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陕西省西安市庆安高级中学学年高二数学下学期期中试题 理 新人教A版

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2023-2024学年陕西省西安市高二下学期期中数学(理)质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年陕西省西安市高二下学期期中数学(理)质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年陕西省西安市高二下册期中数学（理）模拟试题一、单选题1．集合211A xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}220B x x x =-<，则()R A B = ð（）A ．[)1,2B ．()1,2C ．[)0,1D ．(]0,1【正确答案】D【分析】根据分式不等式解法解出集合A ，一元二次不等式解法解出集合B ，再由补集与交集的运算即可求解.【详解】依题意，因为()()0332211001111x x x x x x --->⇒->⇒>⇒->--，解得13x <<，所以()1,3A =，所以(][),13,R A =-∞+∞ ð因为()22020x x x x -<⇒-<，解得02x <<，所以()0,2B =所以()(]0,1R A B = ð.故选：D.2．复数z 满足(2)|34|i z i +=+（i 为虚数单位，则z 对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】A先利用复数的除法，化简复数z ，计算得2z i =+，得到复平面中对应得点，即得解.【详解】由于(2)|34|i z i +=+，|34|55(2)2222(2)(2)i i z ii i i i i +-=====-++++-2z i =+在复平面中对应的点为：(2,1)，在第一象限故选：A本题考查了复数的四则运算及几何意义，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.3．已知图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，且其阴离子排列如图2所示，图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D ，是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=（）A ．6B ．10C ．24D ．26【正确答案】A建立以,a b 为一组基底的基向量,其中1a b ==且,a b 的夹角为60°,根据平面向量的基本定理可知,向量AB 和CD 均可以用a b，表示,再结合平面向量数量积运算法则即可得解.【详解】解：如图所示,建立以,a b 为一组基底的基向量,其中1a b ==且,a b 的夹角为60°,∴24AB a b =+,42CD a b =- ,∴()()2212442881288121162AB CD a b a b a b a b ⋅=+⋅-=-+⋅=-+⨯⨯⨯=.故选：A.4．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（）A ．B ．C．D．【正确答案】B【分析】分段求出函数()1y f x =-的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.【详解】当10x ->，即1x <时，ln(1)(1)1x y f x x-=-=-，221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)x x x x y x x -⋅-+--+--'==--，令0y >' ，得1e x <-，令0'<y ，得1e 1x -<<，所以函数()1y f x =-在(,1e)-∞-上为增函数，在(1e,1)-上为减函数，由此得A 和C 和D 不正确；当10x -≤，即1x ≥时，1(1)(1)e x y f x x -=-=-，()11(1)e (1)e x x y x x --'''=-+-11e (1)e x x x --=---=1e (2)xx ---，令0y >' ，得2x >，令0'<y ，得12x ≤<，所以函数()1y f x =-在(2,)+∞上为增函数，在[1,2)上为减函数，由此得B 正确；故选：B5．正整数1，2，3，…，n 的倒数的和111123n++++ 已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；当n 很大时1111ln 23n nγ++++≈+ .其中γ称为欧拉—马歇罗尼常数，0.577215664901γ≈ ，至今为止都不确定γ是有理数还是无理数.设[]x 表示不超过x 的最大整数.用上式计算1111232022⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦ 的值为（）（参考数据：ln 20.69,ln 3 1.10≈≈，ln10 2.30≈）A ．7B ．8C ．9D ．10【正确答案】B 【分析】1111ln 2022ln 2ln 3ln 323237202γγ++++≈+=+++ ，利用ln 300ln 337ln 360<<估计ln 337范围，从而求得[]ln 2022γ+值.【详解】由题意知1111ln 2022232022γ++++=+ .而ln 2022ln 23337ln 2ln 3ln 337 1.79ln 337=⨯⨯=++≈+，又ln 300ln 337ln 360<<，ln 300ln 32ln10 1.102 2.30 5.70=+≈+⨯=，ln 3602(ln 2ln 3)ln10=++2(0.69 1.10) 2.30≈++ 5.88=，ln 2022(7.49,7.67)∴∈，()ln 20228.06,8.25γ∴+∈，故[]1111ln 20228232022γ⎡⎤++++≈+=⎢⎥⎣⎦，故选：B6．若直线l ：3y kx =+上存在长度为2的线段AB ，圆O ：221x y +=上存在点M ，使得MA MB ⊥，则k 的取值范围是（）A ．,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭B ．22⎡-⎢⎣⎦C ．(),⎡-∞-⋃+∞⎣D ．⎡⎣-【正确答案】A【分析】由题意，以AB 为直径的圆与圆О有公共点，设AB 中点为(),3N t kt +，则1MN =，问题转化为圆O 上存在点M ，直线l 上存在点N ，使得1MN =，根据点到直线的距离公式列出不等式，即可求得k 的取值范围.【详解】由题意，以AB 为直径的圆与圆О有公共点，设AB 中点为(),3N t kt +，则1MN =，问题转化为圆O 上存在点M ，直线l 上存在点N ，使得1MN =，故只需点M 到直线l 的距离的最小值小于或等于1，即点О到直线l 的距离2d =≤，解得≥k k ≤故选：A.7．如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓可看作正四棱台，已知该四棱台的上底面边长为40cm ，下底面边长为10cm ，侧棱长为30cm ，则该款粉碎机进物仓的容积为（）A ．3B ．3C ．3D ．3【正确答案】C【分析】根据题意，结合棱台的体积计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】画出满足题意的正四棱台1111ABCD A B C D -，如图所示，则11B D BD ==D 作11DE B D ⊥于点E ，则1D E DE ===()223140101040)cm3V =++⨯⨯=．故选：C8．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y ＝k （x +1）与曲线12:cos x sin C y sin θθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为（）A ．（0，1）B ．（0，12）C ．[3，1）D ．132⎫⎪⎪⎣⎭【正确答案】D【分析】对曲线C 的参数方程消参求得普通方程，利用导数求得直线与曲线相切时直线的斜率以及临界状态对应直线的斜率，即可容易求得结果.【详解】对曲线C 的方程消参可得：212y sin x θ=+=，即2y x =，[]0,2x ∈，作图如下：若直线l 与曲线C 在第一象限内相切时，设其斜率为1k ，设直线l 与曲线C 在第一象限的切点为(),P m n ，且2m n =因为2y x =，(0)x >，故可得,2y x y x='=则12n m m =+，即2112n n n=+，解得1,1n n ==-（舍去）.故此时切点坐标为()1,1，对应直线l 的斜率112k =.当直线l 过点(2Q 时，设其斜率为2k ，故可得22k =数形结合可知，当直线l 与曲线C 在第一象限内有两个交点时，斜率的取值范围为[)21,k k ，即为212⎫⎪⎪⎣⎭.故选.D本题考查参数方程与普通方程的转化，以及直线与抛物线相切时切点的求解，涉及导数的几何意义，属综合中档题.9．已知将函数()2sincos 3sin (0)222x x x f x ωωωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭的图象向右平移π2ω个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 在()0,π上有3个极值点，则ω的取值范围为（）A ．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．811,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．710,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【正确答案】C【分析】利用三角恒等变化得π()2sin 3f x x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π()2cos3g x x ω⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.【详解】因为()2sincos 222x x x f x ωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭22sin cos 222x x x ωωω=-sin cos )x x ωω=-sin x x ωω=π2sin3x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又因为ππππ()2sin 2cos 2233g x f x x x ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令π3t x ω=+，又因为0ω>,当π()0,x ∈时,πππ,π,333t x ωω⎛⎫=+∈+ ⎪⎝⎭()g x 在()0,π上有3个极值点等价于()cos h t t =在ππ,π,33t ω⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上有3个极值点，()cos h t t =的图象如图所示：由余弦函数()cos h t t =的性质可得:π3ππ4π3ω<+≤,解得:81133ω<≤.故选:C.10．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左、右两支于点B ，C ，且2BC CF =，则双曲线的离心率为（）AB ．5+CD ．5-【正确答案】C【分析】设切点为A ，利用垂直关系可得12cos bCF F c∠=，由题意结合双曲线的定义可得12BF a =，24BF a =，在12BF F △中利用余弦定理解出ba的值即可求双曲线的离心率.【详解】如图所示，设切点为A ，连接OA ，由双曲线的定义可知1OF c =，1AF b ===，所以112cos cos bAFO CF F c∠=∠=，因为2BC CF =，所以121212CF CF BC BF CF BF a -=+-==，因为212BF BF a -=，所以24BF a =，所以在12BF F △中，由余弦定理可得222112212112cos 2BF F F BF CF F BF F F +-∠=，即2224416222b a c a c a c+-=⨯⨯，整理得2223ab c a =-，又222c a b =+，得22220b ab a --=，即2220b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1ba=或1，所以2222225c a b e a a +===+则双曲线的离心率e =，故选：C11．某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为（）A ．126B ．360C ．600D ．630【正确答案】D【分析】按两个班共选择活动项数进行分类，至少选两项，至多选四项，故分三类求解即可.本题等同染色问题，即四区域六色涂，相邻不能涂同色问题.【详解】按两个班共选择活动项数分三类：第一类：两个班共选择2项活动，有26A 种方法；第二类：两个班共选择3项活动，有1326A A 种方法；第三类：两个班共选择4项活动，有46A 种方法.则活动安排方案的种数为21346266630A A A A ++=.故选：D.直接分类法是求解有限制条件排列问题的常用方法：先选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数.而对于分类过多的问题，正难则反，一般采用间接法处理.12．已知()(0)y f x k k k =+->是R 上的偶函数，且当x k ³时，sin cos 2()e xx x f x -+=．若()()12f x f x >，则（）A ．122x x k +>B ．122x x k +<C ．12x k x k -<-D ．12x k x k->-【正确答案】C【分析】根据函数为偶函数可得出()f x 的图象关于直线x k =对称，结合导数判断x k ³时函数的单调性，由此结合函数的性质和()()12f x f x >，可得出12x k x k -<-，即可判断C ，D ；脱掉绝对值符号化简，可判断A ，B.【详解】由()y f x k k =+-是R 上的偶函数，得()()f x k k f x k k -+-=+-，即()()f x k f x k -+=+，所以()f x 的图象关于直线x k =对称．当x k ³时，sin cos 2()e xx x f x -+=，由2(cos 1)()0e x x f x -'=≤，仅在2π,Z x k k =∈时取等号，得()f x 在区间[),k +∞上为减函数，则在区间(,]k -∞上为增函数，根据()f x 图象的对称性，由()()12f x f x >得12x k x k -<-，则C 正确、D 错误．当12,x k x k --异号时，则12x k x k -<-+或12x k x k -<+-，即122x x k +<或122x x k +>，即选项A ，B 的结果不能确定，故选：C ．二、填空题13．已知函数sin y x =在[]0,πx ∈的图像与x 轴围成的区域面积为a ，则()421x ax -+的展开式中3x 的系数为______．【正确答案】56-【分析】先根据定积分的定义求出2a =，然后二项式可以化简为()81x -，进而可以求解．【详解】由已知可得0πsin d a x x =⎰()0πcos |2x =-=，所以二项式()()()448221211x ax x x x -+-=+=-的展开式中含3x 的项为53538C (1)56x x ⋅-=-，故3x 的系数为56-，故56-．14．已知三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是边长为P 在底面上的射影为底面的中心，且三棱锥-P ABC 外接球的表面积为18π，球心在三棱锥-P ABC 内，则二面角P AB C --的平面角的余弦值为______．【正确答案】13【分析】根据给定条件，求出球半径并确定球位置，再作出二面角P AB C --的平面角，结合三棱锥的结构特征求解作答.【详解】设正ABC 的中心为O ，有OA OB OC ==，而PO ⊥平面ABC ，则PA PB PC ==，延长CO 交AB 于点D ，则点D 为AB 的中点，有PD AB ⊥，CD AB ⊥，即PDC ∠为二面角P AB C --的平面角，由AB =得22OC OD ==，显然三棱锥-P ABC 为正三棱锥，其外接球的球心M 在线段PO 上，由三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为18π，则该球半径2MC =，由222MC MO OC =+，解得2MO =，PO =，3PD =，所以1cos 3OD PDC PD ∠==，所以二面角P AB C --的平面角的余弦值为13.故1315．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112333n nn a a a n -++⋯+=⋅，若对任意()*N ,1nn n S n λ∈≥-恒成立，则实数λ的取值范围为_______．【正确答案】[]3,4-【分析】由112333n nn a a a n -++⋯+=⋅可化简得到{}n a 的通项公式，由通项公式形式上的特点可知{}n a 为等差数列，求出等差数列的首项和公差，代入n S 的公式，即可把不等式()1n n S n λ≥-化为()21nn λ-≤+，分n 为偶数和n 为奇数讨论即可求出实数λ的取值范围.【详解】因为112333n nn a a a n -++⋯+=⋅，当1n =时，13a =.当2n ≥时，()211213313n n n a a a n ---++⋯+=-⋅，两式相减得()113313n n n n a n n --=⋅--⋅，化简得21,2n a n n =+≥，当1n =时，12113a =⨯+=.所以*21,N n a n n =+∈，所以数列{}n a 是以13a =为首项，2d =为公差的等差数列，所以()213222n n n S n n n -=+⨯=+，由()1nn S n λ≥-得()221nn n n λ-+≥，即()21nn λ-≤+对任意*N n ∈恒成立，当n 为偶数时，不等式化为2n λ≤+，所以()2min 224n λ+=+≤=；当n 为奇数时，不等式化为2n λ-≤+，即()2n λ≥-+，所以()()2max 123n λ≥--⎡⎤+=+=-⎣⎦，所以实数λ的取值范围为[]3,4-.故[]3,4-16．已知函数()()2ln ,f x x g x =+=若总存在两条不同的直线与函数()(),y f x y g x ==图象均相切，则实数a 的范围为_______．【正确答案】()0,2【分析】将有两条公切线转化为()()41ln x h x x+=与直线2y a =有两个不同交点，后利用导数研究函数()()41ln x h x x+=单调性与极值情况画出()()41ln x h x x+=大致图象，即可得答案.【详解】设切线在()()2ln ,f x x g x =+=()()1122,,,x y x y .因()()1,f x g x x ''==则切线方程可表示为：()11112ln y x x x x =-++，也可表示为：()2y x x a=-+12,0x x >.则()11211114ln 10,1ln x x a a x x ⎧=⎪+⎪⇒=>=⎨⎪+⎪⎩.则总存在两条不同的直线与函数()(),y f x y g x ==图象均相切，等价于()()41ln x h x x+=与直线2y a =有两个不同交点.()()41ln x h x x+=，则()24ln xh x x -'=.令()001h x x '>⇒<<⇒()h x 在()0,1上单调递增，()01h x x '<⇒>⇒()h x 在()1,+∞上单调递减，则()()14max h x h ==.注意到()0,x h x →→-∞，()100,,e h x h x ⎛⎫=→∞→ ⎪⎝⎭，可得()h x 大致图象如下，则20204a a a >⎧⇒<<⎨<<⎩.故()0,2三、解答题17．如图，在极坐标系中，曲线C 1是以C 1（4，0）为圆心的半圆，曲线C 2是以232C π⎫⎪⎭，为圆心的圆，曲线C 1、C 2都过极点O ．（1）分别写出半圆C 1，C 2的极坐标方程；（2）直线l ：()3R πθρ=∈与曲线C 1，C 2分别交于M 、N 两点（异于极点O ），P 为C 2上的动点，求△PMN 面积的最大值．【正确答案】（1）1:C 802cos πρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭；2:C () 230sin ρθθπ=≤≤；（2）334．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．【详解】（1）曲线C 1是以C 1（4，0）为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为802cos πρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，曲线C 2是以232C π⎫⎪⎭，为圆心的圆，转换为极坐标方程为()230sin ρθθπ=≤≤．（2）由（1）得：|MN |＝|823|133M N cosππρρ-=-=．显然当点P 到直线MN 的距离最大时，△PMN 的面积最大．此时点P 为过C 2且与直线MN 垂直的直线与C 2的一个交点，设PC 2与直线MN 垂直于点H ，如图所示：在Rt △OHC 2中，|223|62HC OC sinπ=，所以点P 到直线MN 的最大距离d 2233||322C HC r =+=，所以113312224PMN S MN d =⨯⋅=⨯ ．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．18．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()22222(1tan )b b c a A =+--.(1)求角C ；(2)若210c =D 为BC 中点，25cos 5B =，求AD 的长.【正确答案】(1)34π26【分析】（1）根据余弦定理与正弦定理将边化角结合三角恒等变换即可求解；（2）先求解10sin 10A =，由正弦定理求出a 边，结合余弦定理即可求解．【详解】（1）由()22222(1tan )b b c a A =+--，∴222cos (1tan )b bc A A =-，∴(cos sin )b c A A =-sin sin (cos sin )B C A A =-，∵A B C π++=，由正弦定理得∴sin()sin cos sin sin A C C A C A +=-，∴sin cos sin sin 0A C C A =-≠，∴tan 1=-C ，解得34C π=；（2）25cos B =25sin 1cos 5B B =-，∴10sin sin()10A B C =+=，由正弦定理得sin 2sin c Aa C==在ABD △中，由余弦定理得2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，解得26AD 19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB CD ∥，AB ⊥BC ，122BC CD PA PD AB =====，23PC =，E 为AB 的中点．(1)证明：BD ⊥平面APD ；(2)求平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）已知条件求出AB ，BD ，AD 的长度，勾股定理证得BD AD ⊥，取AD 的中点O ，连接OP ，OC ，有PO AD ⊥，得PO ，勾股定理证得PO OC ⊥，从而PO ⊥平面ABCD ，有BD OP ⊥，所以BD ⊥平面APD .（2）建立空间直角坐标系，求相关点的坐标，求相关向量的坐标，求平面APD 和平面CEP 的一个法向量，利用向量夹角公式求平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值【详解】（1）在直角梯形ABCD 中，易得AB ＝4，BD =AD =∴222AD BD AB +=，∴BD ⊥AD ．取AD 的中点O ，连接OP ，OC ，易得PO ⊥AD ，PO ，如图所示，在△CDO 中，易得OC ==，又PC =，∴222OC PO PC +=，∴PO ⊥OC ，又PO ⊥AD ，AD OC O = ，,AD OC ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥OP ，又BD ⊥AD ，AD OP O ⋂=，,AD OP ⊂平面APD ，∴BD ⊥平面APD ．（2）如图，以D 为坐标原点，DA ，DB 所在直线分别为x ，y 轴，过点D 且与PO 平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），()A，()0,B，)E，P，()C ，∴(CP =，()CE = ，∵BD ⊥平面APD ，∴平面APD 的一个法向量为()10,1,0n = ．设平面CEP 的法向量为()2,,n x y z =u u r，则2200n CP n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取y ＝1，得()20,1,1n = ，∴12cos ,2n n == ，∴平面APD 和平面CEP的夹角的余弦值为2．方法点拨利用向量法求二面角的方法主要有两种：（1）分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的范围；（2）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．20．已知F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点，过F 且倾斜角为45︒的直线交抛物线于A ，B 两点，||8AB =.（1）求抛物线的方程：（2）已知()0,1P x -为抛物线上一点，M ，N 为抛物线上异于P 的两点，且满足2PM PN k k ⋅=-，试探究直线MN 是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.【正确答案】（1）24y x =（2）过定点，9,14⎛⎫⎪⎝⎭(1)设出直线的方程，联立抛物线的方程，根据韦达定理即可求解出p 的值，即可求解出抛物线的方程；(2)求解出P 点坐标，设出直线MN 的方程(0),x my t m =+≠，根据2PM PN k k ⋅=-求解出,m t 之间的关系，从而确定出直线所过的定点.【详解】解：（1）由已知,02P F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p y x =-联立直线与抛物线222y px p y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消y 可得，22304p x px -+=，所以3A B x x p +=，因为||A B AB x x p =++4p =8=，所以24p =，即抛物线的方程为24y x =.（2）将()0,1P x -代入24y x =可得1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不妨设直线MN 的方程为(0),x my t m =+≠()11,,M x y ()22,N x y ,联立24y xx my t⎧=⎨=+⎩，消x 得2440y my t --=，则有124,y y m +=124,y y t =-21616m t ∆=+，由题意1212111144PM PN y y k k x x ++⋅=⨯--124411y y =⨯--()1212161y y y y =-++2=-,化简可得，94t m =-，代入21616m t ∆=+29164m m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭21163202m ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭此时直线MN 的方程为9(1)4x m y =-+，所以直线MN 过定点9,14⎛⎫⎪⎝⎭.本题考查抛物线方程求解以及抛物线中的直线过定点问题，难度一般.(1)圆锥曲线中已知两条直线的斜率之间的关系，可将斜率表示为对应的韦达定理形式，从而确定出未知参数之间的关系；(2)直线y kx m =+的过定点问题，实际就是求解直线方程中参数之间的关系.21．某市为了更好的了解全体中小学生感染新冠感冒后的情况，以便及时补充医疗资源.从全市中小学生中随机抽取了100名抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为X ，并以此为样本得到了如下图所示的表格：疼痛指数X 10X ≤1090X <<90X ≥人数（人）10819名称无症状感染者轻症感染者重症感染者其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者.(1)统计学中常用()()P B A L P B A =∣∣表示在事件A 发生的条件下事件B 发生的似然比.现从样本中随机抽取1名学生，记事件A ：该名学生为有症状感染者，事件B ：该名学生为重症感染者，求似然比L 的值；(2)若该市所有抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X 近似的服从正态分布()2N 50,σ，且()19010P X ≥=.若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望.【正确答案】(1)19(2)分布列见解析，2.4【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可；（2）应用4B 3,5Y ⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布分别写出求分布列及计算数学期望.【详解】（1）由题意得：8199991981(),(),(),(),()10010100100100100P A P B P B P AB P AB +======，()()()9110091010P AB P B A P A ∴==∣，81()9100()9()1010P AB P B A P A ===∣，1()1109()910P B A L P B A ∴===∣∣.（2）()()1109010P X P X ≤=≥=，14(1090)12105P X ∴<<=-⨯，则4B 3,5Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，Y 可能的取值为0,1,2,3，()()()3221233311141241480C ;1C ;2C ;51255512555125P Y P Y P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==⨯===⨯⨯===⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()3334643C 5125P Y ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭Y ∴的分布列为：Y0123P1125121254812564125∴数学期望()43 2.45E Y =⨯=.22．已知函数()()()22e 3323xf x x x m x x -=++-+-（e 2.71828≈是自然对数的底数），若函数()f x 有3个极值点()123123,,,x x x x x x >>．(1)求实数m 的取值范围；(2)证明：3121122x x x ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭．【正确答案】(1)1,02e ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）根据给定条件可得()0f x '=有三个不同的解，构造函数()e x g x x -=，探讨其性质即可推理作答.（2）由（1）确定123,,x x x 的取值或范围，并且有12122e e x x x x m ==-，两边取对数并换元，对不等式作等价变形，构造函数，利用导数推理作答.【详解】（1）因为()()()22e 3323x f x x x m x x -=++-+-，所以()()(1)2e xf x x m x -'=-++，因函数()f x 有3个极值点，即()0f x '=有三个不同的解，由()(1)2e0xx m x -++=，得=1x -或2exm x --=，则2e x m x --=有不等于1-的两个不同的解，令()e x g x x -=，则()(1)e x g x x -'=-，当1x <时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，于是函数()g x 在(,1)-∞上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，则max 1()(1)eg x g ==，又当0x <时，()0g x <，且(0)0g =，当0x >时，()0g x >，因此方程2e x m x --=有两解时102em <-<，即102e m -<<，所以实数m 的取值范围是1,02e ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）由（1）知，31x =-，201x <<，11x >，12122e e x x x xm ==-，两边取自然对数得1122ln ln x x x x -=-，整理得1122ln x x x x =-，令12x t x =，则12x tx =且1t >，2ln 1t x t =-，1ln 1t tx t =-，显然312121111()222x x x x x ⇔+-+>>，等价于1t ∀>，112ln ln t t t t t--+>⇔22ln 10t t t -->，令2()2ln 1h t t t t =--，1t >，则()22ln 2h t t t '=--，令()22ln 2t t t ϕ=--，则2()20t tϕ'=->，从而得函数()h t '在(1,)+∞上单调递增，则有()(1)0h t h ''>=，因此函数()h t 在(1,)+∞上单调递增，总有()(1)0h t h >=，所以不等式3121122x x x ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭成立.思路点睛：涉及双变量的不等式证明，将所证不等式等价转化，借助换元构造新函数，再利用导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理.。

