2018版高中数学人教版a版必修一学案：第二单元习题课基本初等函数(ⅰ) 含答案

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浙江省2018版高一数学人教版A版必修一学案：第二单元习题课基本初等函数(Ⅰ)

习题课　基本初等函数(Ⅰ)学习目标　1.能够熟练进行指数、对数的运算(重点).2.进一步理解和掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，并能应用它们的图象和性质解决相关问题(重、难点)．1．三个数60.7,0.76，log 0.76的大小顺序是( )A ．0.76<60.7<log 0.76 B ．0.76<log 0.76<60.7C ．log 0.76<60.7<0.76 D ．log 0.76<0.76<60.7解析　由指数函数和对数函数的图象可知：60.7>1,0<0.76<1，log 0.76<0，∴log 0.76<0.76<60.7，故选D ．答案　D2．已知0<a <1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过( )A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限解析　因为0<a <1，所以函数y ＝a x 的图象过(0,1)，且过第一、二象限，又－1<b <0，所以函数y ＝a x ＋b 的图象可认为是由y ＝a x 的图象向下平移|b |个单位得到的，所以函数y ＝a x ＋b 的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案　C 3．lg 32－lg ＋lg ＝________.124385解析　原式＝lg 25－lg 2＋lg 5＝lg 2－2lg 2＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)124332125212121212＝lg 10＝.1212答案　124．函数f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋7)的值域是________．解析　∵－x 2＋2x ＋7＝－(x －1)2＋8≤8，∴log 2(－x 2＋2x ＋7)≤log 28＝3，故f (x )的值域是(－∞，3]．答案　(－∞，3]类型一　指数与对数的运算【例1】　计算：(1)2log 32－log 3＋log 38－5log 53；329(2)0.064－－＋[(－2)3]－＋16－0.75＋0.01.13(－78)4312解　(1)原式＝log 3－3＝2－3＝－1.22×8329(2)原式＝0.43×－1＋2－4＋24×＋0.1＝－1＋＋＋＝.521161811014380规律方法　指数、对数的运算应遵循的原则(1)指数的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算；其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的；(2)对数的运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明的常用技巧．【训练1】　计算：(1)－0＋0.25×－4；3(－4)3(12)12(－12)(2)log 3＋2log 510＋log 50.25＋71－log 72.4273解　(1)原式＝－4－1＋×()4＝－3.122(2)原式＝log 3＋log 5(100×0.25)＋7÷7log 72＝log 33－＋log 552＋＝－＋2＋＝.14721472214类型二　指数、对数型函数的定义域、值域【例2】　(1)求函数y ＝x 2－2x ＋2(0≤x ≤3)的值域；(12)(2)已知－3≤x ≤－，求函数f (x )＝log 2·log 2的最大值和最小值．log1232x 2x4解　(1)令t ＝x 2－2x ＋2，则y ＝t .又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1,0≤x ≤3，∴当x ＝1时，(12)t min ＝1；当x ＝3时，t max ＝5.故1≤t ≤5，∴5≤y ≤1，故所求函数的值域为.(12)(12)[132，12](2)∵－3≤x ≤－，∴≤log 2x ≤3，log123232∴f (x )＝log 2·log 2＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝2－.x2x4(log2x －32)14当log 2x ＝3时，f (x )max ＝2，当log 2x ＝时，32f (x )min ＝－.14规律方法　函数值域(最值)的求法(1)直观法：图象在y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围．(2)配方法：适合二次函数．(3)反解法：有界量用y 来表示．如y ＝中，由x 2＝≥0可求y 的范围，可得值1－x 21＋x 21－y1＋y 域．(4)换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围．(5)单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数．【训练2】　(1)函数f (x )＝＋的定义域是________．3x 21－x lg (3x ＋1)(2)函数f (x )＝Error!的值域为________．解析　(1)由题意可得Error!解得0≤x <1，则f (x )的定义域是[0,1)．(2)当x ≥1时，x ≤1＝0，当x <1时，0<2x <21＝2，log12log12所以f (x )的值域为(－∞，0]∪(0,2)＝(－∞，2)．答案　(1)[0,1)　(2)(－∞，2)类型三　指数函数、对数函数、幂函数的图象问题【例3】　(1)若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝a x ＋1的图象大致是( )(2)当0<x ≤时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )12A ． B ． C ．(1，)D ．(，2)(0，22)(22，1)22解析　(1)由log a 2<0(a >0，且a ≠1)，可得0<a <1，函数f(x )＝a x ＋1＝a ·a x ，故函数f (x )在R 上是减函数，且经过点(0，a )，故选A ．(2)∵0<x ≤时，1<4x ≤2，要使4x <log a x ，由对数函数的性质可得0<a <1，数形结合可知12只需2<log a x ，∴Error!即Error!对0<x ≤时恒成立，12∴Error!解得<a <1，故选B ．22答案　(1)A (2)B规律方法　函数图象及应用(1)根据函数解析式特征确定其图象时，一般要从函数的性质(如单调性、奇偶性)和函数图象所过的定点，或函数图象的变换等几个方面考虑，若是选择题，还要结合选择题的排除法求解．(2)判断方程根的个数、求参数问题，若不能具体解方程或不等式，则一般转化为判断指数函数、对数函数、幂函数等图象交点个数问题．【训练3】　(1)函数y ＝Error!的图象大致是( )(2)已知a >0且a ≠1，函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则a 的取值范围是________．解析　(1)当x <0时，y ＝x 2的图象是抛物线的一部分，可排除选项C 和D ；当x ≥0时，y ＝2x －1的图象是由y ＝2x 的图象向下平移一个单位得到，故排除A ，选B ．(2)当a >1时，在同一坐标系中作出函数y ＝|a x －2|和y ＝3a 的图象，因为a >1，所以3a >3，故两函数图象只有一个交点．当0<a <1时，在同一坐标系中作出函数y ＝|a x －2|和y ＝3a 的图象，若使二者有两个交点，则0<3a <2，即0<a <，23综上所述，a 的取值范围是.(0，23)答案　(1)B (2)(0，23)类型四　比较大小问题【例4】　比较下列各组中两个值的大小：(1)1.10.9，log 1.10.9，log 0.70.8；(2)log 53，log 63，log 73.解　(1)∵1.10.9>1.10＝1，log 1.10.9<log 1.11＝0,0＝log 0.71<log 0.70.8<log 0.70.7＝1，∴1.10.9>log 0.70.8>log 1.10.9.(2)∵0<log 35<log 36<log 37，∴log 53>log 63>log 73.规律方法　数(式)的大小比较常用的方法及技巧(1)常用方法：作差法(作商法)、单调性法、图象法、中间量法．(2)常用的技巧：①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．②比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”、“大于等于0小于等于1”、“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．【训练4】　(1)已知a ＝log 20.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )A ．a >b >c B ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >b >a(2)设a ＝2，b ＝3，c ＝0.3，则( )log13log12(13)A ．a 20＝1,0<c ＝0.30.2<0.30＝1，∴b >c >a .故选C ．(2)∵a ＝2<0，b ＝3<0，3<2<2，c ＝0.3>0.∴b <a <c .故选D ．log13log12log12log12log13(13)答案　(1)C (2)D类型五　指数函数、对数函数、幂函数的综合应用【例5】　已知函数f (x )＝lg 在x ∈(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范1＋2x ＋a ·4x3围．解　因为f (x )＝lg在x ∈(－∞，1]上有意义，1＋2x ＋a ·4x3所以1＋2x ＋a ·4x >0在(－∞，1]上恒成立．因为4x >0，所以a >－在(－∞，1]上恒成立．[(14)x ＋(12)x ]令g (x )＝－，x ∈(－∞，1]．[(14)x ＋(12)x ]由y ＝－x 与y ＝－x 在(－∞，1]上均为增函数，可知g (x )在(－∞，1]上也是增函数，(14)(12)所以g (x )max ＝g (1)＝－＝－.(14＋12)34因为a >－在(－∞，1]上恒成立，[(14)x ＋(12)x ]所以a 应大于g (x )的最大值，即a >－.34故所求a 的取值范围为.(－34，＋∞)规律方法　函数性质的综合应用指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等分段化归为基本的指数、对数、幂函数来研究．【训练5】　函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解　(1)要使函数有意义，则有Error!解得－3<x <1，∴定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]．∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4.∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4.由log a 4＝－2，得a －2＝4，∴a ＝4－＝.12121．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．。

