2012-2013学年秋季学期高数A试题(A卷)

合集下载

12级高数(i)期末考试题a卷及答案.doc

西南财经大学本科期末考试试卷（A）课程名称：高等数学担任教师：谢果等考试学期：2012 - 2013学年第1学期专业：全校各专业学号：年级：2012 姓名：考试时间：2012年月曰（星期）午出题教师必填：1、考试类型：闭卷［7］开卷［］（____ 页纸开卷）2、本套试题共五道大题,共—页，完卷时间120分钟。

3、考试用品中除纸、笔、尺子外，可另带的用具有：计算器［］字典［］__________ 等（请在下划线上填上具体数字或内容，所选［］内打钩〉考生注意事项：1、出示学生证或身份证于桌而左上角，以备监考教师查验。

2、拿到试卷后清点并检查试卷页数，如有重页、页数不足、空白页及刷模糊等举手向监考教师示意调换试卷。

3、做题前请先将专业、年级、学号、姓名填写完整。

4、考生不得携带任何通讯工具进入考场。

5、严格遵守考场纪律。

-、填空题（每小题2分，共20分）Vsinx + 1 -1 门--------------- x 01.函数/(%) = < ln(l + x) _____________ 在兀=0处连续，贝％二ax = 02. 设厂(1) = 3,则 lim /(1)7(1-力) __________________ . 2 X 3・1HB 竺fZ 1 -兀2兀2 —14. ____________________________________________ 函数门劝=—的无穷间断点为 _________________________________________________ ・— 3x + 25•设/(x)可导 y = f(e x ),则 y"=7. _____________________________________________________ 已知 f\e x) = \ + x,则/(x) = ___________________________________________________ . 8・a= ___________ , b = ____________ 时，点(1,3)是曲线y = ax 3+bx 2的拐点。

广州大学2012-2013高等数学Ⅲ(A)解析版

广州大学2012-2013学年第一学期考试卷高等数学Ⅲ（A 卷）参考解答与评分标准一、判断题（每小题2分，共10分；对的“√”，错的“×”）1．（ √ ）有限个连续函数的复合函数是连续函数.2．（ × ）若()f x 在(),a b 内连续，则()f x 在(),a b 内有最大值.3．（ × ）若()f x 在[],a b 上不连续，则()f x 在[],a b 上不可积. 4．（ × ）若a 是()f x 的极小值点，则()0f a '=.5．（ √ ）()ln 13x +与tan x 是0x →时的同阶无穷小量.二、填空题（每空3分，共15分）1．0sin3lim2x x x →=（ 32 ）. 2．29991002(99sin 99)d x x x x x -++=⎰（ 0 ）.3．2lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ 2e - ）. 4．()0dsin d d x t e t tx=⎰（ sin xe x ）. 5．sin3lim 2x x x →+∞=（ 0 ）.三、求导数或微分（每小题6分，共18分）1．设()2ln 1y x x =++，求d y . 解：221(1)1y x x x x ''=++++------2分 221(1)11x x x x =++++------4分211x =+------5分211dy y dx dx x '==+------6分2．2sin ln 0yx x y -+=，求d d y x. 解：两边关于x 求导 22cos 0y y x yx x y''+-+=------4分 222cos 0yy x y x y x y ''+-+= 22cos 21dy y x y x y dx yx -'==+------6分3．设2(arccos )y x =，求y '. 解：2arccos (arccos )y x x '=⋅------2分 212arccos ()1()x x x '=-⋅-------4分 2arccos xx x =--------6分四、求极限（每小题6分，共12分）1．0lim xx x +→. 解：令x y x =，两边取对数得 ln ln y x x =------2分000ln lim ln lim ln lim 1x x x x y x x x+++→→→==0021lim lim()01x x x x x ++→→==-=-------5分000lim lim 1x x x y x e ++→→===------6分2．()lim 3x x x →+∞+-. 解：原式(3)(3)lim 3x x x x x x x→+∞+-++=++------2分 3lim 3x x x→+∞=++------4分 0=------6分五、求积分（每小题6分，共18分）1．21d 1x x-⎰. 解：211111()1(1)(1)211x x x x x==+--+-+------2分 21111()1211dx dx dx x x x=+--+⎰⎰⎰ 1[ln(1)ln(1)]2x x C =+--+------5分 11ln 21x C x+=+-------6分2．2204d x x -⎰.解：令2sin x t =，[0,]2t π∈，2cos dx tdt =------2分 22220044cos x dx tdt π-=⎰⎰------4分 202(1cos 2)t dt π=+⎰------5分[]202sin 2t t π=+π=------6分3．d x xe x -⎰.解：x xe dx -⎰x xde -=-⎰()x x xe e dx --=--⎰------3分()x x xe e d x --=---⎰------5分x x xe e C --=--+------6分六、证明题（6分）证明：函数()||2f x x =+在0x =处连续，但不可导. 证明：因为00lim ()lim 22(0)x x f x x f →→=+== 所以()f x 在0x =处连续------1分因为 00()(0)22(0)lim lim 10x x f x f x f x x+++→→-+-'===-------3分00()(0)22(0)lim lim 10x x f x f x f x x---→→--+-'===--------5分于是(0)(0)f f +-''≠，所以()f x 在0x =处不可导------6分七、应用题（每小题7分，共21分）1．某小车租赁公司有40部小车要出租，当租金定为每小时30元时，小车可全部租出去. 当租金每小时每增加1元时，就有一部小车租不出去. 试问租金定为多少时，可以获得最大收入？解：设小车每小时的租金为30x +元（0,1,2,x =），租出去的小车数为40x -部，公司每小时的收入为y . 于是(30)(40)y x x =+-212010x x =+-，------4分102y x '=-，令0y '=得5x =，稳定点为5x =.------6分由于函数只有一个稳定点5x =，依题意知：当租金为每小时35元时，公司可获得最大的收入.------7分2．求22y x x=-的单调区间与极值. 解：333414x y x x -+'=+=------1分稳定点为34x =-，不可导点为0x =------3分3(,4)x ∈-∞-，0y '>，y 递增------4分3(4,0)x ∈-，0y '<，y 递减------5分(0,)x ∈+∞，0y '>，y 递增------6分极大值2113333333223(4)4223224y ---=--=--=-⋅=-------7分3．求正弦曲线sin y x =与直线14x π=，32x π=，0y =所围成的平面图形的面积.解：324sin d sin d S x x x x ππππ=-⎰⎰------4分324(cos )cos x x ππππ=-+------5分 2(1)[0(1)]2=++--222=+------7分。

济南大学2012～2013学年第一学期课程高数考试试卷(A卷)

第 1 页，共 1 页…………………………………………装…………………………订…………………………线…………………………………………………济南大学2012～2013学年第一学期课程考试试卷（A 卷）课程高等数学A （一）考试时间 2012 年 12 月 31 日………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。

………………一、填空题（每小题3分，共15分）(1) 曲线x e y =在点)1,0(处的切线方程为． (2) 设x x y sin 2=，则=dy ． (3) 曲线x x x y 4323+-=的拐点是 .(4) =+⎰-11cos 2dx xx.(5) =⎰∞+11dx xx ．二、选择题（每小题2分，共10分） (1) 对于数列}{n x ，下列结论正确的是(A) 若}{n x 有界，则}{n x 收敛. (B) 若}{n x 收敛，则}{n x 有界. (C) 若}{n x 单调，则}{n x 收敛. (D) 若0>n x ，则0lim >∞→n n x .(2) 设xx x f 1)1()(-=，则0=x 是函数)(x f 的(A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与2x 是同阶无穷小的是(A) x tan . (B) )1ln(x +. (C) 2cos x . (D) 12-x e . (4) 下列等式正确的是(A) ⎰=)()(x f x df . (B) C x f dx x f dx d+=⎰)()(. (C) dx x f dx x f d )()(=⎰. (D) )()(x f dx x f ='⎰.(5) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点可微的(A) 充分条件. (B) 必要条件. (C) 充分必要条件. (D) 以上都不对. 三、计算下列极限、导数（每小题5分，共15分） (1) xx dte x t x sin lim22⎰-→.(2) 求由方程1-=+y x e xy 所确定的隐函数的导数dxdy . (3) 设⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2，求：dx dy.四、计算下列积分（每小题8分，共32分）(1) ⎰+dx xx21arctan . (2) ⎰xdx x ln 2. (3) ⎰+3032)9(x dx . (4)⎰20sin πxdx e x .五、综合题（每小题10分，共20分）(1) 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=00cos 1)(2x x x xxx f ，，在0=x 处的连续性和可导性. (2) 设直线ax y =)10(<<a 与抛物线2x y =所围成图形的面积为1S ，它们与直线1=x 所围成图形的面积为2S . (Ⅰ) 求面积21S S +；（Ⅱ）问a 为何值时，21S S +最小？并求出最小值.六、证明题（8分）设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且0)1(=f ，证明至少存在一点)1,0(∈ξ，使得0)()(2='+ξξξf f .。

