2016-2017年河北省衡水中学高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)

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河北省高二上学期期中数学试卷(理科)(I)卷

河北省高二上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（1，2，3）关于z轴的对称点为（）A . （﹣1，﹣2，3）B . （﹣1，2，3）C . （﹣1，﹣2，﹣3）D . （1，2，﹣3）2. （2分）双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .3. （2分）(2013·湖南理) （2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB 的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A . 2B . 1C .D .4. （2分） (2016高二上·临沂期中) 设实数x，y满足约束条件，目标函数z=x﹣y的取值范围为（）A . [﹣，﹣2]B . [﹣，0]C . [0，4]D . [﹣，4]5. （2分） (2016高二上·屯溪期中) 过直线x+y=9和2x﹣y=18的交点且与直线3x﹣2y+8=0平行的直线的方程为（）A . 3x﹣2y=0B . 3x﹣2y+9=0C . 3x﹣2y+18=0D . 3x﹣2y﹣27=06. （2分）已知圆O的方程为 x2+y2=9，若抛物线C过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆O的切线为准线，则抛物线C的焦点F的轨迹方程为（）A . ﹣ =1（x≠0）B . + =1（x≠0）C . ﹣ =1（y≠0）D . + =1（y≠0）7. （2分）(2018·呼和浩特模拟) 已知是双曲线的上、下两个焦点，过的直线与双曲线的上下两支分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .8. （2分）由直线y=x+1上的点向圆x2﹣6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为（）A . 1B . 2C .D . 39. （2分）(2017·武邑模拟) 已知双曲线x2+ =1的焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（）A . y=± xB . y=± xC . y=±2xD . y=± x10. （2分）关于曲线C：x4+y2=1，给出下列四个命题：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称③曲线C围成的面积大于π④曲线C围成的面积小于π上述命题中，真命题的序号为（）A . ①②③B . ①②④C . ①④D . ①③11. （2分） (2016高二下·赣州期末) 设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A . 1﹣ln2B .C . 1+ln2D .12. （2分）(2016·湖南模拟) 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，不同两点P，Q 在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·肇庆模拟) 平面向量，，若，则＝________.14. （1分）已知直线y=kx+2k+1，则直线恒经过的定点________15. （1分）已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线 :x-y+3=0,当直线被C截得弦长为时,则a=________16. （1分） (2018高二上·成都月考) 设分别是双曲线的左右焦点，点，则双曲线的离心率为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）已知直线l过点P（2，3），且被两条平行直线l1：3x+4y﹣7=0，l2：3x+4y+8=0截得的线段长为d．（1）求d得最小值；并求直线的方程；（2）当直线l与x轴平行，试求d的值．18. （10分）(2013·湖北理) 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0 ．（1）求p0的值；（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P （μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）（2）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？19. （10分）(2016·花垣模拟) 已知⊙O的方程为x2+y2=10．（1）求直线：x=1被⊙O截的弦AB的长；（2）求过点（﹣3，1）且与⊙O相切的直线方程．20. （5分）如图，M、N是焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上两个不同的点，且线段MN中点A的横坐标为4-，（1）求|MF|+|NF|的值；（2）若p=2，直线MN与x轴交于点B点，求点B横坐标的取值范围．21. （10分） (2018高二上·阳高期末) 已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆过点，直线交轴于，且，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点．22. （10分） (2018高二下·普宁月考) 已知焦点在轴上的椭圆，短轴的一个端点与两个焦点构成等腰直角三角形，且椭圆过点 .（1）求椭圆的标准方程；（2）设依次为椭圆的上下顶点，动点满足，且直线与椭圆另一个不同于的交点为 .求证：为定值，并求出这个定值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

衡水市冀州中学2016-2017学年高二上学期第四次月考数学试卷(理科) 含解析

2016—2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第四次月考数学试卷（理科)一、选择题：本大题共13个小题,每小题4分，共52分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|x⊆A}，C={x|x⊆B},则集合C 中元素的个数为（）A．4 B．8 C．16 D．202．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，命题P：∀x∈A，2x∈B，则命题P的否定是（)A．∃x∈A，2x∈B B．∃x∉A，2x∉B C．∃x∈A，2x∉B D．∀x∉A,2x∉B3．函数f（x）的定义域为R，且满足:f（x）是偶函数，f（x﹣1）是奇函数，若f（0.5)=9，则f（8.5）等于（）A．﹣9 B．9 C．﹣3 D．04．现有4种不同的颜色为“严勤活实”四个字涂颜色，要求相邻的两个字涂色不同，则不同的涂色种数为（）A．27 B．54 C．108 D．1445．一首小诗《数灯》，诗曰：“远望灯塔高7层，红光点点倍加增,顶层数来有4盏，塔上共有多少灯?"答曰（）A．252 盏B．256盏C．508 盏D．512盏6．在△ABC中AC=6，AC的垂直平分线交AB边所在直线于N点,则•的（）A．﹣6B．﹣15 C．﹣9 D．﹣187．已知F1、F2分别是双曲线C:﹣=1的左、右焦点,若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心,｜OF1｜为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．B．3 C．D．28．已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆9．函数f(x）=Asin（2x+φ）（|φ｜≤，A＞0）部分图象如图所示，且f（a）=f（b)=0，对不同的x1，x2∈[a,b],若f（x1）=f(x2），有f（x1+x2）=，则（）A．f（x）在（﹣，）上是减函数B．f（x）在（﹣，）上是增函数C．f（x)在（，）上是减函数D．f（x）在(，)上是增函数10．如图，将绘有函数f(x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则f(﹣1）=（）A．﹣2 B．2 C． D．11．某四棱锥的三视图如图所示(单位:cm），则该四棱锥的表面积是( ）A．B．C．D．12．动点P（x,y)满足，点Q为(1，﹣1），O为原点，λ||=，则λ的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．13．在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是一直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2,PA=3，PA⊥底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点．设=m，则“0＜m＜2”是三棱锥C﹣ABE的体积不小于1的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）14．过原点O作圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为．15．已知正数a,b满足a+b=2，则的最小值为．16．已知双曲线C：的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，M（0，2）,则△PFM周长最小值为．17．已知直线y=x与双曲线﹣=1交于A、B两点,P为双曲线上不同于A、B的点，当直线PA、PB的斜率k PA，k PB存在时，k PA•k PB= ．三、解答题（本大题共7小题，共82分。

河北省衡水市冀州中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学理试卷(解析版).doc

2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共13个小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2015•衡阳三模）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a﹣1|，a∈A}，则A∪B中的元素的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由已知求出集合B的元素，取并集后得答案．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a﹣1|，a∈A}={2，1，0}，则A∪B={﹣1，0，1，2}．共4个元素．故选：B．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了绝对值的求法，是基础题．2．（2008•江西）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．[0，1] B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．【解答】解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），故选B．【点评】本题考查求复合函数的定义域问题．3．（2015•合肥校级模拟）已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（）A．有最大值e B．有最大值C．有最小值e D．有最小值【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】先利用等比数列等比中项可知•lny=可得lnx•lny=，再根据lnxy=lnx+lny ≥2可得lnxy的范围，进而求得xy的范围．【解答】解：依题意•lny=∴lnx•lny=∴lnxy=lnx+lny≥2=1xy≥e故选C【点评】本题主要考查了等比中项的性质．即若a，b，c成等比数列，则有b2=ac．4．（2016秋•冀州市校级期中）某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：D．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（2016•贵阳二模）如图，给出的是计算1+++…++的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜101？B．i＞101？C．i≤101？D．i≥101？【考点】程序框图．【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环：S=0+1，i=1，第2次循环：S=1+，i=3，第3次循环：S=1++，i=5，…依此类推，第51次循环：S=1+++…+，i=101，退出循环其中判断框内应填入的条件是：i≤101，故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的应用问题，解题时应准确理解流程图的含义，是基础题目．6．（2014•江西一模）某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．A．46 B．40 C．38 D．58【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得（，）为：（10，38），又（，）在回归方程=bx+a中的b=﹣2，∴38=10×（﹣2）+a，解得：a=58，∴=﹣2x+58，当x=6时，=﹣2×6+58=46．故选：A．【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题．7．（2016秋•冀州市校级期中）已知向量，满足||=1，=（1，﹣），且⊥（+），则与的夹角为（）A．60°B．90°C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°，由垂直可得数量积为0，可得cosθ，可得夹角．【解答】解：设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°∵=（1，﹣），∴||=2，又⊥（+），∴•（+）=0，∴=0，∴12+1×2×cosθ=0，解得cosθ=，∴θ=120°故选：C【点评】本题考查向量的夹角公式，涉及数量积的运算，属基础题．8．（2016秋•冀州市校级期中）下列有关命题：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆否命题为假命题；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充要条件．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；定义法；简易逻辑．【分析】判断原命题的真假，根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断①；写出原命题的否定，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③【解答】解：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”在m=0时不成立，故为假命题，故它的逆否命题为假命题；即①正确；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ，正确；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充分不必要条件，即③错误．故选：A．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题命题，空间线面关系，充要条件，特称命题的否定等知识点，难度中档．9．（2016秋•冀州市校级期中）已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A．4πB．3πC．2πD．π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；简单空间图形的三视图；球内接多面体．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，进而得到答案．【解答】解：由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，故球半径R满足2R=，故球的表面积S=4πR2=3π，故选：B．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的体积和表面积，由三视图判断几何体的形状，难度不大，属于基础题．10．（2013•浙江二模）“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】当时，由诱导公式化简可得图象充分；而当图象重合时可得，k∈Z，由充要条件的定义可得．【解答】解：当时，可得函数g（x）=sin（x+）=cosx，故图象重合；当“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”时，可取，k∈Z即可，故“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的充分不必要条件．故选A【点评】本题考查充要条件的判断，涉及三角函数的性质，属基础题．11．（2016秋•冀州市校级期中）已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时，都有a i+b j=a k+b l，则的值是（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015【考点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由已知可得，==a1+b2013，要求原式的值，转化为求解b2013，根据已知可先去b2，b3，b4，据此规律可求【解答】解：∵i+j=k+l时，都有a i+b j=a k+b l，则==×2013=a1+b2013∵a1=1，a2=2，b1=2，∴a1+b2=a2+b1∴b2=3同理可得，b3=a2+b2﹣a1=4b4=a2+b3﹣a1=5…∴b2013=2014=a1+b2013=2015即=2015故选D【点评】本题主要考查了数列的求和，解题的关键是发现试题中数列的项的规律12．（2016•衡水模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1=，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V=××=，故选：A．【点评】本题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离是关键．13．（2015•日照一模）已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（）A．B．C．D．4【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z=2×1+1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=．故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）14．（2016•通州区一模）（x2+）6的展开式中x3的系数是20．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数．【解答】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1=•x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中x3的系数是=20，故答案为：20．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．15．（2011•江苏校级模拟）若由不等式组，（n＞0）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m=．【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题主要考查不等式组确定的平面区域与三角形中的相关知识，三角形的外接圆的圆心在x轴上，说明构成的平面区域始终为直角三角形．【解答】解：由题意，三角形的外接圆的圆心在x轴上所以构成的三角形为直角三角形所以直线x=my+n与直线x﹣相互垂直，所以，解得，所以，答案为．【点评】这是不等式与平面几何相结合的问题，属于中档题16．（2013•自贡模拟）某城市新修建的一条路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能相邻的两盏灯，则熄灭灯的方法有56种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】应用题；排列组合．【分析】根据题意，先将亮的9盏灯排成一排，分析可得有8个符合条件的空位，用插空法，再将插入熄灭的3盏灯插入8个空位，用组合公式分析可得答案．【解答】解：本题使用插空法，先将亮的9盏灯排成一排，由题意，两端的灯不能熄灭，则有8个符合条件的空位，进而在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，有C83=56种方法，故答案为56．【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．17．（2016秋•冀州市校级期中）设x、y均为正实数，且，以点（x，y）为圆心，R=xy为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=256．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】由已知的关于x与y的等式，用y表示出x，将表示出的x代入xy中，设z=y﹣1，用z表示出y，代入表示出的xy中，整理后利用基本不等式得到xy的最小值，以及此时z 的值，进而确定出此时x与y的值，确定出所求圆的圆心与半径，写出所求圆的标准方程即可．【解答】解：∵+=1，∴x=，令z=y﹣1，则y=z+1，∴xy====z++10≥6+10=16，当且仅当z=，即z=3时取等号，此时y=4，x=4，半径xy=16，则此时所求圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=256．故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2=256【点评】此题考查了圆的标准方程，以及基本不等式的运用，利用了换元的数学思想，求出圆心坐标与半径是解本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（10分）（2016秋•冀州市校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．（1）求角B的大小；（2）若b=2，△ABC的面积为，求a+c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用．【分析】（1）由已知利用平面向量共线的性质可得，由正弦定理，同角三角函数基本关系式，结合sinA＞0，化简可得，结合B的范围可求B的值．（2）由已知及三角形面积公式可解得ac=4，进而利用余弦定理整理可求a+c的值．【解答】解：（1）∵，∴，∴由正弦定理，得，∵sinA＞0，∴，即，∵0＜B＜π，∴．（2）∵由三角形面积公式，得，∴解得ac=4，∵由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，可得：4=a2+c2﹣2ac×=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣12，∴a+c=4．【点评】本题主要考查了平面向量共线的性质，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）（2010•全国卷Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n=2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n=（12分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质20．（12分）（2015•衡阳校级模拟）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；（Ⅱ）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）欲证A1O∥平面AB1C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1O与平面AB1C内一直线平行，连接CO、A1O、AC、AB1，利用平行四边形可证A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C，满足定理所需条件；（Ⅱ）根据面面垂直的性质可知D1O⊥底面ABCD，以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，求出平面C1CDD1的一个法向量，以及平面AC1D1的一个法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值即可求出锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图（1），连接CO、A1O、AC、AB1，（1分）则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，所以，四边形A1B1CO为平行四边形，（3分）所以A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C所以A1O∥平面AB1C（6分）（Ⅱ）因为D1A=D1D，O为AD中点，所以D1O⊥AD又侧面A1ADD1⊥底面ABCD，所以D1O⊥底面ABCD，（7分）以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图（2）所示的坐标系，则C（1，0，0），D（0，1，0），D1（0，0，1），A（0，﹣1，0）．（8分）所以，（9分）设为平面C1CDD1的一个法向量，由，得，令z=1，则y=1，x=1，∴．（10分）又设为平面AC1D1的一个法向量，由，得，令z1=1，则y1=﹣1，x1=﹣1，∴，（11分）则，故所求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值为（12分）【点评】本题主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量的方法求解二面角等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于中档题．21．（12分）（2016秋•冀州市校级期中）10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现以下结果：（1）4只鞋子没有成双的；（2）4只恰好成两双；（3）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；排列组合．【分析】（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得，（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，问题得以解决（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得．【解答】解：（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得：C104×2×2×2×2=3360，（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，故有C102=45，（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得：C101×C92×2×2=1440．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是审清题意，本题考查了推理判断的能力及计数的技巧．22．（12分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【考点】圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A 坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【解答】解：（1）联立得：，解得：，∴圆心C（3，2）．若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=﹣，则所求切线为y=3或y=﹣x+3；（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．23．（12分）（2013•宁波模拟）某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示：根据上表信息解答以下问题：（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；函数的零点；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题．【分析】（1）由题意有函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点，进行等价转化为不等式组解出，在有互斥事件有一个发生的概率公式求解即可；（2）由题意利用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，利用随机变量的定义及随机变量分布列的定义列出随机变量ξ的分布列，在利用随机变量期望的定义求出其期望．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣ηx﹣1过（0，﹣1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点，则必有，解得：η＜，所以，η=4或η=5当η=4时，，当η=5时，，又η=4与η=5 为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，所以；（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，于是=，，，从而ξ的分布列：ξ的数学期望：．【点评】此题考查了学生对于题意的理解能力及计算能力，还考查了互斥事件一个发生的概率公式及离散型随机变量的定义及其分布列和期望的定义与计算．24．（12分）（2016秋•冀州市校级期中）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．【专题】空间角；空间向量及应用．【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得出；（2）先求出两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得，B（0，0，0），，，，．（1）易得于是===．∴异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（2）易知．设平面AA1C1的法向量，则，即，不妨令，则z=，可得．同样可设面A1B1C1的法向量，得．于是===，∴．∴二面角A﹣A1C﹣B1的正弦值为．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系并利用异面直线的方向向量的夹角求异面直线所成的角、两个平面的法向量的夹角求二面角的方法是解题的关键．。

