第一章 1.1.1(二).pdf
2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册1.1.1-1.1.2直线与直线的方程(带答案)
第一部分课时作业 第一章 直线与圆§1 直线与直线的方程1．1 一次函数的图象与直线的方程 1．2 直线的倾斜角、斜率及其关系必备知识基础练知识点一 直线的倾斜角与斜率1.直线x ＝1的倾斜角和斜率分别是( ) A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在 D ．180°，不存在2．若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°3．如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2 C ．k 3<k 2<k 1 D ．k 1<k 3<k 24．若两直线的斜率互为相反数，则它们的倾斜角的关系是________.知识点二 直线的斜率公式5.已知直线l 经过点A (0，－1)，B (1，1)，则直线l 的斜率是( ) A ．2 B ．－2C ．12D ．－126．(1)如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1，l 2的斜率；(2)求经过两点A (a ，2)，B (3，6)的直线的斜率．知识点三 斜率公式的应用7.若点P (x ，y )在函数y ＝2x ＋1(－2≤x ≤2)的图象上运动，则yx的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫52，＋∞B ．⎝⎛⎦⎤－∞，32C ．⎣⎡⎦⎤32，52D ．⎝⎛⎦⎤－∞，32 ∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 8．设点A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1，4)，若直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，则实数m 的值为________.9．若A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求1a ＋1b的值．关键能力综合练一、选择题1．[多选题]下列命题中，正确的是( ) A ．任意一条直线都有唯一的倾斜角B ．一条直线的倾斜角可以是－π3C ．倾斜角为0的直线有无数条D ．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)2．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．α＋45°或α－135°3．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( ) A ．(4，2)与(－4，1) B ．(0，3)与(3，0) C ．(3，－1)与(2，－1) D ．(－2，2)与(－2，5)4．已知直线经过点A (a ，4)，B (2，－a )，且斜率为4，则a 的值为( )A ．－6B ．－145C ．45D ．45．[易错题]直线l 经过点A (1，2)，与x 轴交点的横坐标的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－1，15 B ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 ∪(1，＋∞) 二、填空题6．直线l 过点A (1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是________.7．已知斜率为12的直线经过A (3，5)，B (x ，－1)，C (7，y )三点，则x ，y 的值分别为________.8．已知点A (1，2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线P A 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为________.三、解答题9．[探究题]已知f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，试用图示法比较f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c的大小关系．学科素养升级练1.已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是________.2．[学科素养——数学运算]已知一条光线从点A (－1，3)出发，射在x 轴上又反射出去，反射光线经过点B (2，7)，求x 轴上光照点的坐标．§1 直线与直线的方程1．1 一次函数的图象与直线的方程 1．2 直线的倾斜角、斜率及其关系必备知识基础练1．解析：∵直线x ＝1与y 轴平行，∴倾斜角为90°，斜率不存在． 答案：C2．解析：如图，直线l 有两种情况，故l 的倾斜角为60°或120°.答案：D3．解析：由题图可知，直线l 1的倾斜角为钝角，所以k 1<0；直线l 2与直线l 3的倾斜角为锐角，且直线l 2的倾斜角较大，所以k 2>k 3>0，所以k 2>k 3>k 1.答案：D4．解析：两直线的斜率互为相反数，则它们的倾斜角互补． 答案：互补5．解析：因为直线l 经过点A (0，－1)，B (1，1)，所以直线l 的斜率为1－（－1）1－0 ＝2.故选A.答案：A6．解析：(1)l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan 30°＝33. ∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan 120°＝tan (180°－60°)＝－tan 60°＝－3 . (2)当a ＝3时，斜率不存在； 当a ≠3时，直线的斜率k ＝43－a .7．解析：已知函数y ＝2x ＋1(－2≤x ≤2)的图象是一条线段，设为AB ，其中A (2，5)，B (－2，－3).yx 的几何意义是线段AB 上的任意一点P (x ，y )与坐标原点O (0，0)连线的斜率，易得k OA ＝52 ，k OB ＝32 ，根据图象可知，yx的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，32 ∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ . 答案：D8．解析：依题意知直线AC 的斜率存在，则m ≠－1，由k AC ＝3k BC 得－m ＋3－4m －（－1） ＝3×m －1－42－（－1），所以m ＝4. 答案：49．解析：由题意可知直线AB ，AC 的斜率存在，∴a ≠2.由k AB ＝k AC 得2－02－a ＝2－b2－0，即a ＋b ＝12 ab ，又ab ≠0，∴1a ＋1b ＝12.关键能力综合练1．解析：任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角α的范围为[0，π)，故sin α∈[0，1]，倾斜角为0的直线有无数条，因此A 正确，B 错误，C 正确，D 错误．故选AC.答案：AC 2．解析：由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°(如图).答案：D3．解析：两点(－2，2)，(－2，5)的横坐标相同，因此过此两点的直线斜率不存在． 答案：D4．解析：∵A (a ，4)，B (2，－a )，且斜率为4，∴k AB ＝－a －42－a ＝4，解得a ＝4.答案：D5．解析：过定点A 的直线经过点B (3，0)时，直线l 与x 轴交点的横坐标为3，此时k ＝2－01－3＝－1；过定点A 的直线经过点C (－3，0)时，直线l 与x 轴交点的横坐标为－3，此时k ＝2－01＋3 ＝12 .数形结合(如图所示)可知满足条件的直线l 的斜率的取值范围为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ .