【复习方案 河北】2015中考数学总复习综合与实践课件：专题1 新定义题

专题一┃ 新定义题
考向互动探究
探究一 定义一种新运算
例 1 [2014· 娄底] 按照图 ZT1－1 所示的操作步骤，若输 入的值为 3，则输出的值为________ ． 55
图 ZT1－1
专题一┃ 新定义题
【点拨交流】 你能把图示的操作步骤合理地转化成函数表达式吗？
【思路导引】 (1)问题原型来自于函数求值；(2)图示操作的函数表达式为 分段函数，只要能准确地表达出该函数，则很容易求出函数值， 实现问题解决．
专题一┃ 新定义题
ax＋by ay＋bx (2)由 T(x，y)＝T(y，x)，得 ＝ ， 2x＋y 2y＋x 整理得(x2－y2)(a－2b)＝0. ∵T(x，y)＝T(y，x)对任意实数 x，y 都成立， ∴2b－a＝0，即 a＝2b.
专题一┃ 新定义题
探究二 定义一种新概念
例 4 [2014· 安徽] 若两个二次函数图像的顶点、 开口方向都 相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”． (1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数； (2)已知关于 x 的二次函数 y1＝2x2－4mx＋2m2＋1 和 y2＝ ax2＋bx＋5，其中函数 y1 的图像经过点 A(1，1)，若 y1＋y2 与 y1 为“同簇二次函数”，求函数 y2 的表达式，并求出当 0≤x≤3 时，y2 的最大值．
专题一 新定义题
专题一┃ 新定义题
近几年来全国各地中考题中出现了一种“新定义”题型， 这种题型问题情境新颖，阅读量明了简短， “新定义”题型常 给出一种不同于常规的全新的运算法则，让学生仿此法则解 决问题，旨在考查学生对数学基础知识、基本方法、基本技 能的掌握情况， 而且考查了学生的创新思维能力． 这使得“新 定义 ” 题如同一朵清新的小花成为全国各地中考试题的新 宠．
专题一┃ 新定义题
【点拨交流】 (1)f 变换和 g 变换的规律是怎样的？ (2)变换运算有次序吗？ 【思路导引】 由题意应先进行 f 变换的运算，再进行 g 变换的运算， 注意运算顺序及坐标的符号变化．
专题一┃ 新定义题
解 析
∵f(－3，2)＝(－3，－2)， ∴g[f(－3，2)]＝g(－3，－2)＝(3，2)， 故答案为(3，2)．
T（2m，5－4m）≤4， ②若关于 m 的不等式组 恰好有 3 个 T（m，3－2m）>p
整数解，求实数 p 的取值范围； (2)若 T(x，y)＝T(y，x)对任意实数 x，y 都成立(这里 T(x， y)和 T(y，x)均有意义)，则 a，b 应满足怎样的关系式？
专题一┃ 新定义题
专题一┃ 新定义题
【点拨交流】 (1)如何理解“同簇二次函数”的概念？ (2)抛物线开口向上时， 如何根据自变量的取值范围确定二 次函数的最大值？
【思路导引】 (1)只需任写一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系 数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即 可． (2)由函数 y1 的图像经过点 A(1，1)可以求出 m 的值，然 后根据 y1＋y2 与 y1 为“同簇二次函数”就可以求出函数 y2 的 表达式，然后将函数 y2 的表达式转化为顶点式，再利用二次 函数的性质就可以解决问题．
专题一┃ 新定义题
解 析
图示的操作可表示为如下的函数：
2 5（x ＋2）（－ 10<x< 10）， y＝ 2 4 （ x －9）（x<－ 10或x> 10），
因为－ 10＜3＜ 10，因此 y＝5(x2＋2)， 所以 y＝5×(32＋2)＝55.故答案为 55.
