AH AF AF AE=.而AF AB =，所以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为．【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以（第7题）1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于．【答】6027．解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以EF BFAC BC =，即 201520x x-=，解得607x =．所以60227CE x ==．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . （第9题）（第10题）（1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值. 解：（1）联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程2(21)0x t x c --+= ①有实数根1x ，2x ，则121221,x x t x x c +=-=．所以2221212121[()()]2c x x x x x x ==+-+=221[(21)(23)]2t t t --+-＝21(364)2t t -+． ②………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t --+-+=． ③………………10分t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0， ④且使方程③有实数根，即22(21)2(364)t t t ∆=---+＝2287t t -+-≥0， ⑤解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得 2-t ≤2+所以，t 的取值范围为22-≤t ≤22+. ⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+.由于231(1)22c t =-+在22-≤t ≤22+时是递增的，所以，当22t =-时,2min 3111(21)2224c -=--+=. ………………20分12．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解：由3192191a +可得31921a -．619232=⨯，且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-．………………5分因为()11a a ++是奇数，所以6321a -等价于621a -，又因为3(1)(1)a a a -+，所以331a -等价于31a -．因此有1921a -，于是可得1921a k =+．………………15分又02009a <<，所以0110k =，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CDDF BE AB=⋅．同理可得 CEEG AD AB=⋅．………………10分又因为tan AD BEACB CD CE∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅，于是可得 DF EG =． ………………20分解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E 四点共圆，故CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．（第13A 题）（第13A 题）………………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<=；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n =，，，．即 12()1n ii a a a a b n +++-=-．于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j i i j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+，982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若20 10a b b c==，，则a bb c ++的值为（）．（A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011解：D 由题设得12012101111110a ab bc b c b +++===+++．代数式变形，同除b2．若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是（）．（A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4 解．C因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++=的判别式 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4．方程思想，未达定理；要解一元二次不等式3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =3BC =422-CD ＝42，则AD 边的长为（）．（A ）6（B ）64（C ）64+ （D ）622+ 解：D如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．由已知可得BE =AE 6CF ＝22DF ＝6于是 EF ＝4＋6．过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得AD 222(46)(6)(224)=++=+226+勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭（第3题）（第3题）（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 11x =，22x =，33x =，44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2010=4×502+2，所以2010x =2．高斯函数；找规律。

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（） )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.【答】B .解由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 故选B . 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（） )(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245. 【答】D . 解因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知,,,B C E F 四点共圆，于是△AEF ∽△ABC ，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=. 故选D . 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 【答】C . 解能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个. 所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C .4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（）)(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.【答】B .解 ∵12ABC ∠=︒，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒，∴BM BC =. 又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13224)=︒-︒+︒12ABC =︒=∠，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==.故选B .5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（）)(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98. 【答】 B .解容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅，其中k 为自然数，且0k n ≤≤. 要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：98()()1010i n i a -⋅⋅，1198()()1010i n i a +--⋅⋅， 2298()()1010i n i a +--⋅⋅，3398()()1010i n i a +--⋅⋅，4498()()1010i n i a +--⋅⋅，其中i 为不超过n 的自然数. 所以r 的最小值为44498()()91010()988()()1010i n i i n ia a +---⋅⋅=⋅⋅. 故选B . 6．已知实数,x y满足(2008x y =，则223233x y x y -+-2007-的值为（）)(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-. )(D 1.【答】D .解 ∵(2008x y =，∴x y -==y x -==由以上两式可得x y =. 所以2(2008x =，解得22008x =，所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=.故选D .二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．设12a -=，则5432322a a a a a a a+---+=-2-.解 ∵221a a ===-，∴21a a +=， ∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a a a a a a a+---++--++=-⋅- 33332221211(1)(11)2(1)1a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----.2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且AM =135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为52解设正方形ABCD 的中心为O ，连AO ，则AO BD ⊥，2AO OB ==,2MO ===, ∴MB MO OB =-=又135ABM NDA ∠=∠=︒， 13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB ∠=∠，所以△ADN ∽△MBA ，故AD DNMB BA =，从而12AD DN BA MB =⋅==. 根据对称性可知，四边形AMCN 的面积115222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯=△. 3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=12解根据题意，,m n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，所以m n a +=-，mn b =. ∵1m n +≤，∴1m n m n +≤+≤，1m n m n -≤+≤. ∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m n b +≤=≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-，故14b ≥-，等号当且仅当12m n =-=时取得； 22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得. 所以14p =，14q =-，于是12p q +=. 4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 1 .解 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位； 24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1.第二试（A ）一．（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式 (1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ （1）恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解整理不等式（1）并将221a b +=代入，得 2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）在不等式（2）中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥.易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3）消去b ，得42161610a a -+=，所以224a -=或224a +=. 又因为0a ≥，所以a =a =，于是方程组（3）的解为4,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,44a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14，此时,a b 的值有两组，分别为a b ==a b ==二．（本题满分25分）如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.解（1）连,,,OA OB OC AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上.（2）设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以△BDO ∽△ABC ，所以BD BO AB AC=，即2r a l y =，故2al r y =.所以22223222()4422a l a aS S a S r y y y y ==⋅=⋅≥，即2r ≥其中等号当a y =时成立，这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r 三．（本题满分25分）设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ （1）求a ，b 的值.解（1）式即2634511()509509a b a b ++=，设634511,509509a b a b m n ++==，则 509650943511m a n a b --== （2）故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= （3）由（1）式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解. ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解. ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去. 综合可知251a =.此时方程（3）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（2）式，得5093625173b ⨯-⨯==. 第二试（B ）一．（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ，不等式 220ay xy bx -+≥ （1）恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解由1,0x y xy +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤.在（1）式中，令0,1x y ==，得0a ≥；令1,0x y ==，得0b ≥.将1y x =-代入（1）式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3）消去b ，得42161610a a -+=，所以2a =2a =0a ≥，所以a =或4a =. 于是方程组（3）的解为,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以满足条件的,a b 的值有两组，分别为44a b ==44a b == 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设a 为质数，,b c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ (1)(2) 求()a b c +的值.解（1）式即266341022511()509509a b c a b c +-+-=，设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==，则 5096509423511m a n a b c ---== （3）故351160n m a -+=，又2n m =，所以 2351160m m a -+= （4）由（1）式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，于是22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解. ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去.综合可知251a =，此时方程（4）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（3）式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-. 代入（2）式得(27)2b b --=，所以5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.。

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区) (4)