答案：B6．解析：如图，当直线l 在l 1位置时，k ＝tan 0°＝0；当直线l 在l 2位置时，k ＝2－01－0＝2，故直线l 的斜率的取值范围是[0，2].答案：[0，2]7．解析：由题意可知k AB ＝k AC ＝12 ，即5＋13－x ＝y －57－3 ＝12 ，解得x ＝－9，y ＝7.答案：－9 78．解析：由题意知k P A ＝－1.设x 轴上点P 1(m ，0)，y 轴上点P 2(0，n )满足题意．由0－2m －1＝n －20－1＝－1，得m ＝n ＝3.所以点P 的坐标为(3，0)或(0，3). 答案：(3，0)或(0，3) 9.解析：f （x ）x 表示经过点O (0，0)和点A (x ，f (x ))的直线的斜率，所以我们可以赋予f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c几何意义：表示3个斜率．作函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图象如图所示． 因为a >b >c >0，在函数图象上找到对应点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))，将这三点与原点相连，可得f （c ）c >f （b ）b >f （a ）a.学科素养升级练1．解析：如图所示，过点P 作直线PC ⊥x 轴交线段AB 于点C ，作出直线P A ，PB .①直线l 与线段AB 的交点在线段AC (除去点C )上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率的范围是k ≤k P A .②直线l 与线段AB 的交点在线段BC (除去点C )上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率的范围是k ≥k PB .因为k P A ＝－3－12－1 ＝－4，k PB ＝－2－1－3－1 ＝34 ，所以直线l 的斜率k 满足k ≥34 或k ≤－4.答案：(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞2．解析：设点A 关于x 轴的对称点为A ′，则A ′(－1，－3)，连接A ′B ，与x 轴交于点C ，则点C 即为光照点．不妨设C (a ，0)，由题意可知A ′，B ，C 三点共线，∴k A ′C ＝k BC ，即0－（－3）a －（－1）＝0－7a －2 ，解得a ＝－110 .∴x 轴上光照点的坐标为⎝⎛⎭⎫－110，0 .。
高中数学课本全套pdf
高中数学课本全套pdf篇一:人教版必修1高一数学全套打包,150页)人教版高中数学必修1精品教案(整套)课题:集合的含义与表示(1)课型:新授课教学目标:(1) 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;(2) 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系;(3) 掌握常用数集及其记法;教学重点:掌握集合的基本概念;教学难点:元素与集合的关系;教学过程:一、引入课题军训前学校通知:8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生,在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而1不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题)，即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容二、新课教学(一)集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集。
3. 思考1:判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1) 大于3小于11的偶数;(2) 我国的小河流;(3) 非负奇数;(4) 方程x2?1?0的解;(5) 某校2007级新生;(6) 血压很高的人;(7) 著名的数学家;(8) 平面直角坐标系内所有第三象限的点(9) 全班成绩好的学生。
2对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4. 关于集合的元素的特征(1)确定性:设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
(2)互异性:一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
(3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。
深圳市华为电气编委会 TD系列变频器 说明书
Ф m U1
U1N
恒转矩调速
恒功率调速
U1N
Ф mN
U1
Фm
0
f1N
f1
图1-2 异步电机变压变频调速控制特性
1.2
变频器的原理
变频器按照能量变换的环节可以分为交-交变频器和交-直-交变频器。交-交变频器是把 频率固定的交流电直接变换成频率连续可调的交流电，主要优点是没有中间环节，故变 换效率高，但其连续可调的频率范围窄，一般为额定频率的1/2以下，故它主要用于容 量较大的低速拖动系统中。交-直-交变频器是把频率固定的交流电整流成直流电，再把 直流电逆变成频率连续可调的三相交流电。如图1-3所示。
60f − s) 60f(1 p
(1-1)
通过上式可知，改变交流电机转速的方法有三种。即变频调速、变极调速和变转差率调 速。其中变转差率调速主要包括调压调速、串极调速和滑差电机调速。在变频调速器未 问世前，它是主要的调速手段。但由于其调速范围窄、效率低，对电网污染较大，不能 满足交流调速应用的广泛需求。本世纪七十年代以后，随着电力电子技术的发展，特别 是高性能大功率器件（GTR、IGBT）的产品化，变频调速器在体积、性能及成本方面 取得飞跃的发展，并逐渐实用化。 我们知道，交流电机是通过内部的旋转磁场来传递能量的，为了保证交流电机能量传递 的效率， 必须保持气隙磁通量为恒定值。 如果磁通量太小， 则没有充分发挥电机的能力， 导致出力不足。反之，如果磁通量太大，铁心过度饱和，会导致励磁电流过大，严重时 会因绕组过热而损坏电机。因此，保持气隙磁通量的值恒定不变，是变频变压的基本原 则。 三相异步电动机定子每相电动势的有效值为
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图1-4 电流型交-直-交变频器
i u
2017-2018学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 第二课时 集合的表示
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16
(2)因为12∈xx2－ax－52＝0 ，所以122－12a－52＝0， 解得：a＝－92，
当 a＝－92时，方程 x2－129x＋92＝0 的判别式 Δ＝－129 2－
4×92＝2849>0，
所以集合xx2－129x＋92＝0
() D．{(1，－2)}
答案：C
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3．不等式 x－3＜2 且 x∈N*的解集用列举法可表示为 ( )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} 答案：B
D．{1,2,3,4,5}
4．不等式 4x－5＜7 的解集为________． 答案：{x|4x－5＜7}
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[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由 1,1,2,3 组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}． ( × )
(2)集合{(1,2)}中的元素是 1 和 2.