2012学年第一学期期末试卷+答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2012~2013学年第1 学期考试科目：高等数学A Ⅰ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．函数1y x=的定义域是。

2．10lim(14)xx x →+= 。

3．设ln(sin )y x =，则dy = 。

4．不定积分1ln x xdx ⎰= 。

5．反常积分211dx x +∞-∞+⎰= 。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设1sin ,0(),0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处必定（） A ．连续但不可导 B ．连续且可导C ．不连续但可导D ．不连续，故不可导2．曲线1y x =在点1(,2)2处的切线方程是（）A ．440y x -+=B ．440x y +-=C ．440y x --=D ．440x y --=3．设()f x 为连续函数，则()d f x dx =⎰ （） A ．()f x B ．()f x dx C ．()f x C + D ．'()f x dx 4．设0()(1)(2)xx t t dt Φ=--⎰，则'(0)Φ= （）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．若函数()(),()f x f x x -=-∞<<+∞，在(,0)-∞ 内()'0f x >，且()''0f x <，则在(0,)+∞内有（） A ．'()0,''()0f x f x >< B ．'()0,''()0f x f x >> C ．'()0,''()0f x f x << D ．'()0,''()0f x f x <>三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求极限 0sin lim x xx e e x-→-。

南京工业大学2012-2013高等数学期末试卷A及答案

南京工业大学2012-2013高等数学期末试卷A 及答案一、填空题（每小题3分，共36分）1.=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→x y x xy 11lim ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→∞→∞→⋅∞→∞→01lim111lim 11lim e xy xy yxyy x yxy y x y x 1 .2.函数),(y x z z =由方程0sin =+x y e xz 确定，则=-=-=∂∂xz z y xe x y x F F y z cos 1xz ex x y 2cos - . 3.设函数222lnz y x u ++=，则它在点)1,1,1(0-M 处的方向导数的最大值为33. 4.设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a 5-.5.空间曲线x z x y -==1,222在点)22,1,21(处的切线方程为 212211121--=-=-z y x .6.改变积分次序：==⎰⎰-dy y x f dx I x x 22020),(dx y x f dy y y ⎰⎰-+--2211111),( .7.设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则=⋅=⋅=+⎰⎰π2221211)(LLds ds y x π . 8.设∑为曲面22y x z +=在10≤≤z 的部分，则⎰⎰∑=xdS 0 .9.设,0,10,)(⎩⎨⎧<≤<≤-=-ππx x e x f x 则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于)1(21πe + . 10.设321,,y y y 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个不同的解，且≠--3221y y y y 常数，则微分方程的通解为 1322211)()(y y y C y y C +-+- .11.函数x x f -=21)(展开为x 的幂级数的形式为)2,2(2101-∈∑∞=+x x nn n .12.微分方程x xe y xy =-'1的通解为 x xe Cx + . 二、计算下列各题（每小题6分，共18分）1.设),(xye xy f z =，)(x y ϕ=，其中ϕ,f 均为一阶可微函数，求dxdz . 解：)(221y x y e f xy x y f dx dz xy'+⋅'+-'⋅'= ))()(()()(221x x x e f xx x x f xyϕϕϕϕ'+⋅'+-'⋅'= 2.求曲面)(21422y x z +-=与平面2=z 所围立体的体积.解：所围立体在xoy 面的投影域4:22≤+y x D ，所围立体的体积 dxdy y x dxdy dxdy y x V D DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=)(2122)](214[2222 πππθππ4482122202202=-=-⨯=⎰⎰rdr r d3.在曲面6632222=++z y x 上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面1=++z y x 平行.解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为),,(z y x M ，令=),,(z y x F 6632222-++z y x ，则切平面的法向量)6,4,2(),,(z y x F F F n M z y x ==, 已知平面1=++z y x 的法向量)1,1,1(1=n依题意1//n n，即令t z y x ===161412 代入曲面方程中解的2,3,6===z y x ，即切点坐标为)2,3,6(M . 三、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设Ω是由锥面22y x z +=与半球面221y x z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，求曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz .解：已知x z y x P =),,(，y z y x Q =),,(，z z y x R =),,(，由高斯公式有dv zR y Q x P zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∂∂+∂∂+∂∂=++)(dr r d d dv ϕϕθππsin 33122040⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ωππ)22(31)221(23-=⨯-⨯⨯= 2.写出级数++++43227252321的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和. 解：该数项级数的通项为nn n u 212-=；级数为正项级数，由于 21121221lim lim1=-+⋅=∞→+∞→n n u u n nn n ，由比值审敛法知该级数收敛.令)1,1()()(22)12()(211111-∈-=-=-=∑∑∑∞=∞=-∞=x x s x xs x xn x x n x s n n n n nn ，则xxx dt ntdt t s n xn n n x-===∑⎰∑⎰∞=∞=-1)(1111，于是2011)1(1)()(x dtt s dx d x s x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰，又xxx x s n n -==∑∞=1)(12，所以)1,1()1(1)1(2)(222-∈-+=---=x x x x x x x x x s ，于是3)1(21)12()21(21221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-==∞=∑x n n x x x n s .3.求微分方程x e y y y 223=+'-''的通解.解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程0232=+-r r 的特征根为2,121==r r ，x e x f 2)(=的1=λ为特征方程的单根，则原方程的特解为x Axe y =*，代入原方程中得2-=A ,齐次线性微分方程的通解为x x e C e C Y 221+=,所以原方程的通解为=+=*y Y y x x x xe e C e C 2221-+.四、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.解：由于x y x f x 24),(-=，y y x f y 24),(--=，令,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f yx 得驻点,22⎩⎨⎧-==y x 又 2),(-==y x f A xx ，0),(==y x f B xy ，2),(-==y x f C yy ，及4)()2,2(2-=--AC B ，则点)2,2(-位极大值点，极大值为8)2(2)]2(2[4)2,2(22=-----=-f .2.求幂级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛半径及收敛域. 解：令 1-=x t ，则 nn nn n n t n n x ∑∑∞=∞==-11212)1(，由于 212)1(2lim lim 11=+=+∞→+∞→n n n nn n n n a a ，则收敛半径2=R .又当2-=t 时，级数∑∞=-1)1(n nn 收敛，当2=t 时，级数∑∞=11n n 发散，所以)2,2[-∈t ，即级数的收敛域为)3,1[-.3.设),()sin(y x x xy z ϕ+=，其中),(v u ϕ具有二阶偏导数，求yx z∂∂∂2.解：),(1),()cos(21yxx y y x x xy y x z ϕϕ'+'+=∂∂，)(),(1),(1)(),()sin()cos(222222122yxy x x y y x x y y x y x x xy xy xy y x z -⋅''+'--⋅''+-=∂∂∂ϕϕϕ五、（本题5分）求函数2),(22+-=y x y x f 在椭圆域}14|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解：由于x y x f x 2),(=，y y x f y 2),(-=，令,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f y x 在D 内求得驻点)0,0(.在D 的边界上，设)14(2),,(2222-+++-=y x y x y x F λλ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+==+-==+=)3(014),,()2(0212),,()1(022),,(22y x y x F y y y x F x x y x F y x λλλλλλ当0≠x ，由（1）得1-=λ，代入（2）得0=y ，在代入（3）得⎩⎨⎧=±=01y x ；同理当0≠y 得⎩⎨⎧±==20y x ；由于2)0,0(=f ， 3)0,1(=±f ， 2)2,0(-=±f ，所以最大值为3，最小值为2-.六、（本题5分）设在上半平面}0|),{(>=y y x D 内，函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f t ty tx f -=，证明对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.解：由格林公式，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，⎰⎰⎰----±=-1)],(),(),(),([),(),(D y xLdxdyy x yfy x f y x xf y x f dyy x xf dx y x yf .dxdy y x yf y x xf y x f y D x )],(),(),(2[1---±=⎰⎰ （*）由于函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f t ty tx f -=，即),(),(2ty tx f y x f t =上式两端对t 求导有),(),(),(221ty tx f y ty tx f x y x tf '+'= 特取1=t 得),(),(),(2y x yf y x xf y x f y x += 由（*）式既有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L。