2022-2023学年陕西省西安市高二下学期期中数学(理)试题【含答案】

2022-2023学年陕西省西安市高二下学期期中数学(理)试题【含答案】

2022-2023学年陕西省西安市高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足()i 12z -=，给出下列四个命题其中正确的是（）A ．2z =B ．z 的虚部为1-C ．1iz =+D ．22iz =-【答案】B【分析】根据复数的除法运算化简复数z ，即可逐项判断.【详解】∵()i 12z -=，∴22(i 1)1i 1(i 1)(i 1)z i --===----⋅--，故z 的虚部为1-，则22||(1)(1)22z =-+-=≠，1i z =-+，()221i 2i z =--=，所以B 正确，A ，C ，D 不正确.故选：B.2．已知64P x x =+-+，31Q x x =+-+，若0x ≥，则P ，Q 的大小关系是（）A ．P Q >B ．P Q=C ．P Q <D ．由x 的取值确定【答案】C【分析】先根据特殊值判断出P Q <，然后结合分析法，通过平方的方法确定正确选项.【详解】取0x =，则62 2.520.5P =-<-=，310.73Q =-≈，此时P Q <．要证P Q <，只要证6134x x x x +++<+++，只要证()()226134x x x x +++<+++，只要证()()()()2726127234x x x x x x ++++<++++，只要证()()()()6134x x x x ++<++，只要证2276712x x x x ++<++，只要证612<．显然612<成立，所以P Q <成立．故选：C3．如图是函数()y f x =的导函数'()y f x =的部分图像，则下面判断正确的是（）A ．当3x =时，函数()y f x =取到极小值B ．当1x =时，函数()y f x =取到极大值C ．在区间(5,6)-内，函数()y f x =有3个极值点D ．函数()y f x =的单调递减区间为(4,2)--和（1，5）【答案】C【分析】根据导函数的零点以及符号，逐项分析.【详解】不妨设导函数在()2,0-区间的零点为1x ，23x =，在()5,6区间的零点为3x ，对于A ，当03x ＜＜时，()()'0,fx f x ＞单调递增，当36x ＜＜时，()()'0,fx f x ＜单调递减，∴在3x =处取得极大值，错误；对于B ，当03x ＜＜时，()()'0,f x f x ＞单调递增，不存在极值点，错误；对于C ，当15x x -＜＜时，()()'0,f x f x ≤单调递减，当1x x ＜＜3时，()()'0,f x f x ＞单调递增，在1x x =处取得极小值，由A ：在3x =处取得极大值，当33x x ＜＜时，()()'0,f x f x ＜单调递减，当36x x ＜＜时，()()'0,f x f x ＞单调递增，在3x x =处取得极小值，共有3个极值点，正确；对于D ，由以上分析可知：错误.故选：C.4．已知0()f x m '=，则000(2)()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A ．12mB ．mC ．2mD ．4m【答案】C【分析】根据增量变形，由导数定义可得.【详解】因为0()f x m '=，所以000()()limx f x x f x mx→+-=ΔΔΔ所以000000(2)()(2)()limlim 222x x f x x f x f x x f x m x x→→+-+-=⋅=ΔΔΔΔΔΔ.故选：C5．下列等式错误的是（）A ．A C !mm nnn =B ．()()!2!1n n n n =--C ．()!A !mn n n m =-D ．11C C m m n n m n --=【答案】A【分析】根据排列数，组合数公式，逐项判断即可．【详解】解：A C !mm n nm =，故A 错误；()()()()12!!(2)!11n n n n n n n n n ⨯-⨯-==---，故B 正确；()!A !m n n n m =-，故C 正确；()()()()11A A C !1!1!m m mn nnn n n m m m m m m ⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-+=⨯==--，()()()()111111A C1!1!m m n n n n n m n n m m ----⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-+=⨯=--，故11C C m m n n m n --=，故D 正确．故选：A ．6．由曲线y x =与x 轴及3x =所围成的图形绕x 轴旋转一周后形成的几何体的体积为（）A ．2πB ．3π2C ．πD ．9π2【答案】D【分析】首先根据已知条件可将旋转所得的立体图形的体积表示为30πd V x x =⎰，然后根据定积分的计算方法进行计算即可．【详解】由题意可得：()()()3322300ππ9ππd πd |90222V x x x x x ====-=⎰⎰.故选：D ．7．某中学于2023年4月25日召开春季运动会，在开幕式之前，由高一，高二学生自发准备了7个娱乐节目，其中有2个歌曲节目，3个乐器独奏，2个舞蹈节目，要求舞蹈节目一定排在首尾，另外2个歌曲节目不相邻．则这7个节目出场的不同编排种数为（）A ．288B ．72C ．144D ．48【答案】C【分析】先把舞蹈节目排好，再在2个舞蹈节目中间排好3个乐器独奏，再利用插空法排2个歌唱节目即可.【详解】先把舞蹈节目排好，共22A 2=种，再在2个舞蹈节目中间排好3个乐器独奏，共23A 6=种，这样3个乐器独奏与2个舞蹈节目中间共产生4个空档（不包括两边），2个歌唱节目排在4个空档上，共24A 12=种．故这7个节目出场的不同编排种数为2612144⨯⨯=种．故选：C ．8．已知函数()f x 的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是（）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()02323f f f f ''<-<≤C ．()()()()03223f f f f ''<-<<D ．()()()()03322f f f f ''<<-<【答案】D【分析】由函数()f x 图象斜率的变化，即可得出答案．【详解】解：割线AB 的斜率为()()()()323232f f f f -=--，()2f '为函数图象在点()()2,2B f 处切线的斜率，()3f '为函数图象在点()()3,3C f 处切线的斜率，结合图象可得()()()()03322f f f f ''<<-<，故选：D ．9．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()0xf x f x '+>，则不等式()()2210x f x f -<的解集为（）A ．()0,1B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()1,1-D ．()1,-+∞【答案】C【分析】令()()g x xf x =，求出导函数，即可得到()g x 的单调性，则问题转化为()()21g x g <，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】令()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>，所以()g x 在定义域R 上单调递增，不等式()()2210x f x f -<，即()()221x f x f <，即()()21g x g <，所以21x <，解得11x -<<，即不等式()()2210x f x f -<的解集为()1,1-.故选：C10．如下图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，由曲线y ＝sin x （0πx ≤≤）与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点（该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）A ．1πB ．2πC ．3πD ．π4【答案】A【分析】根据定积分求解曲边梯形的面积，结合几何概型的概率计算公式即可求解.【详解】阴影部分的面积为ππ00sin d cos 2x x x=-=⎰，由几何概型的概率公式可得：点落在阴影部分的概率是π0sin d 212π2ππx x ==⎰，故选：A11．已知函数()()ln 1e 1xf x a x -=-+-在定义域内单调递增，则实数a 的最小值为（）A ．21e B ．22e C ．1eD ．2e 【答案】A【分析】对()f x 求导，由()f x 在定义域内单调递增，可得()0f x '≥在()1,+∞恒成立，即()1exa x -≥-在()1,+∞恒成立，令()()()1e1xg x x x -=->，转化为求()max g x ，可得a 的取值范围；【详解】()f x 的定义域为()1,+∞，()e 1x af x x -=--'，函数()f x 在定义域内单调递增，则()0f x '≥在()1,+∞恒成立，则()e 01x af x x -=-'≥-，即()1e x a x -≥-，令()()()1e 1xg x x x -=->，()()()e 1e 2e x x x g x x x ---==-'--，令()0g x '>，解得：12x <<，令()0g x '<，解得：2x >，所以()g x 在()1,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以()()()22max 1221e e g x g -==-=.故21e a ≥，故实数a 的最小值为21e .故选：A.12．我国古代数学名著《九章算术》的“论割圆术”中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如表达式11111+++⋯（“…”代表无限次重复）可以通过方程11x x +=来求得152x +=，即1151211+=++；类似上述过程及方法，则55++⋯的值为（）A ．1912+B ．21+12C ．7D ．22【答案】B【分析】根据题意得55x ++⋯=，则得到5x x +=，解出即可.【详解】由题意,令55x ++⋯=,则5x x +=,整理得250x x --=，解得1212x ±=，0x >，1212x +∴=，故选：B.二、填空题13．已知函数()y f x =的图像在点()()1,1M f 处的切线方程是21y x =-+，则()()11f f '+=．【答案】3-【分析】由已知可得()12f '=-，再由点()()1,1M f 在切线上求解()1f ，作和得答案．【详解】解：∵函数()y f x =的图像在点()()1,1M f 处的切线方程是21y x =-+，∴()12f '=-，()12111f =-⨯+=-，∴()()11123f f '+=--=-．故答案为： 3.-14．计算：()111sin d x x x ---=⎰．【答案】2【分析】利用牛顿莱布尼茨公式求解．【详解】由题意可得：()1211111sin d cos |2x x x x x x --⎛⎫--=-+ ⎪⎝⎭⎰()111cos11cos 122⎛⎫⎡⎤=-+---+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦13cos1cos1222=++-=故答案为：2.15．设集合{}1,2,3,4,5A =，,a b A ∈，则方程221x y a b+=表示焦点位于y 轴上的椭圆有个．【答案】10【分析】根据a <b ，对A 中元素进行分析可得到答案．【详解】焦点位于y 轴上的椭圆则，a <b ，当b =2时，a =1；当b =3时，a =1，2；当b =4时，a =1，2，3；当b =5时，a =1，2，3，4；共10个.故答案为：1016．我们比较熟悉的网络新词，有“yyds ”、“内卷”、“躺平”等，定义方程()()'f x f x =的实数根x 叫做函数()f x 的“躺平点”.若函数()xg x e x =-，()h x lnx =，()20232023x x ϕ=+的“躺平点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为．【答案】b a c>>【分析】根据“躺平点”新定义，可解得1a =,0c =，利用零点存在定理可得()1,e b ∈,即可得出结论.【详解】根据“躺平点”定义可得()()g a a g '=，又()e 1xg x '=-；所以e e 1a a a -=-，解得1a =；同理()1h x x'=，即1ln b b =；令1()ln m x x x=-，则211()0x x m x '=+>，即()m x 为()0,∞+上的单调递增函数，又1(1)10,(e)10em m =-=-<>，所以()m x 在()1,e 有唯一零点，即()1,e b ∈；易知()2023x ϕ'=，即()()202320232023c c c ϕϕ'=+==，解得0c =；因此可得b a c >>.故答案为：b a c >>.三、解答题17．（1）利用0，1，2，4，5，7这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有多少个？（2）从1，3，5，7中任取3个数字，从2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？（3）计算：3333410C C C +++ ．【答案】（1）48；（2）1440；（3）330【分析】（1）按是否选0分2种情况讨论，先安排个位，再安排十位和百位，利用排列组合数计算即可．（2）从1，3，5，7中选3个数字，从2，4，6中选2个数字，再进行全排即可；（3）根据组合数公式的性质求解即可．【详解】（1）不选0时，有1234C A 36=个奇数；选0时，有1134C C 12=个奇数；共有361248+=个奇数．（2）从1，3，5，7中任取3个数字，从2，4，6中任取2个数字，一共可以组成325435C C A 1440=个没有重复数字的五位数．（3）33343334104410C C C C C C +++=+++ 4334551011C C C C 330=+++== ．18．（1）已知x ∈R ，212a x =+，2b x =-，21c x x =-+，试用反证法证明a ，b ，c 中至少有一个不小于1．（2）复数1i1iz +=-，则求246810z z z z z ω=++++的值．【答案】（1）证明见解析；（2）-1【分析】（1）假设a ，b ，c 均小于1，利用不等式的可加性得到()2210x -<，说明假设错误，则结论得证；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由虚数单位i 的运算性质得答案．【详解】证明：（1）假设a ，b ，c 均小于1，即2112x +<，21x -<，211x x -+<，则272232x x -+<，可得24410x x -+<，也就是()2210x -<，该式显然不成立，假设错误．故a ，b ，c 中至少有一个不小于1．解：（2）1i 1i z +=-()()()21i 1i 1i +=-+22i 1i =-2i i2==，则246810z z z z z ω=++++246810i i i i i =++++111111=-+-+-=-.19．已知数列{}n a 满足()111,,N 21nn n a a a n a *+==∈+(1)求出234,,a a a 项，并由此猜想{}n a 的通项公式(2)用数学归纳法证明{}n a 的通项公式【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据已知条件求得234,,a a a ，由此猜想12n a n=，（2）结合数学归纳法的证明步骤，证得猜想通项公式正确即可.【详解】（1）依题意()1*1N 1,21nn n a a a n a +==∈+，所以312234123111,,213215217a a a a a a a a a ======+++，由此猜想121n a n =-.（2）当1n =时，11a =，成立.假设当n k =时成立，即121k a k =-成立.则当1n k =+时，()11112122121211121k k k a k a a k k k +-====+++-+-，成立.综上所述，121n a n =-对任意正整数n 都成立.20．若函数()3f x ax bx =-，当x =2时，函数()f x 有极值163-．(1)求函数的解析式：(2)若关于x 的方程()f x k =有一个零点，求实数k 的取值范围．(3)求曲线()y f x =与直线0x y +=所围图形的面积．【答案】(1)()3143f x x x =-(2)1616,,33∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)272【分析】（1）由当2x =时，函数()f x 有极值163-，可得()20f '=，()1623f =-，联立解得a ，b ，经过验证即可得出()f x ．（2）结合（1）可得函数()f x 的单调性与极值，根据关于x 的方程()f x k =有一个零点，即可得出实数k 的取值范围．（3）联立3143x x y -=，y x =-，解得x ，利用微积分基本定理即可得出曲线()y f x =与直线0x y +=所围图形的面积．【详解】（1）函数()3f x ax bx =-，所以()23f x ax b '=-，由当2x =时，函数()f x 有极值163-，∴()2120f a b '=-=，()162823f a b =-=-，联立解得：13a =，4b =，∴()3143f x x x =-，()()()2422f x x x x '=-=-+，满足2x =时，函数()f x 有极值，因此()3143f x x x =-．（2）由（1）可得：()()()22f x x x '=-+，令()0f x '=，解得2x =±．∴函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增．又()1623f -=，()1623f =-，若关于x 的方程()f x k =有一个零点，∴163k >或163k <-，∴实数k 的取值范围是1616,,33∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）联立3143x x y y x⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，解得：0,3x =±，∴曲线()y f x =与直线0x y +=所围图形的面积：330123d 3S x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰3240312722122x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.21．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于7万件时，()4710C x x x =+-（万元），当年产量不小于7万件时，()36ln 11e C x x x x =++-（万元）．已知每件产品售价为6元，若该同学生产的产品当年全部售完．（1）写出年利润()P x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（注：取320e ≈）【答案】（1）()348,079ln ,7x x x p x e x x x ⎧⎛⎫-+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪--≥⎪⎩；（2）当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获得年利润最大，最大利润为5万元.【分析】（1）根据年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本，分07x <<和7x ≥两种情况建立函数关系式，再写出分段函数的形式；（2）分07x <<和7x ≥两种情况分别求出最大值，即可得到结论.【详解】（1）产品售价为6元，则x 万件产品销售收入为6x 万元依据题意得，当07x <<时，()44671028p x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当7x ≥时，()3366ln 1129ln e e p x x x x x x x ⎛⎫=-++--=-- ⎪⎝⎭()348,079ln ,7x x x p x e x x x ⎧⎛⎫-+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当07x <<时，()48p x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为4424x x x x+≥⨯=（当且仅当4x x =，即x =2时取等号），所以()484p x x x ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭，即07x <<时，当2x =时，()p x 的最大值为()24p =万元当7x ≥时，()39ln e p x x x=--∴()32e x p x x -'=，∴当37x e ≤<时，()0p x '<，()p x 单调递减，∴当3x e =时，()p x 的最大值为()339ln 15p ee =--=万元∵54>∴当320x e =≈时，()p x 的最大值为5万元答：当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获得年利润最大，最大利润为5万元.22．设函数()()2ln f x ax x a =--∈R ．(1)若()f x 在点()()e,e f 处的切线斜率为1e，求a 的值；(2)当0a >时，求()f x 的单调区间；(3)若()e x g x ax =-，求证：在0x >时，()()f x g x >．【答案】(1)2ea =(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）通过计算()1e ef '=，可求解a ；（2）由（1）知：()()10ax f x x x -'=>，讨论导数的正负即可得到单调性；（3）通过变形，只需证明()e ln 20x h x x =-->即可，利用不等式e 1x x >+，ln 1≤-x x 即可证明.【详解】（1）解：函数()()2ln f x ax x a =--∈R ，则()'1f x a x=-，因为()f x 在点()()e,e f 处的切线斜率为1e，所以()11e e ef a =-='，解得2e a =.（2）由（1）知：()()'10ax f x x x-=>，当0a >时，令()'0f x <，得10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()'0f x >，得1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（3）()()()2ln e e ln 2x x f x g x ax x ax x -=----=--，令()e 1x h x x =--，则()'e 1x h x =-，因为0x >，所以()'0h x >，则()h x 在()0,∞+上单调递增，又()00h =，所以()0h x >恒成立，即e 1x x >+；令()ln 1H x x x =-+，()'11H x x=-，()0,1x ∈时，()'0H x >，()1,x ∈+∞时，()'0H x <，所以()H x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 10H x H ==，()0H x ≤恒成立，即ln 1≤-x x ，所以()()()()e ln 21120x f x g x x x x -=-->+---=，得证.。

2022-2023学年人教A版高二下数学期中试卷(含解析)

2022-2023学年人教A版高二下数学期中试卷(含解析)

