解直角三角形1解直角三角形的概念导学案
解直角三角形单元教学设计
解直角三角形单元教学设计
一、教学目标
1. 理解解直角三角形的概念,掌握解直角三角形的方法,能运用解直角三角形的方法解决实际问题。
2. 通过解直角三角形的学习,进一步感受数学与生活的密切联系,体会数学在解决实际问题中的作用。
二、教学内容
1. 解直角三角形的有关概念。
2. 解直角三角形的方法。
3. 运用解直角三角形解决实际问题。
三、教学重点与难点
重点:掌握解直角三角形的方法。
难点:运用解直角三角形解决实际问题。
四、教学准备
1. 教师准备教学课件、三角板等教具。
2. 学生准备直尺、计算器等学习工具。
五、教学过程
1. 导入新课
教师通过复习旧知或引入实际生活情境,引导学生进入新课学习。
2. 探索新知
教师引导学生通过观察、思考、小组合作等方式,探究解直角三角形的概念和方法,并进行适当讲解和补充。
学生要认真听讲,积极思考,勇于表达自己的想法和意见。
3. 练习巩固
教师布置相关练习题,学生独立或小组合作完成,并进行交流和展示。
教师对学生的练习进行点评和指导,帮助学生巩固所学知识。
4. 归纳小结
教师对本节课所学内容进行归纳总结,强调重点和难点,帮助学生形成完整的知识体系。
学生要认真听讲,积极思考,做好笔记。
5. 布置作业
教师布置适量作业,要求学生按时完成,并进行检查和批改。
学生要认真完成作业,积极思考,勇于挑战自己。
人教版初三第一轮复习《解直角三角形的应用》导学案
解直角三角形的应用初三( )班 第 组 姓名 学习目标:能用解直角三角形的相关知识解决实际问题。
学习过程: 一、温故知新1、Rt △ABC 中,∠C=900, ∠A=450,AB=4, 则BC= 。
2、Rt △ABC 中,∠C=900, ∠B=300,BC=120, 则AC= 。
3、一个人从山下沿300角的山坡登上山顶,一共走了300m ,那么这座山的高度为。
4、如图,AC 是电线杆AB 的一根拉线,测得BC=6, ∠ACB=520,则拉线AC 长为() (A )06sin 45(B )06tan45(C )06cos52 (D )06cos 45二、新课学习1、仰角、俯角:如图,∠1、∠2都 是视线与水平线的夹角,∠1的视线 在水平线上方,叫 角,∠2的视线 在水平线下方,叫 角。
2、例:热气球的探测器显示,从热气球刊一栋高楼顶部的仰角为300,看这栋高楼底部的俯角为600,热气球与高楼的水平距离为150m ,这栋高楼有多高(结果保留小数点后1位)? 解:如图,α= ,β= ,AD= 在Rt △ABD 中,tan α= BD ∴BD=AD tan α= 在Rt △ACD 中,tan β=【归纳】利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程(书本90页)三、题组训练:A 组1、如图,小明在地面上的A 点,小红在高 山上的B 点,小明与小红对望,则仰角是,俯角是 ;若小明看到高山上的小红的仰角是300,则小红看到小明的俯角是度。
2、如图,从C 测得树的顶端的仰角是300, (即∠ =300),若BC=20,则树高AB= 。
3、某飞机在离地面1200m 的上空测得 地面控制点A 的俯角为300(即∠ =300),此时飞机与该控制点之间的距 离AB 是 m 。
4、如图,在水平地面上,由点A 测得棋杆 BC 的顶点C 的仰角是600,点A 到棋杆的 距离AB=10m ,则棋杆BC 的长为 。
5、如图,为测量某塔AB 的高度,在离塔底部20米的E 处目测其顶A ,仰角为600,目高1.5米,试求该塔的高度(结果精确到0.1米)。
解直角三角形导学案
解直角三角形执笔:|花拉子米|一、学习目标1、了解解直角三角形的定义,能通过已知条件解直角三角形。
2、通过本节课的学习,培养自己知识的运用能力和计算能力。
二、重点难点学习重点:对解直角三角形的理解。
学习难点:对解直角三角形的应用。
三、前置学习1、计算:︒︒+︒+︒-︒46tan 44tan 45tan 60cos 230sin 22、在ABC ∆中,若0)cos 23(|1sin |2=-+-B A ,则∠C=_______度 3、如图,在ABC Rt ∆中,∠C 为直角,其余5个元素之间有以下关系: (1)三边之间关系:222c b a =+ (勾股定理)(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余)(3)边角之间的关系:c a A =sin 、c b A =cos 、ba A =tan 。
利用以上关系,如果知道其中的2个元素(其中至少有一个是边),那么就可以求出其余的3个未知元素。
由直角三角形中的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。
例1、在ABC Rt ∆中,∠C=90°,∠A=30°,5=a ,解这个直角三角形。
例2、在ABC Rt ∆中,∠C=90°,3=a ,3=b ,求:(1)c 的大小;(2)∠A 、∠B 的大小。
四、展示交流在ABC Rt ∆中,CD 是斜边上的高,若AC=8,cosB=0.6,求ABC ∆的面积。
A B 0 E C D 五、合作探究如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图,⊙O 向前滚动时,铁棒DE 保持与OE 垂直。
⊙O 与地面接触点为A ,若⊙O 的半径为25cm ,53cos =∠AOE , (1)求点E 离地面AC 的距离BE 的长; (2)设人站立点C 与点A 的距离AC=53cm ,DC ⊥AC ,求铁棒DE 的长。
六、达标拓展在ABC Rt ∆中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形:(1)32=b ,4=c ; (2)8=c ,∠A=60°;(3)7=b ,∠A=45°; (4)24=a ,38=b 。
解直角三角形 导学案
CBABA【总结反思】9.2解直角三角形【复习目标】知道解直角三角形的含义,会解直角三角形;能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形;会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题【学法指导】读图标图,确立边角关系,斜三角形转化为直角三角形 【教学过程】一、知识回顾1.解直角三角形的概念. 2. 在△ABC 中,∠C =90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边 (1)若 a = 6 ,∠B =45°,则∠A=____,b=_____c=_______(2)若a = 6 ,b = 36 ,则∠A=____∠B =_____c=_______ (3)若︒=∠60A ,a=15,则∠B=____,b=_____c=_______二、例题分析例1 已知,如图1,在△ABC 中, ∠B =600,∠C =450,AB =40求AC 的长.图1例2 在Rt △ABC 中,∠C =90°,a+b =34,125tan =A ,求a 、b 、c 的值.三、巩固练习1.在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B=150,a=5,则c=__________2. 已知:如图2在△ABC 中,∠A =30°,23tan =B , 32=AC ,则AB 的长为( )A .4B .5C .6D .7 图23.请你画出一 个以BC 为底边的等腰△ABC ,使底边上的高AD=BC. (1)sinB =_______(2)cosB=___________ (3)tanB=_________(2)在你所画的等腰△ABC 中,若底边BC =5米,则腰上的高BE=________MDBC AB CD 4.如图3,△ABC 中,∠A =750,∠B =450,AB =34,求AC 、BC 的长.CBA图35. 已知,在△ABC 中,∠B =30°,AB=6,AC=4,AD 是BC 边上的高,求BC 的长6.已知:如图4,在Rt △ABC 中,∠C=90°,D 是BC 边的中点,DE ⊥AB 于E ,tanB =21,AE =7,求DE .图47. 如图5,O 坐标为原点,点A 的坐标为(100),,点B 在第一象限内,5BO =,3sin 5BOA =∠.求:(1)点B 的坐标;(2)cos BAO ∠的值.四、拓展提高1. 如图6,在△ABC 中,∠ACB =90º,∠A ﹤∠B ,以AB 边上 的直线CM 为折痕,将△ACM 折叠,使点A 落在点D 处,如果CD 恰好与AB 垂直,则tan A = .图62. 一副直角三角板如图7放置,点C 在FD 的延长线上,AB ∥CF ,∠F =∠ACB =90°,∠E =45°,∠A =60°,AC= 求CD 长.图7【总结反思】图5。
