北师大数学选修21应用案巩固提升：第二章 1 从平面向量到空间向量 含解析
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》word整章教案
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。
教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
（二）、基本运算1、向量的运算及其性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则),(2121yyxxba++=+abba+=+)()(cbacba++=++ACBCAB=+向量的减法三角形法则),(2121yyxxba--=-)(baba-+=-BAAB-=ABOAOB=-向量的乘法1a是一个向量,满足:2>0时,aλ与a同向;λ<0时,aλ与a异向;λ=0时, aλ=0),(yxaλλλ=aa)()(λμμλ=aaaμλμλ+=+)(babaλλλ+=+)(a∥babλ=⇔向量的ba∙是一个数10=或0=b时,ba∙=02121yyxxba+=∙abba∙=∙)()()(bababa∙=∙=∙λλλcbcacba∙+∙=∙+)(数 量 积20≠且0≠b 时,),cos(||||b a b a b a =∙22||a a =22||y x a +=||||||b a b a ≤∙2、平面向量基本定理：如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使a =； 注意)(21+=,)1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC －2OA )=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+ ，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ） A ．15BC ． 14D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=)||||AC AB ++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 （四）、作业布置1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为 。
北师大版数学选修2-1：第二章1知能演练轻松闯关
1.(2012·吉安检测)下列有关空间向量的说法中，正确的是( ) A ．如果两个向量的模相等，那么这两个向量相等 B ．如果两个向量的方向相同，那么这两个向量相等C ．如果两个向量平行且它们的模相等，那么这两个向量相等D ．同向且等长的有向线段表示同一向量解析：选D.相等向量要求模相等且方向相同，故A 和B 错误；平行向量可以方向相同也可以方向相反，故C 错误．D 显然正确． 2.(2012·西安调研)若空间向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不同的方向 B ．有不相等的模 C ．不可能是平行向量 D ．不可能都是零向量解析：选D.a ，b 不相等，可能方向不同，也可能模不相等，所以A ，B ，C 都不正确，只有D 正确．3.已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1，则分别以此棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，与向量AA 1→的模相等的向量(AA 1→本身除外)共有________个，与向量AA 1→相等的向量(AA 1→本身除外)共有________个．解析：注意模相等、方向相同和相反都要考虑． 答案：5 24.在长方体中，从同一顶点出发的三条棱长分别为1，2，3，在分别以长方体的任意两个顶点为起点和终点的向量中，模为1的向量有________个．解析：研究长方体模型可知，所有顶点两两连接得到的线段中，长度为1的线段只有4条，故模为1的向量有8个． 答案：8[A 级 基础达标]1.下列说法正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小解析：选D.任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A 、B 不正确．向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C 不正确．由于向量的模是一个实数，故可以比较大小．2.下列有关平面法向量的说法中，不正确的是( ) A ．平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量 B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a ，b 与平面α平行，且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量解析：选D.依据平面向量的概念可知A ，B ，C 都是正确的．当a 与b 共线时，n 就不一定是平面α的法向量，故D 错误．3.(2012·蚌埠质检)在正四面体A -BCD 中，如图，〈AB →，DA →〉等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选D.两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量DA →的起点平移到A 点处，再求夹角得〈AB →，DA →〉＝120°，故选C.4.在正四面体A -BCD 中，O 为面BCD 的中心，连接AO ，则面BCD 的一个法向量可以是________．解析：由于A -BCD 是正四面体，易知AO ⊥平面BCD .答案：AO →5.如图，棱长都相等的平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知∠A 1AB ＝60°，则〈AA 1→，CC 1→〉＝________；〈AB →，C 1D 1→〉＝______；〈BA →，DD 1→〉＝________．解析：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1→∥CC 1→，且方向相同，所以〈AA 1→，CC 1→〉＝0°；因为AB ∥CD ，CD ∥C 1D 1，所以AB ∥C 1D 1，所以AB →∥C 1D 1→，但方向相反，所以〈AB →，C 1D 1→〉＝180°；因为AA 1→＝DD 1→，所以〈BA →，DD 1→〉＝〈BA →，AA 1→〉＝180°－∠A 1AB ＝120°. 答案：0° 180° 120°6.(2012·咸阳调研)如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC A 1B 1C 1.(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，举出与向量AB →相等的向量；(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，举出向量AC →的相反向量；(3)若E 是BB 1的中点，举出与向量AE →平行的向量．解：(1)由正三棱柱的结构特征知与AB →相等的向量只有向量A 1B 1→.(2)向量AC →的相反向量为CA →，C 1A 1→.(3)取AA 1的中点F ，连接B 1F (图略)，则B 1F →，FB 1→，EA →都是与AE →平行的向量．[B 级 能力提升]7.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，则异面直线FE →与GH →所成的角等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选B.因为FE →与BA 1→同向共线，GH →与BC 1→同向共线，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→〉，在正方体中△A 1BC 1为等边三角形，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→〉＝60°.8.(2012·商洛质检)如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，P A ＝AC ，则在向量AB →，BC →，CA →，P A →，PB →，PC →中，夹角为90°的共有( )A ．6对B ．5对C ．4对D ．3对解析：选B.因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥BC ，平面P AB ⊥平面ABC . 又平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，BC ⊥AB ，所以BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥PB .由此知〈P A →，AB →〉，〈P A →，BC →〉，〈P A →，CA →〉，〈BC →，AB →〉，〈BC →，PB →〉都为90°.9.若把空间内所有单位向量的起点放置于同一点，则这些向量的终点构成的图形是________．答案：半径为1的球面10.如图，在三棱锥S －ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 都是等边三角形，∠BAC ＝90°，O是BC 的中点，证明：SO →是平面ABC 的一个法向量．证明：由题意知，侧面SAB 与侧面SAC 都是等边三角形，故设SA ＝SB ＝SC ＝a ，因为O 是BC 的中点，SB ＝SC ，所以SO ⊥BC .因为∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝a ，AO ⊥BC ，所以AO ＝22a ，又SO ＝22a ，SA ＝a ，所以△ASO 是等腰直角三角形，即SO ⊥OA ，又OA ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC ，所以SO →是平面ABC 的一个法向量．11.(创新题)如图所示，正四面体ABCD 中，E 是AC 的中点，求BE →与CD →的夹角的余弦值．解：过E 作EF ∥CD 交AD 于F ，连接BF .∠BEF 为向量BE →与CD →的夹角的补角． 设正四面体棱长为1，则BE ＝32，EF ＝12，BF ＝32.由余弦定理得cos ∠BEF ＝|BE |2＋|EF |2－|BF |22|BE ||EF |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫122－⎝⎛⎭⎫3222×32×12＝36. ∴BE →与CD →所成的角的余弦值为－36.。
北师大数学选修21应用案巩固提升：第二章 2 空间向量的运算 含解析
[A 基础达标]1．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C. 23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →解析：选A.因为2AC →＋CB →＝0，所以CB →＝－2AC →＝2CA →，所以OC →＋OB →＝2OA →，故OC →＝2OA →－OB →.2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D解析：选A.因为AB →＝a ＋2b .BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →， 所以AB →∥BD →，由于AB →与BD →有一个公共点B ， 所以A 、B 、D 三点共线．3．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝3OA →－2OB →－OC → B.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＝14OB →－OA →＋12OC →解析：选C.因为MA →＋MB →＋MC →＝0，所以MA →＝－MB →－MC →，所以M 与A ，B ，C 必共面．4．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →＞0，BC →·CD →＞0，CD →·DA →＞0，DA →·AB →＞0，则该四边形为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平面四边形D ．空间四边形解析：选D.因为AB →·BC →＞0，所以〈AB →，BC →〉为锐角，所以∠B 为钝角，同理可得∠C ，∠D ，∠A 均为钝角，则有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＞360°. 所以该四边形为空间四边形．5.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选B.令BA →＝a ，BC →＝b ，BB 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝m (m ＞0)，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，EF →＝12(c －a )，BC 1→＝b ＋c ，又|EF →|＝22m ，|BC 1→|＝2m ，所以cos 〈EF →，BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝12m 222m ·2m＝12，所以直线EF 和BC 1所成的角为60°. 6．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________． 解析：原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →)＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →) ＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0. 答案：07．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，若AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝________．解析：BD →＝BC →＋CD →＝BC →－DC →＝6(e 1＋e 2)，因为A 、B 、D 三点共线，可令AB →＝λBD →，即e 1＋k e 2＝6λ(e 1＋e 2)，又e 1，e 2不共线，故有⎩⎪⎨⎪⎧6λ＝16λ＝k，所以k ＝1.答案：18．如图，已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3，∠BAA 1＝60°，E 为棱C 1D 1的中点，则AB →·AE →＝________．解析：AE →＝AA 1→＋AD →＋12AB →，AB →·AE →＝AB →·AA 1→＋AB →·AD →＋12AB →2＝4×3×cos 60°＋0＋12×42＝14.答案：149.如图所示，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.求证：CC 1⊥BD .证明：设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ， 则|a |＝|b |.因为BD →＝CD →－CB →＝b －a ， 所以BD →·CC 1→＝(b －a )·c ＝b ·c －a ·c ＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0，所以CC 1→⊥BD →，即CC 1⊥BD . 10.如图所示，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．解：因为M 、N 分别是AC 、BF 的中点，且四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →. 又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN → ＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，所以12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →.所以CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)． 所以CE →＝2MN →.所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．[B 能力提升]11．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B.因为DB →＋DC →－2DA →＝(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)＝AB →＋AC →， 所以(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0， 所以|AB →|＝|AC →|， 即△ABC 是等腰三角形． 12．已知在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 1的长为________．解析：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，|a |＝|b |＝|c |＝1. AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝a ＋b ＋c . |AC 1→|＝（a ＋b ＋c ）·（a ＋b ＋c ）＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝3＋6cos 60°＝ 6.答案： 613.如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，点H 为PC 上的点，且PH HC ＝12，点G 在AH 上，且AGAH ＝m ，若G ，B ，P ，D 四点共面，求m 的值．解：连接BG (图略)． 因为AB →＝PB →－P A →，AB →＝DC →，所以DC →＝PB →－P A →，因为PC →＝PD →＋DC →， 所以PC →＝PD →＋PB →－P A →＝－P A →＋PB →＋PD →. 因为PH HC ＝12，所以PH →＝13PC →，所以PH →＝13(－P A →＋PB →＋PD →)＝－13P A →＋13PB →＋13PD →.又因为AH →＝PH →－P A →， 所以AH →＝－43P A →＋13PB →＋13PD →，因为AGAH＝m ，所以AG →＝mAH →＝－4m 3P A →＋m 3PB →＋m 3PD →，因为BG →＝－AB →＋AG →＝P A →－PB →＋AG →， 所以BG →＝⎝⎛⎭⎫1－4m 3P A →＋⎝⎛⎭⎫m 3－1PB →＋m 3PD →. 又因为G ，B ，P ，D 四点共面， 所以1－4m 3＝0，m ＝34.即m 的值是34.14．(选做题)如图，P A 垂直于矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD . 证明：(1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c ， 则MN →＝MB →＋BC →＋CN → ＝12AB →＋AD →－12PC → ＝12AB →＋AD →－12(P A →＋AD →＋DC →) ＝12AB →＋AD →＋12AP →－12AD →－12AB → ＝12(AD →＋AP →)＝12(b ＋c )， 所以MN →·CD →＝12(b ＋c )·(－a )＝－12(a ·b ＋a ·c )，因为四边形ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，所以a ⊥b ，a ⊥c ，所以a ·b ＝a ·c ＝0， 所以MN →·CD →＝0，所以MN →⊥CD →， 故MN ⊥CD .(2)由(1)知，MN ⊥CD ，MN →＝12(b ＋c )，因为PD →＝AD →－AP →＝b －c ， 所以MN →·PD →＝12(b ＋c )·(b －c )＝12(|b |2－|c |2)， 因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AD ， 又∠PDA ＝45°，所以P A ＝AD ，所以|b |＝|c |， 所以MN →·PD →＝0，所以MN →⊥PD →， 所以MN ⊥PD ，因为CD ，PD 平面PCD ，且CD ∩PD ＝D ， 所以MN ⊥平面PCD .。
北师大版数学选修2-1教案：第二章+§1从平面向量到空间向量
科目：教师：授课时间：第周星期年①用有向线段AB →表示， 如图，两非零向量a ，空间中任意一点O ，作向量→→精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
北师大选修2-1第二章 1
π → → ∴AC⊥DD1，∴〈AC，DD1〉＝2.