袁野(诸暨市天马学校)
毛慧子(诸暨市天马学校)
杨磊(绍兴一中初中部)
裘楚楚(诸暨市荣怀学校)
张朱文(诸暨市海亮学校)
陆德健(诸暨市天马学校)
范世杰(诸暨市天马学校)
桑扬(绍兴一中初中部)
袁超宇(诸暨市天马学校)
何赛(诸暨市天马学校)
蒋观青(诸暨市天马学校)
马毓秀(绍兴一中初中部)
俞钱(诸暨市天马学校)
吴佳易（新昌县城关中学）
石恒佳（新昌县城关中学）
张天宇（新昌县实验中学）
茹丹丹（新昌县城关中学）
王焱（新昌县实验中学）
董颖娜（越城区东湖镇中）
陈吉根（越城区鉴湖镇中）
王烨（越城区东湖镇中）
薛熠（越城区东湖镇中）
张晓燕（越城区东湖镇中）
谢立峰（越城区皋埠镇中）
鲁香园（越城区皋埠镇中）
屠啸天（越城区皋埠镇中）
杨安良（绍兴市长城中学）
陈霁初（绍兴市长城中学）
周杰（绍兴市长城中学）
沈明星（绍兴市元培中学）
孙力（绍兴一中初中部）
董梦星（绍兴文理学院附中）
卢枫青（绍兴市昌安实验学校）
徐帅（绍兴市长城中学）
袁梦焰（绍兴市建功中学）
章思怡（绍兴市元培中学）
绍兴市属级二等奖(73名)
初二组(42名)
秦梦阳（绍兴市建功中学）
韩宇闻（绍兴市建功中学）
靳昕（绍兴市建功中学）
葛宙（绍兴市建功中学）
屠煜聪（绍兴市建功中学）
陈燕萍（绍兴一中初中部）
楼嘉衡（绍兴一中初中部）
钱佳琪（绍兴一中初中部）
俞颖（绍兴市建功中学）
施政元（绍兴市建功中学）
徐楠平（绍兴市建功中学）
邵瞰华（绍兴一中初中部）

2008年全国初中数学竞赛我区再创佳绩

潘启帆
叶桂容
初三
35
全国三等奖
380230
惠阳崇雅中学初中部
庄林旭
叶桂容
初三
35
全国三等奖
380048
惠阳崇雅实验学校
何俊辉
黄子斌
初三
35
全国三等奖
880322
惠东中学
陈国立
张志宾
35
全国三等奖
280706
惠城区水口中学
张康
陈慧明
初三
35
全国三等奖
280624
惠城区马安中学
郭东兴
廖春喜
35
全国三等奖
惠阳高级中学初中部
陆嘉盛
骆成峰
初三
39
全国三等奖
880614
大岭中心学校
曾贤勇
戴晓孟
39
全国三等奖
380224
惠阳崇雅中学初中部
方东燕
叶桂容
初三
38
全国三等奖
580116
澳头中学
叶伟雄
曾琪瑛
初三
38
全国三等奖
380152
惠阳第一中学
黄彬琪
刘礼祥
初三
36
全国三等奖
380084
惠高附属实验学校
钟建坦
叶彬
全国二等奖
180407
惠州市第一中学
范正东
曾伟民
初二
46
全国二等奖
380170
惠阳高级中学初中部
邓立光
刘晓春
初三
46
全国二等奖
380168
惠阳高级中学初中部
彭培杰
温海雄
初三
46
全国二等奖
380204