2022-2023学年高中高二下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 在等比数列中，，且，，成等差数列，则公比 A.B.或C.D.或2. 已知函数的导函数为，且，则( )A.B.C.D.3. 在的展开式中，项的系数是（ ）A.B.—C.D.—4. 某班班会准备从甲、乙等名学生中选派名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加.当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（ ）{}a n >0a n a 7a 6−3a 5q =()11−333−1f (x)(x)=x −sin x f ′f (1)=12f (−1)=+cos 112−cos 112−1212(−)x 32x7x 528028056056074A.B.C.D.5. 函数的定义域为，，对任意，导函数，则的解集为 A.B.C.D.6. 在数列中，若且，设数列的前项和为，则（ ）A.B.C.D.7. 中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为( )A.B.C.D.8. 若关于的不等式 的解集包含区间 ,则的取值范围为A.B.360520600720f(x)R f(−1)=2x ∈R (x)>2f ′f(x)>2x +4()(−1,1)(−1,+∞)(−∞,−1)(−∞,+∞){}a n =1a 1−=1+a n+1a n (−1)n {}a n n S n =S 4004950500050505100960102412962021x (−2x)−a +2>0x 2e x 2–√e 2√(1,+∞)a ()(−∞,2)e 2√(2,+∞)e 2√(−∞,−2e]C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 关于，则( )A.B.C.D.10. 已知是等差数列的前项和，且，则下列判断正确的是（）A.B.C.D.当时，最大11. 若甲、乙等个人站成一排，则下列判断正确的是( )A.甲、乙不相邻有种B.甲、乙不相邻有种C.甲、乙相邻有种D.甲、乙相邻有种12.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是 A.在上是增函数B.在上是减函数C.在上是增函数D.当时， 取得极小值(−∞,−2e][−2e,+∞)(1−2x =+⋅x +⋅+⋯+⋅(x ∈R))2021a 0a 1a 2x 2a 2021x 2021−+−+⋯+=1−a 1a 2a 3a 4a 202132021=8a 3C 32021+++⋯+=a 1a 2a 3a 202132021=1a 0S n {}a n n >>S 8S 9S 7d <0>0S 15<0S 16n =8S n 5729012048y =f (x)(x)f ′()f (x)(−3,1)f (x)(1,3)f (x)(1,2)x =4f (x)卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 函数的图象在点处的切线方程为________.14. 生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻的不同排法的种数为________.15. 已知数列的各项都是正数，，若数列各项单调递增，则首项的取值范围________；当时，记，若，则整数________．16. 从，，，中任取个数字，从，，，中任取个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 已知的展开式中各项系数之和为求的值；求展开式中的常数项．18. 已知数列满足，且．求数列的通项公式；令，求数列的前项和．19. 不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉．有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为海里/时时，燃料费是元/时，而其他与速度无关的费用是元/时．问当轮船的速度是多少时，航行海里所需的费用总和最小？20. 已知函数.当时，求函数的极值；若对成立，求实数的取值范围．21. 数列中，已知，，f (x)=x (ln x +1)(1,f (1)){}a n −=(n ∈)a 2n+1a n+1a n N ∗{}a n a 1=a 123=b n (−1)n−1−1a n k <++...+<k +1b 1b 2b 2019k =1357202462(3x −)1xn 32.(1)n (2)(x +)1x (3x −)1x n {}a n =1a 1=a n+1a n +1a n (1){}a n (2)=b n 44−a 2n {}b n n S n 106961f (x)=a −2x +1e x (1)a =1f (x)(2)f (x)>0x ∈R a {},{}a n b n =1a 1=a n+112a n n (n +1)(4n −1),(n ∈)1.求数列和的通项公式；求数列的前项和.22. 已知函数.当时，求的最大值；若 在区间上存在零点，求实数的取值范围．+2+…+n b 1b 2b n =n (n +1)(4n −1),(n ∈)16N ∗(1){}a n {}b n (2){}a n b n n T n f (x)=ln x −x −1a (1)a =1f (x)(2)f (x)(2,e)a参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】等差中项等比数列的通项公式【解析】【解答】解：由题意可得，即，则，即，解得或(舍去).故选.2.【答案】D【考点】导数的运算函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：已知函数的导函数为 ，则.2=−3a 6a 7a 5−2−3=0a 7a 6a 5−2−3=0a 1q 6a 1q 5a1q 4−2q −3=0q 2q =3q =−1C f (x)(x)=x −sin xf ′f(x)=+cos x +C 12x 2(1)=+cos 1+C =11由，解得，则函数，故 .故选.3.【答案】C【考点】二项展开式的特定项与特定系数二项式系数的性质【解析】【解析】本题考查二项式定理，考查逻辑推理能力与运算求解能力．展开式中，通项．令，得，则，故项的系数是【解答】【解析】本题考查二项式定理，考查逻辑推理能力与运算求解能力．展开式中，通项．令，得，则，故项的系数是4.【答案】C【考点】排列、组合的应用【解析】根据题意，分种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分种情况讨论，f(1)=+cos 1+C =1212C =−cos 1f(x)=+cos x −cos 112x 2f(−1)=×(−1+cos(−1)−cos 112)2=+cos 1−cos 112=12D C (−)x 32x 7==T r+1C 77()x 37−r (−)2xr (−2)r C 27x 2−121−4r =5r =4=T 5=560(−2)4C 47x 5x 5x 5560.C (−)x 32x 7==T r+1C 77()x 37−r (−)2xr (−2)r C 27x 2−121−4r =5r =4=T 5=560(−2)4C 47x 5x 5x 5560.22⋅⋅=480134①若只有甲乙其中一人参加，有种情况；②若甲乙两人都参加，有种情况.其中甲乙相邻的有种情况，则不同的发言顺序的种数为(种).故选.5.【答案】B【考点】其他不等式的解法利用导数研究函数的单调性【解析】把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为构成一个函数，把代入中，由出的值，然后求出的导函数，根据，得到导函数大于即得到在上为增函数，根据函数的增减性即可得到大于的解集，进而得到所求不等式的解集．【解答】解：设，则，又对任意，，所以，即在上单调递增，则的解集为，即的解集为．故选.6.【答案】B【考点】数列的求和等差数列的前n 项和【解析】根据题意求出...得出规律，求出,即可解答.【解答】解：当是奇数时，，则，当是偶数时，，即，⋅⋅=480C 12C 35A 44⋅⋅=240C 22C 25A 44⋅⋅⋅=120C 22C 25A 33A 22480+240−120=600C F(x)x =−1F(x)f(−1)=2F(−1)F(x)f'(x)>20F(x)R F(x)0F(x)=f(x)−(2x +4)F(−1)=f(−1)−(−2+4)=2−2=0x ∈R (x)>2f ′(x)=(x)−2>0F ′f ′F(x)R F(x)>0(−1,+∞)f(x)>2x +4(−1,+∞)B ,,,a 1a 2a 3a 4,,a 99a 100n −=0a n+1a n =a n+1a n n −=2a n+1a n =2+a n+1a n ∵=1，，，，，，，，.故选.7.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：排课可分为以下两大类：①“丝”被选中：不同的方式种数为种；②“丝”不被选中：不同的方式种数为种．故共有种．故选.8.【答案】A【考点】利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】∵=1a 1∴==1a 2a 1∴=2+=3a 3a 2∴==3a 4a 3∴=+2=5a 5a 4∴==5a 6a 5⋯∴=99a 99∴=99a 100∴=++++⋅⋅⋅++S 100a 1a 2a 3a 4a 99a 100=2×(1+3+5+⋅⋅⋅+99)=2×(1+99)×502=5000B =−N 1C 24A 22A 33A 24C 24A 22A 22A 23=720==576N 2C 34A 22A 33A 24N =720+576=1296C二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D【考点】二项式系数的性质【解析】直接利用特殊值确定系数关系，即可得出答案.【解答】解：令，则，故正确；令，则，则，故正确；令，则，则，故错误；利用二项式的通项得，故错误.故选.10.【答案】A,B,D【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】无【解答】x =0=1a 0D x =−1=−+−+⋯−32021a 0a 1a 2a3a 2021−+−+⋯+=1−a 1a 2a3a 4a 202132021A x =1++++⋯+=−1a 0a 1a 2a 3a 2021+++⋯+=−2a 1a 2a 3a 2021C (1−2x)2021==−8a 3C 32021(−2)3C 32021B AD A >S S解：．由，可得；由，可得；又，可得，所以，故正确；．，故正确；．，故不正确；．数列前项为正数，从第项开始为负数，所以最大，故正确．故选．11.【答案】A,D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：不相邻时，先排除甲、乙外的另三人，再对甲、乙插空处理，有种方法；相邻时，有种方法．故选．12.【答案】C,D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：的图象在上先小于，后大于，故在上先减后增，故错误；的图象在上先大于，后小于，故 在上先增后减，故错误；由图可知，当时， ，所以在上单调递增，故正确；当时， ，当时， ，所以当时， 取得极小值，故正确．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）A >S 8S 9<0a 9>S 9S 7+>0a 8a 9>S 8S 7>0a 8d =−<0a 9a 8AB ==>0S 1515(+)a 1a 15215(2)a 82B C =8(+)=8(+)>0S 16a 1a 16a 8a 9C D 89S 8D ABD =72A 33A 24⋅=48A 22A 44AD (x)f ′(−3,1)00f (x)(−3,1)A (x)f ′(1,3)00f (x)(1,3)B x ∈(1,2)(x)>0f ′f (x)(1,2)C x ∈(2,4)(x)<0f ′x ∈(4,5)(x)>0f ′x =4f (x)D CD13.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】无【解答】解：，则，，所以所求的切线方程为，即．故答案为：．14.【答案】【考点】排列、组合及简单计数问题排列、组合的应用【解析】答案未提供解析．【解答】解：“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排：①“数”排在第一位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，剩下的个全排列，安排在其他三个位置，有种情况，故有种；②“数”排第二位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，剩下的个全排列，安排在其他三个位置，有种情况，则有种情况，由分类加法原理知满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排共有种情况.故答案为：.15.【答案】2x −y −1=0(x)=ln x +1+x ⋅=ln x +2f ′1x(1)=2f ′f (1)=1y −1=2(x −1)2x −y −1=02x −y −1=084423=6A 334×2×6=48323=6A 333×2×6=3648+36=8484(0,2)【考点】数列与不等式的综合数列的求和数列递推式【解析】本题根据正数数列是单调递增数列，可列出，通过求出的取值范围，得到的取值范围，逆推出的取值范围；第二空主要是采用裂项相消法求出的表达式，然后进行不等式范围计算，即可得到结果．【解答】解：由题意，正数数列是单调递增数列，且，∴，解得，∴．∴．∵，∴．又由，可得：．∴．∵，∴．∵，且数列是递增数列，∴，即，∴．∴整数．故答案为：；.16.【答案】{}a <em>n</em>−=−2<0a n a n+1a n+12a n+1a <em>n</em>+1a 2a 1++...+b 1b 2b 2019{}a n −=a 2n+1a n+1a n −=−2<0a n a n+1a 2n+1a n+1∈(0,2)a n+1∈(0,2)a 2=−∈[−,2)a 1a 22a 214>0a 10<<2a 1−=a 2n+1a n+1a n ==−1a n 1−a 2n+1a n+11−1a n+11a n+1=+1−1a n+11a n 1a n+1=b n (−1)n−1−1a n ++⋯+=−+−⋯+b 1b 2b 20191−1a 11−1a 21−1a 31−1a 2019=−(+)+(+)−...−(+)+(+)1−1a 11a 11a 21a 21a 31a 20171a 20181a 20181a 2019=−−++−⋯−−++1−1a 11a 11a 21a 21a 31a 20171a 20181a 20181a 2019=−+1−1a 11a 11a 2019=−+921a 2019=a 123{}a n ∈(,2)a 201923∈(,)1a 20191232−4<−+<−3921a 2019k =−4(0,2)−4396排列、组合及简单计数问题【解析】可先从中任取个数字，然后从中任取个数字，分为是否存在两种情况讨论，求解即可．【解答】解：从，，，中任取2个数字有种方法，从，，，中任取个数字不含时，有种方法，可以组成个四位偶数；从，，，中任取个数字有种方法，从，，，中任取个数字含时，有种方法：当在末尾时，有个；当不在末尾时，有个 .所以可以组成个四位偶数，共个．故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：由题意，令得，解得．因为二项式的通项为，所以展开式中的常数项为．【考点】二项式系数的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，令得，解得．1,3,5,720,2,4,620(1)1357=6C 24024620=3C 23⋅⋅⋅=216C 24C 23A 12A 33(2)13572=6C 24024620=3C 130=6A 330⋅=4A 12A 22⋅⋅(6+4)=180C 24C 13216+180=396396(1)x =1==32(3−1)n2n n =5(2)(3x −)1x 5=⋅T r+1C r 5(3x)5−r(−)1xr=⋅⋅C r 5(−1)r 35−r x 5−2r (x +)1x (3x −)1x5x ⋅⋅⋅⋅+C 35(−1)335−3x −1⋅⋅⋅x 1xC 25(−1)235−2=−9+27C 35C 25=18C 25=180(1)x =1==32(3−1)n2n n =55因为二项式的通项为，所以展开式中的常数项为．18.【答案】解：因为，所以 .又，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，得，即数列的通项公式为．由，得，则．【考点】数列递推式数列的求和【解析】此题暂无解析(2)(3x −)1x 5=⋅T r+1C r 5(3x)5−r(−)1xr=⋅⋅C r 5(−1)r 35−r x 5−2r (x +)1x (3x −)1x5x ⋅⋅⋅⋅+C 35(−1)335−3x −1⋅⋅⋅x 1xC 25(−1)235−2=−9+27C 35C 25=18C 25=180(1)=a n+1a n+1a n −=−=11a n+11a n +1a n a n 1a n =11a 1{}1a n 11=1+(n −1)=n 1a n =a n 1n{}a n =(n ∈)a n 1nN ∗(2)(1)==b n 44−a 2n44−1n 2==4n 24−1n 24−1+1n 24−1n 2=1+1(2n −1)(2n +1)=1+(−)1212n −112n +1=1S n +(1−)1213+1+(−)+1213151+(−)121517+⋯+(−)1212n −112n +1=n +(1−)1212n +1=2n (n +1)2n +1【解答】解：因为，所以 .又，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，得，即数列的通项公式为．由，得，则．19.【答案】解：设速度为海里/时的燃料费是元时，由题设的比例关系得，其中为比例系数．由，，得，于是．设船的速度为海里/时时，航行海里所需的总费用为元，而每小时所需的总费用是元，航行海里所需时间为，所以航行海里的总费用为．所以．令，解得．因为当时，；当时， ，所以当时，取得最小值．故当轮船的速度为海里/时时，航行海里所需费用总和最小．【考点】(1)=a n+1a n+1a n −=−=11a n+11a n +1a n a n 1a n =11a 1{}1a n 11=1+(n −1)=n 1a n =a n 1n{}a n =(n ∈)a n 1nN ∗(2)(1)==b n 44−a 2n44−1n 2==4n 24−1n 24−1+1n 24−1n 2=1+1(2n −1)(2n +1)=1+(−)1212n −112n +1=1S n +(1−)1213+1+(−)+1213151+(−)121517+⋯+(−)1212n −112n +1=n +(1−)1212n +1=2n (n +1)2n +1v p /p =k ⋅v 3k v =10p =6k ==0.0066103p =0.006v 3v 1y (0.006+96)v 311v1y =(0.006+96)=0.006+(v >0)1v v 3v 296v=0.012v −=(−8000)y ′96v 20.012v2v 3=0y ′v =200<v <20<0y ′v >20>0y ′v =20y 201利用导数研究函数的最值函数模型的选择与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设速度为海里/时的燃料费是元时，由题设的比例关系得，其中为比例系数．由，，得，于是．设船的速度为海里/时时，航行海里所需的总费用为元，而每小时所需的总费用是元，航行海里所需时间为，所以航行海里的总费用为．所以．令，解得．因为当时，；当时， ，所以当时，取得最小值．故当轮船的速度为海里/时时，航行海里所需费用总和最小．20.【答案】解：当时，，.令，解得；令，解得；令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取极小值，无极大值，所以的极小值为.若对成立，即.令，则.v p /p =k ⋅v 3k v =10p =6k ==0.0066103p =0.006v 3v 1y (0.006+96)v 311v1y =(0.006+96)=0.006+(v >0)1v v 3v 296v=0.012v −=(−8000)y ′96v 20.012v2v 3=0y ′v =200<v <20<0y ′v >20>0y ′v =20y 201(1)a =1f(x)=−2x +1e x (x)=−2f ′e x (x)=0f ′x =ln 2(x)<0f ′x <ln 2(x)>0f ′x >ln 2f(x)(−∞,ln 2)(ln 2,+∞)f(x)x =ln 2f(x)f(ln 2)=3−2ln 2(2)f(x)>0x ∈R a >2x −1e xh(x)=2x −1e x (x)==h ′2−(2x −1)e xe x (e x )23−2xe x <3令，则，解得，令，则，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，故，所以实数的取值范围为.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，.令，解得；令，解得；令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取极小值，无极大值，所以的极小值为.若对成立，即.令，则.令，则，解得，令，则，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，故，所以实数的取值范围为.21.【答案】解：由已知得数列为首项为，公比为的等比数列，∴，当时，，(x)>0h ′3−2x >0x <32(x)<0h ′3−2x <0x >32h(x)(−∞,)32(,+∞)32h(x =h()==2)max 322e 32e −32a (2,+∞)e −32(1)a =1f(x)=−2x +1e x (x)=−2f ′e x (x)=0f ′x =ln 2(x)<0f ′x <ln 2(x)>0f ′x >ln 2f(x)(−∞,ln 2)(ln 2,+∞)f(x)x =ln 2f(x)f(ln 2)=3−2ln 2(2)f(x)>0x ∈R a >2x −1e xh(x)=2x −1e x (x)==h ′2−(2x −1)e xe x (e x )23−2xe x (x)>0h ′3−2x >0x <32(x)<0h ′3−2x <0x >32h(x)(−∞,)32(,+∞)32h(x =h()==2)max 322e 32e −32a (2,+∞)e −32(1){}a n 112=(a n 12)n−1n ≥2+2+⋅⋅⋅+(n −1)b 1b 2b n−1=(n −1)n(4n −5)16=n(n +1)(4n −1)−(n −1)n(4n −5)11∴，∴，∴，，当时，，也符合上式，∴.，，，以上两式相减得，，∴.【考点】数列的求和数列递推式等差数列的通项公式等比数列的性质等差数列的前n 项和【解析】暂无暂无【解答】解：由已知得数列为首项为，公比为的等比数列，∴，当时，，∴，∴，∴，，当时，，也符合上式，∴.，n =n(n +1)(4n −1)−(n −1)n(4n −5)b n 1616n =n(2n −1)b n =2n −1b n (n ≥2)n =1=1b 1=2n −1b n (2)=+++⋯+T n a 1b 1a 2b 2a 3b 3a n b n =1×1+3×+5×+⋅⋅⋅+(2n −1)⋅T n 1212212n−1=1×+3×+5×+⋅⋅⋅+(2n −1)⋅12T n 1212212312n =1+2(++⋅⋅⋅+)−(2n −1)⋅12T n 1212212312n−112n+1=2+4(++⋅⋅⋅+)−(2n −1)⋅T n 1212212312n−112n−1=2+4×−(2n −1)⋅−1212n 1−1212n−1=6−2n +32n−1(1){}a n 112=(a n 12)n−1n ≥2+2+⋅⋅⋅+(n −1)b 1b 2b n−1=(n −1)n(4n −5)16n =n(n +1)(4n −1)−(n −1)n(4n −5)b n 1616n =n(2n −1)b n =2n −1b n (n ≥2)n =1=1b 1=2n −1b n (2)=+++⋯+T n a 1b 1a 2b 2a 3b 3a n b n 1×1+3×+5×+⋅⋅⋅+(2n −1)⋅111，，以上两式相减得，，∴.22.【答案】解：当时，，定义域为 ，则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.由题意知，方程在上有实根．因为 ，所以方程可转化为.设，则.设，则.当时，，所以在 上单调递增，所以，于是，所以在上单调递增，所以，即.综上所述，实数的取值范围是.【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题=1×1+3×+5×+⋅⋅⋅+(2n −1)⋅T n 1212212n−1=1×+3×+5×+⋅⋅⋅+(2n −1)⋅12T n 1212212312n =1+2(++⋅⋅⋅+)−(2n −1)⋅12T n 1212212312n−112n+1=2+4(++⋅⋅⋅+)−(2n −1)⋅T n 1212212312n−112n−1=2+4×−(2n −1)⋅−1212n1−1212n−1=6−2n +32n−1(1)a =1f (x)=ln x −x +1(0,+∞)(x)=−1f ′1x(x)=0f ′x =1x ∈(0,1)(x)>0f ′f (x)x ∈(1,+∞)(x)<0f ′f (x)f =f (1)=0(x)max (2)f (x)=ln x −=0x −1a(2,e)ln x ≠0a =x −1ln xg(x)=x −1ln x(x)==g ′ln x −(x −1)1x (ln x)2ln x +−11x (ln x)2h (x)=ln x +−11x (x)=−h ′1x 1x 22<x <e (x)>0h ′h (x)(2,e)h (x)>h (2)=ln 2−>012(x)>0g ′g(x)(2,e)g(2)<g(x)<g(e)<g(x)<e −11ln 2a (,e −1)1ln 2利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，定义域为 ，则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.由题意知，方程在上有实根．因为 ，所以方程可转化为.设，则.设，则.当时，，所以在 上单调递增，所以，于是，所以在上单调递增，所以，即.综上所述，实数的取值范围是.(1)a =1f (x)=ln x −x +1(0,+∞)(x)=−1f ′1x (x)=0f ′x =1x ∈(0,1)(x)>0f ′f (x)x ∈(1,+∞)(x)<0f ′f (x)f =f (1)=0(x)max (2)f (x)=ln x −=0x −1a (2,e)ln x ≠0a =x −1ln x g(x)=x −1ln x (x)==g ′ln x −(x −1)1x (ln x)2ln x +−11x (ln x)2h (x)=ln x +−11x (x)=−h ′1x 1x 22<x <e (x)>0h ′h (x)(2,e)h (x)>h (2)=ln 2−>012(x)>0g ′g(x)(2,e)g(2)<g(x)<g(e)<g(x)<e −11ln 2a (,e −1)1ln 2。

2023-2024学年陕西省高二下册期中联考数学(理)试题(含解析)

2023-2024学年陕西省高二下册期中联考数学(理)试题(含解析)