(× )
(3)集合 A＝{x|x－1＝0}与集合 B＝{1}表示同一个集合．( √ )
2．方程组xx＋ －yy＝ ＝－ 1，3 的解集是 A．(－1,2) B．(1，－2) C．{(－1,2)}
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识别集合含义的 2 个步骤 (1)一看代表元素：例如{ x | p (x) }表示数集，{(x，y)|y ＝p(x)}表示点集． (2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性)．
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则集合中的元素是什么？ 解：集合{x|y＝x2＋1}的代表元素是 x，且 x∈R，
所以{x|y＝x2＋1}中的元素是全体实数．
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互联网交通管理业务工作规范（试行）
1.1.1.1.1.1互联网交通管理业务工作规范（试行）目录第一章总则第二章用户注册及变更第一节用户注册第二节用户变更第三章机动车业务第一节预选号牌号码第二节补、换领号牌、行驶证、检验合格标志第三节核发临时行驶车号牌第四节安全技术检验预约第四章驾驶证业务第一节补、换领驾驶证第二节延期换证/审验/提交身体条件证明第三节提交身体条件证明第四节考试预约第五章道路交通违法业务第六章档案管理第七章附则第一章总则第一条为规范互联网交通安全综合服务管理平台业务办理工作，根据《机动车登记规定》、《机动车驾驶证申领和使用规定》、《道路交通安全违法行为处理程序规定》及相关工作规范，制定本规范。
第二条公安机关交通管理部门应当按照本规范规定的程序办理互联网交通管理业务。
第三条省级公安机关交通管理部门负责本省、自治区、直辖市互联网交通管理业务工作的指导、检查和监督。
直辖市公安机关交通管理部门、设区的市或者相当于同级的公安机关交通管理部门负责办理本行政辖区内互联网交通管理业务。
第四条公安机关交通管理部门办理互联网交通管理业务，应当建立互联网交通管理业务办理中心和互联网交通管理业务受理窗口，设臵受理岗、管理岗、档案岗。
第五条公安机关交通管理部门应当按照机动车、驾驶证等信息采集和签注标准，将信息录入互联网交通安全综合服务管理平台（以下简称互联网服务平台），打印有关证、表。
第六条互联网服务平台信息管理系统数据库标准和软件全国统一。
第二章用户注册及变更第一节用户注册第七条注册用户包括个人用户和单位用户，具体如下：（一）个人用户包括“车主或驾驶人”、“初次申领驾驶证的学员”、“新车车主”三类。
对于拥有机动车或驾驶证的个人，可以注册成为车主或驾驶人用户。
对于不拥有机动车和驾驶证的个人，在初次申领驾驶证业务受理后，可以注册成为学员用户；在购买新车后，需要办理新车注册登记业务的，可以注册成为新车车主用户。
（二）单位用户包括国家机关、企业、事业单位、社会团体及其他组织。
第一章 化学反应的质量关系和能量关系
再者，作为一个带电粒子体系，等离子体的运动行为会受到电 磁场的影响和支配。因此，等离子体是完全不同于普通气体的 一种新的物质聚集态。
2. 等离子态（续） 等离子体的应用
由于等离子体的独特性能，等离子体技术工业、农业和军 事上都有广泛的用途。 如利用等离子体技术进行金属切割/焊接、表面镀膜、表 面刻蚀等；利用等离子体制造各种新颖的光源和显示器等。 这种显示器制造电视，电视机可以像画一样挂在墙上。
例如： 1mol H2的质量为2.02×10-3kg H2的摩尔质量为2.02×10-3kg·mol-1
2. 摩尔体积：某气体物质的体积(V)除以该气体物 质的量(n) Vm = V /n 单位： m3·mol-1
例如： 在标准状况(STP)(273.15K及101.325kPa 下)，任何理想气体的摩尔体积为：
mol·L-1 物质的量浓度简称为浓度
1.2.5 气体的计量
1. 理想气体态方程：pV = nRT
p——气体的压力，单位为帕(Pa) V——体积，单位为立方米(m3) n——物质的量，单位为摩(mol) T——热力学温度，单位为“开”(K) R——摩尔气体常数
实际工作中，当压力不太高、温度不太低的情况下， 气体分子间的距离大，分子本身的体积和分子间的作 用力均可忽略，气体的压力、体积、温度以及物质的 量之间的关系可近似地用理想气体状态方程来描述。
Vm,273.15K = 0.022414 m3·mol-1 = 22.414L·mol-1 ≈ 22.4L·mol-1
1.2.4 物质的量浓度
物质的量浓度(cn)：混合物中某物质B的物质
的量(nB)除以混合物的体积(V)。 cB = nB/V
第一篇第一章聚合物结构与性能
2 粘度法 溶液的粘度一方面与聚合物的分子量有关，却也决定 于聚合物分子的结构、形态和在溶剂中的扩散程度。因此 该法为相对方法。 一、粘度的定义 流体流动时，可以设想有无数个流动的液层，由于液 体分子间相互摩擦力的存在，各液层的流动速度不同。单 位面积液体的粘滞阻力为ζ，切变速度为ξ，那么粘度为 η= ζ/ ξ 即流速梯度为1秒-1、面积为1厘米2的两层液体间的内摩 擦力。其单位为泊（厘泊）： 1P=100cP=1gs-1cm-1=0.1kg s-1m-1 =0.98(Ns2m-1) s-1m-1 =0.98Nm-2s=0.98Pa·s≈1Pa·s 以上所定义的粘度是绝对粘度。对于高分子溶液，我们感 兴趣的是高分子进入溶液后引起的粘度变化，一般采用以 下几种参数：
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端基分析 聚合物的化学结构明确,每个高分子链末端有一个或 x个可以用化学方法分析的基团，那么一定重量试样中 端基的数目就是分子链数目的x倍。所以从化学分析的 结果就可以计算分子量。 M= xw/n w为试样重量，n为被分析端基的摩尔数。 注意： • 该法要求聚合物结构必须明确。 • 分子量越大，单位重量试样中可分析基团的数目越少， 分析误差越大，故此法只适于分析分子量较小的聚合物， 可分析分子量的上限为2×104左右。 • 一般用于缩聚物。加聚反应产物分子量较大，且一般无 可供化学分析的基团，应用较少。 • 还可用于分析聚合物的支化情况，但要与其他方法配合 才行。 • 数均分子量。
第一篇 聚合物加工的理论基础
• • • • 聚合物的结构 聚合物的流变性质(聚合物的分子运动） 材料的力学性能 聚合物加工过程的物理和化学变化
第一章 聚合物的构
• 聚合物的结构 • 高分子的链结构与高分子的柔顺性 • 高分子的聚集态结构
第一章 聚合物的结构
北师大版二年级下册数学电子课本教材(高清pdf版)
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1. 第一章：认识数字
- 1.1 数的认识
- 1.2 数的读法
- 1.3 数的顺序比较
- 1.4 数码的组成
- 1.5 数字的应用
2. 第二章：数的大小比较
- 2.1 数的大小比较
- 2.2 数的绝对值
- 2.3 数的分解
- 2.4 数的估算和验算
3. 第三章：数的合与分
- 3.1 数的合和分
- 3.2 加零加一运算法则
- 3.3 分配律
- 3.4 数的补数
4. 第四章：认识平面图形- 4.1 二维图形的认识
- 4.2 正方形
- 4.3 长方形
- 4.4 三角形
- 4.5 圆形
5. 第五章：时间的认识
- 5.1 时间的单位
- 5.2 时、分针的认识
- 5.3 计算时间差
- 5.4 日历的使用
6. 第六章：认识分数
- 6.1 分数的概念
