立体几何中线面平行的经典方法+经典习题(附详细解答

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F

高中立体几何证明平行的专题

(基本方法)

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：

(1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。(4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等

等。

(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质

1棱则易

证2、AB 过A ADE

沿

3、

M 为4角梯

形,分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形

(2)利用三角形中位线的性质

5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。

分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。求证：PA ∥7D 为AC

8

BAD ∠是平行四边形； 四点是否共面？为什么？

（.39为正方形ABCD 的中心，BB 1的10 A

B C

D E

F

G M

求证：AE ∥平面PBC ；

分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形

11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠?ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ; 二

（I ACB ∠在ABCD 中，又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM//平面AB 。

(4)利用对应线段成比例

12、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一

点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，

且

SM

AM =ND

BN ，

求证：MN ∥平面SDC

分析：过M 作ME//AD ，过N 作NF//AD 利用相似比易证MNFE 是平行四边形

13上的

(5)1490，PB=BC=CA ，E 为2FP =1A B C D 2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四

面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是 A ．0B ．1 C ．2D ．3

3．直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（） A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b c D ．//,a b ααβ=

4．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是（）A．α内的所有直线与m异面B．α内不存在与m平行的直线C．α内存在唯一的直线与m平行D．α内的直线与m都相交5．下列命题中，假命题的个数是（）

①一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任

过b

6

A．

C．

7，

平

8．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是

①②

③

④9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1

中点，则BD 1和平

面ACE 位置关系是．

10.是AC

11.1中，E ，M ，（1平面

EB 1D 1．2．3．C

【提示】//,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b αα

β=则//a b 或,a b 异面，所以

D

错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确.

4．B

【提示】若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则直线m于平面α相交，α内不存在与m平行的直线.

5．B

【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平

6.

7

CD于F E，

ABD.

故AB//面MNP,对于②④，过AB找一个平面与平面MNP相交，AB 与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP.

9．平行

，OEC平面ACE，【提示】连接BD交AC于O，连OE，∴OE∥BD

1

∴BD 1

∥平面ACE.

三、解答题

10.证明：设1

AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1

AB 中点，

D

为AC 中点，∴PD//C B 1

.

又 PD ⊂平面B A 1

D ，∴C B 1

//平面B A 1

D

11.

又 （2 E 是AC 1⊄BB 1中1

1//面

EB 1D （3）因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH 因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH ，所以EB 1//DG

又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形.所以BD//B 1D 1.

BD⋂DG=G，∴面EB1D1//面BDG