2023-2024学年陕西省高二下册期中联考数学（理）试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数51i +的虚部为（）A ．-1B ．0C ．1D ．i【正确答案】C【分析】根据复数的运算法则直接计算得到答案.【详解】由54111i 1i 1i 1i ++=+=+=+，虚部为1，故选项C 正确.故选：C.2．()1023d x x +=⎰（）A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】C【分析】应用微积分基本定理求定积分即可.【详解】()()112023d 34x x x x +=+=⎰．故选：C3．如果函数()f x ax b =+在区间[1,2]上的平均变化率为3,则=a A ．3-B ．2C ．3D ．2-【正确答案】C【详解】根据平均变化率的定义，可知()()2321a b a b y a x +-+===-故选C4．函数()sin cos f x x x =+的导数为（）A ．0B ．cos sin x x+C ．cos sin x x-D ．sin x-【正确答案】C【分析】利用基本初等函数及函数和的导数公式可求函数()f x 的导数.【详解】∵(sin )cos x x '=，(cos )sin x x '=-，∴()cos sin f x x x '=-，故选：C.5．函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（）A ．（-1，1）B ．（0，1）C ．[1，+∞）D ．[0，+∞]【正确答案】B【分析】利用导数求函数单调区间.【详解】函数21ln 2y x x =-的定义域为()0+∞，，211x y x x x-'=-=，令210x x->，解得1x >，令210x x -<，解得01x <<，则21ln 2y x x =-的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞，故选.B6．已知f (x )＝13x 3＋(a －1)x 2＋x ＋1没有极值，则实数a 的取值范围是（）A ．[0，1]B ．(－∞，0]∪[1，＋∞)C ．[0，2]D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)【正确答案】C【分析】求导得2211()()f x x a x '=+-+，再解不等式22140[()]≤a --即得解.【详解】由321113()()f x x a x x =+-++得2211()()f x x a x '=+-+，根据题意得22140[()]≤a --，解得02a ≤≤．故选：C7．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A ．13B ．12C ．23D ．34【正确答案】B【详解】试题分析：不妨设直线:1x yl c b+=，即0bx cy bc +-=⇒椭圆中心到l 的距离24b =12c e a ⇒==，故选B.1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.不妨设直线:1x ylc b +=，即0bx cy bc +-=⇒椭圆中心到l 2142b c e a =⇒==，24b=是本题的关键节点.8．已知椭圆的中心在原点，离心率12e =，且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合，则此椭圆方程为A ．22143x y +=B ．22186x y +=C ．2212x y +=D ．2214x y +=【正确答案】A【详解】试题分析：抛物线24y x =-的焦点坐标为,所以椭圆的一个焦点坐标为，所以，又，所以，所以椭圆的标准方程为22143x y +=，故选A ．1．椭圆的标准方程与几何性质；2．抛物线的标准方程与几何性质．9．伦教奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造的双曲线C ：2221(0)y x a a-=>上支的一部分，点F 是C 的下焦点，若点P 为C 上支上的动点，则PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【正确答案】C【分析】根据离心率求出双曲线方程，可得出焦点坐标及渐近线方程，再利用双曲线的定义转化为求4||PF PQ PF PQ +=++'，数形结合即可得出最小值．【详解】依题意，双曲线2221y x a-=，则21514a +=，解得2a =，所以双曲线方程为2214y x -=，则双曲线得下焦点为(0,F ，上焦点(F '，渐近线方程为12x y =±，如图，根据图形的对称性，不妨取渐近线为1:2l x y =，即2y x =，又点P 为双曲线上支上的动点，则24PF a PF PF '+=+'=，过点P 作PQ l ⊥，垂足为Q ，过点F '作F M l '⊥，垂足为M ，则444415PF PQ PF PQ F M +=++≥+'=+'==，所以PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为5．故选：C ．10．函数()232ln 5f x x x =-+的极值点为（）A ．8B ．6ln 3+C ．1D 【正确答案】D【分析】求出()f x 定义域为()0,∞+，然后求导数()f x '，从而根据二次函数的图象即可判断导数符号，进而可得出()f x 的极值点．【详解】依题意可得函数()f x 定义域为()0,∞+，则()()223126x f x x x x-'=-=，令()0f x '=，解得x =x =，则当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，此时()f x 单调递增，所以x =()f x 的极值点，且为极小值点．故选：D ．11．已知函数ln ()xf x x=，下列说法正确的是（）A ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =+B ．()f x 的单调递减区间为(e,)+∞C ．()f x 的极小值为1eD ．方程()1f x =-有两个不同的解【正确答案】B【分析】求出函数()f x 的定义域及导数，再逐项求解判断作答.【详解】函数ln ()xf x x=的定义域为(0,)+∞，求导得21ln ()x f x x -'=，对于A ，(1)1f '=，而(1)0f =，因此()f x 图象在1x =处的切线方程为1y x =-，A 错误；对于B ，当(0,e)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，B 正确；对于C ，由选项B 知，当e x =时，()f x 取得极大值1e ，C 错误；对于D ，因为函数()f x 在(0,e)上单调递增，且e 1,(1)1)e0(f f =-<-=，即方程()1f x =-在(0,1)上有唯一解，而当1x >时，恒有()0f x >成立，即该方程在(1,)+∞上无解，所以方程()1f x =-只有一个解，D 错误.故选：B12．过点()0,b 作曲线e x y =切线有且只有两条，则b 的取值范围为（）A ．()0,1B ．(),1-∞C ．(],1-∞D ．(]0,1【正确答案】A【分析】设切点()00,P x y ，进而求得切线方程，进而得到()00e 1xb x =-，构造函数()()1e x g x x =-分析()()1e x g x x =-的单调性与取值范围即可判断()00e 1x b x =-有且仅有两根时b 的取值范围．【详解】设切点为()00,P x y ，由e x y =，则e x y '=，所以过()00,P x y 的切线方程为()000e e x x y x x -=-，即()000e 1e xx y x x =+-，故()00e 1xb x =-有且仅有两根，设()()1e xg x x =-，则()e xx g x '=-，当0x <时，()0g x '>，此时()g x 单调递增；当0x >，()0g x '<，此时()g x 单调递减，又当0x <时，()0g x >，()001e g ==，()10g =，所以()g x 的图象如下：故()00e 1xb x =-有且仅有两根，则b 的取值范围为()0,1．故选：A ．关键点点睛：本题考查利用过曲线外一点作曲线切线的条数求参数的取值范围，解题的关键在于写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，将切线与切点建立一一对应的关系，转化函数的零点个数，利用导数与数形结合思想求解．二、填空题13．抛物线24y x =的准线方程为______.【正确答案】116y =-【详解】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是抛物线方程14．已知函数()e xf x -=，则函数()f x 在1x =处的切线方程是____________．【正确答案】e 20x y +-=【分析】求导，利用导数值求解斜率，再利用点斜式求解即可．【详解】由()e x f x -=，则()e xf x -'=-，所以()11ef =，()e 11f '=-，所以函数()f x 在1x =处的切线方程为()1e1e 1y x -=--，即e 20x y +-=故e 20x y +-=．15．求过点3(4,)P -且与圆()()22139x y -+-=相切的直线方程为______.【正确答案】x ＝4或3x +4y ＝0【分析】先考虑直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y +3＝k （x －4），即kx －y －4k －3＝0，3=，解得k ＝34-，此时直线方程为3x +4y ＝0，当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4此时圆心(1,3)到直线x ＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意.故x ＝4或3x +4y ＝0.16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，直线l 过双曲线C 的右焦点且斜率为a b -，直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于M 、N 两点（N 点在x 轴下方），且2ON OM =，则C的离心率为____________.【分析】作出图形，可求得FM b =，利用角平分线的性质可求得FN ，结合勾股定理可求得OM ，进一步可求得ON ，利用勾股定理可得出22b a 的值，结合双曲线的离心率公式可求得双曲线C 的离心率的值.【详解】如下图所示：因为直线l 的斜率为ab -，由图可知，直线OM 的斜率为b a ，因为1a bb a-⋅=-，所以，OM l ⊥，易知直线OM 的方程为b y x a=，即0bx ay -=，所以，FM b =，因为直线OM 、ON 关于x 轴对称，则MOF NOF ∠=∠，由角平分线的性质可得12MOF NOF MF OM S S NF ON ===△△，所以，22FN FM b ==，OM a =，所以，22ON OM a ==，由勾股定理可得222OM MN ON +=，即()()22232a b a +=，整理可得2213b a =，所以，双曲线C的离心率为3c e a ===.故答案为三、解答题17．已知直线20x y m -+=与圆225x y +=.(1)若直线和圆无公共点，求m 的取值范围；(2)若直线和圆交于两点，且两个交点处的圆的半径互相垂直，求m 的值.【正确答案】(1)(,5)(5,)-∞-⋃+∞(2)2m =±【分析】（1）由直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离与半径的关系可解出范围；（2）直线与圆相交，两交点与圆心构成等腰直角三角形，得出边长与圆心到直线距离的关系，列出等式出结果.【详解】（1）由已知，得圆心坐标为(0,0)O ，半径r =，圆心到直线20x y m -+=的距离d =∵直线与圆无公共点，d r ∴>>，解得5m >或5m <-，故m 的取值范围为(,5)(5,)-∞-⋃+∞（2）若直线和圆交于两点A ，B 两点，如图所示，两条半径OA 、OB 互相垂直，几何关系可知AOB 为等腰直角三角形，设O 到直线的距离为d ，22d ∴=2=m =18．求下列函数的极值：（1）()3126f x x x =-++；（2）()2221xf x x =-+．【正确答案】（1）极小值为10-，极大值为22；（2）极小值为3-，极大值为1-．【分析】（1）求出函数导数，再求出导函数零点，列表即可求解；（2）根据导数的求导法则求出函数导数，可得导函数零点，列出x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况即可.【详解】（1）()()()2312322f x x x x '=-+=-+-．令()0f x '=，解得12x =-，22x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,∞+()f x '-0+-()f x 单调递减10-单调递增22单调递减由上表看出，当2x =-时，()f x 取得极小值，为()210f -=-；当2x =时，()f x 取得极大值，为()222f =．（2）()()()()()()22222221421111x x x x f x xx+-+-'==++．令()0f x '=，解得11x =-，21x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(),1-∞-1-()1,1-1()1,+∞()f x '-0+-()f x 单调递减3-单调递增1-单调递减由上表看出，当=1x -时，()f x 取得极小值，为()13f -=-；当1x =时，()f x 取得极大值，为()11f =-．19．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，高为4.(1)求证：1BD AC ⊥；(2)求直线1BD 与平面1ACD 所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析69【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明向量数量积等于零来证明1AC BD ⊥；（2）计算平面1ACD 的法向量，根据1CC 与法向量的夹角与1CC 与平面1ACD 所成角互余求解.【详解】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()2,0,0,0,2,0A C ，()()10,0,4,2,2,0D B ，()()12,2,0,2,2,4AC BD =-=-- ，114400,AC BD AC BD ⋅=-+=∴⊥ ，即1AC BD ⊥.（2）由（1）得()()12,2,0,2,0,4AC AD =-=- ，设平面1ACD 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则1220240n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取2,x =则()2,2,1n = ()12,2,4BD =-- 设直线1BD 与平面1ACD 所成角为θ，则：111sin =cos ,n BD n BD n BD θ⋅=⋅ 所以直线1BD 与平面1ACD所成角的正弦值为9.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>倍，且右焦点为()1,0F .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，点(2,0)Q ，若直线MQ 的斜率与直线NQ 的斜率互为相反数，求证:直线l 过定点.【正确答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据长短轴关系得a =，再利用1c =及,,a b c 关系即可得到椭圆方程；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程得()222214220k x kmx m +++-=，得到韦达定理式，根据0MQ NQ k k +=，化简得()()12122240kx x m k x x m +-+-=，将韦达定理式代入化简即可得到m k =-，则可得到定点坐标.【详解】（1）由椭圆C倍，可得a =．所以)222b c =+．又()1,0F，所以)221b =+，解得1b =．所以a =所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214220k x kmx m +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，可得122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+，由题知0MQ NQ k k +=，即()()()()121212121212122240222222kx x m k x x m y y kx m kx m x x x x x x +-+-+++=+==------，即()()12122240kx x m k x x m +-+-=，即()22222422402121m km k m k m k k --⋅+-⋅-=++，化简得244021k m k --=+，解得m k =-，∴直线l 的方程为()1y k x =-，故直线l 恒过定点()1,0.关键点睛：设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程得()222214220k x kmx m +++-=，则得到韦达定理式，根据0MQ NQ k k +=，则1212022y y x x +=--，展开化简得()()12122240kx x m k x x m +-+-=，再将韦达定理式代入m k =-，则可得到定点坐标.21．已知函数2()ln f x ax b x =+在1x =处有极值12.（1）求a ，b 的值；（2）判断函数()y f x =的单调性并求出单调区间.【正确答案】（1）112a b ==-，（2）单调减区间是()01，，单调增区间是()1+∞，.【分析】（1）根据函数解析式先求得导函数，根据极值及极值点即可得关于a ，b 的方程组，即可求得a ，b 的值.（2）将a ，b 的代入解析式并求得定义域，求得极值点，根据极值点左右两侧导函数的符号即可判断函数的单调性.【详解】（1）函数2()ln f x ax b x =+，()2b f x ax x'=+ .又()f x 在1x =处有极值12，∴1(1)2(1)0f f ⎧=⎪⎨⎪=⎩'，即120a ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得112a b ==-.（2）由（1）可知21()ln 2f x x x =-，其定义域是()0+∞，，且1(1)(1)()x x f x x x x +-'=-=.令()0f x '=，解得1x =，=1x -（舍），由()0f x '<，得01x <<；由()0f x '>，得1x >.所以函数()y f x =的单调减区间是()01，，单调增区间是()1+∞，.本题考查了利用导函数的极值点与极值求参数，利用导函数判断函数的单调性，属于基础题.22．已知函数()e ax f x x =-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：()1ln 1+-≥x ax f x ．【正确答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】（1）求导，分0a =、0a >与a<0讨论求解单调性即可；（2）()1ln 1+-≥x ax f x 可转化为()1ln e 10e ax ax x x -+≥，令e ax t x =，即证明()1ln 100t t t -+≥>.设()()1ln 10g t t t t=-+>，利用导数求()g t 的最小值即可证明.【详解】（1）()()e e e 1ax ax ax f x ax ax '=--=-+，①当0a =时，()f x x =-，在R 上单调递减；②当0a >时，令()0f x '=，得1x a=-，当1x a<-时，()0f x ¢>；当1x a >-时，()0f x '<.③当a<0时，令()0f x '=，得1x a=-，当1x a<-时，()0f x '<；当1x a >-时，()0f x ¢>.综上所述，当0a =时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减；当a<0时，()f x 在1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）()1ln 1+-≥x ax f x ,即为1ln 1e ax x ax x +-≥-，即()1ln e 10e ax ax x x -+≥，令e ax t x =，可得0t >，即证明()1ln 100t t t-+≥>.设()()1ln 10g t t t t=-+>，则()22111t g t t t t -'=-=，当()0,1t ∈时，()0g t '<，函数()g t 单调递减；当()1,t ∈+∞时，()0g t '>，函数()g t 单调递增.所以()()1ln1110g t g ≥=-+=，即()1ln 100t t t-+≥>.所以()1ln 1+-≥x ax f x .结论点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。

陕西省西安中学高二数学(理)下学期期中试题(Word版含答案)

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精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！西安中学第二学期期中考试高二数学（理科）试题（时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，时间120分钟； 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上； 3．以下所有试题的答案均须书写在答题卡的相应位置．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知(1)(12)z i i =-+，i 是虚数单位，则z = ( ) A ．1i - B ．1i + C ．3i - D ．3i +2．定积分102xdx =⎰ ( )A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫=⎪⎝⎭' ( ) A ．1-B ．0C ．12D ．14．三角形面积为()12S a b c r =++，a ，b ，c 为三角形三边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为( ) A ．13V abc =B ．13V Sh =C ．()13V ab bc ac h =++⋅（h 为四面体的高） D ．()123413V s s s s r =+++⋅（其中1s ，2s ，3s ，4s 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ）5．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数6．函数2()1f x x =-在区间[]1,m 上的平均变化率为3，则实数m 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．27．如果函数()y f x =的导函数()y f x '=的部分图像如图所示，则以下关于函数()y f x =的判断：①在区间()2,2-内单调递增； ②在区间()2,4内单调递减； ③在区间()2,3内单调递增； ④3x =-是极小值点； ⑤4x =是极大值点.其中正确的是( ) A ．②③B ．③⑤C ．①④⑤D ．①②④8．已知不等式53m x x ≤-+-对一切x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．2m ≤B ．2m ≥C ．8m ≤-D ．8m ≥-9．已知2341x y z ++=，则222x y z ++的最小值为( )A ．129B ．121C ．113D ．1910．用数学归纳法证明不等式111232n n +++≤时，从n k =到1n k =+，不等式左边增添的项数是 ( ) A ．kB ．21k -C ．2kD ．21k +11．在等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则(0)f '=( ) A ．92 B ．122C ．152D ．18212．已知函数3213a y x ax x =+++是R 上的单调增函数，则a 的取值范围是( ) A ．12a -≤≤B ．0a ≥或1a ≤C ．01a ≤≤D ．1a ≤-或1a ≥第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．2204x dx -=⎰．14．（用>，<或=填空） 15．将正整数有规律地排列如下：1 2345678910111213141516则在此表中第45行第84列出现的数字是 ． 16．已知a R ∈，函数4()f x x a a x=+-+． ①当0a =时，函数()f x 的最小值为______；②若()f x 在区间[]1,4上的最大值是5，则实数a 的取值范围为 ． （本小题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知复数2(1)(24)33Z i m i m i =+-+-+，m R ∈． （Ⅰ）若Z 为纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）若Z 对应的点在直线y x =上，求m 的值．18．（本小题满分12分）设函数()2()31xf x x x e =++． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）求函数()f x 的极值．19．（本小题满分12分）设函数()32f x x ax bx =++在点1x =处有极值2-．（Ⅰ）求常数a ，b 的值；（Ⅱ）求曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积．20．（本小题满分12分）已知函数()11f x x a x =++-，a R ∈． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[)1,-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知0,0,0a b c ＞＞＞，且2a b c ++=． （Ⅰ）求2a b c ++的取值范围； （Ⅱ）求证：14918a b c++≥．22．（本小题满分12分）已知函数()x x af x e+=. （Ⅰ）若()f x 在区间(),2-∞上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若0a =，01x <，设直线()y g x =为函数()f x 的图像在00(,())x f x 处的切线，求证：()()f x g x ≤．西安中学第二学期期中考试 高二数学（理科）参考答案一、选择题：二、填空题：13．π 14．< 15．2020 16．4，9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦三、解答题：17．解：由题意，复数2(1)(24)33Z i m i m i =+-+-+，则22(23)(43)Z m m m m i =--+-+， ················································· 2分 （Ⅰ）若Z 为纯虚数，则有22230430m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，解得：1m =-． ··············································································· 7分 （Ⅱ）根据Z 对应的点在y x =上， 则有222343m m m m --=-+，解得：3m =． ················································································ 10分18．解：（Ⅰ）()()()()()()2223315414x x x x f x x e x x e x x e x x e '=++++=++=++当()(),41,x ∈-∞--+∞时，()0f x '>；当()4,1x ∈--时，()0f x '<． ·························································· 4分 ()f x 的单调递增区间为(),4-∞-和()1,-+∞；单调递减区间为()4,1--． ·································································· 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()f x 在4x =-处取得极大值，在1x =-处取得极小值． ··································································· 10分 ()f x 极大值为()44545f e e--==， 极小值为()111f e e--=-=-． ··························································· 12分19．解：（Ⅰ）由题意知()2'32f x x ax b =++，()12f =-且()'10f =， ···································································· 2分 即12,320,a b a b ++=-⎧⎨++=⎩，解得0,3a b ==-， ··············································· 4分 经检验，当0,3a b ==-时符合题意． ··················································· 6分 （Ⅱ）如图，由（Ⅰ）知()33f x x x =-．作出曲线33y x x =-的草图，所求面积为阴影部分的面积．由330x x -=得曲线33y x x =-与x 轴的交点坐标是()3,0-，()0,0和)3,0，而33y x x =-是R 上的奇函数,函数图象关于原点中心对称.所以y 轴右侧阴影面积与y 轴左侧阴影面积相等. ····································· 8分 所以所求图形的面积为()339232S x x dx ⎤=--=⎣⎦． ··························································· 12分20．解：()()()()11,11111,1111,1a x a x f x x a x a x a x a x a x -++-<-⎧⎪=++-=-++-≤≤⎨⎪++->⎩（Ⅰ）当2a =时，()31,13,1131,1x x f x x x x x -+<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩， ··································· 2分所以()4f x ≤即：1134x x -≤≤⎧⎨-+≤⎩，或1314x x <-⎧⎨-+≤⎩，或1314x x >⎧⎨-≤⎩， 解得513x -≤≤， 从而，不等式()4f x ≤的解集为513x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎭⎩． ··································· 6分（Ⅱ）因为函数()f x 在区间[)1,-+∞上单调递增，且函数()f x 是连续不间断的， ····························································· 8分所以1010a a ->⎧⎨+>⎩，解得11a -<<，故所求实数a 的取值范围是()1,1-． ······················································ 12分21．解：（Ⅰ）依题意，20a b c -=+＞，故02a ＜＜．································· 2分 所以()22217224a b c a a a ⎛⎫++=+-=-+ ⎪⎝⎭，············································· 4分 所以()22722244a b c +++-=≤＜，即2a b c ++的取值范围为7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭． ······· 6分 （Ⅱ）因为0,0,0a b c ＞＞＞，所以()149494914b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫++++=++++++ ⎪⎝⎭························· 8分14+≥，1436+==当且仅当12,,133a b c ===时等号成立． ·········· 10分 又因为2a b c ++=， 所以14918a b c++≥． ········································································ 12分 22．（Ⅰ）解：易得(1)()xx a f x e--'=-， 由已知得()0f x '≥对(),2x ∈-∞恒成立， 故1x a ≤-对(),2x ∈-∞恒成立， ∴12a -≥，∴1a ≤-． ······················································································ 4分 （Ⅱ）证明：当0a =时，()x xf x e=函数()f x 的图像在00(,())x f x 处的切线方程为000()()()()y g x f x x x f x '==-+． ····················································· 6分令000()()()()()()()h x f x g x f x f x x x f x '=-=---，x R ∈则0000001(1)(1)1()()()x x x x x x x x e x e x h x f x f x e e e +-----'''=-=-=． ············· 8分设00()(1)(1)xx x x e x e ϕ=---，x R ∈ 则00()(1)xx x e x e ϕ'=---， ∵01x <， ∴()0x ϕ'<，∴()x ϕ在R 上单调递减，我们注意到0()0x ϕ=， ·································· 10分 ∴当0x x <时，()0x ϕ>，当0x x >时，()0x ϕ<， ∴当0x x <时，()0h x '>，当0x x >时，()0h x '<，∴()h x 在区间()0,x -∞上为增函数，在区间()0,x +∞上为减函数，∴0()()0h x h x ≤=，即()()f x g x ≤． ················································· 12分。

高二数学下学期模块考试期中试题理新人教A版

高二数学下学期模块考试期中试题理新人教A版

高二模块考试（三） 数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用2B 铅笔和毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。

2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案不能答在试题卷上。

3、第Ⅱ卷必须用毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。

4、保持卡面清洁，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记。

第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数21i i--（i 为虚数单位）等于 A ．2－2i B ．i C ．2＋i D ．12. 1xy x =-的导数为 A ．21(1)x -- B ．21(1)x - C ．221(1)x x --- D ．221(1)x x -- 3. 复数32ii -+的实部为A ．iB ．i -C ．1D ．1-4.设复数113z i =-，232z i =-，则21z z 在复平面内对应的点在 A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限5. 在空间直角坐标系中，若向量13(2,1,3)(1,1,1)(1,)22a b c =-=-=--，，，，则它们之间的关系是A ．a b ⊥且a c ⊥B ．a b ⊥且//a cC ．//a b 且a c ⊥D ．//a b 且//a c6. 若()y f x =的图象如图所示，定义0()(),[0,1],xF x f t dt x =∈⎰则下列对()F x 的性质描述正确的有①()[0,1]F x 是上的增函数， ②12()(1)2F F =，③()[0,1]F x 是上的减函数， ④122()()33F F >A ．②B ．①②C ．①②④D ．①④7. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，1AD =，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为A ．1010B ．1030C ．1060D ．10103 8．已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为A ．12a -<<B ．36a -<<C ．3,a <-或6a >D ．1,a <-或2a > 9．若(12)1ai i bi +=-，其中,R a b ∈，i 是虚数单位，则||a bi +=A ．52 B ．5 C ．12i + D ．5410．函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是A.0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<- B.0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-< C.0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D.0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<11. 在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为A ．131(,,)243 B ．133(,,)224 C ．448(,,)333 D ．447(,,)33312．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若0.30.33(3),(13)(13),a f b og f og ππ==3311(1)(1)99c og f og =，则,,a b c 的大小关系是A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)xOy1二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13．设函数2()6,()0f x x x f x x =-=则在处的切线斜率为14．记复数122ω=-+，则2ωω+等于 15．已知四面体四个顶点分别为(2,3,1)A 、(4,1,2)B -、(6,3,7)C 和(5,4,8)D --，则顶点D 到平面ABC 的距离为16．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数。

2022-2023学年人教A版高二下数学期中试卷(含解析)

2022-2023学年人教A版高二下数学期中试卷(含解析)

6
6
14. 已知a ∈ R,若函数f(x) = x3 + ax(−1 ≤ x ≤ 2) 的最大值为M ，则M 的最小值为________．
15. (x2 + 2)(x − 1 )6 的展开式中常数项为________． x
16. 若直线2x + by − 4 = 0 平分圆x2 + y2 − 2x + 4y + √ 3– = 0 的周长，则b的值为________. 四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
（1）求边际利润函数P ′(n) ；
（2）求n的值，使P ′(n) ＝0：
（3）解释（2）中n的值的实际意义． 19. 如图，等腰直角三角形ABE 所在的平面与梯形BCDE 所在的平面互相垂直，BC//DE ， ∠AEB = ∠BCD = 90∘ ，AB = BC = 2CD = 2DE = 2√ 2– ．
(2) 若从中选派4人分别去两个地方支援抗疫一线，每个地方要求医生和护士均有，求不同的选派方案
数．
21. 已知椭圆C : x2 + y2 = 1 (a > b > 0)
且MN
a2 b2 的中点坐标为(1，
√
2–
)
.
2
的右焦点为F(2，0) ，过点F 的直线交椭圆于M，N 两点
(1) 求C 的方程；
(2)设直线l不经过点P (0，b)且与C相交于A，B 两点，若直线P A 与直线P B 的斜率的和为1，试判断直 线l是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由. 22. 已知函数f (x) = ex ，g (x) = 2 (x − ln x) .
【解析】

2020~2021学年高二数学下学期期中质量检测卷A(人教A版)(理数)

2020~2021学年高二数学下学期期中质量检测卷A(人教A版)(理数)

2020~2021学年高二数学下学期期中质量检测卷A（人教A 版）（试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名及科目，在规定位置粘贴好条形码。

2.答题要求：选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 非选择题使用黑色签字笔在答题卡上对应的答题区域内作答。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设凸n (n ≥3)棱锥中任意两个顶点的连线段的条数为f (n )，则f (n ＋1)－f (n )＝( ) A ．n －1B ．nC ．n ＋1D ．n ＋22．(1－x )6展开式中，x 的奇次项系数和为（ ） A ．32B ．－32C ．0D ．－643．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y (单位：kW·h)与气温x (单位：℃)之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：由表中数据得线性回归方程：y ^＝－2x ＋60，则a 的值为( ) A ．48B ．62C ．64D ．684．（2020·全国高二课时练习）若X ～B (n ，p)，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3×2－2B ．2－4C ．3×2－10D ．2－85．（2019·全国高二课时练习）从一批含有13件正品、2件次品的产品中,不放回地任取3件,则取出产品中无次品的概率为( )A ．2235 B ．1235 C ．135D ．3435 6．（2021·全国高二课时练习）已知某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为（ ） A ．2764B ．964C ．364D ．347．（2021·长沙市·湖南师大附中高三月考）电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.8，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.6，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是（ ） A ．0.20B ．0.48C ．0.60D ．0.758．（2020·常州市新桥高级中学高二期中）金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ） A ．20B ．24C ．25D ．269．为了调查胃病是否与生活规律有关，某同学在当地随机调查了500名30岁以上的人，并根据调查结果计算出了随机变量2K 的观测值 6.080k =，则认为30岁以上的人患胃病与生活无规律有关时，出错的概率不会超过（ ） 附表：A ．B ．C ．D ．10．（2021·江西高三其他模拟（理））设0612620126172m m m m x a x a x a x a x x ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭，则0126m m m m ++++=（ ）A ．21B ．64C ．78D ．15611．（2020·全国高二课时练习）将3个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为1、2、3、4的4个盒子，以ξ表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（3ξ=表示第1号，第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球），则()E ξ、(21)E ξ+分别等于（ ）A ．2516、258B ．2516、338 C ．32、3 D ．32、4 12．（2020·全国高二课时练习）武汉市从2020年2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者､疑似的新冠肺炎患者､无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等四类人员，强化网格化管理，不落一户､不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为()01p p <<且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为()f p ，当0p p =时，()f p 最大，则0p =（ ）A．1BC ．12D．1-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13．（2020·全国高二单元测试）若3211364n n n n A A C -+-=，则n =________.14．（2021·黑龙江大庆市·高三一模（理））为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为4y x a =+．已知这组数据的样本中心点为(22.5，160)，若该班某学生的脚长为25厘米，据此估计其身高为________厘米．15．（2020·江西南昌市·南昌二中高三其他模拟（理））一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A =，其中A 的各位数字中，11a =，(2k a k =，3，4，5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，则启动一次出现的数字A 中恰有两个0的概率为__． 16．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量X 表示A 在1次试验中发生的次数，则方差D (X )的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列. （1）证明：展开式中没有常数项； （2）求展开式中所有的有理项．18．（12分）（2020·全国高二课时练习）在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这四场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率都相等．已知这四场比赛结束后，该班胜场多于负场．（1）求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数； （2）若胜场次数为X ，求X 的分布列．19．（12分）（2020·全国高二单元测试）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，计算它是第i (i ＝1，2，3)台车床加工的概率．20．（12分）（2020·四川高二期末（理））甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.21．（12分）（2018·安徽高三（理））为了解A 市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位） （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布()2~,X N u σ（0u u =，σ约为）.①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占46%，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）②已知A 市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？（说明：()111x u P x x φσ-⎛⎫>=- ⎪⎝⎭表示1x x >的概率，1x u φσ-⎛⎫⎪⎝⎭用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即()~0,1X N ，从而利用标准正态分布表()0x φ，求1x x >时的概率()1P x x >，这里10x ux σ-=,相应于0x 的值()0x φ是指总体取值小于0x 的概率，即()()00x P x x φ=<.参考数据：()0.70450.54φ=，()0.67720.46φ=，()0.210.5032φ=）.22．（12分）（2019·福建莆田一中高二期中（理））一种室内植物的株高y （单位：cm ）与与一定范围内的温度x （单位：C ）有，现收集了该种植物的13组观测数据，得到如图所示的散点图：现根据散点图利用y a =+d y c x =+建立y 关于x的回归方程，令w =1t x=，得到如下数据：且(),i i w y 与()(),1,2,3,,13i i t y i =的相关系数分别为1r 、2r ，其中10.8859r =．（1）用相关系数说明哪种模型建立y 关于x 的回归方程更合适； （2）（i ）根据（1）的结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程；（ii）已知这种植物的利润z （单位：千元）与x 、y 的关系为10z y x =-，当x 何值时，利润的预报值最大.附：对于样本()(),1,2,,i i u v i n =，其回归直线v bu a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211nniii i i i nniii i u u v v u v nuvb u u unu====---==--∑∑∑∑，a v bu =-，相关系数ni i u v nuv r -=∑ 2.11≈．。