→ → (2)〈AC，CD1〉 ；
解 பைடு நூலகம்接AD1，则AC＝CD1＝AD1，
π 故△ACD1 为正三角形，∠ACD1＝3， 2π → → ∴〈AC，CD1〉＝ 3 .
解析答案
→ → (3)〈AC，A1D〉 ；
解
方法一
→ → 连接 AB1，B1C，则有A1D＝B1C，
反思与感悟
本题研究了三个特殊的夹角，在数学中所研究的向量是与
向量的起点无关的自由向量，可以设法将向量平移到同一起点上，然后 再研究向量之间的夹角问题.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练3
在正方体ABCD－A1B1C1D1中求下列向量的夹角：
→ → (1)〈AC，DD1〉 ；
解
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱DD1⊥底面ABCD，AC面ABCD，
解
→ → 真命题.因为BA与AB仅是方向相反，但长度是相等的.
反思与感悟
空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其
他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量 等都可以拓展为空间向量的相关概念.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1
如图所示，以长方体 ABCD－ A1B1C1D1的
解析答案
→ → (4)〈AC，BD1〉.
解
方法一
连接BD，则AC⊥BD，
又AC⊥DD1，BD∩DD1＝D.∴AC⊥面BD1D，
π → → ∵BD1 面 BDD1，∴AC⊥BD1，∴〈AC，BD1〉＝2.
方法二
连接BD交AC于点O，取DD1的中点M，
→ 1→ → → → → 则OM＝2BD1，∴〈AC，BD1〉＝〈AC，OM〉 ，
数学 第二章 空间向量与立体几何 2.1 从平面向量到空间向量教案 北师大版选修2 1 教案
从平面向量到空间向量一、设计思路本节是北师大版高中数学选修2-1第二章第一节内容，学生已经学习了平面向量和空间几何体及其点线面位置关系，本章是平面向量的推广和延伸，是解决空间问题的有力工具.学生是学习的主体，本节课注重给学生提供各种参与机会：通过自学，小组讨论，多媒体展示，最大程度地激发学生参与教学的过程.结合教材以及本班学生情况，本节教学内容设计为两个部分，第一部分是向量的概念，着重学生自学与合作后的展示.通过与平面向量的类比，引入空间向量的相应概念：空间向量、向量的表示、自由向量、向量的模、向量，的夹角等.第二部分是向量、直线、平面，主要由教师引导完成教学内容.通过分析向量与直线，向量与平面的位置关系，引入直线l的方向向量，平面 的法向量等概念.通过这两部分的设计，降低学生的理解难度，突出了类比的数学思想方法.二、教学目标1. 知识与技能：(1)了解空间向量的有关概念；(2)掌握两个空间向量的夹角、方向向量和平面的法向量的概念.2. 过程与方法：经历向量从平面到空间推广的过程，分析向量与直线、平面的位置关系，让学生学会类比的数学思想方法.3. 情感与态度：尝试解决问题过程中，让学生树立类比分析、循序渐进解决数学问题的能力；借助直观模型，让学生感受从感性到理性，从具体到抽象的研究问题的方法.三、教学重点及处理设想理解向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念.借助平面向量以及空间平行概念的基础，对向量的概念从维度(二维平面到三维空间)进行推广，可让学生从周围的几何体(长方体模型，教室等)培养学生的空间想象能力. 四、教学难点及处理设想理解共面向量的概念.对于空间两个向量都是共面向量的认同，处理设想为可以借助空间异面直线的概念提出空间两向量是否可能异面的问题，继而结合自由向量和相等向量的概念来解决.五、教学方法导学法，讨论法.六、教学准备学生学案，多媒体课件.七、教学流程设计2.学案导学（学案详见附1）知识要点：(1)空间向量的有关概念空间向量的概念及表示自由向量向量的模(或长度)④向量a,b的夹角、X围及垂直与平行(共线)⑤单位向量⑥零向量⑦相等向量⑧相反向量⑨共面向量(2)向量、直线、平面激励主动学习，培养自主探究能力.(1)对于让学生感受到维度改变(平面到空间)对概念产生的影响，培养类比的意识；对于④⑤⑥⑦⑧让学生感受直接由平面向量类比得到空间向量的相关概念所得到的成就感；对于⑦结合数量适时引出“向量不能比较大小”的结论；对于④直线l的方向向量平面α的法向量适时回顾区分向量与异面直线的夹角概念的区别,对于⑦引出“空间任何两个向量都共面”的结论.(2)对于直线的方向向量与平面的法向量主要由教师随后引导完成概念教学.5.教师引导性讲解向量、直线、平面直线l的方向向量平面 的法向量借助多媒体向同学引入直线的方向向量和平面的法向量的概念，并且完成问题(7)(8).八、教学反思1.《新课程标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法(类比与归纳)，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题.同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质.掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，空间向量的基本概念是后续学习的前提，空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算相似，所以，空间向量的教学要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.教师的教学实际上就是保证和促进学生学习的主动性和知识体系的建构.本节课尝试让学生自主学习，主要过程包括:(1)预习交流——学生按照“学案”进行课前预习或当堂预习交流；(2)小组讨论——根据自学任务小组进行讨论交流，完成预期任务；(3)展示交流——各组根据组内讨论情况，对本组的学习任务进行讲解展示；(4)穿插巩固——在展示过程中，对未能展现的学习任务进行巩固练习.(5)学后反思——对学习过程中的感受进行总结.。
新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测(含答案解析)
一、选择题1．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）A ．85B ．97C ．12D ．230 2．如图，四边形ABCD 和ABEF 都是正方形，G 为CD 的中点，60DAF ∠=，则直线BG 与平面AGE 所成角的余弦值是（ ）A ．25B ．105C ．155D ．2153．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(02)AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为( )A ．23B ．2C ．223λD ．2554．如图，已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =， 011120A AB A AD ∠=∠=，则线段1AC 的长为（ ）A ．2B ．1C ．2D ．35．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．105B ．1010C ．32D ．626．如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角为,3π=,,a AB b CD =则=a b ⋅A ．5-B ．1-C ．3-D ．6-7．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S ==B ．21=S S 且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠8．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面的中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）若,AM MP ⊥则点P 形成的轨迹的长度为( ) A ．76 B ．75 C ．72 D ．749．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，点E F 、分别是棱AB 、BC 的中点，则点1C 到平面1B EF 的距离等于（ ）A ．23B ．223C ．33D ．4310．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形， Q 为BC 的中点，PQ ⊥面ABCD ，且2PQ =，动点N 在以D 为球心半径为1的球面上运动，点M 在面 ABCD内运动，且PM 5=，则MN 长度的最小值为（ ）A ．352-B ．23-C ．25-+D ．332- 11．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（ ）A ．12B ．24C ．22D 312．在平面直角坐标系中，()2,3A -、()32B -，，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则AB 的长为（ ）A 2B ．211C ．32D ．42二、填空题13．在空间四边形ABCD 中，连接AC 、BD ,若BCD 是正三角形，且E 为其中心，则1322AB BC DE AD +--的化简结果为________． 14．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AB ⊥AC ，且AA 1=AB=AC ，则异面直线AB 1与BC 1所成角为_____．15．已知平面向量()21,3m =+a 与()2,m =b 是共线向量且0⋅<a b ,则=b __. 16．已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为________．17．如图所示，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA =，1AB BC ==，动点P 、Q 分别在线段1C D 、AC 上，则线段PQ 长度的最小值是______．18．如图，空间四边形OABC 中，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别为_____．19．在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,2,3)A -到原点的距离为__________．20．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.三、解答题21．在①()()DE CF DE CF +⊥-，②17||2DE =，③0cos ,1EF DB <<这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.问题：如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -.已知点1D 的坐标为()0,0,2，E 为棱11D C 上的动点，F 为棱11B C 上的动点，___________，试问是否存在点E ，F 满足1EF AC ⊥？若存在，求AE BF ⋅的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．如图.四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是直角梯形，BC ∥AD ，AB AD ，AD=2BC=2，四边形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形.（1）证明；平面ABB 1A 1平面ABCD ；（2）求二面角B 1 CD-A 的余弦值.23．如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD AB ⊥，4AB AS ==，3AD =，6BC =，E 为SB 的中点．（1）求证：//AE 平面SCD ．（2）求二面角B AE C --的余弦值．24．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，已知2,6PB PD PA ===，E 为PA 的中点．（1）求证PC BD ⊥；（2）求直线PC 与平面 PBD 所成角的正弦值．（3）求二面角B PC E --的余弦值．25．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，其中四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，1//902AB AF BE AF BE BAF ==∠=︒，，，M 为线段CE 上一点，//MF 平面ABCD ．（1）确定点M 的位置，并证明你的结论；（2）求直线DF 与平面BFM 所成角的正弦值．26．如图，四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，60DAB ∠=︒，2AB AD CD ==，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD △为等腰直角三角形，90APD ∠=︒．（Ⅰ）求证：AD PB ⊥；（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得．【详解】记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152b c ⋅=，10a c ⋅=，由空间向量加法法则得AC a b c '=++， ∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c '=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=， ∴85AC '=AC '=．