第一章数学的基本认识

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大一高数第一章

大一高数第一章第一章函数、极限与连续于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节变量与函数一、变量及其变化范围的常用表示法在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a?x?b的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为??a,b??，即??a,b???{x|a?x?b}；满足不等式a?x?b的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(a,b)，即(a,b)?{x|a?x?b}；满足不等式a?x?b(或a?x?b)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为?a,b?? (或??a,b?)，即?a,b???{x|a?x?b} (或??a,b??{x|a?x?b})，左开右闭区间与右开左闭区间统称为半开半闭区间，实数a，b称为区间的端点. 以上这些区间都称为有限区间.数b?a称为区间的长度.此外还有无限区间：(??，??)?{x|???x???}?R，???,b???{ x|???x?b}，(??,b)?{x|???x?b}，????{x|a?x???}，??a，(a，??)?{x|a?x???}，等等. 这里记号“??”与“??”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”. 邻域也是常用的一类区间. 设x0是一个给定的实数，δ是某一正数，称数集: ?x|x0?δ?x?x0?δ?为点x0的δ邻域，记作U(x0,δ).即U?x0,δ???x|x0?δ?x?x0?δ? 称点x0为该邻域的中心，δ为该邻域的半径(见图1-1).称U(x0,δ)??x0?为x0的去心δ邻域，记作U(x0,δ)，即U(x0,δ)??x|0?x?x0?δ? ?o 图1-1下面两个数集??U?x,δ???x|x??0o?Ux0,δ?? x|x0?δ?x?x0?，?0?x?x0?δ?，o 分别称为x0的左δ邻域和右δ邻域.当不需要指出邻域的半径时，我们用U(x0)，U(x0)分别表?示x0的某邻域和x0的某去心邻域，Ux,δ，Ux0,δ分别表示x0的某左邻域和x0的某右邻??0????域. 二、函数的概念在高等数学中除了考察变量的取值范围之外，我们还要研究在同一个过程中出现的各种彼此相互依赖的变量，例如质点的移动距离与移动时间.曲线上点的纵坐标与该点的横坐标，弹簧的恢复力与它的形变，等等.我们关心的是变量与变量之间的相互依赖关系，最常见的一类依赖关系，称为函数关系. 定义1 设A，B是两个实数集，如果有某一法则f，使得对于每个数x?A，均有一个确定的数y?B 与之对应，则称f是从A到B内的函数.习惯上，就说y是x的函数，记作y?f?x?(x?A) 其中，x称为自变量，y称为因变量，f?x?表示函数f在x处的函数值.数集A称为函数f的定义域，记为D?f?；数集f(A)??y|y?f(x),x?A??B 称为函数f的值域，记作R?f?. 从上述概念可知，通常函数是指对应法则f，但习惯上用“y?f?x?, x?A”表示函数，此时应理解为“对应关系y?f?x?所确定的函数f”.确定一个函数有两个基本要素，即定义域和对应法则.如果没有特别规定，我们约定：定义域表示使函数有意义的范围，即自变量的取值范围.在实际问题中，定义域可根据函数的实际意义来确定.例如，在时间t的函数f?t?中，t通常取非负实数.在理论研究中，若函数关系数学公式给出，函数的定义域就是使数学表达式有意义的自变量x的所有可以取得的值构成的数集.对应法则是函数的具体表现，它表示两个变量之间的一种对应关系.例如，气温曲线给出了气温与时间的对应关系，三角函数表列出了角度与三角函数值的对应关系.因此，气温曲线和三角函数表表示的都是函数关系.这种用曲线和列表给出函数的方法，分别称为图示法和列表法.但在理论研究中，所遇到的函数多数数学公式给出，称为公式法.例如，初等数学中所学过的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数都是用公式法表示的函数. 从几何上看，在平面直角坐标系中，点集{(x,y)|y?f?x?,x?D?f?} 称为函数y?f?x?的图像.函数y?f?x?的图像通常是一条曲线，y?f?x?也称为这条曲线的方程.这样，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发现；相反，一些几何问题，有时也可借助于函数来作理论探讨. 现在我们举一个具体函数的例子. 图1-2 1的定义域. x?1解要使数学式子有意义，x必须满足2??4?x?0, 即?x?1>0 ,??此有1?x?2，2?因此函数的定义域为?1，?. 例1 求函数y?4?x2???x?2, ?x>1.??有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则，称这种函数为分段函数.下面给出一些今后常用的分段函数. 例2绝对值函数?x,x?0,y?x?? ?x,x??1,x ?1,x>0????，值域R?f??{?1，0，1}，如图1－4所示. 的定义域D?f?????，图1-3 图1-4 ??1???1，xx例4 最大取整函数y??，其中表示不超过x的最大整数.例如，?????????0???0，??3???2??1，?π??3等等.函数y??x?的定义域D?f??(??，??)，值域R?f??{整数}.一般地，??????y???x???n，n?x?n?1，n?0，?1,?2,?，如图1-5所示. 图1-5 在函数的定义中，对每个x?D?f?，对应的函数值y总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数.若给定一个对应法则g，对每个x?D?g?，总有确定的y值与之对应，但这个y不总是唯一的，我们称这种法则g确定了一个多值函数.例如，设变量x与y之间的对应法则方程x2?y2?25给出，显然，对每个x?[?5,5]，方程x2?y2?25可确定出对应的y值，当x?5或?5时，对应y?0一个值；当x?(?5,5)时，对应的y有两个值.所以这个方程确定了一个多值函数.对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如，方程x2?y2?25给出的对应法则中，附加“y?0”的条件，即以“x2?y2?25且y?0”作为对应法则，就可以得到一个单值分支y?g1?x??25?x2；附加“y?0”的条件，即以“x2?y2?25且y?0” 作为对应法则，就可以得到一个单值分支y?g2(x)??25?x2.在有些实际问题中，函数的自变量与因变量是通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系的，如高度为一定值的圆柱体的体积与其底面圆半径r的关系，就是通过另外一个变量其底面圆面积S建立起来的对应关系.这就得到复合函数的概念. 定义2 设函数y?f?u?的定义域为D?f?，函数u?g?x?在D上有定义，且g?D??D?f?.则下式确定的函数y?f?g?x??，x?D 称为函数y?f?u?与函数u?g?x?构成的复合函数，记作y??f?g??x??f?g?x??，x?D，它的定义域为D，变量u称为中间变量. 这里值得注意的是，D 不一定是函数u?g?x?的定义域D?g?，但D?Dg?所有使得g?x??D?f?的实数x的全体的集合.例如，y?f?u??u，u??.D是D?g?中g?x??1?2x.显然，u的定义域为???,???，而D?f??(0,??).因此，D ＝???1,1??，而此时R(f?g)???0,1??. 两个函数的复合也可推广到多个函数复合的情形. 例如，y?xu?aμlogax?a?0且a?1?可看成指数函数y?au与u?μlogax 复合而成.又形w如y?u(x)v(x)?av(x)logau(x)??u?x?＞0???a?0且a?1?的函数称为幂指函数，它可看成y?a与w?v(x)logau(x)复合而成. 而y?sinx2可看成y?u，u?sinv，v?x2复合而成. 例 5 设f(x)?x?x??1?，求ff?f?x?? x?1??解令y?f?w?，w?f?u?，u?f?x?，则ff?f?x??是通过两个中间变量w和u复合而成的复合函数，因为??uw?f?u???u?1xx?1xx?1?1?x1，x??；2x?12wy?f?w???w?1所以fff?x?? x2x?1x2x?1?1?x,x??1，3x?13????x，11x??1,?,?. 3x?123定义3 设给定函数y?f?x?，其值域为R?f?.如果对于R?f?中的每一个y值，都有只从关系式y?f?x?中唯一确定的x值与之对应，则得到一个定义在R?f?上的以y 为自变量，x为因变量的函数，称为函数y?f?x?的反函数，记为x?f从几何上看，函数y?f?x?与其反函数x?f量，y表示因变量，因此反函数x?1?1?1?y?. ?y?有同一图像.但人们习惯上用x表示自变?f?1?y?常改写成y?f?1?x?.今后，我们称y?f?1?x?为?1y?f?x?的反函数.此时，于对应关系f未变，只是自变量与因变量交换了记号，因此反函数y?f?x?与直接函数y?f?x?的图像关于直线y?x对称，如图 1 -6所示. 图1-6 ???，值值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数，例如函数y?x2的定义域为???，???对每一个y??0，???，有两个x值即x1?y和x2??y与之对应，因此x不域为，但??0，是y的函数，从而y?x2不存在反函数.事实上，逆映射存在定理知，若f是从D?f?到R?f 的一一映射，则f才存在反函数f?1. xx??1?，求f?1?x?1?. 例 6 设函数f(x?1)??x?1解函数y?f?x?1?可看成y?f?u?，u?x?1复合而成.所求的反函数y?f可看成y?f?1??1?x?1??u?，u?x?1复合而成.因为f?u??xu?1，?u?0，x?1uu?11，即y?，从而，u?y?1???1，u?1?yu所以y?f?11，?u??1?u因此f?1?x?1??11??,x?0. 1?(x?1)x三、函数的几种特性 1. 函数的有界性设函数f?x?在数集D上有定义，若存在某个常数L，使得对任一x?D有f?x??L，则称函数f?x?在D上有上界，常数L称为f?x?在D上的一个上界；否则，称f?x?在D上无上界. 若函数f?x?在D上既有上界又有下界，则称f?x?在D上有界；否则，称f?x?在D上无界.若f?x?在其定义域D上有界，则称f?x?为有界函数.容易看出，函数f?x?在D上有界的充要条件是：存在常数M>0，使得对任一x?D，都有f?x??M. ???内是有界的，因为对任一x????，???都有例如，函数y?sinx在其定义域???，sinx?1，函数y?1在0,1内无上界，但有下界. ??x从几何上看，有界函数的图像界于直线y??M之间.2. 函数的单调性设函数f?x?在数集D上有定义，若对D中的任意两数x1,x2(x1?x2)，恒有f?x1??f?x2? [或f?x1??f?x2?]，则称函数f?x?在D 上是单调增加的.若上述不等式中的不等号为严格不等号，则称为严格单调增加的.在定义域上单调增加或单调减少的函数统称为单调函数；严格单调增加或严格单调减少的函数统称为严格单调函数.如图1-7所示. 图1-7 ???内是严格单调增加的；函数f?x??cosx在例如，函数f?x??x3在其定义域???，内是严格单调减少的. 从几何上看，若y?f?x?是严格单调函数，则任意一条平行于x 轴的直线与它的图像最多交于一点，因此y?f?x?有反函数. 3.函数的奇偶性设函数f?x?的定义域D?f?关于原点对称. 奇函数的图像对称于坐标原点，偶函数的图像对称于y轴，如图1－11所示. 图1-8 例7 讨论函数f?x??lnx?1?x2的奇偶性. ???是对称区间，因为解函数f?x?的定义域???，???1f??x??ln?x?1?x2?ln??2 ?x?1?x????lnx?1?x2??f?x? ???上的奇函数. 所以，f?x?是???，????? ?4.函数的周期性设函数f?x?的定义域为D?f?，若存在一个不为零的常数T，使得对任意x?D?f?，有?D?f，且f，则称f?x?为周期函数，其中使上式成立的常数T称为f?x?的周期，通常，函数的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正数TT. ?sinx的周期为2π；f?x??tanx的周期是π. 例如，函数f并不是所有函数都有最小正周期，例如，狄利克雷函数x为有理数，?1, D(x)?? 0, x为无理数.?任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最小正周期. 四、函数应用举例下面通过几个具体的问题，说明如何建立函数关系式. 例8 火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海到某地每千克以元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克元收费.试求上海到该地的行李费y与重量x之间的函数关系式，并画出函数的图像. 解当0?x?50时，y?；当x?50时，y??50?(x?50). 所以函数关系式为：?, 0?x?50;y?? ?(x?50),x?50.?这是一个分段函数，其图像如图1－9所示. 图1-9 例9某人每天上午到培训基地A学习，下午到超市B工作，晚饭后再到酒店C服务，早、晚饭在宿舍吃，中午带饭在学习或工作的地方吃.A，B，C位于一条平直的马路一侧，且酒店在基地与超市之间，基地与酒店相距3km，酒店与超市相距5km，问该打工者在这条马路的A与，才能使每天往返的路程最短. B之间何处找一宿舍解如图1-10所示，设所找宿舍D距基地A为x，用f表示每天往返的路程函数. 图1-10 当D位于A与C之间，即0?x?3时，易知f?x??x?8??2?3?x??22?2x，当D位于C 与B之间，即3?x?8时，则f?x??x?8?(8?x)?2(x?3)?10?2x. 所以?2?2x,0?x?3;f(x)?? 10?2x,3?x?8.?这是一个分段函数，如图1-11所示，在??0,3??上，f?x?是单调减少，在??3,8??上，f?x?是单调增加.从图像可知，在x?3处，函数值最小.这说明，打工者在酒店C处找宿舍，每天走的路程最短. 图1-11 五、基本初等函数初等数学里已详细介绍了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以上我们统称为基本初等函数.它们是研究各种函数的基础.为了读者学习的方便，下面我们再对这几类函数作一简单介绍. 1.幂函数函数y?xμ (μ是常数) 称为幂函数. ???内总是有定义的. 幂函数y?xμ的定义域随μ的不同而异，但无论μ为何值，函数在?0，???上是单调增加的，其图像过点当μ?0时，y?xμ在?及点?1,1?，图1-12列出?0，1了μ?，μ?1，μ?2时幂函数在第一象限的图像. 21y?xμ在?0，???上是单调减少的，当μ?0时，其图像通过点?1,1?，图1-13列出了μ??，2μ??1，μ??2时幂函数在第一象限的图像. 图1-12图1-13 2.指数函数函数y?ax(a是常数且a?0，a?1) 称为指数函数. ???，图像通过点?0,1?，且总在x轴上方. 指数函数y?ax的定义域是???，当时a?1，y?ax是单调增加的；当0?a?1时，y?ax是单调减少的，如图1-14所示. 以常数e??为底的指数函数y?ex 是科技中常用的指数函数. 图1-14 3. 对数函数指数函数y?ax的反函数，记作y?logax（a是常数且a?0,a?1)，称为对数函数. ???，图像过点?1,0?.当a?1时，y?logax单调增加；对数函数y?logax的定义域为?0，当0?a?1时，y?logax单调减少，如图1-15所示. 科学技术中常用以e为底的对数函数y?logex，图1-15 它被称为自然对数函数，简记作y?lnx. 另外以10为底的对数函数y?log10x，也是常用的对数函数，简记作y?lgx. 4.三角函数常用的三角函数有上b?a表示点a与点b之间的距离，b?a越小，则a与b就越接近，就数列(1-2-1)来说，因为xn?1??11，?nn我们知道，当n越来越大时，1越来越小，从而xn越来越接近1.因为只要n足够大，xn?1?1nn就可以小于任意给定的正数，如现在给出一个很小的正数1，只要n?100即可得1001，xn?1?n?101,102,? 1001，则从10001项起，都有下面不等式如果给定100001 xn?1?10000n?1成立.这就是数列xn? (n?1,2,?)，当n??时无限接近于1的实质. n一般地，对数列?xn?有以下定义. 定义2 设?xn?为一数列，若存在常数a 对任意给定的正数ε(无论多么小)，总存在正整数N，当n?N时，有不等式xn?a?ε 即xn?U(a,ε)，则称数列?xn?收敛，a称为数列?xn?当n→∞时的极限，记为limxn?a或xn?a?n????. n??若数列?xn?不收敛，则称该数列发散. 定义中的正整数N与ε有关，一般说来，N将随ε减小而增大，这样的N也不是唯一的.显然，如果已经证明了符合要求的N存在，则比这个N大的任何正整数均符合要求，在以后有关数列极限的叙述中，如无特殊声明，N均表示正整数.此外，邻域的定义可知，xn?U?a，ε?等价于xn?a?ε. 我们给“数列?xn?的极限为a”一个几何解释：将常数a及数列x1,x2,x3,?,xn,?在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的ε邻域，即开区间(a?