辽宁工业大学高数习题课(3)
辽宁工业大学高数习题课11-1
an ≥ 0
正项级数
二,判别常数项级数收敛的解题方法
的敛散性, 判别常数项级数∑an的敛散性,应先考察是否有
n=1
liman = 0 成立.若不成立,则可判定级数发散; 成立.若不成立,则可判定级数发散;
n→∞
若成立,则需作进一步的判别. 若成立,则需作进一步的判别.
此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法.若此 二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 对于任意项级数, 是否收敛. 对于任意项级数,一般应先考虑正项级数 ∑ an 是否收敛. 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛; 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛;
n=1
∞
问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数, 问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数,
p 级数等),然后根据 an 的特点,进行有针对性的放缩. 级数等), ),然后根据 的特点,进行有针对性的放缩.
a nn! 的收敛性. 【例6】判别级数 ∑ nn 的收敛性. 】 n =1
un+1 ∵ = un e >1 1 n (1 + ) n
∴ un+1 > un lim un ≠ 0
n →∞
所以,原级数发散. 所以,原级数发散. 的因子时, 注:在级数一般项 un 中,若含有形如 nk , an , n!, nn 的因子时, 适于使用比值审敛法. 适于使用比值审敛法.
1 的敛散性. 【例7】判断级数∑ [ln(n + 1)]n 的敛散性 】 n =1
高数(工专)试题集锦
全国2007年4月高等教育自学考试高等数学（工专）试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列各对函数中，互为反函数的是（ ） A ．y=sinx,y=cosx B ．y=e x ,y=e -x C ．y=tanx,y=cotxD ．y=2x,y=2x2．当x →+∞时，下列变量中为无穷大量的是（ ） A ．x1 B ．ln(1+x) C ．sinx D ．e -x3．级数++++43225252525（ ）A ．收敛B ．的敛散性不能确定C ．发散D ．的和为+∞4．设f(x)可微，则d(e f(x))=（ ） A ．f’(x)dx B ．e f(x)dx C ．f’(x)e f(x) dx D ．f’(x)de f(x)5．矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a 为非奇异矩阵的充要条件是（ ）A ．ad-bc=0B ．ad-bc ≠0C ．ab-cd=0D ．ab-cd ≠0二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6．曲线y=e x 在点（0，1）处的切线方程为________. 7．设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤-0x ,x 0x ,1x 2，则极限)x (f limx →________.8．设y=x(x+1)(x+2),则0x dxdy ==________.9．不定积分⎰=dx x1cosx12________.10．dxd ⎰x20)dt 2t sin(=________.11．设由参数方程x=dxdy ),x (y y t 1y ,2t2则确定的函数为=-==________.12.曲线y=1+2)3x (x 36+的铅直渐近线为________.13．无穷限反常积分⎰+∞-0x5dxe=________.14．矩阵310010011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=________.15．行列式631321111=________.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 16．求极限5x 4x 1lim 5x ---→.17.设y='y ,)3x (x 1x 3求--.18.求由方程y=1+xe y 所确定的隐函数y=y(x)的导数dxdy .19.确定函数f(x)=e x -x-1的单调区间. 20.求不定积分⎰-dx)x cot x (csc x csc.21.求微分方程(1+y)dx-(1-x)dy=0的通解. 22.计算定积分⎰--+1122dx)x1x (.23.λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++λ=+λ+=λ++1x x x 1x x x 1x x x 321321321有唯一解？四、综合题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）24．从一块边长为a 的正方形铁皮的四个角各截去一个大小相等的方块，做成一个无盖的盒子，问截去的方块边长为多少时，所做成的盒子容积最大？25．求由曲线y=x3与直线x=2,y=0所围平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积.全国2007年7月高等教育自学考试高等数学（工专）试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1．函数1)ln(4)(2-+-=x xx f 的定义域是（ ）A ．（-∞，+∞）B ．（-2，2）C ．（1，+∞）D ．(]2,12．下列函数中是偶函数的为（ ） A ．1+=x y B ．xey 2=C ．3ln =yD ．x y sin =3．=+⋯+++∞→)41414141(lim 32nn （ ）A ．41B ．31C ．21D ．344．设⎪⎩⎪⎨⎧==-,2,3tte y e x 则=dxdy （ ）A ．te232 B ．te232-C ．yx -D ．-xy5．线性方程组⎩⎨⎧=+-=+23,122121x x x x λ无解，则（ ）A ．6-≠λB ．6-=λC ．6=λD ．8=λ二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
高等数学D10习题课
Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
PdydzQdzdx Rdxdy
x
y
z
PQ R
(Px
Q y
R)dv z
（三）场论初步
梯度 gra duiu u juk x y z
通量 散度
Pdy Q dzd zR dxdxdy
diA vPQR x y z
环流量 PdQ x d R y dz
计
f(x, y,z)ds
R(x,y,z)dxdy
算
f[x,y,z(x,y)]1zx 2z2 ydxdyR[x,y,z(x,y)d] xdy
D xy
Dxy
一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzdx (xy)dxd
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
Green公式,Guass公式,Stokes公式 之间的关系
旋度 rA o ( R t Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k y z z x x y
二、典型例题
例 1 计 算 I (x22x)ydx (x2y4)d, y L
