浅谈“基本不等式”在高中物理解题中的应用

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浅谈“基本不等式”在高中物理解题中的应用
该文发表于：物理通报2011第一期
汤云强 江苏省句容市高级中学物理组 212400
1,基本不等式：
(1) b a +≥ab 2 ⇒ ab ≤4
)(2
b a +
(2)
c b a ++≥3
3abc ⇒ abc ≤
27
)(3
c b a ++
2.1,应用1: 完全非弹性碰撞
例：如图1所示，光滑水平面上，质量为m 的物体A 以速度V 0与静止的物体B （质量也为m ）发生对心碰撞，讨论：若为完全非弹
性碰撞（动量守恒、动能损失最多），求AB 后来的运动状态,及系统动能损失情况。

分析：根据完全非弹性碰撞的定义，设A 、B 后来的速度分别为V A 、V B ，取V 0
方向为正方向，可得:
B A mV mV mV +=0 ……………①
)(2
1212
220B A k V V m mV E +-=
∆ ……………② 将①式代入②可知：k E ∆=B A V mV , 利用基本不等式（1）可得：
4
)(2B A B A V V V V +≤42
V =，
结论：当2
0V
V V B A ==时，系统动能损失最多，最大值为42
0mV 。

2.2,应用2: 等量同种电荷中垂线上电场强度极值
图1
2
例：如图2所示，真空中有两等量同种正电荷Q ，间距L 。

讨论中垂线上的电场强度极值。

分析：取中垂线上某点M ,与两电荷连线夹角均为θ，由
平行四边形定则可得：M 点场强=M E θθsin 2sin 22r
Q
k E A =，式中θcos 2L
r =
，带入可得： θθ22cos sin 8L
Q
k EM =，令()θθθ2cos sin =f ，得：
()))(cos )(cos sin 2(cos sin 22222422θθθθθθ==f ，
利用基本不等式（2）可得：
()
27
827
cos cos sin 2))(cos )(cos sin 2(3
222
2
22=
++≤
θθθθθθ， 即：当θθ22cos sin 2=时，22arctan =θ ，()θf 有最大值为9
32， 结论：当22arctan
=θ时，M E 有极大值为29316L
Q
k 。

2.3,应用3：连接体的速度极值
例：如图3a 所示，滑块A 、B 质量均为m ，A 套在固定竖直杆上，A 、B 通过转轴用长度为L 的刚性轻杆连接，B 放在水平面上并靠着竖直杆。

A 、B 均静止。

由
于微小扰动，B 开始沿水平面向右运动。

不计一切摩擦，
A 、
B 可视为质点。

求在A 下滑过程中B 的最大速度。

分析：设A 下降至如图3b 所示位置时，B 达最大速度V Bm ，
此时杆与水平方向夹角为θ。

由A 、B 系统机械能守恒、结合连接体牵连速度的计算可知：
=θcos Bm V θsin A V
222
2)sin 1
(Bm A V m
V m mgL +=-θ
E 图3a
图3b
3
可得θθ2sin )sin 1(2-=gL V Bm ，
令()()()()θθθθθθsin sin sin 22sin )sin 1(22-=-=f ，利用基本不等式（2）可得：
()()()()27
8
27
sin sin sin 22sin sin sin 223
=
++-≤
-θθθθθθ， 即：当θθsin sin 22=-时，32arcsin =θ，()θf 有最大值为27
8
， 结论：当3
2arcsin =θ时，B 的速度达到最大值9
62gL
V Bm =。

3,总结
在中学物理教学中，对学生进行数学方法的教育，不仅可以加深学生对物理学的基本概念、基本理论的理解，而且可以提高学生对自然规律的正确认识，培养学生的创新精神和实践能力。