2014全国名校数学试题分类解析汇编：K单元 概率

K单元概率目录K单元概率 (1)K1随事件的概率 (1)K2古典概型 (1)K3几何概型 (5)K4 互斥事件有一个发生的概率 (10)K5 相互对立事件同时发生的概率 (11)K6离散型随机变量及其分布列 (13)K7条件概率与事件的独立性 (17)K8离散型随机变量的数字特征与正态分布 (19)K9 单元综合 (32)K1随事件的概率K2古典概型【重庆一中高一期末·2014】4.(原创)口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为（）A．15B.25C.13D.16【知识点】古典概型及其概率计算公式．【答案解析】C解析：解：从5个球中随机抽取两个球，共有24C＝6种抽法．满足两球编号之和大于5的情况有（2，4），（3，4）共2种取法．所以取出的两个球的编号之和大于5的概率为21 63 ．【思路点拨】由组合知识求出从4个球中随机抽取两个球的所有方法种数，由题意得到两球编号之和大于5的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．【典型总结】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合及组合数公式．【文·四川成都高三摸底·2014】18．（本小题满分12分）某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法，得到一个容量为200的样本统计数据如下表：（I）已知该地区共有高二学生42500名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？（Ⅱ）在A，B．C，D，E，F六名学生中，但有A，B两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率。

【知识点】抽样方法、古典概型【答案解析】（I）7650名；（Ⅱ）3 5解析：解：（I）42500×36200=7650(名)；（Ⅱ）从这六名学生随机抽去两名的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个，设事件G表示至少有一位学生认为作业多，符合要求的事件有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共9个，所以()93 155P G==，所以至少有一名学生认为作业多的概率为3 5 .【思路点拨】求概率问题应先确定其概率模型，若总体个数有限为古典概型，利用古典概型计算公式计算，若总体个数无限为几何概型，利用几何概型计算公式计算.【文·黑龙江哈六中高二期末考试·2014】13.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为______【知识点】相互独立事件的概率乘法公式．【答案解析】13解析：解：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为31 93 =，故答案为：13．【思路点拨】所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．【理·四川成都高三摸底·2014】18．（本小题满分12分）某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法，得到一个容量为200的样本统计数据如下表：（I）已知该地区共有高二学生42500名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？（Ⅱ）在A，B．C，D，E，F六名学生中，但有A，B两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率。

