江苏省盐城市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(含解析)

江苏省盐城市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知复数z满足其中i是虚数单位，则______．【答案】【解析】解：由，得．故答案为：．把给出的等式两边同时乘以i，然后由复数代数形式的除法运算化简求值．本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．2.过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为______．【答案】4【解析】解：抛物线的焦点，可得：，解得．可得：对称轴垂直的弦长为：4．故答案为：4．求出抛物线的焦点坐标，然后求解对称轴垂直的弦长．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.命题“，“的否定为______．【答案】，【解析】解：命题“，”，命题“，”的否定为：，．故答案为：，．命题“，”，是一个全称命题，其否定命题一定是一个特称命题，由全称命题的否定方法，我们易得到答案．对命题“，”的否定是：“，￢”；对命题“，”的否定是：“，￢”，即对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是特称命题．4.点到双曲线的渐近线的距离为______．【答案】【解析】解：双曲线的渐近线方程为，即，则点到的距离，故答案为：先求出渐近线方程，再根据点到直线的距离公式即可求出．本题考查了双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，属于基础题．5.已知直线的参数方程为为参数，则其倾斜角为______．【答案】【解析】解：直线的参数方程为为参数，消去参数t，化为普通方程是，则该直线的斜率为，倾斜角为．故答案为：．把直线的参数方程化为普通方程，求出它的斜率和倾斜角的大小．本题考查了直线的参数方程与普通方程的转化问题，是基础题．6.已知命题p为真命题，命题q为假命题，则在下列命题中：￢；；是真命题的有______个【答案】2【解析】解：若命题p为真命题，命题q为假命题，则￢是真命题，是假命题，是真命题，则真命题的是，有2个，故答案为：2根据复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假判断，根据￢与p真假性相反，同真为真，其他为假，同假为假，其余为真的结论是解决本题的关键．7.p：“复数i为虚数单位是纯虚数”是q：“”的______条件请在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充分必要”选择一个最为恰当的答案填写在横线上【答案】充要【解析】解：若复数i为虚数单位是纯虚数，则，即或，得，即p是q的充要条件，故答案为：充要根据纯虚数的定义求出m的取值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合纯虚数的定义求出m是解决本题的关键．8.已知直线a，b和平面满足：，，，若从其中选出两个作为条件，余下一个作为结论，可以得到______个真命题．【答案】3【解析】解：构成的命题有，，，若，，则成立，即是真命题，若，，则成立，即是真命题若，，则成立，即是真命题，故可以得到3个真命题，故答案为：3根据条件可以构成三个命题，，，根据空间直线和平面平行和垂直的性质进行判断即可．本题主要考查命题的真假关系，结合空间直线平行于直线平面垂直的性质和判定定理是解决本题的关键．9.从装有大小完全相同的2个白球、3个黑球的口袋中随机取出两个小球，记取出白球的个数为随机变量，则的值为______．【答案】【解析】解：从装有大小完全相同的2个白球、3个黑球的口袋中随机取出两个小球，基本事件总数，记取出白球的个数为随机变量，包含的基本事件个数，则．故答案为：．基本事件总数，记取出白球的个数为随机变量，包含的基本事件个数，由此能求出．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.已知正方体的棱长为2，E，F，G，H分别是四条棱AB，BC，CD，DA上的中点，则四棱锥体积为______．【答案】【解析】解：正方体的棱长为2，E，F，G，H分别是四条棱AB，BC，CD，DA上的中点，是边长为的正方形，点到平面EFGH的距离，四棱锥体积为：正方形．故答案为：．推导出EFGH是边长为的正方形，点到平面EFGH的距离，由此能求出四棱锥体积．本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.已知抛物线上任意一点到双曲线右焦点的距离比到左准线的距离大1，则______．【答案】12【解析】解：抛物线中，，焦点为，准线方程为；由题意知双曲线的右焦点为，左准线方程为，，且，解得．故答案为：12．利用抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，由题意知双曲线的右焦点坐标与左准线方程，由此求出c和．本题考查了抛物线方程与双曲线方程的应用问题，是基础题．12.已知椭圆的左右两个焦点分别为、，以为斜边的等腰直角三角形与椭圆有两个不同的交点M，N，且，则该椭圆的离心率为______．