- 6.2 分数的表示
- 6.3 分数的大小比较
- 6.4 分数的加减法
7. 第七章：认识长度和重量- 7.1 长度的认识
- 7.2 重量的认识
- 7.3 长度和重量的单位换算- 7.4 长度和重量的应用
8. 第八章：认识几何变化
- 8.1 平移的认识
- 8.2 翻转的认识
- 8.3 对称的认识
- 8.4 平移、翻转和对称的应用
9. 附录
- 数学游戏
- 数学知识小百科
- 计算题答案
- 听力练习题答案
- 作业参考答案。
人教A版高中数学选修1第一章空间向量与立体几何1
第一章 1.1 1.1.1A 级——基础过关练1．如图，平行四边形ABCD 的对角线的交点为O ，则下列等式成立的是( )A ．OA →＋OB →＝AB → B ．OA →＋OB →＝BA →C ．AO →－OB →＝AB →D ．OA →－OB →＝CD →【答案】D【解析】OA →－OB →＝BA →＝CD →．故选D ．2．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在下列各结论中正确的结论共有( ) ①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．3．已知不共线向量e 1，e 2，AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则一定共线的三个点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D【答案】A【解析】因为BD →＝BC →＋CD →＝(－5e 1＋6e 2)＋(7e 1－2e 2)＝2e 1＋4e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →，又因为BD →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→．其中能够化简为向量BD 1→的共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋D 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→．故选C ．5．以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．其中正确命题的序号是( ) A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 【答案】B【解析】对于①由共线向量的定义知两个共线向量是指方向相同或相反的向量，不一定在同一直线上，故①错误；同理③错误；对于②④由共线向量、共面向量的定义易知正确．故选B ．6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列关于AC 1→的表达式： ①AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→；②AD →＋CC 1→＋D 1C →； ③AB →＋DD 1→＋D 1C 1→；④12(AB 1→＋CD 1→)＋A 1C 1→．正确的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 【答案】C【解析】在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，可知AC 1→＝AA 1→＋A 1B 1→＋B 1C 1→，又因为B 1C 1→＝A 1D 1→，故①正确；对于②，AD →＋CC 1→＋D 1C →＝AD →＋DD 1→＋D 1C →＝AC →，故②错误；同理③错误；对于④，易得12(AB 1→＋CD 1→)＋A 1C 1→＝AA 1→＋A 1C 1→＝AC 1→，故④正确，故共有2个正确．故选C ．7．(多选)在下列条件中，使点M 与A ，B ，C 不一定共面的是( ) A ．OM →＝3OA →－2OB →－OC → B ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 C ．MA →＋MB →＋MC →＝0 D ．OM →＝14OB →－OA →＋12OC →【答案】ABD【解析】对于选项C ，因为MA →＋MB →＋MC →＝0，所以MA →＝－MB →－MC →，所以点M 与A ，B ，C 必共面．其他选项均得不到点M 与A ，B ，C 一定共面．8．如图，在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于________．【答案】3MG →【解析】MG →－AB →＋AD →＝MG →－(AB →－AD →)＝MG →－DB →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →． 9．设M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则AM →＝________． 【答案】13(c －b )【解析】设D 是BC 边中点，因为M 是△ABC 的重心，所以AM →＝23AD →．而AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )，所以AM →＝13(c －b )． 10．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1中点，化简下列各式：(1)AB →＋BA 1→； (2)AB →＋B 1C 1→＋C 1C →；(3)12AA 1→＋AB →－AM →． 解：(1)AB →＋BA 1→＝AA 1→．(2)AB →＋B 1C 1→＋C 1C →＝A 1B 1→＋B 1C 1→＋C 1C →＝A 1C →． (3)12AA 1→＋AB →－AM →＝BM →＋AB →＋MA →＝AB →＋BM →＋MA →＝0． B 级——能力提升练11．已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外任一点O ，若OB →＋OM →＝3OP →－OA →，则点P 与A ，B ，M ( )A ．共面B ．共线C ．不共面D ．不确定【答案】A【解析】原式变形为OP →－OM →＝(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)，即PM →＝－PA →－PB →．因为PA →，PB →不共线，所以PM →，PA →，PB →共面，即点P 与A ，B ，M 共面．12．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则x ，y 的值分别是( )A ．1，14B ．14，1 C ．2，14D ．14，2 【答案】A【解析】AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)，则x ＝1，y ＝14．故选A ．13．给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行； ②若三个向量两两共面，则这三个向量共面；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．其中为真命题的是________．