北师大版八年级数学上册第一单元练习题
北师大版初中数学八年级上册第一章综合测试试卷-含答案02
第一章综合测试一、选择题（每题4分，共40分）1.观察下列各组数：①7，24，25；②9，16，25；③8，15，17；④12，15，20.其中能作为直角三角形边长的组数为（ ） A .4B .3C .2D .12.若正整数a ，b ，c 是直角三角形三边，则下列各组数一定还是直角三角形三边的是（ ） A .1a +，1b +，1c + B .2a ，2b ，2c C .2a ，2b ，2cD .1a −，1b −，1c −3.如果三条线段a 、b 、c 满足()()2a c b c b =+−，那么这三条线段组成的三角形是（ ） A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形D .不能确定4.如图，在ABC △中，6AB =，10AC =，BC 边上的中线4AD =，则ABC △的面积为（ ）A .30B .24C .20D .485.如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，则ab 的值是（ ）A .4B .6C .8D .106.如图的阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个大正方形，则阴影部分的面积是（ ）A .16B .25C .144D .1697.将一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的（ ） A .4倍 B .2倍 C .不变D .无法确定8.如图，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.9米，则梯子顶端A 下落了（ ）A .0.9米B .1.3米C .1.5米D .2米9.如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，以AC 为直径的圆恰好过点B ，8AB =，6BC =，则阴影部分的面积是（ ）A .10024π−B .10048π−C .2524π−D .2548π−10.有两棵树，一棵高10m ，另一棵高4m ，两树相距8m .一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ） A .8m B .10m C .12mD .14m二.填空题（每题4分，共20分）11.如图，已知90C ∠=︒，12AB =，3BC =，4CD =，13AD =，则ABD ∠=________.12.已知ABC △的三边的长分别是5AB =、4BC =、3AC =，那么C ∠=________. 13.如图，一根长20cm 的吸管置于底面直径为9cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度最短是________cm .14.如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a ，较长的直角边长为b ，那么a b +的值为________.15.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O .若2AD =，4BC =，则22AB CD +=________.三.解答题（每题8分，共40分）16.如图，CD 是ABC △的中线，CE 是ABC △的高，若9AC =，12BC =，15AB =. （1）求CD 的长. （2）求DE 的长.17.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C 处，过了2秒后，小汽车行驶到B 处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米. （1）求BC 的长；（2）这辆小汽车超速了吗？18.如图所示，已知ABC △中，CD AB ⊥于D ，4AC =，3BC =，95DB =. （1）求CD 的长； （2）求AD 的长；（3）求证：ABC △是直角三角形.19.已知：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，设ABC △的面积为S ，周长为l . （1）填表：（2）如果a b c m +−=，观察上表猜想：SL=________（用含有m 的代数式表示）. （3）证明（2）中的结论.20.观察、思考与验证.（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式________；（2）如图2所示，90B D ∠=∠=︒，且B ，C ，D 在同一直线上.试说明：90ACE ∠=︒； （3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程.第一章综合测试 答案解析一． 1．【答案】C【解析】解：①72242252625+==，∴能作为直角三角形边长； ②92162337252625+=≠=，∴不能作为直角三角形边长； ③82152172289+==，∴能作为直角三角形边长；④122152369202400+=≠=，∴不能作为直角三角形边长． 其中能作为直角三角形边长的组数为2． 故选：C ． 2．【答案】C【解析】解：222a b c +=，()()()222222a b c ∴+=也成立，其它三个不成立，故选：C ． 3．【答案】C【解析】解：()()2a c b c b =+−，222a c b ∴=−， 222a b c ∴+=，∴这三条线段组成的三角形是直角三角形． 故选：C ． 4．【答案】B【解析】解：延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ， ∵D 为BC 的中点， ∴DC BD =，在ADB △与EDC △中，AD DE ADB EDC CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADB EDC SAS ∴△≌△，6CE AB ∴==．又28AE AD ==，6AB CE ==，10AC =，222AC AE CE ∴=+，90E ∴∠=︒，则11682422ABC ACE S S CE AE ==⋅=⨯⨯=△△． 故选：B ．5．【答案】A【解析】解：由题意得：大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，即229a b +=，a-b=1，所以11[(22)()2](91)422ab a b a b =+−−=−=，即4ab =． 解法2，4个三角形的面积和为918−=； 每个三角形的面积为2； 则122ab =； 所以4ab = 故选：A ． 6．【答案】B【解析】解：两个阴影正方形的面积和为13212225−=． 故选：B ． 7．【答案】B【解析】解：设两直角边分别为a 、b ，由勾股定理得，斜边=扩大后的直角三角形的斜边= 故选：B ． 8．【答案】B【解析】解：在Rt ACB △中，222 6.25 2.254AC AB BC =−=−=，2AC ∴=，答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
北师大版八年级上册数学第一单元测试题含答案
勾股定理单元测试题一．选择题（共10小题，每小题3分）1．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．642．Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为（）A．8 B．4 C．6 D．无法计算3．已知x、y为正数，且|x2﹣4|+（y2﹣3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A．5 B．25 C．7 D．154．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A．13 B．8 C．25 D．645．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B 与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（）A．4 B．3 C．5 D．4.57．△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A．42 B．32 C．42或32 D．不能确定8．在Rt△ABC中，∠C=90°，C为斜边，a，b为直角边，a+b=14，c=10，则Rt△ABC面积为（）A．24 B．36 C．48 D．609．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（）A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.810．如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（）A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm二．选择题（共10小题，每小题3分）11．如图，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，则以AB为边长的正方形面积为．12．等腰△ABC中，AB=AC=5，△ABC的面积为10，则BC=．13．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为．14．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b）2的值为．15．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍放入（填“能”或“不能”）．16．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．17．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为．18．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=9，S2=4，S3=8，S4=10，则S=．19．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为．20．已知a、b、c是△ABC的三边长，若|a﹣b|+|a2+b2﹣c2|=0，则△ABC是．三．解答题（共10小题，每小题6分）21．如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．22．在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，试求△ABC周长．23．如图，已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？24．如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？25．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）26．如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F 处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．27．已知等腰三角形ABC的底边长BC=20cm，D是AC上的一点，且BD=16cm，CD=12cm．（1）求证：BD⊥AC；（2）求△ABC的面积．28．如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）29．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，速度为每秒2个单位长度．（1）填空：当t=时，△CBD是直角三角形；（2）若△CBD是等腰三角形，求t的值．30．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，截面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺，如下图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？2017年03月08日dxzxshuxue的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016秋•槐荫区期末）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．64【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2=225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2=289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2=PQ2+QR2，∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，则正方形QMNR的面积为64．故选D．【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．2．（2016春•沧州期末）Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为（）A．8 B．4 C．6 D．无法计算【分析】利用勾股定理将AB2+AC2转化为BC2，再求值．【解答】解：∵Rt△ABC中，BC为斜边，∴AB2+AC2=BC2，∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×22=8．故选A．【点评】本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键．3．（2016春•赵县期末）已知x、y为正数，且|x2﹣4|+（y2﹣3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A．5 B．25 C．7 D．15【分析】本题可根据“两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0”解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积．【解答】解：依题意得：x2﹣4=0，y2﹣3=0，∴x=2，y=，斜边长==，所以正方形的面积=（）2=7．故选C．【点评】本题综合考查了勾股定理与非负数，解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．4．（2016春•石家庄期末）等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A．13 B．8 C．25 D．64【分析】先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．【解答】解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2=102，解得：x=8．故选B．【点评】本题考点：等腰三角形底边上高的性质和勾股定理，等腰三角形底边上的高所在直线为底边的中垂线．然后根据勾股定理即可求出底边上高的长度．5．（2016春•阿荣旗期末）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．∴BE=9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．∴△ABE的面积为3×4÷2=6．故选C．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．6．（2016春•潮南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（）A．4 B．3 C．5 D．