2008年全国初中数学联赛获奖名单

2008年全国初中数学联赛获奖名单一等奖（６０名）姓名学校姓名学校郭吕成上饶县第二中学万文奇景德镇市第二中学方亦豪景德镇市第二中学刘明宇景德镇市第二中学沈琛魁景德镇市第二中学肖一君乐平市第五中学晏诚敏江西省上高中学柳珺景德镇市一中分校喻军新余市第四中学梁毓娇江西省高安中学孙涵宇江西省高安中学王嘉琛景德镇市一中分校刘志凯吉安市朝宗实验学校王瑞琛乐平市第五中学杨煜景德镇市第二中学程禹婺源县婺源中学钟晓旭景德镇市一中分校成亚能景德镇市一中分校周宏宇南昌市第十中学罗翌新景德镇市一中分校陈白杨赣县第二中学周罗伟南昌市第十中学戴耀文景德镇市第二中学郑双越上饶县第二中学池龙景德镇市第二中学宋姗姗江西省高安中学范嘉俊景德镇市第二中学李强江西省临川第二中学周陶杰江西省临川第二中学莫少波江西省临川第二中学王博海江西省临川第二中学朱文瑜江西省高安中学谌偲翔江西省高安中学金怡泽南昌市第十中学童聿强景德镇市第二中学赵建梁婺源县婺源中学胡健宏景德镇市一中分校杨锴必景德镇市一中分校万翔鹏景德镇市一中分校谢翀江西省高安中学段训岚景德镇市第二中学龚时伟九江市同文中学陈章麒南昌市第十中学彭章景德镇市一中分校曾俊景德镇市第二中学郑荣上饶县第二中学袁鑫鹏景德镇市一中分校郭碧川吉水县第三中学陈雨贵溪市第二中学邬涛赣州市第三中学徐宏江西省临川第二中学吴艺翀鹰潭市中山学校吴志佳景德镇市第二中学汪佳璇婺源县婺源中学单铮景德镇市一中分校罗步景玉山文苑学校符豪江西省高安中学张志洋崇仁县第二中学刘宏成萍乡市第四中学刘凌焜吉安市第二中学二等奖（１２３名）姓名学校姓名学校陈佳民江西省临川第二中学王俊杰景德镇市第二中学刘鹏吉安市第八中学张翔江西省高安中学郭泽卿吉安市朝宗实验学校钟文南昌市第十中学郑程婺源县婺源中学陈星蓉石城县第二中学江雅雯景德镇市一中分校邓祖琪江西省高安中学盛博文南昌市第十中学王敬敬江西省临川第二中学郭儒乐上饶县第二中学孙津江西省高安中学曹煜永丰县恩江中学吴一鸣玉山文苑学校何致劼景德镇市一中分校张婧江西省高安中学项韬九江市同文中学冯丹颖江西省临川第二中学罗鸣樟树第三中学郑榕江西省高安中学方梦娟广丰县永丰中学江杰章上饶市第四中学李克诚江西省上高中学邹大卫景德镇市一中分校余毓敏江西省高安中学熊博奉新县第二中学金恺景德镇市一中分校万俊景德镇市第二中学程杰乐平市第五中学黄雯上饶县第六中学舒冠鑫进贤县第一中学吴雅琦江西省高安中学姚越上饶市第二中学马誉鑫南昌第二十七中学刘闽金溪县第一中学李高峰萍乡市第六中学李家恺婺源县婺源中学余阳九江市外国语学校汪建平万年县华茂学校李康荃乐平市第五中学黄诚景德镇市第二中学王博景德镇市第二中学赵杰江西省上高中学龚达巍新余市第四中学晏鹏江西省高安中学危宜萍江西省临川第二中学陶雨挺南昌铁路一中曾文华江西省临川第二中学赵继鸿乐平市第五中学鲁培江西省高安中学马晨景德镇市一中分校廖舒维南昌市第十中学曹绍平余干蓝天实验学校程振宇乐平市第五中学吴禹锟江西省高安中学刘文康景德镇市一中分校徐泽东乡县第二中学杨风波上饶县第二中学朱国栋南昌大学附属中学刘雨薇吉安市第二中学孙望舒南昌市第十中学潘俊九江市外国语学校李佳月景德镇市一中分校叶瑾瑜吉安市第二中学黄星晨贵溪市第二中学熊国帧南昌市第十中学江魏玮九江市外国语学校洪军景德镇市第二中学陈贤哲景德镇市第二中学徐承炜金溪县第一中学陈宇晖乐平市第五中学李经纬江西省宜春市第三中学易文翰九江市同文中学徐诗纯上饶县第六中学赖昕吉安市第八中学徐诗琦金溪县第一中学周佺吉水县第三中学吴丽丽江西省临川第二中学唐小龙余干蓝天实验学校欧阳力亚南昌市第十中学彭瑞光江西省高安中学蒋慧景德镇市第二中学龚辉新余市第一中学董杰江西省临川第二中学郑之成九江市外国语学校何叶冰新余市第四中学方政高安中学陈道勇上饶县第二中学王路通临川区第四中学石培涛乐平市第五中学郭朝望泰和县第三中学冷挺江西省上高中学郭磊信丰县黄泥中学吴闻九江市同文中学周浩雅上饶市第二中学刘子海吉安市朝宗实验学校胡翔上饶县第二中学杨坚江西师大附中张子巍贵溪市第二中学符绍舜上饶县第二中学江旭江西省高安中学郑浩上饶县第二中学曾芷雯南昌市第十中学徐春鹏鹰潭市第二中学尹君珺万安县第二中学彭星南昌县塔城中学钟晨嘉新余市第四中学张琼晶江西省宜春市第三中学徐辉乐平市第五中学胥啸南昌市第十中学齐玢婺源县婺源中学王恩靖乐平市第五中学梁竟宇景德镇市一中分校余一鹏婺源县婺源中学郑钊景德镇市第二中学吴雪萍大余县池江中学王赵博景德镇市一中分校余璐景德镇市一中分校刘齐瑞金市第二中学徐国秋广丰县永丰中学赖俊豪石城县第二中学三等奖（２４４名）姓名学校姓名学校王斌兴国县潋江中学杨文武弋阳县方志敏中学游世勋景德镇市第二中学李伟清宜黄县第二中学夏铭宇南丰县第二中学汪佩祺上高中学赵令华上饶县第二中学金克恒九江市外国语学校帅威九江市同文中学孙霄霓贵溪市第二中学高远南昌市广南学校付晨阳樟树第三中学罗贤亮景德镇市第二中学施雨婷南昌外国语学校黄帅景德镇市第二中学饶俊杰景德镇市第二中学陈赛昕萍乡市第四中学杨立浩兴国县潋江中学罗淞晖景德镇市第二中学梁梦吟江西省高安中学黄升上高中学李经纬萍乡市第四中学邹瞭望九江市外国语学校付彬彬南丰县第二中学倪伟焱九江市晨光中学章冬波进贤县第二中学章和夫九江市晨光中学郭泽宣九江市晨光中学蓝迪南昌市第十中学朱兴隆丰城市第一中学曾毓薇泰和县第四中学邓莹琪南昌第二十七中学刘振传永丰县恩江中学周韦博南昌市第十中学郑诗雨上饶市第二中学李颖鹏弋阳县方志敏中学罗泽坤景德镇市第二中学江文斌景德镇市第二中学项翔坚万年县第二中学郑丽霞上饶县第二中学冯冬发都昌县钱氏宗亲学校陈文万年县华兴学校黄良超贵溪市第二中学程昕瑞景德镇市第二中学梁婷东乡县第二中学叶宇哲萍乡市第四中学罗志宝新干县神政桥中学李晨辉南昌市湾里二中李琳遂川县泉江中学胡嘉文南昌大学附属中学段良平宁冈县龙江中学袁世政南昌市第一中学廖俊祺赣州市第七中学张汶喆吉安市第二中学冯瑜南昌市第一中学刘立伟南昌外国语学校邹循成石城县第二中学罗时江南昌市新城学校欧阳梓标婺源县婺源中学龚斌鄱阳县第二中学毛逢博玉山冰溪中学俞大刚婺源县婺源中学萧翔宇赣县第二中学温润石城县第二中学刘琼九江市实验中学官嘉男贵溪市第二中学李勤金溪县第一中学谢辉乐安县第一中学王司玺景德镇市第二中学周啟中瑞金市第二中学沈越吉安市第二中学万明杰南昌市第十中学周灿炜贵溪市第二中学张湲旭赣县第二中学郑济林九江市同文中学陈震涛永修县第三中学魏俊丰城市第一中学宋雪九江市同文中学俞骥昊南昌市第十中学易美琪永新县禾川中学王远飞南康市第六中学陈则贫景德镇市第二中学卢瑶江西省高安中学肖骏信丰县第二中学廖鹏崇仁县第一中学邱建维上饶市第二中学段灵修德安县共青中学晏文勇上高中学万伟进贤县第二中学陈向江西省上高中学雷斯嘉江西省高安中学陈宾九江市同文中学熊奇吉安市第五中学余月朦吉安市第二中学刘园林吉水县乌江中学吴璐芸南昌县莲塘第五中学刘欣安福县严田中学王艺超南昌市育新学校吴东昊江西师大附中丁磊丰城市第一中学张雄健南昌市第一中学周予杨南昌外国语学校王静新余市第十中学王嘉希南昌市第十中学章齐上饶市第二中学郑杨光龑乐平市第二中学刘衍民赣县第二中学杨果上犹中学蔡单景德镇市一中分校朱学林瑞金市第二中学王波文于都县第三中学蔡俊于都县第三中学刘万鹏南昌市第十中学温昱钦上犹中学吴际通贵溪市第二中学李言顺新余市第四中学段鹏湖口县凰村中学范智超景德镇市第二中学李祖泉广昌县第一中学陈阳萍乡市第四中学梅蒙九江市晨光中学王壮壮九江市外国语学校胡娅璇南昌市第十中学李睿智丰城市剑光中学易越江西省宜春中学廖望江西省宜春市第三中学文瑶万安县第二中学喻阳南昌市第十中学卢维国赣州厚德中学李帆江西师大附中黄长发高安市八景镇初级中学杨航萍乡市第二中学胡秉诚南昌市育新学校王志鵾安义县第二中学傅翀吉安市第五中学陈翌琪樟树第三中学廖松吉水县第三中学黄思成南昌市第十中学刘轶新余市第三中学熊志龙南昌市江安学校宋林泉赣县江口中学郭书旸于都县第三中学陈亮余干县第二中学查灶坤婺源思口中学江山都昌县东湖中学曾令健上犹县第二中学涂醒洲进贤县第一中学卢宇晨江西省上高中学刘智博吉水县第三中学黎云樟树第三中学陈嘉玉江西师大附中柯童南昌市育新学校徐权上饶市第二中学张健龙信丰县第四中学温开宝寻乌县博豪中学程雪妮鄱阳芝阳学校陈霖于都县第三中学陈隽景德镇市第二中学汪泽宇乐平市第五中学肖斌萍乡市第四中学朱正根萍乡市湘东云程实验学校甘灏霖萍乡市第四中学洪家铭东乡县第二中学赵雨豪萍乡市第六中学桓旭奉新县第二中学晏凌宇江西省上高中学何海明进贤县云桥中学沈雅婷九江市同文中学简嘉樟树第三中学刘辉南昌县莲塘第五中学刘挺樟树第三中学颜琛安福县城关中学张成樟树第二中学刘仁伟南昌市第二十三中学彭国琦宜春市第四中学周凯鹏吉水县第三中学陈睆清南昌市第三中学陈伟吉安市第八中学林庆国兴国县潋江中学唐树祝安远县第三中学华倩赣县江口中学朱劲涛瑞金市第三中学袁宏煜乐平市第五中学汪泽文景德镇市第二中学颜锴萍乡市莲花县城厢中学刘馨德赣县第二中学游宇翔上高中学易雪萍乡市上栗县上栗镇二中陈仔荣高安市灰埠镇初级中学徐丹九江市同文中学鄢盛尧丰城市第一中学吴海林遂川县瑶厦中学周祎晗南昌第二十八中学杨成龙南昌外国语学校董欣茹弋阳县方志敏中学方雅文南昌市第十中学高康奇鄱阳芝阳学校袁志强南康市第五中学刘衍林瑞金英才学校杨晨浩玉山冰溪中学施逸文九江市金安中学李舒玲婺源县婺源中学余涛进贤县第二中学金鑫德安县聂桥中学钟志宏江西省宜春中学徐翰超九江市第六中学李谷瑞金市第二中学吴伟林会昌实验学校郭飞飞信丰大阿中学易梦媛新余市第四中学陈浩华萍乡市第六中学程梓瑶武宁县第二中学刘叶永修县马口中学赖志坚万载县三兴初中宋成奉新县第二中学王仲钦江西省上高中学彭豪泰和县第四中学徐宗奕南昌市洪都中学陈中演樟树第三中学宋志军吉安市朝宗实验学校周煜吉水县第三中学周凌昊南昌市第三中学陈天书新余市第四中学赖清华龙南县第二中学何航广丰立达学校周雁南上犹中学胡锦江西省铜鼓第二中学王嘉程上饶县第六中学彭成吉安市朝宗实验学校王莹九江市同文中学张凌飞万安县第二中学陈吉雨南昌市育新学校梁宇修水县一中刘东园于都县第二中学郑静芳婺源江湾中学王钰芒上饶市第二中学赵洋南康市第三中学肖亮南昌县蒋巷中学吕云鹏大余新城中学胡玮伊南昌市外国语学校向万晓修水县一中叶琦玉山一中文苑学校宁可九江市晨光中学李瑾涵萍乡市第四中学。

