第四章 传递函数的状态空间实1

⎡ β0 ⎤ ⎢β ⎥ ⎢ 1 ⎥ B0 = ⎢ β 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎣ β n −1 ⎥ ⎦
C0 = ⎡ ⎣Oq L Oq
Iq ⎤ ⎦
4.2
最小实现及其性质
引例：已知下列传递函数矩阵 G ( s )
⎡4 ⎢s G (s) = ⎢ ⎢4 ⎢ ⎣s
u1 4 s 1 s 4 s
u2
1 s
⎡ C ⎤ ⎢ CA ⎥ rankQo = rank ⎢ = no < n M ⎥ ⎢ n −1 ⎥ ⎣CA ⎦
结构分解，找出能观测子系统： 从 Qo 中选出 no 个线性无关行，记为 S ；再附加 ( n （通常为单位矩阵 I n 的任意行） ，记为 S1 ， 构造
− no ) 个任意行
n × n 非奇异变换阵 T
Ip Op ⎡ Op ⎢ O Op Ip ⎢ p M M Ac = ⎢ M ⎢ Op Op ⎢ Op ⎢− a0 I p − a1I p − a2 I p ⎣
⎡O p ⎤ ⎢O ⎥ ⎢ p⎥ Bc = ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢O p ⎥ ⎢Ip ⎥ ⎣ ⎦
y = Ccx
Op ⎤ L Op ⎥ ⎥ M ⎥ ⎥ L Ip ⎥ L − an−1I p ⎥ ⎦ L
=
1 ⎡ β n −1s n −1 + β n − 2 s n − 2 + L + β1s + β 0 ⎤ ⎣ ⎦ D( s)
D( s ) = s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0
（common denominator）
其矩阵分块形式的能控规范型实现为
& = Ac x + B c u , x
y = [ 0 L 1] x = cx
（3）多输入-多输出系统传递函数矩阵的实现 严 格 真
(q × p)
传
递
函
数
矩
阵
G ( s ) = { gi , j ( s )}, i = 1,L , q; j = 1,L , p ，其展开式为
⎡ g11 ( s ) L g1 p ( s ) ⎤ ⎡ m11 ( s ) L m1 p ( s ) ⎤ 1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ G (s) = ⎢ M M ⎥= M M ⎥ D( s) ⎢ ⎢ g q1 ( s ) L g qp ( s ) ⎥ ⎢ mq1 ( s ) L mqp ( s ) ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
该实现也可由单输入-单输出系统的能观测规范型推广得到：
−a0 ⎤ M ⎡ 0 ⎡ β1,0 L β p ,0 ⎤ ⎢L L L ⎥ ⎢β ⎥ ⎢ ⎥ β L 1,1 ,1 p ⎥ u = Ax + Bu & =⎢ −a1 ⎥ x + ⎢ x M ⎢ M M ⎥ ⎢ ⎥ I M M ⎢ ⎥ ⎢ n −1 ⎥ β β L ⎢ p , n −1 ⎥ ⎣ 1,n −1 ⎦ ⎢ ⎥ a M − n −1 ⎦ ⎣
g1 (s)
g q (s)
y1 ( s)
M yq ( s )
M
y (s) = G (s)u (s)
式中 G ( s ) 为一列向量
ˆ1 ( s ) ⎤ ⎡ d1 ⎤ ⎡ g ˆ1 ( s ) ⎤ ⎡ g1 ( s ) ⎤ ⎡ d1 + g ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ˆ M M M G (s) = ⎢ M ⎥ = ⎢ = + ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = d + G ( s) ⎢ gq ( s ) ⎥ ⎢ d q + g ⎢ ⎥ ⎢ ˆ q ( s) ⎥ ˆ q ( s) ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣dq ⎦ ⎣ g ⎦
件是：
( A, B ) 可控且 ( A, C ) 可观测
结论 2 严 格 真 传 递 函 数 矩 阵 G (s) 的 任 意 两 个 最 小 实 现
( A, B , C ) 与
( A, B, C ) 之间必代数等价，即两个最小实现之间由非奇异线性变
换阵
T
使下式成立
A = T −1 AT ，
结论 3
Ao = SAU
由
⎡S⎤ ⎡ SB ⎤ ⎡ Bo ⎤ =⎢ ⎥ TB = ⎢ ⎥ B = ⎢ ⎥ S S B ⎣ 1⎦ ⎣ 1 ⎦ ⎣ Bo ⎦
有
Bo = SB
（2）先求可观测型再求可控子系统的方法
（3）直接求取约当型最小实现的方法 当 G ( s ) 诸元易分解为部分分式，且为实极点时，该方法简便
C c = [β 0
L
β n −1 ]