4.5【分析】根据Rt△ABC中，∠C=90°，可证BC是△DAB的高，然后利用三角形面积公式求出BC的长，再利用勾股定理即可求出DC的长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴BC⊥AC，即BC是△DAB的高，∵△DAB的面积为10，DA=5，∴DA•BC=10，∴BC=4，∴CD===3．故选B．【点评】此题主要考查学生对勾股定理和三角形面积的理解和掌握，此题的突破点是利用三角形面积公式求出BC的长．7．（2016春•谷城县期末）△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长是（）A．42 B．32 C．42或32 D．不能确定【分析】本题应分两种情况进行讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为：15+13+14=42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5，∴BC=9﹣5=4．∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．综上所述，△ABC的周长是42或32．故选：C．【点评】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．8．（2016秋•宜宾期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，C为斜边，a，b为直角边，a+b=14，c=10，则Rt△ABC面积为（）A．24 B．36 C．48 D．60【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与c的值代入求出ab的值，即可确定出直角三角形的面积．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14，c=10，∴由勾股定理得：a2+b2=c2，即（a+b）2﹣2ab=c2=100，∴196﹣2ab=100，即ab=48，则Rt△ABC的面积为ab=24．故选：A．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．9．（2016秋•滕州市期末）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（）A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8【分析】首先在直角三角形ABC中计算出CB长，再由题意可得EC长，再次在直角三角形EDC中计算出DC长，从而可得AD的长度．【解答】解：∵AB=2.5米，AC=0.7米，∴BC==2.4（米），∵梯子的顶部下滑0.4米，∴BE=0.4米，∴EC=BC﹣0.4=2米，∴DC==1.5米．∴梯子的底部向外滑出AD=1.5﹣0.7=0.8（米）．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．10．（2016春•安达市期末）如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（）A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解答】解：将长方体展开，连接A、B′，则AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm，根据两点之间线段最短，AB′==10cm．故选C．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．二．选择题（共10小题）11．（2016•岳池县模拟）如图，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，则以AB为边长的正方形面积为25．【分析】根据勾股定理求出AB，根据正方形的面积公式求出即可．【解答】解：由勾股定理得：AB==5，所以以AB为边长的正方形的面积为52=25，故答案为：25．【点评】本题考查了勾股定理的应用，能根据勾股定理求出AB的长是解此题的关键．12．（2016•南岗区模拟）等腰△ABC中，AB=AC=5，△ABC的面积为10，则BC= 2或4．【分析】作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，由三角形的面积求出CD，由勾股定理求出AD；分两种情况：①等腰△ABC为锐角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可；②等腰△ABC为钝角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可．【解答】解：作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，△ABC的面积=AB•CD=×5×CD=10，解得：CD=4，∴AD===3；分两种情况：①等腰△ABC为锐角三角形时，如图1所示：BD=AB﹣AD=2，∴BC===2；②等腰△ABC为钝角三角形时，如图2所示：BD=AB+AD=8，∴BD===4；综上所述：BC的长为2或4；故答案为：2或4．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式及勾股定理，解题的关键画出图形，分两种情况讨论．13．（2016•道外区二模）已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为10或90．【分析】根据题意作出图形分为高线在三角形内和高线在三角形外两种情况，然后根据勾股定理计算求解即可．【解答】解：由题意可作图．如图1，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD==4，∴BD=1．∴BC2=12+32=10．如图2，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD==4，∴BD=9，∴BC2=92+32=90．故答案是：10或90．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，作出图形利用三角形知识求解即可．注意：需要分类讨论．14．（2016•黄冈校级自主招生）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b）2的值为25．【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2=13，四个直角三角形的面积是：ab×4=13﹣1=12，即：2ab=12则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．故答案是：25．【点评】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．15．（2016•黔东南州一模）如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍能放入（填“能”或“不能”）．【分析】在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较．【解答】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．故答案是：能．【点评】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．16．（2016•富阳市模拟）长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．【分析】蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．【解答】解：如图所示，路径一：AB==13；路径二：AB==；路径三：AB==；∵＞13＞，∴cm为最短路径．【点评】此题关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度．17．（2016秋•高新区期末）直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为．【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边上的高．【解答】解：设斜边长为c，高为h．由勾股定理可得：c2=32+42，则c=5，直角三角形面积S=×3×4=×c×h可得h=，故答案为：．【点评】本题考查了利用勾股定理求直角三角形的边长及利用面积法求直角三角形的高，是解此类题目常用的方法．18．（2016春•建昌县期末）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=9，S2=4，S3=8，S4=10，则S=31．【分析】利用勾股定理，根据图形得到S1+S2+S3+S4=S，求出即可．【解答】解：∵所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，∴S=S1+S2+S3+S4=9+4+8+10=31，故答案为：31．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．19．（2016秋•槐荫区期末）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A 出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为2．【分析】将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长．【解答】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，AB==2，故答案为：2．【点评】此题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理，熟练求出AB的长是解本题的关键．20．（2016秋•沈丘县期末）已知a、b、c是△ABC的三边长，若|a﹣b|+|a2+b2﹣c2|=0，则△ABC是等腰直角三角形．【分析】首先根据题意由非负数的性质可得：a﹣b=0，a2+b2﹣c2=0，进而得到a=b，a2+b2=c2，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形．【解答】解：∵|a﹣b|+|a2+b2﹣c2|=0，∴a﹣b=0，a2+b2﹣c2=0，解得：a=b，a2+b2=c2，∴△ABC是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．三．选择题（共9小题）21．（2016春•沧州期末）如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积．【分析】连接AC ，在直角三角形ABC 中，由AB 及BC 的长，利用勾股定理求出AC 的长，再由AD 及CD 的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD 为直角三角形，根据四边形ABCD 的面积=直角三角形ABC 的面积+直角三角形ACD 的面积，即可求出四边形的面积．【解答】解：连接AC ，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC 为直角三角形，又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：AC==5， 又∵CD=12，AD=13，∴AD 2=132=169，CD 2+AC 2=122+52=144+25=169，∴CD 2+AC 2=AD 2，∴△ACD 为直角三角形，∠ACD=90°，则S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =AB•BC +AC•CD=×3×4+×5×12=36．故四边形ABCD 的面积是36．【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．22．（2016春•江西期末）在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，试求△ABC周长．【分析】本题应分两种情况进行讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为：15+13+14=42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9．在Rt△ACD中，CD===5∴BC=9﹣5=4∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．【点评】在解本题时应分两种情况进行讨论，在求解过程中应注意防止漏解．23．（2016春•漯河校级月考）如图，已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：如图：根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图（1）AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；（3分）（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图（2）AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；（2分）（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图（3）AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；（2分）综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm．（1分）【点评】将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．24．（2016春•柳江县期末）如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．【解答】解：连接BD，在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，在△CBD中，CD2=132，BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°，S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=•AD•AB+DB•BC，=×4×3+×12×5=36．所以需费用36×200=7200（元）．【点评】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．25．（2016春•自贡期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．【解答】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．26．（2016春•澄城县期末）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．【分析】要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，首先要把两个点展开到一个平面内，然后分析展开图形中的数据，根据勾股定理即可求解．【解答】解：将曲面沿AB展开，如图所示，过C作CE⊥AB于E，在Rt△CEF中，∠CEF=90°，EF=18﹣1﹣1=16（cm），CE=×60=30（cm），由勾股定理，得CF==34（cm）．答：蜘蛛所走的最短路线是34cm．【点评】由于蜘蛛与苍绳均属于玻璃容器的外侧，因而蜘蛛不能直接到达点F，需沿侧面爬行．为此，可将曲面沿AB展开，显然蜘蛛所走的最短的路线即为线段CF，从而可构造直角三角形，用勾股定理求出CF的长．27．（2016春•云梦县期中）已知等腰三角形ABC的底边长BC=20cm，D是AC上的一点，且BD=16cm，CD=12cm．（1）求证：BD⊥AC；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）首先根据BD、CD、BC长可利用勾股定理逆定理证明BD⊥AC；（2）设AD=xcm，则AC=（x+12 ）cm，在Rt△ABD中，利用勾股定理列出方程求解即可得到AB，进一步得到AC，再利用AC和AC边上的高列式计算即可得解．