2018人教A版高中数学必修一课件：第二章基本初等函数Ⅰ26 精品

答案
6．B 由题设知a>0，
则t＝2－ax在[0,1]上是减函数．
又y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数， ∴y＝logat是增函数，且tmin>0.
因此
a>1， tmin＝2－a>0，
∴1<a<2.
答案 7．(0,1] 解析：函数f(x)的图象如图所示，要使y＝a与f(x)有两个不同交点，则0<a≤1.
13．(15分)已知函数f(x)＝lg(3x－3)． (1)求函数f(x)的定义域和值域； (2)设函数h(x)＝f(x)－lg(3x＋3)，若不等式h(x)>t无解，求实数t的取值范围．
答案 11.解：(1)令t＝x－1，则x＝t＋1. 由题意知2－x x>0，即0<x<2，则－1<t<1. 所以f(t)＝lg2－t＋t＋1 1＝lgt1＋－1t. 故f(x)＝lgx1＋－1x(－1<x<1)． (2)lgx1＋－1x≥lg(3x＋1)⇔x1＋－1x≥3x＋1>0.
)
6．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上为减函数，则a的取值范围为
()
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(0,2)
D．[2，＋∞)
二、填空题(每小题5分，共15分) 7．已知函数f(x)＝l3oxg，2xx，≤x0>，0，直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________． 8．若函数y＝log0.5(x2－6x＋13)的定义域为[2,5]，则该函数的值域是________． 9．已知函数y＝logax，当x>2时恒有|y|≥1，则a的取值范围是 ________．
答案

2018版高中人教A版数学必修1课件：第二章基本初等函数Ⅰ2-2-1-1 精品

[巧归纳] (1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0. (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
[练习 2]求下列各式中 x 的值： (1)log8[lg(log2x)]＝0； (2)lg(ln x)＝1.
3．若 ab＝N，则 b＝logaN，二者组合可得什么等式？答案：对数恒等式 alogaN＝N(a>0，a≠1 且 N>0)．
类型 1 对数的有关概念 [要点点击]
[典例 1] (1)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
①2－7＝1128； ②3a＝27； ③10－1＝0.1； ④log1 32＝－5；
[典例 2] 求下列各式中 x 的值： (1)log2(log4x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)log( 2－1) 21＋1＝x. [思路点拨] 合理运用指对互化以及对数恒等式．
[解析] (1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1， ∴x＝41＝4. (2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3， ∴x＝103＝1 000. (3)∵log( 2－1) 21＋1＝x， ∴( 2－1)x＝ 21＋1＝ 2－1，∴x＝1.
解：(1)∵log8[lg(log2x)]＝0， ∴lg(log2x)＝1， ∴log2x＝10，∴x＝210. (2)∵lg(ln x)＝1，∴ln x＝10，∴x＝e10.
类型 3 对数的性质、对数恒等式的简单应用 [要点归纳] 对数恒等式 alogaN＝N 要注意格式： (1)它们是同底的； (2)指数中含有对数形式； (3)其值为对数的真数．
第二章基本初等函数(Ⅰ)

2018学年高一数学人教A版必修一课件第二章基本初等函数Ⅰ 2.3 精品

(1)250.5 与130.5；
(2)－23－1
与－3－1； 5
(3)2334与3423.
解析： (1)∵幂函数 y＝x0.5 在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13.∴250.5>130.5. (2)∵幂函数 y＝x－1 在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35， ∴－23－1>－35－1.
在_(_－__∞__，__0_)_ 在 R 上上递减，单调性递增在_(_0_，__＋__∞__)_
上递增
在 R 上在_(_0_，__＋__∞__)_ 在(－∞，0) 和(0，
递增上递增
＋∞)上递减
图象
过定点
__(0_,_0_)_，__(1_,_1_)__
__(1_,_1_)__
1．下列结论正确的是( ) A．幂函数图象一定过原点 B．当 α<0 时，幂函数 y＝xα 是减函数 C．当 α>1 时，幂函数 y＝xα 是增函数 D．函数 y＝x2 既是二次函数，也是幂函数
[课堂小结] 1．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线 x＝1 的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线 x＝1 的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小． 2．简单幂函数的性质 (1)所有幂函数在(0，－∞)上都有定义，并且当自变量为 1 时，函数值为 1，即 f(1)＝1. (2)如果 α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果 α<0，幂函数在 x＝0 处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．
3．注意区分指数函数与幂函数
函数名称
解析式
解析式特征
指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1) 底数是常数，自变量在指数位置上

2018版高中人教A版数学必修1课件：第二章基本初等函数Ⅰ2-1-2-2 精品

＝2·102x11＋02x12－110022xx21＋1. 令 g(x)＝10x，则 g(x)为增函数， ∴ 当 x2>x1 时，102x2－102x1>0. 又∵ 102x1＋1>1,102x2＋1>1，∴f(x2)－f(x1)>0，即 f(x2)>f(x1)，∴ f(x)是增函数．
证法二(利用复合函数的增减性)： f(x)＝1100xx－＋1100－－xx＝1－1022x＋1， ∵ 10x 为增函数， ∴ 102x＋1 为增函数，1022x＋1为减函数， ∴－ 1022x＋1为增函数， ∴ f(x)＝1－1022x＋1在定义域内是增函数．
∴e x2＞e x1，且 e x2e x1＞1，
∴(e
x2－e
x1)1－e
1 x1e
0，
即 f(x2)＞f(x1)，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
[当堂达标]
1．若函数 y＝(1－2a)x 是实数集 R 上的增函数，则实数 a 的
取值范围为( )
A.12，＋∞ C.－∞，12
B．(－∞，0) D.－12，12
[练习 2]求函数 y＝9x－2·3x＋3 的单调区间，并求出其值域．
解：设 u＝3x，则原函数可分解为 u＝3x，y＝u2－2u＋3，而二次函数 y＝u2－2u＋3 单调性的分界点为 u＝1，因此当 x∈(－∞，0)时，u＝3x 单调递增，u∈(0,1)，而 y＝u2－2u＋3 在 (0,1)上单调递减，所以原函数在(－∞，0)上单调递减；当 x∈(0，＋∞)时，u＝3x 单调递增，u∈(1，＋∞)，而二次函数 y＝u2－2u ＋3 在(1，＋∞)上单调递增，所以原函数在(0，＋∞)上单调递增．
答案：指数型 N(1＋p)x(x∈N)

2018人教A版高中数学必修一课件：第二章基本初等函数

答案 1 7.3
α f 4 4 解析：由题意可设f(x)＝xα，则由＝3，得 2α ＝3，即2α f2
1 1 ＝3，所以α＝log23，则f(x)＝xlog 3，所以f( 2 )＝( 2 )log 3＝2－log 3＝
2 2 2
2
log23
－1
1 ＝3－1＝3.
答案 8．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：在同一坐标系内画出y＝x2与y＝x－1的图象如图所示，由图象可知，当x2>x－1时，x<0或x>1，所以实数x的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．
4 5
x1＋x2 ，若0<x1<x2，则f( 2 )，
13．(15分)已知幂函数f(x)＝(m－1) x 上单调递增，函数g(x)＝2x－k. (1)求m的值；
2 m2－4m
＋2在(0，＋∞)
(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若 A∪B＝A，求实数k的取值范围．
第二章基本初等函数(Ⅰ)
2． 3
幂函数
第28课时
幂函数的性质应用
基础巩固
能力提升
限时：45 分钟
总分：90 分
基础训练课标导航
1.掌握幂函数图象的特征； 2.能够利用幂函数的性质进行比较大小，解不等式等问题.
基础训练基础巩固
一、选择题(每小题 5 分，共 30 分) 1．已知函数 f(x)＝(a －a－1)x ( ) A．－1 或 2 C．－1 B．－2 或 1 D．1
⇒0<x<1 或 x>1，所
以 f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．
1 2x 2 2 2 4． B ∵f(x)＝(3) 在 R 上为减函数， ∴(3) 3 <(3) 3 ，即 a<b； 2 2 2 2 ∵f(x)＝x 在(0，＋∞)上为增函数，∴(3) 3 >(5) 3 ，即 a>c.∴ 2 3