辽宁省大连市2012-2013学年高一数学上学期期末考试试题新人教A版

某某省某某市2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：球的体积公式343V R π=，球的表面积公式24S R π=. 第I 卷一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列图形中,表示集合N M ⊆关系的韦恩图是（）2．已知直线10x my +-=与直线220x y -+=平行，则m 的值为（） A. 2- B.12-C. 2D.123.函数3()f x x =的图像关于（）A ．y 轴对称B ．坐标原点对称C ．直线x y =对称D ．直线x y -=对称4.直线l 的方程是5x =，圆C 的方程是22(2)9x y -+=,则直线l 与圆C 的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相切5．已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，则)]41([f f 的值是( )A. 91B. 41C. 4 D. 96．如图为函数ln y m x =+的图像，其中m 、n 常数，则下列结论正确的是（） A ．0,1m n <> B ．0,1m n >> C ．0,01m n ><< D ．0,01m n <<<7．在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时，现已经确定一根在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )A ．(1.4,2)B ．(1,1.4)C ．3(1,)2D ．3(,2)28．已知函数22log (2)y x kx k =-+的值域为R,则k 的取值X 围是（）A .01k <<B 01k ≤< C.0k ≤或1k ≥ D.0k =或1k ≥ 9．在下列正方体中，有AB CD ⊥的是（）O 1 x yA B C D10. 若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=1)2(22=+-y x 有公共点，则直线l 的斜率的取值X 围为（）A ．[B ．(C ． [33-D ．(33- 11．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是( )A ．22(2)(1)1x y -++= B ．22(2)(1)4x y -++= C ．22(4)(2)4x y ++-=D ．22(2)(1)1x y ++-=12．已知函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的1x ，2x D∈()12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则称()y f x =为D 上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为（）A ．2log y x =B ．y =C ．3y x =D ．2y x =第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分）二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13．设2.03=a ，π21log =b ，3..021⎪⎭⎫⎝⎛=c ，则c b a ,,从大到小的顺序为.14.过点()1,2P 引一直线，使其倾斜角为直线:l 30x y --=的倾斜角的两倍，则该直线的方程是_________________.15．给出下列四个命题：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面； ③若直线l α平面，直线m α平面，则l m ； ④若直线a 直线b ，且直线l a ⊥，则l b ⊥．其中正确命题的序号是．16．从点P 出发三条射线,,PA PB PC 两两成60°角，且分别与球O 相切于,,A B C 三点，若球的体积为43π，则OP 的距离为．三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)定义在R 上的函数()y f x =是偶函数，当x ≥0时，2483f x x x =-+-（）. （Ⅰ）当0x <时，求()f x 的解析式；（Ⅱ）求()y f x =的最大值，并写出()f x 在R 上的单调区间（不必证明）．. 18．(本小题满分12分)如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -，60ABC ∠=︒，PA AC a ==，2PB PD a ==，点E 是PD 的中点．证明：（Ⅰ）PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）PB ∥平面EAC ．19. (本小题满分12分)如图所示是一个几何体的直观图及它的三视图(其中主视图为直角梯形，俯视图为正方形，左视图为直角三角形，尺寸如图所示)，(Ⅰ)求四棱锥P ABCD -的体积；(Ⅱ)若G 为BC 的中点，求证：AE PG ⊥.20.(本小题满分12分)已知2()3g x x =--，()f x 是二次函数，当[1,2]x ∈-时，()f x 的最小值为1，且()()f x g x +为奇函数，求函数()f x 的表达式．44242222主视图左视图俯视图21．(本小题满分12分)已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心M 在20x y +-=上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3480x y ++=上的动点，PC 、PD 是圆M 的两条切线，C 、D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值． 22．（本题满分12分）定义：对于任意x ∈[0,1]，函数()0f x ≥恒成立，且当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称()f x 为G 函数．已知函数2()g x x =与()21xh x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数．（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由；（2）若函数()h x 是G 函数，某某数a 的值；（3）在（2）的条件下，利用函数图象讨论方程(2)(21)xg h x m +-+=(R)m ∈解的个数情况．高一期末测试卷数学参考答案与评分标准一．选择题1. C ；2．A ；3.B ；4.B ；5．A ；6．D ；7．D ；8．C ；9．A ；10.C ；11．A ；12．D ．二.填空题13．a c b >>；14．1x =；15．②，④；16．3．三.解答题17．解：（Ⅰ）设x ＜0，则0x ->，22()4()8()3483f x x x x x -=--+--=---， ············· 2分∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=，∴0x <时，2()483f x x x =---． ················· 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知224(1)1(0)()4(1)1(0)x x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-++<⎪⎩， ············ 6分 ∴()y f x =开口向下，所以()y f x =有最大值(1)(1)1f f =-=． ···· 8分函数()y f x =的单调递增区间是（-∞，-1]和[0，1]；单调递减区间是 [-1，0]和[1，+∞)． ·············· 10分18．证明：（1）底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=，AB BC CD DA AC a ∴=====． ··················· 2分PA AC =，PA AB a ∴==，PB =，PA AB ∴⊥，同理可证PA AD ⊥，···················· 4分又AB AD A =，PA ∴⊥平面ABCD ．················ 6分（2）连结AC BD ，相交于O ，则O 为BD 的中点．E 为PD 的中点，PB OE ∴∥． ···················· 8分又OE ⊂平面EAC ，PB ⊄平面EAC ， ··············· 10分 PB ∴∥平面EAC ． ························· 12分19.解(Ⅰ)由几何体的三视图可知，底面ABCD 是边长为4的正方形， ······· 2分PA ⊥面ABCD ，PA ∥EB ，且PA ＝42，BE ＝22，AB ＝AD ＝CD ＝CB ＝4， .... 4分∴V P －ABCD ＝13PA x S ABCD ＝13×42×4×4＝6423. .......................... 5分(Ⅱ)连BP ，∵EB AB ＝BAPA＝12，∠EBA ＝∠BAP ＝90°， .................. 7分 ∴△EBA ∽△BAP ，∴∠PBA ＝∠BEA ， ............................... 8分 ∴∠PBA ＋∠BAE ＝∠BEA ＋∠BAE ＝90°，∴PB ⊥AE . ................. 10分又∵BC ⊥面APEB ，∴BC ⊥AE ，∴AE ⊥面PBG ，∴AE ⊥PG . ............ 12分 20. 解：设()(),02≠++=a c bx ax x f则()()()312-++-=+c bx x a x g x f ． 2分又()()x g x f +为奇函数，∴3,1==c a ．4分∴(),32++=bx xx f 对称轴2bx -= ．当22≥-b时，()f x 在[]2,1-上为减函数 ∴()f x 的最小值为()13242=++=b f ∴3-=b 又4-≤b ， ∴此时无解． 6分当221<-<-b 时，()14322min =-=⎪⎭⎫⎝⎛-=b b f x f ∴22±=b ∵2224-=∴<<-b b ，此时(),3222+-=x x x f 8分当12-≤-b时，()f x 在[]2,1-上为增函数∴()f x 的最小值为()141=-=-b f ∴3=b ，又满足2≥b ∴(),332++=x x x f 10分综上所述，(),3222+-=x x x f 或()332++=x x x f 12分21．解：(1)法一:线段AB 的中点为(0,0),其垂直平分线方程为0x y -=． ···· 2分解方程组0,20.x y x y -=⎧⎨+-=⎩所以圆M 的圆心坐标为(1,1)．故所求圆M 的方程为：22(1)(1)4x y -+-=． ············· 4分法二:设圆M 的方程为：222()()x a y b r -+-=，根据题意得222222(1)(1),(1)(1),20.a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+-=⎨⎪+-=⎩·················· 2分解得1,2a b r ===．故所求圆M 的方程为：22(1)(1)4x y -+-=． ············· 4分 (2)由题知，四边形PCMD 的面积为1122PMC PMD S S S CM PC DM PD ∆∆=+=+. ············ 6分又2CM DM ==,PC PD =，所以2S PC =，而PC ==即S = ························· 8分因此要求S 的最小值，只需求PM 的最小值即可，即在直线3480x y ++=上找一点P ，使得PM 的值最小，所以min3PM==， ·················10分所以四边形PCMD 面积的最小值为S ===················· 12分22．解：（1）当[]0,1x ∈时，总有2g x x 0()=≥，满足条件①，1分当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，22222121212121212g x x x x x x 2x x x x g x g x ()()()()+=+=++≥+=+，满足条件② ································ 3分（2）∵()21xh x a =⋅-是G 函数，∴210xa ⋅-≥，∴12x a ≥恒成立． ······ 4分 ∴a 1≥． ······························· 5分由1212g x x g x g x ()()()+≥+ ，得1212x x x x a 21a 21a 21+⋅-≥⋅-+⋅-，即12xx a 121211[()()]---≤， ······················· 6分因为 12120,0,1x x x x ≥≥+≤所以 1x0211≤-≤2x0211≤-≤1x 与2x 不同时等于 1 11xx021211()()∴≤--<，11x x 0121211()()∴<---≤，11x x 1a 12121()()∴≤--- ·························· 7分当12x x 0==时，11x x 1112121min ()()()=---，a 1∴≤， ··········· 8分综合上述a 的值为1. ··························· 8分（3）根据⑵知： a=1，方程为x 2x 1421m -++-=， ············· 9分令x4tt 14[,]=∈ 方程为2t m 1t+=+ 图（略） ································ 10分由图形可知：当7m 122{}(,]∈⋃时，有一解；当m 12(,]∈ 时，有二不同解；当7m 12(,)(,)∈-∞⋃+∞时，方程无解． ················ 2分。