故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．2．C解析：C【分析】 以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，利用空间向量法可求得直线BG 与平面AGE 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，得()0,0,0A 、()2,1,0G 、()0,2,0B 、(1,3E ，则()2,1,0AG =，(3AE =，()2,1,0BG =-，设平面AGE 的法向量为(),,n x y z =， 则20230n AG x y n AE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，则2y =-，3z = 所以，平面AGE 的一个法向量为(1,2,3n =-， 从而10cos ,225n BGn BG n BG ⋅<>===⨯⋅， 故直线BG 与平面AGE 2101515⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h lθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.3．D解析：D【分析】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点G 到平面1D EF 的距离 .【详解】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()()()12,,2,0,0,2,2,0,1,2,2,1G D E F λ，()()()12,0,1,0,2,0,0,,1ED EF EG λ=-==，设平面1D EF 的法向量(),,n x y z =，则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩，取1x =，得()1,0,2n =，∴点G 到平面1D EF 的距离为 2255EG nd n ⋅===，故选D. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 4．A解析：A【分析】由11AC AB BC CC =++，两边平方，利用数量积的运算法则及数量积公式能求出21AC 的值，从而可得结果.【详解】平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，1112,120AA A AB A AD =∠=∠=， 11AC AB BC CC ∴=++，()2211AC AB BC CC ∴=++222111222AB BC CC AB CC BC CC AB BC =+++⋅+⋅+⋅ 114212cos120212cos12002=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+=， ∴线段1AC 的长为12AC = A.【点睛】本题主要考查利用空间向量求线段的长，考查向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 5．A解析：A【分析】建立空间直角坐标系，求出向量AM 与1BC 的向量坐标，利用数量积求出异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值.【详解】 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点 ∴1(1,,1)2M ∴1(0,,1)2AM =，52AM =；1(1,0,1)B C =--，12B C =. ∴异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值为111110cos ,10AM B C AM B C AM B C⋅===⋅ 故选A.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM （或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．6．B解析：B【解析】设菱形中横向单位向量为,m 纵向单位向量为n ，则111,1122m n m n ==⋅=⨯⨯=，2a AB m n ==+，32b CD m n ==-+，()()232a b m n m n ⋅=+-+=223443421m n m n -+-⋅=-+-=-，故选B. 7．D解析：D 【分析】试题分析：结合其空间立体图形易知，112222=⨯⨯=S ，2312222S S ==⨯⨯=，所以23S S =且13S S ≠，故选D ．考点：空间直角坐标系及点的坐标的确定，正投影图形的概念，三角形面积公式． 8．C 解析：C【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P 的轨迹方程，得到P 的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．【详解】建立空间直角坐标系．设A （0，﹣1，0），B （0，1，0），S （0，03M （0，0，3P （x ，y ，0）． 于是有AM =（0，13MP =（x ，y ，3 由于AM ⊥MP ，所以（0，13•（x ，y ，30， 即y 34=，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2371()4-=．故选C ．【点睛】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题9．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，找到平面1B EF 的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可.【详解】以1D 为坐标原点，分别以11D A ，11D C ，1D D 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则1(2,2,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,1,2)E ，(1,2,2)F .设平面1B EF 的法向量为(,,)n x y z =，1(0,1,2)B E =-1(1,0,2)B F =-则1100n B E n B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩ 令1z =，得(2,2,1)n =.又11(2,0,0)BC =-，∴点1C 到平面1B EF 的距离1122|||2200|43||221n B C h n ⋅-⨯++===++， 故选：D .【点睛】 本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.10．C解析：C【分析】若要使MN 最短，点N 必须落在平面ABCD 内，且一定在DN 的连线上，此时应满足,,,D N M Q 四点共线，通过几何关系即可求解【详解】如图，当点N 落在平面ABCD 内，且,,,D N M Q 四点共线时，MN 距离应该最小，由PM 5=1MQ =，即点M 在以Q 为圆心，半径为1的圆上，由几何关系求得5DQ ，1DN MQ ==，故552NM DN MQ -=故答案选：C【点睛】本题考查由几何体上的动点问题求解两动点间距离的最小值，属于中档题11．B解析：B【分析】如图建立空间直角坐标系，可证明1A D ⊥平面11ABC D ，故平面11ABC D 的一个法向量为：1DA ，利用点到平面距离的向量公式即得解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则：1111(,,1),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)22O D A B C 111(,,0)22OD ∴=-- 由于AB ⊥平面111,ADD A AD ⊂平面11ADD A1AB A D ∴⊥，又11AD A D ⊥，1AB AD1A D ∴⊥平面11ABC D故平面11ABC D 的一个法向量为：1(1,0,1)DA = O ∴到平面11ABC D 的距离为： 1111||22||2OD DA d DA ⋅===故选：B【点睛】本题考查了点到平面距离的向量表示，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.12．D解析：D 【分析】作AC x ⊥轴于C ，BD x ⊥轴于D ，则AB AC CD DB =++，两边平方后代入数量积即可求得2||AB ，则AB 的长可求．【详解】如图，()2,3A -，()3,2B -，作AC x ⊥轴于C ，BD x ⊥轴于D ，则()2,0C -，()3,0D ，3AC ∴=，5CD =，2DB =，沿x 轴把坐标平面折成60︒的二面角，CA ∴<，60DB >=︒，且0AC CD CD DB ⋅=⋅=，222||()AB AB AC CD DB ∴==++ 222222AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅19254232322⎛⎫=+++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭． 42AB ∴=即AB 的长为42故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间角，向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 二、填空题13．【分析】由题意结合重心的性质和平面向量的三角形法则整理计算即可求得最终结果【详解】如图取BC 的中点F 连结DF 则∴【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：0【分析】由题意结合重心的性质和平面向量的三角形法则整理计算即可求得最终结果.【详解】如图，取BC 的中点F ，连结DF ，则23DF DE =， ∴1322AB BC DE AD +--AB BF DF DA =+-+AF FD DA =++0=.【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14．【解析】连结A1B ∵AA1⊥面ABC 平面A1B1C1∥面ABC ∴AA1⊥平面A1B1C1∵A1C1⊂平面A1B1C1∴AA1⊥A1C1∵△ABC 与△A1B1C1是全等三角形AB ⊥AC ∴A1B1⊥A1 解析：2π 【解析】连结A 1B ，∵AA 1⊥面ABC ，平面A 1B 1C 1∥面ABC ，∴AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴AA 1⊥A 1C 1，∵△ABC 与△A 1B 1C 1是全等三角形，AB ⊥AC ，∴A 1B 1⊥A 1C 1，∵A 1B 1∩AA 1=A 1，∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，又∵AB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1C 1⊥AB 1，∵矩形AA 1B 1B 中，AA 1=AB ，∴四边形AA 1B 1B 为正方形，可得A 1B ⊥AB 1，∵A 1B∩A 1C 1=A 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1，结合BC 1⊂平面A 1BC 1，可得AB 1⊥BC 1，即异面直线AB 1与BC 1所成角为2π． 故答案为2π．15．【解析】∵向量与是共线向量∴∴或∵∴即∴则∴故答案为解析：22【解析】∵向量(21,3)a m =+与(2,)b m =是共线向量∴(21)6m m +=∴32m =或2m =- ∵0a b ⋅<∴(21)230m m +⨯+<，即27m <-∴2m =-，则(2,2)b =-∴22(b =+=故答案为16．【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知AC 的中点即为BD 的中点AC 的中点设D(xyz)则∴x ＝5y ＝13z ＝－3故D(513－3)解析：(5,13,3)-【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC 的中点即为BD 的中点，AC 的中点7(,4,1)2O - ，设D (x ，y ，z )， 则7251,4,12222x y z +-++==-= ∴x ＝5，y ＝13，z ＝－3，故D (5,13，－3)．17．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法计算出异面直线的公垂线的长度即为所求【详解】由题意可知线段长度的最小值为异面直线的公垂线的长度如下图所示以点为坐标原点所在直线分解析：13【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度，即为所求.【详解】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，所以，()1,1,0AC =-，()10,1,2=DC ，()1,0,0DA =，设向量(),,n x y z =满足n AC ⊥，1⊥n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得2x y y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-， 可得()2,2,1n =-， 因此，min 23DA n PQ n ⋅==. 故答案为：23. 【点睛】 关键点点睛：解本题的关键在于将PQ 长度的最小值转化为异面直线AC 、1C D 的距离，实际上就是求出两条异面直线的公垂线的长度，利用空间向量法求出两条异面直线间的距离，首先要求出两条异面直线公垂线的一个方向向量的坐标，再利用距离公式求解即可. 18．