《信号与系统》复习提纲

《信号与系统》复习提纲第一章 绪论一、基本内容（1）信号与波形；（2）冲激信号的定义及性质；（3）信号的运算及响应波形变换：平移、反褶、尺度变换、相乘、相加、微积分等； （4）信号的分解：奇、偶分量，交、直流分量的求法。

； （5）功率信号、能量信号的定义及其确定方法； （6）函数正交性：最小均方误差；（7）线性时不变系统特性：线性、时不变性、因果、稳定判别方法。

二、基本公式（一）冲激信号的性质 （1）()()(0)f t t dt f δ∞-∞=⎰；00()()()f t t t dt f t δ∞-∞-=⎰；00()()()f t t t dt f t δ∞-∞'-=-'⎰（2）()()t t δδ-=；1()()at t aδδ=（3）000()()()()f t t t f t t t δδ-=-（4）()()du t t dtδ=；()()t d u t δττ-∞=⎰（5）()()()f t t f t δ*=（6）1212()()()t t t t t t t δδδ-*-=-- （二）线性时不变因果稳定系统特性 若激励为()e t ，响应()r t （1）线性：叠加性+齐次性11221122()()()()c e t c e t c r t c r t +→+ （2）时不变性：00()()e t t r t t -→-（3）微分特性：()()d de t r t dt dt →（4）积分特性：0()()tte d r d ττττ→⎰⎰（5）因果性：若0t t <时，()0e t =，则0t t <时，()0r t =（6）稳定性：()()e t M r t N ≤<∞→≤<∞第二章 连续时间系统的时域分析一、基本内容（1）微分方程建立与求解：齐次解与特征根关系，特解与特征根关系；（2）零输入与零状态响应：二者待定系数的确定条件，与自由响应和强迫响应的关系； （3）起始状态与线性时不变性的关系； （4）冲激响应和阶跃响应； （5）求卷积的方法；（6）利用卷积求零状态响应。

二、基本公式（一）冲激响应与阶跃响应的关系()()dh t g t dt=；()()t g t h t dt -∞=⎰（二）卷积（1）定义式：121212()()()()()()()s t f t f t f f t d f t f d ττττττ∞∞-∞-∞=*=-=-⎰⎰（2）112212()()()f t t f t t s t t t -*-=-- （3）1221()()()()f t f t f t f t *=*（4）123123()[()()][()()]()f t f t f t f t f t f t **=** （5）1231213()[()()]()()()()f t f t f t f t f t f t f t *+=*+* （6）()()()12()()()i j i j s t f t f t -=* （7）()()()()()k k f t t f t δ*= （8）()()()tf t u t f d ττ-∞*=⎰第三章 傅立叶变换一、基本内容（1）利用傅立叶级数的定义式计算周期信号的频谱；（2）利用傅立叶级数的性质或借助傅立叶变换简化周期信号频谱分析； （3）灵活运用傅立叶变换的有关性质对信号进行正、反变换； （4）掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理；（5）掌握典型信号的傅立叶级数展开系数和傅立叶变换。

