2009矩阵理论考试题
考研数学二(矩阵)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学二（矩阵）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1998年)设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是A的伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*＝【】A．kA*B．kn-1A*C．knA*D．k-1A*正确答案：B解析：由于n阶行列式的每个元素的余子式都是一个n－1阶行列式，故｜kA｜的每个元素的代数余子式等于｜A｜的对应元素的代数余子式的kn-1倍，于是由伴随矩阵的定义知(kA)*的每个元素等于A*的对应元素的kn-1倍，即(kA)*＝kn-1A*．知识模块：矩阵2．(2004年)设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B 的第2列加到第3列得C，则满足AQ＝C的可逆矩阵Q为【】A．B．C．D．正确答案：D解析：记交换单位矩阵的第1列与第2列所得初等矩阵为E(1，2)，记将单位矩阵第2列的忌倍加到第3列所得初等矩阵为E(3，2(k))，则由题设条件，有AE(1．2)＝B，BE(3，2(1))＝C，故有AE(1，2)E(3，2(1))＝C 于是得所求逆矩阵为所以只有选项D正确．知识模块：矩阵3．(2005年)设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则【】A．交换A*的第1列与第2列得B*．B．交换A*的第1行与第2行得B*．C．交换A*的第1列与第2列得－B*．D．交换A*的第1行与第2行得－B*．正确答案：C解析：用排除法．以2阶方阵为例，设由此可见，交换A*的第1列与第2列得－B*，而其它选项均不对，故只有C正确．知识模块：矩阵4．(2006年)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则【】A．C＝P-1APB．C＝PAP-1C．C＝PTAPD．C＝PAPT正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B＝PA．令矩阵则将E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C＝BQ，从而有C＝PAQ．由于所以，C＝PAQ＝PAP-1，只有选项B正确．知识模块：矩阵5．(2008年)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3＝O，则【】A．E－A不可逆，E＋A不可逆．B．E－A不可逆，E＋A可逆．C．E－A可逆，E＋A可逆．D．E－A可逆，E＋A不可逆．正确答案：C解析：由于(E－A)(E＋A＋A2)＝E－A3＝E，(E＋A)(E－A＋A2)＝E＋A3＝E，故由可逆矩阵的定义知：E－A和E＋A均是可逆的．知识模块：矩阵6．(2009年)设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵．若｜A｜＝2，｜B｜＝3，则分块矩阵的伴随矩阵为【】A．B．C．D．正确答案：B解析：记矩阵C＝，则C的行列式｜C｜＝(－1)4＝｜A｜｜B｜＝6≠0，因此C为可逆矩阵，由公式CC*＝｜C｜E，得故只有选项B正确．知识模块：矩阵7．(2009年)设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP＝若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则QAQ为【】A．B．C．D．正确答案：A解析：故只有选项A正确．知识模块：矩阵8．(2011年)设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵．记则A＝【】A．P1P2B．P1-1P2C．P2P1D．P2P1-1正确答案：D解析：由题设条件有P2AP1＝I，两端左乘P2-1，两端右乘P1-1，得A＝P2-1P1-1，因P2-1＝P2，而P1-1≠P1，故只有D正确．知识模块：矩阵9．(2012年)设区域D由曲线y＝sinχ，χ＝±，y＝1围成，则(χy5－1)d χdy＝【】A．πB．2C．－2D．－π正确答案：B解析：于是，Q-1AQ＝(PM)-1A(PM)＝M-1(P-1AP)M 因此选B．知识模块：矩阵填空题10．(2000年)设A＝E为4阶单位矩阵，且B＝(E＋A)-1(E－A)，则(E＋B)-1＝______．正确答案：解析：由题设等式得E＋B＝E＋(E＋A)-1(E－A) 用(E＋A)左乘上式两端，得(E＋A)(E＋B)＝E＋A＋E－A＝2E 即[(E＋A)](E＋B)＝E 所以(E＋B)-1＝知识模块：矩阵11．(2003年)设α为3维列向量，αT是α的转置．若ααT＝，则αTα＝_______．正确答案：3解析：于是有a2＝1，b2＝1，c2＝1，从而得αTα＝[a b c]＝a2＋b2＋c2＝1＋1＋1＝3．