【答案】③【解析】①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②如三棱锥一个顶点上的三条棱看作三个向量，则它们不共面；③如图，A ，B ，C ，M 四点共面，因为13OA →＋13OB →＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上MO →，则13(MO →＋OA →)＋13(MO →＋OB →)＋13(MO →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋MC →＝0，MA →＝－MB →－MC →＝－(MB →＋MC →)，设E 为BC 中点，则MA →＝－2ME →，即AM ＝2ME ，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题．14．已知三棱锥O －ABC ，D 是BC 中点，P 是AD 中点，设OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________，x ＝________．【答案】1 12【解析】如图，OP →＝12(OA →＋OD →)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤OA →＋12（OB →＋OC →）＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝12，y ＝14，z ＝14，所以x ＋y ＋z ＝1，x ＝12．15．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值：(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yPA →； (2)PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →．解：如图，(1)因为OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，所以x ＝y ＝－12．(2)因为PA →＋PC →＝2PO →， 所以PA →＝2PO →－PC →．又因为PC →＋PD →＝2PQ →， 所以PC →＝2PQ →－PD →．从而有PA →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →． 所以x ＝2，y ＝－2．。
高中数学必修一必修二知识点总结
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N*或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B =A(B)或B A真子集A ≠⊂B（或B ≠⊃A ）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂B A集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n −个真子集，有21n −个非空子集，它有22n −非空真子集.（8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈ （1）AA A = （2）A ∅=∅ （3）AB A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ AB B ⊇BA补集U A{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ 2()U AA U =逻辑语言1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.pqp q ∧p q ∨p ⌝真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。
随机信号分析pdf第一章
x
−∞
⎧ ( x − m) 2 ⎫ 1 exp ⎨− ⎬ dx 2σ 2 ⎭ 2πσ ⎩
（1.3.16）
标准正态分布函数通常用Φ(x)表示，即
Φ ( x) = ∫
2 均匀分布
x
−∞
⎧ x2 ⎫ 1 exp ⎨− ⎬ dx 2π ⎩ 2⎭
（1.3.17）
如果随机变量 X 的概率密度函数为
⎧ 1 ⎪ f ( x) = ⎨ b − a ⎪ ⎩ 0
x≥0 x<0
其中 a、b 为常数，则称 X 服从韦伯分布，参数 a 称为尺度参数，b 称为形状参数，雷达的地杂波 的幅度特性通常可以用韦伯分布来描述，概率密度曲线如图 1.3(e)所示。 6 对数正态分布 如果随机变量 X 的概率密度为
⎧ 1 ⎧ ln 2 ( x / m) ⎫ exp ⎨− ⎪ ⎬ f ( x) = ⎨ x 2πσ 2σ2 ⎭ ⎩ ⎪ 0 ⎩
∫
x2
x1
f ( x)dx ，这说明随机变量 X 落在区间 ( x1 , x 2 ] 上的
概率等于图 1.2 中阴影区的面积。从这条性质我们也可以看出，对于连续型随机变量，有
P( X = x) = 0
f ( x)
0
x1
x2
x
图 1.2 随机变量 X 落在区间 ( x1 , x 2 ) 上的概率 对于离散型随机变量，由于它的概率分布函数是阶梯型，那么它的概率密度函数是一串 δ 函数 之和， δ 函数出现在随机变量的取值点，强度为取该值的概率。即
(1.3.15)
2
其中 m、σ为常数，则称 X 服从正态分布，正态分布通常也简记为 N (m, σ ) 。均值为 0，方差为 1 的正态分布 N (0,1) 称为标准正态分布。正态分布随机变量的概率密度是一个高斯曲线，所以又称 为高斯随机变量，概率密度曲线如图 1.3(a)所示。 正态分布函数，
2020高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.1 集合及其表示方法教学设计(2)第一册
1.1。
1集合及其表示方法集合论是现代数学的一个重要的基础．在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础．课本从学生熟悉的集合(自然数的集合等）出发，结合实例给出元素、集合的含义，体现逻辑思考的方法，如抽象、概括等．【教学目标】在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具，本节可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流,积累数学抽象的经验。
【数学抽象】了解集合、元素的概念,体会集合中元素的三个特征；【数据分析】理解元素与集合的"属于”和"不属于”关系;【数学运算】掌握常用数集及其记法；【逻辑推理】掌握集合的表示方法；【教学重点】1、掌握集合、元素的基本概念2、学会用描述法表示集合3、用区间表示集合【教学难点】1、集合中元素的三个特征2、空集的理解3、记住几种常见的数集符号由于本小节的新概念、新符号较多，建议教学时教师给出问题,让学生读后回答问题，再由教师给出评价．这样做的目的是培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力．在处理集合问题时,根据需要，及时提示学生运用集合语言进行表述．【新课导入】在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类。
例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类?你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类.【新课讲授】一、集合的概念在数学中,我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类。