2016-2017年河北省衡水中学高二(上)期中数学试卷和答案(理科)

2016-2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）若以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（）A．B．1 C．D．23．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x4．（5分）已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）5．（5分）抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1） B．（）C．D．（2，4）6．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∃n ∉N*，f（n）＞n7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．（5分）焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0 11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=x12．（5分）设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是．14．（5分）已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为．15．（5分）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．16．（5分）给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）若∠F 1MF2=90°，则S=32；（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；其中正确命题的序号是：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示．（1）求甲班的平均分；（2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率．18．（12分）在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a值及这100名考生的平均成绩；（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m 的值．20．（12分）F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足=+．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．21．（12分）已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A．2．（5分）若以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（）A．B．1 C．D．2【解答】解：由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，∴（1﹣c，）•（1+c，）=0，∴1﹣c2+2=0，∴c=，∵a=，∴b=1．故选：B．3．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【解答】解：∵双曲线的离心率是，∴e==，即==1+（）2=，即（）2=﹣1=，则=，即双曲线的渐近线方程为y═±x=±x，故选：C．4．（5分）已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）【解答】解：对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，因此存在x=0，1∈N，使得x2﹣x﹣1≤0成立，因此是真命题．∴下列选项中是假命题的为p∧（￢q），故选：B．5．（5分）抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1） B．（）C．D．（2，4）【解答】解：设抛物线y=x2上一点为A（x0，），点A（x0，）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==，∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短．故选：A．6．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∃n ∉N*，f（n）＞n【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式：∃n∈N*，f（n）＞n．故选：C．7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．【解答】解：，过焦点F且倾斜角为的直线方程为：，设A （x1，y1），B（x2，y2）；由得，y2﹣2py﹣p2=0；∴y1+y2=2p，x1+x2=3p；∴弦AB的中点坐标为；弦AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣x，弦AB的中点在该直线上；∴；解得．故选：C．8．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，椭圆（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x于椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是菱形，∴BC⊥AF，2m=a﹣c，则m=（a﹣c），将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴n2=b2，则不妨设B（（a﹣c），b），再代入椭圆方程得，+=1，化简得=，由e=，即有4e2﹣8e+3=0，解得e=或（舍去）．故选：D．9．（5分）焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由椭圆的性质可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，S ABC=AB•OC=•2c•b=bc，S ABC=（a+a+2c）•r=•（2a+2c）×=，∴=bc，a=2c，由e==，故选：C．10．（5分）以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0【解答】解：A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，B．由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2，即“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为“在△ABC中，若sinA ＞sinB，则A＞B，若sinA＞sinB，由正弦定理得a＞b，即等价为A＞B，即逆否命题为真命题，故C 判断错误．D．命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0，正确，故选：C．11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=x【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为（，0），准线方程为x=﹣，双曲线x2﹣=1的渐近线方程为y=x，由于过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，不妨设直线AB为y=（x﹣），设A（x0，y0），∴|AF|=x0+，∵|AF|＞|BF|，且|AF|=2，∴x0=2﹣，x0＞，∴0＜p＜2∴y0=（2﹣p），∴3（2﹣p）2=2p（2﹣），整理得p2﹣4p+3=0，解的p=1或p=3（舍去），故抛物线的方程为y2=2x，故选：A．12．（5分）设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0），联立y0=x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），又A（﹣a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2﹣2•bcos 120°，化简得7a2=3c2，求得e=．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵命题P：“”为假命题，∴￢P：“∀x∈R，x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题，∴△≤0，即m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m≤6．∴实数m的取值范围是[2，6]．故答案为：[2，6]．14．（5分）已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：由题意可设F（c，0），代入直线l：x+3y﹣2b=0，可得：c﹣2b=0，即c=2b，即有a===b，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故答案为：y=±x．15．（5分）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0所以AB中点到准线距离为故答案为16．（5分）给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）若∠F 1MF2=90°，则S=32；（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；其中正确命题的序号是：（1）（3）．【解答】解：由题意可得：，化为（x≠±3）．（1）由曲线C的标准方程可得=5，∴曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0），正确；（2）设|F1M|=m，|F1M|=n，m＞n，∵∠F1MF2=90°，∴，∴S=mn=16；（3）设A为内切圆与x轴的切点，∵|F2M|﹣|F1M|=|F2A|﹣|F1A|=2a=6，|F2A|+|F1A|=2c=10，∴|F2A|=8，|F1A|=2，∴5﹣x A=8，解得x A=﹣3．设圆心P，则PO⊥x轴，从而可得圆心在直线x=﹣3上，因此正确；（4）不妨设点M在双曲线的右支上，∵|MF1|﹣|MF2|=2a=6，∴|MA|+|MF2|=|MA|+|MF1|﹣6，当A、M、F1三点共线时，|MA|+|MF2|的最小值为|AF1|﹣6=﹣6．因此不正确．综上可得：正确命题的序号是（1）（3）．故答案为：（1）（3）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示．（1）求甲班的平均分；（2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率．【解答】解：（1）甲班的平均分为：；（2）甲班90﹣100的学生有2个，设为A，B；乙班90﹣100的学生有4个，设为a，b，c，d，从甲班和乙班90﹣100的学生中抽取两人，共包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）15个基本事件，设事件M=“至少含有甲班一名同学”，则事件M包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），9个事件，所以事件M的概率为．18．（12分）在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a值及这100名考生的平均成绩；（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率．【解答】解：（1）由（0.005+0.035+a+0.02+0.01）×10=1，得a=0.03．平均成绩约为（55×0.005+65×0.035+75×0.03+85×0.02+95×0.01）×10=74.5．（2）第3，4，5组考生分别有30、20、10人，按分层抽样，各组抽取人数为3，2，1记第3组中3人为a1，a2，a3，第4组中2人为b1，b2，第5组中1人为c，则抽取3人的所有情形为：（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c）共20种第4组中恰有1人的情形有12种∴．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m 的值．【解答】解：（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，±），到抛物线顶点的距离的平方为+p，∵抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，∴+p=（+）2，∴p=2抛物线的方程为：y2=4x．…（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣24，∵∠AFB=90°，∴FA⊥FB，即•=0可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0∴（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=0∴﹣24（1+m2）+20m2+25=0，解得：m=±．20．（12分）F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足=+．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．【解答】解：（I）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），∴E（﹣1，0）．设直线l的方程为x﹣my﹣1=0．联立方程组，消元得：y2﹣4my﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），则y1+y2=4m，x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2．∴AB的中点坐标为M（2m2+1，2m）．∵=+=2，∴M为EP的中点．∴，∴，即y2=4x﹣12．∴点P的轨迹方程为y2=4x﹣12．（II）由（I）得y1+y2=4m，y1y2=﹣4．∴|AB|===4（m2+1）．E到直线l：x﹣my﹣1=0的距离d=，=•|AB|•d=4，∴S△ABE∵=+，∴四边形EAPB是平行四边形，=8．∴平行四边形EAPB的面积S=2S△ABE∴当m=0时，S取得最小值8．此时直线l的方程为x﹣1=0．21．（12分）已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．【解答】解：（1）设点M（x，y），∵K AM•K BM=﹣，∴，整理得点所在的曲线C的方程：．（2）由题意可得点，直线PQ与直线PR的斜率互为相反数，设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立消去y，得：（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（4k2﹣12k﹣3）=0，由于x=1是方程的一个解，所以方程的另一解为，同理，故直线RQ的斜率为，把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得x2+bx+b2﹣3=0，所以|PQ|==原点O到直线RQ的距离为，S△OQR==≤=．22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由已知得+=＞4，根据椭圆定义知P点轨迹为以（2，0）和（﹣2，0）为焦点，长轴长为的椭圆，即有a=2，c=2，b=2，则动点P的轨迹C的方程为+=1；（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则l的方程为y=k（x﹣2），将其代入+=1，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，由于A在椭圆内，当然对任意实数k都有△＞0，根据韦达定理得x1+x2=，x1x2=，那么|MN|==•=，y1+y2=k（x1﹣2）+k（x2﹣2）=k（x1+x2）﹣4k=，线段MN中点H的坐标为（，），那么线段MN的垂直平分线方程为y+=﹣（x﹣），令y=0，得D（，0），|DH|==，则=•=•，由k≠0，可得1+∈（1，+∞），于是∈（0，）．。

