2019-2020学年度最新高三数学一轮复习第8讲函数模型及其应用教案
2019-2020年高考数学一轮总复习课件：2.8 函数模型及其综合应用
2(
x
2
(x
4) 2x 2 4)2
2
x
= 2((xx2
2)(x 4)2
2)
,x∈[0,24],
令t'(x)≥0,得(x+2)(x-2)≤0,则0≤x≤2,
令t'(x)<0,得(x+2)(x-2)>0,则2<x≤24,
∴t(x)在[0,2]上递增,在(2,24]上递减,又t(0)=0,t(2)= 1 ,t(24)= 12 ,
.
(1)令t(x)= 2x ,x∈[0,24],求t(x)的最值;
x2 4
(2)若用每天的f(x)的最大值作为当天的综合污染指数,市政府规定:每天
的综合污染指数不得超过2.试问目前市中心的综合污染指数是否超标?
解题导引
解析 (1)由t(x)= x22x 4 ,x∈[0,24],
得t'(x)=
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
函数模型及其应用教案
函数模型及其应用教案一、教学目标1. 理解函数的概念，了解函数模型的产生和应用；2. 学习两种常见函数模型的基本形式和参数，并能解决实际问题应用；3. 认识函数模型在现实生活和工程实践中的重要作用；4. 提高学生分析和解决实际问题的能力。
二、教学重点1. 函数的概念与应用；2. 两种常见函数模型的基本形式与参数；3. 实际问题中函数模型的应用。
三、教学难点1. 函数模型在数学联系与实际应用展示之间的联系；2. 如何将实际问题转化为基本形式的函数模型。
四、教学方法1. 讲授教学法；2. 课堂互动式教学法；3. 问题式教学法。
五、教学准备1. 多媒体教学设备；2. 函数模型案例资料。
六、教学过程1. 引入函数是一种重要的数学概念，也是自然科学、经济学、工程技术等领域的基础。
而函数模型则是在实际问题中应用函数的过程中，通过对数据和经验的分析产生的数学模型，可用于预测、控制、优化等目的。
今天我们将学习两种常见函数模型及其应用。
2. 基础知识讲解（1）函数的概念函数是一个输入输出关系的特殊情况。
数学上定义一个函数是指一组数对，其中第一个数（称为自变量）从一个特定集合中取任意一个值，；第二个数（称为因变量或函数值）则从另一集合中取一个值，这个取值完全由第一个数决定。
（2）线性函数模型线性函数模型可以写为 y=a*x+b 的形式，其中 a 称为斜率，b称为截距。
它的应用非常广泛，比如经济学中的供给函数、消费函数，工程学中的动力学方程等等，都可以通过线性函数模型来描述。
（3）指数函数模型指数函数模型可以用 y=a^x+b 的形式表示，其中 a 称为底数，b 称为位移。
指数函数具有非常广泛的应用，在物理学、天文学、化学、生物学、经济学等领域中都有其用途，比如放射性衰变过程、细胞增殖过程、经济增长过程等等都可以使用指数函数模型来描述。
3. 练习将下列实际问题转化为线性函数模型或指数函数模型，并求出相应的参数或曲线。
高三 一轮复习 函数模型及其应用 教案
函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型性质比较y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x值增大，图像与y轴接近平行随x值增大，图像与x轴接近平行随n值变化而不同1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[试一试]据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x 的函数关系是____________．解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：[练一练]如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN 取最小值时，CN ＝________.考点一一次函数与二次函数模型1.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．2．将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．考点二分段函数模型[典例]提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式．(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．[类题通法]应用分段函数模型的关注点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)．[针对训练]某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．考点三指数函数模型[典例] 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[类题通法]应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．[课堂练通考点]1．(2014·南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过20 g，付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g需增加邮费0.80元(信的质量在100 g以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g，则他应付邮费________元．2．(2013·南通调研)甲地与乙地相距250 km.某天小袁从上午7：50由甲地开车前往乙地办事．在上午9：00,10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有 1 h到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有________km.3．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是关于经过年数x(0<x≤m)的函数，其关系式y＝f(x)可写成_____________________．[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·苏锡常镇一调)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.2．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S.则S最小时，电梯所停的楼层是________层．3.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像可能是图中的________．4.如图，书的一页的面积为600 cm2，设计要求书面上方空出2 cm的边，下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．5．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．6．(2014·连云港模拟)某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y＝x－2ln x＋a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值(参考数据：ln 2≈0.69，ln 10≈2.3)．2.(2014·苏州一调)如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠P AQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设∠P AB＝θ，tan θ＝t.(1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值；(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少平方百米？3．(2013·徐州调研)徐州、苏州两地相距500 km，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过在海岸线上建一度假村P，不考虑风向等因素影响，油井对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比(比例系数都为k1)，与距离的平方成反比(比例系数都为k2)，又知甲油井排出的废气浓度是乙油井的8倍．(1)设乙油井排出的废气浓度为a(a为常数)，度假村P距离甲油井x km，度假村P受到甲、乙两油井的污染程度和记为f(x)，求f(x)的解析式并求其定义域；(2)度假村P距离甲油井多少时，甲、乙两油井对度假村的废气污染程度和最小？。
函数模型及其应用的教学教案
函数模型及其应用的教学教案教学教案：函数模型及其应用一、教学目标1.了解函数模型的基本概念和特性；2.掌握函数模型在实际问题中的应用；3.培养学生的数学建模能力和问题解决能力。
二、教学重点和难点1.函数模型的基本概念和特性；2.函数模型在实际问题中的应用。