2018版高中人教A版数学必修1课件：第二章基本初等函数Ⅰ2-1-1-2 精品

＋x－
1 2
)2＝9，则
x＋x－1＝7，
x
3 2
＋x－
3 2
＝(x
1 2
)3＋(x－
1 2
)3＝(x
1 2
＋x－
1 2
)(x－1＋x－1)＝3×6
＝18.
[巧归纳] 条件求值问题的常用方法 (1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻找求结果与条件的联系，进而整体代入求值． (2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果．
(2)当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由
里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．
(3)化简过程中要明确字母的范围，以免出错．
[练习 1]用分数指数幂表示下列各式：
(1)a3·3 a2；
(2)
b3 a·
ab26(a＞0，b＞0)；
(3) a－4b23 ab2(a＞0，b＞0)．
解：(1)a3·3
m
A．am·an＝amn B．am÷an＝a n C．(am)n＝am＋n D．1÷an＝a－n
答案：D
2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
1
A．－ x＝(－x) 2 (x＞0)
6 B.
y2＝y
1 3
(y＜0)
C．x－
3 4
＝
4
1x3(x＞0)
D．x－
1 3
＝－3
x(x≠0)
1
答案：C 解析：A 中结果应是－x 2 ；B 中由于 y＜0，因此
(4) m－n4＝(m－n)2 (m>n)；
1

人教A版高中数学必修1第二章基本初等函数(1)2.1 指数函数导学案(2)

数知识：作为实数变量x的函数，有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如的指数函数欧拉数e 的指数函数。

指数函数的一般形式为(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a>0且a≠1如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

在函数中可以看到（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过指数函数线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。

（7）函数总是通过（0，1）这点,(若,则函数定过点(0,1+b))（8）指数函数无界。

（9）指数函数是非奇非偶函数（10）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。

2公式推导e的定义：()'指数函数======特殊地，当a=e时，()'=(ln x)'=1/x。

方法二：设，两边取对数ln y=xln a两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。

eº=13函数图像指数函数（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。

（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y 轴左边“底大图低”。

（如右图）。

(4)与的图像关于y轴对称。

4幂的比较比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。

比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。

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)
A．a<clog1212＝1， 0<120.3<120＝1， ∴a<c<b，故选 A. 答案： A
2．若 loga34<1(a>0，且 a≠1)，则实数 a 的取值范围是(
)
A.0，34
B.0，34∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
解析：当 a>1 时，loga3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ<0<1，成立．
当 0<a<1 时，y＝logax 为减函数．
由
loga34<1＝logaa，得
3 0<a<4.
综上所述，0<a<34或 a>1. 答案： B
3．函数 f(x)＝log3(4x－x2)的递增区间是________．解析：由 4x－x2>0 得 0<x<4，函数 y＝log3(4x－x2)的定义域为(0,4)．令 u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，当 x∈(0,2]时，u＝4x－x2 是增函数，当 x∈(2,4)时，u＝4x－x2 是减函数．又∵y＝log3u 是增函数， ∴函数 y＝log3(4x－x2)的增区间为(0,2]．答案： (0,2]
第 2 课时对数函数及其性质的应用
学案·新知自解
1．会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数不等式．(重点) 2．会求与对数函数有关的函数的最大(小)值或值域．(重点、难点) 3．能综合应用对数函数的图象和性质解决有关问题．(难点)

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(2)因为 lgx1＋－1x≥lg(3x＋1)，所以x1＋－1x≥3x＋1>0. 由 3x＋1>0，得 x>－31， x1＋－1x≥3x＋1，x1＋－1x－(3x＋1)≥0， x＋1－31x－＋x11－x≥0，
所以31x－2－xx≥0，即3xx－2－1x≤0，即x3x－x－11≤0⇔x(x－1)(3x－1)≤0 且 x≠1, 解得 x≤0 或31≤x<1. 又 x>－13，所以原不等式的解集为－13，0∪13，1.
解法二：作出 y＝log1.1x 与 y＝log1.2x 的图象，如图所示，两图象与 x＝0.7 相交，可知 log1.10.7＜log1.20.7.
(2)[解析] ∵y＝log1 x 为减函数，
2
且 log1 b＜log1 a＜log1 c，
2
2
2
∴b＞a＞c.
而 y＝2x 是增函数，∴2b＞2a＞2c.
[解析]
x2－2x－3＞0，原方程可转化为x＋1＞0，
x2－2x－3＝x＋1.
x＜－1或x＞3，解得x＞－1，
x2－3x－4＝0.
解得 x＝4.
(2)[解析] 原不等式可化为 log9(x＋1)2＞log9(3x＋13)，
x＋1＞0， ∴3x＋13＞0，
x＋12＞3x＋13，
即 x＞4.
即不等式的解集为(4，＋∞)．
∴当 a＞1 时，logaxx22＋－11xx11－＋11＜0，即 f(x2)－f(x1)＜0， ∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数． (3)解：由(2)知，当 a＞1 时，f(x)在 x∈(1，a]上是减函数， ∴f(x)≥f(a)，由 f(x)在(1，a]上的值域是[1，＋∞)知， f(a)＝logaaa＋－11＝1，∴aa＋－11＝a，解得 a＝1＋ 2.

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[防范措施] 切记指数函数的要求：形如 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)，指数式前面系数为 1，底数 a＞0，且 a≠1，自变量 x 是指数．这三点缺一不可．
完成课时作业（十六）
谢谢观看！
[典例 1] 在下列的关系式中，哪些是指数函数，为什么？ (1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx； (5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a＞1 且 a≠2)． [思路点拨] 严格按照指数函数的定义，逐一检查代数式前面的系数是否为 1，自变量是否只有“x”的形式，底数是否是大于 0 且不等于 1 的常数． [解析] 只有(4)(6)是指数函数，因为它们满足指数函数的定义．(1)中解析式可变形为 y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式； (2)中底数为负，所以不是指数函数；(3)中解析式 2x 的系数为－1，所以不是指数函数；(5)中指数为常数，所以不是指数函数．
答案：定义域为 R，值域为{y|y>0}，a>1 时为增函数，0<a<1 时为减函数，没有最值，既不是奇函数也不是偶函数．
类型 1 指数函数的概念 [要点归纳] 判断一个函数是指数函数的关键点判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合 y ＝ax(a>0，且 a≠1)这一结构形式，指数函数具有以下特征： (1)底数 a>0，且为不等于 1 的常数，也不含有自变量 x； (2)指数位置是自变量 x，且 x 的系数是 1； (3)ax 的系数是 1.
2．指数函数的图象有什么特征？与底数 a 有怎样的关系？答案：都过定点(0,1)，且不论底数 a>1 还是 0<a<1，图象都在 x 轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于 x 轴． 3．你能根据具体函数的图象抽象出指数函数 y＝ax 的哪些性质？[定义域、值域、单调性、最大(小)值、奇偶性]

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1 11
(2)答案：－12
lg 解析：原式＝ lg
25 lg 2 ·lg
8 lg 3 ·lg
9 5
＝－2lg
5·－3lg 2·－2lg lg 2·lg 3·lg 5
3＝－12.
类型 3 对数的实际应用 [要点点击] 解对数应用题的步骤
[典例 3] 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的 75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13？(结果保留 1 个有效数字，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
(2)利用换底公式计算、化简、求值的思路：
[练习 2](1)(log29)·(log34)＝( )
1 A.4
1 B.2
C．2
D．4
(2)log2215·log318·log519＝________.
(1)答案：D 解析：(log29)·(log34)＝(log232)·(log322)
＝2log23·2log32＝4log23·log32＝4.
(1)[思路点拨]
[解析] 解法一：∵3a＝4b＝36， ∴由对数定义，得 a＝log336，b＝log436. 由换底公式，得1a＝log363，b1＝log364， ∴2a＋1b＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1. 解法二：对 3a＝4b＝36，等号两边取以 6 为底的对数，得 alog63＝blog64＝log636，即 alog63＝2blog62＝2， ∴2a＝log63，1b＝log62， ∴2a＋1b＝log63＋log62＝log66＝1.
＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2