重庆市2012-2013学年高二数学上学期期末测试试题理(扫描版)新人教A版

重庆市2012-2013学年高二数学上学期期末测试试题理（扫描版）新人教A版重庆市2012年秋高二(上)期末测试卷数学（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1～5 BBADC 6～10 CCDAC9．提示：(1,0)F ，设00(,)P x y ，∵||4PF =，∴014x +=即03x =，由焦半径公式，0||4PF a ex =-=，解得2a =∴P到右准线的距离为208a x c-=+10．提示：如图，各棱长均相等的三棱锥11ACB D 在面1111A B C D 上投影为边长为的正方形，所求三棱锥体积为正方体体积减去四个三棱锥的体积，即111463V =-⋅=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上. 11．x R ∀∈,+0ax b ≤12．3213．214．15三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）圆22:(2)(1)5C x y a -++=-∵圆C 与x 轴相切，∴51a -=即4a =.……………5分（Ⅱ）圆22:(2)(1)1C x y -++=，∵过点(3,2)当切线斜率k 存在时，设切线方程：32y kx k =-+……………8分1=1=，解得43k =，4:23l y x =- 当切线斜率不存在时，显然3x =是圆C 的切线， ∴切线的方程为423y x =-或3x =.……………13分 17．（本小题满分13分）解：2:80p a a -<⇔-<<，:1q a >因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以p 、q 一真一假……………5分D CBAD 1C 1B 1A 1若p 真q假则(a ∈-……………8分若p 假q真则)a ∈+∞……………11分所以a的范围为([22,)-+∞……………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证：连接DB ，由长方体知1DD ⊥面ABCD 所以1DD DB ⊥，又ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，所以AC ⊥面1DD B ，所以1BD AC ⊥……………6分（Ⅱ）设点1C 到面1AB C 的距离为h . 由1111C AB CA B C C V V --=得1111133AB C B C C S h S AB ∆∆⋅=⋅，所以1111B C C AB C S AB h S ∆∆⋅===……13分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题得c a =22231a b +=，又222a b c =+，解得228,4a b == ∴椭圆方程为：22184x y +=……………5分（Ⅱ）设直线的斜率为k ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，∴22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得 12121212()2()0y y x x y y x x -+++⋅=-……………8分∵P 是AB 中点，∴124x x +=，122y y +=，1212y y k x x -=-代入上式得：440k +=，解得1k =-， ∴直线:30l x y +-=.………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵在矩形ABEF 中，N 是AE 中点，∴N 是FB 中点，又M 是FC 中点，∴//MN CB∵//CB AD ，∴//MN AD ，∴//MN 平面ADF ……………5分ADCBA 1D 1C 1B 1（Ⅱ）∵AD AB ⊥，平面ABEF ⊥平面ADCB ，平面ABEF 平面ADCB AB =∴AD ⊥平面ABEF ，∴CB ⊥平面ABEF ，∴CFB ∠为直线CF 与平面ABEF 所成角，由题cos CFB ∠=，∵2CB =，∴cos FBCFB FC∠===，解得FB =∴1AF =，……………7分以A 为原点，AD 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，AF 为z 轴正方向建立坐标系，则(0,0,1)F ，(2,2,0)C ，(0,2,1)E 设平面ACE 的法向量1(,,)n x y z =，(2,2,0)AC =，(0,2,1)AE =由1100n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得1(1,1,2)n =-同理可得平面ACF 的法向量2(1,1,0)n =-121212cos ,||||n n n n n n⋅<>==-⋅设二面角F AC E --的大小为θ 显然θ为锐角，∴cos θ=12分21．（本小题满分12分）解:（Ⅰ）设M（-1,0)，圆M 的半径r =，由题意知||||PN PM r +=，所以点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长为的椭圆，于是由1a c ==得1b =，所以点P 的轨迹C 的方程为2212x y +=.……………4分（Ⅱ）因为点N 恰为ABE ∆的垂心，所以EN AB ⊥，EB AN ⊥.由EN AB ⊥得1EN k k ⋅=-，而1EN k =-，所以1k =，故方程为y x m =+.由2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2234220xmx m ++-=，由22480m ∆=->得m <<，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -=，……………7分11(1,)NA x y =-，22(,1)EB x y =-，由EB AN ⊥，得0NA EB ⋅=，又211212212(1)(1)()(1)x x y y x x x x m x m -+-=-+++-12122(1)()(1)x x m x x m m =+-++-2444(1)(1)33m m m m m --=-+-2343m m +-=……………10分所以2340m m +-=，解得43m =-或1m =（舍去），43m =-满足0∆>，所以所求直线为43y x =-……………12分。

高二数学期末考试2012-2013学年A卷

潞城职业高中2012——2013学年第一学期高二数学期末试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）。

1.点P(-8)到原点的距离等于……………………………………………………（） A.8 B.4 C.-8 D.02.若直线l 的斜率不存在，则它的倾斜角为…………………………………… （） A.0° B.45° C.180° D.90°3.过点A （4，-1）与B （0，7）的直线的斜截式方程是………………………（） A.ｙ＝－2ｘ＋7 B.ｙ＝－2ｘ－1 C.ｙ＝2ｘ＋7 D.ｙ＝－2ｘ＋44.下列直线和ｘ轴平行的是………………………………………………………（） A.ｘ＝0 B.ｘ＝3 C.ｙ＝ 2 D.ｙ＝ｘ5.圆（ｘ+2）2+（ｙ-3）2＝81的圆心坐标是……………………………………（） A.（2,3） B. (-2,-3) C. (2,-3) D. (-2,3)6.5名男生和4名女生，组成班级乒乓球混合双打代表队，不同的组队方法为（）A.7B.8C.16D.207.两直线4ｘ+ｙ+3＝0与ｘ+4ｙ-1＝0的位置关系是（）。

A.相交 B.平行 C.重合 D.垂直8.若直线和圆相切，则下列说法不正确的是……………………………………（） A.直线方程和圆方程组成的方程组无解 B.直线和圆只有一个交点 C.圆心到直线的距离等于半径 D.过切点的半径垂直于半径9.已知A （4，-1），B （1，3），则|AB|=…………………………………………（） A.25 B.5 C.29 D.±510.点A （-2），B （1）的中点坐标是………………………………………………（） A.a ＝1,b=-1 B.a ＝-1,b=-1 C.a ＝-1,b ＝1 D.a ＝1,b ＝1 11.在直线2ｘ-3ｙ+1=0上的点是…………………………………………………（） A.（0，0） B.（1，1） C.（2，2） D.（-2,1） 12.过点（1，2）且斜率为3的直线的点斜式方程是………………………………（） A.ｙ-2＝3(ｘ-1) B.ｙ+2＝3(ｘ+1) C.ｙ-1＝3(ｘ-2) D.ｙ-3＝ｘ-2 二.填空题(每题3分,共24分).1.某班级有3名男三好学生，4名女三好学生，从中任意选出一人去领奖，有（）种选法。