二、基本公式（一）傅立叶级数的定义（1）三角形式：0111()[cos()sin()]n n n f t a a n t b n t ωω∞==++∑00011()T t t a f t dt T +=⎰；00112()cos()T t n t a f t n t dt T ω+=⎰；00112()sin()T t n t b f t n t dt T ω+=⎰ 或011()cos()n n n f t c c n t ωϕ∞==++∑，00c a =；n c =arctannn nb a ϕ=- （2）指数形式：11()jn t n n f t F e ω∞==∑，00F a =；101011()T t jn tn t F f t e T ω+-=⎰ （3）n F 与,n n a b 间的关系1()2n n n F a jb =-；1()2n n n F a jb -=+；（4）傅立叶级数系数与信号功率的关系222222001111()22n n n n n n n P a a b c c F ∞∞∞===-∞=++=+=∑∑∑（二）傅立叶变换的定义（1）()()j tF f t e dt ωω∞--∞=⎰；1()()2j t f t F e d ωωωπ∞-∞=⎰ （2）(0)()(lim ()0)t F f t dt f t ∞-∞→±∞==⎰；1(0)()(lim ()0)2f F d F ωωωωπ∞-∞→±∞==⎰ （三）典型信号的傅立叶变换（1）()1t δ↔；（2）12()πδω↔；（3）1()()u t j πδωω↔+；（4）2sgn()t j ω↔；（5）()[()()]()222G t E u t u t E Sa τττωττ=+--↔；（6）()[()()]c c c c Sa t u u πωωωωωω↔+-- ***（7）at EEe j aω-↔+；（8）002()j t Ee E ωπδωω↔-（9）000sin()[()()]E t jE ωπδωωδωω↔+-- （10）000cos()[()()]E t E ωπδωωδωω↔++- （四）傅立叶变换性质（1）对称性：()2()F t f πω↔-；（2）尺度变换：1()()f at F a a ω↔；（3）反褶：()()f t F ω-↔-； （4）时移：00()()j t f t t eF ωω--↔，1()()b j a f at b e F a aωω--↔（5）频移：00()()j t f t e F ωωω↔-0001()cos [()()]2f t t F F ωωωωω↔++-000()sin [()()]2jf t t F F ωωωωω↔+--（6）时域微分：()()()df t j F dtωω↔，()()()n n n d f t j F dt ωω↔（7）频域微分：()()()()d djtf t F tf t j F d d ωωωω-↔⇒↔()()()n nnd jt f t F d ωω-↔（8）时域积分：()()(0)()t F f d F j ωττπδωω-∞↔+⎰ （9）频域积分：()(0)()()f t f t F u du jtωπδ-∞-+↔⎰ （10）时域卷积：1212()()()()f t f t F F ωω*↔（11）频域卷积：12121()()()()2f t f t F F ωωπ↔*（五）周期信号的傅立叶变换()f t 以1T 为周期，则1()()2()n n f t F F n ωπδωω∞=-∞↔=-∑，1112121()Tjn t T n F f t e dt T ω--=⎰，1011()n n F F T ωωω==，0()F ω为单脉冲的傅立叶变换。

（六）抽样信号傅立叶变换，时域抽样定理（奈奎斯特频率、间隔）()()()s f t f t p t =，()()s n s n F p F n ωωω∞=-∞=-∑，1()s jn t n s p p t e dt T ω∞--∞=⎰冲激抽样：()()s n p t t nT δ∞=-∞=-∑，1()()s sn s F F n T ωωω∞=-∞=-∑第五章 傅立叶变换应用于通信系统一、基本内容1． 用傅立叶变换求系统的零状态响应 2．系统无失真传输的条件；3．理想低通滤波器、系统的物理可实现性；4．调制解调、带通滤波器、抽样信号恢复模拟信号； 二、基本公式（1）线性时不变系统的频率特性()()()R j H j E j ωωω=（2）无失真传输条件时域表示：0()()r t Ke t t =-； 频域表示：0()()j t R j KE j e ωωω-=； 系统频率特性：0()j t H j Ke ωω-=； 系统冲激响应：0()()h t K t t δ=-。

（3）理想低通滤波器0()0j t c c e H j ωωωωωω-⎧≤⎪=⎨>⎪⎩冲激响应：0()[()]cc h t Sa t t ωωπ=- （4）系统物理可实现的充要条件()0(0)h t t =<（5）调制与解调0()()cos()f t g t t ω=0001()[()cos()][()()]2F j F g t tG G ωωωωωω==++-000011()[()cos()]cos()()()cos(2)22g t g t t t g t g t t ωωω==+00011[()]()[(2)(2)]24F g tG G G ωωωωω=+++-（6）从冲激抽样恢复模拟信号的方法利用低通滤波器方法第四章 拉普拉斯变换一、基本内容（1）拉氏变换的定义； （2）求拉氏逆变换的几种方法； （3）拉氏变换的基本性质；（4）利用拉氏变换求系统的零输入和零状态响应； （5）零极点与时域波形的关系；（6）由零极点确定自由响应、强迫响应、瞬态响应和稳态响应 （7）零极点与系统稳定性的关系，系统稳定性判定方法； （8）系统频率特性的几何确定方法。