【人教A版】高中数学必修一：第2章《基本初等函数(Ⅰ)》导学案设计(含答案) 2.2.2 第1课时

2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质[学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质.知识点一对数函数的概念一般地，把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).思考根据对数函数的定义，你能总结出对数函数具有哪些特点吗？答(1)底数a>0，且a≠1.(2)自变量x在真数位置上，且x>0.(3)在解析式y＝log a x中，log a x的系数必须为1，真数必须是x.知识点二对数函数的图象与性质(0，＋∞)知识点三反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.题型一对数函数的概念例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 6x ； (3)y ＝log x 3；(4)y ＝log 2x ＋1.解 (1)log 2x 的系数是3，不是1，不是对数函数. (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数. (3)自变量在底数位置上，不是对数函数. (4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数.反思与感悟判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x .跟踪训练1 下列函数为对数函数的是( ) A.y ＝log 1x B.y ＝3log 2x C.y ＝log 2(x ＋1) D.y ＝log 2x答案 D题型二对数函数的图象例2 如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35，110，则相应于c 1，c 2，c 3，c 4的a 值依次为( ) A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35答案 A解析在第一象限内各图象对应的对数函数的底数顺时针增大，∴c 4<c 3<c 2<c 1，故c 1，c 2，c 3，c 4各值依次为3，43，35，110，故选A.反思与感悟对数函数图象特点：(1)底数大于1，图象呈上升趋势；底数大于0小于1，图象呈下降趋势.(2)在第一象限，各图象对应的对数函数底数顺时针增大.底数越小，在第一象限图象越靠近y 轴；底数越大，在第一象限图象越靠近x 轴.跟踪训练2 如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( ) A.0<a b >1 D.b >a >1答案 B解析两图象均呈下降趋势，所以a ，b 均小于1.结合第一象限图象特征得b <a ，所以0<b <a <1. 例3 函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(－2,1) D.(－1,1) 答案 D解析令x ＋2＝1，即x ＝－1，得y ＝log a 1＋1＝1，故函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点(－1,1).反思与感悟求解对数型函数过定点问题，一般先令真数等于1，求出横坐标x ，再求出纵坐标值y ，即可得定点坐标.跟踪训练3 函数f (x )＝log a (2x ＋1)＋2(a >0，a ≠1)的图象必过定点的坐标为_______. 答案 (0,2)解析当x ＝0时，f (x )＝2，所以函数f (x )的图象必过定点(0,2). 题型三对数函数的定义域例4 (1)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A.(－∞，－1)B.(1，＋∞)C.(－1,1)∪(1，＋∞)D.(－∞，＋∞)(2)若f (x )＝121log (21)+x ，则f (x )的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0 B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－12，2 答案 (1)C (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ≠0解得x ＞－1且x ≠1.(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0，2x ＋1≠1解得x ＞－12且x ≠0.反思与感悟求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式. 跟踪训练4 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x ).解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3.∴函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞). (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. ∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,4). 题型四对数函数与指数函数的反函数例5 (1)y ＝(12)x 的反函数为________.(2)y ＝log 7x 的反函数为________.(3)点(4,16)在函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的反函数的图象上，则a ＝________. 答案 (1)y ＝log 21x (2)y ＝7x (3)2解析 (1)∵指数函数y ＝(12)x 的底数为12，∴它的反函数为对数函数y ＝log 21x .(2)∵对数函数y ＝log 7x 的底数为7. ∴它的反函数为指数函数y ＝7x .(3)∵函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数是y ＝a x (a >0，且a ≠1)，又∵点(4,16)在函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上. ∴16＝a 4，∴a ＝2.反思与感悟 1.同底的对数函数与指数函数互为反函数. 2.互为反函数的两个函数图象关于直线y ＝x 对称.跟踪训练5 点(2,4)在函数f (x )＝log a x 的反函数的图象上，则f (12)等于( )A.－2B.2C.－1D.1 答案 C解析因为点(2,4)在函数f (x )＝log a x 的反函数图象上，所以点(4,2)在函数f (x )＝log a x 的图象上，所以2＝log a 4，即a 2＝4，得a ＝2，所以f (12)＝log 212＝－1.求解对数函数定义域考虑不全致误例6 求函数y ＝log (x ＋1)(16－4x )的定义域. 错解由16－4x >0，解得x <2， ∴函数定义域为(－∞，2). 正解由⎩⎪⎨⎪⎧16－4x>0，x ＋1>0，x ＋1≠1，得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >－1，x ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，x ≠0. ∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,2).纠错心得求对数函数的定义域，要满足：(1)真数大于零；(2)底数大于零且不等于1.注意要同时满足这两个条件，不能漏掉其中一个. 跟踪训练6 求函数f (x )＝log (2x －4)(10－2x )的定义域. 解由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧10－2x >0，2x －4>0，2x －4≠1，解得2<x <52或52<x <5，∴函数f (x )的定义域为(2，52)∪(52，5).1.下列函数是对数函数的是( ) A.y ＝log a (2x ) B.y ＝log 22x C.y ＝log 2x ＋1 D.y ＝lg x答案 D解析选项A 、B 、C 中的函数都不具有“y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)”的形式，只有D 选项符合. 2.函数f (x )＝11－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( ) A.(－13，＋∞)B.(－∞，－13)C.(－13，13)D.(－13，1)答案 D解析由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1.3.函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )答案A解析函数y＝－log a x恒过定点(1,0)，排除B项；当a＞1时，y＝a x是增函数，y＝－log a x 是减函数，当0<a<1时，y＝a x是减函数，y＝－log a x是增函数，排除C项和D项，A项正确.4.若a＞0且a≠1，则函数y＝log a(x－1)＋1的图象恒过定点________.答案(2,1)解析函数图象过定点，则与a无关，故log a(x－1)＝0，∴x－1＝1，x＝2，y＝1，所以y＝log a(x－1)＋1过定点(2,1).5.若函数f(x)＝a x－1的反函数的图象过点(4,2)，则a＝________.答案4解析∵f(x)的反函数图象过(4,2)，∴f(x)的图象过(2,4)，∴a2－1＝4，∴a＝4.1.判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝log a x(a＞0，且a≠1)这种形式.2.在对数函数y＝log a x中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.3.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.一、选择题1.函数f(x)＝lg(x－1)＋4－x的定义域为()A.(1,4]B.(1,4)C.[1,4]D.[1,4)答案A解析由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，4－x ≥0，解得1＜x ≤4.2.如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( )A.a ＞b ＞cB.c ＞b ＞aC.c ＞a ＞bD.a ＞c ＞b答案 D解析 y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log b x ，y ＝log c x 的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b ，c ∈(0,1)，又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b . 3.函数y ＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A.(2,1) B.(2,0) C.(2，－1) D.(1,1) 答案 A解析当2x －3＝1，即x ＝2时，y ＝1，故点P 的坐标是(2,1). 4.函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x ≥0得，函数定义域为[0,1).5.函数y ＝|lg(x ＋1)|的图象是( )答案 A6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f [f (14)]等于( )A.－19B.19 C.－9 D.9答案 B解析 ∵14>0，∴f (14)＝log 214＝－2，∴f [f (14)]＝f (－2)＝3－2＝19.7.已知f (x )为对数函数，f (12)＝－2，则f (34)＝________.答案 43解析设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则log a 12＝－2，∴1a 2＝12，即a ＝2， ∴f (x )＝， ∴f (34)＝34＝log 2(34)2＝log 2243＝43.8.函数y ＝log (2x －1)(3－4x )的定义域是________. 答案 {x |12<x <34}解析要使函数有意义，必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2x －1≠1，3－4x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x ≠1，x <34，解得12<x <34.所以函数的定义域为{x |12<x <34}.9.函数y ＝log 2(x ＋k )的图象恒过(0,0)点，则函数y ＝log 21 (x －k )的图象恒过定点的坐标为________. 答案 (2,0)10.设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 013)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 013)的值等于______. 答案 16解析 ∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22 013) ＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 013＝log a (x 1x 2x 3…x 2 013)2 ＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 013) ＝2f (x 1x 2x 3…x 2 013)， ∴原式＝2×8＝16.11.若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象.解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x ).又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )， ∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x ＞0，0，x ＝0，－lg (1－x )，x ＜0，f (x )的大致图象如图所示：12.已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.解 (1)当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，必须3－2a >0，a <32.又a 是底数，∴a ∈(0,1)∪(1，32).(2)令t ＝3－ax ，则t 在[1,2]上递减，要使f (x )在[1,2]上为减函数，必须a >1，而t 在x ∈[1,2]上必须恒大于0.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，3－2a >0.∴1<a <32.∵f (1)＝log a (3－a )＝1，∴3－a ＝a . ∴a ＝32.∴不存在这样的a ，使得f (x )在[1,2]上为减函数且最大值为1. 13.已知函数f (x )＝log 21(x 2－2ax ＋3).(1)若函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； (2)若函数f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； (3)若函数f (x )在(－∞，1]上为增函数，求实数a 的取值范围.解 (1)由x 2－2ax ＋3>0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，得2a ＝1＋3，所以a ＝2，即实数a 的值为2. (2)因为函数f (x )的值域为(－∞，－1]，则f (x )max ＝－1，所以y ＝x 2－2ax ＋3的最小值为y min ＝2，由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2，得3－a 2＝2，所以a 2＝1，所以a ＝±1.(3)f (x )在(－∞，1]上为增函数，则y ＝x 2－2ax ＋3在(－∞，1]上为减函数，且y >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，1－2a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a <2，故1≤a <2. 所以实数a 的取值范围是[1,2).。