其 中 L为 由 点 O(0,0)到 点 A(1,1)的 曲 线 ysi nx. 2
(PcosQcos Rcos)ds
2013年秋大连工大高数作业及答案
一大题一、单选题（共 10 道试题，共 60 分。
）1.题目见图片答案：B满分：6 分2.题目见图片答案：B满分： 63.题目见图片答案：C满分：6 分4.题目见图片答案：A满分：6 分5.题目见图片答案：C满分：6 分6.题目见图片答案：C满分：6 分7.题目见图片答案：D满分：6 分8.题目见图片答案：D满分：6 分9.题目见图片答案：C满分：6 分10.题目见图片答案：A分：6 分二、判断题（共 10 道试题，共 40 分。
）1. 函数y=f(x)与y=-f(x)的图形关于y轴对称A. 错误B. 正确答案：A满分：4 分2.题目见图片A. 错误B. B正确答案：B满分：4 分3.题目见图片A. 错误B. B 正确答案：B 满分：4 分4.题目见图片A. 错误B. B 正确答案：B 满分：4 分5.题目见图片A. 错误B. B 正确答案：B 满分：4 分6.题目见图片A. 错误B. B 正确答案：B满分：4 分7.题目见图片A. 错误B. B 正确答案：A满分：4 分8.题目见图片A. 错误B. B 正确答案： A满分：4 分9.题目见图片A. 错误B. B 正确答案：A满分：4 分10. 函数y=x在（-1,1）内的最小值是-1A. A错误B. B 正确答案： A满分：4 分二大题、一、单选题（共 10 道试题，共 60 分。
）1. 题目见图片答案： C：6 6 分2. 题目见图片答案： C分：6 分3. 题目见图片答案： D分：6 分4. 题目见图片答案：B满分：6 分5. 题目见图片答案：C6 分6. 题目见图片答案：C分：6 分7. 题目见图片答案： D ：6 6 分8. 题目见图片答案：B ：6 6分9. 题目见图片答案： B：6 6分10. 题目见图片答案： D分：6 分二、判断题（共 10 道试题，共 40 分。
）1. 可导的偶函数的导数是偶函数.A. A 错误B.B 正确答案： A满分：4 分2. 可导的奇函数的导数是奇函数.A.A 错误B. B 正确答案：A满分：4 分3. 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数A. A 错误B. B 正确答案： B满分：4 分4. 设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，那么该切线方程为y=f(1)A. A 错误B. B 正确答案：B满分：4 分5. 函数的导数是函数改变量与自变量改变量之比,当自变量改变量趋于0时的极限。
专升本高数练习题辽宁
专升本高数练习题辽宁一、选择题1. 函数f(x)=3x^2-2x+1在x=1处的导数是（）。
A. 4B. 5C. 6D. 72. 已知函数f(x)=x^3-2x^2+x-2，求f'(x)=（）。
A. 3x^2-4x+1B. x^3-2x^2+xC. x^3-4x^2+1D. 3x^2-4x+x-23. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(1,4)处的切线斜率是（）。
A. -2B. 0C. 2D. 44. 函数y=sin(x)的原函数是（）。
A. x-cos(x)B. x+sin(x)C. -cos(x)D. cos(x)5. 定积分∫[0,π] sin(x)dx的值是（）。
A. 0B. 2C. -2D. π二、填空题6. 函数f(x)=x^3+2x^2-3x+4在x=-1处的值是_________。
7. 若f(x)=x^2+3x+2，则f'(1)=_________。
8. 曲线y=x^2-4x+3在x=2处的切线方程是_________。
9. 函数y=cos(x)的原函数是_________。
10. 定积分∫[0,1] x^2dx的值是_________。
三、计算题11. 求函数f(x)=2x^3-5x^2+3x+1在区间[0,2]上的最大值和最小值。
12. 计算定积分∫[-π,π] (x^2+1)sin(x)dx。
13. 求曲线y=2x^2-3x+1在点(1,0)处的切线方程。
14. 计算定积分∫[1,e] e^x dx。
15. 求函数f(x)=ln(x)的泰勒展开式，并计算其在x=1处的近似值。
四、解答题16. 证明函数f(x)=x^3在区间(-∞,+∞)上是严格递增的。
17. 解微分方程y''-2y'+y=0。
18. 利用定积分求平面图形面积：已知曲线y=x^2与x轴围成的图形面积。
19. 证明函数f(x)=e^x是其自身的原函数。
20. 解微分方程y'=3x^2-2x+1，且y(0)=1。
辽宁工业大学高数习题课(10)
（这里 L 为区域 D 的正向边界曲线) 3．利用积分与路径无关的条件计算法.
c . Pdx Qdy 与路径无关 Pdx Qdy 0 ，为区域内任意闭曲线
L
c
P Q , ( x, y ) G ─单连域. y x
du Pdx Qdy, ( x, y ) G —单连域.
所以
AB
dx dy ydz [1 (1 x )]dx 2;
1
0
BC
dx dy ydz [(1 z ) (1 z )z ]dz ( 2 z )dz
0
0
1
1
3 2
CA
dx dy ydz 1 dx 1
采用框图中线路2→21的方法计算；此时应注意首先要利
用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使 其满足格林公式的条件。
解法1：化为定积分计算。
x a cos t L 的参数方程为： , t 从 0 变到 2 . 则 y a sint
( x y )dx ( x y )dy I L x2 y2 1 2 2 [(a cos t a sint )(a cos t ) (a cos t a sint )(a sint )]dt a 0 1 2 2 [( a 2 )dt 2 a 0
0
1
从而
I
dx dy ydz (
3 1 1 2 2
AB
BC
) dx dy ydz
CA
2
解法2：利用斯托克斯公式计算. 设 为平面 x y z 1 上 L AB BC CA 所围成部分的上侧，
高数数学课件-D4习题课共24页
即
F 2 (x ) x 1 4 s4 ix n C
F ( 0 ) 1 , CF2(0)1,又 F(x)0, 因此
F (x )x 1 4 s4 ix n 1
故
f(x)F (x) sin22x
x14sin4x1
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二、几种特殊类型的积分
1. 一般积分方法
有理函数
分解
指数代换 万能代换 根式代换
exarcetx axn1 2ln (1e2x)C
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例6. 求 (x 3 x 2 )e 2 xd x.
解: 取 ux3x2, v(4)e2x
u(k) x3x2 3x21 6x
60
v(4k)
e 2x
1 2
e
2x
1 4
e
2x
1 8
e2x
1 16
e2x
原式 e2x1 2(x3x2)1 4(3x21)816x1166C
多项式及 部分分式之和
指数函数有理式
三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
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2. 需要注意的问题
(1) 一般方法不一定是最简便的方法, 要注意综合
使用各种基本积分法, 简便计算 .
(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一
定都能积出.