【解答】（1）证明：∵122+162=202，∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形，∴BD⊥AC；（2）解：设AD=xcm，则AC=（x+12 ）cm，∵AB=AC，∴AB═（x+12 ）cm，在Rt△ABD中：AB2=AD2+BD2，∴（x+12）2=162+x2，解得x=，∴AC=+12=cm，∴△ABC的面积S=BD•AC=×16×=cm2．【点评】本题考查了勾股定理逆定理，勾股定理的应用，熟记两个定理并判断出△BCD是直角三角形，然后求出AB的长是解题的关键．28．（2016春•红安县期中）如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）【分析】此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．【解答】证明：∵，∴（a+b）（a+b）=2ab+c2，∴a2+2ab+b2=2ab+c2，∴a2+b2=c2．【点评】本题考查了勾股定理的证明．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．29．（2016秋•宛城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，速度为每秒2个单位长度．（1）填空：当t= 4.5或12.5秒时，△CBD是直角三角形；（2）若△CBD是等腰三角形，求t的值．【分析】（1）根据CD=速度×时间，得到CD，利用勾股定理列式求出AC，再分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；（2）分①CD=BC时，CD=15；②CD=BD时，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质可求CD；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF；依此解答．【解答】解：（1）CD=2t，∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，∴AC==25，AD=AC﹣CD=25﹣2t；①∠CDB=90°时，S=AC•BD=AB•BC，△ABC即×25BD=×20×15，解得BD=12，∴CD==9，t=9÷2=4.5；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，t=25÷2=2.5．综上所述，t=4.5或12.5秒时，△CBD是直角三角形（2）①CD=BC时，CD=15，t=15÷2=7.5；②CD=BD时，∠C=∠DBC，∵∠C+∠A=∠DBC+∠DBA=90°，∴∠A=∠DBA，∴BD=AD，∴CD=AD=AC=12.5，∴t=12.5÷2=6.25；③BD=BC时，如图，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF；则CF=DF，∵BF=12，∴CF==9，∴CD=2CF=9×2=18，∴t=18÷2=9．综上所述，t=6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形．故答案为：4.5或12.5秒．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．四．解答题（共1小题）30．（2016秋•泰兴市校级期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，截面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺，如下图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答即可．【解答】．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+2）尺，根据勾股定理得：x2+（）2=（x+2）2，解得：x=8，芦苇的长度=x+2=8+2=10（尺），答：水池深8尺，芦苇长10尺．【点评】本题考查勾股定理的应用．要善于观察题目的信息，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．。
北师大版初中八年级数学上册第一章同步练习题(含答案解析)
第一章测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的3倍，则斜边长扩大到原来的（ ）A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ．5倍2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）A ．30，40，50B ．7，12，13C ．5，9，12D ．3，4，63．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长的平方是（ ）A ．169B ．119C ．13D ．1444．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（ ）A ．3 cm 2B ．4 cm 2C ．5 cm 2D ．6 cm 2（第4题）（第7题）（第9题）（第10题）5．满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的为（ ）A ．∠A =∠B －∠C B ．∠A ∶∠B ∶∠C =1∶1∶2C ．b 2=a 2－c 2D ．a ∶b ∶c =2∶3∶46．已知一轮船以18 n mile/h 的速度从港口A 出发向西南方向航行，另一轮船以24 n mile/h 的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口1.5 h 后，两轮船相距（ ）A ．30 n mileB ．35 n mileC ．40 n mileD ．45 n mile7．如图，在△ABC 中，AB =A C =13，BC =10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE 等于（ ） A.1013 B.1513 C.6013D.7513 8．若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．（枣庄）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．若AC=3，AB=5，则CE 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3二、填空题（每题3分，共24分）11．如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，AD 是底边上的高，若AB =5 cm ，BC =6 cm ，则AD =__________．（第11题）（第12题）（第13题）12．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 300 m，结果他在水中实际游了500 m，则该河流的宽度为________．13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3 cm，AC=5 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于________．c－b=0，则△ABC的形状14．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式（a2－c2－b2）2＋||为__________________．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=________．16．如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是______．第15题图第16题图第17题图17．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为____．18．在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为____．三、解答题（19～22题每题9分，其余每题10分，共66分）19．某消防部队进行消防演练．在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12 m，如图，即AD=BC=12 m，此时建筑物中距地面12.8 m高的P处有一被困人员需要救援．已知消防云梯车的车身高AB是3.8 m，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？20．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE..21．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点E在CD上，DE=b，AE=c，延长CB至点F，使BF=b，连接AF，试利用此图说明勾股定理．22．如图，∠AOB=90°，OA=9 cm，OB=3 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？23．如图，在长方形ABCD中，DC=5 cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设落点为F，若△ABF的面积为30 cm2，求△ADE的面积．24．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？25．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，其长AD=8 cm，高AB=6 cm，水深为AE=4 cm，在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG=6 cm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处吃掉食物．（1）小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．参考答案第一章测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的3倍，则斜边长扩大到原来的（B）A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（A）A．30，40，50B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，63．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长的平方是（A）A．169 B．119 C．13 D．1444．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（C）A．3 cm2B．4 cm2C．5 cm2D．6 cm2（第4题）（第7题）（第9题）（第10题）5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为（D）A．∠A=∠B－∠C B．∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2C．b2=a2－c2D．a∶b∶c=2∶3∶46．已知一轮船以18 n mile/h的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24 n mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5 h后，两轮船相距（D）A．30 n mile B．35 n mile C．40 n mile D．45 n mile7．如图，在△ABC中，AB=A C=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于（C）A.1013B.1513C.6013D.75138．若△ABC的三边长a，b，c满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（D）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形9．（枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．【解析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的长为．故选：A．10．（泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（D）A．9 B．6 C．4 D．3【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为： ab=×8=4，∴4×ab+（a﹣b）2=25，∴（a﹣b）2=25﹣16=9，∴a﹣b=3，故选：D．二、填空题（每题3分，共24分）11．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5 cm，BC=6 cm，则AD=_____11.4 cm_____．（第11题）（第12题）（第13题）12．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 300 m，结果他在水中实际游了500 m，则该河流的宽度为____400 m____．13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3 cm，AC=5 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于___7 cm_____．14．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式（a2－c2－b2）2＋||c－b=0，则△ABC的形状为_________等腰直角三角形_________．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=____4____．16．如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是__130cm____．第15题图第16题图第17题图17．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为__3cm≤h≤4cm__．【解析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长为16-12=4cm；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答进而求出露在杯口外的长度最短．解答：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16-12=4（cm）；②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线直径为5cm，高为12cm，由勾股定理可得杯里面管长为数学公式=13cm，则露在杯口外的长度最长为16-13=3cm；则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．18．在△ABC 中，若AC =15，BC =13，AB 边上的高CD =12，则△ABC 的周长为__32或42__．【解析】∵AC =15，BC =13，AB 边上的高CD =12，∴AD 2=AC 2－CD 2，即AD =9，BD 2=BC 2－CD 2，即BD =5.如图①，CD 在△ABC 内部时，AB =AD ＋BD =9＋5=14，此时，△ABC 的周长为14＋13＋15=42；如图②，CD 在△ABC 外部时，AB =AD －BD =9－5=4，此时，△ABC 的周长为4＋13＋15=32.