【答案】【解析】解：以为斜边的等腰直角三角形与椭圆有两个不同的交点M，N，且，．，．故答案为：．可得，利用可得，即可求解．本题考查了椭圆的离心率，属于中档题．13.在三角形内，我们将三条边的中线的交点称为三角形的重心，且重心到任一顶点的距离是到对边中点距离的两倍类比上述结论：在三棱锥中，我们将顶点与对面重心的连线段称为三棱锥的“中线”，将三棱锥四条中线的交点称为它的“重心”，则棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的______倍【答案】3【解析】解：在四面体ABCD中，E为CD的中点，连接AE，BE，且M，N分别为，的重心，AN，BM交于点G，在中，M，N分别为AE，BE的三等分点，则，所以，，所以，故棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的3倍，故答案为：3由类比推理及线线平行的判定及运用可得：在中，M，N分别为AE，BE的三等分点，则，即，，即，故棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的3倍，得解．本题考查了类比推理及线线平行的判定及运用，属中档题．14.已知椭圆的右焦点为F，A为椭圆在第一象限内的点，连接AF并延长交椭圆于点B，连接为坐原点并延长交椭圆于点C，若，则点A的坐标为______．【答案】【解析】解：由题意可得，设AB的方程为，联立椭圆方程可得，设，，可得，，，由O为AC的中点，且的面积为3，可得的面积为，，即有，可得，化为，即，则轴，可得，故答案为：求得，，设AB的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及完全平方公式，结合题意可得，即有，平方后由韦达定理，解方程可得，可得A的坐标本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共9小题，共130.0分）15.已知直线l：为参数，曲线C：．求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；求曲线C上的点到直线l距离的最小值．【答案】解：直线l：为参数，直线l的普通方程为，曲线C：．曲线C的直角坐标方程为．曲线C是以为圆心，以为半径的圆，圆心到直线l的距离，曲线C上的点到直线l距离的最小值为．【解析】直线l的参数方程消去参数，能求出直线l的普通方程，由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．曲线C是以为圆心，以为半径的圆，圆心到直线l的距离，由此能求出曲线C上的点到直线l距离的最小值．本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查极坐标方程、普通方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.如图所示，在直三棱柱中，，点M，N分别是AB，的中点．求证：平面；若，求证： C.【答案】证明：因为是直三棱柱，所以，且，又点M，N分别是AB、的中点，所以，且所以四边形是平行四边形，从而又平面，平面，所以平面；因为是直三棱柱，所以底面ABC，而侧面，所以侧面底面ABC．又，且M是AB的中点，所以．则由侧面底面ABC，侧面底面，，且底面ABC，得侧面．又侧面，所以又，、MC平面，且，所以平面又平面，所以 C.【解析】欲证明平面，只需推知；根据直三棱柱的特征和线面垂直的判定与性质来证明线线垂直．本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间直线与平面间垂直、平行的判定、性质、定义是解答本题的关键．17.设，．若都有恒成立，求实数a的取值范围；若，使得对，都有恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：都有恒成立，故对恒成立，时，恒成立，故，时，对恒成立，故当且仅当时“”成立，故，综上，；，，故的最大值是1，，使得对，都有恒成立，，使得恒成立，即，使得恒成立，故，使得成立，即，解得：．【解析】问题转化为对恒成立，通过讨论x的范围，结合不等式的性质求出a的范围即可；求出的最大值，问题转化为，使得恒成立，求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．18.设，若展开式中第4项与第5项二项式系数最大．求n；求最大的系数；是否存在正整数m，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：若展开式中第4项与第5项二项式系数最大，即，则．设展开式中第项是系数最大的项，则，由不等式组，解得，且，，所以．因为，所以，因为，所以，所以，由此方程可得：，解得：或4．综上：存在或4，使得成立．【解析】由题意利用二项式系数的性质，求得n的值．展开式中第项是系数最大的项，列出不等式组求得r的值，可得最大的系数．假设存在正整数m，使得成立，解出m的值，可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，组合数的计算公式，属于中档题．19.请用空间向量求解已知正四棱柱中，，，E，F分别是棱，上的点，且满足，．求异面直线，所成角的余弦值；求面与面FAD所成的锐二面角的余弦值．