2008年全国初中数学竞赛及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008 年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5 小题，每小题6 分，满分30 分以下每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）1．已知实数x ，y 满足3,3242424=+=-y y x x ，则444y x+的值为（）（A ）7 （B ）2131+ （C ） 2137+ （D ）5 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷2 次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数 n mx x y ++=2的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）．（A ）125 （B ）94 （C ）3617 （D ）213．有两个同心圆，圆周上有4 个不同的点，小圆周上有2 个不同的点，则这6 个点可确定的不同直线最少有( ) ．（A ）6 条（B ） 8 条（C ）10 条（D ）12 条4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB = a < 1．以AB 为一边在圆 O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB = AB = a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）．（A ）a 25 （B ）1 （C ）23 （D ）a5．将1，2，3，4，5 这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（A ）2 种（B ）3 种（C ）4 种（D ）5 种二、填空题（共5 小题，每小题6 分，满分30 分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u *v = uv + v ．若关于x 的方程41)*(*-=x a x 有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是；7．小王沿街匀速行走，发现每隔6 分钟从背后驶过一辆18 路公交车，每隔 3 分钟从迎面驶来一辆18 路公交车．假设每辆18 路公交车行驶速度相同，而且 18 路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．8．如图，在△ABC 中，AB=7，AC=11，点M 是BC 的中点，AD是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为（第8 题）9．△ABC中，AB ＝7，BC ＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I 作DE ∥BC，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE的长为．10．关于x ，y 的方程)(20822yxyx-=+的所有正整数解为．三、解答题（共4 题，每题15 分，满分60 分）11 （A）．在直角坐标系xOy 中，一次函数y = kx + b （k≠0）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，且使得△OAB的面积值等于3++OBOA（1）用b 表示k；（2）求△OAB 面积的最小值．11 （B）．已知一次函数xy21=，二次函数122+=xy，是否存在二次函数cbxaxy++=23，其图象经过点（－5，2），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数对应的函数值321,,yyy，都有231yyy≤≤成立？若存在，求出函数3y的解析式；若不存在，请说明理由．12 （A）．是否存在质数p ，q，使得关于x 的一元二次方程02=+-pqxpx有有理数根？12 （B）．已知a，b 为正整数，关于x 的方程022=+-baxx的两个实数根为21,xx，关于y的方程022=++bayy两个实数根为21,yy，且满足20082211=-yxyx。