ε,a?ε)，如图1-29所示图1-29 因两个不等式|xn?a|?ε，a?ε?xn?a?ε 等价，所以当n?N时，所有的点xn都落在开区间(a?ε,a?ε)内，而只有有限个点在这区间以外. 为了以后叙述的方便，我们这里介绍几个符号，符号“?”表示“对于任意的”、“对于所有的”或“对于每一个”；符号“?”表示“存在”；符号“max?X?”表示数集X中的最大数；符号“min?X?”表示数集X中的最小数.数列极限limxn?a 的定义可表达为：n??limxn?a??ε?0，?正整数N，当n?N时，有xn?a?ε. n??例 1 证明lim1?. 0n??2n111证?ε?0(不防设ε?1)，要使1/ln2. ?0?n?ε，只要2n?，即n?nεε22??1?1因此，?ε?0，取N????ln?/ln2?，则当n?N 时，有n?0?ε.极限定义可知2??ε??1limn?0. n??21nπ例 2 证明limcos?. 0n??n41证于1cosnπ?0?1cosnπ?1，故?ε?0，要使1cosnπ?0?ε，只要?ε，n4n4nn4n1即n?. ε1?，则当n?N时，有1nπ因此，?ε?0，取N??cos?0?ε.极限定义可知?n4?ε??1nπlimcos?0. n??n4用极限的定义来求极限是不太方便的，在本章的以后篇幅中，将逐步介绍其他求极限的方法. 二、数列极限的性质定理 1 若数列收敛，则其极限惟一. 证设数列?xn?收敛，反设极限不惟一：即limxn?a，limxn?b，且a?b，不妨设a?b，n??n??b?a，则?N＞0，当n?N时，b?a，即xn?a＜xn＜22?N2?0，当n?N2时，xn?b2a?b3b?a，(1-2-7) ＜xn＜22取N?max?N1,N2?，则当n?N 时，(1-3-6)，(1-3-7)两式应同时成立，显然矛盾.该矛盾证明极限定义，取ε?了收敛数列?xn?的极限必惟一. 定义3 设有数列?xn?，若存在正数M，使对一切n?1,2,?，有xn?M，则称数列?xn?是有界的，否则称它是无界的. 对于数列?xn?，若存在常数M，使对n?1，2，?，有xn?M，则称数列?xn?有上界；若存在常数M，使对n?1,2,?，有xn?M，则称数列?xn?有下界. 显然，数列?xn?有界的充要条件是?xn?既有上界又有下界. 例3 数列n??122n?n有界；数列有下界而无上界；数列有上界而无下界；数列n2?1????n?1?既无上界又无下界. ?定理 2 若数列?xn?收敛，则数列?xn?有界. 证设limxn?a，极限定义，?ε?0，且ε?1，?N?0，当n?N时，|xn?a|?ε?1，n??从而xn取M?max1?a,x1,x2,?,xN，则有xn?M，对一切n?1,2,3,?，成立，即?xn?有界. 定理2 的逆命题不成立，例如数列(?1)n有界，但它不收敛. xn?a，a?0定理3 若lim，则?N?0，当n?N时，xn?0. 证极限定义，对ε?aaa3?0，?N?0，当n?N 时，xn?a?，即?xn?a，故当2222an?N时，xn??0. 2类似可证a?0的情形. 推论设有数列?xn?，?N?0 ，当n?N时，xn?0 (或xn?0)，若limxn?a，则必有a?0 n??(或a?0). 在推论中，我们只能推出a?0 (或a?0)，而不能xn?0 (或xn?0)推出其极限(若存在)也大于0(或小于0).例如xn?11?0，但limxn?lim?0. n??n??nn下面我们给出数列的子列的概念. 定义 4 在数列?xn?中保持原有的次序自左向右任意选取无穷多个项构成一个新的数列，在选出的子列中，记第1项为xn1，第2项为xn2，?，第k项为xnk，?，则数列?xn?的称它为?xn?的一个子列.子列可记为表示xnk在子列xnk中是第k项，nk 表示xnk在原数列?xn?中是第nk项.显然，对每一个k，有nk?k；对任意正整数h，k，如果h?k，则nh?nk；若nh?nk，则h?k于在子列xnk中的下标是k而不是nk，因此xnk收敛于a的定义是：?ε?0，?K?0，当k?K时，有xnk?a?ε.这时，记为limxnk?a .k???????????定理4limxn?a的充要条件是：?xn?的任何子列{xnk}都收敛，且都以a为极限.k??证先证充分性.于?xn?本身也可看成是它的一个子列，故条件得证.下面证明必要性.limxn?a，?ε?0，?N?0，当n?N时，有k??xn?a今取K?N，则当k?K时，有nk?nK?nN?N，于是xnk?a?ε.故有k??limxnk?a.定理4用来判别数列?xn?发散有时是很方便的.如果在数列?xn?中有一个子列发散，或者有两个子列不收敛于同一极限值，则可断言?xn?是发散的.例4 判别数列xn?sinnπ,n?N*的收敛性.8解在?xn?中选取两个子列：??kπ,k?N?，即?si n8π,sin16π,???sin8kπ,????；?sin88 888*???16k?4?π?16k?4?π,?????20π?*?sin ,???sinsin,k?N，即??. ??888??????显然，第一个子列收敛于0，而第二个子列收敛于1，因此原数列sinnπ发散. 8??三、收敛准则定义 5 数列?xn?的项若满足x1?x2???xn?xn?1??，则称数列?xn?为单调增加数列；若满足x1?x2???xn?xn?1??，则称数列?xn?为单调减少数列.当上述不等式中等号都不成立时，则分别称?xn?是严格单调增加和严格单调减少数列. 收敛准则单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限. 该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去证明. n????1??例 5 证明数列??1???收敛. n??????n????1??证根据收敛准则，只需证明??1???单调增加且有上界. n??????二项式定理，我们知道11121n1xn?(1?)n?1?Cn?Cn???Cn2nnnnn11112112 n?1，?1?1?(1?)?(1?)(1?)???(1?)(1?) ?(1?)2!n3!nnn!nnn1n?111112n?1xn?1?(1?)?1?Cn?Cn???Cn?1?1?12n?1n?1( n?1)(n?1)n?111112?1?1?(1?)?(1?)(1?)??2!n?13!n?1n?1112n?1 ?(1?)(1?)???(1?)n!n ?1n?1n?1112n，?(1?)(1?)???(1?)(n?1)!n? 1n?1n?1逐项比较xn与xn?1的每一项，有xn?xn?1，n?1,2,?. 这说明数列{xn}单调增加，又xn?1?1?111???? 2!3!n!111?1?1??2???n2221?1n2?3?1?3. ?1?2n?11?12nn???????? 1??1??即数列??1???有界，收敛准则可知??1???收敛. n??n??????????n????1??我们将??1???的极限记为e，即n??????1lim?1?????e. n???n?n第三节函数的极限函数概念反映了客观事物相互依赖的关系.它是从数量方面来描述这种关系，但在某些实际问题中，仅仅知道函数关系是不够的，还必须考虑在自变量按照某种方式变化时，相应的函数值的变化趋势，即所谓的函数极限，才能使问题得到解决.正如我们对数列极限的定义，数列?xn?可看做自变量为正整数n的函数：xn?f?n?，n?N*，所以，数列的极限可视为函数极限的特殊类型.下面介绍函数极限的一般类型. 一、x??时函数的极限当自变量x的绝对值无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的只是自变量的变化可以是连续的. 定义1 设函数f?x?在区间[a,??)上有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数X，使得当x满足不等式x?X时，对应的函数值f?x?都满足不等式f?x??A?ε，那么，称函数f?x?当x趋于+∞时极限存在并以A为极限，记作limf(x)?A 或f(x)?A(x???). x?? 在定义中正数X的作用与数列极限定义中的正整数N类似，说明x足够大的程度，所不同的是，这里考虑的是比X大的所有实数x，而不仅仅是自然数n，因此，当x???时，函数f?x?以A为极限意味着：A的任何邻域必含有f在某个区间??X,???的所有函数值. 定义1的几何意义如图1-30所示，作直线y?A?ε和y?A?ε，则总有一个正数X存在，使得当x?X时，函数y?f?x?图形位于这两条直线之间.定理2表示，如果函数f(u)和φ(x)满足该定理的条件，那么作代换u?φ(x)可把求x?x0limf(φ(x))化为求limf(u)，这里u0?limφ(x). u?u0x?x0第六节极限存在准则与两个重要极限有些函数的极限不能直接应用极限运算法则求得，往往需要先判定极限存在，然后再用其他方法求得.这种判定极限存在的法则通常称为极限存在准则.在第二节中我们介绍了数列极限的收敛准则.下面介绍几个常用的判定函数极限存在的定理. 一、夹逼定理定理1设函数f?x?，F1?x?和F2?x?在点x0的某去心邻域内有定义，并且满足F1?x??f?x??F2?x?；limF1(x)?limF2(x)?a x?x0x?x0则有limf(x)?a. x?x0证已知条件，?δ1?0，当x?U?x0,δ1?时，F1?x??f?x??F2?x?. ?又limF1?x??limF2?x??a 知?ε?0，x?x0x?x0?δ2?0，当x?U?x0,δ2?时，F1?x??a?ε ，?δ3?0，当x?U?x0,δ3?时，F2?x??aa?ε?F1(x) ?f?x? ?F2?x??a?ε. ???极限定义可知limf(x)?a. x?x0夹逼定理虽然只对x?x0的情形作了叙述和证明，但是将x?x0换成其他的极限过程，定理仍成立，证明亦相仿.例如，若?X?0使x?X时有F1?x??f?x??F2?x?，且x???limF1?x??limF2?x??a, x???则limf(x)?a x???夹逼定理对数列极限也成立.如果数列{xn},{yn}及{zn}满足yn?xn?zn(n?1,2,3,...),且limyn?a,limzn?a，那么数列{xn}的极限存在，且limxn?a. n??n??n??二、函数极限与数列极限的关系定理2limf(x)?a的充要条件是对任意的数列?xn?，xn?D?fx?x0??xn?x0?，当xn?x时，都有limf?xn??a，这里a 可为有限数或为?. 0n??此定理的证明较繁，此处从略. 定理 2 常被用于证明某些极限不存在. 1例 1 证明极限limcos不存在. x?0x1，则1证取?xn??limxn?lim?0，而n??n??2nπ2nπ1limcos?limcos2nπ?1. n??xnn??????11xn??lim?0，而又取xn????，则limn??n??2n?1π2n?1π????????1limcos?li mcos(2n?1)π??1，n???xnn????于limcos1?limcos1 n??xnn??x?n故limcosx?01不存在. x＊三、柯西收敛准则定理 3 limf(x)?a的充要条件是：?ε?0，?δ>0，当x1,x2?D且0?x1?x0 x?x00?x2?x0?δ时，有f?x1??f?x2??ε. 证明从略. 定理3中的极限过程改为x???，x???或x??时，结论仍成立. x2?X2定理 4 limf(x)?a的充要条件是：?ε?0，?X>0，当x1,x2?D，且x1?X，x??时，有f?x1??f?x2??ε. 四、两个重要极限利用本节的夹逼定理，可得两个非常重要的极限. ?1 x?0xsinxπ???1.因为x?0?，可设x???0，?.如图1－32所示，其中，EAB为x?2?我们首先证明lim?x?0单位圆弧，且OA?OB?1，?AOB?x，则OC?cosx，AC?sinx，DB?tanx，又△AOC的面积＜扇形OAB的面积＜△DOB的面积，即cosxsinx＜x＜tanx. 图1-35 因为x????0，π?2??，则cosx?0，sinx?0，故上式可写为cosx?sinx1x?cosx. lim1x?0cosx?1，limx?0cosx?1，运用夹逼定理得xlimsinx?0?x?1. 注意到sinxx是偶函数，从而有limsinx?sin(?x)sinz0?xxlim?0??x?lim?x?z ?0?z1. 综上所述，得limsinxx?0x?1.例 2 证明limtanxx?0x2?1. 证limtanxsinx1x?0x?limx?0x?cosx ?limsinx x?0x?lim1x?0cosx?1. 例 3 求lim1?cosxx?0x2. ?2解lim?cosx2(sinx2)21sinx?x?0x2?limx?0x2? 12lim??2?x?0?1. ?x?2?2??例 4 求limtanx?sinxx?0x3. 解limtanx?sinxsinx(1?cosx)x?0x3?limx?0x3 cosx ?limsinx1?cosx11x?0x?x2?cosx?2. 例 5 求limx??xsin1x. 解令u?1x，则当x??时，u?0，故(1-6-1)1sinu?lim?1. x??xu?0u从以上几例中可以看出，式中的变量可换为其他形式的变量，只要在极限过程中，该变量趋于零.即如果在某极限过程中(x?x0,x??,x???,x???)有sinu(x)limu(x)?0[u(x)?0]，则lim?1仍然成立的. u(x)limxsin11??2. lim????e x???x?11??在本章第三节例5中，我们已证明了lim????e. x???n?对于任意正实数x，取n?[x]，则有n?x?n?1，并且有x???与n??两个极限过程是等同的.故有1?1?1?1?1?1，及n?1xnnx?1?1???1?1???1?1???????n?1??x? ?n??于x???时，有n??，而?1?1?n??n?1?1???lim?1???limn?? ?n?1?n??1?1n?1n?1nxn?1. ?e，1lim?1????n???n?11??夹逼定理使得lim????e.x????x?xn?11?lim?1????n???n?n?1?1??e ，???n??11??下面证lim????e. x????x?令x???t?1?，则x???时，t???，故11?lim?1???lim?1?????x????x?t????t?1?x?(t?1)xt??lim???t????t?1??(t?1)t??lim???t????t?1?综上所述，即有t?t??e. ???t?1?x1lim?1?????e. (1-6-2) x???x?在式中，令z?1，则当x??时，z?0，这时式变为xlim(1?z)?e.(1-6-3) z?01z为了方便地使用式和式，将它们记为下列形式：在某极限过程中，若limu?x???，则?1?lim?1???u(x)?u(x)?e；在某极限过程中，若limu?x??0，则lim??1?u(x)??1u(x)?e. k1??例6求lim????k?0?. x???x?k??1?k?k 解lim?1??lim????x???x???x?x?x??kk???lim ??1????ek. x????x????kxx?kxx?1?例7求lim???.x???x?2?x?1??1??1??lim?1??lim?1?解lim???????x???x?2?x???x?2?x???x?2?xxx ?2?2x ?1??lim?1???x???x?2?例8求limx?2?1??lim?1??e?1. ??x???x?2??2ln(1? x). x?0x1ln(1?x)x解lim?limln(1?x)?lne=1. x?0x?0xx例9求lime?1. x?0x解令u?ex?1，则x?ln?1?u?，当x?0时，u?0，故ex?1u1lim?lim?lim?1.x?0u?0ln(1?u)u?0ln(1?u)xulnx?lnaa?0. ??x?ax?a解令u?x?a，则x?u?a，当x?a时，u?0，故ln(u?a)?lnalnx?lna lim?limx?au?0x?aua1uu1?limln(1?)?.u?0aaa例9、例10的结论，我们很容易得到下面两个公式：ax?1lim?lna；(1-6-4) x?0xlnx?lna1lim?. (1-6-5) x?ax?aa其中a?0为常数.公式(1-6-4)和(1-6-5)可以看作是公式(1-6-2)的变形公式.第二个重要极限及其变形公式是计算幂指函数极限的一个有效方法.上述公式在实际应用时，我们经常结合本章第五节“复合函数求极限的方法”即定理2，使计算更加简单.下面以x?x0为例，说明这一方法.其他极限过程也一样适应. 首先将幂指函数凑为U(x)V(x)，其中U?x?,V?x?分别满足例10 求limx?x0limU(x)?e，[公式(1-6-2)，(1-6-4)或(1-6-5)求得]x?x0limV(x)?a，limV(x).limlnU(x)0x?x0则有x?x0limU(x)V(x)?limex?x0V(x)lnU(x)?ex ?x ?ealne?ea. 这里我们用到了本章第五节的定理2及极限运算法则. 上述方法，例7的计算可简化为?原式=lim?1??1x??x?2????x?2?1?????xx?2?e?1. 例11 求lim(x?2). x?x02?2x??x?x??1?x?x??2?e1?2?e. ?1??2 ?2lim原式=lim???????x?0??x?0??2x?2x?????1xxx1 x1第七节无穷小量的比较同一极限过程中的无穷小量趋于零的速度并不一定相同，研究这个问题能得到一种求极限的方法，也有助于以后内容的学习.我们用两个无穷小量比值的极限来衡量这两个无穷小量趋于零的快慢速度. 定义1 设α?x?，β?x?是同一极限过程中的两个无穷小量，即limα?x??0，limβ?x??0. 若limα(x)?0，则称α?x?为β?x?的高阶无穷小量，记为记为。