【解析】∵∴∴故答案为解析：111,,633【解析】∵ O G OM MG =+，12OM OA =，2 ,3MG MN MN ON OM ==-，1 ()2ON OB OC =+，∴111 633OG OA OB OC =++，∴16x =，13y z ==，故答案为111,,63319．【解析】距离【解析】距离d ==20．【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛：本题主要考查空间两点的距离余弦定解析：)【解析】分析：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，由余弦定理可得22233cos 22VC a a VDC =-∠，利用三角函数的有界性可得结果. 详解：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，则VD VC == VDC ∠是二面角V AB C --的平面角，可得0,1cos 1VDC VDC π<∠<-<∠<，在三角形VDC 中由余弦定理可得，2222cos VC VDC ⎫⎫=+-∠⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2233cos 22a a VDC =-∠22030VC a VC <<⇒<<，即VC 的取值范围是()，为故答案为().点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题. 三、解答题21．答案见解析【分析】先利用已知条件写出点坐标，设(0,,2)(02),(,2,2)(02)E a a F b b ≤≤≤≤，进而得到1,,,EF A A F C E B 的坐标，利用空间向量数量积的坐标表示求出1,EF A AE BF C ⋅⋅；若选① ：利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量垂直的性质即可求解；若选② ：利用空间向量模的坐标表示公式即可得出结果；若选③ ：利用空间向量夹角的性质进行求解即可.【详解】解：由题意，正方体1111ABCD A BC D -棱长为2，则1(2,0,0),(2,2,0),(2,0,2),(0,0,0),(0,2,0)A B A D C ，设(0,,2)(02),(,2,2)(02)E a a F b b ≤≤≤≤，则1(,2,0),(2,2,2),(2,,2),(2,0,2)EF b a A AE a BF b C =-=--=-=-， 所以142(),82EF A a b AE C BF b ⋅=-+⋅=-.选择①：()()DE CF DE CF +⊥-，所以22()()0,DE CF DE CF DE CF +⋅-==，得a b =，若10EF AC ⋅=得42()0a b -+=， 则1a b ==，故存在点(0,1,2),(1,2,2)E F ，满足10EF AC ⋅=，826AE BF b ⋅=-=. 选择②：因为17||2DE =，=， 得12a =， 若10EF AC ⋅=， 即42()0a b -+=，得32b =. 故存在点130,,2,,2,222E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 满足10EF AC ⋅=，825AE BF b ⋅=-=. 选择③：因为0cos ,1EF DB <〈〉<，所以EF 与DB 不共线，所以2b a ≠-，即2a b +≠，则142()0EF AC a b ⋅=-+≠，故不存在点,E F 满足10EF AC ⋅=. 【点睛】关键点睛：建立空间坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示、空间向量垂直的性质、空间向量模的坐标表示公式以及空间向量夹角的性质是解决本题的关键.22．（1）详见解析；（2）66. 【分析】（1）根据四边形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形，得到11,AA AB AA AD ⊥⊥，再由线面垂直的判定定理证得1AA ⊥平面ABCD ，然后利用面面垂直的判定定理证明.（2）以A 为原点，以1,,AB AD AA 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系,求得平面1BCD 的一个法向量为(),,m x y z =，又平面CDA 的一个法向量为()0,0,1n =，然后由cos ,m n m n m n ⋅=⋅求解.【详解】 （1）因为四边形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形.所以11,,AA AB AA AD AB AD A ⊥⊥⋂=，所以1AA ⊥平面ABCD ；又因为1AA ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1平面ABCD ；（2）以A 为原点，以1,,AB AD AA 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系：则()()()()10,0,0,2,1,0,0,2,0,2,0,2A C D B ，所以()()12,1,0,0,1,2CD CB =-=-，设平面1BCD 的一个法向量为(),,m x y z =， 则100m CD m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y y z -+=⎧⎨-+=⎩， 令1,2,1x y z ===，则()1,2,1m =，又平面CDA 的一个法向量为()0,0,1n =，所以16cos ,66m nm n m n ⋅===⋅， 二面角B 1CD-A 的余弦值是66【点睛】 方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．23．（1）证明见解析；（2）2211. 【分析】（1）取SC 的中点F ，连接,DF EF ，证明四边形ADFE 为平行四边形，可得//AE DF ，即可证//AE 平面SCD ；（2）建立如图所示空间直角坐标系，然后写出各点坐标，得平面ABE 的法向量为AD ，计算平面ACE 的法向量m ，利用数量积公式代入计算二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取SC 的中点F ，连接,DF EF因为E 、F 为SB 、SC 的中点，所以//EF BC 且132EF BC ==，又因为//AD BC ，3AD =，6BC =，所以//EF AD 且EF AD =，所以四边形ADFE 为平行四边形，所以//AE DF ，又AE ⊄平面SCD ，DF ⊂平面SCD ，所以//AE 平面SCD ． （2）因为SA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，所以建立如图所示空间直角坐标系， 则(0,0,0),(4,0,0),(4,6,0),(0,3,0),(2,0,2)A B C D E ，(2,0,2),(4,0,0),(4,6,0)AE AB AC ===，(0,3,0)AD = 由题意可知AD ⊥平面ABE ，设平面ACE 的法向量(,,)m x y z =所以00AC m AE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则460220x y x z +=⎧⎨+=⎩，得(3,2,3)m =-- 设二面角B AE C --的平面角为θ， 所以622cos cos ,322AD m θAD m AD m ⋅-====⨯，所以二面角B AE C --的余弦值为2211.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面关系的相互转化，通过中位线平行证明线线平行，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.24．（1）证明见解析（2）22（3）155 【分析】(1)由PB PD =可得出PO BD ⊥，再由菱形性质可得AC BD ⊥，即可证明BD ⊥平面POC ，可得PC BD ⊥；（2）先证明OP ⊥平面ABCD ，可以O 为原点，以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角；（3）由（2）利用向量法求二面角的余弦值.【详解】（1）设,AC BD 交点为O ,连接PO ，ABCD 是边长为2的菱形，,AC BD O ∴⊥是,AC BD 的中点，,PD O B BD P P =∴⊥，又PO ⊂平面POC ,AC ⊂平面 POC ，PO AC O =，BD ∴⊥平面POC ，PC ⊂平面POC ，.C BD P ∴⊥（2）60,2,A D B D A A B ︒===∠ABD ∴是等边三角形，又AB PB PD ==PBD ∴是等边三角形， 3P OA O ∴== 222OP PA OA +∴=，OA OP ∴⊥又,OP OB OA OB O ⊥⋂=OP ∴⊥平面ABCD ，以O 为原点，以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图:则(1,0,0),3,0),3)B C P ，(0,3,3PC ∴=-，而3,0)OC →=是平面 PBD 的一个法向量，设直线PC 与平面PBD 所成角为θ， 则||2sin 263|||||PC OC PC OC θ→→→→⋅===⋅ 所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为22. (3)由（2）知(3,0)BC →=-,(3,3PC =-设平面BPC 的法向量n (x,y,z)→=， 则.0.0n PC n BC ⎧=⎨=⎩,33030y z x y ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩, 令1y =，得3,1x z ==，所以(3,1,1)n →=，又BD ⊥平面EPC , (1,0,0)m ∴=是平面 EPC 的一个法向量，315cos ,||||515m n m n m n ⋅∴〈〉===⋅⋅， ∴二面角B PC E --的余弦值为155. 【点睛】关键点点睛：根据题目所给条件，利用平面几何知识证明OA OP ⊥，再根据OP OB ⊥，证明OP ⊥平面ABCD ，得以O 为原点，以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系是解题的关键所在.25．（1）点M 在CE 的中点处，证明见解析；（2）32. 【分析】（1）首先观察图形的特征，确定点M 的位置，之后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设出边长，写出点的坐标，利用向量法求得线面角的正弦值.【详解】（1）点M 在CE 的中点处，证明如下：取BC 中点P ，连接,BP AP ，根据题意，可知//,PM AF PM AF =，所以四边形AFMP 是平行四边形，所以//AP MF ，又因为FM ⊄平面ABCD ，AP ⊂平面ABCD ，所以//MF 平面ABCD ；（2）设1AF AB AD ===，如图建立空间直角坐标系，则有1(1,0,1),(1,1,0),(0,1,),(0,0,0)2D F M B ，所以(0,1,1)DF =-，1(1,1,0),(0,1,)2BF BM ==，设平面BFM 的法向量为(,,)n x y z =， 则有00n BF n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1y =，则有1,2x z =-=-， 所以平面BFM 的一个法向量为(1,1,2)n =--， 所以03cos ,26DF nDF n DF n ⋅+<>===⋅， 所以直线DF 与平面BFM 3 【点睛】 思路点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题思路如下：（1）首先根据图形的特征，判断出点的位置，之后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）在证明的过程中，注意线在面外和线在面内的条件；（3）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和直线的方向向量；（4）利用向量所成角的余弦值得到线面角的正弦值.26．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3913. 【分析】（Ⅰ）取AD 的中点G ，连结PG 、GB 、BD ，根据PA PD =和ABD △是正三角形，证明AD ⊥平面PGB 即可.（Ⅱ）根据侧面PAD ⊥底面ABCD ，PG AD ⊥，易得直线GA 、GB 、GP 两两互相垂直，以G 为原点，直线GA 、GB 、GP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系G xyz -，求得平面PBC 的一个法向量()000,,n x y z =，再由平面PAD 的一个法向量1(0,3,0)n GB a ==，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ，由11cos ||n n n n θ⋅=⋅求解. 【详解】（Ⅰ）如图所示：取AD 的中点G ，连结PG 、GB 、BD ．PA PD =，PG AD ∴⊥AB AD =，且60DAB ∠=︒，ABD ∴是正三角形，BG AD ⊥，又PG BG G =，AD ∴⊥平面PGB ．AD PB ∴⊥（Ⅱ）∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，又PG AD ⊥，PG ∴⊥底面ABCD ．PG BG ∴⊥．∴直线GA 、GB 、GP 两两互相垂直，故以G 为原点，直线GA 、GB 、GP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．设PG a =，则可求得(0,0,)P a ，(,0,0)A a ，3,0)B a ，(,0,0)D a -，33,02C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 33,,02BC a ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭．(0,3,)PB a a ∴=-． 设()000,,n x y z =是平面PBC 的一个法向量，则0n BC ⋅=且0n PB ⋅=．0000330,230.ax ay az ⎧-=⎪∴⎪-=⎩解得00003,3.x y z y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 取03y =(1,3,3)n =-．又∵平面PAD 的一个法向量13,0)n GB a ==，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ， 则1139cos ||1393n n n n aθ⋅===⋅++⋅ 所以平面PAD 与平面PBC 39 【点睛】 方法点睛：求二面角最常用的方法：1、几何法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．向量法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．。