新人教A版必修1高中数学学案教案：第二章基本初等函数(Ⅰ)

第二章基本初等函数（Ⅰ）一、课标要求：教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.4.通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.5.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.6.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.7.知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0,a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义.8.通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数1312,,,y x y x y x y x-====的图象，了解它们的变化情况.二、编写意图与教学建议：1.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.2.在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展.4.教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.5.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 ..6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.三、教学内容与课时安排的建议本章教学时间约为14课时.2.1指数函数： 6课时2.2对数函数： 6课时2.3幂函数： 1课时小结： 1课时§2.1.1 指数（第1—2课时）一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.二．重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解三．学法与教具1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法2．教具：多媒体四、教学设想：第一课时一、复习提问：什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a =，则x 叫做a 的平方根.同理，若3x a =，则x 叫做a 的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.二、新课讲解类比平方根、立方根的概念，归纳出n 次方根的概念.n 次方根：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根（throot ），其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊,当n 为偶数时，a 的n.n 为奇数时，a 的nn 称为根指数，a 为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？n a n a n a n ⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数, 的次方根有一个,为正数:为偶数, 的次方根有两个,为n a n a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为负数:为偶数, 的次方根不存在.零的n0=举例：16的次方根为2±，275-的27-的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况.根据n 次方根的意义，可得：n a =n a =a n 的n a =一定成立吗？如果不一定成立，那么让学生注意讨论，n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：n a =n 为偶数,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩|8|8==-=-=小结：当n 再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误：例题：求下列各式的值（1）(1)(2)(3) (4)分析：当n ||a =，然后再去绝对值.n =是否成立，举例说明.课堂练习：1. 求出下列各式的值1)a ≤21,a a =-求的取值范围.3三．归纳小结：1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n x a x 是的次方根,n 为奇数时,n 为偶数时，x =2．掌握两个公式：(0),||(0)n a a n n a a a ≥⎧==⎨-<⎩为奇数时为偶数时 3．作业：P 59习题2.1 A 组第1题。

2018版高中人教A版数学必修1课件：第二章基本初等函数Ⅰ2-1-1-1 精品

[解析] 要使原式有意义，则a－1>0.
4 1－a2·
1 a－13
＝|1－a|·(a－1) －34
＝(a－1)·(a－1) －34
＝(a－1)
1 4
＝4
a－1.
[常见误区]
错解
错因剖析
忽略了偶次方根中被开方数必
A 须是非负数，即漏掉阴影处而导
致错误
[防范措施] 注意隐含条件的挖掘
要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时，要注意是不是
a 为负数：n为奇数，a的n次方根只有一个，为n a； n为偶数，a的n次方根不存在.
零的 n 次方根为零，记为n 0＝0.
2．(n a)n 与n an的意义有什么不同？答案：对(n a)n 的理解：当 n 为大于 1 的奇数时，(n a)n 对任意 a∈R 都有意义，且(n a)n＝a，当 n 为大于 1 的偶数时，(n a)n 只有当 a≥0 时才有意义，且(n a)n＝a(a≥0)．对n an的理解：对任意 a∈R 都有意义，且当 n 为奇数时，n an ＝a；当 n 为偶数时，n an＝|a|＝a－，aa，≥a0＜，0，如：3 －33＝－ 3，－32＝|－3|＝3.
类型 3 有限制条件的根式的化简 [要点点击] 有限制条件的根式化简的步骤
[典例 3] 化简：设－3<x<3，求 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9的值．
[思路点拨] 将根式化为幂的形式，然后按照幂的运算性质进行化简计算．
[解析] x2－2x＋1－ x2＋6x＋9 ＝ x－12－ x＋32 ＝|x－1|－|x＋3|，当－3＜x≤1 时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2. 当 1＜x＜3 时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4. 因此，原式＝－－24x，－12＜，x－＜33＜ . x≤1，