例如 , ex2 dx,
u v ( n ) u v ( n 1 ) u v ( n 2 ) ( 1 )n 1u (n 1 )v d x
快速计算表格:
u(k)
u u u
u(n) u(n1)
(1)n (1)n1
v(n1k) v(n1) v(n) v(n1) v v
辽宁专升本高等数学习题练习-3
辽宁专升本高等数学习题练习第一章 极限与连续第五节 无穷小、数列极限[例1]求极限xx sin lim [例2]当0→x 时11-+x 是比x （ ）A. 高阶无穷小B. 低阶无穷小C. 同阶无穷小D. 等价无穷小[例3]选择:(1) 当0→x 时，1-x e 的等价无穷小是（ ）A.x 2B.x -C.1-xD.x(2) 当0→x 时，12-x e的等价无穷小是（ ）A.x 2B.x -C.1-xD.x(3) 当0→x 时，)1ln(x +的等价无穷小是（ ）A.x 2B.x -C.1-xD.x(4) 当0→x 时，)1ln(x -的等价无穷小是（ ）A.x 2B.x -C.1-xD.x [例4]求xx 3tan 2sin lim[例5]1)41ln(lim 2--x e x[例6]求极限2312lim -+n n [例7]求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n 2141211lim [例8]求极限()115)2(52lim +++-+-n n nn 习题1-51. 填空：（1）=∞→xx x 1sin lim ______； （2）=∞→x xx sin 1lim______； （3）=∞→x xx cos 1lim ______； （4）=∞→xx x 1arcsin lim ______; （5）=∞→x xx arctan 1lim ______； （6）当0→x 时，ax sin 与x 2等价，则=a ______. 2. 选择：（1）当0→x ，下列各项为无穷小的是（ ）A.xeB.x sinC.xx sin D.x 1sin （2）当∞→x 时下列各项不是无穷小的是（ ）A.0B.x sinC.xx sin D.x 1sin （3）当∞→x 时，2x 是比x sin （ ）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但不等价无穷小D.等价无穷小（4）当0→x 时，11-+x 是比x （ ）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但不等价无穷小D.等价无穷小（5）0→x 时，22x x -是比32x x -（ ） A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但不等价无穷小D.等价无穷小（6）0→x 时，x x 322-是比x （） A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但不等价无穷小D.等价无穷小3.利用等价代换的方法求极限：（1）x xx 2sin 3sin lim 0→（2）)1ln(2tan lim 0+→x xx（3）1sin lim 20-→x x e x（4）1)41ln(lim 2sin 0--→x x e x。
辽宁工业大学高数习题课8-1
多元函数微分法
一,多元函数的基本概念
1.极 限: ( x , y )lim , y ) f ( x , y ) = A 极 →( x
0 0
2.连 续: 连 3.偏导数: 偏导数: 偏导数
z x
( x , y )→ ( x0 , y0 )
lim
= f y ( x0 , y0 ) = lim
y → 0
f (x0 , y0 + x ) f ( x0 , y0 ) y
ρ 4.全微分: 若 z = Ax + By + ο ( ρ ) , = ( x ) 2 + ( y ) 2 , 全微分: 全微分
可微分, 则称函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 可微分, 函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 全微分为
y→0
f ( x , y )在点 (0, 0) 处连续 处连续.
x f (0 + x , 0) f (0, 0) f (0, 0) = lim = lim x → f (0, 0 + y ) f (0, 0) f (0, 0) = lim = lim y → 0 y → 0 y y
z 时,只要把 y 暂时看作常量 x z 求导数; 而对 x 求导数; 类似地, 类似地,可求函数 z = f ( x, y) 的偏导数 .
y
2.高阶偏导数 .
2 z z ( ) = f xx ( x , y ) = 2 x x x
2z z ( ) = f yx ( x , y ) = yx x y
2
= lim
x →0 y →0
辽宁工业大学高数习题课(2)_OK
ln(1 t) ln t C
ln
1 t t
C ln
1 ex ex
C
16
【例9】 求不定积分
dx
(x 0)
x2 1 x2
解法1：(倒代换）设 x 1 t
(t 0),
则
1 dx t2 dt
则
dx
t
dt
x2 1 x2
1 t2
t d t 1 t2 C 1 t2
1 x2
f
(ln x)dx x
型，故凑
dx d(ln x) x
解： x
1
1
ln
x
dx
1 d(ln x) 1 ln x
1 d(1 ln x) 1 lnx
2 1 ln x C
12
1 x
【例7】 求不定积分
dx
x x2
解：
1 x
1 (1 2x) 3
dx
x x2
2
dx x x2
1 2
解： 由于F ( x) 是 sin x的原函数，故 x
dF( x) F( x)dx sin x dx x
令u x2，则
dF(x2) dF(u) F'(u)du sin u 2xdx 2sin x2 dx
u
x
8
【例2】 求不定积分 f (2x)dx
解： 利用不定积分的性质 f ( x)dx f ( x) C ，可知
1 t2
2t arcsint 2 1 t2 C
2 x arcsin x 2 1 x C
21
解法2： 因为
arcsin xdx arcsin x( dx ) 2arcsin xd( x )
x
高等数学下册课件-第8章-习题课
=9+4+2 | a || b | (a, b) 19
2.
a b ab 0
A B (2a b ) (a b ) 2 | a |2 | b |2
=2( +2)=0
2
3. cos(a,b) a b 1 | a || b | 2
sin(a,b) 1 1 3 42
| a b || a || b | sin(a,b) 10 3
三、设点 M (x, y, z)
M1M 3MM 2 (x 2, y 5, z 3) 3(3 x, 2 y,5 z)
x 2 3(3 x)
y
5
3(2
y)
z 3 3(5 z)
i jk
所求为
n s n1 1 1 2 2(3, 5, 4)
7 1 4
cos 3 , cos 5 , cos 4
x 11, y 1 , z 3
4
4
OM 1 (11, 1,12) 4
四、1.原式 (6 7 8)c 21c (21, 42, 21) 2.原式 (9 1 4)(21 7 2 41) 280
i jk 3.原式 3 1 2 (3, 1,5)
d M0M1 s s
s (m,n, p)
M1(x1, y1, z1)
i
j
k
1 m2 n2 p2
x1 x0 m
y1 y0 z1 z0
n
p
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、实例分析
例1. 求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线 平行, 且 过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程.