综上所述，△ABC 的周长为32或42.三、解答题（19～22题每题9分，其余每题10分，共66分）19．某消防部队进行消防演练．在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12 m ，如图，即AD =BC =12 m ，此时建筑物中距地面12.8 m 高的P 处有一被困人员需要救援．已知消防云梯车的车身高AB 是3.8 m ，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？解：因为CD =AB =3.8 m ，所以PD =PC －CD =9 m.在Rt △ADP 中，AP2=AD2＋PD2，得AP=15 m.所以此消防车的云梯至少应伸长15 m.20．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB ，AE 分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB ⊥AE ..解：如图，连接BE .因为AE2=12＋32=10，AB2=12＋32=10，BE2=22＋42=20，所以AE2＋AB2=BE2.所以△ABE 是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB ⊥AE..21．如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点E 在CD 上，DE =b ，AE =c ，延长CB 至点F ，使BF =b ，连接AF ，试利用此图说明勾股定理．解：在△ADE 和△ABF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ＝a ，∠D ＝∠ABF ，DE ＝BF ＝b ，所以△ADE ≌△ABF.所以AE=AF=c ，∠DAE=∠BAF ，S △ADE=S △ABF.所以∠EAF=∠EAB ＋∠BAF=∠EAB ＋∠DAE=∠DAB=90°，S 正方形ABCD=S 四边形AECF.连接EF ，易知S 四边形AECF=S △AEF ＋S △ECF=12[c2＋（a －b ）（a ＋b ）]=12（a2＋c2－b2），S 正方形ABCD=a2，所以12（a2＋c2－b2）=a2. 所以a2＋b2=c2.22．如图，∠AOB =90°，OA =9 cm ，OB =3 cm ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿BC 方向匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？ 解：根据题意，BC =AC =OA －OC =9－OC .因为∠AOB=90°，所以在Rt △BOC 中，根据勾股定理，得OB2＋OC2=BC2，所以32＋OC2=（9－OC ）2，解得OC=4 cm.所以BC=5 cm.23．如图，在长方形ABCD 中，DC =5 cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把△AED 折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设落点为F ，若△ABF 的面积为30 cm 2，求△ADE 的面积．解：由折叠可知AD=AF ，DE=EF.由S △ABF=12BF ·AB=30 cm2， AB=DC=5 cm ，得BF=12 cm.在Rt △ABF 中，由勾股定理，得AF=13 cm ，所以BC=AD=AF=13 cm.设DE=x cm ，则EC=（5－x ）cm ，EF=x cm ，FC=13－12=1（cm ）．在Rt △ECF 中，由勾股定理，得EC2＋FC2=EF2，即（5－x ）2＋12=x2，解得x=135. 所以S △ADE=12AD ·DE=12×13×135=16.9 （cm2）． 24．如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交会，公路PQ 上点A 处有学校，点A 到公路MN 的距离为80m ，现有一拖拉机在公路MN 上以18km/h 的速度沿PN 方向行驶，拖拉机行驶时周围100m 以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？解：设拖拉机开到C 处学校刚好开始受到影响，行驶到D 处时，结束了噪声的影响，则有CA=DA=100m.在Rt △ABC 中，CB2=1002－802=602，∴CB=60m ，∴CD=2CB=120m.∵18km/h=5m/s ，∴该校受影响的时间为120÷5=24（s ）．答：该校受影响的时间为24s.25．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，其长AD =8 cm ，高AB =6 cm ，水深为AE =4 cm ，在水面线EF 上紧贴内壁G 处有一粒食物，且EG =6 cm ，一只小虫想从水缸外的A 处沿水缸壁爬进水缸内的G 处吃掉食物．（1）小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．解：（1）如图，作点A 关于BC 的对称点A ′，连接A ′G 与BC 交于点Q ，则AQ ＋QG 为最短路线．（2）因为AE =4 cm ，AA ′=12 cm ，所以A ′E =8 cm.在Rt △A ′EG 中，EG =6 cm ，A ′E =8 cm ，A ′G 2=A ′E 2＋EG 2=102，所以A ′G =10 cm ，所以A Q ＋QG =A ′Q ＋QG =A ′G =10 cm.所以最短路线长为10 cm.。
北师大版八上第一章各节练习题含答案
北师大版数学八年级上册同步练习1.1 探索勾股定理一．选择题（共12小题）1．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A．4 B．6 C．8 D．102．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c．如图②，现将这四个全图②等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3，则该飞镖状图案的面积（）A．6 B．12 C．24 D．243．下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（）A．刘徽B．赵爽C．祖冲之D．秦九韶4．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么下列结论：（1）a2+b2=49，（2）b﹣a=2，（3）ab=，（4）a+b=中，正确结论的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A．5 B．6 C．7 D．86．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．647．如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数（）A．3 B．4 C．5 D．68．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）A．13 B．13或C．13或15 D．159．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是（）A．B．C．D．10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（）A．S1=S2=S3 B．S1=S2＜S3C．S1=S3＜S2D．S2=S3＜S111．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（）A．30 B．36 C．72 D．12512．如图，字母M所代表的正方形的面积是（）A．4 B．5 C．16 D．34二．填空题（共10小题）13．如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则a+b的值是．14．如图．是用4个全等的直角三角形和一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是49，小正方形的面积为1，若用a、b表示直角三角形的两条直角边（a＞b），则（a+b）2=．15．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC=5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是．16．小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是S1=，S2=．17．如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式．18．公元3世纪，我国数学家赵爽用弦图证明了勾股定理，在前面的学习中，我们知道根据勾股定理可以用长为有理数的线段来作出长为，，的线段．若一个直角三角形的一条边长为，其他两边长均为有理数，则其它两边的长可以为，．19．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是．20．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为．21．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长为cm2．22．如图，6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，D是BC的中点．则AC=；AD=．三．解答题（共4小题）23．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a=S△ACD+S△ABC=b2+ab．∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）又∵S四边形ADCB∴b2+ab=c2+a（b﹣a）∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．24．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，求小正方形的边长．25．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．26．在△ABC中，AB=13，BC=14．（1）如图1，AD⊥BC于点D，且BD=5，则△ABC的面积为；（2）在（1）的条件下，如图2，点H是线段AC上任意一点，分别过点A，C 作直线BH的垂线，垂足为E，F，设BH=x，AE=m，CF=n，请用含x的代数式表示m+n，并求m+n的最大值和最小值．北师大版数学八年级上册同步练习：1.1 探索勾股定理参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【分析】根据小正方形、大正方形的面积可以列出方程组，解方程组即可求得a、b，求ab即可．【解答】解：由题意得：大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，即a2+b2=9，a﹣b=1，解得a=，b=，则ab=4．解法2，4个三角形的面积和为9﹣1=8；每个三角形的面积为2；则ab=2；所以ab=4故选：A．2．【分析】根据飞镖状图案的周长求出AB+AC的长，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出OA的长，求出三角形AOB面积，即可确定出所求．【解答】解：根据题意得：4（AB+AC）=24，即AB+AC=6，OB=OC=3，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2=OA2+OB2，即（6﹣AC）2=32+（3+AC）2，解得：AC=1，∴OA=3+1=4，=×3×4=6，∴S△AOB则该飞镖状图案的面积为24，故选：C．3．【分析】根据“弦图”判断即可．【解答】解：用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是数学家赵爽，故选：B．4．【分析】分别求出小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系得出a与b 的关系式，依次判断所给关系式即可．【解答】解：由题意可得小正方形的边长=2，大正方形的边长=7，故可得|b﹣a|=2，即（2）错误；a2+b2=斜边2=大正方形的面积=49，即（1）正确；小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，即可得4+2ab=49，所以ab=，即（3）正确；根据（3）可得2ab=45，故可得（a+b）2=a2+b2+45=94，从而可得a+b=，即（4）正确．综上可得（1）（3）（4）正确，共3个．故选：B．5．【分析】直接根据勾股定理求解即可．【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为=5．故选：A．6．【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2=225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2=289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2=PQ2+QR2，∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．7．【分析】OA1=1，OA2==，OA3==，找到OA n=的规律即可计算OA1到OA25中长度为正整数的个数．【解答】解：找到OA n=的规律，所以OA1到OA25的值分别为，，……，故正整数为=1，=2，=3，=4，=5．故选：C．8．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：当12是斜边时，第三边是=；当12是直角边时，第三边是=13．故选：B．9．【分析】根据所给出的图形求出AB、AC、BC的长以及∠BAC的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可．【解答】解：根据图形可得：AB=AC==，BC==，∠BAC=90°，设△ABC中BC的高是x，则AC•AB=BC•x，×=•x，x=．故选：A．10．【分析】设直角三角形的三边分别为a、b、c，分别表示出三角形的面积比较即可．【解答】解：作ER⊥FA的延长线，垂足为R；作DH⊥NB的延长线，垂足为H；作NT垂直于DB的延长线，垂足为T．设△ABC的三边长分别为a、b、c，∵分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，∵∠EAR+∠RAB=90°，∠RAB+∠CAB=90°，∴∠EAR=∠CAB∵AE=AB，∠ARE=∠ACB，∴△AER≌△ABC，∴ER=BC=a，FA=b，∴S1=ab，S2=ab，同理可得HD=AR=AC，∴S1=S2=S3=ab．故选：A．11．【分析】作CE⊥AD，AF⊥CD，则根据面积法可以证明AD×EC=AF×CD，要求AF，求CE即可，根据AC=CD=5，AD=6可以求得CE，△ABC的面积为×BC×AF．【解答】解：作CE⊥AD，AF⊥CD，在△ACD中S=•AD•CE=•CD•AF，∵AC=CD，∴AE=DE=3，故CE==4，∴AF==，∴△ABC的面积为×（10+5）×=36，故选：B．12．【分析】根据勾股定理计算即可．【解答】解：由勾股定理得，AC2=AB2﹣BC2=16，则字母M所代表的正方形的面积=AC2=16，故选：C．二．填空题（共10小题）13．【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2=13，四个直角三角形的面积是：ab×4=13﹣1=12，即：2ab=12则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．所以a+b=5（舍去负值）．故答案是：5．14．【分析】利用大正方形的边长为7和勾股定理解答即可．