辅导解直角三角形概念及复习教案及习题附答案
解直角三角形一、知识点讲解:1.解直角三角形的依据在直角三角形ABC中,如果∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,那么(1)三边之间的关系为(勾股定理)(2)锐角之间的关系为∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系为2.其他有关公式面积公式:(hc为c边上的高)3.解直角三角形的条件在除直角C外的五个元素中,只要已知其中两个元素(至少有一个是边)就可以求出其余三个元素。
4.解直角三角形的关键是正确选择关系式在直角三角形中,锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部,只要题目中已知加未知的三个元素中有边,有角,则一定使用锐角三角函数,应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢?(1)若求边:一般用未知边比已知边,去寻找已知角的某三角函数(2)若求角:一般用已知边比已知边(斜边放在分母),去寻找未知角的某三角函数。
(3)在优选公式时,尽量利用已知数据,避免“一错再错”和“累积误差”。
5.解直角三角形时需要注意的几个问题(1)在解直角三角形时,是用三角知识,通过数值计算,去求出图形中的某些边的长度或角的大小,这是数形结合为一种形式,所以在分析问题时,一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图,按照图中边角之间的关系去进行计算,这样可以帮助思考,防止出错。
(2)有些图形虽然不是直角三角形,但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形,从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。
(3)按照题目中已知数据的精确度进行近似计算二、例题解析:例1、已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm,另一条直角边为8cm,求它的面积,解:设斜边为c,一条直角边为a,另一条直角边b=8cm,由勾股定理可得,由题意,有c+a=16 ,b=8例2、在△ABC中,求:a、b、c的值及∠A。
解:,由直角三角形的边角关系,得,即又∵a+b=3+例3、已知△ABC中,∠C=90°,若△ABC的周长为30,它的面积等于30,求三边长。
28.2.1 解直角三角形教案
28.2.1 解直角三角形本节是在学习锐角三角函数之后,结合已学过的三角形内角和定理和勾股定理,研究解直角三角形的问题,既能加深对锐角三角函数概念的理解,又为后续解决与其相关的实际问题打下基础.解直角三角形是结合三角形内角和定理、勾股定理等知识,利用锐角三角函数对直角三角形的三条边以及两锐角这五个要素进行求解,在解直角三角形时注意借助相应的直角三角形来寻找已知元素与未知元素的关系式.【情景导入】要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°(见教材第85页第10题图),现有一架长6 m 的梯子.(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)?(2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时,梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)?这时人是否能够安全使用这架梯子?【说明与建议】 说明:用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力,激发他们的好奇心,体会解直角三角形来源于生活,并服务于生活,诱发学生对新知识的渴求.建议:教师引导学生思考,为本节课学习解直角三角形做好铺垫. 【归纳导入】在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =20°,c =10 cm. (1)根据“直角三角形两锐角互余”得∠B =70°. (2)由sinA =ac ,得a =c ·sinA =10sin20°cm.(3)由cosA =bc,得b =c ·cosA =10cos20°cm.通过以上填空,Rt △ABC 的三条边长及三个角全部知道了,这种由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.【说明与建议】 说明:通过解答此题说明已知直角三角形的一个锐角,可以求出另一个锐角,选择恰当的边角关系,还可以求出其他的边长.建议:让学生先自主探究,然后交流解题的方法并比较从中选择最合适的方法.命题角度1 在直角三角形中解直角三角形这类题目一般已知一边一角或两边求其他元素.注意以下知识和技巧的总结及运用: 理论依据:在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c. (1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2. (2)锐角之间的关系:∠A +∠B =90°.(3)边角之间的关系:sinA =a c =cosB ,cosA =b c =sinB ,tanA =a b =1tanB .(4)面积公式:S △ABC =12ab =12ch(h 为斜边上的高).提示:当所求的元素既可用乘法又可用除法求解时,一般用乘法,不用除法;既可用已知数据又可用中间数据求解时,最好用已知数据.技巧方法:1.(宜昌中考)如图,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则cos ∠ABC 的值为(B) A.23B.22C.43D.2232.(巴中中考)如图,点A ,B ,C 在边长为1的正方形网格格点上,下列结论错误的是(A)A .sinB =13B .sinC =255C .tanB =12D .sin 2B +sin 2C =1命题角度2 构造直角三角形再解直角三角形这类问题一般和三角形或圆的相关知识结合命题,题目没有直接告诉是直角三角形,通过条件或添加辅助线,可以证明或构造直角三角形,再根据解直角三角形的方法解答问题.3.(黑龙江中考)如图,在△ABC 中,sinB =13,tanC =2,AB =3,则AC 的长为(B)A. 2B.52C. 5D .24.如图,点A ,B 是以CD 为直径的⊙O 上的两点,分别在直径的两侧,其中点A 是CDB ︵的中点.若tan ∠ACB =2,AC =5,则BC 的长为(D)A. 5B .2 5C .1D .2命题角度3 分类讨论解不定三角形在解直角三角形问题时,如遇到直角或者某个锐角不确定时,特别是在没有给出图形的情况下,要注意分类讨论,防止漏解.5.(内江中考)已知,在△ABC 中,∠A =45°,AB =42,BC =5,则△ABC 的面积为2或14.双直角三角形所谓“双直角三角形”是指一条直角边重合,另一条直角边共线的两个直角三角形.其位置关系有两种:如图1,公共直角边为AD ,则AD =BC ·tan α·tan βtan β-tan α,我们把它叫做公式1.图1 图2 如图2,公共直角边为AD ,则AD =BC ·tan α·tan βtan β+tan α,我们把它叫做公式2.课题28.2.1 解直角三角形授课人素养目标1.了解解直角三角形的意义和条件.2.帮助学生理解直角三角形中五个元素(直角除外)的关系,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.3.发展学生的数学应用意识,提高归纳能力,感受解直角三角形的策略.教学重点解直角三角形的意义以及一般方法.教学难点选择恰当的边角关系解直角三角形.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,那么除直角∠C外的两个锐角和三条边之间有如下关系:两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.