高中数学(北师大版)选修2-1课件：第2章 从平面向量到空间向量
复习回顾：平面向量
1、定义： 既有大小又有方向的量。 几何表示法: 用有向线段表示 字母表示法： 用小写字母 a 表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量
B
A C
D
平面向量的加法、减法与数乘运算
b
a 向量加法的三角形法则 b
• 如图，在正方体ABCD— A1B1C1D1中， • (1)分别给出直线AA1、BD的 一个方向向量； • (2)分别给出平面ADD1A1、 平面BB1D1D的一个法向量 ．
→ → → → [解析] (1)直线 AA1 的方向向量可以是AA1、BB1、CC1、DD1、 → → → → A1A、B1B、C1C、D1D中的任一个； → → → → 直线 BD 的方向向量可以是BD、 B1D1、 DB、 D1B1中的任一个． → → → → → (2)平面 ADD1A1 的法向量可以是AB、DC、A1B1、D1C1、BA、 → → → CD、B1A1、C1D1中的任一个； → → → → 平面 BB1D1D 的法向量可以是AC、CA、A1C1、C1A1中的任一 个．
a 向量加法的平行四边形法则
平面向量的加法、减法与数乘运算
b a 向量减法的 三角形法则
a
ka ka
(k>0)
(k<0) 向量的数乘
平面向量的加法、减法与数乘运算律 加法交换律：
ab ba
加法结合律： ( a b) c a (b c )
数乘分配律： k ( a b) k a＋k b
上
东
南
李明从学校大门口出发,向 北行走100m,再向东行走 200m,最后上电梯15m到达 住处. 住处
高二数学北师大版选修2-1教师用书第2章 1 从平面向量到空间向量 Word版含答案
§ 从平面向量到空间向量．了解空间向量的有关概念．(重点)．理解直线的方向向量和平面的法向量．(难点) ．会求简单空间向量的夹角．(易混点)教材整理 空间向量的概念阅读教材“向量概念”的部分，完成下列问题．数学中所讨论的向量与向量的起点无关，称之为自由向量与平面向量一样，空间向量或的大小也叫作向量的长度或模，用或表示〉＝时，向量与垂直，记作⊥判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()向量是长度为，没有方向的向量．( )()向量与向量的大小相等则＝.( )()若向量与向量方向相反，则与是平行向量．( )【解析】()向量的方向是任意的．()＝需满足两个条件，一是大小相等，二是方向相同．()相反向量也是平行向量．【答案】()×()×()√教材整理向量与直线阅读教材“向量与直线”的部分，完成下列问题．称设是空间一直线，，是直线上任意两点，则为直线的方向向量，与平行的任意非零向量方向向量也是直线的．正方体中，以顶点为端点的向量中，可以作为直线的方向向量的有哪些？【解】∵∥，∴直线的方向向量有、、、教材整理向量与平面阅读教材“向量与平面”的部分，完成下列问题．如果直线垂直于平面α，那么把直线的方向向量叫作平面α的法向量．平面的法向量与平面中任意一个向量的夹角是．【解析】平面的法向量垂直于平面中任意向量，故夹角为°.【答案】°预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：。
2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第二章 空间向量与立体几何 模块复习2 Word版含解析.pdf
第2课时 利用空间向量解决空间问题课后训练案巩固提升A 组1.若平面α,β的法向量分别为u =(2,-3,5),v =(-3,1,-4),则( )A .α∥βB .α⊥βC .α与β斜交D .以上均正确解析:∵u 与v 既不平行也不垂直,∴α与β斜交.答案:C2.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,棱长为a ,M ,N 分别为A 1B 和AC 上的点,A 1M=AN=a ,则MN 与平面23BB 1C 1C 的位置关系是( )A .相交B .平行C .垂直D .不能确定解析:MN =MA 1+A 1A +AN=13BA 1+A 1A +13AC=)+)13(BA +AA 1A 1A +13(AB +BC =.23A 1A +13BC =23B 1B +13BC ∴共面.MN 与B 1B ,BC又∵MN ⊈平面BB 1C 1C ,∴MN ∥平面BB 1C 1C.答案:B3.ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°,SA 垂直于面ABCD ,SA=AB=BC=1,AD=,则SC 与平面ABCD 所成12角的余弦值为( )A .B .6312C .D .3332解析:由题意知是平面ABCD 的法向量,设的夹角为φ,AS CS 与AS ∵,CS =CB +BA +AS ∴)=1,AS ·CS =AS CB +BA +AS AS ·AS 又||=1,||=,AS CS =3∴cos φ=,AS ·CS|AS ||CS |=33∴SC 与平面ABCD 所成角的余弦值为.63答案:A4.导学号90074096在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD 中,∠ABC=90°,SA ⊥平面ABCD ,SA=AB=BC=1,AD=,则平面SCD 与平面SAB 夹角的余弦值为( )12A .B .3363C .D .6422解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),D ,C (1,1,0),S (0,0,1),平面SAB 的一个法向量(12,0,0),并求得平面SCD 的一个法向量n =,则cos <,n >=.AD =(12,0,0)(1,-12,12)AD AD ·|AD ||n |63答案:B5.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱CD ,CC 1的中点,则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是 .解析:以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则D (0,0,0),N (0,1,12),M ,A 1(1,0,1),(0,12,0)∴,DN =(0,1,12),MA 1=(1,-12,1)∴=1×0+1××1=0,DN ·MA 1(-12)+12∴,DN ⊥MA 1∴A 1M 与DN 所成的角的大小是90°.答案:90°6.已知四面体的顶点A (2,3,1),B (4,1,-2),C (6,3,7)和D (-5,-4,8),则顶点D 到平面ABC 的距离为 .解析:设平面ABC 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB =0,n ·AC =0,即{(x ,y ,z )·(2,-2,-3)=0,(x ,y ,z )·(4,0,6)=0,∴{2x -2y -3z =0,4x +6z =0,∴{y =2x ,z =-23x ,令x=1,则n =,(1,2,-23)又易得=(-7,-7,7),AD 故所求距离为=11.|AD ·n ||n |=|-7-14-143|1+4+49答案:117.如图,已知在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,且AD=2,AB=1,PA ⊥平面ABCD ,E ,F 分别是线段AB ,BC 的中点.(1)证明:PF ⊥FD ;(2)判断并说明PA 上是否存在点G ,使得EG ∥平面PED.(1)证明∵PA ⊥平面ABCD ,∠BAD=90°,AB=1,AD=2,如图,建立空间直角坐标系Axyz ,则A (0,0,0),B (1,0,0),F (1,1,0),D (0,2,0).不妨令P (0,0,t ),∴=(1,1,-t ),=(1,-1,0),PF DF ∴=1×1+1×(-1)+(-t )×0=0,PF ·DF ∴,即PF ⊥FD.PF ⊥DF (2)解设平面PFD 的法向量为n =(x ,y ,z ),由{n ·PF =0,n ·DF =0,得{x +y -tz =0,x -y =0,令z=1,解得x=y=,t 2∴n =.(t 2,t2,1)设点G 的坐标为(0,0,m ),又E ,则.(12,0,0)EG =(-12,0,m )要使EG ∥平面PFD ,只需n =0,EG 即+0×+m×1=0,(-12)×t 2t 2即m-=0,t 4解得m=t ,14从而满足AG=AP 的点G 即为所求.148.导学号90074097如图,已知DA ⊥平面ABC ,AC ⊥CB ,AC=CB=AD=2,E 是DC 的中点,F 是AB 的中点.(1)证明:AC⊥EF;(2)求平面ABD与平面BCD夹角的正切值;(3)求点A到平面BCD的距离.(1)证明如图,以A为原点,建立空间直角坐标系(y轴∥CB),则A(0,0,0),D(0,0,2),B(2,2,0),C(2,0,0),从而E(1,0,1),F(1,1,0).AC EF所以=(2,0,0),=(0,1,-1),AC·EF所以=2×0+0×1+0×(-1)=0,AC⊥EF所以,因此AC⊥EF.(2)解连接AE.因为AC=CB,且F为AB的中点,所以CF⊥AB.因为DA⊥平面ABC,所以AD⊥CF.又AB∩AD=A,从而CF⊥平面ABD,FC故=(1,-1,0)为平面ABD的法向量.在△ADC中,因为AD=AC,E为CD的中点,所以AE⊥CD.因为DA⊥平面ABC,所以AD⊥BC.又AC⊥BC,所以BC⊥平面ACD.因为AE⫋平面ACD,所以AE⊥BC.又BC ∩CD=C ,所以AE ⊥平面BCD ,故=(1,0,1)为平面BCD 的一个法向量.AE 所以cos <>=.AE ,FC AE FC |AE ||FC |=12×2=12故平面ABD 与平面BCD 夹角的正切值为.3(3)解因为为平面BCD 的法向量,且=(1,0,1),所以点A 到平面BCD 的距离d=.AE AE 29.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.解如图,以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系D-xyz ,则A (1,0,0),A 1(1,0,1),B 1(1,1,1),C 1(0,1,1),∴=(0,1,1),=(-1,1,0),AB 1A 1C 1设MN 是异面直线A 1C 1与AB 1的公垂线段,且=λ=(0,λ,λ),=μ=(-μ,μ,0),AN AB 1A 1M A 1C 1则MN =MA 1+A 1A +AN=-(-μ,μ,0)+(0,0,-1)+(0,λ,λ)=(μ,λ-μ,λ-1).又由{MN ·A 1C 1=0,MN ·AB 1=0,即{λ-2μ=0,2λ-μ=1⇒{λ=23,μ=13,∴,∴||=,MN =(13,13,-13)MN 33∴异面直线A 1C 1与AB 1间的距离为.3B 组1.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )A .B .C .D .23332363解析:设正方体的棱长为1,建系如图所示,则D (0,0,0),B (1,1,0),B 1(1,1,1).平面ACD 1的一个法向量为=(1,1,1).DB 1又=(0,0,1),BB 1则cos <>DB 1,BB 1=.DB ·BB |DB 1||BB 1|13×1=3故BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为.1-(33)2=6答案:D 2.在四面体P-ABC 中,PA ,PB ,PC 两两垂直,设PA=PB=PC=a ,则点P 到平面ABC 的距离为( )A .a B .a C .D .a6333a 36解析:根据题意,以P 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz ,则P (0,0,0),A (a ,0,0),B (0,a ,0),C (0,0,a ),所以=(-a ,a ,0),=(-a ,0,a ),=(a ,0,0).设平面ABC 的法向量为AB AC PA n =(x ,y ,z ),由所以令x=1,所以n =(1,1,1)是平面ABC 的一个法向量.所{n ⊥AB ,n ⊥AC 得{-ax +ay =0,-ax +az =0,{y =x ,z =x ,以P 到平面ABC 的距离d= a.|PA n ||n |=a 3=33答案:B3.如图,若正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则平面AB 1D 1与平面BDC 1间的距离为( )A .B .C .D .232333解析:建立坐标系如图,则A (0,0,0),B (1,0,0),D (0,1,0),C 1(1,1,1),B 1(1,0,1),D 1(0,1,1).设平面AB 1D 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB 1=0,n ·AD 1=0,∴{x +z =0,y +z =0.