把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素。
集合通常用英文大写字母A，B,C，。
.表示，集合的元素通常用英文小写字母a，b，c，..。
表示.如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”;如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A".【尝试与发现】你能举出几个用集合表达的、与数学有关的例子吗？指出例子中集合的元素是什么。
第一章 船舶防污染公约 1.1.1
2）对400总吨及以上的非油船和油船机舱舱底水 排放规定： （1）船舶不在特殊区域内； （2）舱底水中未混有货油残油； （3）船舶正在航行途中； （4）未经稀释的排出物的含油量不超过15ppm （5）船上安装的经主管机关批准的舱底水排油 监控系统、油水分离设备、过滤设备或其他 装置等，正在运转
3）任何油船和400总吨及以上的非油船，当其航行 在特殊区域内时，禁止将油类或油类混合物排 放入海中。对于经处理的机舱舱底污水，只有 满足下列所有条件才可排放： （1）舱底污水不是来自货油泵舱的舱底； （2）舱底污水未混有货油残油； （3）船舶正在航行途中； （4）未经稀释排出物的含油量不超过15ppm； （5）具有油水分离设备和有效的过滤系统并正在运 转 （6）该过滤系统具有当排出物的含油量超过15ppm 时，该装置能确保自动停止排放。
IMO于1978年2月召开了油船安全与防止 污染会议，通过MARPOL73公约的1978年议 定书，对1973年防污公约附则Ⅰ作了许多修 正，而且允许各缔约国把附则Ⅱ推迟到“78 议定书”生效三年后再生效，由于1978年议 定书吸收了1973年公约的内容，而且将“公 约”和“议定书”的各项规定，作为一个 整体文件理解和解释，即凡加入1978年议定 书的国家就自然地参加了1973年防污染公约， 因此通常将经1978年议定书修正的1973年国 际防止船舶造成污染公约称为《73/78防污 公约》，即MARPOL73/78。
1、附则I 防止油污规则 该附则为必选附则，于1983年10月2日生效，到 2004年底，已有127个国家加入，其船舶总吨位占世 界商船总吨位的96.95%；我国已加入。 1）对150总吨及以上的油船油性混合物的排放规定。 （1）不在特殊保护区域内排放； （2）距最近陆地50n mile以上； （3）正在航行途中排放，瞬时排放率小于30L/n mile； （4）航次排油总量，不得超过本航次所载货油量的 1/30000； （5）油船所装设的经主管机关批准的排油监控系统和 污油水舱，排放时正在运转。
保险学概论_中央财经大学_1 第一章保险概述_(1.1.1) 第一章保险概述
◼理解保险的定义、保险的基本要素、可保风险，保险的 特征与基本职能。 ◼了解国内外保险产生与发展的历史，熟悉保险业在不同 阶段的发展特征。 ◼了解保险产品的基本类型及其特征，尤其是保险与其他 经济形式的区别。
第一章 保险概述
◼ 保险的定义与职能 ◼ 保险发展史 ◼ 保险的分类
险公司、太平洋保险公司、资源委员会保险事务所。 抗日战争胜利后，上海保险公司232家，其中华资保险公
司168家，外资保险公司64家。
三、中国保险史
（二）1949年-1979年的中国保险业 ◼ 1949年10月20日，批准成立中国人民保险公司，经营财
产保险、人身保险和再保险业务。 ◼ 1952年，中国人民保险公司由中国人民银行领导改为由
计了“联合养老保险法”（简称“佟蒂法”）。 ◼ 信用保证保险：1919年英国成立了出口信用担保局。 ◼ 责任保险：1804年法国《拿破仑民法典》出现民事损害
赔偿责任的规定，奠定了责任保险产生的法律基础。
（二）再保险的产生与发展: 海上保险
三、中国保险史
（一）1949年以前的中国保险业 ◼ 外商保险公司垄断时期：
赌博变确定为偶然，是风险的创造与增加。 ④标的要求不同。投保人对保险标的必须具有保险利益；赌
博则不然。 ⑤风险性质不同。保险的风险为纯粹风险；赌博的风险是投
机风险。
（二）保险与储蓄
◼ 保险与储蓄的区别： ①支付条件不同：保险的赔付是不确定的，只有保险事故
发生时被保险人方能领取保险金；储蓄支付是确定的， 存款人可获得本金并随时间推移领取利息。 ②计算技术要求不同：保险是集合多数经济单位的保险费 以备将来赔付，其目的在于风险的共同分担；储蓄则以 积聚的金额及其利息，不需要特殊的计算技术。 ③财产准备的性质不同：保险是多数经济单位所形成的共 同准备财产，由保险人统一运用，用于预定的损失补偿 或保险金给付；储蓄则是单独形成的财产准备，其所有 权归存款人，存款人可以任意提取使用。 ④行为性质不同：保险为互助共济的行为；储蓄则是个人 的行为。
第一章《勾股定理》(全章)
第一章勾股定理1.1.1 探索勾股定理（一）学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程：一、自主学习画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
（勾3，股4，弦5）。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42_____52，52+122_____132，那么就有_____2+_____2=_____2。
(用勾、股、弦填空)对于任意的直角三角形也有这个性质吗？勾股定理内容文字表述：几何表述：二、交流展示例1、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正即4×21×＋﹝﹞2＝c2,化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=_____________右边S=_____________左边和右边面积相等，即_________________________化简可得_______________________三、合作探究bbbccccaabbbaaccaabcc1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则⑴c= 。
第一章 第2课时 共线向量与共面向量
∴O→P－O→A＝18A→B＋18A→C， ∴A→P＝18A→B＋18A→C，
由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C选项正确.
D 选项，O→P＝2O→A－O→B－O→C，无法转化成A→P＝xP→B＋yP→C的形式，所以 D 项不正确. 方法二 点 P 与 A，B，C 共面时，对空间任意一点 O，都有O→P＝xO→A＋ yO→B＋zO→C，且 x＋y＋z＝1，可判断出只有选项 B，C 符合要求.
知识梳理
1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段
→ OA
所在的直线OA_平__行__于__
平面α 或 在平面α内，那么称向量a平行于平面α.
2.共面向量
定义
平行于同一个 平面 的向量
三个向量共面 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在_唯__一__ 的充要条件 的有序实数对(x，y)使 _p_＝__x_a_＋__y_b_A.1BFra bibliotek0C.3
√D.13
解析 ∵O→M＝xO→A＋13O→B＋13O→C，
且M，A，B，C四点共面，
∴x＋13＋13＝1，∴x＝13，故选 D.