知识模块：矩阵12．(2003年)设三阶方阵A、B满足A2B－A－B＝E，其中E为三阶单位矩阵，A＝，则｜B｜＝_______．正确答案：解析：由题设方程移项得A2B－B＝A＋E，(A2－E)B＝A＋E，(A＋E)(A－E)B＝A＋E，注意A＋E＝可逆，用(A＋E)-1左乘上式两端，得(A－E)B＝E 两端取行列式，得｜A－E｜｜B｜＝1 因为｜A－E｜＝＝2 得2｜B｜＝1，知识模块：矩阵13．(2004年)设矩阵A＝，矩阵B满足ABA*＝2BA*＋E，其中A*是A 的伴随矩阵，E是单位矩阵，则｜B｜＝_______．正确答案：解析：由于A*A＝｜A｜E，而｜A｜＝3，所以A*A＝3E．用矩阵A右乘题设方程两端，可得3AB＝6B＋A，或3(A－2E)B＝A，两端取行列式，得33｜A－2E｜｜B｜＝｜A｜，由于故有27｜B｜＝3，所以｜B｜＝知识模块：矩阵14．(2005年)设α1，α2，α3均为3维列向量，记矩阵A＝(α1，α2，α3)，B＝(α1＋α2＋α3，α1＋2α2＋4α3，α1＋3α2＋9α3)．如果｜A｜＝1，那么｜B｜＝_______．正确答案：2．解析：利用矩阵乘法，可将B表示为涉及知识点：矩阵15．(2006年)设矩阵A＝，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA＝B＋2E，则｜B｜＝_______．正确答案：2．解析：由给定矩阵方程得BA－B＝2EB(A－E)＝2E 两端取行列式，得｜B｜｜A－E｜＝｜2E｜因｜A－E｜＝＝2，｜2E｜＝22｜E｜＝4 所以有2｜B｜＝4，从而得｜B｜＝2．知识模块：矩阵16．(2007年)设矩阵A＝，则A3的秩为_______．正确答案：1．解析：利用矩阵乘法，容易计算得由于A3中非零子式的最高阶数为1，故由矩阵的秩的定义，即知r(A3)＝1．知识模块：矩阵17．(2010年)设A，B为3阶矩阵，且｜A｜＝3，｜B｜＝2，｜A-1＋B｜＝2，则｜A＋B-1｜＝_______．正确答案：3．解析：由于A＋B-1＝(AB＋E)B-1＝A(B＋A-1)B-1＝A(A-1＋B)B-1，两端取行列式，并利用｜ABC｜＝｜A｜｜B｜｜C｜及｜B-1｜＝｜B｜-1，得｜A＋B-1｜＝｜A｜.｜A-1＋B｜.｜B-1｜＝3×2×＝3．知识模块：矩阵18．(2012年)设A为3阶矩阵，｜A｜＝3，A*为A的佯随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA*｜＝_______．正确答案：－27．解析：由于互换行列式的两行，则行列式仅变号，于是知｜B｜＝－3．再利用｜A*｜＝｜A｜n-1－｜A｜2＝9，得｜BA*｜＝｜B｜｜A*｜＝－27．知识模块：矩阵19．(2013年)设A＝(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij 的代数余子式．若aij＋Aij＝0(i，j＝1，2，3)，则｜A｜＝_______．正确答案：－1．解析：由A≠0，不妨设a11≠0，由已知的Aij＝－aij(i，j＝1，2，3)，得及A＝－(A*)T，其中A*为A的伴随矩阵．以下方法：用AT右乘A＝－(A*)T 的两端，得AAT＝－(A*)AT＝－(AA*)T＝－(｜A｜I)T，其中I为3阶单位矩阵，上式两端取行列式，得｜A｜2＝(－1)3｜A｜3，或｜A｜2(1＋｜A｜)＝0，因｜A｜≠0，所以｜A｜＝－1．知识模块：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
09+10年北航研究生矩阵论 矩阵理论B期末试卷
二、设 A∈ 8×8，且 λ I − A 等价于准对角阵
diag
⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣λ
2 −1 0
1 ⎤ ⎡λ +1 λ + 2⎥⎦ , ⎢⎣λ −1
0⎤ λ −1⎥⎦
,(λ
+
2)2
,
λ
+
2,
1,
1⎫⎪⎬⎪⎭
(1)试求 λ I − A 的初等因子，不变因子；Smith 标准形(3)写出 A 的最小多项式及 Jordan 形.
四、证明：1）、 因为 A+ = A，故 A3 = A 所以 秩A=秩A3 ≤ 秩A2 ≤ 秩A，所以 秩A2 = 秩A
2）、由 A3 − A = 0，故 λ3 − λ 将 A 零化，且 λ3 − λ = 0无重根， A 可对角化。
3）、 A 的特征根为 1、-1 和 0，而 秩A=r 。故非零特根个数为（对角线非零元素的个数为 r）
附加题证明：令 B = A( AT A)−1 AT ，则 BT = B 为实对称矩阵，且 B2 = B
从而 BT B 与 B 由相同的特征值，且 B 的正奇异值就是 B 的正特征值。λ2 −1 = λ(λ −1) 是
B 的 零 化 式 。 故 B 的 最 大 特 征 值 为 1 （ 否 则 B 为 零 矩 阵 ， 从 而 A = 0 ， 矛 盾 ）， 所 以 B = B的最大奇异值= 1 = 1
3⎤ 2⎥⎦
.（1）计算
e
At
;
（2）试求
f
∞
A=
n=0
n +1 n!