三、教学方法1.讲授与示范相结合；2.小组合作学习；3.课堂实践。
四、教学过程步骤一：导入新知识（10分钟）1.复习函数的基本概念和性质；2.提出问题：“函数模型是什么？它有什么特点？”；3.学生回答问题并进行讨论。
步骤二：讲解函数模型的基本概念（20分钟）1.介绍函数模型的定义和表示方法；2.引导学生理解函数模型的含义：根据已知条件，建立函数模型来描述一个实际问题；3.示范几个常见的函数模型。
步骤三：探究函数模型的特性（20分钟）1.引入函数模型的性质：单调性、奇偶性、周期性等；2.以实例为例，让学生观察并总结函数模型的特性；3.学生合作完成几个练习题。
步骤四：应用函数模型解决实际问题（30分钟）1.通过实例介绍函数模型在实际问题中的应用，如物体自由落体、物种数量增长等；2.让学生进行小组合作，选择一个实际问题，建立相应的函数模型并解决问题；3.学生展示他们的解决方案，进行评价和讨论。
步骤五：巩固与拓展（20分钟）1.让学生复习巩固所学的内容，完成一篇小结；2.引导学生思考：函数模型在其他学科中的应用；3.教师进行点评和总结。
五、教学评估1.课堂表现评价：学生是否积极参与讨论、是否能熟练运用函数模型解决实际问题等；2.书面作业评价：布置相关练习题，检查学生的掌握程度。
六、教学资源1.教材：《数学教材》；2.多媒体教学工具；3.实际问题的资料。
七、教学反思通过本节课的教学，学生能够理解函数模型的基本概念和特性，能够应用函数模型解决实际问题。
在教学过程中，我注重将知识与实际问题相结合，让学生能够在解决问题的过程中感受到函数模型的重要性和应用价值。
2019-2020最新高三数学一轮复习第8讲函数模型及其应用教案(1)
多媒体课件
教学过程
一．知识梳理：
1．解决实际问题的解题过程
（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；
（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；
（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.
则AF＝40－y.
∵△AFE∽△ACB，∴ ＝ ，
即 ＝ .
∴y＝40－ x.剩下的残料面积为
S＝ ×60×40－x·y＝ x2－40x＋1 200
＝ (x－30)2＋600.
∵0<x<60，
∴当x＝30时，S取得最小值为600，这时y＝20.
∴在边长60 cm的直角边CB上截CD＝30 cm，在边长为40 cm的直角边AC上截CF＝20 cm时，能使所剩残料最少．
解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，
y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x>4时，
y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.
当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，
y＝2×4×1.8＋3×＝24x－9.6.
预测2017年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。
（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；
2019-2020年高中数学《函数模型及其应用》教案3苏教版必修1
一、教材分析本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤。
函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功。
本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、以及简单的一次函数类的分段函数。
其中，最重要的是二次函数模型。
二、教学目标分析知识与技能：1、通过社会生活、生产中的例子，使学生体会函数模型的广泛应用；2、让学生学会对数据进行分析、处理，建立模拟函数的方法和步骤，并解决实际问题；3 、了解一些简单的数学模型，熟悉数学建模；过程与方法：1、了解数学建摸，掌握根据已知条件建立函数关系式；2、培养学生分析问题、解决问题的能力；3、培养学生应用数学的意识；情感与态度：1、认识数学和生活的相互联系；2、了解数学在实际中的应用。
三、教学重难点：重点：通过仔细审题，建立数学模型，计算并解决实际问题；难点：数学建模的意识；关键：一次函数模型、二次函数模型和分段函数模型的应用。
四、教法分析：通过布置作业的形式让学生阅读课本，完成“自主学习”部分的习题，了解数学模型的概念及数学建模的思想方法。
课堂上通过讨论与学生一起分析得出数学应用题的解决应达到哪些能力要求，再通过“合作探究” 与大家一起总结解答应用题的基本步骤；最后留出足够的时间，让学生完成“巩固提高”中的练习题，巩固学生对数学应用题的认识，同时加强对相关知识点的熟悉程度。
五、学法分析：现代教育心理学的研究认为：有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的。
在初中，函数类的应用题已有所知，从直观上接触过函数模型•因此，在设计教案时，通过自主完成课案中的“自主学习”部分，让学生从一些简单的数学模型入手，熟悉函数模型，再通过课堂上的“合作探究”加深函数模型的理解，拓展函数模型，学会建立模拟函数的方法和步骤。
最后通过“巩固提高”题巩固本节内容。
整个学习过程由简入难，循序渐进，逐步提高数学能力。
目的是为了培养学生应用数学的能力。
2019-2020学年高考数学第一轮复习 函数的运用学案.doc
2019-2020学年高考数学第一轮复习 函数的运用学案（一）知识归纳：1．对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x 、y 分别表示问题中的变量；2．建立函数模型：将变量y 表示为x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：（二）学习要点：1、解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：⑴.阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；⑵.建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；⑶.求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。
2、常见的可用函数思想解决的问题：⑴几何问题：平面几何、立体几何、解析几何； ⑵行程问题； ⑶工程设计问题；⑷营销问题：利润=销售价—进货价；⑸单利问题：设本金为P ，期利率为r ，则n 期后本利和(1)n S P nr =+； ⑹复利问题：设本金为P ，期利率为r ，则n 期后本利和(1)nn S P r =+；⑺变化率问题； ⑻决策问题； ⑼相关学科问题。
3、认识和体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
（三）练习题:1.某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min 以内收费0.2元，超过3 min 的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min 按1min 计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min 以内、1到2 min 以内、2到3 min 以内、3到4 min 以内的次数之比为4∶3∶1∶1.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m 到m +1 min 以内指含m min ，而不含m +1 min ）解：设小灵通每月的费用为y 1元，全球通的费用为y 2元，分别在1 min 以内、2 min 以内、3 min 以内、4 min 以内的通话次数为4x 、3x 、x 、x ，则y 1=25+（4x +3x +x +x ）×0.2+0.1x =25+1.9x ，y 2=10+2（0.2×4x +0.4×3x +0.6x +0.8x ）=10+6.8x . 令y 1≥y 2，即25+1.9x ≥10+6.8x ，解得x ≤9.415≈3.06. ∴总次数为（4+3+1+1）×2×3.06=55.1.2.某影院共有1000个座位，票价不分等次。
2019-2020年高三数学一轮复习课件：第8讲 指数与指数函数
课堂考点探究
变式题 (1)在同一平面直角坐标系中,函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与 y=(1-a)x 的图像可能是
()
图 2-8-2
(2)已知函数 y=
1 2������-4
������
的图像与指数函数
y=ax 的图像关于 y 轴对称,则实数 a 的值为
() A.1 B.2 C.4 D.8
[答案] (1)C (2)C
课堂考点探究
变式题 (1)计
算:
1 9
-3×27-23+3π0=
.