2008年全国初中数学联赛获奖名单

2008年全国初中数学联赛获奖名单一等奖（６０名）姓名学校姓名学校郭吕成上饶县第二中学万文奇景德镇市第二中学方亦豪景德镇市第二中学刘明宇景德镇市第二中学沈琛魁景德镇市第二中学肖一君乐平市第五中学晏诚敏江西省上高中学柳珺景德镇市一中分校喻军新余市第四中学梁毓娇江西省高安中学孙涵宇江西省高安中学王嘉琛景德镇市一中分校刘志凯吉安市朝宗实验学校王瑞琛乐平市第五中学杨煜景德镇市第二中学程禹婺源县婺源中学钟晓旭景德镇市一中分校成亚能景德镇市一中分校周宏宇南昌市第十中学罗翌新景德镇市一中分校陈白杨赣县第二中学周罗伟南昌市第十中学戴耀文景德镇市第二中学郑双越上饶县第二中学池龙景德镇市第二中学宋姗姗江西省高安中学范嘉俊景德镇市第二中学李强江西省临川第二中学周陶杰江西省临川第二中学莫少波江西省临川第二中学王博海江西省临川第二中学朱文瑜江西省高安中学谌偲翔江西省高安中学金怡泽南昌市第十中学童聿强景德镇市第二中学赵建梁婺源县婺源中学胡健宏景德镇市一中分校杨锴必景德镇市一中分校万翔鹏景德镇市一中分校谢翀江西省高安中学段训岚景德镇市第二中学龚时伟九江市同文中学陈章麒南昌市第十中学彭章景德镇市一中分校曾俊景德镇市第二中学郑荣上饶县第二中学袁鑫鹏景德镇市一中分校郭碧川吉水县第三中学陈雨贵溪市第二中学邬涛赣州市第三中学徐宏江西省临川第二中学吴艺翀鹰潭市中山学校吴志佳景德镇市第二中学汪佳璇婺源县婺源中学单铮景德镇市一中分校罗步景玉山文苑学校符豪江西省高安中学张志洋崇仁县第二中学刘宏成萍乡市第四中学刘凌焜吉安市第二中学二等奖（１２３名）姓名学校姓名学校陈佳民江西省临川第二中学王俊杰景德镇市第二中学刘鹏吉安市第八中学张翔江西省高安中学郭泽卿吉安市朝宗实验学校钟文南昌市第十中学郑程婺源县婺源中学陈星蓉石城县第二中学江雅雯景德镇市一中分校邓祖琪江西省高安中学盛博文南昌市第十中学王敬敬江西省临川第二中学郭儒乐上饶县第二中学孙津江西省高安中学曹煜永丰县恩江中学吴一鸣玉山文苑学校何致劼景德镇市一中分校张婧江西省高安中学项韬九江市同文中学冯丹颖江西省临川第二中学罗鸣樟树第三中学郑榕江西省高安中学方梦娟广丰县永丰中学江杰章上饶市第四中学李克诚江西省上高中学邹大卫景德镇市一中分校余毓敏江西省高安中学熊博奉新县第二中学金恺景德镇市一中分校万俊景德镇市第二中学程杰乐平市第五中学黄雯上饶县第六中学舒冠鑫进贤县第一中学吴雅琦江西省高安中学姚越上饶市第二中学马誉鑫南昌第二十七中学刘闽金溪县第一中学李高峰萍乡市第六中学李家恺婺源县婺源中学余阳九江市外国语学校汪建平万年县华茂学校李康荃乐平市第五中学黄诚景德镇市第二中学王博景德镇市第二中学赵杰江西省上高中学龚达巍新余市第四中学晏鹏江西省高安中学危宜萍江西省临川第二中学陶雨挺南昌铁路一中曾文华江西省临川第二中学赵继鸿乐平市第五中学鲁培江西省高安中学马晨景德镇市一中分校廖舒维南昌市第十中学曹绍平余干蓝天实验学校程振宇乐平市第五中学吴禹锟江西省高安中学刘文康景德镇市一中分校徐泽东乡县第二中学杨风波上饶县第二中学朱国栋南昌大学附属中学刘雨薇吉安市第二中学孙望舒南昌市第十中学潘俊九江市外国语学校李佳月景德镇市一中分校叶瑾瑜吉安市第二中学黄星晨贵溪市第二中学熊国帧南昌市第十中学江魏玮九江市外国语学校洪军景德镇市第二中学陈贤哲景德镇市第二中学徐承炜金溪县第一中学陈宇晖乐平市第五中学李经纬江西省宜春市第三中学易文翰九江市同文中学徐诗纯上饶县第六中学赖昕吉安市第八中学徐诗琦金溪县第一中学周佺吉水县第三中学吴丽丽江西省临川第二中学唐小龙余干蓝天实验学校欧阳力亚南昌市第十中学彭瑞光江西省高安中学蒋慧景德镇市第二中学龚辉新余市第一中学董杰江西省临川第二中学郑之成九江市外国语学校何叶冰新余市第四中学方政高安中学陈道勇上饶县第二中学王路通临川区第四中学石培涛乐平市第五中学郭朝望泰和县第三中学冷挺江西省上高中学郭磊信丰县黄泥中学吴闻九江市同文中学周浩雅上饶市第二中学刘子海吉安市朝宗实验学校胡翔上饶县第二中学杨坚江西师大附中张子巍贵溪市第二中学符绍舜上饶县第二中学江旭江西省高安中学郑浩上饶县第二中学曾芷雯南昌市第十中学徐春鹏鹰潭市第二中学尹君珺万安县第二中学彭星南昌县塔城中学钟晨嘉新余市第四中学张琼晶江西省宜春市第三中学徐辉乐平市第五中学胥啸南昌市第十中学齐玢婺源县婺源中学王恩靖乐平市第五中学梁竟宇景德镇市一中分校余一鹏婺源县婺源中学郑钊景德镇市第二中学吴雪萍大余县池江中学王赵博景德镇市一中分校余璐景德镇市一中分校刘齐瑞金市第二中学徐国秋广丰县永丰中学赖俊豪石城县第二中学三等奖（２４４名）姓名学校姓名学校王斌兴国县潋江中学杨文武弋阳县方志敏中学游世勋景德镇市第二中学李伟清宜黄县第二中学夏铭宇南丰县第二中学汪佩祺上高中学赵令华上饶县第二中学金克恒九江市外国语学校帅威九江市同文中学孙霄霓贵溪市第二中学高远南昌市广南学校付晨阳樟树第三中学罗贤亮景德镇市第二中学施雨婷南昌外国语学校黄帅景德镇市第二中学饶俊杰景德镇市第二中学陈赛昕萍乡市第四中学杨立浩兴国县潋江中学罗淞晖景德镇市第二中学梁梦吟江西省高安中学黄升上高中学李经纬萍乡市第四中学邹瞭望九江市外国语学校付彬彬南丰县第二中学倪伟焱九江市晨光中学章冬波进贤县第二中学章和夫九江市晨光中学郭泽宣九江市晨光中学蓝迪南昌市第十中学朱兴隆丰城市第一中学曾毓薇泰和县第四中学邓莹琪南昌第二十七中学刘振传永丰县恩江中学周韦博南昌市第十中学郑诗雨上饶市第二中学李颖鹏弋阳县方志敏中学罗泽坤景德镇市第二中学江文斌景德镇市第二中学项翔坚万年县第二中学郑丽霞上饶县第二中学冯冬发都昌县钱氏宗亲学校陈文万年县华兴学校黄良超贵溪市第二中学程昕瑞景德镇市第二中学梁婷东乡县第二中学叶宇哲萍乡市第四中学罗志宝新干县神政桥中学李晨辉南昌市湾里二中李琳遂川县泉江中学胡嘉文南昌大学附属中学段良平宁冈县龙江中学袁世政南昌市第一中学廖俊祺赣州市第七中学张汶喆吉安市第二中学冯瑜南昌市第一中学刘立伟南昌外国语学校邹循成石城县第二中学罗时江南昌市新城学校欧阳梓标婺源县婺源中学龚斌鄱阳县第二中学毛逢博玉山冰溪中学俞大刚婺源县婺源中学萧翔宇赣县第二中学温润石城县第二中学刘琼九江市实验中学官嘉男贵溪市第二中学李勤金溪县第一中学谢辉乐安县第一中学王司玺景德镇市第二中学周啟中瑞金市第二中学沈越吉安市第二中学万明杰南昌市第十中学周灿炜贵溪市第二中学张湲旭赣县第二中学郑济林九江市同文中学陈震涛永修县第三中学魏俊丰城市第一中学宋雪九江市同文中学俞骥昊南昌市第十中学易美琪永新县禾川中学王远飞南康市第六中学陈则贫景德镇市第二中学卢瑶江西省高安中学肖骏信丰县第二中学廖鹏崇仁县第一中学邱建维上饶市第二中学段灵修德安县共青中学晏文勇上高中学万伟进贤县第二中学陈向江西省上高中学雷斯嘉江西省高安中学陈宾九江市同文中学熊奇吉安市第五中学余月朦吉安市第二中学刘园林吉水县乌江中学吴璐芸南昌县莲塘第五中学刘欣安福县严田中学王艺超南昌市育新学校吴东昊江西师大附中丁磊丰城市第一中学张雄健南昌市第一中学周予杨南昌外国语学校王静新余市第十中学王嘉希南昌市第十中学章齐上饶市第二中学郑杨光龑乐平市第二中学刘衍民赣县第二中学杨果上犹中学蔡单景德镇市一中分校朱学林瑞金市第二中学王波文于都县第三中学蔡俊于都县第三中学刘万鹏南昌市第十中学温昱钦上犹中学吴际通贵溪市第二中学李言顺新余市第四中学段鹏湖口县凰村中学范智超景德镇市第二中学李祖泉广昌县第一中学陈阳萍乡市第四中学梅蒙九江市晨光中学王壮壮九江市外国语学校胡娅璇南昌市第十中学李睿智丰城市剑光中学易越江西省宜春中学廖望江西省宜春市第三中学文瑶万安县第二中学喻阳南昌市第十中学卢维国赣州厚德中学李帆江西师大附中黄长发高安市八景镇初级中学杨航萍乡市第二中学胡秉诚南昌市育新学校王志鵾安义县第二中学傅翀吉安市第五中学陈翌琪樟树第三中学廖松吉水县第三中学黄思成南昌市第十中学刘轶新余市第三中学熊志龙南昌市江安学校宋林泉赣县江口中学郭书旸于都县第三中学陈亮余干县第二中学查灶坤婺源思口中学江山都昌县东湖中学曾令健上犹县第二中学涂醒洲进贤县第一中学卢宇晨江西省上高中学刘智博吉水县第三中学黎云樟树第三中学陈嘉玉江西师大附中柯童南昌市育新学校徐权上饶市第二中学张健龙信丰县第四中学温开宝寻乌县博豪中学程雪妮鄱阳芝阳学校陈霖于都县第三中学陈隽景德镇市第二中学汪泽宇乐平市第五中学肖斌萍乡市第四中学朱正根萍乡市湘东云程实验学校甘灏霖萍乡市第四中学洪家铭东乡县第二中学赵雨豪萍乡市第六中学桓旭奉新县第二中学晏凌宇江西省上高中学何海明进贤县云桥中学沈雅婷九江市同文中学简嘉樟树第三中学刘辉南昌县莲塘第五中学刘挺樟树第三中学颜琛安福县城关中学张成樟树第二中学刘仁伟南昌市第二十三中学彭国琦宜春市第四中学周凯鹏吉水县第三中学陈睆清南昌市第三中学陈伟吉安市第八中学林庆国兴国县潋江中学唐树祝安远县第三中学华倩赣县江口中学朱劲涛瑞金市第三中学袁宏煜乐平市第五中学汪泽文景德镇市第二中学颜锴萍乡市莲花县城厢中学刘馨德赣县第二中学游宇翔上高中学易雪萍乡市上栗县上栗镇二中陈仔荣高安市灰埠镇初级中学徐丹九江市同文中学鄢盛尧丰城市第一中学吴海林遂川县瑶厦中学周祎晗南昌第二十八中学杨成龙南昌外国语学校董欣茹弋阳县方志敏中学方雅文南昌市第十中学高康奇鄱阳芝阳学校袁志强南康市第五中学刘衍林瑞金英才学校杨晨浩玉山冰溪中学施逸文九江市金安中学李舒玲婺源县婺源中学余涛进贤县第二中学金鑫德安县聂桥中学钟志宏江西省宜春中学徐翰超九江市第六中学李谷瑞金市第二中学吴伟林会昌实验学校郭飞飞信丰大阿中学易梦媛新余市第四中学陈浩华萍乡市第六中学程梓瑶武宁县第二中学刘叶永修县马口中学赖志坚万载县三兴初中宋成奉新县第二中学王仲钦江西省上高中学彭豪泰和县第四中学徐宗奕南昌市洪都中学陈中演樟树第三中学宋志军吉安市朝宗实验学校周煜吉水县第三中学周凌昊南昌市第三中学陈天书新余市第四中学赖清华龙南县第二中学何航广丰立达学校周雁南上犹中学胡锦江西省铜鼓第二中学王嘉程上饶县第六中学彭成吉安市朝宗实验学校王莹九江市同文中学张凌飞万安县第二中学陈吉雨南昌市育新学校梁宇修水县一中刘东园于都县第二中学郑静芳婺源江湾中学王钰芒上饶市第二中学赵洋南康市第三中学肖亮南昌县蒋巷中学吕云鹏大余新城中学胡玮伊南昌市外国语学校向万晓修水县一中叶琦玉山一中文苑学校宁可九江市晨光中学李瑾涵萍乡市第四中学。