三边之间的关系:a2+b2=c2.边角之间的关系:sinA=ac,cosA=bc,tanA=ab.回顾以前所学内容,为本节课的教学内容做好准备.活动一:创设情境、导入新课【课堂引入】意大利比萨斜塔在落成时就已倾斜,其塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A,过点B向垂直中心线引垂线,垂足为C,如图.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2 m,AB=54.5 m,求∠A的度数.师生活动:教师呈现问题并引导学生结合图形,观察已知条件和所求角之间的关系,分析得到通过求∠A的正弦来求∠A的度数.通过实际问题,激发学生的学习兴趣,把实际问题转化为数学问题,并一般化:已知直角三角形斜边和直角边,求它的锐角的度数,通过求解的过程,初步体会解直角三角形的内涵,引入课题.活动二:实践探究、交流新知【探究新知】1.解直角三角形的定义问题:将比萨斜塔问题推广为一般的数学问题该如何求解?师生活动:已知直角三角形的斜边和一条直角边,求它的锐角的度数,利用锐角的正弦(或余弦)的概念直接求解.问题:在活动一所述的Rt△ABC中,你还能求出其他未知的边和角吗?师生活动:学生思考并说明求解思路,教师把问题一般化,给出解直角三角形的内涵:一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.2.解直角三角形的方法问题:回想一下,刚才解直角三角形的过程中,用到了哪些知识?你能梳理一下直角三角形各个元素之间的关系吗?师生活动:如图,引导学生结合图形,梳理五个元素(直角除外)之间的关系,学生展示:(1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).(2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.(3)边角之间的关系:sinA=ac,cosA=bc,tanA=ab,sinB=ba,cosB=ac,tanB=ba.问题:从上述问题来看,在直角三角形中,知道斜边和一条直角边这两个元素,可以求出其余的三个元素.一般地,已知五个元素(直角除外)中的任意两个元素,可以求其余元素吗?教师给出结论:在直角三角形中,知道除直角外的五个元素中的两个元素(至1.有条理地梳理直角三角形除直角外的五个元素之间的关系,明确各自的作用,便于应用.2.在讨论解直角三角形的方法过程中,明确解直角三角形的条件,培养学生的逻辑思维能力.少有一个是边),就可以求出其余三个未知元素.活动三:开放训练、体现应用【典型例题】例1(教材第73页例1)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=6,解这个直角三角形.解:AB=22,∠B=30°,∠A=60°.师生活动:学生在教师的引导下,思考如何求出所有未知元素.先让学生找出所有未知元素:∠A,∠B和AB,然后让学生逐一说明求每一个未知元素的方法和依据,教师引导学生选择简便的解题途径.最后给出简洁、规范的解题步骤.例2(教材第73页例2)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55°.∵tanB=ba,∴a=btanB=20tan35°≈28.6.∵sinB=bc,∴c=bsinB=20sin35°≈34.9.师生活动:由学生代表参照例1的解题思路,分析本题的解题思路;然后由学生独立完成,再小组交流;最后由学生代表展示解题步骤.对于求c,如果学生采取不同方法,让他们展示不同方法;如果学生没有采取不同方法,教师注意引导他们思考其他解法.【变式训练】1.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=3,BC=2,tanA=43,则CD的值为(D)1.通过解特殊的直角三角形,训练学生解直角三角形的思路和方法,提高学生分析和解决问题的能力.2.进一步训练解一般直角三角形的思路和方法,并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解.3.变式训练拓展学生思维,同时增强学生对所学知识的灵活应用能力.A .2 B.45 C.43 D.65提示:延长AD ,BC ,两线交于点O ,得到两个直角三角形,解直角三角形即可. 2.在△ABC 中,若AB =10,AC =15,∠BAC =150°,则△ABC 的面积为(A) A .37.5 B .75 C .100 D .150提示:过点C 作CD ⊥AB ,交BA 的延长线于点D.在Rt △ADC 中利用特殊角求出高CD ,再计算三角形的面积.3.在Rt △ABC 中,∠C =90°,b =3,S △ABC =923,解这个直角三角形.解:如图:∵在Rt △ABC 中,∠C =90°,b =3,S △ABC =923,∴12ab =92 3. ∴a =3 3.∴tanA =a b =333= 3.∴∠A =60°.∴∠B =180°-∠A -∠C =180°-60°-90°=30°. ∴c =2b =6. 活动四:课堂检测【课堂检测】1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =4,sinA =12,则BC 的长为(A)A .2B .3 C. 3 D .2 3通过设置课堂检测,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”.2.在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =40°,BC =3,则AC =(C) A .3sin40° B .3sin50° C .3tan40° D .3tan50°3.在Rt △ABC 中,∠C =90°,斜边中线是3 cm ,sinA =13,则S △ABC =(D)A. 2 cm 2B .2 2 cm 2C .3 2 cm 2D .4 2 cm 2提示:由中线长可以求出斜边,解直角三角形求出两直角边,再计算三角形面积.4.如图,在△ABC 中,BD ⊥AC 于点D ,AB =6,AC =53,∠A =30°.(1)求BD 和AD 的长. (2)求tanC 的值. 解:(1)∵BD ⊥AC , ∴∠ADB =90°.在Rt △ADB 中,AB =6,∠A =30°, ∴BD =12AB =3.∴AD =BDtanA=3BD =3 3. (2)CD =AC -AD =53-33=23, 在Rt △BCD 中,tanC =BD CD =323=32.学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 课堂小结1.课堂总结:(1)什么叫解直角三角形?(2)两个直角三角形全等要具备什么条件?为什么在直角三角形中,已知一边和一个锐角或两边就能解直角三角形呢?教学说明:教师提问并引导学生总结归纳解直角三角形的定义以及直角三角形五元素之间的关系. 2.布置作业:教材第77页习题28.2第1题.引导学生从知识和方法两个方面总结自己的收获,理清解直角三角形的目的、条件、依据、方法,提升综合运用知识的能力.。
1.3解直角三角形(1)教案