(2)已知 a,b 是方程 x2-6x+4=0 的两根,且
a>b>0,则
������ ������ +
������ ������
=
.
[答案] (1)84 (2) 5
5
[解析] (1) 原式
=(3-2)-3×(33)-23 +3=3-2×(-3)×33× (-23) +3=36×3-2+3=362+3=34+3=84.
(2)由已知得,a+b=6,ab=4,所以
������ - ������ 2= ������+������-2 ������������ = 6-2 4 =1.
������+ ������ ������+������ +2 ������������ 6+2 4 5
因为 a>b>0,所以
������>
教学参考
考情分析
考点
考查方向
指数幂的运算 根式化简、指数幂运算
指数函数的图像 指数函数图像的判断
考例
高三数学第一轮复习教案讲义函数模型及其应用复习资料
高三新数学第一轮复习教案—函数模型及其应用一．课标要求：1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。
二．命题走向函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。
高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。
出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。
预测的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。
（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。
三．要点精讲1．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。
函数的模型及其应用讲义 高三数学一轮复习
基础课15 函数的模型及其应用考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养 函数的模型及其应用掌握 2023年新高考Ⅰ卷T10 2020年全国Ⅰ卷（理）T6 2020年全国Ⅲ卷（理）T4★★☆ 数学抽象 数学建模 数学运算命题分析预测从近几年高考的情况来看，函数模型及其应用常结合数学文化背景考查，试题难度中等.预计2025年高考会以数学文化为背景考查对数函数与指数函数的应用一、几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型 f (x )=ax +b(a ,b 为常数，a ≠0) 二次函数模型 f (x )=ax 2+bx +c(a ,b ,c 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )=k x+b(k ,b 为常数且k ≠0)指数函数模型 f (x )=ba x +c(a ,b ,c 为常数，b ≠0,a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )=blog a x +c(a ,b ,c 为常数，b ≠0,a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )=ax α+b(a ,b ,α为常数，a ≠0,α≠0)“对勾”函数模型f (x )=x +ax(a >0)二、三种函数模型的性质函数性质y =a x (a >1)y =log a x (a >1)y=x α(α>0) 在(0,+∞)上的增减性 单调①递增 单调②递增单调③递增增长速度越来④越快越来⑤越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与⑥y轴平行随x的增大，逐渐表现为与⑦x轴平行随α的值变化而变化值的比较存在一个x0，当x>x0时，有⑧log a x<xα<a x【提醒】对于幂函数模型y=xα(α>0),当0<α≤1时，增长较慢；当α>1时，增长较快.题组1 走出误区1. 判一判.（对的打“√”,错的打“×”）（1）某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( × )（2）函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.( × )（3）不存在x0，使a x0<x0n<log a x0.( × )（4）“指数爆炸”是指数型函数y=ab x+c(a≠0，b>0且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × )2. （易错题）某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一个函数用于根据当月评价分数x（单位：分，正常情况下，0≤x≤100，若有突出贡献可以高于100分，且教职工平均每月评价分数在50分左右）计算当月绩效工资y （单位：元），要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外在绩效工资越低或越高的同时，人数要越少，则下列函数最符合要求的是( C ).A. y=(x−50)2+500B. y=10x25+500C. y=11000(x−50)3+625 D. y=50[10+lg(2x+1)]【易错点】忽视函数的性质致误，在实际应用问题中，要结合问题的实际意义和函数的性质来确定拟合函数.[解析]由题意知，拟定函数应满足：①是增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x=50左右增长速度较慢，且y的最小值为500.对于A，y=(x−50)2+500在[0,100]上先减后增，不符合要求；对于B，y=10x25+500是指数型函数，增长速度越来越快，不符合要求；对于C ，y =11000(x −50)3+625的图象是由y =x 3的图象平移和伸缩变换得到的，符合题目要求；对于D ，y =50[10+lg (2x +1)]是对数型函数，增长速度越来越慢，不符合要求.故选C .题组2 走进教材3. （人教A 版必修①P150·T2改编）在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，若野兔总只数的倍增期为21个月，则1万只野兔增长到10万只野兔大约需要年6.(lg 2≈0.3，结果填整数)[解析]设经过x 年后的野兔有y 只，由题意知y =104⋅212x 21=104⋅24x 7，令y =105，即104⋅24x 7=105，则24x 7=10.两边取常用对数得4x7lg 2=1，解得x =74lg 2≈71.2≈5.83. 故大约需要6年.4. （人教A 版必修①P161·T9改编）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为P =P 0e −kt ，其中P 0，k 是正的常数，若在前5 h 消除了10%的污染物，则20 h 后约剩65.61%的污染物.[解析]当t =0时，P =P 0⋅e −k⋅0=P 0， 当t =5时，P 0⋅e −5kP 0=90%，即e −5k =0.9.所以k =−15ln 0.9， 当t =20时，P 0⋅e −20kP 0=e −20k =e 4ln 0.9=0.94=0.6561，即20 h 后，还剩65.61%的污染物.题组3 走向高考5. [2020·新高考Ⅰ卷改编]基本再生数R 0与世代间隔T 是某传染病的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在该疾病传染的初始阶段，可以用指数模型I (t )=e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在该疾病传染的初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为( B ).