河北省衡水市冀州中学2016-2017学年高二上学期第三次月考数学试卷(理科)Word版含解析

2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共13个小题，每小题5分，共65分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R ，集合A={x |}，B={x |1＜2x ＜8}，则（∁U A ）∩B 等于（）A ．[﹣1，3）B ．（0，2]C ．（1，2]D ．（2，3）2．已知幂函数y=f （x ）的图象过点（，），则log 4f （2）的值为（）A ．B ．﹣C ．2D ．﹣23．已知P 是△ABC 所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在△ABC 内，则红豆落在△PBC 内的概率是（）A ．B ．C ．D ．4．已知正数x ，y 满足，则z=4﹣x •（）y 的最小值为（）A ．1B ．C ．D ．5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（）A ．B ．C ．D ．6．我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N （90，a 3）（a ＞0），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（） A ．600 B ．400 C ．300 D ．2007．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为=0.7x +0.35，8．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．12πB．36πC．72πD．108π9．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每盒放2个，则标号为1，6的小球不在同一盒中的概率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=|ln（x﹣1）|，若f（a）=f（b），则a+2b的取值范围为（）A．（4，+∞）B．C．[6，+∞）D．11．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为（）A．6 B．9 C．12 D．1812．按图所示的程序框图运算：若输出k=2，则输入x的取值范围是（）A．（20，25] B．（30，32] C．（28，57] D．（30，57]13．数列{a n}中，a n+（﹣1）n a n=2n﹣1，则数列{a n}前12项和等于（）+1A．76 B．78 C．80 D．82二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）14．的展开式中的常数项为．15．若α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为．16．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为．17．已知O为△ABC的外心，||=16，||=10，若，且32x+25y=25，则||=•三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．已知函数．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时的x集合；（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范围．=2S n+n+1（n∈N*）．19．设数列{a n}的前n项和为S n，己知a1═1，S n+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，n∈N*，求T n．20．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的余弦值．21．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？0.95法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）附：X2=，k 3.841 6.63522．已知函数f（x）=m+log a x（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2），点P（3，﹣1）关于直线x=2的对称点Q在f（x）的图象上．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）令g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．23．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共13个小题，每小题5分，共65分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合A={x|}，B={x|1＜2x＜8}，则（∁U A）∩B等于（）A．[﹣1，3）B．（0，2]C．（1，2]D．（2，3）【考点】指数函数单调性的应用；交、并、补集的混合运算．【分析】分别解出集合A，B，然后根据集合的运算求解即可．【解答】解：因为集合A={x|}=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），B={x|1＜2x＜8}=（0，3），又全集U=R，∴∁U A=（﹣1，2]，∴（∁U A）∩B=（0，2]，故选B．2．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】幂函数图象及其与指数的关系；对数的运算性质；函数的零点．【分析】先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x用2代替求出函数值．【解答】解：由设f（x）=x a，图象过点（，），∴（）a=，解得a=，∴log4f（2）=log42=．故选A．3．已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在△ABC内，则红豆落在△PBC内的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据P是△ABC所在平面内一点，，得点P是△ABC的重心．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案．【解答】解：∵P 是△ABC 所在平面内一点，，∴P 是△ABC 的重心，∴点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的．∴S △PBC =S △ABC ，将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为P=．故选B ．4．已知正数x ，y 满足，则z=4﹣x •（）y 的最小值为（）A ．1B ．C ．D ．【考点】简单线性规划的应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：=2﹣2x •2﹣y =2﹣2x ﹣y ，设m=﹣2x ﹣y ，要使z 最小，则只需求m 的最小值即可．作出不等式组对应的平面区域如图：由m=﹣2x ﹣y 得y=﹣2x ﹣m ，平移直线y=﹣2x ﹣m ，由平移可知当直线y=﹣2x ﹣m ，经过点B 时，直线y=﹣2x ﹣m 的截距最大，此时m 最小．由，解得，即B （1，2），此时m=﹣2﹣2=﹣4，∴的最小值为，故选：C5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的侧面积即可．【解答】解：该几何体是高为1，底面对角线长为2的菱形构成的四棱锥A﹣BCDE，如图所示，在直角三角形ABE中，AB=1，BE=，∴AE=，在三角形AED中，AE=，ED=，AD=，∴AE2+DE2=AD2，∴三角形AED是直角三角形，则该几何体的侧面积为S=2×（）+2×（）=+，故选C．6．我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）（a＞0），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A．600 B．400 C．300 D．200【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由已恬得考试成绩在70分到110分之间的人数为600，落在90分到110分之间的人数为300人，由此能求出数学考试成绩不低于110分的学生人数．【解答】解：∵我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）（a＞0），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，∴考试成绩在70分到110分之间的人数为1000×=600，则落在90分到110分之间的人数为300人，故数学考试成绩不低于110分的学生人数约为500﹣300=200．故选：D．7．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，m【考点】线性回归方程．【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：∵根据所给的表格可以求出==4.5，==∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=3，故选：D．8．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．12πB．36πC．72πD．108π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式解之即可．【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为O，则在直角三角形ABC中，AC=×AB=6，∴AO=CO=3，在直角三角形PAO中，PO==3，∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为3，∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r=3，球的表面积S=4πr2=36π故选B．9．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每盒放2个，则标号为1，6的小球不在同一盒中的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，每盒放2个，基本事件总数n==90，标号为1，6的小球不在同一盒中，包含的基本事件个数m=﹣3C42=90﹣18=72，由此能求出标号为1，6的小球不在同一盒中的概率．【解答】解：将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，每盒放2个，基本事件总数n==90，先从3个盒子中选一个放标号为1，6的小球，有3种不同的选法，再从剩下的4个小球中选两个，放一个盒子有C42=6种放法，余下放入最后一个盒子，∴1，6的小球在同一盒中的放法共有3C42=18种，故标号为1，6的小球不在同一盒中，包含的基本事件个数为：m=﹣3C42=90﹣18=72，∴标号为1，6的小球不在同一盒中的概率为：p===．故选：A．10．已知函数f（x）=|ln（x﹣1）|，若f（a）=f（b），则a+2b的取值范围为（）A．（4，+∞）B．C．[6，+∞）D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的解析式德，得到b=+1，再利用基本不等式即可求出2a+b的范围【解答】解：∵函数f（x）=|ln（x﹣1）|，f（a）=f（b），且x＞1，∴﹣ln（a﹣1）=ln（b﹣1），∴=b﹣1，∴b=+1，∴a+2b=a++2=a﹣1++3≥3+2=3+2，当且仅当a=+1取等号，∴a+2b的取值范围是[3+2，+∞）故选：B11．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为（）A．6 B．9 C．12 D．18【考点】二项式定理的应用．【分析】通过给x 赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出B，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：在二项式的展开式中，令x=1得各项系数之和为4n∴A=4n据二项展开式的二项式系数和为2n∴B=2n∴4n+2n=72解得n=3∴=的展开式的通项为=令得r=1故展开式的常数项为T2=3C31=9故选项为B12．按图所示的程序框图运算：若输出k=2，则输入x的取值范围是（）A．（20，25] B．（30，32] C．（28，57] D．（30，57]【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程计算k=1时输出x值与k=2时输出x的值，利用k=1时不满足条件x＞115，k=2时满足条件x＞11，求得x的范围．【解答】解：由程序框图知：第一次循环x=2x+1，k=1；第二次循环x=2（2x+1）+1，k=2，当输出k=2时，应满足，得28＜x≤57．故选：C．13．数列{a n}中，a n+（﹣1）n a n=2n﹣1，则数列{a n}前12项和等于（）+1A．76 B．78 C．80 D．82【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11， (12)a11=21，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，利用数列的结构特征，求出{a n}的前12项和．+（﹣1）n a n=2n﹣1，【解答】解：∵a n+1∴a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9．a7+a6=11，…a11+a10=19，a12﹣a11=21 ∴a1+a3=2，a4+a2=8…a12+a10=40∴从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．以上式子相加可得，S12=a1+a2+…+a12=（a1+a3）+（a5+a7）+（a9+a11）+（a2+a4）+（a6+a8）+（a10+a12）=3×2+8+24+40=78故选B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）14．的展开式中的常数项为﹣5．【考点】二项式定理．【分析】展开式的常数项为展开式的常数项与x﹣2的系数和；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数分别为0，﹣2即得．=C6r（﹣1）r x6﹣2r，【解答】解：的展开式的通项为T r+1当r=3时，T4=﹣C63=﹣20，的展开式有常数项1×（﹣20）=﹣20，当r=4时，T5=﹣C64=15，的展开式有常数项x2×15x﹣2=15，因此常数项为﹣20+15=﹣5故答案为﹣515．若α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为1，或﹣．【考点】二倍角的正弦．【分析】由题意可得3cos2α﹣3sin2α=cosα﹣sinα，求得cosα﹣sinα=0，或3（cosα+sinα）=，分类讨论求得sin2α的值．【解答】解：∵α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），∴3cos2α﹣3sin2α=cosα﹣sinα，∴cosα﹣sinα=0，或3（cosα+sinα）=．若cosα﹣sinα=0，则α=，sin2α=1；若3（cosα+sinα）=，平方求得sin2α=﹣，故答案为：1，或﹣．16．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为2x+y﹣3=0．【考点】圆的切线方程．【分析】求出以（3，1）、C（1，0）为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程．【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=1的圆心为C（1，0），半径为1，以（3，1）、C（1，0）为直径的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣）2=，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程2x+y﹣3=0，故答案为：2x+y﹣3=0．17．已知O为△ABC的外心，||=16，||=10，若，且32x+25y=25，则||=10•【考点】三角形五心；向量的模；平面向量的基本定理及其意义．【分析】若，则，根据向量数量积的几何意义分别求出，后，得出关于x，y的代数式，利用32x+25y=25整体求解．【解答】解：如图．若，则，O为外心，D，E为中点，OD，OE分别为两中垂线．=||（||cos∠DAO）=||×AD=||××||=16×8=128同样地，=||2=100所以2=128x+100y=4（32x+25y）=100∴||=10故答案为：10．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．已知函数．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时的x集合；（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范围．【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．【分析】（1）把函数解析式的第三项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后，再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域可得出f（x）的值域，进而确定出函数f（x）的最大值，根据余弦函数的图象与性质可得出取得最大值时x的范围，确定出此时x的集合；（2）由第一问得到的解析式，根据f（A）=0，利用余弦函数的图象与性质得出A=kπ+（k∈Z），并根据A为三角形的内角，确定出A的度数，由a，sinA的值，利用正弦定理用sinB 和sinC分别表示出b与c，代入b+c中，并根据A的度数，求出B+C的度数，用B表示出C代入b+c化简后的式子中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即可确定出b+c的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（1）f（x）=1﹣sin2x+2cos2x=cos2x﹣sin2x+2=2cos（2x+）+2，∵﹣1≤cos（2x+）≤1，∴0≤2cos（2x+）+2≤4，∴f（x）的最大值为4，当2x+=2kπ（k∈Z），即x=kπ﹣（k∈Z）时，函数f（x）取最大值，则此时x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}；（2）由f（A）=0得：2cos（2A+）+2=0，即cos（2A+）=﹣1，∴2A+=2kπ+π（k∈Z），即A=kπ+（k∈Z），又0＜A＜π，∴A=，∵a=1，sinA=，由正弦定理==得：b==sinB，c=sinC，又A=，∴B+C=，即C=﹣B，∴b+c=（sinB+sinC）= [sinB+sin（﹣B）]=（sinB+cosB+sinB）=2（sinB+cosB）=2sin（B+），∵A=，∴B∈（0，），∴B+∈（，），∴sin（B+）∈（，1]，则b+c的取值范围为（1，2]．19．设数列{a n}的前n项和为S n，己知a1═1，S n+1=2S n+n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，n∈N*，求T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由条件求得a2=3，当n≥2时，将n换为n﹣1，两式相减可得a n+1=2a n+1，两边加1，由等比数列的通项公式即可得到所求通项；（2）b n=n•（）n，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．【解答】解：（1）由a1=1，S n+1=2S n+n+1①，可得S2=2S1+2，即a1+a2=2a1+2，解得a2=3，当n≥2时，S n=2S n﹣1+n②，①﹣②，可得a n+1=2a n+1，即有a n+1+1=2（a n+1），可得a n+1=（a2+1）•2n﹣2=2n，对n=1也成立，则数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1（n∈N*）；（2）b n===n•（）n，T n=1•（）1+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n，T n=1•（）2+2•（）3+3•（）4+…+n•（）n+1，两式相减可得，T n=+（）2+（）3+…+（）n﹣n•（）n+1=﹣n•（）n+1，化简可得T n=2﹣．20．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥AB，BC⊥PA，由此能证明BC⊥平面PAB．（Ⅱ）延长BA，CD交于Q点，过A作AH⊥PQ，垂足为H，连DH，则∠AHD是面PCD 与面PBA所成的二面角的平面角，由此能求出面PCD与面PAB所成二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．∴BC∥AD且∠DAB=90°，BC⊥AB，又PA⊥平面ABCD，∴BC⊥PA，而PA∩PB=A，∴BC⊥平面PAB…（Ⅱ）延长BA，CD交于Q点，过A作AH⊥PQ，垂足为H，连DH，由（Ⅰ）及AD∥BC知：AD⊥平面PAQ，∴AD⊥PQ且AH⊥PQ，∴PQ⊥平面HAD，即PQ⊥HD．∴∠AHD是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角．…由题意得，，∴，∴，∴cos∠AHD=．∴面PCD与面PAB所成二面角的余弦值为．21．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？0.95法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）附：X2=，k 3.841 6.635【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K2，与3.841比较即可得出结论；（2）由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，由于X～B（3，），从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2 2K2=≈3.030．…因为3.030＜3.841，所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．…（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率．…由题意知X～B（3，），从而X的分布列为…，．…22．已知函数f （x ）=m +log a x （a ＞0且a ≠1）的图象过点（8，2），点P （3，﹣1）关于直线x=2的对称点Q 在f （x ）的图象上．（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）令g （x ）=2f （x ）﹣f （x ﹣1），求g （x ）的最小值及取得最小值时x 的值．【考点】基本不等式；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）首先求出点P 关于直线x=2的对称点，然后把点（8，2）和P 的对称点的坐标代入函数f （x ）的解析式联立解方程组可求f （x ）的解析式；（Ⅱ）把f （x ）的解析式代入函数g （x ）=2f （x ）﹣f （x ﹣1），整理后把得到的函数中对数式的真数运用基本不等式求出最小值，然后借助于对数函数的单调性可求函数g （x ）的最小值．【解答】解析：（Ⅰ）点P （3，﹣1）关于直线x=2的对称点Q 的坐标为Q （1，﹣1）结合题设知，可得，即，解得m=﹣1，a=2，故函数解析式为f （x ）=﹣1+log 2x ．（Ⅱ）g （x ）=2f （x ）﹣f （x ﹣1）=2（﹣1+log 2x ）﹣[﹣1+log 2（x ﹣1）]=（x ＞1），∵，当且仅当即x=2时，“=”成立，而函数y=log 2x 在（0，+∞）上单调递增，则，故当x=2时，函数g （x ）取得最小值1．23．已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y +3=0．（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C 外一点P （x 1，y 1）向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |=|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）当截距不为0时，根据圆C 的切线在x 轴和y 轴的截距相等，设出切线方程x +y=a ，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d ，让d 等于圆的半径r ，列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到a 的值，得到切线的方程；当截距为0时，设出切线方程为y=kx ，同理列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，得到切线的方程；（2）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形CPM 为直角三角形，根据勾股定理表示出点P 的轨迹方程，由轨迹方程得到动点P 的轨迹为一条直线，所以|PM |的最小值就是|PO|的最小值，求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值，然后利用两点间的距离公式表示出P到O的距离，把P代入动点的轨迹方程，两者联立即可此时P的坐标．【解答】解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，解得：a=﹣1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．2017年1月11日。