西安市高二下学期期中数学试卷(理科)(重点班)A卷

西安市高二下学期期中数学试卷(理科)(重点班)A卷
大于 。
（1） 求 的取值范围；
（2） 若椭圆 的离心率为 ，试问在椭圆上是否存在两个不同的点 关于直线 对称，且以 为直径的圆恰好经过原点，若存在，求出直线 的方程，若不存在，请说明理由。
20. （10分） (2019·浙江模拟) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1 ．
（1） 求证：AB1⊥平面A1BC1；
（2） 若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．
21. （5分） (2016高三上·湛江期中) 设椭圆E： +y2=1（a＞1）的右焦点为F，右顶点为A，已知 ，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）动直线l过点N（﹣2，0），l与椭圆E交于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．
16. （2分） (2016高三上·台州期末) 设等差数列{an}的前n项和Sn=n2+bn+c（b，c为常数，n∈N*），若a2+a3=4，则c=________，b=________．
三、 解答题 (共6题；共55分)
17. （10分） (2017高二上·如东月考) 命题 ：实数 满足 （其中 ），命题 ：实数 满足 .
参考答案
一、 选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、 填空题 (共4题；共5分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、 解答题 (共6题；共55分)
17-1、

2021-2022年高二数学下学期期中试题A卷理

2021-2022年高二数学下学期期中试题A卷理

2021-2022年高二数学下学期期中试题A卷理满分：150分考试时间：120分钟第I卷（满分60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知，则复数Z=（）A. B. C. D.2.以下式子正确的个数是（）.①②③④A.1个B.2个C.3个D.4个3.若曲线在点处的切线的倾斜角为，则等于（）A.2B.-2C.3D.-14.已知X～B（n，p），EX=8，DX=1.6，则n与p的值分别是（）A．100，0.08 B．20，0.4 C．10，0.2 D．10，0.85.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点.以上推理中（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确6.已知得分布列为则在下列式中：①；②；③.正确的个数是（）A.0B.1C.2D.37.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如 6613 用算筹表示就是，则 8335 用算筹可表示为（ B ）A ．B ．C ．D ．8.已知函数f （x ）=﹣+cx+bc 在x=1处有极值﹣，则b=（ ） A ．﹣1 B ．1C ．1或﹣1D ．﹣1或39.用数学归纳法证明：)2(21312111≥+++++++n nn n n 时，由不等式成立，推证时，左边增加的代数式是（ ） A. B. C. D.10.若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在（﹣1，+∞）上是单调减函数，则b 的范围是（ ） A ．[﹣1，+∞） B ．（﹣1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣1]11.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为，（），已知他投篮一次得分的数学期望是2，则的最小值为（ ） A. B. C. D.12.已知函数在R 上可导，且其导函数为.若满足：，，则下列判断一定正确的是（ ）A. B. C. D.第II 卷（满分90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分） 13.已知，是虚数单位，若，则= ． 14.． 15.椭圆=1（a ＞b ＞0）在其上一点P （x 0，y 0）处的切线方程为=1．类比上述结论，双曲线=1（a ＞0，b ＞0）在其上一点P （x 0，y 0）处的切线方程为 ． 16.已知直线与曲线有三个不同的交点，且,则.三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数且.（1）求的值；（2）求函数的单调区间．18.（本小题满分12分）设数列的前n项和为S n，且满足（n∈N*）．（Ⅰ）计算的值；（Ⅱ）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.19.（本小题满分12分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．20.（本小题满分12分）设函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若关于的方程在区间[1，3]内恰有两个相异实根，求实数的取值范围．21（本小题满分12分）xx3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型（“小绿车”、“小黄车”）采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费0.5元（不足30分钟的部分按30分钟计算）；“小黄车”每30分钟收费1元（不足30分钟的部分按30分钟计算）．有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行（各租一车一次）．设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，，，三人租车时间都不会超过60分钟．甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”．（I）求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；（Ⅱ）设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．22.已知函数．（Ⅰ）若函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，求出的极值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若在内恒成立，试确定的取值范围．xx高二下学期期中考试数学试题A（理科）答案二、填空题13. 14. 15. 16. 7三、解答题17.（本小题10分）解：（1）f′（x）=3x2+2ax﹣1，∴f′（）=+a﹣1=a，解得：a=﹣1；（2）由（1）得：f（x）=x3﹣x2﹣x+c，f′（x）=3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜1，∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣），（1，+∞），单调减区间为（﹣，1）．18.（本小题12分）（1），所以，，所以，，所以，，所以。

2022-2023学年人教A版高二下数学期中考试(含解析)

2022-2023学年人教A版高二下数学期中考试(含解析)

2022-2023学年高中高二下数学期中考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知复数是一元二次方程的一个根，则（ ）A.B.C.D.2. 已知集合，，则 A.B.C.D.3. 已知是双曲线的一个焦点，若过原点的直线与双曲线相交于，两点，且，则的面积是（ ）A.B.C.D.4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则 A.若，，则B.若，，，则z −2x +2=0x 2|z|=12–√02A ={x ∈Z |y =(3−x)}log 2B ＝{y |y ＝+1}x −√A ∩B =()(0,3)[1,3){1,2}{1,2,3}F −=1x 29y 216M N ∠MFN =120∘△MOF 163–√2–√3–√83–√m n αβ()m//αn//αm//nα//βm ⊂αn ⊂βm//nα∩β=m n ⊥βC.若，，，则D.若，，，则5. 设，，，则，，的大小关系是（ ）A.B.C.D.6. 若的展开式中的系数是( )A.B.C.D.7. 已知平面向量，满足，，若，则与的夹角为( )A.B.C.D.8. 圆心为 ，半径为的圆在轴上截得的弦长是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知随机变量的分布列如下，且，则下列说法正确的是（ ）α∩β=m n ⊂αm ⊥n n ⊥βm ⊥αm//n n ⊂βα⊥βa =50.4b =0.45c = 0.4log 5a b c a <b <cb <c <ac <a <bc <b <a(2x −1)x −√5x 310−1040−40a →b →||=2a →||=3b →|+|=5a →b →a →b →0π22π3π(1,−2)25–√x 8662–√43–√X E (X)=2X 1231A.，B.，C.D.10. 袋中装有形状完全相同的个白球和个黑球，从中一次摸出个球，下列事件是互斥事件的是( )A.摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件B.恰好有一黑球事件和都是黑球事件C.至少一个黑球事件和至多一个白球事件D.至少一个黑球事件和全是白球事件11. 下列四个命题中，正确的有（ ）A.函数的图象可由＝的图象向左平移个单位长度得到B.＝的最小正周期等于，且在上是增函数（是自然对数的底数）C.直线＝是函数图象的一条对称轴D.函数的定义域是12. 函数，若时，有，是圆周率，为自然对数的底数，则下列说法正确的是( )A.B.C.D.，，，，，，则最大卷II （非选择题）P m n13m =12n =16m =13n =13D (X)=23D (x)=12343y 3sin 2x y e sin 2x πe x f(x)＝ln x x ≠x 1x 2f()=f()=m x 1x 2πe =2.71828⋯0<m <1e f(2)<f(3)<x 1x 2e 2a =e 3b =3ec =e πd =πe s =3πt =π3s三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若等比数列的各项均为正数且，则________.14. 曲线的一条切线经过点，则切线的方程是________.15. 解集是________．16. 若是抛物线上的动点，点在以点为圆心，半径长等于的圆上运动，则的最小值为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且满足＝．（1）求角；（2）若＝，＝，求的值．18. 已知数列的前项和满足＝，．（1）求数列的通项公式；（2）设＝，，求数列的前项和． 19. 如图，在长方体中，底面是正方形，，、分别是线段、的中点．求证：；求二面角的余弦值．20. 将某车站乘客候车时间的情况统计如下图所示：{}a n =9a 4a 7++...+=log 3a 1log 3a 2log 3a 10y =x 3l (1,1)l x <A 33A 3x P =8x y 2Q C(2,0)1|PQ|+|PC|△ABC A B C a b c (c −b)sin C a sin A −b sin B A b 5a 7cos C {}a n n S n S n n ∈N ∗{}a n b n 2+(−1)n a n n ∈N ∗{}b n 2n T 2n ABCD −A 1B 1C 1D 1ABCD AB =A =212A 1E F AA 1C 1D 1(1)BD ⊥CE (2)E −FC −D求乘客候车时间不超过分钟的概率；现从该车站候车的乘客中随机抽取人，记候车时间在）的人数为，求的分布列以及数学期望．21. 已知函数求函数的单调递增区间；若极大值大于，求的取值范围．22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，的面积为，点在椭圆上．求椭圆的标准方程；斜率存在且不为零的直线与椭圆相交于，两点，点的坐标为，若直线，的倾斜角互补，求证：直线过定点．(1)30(2)4[20,30X X E(X)f (x)=(−2ax)ln x −+3ax.x 2x 2(1)f (x)(2)f (x)2a C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2,F 1F 2A C A ⊥F 1F 1F 2△AF 1F 232B (−b,)b 2C (1)C (2)l C P Q M (8,0)MP MQ l参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学期中考试一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：方法一：由题意可得或，则．故选．方法二：因为实系数方程的虚数根成对出现，所以也是方程的一个根，所以，则．故选．2.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】先求出集合，，由此能求出．【解答】∵集合，，∴．3.z =1+i z =1−i |z|=2–√B z ¯¯¯|z =z ⋅=2|2z ¯¯¯|z|=2–√B A B A ∩B A ={x ∈Z |y =(3−x)}={x ∈Z |3−x >0}={x ∈Z |x <3}log 2B ＝{y |y ＝+1}={y |y ≥1}x −√A ∩B ={x ∈Z |1≤x <3}={1,2}【答案】D【考点】双曲线的标准方程双曲线的定义【解析】由双曲线解析式确定出与的值，不妨假设为右焦点，则，利用余弦定理列出关系式，整理求出的值，再利用三角形面积公式即可求出的面积．【解答】解：由得，，，焦点在轴，不妨假设为右焦点，则，设在右支， ，则，由对称性知，为中点，∴，∴，即，解得或(舍去)，∴，，∴．∴．故选．4.【答案】D【考点】两条直线平行的判定平面与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定【解析】a c F F (5,0)|MF|⋅|NF|△MNF −=1x 29y 216a =3b =4c ==5+a 2b 2−−−−−−√x F F (5,0)M |MF|=m |NF|=|MF|+2a =m +6O MN 2=+FO −→−FM −→−FN −→−4=(+FO −→−2FM −→−FN −→−)2=|+|+2||⋅||cos ∠MFNFM −→−|2FN −→−|2FM −→−FN −→−=+6m +36m 2+6m +36=4|=4×=100m 2FO −→−|252m =−373−−√m =−−373−−√|MF|=−373−−√|NF|=|MF|+6=+373−−√=×|MF|⋅|NF|⋅sin ∠MFN S △MNF 12=×(−3)×(+3)×1273−−√73−−√3–√2=163–√==8S △MOF 12S △MNF 3–√D A m//αm//n．若，，则或与为异面直线，即可判断出；．若，，利用线面垂直的性质定理即可判断出；．若，，，则或与为异面直线，即可判断出；．若，，，则与平行、相交或为异面直线，即可判断出．【解答】解：，若，，则或与为异面直线或相交，因此不正确；，若，，，则或与为异面直线，因此不正确；，若，，，则与相交或垂直，因此不正确；，若，，，则，因此正确.故选．5.【答案】D【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】此题暂无解析【解答】解：由指数函数图像可知，，由对数函数图像可知，即可得到.故选.6.【答案】D【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得展开式中的系数．【解答】解：∵展开式的通项公式为，令，可得，A m//αn ⊂αm//n m n B m ⊥αn ⊂αC α//βm ⊂αn ⊂βm//n m n D α⊥βm ⊂αn ⊂βm n A m//αn//αm//n m n B α//βm ⊂αn ⊂βm//n m n C α∩β=m n ⊂αm ⊥n n βD m ⊥αm//n n ⊂βα⊥βD a =>150.40<b =<10.45c <0c <b <a D x 3r x 3(2x −1x −√)5=⋅(2x =⋅⋅T r+1C r 5x −√)5−r (−1)r C r 5⋅25−r (−1)r x 3(5−r)2=33(5−r)2r =33⋅=−40323∴展开式中的系数为.故选.7.【答案】A【考点】数量积表示两个向量的夹角向量的模【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得，即，即，所以.设与的夹角为，则，又因为，所以.故选.8.【答案】A【考点】直线与圆相交的性质【解析】利用垂径定理，结合勾股定理，可求圆心为 ，半径为的圆在轴上截得的弦长．【解答】解：圆心为 到轴的距离为．∵圆的半径为，x 3⋅⋅=−40C 3522(−1)3D |+|=5a →b →|+=25a →b →|2+2⋅+=25a →2a →b →b →24+2⋅+9=25a →b →⋅=6a →b →a →b →θcos θ=⋅a →b →||||a →b →==162×3θ∈[0,π]θ=0A (1,−2)25–√x (1,−2)x 225–√=8−−−−−−−−−−∴圆心为 ，半径为的圆在轴上截得的弦长是．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】利用概率之和为，结合，求出，，再利用方差公式求即可.【解答】解：由题意可得，且，解得，故正确；，故正确.故选.10.【答案】A,B,D【考点】互斥事件与对立事件【解析】此题暂无解析【解答】解：对于，摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故正确；对于，恰好有一黑球事件和都是黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故正确；对于，比如三个球中两个黑球和一个白球，则至少一个黑球事件和至多一个白球事件可同时发生，故错误；对于，至少一个黑球事件和全是白球事件也不可能同时发生，故正确．故选．(1,−2)25–√x 2=8(2−5–√)222−−−−−−−−−−√A 1E (X)=2m n D (X)m +n +=113E (X)=1×m +2×n +3×=213m =n =13B D (X)=++=13(1−2)213(2−2)213(3−2)223C BC A B C D ABD11.【答案】C,D【考点】正切函数的定义域命题的真假判断与应用正弦函数的奇偶性和对称性函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】A,B,D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】作出的大致图象，结合图象可判断选项；由，可得，由此判断选项；若，则，构造函数，可知矛盾，由此可判断选项；这六个数的最大数在与中取，而，由此判断选项．【解答】解：，当时，，当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，，，作出函数的大致图象如图所示，f(x)A ln 8<ln 9<ln 22ln 33B <x 1x 2e 2f()>f()x 1e 2x 1g(x)＝f(x)−f()，1<x <e e 2x f()<f()x 1e 2x 1C 3ππ3<π33πD (x)＝(x >0)f ′1−ln x x 2(x)>0f ′0<x <e (x)<0f ′x >e f(x)(0,e)(e,+∞)x →0f(x)→−∞x →+∞f(x)→0f(e)＝1ef(x)，由于，即有且仅有两个交点，由图象可知，，故选项正确；，易知，即，即，即，故选项正确；，由图象不妨设，故等价于，又，，故等价为，即，设，，则，∴在上单调递增，故，即矛盾，故选项错误；，由于，由指数函数和幂函数的性质可知，，，，，故这六个数的最大数在与中取，由及的单调性可知，，即，即，故，综上，这六个数中最大数是，故选项正确．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】等比数列的性质对数的运算性质【解析】利用等比数列和对数的性质，结合题设条件导出，由此能够求出其结果．【解答】解：∵等比数列中，每项均是正数，且，∴A f()=f()=m x 1x 2f(x)=m 0<m <1e B ln 8<ln 93ln 2<2ln 3<ln 22ln 33f(2)<f(3)C 1<<e <x 1x 2<x 1x 2e 2<x 2e 2x 1x 2∈(e,+∞)e 2x 1f()>f()x 2e 2x 1f()>f()x 1e 2x 1g(x)＝f(x)−f()e 2x 1<x <e (x)＝(x)+()g ′f ′e 2x 2f ′e 2x ＝+1−ln x x 2ln x −1e 2=(1−ln x)(−)>01x 21e 2g(x)(1,e)g(x)<g(e)=0f()<f()x 1e 2x 1D e <3<π>e πe 3>3π3e >ππ3>3πe π3ππ3e <3<πf(x)f(π)<f(3)<ln ππln 33ln <ln π33π<π33πs ABD 10++...+=(⋅⋅...)=(log 3a 1log 3a 2log 3a 10log 3a 1a 2a 3a 10log 3a 4a 7)5{}a n =9a 4a 7++...+log 3a 1log 3a 2log 3a 10=(⋅⋅...)log．故答案为：.14.【答案】或【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】当①若为切点，根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程；②若不是切点，设出切线方程的切点坐标，把设出的切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线方程的斜率，根据设出的切点坐标和表示出的斜率写出切线方程，把原点代入切线方程中化简可求出切点的横坐标，把横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，且得到切线的斜率，根据斜率和切点坐标写出切线的方程即可．【解答】解：根据题意，.①若为切点，，则：，即；②若不是切点，设切点，，解得或(舍)，则.故，即.故答案为：或.15.【答案】【考点】排列及排列数公式其他不等式的解法【解析】写出排列数的因式乘积的形式，得到关于的一元二次方程，解方程即可，在得到一元二次方程时，不等式的两边同时除以，由题意可知一定不小于，这样的条件限制使得题目不会出错．=(⋅⋅...)log 3a 1a 2a 3a 10=(log 3a 4a 7)5=log 3310=10103x −y −2=03x −4y +1=0(1,1)f (x)x =2(x)=3f ′x 2(1,1)k =(1)=3×=3f ′12l y −1=3(x −1)3x −y −2=0(1,1)P(,)x 0x 30k =()=3=f ′x 0x 20−1x 30−1x 0=x 0−121k =34l :y −1=(x −1)343x −4y +1=03x −y −2=03x −4y +1=0{x |x >4或x <−1}x x x 3解：∵∴，∵，∴，∴，∴或，故答案为：16.【答案】【考点】抛物线的性质圆锥曲线的最值问题【解析】本题考查抛物线的定义．【解答】解：由条件知圆心为抛物线的焦点，抛物线的准线为．设点到抛物线准线的距离为，则，又圆心到抛物线准线的距离为，则．当点为原点，点为点时取等号，故的最小值为．故答案为：．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】∵＝，∴由正弦定理可得：＝，化为＝．由余弦定理可得：＝，∴为锐角，可得＝；∵＝，＝，∴为锐角，由，可得＝＝＝＝，∴＝＝＝-＝．x< A33A3,x6x<x(x−1)(x−2)x>36<(x−1)(x−2)−3x−4>0x2x>4x<−1{x|x>4或x<−1}3C x=−2P d|PC|=dC4|PQ|+|PC|=|PQ|+d≥4−1=3P Q(1,0)|PQ|+|PC|33(a−b)(sin A+sin B)(c−b)sin C(a−b)(a+b)(c−b)c+−b2c2a8bccos AA Ab5a7B sin Bcos C−cos(A+B)sin A sin B−cos A cos B余弦定理正弦定理【解析】（1）由已知利用正弦定理可得＝．再利用余弦定理可得，进而可求．（2）利用正弦定理可求，根据同角三角函数基本关系式可求，进而根据两角和的余弦公式即可求解．【解答】∵＝，∴由正弦定理可得：＝，化为＝．由余弦定理可得：＝，∴为锐角，可得＝；∵＝，＝，∴为锐角，由，可得＝＝＝＝，∴＝＝＝-＝．18.【答案】由题意，当＝时，＝＝，当时，＝＝-＝，∵当＝时，＝也满足上式，∴＝，．由（1），知＝＝，∴＝＝＝＝＝＝．【考点】数列的求和数列递推式【解析】+−b 2c 2a 2bc cos A A sin B cos B (a −b)(sin A +sin B)(c −b)sin C (a −b)(a +b)(c −b)c +−b 2c 2a 8bc cos A A A b 5a 7B sin B cos C −cos(A +B)sin A sin B −cos A cos B n 1a 1S 13n ≥2a n −S n S n−1n +2n 1a 13a n n +2n ∈N ∗b n 2+(−1)n a n +(−1(n +2)2n+2)n T 2n ++++...++b 1b 2b 3b 4b 2n−1b 2n(−3)+(+4)+(−5)+(+6)+...+[−(2n +1)]+[+(2n +2)]2324252622n+122n+2(++...+)+[4−3+6−5+...+(2n +2)−(2n +1)]232422n+28×(1++...+)+(1+1+ (1)2122n−18×+n8⋅(−1)+n 4n本题第（1）题根据公式＝进行计算即可得到数列的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再运用分组求和法及等比数列的求和公式即可计算出前项和．【解答】由题意，当＝时，＝＝，当时，＝＝-＝，∵当＝时，＝也满足上式，∴＝，．由（1），知＝＝，∴＝＝＝＝＝＝．19.【答案】证明：因为是长方体，所以平面．因为平面，所以．连结，交于点，因为四边形是正方形，所以．又因为，所以平面．因为平面，所以解：以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的的空间直角坐标系，a n {}a n {}b n 2n T 2n n 1a 1S 13n ≥2a n −S n S n−1n +2n 1a 13a n n +2n ∈N ∗b n 2+(−1)n a n +(−1(n +2)2n+2)n T 2n ++++...++b 1b 2b 3b 4b 2n−1b 2n(−3)+(+4)+(−5)+(+6)+...+[−(2n +1)]+[+(2n +2)]2324252622n+122n+2(++...+)+[4−3+6−5+...+(2n +2)−(2n +1)]232422n+28×(1++...+)+(1+1+ (1)2122n−18×+n8⋅(−1)+n 4n (1)ABCD −A 1B 1C 1D 1A ⊥A 1ABCD BD ⊂ABCD A ⊥BD A 1AC BD O ABCD AC ⊥BD A ∩AC =A A 1BD ⊥ACE CE ⊂ACE BD ⊥CE.(2)D DA DC DD 1x y z D −xyz B =A =21因为底面是正方形，，、分别是线段、的中点，所以，，，所以，．设平面的一个法向量为，则令 ，得，易知为平面的一个法向量．设二面角的平面角为，则，所以二面角的余弦值为．【考点】用空间向量求平面间的夹角两条直线垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：因为是长方体，所以平面．因为平面，所以．连结，交于点，因为四边形是正方形，所以．又因为，所以平面．因为平面，所以解：以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的的空间直角坐标系，ABCD AB =A =212A 1E F AA 1C 1D 1C (0,2,0)E(2,0,2)F(0,1,4)=(2,−2,2)CE −→−=(−2,1,2)EF −→−CEF =(x,y,z)n → ⋅=2x −2y +2z =0，n →CE −→−⋅=−2x +y +2z =0，n →EF −→−x =3=(3,4,1)n →=(1,0,0)m →DFC E −FC −D θcos θ===|⋅|m →n →||⋅||m →n →|(3,4,1)⋅(1,0,0)|++324212−−−−−−−−−−√326−−√26E −FC −D 326−−√26(1)ABCD −A 1B 1C 1D 1A ⊥A 1ABCD BD ⊂ABCD A ⊥BD A 1AC BD O ABCD AC ⊥BD A ∩AC =A A 1BD ⊥ACE CE ⊂ACE BD ⊥CE.(2)D DA DC DD 1x y z D −xyz因为底面是正方形，，、分别是线段、的中点，所以，，，所以，．设平面的一个法向量为，则令 ，得，易知为平面的一个法向量．设二面角的平面角为，则，所以二面角的余弦值为．20.【答案】解：.任取人等车时间在）的概率为,故,故的可能取值为，，，，则,,,,,故的分布列为：故.ABCD AB =A =212A 1E F AA 1C 1D 1C (0,2,0)E(2,0,2)F(0,1,4)=(2,−2,2)CE −→−=(−2,1,2)EF −→−CEF =(x,y,z)n → ⋅=2x −2y +2z =0，n →CE −→−⋅=−2x +y +2z =0，n →EF −→−x =3=(3,4,1)n →=(1,0,0)m →DFC E −FC −Dθcos θ===|⋅|m →n →||⋅||m →n →|(3,4,1)⋅(1,0,0)|++324212−−−−−−−−−−√326−−√26E −FC −D 326−−√26(1)P =(0.016+0.028+0.036+0.052+0.048)×5=0.9(2)1[20,30(0.052+0.048)×5=12X ∼B (4,)12X 0,1234P (X =0)==()124116P (X =1)=×=C 14()12414P (X =2)=×=C 24()12438P (X =3)=×=C 34()12414P (X =4)==()124116X X 01234P 116143814116E (X)=4×=212【考点】频率分布直方图离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】观察频率分布直方图，即可得出，从而计算即可；任取人等车时间在）的概率为,故,的可能取值为，，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望.【解答】解：.任取人等车时间在）的概率为,故,故的可能取值为，，，，则,,,,,故的分布列为：故.21.【答案】解：．当时，在上单调递增，的单调递增区间为；当时，在和上单调递增，的单调递增区间为和；当时，在上单调递增，的单调递增区间为；当时，在和上单调递增，的单调递增区间为和．由知，当和时，无极大值，不成立．(1)P =(0.016+0.028+0.036+0.052+0.048)×5(2)1[20,30(0.052+0.48)×5=12X ∼B (4,)12X 01234X E (X)(1)P =(0.016+0.028+0.036+0.052+0.048)×5=0.9(2)1[20,30(0.052+0.048)×5=12X ∼B (4,)12X 0,1234P (X =0)==()124116P (X =1)=×=C 14()12414P (X =2)=×=C 24()12438P (X =3)=×=C 34()12414P (X =4)==()124116X X 01234P 116143814116E (X)=4×=212(x)f ′=2(x −a)ln x +x −2a −2x +3a =2(x −a)(ln x −)12(1)a ≤0f (x)(,+∞)e √f (x)(,+∞)e √0<a <e √f (x)(0,a)(,+∞)e √f (x)(0,a)(,+∞)e √a =e √f (x)(0,+∞)f (x)(0,+∞)a >e √f (x)(0,)e √(a,+∞)f (x)(0,)e √(a,+∞)(2)(1)a ≤0a =e √a >+√当时，极大值，解得，由于，所以．当时，极大值，得，令，则．，在时取得极大值，且．而，，而在上单调递增，所以，解为，则．综上．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】暂无暂无【解答】解：．当时，在上单调递增，的单调递增区间为；当时，在和上单调递增，的单调递增区间为和；当时，在上单调递增，的单调递增区间为；当时，在和上单调递增，的单调递增区间为和．由知，当和时，无极大值，不成立．当时，极大值，解得，由于，所以．当时，极大值，得，令，则．，在时取得极大值，且．而，，而在上单调递增，所以，解为，则．综上．22.【答案】解：设椭圆的焦距为，令，代人椭圆的方程可求得，的面积为，可得，有，将点的坐标代入椭圆的方程，a >e √f ()=2a −>2e √e √e 2a >+e √41e √+−e √41e √e √=−1e √3e √4=(1−)1e√3e 4<0a >e √0<a <e √f (a)=(2−ln a)>2a 22−ln a >2a 2t =a 2g(t)=2−ln t −122t (t)=−+=g ′12t 2t 24−t 2t 2g(t)t =4g(4)>0g(1)=0a <e √t <e g(t)(1,e)g(t)>0(1,e)a ∈(1+)e √a ∈(1,)∪(,+∞)e √e √(x)f ′=2(x −a)ln x +x −2a −2x +3a =2(x −a)(ln x −)12(1)a ≤0f (x)(,+∞)e √f (x)(,+∞)e √0<a <e √f (x)(0,a)(,+∞)e √f (x)(0,a)(,+∞)e √a =e √f (x)(0,+∞)f (x)(0,+∞)a >e √f (x)(0,)e √(a,+∞)f (x)(0,)e √(a,+∞)(2)(1)a ≤0a =e √a >e √f ()=2a −>2e √e √e 2a >+e √41e √+−e √41e √e √=−1e √3e √4=(1−)1e√3e 4<0a >e √0<a <e √f (a)=(2−ln a)>2a 22−ln a >2a 2t =a 2g(t)=2−ln t −122t (t)=−+=g ′12t 2t 24−t 2t 2g(t)t =4g(4)>0g(1)=0a <e √t <e g(t)(1,e)g(t)>0(1,e)a ∈(1+)e √a ∈(1,)∪(,+∞)e √e √(1)C 2c x =c C y =±b 2a △AF 1F 232=c b 2a 32c =a b 232B C =122=a –√可得，解得，解方程组 得，故椭圆的标准方程为．证明：设点，的坐标分别为，直线的方程为，联立方程 ，消去后整理为，有，，有，，又由，由直线、的倾斜角互补，有有，通分整理后可得，可得直线的方程为，可知直线过定点．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】+=1b 2a 2b 24b 2b =a 3–√2 b =a,3–√2c =a,b 232=+,a 2b 2c 2a =2,b =,c =13–√C +=1x 24y 23(2)P Q (,),(,)x 1y 1x 2y 2l y =kx +m(k ≠0) +=1x 24y 23y =kx +m,y (4+3)+8kmx +4−12=0k 2x 2m 2+=−x 1x 28km 4+3k 2=x 1x 24−12m 24+3k 2==k MP y 1−8x 1k +mx 1−8x 1==k +k (−8)+8k +m x 1−8x 18k +m−8x 1=k +k MQ 8k +m−8x 2+1−8x 11−8x 2=+−16x 1x 2−8(+)+64x 1x 2x 1x 2=−−168km 4+3k 2++644−12m 24+3k 264km4+3k 2=−2(8+km +6)k 2+16km +64+45m 2k 2MP MQ 2k +(8k +m)(+)=0，1−8x 11−8x 22k −=02(8k +m)(8+km +6)k 2+16km +64+45m 2k 2k =−2m l y =−2mx +m l (,0)12此题暂无解析【解答】解：设椭圆的焦距为，令，代人椭圆的方程可求得，的面积为，可得，有，将点的坐标代入椭圆的方程，可得，解得，解方程组 得，故椭圆的标准方程为．证明：设点，的坐标分别为，直线的方程为，联立方程 ，消去后整理为，有，，有，，又由，由直线、的倾斜角互补，有有，通分整理后可得，可得直线的方程为，可知直线过定点．(1)C 2c x =c C y =±b 2a △AF 1F 232=c b 2a 32c =a b 232B C +=1b 2a 2b 24b 2b =a 3–√2 b =a,3–√2c =a,b 232=+,a 2b 2c 2a =2,b =,c =13–√C +=1x 24y 23(2)P Q (,),(,)x 1y 1x 2y 2l y =kx +m(k ≠0) +=1x 24y 23y =kx +m,y (4+3)+8kmx +4−12=0k 2x 2m 2+=−x 1x 28km 4+3k 2=x 1x 24−12m 24+3k 2==k MP y 1−8x 1k +m x 1−8x 1==k +k (−8)+8k +m x 1−8x 18k +m −8x 1=k +k MQ 8k +m −8x 2+1−8x 11−8x 2=+−16x 1x 2−8(+)+64x 1x 2x 1x 2=−−168km 4+3k 2++644−12m 24+3k 264km 4+3k 2=−2(8+km +6)k 2+16km +64+45m 2k 2MP MQ 2k +(8k +m)(+)=0，1−8x 11−8x 22k −=02(8k +m)(8+km +6)k 2+16km +64+45m 2k 2k =−2m l y =−2mx +m l (,0)12。