(ln 2≈0.69) A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天[解析]因为R0=3.28，T=6，R0=1+rT，所以r=3.28−16=0.38，所以I(t)= e rt=e0.38t.设在该疾病传染的初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t+t1)=2e0.38t，所以e0.38t1=2，所以0.38t1=ln 2，所以t1=ln 20.38≈0.690.38≈1.8（天）.故选B.考点一利用函数图象刻画实际问题［自主练透］1. 如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若当水流出时间为t时，鱼缸水深为ℎ，则函数ℎ=f(t)的图象大致是( B ).A.B.C.D.[解析]函数ℎ=f(t)是关于t的减函数，故排除C，D，从一开始，ℎ随着时间变化而减小，但变化逐渐变慢，当超过一半时，ℎ减小的速度变快，故选B.2. [2024·泰州模拟]某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列可以近似地刻画茶水温度y（单位：℃）随时间x（单位：min）变化规律的数学模型是( B ).A. y=mx2+n(m>0)B. y=ma x+n(m>0,0<a<1)C. y=ma x+n(m>0,a>1)D. y=mlog a x+n(m>0，a>0，且a≠1)[解析]由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0,0<a<1.故选B.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法1.构建函数模型法：先建立函数模型，再结合模型选图象.2.验证法：根据实际问题中变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案.考点二 已知函数模型解决实际问题［自主练透］1. [2024·北京模拟]科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v =12log 3x100−lg x 0（单位：km/min ），其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x 0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.若雄鸟的飞行速度为1.3 km/min ，雌鸟的飞行速度为0.8 km/min ，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的( B ). A. 2倍B. 3倍C. 4倍D. 5倍[解析]设雄鸟每分钟的耗氧量为x 1，雌鸟每分钟的耗氧量为x 2，由题意可得{1.3=12log 3x1100−lg x 0,0.8=12log 3x 2100−lg x 0,两式相减可得12=12log 3x 1x 2，所以log 3x 1x 2=1，即x 1x 2=3，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.故选B .2. [2024·云南模拟]牛顿冷却定律描述了一个物体在常温环境下的温度变化：若物体的初始温度为T 0，则经过一定时间t （单位：分钟）后的温度T （单位：℃）将满足T −T a =(12)tℎ⋅(T 0−T a )，其中T a 是环境温度，ℎ称为半衰期.现有一杯85 ℃的热茶，放置在25 ℃的房间中，若热茶降温到55 ℃，需要10分钟，则欲降温到45 ℃，大约需要( C )分钟.（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771） A. 12B. 14C. 16D. 18[解析]根据题意有55−25=(12)10ℎ(85−25)，解得ℎ=10， 所以45−25=(12)t10(85−25)，则t 10=log 1213，解得t =10×lg 3lg 2≈10×0.47710.3010≈16.故选C .已知函数模型解决实际问题的要点1.认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.2.根据已知条件，利用待定系数法，确定模型中的待定系数.3.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.考点三 构建函数模型解决实际问题［多维探究］ 二次函数模型典例1 （双空题）劳动实践是大学生学习知识、锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会、回报社会的一种良好形式.某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x 件时，售价为s 元/件，且满足s =820−2x ，每天的成本合计为(600+20x )元，则当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元.[解析]由题意易得，日利润y =s ⋅x −(600+20x )=x (820−2x )−(600+20x )=−2(x −200)2+79400，故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元，指数、对数模型典例2 金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度ℎ与其采摘后的时间t （单位：天）满足的函数解析式为ℎ=mln (t +a )(a >0).若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%，采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.若不及时处理，则采摘下来的金针菇在( C )后会失去全部新鲜度.(√2≈1.414，结果保留一位小数) A. 4.0天B. 4.3天C. 4.7天D. 5.1天[解析]由已知得{mln (1+a )=0.4,mln (3+a )=0.8,两式相除得ln (3+a )ln (1+a )=2，即ln (3+a )=2ln (1+a )，则(1+a )2=3+a ，因为a >0，所以a =1，设t 天后采摘下来的金针菇会失去全部新鲜度，则mln (t +1)=1，又mln (1+1)=0.4，所以ln (t+1)ln 2=10.4，即2ln (t +1)=5ln 2=ln 32，所以(t +1)2=32，解得t =4√2−1≈4.7（负值已舍去）.故选C .分段函数模型典例3 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x，若将△PAB的面积表示为关于x的函数f(x)，则( C ).A. 当x∈(0,π4]时，f(x)=2tan x B. 当x∈(π4,3π4]时，f(x)=−tan xC. 当x∈[3π4,π)时，f(x)=−tan x D. 当x∈[3π4,π)时，f(x)=tan x[解析]∵OB=BC=1，∴∠BOC=π4，如图1所示，易得OC=OD=√12+12=√2，∴OC2+OD2=CD2，∴∠COD=π2，则∠BOD=π4+π2=3π4.当x∈(0,π4]时，点P在线段BC上（不包括点B），如图2所示，则PB=OBtan x=tan x，此时f(x)=12ABtan x=tan x；当x∈(π4,3π4]时，点P在线段CD上（不包括点C），如图3所示，此时f(x)=12AB⋅BC=1；当x∈[3π4,π)时，点P在线段DA上（不包括点A），如图4所示，此时∠POA=π−x，则PA=OAtan(π−x)=−tan x，则f(x)=12AB⋅PA=−tan x.故选C.在应用函数解决实际问题时需注意的四个步骤审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型 求解将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型求解 求解函数模型，得出数学结论 还原将数学结论还原为实际问题的答案1. 