【答案】解：在正四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以AD，DC，两两垂直，以A为原点，DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分又因，，E，F分别是棱，上的点，且满足，，，所以0，，0，，1，，1，，0，，1，，1，，所以，分设异面直线，所成角为所以，分所以异面直线，所成角的余弦值为分，设平面的一个法向量为，则，所以，令，所以，分平面FAD的一个法向量为，则，所以，令，所以，分所以，分所以面与面FAD所成的锐二面角的余弦值为分【解析】推导出AD，DC，两两垂直，以A为原点，DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线，所成角的余弦值．求出平面的一个法向量和平面FAD的一个法向量，利用向量法能求出面与面FAD所成的锐二面角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.甲乙二人进行定点投篮比赛，已知甲、乙两人每次投进的概率均为，两人各投一次称为一轮投篮．求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率；设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量，求的分布列与期望．【答案】解：乙在前3次投篮中，恰好投进2个球为事件A，则；分答：乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率为；分设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量，则的取值为0，1，2，3；设前3轮投篮中，甲进球个数为X，则X的取值为0，1，2，3，计算，，，；所以，分，分，分；分所以的分布列为；数学期望为分【解析】利用n次独立重复实验恰有k次发生的概率公式计算即可；由题意知随机变量的取值，计算对应的概率值，写出分布列，再求出数学期望值．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．21.已知点是抛物线上的一点，过点P作两条直线与，分别与抛物线相交于异于点P的A、B两点．若直线AB过点且的重心G在x轴上，求直线AB的斜率；若直线AB的斜率为1且的垂心H在x轴上，求直线AB的方程．【答案】解：设直线AB的方程为，设A，B两点的坐标分别为，因为的重心G在x轴上，所以，将直线AB代入抛物线方程可得：，所以，解得：，所以直线AB的斜率是．若直线AB的斜率为1，则直线PH的方程是，所以，若直线AB的斜率为1，则设直线AB的方程为，将直线AB代入抛物线方程可得：，所以，，且，因为，所以，将，代入得，将，代入上面方程可得：，由此方程解得：或舍，所以直线AB的方程是．【解析】设直线AB的方程为，设A，B两点的坐标分别为，，根据重心的性质，以及根与系数，根据斜率公式即可求出，分类讨论，根据韦达定理和斜率公式即可求出．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．22.已知A，B分别为椭圆C：右顶点和上顶点，且直线AB的斜率为，右焦点F到直线AB的距离为．求椭圆C的方程；若直线l：与椭圆交于M，N两点，且直线BM、BN的斜率之和为1，求实数k的取值范围．【答案】解：，，则，直线AB：，，，．因此，椭圆C的方程为；设点、，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y并整理得，，由韦达定理得，．，，，，又，，综上所述，．因此，实数k的取值范围是．【解析】先由直线AB的斜率得出，于是得出，再由点F到直线AB的距离，得出b的值，从而可求出a的值，从而可写出椭圆C的方程；设点、，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，由直线BM、BN的斜率之和为1，结合韦达定理得出k与m所满足的关系式，结合m的范围，可得出k的范围，再由，得出k的另一个范围，两者取交集可得出实数k的取值范围．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法在椭圆综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．23.已知平面上一个圆可以将平面分成两个部分，两个圆最多可以将平面分成4个部分，设平面上n个圆最多可以将平面分成个部分．求，的值；猜想的表达式并证明；证明：．【答案】解：由已知有：，，下面用数学归纳法证明：当时，结论成立；假设时，结论成立，即平面上k个圆最多可以将平面分成个部分，那么当时，第个圆与前k个圆最多有2k个交点，即此第个圆最多被这2k个交点分成2k条圆弧段，由于每增加一个圆弧段，可将原来的区域分成两个区域，因此第个圆使平面增加了2k个区域，所以，综合得：即平面上n个圆最多可以将平面分成个部分，即命题得证证明：当或2或3时，，即，且时，设，则，设，因为，所以，所以所以时，数列是单调递减数列，所以，所以，综合得：．故不等式得证．【解析】由题意可知：，，猜想并用数学归纳法证明可得解：证明：讨论当或2或3时，，且时，用数列单调性的证明方法定义法证明即可本题考查了归纳推理、数学归纳法及数列单调性的证明，属难度较大的题型．。