1.3 解直角三角形(1)一、教学内容解析:本节是在学习锐角三角函数之后,结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理,研究解直角三角形的问题.本课内容既能加深对锐角三角函数概念的理解,又为后续解决与其相关的实际问题打下基础,在本章起到承上启下作用.二、教学目标:1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.2、通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.3、渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.三、教学重难点重点:直角三角形的解法.难点:三角函数在解直角三角形中的灵活运用.四、教学手段与教学方法教学手段:多媒体教学.教学方法:启发式教学、小组合作学习.五、教学过程:(一)、设疑,激发兴趣1、组织教学,激情口号:我自信、我出色,我努力、我成功.2、情景导入:同学们,幻灯片上的这幅图片是意大利著名的比萨斜塔,它已经有800多年的历史了,在它落成的时候由于地基等问题就已经发生了倾斜,但是在1972年比萨地区发生地震,造成塔顶中心点偏离垂直中心线达到了5.2米.比萨斜塔的高为54.5米,根据以上信息,我们可以把这道实际问题抽象成什么样的几何图形呢?在这个直角三角形中,AB代表比萨斜塔的高54.5米.BC代表塔顶到垂直中心线的距离5.2米,我们能否根据已知条件求出比萨斜塔的倾斜角∠A,或者∠B以及AB的长呢?你们有多少种求法?这就是本节课我们要学习的内容,解直角三角形.3、板书课题:1.3解直角三角形(1)4、请同学们齐读本节课的学习目标.(二)、活动一:自学初探各组组长检查各小组导学案第二部分主“动”展示完成情况.由各小组举牌主动展示以下三个问题.1、什么叫做解直角三角形?2、在一个直角三角形中,一共有几个元素,这五个元素分别是什么?那这五个元素之间有没有什么关系呢?哪组同学愿意主动展示一下第2道题?(1)三边之间关系:(2)两锐角之间关系:(3)边角之间关系:以上三点就是解直角三角形的依据,我们熟知后就可以拿来运用了.3、在直角三角形中,知道几个已知元素就可以求其余未知元素?(三)、活动二:合作再探现在我们回到比萨斜塔这道题,哪名同学愿意上黑板上写出已知元素和要求的未知元素,把它变成解直角三角形的问题.(教师通过这个过程可以观察到学生是否真的理解了什么叫做解直角三角形。
初三数学导学案 解直角三角形
学 生教 师 吴老师 日 期 2013/12/29 年 级 初三学 科数学时 段10:10-11:40学 情 分 析 1、对本周相关知识点进行梳理,强化训练 2、对之前的作业进行评讲课 题 解直角三角形学习目标与 考点分析 解直角三角形是近年来中考命题的热点之一,中考中通常以中档题的形式出现,解决此类问题,首先要认真读题,弄清题意,特别是关键字、词;其次要正确地画出图形,将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系;最后,运用“转化”(斜三角形转化为直角三角形)的思想方法,通过建立解直角三角形的数学模型使问题得到解决。
学习重点 难 点让学生熟练掌握解题的方法,会运用知识灵活计算,并能正确地进行相关题目的运算教学方法 讲练结合、互动启发教学过程(一)运用三角函数解直角三角形解直角三角形的思路,实际上就是根据已知条件,正确地选择直角三角形中边角间的关系式,通过解方程来求解。
例1、 在Rt △ABC 中,∠C=90°, sinA=43, AC=72,求AB=?濠知教育学科导学案A B C D C D B A ED C B A(二)有关测量问题:测量类问题涉及仰角和俯角的知识,属于解直角三角形中已知一边和一锐角的类型,无斜边时,应用正切建立方程求解。
例2、某中学九年级(1)班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动,他们在某公园人工湖旁的小山AB 上测得湖中两个小岛C 、D 的距离。
从山顶A 处测得湖中小岛C 的俯角为60°,测得湖中小岛D 的俯角为45°,已知小山AB 的高为180米,求小岛CD 的距离。
思路点拨:C 、D 间的距离即为BD 和CB 的差,分别解两个直角三角形求得BD 和CB 。
例3、为申办2010年冬奥会,须改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中,要伐掉一棵树AB ,在地面上事先划定以B 为圆心,半径AB 等长的圆形危险区,现有某工人站在离B 点3米远的D 处,测树的顶端A 点的仰角为60°,树的底部B 点的俯角为30°,问:距离B 点8米远的保护物是否在危险区内?方法小结:弄清题意,明确目标,将实际问题转化为解直角三角形问题,找出可以求解的直角三角形或构造出可以求解的直角三角形作为解题的突破口。
解直角三角形导学案(第一课时)
解直角三角形(第一课时)学习内容:P85~P86页学习目标:1、理解解直角三角形的概念2、探索解直角三角形至少需要多少元素3、会用公式解直角三角形学习重难点:由已知元素求未知元素的方法及过程的探究和应用 学习过程一、自学提纲(阅读课文P85页~P86页)1、根据右图1,用标出的字母填写出下列问题:(1)在Rt △ABC 中,除∠C=90°外,其两个锐角及三条边叫做直角三角形的五大元素,它们分别是 、 、 、 、 。
(2)Rt △ABC 的三边关系是:,它两个锐角关系是: , 它的边角关系是: sinA=----------- cosA=-----------2、根据三角函数的值填出相应的角度数 sin( )=21cos( )=23 tan( )=33sin( )=22 cos( )=22tan( )=1 二、合作交流:(阅读课文P85页~P86页)1、在直角三角形中,由 的过程,叫做解直角三角形2、探索解直角三角形至少需要多少元素(条件)? 在直角三角形中,(1)若已知一条边和一个锐角,你能把这个直角三角形未知的元素都求出来吗?那怎么求?(2)若已知两条边呢?你又能求吗?怎么求呢?(3)那已知两个角呢?又能求吗?三、例题点评(一)例1、如图(2)在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2, BC=6,解这个直角三角形。
点评:已知的元素有: 、 (除∠C=90°外)需求的元素有: 、 、 。
C BA26(二)、试一试1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,a =6, b=8,则c= ,sinA= ,tanA=2、在Rt △ABC 中,∠C=90°,c =25, a =7,则b=,sinB= ,cosB=3、在Rt △ABC 中, ∠C=90°,AB=5, BC=3,则AC= ,cosA= ,tanB =4、在Rt △ABC 中, ∠C=90° ,AC=1, BC=2,则AB= ,sinA= , ∠B = ,∠A=5、在Rt △ABC 中, ∠C=90° ,AB=2, BC=3,则AC= ,cosA= , ∠A = ,∠B= ,tan2A= . 6、在Rt △ABC 中, ∠C=90° ,a =2, b=2,则c= ,tanB= ,∠B = ,∠A=7、在Rt △ABC 中, ∠C=90° ,AB=2, BC=3,则AC= ,sinA= , ∠A = ,∠B=8、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=6cm, AC=3cm ,则BC= sinB= ,∠B= ,∠A= .(三)例2、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=60°, BC=3,解这个直角三角形。
解直角三角形导学案
合
二、例题: (2)∠B=60° ,c=14 例 1.如图:在 Rt△ABC 中,∠C 为直角, ∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c, 且 b= 2 ,a= 6 ,解这个三角形. 5、在△ABC 中,∠C 为直角,AC=6, BAC 的平分线 AD=4 3 , 解此直角三 角形。
2 作 0 ′
练习: 1.建筑物 BC 上有一旗杆 AB,由距 BC40m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 50°,观察 底部 B 的仰角为 45 °,求旗杆的高度?
合
20 作 ′
二、自学内容: 仰角、俯角 当我们进行测量时, 在视线与水平线 所成的角中, 视线在水平线上方的角 叫做仰角, 在水平线下方的角叫做俯 角.
姓名:
月 日
学习目标 重 难 点 点
将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形元素之间的关系,利用所学知 识解决实际问题 实际问题转化成数学模型 导 学 授 进 程 学 生 练 习
环 节 知 识 链 接
时 间
新
课
讲
一、复习回顾 1.解直角三角形指什么? 5 ′
2.解直角三角形主要依据什么? (1)勾股定理: (sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.20) (2)锐角之间的关系: (3)边角之间的关系: (特殊角的三角 函数)
习
要满足 , (如图). 现有一个长 6m 的梯子,问: 求点 B 到地面的垂直距离 DE 3 2m , (1)使用这个梯子最高可以 BC. 安全攀上多高的墙(精确到 0.1m)? (2)当梯子底端距离墙面 2.4m 时,梯子与地 面所成的角 等于多少(精确到 1o)这时人是 否能够安全使用这个梯子?