令z=-1,则n =(1,1,-1),显然n ·=0,n ·=0,BD BC 1∴n 也是平面BDC 1的一个法向量,∴平面AB 1D 1∥平面BDC 1,∴所求距离为.|AB ·n ||n |=33答案:D4.导学号90074098如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P在正方形BCC1B1内及其边界上运动,并且总保持B1P∥平面A1BD,则动点P的轨迹的长度是 .解析:如图,建立空间直角坐标系D-xyz,DA1DB B1P 设动点P(x,1,z),则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),∴=(1,0,1),=(1,1,0),=(x-1,0,z-1),DA1DB设平面A1BD的法向量为n=(a,b,c),则n·=0,∴a+c=0;n·=0,∴a+b=0.∴b=c=-a,取n=(1,-1,-1), B1P∵B1P∥平面A1BD,∴n·=0,于是(x-1)-(z-1)=0,即x=a,∴点P在平面BCC1B1的对角线B1C上,∴动点P的轨迹的长度即对角线B1C的长,为.2答案:25.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.(1)求证:平面AED⊥平面A1FD1;(2)在平面AE上是否存在一点M,使得A1M⊥平面AED?(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),D(0,0,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2).∴(2,0,0),=(2,2,1),=(0,1,-2).DA=D1A1DE D1F设平面AED的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),由{n1·DA=(x1,y1,z1)·(2,0,0)=0,n1·DE=(x1,y1,z1)·(2,2,1)=0,得{2x 1=0,2x 1+2y 1+z 1=0,令y 1=1,得n 1=(0,1,-2).同理可得平面A 1FD 1的一个法向量为n 2=(0,2,1).∵n 1·n 2=(0,1,-2)·(0,2,1)=0,∴n 1⊥n 2,∴平面AED ⊥平面A 1FD 1.(2)解设存在点M 在直线AE 上,则可设=λ=λ(0,2,1)=(0,2λ,λ),AM AE 则M (2,2λ,λ),∴=(0,2λ,λ-2).A 1M 要使A 1M ⊥平面AED ,只需A 1M ⊥AE ,即=(0,2λ,λ-2)·(0,2,1)=5λ-2=0,A 1M ·AE 解得λ=.25故当AM=AE 时,A 1M ⊥平面AED.25∴直线 AE 上存在一点M ,使A 1M ⊥平面AED.6.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD=AA 1=1,AB=2,点E 在棱AB 上移动.(1)求证D 1E ⊥A 1D ;(2)当E 为AB 的中点时,求点E 到平面ACD 1的距离;(3)AE 等于何值时,平面D 1EC 与平面DEC 夹角为?π4(1)证明如图,以D 为原点,直线DA ,DC ,DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设AE=x ,则A 1(1,0,1),D 1(0,0,1),E (1,x ,0),A (1,0,0),C (0,2,0).∵=(1,0,1)·(1,x ,-1)=0,DA 1·D 1E ∴,即DA 1⊥D 1E.DA 1⊥D 1E (2)解∵E 为AB 的中点,则E (1,1,0),∴=(1,1,-1),=(-1,2,0),=(-1,0,1).D 1E AC AD 1设平面ACD 1的法向量为m =(a ,b ,c ),∴{m ·AC =0,m ·AD 1=0,即{-a +2b =0,-a +c =0,得{a =2b ,a =c .取m =(2,1,2),∴点E 到平面AD 1C 的距离为h=.|D 1E ·m ||m |=2+1-23=13(3)设平面D 1EC 的法向量n =(a',b',c'),由(1)知=(1,x-2,0),=(0,2,-1),=(0,0,1).CE D 1C DD 1由{n ·D 1C =0,n ·CE =0,得{2b '-c '=0,a '+b '(x -2)=0.令b'=1,∴c'=2,a'=2-x ,∴n =(2-x ,1,2),∵是平面DEC 的一个法向量,DD 1∴cos ,∴.π4=|n ·DD |n ||DD 1|=222(x -2)2+5=22∴x 1=2+(不合题意,舍去),x 2=2-,33∴AE=2-时,平面D 1EC 与平面DEC 夹角为.3π47.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是A 1D 1,A 1C 1的中点,求:(1)异面直线AE 与CF 所成角的余弦值;(2)平面CAE 与平面FAE 夹角的余弦值.解不妨设正方体的棱长为2,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A (2,0,0),C (0,2,0),E (1,0,2),F (1,1,2).(1)由=(-1,0,2),=(1,-1,2),得||=,||=1+0+4=3,AE CF AE 5CF 又=||·||·cos <>=cos <>,AE ·CF AE CF AE ,CF 30AE ,CF ∴cos <>=,即所求值为.AE ,CF 30103010(2)∵=(0,1,0),EF ∴(-1,0,2)·(0,1,0)=0,AE ·EF ∴AE ⊥EF ,过C 作CM ⊥AE 于M ,则二面角C-AE-F 的平面角等于<>,EF ,MC ∵M 在AE 上,∴设=m ,则=(-m ,0,2m ),=(-2,2,0)-(-m ,0,2m )=(m-2,2,-2m ),AM AE AM MC =AC ‒AM ∵MC ⊥AE ,∴m=,25∴,∴=(0,1,0)·=0+2+0=2,||=.MC =(-85,2,-45)EF ·MC (-85,2,-45)MC 655又=||·||·cos <>=cos <>,∴cos <>=,EF ·MC EF MC EF ,MC 655EF ,MC EF ,MC 53∴平面CAE 与平面FAE 夹角的余弦值为.53。
高中数学北师大版选修2-1练习：第二章1 从平面向量到空间向量 2 Word版含解析
[A.基础达标]1．下列说法正确的是( )A ．如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量模的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小解析：选D.两个向量不相等，但它们的长度可能相等，A 不正确．任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，B 不正确．向量模的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C 不正确．由于向量的模是一个实数，故可以比较大小，只有D 正确．2.如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，则下列向量相等的是( )A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →解析：选D.因为AB →＝DC →，所以四边形ABCD 为平行四边形．所以DO →＝OB →，AD →＝BC →，OA →＝CO →.3．在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，且|AC →|＝|BD →|，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定解析：选B.若AB →＝DC →，则AB ＝DC ，且AB ∥DC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又|AC →|＝|BD →|，即AC ＝BD ，所以四边形ABCD 为矩形．4．下列有关平面法向量的说法中，不正确的是( )A ．平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a ，b 与平面α平行，则a ∥b解析：选D.依据平面向量的概念可知A ，B ，C 都是正确的．由立体几何知识可得a ，b 不一定平行．5.在正四面体A -BCD 中，如图，〈AB →，DA →〉等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选D.两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量DA →的起点平移到A 点处，再求夹角得〈AB →，DA →〉＝120°，故选D.6．在正四面体A -BCD 中，O 为平面BCD 的中心，连接AO ，则AO →是平面BCD 的一个________向量．解析：由于A -BCD 是正四面体，易知AO ⊥平面BCD ，所以OA →是平面BCD 的一个法向量．答案：法7.如图在平行六面体AG 中，①AH →与BG →；②AG →与EG →；③BH →与DF →；④AC →与HF →，四对向量中不是共线向量的序号为________．解析：因为AH →＝BG →，所以AH →与BG →共线，其他三对均不共线．答案：②③④8.如图，棱长都相等的平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知∠A 1AB ＝60°，则〈AA 1→，CC 1→〉＝________；〈AB →，C 1D 1→〉＝______；〈BA →，DD 1→〉＝________．解析：在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1→∥CC 1→，且方向相同，所以〈AA 1→，CC 1→〉＝0°；因为AB ∥CD ，CD ∥C 1D 1，所以AB ∥C 1D 1，所以AB →∥C 1D 1→，但方向相反，所以〈AB →，C 1D 1→〉＝180°；因为AA 1→＝DD 1→，所以〈BA →，DD 1→〉＝〈BA →，AA 1→〉＝180°－∠A 1AB ＝120°.答案：0° 180° 120°9.如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1.(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出与向量AB →相等的向量；(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出向量AC →的相反向量；(3)若E 是BB 1的中点，写出与向量AE →平行的向量．解：(1)由正三棱柱的结构特征知与AB →相等的向量只有向量A 1B 1→.(2)向量AC →的相反向量为CA →，C 1A 1→.(3)取AA 1的中点F ，连接B 1F (图略)，则B 1F →，FB 1→，EA →都是与AE →平行的向量．10．如图，在三棱锥S -ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 都是等边三角形，∠BAC ＝90°，O 是BC 的中点，证明：SO →是平面ABC 的一个法向量．证明：由题意知，侧面SAB 与侧面SAC 都是等边三角形，故设SA ＝SB ＝SC ＝a ，因为O 是BC 的中点，SB ＝SC ，所以SO ⊥BC .因为∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝a ，AO ⊥BC ，所以AO ＝22a . 又SO ＝22a ，SA ＝a ，所以△ASO 是等腰直角三角形， 即SO ⊥OA .又OA ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC ，所以SO →是平面ABC 的一个法向量．[B.能力提升]1．空间两向量a ，b 互为相反向量，已知向量|b |＝3，则下列结论正确的是( )A ．a ＝bB ．|a |＝－|b |C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3解析：选D.a 与b 互为相反向量，即a 与b 方向相反且|a |＝|b |.2．在直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，已知AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，CC ′＝4，则以三棱柱的顶点为向量的起点和终点的向量中模为5的向量的个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．10解析：选C.向量AB →，A ′B ′→，AC ′→，CA ′→及它们的相反向量的模都等于5，共有8个．3.如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，P A ＝AC ，则在向量AB →，BC →，CA →，P A →，PB →，PC →中，夹角为90°的共有________对．解析：因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥BC ，平面P AB ⊥平面ABC .又平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，BC ⊥AB ，所以BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥PB .由此知〈P A →，AB →〉，〈P A →，BC →〉，〈P A →，CA →〉，〈BC →，AB →〉，〈BC →，PB →〉都为90°.答案：54．下列命题中，真命题有________个．①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；②向量a ，b 相等的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |，a ∥b ； ③|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件．解析：对于②，|a |＝|b |，a ∥b 可知，a 和b 有可能为相反向量．答案：25.如图，AB 是圆O 的直径，直线P A 所在的向量是圆O 所在平面的一个法向量，M 是圆周上异于A ，B 的任意一点，AN ⊥PM ，点N 是垂足，求证：直线AN 的方向向量是平面PMB 的法向量．证明：因为AB 是圆O 的直径，所以AM ⊥BM .又P A ⊥平面ABM ，所以P A ⊥BM .因为P A ∩AM ＝A ，所以BM ⊥平面P AM .又AN 平面P AM ，所以BM ⊥AN .又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ，所以AN ⊥平面PBM .所以直线AN 的方向向量是平面PMB 的法向量．6．(选做题)如图所示，正四面体A -BCD 中，E 是AC 的中点，求BE →与CD→的夹角的余弦值．解：过E 作EF ∥CD 交AD 于F ，连接BF .∠BEF 为向量BE →与CD →的夹角的补角．设正四面体的棱长为1， 则BE ＝32，EF ＝12，BF ＝32. 由余弦定理得cos ∠BEF ＝|BE |2＋|EF |2－|BF |22|BE ||EF |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫122－⎝⎛⎭⎫3222×32×12＝36. 所以BE →与CD →所成的角的余弦值为－36.。