高等数学第一章

x1 ，x2 ，x3 ，，xn ，，这列数就称为数列，记作{xn}．
数列中的每一个数称为数列的项，第 n 项 xn 称为数列的一般项或通项．
（一）数列极限的概念
定义 2 对于数列 {xn} ，当 n 无限增大时，如果数列的一般项 xn 无限地接近于某一确定的数
值
a，则称常数
a
是数列 {xn} 的极限，或称数列 {xn} 收敛，其收敛于
（二）指数函数
y ax (a 0 ，a 1) 为指数函数，它的定义域为 ( ， ) ，值域为 (0 ， ) ．当 a 1 时，y ax 单调增加；当 0 a 1 时， y ax 单调减少．指数函数的图形都经过点 (0 ，1) ，且均在 x 轴上方。
（三）对数函数
y loga x (a 0 ，a 1) 为对数函数，它是指数函数 y ax 的反函数，其定义域为 (0 ， ) ，值域为 ( ， ) ．当 a 1 时， y loga x 单调增加；当 0 a 1 时， y loga x 单调减少．对数函数的图形都经过点 (1，0) ，且均在 y 轴的右方.
其中，D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量．
（三）函数的定义
当 x 取定义域 D 内的某一定值 x0 时，按照对应法则 f ，所得的对应值 y0 称为函数 y f (x) 在
x0 处的函数值，记作
y0
y x x0
f (x0 ) ，
当 x 取遍定义域 D 中的所有数值时，按照对应法则 f ，所得的所有对应值 y 构成的集合称为函数的值域，记作 M {y | y f (x) ，x D}．
则称函数 f (x) 在区间 I 上是单调增加的，区间 I 称为单调增区间；如果对于区间 I 内的任意两点 x1 ，x2 ，当 x1 x2 时，恒有 f (x1) f (x2 ) ，