辽宁工业大学高数习题课11-2
而
1
1
(x2)n, x21
x 1 1(x 2) n0
x
1
4
2
1 (x
2)
121x12n 0(2n1)1n(x2)n,
2
x2 1 2
故
f(x )1[(x 2 )n1( 1 )n (x 2 )n ]
3n 0
2n 0
2
13n 0[1(2n1)1n](x2)n
满足 | x2|1，即3x1，成立区间为：3x1
4
当 1 x 2 1 ，即 x 2 时，级数收敛。 4
当 1 x 2 1 ，即 x 2 时，级数发散。
4
当
x
2时，级数为
(1)n22n1 n1 n4n
(1)n，为交错级数收敛。
n1 2n
当x2时，级数为n 1(n 4 1)nn(2)2n1n 1(1 2)nn1，为交错级数收敛。
故此幂级数的收敛域为 [2,2]。
【例4】求幂级数
(1)n1
22n1
x2n1的和函数，并求
n1
2n1
(1)n1
1
的和。
n1
2n1
解：记
S(x) (1)n1
22n1
x2n1 (1)n1
1 (2x)2n1
n1
2n1
n1
2n1
求导得 S(x)2 (1)n1(2x)2n2
n1
2 1 4x2
(|2x|1)
积分得S(x)
x2 0 14x2
n1 n
当 x3时，级数为
1
，为P-级数发散，
n1 n
故此幂级数的收敛域为[1, 3) 。
【例3】求幂级数
(1)n n1 n4n
高等数学基础 国家开放大学答案
高等数学基础作业1 答案在后面第1章 函数第2章 极限与连续（一） 单项选择题⒈下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =，x x g =)(B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(=D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y =⒊下列函数中为奇函数是（ ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos = C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ ）．A. 1+=x yB. x y -=C. 2x y =D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的是（ ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→xx x ⒍当0→x 时，变量（ ）是无穷小量．A. xx sin B. x 1 C. xx 1sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ ），则)(x f 在点0x 连续。
A. )()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→= （二）填空题 ⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是 ． ⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ． ⒊=+∞→x x x)211(lim ．⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ．⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 ． ⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为 （二）计算题⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -． ⒉求函数21lg x y x-=的定义域．⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．⒋求xx x 2sin 3sin lim0→．⒌求)1sin(1lim 21+--→x x x ．⒍求xx x 3tan lim 0→．⒎求xx x sin 11lim 20-+→．⒏求x x x x )31(lim +-∞→．⒐求4586lim 224+-+-→x x x x x ．⒑设函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间．《高等数学基础》第二次作业第3章 导数与微分（一）单项选择题⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim0→存在，则=→xx f x )(lim 0（ ）． A. )0(f B. )0(f 'C. )(x f 'D. 0cvx⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim000（ ）． A. )(20x f '- B. )(0x f 'C. )(20x f 'D. )(0x f '-⒊设x x f e )(=，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim 0（ ）． A. e B. e 2C. e 21D. e 41 ⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （ ）． A. 99 B. 99-C. !99D. !99-⒌下列结论中正确的是（ ）．A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续．（二）填空题⒈设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x x x x f ，则=')0(f ． ⒉设x x x f e 5e )e (2+=，则=xx f d )(ln d ⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是⒋曲线x x f sin )(=在)1,4π(处的切线方程是 ⒌设x x y 2=，则='y⒍设x x y ln =，则=''y（三）计算题⒈求下列函数的导数y '： ⑴x x x y e )3(+=⑵x x x y ln cot 2+= ⑶x x y ln 2=⑷32cos x x y x +=⑸x x x y sin ln 2-=⑹x x x y ln sin 4-=⑺x x x y 3sin 2+= ⑻x x y x ln tan e +=⒉求下列函数的导数y '： ⑴21ex y -=⑵3cos ln x y =⑶x x x y =⑷3x x y +=⑸x y e cos 2=⑹2e cos x y =⑺nx x y n cos sin =⑻2sin 5x y =⑼x y 2sin e =⑽22e x x x y +=⑾xx x y e e e +=⒊在下列方程中，y y x =()是由方程确定的函数，求'y ：⑴y x y 2e cos =⑵x y y ln cos =⑶yx y x 2sin 2=⑷y x y ln +=⑸2e ln y x y =+⑹y y x sin e 12=+⑺3e e y x y -=⑻y x y 25+=⒋求下列函数的微分y d ：⑴x x y csc cot +=⑵x x y sin ln =⑶x x y +-=11arcsin⑷311x x y +-=⑸xy e sin 2=⑹3e tan x y =⒌求下列函数的二阶导数：⑴x x y ln =⑵x x y sin =⑶x y arctan =⑷23x y =（四）证明题设)(x f 是可导的奇函数，试证)(x f '是偶函数．《高等数学基础》第三次作业第4章 导数的应用（一）单项选择题⒈若函数)(x f 满足条件（ ），则存在),(b a ∈ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ． A. 在),(b a 内连续 B. 在),(b a 内可导C. 在),(b a 内连续且可导D. 在],[b a 内连续，在),(b a 内可导⒉函数14)(2-+=x x x f 的单调增加区间是（ ）．A. )2,(-∞B. )1,1(-C. ),2(∞+D. ),2(∞+-⒊函数542-+=x x y 在区间)6,6(-内满足（A ）．A. 先单调下降再单调上升B. 单调下降C. 先单调上升再单调下降D. 单调上升⒋函数)(x f 满足0)(='x f 的点，一定是)(x f 的（ ）．A. 间断点B. 极值点C. 驻点D. 拐点⒌设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，),(0b a x ∈，若)(x f 满足（ ），则)(x f 在0x 取到极小值．