A2
+
A
n
.
八、 A∈ n×n. 证明 lim Am = 0 ⇔ ρ ( A) < 1. m→∞
矩阵理论 (A-B卷)及答案
矩阵理论矩阵理论 2006-2007 学年第 一 学期末考试试题（A 卷）及答案一、 填空题（共20分，每空2分）1、 在欧氏空间4R 中，与三个向量(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)---都正交的单位向量为：)3,1,0,4(261-±2、 已知122212221A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则12__________;__________;__________;F A A A A ∞====3、 已知三阶方阵A 的初等因子为()()21,1λλ--，则A 的约当标准形为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100100014、 已知cos sin ()sin cos t t A x t t ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则1()______________;()______________;|()|______________;|()|______________.d dA t A t dt dtd dA t A t dt dt-====.1,0,s i n c o s c o s s i n ,s i n c o s c o s s i n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t t t t t t t t 二、解答下列各题(（共48分，每小题8分）1. 用最小二乘法求解线性方程组121312312312021x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪+-=-⎩解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121111101011A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1021,111021011111b A T，-------------（3’） 所以b A x x x Ax A TT =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=312311164144321-----------------------（7’）求得最小二乘解为.64,613,617321-=-==x x x -------------------------------------（8’） 2. 设111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试计算43()322A A A A E φ=-++。
控制科学与工程试卷
的答案一律无效。 4. 监考员收卷时，考生须配合监考员验收，并请监考员在准考证上签字（作为考生交卷的
凭据）。否则，若发生答卷遗失，责任由考生自负。
控制科学与工程试卷 第 1 页 共 8 页
满足 ① 。
0 t
4．已知A＝
1
2
，（t≠0），则A1＝
①
。
t
5．A为n阶矩阵，（3E＋2A）1的幂级数及收敛半径分别是 ① 和 ② 。
二、单项选择题（每小题 2 分，共 8 分。以下各题的 4 个选项中，只有一个符合题意。） 1．设 是 n 阶矩阵 A 的特征值为 的特征向量， 是 n 阶矩阵 B 的特征值为 的特征向 量，E 是 n 阶单位矩阵。则不．正．确．的结论是（ ）。
I 矩阵理论
一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）
1．已知1=（a，0，c）T，2 =（b ，c，0）T ，3 =（0，a，b）T线性无关，则a，b，c
满足关系式 ① 。
2 3
2．已知A＝ 0
0
，则A的正奇异值是
①
。
0 0
3．若实二次型f（x1，x2 ，x3）＝2x12＋tx22＋5x32＋4x1x2－4x1x3－8x2x3的秩为 2，则t应
A．是矩阵A2＋2E的特征值为2＋2 的特征向量
B． 是矩阵 B－E 的特征值为 µ－1 的特征向量
C．＋是矩阵 A＋B的特征值为＋µ 的特征向量
D． 是矩阵 E 的特征值为 1 的特征向量
2．已知R3中 =（0，1，2）T， =（1，－2，1）T，问既与垂直又与垂直的所有单位
矩阵理论试题答案最终版
阵
G
为
(2, 2) (2, t + 1) (2, t 2 − 1) 2 (t + 1, 2) (t + 1, t + 1) (t + 1, t − 1) (t 2 − 1, 2) (t 2 − 1, t + 1) (t 2 − 1, t 2 − 1)
1 ∫−1 4dt 1 = ∫ 2*(t + 1)dt −1 1 ∫ 2*(t 2 − 1)dt −1 −8 4 8 3 10 −4 = 4 3 3 −8 −4 16 3 15 3
2
x ' −1 0 x 1 = + y ' 0 2 y −1 求多项式 P(x)经此仿射变换所得到的曲线，变换后的曲线是什么曲线？ 解：(1)由平面的四个点我们可得如下方程。
a0 + a1 *1 + a2 *12 = 0 2 −1 a0 + a1 *(−1) + a2 *(−1) = 2 1 a0 + a1 * 2 + a2 * 2 = a + a *(−3) + a *(−3) 2 = 2 2 0 1
∫ ∫ ∫
1 −1 1
1
−1
2*(t + 1)dt
−1
(t 2 + 2t + 1)dt
(t + 1) *(t 2 − 1)dt
1 2 ∫−1 (t + 1) *(t − 1)dt 1 2 2 t dt t ( 1) *( 1) − − ∫−1
∫
1
−1
2*(t 2 − 1)dt
上海交通大学矩阵理论试卷张跃辉
八、证明题(6 分)
设A为n阶矩阵，证明：A非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式g(λ)使 得g(A) = 0。
8
附
录
上海交通大学 2009-2010 学年第一学期《矩阵理论》试卷
姓名
学号
矩阵理论分班号
成绩
本试卷共四道大题, 总分 100 分. 其中 A∗ 表示矩阵 A 的共轭转置.