河北省衡水中学2017届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，T={x|x2＜4x﹣3}，则S∩T=（）A．{1}B．{2}C．1 D．22．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（）A．2 B．C．1 D．33．设正数x，y满足x+y=1，若不等式对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（）A．a≥4 B．a＞1 C．a≥1 D．a＞44．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜206．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，]B．（，2] C．（，2]D．（2，4]7．数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2B．C．4n﹣1 D．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．C．D．9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）A．f（﹣）＜f（）＜f（） B．f（﹣）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣） D．f（）＜f（﹣）＜f（）10．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．611．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1]C．（﹣，﹣2）D．（﹣，﹣2]12．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=x2﹣f（0）x+f′（1）e x﹣1，若g（x）=f（x）﹣x2+x，则方程g（﹣x）﹣x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪{1}B．（﹣∞，1]C．（0，1]D．[1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．设数列{a n}的n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n=．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是．16．已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC中，已知，记角A，B，C的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．20．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．21．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）若过点C（2，0）的直线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，T={x|x2＜4x﹣3}，则S∩T=（）A．{1}B．{2}C．1 D．2【考点】交集及其运算．【分析】求出T中不等式的解集确定出T，找出S与T的交集即可．【解答】解：由T中不等式变形得：x2﹣4x+3＜0，即（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即T=（1，3），∵S={1，2}，∴S∩T={2}，故选：B．2．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（）A．2 B．C．1 D．3【考点】复数求模．【分析】根据复数的运算法则，进行计算即可．【解答】解：根据题意，∵|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，∴﹣2z1z2+=3，∴2z1z2=2﹣3=﹣1；∴|z1+z2|===1．故选：C．3．设正数x，y满足x+y=1，若不等式对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（）A．a≥4 B．a＞1 C．a≥1 D．a＞4【考点】基本不等式．【分析】由题意知，所以，由此可知答案．【解答】解：若不等式对任意的x，y成立，只要4，因为，即，以∴a≥1；故选C．4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正方体的结构特征，我们取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，可证得∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角，解△OEF即可得到答案．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，如图所示：∵E为CC1的中点，EF∥BC1∥AD1，故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则在△OEF中，EF=，OE=故cos∠OEF==故选D5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20【考点】循环结构．【分析】结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．【解答】解：根据框图，i﹣1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i﹣1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i＞10”故选A6．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，]B．（，2] C．（，2]D．（2，4]【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【分析】由已知条件推导出，AD=CD=BD=，BC=x，取BC中点E，翻折前DE=AC=，翻折后AE=，AD=，从而求出0＜x＜．翻折后，当△B1CD与△ACD在一个平面上，∠A=60°，BC=ACtan60°，此时x=1×，由此能求出x的取值范围为（0，]．【解答】解：由题意得，AD=CD=BD=，BC=x，取BC中点E，翻折前，在图1中，连接DE，CD，则DE=AC=，翻折后，在图2中，此时CB⊥AD．∵BC⊥DE，BC⊥AD，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AE，DE⊥BC，又BC⊥AE，E为BC中点，∴AB=AC=1，∴AE=，AD=，在△ADE中：①，②，③x＞0；由①②③可得0＜x＜．如图3，翻折后，当△B1CD与△ACD在一个平面上，AD与B1C交于M，且AD⊥B1C，AD=B1D=CD=BD，∠CBD=∠BCD=∠B1CD，又∠CBD+∠BCD+∠B1CD=90°，∴∠CBD=∠BCD=∠B1CD=30°，∴∠A=60°，BC=ACtan60°，此时x=1×综上，x的取值范围为（0，]，故选：A．7．数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2B．C．4n﹣1 D．【考点】数列的求和．=2n﹣1﹣1，因此a n=2n﹣1，当n=1【分析】当n≥2时，由a1+a2+…+a n=2n﹣1可得a1+a2+…+a n﹣1时也成立．再利用等比数列的前n项和公式可得a12+a22+…+a n2．=2n﹣1﹣1，【解答】解：当n≥2时，由a1+a2+…+a n=2n﹣1可得a1+a2+…+a n﹣1∴a n=2n﹣1，当n=1时也成立．∴=4n﹣1．∴a12+a22+…+a n2==．故选：D．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是四棱锥，结合其直观图，利用四棱锥的一个侧面与底面垂直，作四棱锥的高线，求出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，其直观图如图：四棱锥的一个侧面SAB与底面ABCD垂直，过S作SO⊥AB，垂足为O，∴SO⊥底面ABCD，SO=2×，底面为边长为2的正方形，∴几何体的体积V=×2×2×=．故选：B．9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）A．f（﹣）＜f（）＜f（） B．f（﹣）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣） D．f（）＜f（﹣）＜f（）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据条件求出函数的周期和对称轴，利用函数周期性，对称性和单调性的关系进行转化比较即可．【解答】解：由图象知=，则T=π，则函数=，=，则函数在[，]上是增函数，且函数关于x=和x=对称，则f（）=f（﹣π）=f（），f（﹣）=f（﹣+π）=f（）=f（），f（）=f（）=f（π），∵＜＜π，∴f（）＜f（）＜f（π），即f（）＜f（﹣）＜f（），故选：D．10．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】圆的切线方程；关于点、直线对称的圆的方程．【分析】由题意可知直线经过圆的圆心，推出a，b的关系，利用（a，b）与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值．【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0化为（x+1）2+（y﹣2）2=2，圆的圆心坐标为（﹣1，2）半径为．圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，所以（﹣1，2）在直线上，可得﹣2a+2b+6=0，即a=b+3．点（a，b）与圆心的距离，，所以点（a，b）向圆C所作切线长：==≥4，当且仅当b=﹣1时弦长最小，为4．故选C．11．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1]C．（﹣，﹣2）D．（﹣，﹣2]【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】因为给的是开区间，最大值一定是在该极大值点处取得，因此对原函数求导、求极大值点，求出函数极大值时的x值，然后让极大值点落在区间（a，6﹣a2）内，依此构造不等式．即可求解实数a的值．【解答】解：由题意f（x）=x3﹣3x，所以f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，故x=﹣1是函数f（x）的极大值点，f（﹣1）=﹣1+3=2．，x3﹣3x=2，解得x=2，所以由题意应有：，解得﹣＜a≤2．故选：D．12．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=x2﹣f（0）x+f′（1）e x﹣1，若g（x）=f（x）﹣x2+x，则方程g（﹣x）﹣x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪{1}B．（﹣∞，1]C．（0，1]D．[1，+∞）【考点】导数的运算．【分析】先根据导数的运算法则求出f（x），再求出g（x），根据方程g（﹣x）﹣x=0，转化为﹣x=lnx．利用数形结合的思想即可求出答案．【解答】解：∵f（x）=x2﹣f（0）x+f′（1）e x﹣1，∴f（0）=f′（1）e﹣1，∴f′（x）=x﹣f（0）+f′（1）e x﹣1，∴f′（1）=1﹣f′（1）e﹣1+f′（1）e1﹣1，∴f′（1）=e，∴f（0）=f′（1）e﹣1=1，∴f（x）=x2﹣x+e x，∴g（x）=f（x）﹣x2+x=x2﹣x+e x﹣x2+x=e x，∵g（﹣x）﹣x=0，∴g（﹣x）=x=g（lnx），∴﹣x=lnx．∴=x+lnx，分别画出y=和y=x+lnx的图象，由图象可知，a=1或a＜0，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值﹣8．【考点】简单线性规划．【分析】作出变量x，y满足约束条件所对应的平面区域，采用直线平移的方法，将直线l：平移使它经过区域上顶点A（﹣2，2）时，目标函数达到最小值﹣8【解答】解：变量x ，y 满足约束条件所对应的平面区域为△ABC 如图，化目标函数z=x ﹣3y为将直线l ：平移，因为直线l 在y 轴上的截距为﹣，所以直线l 越向上移，直线l 在y 轴上的截距越大，目标函数z 的值就越小，故当直线经过区域上顶点A 时，将x=﹣2代入，直线x +2y=2，得y=2，得A （﹣2，2）将A （﹣2，2）代入目标函数，得达到最小值z min =﹣2﹣3×2=﹣8故答案为：﹣814．设数列{a n }的n 项和为S n ，且a 1=a 2=1，{nS n +（n +2）a n }为等差数列，则{a n }的通项公式a n =．【考点】等差数列的性质．【分析】令b n =nS n +（n +2）a n ，由已知得b 1=4，b 2=8，从而b n =nS n +（n +2）a n =4n ，进一步得到{}是以为公比，1为首项的等比数列，由此能求出{a n }的通项公式．【解答】解：设b n =nS n +（n +2）a n ，∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=a 2=1， ∴b 1=4，b 2=8，∴b n =b 1+（n ﹣1）×（8﹣4）=4n ，即b n =nS n +（n +2）a n =4n当n ≥2时，S n ﹣S n ﹣1+（1+）a n ﹣（1+）a n ﹣1=0∴=，即2•，∴{}是以为公比，1为首项的等比数列，∴=，∴．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（，）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到f（x）的单调性，结合函数的单调性求出不等式的解即a，b的关系，画出关于a，b的不等式表示的平面区域，给函数与几何意义，结合图象求出其取值范围【解答】解：由导函数的图形知，x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0；x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；∵f（2a+b）＜1，∴﹣2＜2a+b＜4；又a＞0，b＞0，∴a，b满足的可行域为表示点（a，b）与（﹣3，﹣3）连线的斜率的2倍，如图所示；由图知当点为（2，0）时斜率最小，为=；当点为（0，4）时斜率最大，为=；所以的取值范围是（，）．故答案为：（，）．16．已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据图示，这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，从而可求得侧面的底边长与高，故可求．【解答】解：根据图示，这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，于是有半径R=底面中线长设BC的中点为D，连接SO∵R=6∴AD=9，∴OD=3，SD==，BC=，∴三棱锥的侧面积=×=．故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC中，已知，记角A，B，C的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．【考点】解三角形；两角和与差的正切函数．【分析】（1）由已知中，变形可得，由两角和的正切公式，我们易得到A+B的值，进而求出∠C的大小；（2）由c=2，且△ABC是锐角三角形，再由正弦定理，我们可以将a2+b2转化为一个只含A 的三角函数式，根据正弦型函数的性质，我们易求出a2+b2的取值范围．【解答】解：（1）依题意：，即，又0＜A+B＜π，∴，∴，（2）由三角形是锐角三角形可得，即由正弦定理得∴，，，======，∵，∴，∴，即18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，由【分析】（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（n≥1），知，所以，由此能求出b n．（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，所以T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n），令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，由错位相减法能求出，由此能求出数列{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②②﹣①得：，=2（3n+1+1），b n+1故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…∴数列{c n}的前n项和…19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）当截距不为0时，根据圆C的切线在x轴和y轴的截距相等，设出切线方程x+y=a，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到切线的方程；当截距为0时，设出切线方程为y=kx，同理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得到切线的方程；（2）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形CPM为直角三角形，根据勾股定理表示出点P的轨迹方程，由轨迹方程得到动点P的轨迹为一条直线，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值，然后利用两点间的距离公式表示出P到O的距离，把P代入动点的轨迹方程，两者联立即可此时P的坐标．【解答】解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，解得：a=﹣1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．20．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；向量方法证明线、面的位置关系定理．【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…21．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=﹣2时故函数在（1，+∞）上是增函数．（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负，故函数f（x）在[1，e]上是增函数．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时f'（x）=0，当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．所以此时有最值．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正，所以[f（x）]min=f（e）=a+e2．（3）由题意可化简得（x∈[1，e]），令（x∈[1，e]），利用导数判断其单调性求出最小值为g（1）=﹣1．【解答】解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x∈[1，e]），又，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）若过点C（2，0）的直线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）先利用x=ρcosθ，y=ρsinθ将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，再与圆C 的方程联立方程组解出交点坐标，从而得到AB的直角坐标方程，最后再将它化成极坐标方程即可；（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义可求|CD|：|CE|的值．【解答】解：（1）在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，极坐标与直角坐标有如下关系x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线C1：ρ=﹣sinθ，∴ρ2=﹣4ρsinθ，∴x2+y2=﹣4y，∴曲线C1：x2+y2+y=0，∴直线AB的普通方程为：（x2+y2﹣4x）﹣（x2+y2+4y）=0，∴y=﹣x，∴ρsinθ=﹣ρcosθ，∴tanθ=﹣，∴直线AB极坐标方程为：θ=﹣．（2）根据（1）知，直线AB的直角坐标方程为y=﹣x，根据题意可以令D（x1，y1），则，又点D在直线AB上，所以t1=﹣（2+t1），解得t1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD|=|t1|=，同理，令交点E（x2，y2），则有，又点E在直线x=0上，令2+t2=0，∴t2=﹣，∴|CE|=|t2|=，∴|CD|：|CE|=1：2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用．【分析】（1）问题转化为5﹣m＜x＜m+1，从而得到5﹣m=2且m+1=4，基础即可；（2）问题转化为|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立，根据绝对值的意义解出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）=m﹣|x﹣3|，∴不等式f（x）＞2，即m﹣|x﹣3|＞2，∴5﹣m＜x＜m+1，而不等式f（x）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m=2且m+1=4，解得：m=3；（2）关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立⇔关于x的不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立⇔|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立⇔|a﹣3|≥3恒成立，由a﹣3≥3或a﹣3≤﹣3，解得：a≥6或a≤0．2016年12月15日。

河北省衡水市枣强中学高二数学上学期期中试卷理(含解析)