探 例 2.在 Rt△ABC 中,∠C=90 o ∠B =35o, b=20,解这个三角形.(结果保留一位小数)
解直角三角形导学案
解直角三角形姓名_______________学号________________学习目标:1. 使学生了解解直角三角形的意义,掌握直角三角形中边角的数量关系。
学会解直角三角形的一般思路和方法。
2、通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步提高分析问题、解决问题的能力.活动一.情景引入问题:要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足30°≤ α ≤60°(如图)。
现有一个长6 m 的梯子,问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到 0.1 m ) (2)当梯子底端距离墙面 3m 时,梯子与地面所成的角α等于多少?这时人是否能够安全使用这个梯子? 活动二.探究新知探究(一) 1.在三角形中共有几个元素?答 :_____________________________ 2.在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,B A c b a ∠∠,,,,这五个元素间有哪些等量关系呢? (1)三边之间关系: (2)两锐角之间关系:(3)边角之间关系:探究(二)在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,(1)已知︒=∠60A ,6=AB ,则=∠B ,=AC ,=BC(2)已知3=AC ,6=AB ,则=∠B , =∠A ,=BC (3) 已知︒=∠60A ,︒=∠30B ,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?从上面的计算中,我知道了(结论):在直角三角形的六个元素中,除直角外,已知 个元素( 至少有一个是边),这个三角形就可以确定下来,这样就可以由______的元素求出____的元素。
因此,我们把:由直角三角形中(除直角外)的 个已知元素( 至少有一个是边),求 出 的过程,叫做解直角三角形.活动三.运用新知如图:在Rt △ABC 中,︒=∠90C , 6=a ,2=b ,解这个三角形.活动四.巩固练习如图:在Rt △ABC 中,︒=∠90C ︒=∠30B ,20=b , 解这个三角形.CA B ACBA BCc ab=20活动五.拓展延伸: 如图,ABC ∆中,︒=∠90C ,24=BD ,︒=∠30A ,︒=∠45BDC ,求AD .活动六.课外测试1.Rt △ABC 中,︒=∠90C ,若︒=∠30A= ;若︒=∠30A ,a =1,则b = ,c = 2.ABC ∆中,90C ︒∠=,cos B =,a =则b =________. 3.如图所示,CD 是Rt △ABC 斜边上的高,4=AC ,cos 54=∠BCD ,则BC 的值是_____ 4.根据下列条件解直角三角形Rt △ABC 中,︒=∠90C ,C B A ∠∠∠,,所对的边分别为c b a ,,, (1)︒=∠30A ,3=b(2) 22=b ,4=c(3)2=c ,33tan =A5. 如图所示,在ABC ∆中,︒=∠60A ,︒=∠45B ,4=AC , 求 BC 、AB .CBADADCBC BAAC B练习题知识点1 已知两边解直角三角形1.在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,AB=4,欲求∠A 的值,最适宜的做法是( ) A.计算tanA 的值求出 B.计算sinA 的值求出 C.计算cosA 的值求出 D.先根据sinB 求出∠B ,再利用90°-∠B 求出2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a=4,b=3,则cosA 的值是( ) A.53B.54 C.34 D.45 3.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a=20,c=202,则∠A=____,∠B=____,b=____. 4.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,已知BC=26,AC=62,解此直角三角形.知识点2 已知一边一锐角解直角三角形5.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=6,cosB=32,则BC 的长为( ) A.4B.25C.131318D.1313126.如果等腰三角形的底角为30°,腰长为6 cm ,那么这个三角形的面积为( ) A.4.5 cm 2 B.93cm 2 C.183 cm 2 D.36 cm 27.如图,A ,B 两点在河的两岸,要测量这两点之间的距离,测量者在与A 同侧的河岸边选定一点C ,测出AC=a 米,∠BAC=90°,∠ACB=40°,则AB 等于( ) A.asin40°米B.acos40°米C.atan40°米D.40tan a米8.(新疆中考)如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=37°,BC=32,则AC=____. (参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)9.在Rt △ABC 中,∠C=90°,c=43,∠A=30°,解这个直角三角形.10.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=55°,AC=4,解此直角三角形.(结果保留小数点后一位)11.在Rt △ABC 中,∠C=90°,已知∠A ,b ,解此直角三角形就是要求出( ) A.c B.a ,c C.∠B ,a ,c D.∠B ,a ,c ,△ABC 的面积 12.在Rt △ABC 中,若∠C=90°,AC=1,BC=2,则下列结论中正确的是( ) A.sinB=55 B.cosB=52 C.tanB=2 D.cosB=2113.(河池中考)如图,在△ABC 中,AC=6,BC=5,sinA=32,则tanB=____. 14.(攀枝花中考)如图,在菱形ABCD 中,DE ⊥AB 于点E ,cosA=53,BE=4,则tan ∠DBE 的值是____. 15.根据下列条件解Rt △ABC(∠C=90°). (1)∠A=30°,b=3; (2)c=4,b=22.16.(柳州中考)如图,在△ABC 中,BD ⊥AC ,AB=6,AC=53,∠A=30°.(1)求BD 和AD 的长; (2)求tan ∠C 的值.17.如图在△ABC 中,∠C=900,∠A=300.D 为AC 上一点,AD=10,∠BDC=600,求AB 的长18.在△ABC 中,∠C=900点D 在C 上,BD=4,AD=BC,cos ∠ADC=53,求(1)DC 的长;(2)sinB 的值;BACCD AB。
1.4 解直角三角形(教案)-北师大版数九年级下册
第4节解直角三角形1.了解解直角三角形的概念,使学生理解直角三角形中五个元素的关系.2.经历解直角三角形的过程,掌握运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形的方法.1.在研究问题的过程中思考如何把实际问题转化为数学问题,进而把数学问题具体化.2.通过利用三角函数解决实际问题的过程,进一步提高学生的逻辑思维能力和解决问题能力.1.在解决问题的过程中引导学生形成数形结合的数学思想,体会数学与实践生活的紧密联系.增强学生的数学应用意识,激励学生敢于面对数学学习中的困难.2.通过获取成功的体验和克服困难的经历,增进学生学习数学的信心,养成学生良好的学习习惯.【重点】理解并掌握直角三角形边角之间的关系,运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形中的未知元素.【难点】从已知条件出发,正确选用适当的边角关系或三角函数解题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习三角函数和勾股定理的相关知识.导入一:课件出示:在日常生活中,我们常常遇到与直角三角形有关的问题,知道直角三角形的边可以求出角,知道角也可以求出相应的边.如图所示,在Rt△ABC中共有几个元素?我们如何利用已知元素求出其他的元素呢?【师生活动】复习直角三角形的性质(两锐角互余和勾股定理)和三角函数的概念.【学生活动】通过独立思考和与同伴交流,分析出Rt△ABC中的6个元素,并尝试利用已知元素求未知元素.[设计意图]在学生分析直角三角形6个元素的过程中,学生自然而然地会想到直角三角形的相关性质,在复习旧知的同时,又为学习新知奠定了良好的基础.导入二:课件出示:如图所示,AC是电线杆AB的一根拉线,测得拉线AC=12m,AB=6m,你能求出拉线底端到电线杆底端的长度BC吗?能求出拉线AC与地面BC所成角的度数和拉线AC与电线杆AB所成角的度数吗?学生分析:可以利用勾股定理求拉线AC的长度,易知拉线与地面所成角为∠BCA,拉线与电线杆所成角为∠BAC,利用三角函数知识和计算器即可求出∠BCA和∠BAC的度数.【引入】这节课我们就综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的知识探究直角三角形中的边和角的求解方法.[设计意图]通过生活中实际情境的引入,使学生对本节课的学习任务一目了然,学生在探究的过程中就可以抓住重点和难点.[过渡语]我们已经了解了直角三角形中6个元素分别是三条边和三个角,那么至少要知道几个元素,才可以求出其他元素呢?下面我们进行分类探究.【做一做】在Rt△ABC中,如果已知其中两边的长,你能求出这个三角形的其他元素吗?课件出示:(教材例1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a=,b=,求这个三角形的其他元素.思路一教师引导学生分析:1.直角三角形中已知两边可以利用定理求出第三条边.2.直角三角形中,已知两边可以利用求∠A(或∠B)的度数.3.再利用求∠B(或∠A)的度数.