A
与
B
的最小多项式分别为
(x
−
1)2(x
−
2)
与
(x
−
1)(x
−
2)2,
则矩
阵
A A−B 0B
的最小多项式为 (
)
(A)(x−1)2(x−2)
(B)(x−1)(x−2)2
(C)(x−1)2(x−2)2
(D)(x−1)3(x−2)3
4. 设 A 为 n 阶可逆矩阵, ρ(A) 是其谱半径, || • || 是一种矩阵范数, 则必有 ( )
(3) 设 σ 是 V 的一个等距变换, σ(e1) = e1 + e2. 求 σ((x, y)T )? 这样的等距变换唯一吗?
100
13. 设 A = 1 0 1 .
010
(1) 求 A 的 Jordan 标准形 J(不必计算变换矩阵 P ); (2) 设 n ≥ 3, 计算 An − An−2 与 A2 − E; (3) 求 ∫0t(E − A−2)eAsds.
1
二. 填空题(每空 3 分, 共 15 分)
设二维线性空间V 的线性变换T1 : V → V 与T2 : V → V 在基α1, α2下的矩阵分别为
()
A=
1 2
矩阵分析试卷2009(答案)
五邑大学 试 卷课程：矩阵分析在3R 中，定义),,2(),,(132321321x x x x x x x x x +--=ℜ，则ℜ是否是3R 上的线性变换？如果是求出ℜ在某一基下的矩阵，并求ℜ的核与值域。
（16分）解：1）3123123(,,),(,,),x x x y y y R k R αβ∀==∈∈，则有()()(),()()k k αβαβααℜ+=ℜ+ℜℜ=ℜ，所以ℜ是3R 上的线性变换。
2）取3R 的一组基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)ααα===，则123()(2,0,1),()(1,1,0),()(1,1,0)αααℜ=ℜ=-ℜ=-，所以123123211(,,)(,,)011100αααααα--⎛⎫⎪ℜ= ⎪ ⎪⎝⎭，故ℜ在该基下的矩阵为A ，211011100A --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
3）ℜ的值域为向量12()(2,0,1),()(1,1,0)ααℜ=ℜ=-生成的子空间。
4）ℜ的核=3{|()0}R αα∈ℜ==3{|0}TR A αα∈=，线性方程组0T A α=的基础解系为11,η⎛⎫⎪= ⎪⎪故ℜ的核是{|}T k k R η∀∈。
二、（12分）设η是欧氏空间V 中一单位向量，定义ηαηαα),(2)(-=ℜ，证明ℜ是正交变换。
解：,,V k R αβ∀∈∈，有()()2(,)2(,)2(,)αβαβηαβηαηαηβηβηℜ+=+-+=-+-； ()2(,)2(,)(2(,))()k k k k k k k ααηαηαηαηαηαηαℜ=-=-=-=ℜ； ((),())(2(,),2(,))(,)2(,)(,)2(,)(,)4(,)(,)(,)(,)2(,)(,)2(,)(,)4(,)(,)(,)αβαηαηβηβηαβηαηβηβαηηαηβηηαβηαηβηβαηηαηβαβℜℜ=--=--+=--+=三、证明对任意的n n ⨯矩阵n n ij a A ⨯=)(，若定义∑∑===ni nj ijaA 11||||||，则|| ∙||是一种矩阵范数，但不是算子范数（从属于向量范数的矩阵范数）。
南京航空航天大学2009_矩阵论考试考题及答案
(3)，判断方程组 Ax b 是否相容？若相容，求其最小范数解；若不相容，求其极小最小二乘 解。(4 分)
解：
2 0 0 8 1 0 0 4 行 (1): A 0 2 8 0 0 1 4 0 ,故矩阵 A 的满秩分解为： 2 2 8 8 0 0 0 0 2 0 2 0 1 0 0 4 1 0 0 4 A 0 2 CD, C 0 2 , D 。 0 1 4 0 0 1 4 0 2 2 2 2
k
k
k 1
A |||| A k 1 |||| A || || A || k . （5 分）
k
2. || A || 1 lim || A || k 0 lim || A k || 0. （5 分） 3. lim || A k || 0 lim || A k 0 || 0 lim A k 0. （5 分）
学院 ------------------------------ 线 ----------------------------------------------------------------
年级 ----------
从而其极小最小二乘解为：
矩阵论考试试题(含答案)
矩阵论试题一、(10分）设函数矩阵()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t t t A sin cos cos sin求：()⎰tdt t A 0和(()⎰20t dt t A )'。
解:()⎰t dt t A 0=()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰⎰⎰⎰t tt t tdt tdt dt t dtt 0sin cos cos sin =⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t t t t cos 1sin sin cos 1 (()⎰2t dt t A )'=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅22222sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、（15分)在3R 中线性变换σ将基⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1202α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1013α变为基 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102β,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2303β(１)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示Ａ；(2）求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标; (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。