2022-2023学年人教A版高二下数学期中试卷(含解析)

2022-2023学年人教A版高二下数学期中试卷(含解析)

2022-2023学年高中高二下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 函数的图象如图所示，是函数的导函数，下列数值排序正确的是（ ）A. B. C. D.2. 已知集合， ，则的真子集个数为（ ）A.B.C.D.3. 若离散型随机变量的分布列为，则的值为( )A.B.C.y =f (x)(x)f ′f (x)(2)<(3)<f (3)−f (2)<0f ′f ′(3)<(2)<f (3)−f (2)<0f ′f ′f(3)−f(2)<(3)<(2)<0f ′f ′(2)<f (3)−f (2)<(3)<0f ′f ′A ={x|−2≤x <2}B ={x ∈N|+2x −8≤0}x 2A ∩B 3478X P(x =i)=a(，i =1,2,312)i a 8778121D.4. 某同学从书店本不同的数学复习书和本不同的物理复习书中各选本，则不同的选法共有（ ）A.种B.种C.种D.种5. 已知函数，若的解集为，且中只有两个整数，则A.无最值B.的最小值为C.的最大值为D.的最小值为6. 的展开式中，项的系数为，则实数的值为( )A.B.C.D.7. 已知函数，若，且，则的最大值为( )A.B.C.D.8. 等比数列中，，，函数，则 2133418164127f(x)=3ln x −k +6x x 2f(x)>0(m,n)(m,n)()k k 12+3ln 24k 12+3ln 24k 6+ln 33(1−ax)(1+x)6x 3−10a 232−2−23f (x)=x +1(x >−1)，g(x)=2ln x s <t f (s)=g(t)s −t ln 2−12ln 2−32ln 2−2–√−1{}a n =2a 1=4a 8f(x)=x(x −)(x −)⋯a 1a 2(x −)a 8(0)=f ′()6C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则( )A.甲乙丙三人选择课程方案有种方法B.恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为C.已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为D.设三名同学选择课程“礼”的人数为，则10. 有台车床加工同一型号的零件．第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第，，台车床的零件数分别占总数的，，，则下列选项正确的有( )A.任取一个零件是第台生产出来的次品概率为B.任取一个零件是次品的概率为C.如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为D.如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为11. 已知，则正确的有 A.所有系数和为： B.常数项为：C.D.12. 设函数，若曲线在点处的切线与该曲线恰有一个公共点，则选项中满足条件的有( )A.212215120592536ξEξ=12316%235%12325%30%45%10.060.0525227327(1+x)=+(x −1)++⋯+(1−2x)6a 0a 1a 2(x −1)2a 7(x −1)7()372=380a 3=350a 3f (x)=−8+6x e 2x e x y =f (x)P (,f ())x 0x 0P x 0−ln 2ln 2D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 将摆放在编号为，，，，五个位置上的件不同商品重新摆放，则恰有一件商品的位置不变的摆放方法数为________．（用数字作答）14. 的展开式中，含项的系数为________.15. 已知随机变量的分布列如下表所示，且，则________．16. 若函数恰有个零点，则的取值范围为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 张卡片的正、反面分别写有与，与，与，与，将其中张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？18. 已知 . 求的值；求的值；求的值． 19. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），市从该地区小学生中随机抽取容量为的样本，其中因近视佩戴眼镜的有人（其中佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生）．（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？（2）从这名戴角膜塑形镜的学生中，选出个人，求其中男生人数的分布列；（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数的期望和方差．ln 5123455(−2+y x 3x 2)6x 9y 2ξη=−2ξ+3E (η)=ξ−101P 141214f (x)={−3x +1−a,x >0,x 3+3−a,x ≤0x 3x 23f (a)4012345673f (x)=(1−x)2020=+x ++⋯+a 0a 1a 2x 2a 2020x 2020(1)+++⋯+a 1a 2a 3a 2020(2)+2+3+⋯+2020a 1a 2a 3a 2020(3)+++⋯+1a 11a 21a 31a 2020A 1002482683X A 20Y f (x)=ax −(a ∈R)x20. 已知函数.讨论函数的单调性；当时，证明：.21. 某单位有个人，其中型血有人，型血有人，型血有人，型血有人．现从中选出人，问：在第一人是型血的条件下，第二人是型血的概率是多少？ 22.已知函数.若，求实数取值的集合；证明：.f (x)=ax −(a ∈R)e x (1)f (x)(2)−2≤a ≤e +2f (x)≤+1x 218O 9A 3B 4AB 22A O f(x)=ln x +a (−1),a ∈R 1x(1)f(x)≥0a (2)+≥2−ln x +(e −2)x e x 1x参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】导数的几何意义【解析】根据题意，为函数的上的点，由导数的几何意义分析可得与 的几何意义，又由 ，为直线的斜率，结合图象分析可得答案．【解答】解：根据题意，设为函数上的点，则为函数在处切线的斜率，为函数在处切线的斜率，，为直线的斜率，结合图象分析可得；故选．2.【答案】A【考点】交集及其运算M(2,f(2)),N(3,f(3))(3)f ′(2)f ′f(3)−f(2)=f(3)−f(2)3−2MN M(2,f(2)),N(3,f(3))(2)f ′f(x)x =2(3)f ′f(x)x =3f(3)−f(2)=f(3)−f(2)3−2MN (2)＜f(3)−f(2)＜(3)＜0f ′f ′D子集与真子集的个数问题【解析】由题意得，，∴，∴的真子集个数为，故选．【解答】解：由题意得，，∴，∴的真子集个数为.故选．3.【答案】A【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】解：，，.故选.4.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：根据乘法原理得不同选法共有种．故选．B ={x ∈N|(x −2)(x +4)]=0}{0,1,2}A ∩B ={0,1}A ∩B −1=322A B ={x ∈N|(x −2)(x +4)≤0}={0,1,2}A ∩B ={0,1}A ∩B −1=322A ++=1a 2a 4a 8a =178a =87A 3×4=12C5.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：由 ，得设 ,易知在上单调递增，在 上单调递减，而的图象是一条恒过点的直线，函数与为图象如图所示．依题意得，则即解得： ,故的最小值为 .故选.6.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】f(x)=3ln x −k +6x >0x 2>kx −6.3ln x xg(x)=,h(x)=kx −63ln x x g(x)(0,e)(e,+∞)h(x)=kx −6(0,−6)g(x)h(x)0<m <1{g(2)>h(2)，g(3)≤h(3)，{>2k −6,3ln 22ln 3≤3k −6,≤k <6+ln 3312+3ln 24k 6+ln 33D (1+x)632利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，分别令，，求出展开式含，，的项，利用多项式乘法求出的展开式中项的系数，列出方程求出．【解答】解：∵展开式的通项为,令得展开式含项的系数为，令得展开式含项的系数为，所以的展开式中项的系数为，解得.故选.7.【答案】B【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】令 ，，表示，构造函数 ，利用导数求函数的最值即可.【解答】解：令， ，则，所以，，则.令 ，则.令，解得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，故在时取得极大值即最大值，所以.故选.8.【答案】C【考点】(1+x)6x =321x 3x 2x (1−ax (1+x )2)6x 3a (1+x)6=T r+1C r 6x r r =3x 3=20C 36r =2x 2=15C 26(1−ax)(1+x)6x 320−15a =−10a =2B f (s)=g(t)=m m >0s =m −1,t =e m 2h(m)=m −1−,m >0e m 2f (s)=g(t)=m m >0s +1=2ln t =m s =m −1t =e m 2s −t =m −1−e m 2h(m)=m −1−,m>0e m 2(m)=1−h ′12e m 2(m)=0h ′m =2ln 2m ∈(0，2ln 2)(m)>0h ′h(m)(0，2ln 2)m ∈(2ln 2，+∞)h ′(m)<0h(m)(2ln 2，+∞)h(m)m =2ln 2h(m =h(2ln 2)=2ln 2−1−=2ln 2−3)max e ln 2B等比数列的性质导数的运算【解析】认真审题，首先需要了解基本求导法则(若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导)，还要掌握等比数列的基本性质(为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列;既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列)的相关知识才是答题的关键．【解答】解：考虑到求导中，含有项均取，得．故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C,D【考点】离散型随机变量的期望与方差二项分布的应用排列、组合及简单计数问题古典概型及其概率计算公式【解析】选项考查了排列组合的内容；选项利用排列组合分别算出基本事件总数与满足题意的基本事件个数，代入古典概型公式计算；选项利用条件概率的公式代入求解；选项利用二项分布的公式求解．【解答】解：甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程，则选择方法有(种)，故错误；恰有三门课程没有被三名同学选中，表示三位同学每个人选择了不重复的一门课程，所以概率为，故正确；已知甲不选择课程“御”的概率为，甲乙丙都不选择“御”的概率为，所以在甲不选择课程“御”的条件下，{\{a_{n}}}{an}{= = \, \{a_{n}}}(0)f ′x 0(0)=⋯=(=f ′a 1a 2a 3a 8a 1a 8)4212C A B C D =21663A ==A 356312021659B 56=5363125216125乙丙也不选择“御”的概率为，故正确；设三名同学选择课程“礼”的人数为，则服从二项分布，则，故正确．故选．10.【答案】B,C【考点】条件概率与独立事件【解析】直接利用相互独立事件的概率，逐个判断即可.【解答】解：根据题意，假设台车床生产的零件总数为，则第台车床的零件数为，第台车床的零件数为，第台车床的零件数为，，第台加工的次品率为%，则第台车床生产的次品数为，则任取一个零件是第台生产出来的次品概率， 故错误；，第台车床生产的次品数为，第台车床生产的次品数为，第台车床生产的次品数为×%，则一共有次品，则任取一个零件是次品的概率为，故正确；，任取个零件，如果是第台生产出来的次品，其概率，而任取一个零件是次品的概率为，则如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率，故正确；，任取个零件，如果是第台生产出来的次品，其概率，而任取一个零件是次品的概率为，则如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率，故错误．故选．11.【答案】A,B,C【考点】=125216562536C ξξξ∼B (3,)16Eξ=3×=1612D BCD 3100a 125a 230a 345a A 161 1.5a 1P ==0.0151.5a100aA B 1 1.5a 230a ×5%=1.5a 345a 5=2.25a 5.25a 0.0525B C 12==0.015P 1 1.5a100a0.05252P ==0.0150.052527C D 13==0.0225P 2 2.25a100a0.05253P ==0.02250.052537D BC二项式系数的性质【解析】【解答】解：当时，所有系数和为：，故选项正确；当时，常数项为：，故选项正确；∵，∴，故选项正确，选项错误.故选.12.【答案】B,C,D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，∴切线方程为.，倘若符合题意，则切点为，切线方程为.令除切点外，，，所以在必存在另一个点使得，所以不符合题意；，倘若符合题意，则切点为，切线方程为，令，则，.x =2(1+2)(1−2×2=)637A x =1(1+1)(1−2=2)6B (1+x)(1−2x =[(x −1)+2]⋅[2(x −1)+1)6]6=×+2×=380a 3C 2622C 3623C D ABC f (x)=−8+6x e 2x e x (x)=2−8+6f ′e 2x e x y =(2−8+6)(x −)+−8+6e 2x 0e x 0x 0e 2x 0e x 0x 0A A (−ln 2,−−6ln 2)154y =x −ln 2−5272154g(x)=f(x)−y g(0)=1−8+ln 2+72154=ln 2−<072134g(1)=−8e +6−+ln 2+>0e 25272154(0,1)f(x)=y A B B (ln 2,6ln 2−12)y =−2x +8ln 2−12g(x)=f(x)−y (x)=g ′2−8+8e 2x e x g(x =4)′′e x (−2)e x (ln 2)=0′(x)≥0′又因为，所以恒成立，所以单调递增，只有一个交点，所以符合题意；，倘若符合题意，则切点为，切线方程为，令，则.又因为，所以，只有一个交点，所以符合题意；，倘若符合题意，则切点为，切线方程为.令，则，.又，所以在小于，在大于，所以，只有一个交点，所以符合题意.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】恰有一件商品的位置不变,从件不同商品中选件,有种方法,剩余件不同商品不在原位置,共有种方法,共有种方法.【解答】解：恰有一件商品的位置不变，从件不同商品中选件，有种方法，恰有一件商品的位置不变的摆放方法数有.故答案为：.14.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】(ln 2)=0g ′(x)≥0g ′g(x)B C C (ln 4,6ln 4−16)y =6x −16g(x)=f(x)−y (x)=g ′2(−4)e x e x g(ln 4)=0g(x)≥g(ln 4)=0C D D (ln 5,6ln 5−15)y =16x −15−10ln 5g(x)=f(x)−y (x)=2−8−10g ′e 2x e x (x)=4(−2)g ′′e x e x (ln 5)=0g ′(x)g ′(−∞,ln 5)0(ln 5,+∞)0g(x)≥g(ln 5)=0D BCD 4551=5C 15495×9=4551=5C 15[3+2(1+2)]=45C 1545−480此题暂无解析【解答】解：依题意，所求系数为．故答案为：．15.【答案】【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】提示先求 ，再利用 ，求【解答】解：因为，所以.故答案为：.16.【答案】【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题【解析】利用函数的导数判断的单调性，求出极值，以及时的函数值，根据零点个数判断在各单调区间端点的函数值的符号，列出不等式解出的范围．【解答】解：函数则时，，在上单调递减，在上单调递增，时，函数取得极小值： ；时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，时，函数取得极大值：，时， .∵有三个不同的零点，可能是时有一个零点，时有两个零点或者时有两个零点，时有一个零点，⋅⋅=−15×4×8=−480C 26C 14(−2)3−4803E (ξ)E (η)=−2E (ξ)+3E (η).E (ξ)=−1×+140×+1×=01214E (η)=−2E (ξ)+3=33(−1,0)∪[1,4)y =f(x)x =0y =f(x)a f(x)={−3x +1−a,x >0,x 3+3−a,x ≤0,x 3x 2x >0(x)=3−3f ′x 2(0,1)(1,+∞)x =1−a −1x =0−3x +1−a =1−a x 3x <0(x)=3+6x f ′x 2(−∞,−2)(−2,0)x =−24−a x =0f(0)=−a f(x)x ≤0x >0x ≤0x >0 −a ≤0,∴ 或 解得或．故答案为： ．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：分三个步骤：第一步：百位可放个数；第二步：十位可放个数；第三步：个位可放个数．根据分步计数原理，可以组成（个）数．【考点】分步乘法计数原理【解析】首先要明确题目求可组成不同的三位数的个数，故可以考虑分三步骤，先取百位数，再取十位数，再取个位数，且百位数不能为．求出每步的种数，相乘即可得到答案．【解答】解：分三个步骤：第一步：百位可放个数；第二步：十位可放个数；第三步：个位可放个数．根据分步计数原理，可以组成（个）数．18.【答案】解：，，所以. ，所以 .因为，所以.因为 −a >0,1−a >0,−1−a <0 −a ≤0,4−a >0,1−a ≤0,−1<a <01≤a <4(−1,0)∪[1,4)8−1=7647×6×4=16808−1=7647×6×4=168(1)f (0)=1=a 0f (1)=0=+++⋯+a 0a 1a 2a 2020+++⋯+=f (1)−f (0)=−1a 1a 2a 3a 2020(2)(x)=−2020f ′(1−x)2019=+2x +3+⋯+2020a 1a 2a 3x 2a 2020x 2019+2+3+⋯+2020=(1)=0a 1a 2a 3a 2020f ′(3)=(0≤k ≤2020)a k C k 2020(−1)k+++⋯+1a 11a 21a 31a 2020=−+−+⋯+1C 120201C 220201C 320201C 20202020=1C k 2020k!(2020−k)!2020!⋅k!(2020−k)!(2021−k +k +1)，所以原式，，所以的值为.【考点】二项式系数的性质二项式定理的应用【解析】【解答】解：，，所以.，所以 .因为，所以.因为，所以原式=⋅20212022k!(2020−k)!(2021−k +k +1)2021!=⋅20212022(2021−k)!k!+[2021−(k +1)]!(k +1)!2021!=[−+]202120221C k 20211C k+12021=[−(+)+(+)202120221C 120211C 220211C 220211C 32021−(+)+...+(+)]1C 320211C 420211C 202020211C 20212021=[−]202120221C 202120211C 12021=10101011+++⋯+1a 11a 21a 31a 202010101011(1)f (0)=1=a 0f (1)=0=+++⋯+a 0a 1a 2a 2020+++⋯+=f (1)−f (0)=−1a 1a 2a 3a 2020(2)(x)=−2020f ′(1−x)2019=+2x +3+⋯+2020a 1a 2a 3x 2a 2020x 2019+2+3+⋯+2020=(1)=0a 1a 2a 3a 2020f ′(3)=(0≤k ≤2020)a k C k 2020(−1)k+++⋯+1a 11a 21a 31a 2020=−+−+⋯+1C 120201C 220201C 320201C 20202020=1C k 2020k!(2020−k)!2020!=⋅20212022k!(2020−k)!(2021−k +k +1)2021!=⋅20212022(2021−k)!k!+[2021−(k +1)]!(k +1)!2021!=[−+]202120221C k 20211C k+12021=[−(+)+(+)202120221C 120211C 220211C 220211C 32021−(+)+...+(+)]1C 320211C 420211C 202020211C 20212021[−]，，所以的值为. 19.【答案】设“这位小学生佩戴眼镜”为事件，“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则所求的概率为：…所以＝＝＝，…所以若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是． …依题意可知：其中男生人数的所有可能取值分别为：，，，…其中：＝＝＝＝；＝＝＝＝；＝＝＝＝，…所以男生人数的分布列为：…由已知可得：则：＝＝＝，＝＝＝，所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.=[−]202120221C 202120211C 12021=10101011+++⋯+1a 11a 21a 31a 202010101011A B P(B |A)P(B |A)X 012P(X 0)P(X 1)P(X 2)X X 018P Y ∼B(20,0.08)E(Y )np 20×0.08 4.6D(Y )np(1−p)20×8.08×0.92 1.472Y 2.6 1.472【答案】解：函数的定义域为，．①当时，，此时函数单调递减，减区间为，没有增区间；②当时，令，有，可得函数的增区间为，减区间为．证明：不等式可化为，①当时，由，得，若证，只需证，不等式可化为，令（），有，由可得，故函数的增区间为，减区间为，有，可得当时，，又由，故有，由上可知当时，不等式成立；②当时，由，得，若证，只需证，不等式可化为，又由，故有，由上可知当时，不等式成立，由①②可知，当时，不等式成立．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的定义域为，．①当时，，此时函数单调递减，减区间为，没有增区间；②当时，令，有，可得函数的增区间为，减区间为．证明：不等式可化为，①当时，由，得，若证，只需证，不等式可化为，令（），有，由可得，故函数的增区间为，减区间为，有，可得当时，，又由，故有，由上可知当时，不等式成立；②当时，由，得，若证，只需证，不等式可化为，(1)f (x)(0,+∞)(x)=a −f ′e x a ≤0(x)<0f ′f (x)(−∞,+∞)a >0(x)>0f ′x <ln a f (x)(−∞,ln a)(ln a,+∞)(2)f (x)≤+1x 2ax ≤++1e x x 2x ≥0−2≤a ≤e +2−2x ≤ax ≤(e +2)x ax ≤++1e x x 2(e +2)x ≤++1e x x 2−ex +(x −1≥0e x )2g(x)=−ex e x x ≥0(x)=−e g ′e x (x)>0g ′x >1g(x)(1,+∞)(−∞,1)g(x)≥g(1)=0x ≥0−ex ≥0e x ≥0(x −1)2−ex +≥0e x (x −1)2x ≥0f (x)≤+1x 2x <0−2≤a <e +2(e +2)x ≤ax ≤−2x −2x ≤++1e x x 2++2x +1≥0e x x 2+(x +1≥0e x )2≥0(x +1)2+≥0e x (x +1)2x <0f (x)≤+1x 2−2≤a ≤e +2f (x)≤+1x 2(1)f (x)(0,+∞)(x)=a −f ′e x a ≤0(x)<0f ′f (x)(−∞,+∞)a >0(x)>0f ′x <ln a f (x)(−∞,ln a)(ln a,+∞)(2)f (x)≤+1x 2ax ≤++1e x x 2x ≥0−2≤a ≤e +2−2x ≤ax ≤(e +2)x ax ≤++1e x x 2(e +2)x ≤++1e x x 2−ex +(x −1≥0e x )2g(x)=−ex e x x ≥0(x)=−e g ′e x (x)>0g ′x >1g(x)(1,+∞)(−∞,1)g(x)≥g(1)=0x ≥0−ex ≥0e x ≥0(x −1)2−ex +≥0e x (x −1)2x ≥0f (x)≤+1x 2x <0−2≤a <e +2(e +2)x ≤ax ≤−2x −2x ≤++1e x x 2++2x +1≥0e x x 2+(x +1≥0e x )2≥02+≥0x 2又由，故有，由上可知当时，不等式成立，由①②可知，当时，不等式成立．21.【答案】记第一个人为型血为事件，第二人为型血为事件，所以，，所以，故在第一人是型血的条件下，第二人是型血的概率是．【考点】条件概率与独立事件【解析】记第一个人为型血为事件，第二人为型血为事件，则，分别求出和即可【解答】记第一个人为型血为事件，第二人为型血为事件，所以，，所以，故在第一人是型血的条件下，第二人是型血的概率是．22.【答案】解：由已知，有.当时，，与条件矛盾；当时，若，则，单调递减；若，则，单调递增.所以在上有最小值≥0(x +1)2+≥0e x (x +1)2x <0f (x)≤+1x 2−2≤a ≤e +2f (x)≤+1x 2A A O B P(AB)=⋅C 13C 19A 218P(A)=⋅C 13C 117A 218P(B |A)==P(AB)P(A)917A O 917A A OB P(B |A)=P(AB)P(A)P(AB)P(A)A A O B P(AB)=⋅C 13C 19A 218P(A)=⋅C 13C 117A 218P(B |A)==P(AB)P(A)917A O 917(1)(x)=−=f ′1x a x 2x −a x2a ≤0f ()=−ln 2+a <012f(x)≥0a >0x ∈(0,a)(x)<0f ′f(x)x ∈(a,+∞)(x)>0f ′f(x)f(x)(0,+∞)(a)=ln a +a (−1)=ln a +1−a1.由题意，所以.令，所以.当时，，单调递增；当时，单调递减.所以在上有最大值.所以.所以.所以，所以，综上，当时，实数取值的集合为.证明：由知，当时，，即在恒成立.要证，只需证当时，.令.则.令，则.由，得.当时，单调递减；当时，单调递增.即在上单调递减，在上单调递增.而，所以，使得.当时，单调递增；当时，单调递减；f(a)=ln a +a (−1)=ln a +1−a1af(x)≥0ln a +1−a ≥0g(x)=ln x −x +1(x)=−1=g ′1x 1−x xx ∈(0,1)(x)>0g ′g(x)x ∈(1,+∞)(x)<0,g(x)g ′g(x)(0,+∞)g(1)=0g(x)=ln x −x +1≤0ln a −a +1≤0ln a −a +1=0a =1f(x)≥0a {1}(2)(1)a =1f(x)≥0ln x ≥1−1xx ∈(0,+∞)+≥2−ln x ++(e −2)x e x 1xx 2x >0−−(e −2)x −1≥0e x x 2h(x)=−−(e −2)x −1(x ≥0)e x x 2(x)=−2x −(e −2)h ′e x u(x)=−2x −(e −2)e x (x)=−2u ′e x (x)=0u ′x =ln 2x ∈[0,ln 2)(x)<0,u(x)u ′x ∈[ln 2,+∞)(x)>0,u(x)u ′(x)h ′(0,ln 2)([ln 2,+∞)(0)=1−(e −2)=3−e >0,(ln 2)<(1)=0h ′h ′h ′∃∈(0,ln 2)x 0()=0h ′x 0x ∈(0,)x 0(x)>0,h(x)h ′x ∈(,1)x 0(x)<0,h(x)h ′x ∈(1,+∞)(x)>0,h(x)h ′当时，单调递增.又，所以对恒成立，即.综上所述，成立.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知，有.当时，，与条件矛盾；当时，若，则，单调递减；若，则，单调递增.所以在上有最小值.由题意，所以.令，所以.当时，，单调递增；当时，单调递减.所以在上有最大值.所以.所以.所以，x ∈(1,+∞)(x)>0,h(x)h ′h(0)=1−1=0,h(1)=e −1−(e −2)−1=0∀x >0,h(x)≥0−−(e −2)x −1≥0e x x 2+≥2−ln x ++(e −2)x e x 1x x 2(1)(x)=−=f ′1x a x 2x −a x 2a ≤0f ()=−ln 2+a <012f(x)≥0a >0x ∈(0,a)(x)<0f ′f(x)x ∈(a,+∞)(x)>0f ′f(x)f(x)(0,+∞)f(a)=ln a +a (−1)=ln a +1−a 1af(x)≥0ln a +1−a ≥0g(x)=ln x −x +1(x)=−1=g ′1x 1−x x x ∈(0,1)(x)>0g ′g(x)x ∈(1,+∞)(x)<0,g(x)g ′g(x)(0,+∞)g(1)=0g(x)=ln x −x +1≤0ln a −a +1≤0ln a −a +1=0所以，综上，当时，实数取值的集合为.证明：由知，当时，，即在恒成立.要证，只需证当时，.令.则.令，则.由，得.当时，单调递减；当时，单调递增.即在上单调递减，在上单调递增.而，所以，使得.当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.又，所以对恒成立，即.综上所述，成立.a =1f(x)≥0a {1}(2)(1)a =1f(x)≥0ln x ≥1−1xx ∈(0,+∞)+≥2−ln x ++(e −2)x e x 1x x 2x >0−−(e −2)x −1≥0e x x 2h(x)=−−(e −2)x −1(x ≥0)e x x 2(x)=−2x −(e −2)h ′e x u(x)=−2x −(e −2)e x (x)=−2u ′e x (x)=0u ′x =ln 2x ∈[0,ln 2)(x)<0,u(x)u ′x ∈[ln 2,+∞)(x)>0,u(x)u ′(x)h ′(0,ln 2)([ln 2,+∞)(0)=1−(e −2)=3−e >0,(ln 2)<(1)=0h ′h ′h ′∃∈(0,ln 2)x 0()=0h ′x 0x ∈(0,)x 0(x)>0,h(x)h ′x ∈(,1)x 0(x)<0,h(x)h ′x ∈(1,+∞)(x)>0,h(x)h ′h(0)=1−1=0,h(1)=e −1−(e −2)−1=0∀x >0,h(x)≥0−−(e −2)x −1≥0e x x 2+≥2−ln x ++(e −2)x e x 1x x 2。