2015-2016学年河北省衡水市枣强中学高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．盒子内分别有3个红球，2个白球，1个黑球，从中任取2个，则下列选项中两个事件互斥而不对立的是（）A．至少有1个白球，至多有1个白球B．至少有1个白球，至少有1个红球C．至少有1个白球，没有白球D．至少有1个白球，红、黑球各1个2．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．3．双曲线的焦距是10，则实数m的值为（）A．﹣16 B．4 C．16 D．814．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C． m D．3m5．“m∈（2，6）”是“方程+=1为椭圆方程”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A． B．6 C．12 D．77．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．8．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于A，B，交其准线于点C，若=﹣2，||=3，则抛物线的方程为（）A．y2=12x B．y2=9x C．y2=6x D．y2=3x9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）A．[，2] B．[，2] C．[，4] D．[2，4]10．已知两个点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“B型直线”给出下列直线①y=x+1；②y=2；③y=x；④y=2x+1；其中为“B型直线”的是（）A．①③ B．①② C．③④ D．①④11．设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5 B． +C．7+D．612．已知A1，A2分别为椭圆的左右顶点，椭圆C上异于A1，A2的点P 恒满足，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若椭圆的离心率为，则k的值为．14．倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，则线段AB中点的轨迹方程是．15．已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．16．求与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x﹣5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．某售报亭每天以每份0.6元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站．（1）若售报亭一天购进280份报纸，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量x的函数关系解析式；（2）售报亭记录了100天报纸的日需求量，整理得下表：日需求量x 240 250 260 270 280 290 300频数10 20 16 16 15 13 10①假设售报亭在这100天内每天都购进280份报纸，求这100天的日平均利润；②若售报亭一天购进280份报纸，以100天记录的各需求量的频率作为各销售发生的概率，求当天的利润不超过100元的概率．18．已知命题P：函数f（x）为（0，+∞）上单调减函数，实数m满足不等式f（m+1）＜f （3﹣2m）．命题Q：当x∈[0，]，函数m=sin2x﹣2sinx+1+a．若命题P是命题Q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图所示的频率分布直方图1，从左到右各组的频数依次记为A1、A2、A3、A4，A5．（1）求图1中a的值；（2）图2是统计图1中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果S；（3）从质量指标值分布在[80，90）、[110，120）的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率．20．实轴长为的椭圆的中心在原点，其焦点F1，，F2在x轴上．抛物线的顶点在原点O，对称轴为y轴，两曲线在第一象限内相交于点A，且AF1⊥AF2，△AF1F2的面积为3．（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点A作直线l分别与抛物线和椭圆交于B，C，若，求直线l的斜率k．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．22．已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线x2=8y 的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．2015-2016学年河北省衡水市枣强中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．盒子内分别有3个红球，2个白球，1个黑球，从中任取2个，则下列选项中两个事件互斥而不对立的是（）A．至少有1个白球，至多有1个白球B．至少有1个白球，至少有1个红球C．至少有1个白球，没有白球D．至少有1个白球，红、黑球各1个【考点】互斥事件与对立事件．【专题】对应思想；分析法；概率与统计．【分析】写出从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法情况，再逐一核对四个选项是否符合题意．【解答】解：从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有：2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共5类情况，所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥，A不符合题意；至少有一个白球，至少有一个红球不互斥，B不符合题意；至少有一个白球，和没有白球，互斥且对立，C不符合题意；至少有一个白球，红球黑球各一个包括1红1白，1黑1白两类情况，是互斥且不对立事件，满足题意．故选：D．【点评】本题考查了互斥事件和对立事件的应用问题，是基础题目．2．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题；概率与统计．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．3．双曲线的焦距是10，则实数m的值为（）A．﹣16 B．4 C．16 D．81【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的基本量的关系，算出c==，结合焦距为10建立关于m 的方程，解之可得实数m的值．【解答】解：∵双曲线的a2=9，b2=m∴c==，因此，该双曲线的焦距是2=10，解之得m=16故选：C【点评】本题给出双曲线的焦距，求参数m的值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．4．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C． m D．3m【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．“m∈（2，6）”是“方程+=1为椭圆方程”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】原方程要表示椭圆方程，需满足，即2＜m＜6，且m≠4，所以看m∈（2，6）能否让方程满足这个条件，这样即可判断m∈（2，6）是否是方程表示椭圆方程的充分条件；然后看若方程表示椭圆方程，则它要满足条件：2＜m＜6，且m≠4，这时候看能否得到2＜m＜6，这样即可判断m∈（2，6）是否是方程表示椭圆方程的必要条件；这样即可找到正确选项．【解答】解：（1）若m∈（2，6），则：0＜m﹣2＜4，0＜6﹣m＜4，m﹣2=6﹣m时，m=4；∴方程不一定为椭圆方程；∴m∈（2，6）不是方程为椭圆方程的充分条件；（2）若方程为椭圆方程，则：，解得2＜m＜6，且m≠4，所以能得到m∈（2，6）；∴m∈（2，6）是方程表示椭圆方程的必要条件；∴m∈（2，6）是方程表示椭圆方程的必要不充分条件．故选：B．【点评】考查椭圆的标准方程，充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．6．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A． B．6 C．12 D．7【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故选：C【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．7．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．8．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于A，B，交其准线于点C，若=﹣2，||=3，则抛物线的方程为（）A．y2=12x B．y2=9x C．y2=6x D．y2=3x【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A （x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，可得（3﹣）（1﹣）=，即可求得p的值，抛物线的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，∴∠NCB=30°，有|AC|=2|AM|=6，设|BF|=x，则2x+x+3=6⇒x=1，而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，∴（3﹣）（1﹣）=，∴p=，得y2=3x．故选：D．【点评】此题是个中档题．考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）A．[，2] B．[，2] C．[，4] D．[2，4]【考点】两条直线的交点坐标；函数最值的应用．【专题】直线与圆．【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角函数的知识可得．【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0的斜率之积为﹣1，始终垂直，P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ，由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]∴|PA|+|PB|=（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴sin（θ+）∈[，1]，∴2sin（θ+）∈[，2]，故选：B．【点评】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题．10．已知两个点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“B型直线”给出下列直线①y=x+1；②y=2；③y=x；④y=2x+1；其中为“B型直线”的是（）A．①③ B．①② C．③④ D．①④【考点】双曲线的应用．【专题】计算题；新定义．【分析】首先根据题意，结合双曲线的定义，可得满足|PM|﹣|PN|=6的点的轨迹是以M、N 为焦点的双曲线的右支；进而可得其方程，若该直线为“B型直线”，则这条直线必与双曲线的右支相交，依次分析4条直线与双曲线的右支是否相交，可得答案．【解答】解：根据题意，满足|PM|﹣|PN|=6的点的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支；则其中焦点坐标为M（﹣﹣5，0）和N（5，0），即c=5，a=3，可得b=4；故双曲线的方程为=1，（x＞0）依题意，若该直线为“B型直线”，则这条直线必与双曲线的右支相交，进而分析可得：①y=x+1，②y=2与其相交，③y=x；④y=2x+1与双曲线的右支没有交点；故选B．【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系，要掌握判断双曲线与直线相交，交点位置的判定方法．11．设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5 B． +C．7+D．6【考点】椭圆的简单性质；圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选：D．【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．12．已知A1，A2分别为椭圆的左右顶点，椭圆C上异于A1，A2的点P恒满足，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用斜率公式计算斜率，可得P的轨迹方程，即为椭圆C，从而可求椭圆的离心率．【解答】解：设P（x，y），则∴，即为P的轨迹方程∵椭圆C上异于A1，A2的点P恒满足，∴该方程即为椭圆C∴椭圆C的离心率为故选D．【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查恒成立问题，属于中档题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若椭圆的离心率为，则k的值为k=4或．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】若焦点在x轴上，则，若焦点在y轴上，则，由此能求出答案．【解答】解：若焦点在x轴上，则，解得k=4．若焦点在y轴上，则，解得k=﹣．故答案为：4或﹣．【点评】本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意焦点的位置，避免丢解．14．倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，则线段AB中点的轨迹方程是．【考点】轨迹方程；直线的倾斜角；中点坐标公式；椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），由题设条件知y1﹣y2=x1﹣x2．由中点坐标公式得x1+x2=2x，y1+y2=2y所以直线方程为x+4y=0，由此可知点M的轨迹方程为x+4y=0（﹣455＜x＜455）．【解答】解：设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则有，①，②①﹣②得（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0．③又直线AB的斜率k=tan=，∴y1﹣y2=x1﹣x2．④由中点坐标公式得x1+x2=2x，y1+y2=2y．⑤把④⑤代入到③中得x=﹣4y，∴直线方程为x+4y=0，由，x+4y=0，得x1=﹣，x2=．∴点M的轨迹方程为x+4y=0（﹣＜x＜）．答案：x+4y=0（﹣＜x＜）【点评】本题考查轨迹的求法和应用，解题时要认真审题，仔细解答．15．已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由渐近线方程得到双曲线的实半轴、虚半轴之间的关系，再由顶点到渐近线的距离为1，求出实半轴、虚半轴的长，进而写出双曲线方程．【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，∵两条渐近线方程为，∴=，其中一个顶点的坐标（a，0），此定点到渐近线x﹣3y=0 的距离为： =1，∴a=2，∴b=，∴所求双曲线的方程为：．【点评】本题考查双曲线的标准方程和性质，求出a和b的值，是解题的关键，属于中档题．16．求与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x﹣5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为﹣=1（x＞0）．【考点】圆的标准方程；圆的一般方程；双曲线的定义．【专题】计算题．【分析】由题意求出P到定点A、B的距离差是一个定值，在利用双曲线的定义求出轨迹方程．【解答】解：设所求圆P的半径为R，∵与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x﹣5）2+y2=1都外切∴|PA|=R+7，|PB|=R+1；∴|PA|﹣|PB|=6，∴由双曲线的定义知，圆心P的轨迹是以点A，B为焦点的双曲线的右支，∴a=3，c=5；∴b=4；圆心P的轨迹方程为﹣=1（x＞0）故答案为：﹣=1（x＞0）【点评】本题考查了两圆外切的定义和双曲线的定义，重点是利用圆锥曲线的定义求轨迹方程得方法，注意取值范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．某售报亭每天以每份0.6元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站．（1）若售报亭一天购进280份报纸，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量x的函数关系解析式；（2）售报亭记录了100天报纸的日需求量，整理得下表：日需求量x 240 250 260 270 280 290 300频数10 20 16 16 15 13 10①假设售报亭在这100天内每天都购进280份报纸，求这100天的日平均利润；②若售报亭一天购进280份报纸，以100天记录的各需求量的频率作为各销售发生的概率，求当天的利润不超过100元的概率．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据售报亭一天购进280份报纸，对当天需求量x进行讨论，即可得出函数解析式；（2）①利用表格数据，即可求这100天的日利润（单位：元）的平均数；②由①求概率，即可得出结论．【解答】解：（1）当x≥280时，y=280×（1﹣0.6）=112；当x＜280时，y=（1﹣0.6）x﹣（280﹣x）×（0.6﹣0.1）=0.9x﹣140∴y=，x∈N；（2）①这100天中，每天利润为76元的有10天，每天利润为85元的有20天，每天利润为150元的有16天，每天利润为94元的有16天，每天利润为112元的有38天，所以这100天的日利润的平均数为=98.68元；②利润不超过100元当且仅当报纸日需求量不大于260份，故当天的利润不超过100元的概率的概率为P=0.1+0.2+0.16=0.46．【点评】本题考查分段函数的应用，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．18．已知命题P：函数f（x）为（0，+∞）上单调减函数，实数m满足不等式f（m+1）＜f （3﹣2m）．命题Q：当x∈[0，]，函数m=sin2x﹣2sinx+1+a．若命题P是命题Q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】集合；简易逻辑．【分析】先根据已知条件求出命题P，Q下的m的取值范围：m，根据命题P是Q的充分不必要条件得到，从而求得a的取值范围．【解答】解：命题P：根据已知条件得：，解得，即m；命题Q：x，∴sinx∈[0，1]，m=sin2x﹣2sinx+1+a=（sinx﹣1）2+a；∴当sinx=1时，m取最小值a，当sinx=0时，m取最大值1+a，所以m∈[a，1+a]；∵命题P是Q的充分不必要条件，所以；∴，解得；∴．【点评】考查根据函数的单调性解不等式，配方法求二次函数的值域，子集的概念．19．从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图所示的频率分布直方图1，从左到右各组的频数依次记为A1、A2、A3、A4，A5．（1）求图1中a的值；（2）图2是统计图1中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果S；（3）从质量指标值分布在[80，90）、[110，120）的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；程序框图．【专题】图表型；概率与统计；算法和程序框图．【分析】解：（1）依题意，利用频率之和为1，直接求解a的值．（2）由频率分布直方图可求A1，A2，A3，A4，A5的值，由程序框图可得S=A2+A3+A4，代入即可求值．（3）记质量指标在[110，120）的4件产品为x1，x2，x3，x4，质量指标在[80，90）的1件产品为y1，可得从5件产品中任取2件产品的结果共10种，记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，可求事件A中包含的基本事件共4种，从而可求得P（A）．【解答】解：（1）依题意，（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1解得：a=0.005（2）A1=0.005×10×20=1，A2=0.040×10×20=8，A3=0.030×10×20=6，A4=0.020×10×20=4，A5=0.005×10×20=1故输出的S=A2+A3+A4=18（3）记质量指标在[110，120）的4件产品为x1，x2，x3，x4，质量指标在[80，90）的1件产品为y1，则从5件产品中任取2件产品的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，x4），（x1，y1），（x2，x3），（x2，x4），（x2，y1），（x3，x4），（x3，y1），（x4，y1）共10种，记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，则事件A中包含的基本事件为：（x1，y1），（x2，y1），（x3，y1），（x4，y1）共4种所以可得：P（A）==．即从质量指标值分布在[80，90）、[110，120）的产品中随机抽取2件产品，所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率为【点评】本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，属于中档题．20．实轴长为的椭圆的中心在原点，其焦点F1，，F2在x轴上．抛物线的顶点在原点O，对称轴为y轴，两曲线在第一象限内相交于点A，且AF1⊥AF2，△AF1F2的面积为3．（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点A作直线l分别与抛物线和椭圆交于B，C，若，求直线l的斜率k．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）设椭圆方程为，AF1=m，AF2=n，由题意知，由此能求出椭圆的方程和抛物线方程．（Ⅱ）设直线l的方程为，B（x1，y1），C（x2，y2）．由，得，联立直线与抛物线的方程，得，．联立直线与椭圆的方程，得．由此能求出直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为，AF1=m，AF2=n由题意知…解得c2=9，∴b2=12﹣9=3．∴椭圆的方程为…∵y A×c=3，∴y A=1，代入椭圆的方程得，将点A坐标代入得抛物线方程为x2=8y．…（Ⅱ）设直线l的方程为，B（x1，y1），C（x2，y2）由得，化简得…联立直线与抛物线的方程，得∴①…联立直线与椭圆的方程得∴②…∴整理得：∴，所以直线l的斜率为．…【点评】本题考查椭圆和抛物线的标准方程的求法和求直线l的斜率k．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆性质，合理地进行等价转化．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】压轴题．【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根与系数的关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答．22．已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线x2=8y 的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的共同特征．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．由此列式解出出a，b的值，即可得到椭圆C的方程．（Ⅱ）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得四边形APBQ的面积，从而解决问题．②设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得x1+2，同理PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），可得x2+2，从而得出AB的斜率为定值．【解答】解：（Ⅰ）设C方程为，则．由，得a=4∴椭圆C的方程为．…（Ⅱ）①解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t2﹣12=0由△＞0，解得﹣4＜t＜4…由韦达定理得x1+x2=﹣t，x1x2=t2﹣12．∴==．由此可得：四边形APBQ的面积∴当t=0，．…②解：当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）由（1）代入（2）整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0∴…同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），可得∴…所以AB的斜率为定值．…【点评】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．。

2015-2016年河北省衡水二中高二(上)期中数学试卷及参考答案(理科)

2015-2016学年河北省衡水二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）在复平面内复数z=（a＞0），已知|z|=1则=（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．13．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度4．（5分）不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）A．12种B．20种C．24种D．48种5．（5分）数学归纳法证明（n+1）•（n+2）•…•（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n=k到n=k+1左边需增加的乘积因式是（）A．2（2k+1）B．C．2k+1 D．6．（5分）△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）给出以下数阵，按各数排列规律，则n的值为（）A．66 B．256 C．257 D．3268．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．6 B．8 C．10 D．129．（5分）八人分乘三辆小车，每辆小车至少载1人最多载4人，不同坐法共有（）A．770种B．1260种C．4620种D．2940种10．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•a n=2n（n∈N*），则S2015=（）A．22015﹣1 B．21009﹣3 C．3×21007﹣3 D．21008﹣311．（5分）用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A．12 B．24 C．30 D．3612．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若函数（a为常数）在定义上为奇函数，则实数a等于．14．（5分）二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S．则四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W=．15．（5分）已知函数f（x）=，则=．16．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°（I）求证：PB⊥AD；（II）若PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20．（12分）设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数f（x）=x（x+a）﹣lnx，其中a为常数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）是区（，1）内的单调函数，求实数a的取值范围；（3）过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f（x）相切？请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））＜f （x）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年河北省衡水二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，得，解得a=1．∴z=a+（a﹣2）i=1﹣i．则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．2．（5分）在复平面内复数z=（a＞0），已知|z|=1则=（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1【解答】解：∵z=（a＞0），|z|=1，∴=1，∴a=1，∴z==i，∴=﹣i，故选：B．3．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选：B．4．（5分）不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）A．12种B．20种C．24种D．48种【解答】解：根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法，将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有2×C21=4种情况，若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法，则不同的排法共有2×2×（2+4）=24种情况；故选：C．5．（5分）数学归纳法证明（n+1）•（n+2）•…•（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n=k到n=k+1左边需增加的乘积因式是（）A．2（2k+1）B．C．2k+1 D．【解答】解：当n=k时，左边=（k+1）（k+2）…（k+k），当n=k+1时，左边=（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故选：A．6．（5分）△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若A，B，C成等差数列，则A+C=2B，∴B=60°，若，则sin（A+B）=，即sinAcosB+cosAsinB=，∴cosAsinB=cosAcosB，若cosA=0或tanB=，即A=90°或B=60°，∴角A，B，C成等差数列是成立的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）给出以下数阵，按各数排列规律，则n的值为（）A．66 B．256 C．257 D．326【解答】解：因为5=2×2+1，16=3×5+1，65=4×16+1，所以n=16×16+1=257，故选：C．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由几何体的三视图知：该几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边而得到的，由俯视图得长方体的长、宽分别是0.6+2.4=3和2，由正视图知长方体的高为1+1=2，∴长方体的体积V=3×2×2=12．9．（5分）八人分乘三辆小车，每辆小车至少载1人最多载4人，不同坐法共有（）A．770种B．1260种C．4620种D．2940种【解答】解：第一步分步：由题意把8人分为以下三组（1，3，4），（2，2，4），（2，3，3），分组的种数为C81C73++=280+210+280=770种，第二步，分配，每一种分法都有A33=6种，根据分步计数原理，共有770×6=4620种，故选：C．10．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•a n=2n（n∈N*），则S2015=（）A．22015﹣1 B．21009﹣3 C．3×21007﹣3 D．21008﹣3【解答】解：∵a1=1，a n+1•a n=2n，∴a2=2，∴当n≥2时，a n•a n﹣1=2n﹣1，∴==2，∴数列{a n}中奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2015=+=21009﹣3，故选：B．11．（5分）用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A．12 B．24 C．30 D．36【解答】解：先涂前三个圆，再涂后三个圆．因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，第一类，前三个圆用3种颜色，后三个圆也用3种颜色，若涂前三个圆用3种颜色，有A33=6种方法；则涂后三个圆也用3种颜色，有C21C21=4种方法，此时，故不同的涂法有6×4=24种．第二类，前三个圆用2种颜色，后三个圆也用2种颜色，若涂前三个圆用2种颜色，则涂后三个圆也用2种颜色，共有C31C21=6种方法．综上可得，所有的涂法共有24+6=30 种．故选：C．12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=0，g（﹣x）=x2f（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是R上的奇函数，∴g（x）是R上的增函数．由不等式g（x）＜g（1﹣3x），∴x＜1﹣3x，解得．∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集为：．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若函数（a为常数）在定义上为奇函数，则实数a等于±1．【解答】解：∵函数f（x）在定义上为奇函数∴f（﹣x）+f（x）=0，即f（﹣x）+f（x）===0，即（a2﹣1）（e x+e﹣x）=0解得a=±1，故答案为±1．14．（5分）二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S．则四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W=2πr4．【解答】解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；∴W=2πr4；故答案为：2πr415．（5分）已知函数f（x）=，则=．【解答】解：=dx+x2dx，因为dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，所以dx=×22π=π，x2dx=|=，所以=dx+x2dx=π+故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为﹣3．【解答】解：由图知方程f（x）=0有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，∴f（x）=x2（x+a），有，∴a=±3．又﹣a＞0⇒a＜0，得a=﹣3．故答案为：﹣3．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或x=3，故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，即f（x0）＜4m﹣2m2 有解，由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4m﹣2m2 ，求得﹣＜m＜．18．（12分）已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．【解答】解：（1）==．（3分）由得（5分）于是（k∈Z）因为所以（7分）（2）因为C∈（0，π），由（1）知．（9分）因为△ABC的面积为，所以，于是．①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b．由余弦定理得，所以a2+b2=7．②由①②可得或于是．（12分）由正弦定理得，所以．（14分）19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°（I）求证：PB⊥AD；（II）若PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．∵PA=PD=DA，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，∴△PAD和△ABD为两个全等的等边三角形，则PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE，…（3分）又PB⊂平面PBE，∴PB⊥AD；…（5分）（Ⅱ）解：在△PBE中，由已知得，PE=BE=，PB=，则PB2=PE2+BE2，∴∠PEB=90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD；以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E（0，0，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），则=（1，0，），=（﹣1，，0），由题意可设平面APD的一个法向量为=（0，1，0）；…（7分）设平面PDC的一个法向量为=（x，y，z），由得：，令y=1，则x=，z=﹣1，∴=（，1，﹣1）；则•=1，∴cos＜＞===，…（11分）由题意知二面角A﹣PD﹣C的平面角为钝角，所以，二面角A﹣PD﹣C的余弦值为﹣…（12分）20．（12分）设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵，∴n≥2时，，展开化简整理得，S n﹣S n =2S n﹣1S n，∴，∴数列{}是以2为公差﹣1的等差数列，其首项为．∴，．由已知条件可得．（2）由于，∴数列{b n}的前n项和，∴．21．（12分）已知函数f（x）=x（x+a）﹣lnx，其中a为常数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）是区（，1）内的单调函数，求实数a的取值范围；（3）过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f（x）相切？请说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a=﹣1时，f（x）=x（x﹣1）﹣lnx，则，∴（2x+1）（x﹣1）＞0，解得x＞1或，当（2x+1）（x﹣1）＜0时，得，又定义域为x∈（0，+∞），∴f（x）在区间（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．于是f（x）有极小值f（1）=0，无极大值．（2）易知，f（x）在区间内单调递增，所以由题意可得在内无解，即或f'（1）≤0，解得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．（3）设切点（t，t2+at﹣lnt），，∴切线方程为．∵切线过原点（0，0），∴，化简得t2﹣1+lnt=0（※）．设h（t）=t2﹣1+lnt（t＞0），则，所以h（t）在区间（0，+∞）内单调递增．又h（1）=0，故方程（※）有唯一实根t=1，从而满足条件的切线只有一条．22．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））＜f （x）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（1）f（x）=e x﹣ax﹣1，f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，则在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）不妨先证明0＜g（x）＜x （x＞0），即0＜ln（e x﹣1）﹣lnx＜x，先证ln（e x﹣1）﹣lnx＞0，即e x＞x+1，显然成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）再证ln（e x﹣1）﹣lnx＜x，只需证，e x﹣1＜xe x设h（x）=xe x﹣e x+1，则h′（x）=e x+xe x﹣e x=xe＞0，即h（x）＞h（0）=0，0＜g（x）＜x得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由当a≤0时，则f（x）在R上单调递增，可知，f（g（x））＜f（x），当0＜a≤1时，lna≤0，又f（x）在（lna，+∞）上单调递增，f（g（x））＜f（x）当a＞1时，f（x）在（0，lna）上单调递减，f（g（x））＞f（x）与条件不符．综上a≤1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）。