专题一┃ 新定义题
【点拨交流】 (1)根据新定义运算，你能将 T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1 转化成方程组吗？
T（2m，5－4m）≤4， (2) 可转化成怎样的不等式组呢？ T（m，3－2m）>p
(3)T(x，y)＝T(y，x)又代表了怎样的等量关系呢？
专题一┃ 新定义题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【思路导引】
专题一┃ 新定义题
a－b 解：(1)①根据题意，得 T(1，－1)＝ ＝－2， 2－1 即 a－b＝－2； 4a＋2b T(4，2)＝ ＝1，即 2a＋b＝5， 8＋2 联立 a－b＝－2 和
a＝1， 解得 b＝3. a－b＝－2， 2a＋b＝5，得 2a＋b＝5，
专题一┃ 新定义题
2m＋3（5－4m）≤4，① 4m＋5－4m ②根据题意，得 m＋3（3－2m） >p，② 2 m ＋ 3 － 2 m 1 由①得 m≥－ ； 2 9－3p 由②得 m＜ ， 5 9－3p 1 ∴不等式组的解集为－ ≤m＜ . 2 5 ∵不等式组恰好有 3 个整数解，即 m＝0，1，2， 9－3p 1 ∴2< ≤3，解得－2≤p＜－ . 5 3
专题一┃ 新定义题
b－4＝－2（a＋2）， a＝5， ∴ 解得 8＝（a＋2）＋1， b＝－10.
∴函数 y2 的表达式为 y2＝5x2－10x＋5， ∴y2＝5x2－10x＋5＝5(x－1)2， ∴函数 y2 的图像的对称轴为直线 x＝1. ∵5＞0，∴函数 y2 的图像开口向上． ①当 0≤x≤1 时，∵函数 y2 的图像开口向上， ∴y2 随 x 的增大而减小， ∴当 x＝0 时，y2 取得最大值，最大值为 5(0－1)2＝5. ②当 1＜x≤3 时，∵函数 y2 的图像开口向上， ∴y2 随 x 的增大而增大， ∴当 x＝3 时，y2 取得最大值，最大值为 5×(3－1)2＝20. 综上所述，当 0≤x≤3 时，y2 的最大值为 20.
专题一┃ 新定义题
(2)∵函数 y1 的图像经过点 A(1，1)， ∴2×12－4×m×1＋2m2＋1＝1， 整理得 m2－2m＋1＝0，解得 m1＝m2＝1. ∴y1＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1， ∴y1＋y2＝2x2－4x＋3＋ax2＋bx＋5＝(a＋2)x2＋(b－4)x＋8. ∵y1＋y2 与 y1 为“同簇二次函数”， ∴y1＋y2＝(a＋2)(x－1)2＋1 ＝(a＋2)x2－2(a＋2)x＋(a＋2)＋1. 其中 a＋2＞0，即 a＞－2.
专题一┃ 新定义题
例 3 [2014· 扬州] 对 x，y 定义一种新运算 T，规定：T(x， ax＋by y)＝ (其中 a，b 均为非零常数)，这里等式右边是通常的四 2x＋y a×0＋b×1 则运算，例如：T(0，1)＝ ＝b. 2×0＋1 (1)已知 T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1. ①求 a，b 的值；
专题一┃ 新定义题
解：(1)设顶点为(h，k)的二次函数的关系式为 y＝a(x－h)2＋k， 当 a＝2，h＝3，k＝4 时，二次函数的关系式为 y＝2(x－3)2＋4. ∵2＞0，∴该二次函数图像的开口向上． 当 a＝3，h＝3，k＝4 时，二次函数的关系式为 y＝3(x－3)2＋4. ∵3＞0，∴该二次函数图像的开口向上． ∵函数 y＝2(x－3)2＋4 与 y＝3(x－3)2＋4 的顶点相同， 开口都向上， ∴函数 y＝2(x－3)2＋4 与 y＝3(x－3)2＋4 是“同簇二次函数”． ∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为 函数 y＝2(x－3)2＋4 与 y＝3(x－3)2＋4.
例 2 [2014· 黔西南州] 在平面直角坐标系中，对于平面内 一点(m，n)，规定以下两种变换： ①f(m，n)＝(m，－n)，如 f(2，1)＝(2，－1)； ②g(m，n)＝(－m，－n)，如 g(2，1)＝(－2，－1)． 按照以上变换有 f[g(3，4)]＝f(－3，－4)＝(－3，4)，那么 (3，2) ． g[f(－3，2)]＝________