二年级上册数学第一章

二年级上册数学第一章数的认识和数的排序数学是一门充满智慧和趣味的学科，它能帮助我们发展逻辑思维和解决问题的能力。

在二年级上册的数学教材中，第一章主要讲述了数的认识和数的排序，下面我们来一起探索一下。

一、认识数的基本概念数字是我们生活中不可或缺的一部分。

在日常生活中，我们经常接触到各种数字，比如我们的年龄、身高、体重等。

那么，什么是数字呢？数字是用来表示数量和顺序的符号。

在我们学习数学时，我们用阿拉伯数字来表示不同的数量。

在认识数字的过程中，我们需要了解自然数、正整数、零和负整数等概念。

自然数是从1开始的整数，用N表示；正整数是从1开始的整数，用Z+表示；零是一个特殊的数字，用0来表示；负整数是小于零的整数，用Z-表示。

二、认识数的比较和排序在生活中，我们经常需要对事物进行排序。

比如，排队时按照身高排列，或者按照成绩高低排名等。

在数学中，我们也需要对数字进行比较和排序。

1. 比较数的大小为了比较数的大小，我们使用了“大于”、“小于”和“等于”这三个数学符号。

当一个数大于另一个数时，我们使用“>”来表示；当一个数小于另一个数时，我们使用“<”来表示；当两个数相等时，我们使用“=”来表示。

2. 数的排序在数的排序中，我们需要根据大小来确定数字的顺序。

比如，给出一组数字1、5、2、4、3，我们需要按照从小到大的顺序进行排序。

当我们进行数字排序时，可以使用冒泡排序的方法。

冒泡排序的原理是通过多次比较和交换相邻的数字，将较大或较小的数字逐渐“冒泡”到数列的顶端或底端，从而实现排序。

三、数的认识和排序的应用数的认识和排序不仅是数学中的基本概念，也是我们日常生活中的常见应用。

1. 数字的计数我们可以利用数的认识进行计数。

比如，在家里数房间的数量、数零食的数量等。

通过数的计数，我们可以对事物进行有序地管理和归类。

2. 数字的排序数字的排序在日常生活中也有广泛应用。

比如，在商场购物时，我们可以根据商品价格的大小进行排序，从而选择出最合适的商品。

人教版七年级数学上册第一章有理数及其运算知识点总结大全

有理数及其运算知识点总结大全一、本章知识概述本章所学习的是有理数及其运算，我们可以将本章的内容分为三大部分：第一部分：主要内容是有理数的有关概念.首先是理解有理数的意义及分类，判断一个数是正数还是负数，运用正、负数表示生活中具有相反意义的量．其次是认识数轴，用数轴上的点表示有理数，借助数轴认识相反数的概念及互为相反数的一对数在数轴上的位置关系，利用数轴比较有理数的大小．第三是理解绝对值的概念及求一个数的绝对值，利用绝对值比较两个负数的大小，通过应用题解决实际问题，体会绝对值的意义和作用.第二部分：学习有理数的加减法运算，通过探索有理数加法法则和运算律的过程，理解有理数的加法法则和运算律，利用有理数的加法法则进行有理数的加法运算，并利用运算律简化运算；通过探索有理数减法法则的过程，理解有理数的减法法则，利用有理数的减法法则进行有理数的减法运算；利用有理数的加、减法法则进行包括整数、分数或小数的有理数的加减混合运算，并适当利用运算律简化运算；综合运用有理数及其加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系．第三部分：主要内容是有理数的乘、除、乘方运算及有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算．经历探索有理数乘法法则及运算律的过程，发展观察、归纳、猜测、验证等能力.根据有理数乘法法则进行有理数的乘法运算，运用乘法运算律简化计算；根据有理数除法法则进行有理数的除法运算，求有理数的倒数；根据有理数乘方的意义进行有理数的乘方运算，通过实例感受当底数大于1时，乘方运算结果的快速增长．根据有理数混合运算顺序的规定，进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算，在运算过程中，合理使用运算律简化运算；使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，使用计算器进行实际问题的复杂运算．二、重点知识归纳及讲解1、正数和负数的概念比0大的数叫做正数；在正数前面加上“－”号的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数. 为了突出数的符号，可以在正数前面加“＋”号，一般地“＋”号往往省略不写，但负数前面的“－”号不能省略. 对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数.2、有理数的概念及分类整数和分数统称为有理数：正数、负数和零也统称为有理数．整数包括正整数、零和负整数、分数包括正分数和负分数；正数包括正整数和负整数；负整数包括负整数和负分数．到目前为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、零、负整数、负分数，因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数．有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的分数，但本章中的分数是指不包括分母是1的分数. 通常把正整数和零统为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整数和零统称为非正整数.3、数轴的概念及画法规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 数轴的概念中包含有三层含义：一是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二是说数轴具有原点，正方向和单位长度三要素，三者缺一不可；三是说数轴原点的选定，正方向的取向、单位长度大小的确定，是根据实际需要规定的.画数轴的步骤：（1）画一条直线，一般画成水平的直线；（2）在直线上选取一点为原点，用实心点表示，在原点下边标上0；（3）用箭头表示正方向，一般规定向右为正；（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出，并在下边标上对应的数.4、相反数的概念如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0. 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等，这就是相反数的几何意义. 一般地，数a的相反数是－a，这里a表示任意一个数，可以是正数、负数或零，还可以代表任意一个代数式，表示或求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上一个“－”号就可以了. 相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数；不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数，只有符合不同的两个数是说除了符号不同以外完全相同.5、绝对值的概念在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，数a的绝对值记作“|a|”. 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，这就是绝对值的代数意义，也可表示为：6、绝对值的有关性质（1）对任意有理数a，都有|a|≥0；（2）若|a|=0，则a=0；（3）若|a|=|b|，则a=b或a=－b；（4）若|a|=b（b>0），则a=±b；（5）若|a|＋|b|=0，则a=0且b=0；（6）对任意有理数a，都有|a|=|－a|.7、有理数大小的比较法则在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.8、有理数加法法则在中，a 叫做底数，n 叫做指数，叫做幂．n a na 的读法有两种：n a (1)读作a 的n 次幂．(2)读作a 的n 次方．20、有理数的乘方法则正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．21、科学记数法把一个大于10的数记成的形式，其中a 的整数位数只有一位，这种记数的方法，叫做科学记10na 数法．22、有理数的混合运算有理数的运算中，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方（及开方——乘方的逆运算，以后将讲到）为三级运算.对于有理数的混合运算，要特别注意运算顺序及正确使用符号法则确定各步运算结果的符号.有理数的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，对于同级运算，一般从左到右依次进行.如果有括号，就先算括号内的，且一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的.如果能利用运算律简化计算，可变更上面的运算顺序，灵活处理.三、难点知识剖析1、负数的产生及其意义随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，为了满足实际需要，引入了负数、负数是由于实际需要产生的，负数也是客观存在的数 . 正数和负数通常表示具有相反意义的量，若正数表示某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量，反之亦然 .2、数集的概念把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集、所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似地，所有整数组成的数集叫做整数集，所有正数组成的数集叫做正数集，所有负数组成的数集叫做负数集，等等 .3、多重符号的化简规律单独一个有理数前面的“＋”号和“－”号，一般都是性质符号，读作“正”号或“负”号 . 括号前是“＋”号时，去掉括号和“＋”号后，括号内的数不变，括号前是“－”号时，去掉括号和“－”号后，括号内的数就变成它的相反数 . 在一个数的前面添加一个“＋”号，仍然与原数相同；在一个数的前面添加一个“－”号，就成为原数的相反数 .4、两个负有理数的大小比较两个负有理数的大小比较与其它数一样，可以利用数轴找准两个负有理数在数轴上的对应点，右边的数总比左边的数大 . 两个负有理数的大小比较，还可以利用绝对值，求这两个数的绝对值，比较两个数绝对值的大小，绝对值大的反而小 .5、有关绝对值的计算及化简107。

北师大版八年级数学上册第一章全部课件

总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图，其中点A表示小王所在位置，点C、点B表示两个时刻敌方汽车的位置.
弦勾
股图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个小方格，即A的面积是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程

高一数学知识点归纳大全第一章

高一数学知识点归纳大全第一章【(一)、映射、函数、反函数】1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.2、对于函数的概念，应当特别注意如下几点：(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.(2)掌控三种表示法——列表法、解析法、图象法，能够根实际问题谋求变量间的函数关系式，特别就是会求分段函数的解析式.(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.3、求函数y=f(x)的反函数的通常步骤：(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;(2)由y=f(x)的解析式算出x=f-1(y);(3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域.特别注意①：对于分段函数的反函数，先分别算出在各段上的反函数，然后再分拆至一起.②熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.【(二)、函数的解析式与定义域】1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：(1)有时一个函数源自于一个实际问题，这时自变量x存有实际意义，谋定义域必须结合实际意义考量;(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：①分式的分母严禁为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正弦函数y=tanx(x∈r，且k∈z)，余切函数y=cotx(x∈r，x≠kπ，k∈z)等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)未知一个函数的定义域，谋另一个函数的定义域，主要考量定义域的深刻含义即可.已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.2、求函数的解析式通常存有四种情况(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.(2)有时题设得出函数特征，求函数的解析式，可以使用未定系数法.比如说函数就是一次函数，entitledf(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b为未定系数，根据题设条件，列举方程组，算出a，b即可.(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.(4)若未知f(x)满足用户某个等式，这个等式除f(x)就是未知量外，还发生其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据未知等式，再结构其他等式共同组成方程组，利用求解方程组法求出来f(x)的表达式.【(三)、函数的值域与最值】1、函数的值域依赖于定义域和对应法则，不论使用何种方法求函数值域都应当先考量其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将Rewa的繁杂函数转化成另一种直观函数Ploudalm值域，若函数解析式中所含根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里就是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)分体式方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可以考量用分体式方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”谋值域.其题型特征就是解析式中所含根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所则表示的几何意义，借助几何方法或图象，谋出来函数的值域，即以数形融合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上就是相同的，事实上，如果在函数的值域中存有一个最轻(小)数，这个数就是函数的最轻(小)值.因此求函数的最值与值域，其实质就是相同的，只是回答的角度相同，因而答题的方式就有所雷同.如函数的值域是(0，16]，值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用领域函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.【(四)、函数的奇偶性】1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).正确理解奇函数和偶函数的定义，必须特别注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点等距就是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)就是定义域上的恒等式.(奇偶性就是函数定义域上的整体性质).2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。