河北省衡水中学2016-2017学年高二上学期四调考试数学(理)试题-bae67ffb02594077b6a83ee2436f8228

…○………学校:______…○………绝密★启用前河北省衡水中学2016-2017学年高二上学期四调考试数学（理)试题试卷副标题注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题 1．的值等于（） A ．7351 B ．7355 C ．7513 D ．7315 2．已知椭圆的离心率为 ,则实数等于（） A ．2 B ．2或 C ．2或6 D ．2或8. 3．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 4．、、、、、 6个同学和1个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，，和，同学分别穿着白色和黑色文化衫，和分别穿着红色和橙色的文化衫，若老师站中间，穿着白色文化衫的不相邻，则不同的站法种数为（） A ．72 B ．112 C ．160 D ．192 5．以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线，其左、右焦点分别是，…………○…※※在※※装※※订…………○… ，已知点坐标为，双曲线上点在第一象限，满足，则（） A ． B ． C ． D ． 6．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（） A ．150种 B ．180种 C ．240种 D ．540种 7．若，均为非负整数，在做的加法时各位均不进位（例如，），则称为“简单的”有序对，而称为有序数对的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是（）A ．100B ．150C ．200D ．3008．我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉）一书中有关于三阶幻方的问题：将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等（如图所示），我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是（）A ．9B ．8C ．6D ．49．长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为A ．B ．C ．D ．10．自圆：外一点引该圆的一条切线，切点为，切线的长度等于点到原点的长，则的最小值为（）A ．B ．C ．4D ．11．设双曲线，的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题12．已知命题：，，命题：，，若“”为假命题，则实数的取值范围为__________．13．设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为__________．14．我校有4名青年教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，则恰有1道题没有被这4位选中的情况共__________种．15．在直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，点是准线上任一点，准线交抛物线于，两点，若，则的面积__________．三、解答题16．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）求值．17．已知动圆与定圆内切，与直线相切.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；（Ⅱ）若是上述轨迹上一点，求到点距离的最小值．18．在直角坐标系中，曲线：与直线（）交于，两点．（1）当时，分别求在点和处的切线方程；（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．19．已知抛物线，是焦点，直线是经过点的任意直线．（Ⅰ）若直线与抛物线交于、两点，且（是坐标原点，是垂足），求动点的轨迹方程；（Ⅱ）若、两点在抛物线上，且满足，求证：直线必过定点，并求出定点的坐标．20．(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知抛物线2:4C y x=的焦点为F，过点(1,0)K-的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D . （Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设89FA FB=，求BDK∆的内切圆M的方程.21．已知椭圆：（）的两个焦点为，，离心率为，点，在椭圆上，在线段上，且的周长等于．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过圆：上任意一点作椭圆的两条切线和与圆交于点，，求面积的最大值．参考答案1．D【解析】原式等于，故选D.2．D【解析】若焦点在轴时，，根据，即，焦点在轴时，，即，所以等于或8，故选D.3．C【解析】试题分析：：∵甲组学生成绩的平均数是88，∴由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92=88×7，∴m=3又乙组学生成绩的中位数是89，∴n=9，∴m+n=12考点：茎叶图4．D【解析】共有7个位置，老师坐中间，两边各三个座位，两位穿白色文化衫的同学不占老师两边，且他俩不能相临，所以他俩有种方法，其他没有限制，所以共有种方法，故选D.5．A【解析】由题意可得双曲线方程为，已知中的，表示在方向上的投影，表示在方向上的投影，即表示投影相等，根据平面几何可知是的角平分线，设为的内心，轴，由角平分线定理可知，即是双曲线的右顶点，即所在的直线方程为，所以点重合，点就是的内心，，故选A.【点睛】本题以向量为背景，考查了双曲线的几何性质以及三角形的内心等知识，考查了转化与化归的能力，知识的考查综合性比较强，属于难题，向量的数量积有一条性质，设是两个不共线的向量，是与同方向的单位向量，则，表示在方向上的投影，这样转化为平面几何的知识，再和双曲线的定义相结合，从而确定点的位置，突破难点，才能为求面积扫平障碍. 6．A【解析】试题分析：先将5个人分成三组, ()3,1,1或()1,2,2,分组方法有22314255252C C C C +=中,再将三组全排列有336A =种,故总的方法数有256150⋅=种.考点：排列组合.【方法点晴】平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以n n A 其中n 为均分的组数,这是为了避免重复计数.非平均分组问题无分配对象，只要按比例分完，再用乘法计数原理来计算.非平均分组有分配对象，要把组数当作元素个数再做排列.分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列.7．D【解析】根据题意可得，1942为两个数的和（加法时各位均不进位），其中一个数确定，另一个数也确定，所以首位有0,1两种方法，第二位有0，1，2，3，4，5，6,7,8,9 共9种方法，第三位有0,1,2,3,4共5种方法，个位有0,1,2有3种方法，采用分步计数原理，所以共有个，故选D.8．B【解析】因为所有数的和为，，所以每行每列，以及对角线的和都是15，采用列举法：492、357、816；276、951、438；294、753、618；438、951、276；816、357、492；618、753、294；672、159、834；834、159、672.共8种方法，故选B.【点睛】高考已说明加强数学史等知识的考查，所以对于数学史书的数学问题，也会是高考的热点，本题考了计数问题，首先如题设分析，每行每列的所有书的和都是15，然后列举所有3个数的和为15的组合情况，168,159,249，258，267，348，357，456共8种情况，含5的有5个，所以5放中间，含2,4,6,8的都3个，所以放在四个角处，并且456,258分占两条对角线，再用列举法就比较简单了，总之，审题要清楚，并且能抽象为一个什么数学问题，当解决问题时，计算准确.9．A【解析】试题分析：设小典到校的时间为，小方到校的时间为，可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为是一个矩形区域，对应的面积为，则小张比小王至少早5分钟到校事件作出符合题意的图像，则符合题意的区域为，联立，得，联立，得，则．由几何概型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为，故选A．考点：几何概型．【方法点睛】求几何概型，一般先要求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件构成区域长度（面积或体积），最后再代入几何概型的概率公式求解；求几何概型概率时，一定要分清“试验”和“事件”，这样才能找准基本事件构成的区域长度（面积或体积）．10．D【解析】，，，根据，化简得，即点在直线上，那么的最小值就是原点到直线的距离，，而，所以的最小值就是，故选D.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，但先求动点轨迹，再转化为求原点到直线的距离，意在考查转化划归能力及运算能力，点在直线外时，点到直线的距离是点和直线上其他点的距离的最小值，点在圆外时，点和圆上的点的连线的最大值是点到圆心的距离加半径，最小值是点和圆心的距离减半径，总之，再考查点，直线，圆的位置关系时，要充分利用数形结合来转化为熟悉的最值的求法.11．A【解析】试题分析：直线的方程为，与双曲线渐近线的交点为，与双曲线在第一象限的交点为，所以，，由得，解之得，所以，，故选A.考点：双曲线几何性质、向量运算.12．【解析】；，若为假，那么都是，所以，区间为，故填：.假，即或13．130【解析】最少有2个零，最多有4个零，所以当有2个零时，另外三个元素是-1或1，有种，当有3个零时，另外2个元素是-1或1，有种方法，当有4个零时有种方法，所以元素个数为130，故填：130.14．144【解析】四道题选了3道题，说明有两个人是答同一道题，所以共有种方法，故填：144.15．【解析】设，又,由，可得，解得，那么，设，则直线的方程为，由，消去得到，，所以，那么的面积为，故填：.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系问题，根据抛物线的几何性质或是联立方程求得根与系数的关系，解决抛物线内的面积问题，除了本题的方法，也可将条件，转化为几何关系，利用抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，以及平行线段比例的知识得到点的纵坐标，求得面积. 16．（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据排列数的阶乘公式得到，转化为关于的二次方程；（Ⅱ）根据上下标的大小关系得到的可能取值，代入求得组合数的值.试题解析：（Ⅰ）原不等式可化为，∴，即，∴，又∵且，∴，∴，又，∴．（Ⅱ）由组合数的定义知∴．又，∴，，，当时，原式；当时，原式；当时，原式．17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）设动圆圆心，那么动圆圆心到直线的距离和到定圆圆心的距离相等，得到圆心的轨迹方程；（Ⅱ）根据两点间距离得到，根据（Ⅰ）的结论可知函数的定义域，所以讨论对称轴和定义域的关系，得到函数的最小值.试题分析：（Ⅰ）设动圆的圆心，∵动圆与定圆内切，与直线相切，∴，化简得．（Ⅱ）设，则，∴．当时，时上式取得最小值，即取得最小值；当时，时上式取得最小值，即取得最小值．∴18．（1）和；（2），理由见解析．【解析】试题分析：（1）由题设可得，或，，利用导数求斜率，即可写出切线方程；（2）为符合题意的点，，，直线，的斜率分别为，．将代入的方程整理得．∴，．∴，当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补．试题解析：（1）由题设可得，或，．∵，故在处的导数值为，在处的切线方程为，即．故在处的导数值为，在处的切线方程为，即．故所求切线方程为或．（2）存在符合题意的点，证明如下：设为符合题意的点，，，直线，的斜率分别为，．将代入的方程整理得．∴，．∴．当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，故，所以符合题意．考点：1．过抛物线上一点的切线；2．直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点晴】本题主要考查的是过抛物线上一点的切线，以及直线与圆锥曲线的位置关系，直线的斜率公式、直线的倾斜，属于中档题．求切线时要结合函数的导数，求出直线的斜率，写出过该点的切线方程，当涉及直线的倾斜角互补问题时，解题时一定要注意转化为直线的斜率互为相反数，通过直线与圆锥曲线的位置关系来解．19．所求动点M的轨迹方程是()．直线CD的方程可化为．直线CD恒过定点，且定点坐标为(2，0)．【解析】(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．解(1) 设动点M的坐标为．…………………1分∵抛物线的焦点是，直线l恒过点F，且与抛物线交于两点A、B，又，∴．…………………3分∴，化简，得．…………………5分又当M与原点重合时，直线l与x轴重合，故．∴所求动点M的轨迹方程是()．(2) 设点C、D的坐标为、．…………………………6分∵C、D在抛物线上，∴，，即，．又，∴，即，解得．………8分∵点C、D的坐标为、，∴直线CD的一个法向量是，可得直线CD的方程为：，化简，得，进一步用、分别替换、，有．又抛物线上任两点的纵坐标都不相等，即． ∴直线CD 的方程可化为． ………………………10分∴直线CD 恒过定点，且定点坐标为(2，0)． ………………………12分 20．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）2214()99x y -+=【解析】本题主要考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系、对称性、圆的方程、平面向量的数量积，以及考查逻辑思维能力、运算能力、分析与解决问题的综合能力，同时考查方程的思想、数形结合的思想.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，11(,)D x y -，l 的方程为1(0)x my m =-≠. （Ⅰ）将1x my =-代人24y x =并整理得2440y my -+=，从而 12124, 4.y y m y y +== 直线BD 的方程为 212221()y y y y x x x x +-=⋅--，即 222214()4y y y x y y -=⋅--令120, 1.4y y y x ===得所以点(1,0)F 在直线BD 上（Ⅱ）由①知，21212(1)(1)42x x my my m +=-+-=-1212(1)(1) 1.x x my my =--=因为 11(1,),FA x y =-uu r 22(1,)FB x y =-uu r，212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ⋅=--+=-+++=-u u r u u r故 28849m -=，解得 43m =± 所以l 的方程为3430,3430x y x y ++=-+= 又由①知21y y -==故直线BD的斜率214y y =- 因而直线BD的方程为330,330.x x +-=-=因为KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心(,0)(11)M t t -<<，(,0)M t 到l 及BD 的距离分别为3131,54t t +-. 由313154t t +-=得19t =，或9t =（舍去），故圆M 的半径31253t r +==. 所以圆M 的方程为2214()99x y -+=. 21．（1）；（2）取最大值 .【解析】试题分析：（1）由的周长为可得，由离心率得，进而的椭圆的标准方程；（2）先根据韦达定理证明两切斜线斜率积为，进而得两切线垂直，得线段为圆的直径，，然后根据不等式及圆的几何意义求的最大值．试题解析：（1）由的周长为，得，，由离心率，得，．所以椭圆的标准方程为：．（2）设，则．（ⅰ）若两切线中有一条切线的斜率不存在，则，，另一切线的斜率为0，从而．此时，．（ⅱ）若切线的斜率均存在，则，设过点的椭圆的切线方程为，代入椭圆方程，消并整理得：．依题意，．设切线，的斜率分别为，，从而，即．线段为圆的直径，．所以，当且仅当时，取最大值4．由（ⅰ）（ⅱ）可得：最大值是4．考点：1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、圆锥曲线最值问题．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题．解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的．。