【解答】解：利用勾股定理得a2+b2=49；利用小正方形的边长得到a﹣b=1，则（a﹣b）2=1，可得：2ab=48，所以（a+b）2=49+48=97，故答案为：9715．【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC=y，则x2=4y2+52，∵△BCD的周长是30，∴x+2y+5=30则x=13，y=6．∴这个风车的外围周长是：4（x+y）=4×19=76．故答案是：76．16．【分析】五边形的面积=边长为c的正方形面积+2个全等的直角边分别为a，b 的直角三角形的面积，或五边形的面积=边长为c的正方形面积+边长为c的正方形面积+2个全等的直角边分别为a，b的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解．【解答】解：如图所示：S1=c2+ab×2=c2+ab，S2=a2+b2+ab×2=a2+b2+ab．故答案为：c2+ab，a2+b2+ab．17．【分析】该图形的面积与3个直角三角形组成一个直角梯形，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式进行解答．【解答】解：依题意得：ab+c2+ab=（a+b）（a+b），整理，得c2=a2+b2．故答案是：c2=a2+b2．18．【分析】根据已知条件以及勾股定理解答即可．【解答】解：∵（）2=（3+）2﹣（3﹣）2，∴这个直角三角形的两边可以为，．故答案为，（答案不唯一）．19．=6，找出所有可【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，=AB•BC=6．∴AC==5，S△ABC沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：①当AB=AP=3时，如图1所示，S等腰△ABP=S△ABC=×6=3.6；②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，作△ABC的高BD，则BD===2.4，∴AD=DP==1.8，∴AP=2AD=3.6，=S△ABC=×6=4.32；∴S等腰△ABP④当CB=CP=4时，如图3所示，S等腰△BCP=S△ABC=×6=4.8．综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8．故答案为3.6或4.32或4.8．20．【分析】根据网格，利用勾股定理求出AC的长，AB的长，以及AB边上的高，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，而三角形ABC面积可以由AC与BD 乘积的一半来求，利用面积法即可求出BD的长．【解答】解：根据勾股定理得：AC==5，=×2×4=4，且S△ABC=AC•BD=×5BD，由网格得：S△ABC∴×5BD=4，解得：BD=．故答案为：21．【分析】设直角三角形的两直角边长分别为a、b，根据三角形的面积公式、勾股定理求出a+b，根据三角形周长公式计算．【解答】解：设直角三角形的两直角边长分别为a、b，则ab=6，即ab=12，由勾股定理得，a2+b2=25，则（a+b）2﹣2ab=25，解得，a+b=7，∴该直角三角形的周长=a+b+c=12，故答案为：12．22．【分析】根据勾股定理计算即可．【解答】解：由题意得，BD=CD=，由勾股定理得，AC==2，AD==，故答案为：2；．三．解答题（共4小题）23．，【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，表示出S五边形ACBED 两者相等，整理即可得证．【解答】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），又∵S五边形ACBED∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．24．【分析】根据勾股定理即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b∴每一个直角三角形的面积为：ab∴4×ab+（a﹣b）2=13∴2ab+a2﹣2ab+b2=13∴a2+b2=13，∴a2+2ab+b2=21，∴ab=4∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=13﹣8=5∴a﹣b=25．【分析】（1）根据角平分线的性质得到CD=DE；（2）根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算．【解答】解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理，得AB═10，∴△ADB的面积为S=AB•DE=×10×3=15．26．【分析】（1）先由勾股定理求得AD=12，然后利用三角形的面积公式求解即可；（2）依据S ABC=S ABH+S△BHC可知，然后将BH=x，AE=m，CF=n 代入整理即可．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，∴AD===12．∵BC=14，∴==84．故答案为：84．（2）∵S ABC=S ABH+S△BHC，∴．∴xm+xn=168．∴m+n=∵AD=12，DC=14﹣5=9，∴AC==15．∵m+n与x成反比，∴当BH⊥AC时，m+n有最大值．∴（m+n）BH=AC•BH．∴m+n=AC=15．∵m+n与x成反比，∴当BH值最大时，m+n有最小值．∴当点H与点C重合时m+n有最小值．∴m+n=，∴m+n=12．∴m+n的最大值为15，最小值为12．1.2 一定是直角三角形吗一．选择题（共10小题）1．下列各组数据是勾股数的是（）A．5，12，13 B．6，9，12 C．12，15，18 D．12，35，36 2．下列四组数据中是勾股数的有（）①5、7、8②、3③9、12、15④n2+1，n2﹣12n（n＞1）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3．下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．1，2，B．1，2，C．3，4，5 D．6，8，124．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A． B．C．D．5．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，36．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2=a2B．a：b：c=3：4：5C．∠A：∠B：∠C=9：12：15 D．∠C=∠A﹣∠B7．下列说法不能推出△ABC是直角三角形的是（）A．a2﹣c2=b2B．（a﹣b）（a+b）+c2=0 C．∠A=∠B=∠C D．∠A=2∠B=2∠C8．给出下列几组数：①4，5，6；②8，15，16；③n2﹣1，2n，n2+1；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n＞0）．其中一定能组成直角三角形三边长的是（）A．①②B．③④C．①③④D．④9．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形ABC，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为（）A．8 B．9 C．D．10二．填空题（共10小题）11．已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为三角形．12．如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE 交AB于点D，连接CD，则CD=．13．满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．写出你比较熟悉的两组勾股数：①；②．14．观察下列式子：当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a=，b=，c=．15．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．16．在△ABC中，a=3，b=7，c2=58，则S△ABC=．17．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是三角形．18．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于．19．附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：．20．若△ABC得三边a，b，c满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，则△ABC的形状为．三．解答题（共4小题）21．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．22．如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD的面积．23．方格纸中小正方形的顶点叫格点．点A和点B是格点，位置如图．（1）在图1中确定格点C使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC；（2）在图2中确定格点D使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD；（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有个．24．如图网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识（1）求△ABC的面积；（2）判断△ABC是什么形状？并说明理由．一定是直角三角形吗参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、122+52=132 ，能构成直角三角形，故正确；B、62+92≠122，不能构成直角三角形，是整数，故错误；C、122+152≠182，不能构成直角三角形，是整数，故错误；D、122+352≠362，不能构成直角三角形，是正整数，故错误．故选：A．2．【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【解答】解：①8，5，7 不是勾股数，因为72+52≠82；②，，3 不是勾股数，因为、不是整数；③9，12，15 是勾股数，因为92+122=152；④n2+1，n2﹣12n（n＞1）是勾股数，因为2n，n2﹣1，n2+1不一定是整数．故选：A．3．【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．【解答】解：A、因为12+22=（）2，能构成直角三角形，此选项错误；B、因为12+（）2=22，能构成直角三角形，此选项错误；C、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误．D、因为62+82≠122，不能构成直角三角形，此选项正确．故选：D．4．【分析】过C作CD⊥AB于D，依据AB=6，AC=8，可得CD≤8，进而得到当CD 与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC=90°，△ABC的面积最大．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵AB=6，AC=8，∴CD≤8，∴当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC=90°，△ABC的面积最大，∴BC==10，∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，故选：C．5．【分析】根据勾股定理的逆定理求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．【解答】解：A、1.52+22=2.52，即三角形是直角三角形，故本选项正确；B、42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；C、22+32≠42，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；D、12+（）2≠32，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；故选：A．6．【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．【解答】解：A、由b2﹣a2=c2得b2=a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；C、由∠A：∠B：∠C=9：12：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠C=75°≠90°，故不是直角三角形．D、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A﹣∠B解得∠A=90°，故是直角三角形；故选：C．7．【分析】判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．或证明三角形中一个角等于90°．【解答】解：A、符合勾股定理的逆定理，不符合题意；B、∵（a﹣b）（a+b）+c2=0，∴a2+c2=b2，符合勾股定理的逆定理，不符合题意；C、∵∠A=∠B=∠C，∴∠A=∠B=∠C=60°，△ABC不是直角三角形，符合题意；D、∵∠A=2∠B=2∠C，∴∠A=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意．故选：C．8．【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．【解答】解：∵42+52≠62，即三角形不是直角三角形，∴①错误；∵82+152≠162，即三角形不是直角三角形，∴②错误；∵（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2，即三角形是直角三角形，∴③正确；∵（m2﹣n2）2+（2mn）2=（m2+n2）2，即三角形是直角三角形，∴④正确；故选：B．9．【分析】分别求A、B、C、D四个选项中各边长，根据勾股定理的逆定理可以判定B、C、D中三角形为直角三角形，A为钝角三角形，即可解题．【解答】解：A、三角形各边长为、、，（）2+（）2＜（）2，故该三角形为钝角三角形；B、各边长2、4、2，22+42=（2）2，故该三角形为直角三角形；C、各边长、、，（）2+（）2=（）2，故该三角形为直角三角形；D、各边长、2、5，（）2+（2）2=（5）2，故该三角形为直角三角形．故选：A．10．【分析】根据所给的条件和勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可得出BC边上的高．【解答】解：∵AB=8，BC=10，AC=6，∴62+82=102，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，=AB•AC=BC•AD，则由面积公式知，S△ABC∴AD=．故选：C．二．填空题（共10小题）11．【分析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．【解答】解：∵a+b=10，ab=18，c=8，∴（a+b）2﹣2ab=100﹣36=64，c2=64，∴a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角．12．【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出线段DE是△ABC的中位线，再利用勾股定理得出AD，再利用线段垂直平分线的性质得出DC的长．【解答】解：∵AB=10，AC=8，BC=6，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=EC=4，DE∥BC，且线段DE是△ABC的中位线，∴DE=3，∴AD=DC==5．