数学六年级第一章教学解析

数学六年级第一章教学解析数学是一门理性而抽象的学科，对于学生来说可能会感到困惑和难以理解。

在六年级的数学学习过程中，第一章是非常重要的基础内容。

本文将对数学六年级第一章的教学进行解析，以帮助学生更好地掌握这一章节的知识点。

第一节：整数的认识与运算整数是数学中的基础概念，对于学生来说需要理解并掌握整数的概念和运算规则。

首先，整数包括正整数、负整数和零，在数轴上的表示以及大小比较都是重要的内容。

其次，学生需要熟练掌握整数的加法、减法、乘法和除法等基本运算方法，并能够运用到实际问题中。

为了帮助学生更好地理解整数的运算规则，教师可以通过生动有趣的示例和练习题来引导学生进行讨论和思考。

第二节：小数的认识与运算小数是数学中的另一个重要概念，在日常生活中也比较常见。

学生需要理解小数的意义和表示方法，能够进行小数的加减乘除运算。

在教学过程中，教师可以通过实际示例，如货币兑换、食物比例等问题，来帮助学生理解小数的运算。

同时，引导学生熟练掌握小数的进位和退位规则，培养他们的计算能力。

第三节：分数的认识与运算分数是数学中的重要内容之一，对于学生来说可能相对较难。

在六年级中，学生需要掌握分数的基本概念和常见表示方法，能够进行分数的加减乘除运算。

在分数的教学中，教师可以通过使用实物、几何模型等教具，帮助学生形象地理解分数的概念和运算规则。

同时，提供大量的练习题目和实际应用问题，让学生进行反复练习和思考，巩固所学知识。

第四节：几何图形的认识与计算几何图形是数学中的重要内容之一，也是实际生活中常见的形状。

在六年级数学中，学生需要学习并掌握常见几何图形的名称、特点和计算方法。

教师可以通过实际操作、几何模型等方式，引导学生主动参与到几何图形的认识和计算中。

在教学过程中，可以采用分组探究的形式，让学生合作解决问题，培养他们的观察和思考能力。

第五节：数的应用数学的应用是培养学生实际运用数学知识解决问题的重要环节。

在六年级的数学教学中，需要通过举一些实际生活中的例子，让学生运用所学的知识解决问题。

浙教版数学目录

浙教版数学目录浙教版数学教材目录一、三年级上册第一章数的认识 1.1 千以内数的认识 1.2 万以内数的认识 1.3 多位数的认识第二章计算方法 2.1 两步计算的加减法 2.2 三步计算的加减法2.3 乘法口诀和乘除法的计算第三章空间几何 3.1 物体和图形认识 3.2 平面图形的认识 3.3 立体图形的认识第四章应用题 4.1 解应用题的基本步骤和方法 4.2 简单应用题4.3 两步计算的应用题二、三年级下册第一章数的认识 1.1 分数和小数的认识 1.2 百分数的认识 1.3 负数的初步认识第二章计算方法 2.1 分数的加减法 2.2 小数的加减法 2.3 小数和分数的转化第三章空间几何 3.1 平面图形的周长和面积计算 3.2 立体图形的表面积和体积计算 3.3 图形的放大和缩小第四章应用题 4.1 分数和小数应用题的解法 4.2 百分数应用题的解法 4.3 比例应用题的解法三、四年级上册第一章四则运算 1.1 加减乘除的运算顺序 1.2 有括号和没有括号的四则运算 1.3 分数和小数的混合运算第二章数量关系 2.1 时、分、秒和千米的认识 2.2 质量和重量的认识 2.3 应用题中的数量关系第三章空间几何 3.1 图形的平移和旋转 3.2 轴对称图形和中心对称图形 3.3 图形的放缩和相似图形第四章统计初步知识 4.1 条形统计图和折线统计图的制作方法4.2 数据的分析和预测方法 4.3 概率初步知识四、四年级下册第一章数的认识 1.1 小数的意义和性质 1.2 分数的意义和性质1.3 正负数和有理数的认识第二章计算方法 2.1 混合运算的顺序和法则 2.2 有理数的加减乘除运算 2.3 有理数的大小比较和绝对值第三章应用题 3.1 有理数应用题的解法 3.2 多边形面积的计算方法 3.3 体积和表面积的计算方法第四章空间几何与数据处理初步知识 4.1 图形的平移、旋转和轴对称的应用 4.2 数据整理和统计图表的应用 4.3 简单的几何体的展开图的应用。

七年级数学第一章代数初步认识1.4公式知识精讲人教义务代数

七年级数学第一章代数初步认识知识精讲人教义务代数知识点拨：公式本身可以看成是用符号连结起来的两个代数式.公式包含着代数式、列代数式、求代数式的值等基本内容.公式的导出来自列代数式. 而公式在现阶段的主要应用就是利用公式求代数式的值.在小学我们已经学过许多面积公式、体积公式，还有路程公式，此外还有单价、总价、数量间的公式等等，在解决实际问题时，都要用到有关公式.同学们要自己认真地整理一下已学过的公式，以便准确地进行运用.方法指导：1.公式和代数式的联系与区别公式不是代数式，代数式也不是公式，公式中含有等号，代数式中不含有等号；但公式的等号两边都是代数式.2.公式的导出(1)一种类型是根据问题中图形的特点(图形周长、边长、面积等的联系)，利用已知的常用规则图形的计算公式(如正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆等的有关计算公式等)推出新的公式.(2)一种类型是根据问题中的数量关系的变化规律(如数据表给出的数值对应关系)，归纳总结出一般性的公式.疑难解析：本节重点是能利用公式解决一些简单的实际问题.难点是根据已知条件推导出公式.例1(课本第23页A组第7题)商店进了一批货，出售时要在进价(进货的价钱)基础上加一定利润，其数量x与售价c如下表：(1)写出用数量x表示售价c的公式；(2)计算千克货的售价.分析可将售价栏内两部分分别进行分析、归纳.加号前数量1售价4，数量2售价8，……，数x售价4x；加号后数量1售价，数量2售价，…，数量x售价0.2x.再把两部分相加即可，这种由特殊到一般，再由一般到特殊的认识方法，值得我们重视.解：(2)c=4××＝元例2 (课本第23面B组第2题)青山水泥厂以每年产量增长10%的速度发展，如果第一年的产量是a，那么第二年的产量是多少?第三年的产量是多少?分析：后一年的产量是前一年产量加上后一年比前一年增加的产量，第二年产量为a+10%a＝(1+10%)a，第三年产量是(1+10%)a+10%(1+10%)a＝(1+10%)2a.本题不难归纳出第n 年的产量是(1+10%)n-1a.解：第二年产量是(1+10%)a，第三年的产量是(1+10%)2a.例3 (课本第23面B组第3题)3个球队进行单循环比赛(参加比赛的每一个队都与其他所有的队各赛一场)，总的比赛场次是多少?4个球队呢?5个球队呢?写出m个球队进行单循环比赛时总的比赛场次n的公式.分析：3个球队进行单循环比赛，每队都要与另两个队比赛，每场比赛都有两个队比赛，除去重复的，共有2+1场次比赛；4个球队共有3+2+1场次比赛；5个队共有4+3+2+1场比赛，…，m个队中的每一个队都要与(m-1)个队比赛，共有(m-1)+(m-2)+…+2+1场比赛.解：3个球队要比赛3场；4个球队要比赛6场；5个球队要比赛10场；m个球队要比赛2)1(mm场. 典例精评：例1 如上图，矩形的两边长为a 米，b 米，(a ＜b ＝，四周的边宽为x 米. (1)写出图中带有阴影的矩形面积S 的公式，并注明字母x 的条件. (2)求当a ＝4，b ＝10，x ＝1时，S 的值.分析：本题是利用已学的长方形面积公式推导出新的矩形的面积公式. 解：(1)带阴影的矩形长为b-2x,宽为a-2x. ∴S ＝(a-2x)(b-2x),(x<21a) (2)当a ＝4，b ＝10，x ＝1时，S ＝(4-2×1)(10-2×1)＝2×8＝16(平方米)例2 若已知1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…求1+3+5+7+…+(2n-3)+(2n-1)＝? 解：由已知等式可观察到，等式左边有几个数，等式右边就是这个数的平方，由于1+3+5+7+ …+(2n-3)+(2n-1)中共有n 个数，故可归纳得到公式1+3+5+7+…+(2n-3)+(2n-1)＝n 2.评析：此例说明公式可以从特殊事例的归纳中得到，这是一种由特殊到一般的认识方法，在物理、化学中有许多公式，就是通过实验得到数据，再利用观察归纳的方法得到的，这是一种探索问题的方法.例3 求21++⋯+++++)434241()3231(()6059602601+⋯++的值.解：设S=)6059602601()434241()3231(21+⋯+++⋯++++++将S 中每个括号内的各数倒过来写，得S ＝)60160586059()414243()3132(21+⋯+++⋯++++++将上面的两式相加得 2S ＝1+2+3+…+59＝259)591(⨯+＝1770S ＝885评析：这种方法称为“倒写相加法”.显然这种方法使得每个括号内的分数都凑成了整数，然后利用已总结的公式S ＝1+2+…+n ＝2)1(nn +求出结果，看似无从下手，运用此法却迎刃而解.考点预测：本节考查学生运用公式解决实际问题的能力及推导公式的能力.题型灵活多样，要引起高度重视.例1 如上图，以正方形各边为直径在正方形的内部画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积，下列计算方法正确的是( )A.三个半圆的面积减去正方形的面积B.四个半圆的面积减去正方形的面积C.正方形的面积减去两个半圆的面积D.正方形的面积减去三个半圆的面积分析: 这是一个复杂图形的面积计算问题，没有可以直接可用的阴影部分面积的计算公式，需要依据图形间的关系，转化用规则图形的面积计算公式推算.观察图形可以发现，四个半圆完全覆盖了正方形，而阴影部分恰好是四个半圆重复一次所形成的，所以阴影部分面积等于四个半圆的面积减去正方形的面积.解：B.例2 某商店出售一种食品，出售时，要在进价的基础上加上一定的利润作为出售价，数量x 与售价C之间的关系如下：数量x（袋）售价C（元）1234……(1)写出售价C 用x 表示的公式. (2)求售出100袋该食品的售价是多少.分析: 怎样用含x 的代数式表示C 呢，观察上表，分析对应规律，在C 这一栏中的部分分为两部分的和，前部分C 1与x 的关系：34123926131=⋯=====x C 所以前部分C 1与x 的关系是C 1＝3x. 再看后部分C 2与x 的关系：5.040.235.120.115.02=⋯=====x C 所以后部分C 2与x 的关系是C 2＝0.5x. 所以合起来C ＝C 1+C 2＝3x+0.5x. 解：(1)C ＝3x+0.5x.(2)当x ＝100时.C ＝3××100 ＝350(元).答：售出100袋该食品售价为350元.【同步达纲练习】1.若平行四边形的一边长m ，这边上的高h ，则平行四边形的面积S ＝.2.一个圆形外圆半径为Rcm ，内圆半径rcm ，圆环面积公式S ＝cm 2. 本书售价p 元，若每本书售价d 元，则d ＝. 4.正方形棱长为a ，则这个正方体的体积V ＝.5.边长为a 的两个正方形组成一个长方形则这个长方形的面积为.6.银行存款的月利率为0.25%，某人存4000元，一年后取出本金和利息共元.7.将一个半径为10cm 的圆，挖去以圆心为顶点，中心角为60°的扇形后，则剩余图形的周长为cm.8.如图甲，正方形的边长a ＝2cm ，π＝，则图中阴影部分的面积为cm 2.9.如乙图，扇形的半径r ＝4cm,π＝3.14,则图中阴影部分的面积是cm 2.10.一桶油连桶重a 千克，其中桶重b 千克，把油平均分成3份，则每份油重( ) A.3a 千克 B.3b 千克 C.(3a -b)千克 D.3b a -千克 11.某工厂第一季度的产量为m ，第二季度比第一季度增长15%，则一、二两季度的总产量是( )A.m+15%×2mB.m+15%mC.2m+15%mD.2m-15%m12.小华从家里到学校共有S 千米的路程，上学用了a 小时，放学回家用b 小时，则小明往返学校的平均速度为( )千米/时. ＝2b a +＝+a S (21)b S ＝b a S +2＝ba S+ 13.一弹簧秤长5厘米，每挂1千克重物伸长厘米，若挂x 千克(0＜x ＜5)重物，这时弹簧长度L 为( )厘米.A.L=5+0.1xB.L=5-0.1xC.L=0.1xD.L=5×14.一个三角形和一个平行四边形底和高都相等，若三角形面积为S 1，平行四边形的面积为S 2，则S 1和S 2的关系是( )1＝S 2 1＝S 2 C.S 1＝2S 2 1＝S 215.矩形的一边增长10%，与它相邻的一边减少10%，那么矩形的面积将( ) A.增加10% B.减少10% C.增加1% D.减少1%16.利用公式S n＝2)1(n an可以计算前n个自然数的和，其中a n表示第n个自然数，S n表示前n个自然数的和，n表示自然数的个数，利用此公式计算前20个自然数的和.17.米店卖米，数量x(千克)与售价C(元)之间关系如下表：x克 1 …C（元）…(1)试写出售价C的公式.(2)计算当x＝5时，C的值.18.观察下列各式12+21＝33＝11×(1+2)23+32＝55＝11×(2+3)59+95＝154＝11×(5+9)可见式中的两位数(12，23，59)，个位数字与十位数字对调后，得到的数(21，32，95)与原数相加的和都能够被11整除.那么，对于十位数字为a，个位数字为b的两位数，也有这样的结论吗?若有，试写出类似的等式.补充练习：1.圆的直径为4cm，它的面积是( )πcm2 πcm2 C.2πcm2 D.πcm22.梯形的上底为3cm，下底为7cm，高为5cm，梯形的面积是( )A.50cm2B.25cm2C.30cm2D.15cm23.一个长方形的长为a，宽为b(如下图).在四个角各剪去一个边长为c的小正方形，则剩下的部分的面积为( )cm2.A.ab-(4c)2 -4c2 C.(ab-4c)2 -4c4.一个圆柱的底面半径为r ，高为h ，在它的正中又挖去一个底面半径为3r的圆柱形孔，那么剩下部分的体积是( ) A.98πr 2h B.32πr 2h C.31πr 2h D.278πr 2h 5.一个圆环的外圆半径为10cm ，内圆半径为6cm ，则圆环的面积为cm 2. 6.一个正方形的边长为6cm ，若它的边长增加2cm ，则正方形的面积增加cm 2. 7.一个圆的半径是一个正方形边长的21，那么这个圆与正方形的面积的比为. 8.某地的每月计费办法规定如下：每部固定交纳月租费a 元，通话费则采用累计计时收费，每分钟b 元(1)总结出用a 、b 及累计时x 表示的月计费y 的公式.(2)试制作一份表格，制出当a ＝12.5(元)，b ＝0.15(元)，累计计时为10(分钟)、20(分钟) ……的月计费y 的数值.(3)某用户本月累计时为150分钟，则该户本月的计费是多少元?[参考答案]【同步达纲练习】1.mh2.π(R 2-r 2) 3.mp3 26.41207.261.78.0.4318.有10a+b+10b+a=11(a+b) 补充练习： π 6.28 7.41π8.(1)y=a+b x (2)(3)35元。

