基于自适应和投影Wiener混沌的圆筒实验不确定度量化

目前，受制于爆轰模型隐藏的大量不确定度和受限于爆轰多物理过程的计算成本，多随机因素扰动 的爆轰建模与模拟的不确定度量化（uncertainty quantification，UQ）在国际上仍然是一个极具挑战性的课 题，且实质性的结果不多。然而，量化和评估不确定因素对系统输出结果的影响，直接关系到模型的稳 健性和数值模拟的可靠性。
第 39 卷 第 4 期 2019 年 4 月
DOI：10.11883/bzycj-2018-0253
爆炸与冲击
EXPLOSION AND SHOCK WAVES
Vol. 39, No. 4 Apr. , 2019
基于自适应和投影 Wiener 混沌的 圆筒实验不确定度量化*
梁 霄1,2，王瑞利2
（1. 山东科技大学数学学院，山东 青岛 266590； 2. 北京应用物理与计算数学研究所，北京 100089）
04Байду номын сангаас408-1
第 39 卷
爆炸与冲击
第4期
操作简单，不依赖于模型的几何结构，可以认为是系统在不确定意义下的精确解。然而，MC 较慢的收敛 速度 (O(N−1/2))，导致采样点数量介于 103～106 之间的 MC 方法很难应用于需要较高运行机时的高精度爆 轰格式，这是 MC 方法在处理高维不确定爆轰模型的局限性之一。Wiener 提出的多项式混沌 （polynomial chaos，PC）方法在满足特定条件下可以替代 MC 方法，Ghanem 又将 PC 和有限元结合，从此 PC 在工程领域应用广泛[7-9]。按照求解系数方式的不同，PC 又分为嵌入多项式混沌 (IPC) 和非嵌入多项 式混沌 (NIPC)。IPC 需要不断地更改程序，而爆轰软件的开发往往是一个团队多年工作的结晶，因此此 方法求解爆轰模型并不现实。复杂工程问题中常用的高维不确定度 NIPC 方法有求积法、回归方法、采 样法等。但是鉴于高维不确定系统截断长度和维数灾难，NIPC 很难直接应用于爆轰模型。
而从截断长度和取点规模来看，上述方法会遇到如下问题。求积法遇到的一个问题是维数灾难问 题。简而言之，对于一个含有 20 个不确定性参数的爆轰系统，每个参数选择 5 个求积点，则一次积分需 要运行系统 520≈1014 次，对于 4 阶展开需要运行系统约 1020 次。对于高精度复杂多物理爆轰过程这是不 现实的。至于采样法，包含传统的 MC 采样和替代性的拉丁超立方体采样等，目前采样规模仍很庞大， 不能直接适用于复杂高精度爆轰系统。对于回归方法，由于爆轰计算成本较高，采样点的个数小于切断 长度，回归方法使用采样将其转化为一个欠定线性方程组，然后使用压缩感知方法求解相应的欠定线性 方程组。此方法大幅度减少了采样的规模，Huan 等[10-11] 已经将其应用计算高度复杂的未来高超音速燃 烧发动机数值模拟。但是这种方法至今没有经过严格数学推导的误差收敛速度和数值精度，理论上不 具有完备性，使用存在未知的风险。
关键词： 圆筒模型；不确定度量化；自适应基函数；JWL 状态方程；Rosenblatt 变换 中图分类号： O385 国标学科代码： 1303530 文献标志码： A
爆轰是极其复杂的物理化学过程，发生在极短的时间尺度 (10～20 μs) 和极小的空间尺度 ((1～9)× 10−4 m)，是爆炸力学的重点和难点。理论、实验、数值模拟是研究爆轰的三种途径，且这三类方法各有千 秋，又相辅相成。实验能直接反应真实物理现象，探索爆轰的发生机理。但受环境和仪器的限制，往往 只能表征初始状态和最终结果. 特别是部分炸药由于感度过高，又导致实验人员处于危险的操作环境。 数值模拟可以全时空的重复模拟爆轰的发生过程，是研究爆轰的一条安全经济方法。同时数值模拟可 以与理论、实验相互印证，重视实验结果，并给出了没有实验结果的预测[1-6]。然而由于爆轰的极端复杂 性以及认知的缺陷，导致多物理爆轰数学模型特征鲜明。首先，模型结构及其运算格式高度复杂，尤其 高精度数值模拟的研发和运算成本高昂。其次，目前状态方程（EOS）和反应率方程均为唯象建模，含有 大量经验参数，没有物理意义，根据经验将其限定在某个范围。最后，测量技术受外界因素的干扰，以及 物质本身固有的不确定性也会导致待测物理量的随机波动。以上原因导致真实的爆轰模型是一个众多 不确定因素耦合在一起的非线性耦合 Euler 方程。要发展高可信度的爆轰过程数值模拟程序，必须对炸 药起爆、描述反应区的反应率函数、状态方程中的众多不确定性参数进行量化。
研究爆轰模型的不确定度量化，普遍的做法是使用 Monte Carlo 方法 (MC)。MC 不需要任何假设，
* 收稿日期： 2018-07-10； 修回日期： 2018-10-01 基金项目： 科学挑战专题 (TZ2018001)；国家自然科学基金 (91630312); 国防科工局国防基础科研计划 (C1520110002)； 山东省自然科学基金 (ZR2017BA014)；山东科技大学公派访学基金 (0103004) 第一作者： 梁 霄（1984－ ），男，博士，讲师，mathlx@； 通信作者： 王瑞利（1964－ ），男，研究员，wang_ruili@。
摘要： 由于炸药爆轰现象的复杂性和人们对它的认知缺陷，其表征爆轰流体力学过程的物理数学模型 具有较强的不确定性，要降低基于爆轰建模与模拟的数值结果做出决策的风险，量化和评估不确定输入对爆 轰系统输出结果的影响尤为重要。本文中针对具有高维随机变量的爆轰问题的不确定度量化，使用自适应 基 函 数 的 Wiener 混 沌 方 法 、 耦 合 旋 转 变 换 和 投 影 方 法 ， 减 少 截 断 空 间 的 长 度 。 针 对 输 入 变 量 相 关 性 ， 使 用 Rosenblatt 变 换 使 其 相 互 独 立 。 针 对 不 符 合 标 准 正 态 分 布 的 变 量 使 用 等 概 率 原 则 ， 将 它 化 为 标 准 正 态 分 布 。 最后，使用自主研发的具有完全知识产权的爆轰数值模拟软件 LAD2D, 研究了具有高维不确定参数的圆筒实 验的不确定度量化，给出期望、标准差、置信区间等统计信息，所得问题与实验数据比对，从而确认了模型的 有效性。