解：（1)不难求得:()2111ααβασ-==()32122αααβασ++-== ()321332αααβασ++-==因此σ在321,,ααα下矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=110211111A(2)设()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,,k k k αααξ,即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321111021101321k k k解之得:9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。
()ξσ在321,,ααα下坐标可得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1332239410110211111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6151941001111110194101A()ξσ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---94101332230111111011332231A 三、(20分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301010200A ,求At e 。
线性代数02198自考2009年~2012年真题试题及答案(新)
2009年7月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R （A ）表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A ，B ，C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是（ ） A ．（A +B ）T =A T +B T B ．|AB |=|A ||B | C ．A （B +C ）=BA +CA D ．（AB ）T =B T A T 2．已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a ---=（ ） A ．-24 B ．-12 C ．-6D ．123．若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是（ ）A ．A =||1A A *B ．|A |=0C ．（A 2）-1=（A -1）2D ．（3A ）-1=3A -14．若A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-251213，B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-123214，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--213120，则下列矩阵运算的结果为3×2的矩阵的是（ ） A ．ABC B ．AC T B T C ．CBAD ．C T B T A T5．设有向量组A ：4321,,,αααα，其中α1，α2，α3线性无关，则（）A ．α1，α3线性无关B ．α1，α2，α3，α4线性无关C ．α1，α2，α3，α4线性相关D ．α2，α3，α4线性无关6．若四阶方阵的秩为3，则（ ） A ．A 为可逆阵B ．齐次方程组Ax =0有非零解C ．齐次方程组Ax =0只有零解D ．非齐次方程组Ax =b 必有解7．已知方阵A 与对角阵B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---200020002相似，则A 2=（ ）A ．-64EB ．-EC ．4ED ．64E8．下列矩阵是正交矩阵的是（ ） A ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--100010001B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11001110121 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--θθθθcos sin sin cos D ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--336102233660336122 9．二次型f =x T Ax (A 为实对称阵)正定的充要条件是（ ） A ．A 可逆B ．|A |>0C ．A 的特征值之和大于0D ．A 的特征值全部大于010．设矩阵A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--4202000k k 正定，则（ ）A ．k ＞0B ．k ≥0C ．k ＞1D ．k ≥1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
（完整版）矩阵练习（带答案详解）
（完整版）矩阵练习（带答案详解）一、填空题：1.若A ，B 为同阶方阵，则22))((B A B A B A -=-+的充分必要条件是BAAB =。
2. 若n 阶方阵A ，B ，C 满足I ABC =,I 为n 阶单位矩阵，则1 -C＝AB。
3. 设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，若=00A B C ,则1-C ＝--0011B A 。
4. 设A ＝?--1112，则1-A ＝2111。
5. 设???? ??--=111111A ，--=432211B .则=+B A 2--731733。
6.设=300020001A ，则1-A ＝310002100017．设矩阵 1 -1 3 2 0,2 0 10 1A B == ? ?，T A 为A 的转置，则B A T=-160222.8.=110213021A ，B 为秩等于2的三阶方阵，则AB 的秩等于 2 .二、判断题（每小题2分，共12分）1. 设B A 、均为n 阶方阵，则 kk k B A AB =)(（k 为正整数）。
……………（× ）2. 设,,A B C 为n 阶方阵，若ABC I =，则111CB A ---=。
……………………………（× ）3. 设B A 、为n 阶方阵，若AB 不可逆，则,A B 都不可逆。
……………………… ( × )4. 设B A 、为n 阶方阵，且0AB =，其中0A ≠，则0B =。
……………………… (× )5. 设C B A 、、都是n 阶矩阵，且I CA I AB ==,，则C B=。
……………………（√ ）6. 若A 是n 阶对角矩阵，B 为n 阶矩阵，且AC AB =，则B 也是n 阶对角矩阵。