【知识点】抽样方法、古典概型【答案解析】（I ）7650名；（Ⅱ）35解析：解：（I ）42500×36200=7650(名)； （Ⅱ）从这六名学生随机抽去两名的基本事件有：{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{A ，F}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{B ，F}，{C ，D}，{C ，E}，{C ，F}，{D ，E}，{D ，F}，{E ，F}共15个，设事件G 表示至少有一位学生认为作业多，符合要求的事件有{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{A ，F}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{B ，F}共9个，所以()93155P G ==，所以至少有一名学生认为作业多的概率为35.【思路点拨】求概率问题应先确定其概率模型，若总体个数有限为古典概型，利用古典概型计算公式计算，若总体个数无限为几何概型，利用几何概型计算公式计算.【理·宁夏银川一中高二期末·2014】11．袋中装有标号为1、2、3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次.若抽到各球的机会均等，事件A=“三次抽到的号码之和为6”，事件 B=“三次抽到的号码都是2”，则P(B|A)=( ) A ．71 B ．72 C ．61 D ．277【知识点】条件概率【答案解析】A 解析：解：因为()()()()()3333111,,/337P AB A P A P AB P B A P A +====所以，则选A.【思路点拨】结合条件概率计算公式，分别计算出p(AB)与P(A)，代入公式计算即可. 【理·甘肃兰州一中高二期末·2014】10.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为 （ ）A ．119 B ．1738C ．419D ． 217 【知识点】等可能事件的概率.【答案解析】D 解析 ：解：设事件A 表示“抽到的两张都是假钞”，事件B 表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即(A/B)P ．又25220(AB)=P(A)=,C P C 2115515220(B)=C C C P C +， 由公式252115515(A B )(A /B )=(B )1C P P P CCC ==+， 故选D ．【思路点拨】设事件A 表示“抽到的两张都是假钞”，事件B 表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即(A/B)P ．先求出(AB)P 和(B)P 的值，再根据(AB)(A/B)=(B)P P P ，运算求得结果． 【江苏盐城中学高二期末·2014】15．（本小题满分14分） （理科学生做）设某地区O 型血的人数占总人口数的比为12，现从中随机抽取3人. （1）求3人中恰有2人为O 型血的概率；（2）记O 型血的人数为ξ，求ξ的概率分布与数学期望.【知识点】n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率；分布列；期望. 【答案解析】（1）38（2）32解析 ：解：（1）由题意，随机抽取一人，是O 型血的概率为12， …………2分 ∴3人中有2人为O 型血的概率为23313()28P C ==. …………6分（2）ξ的可能取值为0，1，2，3， …………8分∴03311(0)()28P C ξ===， 13313(1)()28P C ξ===， 23313(2)()28P C ξ===，33311(3)()28P C ξ===， …………12分∴3()2E ξ=. …………14分【思路点拨】（1）代入n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率的公式即可；（2）根据n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率的公式依次求出ξ为0，1，2，3，时的概率，最后求出期望值.【江苏盐城中学高二期末·2014】5．一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为 ▲ ． 【知识点】古典概型及其概率计算公式. 【答案解析】21解析 ：解：∵总个数24n C 6==，∵事件A 中包含的基本事件的个数13m C 3==,∴p ＝3162m n == 故答案为：12． 【思路点拨】算出基本事件的总个数n=C 42=6，再 算出事件A 中包含的基本事件的个数m=C 31=3，算出事件A 的概率，即P （A ）=mn即可． 【理·江西鹰潭一中高二期末·2014】8．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是( )A ．59B ．16C ．1318D ．518【知识点】古典概型及其概率计算公式．【答案解析】C 解析 ：解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为种．取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种． 则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为．所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是．故选C.【思路点拨】利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率．【典型总结】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题．K3 几何概型【重庆一中高一期末·2014】12.在区间[5,5]-内随机地取出一个数a ，使得221{|20}x x ax a ∈+->的概率为 ． 【知识点】几何概型．【答案解析】0.3解析 ：解：由题意221{|20}x x ax a ∈+->，故有22a a 0＞+-，解得1a 2＜＜-,由几何概率模型的知识知，总的测度，区间[5,5]-的长度为10，随机地取出一个数a ，使得221{|20}x x ax a ∈+->这个事件的测度为 3 故区间[5,5]-内随机地取出一个数a ，使得221{|20}x x ax a ∈+->的概率为0.3 故答案为0.3【思路点拨】由221{|20}x x ax a ∈+->代入得出关于参数a 的不等式，解之求得a 的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率．【典型总结】本题考查几何概率模型，求解本题的关键是正确理解221{|20}x x ax a ∈+->的意义，即得到参数a 所满足的不等式，从中解出事件所对应的概率.【文·重庆一中高二期末·2014】19.（原创）（本小题12分（1）小问6分，（2）小问6分）某幼儿园小班的美术课上，老师带领小朋友们用水彩笔为美术本上如右图所示的两个大小不同的气球涂色，要求一个气球只涂一种颜色，两个气球分别涂不同的颜色.该班的小朋友牛牛现可用的有暖色系水彩笔红色、橙色各一支，冷色系水彩笔绿色，蓝色，紫色各一支.（1） 牛牛从他可用的五支水彩笔中随机的取出两支按老师要求为气球涂色，问两个气球同为冷色的概率是多大？（2） 一般情况下，老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要10分钟.牛牛至少需要2分钟完成该项任务.老师在发出开始指令1分钟后随时可能来到牛牛身边查看涂色情况.问当老师来到牛牛身边时牛牛已经完成任务的概率是多大？ 【知识点】古典概型；几何概型.【答案解析】（1）310（2）49解析 ：解：（1）如下表格，红色 橙色 绿色 蓝色 紫色红色 0 1 1 1 1 橙色 1 0 1 1 1 绿色 1 1 0 2 2 蓝色 1 1 2 0 2 紫色 1122易知两个气球共20种涂色方案， …………2分其中有6种全冷色方案， …………4分 故所求概率为103206= …………6分（2）老师发出开始指令起计时，设牛牛完成任务的时刻为x ，老师来到牛牛身边检查情况的时刻为y ，则由题有⎩⎨⎧≤≤≤≤101102y x (1)若当老师来到牛牛身边时牛牛已经完成任务，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤y x y x 101102 (2)如下图所示，所求概率为几何概率10分阴影部分(式2)面积为32)210()210(21=-⋅-⋅ 可行域（式1）面积为72)210()110(=-⋅- 所求概率为947232= 12分【思路点拨】（1）列举出所有方案共有20种，其中满足题意的有6种，计算可得结果；（2）求出阴影部分面积以及可行域面积，求比值即可.15．【文·四川成都高三摸底·2014】15. 已知y=a x (a>0且a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数，记a 的所有可能取值构成集合A ；P （x ，y)是椭圆22169x y +=1上一动点，点P 1（x 1，10 2 1 010y 1）与点P 关于直线y=x+1对称，记114y -的所有可能取值构成集合B 。