A. 0)(,0)(00=''>'x f x fB. 0)(,0)(00=''<'x f x fC. 0)(,0)(00>''='x f x fD. 0)(,0)(00<''='x f x f⒍设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，且0)(,0)(<''<'x f x f ，则)(x f 在此区间内是（ ）．A. 单调减少且是凸的B. 单调减少且是凹的C. 单调增加且是凸的D. 单调增加且是凹的（二）填空题⒈设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，且当0x x <时0)(<'x f ，当0x x >时0)(>'x f ，则0x 是)(x f 的 点．⒉若函数)(x f 在点0x 可导，且0x 是)(x f 的极值点，则=')(0x f ． ⒊函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是 ．⒋函数2e )(x x f =的单调增加区间是⒌若函数)(x f 在],[b a 内恒有0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上的最大值是 ． ⒍函数3352)(x x x f -+=的拐点是 ．（三）计算题⒈求函数2(1)(5)y x x =+-的单调区间和极值．⒉求函数223y x x =-+在区间]3,0[内的极值点，并求最大值和最小值．⒊试确定函数d cx bx ax y +++=23中的d c b a ,,,，使函数图形过点)44,2(-和点)10,1(-，且2-=x 是驻点，1=x 是拐点．⒋求曲线x y 22=上的点，使其到点)0,2(A 的距离最短．⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？⒍一体积为V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？⒎欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（四）证明题⒈当0>x 时，证明不等式)1ln(x x +>．⒉当0>x 时，证明不等式1e +>x x ．《高等数学基础》第四次作业第5章 不定积分第6章 定积分及其应用（一）单项选择题⒈若)(x f 的一个原函数是x1，则=')(x f （ ）． A. x ln B. 21x - C. x 1 D. 32x ⒉下列等式成立的是（ ）．A )(d )(x f x x f ='⎰ B. )()(d x f x f =⎰ C. )(d )(d x f x x f =⎰ D. )(d )(d d x f x x f x =⎰⒊若x x f cos )(=，则='⎰x x f d )(（ ）．A. c x +sinB. c x +cosC. c x +-sinD. c x +-cos⒋=⎰x x f x xd )(d d 32（ ）． A. )(3x f B. )(32x f x C.)(31x f D. )(313x f ⒌若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=x x f xd )(1（ ）． A. c x F +)( B. c x F +)(2 C. c x F +)2( D.c x F x +)(1⒍由区间],[b a 上的两条光滑曲线)(x f y =和)(x g y =以及两条直线a x =和b x =所围成的平面区域的面积是（ ）．A. ⎰-ba x x g x f ]d )()([ B.⎰-b ax x f x g ]d )()([ C. ⎰-ba x x g x f d )()( D. ⎰-b a x x g x f ]d )()([（二）填空题⒈函数)(x f 的不定积分是 ．⒉若函数)(x F 与)(x G 是同一函数的原函数，则)(x F 与)(x G 之间有关系式 ． ⒊=⎰x x d e d 2⒋='⎰x x d )(tan⒌若⎰+=c x x x f 3cos d )(，则=')(x f⒍⎰-=+335d )21(sin x x ⒎若无穷积分⎰∞+1d 1x x p收敛，则（三）计算题⒈c x x d x x x x +-=-=⎰⎰1sin )1(1cos d 1cos2⒉⎰⎰+==c ex d e x xxx x22d e⒊⎰⎰+==c x x d xx x x )ln(ln )(ln ln 1d ln 1⒋c x x x xdx x x x x x ++-=+-=⎰⎰2sin 412cos 212cos 212cos 21d 2sin⒌⎰⎰=+=++=+e 11e 121)ln 3(21)ln 3d()ln 3(d ln 3e x x x x x x⒍414141212121d e 21022102102102+=--=+-=------⎰⎰e e e dx e x e x x x x x x⒎41221ln 2d ln 2112e 1+=-=⎰⎰e xdx x x x x x e e ⒏⎰⎰+-=--=+-=e e e ex e dx x x x x x x 1121e1212111ln 1d ln （四）证明题⒈证明：若)(x f 在],[a a -上可积并为奇函数，则0d )(=⎰-aax x f ．⒉证明：若)(x f 在],[a a -上可积并为偶函数，则⎰⎰=-aaax x f x x f 0d )(2d )(．⒊证明：⎰⎰-+=-aaax x f x f x x f 0d )]()([d )(答案：高等数学基础作业1⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 0x = ．⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为 0x x →时的无穷小量 ．（三） 计算题 ⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．解：()22f -=-，()00f =，()11f e e ==⒉求函数21lgx y x-=的定义域． 解：21lg x y x -=有意义，要求21x x x -⎧>⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩解得1020x x x ⎧⎪⎪><⎨⎪≠⎪⎩或则定义域为1|02x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解：DA RO h EB C设梯形ABCD 即为题中要求的梯形，设高为h ，即OE=h ，下底CD ＝2R 直角三角形AOE 中，利用勾股定理得AE =则上底＝2AE =故((222hS R R h R =+=+ ⒋求xxx 2sin 3sin lim 0→．解：000sin3sin33sin3333lim lim lim sin 2sin 2sin 22222x x x x xxx x x x x x xx x→→→⨯==⨯⨯＝133122⨯=⒌求)1sin(1lim 21+--→x x x ．解：21111(1)(1)111limlim lim 2sin(1)sin(1)sin(1)11x x x x x x x x x x x →-→-→---+---====-++++ ⒍求x xx 3tan lim 0→．解：000tan3sin31sin311lim lim lim 3133cos33cos31x x x x x x x x x x x →→→==⨯⨯=⨯⨯=⒎求xx x sin11lim 20-+→．解：20001lim sin x x x x→→→-==()0lim0sin 1111)x xxx→===+⨯⒏求xx x x )31(lim +-∞→． 解：1143331111(1)[(1)]1lim()lim()lim lim 33311(1)[(1)]3x x x x x x x x x x x e x x x e x e x x x----→∞→∞→∞→∞--+--=====++++ ⒐求4586lim 224+-+-→x x x x x ．解：()()()()2244442682422lim limlim 54411413x x x x x x x x x x x x x →→→---+--====-+----⒑设函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间． 