2012-2013年高等数学工科试题A

姓名：______________ 学号：______________ 班级：______________ 考试性质：首修、重修、
再修学院：_____________
装
订
线
辽宁石油化工大学考试题 2012 -- 2013 学年第一学期
课程名称：
高等数学（1）
考试形式：闭卷
授课学院：
理学院
第4页
共5页
姓名：______________ 学号：______________ 班级：______________
考试性质：首修、重修、再修
学院：_____________ 装
22．用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁皮盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形(如图)，然后把四边折起，就能焊成铁盒，问在四个角各截去多大的正方形，才能使铁盒的容积最大？
dx 4
.
线
第3页
共5页
四．解答题（第 1 题 6 分，第 2-4 题 8 分，共 30 分，请将计算过程写在题目的下方）
2
19．求定积分 sin 2 x cos5 xdx .
0
20．求由曲线 y x2 与 y x 2 围成图形的面积.
21．求微分方程 y 2 y 3y e3x 的通解.
9．设
lim
1
k
1
xx
e2 ，则 k
______。
x0
10． f x0 0 是可微函数 f x 在 x0 取得极值的
条件。
11.定积分 2 x3 1 4 x2 dx _________。 2
12．反常积分 dx 的收敛性是_________。
1x
13.由曲线 y cos x x 与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转

2013年秋数学段考试卷含答案

2012-2013年学年度第一学期段考试卷科目：《数学》出题教师：邓永斌使用班级：升学113、114班一、选择题（共12小题，每题5分共60分。

每题只有一个正确的选项）1．某座大桥一天经过的中华轿车的辆数为ξ； (2)某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ ；(3)一天内的温度为ξ ；(4)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ 表示该射手在一次射击中的得分。

上述问题中的ξ 是离散型随机变量的是（ B ）A.(1)(2)(3)(4)B.(1)(2)(4)C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)2．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ B ） A.分层抽样法，系统抽样法 B.分层抽样法，简单随机抽样法C.系统抽样法，分层抽样法D.简单随机抽样法，分层抽样法 3.炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间有( B )A.确定性关系B.相关关系C.函数关系D.无任何关系炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间之间虽有一定联系，但不能用一个函数关系来准确地表示，所以具有相关性，故选B.4．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拔，他第一次失败，第二次成功的概率是（ A ）A ．110B ．210C ．810D ．9105.一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为3的样本，则每个个体被抽到的概率是( C )A.310C 3B.89103⨯⨯C.103D.101 解析：用简单随机抽样法从中抽取，则每个个体被抽到的概率都相同为103，所以选C.6．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则两人都击中目标的概率是（ D ） A ．1.4 B ．0.9 C ．0.6 D ．0.487．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采取分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（ D ）A ．15，5，25B ．15，15，15C ．10，5，30D ．15，10，208.一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为40、0.125，则n 的值为( B )A.640B.320C.240D.160解析：∵n40=0.125，∴n =320.故选B. 答案：B9．设随机变量1~62X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则(3)P X =等于（ A ）A ．516B ．316C ．58D ．71610．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”，在进行第二步证明时，给出四种证法．正确的是( ) A.假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立； B.假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立； C.假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立； D.假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立．解析 ABC 中，k ＋1不一定表示奇数，只有D 中k 为奇数，k ＋2为奇数．答案 D 11．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为 ( A )解析：A 游戏盘的中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为222(2)4(2)4r r r ππ--=，D 游戏盘的中奖概率为221r r ππ= ，A 游戏盘的中奖概率最大． 12．正态分布2()N μσ，在下面几个区间内的取值概率依次为（ B ） ①(]33μσμσ-+， ②(]22μσμσ-+， ③(]μσμσ-+，Ａ．①68.3% ②95.4% ③99.7% Ｂ．①99.7% ②95.4% ③68.3% Ｃ．①68.3% ②99.7% ③95.4% Ｄ．①95.4%②68.3%③99.7%二、填空题（共4小题，每题4分共16分。

13高数A期末一真题与答案

第１页共2页淮海工学院12 – 13 学年第二学期高等数学A （2）期末试卷（A 卷）1．向量(1,1,0)a =，(0,1,1)b =-所成夹角为----------------------------（C ）（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π2．2(,)(2)tan(23)f x y x y x y =+-+，则(,2)xx f x =--------------------------------（B ）（A ）1 （B ）2 （C ）x （D ）x 2 3. 3sin xu e y z =-+在点(0,0,1)-处沿下列哪个方向的方向导数最大--------（D）（A ）)1,1,0(- （B ）(0,1,1)- （C ）(3,1,1)- （D ）(3,1,1)- 4．二次积分1ln 10(,)x edx f x y dy ⎰⎰的另一种积分次序为----------------------（B ）（A ） 011(,)ye dyf x y dx -⎰⎰（B ）011(,)y e dy f x y dx -⎰⎰（C ）1(,)ye dyf x y dx -⎰⎰（D ）011(,)y edy f x y dx -⎰⎰5．设L 为椭圆2251x y +=，其周长为l ，则()(5)Lx y x yd s ++=⎰----------------（B ）（A ） 5l （B ） l （C ）（D ） 5l6．若级数1(65)nn p ∞=-∑收敛，则p 的取值范围是------------------------------------------（B ）（A ）(,2-∞ （B ）(2 （C ）(1,32) （D ）(32,)+∞ 7．若幂级数21(4)n nn a x ∞+=-∑在7x =处条件收敛，则其收敛半径为-----------------（A ）（A ）3 （B ）9 （C ）11 （D ）1218．12xy C C e -=+是下列哪个微分方程的通解------------------------------------------（C ）（A ）0='-''y y （B ）0=-''y y （C ）0='+''y y （D ）0=+''y y二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 1．设(,)f u v 是二元可微函数，=(,)z f y x x y ，求+x y xz yz .解：21x u v y z f f x y =-+----------------------------------------------------------------------------2 21y u v xz f f x y=-----------------------------------------------------------------------------3故+0x y xz yz =.------------------------------------------------------------------------------22．求22xy De dxdy +⎰⎰D :2214x y ≤+≤.解: :02,12,D r θπ≤≤≤≤--------------------------------------------2 则原式2221r d e rdr πθ=⎰⎰----------------------------------------------22221r e dr π=⎰4()e e π=-.-----------------------------------------------------------33．设空间闭区域Ω{(,,)0x y z z =≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的内侧，用高斯公式计算3222()3()(1)xz dydz y z x dzdx z z dxdy ∑++-+-⎰⎰．解: 3222,3(),(1)P x z Q y z x R z z =+=-=---------------------------------------1Ω是半径为1的半球体 --------------------------------------------------------------------2 则原式()xyz Pdydz Qdzdx Rdxdy P QR dxdydz ∑Ω=++=-++⎰⎰⎰⎰⎰-------------2dv Ω=-⎰⎰⎰23π=-． ---------------------------------------------------------------24．求解微分方程111y y x x'-=++．解: 公式法， 11111[(1)]dx dx x x y e e dx C x-++⎰⎰=++⎰------------------------------------------3 ln(1)ln(1)1[(1)]x x e e dx C x+-+=++⎰------------------------------------------21(1)()x dx C x=++⎰(1)(ln )x x C =++．---------------------2第２页共2页三、计算题（本大题8分）设方程0132=--xz y z 确定了),(y x z z =，求（1）)1,0,1(-dz；（2）曲面),(y x z z =在点)1,0,1(-处的切平面方程. 解: 令1),,(32--=xz y z z y x F则1)1,0,1(=-x F ，1)1,0,1(=-y F ，3)1,0,1(-=-z F ---------------------------------2（1）=-)1,0,1(dz dx F F z x )1,0,1()1,0,1(---)(31)1,0,1()1,0,1(dy dx dy F F z y +=----------------------2（2）切平面的法向量 )311(-=，，n--------------------------------------------2 切平面方程为 0)1(3)1(=+-+-z y x .----------------------------------------2 四、计算题（本大题8分）和建制造，乐在共享。

复旦大学2012 ～2013学年《高等数学A上》第一学期期末考试试真题及答案

2yf (x) xf ( y)
三、设 f tan x 1 cos2 x sec2 x ，且 f 1 4 ，求 f x 。（ 6 ）
答案： f (x) arctan(x 1) x 1 (x 1)3 3 。 3
四、设
y
sin
x 0
x
2
，
y
a0
a
1与
x
0
所围面积为
A1
，
y
sin
x 0
1
答案： 0 1时发散； 1 时收敛。
八、证明：假设 f x 在 a, b 上有连续的二阶导数，又 f a f b， f a 0, f b 0 ，那么在 a,b 内，至少有一点，使得 f 0 。（10 ）
证：因为 f a f b，由 Rolle 定理知，在 a,b内至少有一点1 ，使得 f 1 0 。对 f x 分别
十、设 a
1 2 ， b 1
1 1
，
c
2 0
0 0 8
，
A
abT
，
B
bT a
，求解方程 2B2 A2 X
A4 X
B4 X
c。
（10 ）
复旦大学数学科学学院 2012～2013 学年第一学期期末考试试卷
□A 卷答案
MATH120005.04
一、求下列极限：（ 6 3 ）
1． lim 1
在 a,1 和 1,b上应用 Lagrange 中值定理，有
f (2 )
f
(1 ) 1
f a
(a)
f (a) 1 a
0
，2
(a,1) ，
f (3 )
f (b) f (1) b 1
f (b) b 1