故答案为：513．【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：根据勾股数定义可得①3，4，5；②6，8，10，故答案为：3，4，5；6，8，10．14．【分析】由n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5；n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10；n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…得出a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1，满足勾股数．【解答】解：∵当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…∴勾股数a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1．故答案为：2n，n2﹣1，n2+1．15．【分析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积．【解答】解：∵62+82=102，∴此三角形为直角三角形，∴此三角形的面积为：×6×8=24．故答案为：24．16．【分析】由勾股定理的逆定理，先验证两小边的平方和等于最长边的平方，那么此三角形是直角三角形，再利用三角形面积公式求即可．【解答】解：∵a=3，b=7，∴a2+b2=58，又∵c2=58，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，=×3×7=10.5．∴S△ABC故答案是10.5．17．【分析】根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题．【解答】解：∵2ab=（a+b）2﹣c2，∴2ab=a2+2ab+b2﹣c2，∴a2+b2=c2，∵三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，∴此三角形是直角三角形，故答案为：直角．18．【分析】根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，利用它的面积：斜边×高÷2=短边×短边÷2，就可以求出最长边的高．【解答】解：∵52+122=132，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，设斜边上的高为h，则S△ABC=×5×12=×13h，解得：h=，故答案为．19．【分析】勾股定理和了解数的规律变化是解题关键．【解答】解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2，故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为一，故设第二个数为x，则第三个数为x+1，根据勾股定理得：112+x2=（x+1）2，解得x=60，则得第5组数是：11、60、61．故答案为：11、60、61．20．【分析】因为a，b，c为三边，根据（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，可找到这三边的数量关系．【解答】解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，∴a=b或a2+b2=c2．当只有a=b成立时，是等腰三角形．当只有第二个条件成立时：是直角三角形．当两个条件都成立时：是等腰直角三角形．三．解答题（共4小题）21．【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．【解答】解：（1）11，60，61；（2）后两个数表示为和，∵，，∴．又∵n≥3，且n为奇数，∴由n，，三个数组成的数是勾股数．故答案为：11，60，61．22．【分析】连接BD，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，则四边形ABCD的面积是两个直角三角形的面积和．【解答】解：连接BD．∵∠A=90°，AB=2cm，AD=，∴根据勾股定理可得BD=3，又∵CD=5，BC=4，∴CD2=BC2+BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠CBD=90°，=S△ABD+S△BCD=AB•AD+BC•BD=×2×+×4×3=+6（cm2）．∴S四边形ABCD23．【分析】（1）A所在的水平线与B所在的竖直线的交点就是满足条件的点；（2）根据勾股定理可求得AB=5，则到A的距离是5的点就是所求；（3）到A点的距离是5的格点有2个，同理到B距离是5的格点有2个，据此即可求解．【解答】解：（1）（2）如图所示：（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有4个．故答案是：4．24．【分析】（1）运用割补法，正方形的面积减去三个小三角形的面积，即可求出△ABC的面积；（2）根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．【解答】解：（1）△ABC的面积=4×4﹣1×2÷2﹣4×3÷2﹣2×4÷2=16﹣1﹣6﹣4=5．故△ABC的面积为5；（2）∵小方格边长为1，∴AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，BC2=32+42=25，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形．1.3勾股定理的应用一、选择题（共8小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3．将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA、BC为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为（）A．π B．3πC．9πD．6π2．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（）A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米3．小华和小刚兄弟两个同时从家去同一所学校上学，速度都是每分钟走50米．小华从家到学校走直线用了10分钟，而小刚从家出发先去找小明再到学校（均走直线），小刚到小明家用了6分钟，小明家到学校用了8分钟，小刚上学走了个（）A．锐角弯B．钝角弯C．直角弯D．不能确定4．如图，是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．5≤a≤12 B．5≤a≤13 C．12≤a≤13 D．12≤a≤155．一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（）组．A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，46．如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）A．3m B．5m C．7m D．9m7．如图，带阴影的长方形面积是（）A．9 cm2B．24 cm2C．45 cm2D．51 cm28．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．5B．25 C．10+5 D．35二、填空题（共5小题）9．如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是______．10．如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等干4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是______cm．（π取3）11．如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM=3，BN=5，MN=15，则AC+BC=______．12．如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm、和10cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是______cm．13．如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm，A点在内壁距杯口2cm处，在A点正对面的外壁距杯底2cm的B处有一只小虫，小虫要到A处饱餐一顿至少要走______cm．（杯子厚度忽略不计）。
第一章勾股定理练习题 2021-2022学年八年级数学北师大版上册(word版 含答案)
北师大版数学八年级上册第一章勾股定理练习题一、选择题1.三个正方形的面积如图所示，则面积为A的正方形的边长为()A. 164B. 36C. 8D. 62.在Rt△ABC中，斜边AB=3，则AB2+AC2+BC2=()A. 9B. 18C. 10D. 243.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是()A. B. C. D.4.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．设直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，且a：b=4：3，则大正方形面积与小正方形面积之比为()A. 25：9B. 25：1C. 4：3D. 16：95.下列各数是勾股数的是()A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 4，5，66.如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为()第1页，共15页第2A. 96 m 2B. 204 m 2C. 196 m 2D. 304 m 27. 已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM =MN =2，NB =1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形8. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A. 3，4，5B. 5，12，13C. 12，16，20D. 412，712，812 9. 下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是( )A. 3，4，5B. 6，8，9C. 1，2，3D. 5，12，1410. 适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为( )(1)a =b ，∠A =45°(2)∠A =32°，∠B =58°(3)a =5，b =12，c =13A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 如图，一个梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，测得AO =2 m.若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB 为( )A. 2.5 mB. 3 mC. 1.5 mD. 3.5 m12. 一个带盖的长方形盒子的长，宽，高分别是8cm ，8cm ，12cm ，已知蚂蚁想从盒底的A 点爬到盒顶的B 点，则蚂蚁要爬行的最短行程是( )A. 28cmB. 4√29C. 4√17D. 20cm13.如图，在高为3米，，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度为()A. 4米B. 5米C. 6米D. 7米二、填空题14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=13，BC=5，点D是斜边AB上的动点，则CD的最大值为，最小值为．15.如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则(a+b)2的值为______．16.若正整数a，n满足a2+n2=(n+1)2，这样的三个整数a，n，n+1(如：3，4，5或5，12，13)我们称它们为一组“完美勾股数”.当n<150时，共有______ 组这样的“完美勾股数”．17.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=13，DA=12，则四边形ABCD的面积等于______．18.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=°(点A，B，P是网格线交点)．19.如图，圆柱的底面直径BC=12cm，高AB=8cm，按如图所π示的方式缠绕细线，缠绕一周(不记接头)至少需要cm长的细线．第3页，共15页。
北师大版八年级数学上册第一章单元测试卷含答案
第一章单元测试卷(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.已知△ABC的三边长分别是3cm，4cm，5cm△，则ABC的面积是(A)A．6cm2B．7.5cm2C．10cm2D．12cm22.如图，字母B所代表的正方形的面积是(C)A．12B．13C．144D．1943.三角形的三条边长分别为a，b，c，且(a＋b)2＝c2＋2ab，则这个三角形是(C)A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形4.已知一直角三角形木板，三边的平方和为1800，则斜边长为(B)A．80B．30C．90D．1205.下列结论中不正确的是(C)A．三个内角之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形B．三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C．三条边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形D．三个内角之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形6.如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸(AE>DE)剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边BC长为(D)A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm错误!错误!,第7题图)错误!,第8题图)错误!,第9题图)7.如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长25m，高7m的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3m，则共需购买红地毯(C)A．21m2B．75m2C．93m2D．96m28.如图，已知长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为(C)A．3B．4C．5D．69.如图，在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC＝5，AD＝6，BD＝10，CD＝5，那么三角形ABC 的面积是(B)A．30B．36C．72D．12513.如图，每个小正方形边长为1则△，A BC边AC上的高BD的长为.AD，BC于点E，F，则AE的长为cm.，10.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12△，则ABC的周长是(C)A．42B．32C．42或32D．30或35二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11.在△Rt ABC中，∠C＝90°.