解：分别对分段点1,1x x =-=处讨论连续性 （1）()()()1111lim lim 1lim lim 1110x x x x f x x f x x →-+→-+→--→--==-=+=-+=所以()()11lim lim x x f x f x →-+→--≠，即()f x 在1x =-处不连续（2）()()()()()221111lim lim 2121lim lim 111x x x x f x x f x x f →+→+→-→-=-=-====所以()()()11lim lim 1x x f x f x f →+→-==即()f x 在1x =处连续由（1）（2）得()f x 在除点1x =-外均连续 故()f x 的连续区间为()(),11,-∞--+∞《高等数学基础》第二次作业第3章 导数与微分（一）单项选择题⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim0→存在，则=→xx f x )(lim 0（C ）．A. )0(fB. )0(f 'C. )(x f 'D. 0cvx⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim000（D ）． A. )(20x f '- B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(0x f '-⒊设xx f e )(=，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim 0（A ）．A. eB. e 2C. e 21D. e 41⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （D ）．A. 99B. 99-C. !99D. !99- ⒌下列结论中正确的是（ C ）．A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续．（二）填空题⒈设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，则=')0(f 0 ．⒉设x xxf e 5e)e (2+=，则=x x f d )(ln d xx x 5ln 2+． ⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是21=k⒋曲线x x f sin )(=在)1,4π(处的切线方程是)41(2222π-==x y ⒌设xx y 2=，则='y )ln 1(22x x x +⒍设x x y ln =，则=''y x1（三）计算题⒈求下列函数的导数y '：⑴xx x y e )3(+= xxe x e x y 212323)3(++='⑵x x x y ln cot 2+= x x x x y ln 2csc 2++-='⑶x x y ln 2= x xx x y 2ln ln 2+=' ⑷32cos x x y x += 4)2(cos 3)2ln 2sin (x x x x y x x +-+-=' ⑸x x x y sin ln 2-= xx x x x x x y 22sin cos )(ln )21(sin ---=' ⑹x x x y ln sin 4-= x x xx x y ln cos sin 43--='⑺xx x y 3sin 2+= x x x x x x x y 2233ln 3)(sin )2(cos 3+-+='⑻x x y xln tan e += xx e x e y x x 1cos tan 2++=' ⒉求下列函数的导数y '：⑴21ex y -=2112x xey x -='-⑵3cos ln x y =32233tan 33cos sin x x x xx y -=-=' ⑶x x x y =87x y = 8187-='x y⑷3x x y +=)211()(31213221--++='x x x y⑸xy e cos 2=)2sin(x x e e y -='⑹2ecos x y =22sin 2x x exe y -='⑺nx x y ncos sin =)sin(sin cos cos sin 1nx x n nx x x n y n n -='-⑻2sin 5x y =2sin 25cos 5ln 2x x x y ='⑼xy 2sin e=xxey 2sin 2sin ='⑽22ex x x y +=222)ln 2(x x xex x x x y ++='⑾xxxy e e e+=xe x xe e e x e xe xy x x++=')ln (⒊在下列方程中，y y x =()是由方程确定的函数，求'y ： ⑴yx y 2ecos =y e x y x y y '=-'22sin cosye x xy y 22cos sin -=' ⑵x y y ln cos =xy x y y y 1.cos ln .sin +'=')ln sin 1(cos x y x yy +='⑶yx y x 2sin 2=222sin 2.cos 2y y x yx y y y x '-=+' y y yxy x y x y sin 22)cos 2(222-=+'22cos 2sin 22x y xy y y xy y +-='⑷y x y ln +=1+'='y y y 1-='y y y⑸2e ln y x y =+ y y y e xy '='+21)2(1y e y x y -='⑹y y xsin e 12=+x x e y y y e y y .sin .cos 2+'='ye y ye y xx cos 2sin -='⑺3e e y xy-=y y e y e x y '-='2323y ee y y x+='⑻yx y 25+=2ln 25ln 5y x y y '+='2ln 215ln 5yx y -='⒋求下列函数的微分y d ： ⑴x x y csc cot +=dx x xx dy )sin cos cos 1(22--= ⑵x x y sin ln =dx x x x x x dy 2sin cos ln sin 1-= ⑶x xy +-=11arcsindx x x x dx x x x xx dy 2222)1(11)1()1()1()11(11++-=+--+-+--=⑷311xxy +-= 两边对数得：[])1ln()1ln(31ln x x y +--=)1111(31x x y y +---=' )1111(11313xx x x y ++-+--='⑸xy e sin 2=dx e e dx e e e dy x x x x x )2sin(sin 23==⑹3e tan x y =xdx e x dx x e dy x x 2222sec 33sec 33==⒌求下列函数的二阶导数： ⑴x x y ln =x y ln 1=='xy 1=''⑵x x y sin =x x x y sin cos +=' x x x y cos 2sin +-=''⑶x y arctan =211x y +='22)1(2x xy +-='' ⑷23x y =3ln 322x x y =' 2233ln 23ln 3422x x x y ⋅+=''（四）证明题设)(x f 是可导的奇函数，试证)(x f '是偶函数． 证：因为f(x)是奇函数 所以)()(x f x f -=-两边导数得：)()()()1)((x f x f x f x f =-'⇒'-=--' 所以)(x f '是偶函数。
辽宁高校数学试题及答案
辽宁高校数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：C2. 若f(x) = 2x - 1，求f(3)的值。
A. 5B. 4C. 3D. 2答案：A3. 以下哪个选项是不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集？A. x < 1 或 x > 3B. x < 3 或 x > 1C. 1 < x < 3D. x < -3 或 x > 1答案：C4. 圆的方程为(x - 2)^2 + y^2 = 9，求圆心坐标。
A. (2, 0)C. (-2, 0)D. (0, -2)答案：A5. 已知等差数列的前三项分别为2, 5, 8，求第四项。
A. 11B. 12C. 13D. 14答案：A6. 以下哪个选项是函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2的极值点？A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B7. 已知等比数列的前三项分别为2, 6, 18，求第四项。
A. 54B. 48C. 36D. 24答案：A8. 求函数y = √x + 1的值域。