…（× ）7. 两个矩阵A 与B ，如果秩（A ）等于秩（B ），那么A 与B 等价。
…………（× ）8. 矩阵 A 的秩与它的转置矩阵T A 的秩相等。
昆明理工大学2009级硕士研究生《矩阵论》考试卷
昆明理工大学2009级硕士研究生《矩阵论》考试卷姓名： 专业： 学号： 评分： （总分：100分） 一．填空（每空3分，共30分）1.设A 是n 阶Householder 矩阵，则cos ()A π2=2.设x →=()n 2 1 x , ... ,x ,x TnC ∈，则x →1= ，x→2= ，x→∞=3.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011-021-010，则A 的Jordan 标准型为J=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4.设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛6.07.03.01.0，判定矩阵级数∑∞=0K K A 收敛的依据是 ，其和为5.设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛12122121，则A ()2,1=6.已知A ∈C n m ⨯，B ∈C m n ⨯，C ∈C m m ⨯，则方程AXB=C 有解的充要条件是7.给定欧式空间R 2的基e 1=()0,1 T ,e 2=()1,0 T ，设α=()1,1 T，子空间L=L ()α,则正交投影矩阵P L =(注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。
)推导与计算二．（10分）证明：C n n ⨯中的矩阵范数∞∙m 与∙F相容。
三．（15分）已知A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛542452-22-8，b →()t =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛t9t9e e，①.求e tA ；②.用矩阵函数法求解微分方程()dtd t x→=A()t x →+()t b →满足条件()0x →=()1,1,0T的解。
四．（10分）用Householder 变换法求A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1522634369143的QR 分解。
五．（10分）用Gerschgorin 定理隔离A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛01821021320的特征值。
问A 的特征值是否是实数？说明理由。
六．（15分）已知A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3541-1-3-2-111-01，b →=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-33，①.求A 的满秩分解； ②.求A +；③.用广义矩阵方法判断方程是否有解，如有解则求出其通解。
矩阵理论历年试题汇总及答案
矩阵理论历年试题汇总及答案矩阵理论是线性代数中的一个重要分支，它涉及到矩阵的运算、性质以及矩阵在不同领域中的应用。
历年来的矩阵理论试题通常包括矩阵的基本运算、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的分解等重要概念。
以下是对矩阵理论历年试题的汇总及答案解析。
矩阵的基本运算试题1：给定两个矩阵 \( A \) 和 \( B \)，其中 \( A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( B =\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)，求 \( A + B \) 和 \( AB \)。
答案：首先计算矩阵的加法 \( A + B \)，根据矩阵加法的定义，对应元素相加，得到 \( A + B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \)。
接着计算矩阵乘法 \( AB \)，根据矩阵乘法的定义，得到 \( AB = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix} \)。
特征值和特征向量试题2：已知矩阵 \( C = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \)，求 \( C \) 的特征值和对应的特征向量。
答案：首先求特征值，我们需要解方程 \( \det(C - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。
计算得到 \( \det(\begin{bmatrix}4-\lambda & -2 \\ 1 & -1-\lambda \end{bmatrix}) = (4-\lambda)(-1-\lambda) - (-2)(1) = \lambda^2 - 3\lambda - 2 \)。
矩阵论试题(整理)(完整版)实用资料
矩阵论试题(整理)（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）矩阵论试题（06，12）一.(18分填空：设1.A-B的Jordan标准形为J=2.是否可将A看作线性空间V2中某两个基之间的过渡矩阵（）。
3.是否可将B看作欧式空间V2中某个基的度量矩阵。
（）4.（），其中。
5.若常数k使得kA为收敛矩阵，则k应满足的条件是（）。
6.AB的全体特征值是（）。
7.（）。
8.B的两个不同秩的{1}-逆为。
二.(10分设,对于矩阵的2-范数和F-范数，定义实数，（任意）验证是中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。
三.(15分已知。
1.求；2.用矩阵函数方法求微分方程满足初始条件x(0的解。
四.(10分用Householder变换求矩阵的QR分解。
五.（10分）用Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值。
（要求画图表示）六.(15分已知。
1.求A的满秩分解；2.求A+；3.用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax=b是否有解；4.求线性方程组Ax=b的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x0。