1234
4.设 a，b 是空间中两个不共线的向量，已知A→B＝9a＋mb，B→C＝－2a－b， D→C＝a－2b，且 A，B，D 三点共线，则实数 m＝_－__3__.
(2)(链接教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的 中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面.
证明 设A→A1＝a，A→B＝b，A→D＝c，则—A1→B ＝b－a， ∵M 为线段 DD1 的中点，∴—A1→M＝c－12a， 又∵AN∶NC＝2，∴A→N＝23A→C＝23(b＋c)， ∴—A1→N ＝A→N－A→A1＝23(b＋c)－a ＝23(b－a)＋23c－12a ＝23—A1→B ＋23—A1→M， ∴—A1→N ，—A1→B ，—A1→M为共面向量.
第一章 集合与函数 1.1.1 集合概念及表示
集合的分类:
有限集：含有限个元素的集合 无限集：含无限个元素的集合 空 集：不含任何元素的集合,记为:
φ
问题：如果用A表示高一（5）班全体学生组成的集合， 用a表示高一（5）班的一位同学，b是高一（6）班的 一位同学，那么a，b与集合A分别有什么关系？ 如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to） 集合A，记作a∈A； 如果a不是集合A的元素，就说a不属于 （not belong to）集合A，记作a∈A； 元素和集合之间的关系是：属于，不属于 例：用A表示“1～20以内的所有质数”组成的集合， 问2，4与集合A之间的关系？
思考： 地球上的四大洋可以组成集合吗？
自然语言
{太平洋 ，大西洋 ，印度洋 ，北冰洋}
集合的表示方法（1）:
把集合的元素一一列举出来，并用花括号
“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
注意：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内。
理论迁移 例1 用列举法表示下列集合： （1）小于1０的所有自然数组成的集合； （2）方程
思考
在初中，我们已经接触过一 些集合，你能举出一些集合 的例子吗? 那么，集合的含义是什么 呢?
它们的 研究对 象是什 么？
(1) 1～10以内所有的质数; (2) 我国从1991到2003年的13年内所发射的 所有人造卫星; (3) 方程x2+5x+6=0的实数根; (4) 到直线l的距离等于定长d的所有的点; (5) 平度九中2014年9月入学的所有高一学生.
集合中元素的特点：
无序性:集合中的元素是没有先后顺序的.也 就是说,集合中元素的排列次序与顺序无关.
集合相等 ：只要构成两个集合的元素是一样的，
我们称这两个集合是相等的。
高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法第2课时集合的表示方法新人教B版必修第一册
集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时 不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用 “，”隔开；用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，从而 理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集合.
2．用描述法表示下列集合： (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集； (2)二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合．
在集合的表示方法中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过 对元素个数与特性的验证分析，探索参数的取值范围.
3．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0，x∈R}不含有任何元素，则实
数a的取值范围是________．
[0,4) [当a＝0时，原方程可化为1＝0，显然方程无解，当a≠0
时，一元二次方程ax2＋ax＋1＝0无实数解，则需Δ＝a2－4a＜0，即
[解] (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝ 0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}． (2)“二次函数y＝x2－10图像上的所有点”用描述法表示为 {(x，y)|y＝x2－10}．
集合的表示法的应用 角度一 方程、不等式问题 【例 3】 若集合 A＝{x|ax2＋ax－1＝0}只有一个元素，则 a＝ () A. －4 B. 0 C. 4 D. 0 或－4 A [依题意，得关于 x 的方程 ax2＋ax－1＝0 只有一个实根，所 以aΔ≠＝00，， 即aa≠ 2＋04，a＝0， 解得 a＝－4，选 A.]
合作探究 提素养
用列举法表示集合
【例 1】 (1)若集合 A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合 A 中元素的个数
是( )
A．1
B．2
C．3
数学人教版(2024)版一年级上册 第1章 1.1 1~5的认识 课时练 含答案02
第一章5以内数的认识和加、减法1.1 1~5的认识一、选择题1．笑笑和淘气做同一页口算题，（）做的题多。
A．笑笑B．淘气C．笑笑和淘气2．，从右数，排（）。
A．第1B．第5C．第33．5只小鸟飞进两个鸟笼里，两个鸟笼里鸟的数量（）一样多。
A．能B．不能C．不能确定4．4只蚂蚁进两个洞，每个洞能进同样多的蚂蚁吗？（）A．能B．不能5．找规律，空的圆圈里应该是（）。
A ．B．C．6．龙一鸣和依依分的蛋糕同样多，（）剩的蛋糕多。
A．龙一鸣B．依依C．无法确定7．4不能分成（）。
A．1和3B．2和2C．2和3二、填空题8．写一写。
9．照样子填一填。
10．2<，里面可以填，还可以填。
11．看图解答。
12．请把较大的数圈出来，并按要求比大小。
13．在“一去二三里，烟村四五家”这两句诗中，有我们学过的数字吗？请你把它们找出来，写在下面的田字格里。
（每个数字写一行））14．有5只进2个洞，每个洞能进同样多的吗？在里打“√”。
15．比一比。
16．小红和小军同读一本故事书，小红读了4页，小军读了5页。
( )剩的多。
17．画：与一样多。
三、作图题18．照样子，根据雨伞上的数字，画出雨伞上的小雨滴。
19．画一画：和同样多。
四、解答题20．看图解答。
参考答案1．A2．B3．B4．A5．A6．A7．C8．9．10．1 011．12．13．14．15．4＞316．小红17．○○○○○18．解：由题意分析得：19．解：由分析得：和同样多。
20．解：小鹿最靠近红线，排第一，第二是狐狸，第三是兔子，第四是乌龟。
答：小鹿第一，第四是乌龟。
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由勾股定理得 c＝2.