二、基本公式（一）拉氏变换的定义0()()stF s f t e dt -+∞-=⎰，1()()2j st j f t F s e ds j σσπ+∞-∞=⎰（二）常用信号的拉氏变换()1t δ↔；1()u t s ↔； 21()tu t s ↔； 1!()n n n t u t s +↔； 1at e s a -↔+；22sin t s ωωω↔+ 22cos s t s ωω↔+； 1()1sTt nT e δ--↔- （三）拉氏变换的基本性质（1）线性：1212()()()()af t bf t aF s bF s +↔+（2）尺度变换：1()()0sf at F a a a↔>（3）时移：000()()()st f t t u t t F s e ---↔ （4）频移：()()at f t e F s a -↔+（5）时域微分：()()(0)d f t sF s f dt -↔-；11()0()()(0)n n nn r r n r d f t s F s s f dt ----=↔-∑（6）频域微分：()()dtf t F s ds-↔（7）时域积分：(0)()()t f F s f d s sττ--∞↔+⎰ （8）频域积分：()()s f t F u du t∞↔⎰（9）时域卷积：1212()()()()f t f t F s F s *↔（10）频域卷积：12121()()()()2f t f t F s F s jπ↔* （11）初值定理：(0)lim ()s f sF s →∞=，注意使用方法（12）终值定理：0()lim ()s f sF s →∞=，注意使用方条件（四）稳定系统的频响特性()()()()j s j H j H s H j e ϕωωωω===第七章 离散系统时间系统的时域分析一、基本内容（1）离散信号的运算； （2）正弦序列周期的判定；（3）根据差分方程画出离散系统的框图； （4）差分方程的时域求解； （5）离散卷积的求法；二、基本公式（1）()()(1)n u n u n δ=--； （2）0()()()nk k u n n k k δδ∞==-∞=-=∑∑（3）()()()N G n u n u n N =--； （4）()()()m x n x m n m δ+∞=-∞=-∑（5）()()()()()()()m m s n x n y n x m y n m x n m y m ∞∞=-∞=-∞=*=-=-∑∑三、因果稳定系统的充要条件 ()()()()n h n h n u n h n ∞=-∞=⎧⎪⎨<∞⎪⎩∑第八章 Z 变换与离散系统的Z 域分析一、基本内容（1）求序列的Z 变换：定义法；Z 变换的性质；（2）求逆Z 变换：留数法；幂级数展开；部分分式展开；长除法； （3）Z 变换的主要性质；（4）利用Z 变换解差分方程； （5）S 平面与Z 平面的映射关系；（6）离散系统的系统函数，单位样值响应与频响的关系； （7）频响特性的求法及正弦稳态响应的求解方法； （8）系统稳定性、因果性与系统函数收敛域的关系 二、基本公式 （一）Z 变换定义双边：()()nn X z x n z∞-=-∞=∑；单边：0()()n n X z x n z ∞-==∑；逆Z 变换：m 11z=z 1()()Res[()]2n n mCx n X z z dz X z z j π--==∑⎰（二）Z 变换的基本性质（1）线性：()()()()ax n by n aX z bY z +↔+； （2）位移：()()m x n m z X z ±±↔ （双边）； 1()()[()()]mkk m x n m u n z X z x k z---=--↔+∑；10()()[()()]m mk k x n m u n z X z x k z --=+↔-∑；（3）尺度变换：()()n z a x n X a ↔（4）反褶：1()()x n X z-↔；(1)()()n x n X z -↔-（5）Z 域微分：()()dnx n z X z dz↔-（6）初值定理：(0)lim ()z x X z →∞=（7）终值定理：1()lim(1)()z x z X z →∞=-，使用条件（8）卷积定理：1212()()()()x n x n X z X z *↔112121()()()()2C z x n x n X v X v dv j v π-↔⎰ （三）常用序列的Z 变换()1n δ↔；()11z u n z z ↔>-；()n za u n z a z a ↔>-； 0020sin (sin )()12cos 1z n u n z z z ωωω↔>-+；0020(cos )(cos )()12cos 1z z n u n z z z ωωω-↔>-+（四）系统函数、单位样值响应和频响之间的关系()()n n H z h n z ∞-==∑()()()j j jn z e n H e H z h n e ωωω∞-====∑（五）正弦稳态响应0sin A n ω作用于系统产生的正弦稳态响应：()()sin(())j ss y n A H e n ωωϕω=+（六）因果稳定系统的系统函数的收敛域：1a z a ⎧<≤∞⎪⎨<⎪⎩* 分配函数（2-4）：简单了解利用分配函数概念定义某些函数或证明某些性质的方法* 相关定理（3-4）：能量信号、功率信号必须掌握，其他简单了解* 拉氏逆变换（4-2）：留数定理求逆变换简单了解* 拉氏变换法分析电路（4-3）：较少要求进行电路分析，但不排除，例如讲义4-4中的例7* 频响特性的s 平面几何分析法（4-5）：简单掌握简单系统的频响特性的s 平面几何分析法* 利用希尔伯特变换研究系统函数的约束特性（5-2）：不要求* 抽样信号恢复连续时间信号（5-3）：简单了解* PCM 、多路复用（5-4）：简单了解* 留数法求逆z 变换（8-2）：简单了解。