高数(A卷)+答案+评分标准

武夷学院期末考试试卷（ 2012 级建设专业2012～2013 学年第一学期）课程名称高等数学 A 卷考试形式闭卷考核类型考试本试卷共四大题，卷面满分100分，答题时间120分钟。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分。

）(注:请将选项填在下面表格里。

）1、dx x)11(⎰-=A ．21x C x -+ B ．21x C x++ C ．ln ||x x C -+ D ．ln ||x x C ++ 2、以下函数奇偶性不同于其他三项的是（）A ．33)(x x x f +=；B ． )1)(1()(+-=x x x x f ；C ．35)(x x x f -=；D ． x x e e x f -+=)(。

3、若'F (x)=f(x),则⎰=)(x dF ( )A ．f(x)；B ．F(x)； C. f(x)+C ；D ．F(x)+C 。

4、3232lim x x x +∞→= ( )A ．∞；B ．0；C ．31； D ．-1。

5、设函数)(x f 在),(+∞-∞内二阶可导，且)()(x f x f -=如果当0>x 时，,0)('>x f 且,0)(">x f 则当0<x 时，曲线)(x f y =（）。

A ．递减，凸的； B.递减，凹的；C. 递增，凹的；D. 递增，凸的。

6、下列命题正确的是（）A. 驻点一定是极值点；B.驻点不是极值点；C. 驻点不一定是极值点；D. 驻点是函数的零点。

7、设22z x y xy =+，则zx ∂=∂A ．22xy y +B ．22x xy +C ．4xyD ．22x y +8、下面函数相同的一组是（） A.x y x y 2cos 1,sin -==； B. 2ln ,ln 2x y x y ==； C.x y x y lg 4,lg 4==； D.x x y y 23,3==。

2012-2013学年第一学期高数试卷A参考答案

2012-2013学年第一学期《高等数学》期末考试试卷A 参考答案适用专业：生物技术、社会工作、社会保障2012年级各1班本试卷共六大题， 100分一、填空题（每题3分，共15分）1.积分⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++1122111sin dx x x x x 2 2. 设函数22xy y x z +=，则=∂∂)1,1(x z 3 ，=∂∂)1,1(xz 3 . 3. 设参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin 1(t t y t t x 确定的函数)(x f y =.则==0t dx dy 0 . 4. 极限=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 21lim 2e 5. 函数)1ln(112-+-=x x y 的定义域为 x > 1二、选择题（每题3分，共15分）1. 关于函数6323+-=x x y 的极值点和极值的结论下面正确的是（ C ）A. 0极小值点，极小值为3B. 2是极大值点，极大值为2C. 0极大值点，极大值为6D. 2是极小值点，极小值为62. 设R x x x x f ∈+-=),1)(2()('则在区间()2,0内函数)(x f 是（ D ）A. 先增后减，拐点的横坐标为1B. 先增后减，拐点的横坐标为1.5C. 先减后增，拐点的横坐标为2D. 先减后增，拐点的横坐标为2.53. 由曲线2x y =与x y =所围成的图形的面积为（ C ） A 2 B 1 C 31 D 32 4.函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（ A ）。

A. 必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关的条件5. 若()()11-=-x x x f ，则()=x f （B ）A.()1+x xB.)2)(1(--x xC.()1-x xD.()12-x x三、计算题（共6小题，每题8分，）1若函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰020sin 1)(023x x dt mt x x f x 在0=x 连续，求 m 的值.解： 22002303sin lim sin 1lim x mx dt mt x x xx →→=⎰ ………………………………………….….4分 3m =…………………………………………………………………………………….…...6分由连续，则2)0(3==f m …………………………………………………………………7分则6=m ………………………………………………………………………………………8分2.计算定积分：I=x x x d ln 51e 1⎰+. 解：I=x x x d ln 51e 1⎰+ )(ln d )ln 51(e 1x x ⎰+=................................................................2分 )ln 51(d )ln 51(51e 1x x ++=⎰.....................................................4分 []e x 1ln 512151+⨯=......................................................................6分21= ....................................................................8分3. 计算广义积分：I=⎰+∞∞-++26102x x dx 解：原积分=⎰+∞∞-++1)5(2xdx ………………………………………………………………………3分 []+∞∞-+=)5arctan(x ………………………………………………………………………4分)5arctan(lim )5arctan(lim +-+=-∞→+∞→x x x x ……………………………………………6分 πππ=--=)2(2…………………………………………………………………………8分4.计算二重积分：I=⎰⎰D dxdy y x 22 ，其中D 是由曲线2,2==x x y 所围成的闭区域.解：积分区域D ：x y x ≤≤≤≤0,20……………………………………………………………2分⎰⎰D dxdy y x22⎰⎰=x dy y x dx 02220………………………………………………………………4分 ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2003231dx y x x ………………………………………………………………5分 ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=202731dx x ………………………………………………………………6分 20299231⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x ……………………………………………………………………7分 22732=……………………………………………………………………………8分5.已知)(x f 的一个原函数为x x sin ，计算I=⎰'dx x f x )(解：x x x x x x f cos sin )sin ()(+='=，…………………………………………………2分⎰⎰=')()(x xdf dx x f x ……………………………………………………………..5分⎰-=dx x f x xf )()(………………………………………………………………..7分C x x +=cos 2……………………………………………………………………….8分6.设方程0=+-yx e e xy 所确定的隐函数为)(x f y =，求其在当0=x 时的切线方程.解两边同时对x 求导，注意y 是x 的函数，所以y e 是x 的复合函数，可得 0=+-+dxdy e e dx dy xy y x …………………………………………3分解得 yx e x y e dx dy +-=. ………………………………………5分当0=x 时，0=y ………………………………………6分10==x dxdy………………………………………7分则切线方程为y = x ………………………………………8分五、证明不等式：（本题7分）0>x 时， x e x +>1.证明：令)1()(x e x f x+-=，则0)0(=f …………………………………………2分当0>x 时，01)(>-='xe xf …………………………………………………………………4分则在区间),0[+∞，上)(x f 单调递增，所以0)0()(=>f x f ，…………………………………6分即 x e x+>1 ………………………………………………………………………………7分六、应用题（本题15分）某化肥厂生产某类化肥，假设生产的产品都能销售出去，其总成本函数为 23()1000600.30.001C x x x x =+-+ (元)销售该产品的需求函数为 x =p 320800-(吨), p 为价格，x 为销售量，问销售量为多少时, 可获最大利润, 此时的价格为多少?解：设利润函数为)(x C xp y -=，203120x p -=………………………………………3分则)0(100060203001.0)001.03.0601000()203120()(2332>-++-=+-+--=-=x x x x x x x x x x C xp y …………………………8分令0='y ，即060103003.02=++-='x x y ………………………………………………12分解得200=x 为唯一驻点，由题意即为最大值点………………………………………………14分此时，价格90=p ………………………………………………15分。

2012——2013学年第一学期高二数学数学答案

长安一中2012---2013学年度第一学期期末考试高二数学试题答案及评分标准选择题：（共14小题，每小题5分，共70)BADCC, DADBA, AADD.填空题：（共6小题，每小题5分，共30分） 15. 3116．[)57, 17．)1,0()0,1(⋃- 18．819．3n a n = 20.1+）；解答题：(本大题共4小题，共50分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