【师生活动】教师引导学生分析,得出解直角三角形的方法,理清解题思路.【学生活动】得出结论:1.勾股定理2.三角函数2.两锐角互余解:在Rt△ABC中,a2+b2=c2,a=,b=,∴c===2.在Rt△ABC中,sin B===,∴∠B=30°,∴∠A=60°.思路二分组探究,思考下面的问题:1.由两个已知条件a=,b=能不能求出其中的一个锐角?2.如何再求出另外一个锐角的度数?3.如何再求出第三条边的长【师生活动】学生先独立思考,然后小组讨论.教师巡视,及时发现问题,予以纠正.完成后各小组展示解题的方法和步骤,师生共同验证.解:在Rt△ABC中,a=,b=,∴tan A===,∴∠A=60°,∴∠B=30°.在Rt△ABC中,sin B=sin30°=,即=,∴c=2.【教师小结】解直角三角形的概念:由直角三角形中已知的元素,求出所有的未知元素的过程,叫做解直角三角形.[设计意图]通过对直角三角形6个元素的分析及对猜测的探究活动,自然而然地引出解直角三角形的概念,并让学生及时总结解题方法,加深对概念的理解.[知识拓展]已知直角三角形两条边求其他元素的方法:方法1:已知两条边的长度,可以先利用勾股定理求出第三边,然后利用锐角三角函数求出其中一个锐角,再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角.方法2:已知两条边的长度,可以先利用锐角三角函数求出其中一个锐角,然后根据直角三角形中两锐角互余求出另外一个锐角,再利用锐角三角函数求出第三条边.解:在Rt△ABC中,AC=12,AB=6,由勾股定理得BC=6.在Rt△ABC中,tan∠BCA===,∴∠BCA=60°,∴∠BAC=30°.∴拉线底端到电线杆底端的长度BC是6m,∠BCA和∠BAC的度数分别是60°和30°.[设计意图]通过对导入题的解答,加深学生对解直角三角形概念的理解,提高解题的综合能力.三角形的其他元素(边长精确到1).〔解析〕在直角三角形中可以利用两锐角互余求另外一个锐角的度数,然后利用与锐角∠B 和边b有关的三角函数先求出其中一条边a或c,再利用三角函数或勾股定理求出第三条边c或a.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=25°,∴∠A=65°.∵sin B=,b=30,∴c==≈71.∵tan B=,b=30,∴a==≈64.【教师设疑】此题还有其他解法吗?【学生活动】学生相互交流他们的解法.[设计意图]通过对学习活动的探究,学生逐步掌握了解直角三角形所要具备的条件,并在探究的过程中及时总结归纳出解直角三角形的思路和方法,为后面的练习和应用打下了良好的基础.[知识拓展]已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素的方法:已知一个锐角的度数,先根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角的度数;又知道一条边的长度,根据三角函数的定义可以求出另外两条边的长度;也可以先利用三角函数的定义求出其中一条边的长度,再利用三角函数或勾股定理求出第三条边的长度.在Rt△ABC中,如果已知两个锐角,可以解直角三角形吗?【学生活动】学生先独立判断,再分组讨论.学生小结:只知道角度是无法求出直角三角形的边长的.问题2只给出一条边长这一个条件,可以解直角三角形吗?学生小结:只给出一条边长,不能解直角三角形.【教师点评】解直角三角形必须满足的一个条件是已知“一条边”.【师生总结】解直角三角形需要满足的条件:在直角三角形的6个元素中,直角是已知元素,如果再知道一条边和第三个元素,那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来.【教师提示】第三个元素既可以是角也可以是边.[知识拓展]解直角三角形的思路和方法:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则有:(1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.(3)边角之间的关系:sin A=,cos A=,tan A=,sin B=,cos B=,tan B=.(4)面积的不同表示法:S△ABC=ab=ch(h为斜边上的高).1.解直角三角形的概念:由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.2.解直角三角形的类型:(1)已知直角三角形两条边求其他元素.(2)已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素.3.解直角三角形需要满足的条件:除直角外,再知道一条边和第三个元素,就可以解直角三角形.1.如图所示的是教学用直角三角板,边AC=30cm,∠C=90°,tan∠BAC=,则边BC的长为()A.5cmB.10cmC.20cmD.30cm解析:在直角三角形ABC中,根据三角函数定义可知tan∠BAC=,∵AC=30cm,tan∠BAC=,∴BC=AC·tan∠BAC=30×=10(cm).故选B.2.如图所示,在Rt△ABO中,斜边AB=1.若OC∥BA,∠AOC=36°,则()A.点B到AO的距离为sin54°B.点B到AO的距离为tan36°C.点A到OC的距离为sin36°·sin54°D.点A到OC的距离为cos36°·sin54°解析:根据图形得出点B到AO的距离是指BO的长,根据锐角三角函数定义得出BO=AB sin36°,即可判断A,B错误;过A作AD⊥OC于D,则AD的长是点A到OC的距离,根据锐角三角函数定义得出AD=AO sin36°,AO=AB·sin54°,所以AD=sin36°·sin54°,即可判断C正确,D错误.故选C.3.如图所示,已知在Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cos B=,则AC=.解析:∵在Rt△ABC中,cos B==,∴sin B==,tan B==.∵在Rt△ABD中,AD=4,∴AB===.∵tan B==,∴AC=AB tan B=×=5.故填5.4.如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,sin∠ABC=0.8,则BC=.解析:如图所示,过点A作AD⊥BC于D,∵AB=AC,∴BD=CD,在Rt△ABD中,∵sin∠ABC==0.8,∴AD=5×0.8=4,则BD==3,∴BC=2BD=6.故填6.5.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,cos A=,求BC的长和tan B的值.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,cos A===,∴AC=4,根据勾股定理,得BC==6,∴tan B===.4解直角三角形解直角三角形:一、教材作业【必做题】教材第17页习题1.5第1,2题.【选做题】教材第18页习题1.5第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=50°,BC=5,则AC等于()A.3sin50°B.3sin40°C.3tan50°D.3tan40°2.如图所示,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则AB的长是()A.2B.8C.2D.43.(2015·桂林中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB,垂足为D,则tan∠BCD的值是.4.要用8m长的梯子爬到4m高的墙上,则梯子与地面的夹角为度.【能力提升】5.如图所示的是一张简易活动餐桌,测得OA=OB=30cm,OC=OD=50cm,B点和O点是固定的.为了调节餐桌高矮,A点有3处固定点,分别使∠OAB为30°,45°,60°,则这张餐桌调节到最低时桌面离地面的高度是(不考虑桌面厚度)()A.40cmB.40cmC.30cmD.30cm6.如图所示,在△ABC中,cos B=,sin C=,AC=5,则△ABC的面积是.7.(2015·湖北中考)如图所示,AD是△ABC的中线,tan B=,cos C=,AC=,求:(1)BC的长;(2)sin∠ADC的值.8.张大爷家有一块三角形土地如图所示,测得∠A=30°,∠B=45°,BC=20m.请你帮助张大爷计算这块土地有多少平方米.9.如图所示,沿AC方向开山修一条公路,为了加快施工速度,要在小山的另一边寻找点E同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=127°,沿BD的方向前进,取∠BDE=37°,测得BD=520m,并且AC,BD和DE在同一平面内.(1)施工点E离D多远正好能使A,C,E成一条直线(结果保留整数)?(2)在(1)的条件下,若BC=80m,求公路段CE的长(结果保留整数).(参考数据:sin37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan37°≈0.75)【拓展探究】10.(2014·宁波中考)如图所示,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10km,∠CAB=25°,∠CBA=37°,因城市规划的需要,将在A,B两地之间修建一条笔直的公路.(1)求改直的公路AB的长;(2)公路改直后比原来缩短了多少千米?(参考数据:sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75)【答案与解析】1.D(解析:∵在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A=50°,∴∠B=90°-∠A=90°-50°=40°.∵tanB=,∴AC=BC·tan B=3tan40°.故选D.)2.C(解析:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴tan A=.∵AC=4,tan A=,∴BC=AC·tan A=2,∴AB===2.故选C.)3.