天文学用绝对星等衡量天体的发光强度，用目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用M =m −5lg dd 0近似表示绝对星等M 、目视星等m 和观测距离d （单位：光年）之间的关系.已知织女星的绝对星等为0.58，目视星等为0.04，大角星的绝对星等为−0.38，目视星等为−0.06，则观测者与织女星和大角星之间的距离的比值约为( D ). A. 10−2.2B. 100.172C. 10−0.044D. 10−0.172[解析]设观测者与织女星和大角星之间的距离分别为d 1，d 2，则{0.58=0.04−5lg d1d 0,−0.38=−0.06−5lg d 2d 0,两式相减得5lg d 1d 2=−0.86，所以lg d 1d 2=−0.172，所以d1d 2=10−0.172.故选D .2. 某公司在30天内A 商品的销售价格P （单位：元）与时间t （单位：天）的关系满足图象所示的函数，A 商品的销售量Q （单位：万件）与时间t 的关系是Q =40−t ，则下列说法正确的是( B ).①第15天日销售额最大； ②第20天日销售额最大； ③最大日销售额为120万元；④最大日销售额为125万元. A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④[解析]由图象可得当0≤t ≤20时，可设P =at +b ，根据图象可知直线P =at +b 过点(0,2),(20,6)，所以{b =2,6=20a +b,解得{b =2,a =15,所以P =15t +2，当20≤t ≤30时，可设P =mt +n ，根据图象可知直线P =mt +n 过点(20,6),(30,5)， 所以{6=20m +n,5=30m +n,解得{m =−110,n =8,所以P =−110t +8，故P ={15t +2,0≤t <20,−110t +8,20≤t ≤30,又Q =−t +40(0<t ≤30)，设第t 天的销售额为y 万元， 所以y =P ⋅Q ={(15t +2)(−t +40),0<t <20,(−110t +8)(−t +40),20≤t ≤30, 化简可得y ={−15t 2+6t +80,0<t <20,110t 2−12t +320,20≤t ≤30,当0<t <20时，y =−15(t −15)2+125，所以y ≤125，当且仅当t =15时，等号成立；当20≤t ≤30时，y =110(t −60)2−40，所以y ≤120，当且仅当t =20时，等号成立.综上可得，第15日的销售额最大，最大值为125万元，故①④正确. 故选B .3. 某科研小组对面积为8000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究.一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物的覆盖面积y （单位：平方米）与所经过的月数x(x ∈N )的数据如表所示.x 0 2 3 4 y42562.5156.3为了描述该生物的覆盖面积y（单位：平方米）与经过的月数x(x∈N)的关系，现有以下四种模型可供选择：①y=ax+b(a>0);②y=k⋅a x(k>0,a>1);③y=p√x+q(p>0);④y=log a x+b成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可(a>1)（1）试判断哪种函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式；（2）经过几个月，此生物能覆盖整个池塘？（参考数据：√2≈1.414,lg 2≈0.301）[解析]（1）因为函数y=k⋅a x(k>0,a>1)刻画的是增长速度越来越快的变化规律，符合表中数据的变化规律，而y=ax+b(a>0)刻画的是增长速度不变的规律，y=p√x+q(p>0)和y=log a x+b(a>1)刻画的是增长速度越来越慢的变化规律，所以y=k⋅a x(k>0,a>1)更合适，则{k⋅a0=4,k⋅a2=25,解得{a=52,k=4,所以y=4⋅(52)x,x∈N.（2）设约经过x个月，此生物能覆盖整个池塘，则4⋅(52)x≥8000,解得x≥log522000=lg 2000lg 52=3+lg 21−2lg 2≈8.294.故约经过9个月，此生物能覆盖整个池塘.第11 页。
2019-2020年高三数学第一轮复习教案人教版
2019-2020年高三数学第一轮复习教案人教版【教学目标】1．让学生掌握函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法；2．让学生了解函数图象的自对称和两函数图象之间的相互对称问题．【教学重点】函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法 【教学难点】自对称和相互对称的区别【例题设置】例1、例2、例3（函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法），例4（函数的对称问题）【教学过程】一、函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法 〖例1★ 点评：将点改为函数图象或曲线解法类似，其步骤大致如下：将所求曲线上的任意一点，求其关于点（或直线）的对称点，再将点的坐标代入原方程，即可得到所求的轨迹方程．因此所有的对称问题最终都将归结为点的对称问题,只要记住对称点的写法,问题便迎刃而解.〖例2〗 已知函数，则其关于原点对称的函数解析式为 ；关于直线对称的函数解析式为 ． 答案：；当对称轴斜率为1时，点坐标符合口诀：用代，用代．〖例3〗 已知定义在上的奇函数的图象与函数的图象关于点对称，且当时，，求的解析式．解：① 设（）为的图象上的任意一点，则其关于点的对称点（）必在的图象上，故 ∴当时， ② 当时，，且为奇函数∴33()()()f x f x x x =--=--= 综上所述， ．〖例4〗 设函数的定义域为，则下列命题中： ① 若为偶函数，则的图象关于轴对称； ② 若是偶函数，则的图象关于直线对称； ③ 若，则的图象关于直线对称； ④ 若，则的图象关于直线对称； ⑤ 与图象关于直线对称． ⑥ 与图象关于直线对称．其中正确命题的序号为： ． 答案：④⑥★点评：其中注意④⑤的区别，指的是的图象自身的一种对称关系；而与是函数通过复合变换后得到的两个新的函数图象，要求的应是这两个函数图象的对称关系．二、函数图象本身的对称性（自身对称）命题1：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于直线对称． 推 论：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称．命题2：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于点对称． 推 论：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于点对称．三、两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 命题3：函数与的图象关于直线对称． 命题4：函数与的图象关于点成中心对称．下面只给出命题1的证明，其它命题及推论的证明类似． 证法一：由知函数为偶函数，其图象关于轴对称思考： 情形一中的范围是如何给出的，为何要限定其范围？另一方面，将的图象向右（）或向左（）平移个单位得到的图象，故函数的图象关于直线对称．证法二：由知点与点都是函数上的点，而的中点为，即点关于直线对称，由点的任意性可知，函数的图象关于直线对称．证法三：设点为函数的图象上的任意一点，其关于直线对称的点为． ∵对于一切的，都有∴0000(2)[()]()f a x f a a x f x y -=--==即点也在函数的图象上 由点的任意性可知，函数的图象关于直线对称．四、函数的周期性命题5：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数是以为周期的周期函数． 命题6：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数是以为周期的周期函数．【课堂小结】1．所有的对称问题最终都将归结为点的对称问题，要牢记例1的结论；2．给出的如果是函数自身的一个关系，则：若前系数互为相反数，则是有关对称性；若前系数相同，则有关周期性．3．自对称和相互对称的区别：第一类，是反映函数自身内部的对称关系；第二类中，是研究由函数复合变换后得两个新的函数图象间的关系．【教后反思】2019-2020年高三数学第一轮复习教案数列的求和方法及应用[素质教育目标] 一、 知识目标要求学生熟练掌握和运用等差、等比数列的前n 项和的公式及一个数列求前n 项和的基本方法和技巧。