9．在单位圆上有三点 A，B，C，设△ABC 三边长分别为 a，b，c，则sina A＋2sibn B＋si2ncC ＝________.
学海无涯
答案 7
解析 ∵△ABC 的外接圆直径为 2R＝2，
∴sina A＝sinb B＝sinc C＝2R＝2，
∴sina A＋2sibn B＋si2ncC＝2＋1＋4＝7.
a－ccos 所以等式成立，即
b－ccos
BA＝ssiinn
B A.
12．在△ABC 中，已知 a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC 的形状．
解 设三角形外接圆半径为 R，则 a2tan B＝b2tan A
⇔ac2osisnBB＝bc2osisnAA ⇔4R2scino2sABsin B＝4R2scino2sBAsin A
8．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A＝60°，a＝ 3，b＝1，则 c＝________.
答案 2
解析 由正弦定理sina A＝sinb B，得sin 630°＝sin1 B， ∴sin B＝12，故 B＝30°或 150°.由 a>b，
得 A>B，∴B＝30°，故 C＝90°，
1．在△ABC 中，有以下结论：
(1)A＋B＋C＝π；
(2)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C；
(3)A＋2 B＋C2＝π2；
(4)sin
A＋B 2 ＝cos
C2 ，cos
A＋B 2 ＝sin
C2 ，tan
A＋B 2＝
1 C.
tan 2
2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三
10．在△ABC 中，A＝60°，a＝6
3，b＝12，S△ABC＝18
3，则sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
＝ C
________，c＝________.
答案 12 6
解析
sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝sina
A＝6
3＝12. 3
2
∵S△ABC＝12absin C＝12×6 3×12sin C＝18 3， ∴sin C＝12，∴sinc C＝sina A＝12，∴c＝6. 三、解答题 11．在△ABC 中，求证：ab－ －ccccooss BA＝ssiinn BA.
证明 因为在△ABC 中，sina A＝sinb B＝sinc C＝2R，
2Rsin A－2Rsin Ccos B 所以左边＝
2Rsin B－2Rsin Ccos A
sin(B＋C)－sin ＝
sin(A＋C)－sin
Ccos Ccos
BA＝ssiinn
Bcos Acos
CC＝ssiinn
AB＝右边．
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
答案 D
2．在△ABC 中，若coas A＝cobs B＝cocs C，则△ABC 是( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
答案 B
解析 由正弦定理知：csoins AA＝csoins BB＝csoins CC，
∴tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C.
得 R＝1，由 S△＝12absin C＝a4bRc＝a4bc＝14，∴abc＝1. 二、填空题
7．在△ABC 中，已知 a＝3 2，cos C＝13，S△ABC＝4 3，则 b＝________.
答案 2 3
解析 ∵cos C＝13，∴sin C＝23 2， ∴12absin C＝4 3，∴b＝2 3.
角恒等式的证明．
C＝2R；
(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(4)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.
2．三角形面积公式：S＝12absin C＝12bcsin A＝12casin B.
一、选择题
1．在△ABC 中，sin A＝sin B，则△ABC 是( )
学海无涯
1.1.1 正弦定理(二)
课时目标 1．熟记正弦定理的有关变形公式； 2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．
1．正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 的常见变形：
(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
a (2)sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
5．在△ABC 中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则 sin A∶sin B∶sin C 等于( )
A．6∶5∶4
B．7∶5∶3
C．3∶5∶7
D．4∶5∶6
答案 B
解析 ∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，
b＋c c＋a a＋b ∴4＝5＝6.
b＋c c＋a a＋b 令 4 ＝ 5 ＝ 6 ＝k (k>0)，
答案 C
解析 设 C 为最大角，则 A 为最小角，则 A＋C＝120°，
( ) ∴ssiinn CA＝sin
120°－A sin A
学海无涯
sin 120°cos A－cos 120°sin A
＝
sin A
＝2tan3 A＋12＝
3＋1 2＝
23＋12，
∴tan A＝1，A＝45°，C＝75°.
14．在△ABC 中，a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边，若 a＝2，C＝π4，
b＋c＝4k 则 c＋a＝5k
，解得
a＝72k b＝52k
.
a＋b＝6k
c＝32k
∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3.
6．已知三角形面积为14，外接圆面积为 π，则这个三角形的三边之积为( )
A．1
B．2
1 C.2 答案 A
D．4
解析 设三角形外接圆半径为 R，则由 πR2＝π，
cos B2＝25 5，求△ABC 的面积 S.
解 cos B＝2cos2 B2－1＝35， 故 B 为锐角，sin B＝45.
所以 sin A＝sin(π－B－C)＝sin34π－B＝7102.
由正弦定理得 c＝assiinnAC＝170， 所以 S△ABC＝12acsin B＝12×2×170×45＝87.
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
答案 A
解析 由 a＝2bcos C 得，sin A＝2sin Bcos C，
学海无涯
∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C， ∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.
⇔sin Acos A＝sin Bcos B
⇔sin 2A＝sin 2B
⇔2A＝2B 或 2A＋2B＝π
⇔A＝B 或 A＋B＝π2.
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
能力提升
13．在△ABC 中，B＝60°，最大边与最小边之比为( 3＋1)∶2，则最大角为( )A．45°Βιβλιοθήκη B．60°C．75°
D．90°
3．在△ABC 中，sin A＝34，a＝10，则边长 c 的取值范围是( )
A.125，＋∞
B．(10，＋∞)
C．(0,10) 答案 D
D.0，430
解析 ∵sinc C＝sina A＝430，∴c＝430sin C.
∴0<c≤430.
4．在△ABC 中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是( )