（要求指出所求的是哪种解）七.(15分已知欧式空间R22的子空间R22中的内积为V中的线性变换为T(X=XP+XT, 任意XV，1.给出子空间V的一个标准正交基；2.验证T是V中的对称变换；3.求V的一个标准正交基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵.八.(7分设线性空间V n的线性变换T在基下的矩阵为A，T e表示V n的单位变换，证明：存在x00，使得T(x0=(T e-T(x0的充要条件是为A的特征值.矩阵论试题（07，12）一.(18分填空：1.矩阵的Jordan标准形为J=2.设则3.若A是正交矩阵，则cos(A=4.设，A+是A的Moore-Penrose逆，则(-2A, A+=5.设，则AB+I2I3的全体特征值是（）。
6.设向量空间R2按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为和且与的内积为则基的度量矩阵为（）。
北航研究生2009年矩阵B班考试题目
2009年：《 矩阵理论 》（B ）一、(15分) 设A 是7阶方阵，且I A λ- 等价于准对角阵：D = diag 2221,1,(2),(2),1,101 λλλλλλ⎧--⎫⎛⎫---⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎩⎭(1) 写出I A λ- 的初等因子, 不变因子．(2) 求I A λ- 的Smith 标准型．(3) 求A 的最小多项式，Jordan 标准形．二、(15分)设200121101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，(2) 证明A 可对角化；(2)求A 的谱分解并计算100A 及A e ；(3)若A 可逆求1A -的谱分解．三、(10分)设,()m n A rank A m ⨯∈=n n C ，证明{1,4}{}A A +=n ．四、(15分) A n n r⨯∈n n r C ，若+A =A 证明 （1）2rank(A )=rank(A)； （2）A 是可对角化的；（3）A 的Jordan 形为diag {}1,1,1,1,0,,0 --五、（15分）设121123122i A i i i i ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+-=--++（21i =-），01i x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=（1）计算1A 与A ∞． （2）计算1Ax ，2Ax 及Ax ∞．（3）估计A 的特征值分布范围．六、（15分）设1106511181221146A -⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭，201b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）求A 的满秩分解．（2）计算A +．（3）判断Ax b =是否相容，并计算其极小范数解或极小最小二乘解．七、（15分）设542452228A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=--，99()0t t e b t e ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，123()()()()x t x t x t x t ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，（1）计算At e ． （2）应用矩阵函数方法求微分方程组()()()dx t Ax t b t dt=+满足初始条件()(0)1,0,2T x =的解．八、（附加题）设m n A R ⨯∈，秩A n =，证明12()1T T A A A A -=．。
(完整word版)矩阵理论资料期末考试试题整理版
矩阵重点(仅供参考)
第一章
线性空间的证明
例8.1
线性变换的矩阵表示是重点
第二章
例2.2
第三章（最重要的是第三章重中之重就是Jordan )
引理2.1 重点讲的
例2.2题型考试有定理3。
2重点讲的
例3。
3、3.4重点讲的
定理3.5重点讲的
例4.1考试题型
约而当标准型重点必须会
例4.8必须会必考
第四章
定理2.2考了很多次了（老师说的）
例2.1QR分解
例3。
1满秩分解
例3.2满秩分解通过Hermite途径
第五章没讲自己看
第六章
定理3.3的证明
第七章
定义2。
1补充：判断是否收敛的条件ρ(A）＜f（x)的收敛半径
例2。
1
题型
例3.1、3.2重点讲的
Jordan 标准型
LDU分解
QR分解
初等因子
解矩阵方程
矩阵的分解
矩阵理论例题整理版1.
2。
3。
4。
5。
6.
7. 8.
9。
特征多项式、特征值与特征向量
线性变换
正交化。
矩阵论试题
五、(10 分) 用 Gerschgorin 定理隔离矩阵
i 9 A= − i 2
1 0 1 9 0 6 （ i = − 1） 0 − 7i 1 1 0 20
的特征值． （要求画图表示） 六、(15 分) 已知 A 的 M-P 逆为
0 1 0 1 2 0 − 1 + A = − 1 1 1 1 − 1 ， b = 2 ． 0 − − 2 1 0 2 1 − 1 1. 求矩阵 A ；
1 3 −2 −3 0 5 3 0 5．矩阵 A = 0 − 6 − 4 0 0 0 0 2 0 −1 − 1 − 1
1 0 0 的 Jordan 0 1
标准形为 J =
+
．
+
6．设 Am×n 的 M-P 逆为 A ， O 为零矩阵，则
A B 线性变换T 在该基下的矩阵为 ，其中 A, B, C O C 都是 2 阶方阵， O 是 2 阶零矩阵，证明： 1．子空间 V1 = span{ x1 , x 2 }是T 的不变子空间；
则子空间 V2 = span{ x3 , x 4 }不是T 2． 若B ≠ O， 的不变子空间．
T [ f (t )] = ( a0 + a1 − a2 − a3 ) + a1 t + ( a2 − a3 )t 2 + ( a0 + 2a1 − 2a2 )t 3
求 W 的一个基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵．
4 八、 (7 分) 设线性空间 V 的一个基为 x1 , x 2 , x 3 , x 4 ，
1. 求 e At ； 2. 用矩阵函数方法求微分方程
上海交通大学矩阵理论2009-2013年期末考试真题
, . 1. ( 3 , 15
100 )
.
A∗
A
.