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)

周雨晨（绍兴市建功中学）
骆天阳（绍兴市建功中学）
金梦怡（绍兴市建功中学）
初三组(19名)
施方正（绍兴市建功中学）
陈杰（绍兴市锡麟中学）
戚梦莱（绍兴一中初中部）
陈方地（绍兴市昌安实验学校）
魏双达（绍兴市建功中学）
谢建刚（绍兴市袍江中学）
王一鸣（绍兴市袍江中学）
陶嘉豪（绍兴一中初中部）
李祝坚（绍兴文理学院附中）
附件:
2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）
获奖名单(绍兴市部分)
浙江赛区一等奖(11名)
孔嘉(诸暨市天马学校)
宋恒帆(上虞市春晖外国语学校)
王忆萍(诸暨市天马学校)
傅振滔(诸暨市荣怀学校)
王磊(绍兴一中初中部)
顾杭松(诸暨市天马学校)
俞晓(嵊州市城关中学)
傅一鸣(绍兴县齐贤镇中)
凌周俊(诸暨市海亮学校)
潘敏刚（绍兴县安昌中学）
高圻烽（绍兴县湖塘中学）
金嫣红（绍兴县湖塘中学）
陈伟栋(上虞市实验中学)
高佳逸(上虞市实验中学)
马倩霞(上虞市春晖外国语学校)
陈孙杰(上虞市百官中学)
俞智琳（嵊州中学）
舒荧（嵊州市城关中学）
魏怡娴（嵊州中学）
方淳（诸暨市天马学校）
浙江赛区团体奖(1名)
诸暨市天马学校
绍兴市级一等奖(52名)
盛达（绍兴市建功中学）
封江涛（任文倩（绍兴市建功中学）
蔡诗瑶（绍兴一中初中部）
宋颖泽（绍兴一中初中部）
骆灵嫒（绍兴市建功中学）
王冬妮（绍兴一中初中部）
杜娜（绍兴一中初中部）
张楠（绍兴市建功中学）
叶其琛（绍兴市建功中学）
周煜杰（绍兴一中初中部）

