函数的连续性课件

x x0
lim f (x) f (1)
x1
3、
lim
xx0
f
(x)

f
( x0 )
y
o
x0
定义：设函数f(x)在x x0处及其
附近有定义，而且
lim
xx0
f (x)
f (x0 )
则称函数f(x)在点 x0 处连续，
x0称为函数f(x)的连续点。
例1 讨论下列函数在给定点处的连续性：
练习：
1、连续函数的图象有什么特点？观察下列 函数的图象，说出函数在x=a处是否连续：
y
y
y
Oa x 连续
（1） y
Oa x 不连续
（2）
y
Oa x 连续
（3）
y
不连续 O a （4）
x
Oa x
不连续
（5）
O 不连续
a
x
（6）
y
y
oa
x
o
a
x
（7） 不连续
（8） 连续
2、利用下列函数的图象，说明函数在 给定点或开区间内是否连续。
处连续
2、
f(x)在点x0处右连续。
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
f(x)在 x0 处左连续。
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
3、 开区间内连续， 闭区间上连续
4、 结论：函数在一点处连续的充要 条件是即左连续又右连续
lim
x x0
f (x) lim x x0
x 1 4、 f (x) 0.5
x 1 x 1
y 2
o1
（1）在x=1处有定义；
（2）函数在x=1处的左 右极限相等，即函数在 x=1处的极限存在，且 x 等于2，但不等于f（1）
lim f (x) 2 0.5 f (1)
x1
导致函数图象断开的原因：
y
y
y
2
2.5 2
f
(x)


x 2

2
x 1 x 1
2.5 2
o1
x
例如函数
f
( x)

1( x 1( x
0), 0),
y
如图，在点x=0附近，
1
o
x lim f (x) 1 f (0),
-1
x0
lim f (x) 1 f (0),
x0
因而函数 f (x) 在x=0处是右连续，而非左连续。
f (x)
f (x0 )
5、 会用数形结合思想解某些数学问题 作业：P103习题1、2、3
结论：函数在一点处连续的充要 条件是即左连续又右连续
lim
x x0
f
( x)
lim x x0
f (x)
f (x0 )

lim
xx0
f (x)
f (x0 )
y
o
x0
x
三、函数的连续性：
1、开区间内连续：如果f (x) 在某一开
区间 (a,b) 内每一点处都连续，就说函
数f（x）在开区间（a，b）内连续，或 说f（x）是开区间（a，b）内的连续函数。
x2
不连续
y
连续
o
x
(3) f (x) ax2 bx c,开区间(,); 连续
(4) f (x) x2 4 ,开区间(0,2). x2
连续
本节小结：
1、设函数f(x)在x x0 处及其附近有定义，
。 而且 lim f
则称函数f(x)x在x0点
(
x)
x0
f (x0 )
(1) f
( x)

1 x2
,点x
0;
(2) f (x) | x |, 点x 0；
(3) f (x) ax2 bx c,开区间(,);
(4) f (x) x2 4 ,开区间(0,2). x2
(1) f (x) 1 ,点x 0; (2) f (x) | x |,点x 0；
2
o1 x
o1
x
o1
x
1、函数在 x 1 处没有定义
2、函数在 x 1时极限不存在
3、函数在 x 1处的极限值和
函数值不等
一般地，函数f（x）在点x0处连续 必须同时具备三个条件：
1、f (x0 ) 存在，即函数 f (x)
在点x0处有定义。
y 2
2、 lim f (x) 存在。 o 1 x
如果函数 f (x) 在点 x0 处及其右侧
附近有定义 并且
y
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
Oa x
则称f(x)在点 x0处右连续。
类似地：
如果函数 f (x) 在点x0处及其
左侧附近有定义，并且
lim
x x0
f (x)
f
(x0 )
则称f(x)在x0处是左连续。 如
y
x 1
(1) f (x) 1 ,点x 0; x
(2)h(x) sin x,点x 0.
解：如图
（1）函数
f (x) 1 x
在点x=0处
没有定义，因而它在点x=0
处不连续。
（2）因为 lim sin x 0 sin 0 x0
h(x) sin x在点x 0处连续.
二、单侧连续性：
一种是连续变化的情况 温度计
另一种是间断的或跳跃的
例如邮寄信件时的邮费随邮件质量的增加 而作阶梯式的增加等，这些例子启发我们去研 究函数连续与不连Leabharlann Baidu的问题。
y分
80 60 40 20
40 80 120 160 x分
§2.6 函数的连续性(1)
一、函数在某一点处的连续性
y
1.y f (x)
o
2、 f (x) x2 1 x 1
x 1(x 1)
y 2
o1
x
在x 1处没有定义.
x 1
3、
f
(x)


x 2

2
x 1 x 1
y
（1）在x=1处有定义
2.5
2
（2） lim f (x) 2.5
x1
o1
x lim f (x) 2 x1
（3）函数f（x）的极限不存在。
(1)在x0处有定义.
(2) lim xx0
f
(x)

lim
xx0
f
(x)

f
( x0 )
x0
(3) lim
xxx0
f
(x)

f
( x0 )
如图：从直观上看，我们说一个函数在一点x=x0处 连续是指这个函数的图象在x=x0处没有中断，所以 以上图象就是连续函数的图象。也就是说，这个函
数在点x0处是连续的。
2、闭区间上连续：如果函数 f (x)
在开区间 (a, b) 内连续，在左端点x a
处右连续，在右端点x b 处左连续，就
说函数 f (x) 在闭区间[a, b] 上连
续。
例如，函数 y 1 x2 在闭区间[-1，1]上 连 内续 连， 续而，函在数闭间y [01，x 在1]上开不区连间续（，0，因1为） 它在左端点x=0处不是右连续。