七年级上册数学第一章知识点整理

《七年级上册数学第一章知识点整理》一、导言在七年级的数学学习中，第一章是非常重要的一部分。

通过这一章的学习，学生将建立起数学基本概念和运算规律，为以后的学习打下坚实的基础。

在这篇文章中，我们将全面评估七年级上册数学第一章的知识点，并据此撰写一篇有价值的文章，以帮助您全面、深刻地理解这一章的内容。

二、整体概述七年级上册数学第一章主要包括：1. 整数的概念和运算2. 整数的比较3. 整数在实际生活中的应用4. 拓展：负数的概念和运算5. 拓展：绝对值的概念和运用这些知识点构成了第一章的核心内容，对学生打下了整数概念和运算规律的基础，为学习后续内容奠定了基础。

三、具体知识点探讨1.整数的概念和运算在第一章中，我们首先学习了整数的概念和运算规律。

整数是由0、正整数和负整数组成的数集，通过学习了解了整数的概念及其运算规律，包括加法和减法的运算规则等。

我们还学习了整数的加法和减法，通过练习题和实际生活中的例子加深对整数运算的理解。

2.整数的比较第一章的另一个重要内容是整数的比较。

通过学习，我们明白了整数的大小关系，掌握了整数比较的方法和技巧。

这对于学生理解数轴、解决实际问题等具有重要意义。

3.整数在实际生活中的应用在第一章还有一个重要内容，即整数在实际生活中的应用。

我们学习了生活中各种与整数有关的实际问题，并通过实际例子将整数运用到日常生活中，包括质量、温度等，这加深了对整数的理解。

4.拓展：负数的概念和运算在第一章的拓展内容中，我们还学习了负数的概念和运算规律。

负数是整数的一部分，在实际生活中也具有重要意义。

通过学习，我们了解了负数的概念和运算规律，拓展了对整数概念的认识。

5.拓展：绝对值的概念和运用第一章还包括了绝对值的概念和运用。

通过学习，我们明白了绝对值的定义及其性质，并掌握了绝对值在实际问题中的运用方法。

四、总结与回顾通过对七年级上册数学第一章知识点的全面评估，我们对整数的概念和运算规律有了更深入的理解，掌握了整数比较的方法和技巧，了解了整数在实际生活中的应用，同时拓展了负数和绝对值的概念及其运用。

第一章走进小学数学课程-资料.ppt

几乎每时每刻我们都要在生产和日常生活中用到数学；
几乎所有的科学——如天文学、物理学、地质学、化学、生物学、医学、信息学、语言学、历史学等都广泛地应用数学这一工具。
几乎所有的领域——如军事、艺术、航空、经济、管理等也都广泛地应用数学这一工具。
1.1.3 数学的发展过程
❖数学萌芽时期(远古——公元前6世纪) ❖常量数学时期(公元前6世纪——17世纪) ❖变量数学时期(17世纪——18世纪) ❖近代数学时期(19世纪) ❖现代数学时期(20世纪以后)
数学学科与数学科学的区别
第一，科学的数学是对数学的理论与方法的系统阐述，一般从基本的概念和原理出发，全面完整地、系统地表述某一个数学领域的内容和方法。而作为学科的数学考虑学生的心理特点和认识规律，从学生的学习需要和可能出发，安排和呈现有关的内容和方法。
因此，学科的数学一般要从学生的生活实际出发，让学生充分感知所学的内容和方法。如对于数学概念的认识，不是从数学概念体系论述，而是从学生熟悉的实际，通过具体的实物，让学生通过操作、演示等方式直观具体地学习。
数学学科--数学学科是以培养学生，使学生了解数学，形成一定的数学素养为目的，是学生全面发展教育的一个组成部分。（是学生在老师的引导和帮助下的一个模仿探索、发现与创造的活动过程，其目的是为了“接受”已发现与创造的数学。）
数学学科与数学科学的联系
作为学科的小学数学是数学科学的一部分，包括算术、几何初步、代数初步和统计初步知识，以及与这些知识有关的技能和方法等，这些内容与数学科学有密切的关系。它们源于数学科学，遵循数学自身的科学性，同科学数学相似有之处，如数学本身的抽象性、形式化、符号化等特征，在学科数学中都有不同程度的反映。正是这些才保持了数学学科的基本性质。