2008年全国初中数学竞赛.doc

郑童嘉
秦宏舜
46
三等
汕头市澄海区实验学校
黄恺驰
王维群
46
三等
汕头市澄海区实验学校
陈清扬
王维群
46
三等
汕头市澄海区溪南中学
林修洁
林绍彭
46
三等
汕头市澄海区莲阳中学
王佳展
李英彦
46
三等
汕头市实验学校
林辉滨
陈晓蓉
45
三等
汕头市聿怀初级中学
刘佳玲
杨晓彬
45
三等
汕头市飞厦中学
李浩磊
姚珣
45
三等
汕头市飞厦中学
苏彦宏
通知
各区县教育局教研室、各直属学校教务处：
2008年全国初中数学竞赛评卷工作已经结束，我市学生获一等奖13名，二等奖21名，三等奖44名。现将获奖学生情况公布如下：
考生所在学校
姓名
辅导老师
成绩
奖项
汕头市潮南区潮南实验学校
颜源蛟
秦宏舜
95
壹等
汕头市澄海区实验学校
李阳秋
马伟志
84
壹等
汕头市潮阳实验学校
陈光华
张惠庆
45
三等
汕头市潮南区峡山泗联初级中学
黄瑞泽
翁开绵、黄茂烈
45
三等
汕头市潮阳下厝初级中学
马楚荣
吴顺武
44
三等
汕头市澄海区南翔中学
王小烁
蔡瑞荣
44
三等
汕头市金禧中学
许鸿吉
郑敏珠
42
三等
汕头市潮南区潮南实验学校
陈坚杰
李福山
42
三等
汕头市南澳县第二中学

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛

2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛
秀洲区评奖结果公告
2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛于2008年4月6日举行，我区有部分学生参加本次竞赛，经成绩评定，确定秀洲区团体优胜3名（按各校参赛学生最高前五名总分评定），个人一等奖23名，二等奖49名，三等奖89名，现将结果公布如下：团体第一名：秀洲现代实验学校
团体第二名：油车港镇中学
团体第三名：王江泾镇中学
个人一等奖（23名）
个人二等奖（49名）
个人三等奖（89名）
下列同学在初赛中取得优异成绩，经嘉兴市教育研究院、嘉兴市数学会复评，将于4月23日参加2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛。

复赛时间：2008年4月27日下午1：00——3：00
复赛地点：嘉兴市实验初级中学（嘉兴市洪波路洪声路4号）
考点联系人：孙松林（副校长，83911308）
请有关学校做好参赛组织工作（特别要注意安全！）
秀洲区教文体局教研室
2007年4月14日。

2008年全国初中数学联赛试题及标准答案(修正版)

2008年全国初中数学联赛试卷（第一试)一、选择题1．设a２+1=3a，b2＋1=３b,且a≠b，则代数式＼f(1,a2)＋＼ｆ(１,ｂ2)的值为(）(Ａ） 5. (B)7.(C) 9．(D)11．2.如图，设AD，BＥ,ＣF为三角形ＡＢC的三条高,若AＢ＝６,BＣ＝5,EＦ＝3，则线段ＢＥ的长为（）(A)185. (Ｂ) 4. (C）错误!. (D) 错误!.3.从分别写有数字1,２，3，４，5的５张卡片中依次取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是( ）(A）错误!. (B) 错误!.(Ｃ) 错误!. （D) 1２.4．在△ABＣ中，∠AＢＣ=12°，∠ACＢ=132°，BM和ＣN分别是这两个角的外角平分线,且点M,N分别在直线AC和直线AB上，则()(Ａ）ＢM>CN. (B) BM＝ＣN.(C) ＢM<CN.（D) ＢM和CN的大小关系不确定.5．现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价１0%或２0%,若干天后,这５种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r,则r的最小值为( ）(A）(错误!）3．(Ｂ) (错误!）4. (C) (错误!)5. （Ｄ) 98.6.已知实数x,y满足(x-错误!)(y－错误!)=2008，则3x2－2ｙ2＋３x－3y-2007的值为（）(Ａ) -200８.(B) 2０08. (C）-1.(D)1.二、填空题1.设a=错误!,则错误!＝ ___＿_____.2.如图,正方形AＢＣD的边长为１,Ｍ,Ｎ为BD所在直线上的两点,且AＭ＝错误!，∠ＭＡN=135°,则四边形AMCＮ的面积为_＿＿_____＿__.３.已知二次函数y＝ｘ2＋ａx＋b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为ｍ，n，且│m│＋│n│＜1. 设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p,q，则│ｐ│+│q│＝_＿____＿__＿.4．依次将正整数1,2,3，…的平方数排成一串:149162536４９64811001211４4…,排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是６，排在第10个位置的数字是4,排在第２008个位置的数字是__＿＿_______.第二试一、已知a2＋ｂ2＝1，对于满足条件0≤x≤１的一切实数x,不等式ａ(1－ｘ) (1－ｘ－aｘ）-ｂｘ(b-x-bｘ)≥０恒成立.当乘积ab取最小值时，求a,b的值.二、如图,圆O与圆D相交于Ａ,B两点,BＣ为圆D的切线,点Ｃ在圆O上，且AB=BC．（１）证明:点Ｏ在圆D的圆周上.（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径ｒ的最小值．三、设a为质数，b为正整数,且9(2ａ＋b)2=509(４ａ+511b)求a，b的值．。

《数学周报》杯2008年全国初中数学竞赛.

“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛天津赛区复赛试卷( 4月6日上午 9∶30～11∶30 )一、选择题（本题共5小题，每小题6分，满分30分．每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里）（1）已知实数x y ，满足42424233y y x x -=+=，，则444y x +的值为（）．（A ）7 （B ）（C ）（D ）5 （2）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为n m ,，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12 （3）有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有( )．（A ）6条（B ） 8条（C ）10条（D ）12条（第（8）题）（4）已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）．（A（B ）1 （C（D ）a （5）将5,4,3,2,1这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种二、填空题（本题共5小题，每小题6分，满分30分．把答案填在题中横线上）（6）对于实数v u ,，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是．（7）小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．（8）如图，在△ABC 中，7=AB ，11=AC ，点M 是BC 的中点， AD 是BAC ∠的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为．（9）△ABC 中，9,8,7===CA BC AB ，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AC AB ,相交于点D ,E ，则DE 的长为．（10）关于y x ,的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为．三、解答题（本题共4小题，每小题15分，满分60分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（11）（本小题满分15分）在直角坐标系xOy 中，一次函数b kx y +=0k ≠（）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A ,两点，且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++．（Ⅰ）用b 表示k ；（Ⅱ）求△OAB 面积的最小值．（12）（本小题满分15分）已知一次函数12y x =，二次函数221y x =+．是否存在二次函数23y ax bx c =++，其图象经过点（－5，2），且对于任意实数x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值1y ，2y ，3y ，都有1y ≤3y ≤2y 成立？若存在，求出函数3y 的解析式；若不存在，请说明理由．(13)（本小题满分15分）是否存在质数q p ,，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？(14)（本小题满分15分）如图，△ABC 的三边长BC a CA b AB c ===，，，a b c ，，都是整数，且a b ，的最大公约数为2．点G 和点I 分别为△ABC 的重心和内心，且90GIC ∠=︒．求△ABC 的周长．。