若b＝8，c＝17，则S△ABC＝60.12.在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，BC边上的中线AD＝4cm，则∠ADC的度数是90°.85,第13题图),第14题图),第16题图)14.如图，已知长方形ABCD，AB＝3cm，AD＝4cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交7815.李明从家出发向正北方走了1200m接着向正东方向走到离家2000m的地方，则李明向正东方向走了1600m.16.如图，一块砖的宽AN＝5cm，长ND＝10cm，CD上的点B距地面的高BD＝8cm.地面上A处的一只蚂蚁要到B处吃食，需要爬行的最短路径是17cm.三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)17.如图，在△Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求AB的长和△ABC的周长．解：由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝52，所以AB＝5△，ABC的周长是AC＋BC＋AB＝3＋4＋5＝1218.如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P，求证：BM2＝AP2＋BC2＋PM2.证明：因为BM2＝BC2＋CM2，CM＝AM，所以BM2＝BC2＋AM2.又AM2＝AP2＋PM2，所以BM2＝BC2＋AP2＋PM219.如图△，在ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12△，求ABC的周长．为AB·BC＋CD·AD＝234(平方米)，234×1000＝234000(元)，所以学校征收这块地需要234000元解：因为AD为BC边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，在△Rt ABD中，AB＝20，AD＝12，所以BD2＝AB2－AD2，即BD＝16，在△Rt ADC中，AC＝15，AD＝12，所以DC2＝AC2－AD2，即DC＝9，所以BC＝25，所以△ABC的周长是60四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)20.如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24.(1)证明：△ABC是直角三角形．(2)请求图中阴影部分的面积．解：(1)因为在△Rt ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，所以AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100，所以AC ＝10.在△ABC中，因为AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676，所以AC2＋BC2＝AB2△，所以ABC为直角三11角形(2)S阴影＝S△ABC－S△ACD＝2×10×24－2×8×6＝9621.如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m 到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明到河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．解：因为AB＝60，BC＝80，AC＝100，所以AB2＋BC2＝AC2，∠ABC＝90°.因为AD∥NM，所以∠NBA＝∠BAD＝30°，所以∠MBC＝180°－90°－30°＝60°，所以小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的22.学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B＝∠D＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，土地价格为1000元/平方米，请你计算学校征收这块地需要多少元？解：连接AC△，在ABC中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15.由勾股定理得：AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625.在△ADC中，∠D＝90°，CD＝7，由勾股定理得：AD2＝AC2－CD2＝625－72＝576，AD＝24，所以四边形的面积1122解：(1)作AM⊥BC于M因为△，A BC的面积为84，所以BC·AM＝84，解得AM＝8，即BC边上的高为8＝a2，解得a＝则当△，A BE时等腰三角形时，a的值为10或12或上，勾是三时，股和弦的算式分别是(9－1)，(9＋1)；勾是五时，股和弦的算式分别是(25－1)，(25＋1)．根据你解：(1)(72－1)，(72＋1)(2)当n≥3，且n为奇数时，勾、股、弦分别为：n，(n2－1)，(n2＋1)，它们之间的关系为：①弦－股＝1，②勾2＋股2＝弦2，如证明①，弦－股＝(n2＋1)－(n2－1)＝n2＋－n2＋＝1(3)当m>4，且m为偶数时，股、弦分别为：()2－1，()2＋1五、解答题(三)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)23.如图△，ABC的面积为84，BC＝21△，现将ABC沿直线BC向右平移a(0＜a＜21)个单位到△DEF的位置．(1)求BC边上的高；(2)若AB＝10，①求线段DF的长；②连接AE△，当ABE时等腰三角形时，求a的值．12(2)①在△Rt ABM中，BM2＝AB2－AM2，所以BM＝6，所以CM＝BC－BM＝15，在△Rt ACM中，AC2＝AM2＋CM2，所以AC＝17，由平移的性质可知，DF＝AC＝17；②当AB＝BE＝10时，a＝BE＝10；当AB＝AE＝10时，BE＝2BM＝12，则a＝BE＝12；当EA＝EB＝a时，ME＝a－6，在△Rt AME中，AM2＋ME2＝AE2，即82＋(a－6)2 25253324.我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．(1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实11112222发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；(2)根据(1)的规律，请用含n(n为奇数，且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系(请写出两种)，并对其中一种猜想加以证明；(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m(m为偶数，且m＞4)的代数式来表示股和弦．11112222111111222222m m2225.如图△，在ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E是直线AB上两点．∠DCE＝45°.(1)当CE⊥AB时，点D与点A重合，求证：DE2＝AD2＋BE2；(2)当点D不与点A重合时，求证：DE2＝AD2＋BE2；(3)当点D在BA的延长线上时，(2)中的结论是否成立？画出图形，说明理由．解：(1)因为CE⊥AB，所以AE＝BE，因为点D与点A重合，所以AD＝0，所以DE2＝AD2＋BE2(2)如图①，过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF△，因为在ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，所以∠CAB＝∠B＝45°，所以∠FAC＝45°△，所以CAF≌△CBE(SAS)，所以CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，因为∠ACB＝90°，∠DCE ＝45°，所以∠ACD＋∠BCE＝∠ACB－∠DCE＝90°－45°＝45°，因为∠ACF＝∠BCE，所以∠ACD＋∠ACF＝45°，即∠DCF＝45°，所以∠DCF＝∠DCE，又因为CD＝CD△，所以CDF≌△CDE(SAS)，所以DF＝DE，因为AD2＋AF2＝DF2，所以AD2＋BE2＝DE2(3)结论仍然成立．理由：如图②，过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF△，因为在ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，所以∠CAB＝∠B＝45°，所以∠FAC＝45°△，所以CAF≌△CBE(SAS)，所以CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，因为∠BCE＋∠ACE＝90°，所以∠ACF＋∠ACE＝90°，即∠FCE＝90°，因为∠DCE＝45°，所以∠DCF＝45°，所以∠DCF＝∠DCE，又因为CD＝CD△，所以CDF≌△CDE(SAS)，所以DF＝DE，因为AD2＋AF2＝DF2，所以AD2＋BE2＝DE2。
北师大版初中八年级数学上册第一章同步练习题(含答案解析)
第一章测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的3倍，则斜边长扩大到原来的（ ）A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ．5倍2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）A ．30，40，50B ．7，12，13C ．5，9，12D ．3，4，63．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长的平方是（ ）A ．169B ．119C ．13D ．1444．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（ ）A ．3 cm 2B ．4 cm 2C ．5 cm 2D ．6 cm 2（第4题）（第7题）（第9题）（第10题）5．满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的为（ ）A ．∠A =∠B －∠C B ．∠A ∶∠B ∶∠C =1∶1∶2C ．b 2=a 2－c 2D ．a ∶b ∶c =2∶3∶46．已知一轮船以18 n mile/h 的速度从港口A 出发向西南方向航行，另一轮船以24 n mile/h 的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口1.5 h 后，两轮船相距（ ）A ．30 n mileB ．35 n mileC ．40 n mileD ．45 n mile7．如图，在△ABC 中，AB =A C =13，BC =10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE 等于（ ） A.1013 B.1513 C.6013D.7513 8．若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．（枣庄）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．若AC=3，AB=5，则CE 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3二、填空题（每题3分，共24分）11．如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，AD 是底边上的高，若AB =5 cm ，BC =6 cm ，则AD =__________．（第11题）（第12题）（第13题）12．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 300 m，结果他在水中实际游了500 m，则该河流的宽度为________．13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3 cm，AC=5 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于________．c－b=0，则△ABC的形状14．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式（a2－c2－b2）2＋||为__________________．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=________．16．如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是______．第15题图第16题图第17题图17．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为____．18．在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为____．三、解答题（19～22题每题9分，其余每题10分，共66分）19．某消防部队进行消防演练．在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12 m，如图，即AD=BC=12 m，此时建筑物中距地面12.8 m高的P处有一被困人员需要救援．已知消防云梯车的车身高AB是3.8 m，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？20．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE..21．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点E在CD上，DE=b，AE=c，延长CB至点F，使BF=b，连接AF，试利用此图说明勾股定理．22．如图，∠AOB=90°，OA=9 cm，OB=3 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？23．如图，在长方形ABCD中，DC=5 cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设落点为F，若△ABF的面积为30 cm2，求△ADE的面积．24．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？25．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，其长AD=8 cm，高AB=6 cm，水深为AE=4 cm，在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG=6 cm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处吃掉食物．（1）小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．参考答案第一章测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的3倍，则斜边长扩大到原来的（B）A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（A）A．30，40，50B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，63．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长的平方是（A）A．169 B．119 C．13 D．1444．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（C）A．3 cm2B．4 cm2C．5 cm2D．6 cm2（第4题）（第7题）（第9题）（第10题）5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为（D）A．