高等代数教案第一章基本概念

第一章基本概念一综述1．本章是本门课程所需要的最基本概念（集合、映射、整数的一些性质、数环和数域）和方法（数学归纳法、反证法）.所需位置不同,可根据课时安排及进度分散处理.如集合、整数的一些整除性质、数学归纳法、数环和数域可先讲,映射可放在线性空间前讲.2．从内容上讲,除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外,其它内容是学生在中学数学当中熟知的,只不过是将有关内容的系统化、理论化（如整数的整除性、映射、数学归纳法,其在中学中熟知其一些事实,今在理论上加以严密论证）.3．新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念,数学归纳法作为定理的论证.4．学习本部分的难点是：从概念出发进行推理论证,这需要从具体例子引导训练,逐步培养.二重点、难点1. 重点在于所有基本概念,特别是引入的新概念.2. 难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明.1．1 集合一教学思考1．集合可以作为不定义的概念来处理,有些教材上给出了一个简单刻化.2．确定一个集合A,就是要确定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.说明一个集合包含哪些元素时,常用“列举法”、“示性法”（描述法）.3．中学代数大部分的内容是计算,因此一开始遇到证明题时,往往不知从何入手,此需注意培养学生的推理能力,这里应通过证明“集合相等”来加强这方面的训练.4．为稍拓宽知识,可讲解一下补集、幂集等概念.二重点、要求1．重点、难点：卡氏积的概念及从概念出发（集合相等、子集等）进行推理.2．要求：使学生了解有关集合的刻化及运算,培养推理能力.三教学过程1．集合：简称集,在此是一个不定义的原始概念,通常可给出如下描述性的解释：即所谓集合,是指由某些确定的事物（或具有某种性质的事物）组成的集体.其中每个事物称为这个集合的元素.常用大写字母A 、B 、C K 表示集合,用小写字母a 、b 、c K 表示集合的元素.若a 是集合A 的元素,就说a 属于A,记作A a ∈,或者说A 包含a.若a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A,记作a ∉A,或者说A 不包含a.常采用两种方法：（1）列举法：列出集合的所有元素（包括利用一定的规律列出无限集）的方法.如{}K ,3,2,1=A . （2）示性法（描述法）：给出集合所具有的特征性质.如{}043|2=-+=x x x B 表示方程0432=-+x x 的解集.2．集合的分类（按所含元素的个数分）：有限集：只含有有限多个元素的集合.无限集：由无限多个元素组成的集合.空集：不含任何元素的集合.用Φ表示.约定：Φ是任何集合的子集.3．集合间的关系：（1）设A 、B 是两个集合.子集：若A 的每个元素都是B 的元素,则称A 是B 的子集.（即若""B x A x ∈⇒∈∀）.记作B A ⊆（读作A 属于B ）；或者A B ⊇（读作B 包含A ）.相等：若集合A 和B 是由完全相同的元素组成的,则称A 与B 相等,记为A=B.（2）性质：（由定义易得）A ）A A ⊆；（反身性）B ）若C A C B B A ⊆⇒⊆⊆,；（传递性）C ）B A ⊆且A B ⊆⇒A=B.（反对称性）4．几个常用的数集（略）5．集合的运算（由两个集合得到一个新的集合）——交、并、补、卡氏积：设A 、B 是两个集合（1）并：由A 的一切元素和B 的一切元素组成的集合叫做A 与B 的并集,简称并.记作B A Y .即{}B x A x x B A ∈∈=或,|Y .（2）交：由集合A 与B 的公共元素组成的集合,叫做A 与B 的交集,简称交.记作B A I .即{}B x A x x B A ∈∈=但,|I . （3）余（差、补）：由一切属于A 而不属于B 的元素组成的集合,叫做B 在A 中的余（补）集,或称为A 与B 的差集.记作A-B.即{}B x A x x B A ∉∈=-,|.（4）积（卡氏积）：由一切元素对),(b a 所成的集合称为A 与B 的笛卡儿积（简称为积）.其中第一个位置的元素取自A,第二个位置的元素取自B.记为B A ⨯.即{}B b A a b a B A ∈∈=⨯,|),(.1．2 映射一教学思考 1．映射是近代数学中的一个基本概念.为使本部分内容更加系统化,可作必要的调整及层次化,按映射的概念（包括相等）及例子、映射的合成、几种特殊的映射来处理.2．概念多且成系列,注意帮助学生弄清概念的实质（包括概念的转述、注释、否定概念的描述、以及新概念与已有概念的联系,如映射的合成是函数与函数的合成的概念的推广）,注意训练从定义验证有关问题（给定一个法则是否为映射、分辨一个映射是不是单射、满射、可逆映射）的方法,语言要准确、清楚、有条理.同时初步领会怎样举例——包括正例和反例（内容与作业中皆有此问题）.二内容、重点、要求1．内容：映射、单、满、双（可逆）映射的概念、映射的合成等.2．重点：映射及有关概念,举例及由定义验证有关问题的方法.3．要求：理解并记住上述概念,学会举例与用定义的条件进行验证问题的方法.三教学过程1．概念与例子定义1. 设A 、B 是两个非空集合,A 到B 的一个映射指的是一个对应法则,通过这个法则,对于,x A y B ∀∈∃∈与它唯一对应.例子：（1）对,,Z n Z ∈∀令n n f 2)(=.（2）{}2)(,.0|,x x f R x x x B R A =∈∀≥==. （3）{}14,43,32,21:.,4,3,2,1ααααf B A ==.（4）*设A 是任一集合,对x x f A x =∈∀)(,.这是A 到自身的一个映射（称为A 的变换）,称为恒等映射（此为恒等变换）,记为A j . 定义2. 设B A g B A f →→:,:都是A 到B 的映射,若对,A x ∈∀都有)()(x g x f =,则称映射f 与g 相等,记为g f =. 如：2,:;,:x x R R g x x R R f αα→→.有g f =.2．映射的合成（1）定义3. 设C B g B A f →→:,:是两个映射,对A x ∈∀,有B x f ∈)(,从而C x f g ∈))((,这样,对,A x ∈∀就有C 中唯一的))((x f g 与之对应,就得到A 到C 的一个映射,这个映射是由:f A B →和C B g →:所决定的,称为f 与g 的合成.记作f g ο.即：))((,:x f g x C A f g αο→.例子：x x R R g x x R R f sin ,:;,:2αα→→ .则 x x R R g f x x R R f g 22sin ,:;sin ,:αοαο→→.（2）映射合成满足结合律：设,:,:,:D C h C B g B A f →→→则由合成映射的定义可得D A →的两个映射：f g h f g h οοοο)(),(,则f g h f g h οοοο)()(=.3．几类特殊映射定义4. 设,:B A f →对,A x ∈∀有B x f ∈)(,则所有这样的象所作成B 的子集,用)(A f 表示,即{}A x x f A f ∈=|)()(,叫做A 在f 下的象,或叫做映射f 的象.（1）满射: 定义5. 设B A f →:是一映射,若B A f =)(,则称f 是A 到B 上的一个映射,也称f 是一个满射.（2）单射: 定义6. 设B A f →:是一个映射,若对A x x ∈∀21,,只要21x x ≠,就有)()(21x f x f ≠,则称f 是A 到B 的一个单射,简称单射.（3）双射（1-1对应）:定义7. 若B A f →:既是单射又是满射,即1）若 A x x x x x f x f ∈∀=⇒=212121,,)()(；2）B A f =)(.则称f 是A 到B 的一个双射.特别若f 是A 到A 上的一个1-1对应,就称f 为A 的一个一一变换；有限集A 到自身的双射称为A 的一个置换.如：A j 是A 的一个一一变换,同样B j 是B 的一个一一变换.由映射合成及相等：若:f A B →,则有,A B f j f j f f ==o o .TH1.2.1令:f A B →是一个映射,则：下述两条等价：1）f 是双射；2）存在:g B A →使得,A B g f j f g j ==o o .且2）成立时,其中的g 由f 唯一决定.（4）可逆映射及其逆映射定义8. 设:f A B →,若存在:g B A →,使得,A B g f j f g j ==o o ,则称f 是可逆映射,且称g 为f 的逆映射.求其逆的方法由定理知：:f A B →可逆⇔f 是双射.而验证双射有具体方法,所以可先证f 可逆（双射）,再求其逆.而由TH1证知f 可逆时其逆唯一为:,g B A y x →a （若())f x y =（即对y B ∈,找在f 下的原象）.（5）代数运算引例：我们常说整数加法是整数的一个“代数运算”.其意思是说对任一对整数(,)a b ,有确定的唯一一个整数（通过相加）与之对应,用映射的观点来说整数加法是Z Z Z ⨯→的一个映射：:(,)a b a b ++a .同样实数乘法亦然.一般地：定义9. 设A 是一个非空集合,我们把A A A ⨯→的一个映射叫做集合A 的一个代数运算.若集合A 有代数运算σ,也说A 对σ封闭.数学归纳法一教学思考1. 本节主要介绍了数学证明中的一种非常重要的方法——数学归纳法；对于该内容学生不感陌生,因在中学内容中曾会应用.问题在于数学归纳法自身的理论证明,为此需要一个原理——（自然数集的）最小数原理.2. 本节主要讲清最小数原理（给出分析证明及必要的说明）,以及在此基础上的数学归纳法的证明.但更重要的是归纳法的解释——从特殊认识一般的思想方法,及数学归纳法应用中的关键（第二步）的突破.二内容、重点、要求1. 内容：最小数原理、数学归纳法（第一、第二）.2. 重点：数学归纳法的证明、应用,归纳思想的建立.3. 要求：了解最小数原理、理解数学归纳法的证明、掌握数学归纳法的应用.三教学过程引言：现实生活中经常使用这种方法：即首先考察、研究某些个别特殊的事物,再由这些事物总结和抽象出带有一般性规律和结论.这样的方法叫归纳法.1. 数学归纳法的基础——自然数集的一个基本性质：最小数原理最小数原理：自然数集N *的任一非空子集S 必含有一个最小数,即a S ∃∈,对,c S ∀∈都有a c ≤. 2. 数学归纳法TH1.3.1（第一数学归纳法）设有一个与自然数n 有关的命题()P n ,若满足下列两条：1）当1n =时()P n 成立；2）假设n k =时成立,则当1n k =+时也成立.则命题()P n 对于一切自然数n 都成立.TH1.3.2（第二数学归纳法原理）设有一个与自然数n 有关的命题()P n ,若满足下列两条：1）当1n =时()P n 成立；2）假设命题对于一切小于k 的自然数都成立时,命题对于k 也成立.则命题()P n 对于一切自然数n 都成立.整数的一些整除性质一教学思考1. 整数的性质是学生熟知的,本节只是将其系统化、理论化.主要从整除的定义、性质、带余除法,最大公因数及性质,互素三方面作了介绍.新的问题是有些概念较之在中学的概念有所区别,理论证明中运用最小数原理还不适应.2. 本节的目的主要为在多项式部分有与之平行的内容,助于学生对多项式类似内容的理解.作为自身的内容,需要将该部分层次化得清晰些.二内容、重难点、要求1. 内容：整数的整除性、带余除法、最大公因数及性质、互素.2. 重难点：带余除法、最大公因数的性质定理的证明.3. 要求：掌握有关概念、证明整除的方法、反证法的运用.三教学过程引言: 整除是研究整数性质的最基本的概念,从这个基本概念出发引进带余除法和辗转相除法,然后利用这两个工具建立了最大公因数（和最小公倍数）的理论（进一步证明了非常有用的算术基本定理）,这些都是初等数论的基本内容.注意：本节所述的概念在小学、中学是熟知的事实,但未加以严格的叙述,因而不要盲目地相当然,要从中体会严格的推理论述.此与多项式相应的问题平行,到时应对照学习.1. 整除、带余除法（1）整除A ）定义1. 设,a b Z ∈,若d Z ∃∈使得b ad =,则称a 整除b （或b 被a 整除）.用符号|a b 表示.这时a 叫做b 的一个因数,而b 叫做a 的一个倍数.若a 不整除b （即对,d Z ad b ∀∈≠）,记作|a b .B ）整除的性质：1）|,||a b b c a c ⇒；（传递性）2）|,||();a b a c a b c ⇒+3）|,|a b c Z a bc ∀∈⇒；4）由2）、3）|,,1,2,3,,|i i i i a b c Z i n a b c ∀∈=⇒∑L ；5）1|,|0,|()a a a a a Z ±±∀∈；由此任意整数a 有因数1,a ±±,它们称为a 的平凡因数； 6）若||a b a b ⇒±±；7）|a b 且|b a a b ⇒=或a b =-.（对称性）(2) 带余除法“整除”是整数间的一种关系,任意两个整数可能有这种关系,可能没有这种关系,一般地有：TH1.4.1(带余除法) 设,a b Z ∈,且0a ≠；那么,q r Z ∃∈使得b aq r =+ 且0r a ≤≤.满足上述条件的,q r 是唯一的.2. 最大公因数、互素（1）最大公因数A ）定义2. 设,,a b Z d Z ∈∈,若d 满足：1）|d a 且|d b （即d 是a 与b 的一个公因数）；2）若c Z ∈且|,||c a c b c d ⇒（即d 能被a 与b 的任一个公因数整除）.则称d 为a 与b 的一个最大公因数. 最大公因数的概念可推广至有限个整数.B ）最大公因数的存在性（及求法）TH1.4.2 任意n (2)n ≥个整数12,,,n a a a L 都有最大公因数；若d 为12,,,n a a a L 的一个最大公因数,则d -也是；12,,,n a a a L 的两个最大公因数至多相差一个符号.C ）性质TH1.4.3 设d 为12,,,n a a a L 的一个最大公因数,那么12,,,n t t t Z ∃∈L 使得1122n n d t a t a t a =+++L .略证：若120n a a a ====L ,则0d =,从而对i t Z ∀∈都有11220n n t a t a t a =+++L ；若i a 不全为0,由证明过程知结论成立.（2）互素定义3. 设,a b Z ∈,若(,)1a b =,则称,a b 互素；一般地设12,,,n a a a Z ∈L ,若12(,,,)1n a a a =L ,则称12,,,n a a a L 互素.TH1.4.4 n 个整数12,,,n a a a L 互素12,,,n t t t Z ⇔∃∈L 使得11221n n t a t a t a +++=L .3. 素数及其性质（1）定义4. 一个正整数1p >叫做一个素数,若除1,p ±±外没有其他因数.（2）性质1）若p 是一个素数,则对a Z ∀∈有(,)a p p =或(,)1a p =.（注意转换为语言叙述,证易；略）2）a Z ∀∈且0,1a ≠±；则a 可被某一素数整除.3）TH1.4.5 设p 是一个素数,,a b Z ∈,若|p ab ,则|p a 或|p b .1．5 数环和数域一教学思考1. 数环、数域是本章引入的两个新概念,其是鉴于很多数学问题不仅与所讨论的范围（数集）有关,而且与数集所满足的运算有关.也就是说需论及所具有的运算.为体现这个问题,引入了数环、数域的概念.2. 数环、数域简而言之是分别关于加、减、乘和加、减、乘、除封闭的非空数集,这可知之联系与区别,且由于对于不同的运算的封闭性,可讨论各自具有的简单性质.3. 本节内容简洁,不难理解,需要注意的是：一、“任意数域都包含有理数域”的证法——归谬法；二、给定一个数集验证是否是数环、数域；三、关于数环、数域的深入的问题——因数环、数域都是数集,而集合有所谓的运算：交、并,那么问题是数环、数域的交、并是否仍是之从中体会“从定义出发加以验证”以及举例证明的方法.二教学过程1. 概念定义1. 设S C ⊆且S ≠Φ,若对,a b S ∀∈都有,,a b a b ab S +-∈,则称S 是一个数环.定义2. 设F 是一个数环,若1）F 含有一个非0数；2）若,a b F ∈且0b ≠,则a Fb ∈.则称F 是一个数域.例子：1）整数集为数环,有理数集、实数集、复数集为数域.2）取定a Z ∈,令{}|S na n Z =∈,S 为数环.3）{}2|,,1S a bi a b Z i =+∈=- 是数环.4）{},F a a b Q =+∈ 是数域.2. 性质1）设S 是一个数环,则0S ∈.2）设F 是一个数域,则0,1F ∈.3）有理数域是最小的数域（在集合包含意义下）TH1.5.1 任何数域都包含有理数域Q .。