2008年全国初中数学联赛决赛试题(江西卷)参考答案

2008年全国初中数学联赛决赛试题（江西卷）参考答案（2008年4月１９日上午９：00—１１：３０）－、选择题（每小题7分，共42分）1 、解：由1114123+=，而1111,236++=故删去11810与后，可使剩下的数之和为1.故选C2====12.故选A . 3、解：555=5×545=5×18125，因125被8除余l ，所以18125被8除余l ，故知555被8除余5，而在125、375、625、875四数中，只有125被8除余5，故选A4 、解：由（1）、（3）得2x y x =-，63x z x =-,故x ≠0，代人（2）解得2710x =，所以277y =， z =-54.检验知此组解满足原方程组.于是10X ＋7y ＋Z ＝0．故选D5、解：图中只有边长为1或2的两种菱形，每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线，原正三角形内部每条长为1的线段，恰是一个边长为1的菱形的对角线；这种线段有18条，对应着18个边长为1的菱形；原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线，三条中位线对应着3个边长为2的菱形；共得21个菱形. 选C6、解：设28abcd =3()xy ，则据末位数字特征得y ＝2，进而确定xy ：因360＝216000，370＝343000，所以60＜xy ＜70，故只有，xy =62，而262＝238328，则ab ＝38，cd ＝32，ab ＋cd =70. 故选D二．填空题（每小题7分，共28分）7、解：据条件式9........1xy +=（）令z ，则（1）式化为：z xy ++9，即有9-z ＝xy81-18z ＋2z ＝2222(1)(4)2x y x y xy ++++……(2),又由2z =2(=2222(4)(1)2x y y x xy ++++代入（2）得，81-18z=4,所以7718z =. 8、解：l ＋2＋…＋61＝1891，2008—1891＝117，由于形如ab 的页码被当成ba 后，加得的和数将相差9a b -，因为,a b 只能在1，2，…，9中取值，a b -≤8，得9a b -≤72，由于117＝72＋45＝63＋54，设弄错的两位数是ab和cd，若9a b-=72，9c d-=45，只有ab ＝19，而cd可以取l6，27，38，49；这时ab+cd的最大值是68；若9a b-=63，9c d-=54，则ab可以取18，29，而cd可以取17，28，39，ab+cd的最大值也是68．9、解：如右图，连OA，OB，OC，线段OA将阴影的上方部分剖分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及反时针绕点O旋转0120后，阴影部分便合并成△OBC，它的面积等于△A BC10、解：6=3(8+，令8+a，8-b，得 a＋b＝16，ab=4，a,b 是方程21640x x-+=的两个根，故得2a＝16a－4，2b＝16b－4；3a＝162a－4a，32164b b b=-；所以3a+3b＝16（2a+2b）-4（a+b）＝16（16（a+b）一8）－4（a+b）=252（a+b）-128=3904.∵0＜b＜1，∴0＜3b＜1，∴3a的最大整数值不超过3903.三.解答题（共70分）11、解：当a＝0时，方程的有理根为75x=；……5分以下考虑a≠0的情况，此时原方程为一元二次方程，由判别式2(5)4(7)0,a a a+-+≥即32a＋18a－25≤0a≤≤整数a只能在其中的非零整数1，－1，－2，－3，－4，－5，－6，－7中取值，…… 10 分由方程得x= (1)当a＝1，由（1）得x＝2和4；当a=－1时，方程无有理根；当a＝－2，由（1）得x＝1和－52；当a=－3时，方程无有理根；……15分当a＝－4，由（1）得x＝－1和34；当a=－5时，方程无有理根；当a＝－6，由（1）得x＝12和－13；当a＝－7时，由（1）得x＝37和17-；…… 20分A P 12、证明：EF 截△PMN ，则.. 1..........(1)NK MF PE KM FP EN=……5分 BC 截 △PAE ，则.. 1...........(2)EB AC PN BA CP NE =，即有2,PN CP NE AC = 所以2..............(3)PE CP AC EN AC+=, ……10分AD 截△PCF ，则..1,FD CA PM DC AP MF=即22,............(4)PM AP PF AP AC MF AC MF AC-=∴=……15分因AP ＝AC ＋CP ，得2CP ＋ AC ＝2AP －AC ，由(3),(4)得，,........20PE FP EN MF=分 —即.1,MF PE FP EN =所以由(1)得 NK ＝KM ，即K 是线段 AM 的中点 ……25分 13、解：将这120人分别编号为12120,,....,P P P ，并视为数轴上的120个点，用k A 表示这120人之中未答对第k 题的人所成的组,k A 为该组人数, k=l ，2，3，4，5，则1A =24,234537,46,54,85,A A A A ==== ……5分将以上五个组分别赋予五种颜色，如果某人未做对第k 题，则将表示该人点染第k 色，k=l ，2，3，4，5，问题转化为，求出至少染有三色的点最多有几个？由于1A +2345A A A A +++＝246，故至少染有三色的点不多于2463=82个，……10分右上图是满足条件的一个最佳染法，即点1285,,....,P P P 这85 个点染第五色；点1237,,....,P P P这37个点染第二色；点383983,,....,P P P 这46个点染第四色；点1224,,....,P P P 这24 个点染第一色；点252678,,....,P P P 这54个点染第三色；于是染有三色的点最多有78个. …20分因此染色数不多于两种的点至少有42个，即获奖人数至少有42个人（他们每人至多答错两题，而至少答对三题，例如7980120,,...,P P P 这 42 个人) …… 25分85 46 5437 24。

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题

5．小明按如图所示设计树形图，设计规则如下：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为 1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成 120° 的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法，在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作到第 10 层．则树形图第 10 层的最高点到水平线的距离为（（A）（C））
2 11 11 y ， z 2 y .由此可解得 x= ，y= ，z=11. 3 3 2
解：将数最小的一张卡片调到最左边，至多需要 9 次操作，将数次小的一张卡片调到左边第 2 张，至多需要 8 次操作，依此类推，至多经过 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 次操作，能将它们按从小到大的顺序排列. 另一方面，如果这 10 张卡片开始时从左到右按从大到小的顺序排列，则需要 45 次操作才能按从小到大的顺序排列． 12．答案：18 解：a
2008 年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题
（2008 年 4 月 27 日下午 1：00—3：00）题得号分一 1－6 二 7－12 13 14 三 15 16 总分
评卷人复查人答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答． 2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．一、选择题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．以下每小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）得分评卷人
1 1024 1705 1024
（B）
1704 1024
第一层第二层第三层第四层水平线
（D）2
（第 5 题）