R3 U = {(x, y, z )T ∈ R3 | x + y + z = 0}, W = {(x, y, z )T ∈ R3 | x = y = ) (C) 2 . (D) 3 :
z − 2 }.
dim (U + W ) − dim U =( (A) 0 (B) 1 2. U, W V ⊥ ⊥ . (U + W ) = U + W ⊥ ; . (U + W )⊥ = U ⊥ ∩ W ⊥ ; . (U ∩ W )⊥ = U ⊥ + W ⊥ ; . (U ∩ W )⊥ = U ⊥ ∩ W ⊥ . ( ) (A) (B) A B
)
2.下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是( ) (A) 次数等于m(m 1)的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与多项式的 通常乘法. (B) Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法； (C) 平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算k · x = x0 ，k 是实数, x0 是某一取定向量. (D) 投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法； 3.线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( ) (A) 保持向量的长度不变; (B) 将标准正交基变为标准正交基； (C) 保 持 任 意 两 个 向 量 的 夹 角 不 变 ； 阵. 4.设A是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( ) (A) A与对角矩阵相似； (B) A的特征值只可能是1或者0； (D) 幂级数
∗,
D=
Λ O O O
)
m×n
同济大学矩阵论期末试卷Exam0910112
同济大学工程硕士课程考核试卷
2009—2010学年第一学期
课名：工程数学（上） 考试类型：考试
（注意：本试卷共五大题， 大张，满分50分．考试时间为90分钟。
要求写出解题过程，否则不予计分）
一．设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=140102011A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=731b ，用Doolittle 分解法计算线性方程组b Ax =（10分）
二．设线性方程组121212
22
36223x x x x x x -=⎧⎪
-=⎨⎪-+=-⎩，用广义逆验证它是矛盾方程，并求它的最小二乘解的通
解。
（10分）
三．设线性空间22
⨯上的变换22
3(),T A A A A T ⨯=-∈，
（1）试证明T 是
22
⨯上的线性变换；
（2）求线性变换T 在基123410110100,,,00001011A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
====
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
下的矩阵； （3）求T 的最小多项式，并回答T 是否可以对角化？（15分）
四．设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----=412927313
A ，求可逆阵P 和A 的Jordan 标准形J ，使1
P AP J -=。
（15
分）
五、（10分）用广义逆验证线性方程组
12312312341
228241
x x x x x x x x x -+=⎧⎪
-+-=⎨⎪-+-=-⎩
是矛盾方程祖，并求其最小二乘通解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上的矩阵A的范数，称为矩阵的∞−范数；
∥x∥∞ =1
2. 证明矩阵的∞−范数与向量的∞−范数是相容的； 3. 取第一题中的矩阵A，求其∞−范数∥A∥∞ . 1 2 1 x1 (t)
四. 设微分方程组x ˙ (t) = Ax(t),其中矩阵A = 1 −1 1 , x(t) = x2 (t) . 2 0 1 x3 (t) 1. 求λ矩阵λI − A的不变因子、初等因子及Smith标准形； 2. 写出矩阵A的Jordan标准形； 3. 求微分方程组满足初始条件x(0) = (1, 0, 0)T 的解. 1 1 2 五.设线性方程组Ax = b,其中矩阵A = 0 0 , b = 1 . 2 2 4 1. 证明该方程组矛盾； 2. 对矩阵A作满秩分解，并求其广义逆A+ ; 3. 求该方程组的所有最小二乘解x0 , 并求误差∥δ ∥2 = ∥Ax0 − b∥2 ; 4. 求该方程组的极小范数最小二乘解x∗ 0.
2009级硕士研究生矩阵理论考试题
一.设列向量α1 = (1, 1, 0, 1)T , α2 = (0, 1, 1, −1)T , α3 = (1, 1, 0, 1)T , α4 = (0, −1, −1, 1)T , 矩阵A = [α1 , α2 , α3 , α4 ],集合W = {x ∈ R4 |Ax = 0},其中R4 为定义了标准内积的四维实 向量空间。 1. 证明W 是R4 的线性子空间； 2. 求W 的维数，写出W 的一组标准正交基I； 3. 求向量α = (1, 2, −1, 2)T 在基I下的坐标； 4. 求W 的正交补空间W ⊥ . 二.设V 是全体不超过2的实系数多项式，在添上零多项式组成的实数域上的线性空 间.对任意的f (x) ∈ V , 定义V 上的线性变换：T (f (x)) = xf ′ (x) − f (x). 1. 证明T 是V 上的线性变换; 2. 取V 的一组基，写出T 在这组基下的矩阵； 3. 求T 的核T −1 (0)和值域T V ; 4. 证明：V = T −1 (0) ⊕ T V . 三.设矩阵A ∈ C n×n , 向量x ∈ C n , ∥x∥∞ 是C n 上的∞−范数，令∥A∥∞ = sup ∥Ax∥∞ . 1. 证明∥A∥∞ 为C
Hale Waihona Puke