B. (0, +∞)C. [0, +∞)D. (-1, +∞)答案：A9. 以下哪个选项是方程x^2 + 4x + 4 = 0的解？A. x = -2B. x = 2C. x = -6D. x = 6答案：A10. 已知正弦函数的周期为2π，求其频率。
A. 1B. πC. 2D. 1/π答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 已知函数f(x) = x^2 + 3x + 2，求f(-1)的值。
答案：-22. 圆的半径为5，求其面积。
答案：25π3. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-1, 2)，求向量a与向量b的点积。
答案：84. 已知直线的斜率为2，截距为-1，求直线方程。
辽铁数学真题
辽铁数学真题1、44．若a+b＝6，ab＝4，则a2+4ab+b2的值为（）[单选题] * A．40B．44(正确答案)C．48D．522、已知x-y=3,x2-y2=12,那么x+y的值是( ??) [单选题] *A. 3B. 4(正确答案)C. 6D. 123、下列表示正确的是（）[单选题] *A、0={0}B、0={1}C、{x|x2 =1}={1,-1}(正确答案)D、0∈φ4、下列各式中，计算过程正确的是( ) [单选题] *A. x3＋x3＝x3?3＝x6B. x3·x3＝2x3C. x·x3·x?＝x??3??＝x?D. x2·(－x)3＝－x2?3＝－x?(正确答案)5、5．下列说法中正确的是（）[单选题] *A．没有最大的正数，但有最大的负数B．没有最小的负数，但有最小的正数C．没有最小的有理数，也没有最大的有理数(正确答案)D．有最小的自然数，也有最小的整数6、3．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图．小华对小刚说：“如果我的位置用表示，小军的位置用表示，那么你的位置可以表示成（）[单选题] *A．(5,4)B(4,5)C(3,4)D（4，3）(正确答案)7、如果平面a和平面β有公共点A，则这两个平面就相交（）[单选题] *A、经过点A的一个平面B、经过点A的一个平面(正确答案)C、点AD、无法确定8、22．如图棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有使三颗颜色相同的棋在同一直线上的直线，满足这种条件的直线共有（）[单选题] *A．5条(正确答案)B．4条C．3条D．2条9、3．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（）[单选题] *A．10℃B．0℃C.-10 ℃(正确答案)D．-20℃10、手表倒拨1小时20分，分针旋转了多少度？[单选题] *-480°120°480°(正确答案)-120°11、14.不等式｜3-x｜＜2 的解集为（）[单选题] *A. x＞5或x＜1B.1＜x＜5(正确答案)C. -5＜x＜-1D.x＞112、函数f（x）=-2x+5在（-∞，+∞）上是（）[单选题] *A、增函数B、增函数(正确答案)C、不增不减D、既增又减13、函数式?的化简结果是（）[单选题] *A.sinα-cosαB.±（sinα-cosα）(正确答案)C.sinα·cosαD.cosα-sinα14、6. 某小组有男学生5人，女学生4人．从中选一人去参加座谈会，共有( )种不同的选法．[单选题] *A. 4种B. 5种C. 9种(正确答案)D. 20种15、11、在第二、四象限内两条坐标轴夹角平分线上的点，它们的横坐标与纵坐标是（）[单选题] *A.相等B.互为相反数(正确答案)C.零D.以上结论都不对16、10.若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长[单选题] *A. 12(正确答案)B. 13C. 15D. 1417、一个直二面角内的一点到两个面的距离分别是3cm和4 cm ，求这个点到棱的距离为（）[单选题] *A、25cmB、26cmC、5cm(正确答案)D、12cm18、14．命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2（x平方）”的否定形式是（）[单选题] * A．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2B．?x∈R，?x∈N*，使得n<x2C．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2D．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2(正确答案)19、计算(2x－1)(5x＋2)的结果是() [单选题] *A. 10x2－2B. 10x2－5x－2C. 10x2＋4x－2D. 10x2－x－2(正确答案)20、20．已知集合A={x|x2(x的平方)－2 023x＋2 022<0}，B={x|x<a}，若A?B，则实数a的取值范围是___. [单选题] *A a≥2022(正确答案)B a>2022C a<2022D a≥121、17. 的计算结果为（）[单选题] *A.-7B.7(正确答案)C.49D.1422、8．一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（）[单选题] *A.+2B.-3C.+9D.-8(正确答案)23、4．点（-3，-5）关于x 轴的对称点的坐标为（）[单选题] *A（-3，5）(正确答案)B（-3，-5）C（3，5）D（3，-5）24、12．如图，将一块三角形纸片剪去一部分后，发现剩余阴影部分的纸片周长要比原三角形纸片的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是（）[单选题] *A．直线没有端点，向两端无限延伸B．两点之间，线段最短(正确答案)C．经过一点有无数条直线D．两点确定一条直线25、4. 下列命题中，是假命题的是（）[单选题] *A、两点之间，线段最短B、同旁内角互补(正确答案)C、直角的补角仍然是直角D、垂线段最短26、23、在直角坐标平面内有点A，B，C，D，那么四边形ABCD的面积等于（）[单选题]A. 1B. 2C. 4(正确答案)D. 2.527、33、点P(-5,-7)关于原点对称的点的坐标是（）[单选题] *A. (-5,-7)B. (5,7)(正确答案)C. (5,-7)D. (7,-5)28、17．若a与﹣2互为相反数，则a的值是（）[单选题] *A．﹣2B．C．D．2(正确答案)29、14．平面上有三个点A，B，C，如果AB＝8，AC＝5，BC＝3，则（）[单选题] * A．点C在线段AB上(正确答案)B．点C在线段AB的延长线上C．点C在直线AB外D．不能确定30、若（m-3）+（4-2m）i为实数,那么实数m的值为（）[单选题] *A、3B、4(正确答案)C、-2D、-3。
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ln sin x 【例2】计算 lim 2 x ( 2 x )
2
分析 当 x 0 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算. 解：
ln sin x lim 2 x ( 2 x )
2
0 0
（ 0 型）
0
cos x lim x sin x [ 4( 2 x )]
1
【例4】计算 lim x 2 e x
x 0
2
分析 当 x 0 时, 函数式为 0 型,
1
0 将其化为 0
或
型.
解：
lim x 2 e x ( 0 型)
2
x 0
1
ex l im x0 1 x2
1
2
(
型)
e lim
x 0
x2
2 3 1 x x2 lime . 2 x 0 3 x
拉格朗日型余项 佩亚诺型余项
Rn ( x) 0[( x x0 )n ]
2．麦克劳林公式
f (0) f ( n ) ( 0) 2 f ( x ) f (0) f (0)( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
所以
f (1) 8, f (1) 5, f ( 1) 0,
f ( 1) 6.
f ( ) ( x 1) 2 一阶泰勒公式为 f ( x ) f ( 1) f ( 1)( x 1) 2!
8 5( x 1) 3( 1)( x 1)
0 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 ) n 1 ( n 1)!
f ( n ) ( 1) f ( n1) ( ) n ( x 1) ( x 1) n1 n! (n 1)!