2019-2020年高考数学一轮复习函数模型及其应用教案(无答案)
2019-2020年高考数学一轮复习函数模型及其应用教案（无答案）一、考纲要求函数与方程A 函数的应用B二、复习目标了解指数函数．对数函数．幂函数．简单分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用．三、重点难点合理选择函数模型解决实际问题四、要点梳理1．解决实际问题通常分四步：①，②，③，④．以上过程还可用框图表示为：2．我们学过的数学模型有哪些？五、基础自测1．在国内投寄平信，每封信不超这20克重付邮资50分，超过20克重而不超过40克重付邮资100分，将每封信的应付邮资（分）表示为信重x(0＜x≤40克的函数，其表达式为f (x) =2．将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个元．3．经济学中，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差．则边际利润函数为______________________．4．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系（是常数）记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为___________（分钟）．5．已知正方形的边长为1则当取最小值时，．六、典例精讲例1、为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品为100吨．该单位每月能否获利？若能，求出最大利润；若不能，则国家至少需要每月补贴多少元才能使该单位不亏损？例2、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（1）若建立函数f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言．．．．表述公司对奖励函数f(x)模型的基本要求；（2）现有两个奖励函数模型：(1)y＝；(2)y＝4lg x－3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？例3、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米是，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（1）当时，求的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）．例4、某村庄拟建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为1xx元（为圆周率）．（1）将表示成的函数，并求该函数的定义域；（2）讨论函数的单调性，并确定该蓄水池体积最大时的值．七、反思总结函数模型及其应用课时练习1．已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度要损失10%，要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的以下，则至少需要重叠玻璃板数为．（）2．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为，xx年生产的垃圾量为，由此可预测，xx年的垃圾量为．3．销售甲．乙两种商品所得利润分别是（万元）和（万元），它们与投入资金（万元）的关系有经验公式，今将3万元资金投入经营，甲．乙两种商品，其中对甲种商品投资万元，试建立总利润（万元）关于（万元）的函数表达式为．4．某公司在甲．乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位:辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为．5．在不计空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭的（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系式为，当燃料质量是火箭质量的_______倍时，火箭的最大速度可达．6．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的．7．如图所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为．8．某工厂第一季度某产品月生产量分别为1万件、1．2万件、1．3万件．为了估测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数（其中为常数）．已知4月份的产量为1．36万件，问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？为什么？9．甲．乙两地相距1000，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的，固定成本为元．（1）将全程运输成本（单位：元）表示为速度（单位：）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？10．某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元（包括2万元和10万元）的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用（万元）随医疗总费用（万元）增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．（1）请你分析该单位能否采用函数模型作为报销方案；（2）若该单位决定采用函数模型（为常数）作为报销方案，请你确定的值．（参考数据：）。
2019-2020年高考数学一轮复习函数的综合应用教案(无答案)
2019-2020年高考数学一轮复习函数的综合应用教案（无答案）一、考纲要求函数的综合应用（B 级要求）．二、复习目标能熟练地应用指、对数函数，含绝对值的函数，分式函数等初等函数的图象与性质解决一些问题．三、重点难点初等函数的图象和性质的综合运用．四、要点梳理1．函数的奇偶性：考查形式有①判断函数的奇偶性；②已知奇偶性求解析式中的参数的值．2．函数的单调性：考查形式有①求单调区间；②证明单调性；③利用单调性比较大小或求最值；④已知单调性求参数的取值范围等．3．初等函数：常考查二次函数、指数函数、对数函数、含绝对值的函数、分式函数、无理函数的函数图象和性质，常见的方法有：配方法、换元法、待定系数法等；常见的数学思想有：数形结合、分类讨论、函数与方程及等价转化思想．五、基础自测1．设函数， 为有理数集，则下列结论正确的是____________．①的值域为 ②是偶函数 ③是周期函数 ④不是单调函数2．奇函数的定义域为R ．若为偶函数，且，则＝ ．3．已知函数213()(0)24f x ax x a =-->，若在任意长度为2的闭区间上总存在两点，使得成立，则的最小值为_____________．4．已知函数()13log )12a x f x x a =+++-(),如果 (),那么的值是_____________．