【人教A版】高中数学必修一：第2章《基本初等函数(Ⅰ)》导学案设计(含答案) 2.1.2 第2课时

第2课时指数函数及其性质的应用[学习目标] 1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题.知识点一指数型复合函数y＝a f(x)(a>0且a≠1)的单调性(1)复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，函数y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减.(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反.知识点二指数型函数y＝k·a x(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)模型1.指数增长模型设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).2.指数减少模型设原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N).题型一利用指数型函数的单调性比较大小例1比较下列各组中两个值的大小：(1)1.72.5，1.73；(2)0.6－1.2，0.6－1.5；(3)2.3－0.28，0.67－3.1.解(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数都是1.7，故构造函数y＝1.7x，则函数y＝1.7x在R上是增加的.又2.5<3，所以1.72.5<1.73.(2)(单调性法)由于0.6－1.2与0.6－1.5的底数都是0.6，故构造函数y＝0.6x，则函数y＝0.6x在R 上是减少的.因为－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)(中间量法)由指数型函数的性质，知2.3－0.28<2.30＝1，0.67－3.1>0.670＝1，所以2.3－0.28<0.67－3.1.反思与感悟 1.对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数的单调性来判断.2.对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数图象的变化规律来判断.3.对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较，应通过中间值来比较.4.对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据特殊值0,1进行分组，再比较各组数的大小.跟踪训练1 比较下列各题中的两个值的大小： (1)0.8－0.1，0.8－0.2；(2)(13)23-，235-；(3)3－x ，0.5－x (－1<x <0).解 (1)由指数型函数的性质知，y ＝0.8x 是减函数，－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2.(2)由指数函数的性质知(13)23->1,0<235-<1，所以(13)23->235-.(3)∵－1<x <0，∴0<－x <1. 而3>1，因此有3－x >1，又0<0.5<1，∴有0<0.5－x <1， ∴3－x >0.5－x (－1<x <0).题型二利用指数型函数的单调性解不等式例2 (1)解不等式(12)3x －1≤2；(2)已知23+1-x x a<a x ＋6(a >0，a ≠1)，求x 的取值范围.解 (1)∵2＝(12)－1，∴原不等式可以转化为(12)3x －1≤(12)－1.∵y ＝(12)x 在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0. 故原不等式的解集是{x |x ≥0}. (2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6，∴x 2－4x －5>0，根据相应二次函数的图象可得x <－1或x >5；②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是增函数， ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0，根据相应二次函数的图象可得－1<x <5.综上所述，当0<a <1时，x <－1或x >5；当a >1时，－1<x <5.反思与感悟 1.利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.2.解不等式a f (x )>a g (x )(a >0，a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即a f (x )>a g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>g (x )，a >1，f (x )<g (x )，0<a <1.跟踪训练2 (1)不等式4x <42－3x的解集是________.(2)设0<a <1，关于x 的不等式223+7-xx a>222-3+x x a的解集是________.答案 (1){x |x <12} (2){x |x >2}解析 (1)由4x <42－3x，得x <2－3x ，即x <12，所以不等式的解集为{x |x <12}.(2)因为0<a <1，所以y ＝a x 在R 上是减函数. 又223+7-x x a>222-3+x x a，所以2x 2－3x ＋7<2x 2＋2x －3，解得x >2. 所以不等式的解集是{x |x >2}. 题型三指数型函数的单调性例3 判断f (x )＝2213-⎛⎫ ⎪⎝⎭x x的单调性，并求其值域.解令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在(－∞，＋∞)上递减， ∴y ＝2213-⎛⎫⎪⎝⎭x x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫13u，u ∈[－1，＋∞)， ∴0＜⎝⎛⎭⎫13u ≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3， ∴原函数的值域为(0,3].反思与感悟 1.关于指数型函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a ＞1还是0＜a ＜1；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成.2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f [φ(x )]的单调性. 跟踪训练3 求函数y ＝222-+x x的单调区间.解函数y ＝222-+xx的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝222-+xx在(－∞，1]上是增函数.当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝222-+x x在[1，＋∞)上是减函数.综上，函数y ＝222-+xx的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1].题型四指数型函数的综合应用例4 已知定义在R 上的函数f (x )＝a ＋14x ＋1是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断f (x )的单调性(不需要写出理由)；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围. 解 (1)∵f (x )的定义域为R ，且f (x )为奇函数， ∴f (0)＝0，即a ＋12＝0，a ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝－12＋14x ＋1，故f (x )在R 上为减函数. (3)∵f (x )为奇函数，∴f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0可化为f (t 2－2t )<f (k －2t 2)，由(2)知f (x )在R 上单调递减， ∴t 2－2t >k －2t 2，即3t 2－2t －k >0对于一切t ∈R 恒成立， ∴Δ＝4＋12k <0，得k <－13，∴k 的取值范围是(－∞，－13).反思与感悟 1.由f (x )为奇函数求参数值，常用赋值法：若0在定义域内，则利用f (0)＝0；若0不在定义域内，可考虑使用f (1)＋f (－1)＝0.而由f (x )为偶函数求参数值，则常常利用f (1)－f (－1)＝0.2.指数型函数是一种基本的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可. 跟踪训练4 设a ＞0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数.(1)求a 的值；(2)求证f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(1)解依题意，对一切x ∈R ，有f (x )＝f (－x )，即e x a ＋a e x ＝1a ex ＋a e x ， ∴⎝⎛⎭⎫a －1a ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立. 由此得到a －1a ＝0，即a 2＝1.又a ＞0，∴a ＝1. (2)证明设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝e 1x －e 2x ＋1e 1x －1e 2x ＝(e 2x －e 1x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12x +x －1＝(e 2x －e 1x )1－e 12x +xe12x +x .∵0＜x 1＜x 2，∴e 2x ＞e 1x，∴e2x －e 1x＞0.又1－e12x +x ＜0，e 12x +x ＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0， ∴f (x 1)<f (x 2).即f (x )在(0，＋∞)上是增函数.利用图象解决复合函数的单调性例5 已知f (x )＝x 2＋1，g (x )＝|(12)x －1|，求f (g (x ))的单调区间.解由已知，得f (g (x ))＝|(12)x －1|2＋1，则f (g (x ))可以看作u ＝|(12)x －1|与f (u )＝u 2＋1的复合函数.因为u ≥0，所以f (u )是增函数.所以f (g (x ))的单调递增区间就是u ＝|(12)x －1|的单调递增区间，f (g (x ))的单调递减区间就是u＝|(12)x －1|的单调递减区间.作出函数u ＝|(12)x －1|的图象，如图所示，可知u ＝|(12)x －1|的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)，所以f (g (x ))的单调递增区间为[0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0].反思与感悟求复合函数y ＝f (g (x ))的单调区间时，如果内函数y ＝g (x )的图象容易画出，那么就可以通过图象求出这个函数的单调区间，从而简化解题过程. 跟踪训练5 已知函数y ＝(12)|x ＋2|.(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出，当x 取什么值时，函数有最大值或最小值.解 (1)由解析式可得y ＝(12)|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ＋2(x ≥－2)，2x ＋2(x <－2)，其图象分成两部分：一部分是y ＝(12)x＋2(x ≥－2)的图象，由下列变换可得到，y ＝(12)x ―――――――→向左平移2个单位y ＝(12)x ＋2；另一部分y ＝2x ＋2(x <－2)的图象由下列变换可得到：y ＝2x ―――――――→向左平移2个单位y ＝2x ＋2，如图为函数y ＝(12)|x ＋2|的图象.(2)由图象观察知函数在(－∞，－2]上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数. (3)由图象观察知x ＝－2时，函数y ＝(12)|x ＋2|有最大值，最大值为1，没有最小值.1.已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞a ＞c C.c ＞b ＞a D.c ＞a ＞b答案 D解析先由函数y ＝0.8x 判断前两个数的大小，再用“1”作为中间量比较1.20.8与其他两个数的大小.2.若⎝⎛⎭⎫122a ＋1＜⎝⎛⎭⎫123－2a，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 B解析原式等价于2a ＋1＞3－2a ，解得a ＞12.3.函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的单调递增区间为( ) A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0,1) 答案 A解析定义域为R .设u ＝1－x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12u . ∵u ＝1－x 在(－∞，＋∞)上为减函数. 又∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u 在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫121－x 在(－∞，＋∞)上是增函数，∴选A. 4.已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为______. 答案 m <n 解析 ∵0<a ＝5－12<1， ∴f (x )为R 上的减函数， ∴由f (m )>f (n )可知m <n .故填m <n . 5.已知函数f (x )＝a －12x＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________. 答案 12解析 ∵函数f (x )为奇函数， ∴f (0)＝a －12＝0.∴a ＝12.1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数型函数y ＝a x 的单调性.(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m ＜c 且c ＜b n ，则a m ＜b n ；若a m ＞c 且c ＞b n ，则a m ＞b n . 2.指数型函数单调性的应用(1)形如y ＝a f (x )的函数的单调性：令u ＝f (x )，x ∈[m ，n ]，如果两个函数y ＝a u 与u ＝f (x )的单调性相同，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是减函数.(2)形如a x ＞a y 的不等式，当a ＞1时，a x ＞a y ⇔x ＞y ；当0＜a ＜1时，a x ＞a y ⇔x ＜y .一、选择题1.设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则( ) A.y 3＞y 1＞y 2 B.y 2＞y 1＞y 3 C.y 1＞y 2＞y 3 D.y 1＞y 3＞y 2答案 D解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，(12)－1.5＝21.5，根据y ＝2x 在R 上是增函数，所以21.8＞21.5＞21.44，即y 1＞y 3＞y 2，故选D.2.若(14)2a ＋1<(14)8－2a ，则实数a 的取值范围是( )A.(74，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，74)答案 A解析函数y ＝(14)x 在R 上为减函数，所以2a ＋1>8－2a ，所以a >74.故选A.3.函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C解析由已知得a 0＋a 1＝3，所以1＋a ＝3，所以a ＝2. 4.设14<(14)b <(14)a <1，那么( )A.a a <a b a b ，根据y ＝x a 的单调性可知a a 0时，f (x )＝(12)x 在(0，＋∞)上单调递减.6.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞1，(4－a2)x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A.(1，＋∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8)答案 D解析由题意可知，f (x )在R 上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－a2＞0，a ＞1，4－a 2＋2≤a ，解得4≤a ＜8，故选D.二、填空题7.函数y ＝2－x 2＋ax 在(－∞，1)内单调递增，则a 的取值范围是________. 答案 [2，＋∞)解析由复合函数的单调性知，－x 2＋ax 的对称轴x ＝a2≥1，即a ≥2.8.若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x ＜0，(13)x，x ≥0，则不等式f (x )≥13的解集为________.答案 {x |0≤x ≤1}解析 (1)当x ≥0时，由f (x )≥13得(13)x ≥13，∴0≤x ≤1.(2)当x ＜0时，不等式1x ≥13明显不成立，综上可知，不等式f (x )≥13的解集是{x |0≤x ≤1}.9.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次. 答案 4解析设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的14；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的14，也就是原来的⎝⎛⎭⎫142，经过第三次漂洗，存留量为原来的⎝⎛⎭⎫143，……，经过第x 次漂洗，存留量为原来的⎝⎛⎭⎫14x，故解析式为y ＝⎝⎛⎭⎫14x .由题意，⎝⎛⎭⎫14x ≤1100，4x ≥100，2x ≥10，∴x ≥4，即至少漂洗4次.10.设函数y ＝1＋2x ＋a ·4x ，若函数在(－∞，1]上有意义，则实数a 的取值范围是_____. 答案 [－34，＋∞)解析设t ＝2x ，∵x ∈(－∞，1]，∴0<t ≤2.则原函数有意义等价于1＋t ＋at 2≥0在t ∈(0,2]上恒成立， ∴a ≥－t ＋1t 2，设f (t )＝－1＋tt 2，则f (t )＝－1＋t t 2＝－(1t ＋12)2＋14，∵0<t ≤2，所以1t ∈[12，＋∞)，∴f (t )≤f (12)＝－34，∴a ≥－34.三、解答题11.已知函数f (x )＝1＋22x －1.(1)求函数f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )在(－∞，0)上为减函数. (1)解 f (x )＝1＋22x －1，∵2x －1≠0，∴x ≠0.∴ 函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}. (2)证明设任意x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1＜x 2.f (x 1)－f (x 2)＝221x －1－222x －1＝2(22x －21x )(21x －1)(22x －1). ∵x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1＜x 2，∴22x ＞21x 且21x ＜1,22x ＜1.∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2).∴函数f (x )在(－∞，0)上为减函数.12.已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝24313--+⎛⎫ ⎪⎝⎭x x ，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，由于g (x )在(－2，＋∞)上递减，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，∴f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞).(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1.因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.13.已知函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a >0且a ≠1). (1)求f (x )的定义域、值域；(2)判断f (x )的奇偶性；(3)讨论f (x )的单调性；(4)若f (x )<2b ＋1恒成立，求b 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为{x |x ∈R }，由f (x )＝a x －1a x ＋1＝1－2a x ＋1， ∵a x >0，∴a x ＋1>1，∴0<1a x ＋1<1，∴－2<－2a x ＋1<0，∴－1<1－2a x ＋1<1. ∴f (x )的值域为(－1,1).(2)∵f (－x )＝a －x －1a －x ＋1＝1－a x1＋a x＝－f (x )，又x ∈R ，∴f (x )为奇函数.(3)方法一当a >1时，∵y ＝a x ＋1为增函数，且a x ＋1>0，∴y ＝2a x ＋1为减函数，从而f (x )＝1－2a x ＋1＝a x －1a x ＋1为增函数. 同理可得，当0<a <1时，f (x )＝a x －1a x ＋1为减函数. 方法二任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝a 2x －1a 2x ＋1－a 1x －1a 1x ＋1＝2(a 2x －a 1x )(a 2x ＋1)(a 1x ＋1)，当a >1时，∵x 2>x 1，∴a 2x >a 1x ，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴当a >1时，f (x )在R 上单调递增，同理，当0<a <1时，f (x )在R 上单调递减.(4)由f (x )<2b ＋1恒成立，得f (x )max <2b ＋1， ∴2b ＋1≥1，∴b ≥0.。