矩阵分块形式的能观测规范型实现为
⎡Oq Oq ⎢I O q ⎢ q A0 = ⎢Oq I q ⎢ M ⎢M ⎢Oq Oq ⎣
L Oq L Oq L Oq M L Iq
− a0 I q ⎤ − a1 I q ⎥ ⎥ − a2 I q ⎥ ⎥ M ⎥ − an−1 I q ⎥ ⎦
4.1
传递函数的可控和可观测规范型实现
G (s)
{ A, B, C , D}
说明：由于具体实现过程中对状态变量的选取不是唯一的，所以系统 的实现相应的也不唯一。
典型实现方式： 可控规范型：满足传函关系 且 可控 可观规范型：满足传函关系 且 可观
（1）
单输入-多输出系统传递函数矩阵的实现
u1 ( s)
B = T −1B ，
C = CT
传递函数矩阵 G ( s ) 的最小实现的维数为
G ( s ) 的次数 nδ ，或
G ( s ) 的极点多项式的最高次数。
证 已知多变量系统可控可观测的充要条件是：
G ( s ) 的极点多项式 ϕ ( s ) = A 的特征多项式 det( s I − A )
故
ϕ ( s ) 的最高次数（或 G (s) 的次数） n 等于 A 的维数；又知 ( A, B ) 可控，
2 2 ⎤ − s +1 s + 2 ⎥ ⎥ 1 ⎥ s+3 ⎥ ⎦
将各不同分式提到矩阵以外，有
⎡ 1 1 ⎢ G ( s) = ⎢ s +1 ⎢ 1 ⎢ ⎣2
若
⎤ 2⎥ 1 ⎡0 ⎥+ s+2⎢ ⎣0 ⎥ 0 ⎥ ⎦
n j −1
n j −1
+ L + a j ,1 s + a j , 0
n j −2
则
nij ( s ) = β ij ,n j −1 s
+ β ij ,n j −2 s
+ L + β ij ,1 s + β ij ,0
i = 1, L , q
由单输入-多输出系统的实现可知， G j ( s ) 能控规范型可表示为：
简化求法 记T
T
−1
−1
为
⎡ Sn ×n ⎤ = ⎢ o ⎥ Δ U n×no S ⎣ 1( n −no )×n ⎦
−1
[
U1n×( n −n
o)
]
0 ⎤ I n −no ⎥ ⎦
由
⎡S⎤ ⎡ SU TT −1 = ⎢ ⎥ [U U1 ] = ⎢ ⎣ S1 ⎦ ⎣ S1U
有：
SU1 ⎤ ⎡ I no =⎢ S1U1 ⎥ ⎦ ⎣0
SU = I no
由
CT −1 = C [U U1 ] = [CU CU1 ] = [Co
有：
0]
C o = CU
由
S⎤ ⎡ SAU [ ] TAT −1 = ⎡ A U U = 1 ⎢ ⎢ ⎣ S1 AU ⎦ ⎣ S1 ⎥
有：
SAU1 ⎤ ⎡ Ao =⎢ S1 AU1 ⎥ ⎦ ⎣ A21
0⎤ Ao ⎥ ⎦
例
已知 G ( s ) ，试求约当型最小实现：
1 ⎡ ⎢ s +1 G (s) = ⎢ 1 ⎢ ⎢ ( s + 1)( s + 3) ⎣
2 ⎤ ( s + 1)( s + 2) ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ s+3 ⎦
解: 将 G ( s ) 诸元应用部分分式展开，有
1 ⎡ ⎢ s +1 G ( s) = ⎢ ⎢12 − 12 ⎢ ⎣ s +1 s + 3
可得 G ( s ) 的能控型实现为
β1 j ,n −1 ⎤
j
⎥ ⎥ β qj ,n j −1 ⎥ ⎦ q ×n j M
An×n
⎡ A1 ⎢ =⎢ ⎢ ⎣
A2
O
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ Ap ⎦
，
Bn× p
⎡b1 ⎢ =⎢ ⎢ ⎣
b2 O
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ bp ⎦
,
C q× n = ⎡ ⎣C1
C2
L
Cp⎤ ⎦
若 ( A, C ) 可观测，则 ( A, B, C ) 为最小实现 若：
δ
( A, C ) 可观测，故 ( A, B, C ) 为最小实现。
4.3
最小实现的解法
思路：寻求传递函数矩阵的最小实现，就意味着要把系统中不能控和 不能观测的状态变量消去而不致于影响系统的传递函数。
降阶法（一般方法） ： 先写出满足
G ( s ) 的可控型实现，
找出能观测子系统
基本工具：结构分解
第四章 传递函数的状态空间实现
本章所研究的问题是： 怎样由系统的传递函数来确定对应的状态空间 方程,即传递函数的状态空间实现问题。 实质：是利用系统的外部描述（系统传递函数） ，在状态空间中寻找 一个外部与原系统等价的系统内部结构(状态空间)。 意义：研究实现问题，能深刻揭示系统的内部特性，将系统从黑箱状 态变为白箱状态,便于在状态空间对系统进行综合，并对系统进行计 算机仿真， 实现问题在经典控制理论和现代控制理论之间架起沟通的 桥梁。
⎥ ⎥x L β q ,n −1 ⎥ ⎦
Cx＋du
（2）
多输入-单输出系统递函数矩阵的实现