数学选必一第一章知识点

数学选必一第一章知识点Mathematics is a foundational subject that plays a crucial role in various aspects of our daily lives. From basic arithmetic to advanced calculus, mathematics shapes our understanding of the world around us and provides a framework for problem-solving and critical thinking. In the first chapter of the math elective, students delve into a range of fundamental concepts that lay the groundwork for more complex topics to come.数学是一个基础性的学科，对我们日常生活的各个方面起着至关重要的作用。

从基础的算术到高级的微积分，数学塑造了我们对周围世界的认识，为问题解决和批判性思维提供了框架。

在数学选必一的第一章中，学生们深入了解了一系列基本概念，为以后更复杂的主题奠定了基础。

One of the key topics covered in the first chapter of the math elective is number theory. This branch of mathematics focuses on the properties and relationships of numbers, exploring concepts such as divisibility, prime numbers, and modular arithmetic. Through studying number theory, students develop a deeper understandingof the fundamental building blocks of mathematics and how numbers interact with each other.数学选必一第一章涵盖的一个关键主题是数论。

高二数学必修第一章知识点

高二数学必修第一章知识点数学作为一门精密严谨的学科，是培养学生逻辑思维和解决问题能力的重要课程之一。

高二数学必修第一章主要介绍了初等数学的基础知识，包括集合、数与代数、函数和图像等内容。

下面将对这些知识点进行详细阐述。

一、集合集合是数学中最基础的概念之一，它由若干确定的元素组成。

在集合的表示上，可以使用描述法或列举法进行表达。

集合之间的关系包括包含关系、相等关系、交集、并集、差集等。

二、数与代数数是数学的基本概念，具有不同的分类，如自然数、整数、有理数和实数等。

代数是数的计算和运算的一种代数形式，主要包括代数表达式、等式和方程的基本概念。

在解方程的过程中，常用到一元一次方程、一元二次方程等。

三、函数和图像函数是数学中一个重要的概念，用来描述两个集合之间的对应关系。

其中，自变量是输入的数值，因变量是输出的数值。

函数可以用表格、图像和公式的形式进行表示。

其中，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

四、数列和数列的通项公式数列是一系列按照一定规律排列的数的序列。

数列的通项公式是数列中每一项与项号之间的关系式，可以用来表示数列的通项公式。

数列的求和公式用来计算数列前n项的和，常见的数列有等差数列和等比数列等。

五、平面几何与空间几何平面几何是研究二维平面上的图形性质和关系的学科，主要包括直线、角、三角形、四边形、圆等的性质和运算。

空间几何是研究三维空间中的图形性质和关系的学科，主要包括点、直线、平面、多面体等的性质和运算。

六、概率与统计概率和统计是数学中与实际生活密切相关的一门学科，具有重要的理论和实际应用价值。

概率用来描述随机事件发生的可能性，统计用来对实际数据进行收集、分析和解释。

概率和统计相关的概念包括事件、随机变量、分布、样本、抽样和推断等。

以上所述即为高二数学必修第一章的知识点概述。

通过学习这些基础知识，可以为后续的数学学习奠定坚实的基础。

在学习过程中，要注重理论与实践相结合，通过大量的练习和应用来提高自己的数学水平，培养解决实际问题的能力。

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现代数学时期（20世纪）
这一时期，电子计算机进入数学领域，使整个数学的面貌大为改观，数学几乎渗透到所有科学领域，形成了数学科学的一系列分支理论和应用数学理论。纯粹数学不断向纵深发展，集合论观点的普遍运用，公理化方法的完善，数理逻辑的发展，数学基础的奠定，模糊数学的创建，以及泛函分析、抽象代数和拓扑学三大现代理论的建立，已经使数学在整个科学体系中的特殊地位和作用突出地显现出来。20世纪以来，人们眼光中的数学同以往任何时代都无法相比了。
1.1.2数学的性质
数学的产生
数学的性质
数学的发展
数学研究的对象
数学的性质
一、数学的产生
数学的发展存在两个起点：
1、以实际问题为起点，即为了适应人类了解客观存在的内部性质并用以解决实践上的问题的需要。
数学的性质
2、以理论问题为起点，即为了适应人类了解思想存在的内部性质，用以解决理论上的问题的需要。当然，数学的最初起点还是现实世界，它更多地来自于人类的问题提出和问题解决，是人类对现实世界的最本质和最一般地反映。
数学的性质
因此，我们可以获得一个简单的结论：数学是研究存在的（或称客观的、现实的）形式或关系的科学，即是对现实世界的研究。同时，数学还是研究思想的（或称主观的、先验的）形式或关系的科学，即是对思想世界的研究。
数学的性质
此外，从数学的产生与发展历史看，数学还具有这样几个性质： 1、数学的对象是由人类发明或创造的； 2、数学的创造源于对现实世界和思想世界研究的需要； 3、数学性质具有客观存在的确定性； 4、数学是一个不断发展的动态体系。
首先从数学与其他学科的关系来看数学
1、数学是一种语言，是一种科学的公共语言，若没有数学语言，宇宙就是不可描述的，因而也就是永远无法理解的。社会在进步，它的数学化程度也正在不断提高，数学语言已成为人类社会中交流和贮存信息的重要手段，宇宙和人类社会就是用数学语言写成的一本大书。 2、培根（Bacon）说：“数学是打开科学大门的钥匙”。几千年来，凡是有意义的科学理论与实践成就，无一例外地借助于数学的力量。例如，没有微积分就谈不上力学和现代科学技术，没有麦克斯威尔方程就没有电波理论，伦琴因发现X射线于1901成为诺贝尔的第一位获奖人，记者问他需要什么时，他回答：“第一是数学，第二是数学，第三还是数学”。
数学的性质
三、数学研究的对象
公元前4世纪，柏拉图及其学生亚里士多德等认为，数学的对象就是存在于思想之外的客观世界。
19世纪中叶，非欧几何的确立，促使人们认识到，数学除了存在于客观的外部世界之外，还存在于人类的头脑中。
数学的性质
恩格斯曾对数学的描述：数学就是研究“现实世界的空间形式和数量关系”的一门学科。苏联的《哲学百科全书》中的回答：数学是一门撇开内容而只研究形式和关系的科学，而且主要是研究数量的和空间的关系及其形式。
例如：
原始社会人们采用“结绳记数”，就是把打猎所获得猎物与绳子的“结”进行比较，得出猎物的个数。从我国出土的甲骨文中，发现大约公元前14世纪~公元前11世纪的数字是采用十进制记数法，最大数是3万。由此可见，数已从具体事物中分离出来，抽象为“数”的概念。
另外，人类还在采集果实、打造石器、烧土陶的活动中对各种事物加以比较，区分直曲方圆，逐渐形成了“形”的概念。
1.1.3数学的基本特征
1、抽象性
数学是一种作为独立的客体而存在的、抽去了具体内容的形式科学，它用形式化、符号化和精确化的语言来表现一种 “抽象的抽象”或“概括的抽象”，它是以“一切性质的性质抽象”而呈现的。
数学的基本特征
2、严谨性
数学的严谨性即数学的结果是从一些基本概念（或公理）出发并通过严格的逻辑推论而得到的。
其次从数学自身的研究对象来看数学
恩格斯说：数学是现实世界中的空间形式与数量关系。数学就是研究数量、形状和他们之间关系的科学，这是数学的三大领域。当前数学还在发展，目前已经发展成为包括一百多个分枝的庞大系统。数学已经不是原来人们头脑中仅仅是数和形。随着计算机的发明和技术迅速提高，数学学科也进入了新的黄金时代。数学包括三个方面，模式、结构和模拟现实世界。它不光是理论，也是能力，是文化，是素质。
数学的性质
二、数学的发展过程
数学科学的发展过程经历了漫长的历史，从人类早期对数学的认识开始，大致可以分为五个时期，即：萌芽时期，常量数学时期，变量数学时期，近代数学时期，现代数学时期。在不同的时期，人类对数学的认识从低级到高级不断发展。了解数学的发展过程，有助于我们研究小学数学学科的有关问题。
变量数学时期（17世纪~19世纪）
变量数学产生于17世纪，其标志有两个：一是解析几何的产生；二是微积分的建立。这个时期的特点是“运动”成为自然科学研究的中心课题。数学由研究现实世界的相对静止的事物或现象进而探索运动变化的规律。常量数学已发展到变量数学。16世纪，欧洲社会萌芽了资本主义，手工业生产转向了机器工业生产，迫使自然科学对“运动”和各种“过程”的研究，进而产生了“变量”与“函数”的概念。
1.1数学的基本认识
王萍
目录
数学的认识数学的性质数学的基本特征
1.1.1数学的认识
有人这样形容数学：“思维的体操，智慧的火花”。这足以说明数学在形成人类理性思维的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。作为一个现代大学生，数学是回避不了的。华罗庚在五十年代就说过：“宇宙之大、粒子之微、光箭之速、生物之谜、日用之繁，无处不用数学”。到了今天这个信息时代，可以说每一项高新技术的背后都有着极其抽象的数学，高新技术本质上就是数学技术。我们想有所作为，要想取得突出的成就，必要的数学知识，较好的数学素养，较高的数学思维是必要的。下面我们一起从数学的外部与内部来了解数学。
近代数学时期（19世纪）
这一时期的数学对象、内容在深度上和广度上都有了很大的发展，分析学、代数学、几何学的思想、理论和方法都发生了革命性的变化。数学越发抽象、不断分化、不断综合的发展规律开始显露。数学基础研究的开始标志着一座宏伟稳固的数学大厦已在人们脑海里出现。数学应用范围继力学、光学之后又在热力学、电磁学、技术科学中获得扩展。
常量数学时期（公元前6世纪~公元17世纪）
这个时期的特点是人们将零星的数学知识进行了积累、归纳、系统化，采用逻辑演绎的方法形成了古典初等数学的体系。到了公元前5世纪，古埃及由于尼罗河长期泛滥，冲毁了土地区域，需要重新丈量，积累了丰富的几何知识。后来古埃及人把几何知识传到古希腊，由Buclid把人们长期实践发现、积累的几何知识按照演绎的方法写成了《几何原本》。同一时期，人们为了解决实践中的一些实际应用问题，如研究天文历法中的问题，促使算数、代数的发展。数学从原始自然数，分数发展扩充为正负实数。成书于东汉时期的《九章算术》。这两本书标志着古典初等数学体系的形成。
数学萌芽时期（远古~公元前6世纪）
这个时期人类在长期的生产实践中逐渐形成了数的概念，逐步掌握了数的运算方法，并积累了一些数学知识。由于田亩度量和天文观测的需要，几何知识初步兴起，但还没逻辑因素，未发现命题的证明。这个时期的特点是人们在实践中从现实生活里零零星星地认识了数学中最古老、原始概念——“数”（自然数）和 “形”（简单几何图形）。
数学的基本特征Байду номын сангаас
3、运用的广泛性
数学的对象涉及整个客观世界。数学是解决我们生活和生产问题的主要工具。同时，数学还在其他学科中占有特殊地位。
3、数学是一种工具，一种思维的工具。自然哲学认为：任何事物都是量和质的统一体，数学就是研究量的科学，它不断地发现、总结和积累了很多人类对量的方面的规律，这些都是人们认识世界的有力工具。
4、数学是一门艺术，一门创造性艺术。美是艺术的一种追求，美也是数学中一种公认的评价标准。数学的美体现在和谐性、对称性、简洁性这三性上。数学家不断地追求美好的新概念、新方法、新结论，因此数学是创造性艺术。人们掌握了数学，可以陶冶人的美感，培养理性的审美能力，一个人数学造诣越深，越是拥有一种直觉力，这种直觉力实际就是理性的洞察力、由美感驱动的选择力，最终成为创造美好新世界的驱动力。