高中北师大版数学选修2-1学案：2.1 从平面向量到空间向量 含答案
第二章空间向量与立体几何本章知识要览本章是在平面向量的基础上，通过类比的方法，学习空间向量的概念、性质和运算，并以向量为工具讨论立体几何中的一些问题．主要包括两个方面：一是关于空间向量及其运算，这是立体几何的基础，也是重点内容；二是关于空间向量的应用，即用向量讨论垂直与平行，夹角的计算和距离的计算．本章的重点是：空间向量及其运算，以空间向量为工具通过空间向量的运算证明空间直线与直线、直线与平面、两个平面的平行和垂直，求空间两条直线、直线与平面所成的角、二面角的大小，求空间点到平面的距离；难点是：以空间向量为工具证明空间的位置关系，求空间角和空间距离；易错点是求空间角时，对角的范围的判断．(1)解决问题要从图形入手，分析已知条件在图形中的向量表示，由已知到图形、由图形到已知的基本训练，有序地建立图形、文字、符号三种语言间的联系．(2)适时地联系平面向量的知识及平面几何的知识，采用联想对比、引申等方法认识平面向量与空间向量、平面几何与立体几何知识的异同，并找出两者之间的内在联系，逐步培养能将立体几何问题转化为平面几何问题的能力．(3)由空间向量解决立体几何问题时，要注意在空间直角坐标系下，通过转化将图形的关系转化为坐标系中数的运算，并可以灵活地运用空间向量基本定理进行转化．§1 从平面向量到空间向量知识点一 向量的概念 [填一填](1)向量既有大小又有方向的量叫作向量． 在物理中，有许多量可以用向量来表示，如位移、速度、加速度、力等，这些量不但有大小，而且还具有方向．(2)空间向量在空间中，既有大小又有方向的量叫作空间向量．过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA→和OB →，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，规定0≤〈a ，b 〉≤π.[答一答]1．向量a ，b 的夹角是π2，0或π时，向量a ，b 应具备什么条件？提示：当〈a ，b 〉＝π2时，向量a 与b 垂直，当〈a ，b 〉＝0或π时，向量a 与b 平行．2．思考与交流：仿照平面向量的有关概念，请分别给出下列定义：单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量．提示：在空间中，模为1的向量叫单位向量；模为0的向量叫零向量；模相等，方向相同的向量叫相等向量；模相等，方向相反的向量叫相反向量；方向相同或相反的向量叫平行向量．知识点二向量与直线[填一填]→为直线(1)l是空间一直线，A，B是直线l上的任意两点，则称AB→平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直l的方向向量．与AB线的方向向量平行于该直线．(2)根据立体几何知识，我们知道，给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线．[答一答]讨论：直线的方向向量是唯一确定的吗？提示：不是，只要是平行于直线的非零向量均可成为直线的方向向量，正是由于直线的方向向量的任意性，才可便于选取方向向量，才具有可操作性．知识点三向量与平面[填一填](1)如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．所有与直线l平行的非零向量都是平面α的法向量．平面的法向量垂直于该平面．(2)给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一个过点A 且垂直于向量a的平面．[答一答]想一想：要想在空间中确定一个平面需要哪些条件？提示：需要有一点和一个非零向量．过这一点且垂直于已知向量就可确定一个平面．1．向量无法比较大小．关于向量的比较，我们只限于研究它们是否相等，而不是研究它们谁大谁小．一般来说，向量不能比较大小．向量的模可以比较大小，应注意a ＝b ⇒|a |＝|b |，但反之不成立．2．(1)〈a ，b 〉表示a 与b 的夹角，书写一定要规范，不能误写为(a ，b )．(2)在图甲中，〈OA →，OB →〉＝∠AOB ，而图乙中，〈AO→，OB →〉＝π－∠AOB .向量夹角与向量大小无关，只与方向有关．3．平行向量所在的直线可能平行也可能重合，与两直线平行不同；平行向量的方向可能同向，也可能反向．4．零向量与任意向量共线．5．平面法向量的性质：(1)若直线l ⊥平面α，则所有与直线l 平行的非零向量都是平面α的法向量，故平面α的法向量不唯一，有无限多个，但它们互相平行．(2)一个平面的单位法向量只有两个．(3)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量，也就是平面的法向量垂直于该平面．题型一 向量的有关概念【例1】 给出下列五个命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间两向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中必有AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】 当空间两个向量的起点、终点分别相同时，这两个向量必相等，但两个相等向量的起点不一定相同，终点也不一定相同，故①错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅它们的模要相等，而且方向也要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同，故②不对；根据正方体的性质，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AC→和A 1C 1→不但方向相同而且长度相等，故应有AC →＝A 1C 1→，所以③正确；④显然正确；对于⑤，空间任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，所以⑤不对．【答案】 C规律方法 (1)只要两个向量的方向相同，模相等，这两个向量就相等，与起点和终点位置无关．(2)熟练掌握空间向量的有关概念是解决这类问题的关键．下列命题错误的是( B )A ．空间向量AB→与BA →的长度相等 B ．零向量没有长度，所以它不是空间向量C ．同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c解析：概念的理解是解决本题的关键．A 选项中的两个向量互为相反向量，所以它们长度相等；空间向量并不是一个立体图形，只要是存在于立体空间内的向量都是空间向量，所以B 选项错误；C 选项是相等向量定义的另外一个说法；我们研究的向量是自由向量，只要向量相等都可以移动到同一起点，所以D 选项正确．题型二 向量的夹角【例2】 如图，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，求：(1)〈AB →，A ′B ′→〉，〈AD →，D ′C ′→〉，〈AB →，C ′D ′→〉．(2)〈AD ′→，BC →〉，〈AD ′→，D ′C →〉．【思路探究】 按空间向量夹角的定义求解，空间向量a ，b 夹角范围是[0，π]．【解】 (1)∵在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ∥A ′B ′，AD ⊥D ′C ′，AB ∥C ′D ′.∴〈AB →，A ′B ′→〉＝0，〈AD →，D ′C ′→〉＝π2，〈AB →，C ′D ′→〉＝π.(2)∵在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AD ∥BC .∴〈AD ′→，BC →〉＝〈AD ′→，AD →〉＝π4.连接AC ，则△ACD ′为等边三角形．∴〈AD ′→，D ′C →〉＝2π3.规律方法 与求平面内两向量夹角类似，求空间两向量夹角时，采取平移的方法，把空间两向量的夹角转化为平面内某两条相交直线的角，进而用解三角形的知识求解．必须注意两向量夹角应保证两向量移至共同起点处，比如若〈AB →，AC →〉＝π4，而〈AB →，CA →〉＝3π4.如图，棱长都相等的平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知∠A 1AB＝60°，则〈AA 1→，CC 1→〉＝0°，〈AB →，C 1D 1→〉＝180°，〈BA →，DD 1→〉＝120°.解析：在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1→∥CC 1→，且方向相同，所以〈AA 1→，CC 1→〉＝0°.因为AB ∥CD ，CD ∥C 1D 1，所以AB ∥C 1D 1，所以AB →∥C 1D 1→，但方向相反，所以〈AB →，C 1D 1→〉＝180°.因为AA 1→＝DD 1→，所以〈BA →，DD 1→〉＝〈BA →，AA 1→〉＝180°－∠A 1AB ＝120°.题型三 向量与平面【例3】 如图，四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形且PD ＝AD ＝CD ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点．(1)试以F 为起点作直线DE 的一个方向向量；(2)试以F 为起点作平面PBC 的一个法向量．【思路探究】 (1)只要作出过F 与DE 平行的直线即可．(2)作出过F 与平面PBC 垂直的直线即可．【解】 (1)如图，连接EF .∵E ，F 分别是PC ，PB 的中点．∴EF 綊12BC .又BC 綊AD ，∴EF 綊12AD .取AD 的中点M ，连接MF ，则由EF 綊DM 知四边形DEFM 是平行四边形，∴MF ∥DE .∴FM→就是直线DE 的一个方向向量． (2)∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC .又BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PCD .∵DE 平面PCD ，∴DE ⊥BC .又PD ＝CD ，E 为PC 中点，∴DE ⊥PC .从而DE ⊥平面PBC .∴DE→是平面PBC 的一个法向量． 由(1)可知FM→＝ED →， ∴FM→就是平面PBC 的一个法向量． 规律方法 直线的方向向量有无数个，它们之间互相平行；平面的法向量也有无数个，它们之间也都互相平行且都垂直于平面．而过空间某点作直线的方向向量或平面的法向量时，可利用线面平行及线面垂直等相关知识，在该点处作出直线的平行线或平面的垂线即可．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，AA 1的中点．(1)分别给出平面ABCD ，平面ADD 1A 1的一个法向量；(2)写出平面AB 1C 1D 的法向量，你能写出几个？(3)图中与向量EF→共线的向量有哪些？ 解：(1)平面ABCD 的法向量可以是：AA 1→，BB 1→，CC 1→，DD 1→或A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →这8个向量中的任意一个．平面ADD 1A 1的法向量可以是：AB →，DC →，A 1B 1→，D 1C 1→或BA →，CD →，B 1A 1→，C 1D 1→这8个向量中的任意一个．(2)由正方体的性质可知EF ∥CD 1，EF ⊥平面AB 1C 1D ，CD 1⊥平面AB 1C 1D ，平面AB 1C 1D 的法向量可以是：D 1C →，CD 1→，EF →，FE →.(3)题图中与向量EF →共线的向量有：CD 1→，D 1C →，FE →.——易错警示——对向量概念理解的错误【例4】 下列命题中正确的是( )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面即它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb【误解】 A(或B 或D)【正解】 在选项A 中，若b ＝0，则结论不成立；在选项B 中，向量共面与直线共面的不同点在于三个向量中的一个向量所在直线与另两个向量所在平面平行时，三个向量所在的直线虽然不共面，但这三个向量是共面的；选项D 中，若a ＝b ＝0时，有无数个λ满足等式，而不是唯一一个；若b ＝0，a ≠0，则不存在λ使a ＝λb .【答案】 C下列说法中正确的是( B )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．如果两向量平行，则向量相等D ．