)21．解：（Ⅰ）由图知2A =, 5288T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, ∴2ω= ……………3分∴22()sin()f x x ϕ=+ 又∵2)4sin(2)8(=+=ϕππf∴sin(ϕπ+4)=1, ∴ϕπ+4=ππk 22+, =4π+2k π,(k Z) ∵20πϕ<<,∴ =4π∴函数的解析式为()224sin f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()224sin f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴2222082()sin cos f x x x ππ⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭ ……………9分 22,x k ππ=+即()24k x k Z ππ=+∈ ∴函数8()y f x π=+的零点为()24k x k Z ππ=+∈ ……………12分 22．(文科）(本小题满分12分)解：（Ⅰ）2()32f x ax bx c '=++，由已知(0)(1)0f f ''==，即0320c a b c =⎧⎨++=⎩，，解得032c b a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，． …… 3分2()33f x ax ax '∴=-，13332422a a f ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，2a ∴=-，32()23f x x x ∴=-+． …… 6分（Ⅱ）令()f x x ≤，即32230x x x -+-≤， (21)(1)0x x x ∴--≥，102x ∴≤≤或1x ≥． ……9分又()f x x ≤在区间[]0m ，上恒成立，102m ∴<≤ …… 12分 22．(理科）解：ABCD ,,,平面⊥∴=⋂⊥⊥PA B BC AB BC PA PA AB , 如图建系，则)4,0,0(),0,2,0(),0,6,32(),0,0,32(),0,0,0(P D C B A …… 3分 A AC PA AC BD AP BD =⋂=⋅=⋅,0,0 , PAC BD 平面⊥∴． …… 6分（2）设平面PCD 的法向量为)1,,(y x n =，则0,0=⋅=⋅n PD n CD ，⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=--23340420432y x y y x …… 9分)1,2,32(-=∴n ．设平面PAC 的法向量为)0,2,32(-==BD m31933,cos =⋅⋅=n m n m n m ，所以平面APC 和平面DPC 夹角的余弦值为31933． …… 12分 23．(文科）解：(I)由已知得3423122(),a a a a q -=-=故()1q ≠ 11122n n a a ==因，所以 ……………6分 (II)当1n =时111a b =，12b =因为112221n n a b a b a b n +++=-当n ≥2时112211211()n n a b a b a b n --+++=--两式相减得2n n a b =，得12n n b +=.()()12122n n n b n +⎧=⎪=⎨≥⎪⎩ ……………10分 226n n S +=-()n N *∈ ……………13分23．(理科）解：（I ）),2(2*11N n n a a a n n n ∈≥+=-+}{n a ∴是等差数列又43,4121==a a 41221)1(41-=⋅-+=∴n n a n ……………… 2分 ),2(331*1N n n n b b n n ∈≥+=- )412(31121231412313111--=--=+-++=-∴++n b n b n n b a b n n n n n )(31n n a b -= …………………… 5分又041111≠-=-b a b 41}{1--∴b a b n n 是为首项，以31为公比的等比数列 ……………… 6分（II ）412,)31()41(11-=⋅-=--n a b a b n n n n 412)31()41(11-+⋅-=∴-n b b n n 当211)31)(41(3221,2----=-≥n n n b b b n 时又01<b 01>-∴-n n b b }{n b ∴是单调递增数列 ……………… 9分（III ）3=n 当且仅当时,取最小值n S⎩⎨⎧><∴0043b b ………………………………10分即,0)31)(41(470)31)(41(453121⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+b b ………………………………12分)11,47(1--∈∴b …………………… 13分24.解：（Ⅰ）点A 代入圆C 方程，得2(3)15m -+=．∵m ＜3，∴m ＝1． ……………… 2分圆C ：22(1)5x y -+=．设直线PF1的斜率为k ，则PF1：(4)4y k x =-+，即440kx y k --+=．∵直线PF1与圆C=．解得111,22k k ==或． ……………… 4分当k ＝112时，直线PF1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF1与x 轴的交点横坐标为－4， ∴c ＝4．F1（－4，0），F2（4，0）．2a ＝AF1＋AF2＝+=，a =，a2＝18，b2＝2．椭圆E 的方程为：221182x y +=． ……………… 7分（Ⅱ）(1,3)AP =，设Q （x ，y ），(3,1)AQ x y =--，(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-． ……………… 9分 ∵221182x y +=，即22(3)18x y +=，而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥，∴－18≤6xy ≤18．则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]． 3x y +的取值范围是[－6，6]．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是[－12，0]． ……………… 13分。

2012-2013-第一学期高等数学试卷-A--解答与评分标准1

诚信
保证
班
级
：
学
号
：
姓
名
：
装
订
线
编号：
西北工业大学考试试题（卷）
2012－2013学年第一学期
开课学院：理学院课程：高等数学学时：96
考试日期： 2013年1月16日考试时间：2小时考试形式(闭) (A)卷
本人知晓我校考场规则和违纪处分条例的有关规定，保证遵守考场规则，诚实做人。本人签名：
题号
又（5分）
所以（6分）
共6页第3页
西北工业大学命题专用纸
四、计算题（每小题6分，共18分）
1、计算
解（3分）
（5分）
（6分）
2、计算
解（2分）
（5分）
因此（6分）
3、已知，求
解（2分）
，（4分）
（6分）
共6页第4页
西北工业大学命题专用纸
五（7分）证明方程在区间内有且只有一个实根。
共6页第2页
西北工业大学命题专用纸
三、计算题（每小题6分，共18分）
1、已知，试确定待定常数和的值。
解由条件知（3分）
所以（5分）
因此，（6分）
2、计算
解法1
（3分）（5分）（6分）
解法2
因为（4分）
又
所以根据夹逼原理，（6分）
3、设在上连续，且，试求
解因为在上连续，所以（2分）
共6页第5页
西北工业大学命题专用纸
七、（8分）设平面点集的面积为，平面点集
的面积为。试确定的值，使。
解曲线与的交点为，
曲线与的交点为，与的交点为。

高等数学试卷A上2012

复旦大学数学科学学院2012～2013学年第一学期期末考试试卷A 卷数学科学学院1.设函数 )(x f y =由方程1=-+xy ey x 确定，求二阶导数)0(f '' ;2.计算⎰+++dx x x x 54642;3.计算⎰+∞+12211dx x x ;4.求x x dtxt x x sin tan )1ln(lim 00-+⎰→.二. （本题共24分，每小题6分）1.求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=2311112313522231A 的秩;2.设矩阵B ,A 满足B 3A AB +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=120210002A ，求矩阵B ;3.设A 是一个43⨯的矩阵，2)A (rank =，方程组b A =x 有三个特解T )3(T )2(T )1(1)3,2,(1,4)3,1,(2,3)2,1,(1,-=-=-=x ,x ,x ,求方程组b A =x 的通解。

4.设=)(x f 81212sin 41111sin 21010sin 842xx xe x e x e x ，求)0(f '的值。

三. （本题8分）（1）求极限()3233231212lim++--+-++∞→x x x x x x x 。

四. （本题10分）讨论方程a xex =-的根的个数。

五. （本题10分）设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.93,3,4321321321x bx x x bx x x x ax ，问b a ,为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？有无穷多解时请求出其通解。

六. （本题10分）设A 是一个三阶实对称阵，其特征值为3,1,1，对应于特征值3=λ的特征向量为T)0,1,1(-。

（1）求矩阵A ；（2）设3R 上的线性变换A 由Ax x =)(A 所确定，求A 在基T )0,0,1(，T )0,1,1(，T )1,1,1(下的表示矩阵B ，问A 与B 是否相似，为什么？七. （本题8分）平面图形D 由曲线2,1,2y ==-=y x x 所围，将上述图形D 绕轴1=x 旋转一周得到一个旋转体，求此旋转体的体积和表面积。