河北省衡水中学2016-2017学年高二上学期四调考试数学(理)试题-f817d93918194717b8b599fecfb6104d

…○………学校:______…○………绝密★启用前河北省衡水中学2016-2017学年高二上学期四调考试数学（理)试题试卷副标题注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题 1．的值等于（） A ．7351 B ．7355 C ．7513 D ．7315 2．已知椭圆的离心率为 ,则实数等于（） A ．2 B ．2或 C ．2或6 D ．2或8. 3．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 4．、、、、、 6个同学和1个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，，和，同学分别穿着白色和黑色文化衫，和分别穿着红色和橙色的文化衫，若老师站中间，穿着白色文化衫的不相邻，则不同的站法种数为（） A ．72 B ．112 C ．160 D ．192 5．以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线，其左、右焦点分别是，…………○…※※在※※装※※订…………○… ，已知点坐标为，双曲线上点在第一象限，满足，则（） A ． B ． C ． D ． 6．将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（） A ．150种 B ．180种 C ．240种 D ．540种 7．若，均为非负整数，在做的加法时各位均不进位（例如，），则称为“简单的”有序对，而称为有序数对的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是（）A ．100B ．150C ．200D ．3008．我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉）一书中有关于三阶幻方的问题：将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等（如图所示），我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是（）A ．9B ．8C ．6D ．49．长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为A ．B ．C ．D ．10．自圆：外一点引该圆的一条切线，切点为，切线的长度等于点到原点的长，则的最小值为（）A ．B ．C ．4D ．11．设双曲线，的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题12．已知命题：，，命题：，，若“”为假命题，则实数的取值范围为__________．13．设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为__________．14．我校有4名青年教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，则恰有1道题没有被这4位选中的情况共__________种．15．在直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，点是准线上任一点，准线交抛物线于，两点，若，则的面积__________．三、解答题16．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）求值．17．已知动圆与定圆内切，与直线相切.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；（Ⅱ）若是上述轨迹上一点，求到点距离的最小值．18．在直角坐标系中，曲线：与直线（）交于，两点．（1）当时，分别求在点和处的切线方程；（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．19．已知抛物线，是焦点，直线是经过点的任意直线．（Ⅰ）若直线与抛物线交于、两点，且（是坐标原点，是垂足），求动点的轨迹方程；（Ⅱ）若、两点在抛物线上，且满足，求证：直线必过定点，并求出定点的坐标．20．(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知抛物线2:4C y x=的焦点为F，过点(1,0)K-的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D . （Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设89FA FB=，求BDK∆的内切圆M的方程.21．已知椭圆：（）的两个焦点为，，离心率为，点，在椭圆上，在线段上，且的周长等于．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过圆：上任意一点作椭圆的两条切线和与圆交于点，，求面积的最大值．参考答案1．D【解析】原式等于，故选D.2．D【解析】若焦点在轴时，，根据，即，焦点在轴时，，即，所以等于或8，故选D.3．C【解析】试题分析：：∵甲组学生成绩的平均数是88，∴由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92=88×7，∴m=3又乙组学生成绩的中位数是89，∴n=9，∴m+n=12考点：茎叶图4．D【解析】共有7个位置，老师坐中间，两边各三个座位，两位穿白色文化衫的同学不占老师两边，且他俩不能相临，所以他俩有种方法，其他没有限制，所以共有种方法，故选D.5．A【解析】由题意可得双曲线方程为，已知中的，表示在方向上的投影，表示在方向上的投影，即表示投影相等，根据平面几何可知是的角平分线，设为的内心，轴，由角平分线定理可知，即是双曲线的右顶点，即所在的直线方程为，所以点重合，点就是的内心，，故选A.【点睛】本题以向量为背景，考查了双曲线的几何性质以及三角形的内心等知识，考查了转化与化归的能力，知识的考查综合性比较强，属于难题，向量的数量积有一条性质，设是两个不共线的向量，是与同方向的单位向量，则，表示在方向上的投影，这样转化为平面几何的知识，再和双曲线的定义相结合，从而确定点的位置，突破难点，才能为求面积扫平障碍. 6．A【解析】将位同学分为三组有两种分法：与，因此位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这所大学就读，则每所大学至少保送人的不同保送方法数为，故选A.7．D【解析】根据题意可得，1942为两个数的和（加法时各位均不进位），其中一个数确定，另一个数也确定，所以首位有0,1两种方法，第二位有0，1，2，3，4，5，6,7,8,9 共9种方法，第三位有0,1,2,3,4共5种方法，个位有0,1,2有3种方法，采用分步计数原理，所以共有个，故选D.8．B【解析】因为所有数的和为，，所以每行每列，以及对角线的和都是15，采用列举法：492、357、816；276、951、438；294、753、618；438、951、276；816、357、492；618、753、294；672、159、834；834、159、672.共8种方法，故选B.【点睛】高考已说明加强数学史等知识的考查，所以对于数学史书的数学问题，也会是高考的热点，本题考了计数问题，首先如题设分析，每行每列的所有书的和都是15，然后列举所有3个数的和为15的组合情况，168,159,249，258，267，348，357，456共8种情况，含5的有5个，所以5放中间，含2,4,6,8的都3个，所以放在四个角处，并且456,258分占两条对角线，再用列举法就比较简单了，总之，审题要清楚，并且能抽象为一个什么数学问题，当解决问题时，计算准确.9．A【解析】试题分析：设小典到校的时间为，小方到校的时间为，可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为是一个矩形区域，对应的面积为，则小张比小王至少早5分钟到校事件作出符合题意的图像，则符合题意的区域为，联立，得，联立，得，则．由几何概型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为，故选A．考点：几何概型．【方法点睛】求几何概型，一般先要求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件构成区域长度（面积或体积），最后再代入几何概型的概率公式求解；求几何概型概率时，一定要分清“试验”和“事件”，这样才能找准基本事件构成的区域长度（面积或体积）．10．D【解析】，，，根据，化简得，即点在直线上，那么的最小值就是原点到直线的距离，，而，所以的最小值就是，故选D.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，但先求动点轨迹，再转化为求原点到直线的距离，意在考查转化划归能力及运算能力，点在直线外时，点到直线的距离是点和直线上其他点的距离的最小值，点在圆外时，点和圆上的点的连线的最大值是点到圆心的距离加半径，最小值是点和圆心的距离减半径，总之，再考查点，直线，圆的位置关系时，要充分利用数形结合来转化为熟悉的最值的求法.11．A【解析】试题分析：直线的方程为，与双曲线渐近线的交点为，与双曲线在第一象限的交点为，所以，，由得，解之得，所以，，故选A.考点：双曲线几何性质、向量运算.12．【解析】；，若为假，那么都是假，即，所以，区间为，故填：.或13．130【解析】最少有2个零，最多有4个零，所以当有2个零时，另外三个元素是-1或1，有种，当有3个零时，另外2个元素是-1或1，有种方法，当有4个零时有种方法，所以元素个数为130，故填：130.14．144【解析】四道题选了3道题，说明有两个人是答同一道题，所以共有种方法，故填：144.15．【解析】设，又,由，可得，解得，那么，设，则直线的方程为，由，消去得到，，所以，那么的面积为，故填：.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系问题，根据抛物线的几何性质或是联立方程求得根与系数的关系，解决抛物线内的面积问题，除了本题的方法，也可将条件，转化为几何关系，利用抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，以及平行线段比例的知识得到点的纵坐标，求得面积. 16．（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据排列数的阶乘公式得到，转化为关于的二次方程；（Ⅱ）根据上下标的大小关系得到的可能取值，代入求得组合数的值.试题解析：（Ⅰ）原不等式可化为，∴，即，∴，又∵且，∴，∴，又，∴．（Ⅱ）由组合数的定义知∴．又，∴，，，当时，原式；当时，原式；当时，原式．17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）设动圆圆心，那么动圆圆心到直线的距离和到定圆圆心的距离相等，得到圆心的轨迹方程；（Ⅱ）根据两点间距离得到，根据（Ⅰ）的结论可知函数的定义域，所以讨论对称轴和定义域的关系，得到函数的最小值.试题分析：（Ⅰ）设动圆的圆心，∵动圆与定圆内切，与直线相切，∴，化简得．（Ⅱ）设，则，∴．当时，时上式取得最小值，即取得最小值；当时，时上式取得最小值，即取得最小值．∴18．（1）和；（2），理由见解析．【解析】试题分析：（1）由题设可得，或，，利用导数求斜率，即可写出切线方程；（2）为符合题意的点，，，直线，的斜率分别为，．将代入的方程整理得．∴，．∴，当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补．试题解析：（1）由题设可得，或，．∵，故在处的导数值为，在处的切线方程为，即．故在处的导数值为，在处的切线方程为，即．故所求切线方程为或．（2）存在符合题意的点，证明如下：设为符合题意的点，，，直线，的斜率分别为，．将代入的方程整理得．∴，．∴．当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，故，所以符合题意．考点：1．过抛物线上一点的切线；2．直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点晴】本题主要考查的是过抛物线上一点的切线，以及直线与圆锥曲线的位置关系，直线的斜率公式、直线的倾斜，属于中档题．求切线时要结合函数的导数，求出直线的斜率，写出过该点的切线方程，当涉及直线的倾斜角互补问题时，解题时一定要注意转化为直线的斜率互为相反数，通过直线与圆锥曲线的位置关系来解．19．所求动点M 的轨迹方程是 ( )．直线CD 的方程可化为．直线CD 恒过定点，且定点坐标为(2，0)．【解析】(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．解 (1) 设动点M 的坐标为． …………………1分∵抛物线的焦点是，直线l 恒过点F ，且与抛物线交于两点A 、B ，又， ∴． …………………3分∴ ，化简，得． …………………5分又当M 与原点重合时，直线l 与x 轴重合，故． ∴所求动点M 的轨迹方程是 ( )．(2) 设点C 、D 的坐标为、． …………………………6分 ∵C 、D 在抛物线上， ∴ ，，即，．又，∴ ，即，解得． ………8分∵点C 、D 的坐标为、，∴直线CD 的一个法向量是，可得直线CD 的方程为：，化简，得，进一步用、分别替换、，有．又抛物线上任两点的纵坐标都不相等，即． ∴直线CD 的方程可化为． ………………………10分∴直线CD 恒过定点，且定点坐标为(2，0)． ………………………12分 20．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）2214()99x y -+=【解析】本题主要考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系、对称性、圆的方程、平面向量的数量积，以及考查逻辑思维能力、运算能力、分析与解决问题的综合能力，同时考查方程的思想、数形结合的思想.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，11(,)D x y -，l 的方程为1(0)x my m =-≠. （Ⅰ）将1x my =-代人24y x =并整理得2440y my -+=，从而 12124, 4.y y m y y +== 直线BD 的方程为 212221()y y y y x x x x +-=⋅--，即 222214()4y y y x y y -=⋅--令120, 1.4y y y x ===得所以点(1,0)F 在直线BD 上（Ⅱ）由①知，21212(1)(1)42x x my my m +=-+-=-1212(1)(1) 1.x x my my =--=因为 11(1,),FA x y =-uu r 22(1,)FB x y =-uu r，212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ⋅=--+=-+++=-u u r u u r故 28849m -=，解得 43m =± 所以l 的方程为3430,3430x y x y ++=-+= 又由①知21y y -==故直线BD的斜率214y y =-因而直线BD 的方程为330,330.x x +-=-=因为KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心(,0)(11)M t t -<<，(,0)M t 到l 及BD 的距离分别为3131,54t t +-. 由313154t t +-=得19t =，或9t =（舍去），故圆M 的半径31253t r +==. 所以圆M 的方程为2214()99x y -+=. 21．（1）；（2）取最大值 . 【解析】试题分析：（1）由的周长为可得，由离心率得，进而的椭圆的标准方程；（2）先根据韦达定理证明两切斜线斜率积为，进而得两切线垂直，得线段为圆的直径，，然后根据不等式及圆的几何意义求的最大值．试题解析：（1）由的周长为，得，，由离心率，得，．所以椭圆的标准方程为：．（2）设，则．（ⅰ）若两切线中有一条切线的斜率不存在，则，，另一切线的斜率为0，从而．此时，．（ⅱ）若切线的斜率均存在，则，设过点的椭圆的切线方程为，代入椭圆方程，消并整理得：．依题意，．设切线，的斜率分别为，，从而，即．线段为圆的直径，．所以，当且仅当时，取最大值4．由（ⅰ）（ⅱ）可得：最大值是4．考点：1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、圆锥曲线最值问题．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题．解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的．。