在四边形ABCD 中，一定有AB→＋AD →＝AC → 解析：A 项，|a |＝|b |，只表示a ，b 的长度相同，而方向不确定；C 项，两向量平行，不能说明两向量相等；D 项，在平行四边形中具有该项结论．【例5】 下列命题是真命题的序号是________．①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上； ②向量AB →与AC →是共线向量，则A 、B 、C 必在一条直线上． 【误解】 ①②【正解】 命题①为假命题，因为AB→、CD →两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上；命题②为真命题，因为AB→、AC →两个向量所在的直线有公共点A ，所以三点共线．故填②. 【答案】 ②下列命题是真命题的是( D )A ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．方向相反的向量是相反向量C ．若向量AB→，CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD → D ．若两个非零向量AB→与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD → 解析：A 项向量可以平移到一个平面；B 项方向相反，大小相等的向量为相反向量；C 项，向量不能比较大小.1.AB→＝CD →的一个必要不充分条件是( C )A ．A 与C 重合B ．A 与C 重合，B 与D 重合 C ．|AB→|＝|CD →| D ．A 、B 、C 、D 四点共线解析：向量相等只需方向相同，长度相等，而与表示向量的有向线段的起点、终点位置无关．表示两个共线向量的两个有向线段所在的直线平行或重合，不能得到四点共线．2．在等腰直角三角形ABC 中，角B 为直角，则〈BC →，CA →〉等于( B )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．不确定解析：如图，严格利用向量夹角定义，过空间一点作出两向量，明确夹角．3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面ACC 1A 1的法向量是( A ) A.BD → B.BC 1→ C.BD 1→ D.A 1B →解析：由正方体性质可知BD ⊥平面ACC 1A 1，故BD →为其法向量． 4．与向量a 共线的单位向量有2或者无数个．解析：当a 是零向量时，任何单位向量都与之共线；当a 是非零向量时，只有方向相同或者相反的两个单位向量与向量a 共线．5．如图，在长、宽、高分别为AB ＝5，AD ＝3，AA 1＝4的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的8个顶点中，任选两点作为起点和终点构成一个向量，在这些向量中哪些向量．(1)与向量AD →平行； (2)与向量AB→相反； (3)是平面ABB 1A 1的法向量．解：(1)与向量AD →平行的向量有：BC →，B 1C 1→，A 1D 1→，D 1A 1→，C 1B 1→，CB→，DA →，共7个． (2)与向量AB →相反的向量有BA →，CD →，B 1A 1→，C 1D 1→，共4个． (3)平面ABB 1A 1的法向量有AD →，BC →，B 1C 1→，A 1D 1→，D 1A 1→，C 1B 1→，CB →，DA→，共8个．。
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.1 从平面向量到空间向量课件 北师大版选修21
直线平行或重合,这是寻找已知直线方向向量的依据.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点为向量端点的所有向量中,
直线AB的方向向量有(
)
A.8个
B.7个
C.6个
D.5个
解析:寻找直线AB的方向向量,先找出与直线AB平行或重合的直
(5)向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反. ( × )
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间向量的有关概念
【例1】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)试写出与相等的向量;
(2)试写出与1 相反的向量;
(3)试写出与平行的向量.
思维点拨:根据长方体的性质及空间向量的有关概念写出即可.
直线上.
4.两个非零向量的夹角是唯一确定的,因此有<a,b>=<b,a>,并且
<a,-b>=<-a,b>=π-<a,b>.
一
二
思考辨析
【做一做1】 “两个向量(非零向量)的模相等”是“两个向量相等”
的(
)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:模相等方向不相同的两个向量不相等,两个相等向量的模
等,所以 = 1 1 ,故③正确.命题④显然正确.
答案:C
一
二
思考辨析
【做一做3】如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求下列各对向量的
夹角:
(1)<, ''>=
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[A 基础达标]
1．下列说法正确的是( )
A ．如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等
B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C ．向量模的大小与方向有关
D ．向量的模可以比较大小
解析：选D.两个向量不相等，但它们的长度可能相等，A 不正确．任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，B 不正确．向量模的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C 不正确．由于向量的模是一个实数，故可以比较大小，只有D 正确．
2．如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →
，则下列向量相等的是( )
A.AD →与CB →
B.OA →与OC →
C.AC →与DB →
D.DO →与OB →
解析：选D.因为AB →＝DC →，所以四边形ABCD 为平行四边形．所以DO →＝OB →，AD →＝BC →
，OA →＝CO →.
3．在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，且|AC →|＝|BD →
|，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形
D ．不确定
解析：选B.若AB →＝DC →
，则AB ＝DC ，且AB ∥DC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又|AC →|＝|BD →
|，即AC ＝BD ，所以四边形ABCD 为矩形．
4．下列有关平面法向量的说法中，不正确的是( ) A ．平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量 B ．一个平面的所有法向量互相平行
C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D ．如果a ，b 与平面α平行，则a ∥b
解析：选D.依据平面向量的概念可知A ，B ，C 都是正确的．由立体几何知识可得a ，b 不一定平行．
5．在正四面体A
BCD 中，如图，〈AB →，DA →
〉等于( )
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
解析：选D.两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量DA →
的起点平移到A 点处，再求夹角得〈AB →，DA →
〉＝120°，故选D.
6．在正四面体A BCD 中，O 为平面BCD 的中心，连接AO ，则AO →
是平面BCD 的一
个________向量．
解析：由于A BCD 是正四面体，易知AO ⊥平面BCD ，所以OA →
是平面BCD 的一个法向量．
答案：法
7．如图在平行六面体AG 中，①AH →与BG →；②AG →与EG →；③BH →与DF →；④AC →与HF →
，四对向量中不是共线向量的序号为________．
解析：因为AH →＝BG →
，
所以AH →与BG →
共线，其他三对均不共线． 答案：②③④
8．如图，棱长都相等的平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知∠A 1AB ＝60°，则〈AA 1→
，CC 1→
〉＝________；
〈AB →，C 1D 1→
〉＝________； 〈BA →，DD 1→
〉＝________．
解析：在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1→∥CC 1→，且方向相同，所以〈AA 1→，CC 1→
〉＝0°；因为AB ∥CD ，CD ∥C 1D 1，所以AB ∥C 1D 1，所以AB →∥C 1D 1→，但方向相反，所以〈AB →
，C 1D 1→〉＝180°；因为AA 1→＝DD 1→，所以〈BA →，DD 1→〉＝〈BA →，AA 1→
〉＝180°－∠A 1AB ＝120°.
答案：0° 180° 120°
9．如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC
A 1
B 1
C 1.
(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出与向量AB →
相等的向量；
(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出向量AC →
的相反向量； (3)若E 是BB 1的中点，写出与向量AE →
平行的向量．
解：(1)由正三棱柱的结构特征知与AB →相等的向量只有向量A 1B 1→
. (2)向量AC →的相反向量为CA →，C 1A 1→
.
(3)取AA 1的中点F ，连接B 1F (图略)，则B 1F →，FB 1→，EA →都是与AE →
平行的向量． 10．如图，在三棱锥S -ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 都是等边三角形，∠BAC ＝90°，O 是BC 的中点，证明：SO →
是平面ABC 的一个法向量．
证明：由题意知，侧面SAB 与侧面SAC 都是等边三角形，故设SA ＝SB ＝SC ＝a ，因为
O 是BC 的中点，SB ＝SC ，所以SO ⊥BC .
因为∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝a ，AO ⊥BC ， 所以AO ＝
22a .又SO ＝2
2
a ，SA ＝a ， 所以△ASO 是等腰直角三角形， 即SO ⊥OA . 又OA ∩BC ＝O ， 所以SO ⊥平面ABC ，
所以SO →
是平面ABC 的一个法向量．
[B 能力提升]
11．在直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，已知AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，CC ′＝4，则以三棱柱的顶点为向量的起点和终点的向量中模为5的向量的个数为( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．10
解析：选C.向量AB →，A ′B ′→，AC ′→，CA ′→
及它们的相反向量的模都等于5，共有8个． 12．如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，P A ＝AC ，则在向量AB →
，BC →，CA →，P A →，PB →，PC →
中，夹角为90°的共有________对．
解析：因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥BC ，平面P AB ⊥平面ABC . 又平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，BC ⊥AB ， 所以BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥PB .
由此知〈P A →，AB →〉，〈P A →，BC →〉，〈P A →，CA →〉，〈BC →，AB →〉，〈BC →，PB →
〉都为90°. 答案：5
13.如图，AB 是圆O 的直径，直线P A 所在的向量是圆O 所在平面的一个法向量，M 是圆周上异于A ，B 的任意一点，AN ⊥PM ，点N 是垂足，求证：直线AN 的方向向量是平面PMB 的法向量．
证明：因为AB 是圆O 的直径，所以AM ⊥BM . 又P A ⊥平面ABM ， 所以P A ⊥BM . 因为P A ∩AM ＝A ， 所以BM ⊥平面P AM .
又AN 平面P AM ，所以BM ⊥AN . 又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ， 所以AN ⊥平面PBM .
所以直线AN 的方向向量是平面PMB 的法向量．
14．(选做题)如图所示，正四面体A BCD 中，E 是AC 的中点，求BE →
与CD →
的夹角的余弦值．
解：过E 作EF ∥CD 交AD 于F ，连接BF .∠BEF 为向量BE →与CD →
的夹角的补角．设正四面体的棱长为1，
则BE ＝32，EF ＝12
， BF ＝
32
. 由余弦定理得cos ∠BEF ＝|BE |2＋|EF |2－|BF |22|BE ||EF |
＝
⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫122－⎝⎛⎭
⎫322
2×
32×12
＝
36
. 所以BE →与CD →
所成的角的余弦值为－36.。