2022-2023学年人教A版高二下数学期中试卷(含解析)

2022-2023学年人教A版高二下数学期中试卷(含解析)

2022-2023学年高中高二下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 函数在点处的切线方程为（ ）A.B.C.D.2. 设集合，，若，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.3. 若离散型随机变量的分布列为，则的值为( )A.B.C.D. f(x)=+x x 3x =14x −y +2=04x −y −2=04x +y +2=04x +y −2=0A ={(x,y)≤+≤}∣∣m2(x −2)2y 2m 2B ={(x,y)|2m ≤x +y ≤2m +1}A ∩B ≠∅m [,2+]122–√[2−,2+]2–√2–√[1+,+∞]2–√2∅X P(x =i)=a(，i =1,2,312)i a 877812134. 新冠肺炎疫情防控期间，按照宿州市疫情防控应急指挥部的要求，市教育体育局对各市直学校下发了有关疫情防控通知．某学校按市局通知要求，制定了错峰放学，错峰吃饭的具体防疫措施．高三年级一层楼有，，，，，六个班排队吃饭，班必须排在第一位，且班、班不能排在一起，则这六个班排队吃饭的不同方案共有（ ）A.种B.种C.种D.种5. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么的图象可能是A. B. C.D.6. 被除所得的余数为，则( )A.B.A B C D E F A D E 20567240f(x)f'(x)f(x)()220219t (t ∈,1≤t ≤10)N ∗t =45C.D.7. 已知函数，点集构成正方形区域，实数 A.B.C.D.8. 等比数列中，，，函数，则 A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 骰子通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字，，，，，．现有一款闯关游戏，共有关，规则如下：在第关要抛掷六面骰次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，．假定每次闯关互不影响，则（ ）A.直接挑战第关并过关的概率为B.连续挑战前两关并过关的概率为C.若直接挑战第关，设“三个点数之和等于”，“至少出现一个点”，则D.若直接挑战第关，则过关的概率是10. 甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）67f (x)=(a >0)a ln x e 2x {(s,f(t))|s ∈[2,],t ∈[2,]}e 2e 2a =()−2e 2e −2−2e 2e2−4e 2ln 2−4e 22−4e 22e −ln 2e 2{}a n =2a 1=4a 8f(x)=x(x −)(x −)⋯a 1a 2(x −)a 8(0)=f ′()26292122151234564n n n +n 2n n n =1,2,3,427125243A =15B =5P (A|B)=1134351296523433,,A 1A 2A 3B (B)=2A.B.C.事件与事件相互独立D.、、两两互斥11. 已知，，其中为展开式中项系数，，则下列说法正确的有A.，B.C.D.是，，，…，是最大值12. 设函数，若曲线在点处的切线与该曲线恰有一个公共点，则选项中满足条件的有( )A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 将摆放在编号为，，，，五个位置上的件不同商品重新摆放，则恰有一件商品的位置不变的摆放方法数为________．（用数字作答）14. 若，则________；________. 15. 已知随机变量的分布列如下表所示，且，则________．P (B)=25P (B|)=A 1511B A 1A 1A 2A 3=+x ++…+(1+x +)x 2n T 0n T 1n T 2n x 2T 2n n x 2n n ∈N ∗T i n (1+x +)x 2n x i i =0,1,2,...,2n ( )=T i 7T 14−i 7i =0,1,2,...,14+=T 27T 37T 38=2∑i=114T i 7∑i=063iT 77T 07T 17T 27T 147f (x)=−8+6x e 2x e x y =f (x)P (,f ())x 0x 0P x 0ln 4ln 2−ln 2ln 5123455=+x +⋯+(x ∈R)(1−2x)2017a 0a 1a 2017x 2017=a 0++⋯+=a 122a 223a 201722018ξη=−2ξ+3E (η)=ξ−101P 141214(x)+x (x)=116. 定义在的函数满足，，则的零点是________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知，均是由数字，，，，，，组成的三位数，且满足，求实数对()表示平面上不同点的个数．18. 若，且．求实数的值；求的值． 19. 某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现，双方参加比赛，方在每一场获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立．（1）当＝时，求方恰在比赛四场后赢得比赛的概率；（2）若方在每一场获胜的概率为，设比赛场数为．ⅰ试求的分布列及数学期望；（用，表示）ⅱ求的最大值，并给出能够减少比赛场数的建议． 20. 已知函数和函数.求函数的单调区间；若不等式对于任意的恒成立，求实数的最大值．21. 证明：若＝，则事件与是独立的．22. 已知函数.讨论函数的单调性；若在上恒成立，求的最小正整数值．注：.(0,+∞)f (x)f (x)+x (x)=f ′1xf (1)=1f (x)m n 1234567m +n =636m,n (2x −a =+x ++⋯+)7a 0a 1a 2x 2a 7x 7=−560a 4a +++⋯+a 1a 22a 322a 726A B A p(0<p <1)p A B q ξ()ξE(ξ)p q ()E(ξ)f (x)=xlnx +a g(x)=lnx −ax (1)h (x)=g(x)+x 2(2)f (x)+g(x)>0x >1a P(A |B)P(A |)B ¯¯¯¯A B f (x)=a +ax −6ln x (a ∈R)x 2(1)f (x)(2)f (x)>0(0,+∞)a ln ≈0.40432参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】导数的几何意义【解析】首先求出函数在点处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．【解答】解：∵∴∴容易求出切线的斜率为当时，利用点斜式，求出切线方程为故选．2.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】Af(x)x =1f(x)=+xx 3f'(x)=3+1x 24x =1f(x)=24x −y −2=0B【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】解：，，.故选.4.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，将除外的个班级安排在后面的个位置即可，由此分步进行分析：①将，，三个班级全排列，排好后有个空位，②在个空位中选出个，安排班、班，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，班必须排在第一位，剩下个班级安排在后面的个位置即可，分步进行分析：①将，，三个班级全排列，排好后有个空位，有种排法，②在个空位中选出个，安排班，班，有种排法，则有种不同的方案.故选．5.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性函数的图象【解析】++=1a 2a 4a 8a =178a =87A A 552B C F 442D E A 552B C F 4=6A 3342D E =12A 246×12=72C此题暂无解析【解答】解：由导函数图象可知，在，上单调递减，在上单调递增，故选．6.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】，利用二项展开式的通项进行求解即可.【解答】解：，∵能被整除，除以的余数为，∴被除所得的余数为，∴.故选.7.【答案】A【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】利用导数研究函数的单调性以及函数最值，利用构成区域为正方形建立方程求解得到答案.【解答】解：由题意得.f(x)(−∞，−2)(−1，+∞)(−2，−1)B =4×=4×2202123×673(9−1)673=4×=4×2202123×673(9−1)673=4(−++⋯+−)C 06739673C 16739672C 26739671C 67267391C 673673=4(−++⋯−)+4(−)C 06739673C 16739672C 26739671C 67267391C 67267391C 6736734(−++⋯−)C 06739673C 16739672C 26739671C 6726739194(−)=4(673×9−1)=24224C 67267391C 673673952202195t =5B (x)=a f ′e 21−ln x x 2(x)=0f ′令函数可得.因为，所以函数在上单调递增，在上单调递减.，，，所以值域为.因为构成正方形区域，所以，所以.故选8.【答案】C【考点】等比数列的性质导数的运算【解析】认真审题，首先需要了解基本求导法则(若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导)，还要掌握等比数列的基本性质(为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列;既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列)的相关知识才是答题的关键．【解答】解：考虑到求导中，含有项均取，得．故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C,D【考点】古典概型及其概率计算公式相互独立事件的概率乘法公式列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析(x)=0f ′x =e a >0f(x)[2，e][e ，]e 2f(e)=ae f()=2a e 2f(2)=ln 2>f()ae 22e 2[2a,ae]ae −2a =−2e 2a =−2e 2e −2A.{\{a_{n}}}{an}{= = \, \{a_{n}}}(0)f ′x 0(0)=⋯=(=f ′a 1a 2a 3a 8a 1a 8)4212C【解答】解：对于项， ，所以两次点数之和应大于，即直接挑战第关并过关的概率为，故正确；对于项， ，所以挑战第一关通过的概率，则连续挑战前两关并过关的概率为，故错误；对于项，由题意可知，抛掷次的基本事件有，抛掷次至少出现一个点的共有种，故，而事件包括：含，，的种，含的有种，共种，故，所以，故正确；对于项，当时， ，基本事件有个，而“次点数之和大于”包含以下种情况：含，，，的有种，含，，，的有种，含的有种，含的有种，含，，，的有种，含，，，的有种，含的有种，所以，故正确．故选．10.【答案】B,D【考点】条件概率与独立事件【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，，，是两两互斥的事件，，，，，，，而A +2=62262=P 11+2+3+4+5+66×6==2136712A B +1=321=P 212P ==×=P 1P 212712724B C 3=2166335−=216−125=916353P (B)=91216AB 55514,5,667P (AB)=7216P (A|B)==×=P (AB)P (B)721621691113C D n =4+n =+4=202n 24644203555564556666,6,6,614,6,6,64566644566123,6,6,64==P 4356×6×6×6351296D ACD A 1A 2A 3P()==A 151012P()==A 221015P()=A 3310P(B |)==A 1×1251112511P(B |)=A 2411P(B |)=A 3411P(B)=P(B)+P(B)+P(B)A 1A 2A 3=P()P(B |)+A 1A 1P()P(B |)+P()P(B |)A 2A 2A 3A 3×+×+×151434，则.由此知不正确，正确.故选．11.【答案】A,C,D【考点】二项展开式的特定项与特定系数二项式定理的应用二项式系数的性质【解析】.【解答】解：.令得：；令得：，故.又，所以正确；，，，故，所以错误；，，，，，显然，且是最大值.故选．12.【答案】A,B,D【考点】=×+×+×1251115411310411=922P()P(B)=×=A 112922944≠P(B)A 1AC BD BD (1+x +=+x ++⋯+x 2)7T 07T 17T 27x 2T147x 14x =0=1T 07x =1+++⋯+=T 07T 17T 27T 14737=−1∑i=114Ti 7372=2⋅=−1∑i=063i 1−371−337C =+=28==+T27C 17C 27T 127C 67C 57=+=77T 37C 37C 17C 16==+T 117C 47C 57C 12=+=112T 38C 38C 18C 17+≠T 27T 37T 38B ===1T07T 147C 77=++T 47C 27C 17C 26C 47==++T 107C 57C 47C 23C 37=++T57C 57C 27C15C17C36==++T 97C 47C 13C 37C 34C27=+++T 67C 67C47C 13C 27C 25C 37==+++T 87C 67C 47C 23C 27C 35C47=+++T 77C 77C 37C 14C 27C 35C 17C 56=T i 7T14−i 7T 77ACD利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，∴切线方程为.，倘若符合题意，则切点为，切线方程为，令，则.又因为，所以，只有一个交点，所以符合题意；，倘若符合题意，则切点为，切线方程为，令，则，.又因为，所以恒成立，所以单调递增，只有一个交点，所以符合题意；，倘若符合题意，则切点为，切线方程为.令除切点外，，，所以在必存在另一个点使得，所以不符合题意；，倘若符合题意，则切点为，切线方程为.令，则，.又，所以在小于，在大于，所以，只有一个交点，所以符合题意.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.f (x)=−8+6x e 2x e x (x)=2−8+6f ′e 2x e x y =(2−8+6)(x −)+−8+6e 2x 0e x 0x 0e 2x 0e x 0x 0A A (ln 4,6ln 4−16)y =6x −16g(x)=f(x)−y (x)=g ′2(−4)e x e x g(ln 4)=0g(x)≥g(ln 4)=0A B B (ln 2,6ln 2−12)y =−2x +8ln 2−12g(x)=f(x)−y (x)=g ′2−8+8e 2x e x g(x =4)′′e x (−2)e x (ln 2)=0g ′(x)≥0g ′g(x)B C C (−ln 2,−−6ln 2)154y =x −ln 2−5272154g(x)=f(x)−y g(0)=1−8+ln 2+72154=ln 2−<072134g(1)=−8e +6−+ln 2+>0e 25272154(0,1)f(x)=y C D D (ln 5,6ln 5−15)y =16x −15−10ln 5g(x)=f(x)−y (x)=2−8−10g ′e 2x e x (x)=4(−2)g ′′e x e x (ln 5)=0g ′(x)g ′(−∞,ln 5)0(ln 5,+∞)0g(x)≥g(ln 5)=0D ABD【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】恰有一件商品的位置不变,从件不同商品中选件,有种方法,剩余件不同商品不在原位置,共有种方法,共有种方法.【解答】解：恰有一件商品的位置不变，从件不同商品中选件，有种方法，恰有一件商品的位置不变的摆放方法数有.故答案为：.14.【答案】,【考点】二项式定理的应用【解析】利用赋值法，构造已知代数式，即可得到答案.【解答】解：令，可得.令得，，所以，所以．故答案为：；．15.【答案】【考点】离散型随机变量的期望与方差4551=5C 15495×9=4551=5C 15[3+2(1+2)]=45C 15451−12x =0=1a 0x =12+++⋯+=0a 0a 12a 222a 201722017++⋯+=−1a 12a 222a 201722017++⋯+=a 122a 223a 201722018−121−123提示先求 ，再利用 ，求【解答】解：因为，所以.故答案为：.16.【答案】【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题【解析】构建函数，依据条件可知，进一步可得，最后令可得结果．【解答】解：令，则，又，所以,则函数为常函数，又,所以,令，所以．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】个【考点】分步乘法计数原理E (ξ)E (η)=−2E (ξ)+3E (η).E (ξ)=−1×+140×+1×=01214E (η)=−2E (ξ)+3=331eF (x)=xf (x)−ln xF (x)=1f (x)f (x)=0F (x)=xf (x)−ln x(x)=f (x)+x (x)−F ′f ′1x f (x)+x (x)=f ′1x (x)=f (x)+x (x)−=0F ′f ′1x F (x)F (1)=1×f (1)−ln 1=1F (x)=xf (x)−ln x =1⇒f (x)=1+ln x x f (x)=0x =1e 1e90【解析】此题暂无解析【解答】第一步，考虑，的个位数字的种数，有：和，和，和，和，和，共种；第二步，考虑，的十位数字的种数，分为两类：①若，的十位数字与，有：和，和，共种；这时，的百位数字的种数，有：和，和，和，和，和，共种；由分步乘法原理得，有种．②若，的十位数字与，有：和，和，共种；这时，的百位数字的种数，有：和，和，和，和，共种；由分步乘法原理得，有种．∴实数对表示平面上不同点的个数为个．18.【答案】【考点】二项式定理的应用二项式系数的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，，，即项的系数为，则有；解得：；根据题意，在中，当时，，当时，，则有，即．19.【答案】方恰 在比赛四场后赢得比赛，则方在前三场中有两场获胜，且第四场获胜，∴方恰在比赛四场后赢得比赛的概率为：m n 155********m n m n 1212212m n 155124423355×2×5=50m n 6767762m n 1441233245×2×4=40(m,n)50+40=9012=+x ++⋯+(2x −a)7a 0a 1a 2x 2a 7x 7=−560a 4x 4−560=××=−35×16=−560a 4C 3724(−a)3a 3a =1=+x ++⋯+(2x −a)7a 0a 1a 2x 2a 7x 7x =0=−1a 0x =12++++⋯+=0a 0a 12a 222a 323a 7272(−1++++⋯+)=0a 12a 222a 323a 727+++…+=2a 1a 22a 322a 726A A A＝＝．由题意知＝，的取值为，，，＝＝．＝＝＝，＝＝＝，∴的概率分布列为：的数学期望为：＝＝．＝＝），∵＝，，∴在＝，＝＝时，最大值为：（）＝，由数学期望的表达式可知当，]时，∴接近时，即当，也就是，或者，比赛场数的数学期望相对较小，故建议，双方扩大与对方每一场获胜的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）方恰 在比赛四场后赢得比赛，则方在前三场中有两场获胜，且第四场获胜，由此能求出方恰在比赛四场后赢得比赛的概率．由题意知＝，的取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的概率分布列和数学期望．＝＝），推导出在＝＝时，取得最大值，最大值为：（）＝，从而建议，双方扩大与对方每一场获胜的概率，可减少比赛场数．【解答】方恰 在比赛四场后赢得比赛，则方在前三场中有两场获胜，且第四场获胜，∴方恰在比赛四场后赢得比赛的概率为：＝＝．由题意知＝，的取值为，，，＝＝．＝＝＝，P (i)p +q 1ξ545P(ξ5)+p 3q 3P(ξ8)3q +2p p 3q 3P(ξ5)3q +2p p 3q 3ξξ325P +p 3q 23q +5p p 3q 36+6p 5q 2p 6q 3ξE(ξ)3(+)+4(6q +3p )+5(6+6)p 5q 3p 3q 6p 7q 2p 2q 36+3pq +4p 6q 2(ii)E(ξ)6+3pq +3p 2q 37(pq++8p +q 15<P <1E(ξ)pq p q 6+2pq ∈(0pq 0p p →0p →3A B A A A (2)(i)p +q 1ξ345ξ(ii)E(ξ)6+3pq +3p 2q 26(pq++2E(ξ)p q 6+2A B A A A P (i)p +q 1ξ545P(ξ5)+p 3q 3P(ξ8)3q +2p p 3q 3＝＝＝，∴的概率分布列为：的数学期望为：＝＝．＝＝），∵＝，，∴在＝，＝＝时，最大值为：（）＝，由数学期望的表达式可知当，]时，∴接近时，即当，也就是，或者，比赛场数的数学期望相对较小，故建议，双方扩大与对方每一场获胜的概率．20.【答案】解：的定义域为，令，则，，当即时，∴函数的单调增区间为：．当即或时，有两个不等的实数根：，，当时，，，∴，函数单调增区间为，当时，，，令，则或，令，则，∴单调递增区间为，，单调递减区间为，综上所述，当时，单调递增区间为；当时，单调增区间为 ，，单调递减区间为.