2015届辽宁省丹东市高三总复习质量测试(一)试题 数学(文)(扫描版)

说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
（1）A
（2）B （3）A （4）C （5）D （6）C （7）C （8）B （9）D （10）C （11）D （12）D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
（13）5 （14）12 （15）14 （16）83
π 三、解答题：本大题共6小题，共70分．
（17）（本小题满分12分）
解：（I ）由1(1)n a a n d =+-及36a =，72a =-得
11
2662a d a d +=⎧⎨+=-⎩可解得1102a d =⎧⎨=-⎩， 数列}{n a 的通项公式为122n a n =-；
…………（6分） （II ）由（I ）知21(1)112n n n S na d n n -=+
=-+， 因为对称轴是11 5.52
n ==，*n ∈N ， 所以当5n =或6n =时，n S 取得最大值． …………（12分）
（18）（本小题满分12分） （I ）证明：如图，连结A 1B 与AB 1交于E ， 连结DE ，则E 为A 1B 的中点， ∴BC 1∥DE ，DE ⊂平面1AB D ， ∵1BC ⊄平面1AB D ， ∴1BC ∥平面1AB D ；
…………（4分） A B
C
D
A 1
B 1
C 1 E
（II ）在正三角形111A B C 中，111B D AC ⊥，
∵11AA B D ⊥，∴1B D ⊥平面11AAC
C ， ∵1B
D ⊂平面1AB D ，∴平面1AB D ⊥平面11AAC C ； …………（8分） （III ）由（I ）点B 到平面1AB D 的距离等于点1C 到平面1AB D 的距离，
∵D 为11AC 中点，∴
点1C 到平面1AB D 的距离等于点1A 到平面1AB D 的距离， ∵平面1AA D ⊥平面1AB D ，交线是
AD ， 过1A 做1A F AD ⊥于点F ，则1A F ⊥1AB D ，
∵AD ＝AA 21＋A 1D 21A F =，
即点B 到平面1AB D …………（12分） （19）（本小题满分12分） 解：（I ）∵0.050.40.30.750.5++=>，0.750.50.25-=，
∴这100名学生语文成绩的中位数是0.2513010121.670.3
-⨯
=； …………（6分） （II ）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为 41(30.050.40.30.2)10097310
⨯++⨯+⨯⨯= ∴数学成绩在[140，150]的人数为100973-=人，设为1a ，2a ，3a ，
而数学成绩在[130，140）的人数为10.2100210
⨯⨯=人，设为1b ，2b ， 从数学成绩在[130，150] 的学生中随机选取2人基本事件为：
（1a ，2a ），（1a ，3a ），（1a ，1b ），（1a ，2b ），（2a ，3a ），（2a ，1b ），（2a ，2b ），（3a ，1b ），（3a ，2b ），（1b ，2b ），共10个，
选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140，150]的基本事件为：
1a ，1b ）
，（1a ，2b ），（2a ，1b ），（2a ，2b ），（3a ，1b ），（3a ，2b ），共6个， ∴选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140，150]的概率是35
． …………（12分） 【引申】本题还可以这样设问：根据题中的数据，分析比较这个班级的语文成绩数学成绩． 可以从以下几个方面选择回答：
①由直方图估分别计出语文成绩数学成绩的中无数，比较其大小，写出一个统计结论；
②比较语文成绩数学成绩130或140以上人数的多少，写出一个统计结论；
③由直方图估分别计出语文成绩数学成绩的众数（或从形成单峰处），比较其大小，写出一个统计结论；
④由直方图估分别计出语文成绩数学成绩的平均分，比较其大小，写出一个统计结论； ⑤由直方图估分别计出语文成绩数学成绩的方差，写比较其大小，出一个统计结论．
（20）（本小题满分12分）
解：（I ）根据已知，椭圆的左右焦点为分别是1(1,0)F -，2(1,0)F ，1c =，
∵(2,3
H 在椭圆上，
∴1226a HF HF =+==， 3a =
，b = 椭圆的方程是22
198x y +=； …………（6分）
（II ）方法1：设()1122,,(,)P x y Q x y ，则2211198
x y +=，
2PF == ∵103x <<，∴1233
x PF =-， 在圆中，M 是切点，
∴113PM x ====， ∴211113333
PF PM x x +=-+=， 同理23QF QM +=，∴22336F P F Q PQ ++=+=，
因此△2PF Q 的周长是定值6． …………（12分） 方法2：设PQ 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=189
22x x m kx y ，得072918)98(222=-+++m kmx x k
设),(),,(2211y x Q y x P ，则2219818k km x x +-=+，2
22198729k m x x +-=， ∴||1||212x x k PQ -+=2122124)(1x x x x k --+=
=
=
∵PQ 与圆822=+y x
=，即2122k m +=， ∴2
6||89km PQ k =-+，
∵2PF == ∵103x <<，∴1233x PF =-
，同理2221(9)333
x QF x =-=-， ∴1
2222226666663898989x x km km km F P F Q PQ k k k +++=--=+-=+++， 因此△2PF Q 的周长是定值6．
…………（12分） （21）（本小题满分12分）
解：（I ）()(1)x f x x x e '=-⋅，
由()0f x '>得10x x ><或，由()0f x '<得01x <<，
∴()f x 单调递增区间是(,0)-∞和(1,)+∞，单调递减区间是(0,1)，
∵函数()f x 在(2,)t -上是单调函数，
∴20t -<≤，即的取值范围是(2,0]-；
…………（6分） （II ）0222000()22(1)(1)033x f x t x x t e '=-⇔---=，设222()(1)3
g x x x t =---， 问题转化为证明()g x 在(2,)t -上有零点，并讨论零点的个数， …………（8分） ∵2(2)(2)(4)3g t t -=-+-，1()(2)(1)3
g t t t =+-，所以 当21t -<<或4t >时，(2)()0g g t -⋅<，()(2,)g x t -在只有1个零点；
当14t <<时，(2)0g ->，()0g t >，由于22(0)(1)03
g t =-
-<，()(2,)g x t -在有且有2个零点； 当1t =时，()0g x =得01x x ==或，()(2,1)g x -在只有1个零点；
当4t =时，()0g x =得23x x =-=或，()(2,4)g x -在只有1个零点； 因此，对于任意的2t >-，总存在0(2,)x t ∈-，使得020()2(1)3
x f x t e '=-， 且当(2,1][4,)t ∈-+∞时，0x 的个数是1，当(1,4)t ∈时，0x 的个数是2．
…………（12分）
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（I ）C 的极坐标方程化为2
4cos 4sin 60ρρθρθ--+=，
∴C 的直角坐标方程是224460x y x y +--+=，
即22(2)(2)2x y -+-=， C
的参数方程是22x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，ϕ是参数；
…………（5分）
（II
）由22x y ϕϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ是参数）得到42sin()4x y πϕ+=++ ∴x y +的最大值是6，最小值是2． …………（10分）
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（I ）当1a =时，此不等式为112x -≥，解得1322
x x ≤≥或， ∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞； …………（5分）
（II ）∵11ax ax a a -+-≥-，
∴原不等式解集为R 等价于11a -≥，∵0a >，∴2a ≥， ∴实数a 的取值范围为[2,)+∞．
…………（10分）。