(解析:在Rt△ABC与Rt△BCD中,∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°,∴∠A=∠BCD,∴tan∠BCD=tanA===.故填.)4.60(解析:要用8m长的梯子爬到4m高的墙上,梯子、地面和墙正好构成直角三角形,∴梯子与地面的夹角的正弦值为=.∵sin60°=,∴梯子与地面的夹角为60°.故填60.)5.B(解析:过点D作DE⊥AB于点E,易知∠OAB=30°时,桌面离地面最低,∴DE的长即为最低长度.∵OA=OB=30cm,OC=OD=50cm,∴AD=OA+OD=80cm.在Rt△ADE中,∵∠OAB=30°,AD=80cm,∴DE=AD=40cm.故选B.)6.(解析:过点A作AD⊥BC,∵在△ABC中,cos B=,sin C=,AC=5,∴cos B==,∴∠B=45°.∵sinC===,∴AD=3,∴在Rt△ADC中,CD==4,∴在等腰直角三角形ADB中,BD=AD=3,则△ABC的面积是×BC×AD=×(3+4)×3=.故填.)7.解:过点A作AE⊥BC于点E,∵cos C=,∴∠C=45°.在Rt△ACE中,CE=AC·cos C=1,∴AE=CE=1.在Rt△ABE中,tan B=,即=,∴BE=3AE=3,∴BC=BE+CE=4.(2)由(1)知BC=4,∵AD是△ABC的中线,∴CD=BC=2,∴DE=CD-CE=1.∵AE⊥BC,DE=AE,∴∠ADC=45°,∴sin∠ADC=.8.解:如图所示,过点C作CD⊥AB于D.易知CD=BD=BC·sin=AB·CD=×10(+)×10≈273.2(m2).答:这块土地约45°=20×=10,∴AD===10,∴AB=AD+BD=10(+),∴S△ABC有273.2m2.9.解:(1)若使A,C,E成一条直线,则需∠ABD是△BDE的外角,∴∠BED=∠ABD-∠D=127°-37°=90°,∴DE=BD·cos37°≈520×0.80=416(m),∴施工点E离D距离约为416m时,正好能使A,C,E成一条直线.(2)由(1)得在Rt△BED中,∠BED=90°,∵∠D=37°,∴BE=BD·sin37°≈520×0.60=312(m).∵BC=80m,∴CE=BE-BC≈312-80=232(m),∴公路段CE的长约为232m.10.解:(1)如图所示,过点C作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中,CH=AC·sin∠CAB=AC·sin25°≈10×0.42=4.2(km),AH=AC·cos∠CAB=AC·cos25°≈10×0.91=9.1(km),在Rt△BCH中,BH=CH÷tan ∠CBA≈4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6(km),∴AB=AH+BH≈9.1+5.6=14.7(km).故改直的公路AB的长约为14.7km.(2)在Rt△BCH中,BC=CH÷sin∠CBA≈4.2÷sin37°≈4.2÷0.60=7(km),则AC+BC-AB≈10+7-14.7=2.3(km).答:公路改直后比原来缩短了约2.3km.为使学生迅速掌握本节课的知识,上课开始就对解直角三角形所用到的知识点:直角三角形中三边之间的关系,两锐角之间的关系,边角之间的关系等知识点进行了复习回顾,因为合理选用这些关系是正确、迅速解直角三角形的关键.解直角三角形的方法很多,灵活多样,学生完全可以自己解决,但例题具有示范作用.因此,在处理例题时,首先,应让学生独立完成,培养学生分析问题、解决问题的能力,同时渗透数形结合思想.本节课力求给学生更多自主探索的时间,让其在宽松和谐的氛围中学习,使他们学得更主动、更轻松,力求在探索知识的过程中培养学生探索能力、创新精神、合作精神,激发学生学习数学的积极性、主动性.同时,在学生选择解直角三角形的诸多方法的过程中,鼓励学生通过多种解法去解答.在选用合适的三角函数解决问题时,要引导学生总结出分析问题的方法,巧妙联系已知和未知之间的函数关系,选取合适的三角函数求解.再教时,增加解实际问题中直角三角形的例题的练习,因为学生对把实际问题转化成数学问题的能力还不太强.随堂练习(教材第17页)(1)c=4,∠A≈27°,∠B≈63°.(2)a=,c=,∠A=30°.(3)a=10,b=10,∠B=30°.习题1.5(教材第17页)1.(1)b=19,∠A=45°,∠B=45°.(2)c=12,∠A=30°,∠B=60°.2.(1)a=10,b=10,∠B=45°.(2)b=12,c=24,∠A=60°.3.解:tan∠ACD==,∴∠ACD≈27.5°,∠ACB=2∠ACD≈2×27.5°=55°.4.解:(1)墙高=6sin75°≈6×0.966≈5.8(m).(2)cosα=,解得α≈66°.∵50°<66°<75°,∴此时人能够安全使用这个梯子.本节课学生学习的重点是解直角三角形的方法,所以理解解直角三角形的概念是掌握解直角三角形方法的前提,而熟练运用勾股定理、两锐角互余以及锐角三角函数的定义则是解直角三角形的关键,学生要做好复习和预习工作,把握好各个元素之间的关系.此外,在没有直角三角形的图形中,通过作垂线或其他辅助线构造直角三角形也是学生要重点掌握的能力和技巧.解非直角三角形时,构造直角三角形的方法:(1)利用作高构造直角三角形,如下图所示.(2)利用勾股定理或逆定理构造直角三角形,如下图所示.(3)利用已知角构造直角三角形,如下图所示.。
解直角三角形学案2
9.4解直角三角形学案2山东省潍坊临朐冶源初中孙中福一学习目标:能综合运用勾股定理与直角三角形的边角关系解决问题,并养成“先画图,再求解”的习惯。
二知识回顾:1解直角三角的概念:有直角三角形中求出元素的过程,叫做解直角三角形。
2解直角三角形的两种情况。
(1)已知,求第三边及两锐角。
(2)已知和一个,求其它两边及另一锐角。
三导学探究:例3如图,在△ABC中,已知∠A=600,∠B=450,,AC=20cm,求AB的长。
A B 例4在△ABC中,已知AB=1,AC=2,∠ABC=450,求BC长B练一练:1如图,在Rt△ABC中,∠A=900,AD⊥BC,垂足为D,∠B=600,AD=3,求BC的长。
BC2在等腰三角形ABC 中,AB =AC ,且一腰长于底边长的比 是5︰8,求sinB.cosB 的值。
当堂达标:1在△ABC 中,∠B =450,cosC =53,AC =5a ,则△ABC 的面积用含a 的式子表示 是B2 如图,在△ABC 中,AB =5,AC =7,∠B =600,求BC 长BC3如图在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,tanB =cos ∠DAC , (1) AC 与BD 相等吗?为什么? (2) 若sinC =1312,BC =12,求AD 长 +B4 △ABC 中,已知∠B =450,∠C =600,BC =53+5,求AB 和AC 长5 已知如图,在△ABC 中,AB =20,AC =30,∠A =1500,求△ABC 的面积C六能力提升:1 在Rt△ABC中,∠C=900,CD⊥AB,垂足为D,AB=6,AD=2,求sinA,cosA,tanA 的值,2如图,在△ABC中,∠ACB=1180,BC=4,求AC边上的高A。
九年级数学上册 25.2 解直角三角形导学案(1) 新人教版
25.2 解直角三角形学习目标1. 理解解直角三角形的概念,理解俯角、仰角的概念。
2. 能够解直角三角形。
学习重难点重点: 锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用难点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问题.导学流程A 、情境导入1.在三角形中共有几个元素?2.直角三角形ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢?B 、明确目标知道什么是解直角三角形,解直角三角形的工具是什么以及怎样应用?C 、自主学习自学课本94-96页,理解解直角三角形的概念,仰角俯角的概念,并能简单的应用直角三角形的边角关系解决实际问题,时间为15分钟。
D 、合作交流看完课本后,自己做完课后练习题,同桌之间相互检查,做错的地方相互讨论指正。
E 、展示反馈由小组中的一名同学,回答练习题答案,其他同学根据自己的答案指出异同点。
F 、精讲点拨解直角三角形的理论根据:(1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=ba (2)三边之间关系a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°.直角三角形的概念:在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形.做题步骤:一定要逻辑合理。
例如例2 如图25.3.2,东西两炮台A 、B 相距2000米,同时发现入侵敌舰C ,炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40°的方向,炮台B 测得敌舰C 在它的正南方,试求敌舰与两炮台的距离.(精确到1米)图25.3.2解 在Rt △ABC 中,∵ ∠CAB =90°-∠DAC =50°, ABBC =tan ∠CAB , ∴ BC =AB ·tan ∠CAB=2000×tan50°≈2384(米).∵ACAB =cos50°, ∴ AC =︒=︒50cos 200050cos AB ≈3111(米). 答: 敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米.解直角三角形,只有下面两种情况:(1) 已知两条边;(2) 已知一条边和一个锐角.即:除直角外的5个元素(3条边和2个锐角)只要知道其中的2个元素(至少有一个元素是边),就可以求出其余的3个元素。
解直角三角形导学案(学生用)
1.1 锐角三角函数执笔人:林生审核人:李显东【学习内容】锐角三角函数【学习目标】1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算。