2018学年高中数学人教A版课件必修一第二章基本初等函数Ⅰ 第1节-2.1.2-第2课时精品

我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
D．偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
【解析】函数 f(x)＝－2x，2－xx>，0x<0，定义域关于原点对称，当 x>0 时，即－x<0，f(－x)＝－2x＝－f(x)，当 x<0 时，即－x>0，f(－x)＝2－x＝－f(x)，则有对于 x∈{x|x∈R，x≠0}，都有 f(－x)＝－f(x)，故 f(x)为奇函数，又 x>0 时，f(x)＝ 2x 递增，x<0 时，f(x)＝－2－x 递增，又 x<0 时，f(x)<0，x>0 时，f(x)>0，由单调性的定义可得 f(x)在定义域内为递增函数．故选 B.
【答案】 D
2．下列判断正确的是( A．1.72.5＞1.73 C．π2＜π 2
) B．0.82＜0.83 D．0.90.3＞0.90.5
【解析】 ∵y＝0.9x 在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.
【答案】 D
3．已知函数 f(x)＝3x＋1 1＋a 为奇函数，则常数 a＝______. 【解析】 ∵函数 f(x)＝3x＋1 1＋a 为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝0，30＋1 1

[配套K12]2018版高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数学案新人教A版必修1

§2.3 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12 的图象，掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点)．预习教材P77－P78，完成下面问题：知识点1 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x －45是幂函数．( ) (2)函数y ＝2－x 是幂函数．( ) (3)函数y ＝－x 12 是幂函数．( )提示 (1)√ 函数y ＝x －45 符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)× 幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x不是幂函数； (3)× 幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 12 不是幂函数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：(1)设函数f (x )＝x 53 ，则f (x )是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数(2)3.17－3与3.71－3的大小关系为________．解析 (1)易知f (x )的定义域为R ，又f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(2)易知f (x )＝x －3＝1x3在(0，＋∞)上是减函数，又3.17<3.71，所以f (3.17)>f (3.71)，即3.17－3>3.71－3.答案 (1)A (2)3.17－3>3.71－3题型一幂函数的概念【例1】 (1)在函数y ＝x －2，y ＝2x 2，y ＝(x ＋1)2，y ＝3x 中，幂函数的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)若f (x )＝(m 2－4m －4)x m是幂函数，则m ＝________.解析 (1)根据幂函数定义可知，只有y ＝x －2是幂函数，所以选B ．(2)因为f (x )是幂函数，所以m 2－4m －4＝1，即m 2－4m －5＝0，解得m ＝5或m ＝－1. 答案 (1)B (2)5或－1规律方法判断函数为幂函数的方法(1)只有形如y ＝x α(其中α为任意实数，x 为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为 1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．【训练1】若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________．解析设f (x )＝x α，因为f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得：α＝log 23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13. 答案 13题型二幂函数的图象及应用【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，分别有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．(1)解析根据幂函数y ＝x n的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12；当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B ．答案 B(2)解设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； ②当x ＝1时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．规律方法解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12 或y ＝x 3)来判断．【训练2】如图是函数y ＝x mn (m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象，则( )A ．m ，n 是奇数，且m n<1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>1解析由图象可知y ＝x mn 是偶函数，而m ，n 是互质的，故m 是偶数，n 是奇数，又当x ∈(1，＋∞)时，y ＝x mn 的图象在y ＝x 的图象下方，故mn<1.答案 C(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3与⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. 解 (1)因为幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3>⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3. (2)因为幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1.【迁移1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3与⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.3”，则二者的大小关系如何？解因为⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.3＝30.3，而y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，又25<3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3<30.3.即⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3<⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.3. 【迁移2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3与0.325 ”，则二者的大小关系如何？解因为y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在(0，＋∞)为上减函数，又0.3<25，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3>⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 ，又因为函数y 2＝x 25 在(0，＋∞)上为增函数，且25>0.3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 >0.325 ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3>0.325 .规律方法比较幂值大小的三种基本方法【训练3】比较下列各组数的大小：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫230.5与⎝ ⎛⎭⎪⎫350.5；(2)－3.143与－π3； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1234 与⎝ ⎛⎭⎪⎫3412 . 解 (1)∵y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫230.5＞⎝ ⎛⎭⎪⎫350.5. (2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(3)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是R 上的减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1234 ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 . y ＝x 12是[0，＋∞)上的增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3412 ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3412 ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1234 .课堂达标1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A ．14B ．4C ．22D ． 2解析设幂函数为y ＝x α，∵幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴12＝4α，∴α＝－12，∴y＝x －12 ，∴f (2)＝2－12 ＝22，故选C ．答案 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23解析 A 中定义域值域都是R ；B 中定义域值域都是(0，＋∞)；C 中定义域值域都是R ；D 中定义域为R ，值域为[0，＋∞)．答案 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析当a ＝－1时，y ＝x －1的定义域是{x |x ≠0}，且为奇函数；当a ＝1时，函数y ＝x 的定义域是R 且为奇函数；当a ＝12时，函数y ＝x 12 的定义域是{x |x ≥0}，且为非奇非偶函数．当a ＝3时，函数y ＝x 3的定义域是R 且为奇函数．故选A ．答案 A4．函数y ＝x 13 的图象是( )解析显然代数表达式“－f (x )＝f (－x )”，说明函数是奇函数．同时由当0<x <1时，x 13 >x ，当x >1时，x 13 <x .答案 B5．比较下列各组数的大小：(1)－8－78 与－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978 ；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23 与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23 . 解 (1)－8－78 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878 ，函数y ＝x 78 在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878 >⎝ ⎛⎭⎪⎫1978 .从而－8－78 <－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978 .(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23 －23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫46－23 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23 .因为函数y ＝x －23 在(0，＋∞)上为减函数，又46>π6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23 <⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23 . 课堂小结1．幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1.(2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α＜0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．。