在－1与 x之间.
n1
1 n 1 ( x 1) 2 n ( 1 ) 即 f ( x ) x 1 ( x 1) ( x 1) ( x 1) n 2
8 5( x 1) ( x 1) 3
余项为: 0.
1 【例9】 求函数 f ( x ) 按( x 1)的幂展开的带有拉格朗日 x
型余项的阶泰勒公式。 解：将 f ( x )按( x 1) 展开n阶泰勒公式, 即在 x0 1 处展开.
( 1)(2) ( 1) n n! ( n1) 1 (1) n1 (n 1)! ( n) ; 因为 f ( x ) 2 , f ( x ) x 3 , , f ( x ) n1 , f ( x ) n 2 x x x
x x cos x x(1 cos x ) lim 解: lim x 0 x 0 x sin x x sin x 1 x x2 1 x3 0 2 lim lim （ 0 型） x 0 x sin x 2 x 0 x sin x
3 x2 1 3x2 lim 3 lim x 0 x 0 1 2 2 1 cos x 2 x 2
arctanx x 解： lim x 0 ln( 1 2x 3 )
等价无穷小代换 ln( 1 2 x 3 ) ~ 2 x 3
0 0
arctanx x 0 lim （ 0 型） 3 x 0 2x
1 1 2 lim 1 x 2 x 0 6x
1 1 lim x 0 6(1 x 2 ) 6
( n) f (1) n!. f ( 1 ) 2 , , f ( 1 ) 1 , f ( 1 ) 1 , 所以
则 f ( x )的n阶泰勒公式为:
1 f ( 1) f ( x ) f ( 1) f ( 1)( x 1) ( x 1)2 x 2!
即
3 n x x f ( x ) xe x x x 2 o( x n ). 2! ( n 1)!
x 【例10】 求函数 f ( x ) xe 的带有佩亚诺型余项的n阶麦克
劳林公式。 解：求 f ( x ) 的n阶麦克劳林公式,即在 x 0 0 处展开. 因 f ( x) xe x , f ( x) ( x 1)e x ,, f ( n) ( x) ( x n)e x ,
(5) (1 x ) 1 x
( 1)
2!
x
2
( 1)( n 1)
n!
x n o( x n )
三、典型例题
【例1】计算 lim x 0
x x cos x x sin x
0 0
1 2 x 2
分析 当 x 0 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算.
se c2 x 1 0 lim （ 0 型） 2 x 0 3x
2 se c x se c x tan x 1 lim x 0 6x 3
[ x x 2 ln( 1 【例6】求 xlim
1 )] x
0 将其化为 0 或
分析 当 x 0 时, 函数式为 型,
2
1 cos x lim 4 x 2 x
2
（
0 0
型）
1 sin x 1 lim 4 x 2 8
2
arctanx x 【例3】 计算 lim x 0 ln( 1 2x 3 )
分析 当 x 0 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算.
1 lim 计算 【例 7】 x 0 x
tan x
分析 当 x 0 时, 函数式为 型,
0
0 将其化为 0
或
型,
再运用洛必达法则计算. 解:
1 lim x 0 x
lim e
x 0
tan x
( 0 型)
1 x
tan x ln
第三章 微分中值定理与 导数的应用习题课 (二)
洛必达法则与泰勒公式
一、洛必达法则
1．洛必达法则： 设在 x 的某一趋向下,函数 f ( x )与F ( x ) 满足: ① 函数 f ( x ) 与F ( x ) 都趋向于0(或 ); ② f ( x )与F ( x ) 都存在,且 F ( x ) 0 ;
( n) f (0) n, f ( 0 ) 2 , , f ( 0 ) 0 , f (0) 1, 所以
则 f ( x )的n阶麦克劳林公式:
f ( n ) ( 0) n f (0) 2 x o( x n ) f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x x n! 2!
使计算简捷。
【例8】将函数 f ( x) x 3 3 x 2 2 x 4 在点 x 1处展成一阶
及三阶的泰勒公式，并写出相应的拉格朗日型余项。
(4) 2 解：因 f ( x) 3 x 6 x 2, f ( x ) 6 x 6, f ( x ) 6, f ( x ) 0;
2
型.
1 [ x x ln( 1 )] ( 型) 解： xlim x
1 1 lim x [ ln( 1 )] x x x
2
令
1 t x
t ln( 1 t) 0 （ 0 型） t 0 t2 1 1 1 1 1 t lim lim t 0 t 0 2(1 t ) 2 2t lim
1 1 ( ) 【例5】计算 lim x 0 x 2 x tan x
分析 当 x 0 时, 函数式为 型,
1 1 ( ) 解：lim x 0 x 2 x tan x
0 将其化为 0
或 型.
( 型)
tan x x tan x x 0 lim 2 lim （ 型） 3 x 0 x tan x x 0 0 x
3( 1)( x 1),其中 在 1与 x 之间. 余项为：
三阶泰勒公式为
f ( 1) f ( 1) f ( 4 ) ( ) 2 3 f ( x ) f ( 1) f ( 1)( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) 4 2! 3! 4!
f ( x ) ③ lim 存在(或为无穷大). x a F ( x )
பைடு நூலகம்
那么
f ( x) f ( x ) lim lim . x a F ( x ) x a F ( x )
2．适用类型：未定式
0 ”型“ 基本型： “ ” 型，运用洛比达法 0 则求.
0 其它型： 0 , , 0 , 1 , , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0
f ( n1) (x ) n1 Rn ( x ) x ( n 1)!
拉格朗日型余项 佩亚诺型余项
Rn ( x) o( x n )
3. 泰勒公式与中值定理的联系 泰勒公式
n＝0
拉格朗日中值定理
4．常用的初等函数的麦克劳林公式
x2 xn (1) e 1 x o( x n ) 2! n!
x
2 n1 x3 x5 x (2) sinx x (1)n o( x 2n1 ) 3! 5! (2n 1)!
2n x2 x4 x (3) cos x 1 (1)n o( x 2 n ) 2! 4! (2n)!
n x2 x3 x (4) ln( 1 x) x ( 1)n1 o( x n ) 2 3 n