5．如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成．若，则正实数的取值范围为________．6．函数的定义域为,若满足：①在内是单调函数,②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么的取值范围是__________________________．六、典例精讲例1、已知函数()()1log 0,11a mx f x a a x -=>≠-(1)求实数的值；(2)判断函数在区间上的单调性，并加以证明；(3)当时， 时，函数的值域为，求的值．例2、已知函数()()221f x ax x a a =-+-为实常数．(1)若，作函数的图象；(2)设在区间上的最小值为，求的表达式；(3)设若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．例3、设函数()()3,,n n f x x ax b n a b *=-++∈∈N R ．(1)若求在区间上的最大值和最小值；(2)若对任意，都有，求实数的取值范围；(3)若在上的最大值是，求的值．f x=例4、已知实数，函数()（1）当时，求的最小值；（2）当时，判断的单调性,并说明理由；（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形．七、反思感悟函数的综合应用课时练习1．设是定义在R上的奇函数，当时，（为常数），则_________．2．已知函数，若,则的取值范围是_____________．3．已知函数的图象的对称轴是，则实数_________．4．已知函数，正实数满足且，若在区间上的最大值是2，则_____．5．若函数，则函数在上不同的零点个数为__．6．已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，．若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数的取值范围是_____．7．设函数，下列命题：①当时，为奇函数；②当，时，方程只有一个实根；③函数的图象关于点对称；④方程至多有两个实根．其中真命题的序号是_____．8．已知函数．(1)求证：函数在是增函数；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围；(3)若函数在上的值域是，求实数的取值范围．9．已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数．(1) 求的值；(2) 当取何值时，函数的值最小？并求出的最小值；(3)设44()log (2)(0)3x g x a a a =⋅-≠，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．10．已知函数，．（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（3）若存在实数使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．例1：(1)由题意得：，即11log log 011a a mx mx x x +-+=---， 得，当时舍，当时满足条件，所以.(2)由(1)得，利用单调性定义可得：当时，为增函数；当时，为减函数.(3)由(2)知，当时，在，上为减函数，当时，与已知矛盾，舍当时，所以.例2：(2)当时，.()163,411121,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩. (3)当时，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，当时，满足；当时，不等式化为，即，；当时，不等式化为，即，，综上的取值范围是.例3：(1)()()323331,33f x x x f x x '=-++=-+()()()30,1,0,1,2,x f x x '∴∈>∈ ，()()()()3333max min 13,21f x f f x f ∴====-.(2)因为对任意()()123132,1x x f x f x -≤有，所以()()331111162f f a --≤⇒≤≤，由，可得在上为减函数，在内为增函数，依题意只需，即，的取值范围是.(3)由()()()44411111,1,122222f x f f ≤-≤≤-≤-≤知，两式相加得，又所以，故 例4解：易知的定义域为，且为偶函数.（1）时, ()f x ==………………………2分 时()f x = 2. ………………………4分（2）时, ()f x ==时， 递增； 时，递减； ………………………6分为偶函数.所以只对时，说明递增.设，所以，得()()120f x f x -=<所以时， 递增； ……………………………………………10分（3），1,[,1]553x t⎡∈-∴∈⎢⎣⎦，从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，恒有. ……………………………………………………………11分①当时，在上单调递增，min max 13,1,3y a y a ∴=+=+由得，从而； ……………………………………………………………12分②当时，在上单调递减，在上单调递增，min max 1max{3,1}13y y a a a ∴==++=+，由得，从而；………………13分③当时，在上单调递减，在上单调递增，min max 11max{3,1}333y y a a a ∴==++=+，由得，从而； ……………14分④当时，在上单调递减，min max 11,3,3y a y a ∴=+=+由得，从而；……………………………………………15分综上，. …………………………………………………………………16分．解：（1）函数为奇函数．当时，，，∴()||2||2()f x x x x x x x f x -=---=--=-∴函数为奇函数； ………………3分（2）22(22)(2)()(22)(2)x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥=⎨-++<⎩，当时，的对称轴为：；当时，的对称轴为：；∴当时，在R 上是增函数，即时，函数在上是增函数； ………………7分（3）方程的解即为方程的解．①当时，函数在上是增函数，∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根； ………………9分②当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，∴当(2)(2)(1)f a tf a f a <<+时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，∵∴．设，∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根， ∴，又可证在上单调增∴∴；………………12分③当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，∴当(1)(2)(2)f a tf a f a -<<时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，∵∴，设∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，∴，又可证在上单调减∴∴； ………………15分综上：． ………………16分。
高三数学一轮复习 第三章 第8讲 函数模型及其应用课件 理 新人教A版
当 16<x≤30 时，令 f(x)≥55，则 x≤1713. 因此，学生达到(或超过)55 的接受能力的时间为 1713－6＝1113(分钟)． (3)f(5)＝53.5，f(10)＝59，f(15)＝59， f(20)＝47，f(25)＝32，f(30)＝17， ∴M＝53.5＋59＋596＋47＋32＋17≈44.6<45. 故平均值不能高于 45.