高中数学人教版A版必修一学案：第二单元习题课基本初等函数(Ⅰ) Word版含答案

习题课基本初等函数(Ⅰ)学习目标 1.能够熟练进行指数、对数的运算(重点).2.进一步理解和掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，并能应用它们的图象和性质解决相关问题(重、难点)．1．三个数60.7,0.76，log 0.76的大小顺序是( )A ．0.76<60.7<log 0.76 B ．0.76<log 0.76<60.7C ．log 0.76<60.7<0.76D ．log 0.76<0.76<60.7解析由指数函数和对数函数的图象可知：60.7>1,0<0.76<1，log 0.76<0，∴log 0.76<0.76<60.7，故选D ．答案 D2．已知0<a <1，－1<b <0，则函数y ＝a x＋b 的图象必定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析因为0<a <1，所以函数y ＝a x的图象过(0,1)，且过第一、二象限，又－1<b <0，所以函数y ＝a x ＋b 的图象可认为是由y ＝a x 的图象向下平移|b |个单位得到的，所以函数y ＝a x＋b 的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案 C3．12lg 32－43lg 8＋lg 5＝________. 解析原式＝12lg 25－43lg 232＋lg 512＝52lg 2－2lg 2＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12.答案 124．函数f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋7)的值域是________．解析 ∵－x 2＋2x ＋7＝－(x －1)2＋8≤8，∴log 2(－x 2＋2x ＋7)≤log 28＝3，故f (x )的值域是(－∞，3]．答案 (－∞，3]类型一指数与对数的运算【例1】计算：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)0.064－13 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3]－43 ＋16－0.75＋0.0112 .解 (1)原式＝log 322×8329－3＝2－3＝－1.(2)原式＝0.43×()－13 －1＋2－4＋24×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34 ＋0.1＝52－1＋116＋18＋110＝14380. 规律方法指数、对数的运算应遵循的原则(1)指数的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算；其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的；(2)对数的运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明的常用技巧．【训练1】计算： (1)3－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0.2512 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4；(2)log 34273＋2log 510＋log 50.25＋71－log 72. 解 (1)原式＝－4－1＋12×(2)4＝－3.(2)原式＝log 33343＋log 5(100×0.25)＋7÷7log 72＝log 33－14 ＋log 552＋72＝－14＋2＋72＝214.类型二指数、对数型函数的定义域、值域【例2】 (1)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋2(0≤x ≤3)的值域；(2)已知－3≤log 12x ≤－32，求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x4的最大值和最小值．解 (1)令t ＝x 2－2x ＋2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t .又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1,0≤x ≤3，∴当x ＝1时，t min ＝1；当x ＝3时，t max ＝5.故1≤t ≤5，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫125≤y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫121，故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤132，12. (2)∵－3≤log 12x ≤－32，∴32≤log 2x ≤3，∴f (x )＝log 2x 2·log 2x 4＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14.当log 2x ＝3时，f (x )max ＝2，当log 2x ＝32时，f (x )min ＝－14.规律方法函数值域(最值)的求法(1)直观法：图象在y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围． (2)配方法：适合二次函数．(3)反解法：有界量用y 来表示．如y ＝1－x 21＋x 2中，由x 2＝1－y 1＋y ≥0可求y 的范围，可得值域．(4)换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围． (5)单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数．【训练2】 (1)函数f (x )＝3x21－x＋x ＋的定义域是________．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．解析 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0，x ＋，解得0≤x <1，则f (x )的定义域是[0,1)．(2)当x ≥1时，log 12x ≤log 121＝0，当x <1时，0<2x <21＝2，所以f (x )的值域为(－∞，0]∪(0,2)＝(－∞，2)．答案 (1)[0,1) (2)(－∞，2)类型三指数函数、对数函数、幂函数的图象问题【例3】 (1)若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝ax ＋1的图象大致是( )(2)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)解析 (1)由log a 2<0(a >0，且a ≠1)，可得0<a <1，函数f (x )＝a x ＋1＝a ·a x，故函数f (x )在R 上是减函数，且经过点(0，a )，故选A ．(2)∵0<x ≤12时，1<4x ≤2，要使4x<log a x ，由对数函数的性质可得0<a <1，数形结合可知只需2<log a x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a a 2<log a x ，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2>x对0<x ≤12时恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2>12，解得22<a <1，故选B ．答案 (1)A (2)B 规律方法函数图象及应用(1)根据函数解析式特征确定其图象时，一般要从函数的性质(如单调性、奇偶性)和函数图象所过的定点，或函数图象的变换等几个方面考虑，若是选择题，还要结合选择题的排除法求解．(2)判断方程根的个数、求参数问题，若不能具体解方程或不等式，则一般转化为判断指数函数、对数函数、幂函数等图象交点个数问题．【训练3】 (1)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x，2x－x的图象大致是( )(2)已知a >0且a ≠1，函数y ＝|a x－2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则a 的取值范围是________．解析 (1)当x <0时，y ＝x 2的图象是抛物线的一部分，可排除选项C 和D ；当x ≥0时，y ＝2x－1的图象是由y ＝2x的图象向下平移一个单位得到，故排除A ，选B ．(2)当a >1时，在同一坐标系中作出函数y ＝|a x－2|和y ＝3a 的图象，因为a >1，所以3a >3，故两函数图象只有一个交点．当0<a <1时，在同一坐标系中作出函数y ＝|a x－2|和y ＝3a 的图象，若使二者有两个交点，则0<3a <2，即0<a <23，综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23. 答案 (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 类型四比较大小问题【例4】比较下列各组中两个值的大小：(1)1.10.9，log 1.10.9，log 0.70.8；(2)log 53，log 63，log 73.解 (1)∵1.10.9>1.10＝1，log 1.10.9<log 1.11＝0,0＝log 0.71<log 0.70.8<log 0.70.7＝1， ∴1.10.9>log 0.70.8>log 1.10.9. (2)∵0<log 35<log 36<log 37， ∴log 53>log 63>log 73.规律方法数(式)的大小比较常用的方法及技巧(1)常用方法：作差法(作商法)、单调性法、图象法、中间量法． (2)常用的技巧：①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．②比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”、“大于等于0小于等于1”、“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．【训练4】 (1)已知a ＝log 20.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >b >a(2)设a ＝log 132，b ＝log 123，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3，则( )A ．a 20＝1,0<c ＝0.30.2<0.30＝1，∴b >c >a .故选C ．(2)∵a ＝log 132<0，b ＝log 123<0，log 123<log 122<log 132，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3>0.∴b <a <c .故选D ．答案 (1)C (2)D类型五指数函数、对数函数、幂函数的综合应用【例5】已知函数f (x )＝lg 1＋2x ＋a ·4x3在x ∈(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．解因为f (x )＝lg 1＋2x＋a ·4x3在x ∈(－∞，1]上有意义，所以1＋2x＋a ·4x>0在(－∞，1]上恒成立．因为4x>0，所以a >－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈(－∞，1]．由y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 与y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，1]上均为增函数，可知g (x )在(－∞，1]上也是增函数，所以g (x )max ＝g (1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋12＝－34.因为a >－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，1]上恒成立，所以a 应大于g (x )的最大值，即a >－34.故所求a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 规律方法函数性质的综合应用指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等分段化归为基本的指数、对数、幂函数来研究．【训练5】函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，∴定义域为(－3,1)． (2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝ log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]． ∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4. ∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4.由log a 4＝－2，得a－2＝4，∴a ＝4－12 ＝12.1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．。

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