令，则，记，则，P(ξ5)3q +2p p 3q 3ξξ325P +p 3q 23q +5p p 3q 36+6p 5q 2p 6q 3ξE(ξ)3(+)+4(6q +3p )+5(6+6)p 5q 3p 3q 6p 7q 2p 2q 36+3pq +4p 6q 2(ii)E(ξ)6+3pq +3p 2q 37(pq++8p +q 15<P <1E(ξ)pq p q 6+2pq ∈(0pq 0p p →0p →3A B (1)h (x)=lnx −ax +x 2(0,+∞)(x)==0h ′2−ax +1x 2x2−ax +1=0x 2Δ=−8a 2Δ=−8≤0a 2−2≤a ≤22–√2–√(x)≥0h ′h (x)(0,+∞)Δ=−8>0a 2a <−22–√a >22–√2−ax +1=0x 2=x 1a −−8a 2−−−−−√4=x2a +−8a 2−−−−−√4a <−22–√<0x 1<0x 2(x)>0h′h (x)(0,+∞)a >22–√>0x1>0x 2(x)>0h ′0<x <x 1x >x 2(x)<0h′<x <x 1x 2h (x)(0,)a −−8a 2−−−−−√4(,+∞)a +−8a 2−−−−−√4h (x)(,)a −−8a 2−−−−−√4a +−8a 2−−−−−√4a ≤22–√(0,+∞)a >22–√(0,)a −−8a 2−−−−−√4(,+∞)a +−8a 2−−−−−√4(,)a −−8a 2−−−−−√4a +−8a 2−−−−−√4(2)F (x)=f (x)+g(x)=xlnx +lnx −ax +a (x)=lnx ++1−aF ′1x φ(x)=lnx ++1−a 1x (x)=−=>0φ′1x 1x 2x −1x 2(x)F ′(1,+∞)(x)>(1)=2−a F ′F ′所以在上单调递增，故.当，，故在上单调递增，所以，符合题意．当时，，故，又在上单调递增，所以存在唯一的实数，使得.列表如下：极小值则当时，，这与恒成立矛盾.综上，实数的最大值为.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】无无【解答】解：的定义域为，令，则，，当即时，∴函数的单调增区间为：．当即或时，有两个不等的实数根：，，当时，，，∴，函数单调增区间为，当时，，，令，则或，令，则，∴单调递增区间为，，单调递减区间为，综上所述，当时，单调递增区间为；当时，单调增区间为 ，，单调递减区间为.令，(x)F ′(1,+∞)(x)>(1)=2−a F ′F ′a ≤2(x)>0F ′F (x)(1,+∞)F (x)>F (1)=0a >2()=1+>0F ′e a 1e a ()⋅(1)<0F′e a F ′(x)F ′(1,+∞)∈(1,+∞)x0()=0F ′x 0x (1,)x 0x 0(,+∞)x 0(x)F ′−0+F(x)↘↗x ∈(1,)x 0F(x)≤F(1)=0F(x)>0a 2(1)h (x)=lnx −ax +x 2(0,+∞)(x)==0h ′2−ax +1x 2x2−ax +1=0x 2Δ=−8a 2Δ=−8≤0a 2−2≤a ≤22–√2–√(x)≥0h ′h (x)(0,+∞)Δ=−8>0a 2a <−22–√a >22–√2−ax +1=0x 2=x 1a −−8a 2−−−−−√4=x 2a +−8a 2−−−−−√4a <−22–√<0x 1<0x 2(x)>0h ′h (x)(0,+∞)a >22–√>0x 1>0x 2(x)>0h ′0<x <x 1x >x 2(x)<0h ′<x <x 1x 2h (x)(0,)a −−8a 2−−−−−√4(,+∞)a +−8a 2−−−−−√4h (x)(,)a −−8a 2−−−−−√4a +−8a 2−−−−−√4a ≤22–√(0,+∞)a >22–√(0,)a −−8a 2−−−−−√4(,+∞)a +−8a 2−−−−−√4(,)a −−8a 2−−−−−√4a +−8a 2−−−−−√4(2)F (x)=f (x)+g(x)=xlnx +lnx −ax +a x)=lnx ++1−a 1则，记，则，所以在上单调递增，故.当，，故在上单调递增，所以，符合题意．当时，，故，又在上单调递增，所以存在唯一的实数，使得.列表如下：极小值则当时，，这与恒成立矛盾.综上，实数的最大值为.21.【答案】因为，，又因为＝，所以，则，所以＝，所以事件与是独立的．【考点】条件概率与独立事件【解析】利用条件概率计算公式分别表示出，，根据条件证明即可．【解答】因为，，又因为＝，所以，则，所以＝，(x)=lnx ++1−a F ′1x φ(x)=lnx ++1−a 1x (x)=−=>0φ′1x 1x 2x −1x 2(x)F ′(1,+∞)(x)>(1)=2−a F ′F ′a ≤2(x)>0F ′F (x)(1,+∞)F (x)>F (1)=0a >2()=1+>0F ′e a 1e a ()⋅(1)<0F ′e a F ′(x)F ′(1,+∞)∈(1,+∞)x 0()=0F ′x 0x (1,)x 0x 0(,+∞)x 0(x)F ′−0+F(x)↘↗x ∈(1,)x 0F(x)≤F(1)=0F(x)>0a 2P(A |B)=P(AB)P(B)P(A |)=B ¯¯¯¯P(A )B ¯¯¯¯P()B ¯¯¯¯P(A |B)P(A |)B ¯¯¯¯=P(AB)P(B)P(A )B ¯¯¯¯P()B ¯¯¯¯==P(B)P()B ¯¯¯¯P(B)P(A)P()P(A)B ¯¯¯¯P(AB)P(A )B ¯¯¯¯P(AB)P(A)P(B)A B P(A |B)P(A |)B ¯¯¯¯P(A |B)=P(AB)P(B)P(A |)=B ¯¯¯¯P(A )B ¯¯¯¯P()B ¯¯¯¯P(A |B)P(A |)B ¯¯¯¯=P(AB)P(B)P(A )B ¯¯¯¯P()B ¯¯¯¯==P(B)P()B ¯¯¯¯P(B)P(A)P()P(A)B ¯¯¯¯P(AB)P(A )B ¯¯¯¯P(AB)P(A)P(B)A所以事件与是独立的．22.【答案】解：由题得，函数的定义域为，．当时，由于在上恒为负数，此时在上单调递减．当时，令，得；令，得，此时在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．依题意，在上恒成立．令，则．令，则．令，由于，因此在上单调递增，在单调递减，所以当时，取得最大值．根据恒为负数，知亦恒为负数，因此在上为减函数．而，，可知在区间上必存在，使得函数满足，且在上单调递增，在上单调递减．由于，而，故，由于，因此，，A B (1)f (x)(0,+∞)(x)=2ax +a −f ′6x =(x >0)2a +ax −6x 2x a ≤0(x)f ′(0,+∞)f (x)(0,+∞)a >0(x)>0f ′x >−a ++48a a 2−−−−−−−√4a (x)<0f ′0<x <−a ++48a a 2−−−−−−−√4a f (x)(0,)−a ++48a a 2−−−−−−−√4a (,+∞)−a +a2+48a −−−−−−−√4aa ≤0f (x)(0,+∞)a >0f (x)(0,)−a ++48a a 2−−−−−−−√4a (,+∞)−a ++48a a 2−−−−−−−√4a(2)a >6ln x +x x 2(0,+∞)g(x)=(x >0)6ln x +x x 2(x)=g ′(+x)−6(2x +1)ln x 6x x 2(+x)x 22=(x +1−2x ln x −ln x)(x >0)6(+x)x 22h (x)=x +1−2x ln x −ln x (x >0)(x)=−1−2ln x −h ′1x φ(x)=−1−2ln x −(x >0)1x (x)=−=φ′1x 22x 1−2x x 2φ(x)(0,)12(,+∞)12x =12φ(x)2ln 2−3<0φ(x)(x)h ′h (x)(0,+∞)h ()=−4ln >0325232h (2)=3−5ln 2<0(,2)32x 0h (x)h ()=0x 0g(x)(0,)x 0(,+∞)x 0g(x)≤g()=x 06ln x 0+x 20x 0ln =x 0+1x 02+1x 0g(x)≤g()=x 062+x 20x 0∈(,2)x 0322+∈(6,10)x 20x 0g()∈(,1)x 035所以，因此的最小正整数值为【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由题得，函数的定义域为，．当时，由于在上恒为负数，此时在上单调递减．当时，令，得；令，得，此时在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．依题意，在上恒成立．令，则．令，则．令，由于，因此在上单调递增，在单调递减，所以当时，取得最大值．根据恒为负数，知亦恒为负数，因此在上为减函数．而，，可知在区间上必存在，使得函数满足，a ≥1a 1.(1)f (x)(0,+∞)(x)=2ax +a −f ′6x =(x >0)2a +ax −6x 2x a ≤0(x)f ′(0,+∞)f (x)(0,+∞)a >0(x)>0f ′x >−a ++48a a 2−−−−−−−√4a (x)<0f ′0<x <−a ++48a a 2−−−−−−−√4a f (x)(0,)−a ++48a a 2−−−−−−−√4a (,+∞)−a +a2+48a −−−−−−−√4aa ≤0f (x)(0,+∞)a >0f (x)(0,)−a ++48a a 2−−−−−−−√4a (,+∞)−a ++48a a 2−−−−−−−√4a(2)a >6ln x +x x 2(0,+∞)g(x)=(x >0)6ln x +x x 2(x)=g ′(+x)−6(2x +1)ln x 6x x 2(+x)x 22=(x +1−2x ln x −ln x)(x >0)6(+x)x 22h (x)=x +1−2x ln x −ln x (x >0)(x)=−1−2ln x −h ′1x φ(x)=−1−2ln x −(x >0)1x (x)=−=φ′1x 22x 1−2x x 2φ(x)(0,)12(,+∞)12x =12φ(x)2ln 2−3<0φ(x)(x)h ′h (x)(0,+∞)h ()=−4ln >0325232h (2)=3−5ln 2<0(,2)32x 0h (x)h ()=0x 0g(x)(0,)(,+∞)且在上单调递增，在上单调递减．由于，而，故，由于，因此，，所以，因此的最小正整数值为g(x)(0,)x 0(,+∞)x 0g(x)≤g()=x 06ln x 0+x 20x 0ln =x 0+1x 02+1x 0g(x)≤g()=x 062+x 20x 0∈(,2)x 0322+∈(6,10)x 20x 0g()∈(,1)x 035a ≥1a 1.。

人教A版高中必修二试题第二学期期中考试 (2).doc

人教A版高中必修二试题第二学期期中考试 (2).doc

高中数学学习材料唐玲出品第二学期期中考试高一年数学试卷试卷分A 卷和B 卷两部分，满分为150分，考试时间120分钟参考公式：柱体体积公式：Sh V =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：Sh V 31=，其中S 为底面面积，h 为高；球体体积公式：343V R π=，R 为球半径. A 卷（共100分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

在答题卷上的相应题目的答题区域内作答。

1.0cos 420的值为A.32B.32- C.12 D. 12-2.设函数f (x )＝sin 3(2)2x π+，x ∈R ，则f (x )是A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数3.若直线b a ,是异面直线，b 与c 也是异面直线，则a 与c 的位置关系是 A.平行或异面 B.相交，平行或异面 C.异面或相交 D.异面4.点P 是函数f (x )＝cos ωx (其中ω>0)的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离最小值是π，则ω为 A ．12 B.4 C ．2 D ．145.已知正三角形ABC 的边长为2a ，那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为A.234a B. 232a C.262a D .264a 6.由单位正方体（棱长为１的正方体）叠成的积木堆的正视图与侧视图均为下图所示，则该积木堆中单位正方体的最少个数为 A.5个 B.4个 C.6个 D.7个7.已知tan θ=32,则1cos 2sin 21cos 2sin 2θθθθ++-+的值为A.32 B.23- C ．32D ．32-8.已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为4π，则该圆锥的体积为A.15π B 43π C.3π D.153π 9.已知21cos 3sin cos 2y x x x ωωω=+-的图象可由sin 4,(0)y A x A =>的图象向左平移24π个单位而得到，则 A.11,2A ω== B.1,1A ω== C .2,1A ω== D.12,2A ω==10.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<，其部分图象如下图所示，且直线y A =与曲线11()()2424y f x x ππ=-≤≤所围成的封闭图形的面积为π，则23()()()888f f f πππ++ 2013()8f π+（即20131()8i i f π=⋅∑）的值为A ．1B ．－1C ．0D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

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西安市庆安高级中学2014-2015学年度第二学期期中考试高二年级数学（理科）试题（说明：时间120分钟 满分150分）一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1、复数i ＋i2在复平面内表示的点在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. 有4部车床需加工3个不同的零件,不同的安排方法有多少种 ? ( )A. 43B. 34 C.13 D. 143． 若000(2)()lim1x f x x f x x ∆→+∆-=∆，则0()f x '等于（ ）A ．2B ．－2C ． 12D ．12-4． (x ＋ax )5(x ∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a 等于 ( ) A ．－1B.12 C ．1D ．25、曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为 ( ) A ．(1,0) B ．(2,8) C ．(1,0)和(1,4)-- D ．(2,8)和(1,4)-- 6．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的），则所 投的点落在阴影部分的概率是（ ）A ．1π B. 2π C. 4π D. 3π7. 设P 为曲线2:23C y x x =-+上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0,]4π，则点P 横坐标的取值范围为 （ ） A ．1[1,]2-- B ．[1,0]-[0,1]D ．3[1,]28. 若关于x 的方程330x x m -+=在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．[2,0]-B ．[0,2][2,2]-D ．(,2)(2,)-∞--∞9. 对任意的实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值是（ ）A ．3B ．6C ．9D ．2110．由0、1、3、5这四个数字组成的不重复数字且0与3不相邻的四位数的个数为 （ ） A ．6 B ．8 C ．12 D ．18二、填空题:（本大题共5小题, 每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上.）11． 若z1＝(x －2)＋yi 与z2＝3x ＋i(x ，y ∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在第 象限12．若13()2x k dx -=⎰，则实数k 的值为 .13．若7270127(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则2a 的值是14．对于函数2()(2)xf x x x e =-（1）(是()f x 的单调递减区间；（2）(f 是()f x 的极小值，f 是()f x 的极大值； （3）()f x 有最大值，没有最小值； （4）()f x 没有最大值，也没有最小值．其中判断正确的是_______________.15. 将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．(本小题共12分)已知复数z1＝2－3i ，z2＝2)2(515i i+-. 求：(1) z1＋z 2； (2) z1·z2； (3) z1z2.17．(本小题共12分)已知函数3()395f x x x =-+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在[2,2]-上的最大值和最小值.18．(本小题共12分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？（只列式，不需计算结果） (1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？19. 已知2(1)n a +的展开式中各项系数之和等于2516(5x +的展开式的常数项，并且2(1)n a +的展开式中系数最大的项等于54，求a 的值．20．(本小题共13分) 已知⎰-11(x3＋ax ＋3a －b)dx ＝2a ＋6且f(t)＝⎰t(x3＋ax ＋3a －b)dx 为偶函数，求a ，b 的值．21. (本小题共14分) 给定函数x a ax x x f )1(3)(223-+-=和x a x x g 2)(+= (I)求证: )(x f 总有两个极值点;(II)若)(x f 和)(x g 有相同的极值点,求a 的值.西安市庆安高级中学2014-2015学年度第二学期期中考试 高二年级数学（理科）试题 参考答案一、选择题(共10小题，满分50分)：二、填空题（共5小题，满分25分）：11. 四 12. 1- 13. 8414. ___ (2)(3)____ 15. 1080三、解答题（共6小题，满分75分）：16. (本小题共12分) 解 z2＝15－5i 2＋i 2＝15－5i3＋4i＝53－i 3－4i 3＋4i3－4i＝5－15i5＝1－3i. ----------------4分 (1)z1＋z 2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3. (2)z1·z2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i ＝－7－9i. ------------------8分 (3)z1z2＝2－3i1－3i ＝2－3i 1＋3i1－3i 1＋3i＝2＋9＋3i 10＝1110＋310i. -----------------12分17．(本小题共12分)解：(1)2'()99f x x =-. -------------------------------- 2分 令2990x ->, -------------------------------4分解此不等式，得11x x <->或.因此，函数()f x 的单调增区间为(,1)(1,)-∞-+∞和.------------------6分(2) 令2990x -=,得1x =或1x =-.------------------------------8分当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：x-2(2,1)---1(1,1)-1(1,2)2'()f x+ 0 - 0 + ()f x-1 ↑ 11 ↓ -1 ↑11-------------------------------------------10分 从表中可以看出，当21x x =-=或时，函数()f x 取得最小值1-. 当12x x =-=或时，函数()f x 取得最大值11.-----------------------------12分 18．(本小题共12分) （只列式，不需计算结果）解： (1)4766A A 种．---------3分 (2)88181899A A A A + ---------6分 (3) 710A ( 或写成331010A A )---------9分(4) 101021A ---------12分19. (本小题共12分)解：2516(5x +展开式的常数项为：424516(165C x = ---------3分2(1)n a +展开式的系数之和216n =，n = 4 ---------6分∴ 2(1)n a +展开式的系数最大的项为222244()1654C a a ⨯==，---------10分∴a = ---------12分20．(本小题共13分)解 ∵f(x)＝x3＋ax 为奇函数， ∴ʃ1－1(x3＋ax)dx ＝0， ∴ʃ1－1(x3＋ax ＋3a －b)dx ＝ʃ1－1(x3＋ax)dx ＋ʃ1－1(3a －b)dx ＝0＋(3a －b)[1－(－1)]＝6a －2b. -----------------------5分 ∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3.①又f(t)＝⎣⎡⎦⎤x44＋a 2x2＋3a －b x | t0＝t44＋at22＋(3a －b)t 为偶函数，∴3a －b ＝0② -----------------------10分由①②得a ＝－3，b ＝－9. -----------------------13分 21. (本小题共14分)解：证明: (I)因为)]1()][(1([)1(2)('22--+-=-+-=a x a x a ax x x f , 令0)('=x f ,则1,121-=+=a x a x ,-----------------------------------2分则当1-<a x 时, 0)('>x f ,当11+<<-a x a , '()0f x <所以1-=a x 为)(x f 的一个极大值点, -----------------------4分 同理可证1+=a x 为)(x f 的一个极小值点.---------------------------------6分另解：(I)因为'22()2(1)f x x ax a =-+-是一个二次函数， 且22(2)4(1)40a a ∆=---=>，-------------------------------------2分 所以导函数有两个不同的零点，又因为导函数是一个二次函数，所以函数()f x 有两个不同的极值点.-------------------------------5分(II) 因为222))((1)('x a x a x x a x g +-=-=，-------------8分令0)('=x g ,则a x a x -==21, --------------------------------10分 因为)(x f 和)(x g 有相同的极值点, 且a x =1和1,1-+a a 不可能相等,所以当1+=-a a 时,21-=a ， 当1-=-a a 时, 21=a ,经检验, 21-=a 和21=a 时, a x a x -==21,都是)(x g 的极值点.-------------14分。

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