现实生活中有很多问题(wèntí)是用分段函数表示的，如 出租车计费，个人所得税计算，邮政资费等等，故分段函数是刻 画现实生活的重要模型．本题的分段函数考查二次函数前者配方， 后者利用基本不等式．
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【互动探究】
2．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受(jiēshòu) 力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学
(3)销售收入 R(万元)关于(guānyú)总产量 x(台)的函数关系式为___ ____R_＝__0_.5_x_(_x_∈__N_*_) _____；
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(4)利润 L(万元)关于(guānyú)总产量 x(台)的函数关系式为_____ __L_＝__0._2_x_－_2_0_0_(_x_∈_N__*)_____．
若车速为 v 千米/时，且两车的距离不能小于1v02 千米，则运完这 批物资至少(zhìshǎo)需C要)(
A．10 小时(xiǎoBs．hí1)1 小时 C．12 小时
D．13 小时
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考点2 分段函数(hánshù)类的实际问题
例2：某厂生产某种产品的年固定成本为250 万元，每生产 x
对数函数、幂函数、分段函数等 学科综合的特征．解题时应注意把 握问题主线，明确问题实质，运用
2020届高三数学一轮复习《函数的应用》教案
专题：函数的应用 ★★★★不论数学应用题的题目难或易，其得分率都是比较低的。
究其原因，一是学生对数学应用题有一种恐惧感；二是学生没有掌握数学应用题求解的一般分析方法； 三是学生的应试策略与表述方面还存在一些问题。
在高考复习与冲刺阶段如何能在数学应用题方面有所突破呢？知识梳理2 min.求解应用题的一般步骤是：1° 审题：抓住问题中关键词，弄清问题的情景和变化过程，使问题数学化；2° 建模：注意问题涉及知识点或新概念、新原理，分析数量关系，运用数学符号语言、图象语言，建立问题的数学模型；3° 解题：根据数学模型，选择恰当的数学工具与方法，求得未知数或未知关系，获得问题的数学解； 4° 检验：通过检验选择符合实际的解； 5° 写答案：写出问题的实际解。
典例精讲35 min.例1.（★★★）电信局根据市场客户的不同需求，对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案，则两种方案付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）（MN 平行CD ）（1） 若通话时间为两小时，按方案,A B 各付话费多少元？ （2） 方案B 从500分钟以后，每分钟收费多少元？ （3） 通话时间在什么范围内，方案B 比方案A 优惠？解：设通话x 分钟时，方案,A B 的通话费分别为(),()A B f x f x （1）当120x =时 ()116A f x =元 ()168B f x =元若通话时间为两小时，方案A 付话费116元，方案B 付话费168元（2）980601680500(),()338060185001010A B x x f x f x x x x x≤≤≤≤⎧⎧⎪⎪==⎨⎨+<+<⎪⎪⎩⎩当500x >时，(1)B f x +-()0.3B f x = 方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3元 (3) 当500x >时， ()()A B f x f x >，当060x ≤≤时， ()()A B f x f x <， 当60500x <≤时， 由()()A B f x f x >，得8803x >， 综上所述：通话时间在880(,)3+∞内方案B 较优惠。
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以题试法
2．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．
则AF＝40－y.
∵△AFE∽△ACB，∴ ＝ ，
即 ＝ .
∴y＝40－ x.剩下的残料面积为
S＝ ×60×40－x·y＝ x2－40x＋1 200
＝ (x－30)2＋600.
∵0<x<60，
∴当x＝30时，S取得最小值为600，这时y＝20.
∴在边长60 cm的直角边CB上截CD＝30 cm，在边长为40 cm的直角边AC上截CF＝20 cm时，能使所剩残料最少．
(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？
(1)当0<x≤500时，f(x)＝0.05x－ x2－ ＝－ ＋ x－ ，
当x>500时，f(x)＝0.05×500－ ×5002－ ＝12－ x，
故f(x)＝
(2)当0<x≤500时，f(x)＝－ ＋ x－ ＝－ (x－475)2＋ ，
故当x＝475时，f(x)max＝ .
该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
设该单位每月获利为S，
则S＝100x－y
＝100x－
＝－ x2＋300x－80 000
＝－ (x－300)2－35 000，
因为400≤x≤600，
所以当x＝400时，S有最大值－40 000.
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．
预测2017年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。
（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；
（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。
由题悟法
1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，对一次函数模型，主要是利用一次函数的图象与单调性求解．
2．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．对二次函数模型，一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决．
这些步骤用框图表示：
2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：
（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；
（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；
3．在解决一次函数、二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．
以题试法
1．(20xx·抚州质检)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40 cm与60 cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角．问怎样剪，才能使剩下的残料最少？
解：如图，剪出的矩形为CDEF，
设CD＝x，CF＝y，
教学准备
多媒体课件
教学过程
一．知识梳理：
1．解决实际问题的解题过程
（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；
（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；
（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.
考点二：分段函数模型
典题导入
(20xx·孝感统考)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为 万元．
(1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x)，求f(x)；
——教学资料参考参考范本——
2019-2020学年度最新高三数学一轮复习第8讲函数模型及其应用教案
______年______月______日
____________________部门
教学目标
1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；
（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。
二．典例分析
考点一：一次函数与二次函数模型
典题导入
为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝ x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
当x>500时，f(x)＝12－ x<12－ ＝ < ，
故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．
由题悟法
1．很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．
2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．