2012-2013(秋)高等数学(A)期中考试试题解答

2012-2013(秋)高等数学(A)期中考试试题解答22012-2013（秋）高等数学(A)上期中考试试题解答一、判断题（本题满分10分，共有5道小题，每道小题2分，请将对或错填在括号中）． 1. 若数列{}nx 有界，则lim →∞nn x 存在（错）． 2. 设()10f x <，且2lim ()x f x →存在，则2lim ()10x f x →≤（对）．３.若(2)(2)(2)2f g g ''===，则2(()4x df g x dx==（对）．４. 如果5y x =，则0dy >（错）．５.若当0x ≥时有，(0)0,()0f f x '''=>，则当()f x 在[0,)+∞上单调增（对）．二、选择题（每题3分，共15分）1．以下条件中（ A ）不是函数()f x 在0x 处连续的充分条件.(A)()()000lim lim x x x x f x f x →+→-= (B) ()()0lim x x f x f x →=(C)()'f x 存在 (D)()f x 在0x 可微2．以下条件中（ B ）是函数()f x 在0x 处有导数的必要且充分条件.(A)()f x 在0x 处连续 (B)()f x 在0x 处可微分(C)()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆存在 (D) ()0'lim x x fx →存在3． 1x =是函数()1sin x f x xπ-=的( A )间断点. (A)可去 (B)跳跃 (C)无穷 (D)振荡4．设函数()f x 在闭区间[]0,1 上()0f x ''>,那么(0),(1),(1)(0),(0)(1)f f f f f f '--几个数的大小顺序为( B ). (A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-． (B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->． (C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->>． (D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->．5．设()()[]2x x f ψ='，其中()x ψ在()∞+∞-，上恒为正值，其导数()x ψ'为单调减少函数，且()00='x ψ，则( D )．()A ()0x f 是()x f 在()∞+∞-，上的最小值； ()Bx x =是函数()x f 的极大值点；()C 曲线()x f y =在()∞+∞-，上是凹的()D 曲线()x f y =在点()()00x f x ，处有拐点．三、填空题（每题3分，共15分）解：()()()()()()()3332220ln 1sin sin sin sin sin sin 1limlimsin cos 1cos sin 12limlim 336lim 1sin sin sin .x x x x x x x x xx x x x x x xx x x eeeee →→→→+--→-+-=====2240cos e 4.limx x x x -→-24424440111111()1()2!4!2!2!4lim x x x o x x x o x x→⎡⎤⎡⎤-++--++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=121)(!241!41lim 4440-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=→x x o x x ．五、计算(本题满分16分，每小题4分)1. ()ln tan cos ln tan 2x y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,求'y .解:()22'sec sec 2sin ln tan cos tan 2tan 2xx y x x xx x =+- =()sin ln tan x x . 2.()y y x =是参数方程2ln 1arctan x t y t⎧⎪=+⎨=⎪⎩确定的函数,求22d y dx .解:221111dy dy dt t dx t dx t dt t +===+22222231111111dy d d d d y dt t t dx t t dx dx dx dx dt dx t t t t dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭====-=-=-.3. 设函数()()()ln 00,0xx e x f x a ax ⎧+>⎪=>⎨≤⎪⎩问a 取何值时()'0f 存在?解:显然()f x 在0处连续.又因为()()'10;0ln +-'==ff a e.由1ln a e=,得1ea e =.4．设xy x e -=,求()(0)n y解：(1)x x x y e xe x e ---'=-=-, (1)(2)x x xy e x e x e ---''=---=--,()1(1)()n n xy n x e --=--, ()1(0)(1)n n yn-=-⋅六、（8分）证明: 当0x >时有xeex ≥,且仅当x e =时成立等式.证明:令()ln f x x e x =-,则()'1e f x x=-,所以()0,x e ∈时,()f x 严格下降; (),x e ∈+∞时,()f x 严格上升.而()0f e =.所以0x >时,ln x e x≥,且仅当x e =时成立等式.所以当0x >时有x ee x ≥,且仅当x e =时成立等式.七、（10分）求数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛nn 322的最大项() ，，，321=n ．（已知41.05.1ln ≈）解：设()xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛⋅=322 ()+∞<≤x 1，则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅='23ln 232x x x f x，令()0='x f ，得()x f 在()1+∞，内的唯一驻点为9.423ln 20≈=x当23ln 21<≤x 时，()0>'x f ；当x <23ln 2时，()0<'x f ．所以23ln 20=x 是函数()xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛⋅=322在区间()+∞<≤x 1上的极大值点，也是最大值点．由于59.423ln 240<≈=<x ，且()44232163244⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=f ，()()4323503255452f f >⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=，所以数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛nn 322的最大项为()2438005=f ．八、(6分 ) 设函数()f x 在区间[],a b 上连续,在区间(),a b 内有二阶导数.如果()()f a f b =且存在(),c a b ∈使得()()f c f a >,证明在(),a b 内至少有一点ξ使得()"0f ξ<.证明:由中值定理,()()()()'1f c f a f c a ξ-=-,()()()()'2f b f c f b c ξ-=-,所以()()''120f f ξξ>>.再由中值定理, ()()()()''"2121f f f ξξξξξ-=-,而且()"0f ξ<.九、（本题满分4分）设函数()x f 在闭区间[]a b ，上二阶可导，且()()f a f b =，证明：存在(),,a b ξ∈使得()()'"2009.f f b ξξξ=-证明：由()()f a f b =，根据罗尔定理得存在(),c a b ∈，使得()'0.f c =构造辅助函数()()()2009',g x fx b x =-它在区间[],c b 上满足罗尔定理的条件，故存在(),,c b ξ∈使得()()()()()20092008'"'20090,g f b f b ξξξξξ=---=所以()()'"2009.f f b ξξξ=-。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2．设
y esin x ，则微分 dy =
e x 1 e 1
1 x 1
2
.
3．设函数 f x
, 则 x 0 是 f ( x) 的第
类间断点.
4. 设未知向量 x 与向量 a 2i j 2k 共线，且满足 a x = 18 ,
则向量 x
5．已知常数 a 0 , 则反常积分
5. 已知函数 f ( x) 具有任意阶导数, 且 f x f x , 则当 n 为大于 2 的正整
数时,
f n x 是【
n 1
】.
(A) n f x
；
(B) n ! f x
n 1
；
(C) f x ； (D) n ! f x .
】．
（A）无穷大；（C）无穷小；
2. lim(1 2 x) 【
x 0 1 x
（A） e2 ；
1
考生诚信承诺 1．本人清楚学校关于考试管理、考场规则、考试作弊处理的规定，并严格遵照执行。 2．本人承诺在考试过程中没有作弊行为，所做试卷的内容真实可信。学院：班级：学号：姓名：
4. 若在区间 (a, b) 内，函数 f ( x) 的一阶导数 f ( x) 0 ，二阶导数 f ( x) 0 ，则函
数 f ( x) 在区间 (a, b) 内【
】．（B）单调减少, 曲线 y f ( x) 是凸的; （D）单调增加, 曲线 y f ( x) 是凸的.
2
（A）单调减少, 曲线 y f ( x) 是凹的; （C）单调增加, 曲线 y f ( x) 是凹的;
间 0 ,1 内至少存在一点，使得 f ( ) 0 .
6
.

0
Hale Waihona Puke xe a x dx .
二、单项选择题（本题共有 5 道小题，每小题 3 分，满分 15 分，请将所选答案填在括号内）.
1. 若 lim
x x0
f ( x) A （ A 为常数），则当 x x0 时，函数 f ( x) A 是【
（B）无界，但非无穷大；（D）有界，而未必为无穷小. 】．（B） e 2 ；（C） 0 ；（D） 1 ．
l2 : x 2 y z 1 , 试求此平面方程. 2 1 0
x 1 y 1 z 2 , 且平行于直线 1 2 1
五、（本题满分 10 分）证明：当 x 0 时，恒有 e x 1 x 1 cos x 成立.
4
2 x 2 (1 cos x)，六、（本题满分 12 分）设函数 f ( x) 1， 1 x cos t 2 dt， x 0
试讨论 f ( x) 在 x 0 处的连续性与可导性, 并求 f x .
x 0, x 0, x 0.
七、（本题满分 12 分）设函数 f ( x) 在闭区间 [0,1] 上连续, 在开区间 0,1 内大于零, 并满足
x f x f x 3 a , x 0 ，(a 为常数), 又曲线 y f ( x) 与 x 1 ， x2 2
3. 设函数 f x 的导函数 f x 连续,下列等式中，【
】是正确的．
（A） f ( x)dx f ( x) ；（C）
d f ( x)dx f ( x) ； dx
（B） f (2 x)dx f (2 x) C ,( C 为任意常数)；（D）
d f (2 x) dx f (2 x) C ,( C 为任意常数). dx
y 0 所围成的图形 S 的面积值为 2 , 求函数 y f ( x) ，并问 a 为何值时，图形 S
绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积最小?
5
学院：
班级：
学号：
姓名：
八、（本题满分 6 分）已知函数 f ( x) 具有二阶导数，且 lim
x 0
f ( x) 0 ， f (1) 0 ，试证在区 x
中国农业大学 2012 ~2013 学年秋季学期（2013.01 ）高等数学 A（上）
题号得分一二三四五
课程考试试题
六七八总分
（注意：本试卷共有八道大题，满分 100 分，考试时间 100 分钟）
一、填空题（本题共有 5 道小题，每小题 3 分，满分 15 分），请将合适的答案填在横线上. 1 x 2 sin x= 1. lim . x 0 sin x
3. 求不定积分 x cos2 x dx .
4. 计算积分
2
0
1 , x 0, x 1 . f x 1 dx , 其中 f x 1 , x 0. 1 e x
3
学院：
班级：
学号：
姓名：
四、（本题满分 10 分）一平面含有直线 l1 :
2n 2n
三、求解下列各题（本题共有 4 道小题，每小题 5 分，满分 20 分）.
1. 求极限 lim
x 0
(1 ax) 1 , 其中 a 0, n 为自然数. x
1 n
2
2. 设
x t sin t dy d 2 y , 求和 2. dx dx y 1 cos t