【学习重点】理解认识正弦(sinA)概念,通过探究使学生知道当锐角固定时,它的对边与斜边的比值是固定值这一事实.【学习难点】对任意锐角,它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
【学习过程】【探究新知】【活动1】问题:为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行灌溉。
现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管?思考:你能把这个实际问题转化为数学问题吗?(画图,写出已知和所求)思考:这个问题中若高度变为50m,则要多长的水管?对于类似问题你有何结论?结论:在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30o,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于。
【活动2】问题:如图,任意画一个Rt△ABC,使∠C=90o,∠A=45o,计算∠A的对边与斜边的比BCAB,能得到什么结论?(请你证明)结论:在一个直角三角形中,如果一个锐角等于45o,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于。
【活动3】思考:一般地,当∠A取其他一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?如图:Rt △ABC 与Rt △A`B`C`,∠C=∠C` =90o ,∠A=∠A`=α,那么BC AB 与B C A B ''''有什么关系?小组之内交流一下你的结论吧。
提醒:有什么注意事项?【巩固练习】例1如图,在中,,求sin和sin的值.2、﹙2006海南﹚三角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则sin α的值是﹙ ﹚ A .43 B .34 C .53 D .543、(2005厦门市)在直角△ABC 中,∠C =90o,若AB =5,AC =4,则sinA =( ) A .35 B .45 C .34 D .434、﹙2006黑龙江﹚ 在△ABC 中,∠C=90°,BC=2,sinA=23,则边AC 的长是( )A .13B .3C .43 D . 55、如图,在△ABC 中, AB=BC=10,sinA=4/5,求△ABC 的面积。
解直角三角形(一)导学案
C A20C 解直角三角形(一)一、 示标:1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形2、通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.3、渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯. 学习重点:直角三角形的解法.学习难点:三角函数在解直角三角形中的灵活运用二、导学:(一)自主探究1.在三角形中共有几个元素? 2.直角三角形ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢?(1)边角之间关系:如果用α∠表示直角三角形的一个锐角,那么 ① 正弦:=αsin② 余弦:=αcos③ 正切:=αtan(2)三边之间关系: (3)锐角之间关系: 以上三点正是解直角三角形的依据.3、思考:在直角三角形的五个元素中,至少知道多少元素才能求出其余的元素 (二)尝试运用1、如图,在ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,2=AC ,6=BC ,解这个直角三角形练习:在ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,30=a ,20=b ,解这个直角三角形。
2、如图,ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,︒=∠35B ,20=AC ,解这个直角三角形(精确到0.1)练习:如图,ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,︒=∠72B ,14=c ,解这个直角三角形 (精确到0.1)三、反馈1、如图ABC Rt ∆中,︒=∠90C , c = 83,∠A =60°,请你解这个直角三角形。
2、如图ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,a =36, ∠A =30°,请你解这个直角三角形。
3、如图ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,a =6,b =23,请你解这个直角三角形4、如图ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,c =32,b =3,求a 、A。
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解直角三角形1解直角三角形的概念导学案
一、导学
1.课题导入:
如图是意大利的比萨斜塔,设塔顶中心点为B ,塔身中心线与垂直中心线的交点为
A ,过
B 点向垂直中心线引垂线,垂足为
C ,在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=5.2
米,AB=54.5米,你能根据上述条件求出图中∠A 的度数吗?这就是我们这节课要研究
的问题.
2.学习目标
(1)知道解直角三角形的概念,理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系.
(2)能综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
3.学习重、难点:
重点:直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系,解直角三角形.
难点:合理选用三角函数关系式解直角三角形.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导
(1)自学内容:P72—P 73页例题1以前的内容.
(2)自学时间:6分钟.
(3)自学要求:完成探究提纲.
(4)探究提纲:
①在直角三角形中,已知有一个角是直角,我们把________________的过程,叫做解直角三角形. ②在直角三角形中,除直角外的五个元素之间有哪些关系?
如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,设∠A、∠B、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,则有: ○a 两锐角_________,即∠A+∠B=______°. ○b 三边关系___________,即____________。
. ○
c 边角关系:sinA = ,sinB = ; cosA =____;cosB = ;
tanA = ;tanB = .
③已知直角三角形中不是直角的五个元素中的几个元素,才能求出其余所有未知元素?(提示:可从“确定一个直角三角形,至少需要哪些条件?”来思考)
.
2.自学:学生可参考自学指导进行自学.
3.助学:
(1)师助生:
①明了学情:观察学生自学提纲的答题情况(特别是第②、③题).
②差异指导:根据学情进行个别指导或分类指导.
(2)生助生:小组内相互交流、研讨、订正结论.
4.强化:
(1)直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系(要板书出来).
(2)直角三角形的可解条件:必须已知除直角外的两个元素(至少有一个是边).
①已知两边:○
a 两直角边;○
b 一直角边和斜边; ②已知一边和一锐角:○a 一直角边和一锐角;○b 斜边和一锐角. 第二层次学习 A B C
a b c
1.自学指导
(1)自学内容:P73页例1,例2.
(2)自学时间:8分钟.
(3)自学方法:先独立解答,再同桌之间互评互改.
(4)自学参考提纲:
①在例1中,已知的元素是两条直角边AC、BC,需求出的未知元素是:____________________.
BC= _____,∴∠A=_____°,∠B=90°-____=____°.
方法1:∵tanA =
AC
∵AC=2,BC=6∴AB =______.
方法2:∵AC=2,BC=6∴由勾股定理可得AB=_____.
BC=_____,∴∠A=____°∴∠B=90°-∠A =____°.
sinA=
AB
这里∠B的度数也可用三角函数来求,你会吗?
②比较上述解法,体会其优劣.
③在例2中,已知的元素是一直角边b和一锐角∠B,则要求的未知元素有__________________.
④例2还有别的解法吗?请试一试,并留意你的答案与例题的答案是否存在误差.
⑤练习:在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形:
○a c=202,b=20;
○b∠B=60°,c=14;
○c∠B=30°,a=7.
2.自学:学生可参考自学指导进行自学.
3.助学:
(1)师助生:
①明了学情:关注学生解直角三角形思路是否清晰,是否会选择恰当的三角函数关系式.
②差异指导:根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导.
(2)生助生:小组内相互交流、研讨.
4.强化:
解直角三角形的思路:首先明确已知什么,要求的元素有哪些;其次,合理选择三角函数关系式,并正确进行变形(所选的关系式必须要有两个已知元素);第三,尽可能选用题目的原始数据,以减少误差.
三、评价:
1.学生学习的自我评价(围绕三维目标):这节课你学到了哪些知识?还有哪些疑问?
2.教师对学生的评价:
(1)表现性评价:从学生的学习态度、积极性、小组交流状况等等方面进行点评.
(2)纸笔评价:课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思).。