河北省高二上学期期中数学试卷(理科)D卷

河北省高二上学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·黑龙江期中) 在锐角△ABC中，AC=6，B=2A，则BC的取值范围为（）A . （3，3 ）B . （2 ，3 ）C . （3 ，+∞）D . （0，3 ）2. （2分）已知数列对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq ，且a2＝－6，那么a10＝（）A . －165B . －33C . －30D . －213. （2分）已知等比数列的公比为正数，且=，=1，则= （）A .B .C .D . 24. （2分） (2016高二上·宁县期中) 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn ，且 =，则为（）A .B .C .D .5. （2分）(2016·安徽模拟) 已知是夹角为60°的两个单位向量，则“实数k=4”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 充要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）定义在R上的函数满足，为函数的导函数，已知的图像如图所示，若两个正数满足，则的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二上·阳东期中) 已知a+b＞0，b＜0，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（）A . a＞b＞﹣b＞﹣aB . a＞﹣b＞﹣a＞bC . a＞﹣b＞b＞﹣aD . a＞b＞﹣a＞﹣b8. （2分）在△ABC中，若，则△ABC是（）A . 等边三角形B . 等腰三角形C . 锐角三角形D . 直角三角形9. （2分）(2018·衡水模拟) 已知等差数列的前项和为，，，数列满足，，设，则数列的前11项和为（）A . 1062B . 2124C . 1101D . 110010. （2分）已知正实数数列中，，则等于（）A . 16B . 8C .D . 411. （2分） (2017高一下·河北期末) 以下列函数中，最小值为2的是（）A . y=x+B . y=3x+3﹣xC . y=1gx+ （0＜x＜1）D . y=sinx+ （0＜x＜）12. （2分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（3﹣x）=f（x），则f（2019）=（）A . ﹣3B . 0C . 1D . 3二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）设是等差数列的前n项和，若，则 ________．14. （1分）(2020·淮南模拟) 若实数，满足，且的最小值为1，则实数的值为________15. （2分）设二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜ }，则a=________，b=________．16. （1分）△ABC中，， BC=3，AB=，则∠C=________三、解答题： (共6题；共50分)17. （10分） (2017高一下·芮城期末) 设函数，（1）解关于的不等式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；18. （5分）(2017·广元模拟) 如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A= ，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．19. （5分） (2017高一下·黄山期末) 已知等差数列{an}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求{an}前n项和sn ．20. （10分） (2016高二上·翔安期中) 已知数列{an}是等比数列，a1=2，a3=18．数列{bn}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设Pn=b1+b4+b7+…+b3n﹣2，Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8，其中n=1，2，3，…．试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论．21. （10分） (2019高一下·哈尔滨月考)（1）若a＞0，b＞0，且，求a+b的最小值；（2）若k为（1）中a+b的最小值，且a，b，c满足a2+b2+c2＝k，求证： .22. （10分） (2016高一下·成都期中) 已知数列{an}中的前n项和为Sn= ，又an=log2bn ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、答案：略3-1、4-1、5-1、答案：略6-1、答案：略7-1、答案：略8-1、答案：略9-1、10-1、11-1、答案：略12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共50分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、19-1、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、21-2、22-1、答案：略22-2、答案：略。

精选题库2017年河北省衡水中学高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

A．（0， ] B．（，2] C．（，2 ] D．（ 2， 4] 7．（ 5 分）数列 { an} 中，对任意 n∈N*，a1+a2+…+an=2n﹣1，则 a12+a22+…+an2 等于（）
A．（2n﹣1）2 B．
C． 4n﹣1 D．
8．（5 分）已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）
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∴ =4n﹣1．
∴ a12+a22+…+an2=
=
．
故选： D．
8．（5 分）已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）
A．2 B．
C． D．
【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，其直观图如图：四棱锥的一个侧面 SAB与底面 ABCD垂直，过 S 作 SO⊥AB，垂足为 O， ∴ SO⊥底面 ABCD， SO=2× ，
第 2 页（共 27 页）
A．2 B．
C． D．
9．（5 分）设函数 f（x）=Asin（ ωｘ+φ）（A，ω， φ是常数， A＞0，ω＞0），且函
数 f（ x）的部分图象如图所示，则有（
）
A．f （﹣ ）＜ f （）＜ f （） B．f （﹣ ）＜ f （）＜ f（）
C．f （）＜ f（）＜ f（﹣ ） D．f（）＜ f（﹣ ）＜ f（）
5．（5 分）给出计算
的值的一个程序框图如图，其中判断框内
第 8 页（共 27 页）
应填入的条件是（
）
A．i＞10 B．i＜10 C．i＞ 20 D．i＜ 20 【解答】解：根据框图， i﹣1 表示加的项数当加到时，总共经过了 10 次运算，则不能超过 10 次， i﹣1=10 执行 “是” 所以判断框中的条件是 “＞ｉ10” 故选： A．

衡水市冀州中学2016-2017学年高二上学期第五次月考数学试卷(理科) 含解析

2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第五次月考数学试卷（理科）一、选择题:本大题共13个小题，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛x｜x(x﹣3)＜0｝,则A∩B=（）A．{0，1，2，3} B．｛0,1,2} C．｛1，2｝D．｛1，2,3｝2．已知向量=（2，m），=（1，﹣2）若•（﹣2)=2+m2，则实数m等于（)A．B． C．D．3．下列函数中,最小正周期为π，且图象关于直线对称的是（）A．B．C．D．4．已知双曲线经过点(6，）,且它的两条渐近线的方程是y=，那么此双曲线的方程是（）A． B．C． D．5．若实数x，y满足条件则z=﹣的最大值为( ）A．﹣B．﹣ C．﹣ D．﹣16．“m"是“函数f（x）=2的值不小于4"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知，且，则tanα=（）A．B． C．D．8．已知A（4,0），B（2，2）为椭圆+=1内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|+|MB｜的最小值是（）A．10+2B．10+ C．10﹣2D．10﹣9．若“∀x∈（0,+∞），x+≥a"与“∃x∈R,x2+2x+a=0”都是真命题，则a的取值范围是（）A．a≤4 B．a≤1 C．1≤a≤4 D．∅10．函数y=f′（x）是函数y=f(x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线为l：y=g（x）=f′(x0)（x﹣x0）+f(x0)，F（x)=f（x)﹣g（x)，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象如图所示,且a＜x0＜b,那么（）A．F′（x0)=0,x=x0是F（x）的极大值点B．F′（x0）=0,x=x0是F（x）的极小值点C．F′（x0）≠0,x=x0不是F（x)极值点D．F′（x0）≠0，x=x0是F(x)极值点11．设A，B在圆x2+y2=1上运动,且｜AB|=,点P在直线3x+4y﹣12=0上运动，则｜+|的最小值为（）A．3 B．4 C．D．12．已知双曲线C：﹣=1(a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）,M、N在双曲线C上，O是坐标原点,若四边形OFMN为平行四边形,且四边形OFMN的面积为cb，则双曲线C的离心率为( ）A．B．2 C．2D．213．已知函数f(x）=﹣x2﹣6x﹣3，g（x）=，实数m，n满足m ＜n＜0,若∀x1∈［m，n］，∃x2∈（0，+∞），使得f(x1）=g（x2）成立，则n﹣m的最大值为（）A．4 B．2C．4D．2二、填空题(每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上）14．G（x)表示函数y=2cosx+3的导数,在区间上，随机取值a,G(a）＜1的概率为．15．已知等比数列{a n}的各项均为正数,且a2=2，a4=8,则S6= ．16．= ．17．已知函数f(x)=x(e x﹣e﹣x）﹣（2x﹣1)(e2x﹣1﹣e1﹣2x），则满足f（x）＞0的实数x的取值范围为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

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2016-2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）若以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（）A．B．1 C．D．23．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x4．（5分）已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）5．（5分）抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1） B．（）C．D．（2，4）6．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∃n ∉N*，f（n）＞n7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．（5分）焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0 11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=x12．（5分）设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是．14．（5分）已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为．15．（5分）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．16．（5分）给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）若∠F 1MF2=90°，则S=32；（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；其中正确命题的序号是：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示．（1）求甲班的平均分；（2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率．18．（12分）在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a值及这100名考生的平均成绩；（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m 的值．20．（12分）F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足=+．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．21．（12分）已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A．2．（5分）若以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（）A．B．1 C．D．2【解答】解：由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，∴（1﹣c，）•（1+c，）=0，∴1﹣c2+2=0，∴c=，∵a=，∴b=1．故选：B．3．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【解答】解：∵双曲线的离心率是，∴e==，即==1+（）2=，即（）2=﹣1=，则=，即双曲线的渐近线方程为y═±x=±x，故选：C．4．（5分）已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）【解答】解：对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，因此存在x=0，1∈N，使得x2﹣x﹣1≤0成立，因此是真命题．∴下列选项中是假命题的为p∧（￢q），故选：B．5．（5分）抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1） B．（）C．D．（2，4）【解答】解：设抛物线y=x2上一点为A（x0，），点A（x0，）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==，∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短．故选：A．6．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∃n ∉N*，f（n）＞n【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式：∃n∈N*，f（n）＞n．故选：C．7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．【解答】解：，过焦点F且倾斜角为的直线方程为：，设A （x1，y1），B（x2，y2）；由得，y2﹣2py﹣p2=0；∴y1+y2=2p，x1+x2=3p；∴弦AB的中点坐标为；弦AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣x，弦AB的中点在该直线上；∴；解得．故选：C．8．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，椭圆（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x于椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是菱形，∴BC⊥AF，2m=a﹣c，则m=（a﹣c），将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴n2=b2，则不妨设B（（a﹣c），b），再代入椭圆方程得，+=1，化简得=，由e=，即有4e2﹣8e+3=0，解得e=或（舍去）．故选：D．9．（5分）焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由椭圆的性质可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，S ABC=AB•OC=•2c•b=bc，S ABC=（a+a+2c）•r=•（2a+2c）×=，∴=bc，a=2c，由e==，故选：C．10．（5分）以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0【解答】解：A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，B．由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2，即“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为“在△ABC中，若sinA ＞sinB，则A＞B，若sinA＞sinB，由正弦定理得a＞b，即等价为A＞B，即逆否命题为真命题，故C 判断错误．D．命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0，正确，故选：C．11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=x【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为（，0），准线方程为x=﹣，双曲线x2﹣=1的渐近线方程为y=x，由于过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，不妨设直线AB为y=（x﹣），设A（x0，y0），∴|AF|=x0+，∵|AF|＞|BF|，且|AF|=2，∴x0=2﹣，x0＞，∴0＜p＜2∴y0=（2﹣p），∴3（2﹣p）2=2p（2﹣），整理得p2﹣4p+3=0，解的p=1或p=3（舍去），故抛物线的方程为y2=2x，故选：A．12．（5分）设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0），联立y0=x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），又A（﹣a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2﹣2•bcos 120°，化简得7a2=3c2，求得e=．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵命题P：“”为假命题，∴￢P：“∀x∈R，x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题，∴△≤0，即m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m≤6．∴实数m的取值范围是[2，6]．故答案为：[2，6]．14．（5分）已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：由题意可设F（c，0），代入直线l：x+3y﹣2b=0，可得：c﹣2b=0，即c=2b，即有a===b，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故答案为：y=±x．15．（5分）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0所以AB中点到准线距离为故答案为16．（5分）给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）若∠F 1MF2=90°，则S=32；（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；其中正确命题的序号是：（1）（3）．【解答】解：由题意可得：，化为（x≠±3）．（1）由曲线C的标准方程可得=5，∴曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0），正确；（2）设|F1M|=m，|F1M|=n，m＞n，∵∠F1MF2=90°，∴，∴S=mn=16；（3）设A为内切圆与x轴的切点，∵|F2M|﹣|F1M|=|F2A|﹣|F1A|=2a=6，|F2A|+|F1A|=2c=10，∴|F2A|=8，|F1A|=2，∴5﹣x A=8，解得x A=﹣3．设圆心P，则PO⊥x轴，从而可得圆心在直线x=﹣3上，因此正确；（4）不妨设点M在双曲线的右支上，∵|MF1|﹣|MF2|=2a=6，∴|MA|+|MF2|=|MA|+|MF1|﹣6，当A、M、F1三点共线时，|MA|+|MF2|的最小值为|AF1|﹣6=﹣6．因此不正确．综上可得：正确命题的序号是（1）（3）．故答案为：（1）（3）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示．（1）求甲班的平均分；（2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率．【解答】解：（1）甲班的平均分为：；（2）甲班90﹣100的学生有2个，设为A，B；乙班90﹣100的学生有4个，设为a，b，c，d，从甲班和乙班90﹣100的学生中抽取两人，共包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）15个基本事件，设事件M=“至少含有甲班一名同学”，则事件M包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），9个事件，所以事件M的概率为．18．（12分）在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a值及这100名考生的平均成绩；（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率．【解答】解：（1）由（0.005+0.035+a+0.02+0.01）×10=1，得a=0.03．平均成绩约为（55×0.005+65×0.035+75×0.03+85×0.02+95×0.01）×10=74.5．（2）第3，4，5组考生分别有30、20、10人，按分层抽样，各组抽取人数为3，2，1记第3组中3人为a1，a2，a3，第4组中2人为b1，b2，第5组中1人为c，则抽取3人的所有情形为：（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c）共20种第4组中恰有1人的情形有12种∴．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m 的值．【解答】解：（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，±），到抛物线顶点的距离的平方为+p，∵抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，∴+p=（+）2，∴p=2抛物线的方程为：y2=4x．…（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣24，∵∠AFB=90°，∴FA⊥FB，即•=0可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0∴（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=0∴﹣24（1+m2）+20m2+25=0，解得：m=±．20．（12分）F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足=+．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．【解答】解：（I）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），∴E（﹣1，0）．设直线l的方程为x﹣my﹣1=0．联立方程组，消元得：y2﹣4my﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），则y1+y2=4m，x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2．∴AB的中点坐标为M（2m2+1，2m）．∵=+=2，∴M为EP的中点．∴，∴，即y2=4x﹣12．∴点P的轨迹方程为y2=4x﹣12．（II）由（I）得y1+y2=4m，y1y2=﹣4．∴|AB|===4（m2+1）．E到直线l：x﹣my﹣1=0的距离d=，=•|AB|•d=4，∴S△ABE∵=+，∴四边形EAPB是平行四边形，∴平行四边形EAPB的面积S=2S=8．△ABE∴当m=0时，S取得最小值8．此时直线l的方程为x﹣1=0．21．（12分）已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．【解答】解：（1）设点M（x，y），∵K AM•K BM=﹣，∴，整理得点所在的曲线C的方程：．（2）由题意可得点，直线PQ与直线PR的斜率互为相反数，设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立消去y，得：（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（4k2﹣12k﹣3）=0，由于x=1是方程的一个解，所以方程的另一解为，同理，故直线RQ的斜率为，把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得x2+bx+b2﹣3=0，所以|PQ|==原点O到直线RQ的距离为，S△OQR==≤=．22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由已知得+=＞4，根据椭圆定义知P点轨迹为以（2，0）和（﹣2，0）为焦点，长轴长为的椭圆，即有a=2，c=2，b=2，则动点P的轨迹C的方程为+=1；（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则l的方程为y=k（x﹣2），将其代入+=1，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，由于A在椭圆内，当然对任意实数k都有△＞0，根据韦达定理得x1+x2=，x1x2=，那么|MN|==•=，y1+y2=k（x1﹣2）+k（x2﹣2）=k（x1+x2）﹣4k=，线段MN中点H的坐标为（，），那么线段MN的垂直平分线方程为y+=﹣（x﹣），令y=0，得D（，0），|DH|==，则=•=•，由k≠0，可得1+∈（1，+∞），于是∈（0，）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。