∠A=∠B－∠C B．∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2C．b2=a2－c2D．a∶b∶c=2∶3∶46．已知一轮船以18 n mile/h的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24 n mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5 h后，两轮船相距（D）A．30 n mile B．35 n mile C．40 n mile D．45 n mile7．如图，在△ABC中，AB=A C=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于（C）A.1013B.1513C.6013D.75138．若△ABC的三边长a，b，c满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（D）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形9．（枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．【解析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的长为．故选：A．10．（泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（D）A．9 B．6 C．4 D．3【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为： ab=×8=4，∴4×ab+（a﹣b）2=25，∴（a﹣b）2=25﹣16=9，∴a﹣b=3，故选：D．二、填空题（每题3分，共24分）11．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5 cm，BC=6 cm，则AD=_____11.4 cm_____．（第11题）（第12题）（第13题）12．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 300 m，结果他在水中实际游了500 m，则该河流的宽度为____400 m____．13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3 cm，AC=5 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于___7 cm_____．14．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式（a2－c2－b2）2＋||c－b=0，则△ABC的形状为_________等腰直角三角形_________．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=____4____．16．如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是__130cm____．第15题图第16题图第17题图17．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为__3cm≤h≤4cm__．【解析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长为16-12=4cm；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答进而求出露在杯口外的长度最短．解答：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16-12=4（cm）；②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线直径为5cm，高为12cm，由勾股定理可得杯里面管长为数学公式=13cm，则露在杯口外的长度最长为16-13=3cm；则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．18．在△ABC 中，若AC =15，BC =13，AB 边上的高CD =12，则△ABC 的周长为__32或42__．【解析】∵AC =15，BC =13，AB 边上的高CD =12，∴AD 2=AC 2－CD 2，即AD =9，BD 2=BC 2－CD 2，即BD =5.如图①，CD 在△ABC 内部时，AB =AD ＋BD =9＋5=14，此时，△ABC 的周长为14＋13＋15=42；如图②，CD 在△ABC 外部时，AB =AD －BD =9－5=4，此时，△ABC 的周长为4＋13＋15=32.综上所述，△ABC 的周长为32或42.三、解答题（19～22题每题9分，其余每题10分，共66分）19．某消防部队进行消防演练．在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12 m ，如图，即AD =BC =12 m ，此时建筑物中距地面12.8 m 高的P 处有一被困人员需要救援．已知消防云梯车的车身高AB 是3.8 m ，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？解：因为CD =AB =3.8 m ，所以PD =PC －CD =9 m.在Rt △ADP 中，AP2=AD2＋PD2，得AP=15 m.所以此消防车的云梯至少应伸长15 m.20．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB ，AE 分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB ⊥AE ..解：如图，连接BE .因为AE2=12＋32=10，AB2=12＋32=10，BE2=22＋42=20，所以AE2＋AB2=BE2.所以△ABE 是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB ⊥AE..21．如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点E 在CD 上，DE =b ，AE =c ，延长CB 至点F ，使BF =b ，连接AF ，试利用此图说明勾股定理．解：在△ADE 和△ABF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ＝a ，∠D ＝∠ABF ，DE ＝BF ＝b ，所以△ADE ≌△ABF.所以AE=AF=c ，∠DAE=∠BAF ，S △ADE=S △ABF.所以∠EAF=∠EAB ＋∠BAF=∠EAB ＋∠DAE=∠DAB=90°，S 正方形ABCD=S 四边形AECF.连接EF ，易知S 四边形AECF=S △AEF ＋S △ECF=12[c2＋（a －b ）（a ＋b ）]=12（a2＋c2－b2），S 正方形ABCD=a2，所以12（a2＋c2－b2）=a2. 所以a2＋b2=c2.22．如图，∠AOB =90°，OA =9 cm ，OB =3 cm ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿BC 方向匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？ 解：根据题意，BC =AC =OA －OC =9－OC .因为∠AOB=90°，所以在Rt △BOC 中，根据勾股定理，得OB2＋OC2=BC2，所以32＋OC2=（9－OC ）2，解得OC=4 cm.所以BC=5 cm.23．如图，在长方形ABCD 中，DC =5 cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把△AED 折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设落点为F ，若△ABF 的面积为30 cm 2，求△ADE 的面积．解：由折叠可知AD=AF ，DE=EF.由S △ABF=12BF ·AB=30 cm2， AB=DC=5 cm ，得BF=12 cm.在Rt △ABF 中，由勾股定理，得AF=13 cm ，所以BC=AD=AF=13 cm.设DE=x cm ，则EC=（5－x ）cm ，EF=x cm ，FC=13－12=1（cm ）．在Rt △ECF 中，由勾股定理，得EC2＋FC2=EF2，即（5－x ）2＋12=x2，解得x=135. 所以S △ADE=12AD ·DE=12×13×135=16.9 （cm2）． 24．如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交会，公路PQ 上点A 处有学校，点A 到公路MN 的距离为80m ，现有一拖拉机在公路MN 上以18km/h 的速度沿PN 方向行驶，拖拉机行驶时周围100m 以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？解：设拖拉机开到C 处学校刚好开始受到影响，行驶到D 处时，结束了噪声的影响，则有CA=DA=100m.在Rt △ABC 中，CB2=1002－802=602，∴CB=60m ，∴CD=2CB=120m.∵18km/h=5m/s ，∴该校受影响的时间为120÷5=24（s ）．答：该校受影响的时间为24s.25．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，其长AD =8 cm ，高AB =6 cm ，水深为AE =4 cm ，在水面线EF 上紧贴内壁G 处有一粒食物，且EG =6 cm ，一只小虫想从水缸外的A 处沿水缸壁爬进水缸内的G 处吃掉食物．（1）小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．解：（1）如图，作点A 关于BC 的对称点A ′，连接A ′G 与BC 交于点Q ，则AQ ＋QG 为最短路线．（2）因为AE =4 cm ，AA ′=12 cm ，所以A ′E =8 cm.在Rt △A ′EG 中，EG =6 cm ，A ′E =8 cm ，A ′G 2=A ′E 2＋EG 2=102，所以A ′G =10 cm ，所以A Q ＋QG =A ′Q ＋QG =A ′G =10 cm.所以最短路线长为10 cm.。
北师大版本初中八年级的数学上册的第一单元总结复习试卷习题.docx
北师大版八年级数学上册第一单元试卷一、选择题 ( 每题 3 分, 共 30分)1.把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍 ,则斜边扩大到原来的（）A. 2 倍2B. 4 倍 C. 6 倍 D. 8 倍以面积为的正方形的对角线为边 ,作一个正方形 ,其面积为（）2.9cmA. 9cm2B. 12cm2C. 18cm2D. 249m23.直角三角形两直角边长分别为6cm 和 8cm,则连接两直角边中点的线段长（）(A) 10cm(B)3cm(C)4cm(D)5cm4. 已知一直角三角形的木板2则斜边长为（）, 三边的平方和为 1800m,（A） 80m(B)30m(C) 90m (D)120m5.下列条件中,不能确定三角形是直角三角形的是（）A.三角形中有两个角是互为余角B.三角形三个内角之比为 3∶ 2∶ 1C.三角形的三边之比为 3∶2∶1D. 三角形中有两个内角的差等于第三个内角6.下列说法中 ,错误的是（）A.△ABC 中,若∠ B=∠C－∠ A,,则△ ABC 是直角三角形B.△ABC 中,a2 =(b+c)(b－ c), 则△ ABC 是直角三角形C．△ ABC 中,∠A:∠B:∠C=3: 4: 5, 则△ ABC 是直角三角形D. △ABC 中,a: b: c=3: 4: 5, 则△ ABC 是直角三角形7.如果△ ABC 的三边分别为m2 1 ,2m, m2 1 （m>1）,那么（）A.△ABC 是直角三角形 ,且斜边长为m21B.△ABC 是直角三角形 ,且斜边长为2mC.△ABC 是直角三角形 ,但斜边长需由 m 的大小确定D.△ABC 是钝角三角形 ,且最长边为m218.在直角三角形中 ,斜边与较小直角边的和、差分别为8、2,则较长直角边长为（）（A） 5(B)4(C)3(D)29.如果一个三角形的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,则这个三角形一定是 ()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D.等腰三角形1 / 410.小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为 58 厘米 , 宽为 46 厘米 , 则这台电视机的尺寸是 ( 实际测量的误差可不计 ) ( )(A).9英寸 (23 厘米 )(B).21英寸 (54厘米 )(C).29英寸 (74厘米 )(D).34英寸 (87厘米 )二 . 填空题（每小题 3 分,共 30 分）11.小明把一根 70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为 30cm、40cm、50cm的木箱中 , 他能放进去吗？答：.（填“能”、或“不能”）12.已知直角三角形两直角边的长分别为3cm,4cm,第三边上的高为.13 有一根长 24 cm 的小木棒 ,把它分成三段 ,组成一个直角三角形 ,且每段的长度都是偶数 , 则三段小木棒的长度分别是 ________cm 、 _________cm 、_________cm.14.一个三角形三个内角之比为1∶ 1∶ 2,则这个三角形的三边比为_________.15.若三角形的三边长a、b、c 满足(a b )2 c 22ab ,则此三角形是__________三角形 .16 消防云梯的长度是34 米,在一次执行任务时,它只能停在离大楼16 米远的地方 , 则云梯能达到大楼的高度是米.17. 如图 , 在△ ABC中,CE 是 AB边上的中线 ,CD⊥AB于 D,且 AB=5,BC=4,AC=6,则 DE的长为.18.如图 , 四边形 ABCD中,AD⊥ DC,AD=8,DC=6,CB=24,AB=26则.四边形 ABCD的面积为.19.如图：一个长为 25 分米的梯子斜立在一竖直的墙上 ,这时梯足距墙底端 7 分米,如果梯子的顶端沿墙下滑 4 分米 ,那么梯足将滑出 __________;20.2002年8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。
北师大版八年级上册数学第一章测试题(附答案)
北师大版八年级上册数学第一章测试题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一颗大树，在一次强风中，这课大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（）A. 一定不会B. 可能会C. 一定会D. 以上答案都不对2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=5，BC=3，那么AC等于（）A. B. 3 C. 4 D. 53.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2的值是（）A. 2B. 4C. 6D. 84.一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A. 斜边长为25B. 三角形周长为25C. 斜边长为5D. 三角形面积为205.在Rt△ABC中，a，b为直角边，c为斜边．若a+b=21，c=15，则△ABC的面积是（）A. 25B. 54C. 63D. 无法确定6.已知直角三角形两边的长为6和8，则此三角形的周长为（）A. 24B. 14+2C. 24或14+2D. 以上都不对7.直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（）A. 27cmB. 30cmC. 40cmD. 48cm8.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°9.如图，∠ACB=90°，CD是斜边上的高，AC=3，BC=4，则CD的长为（）A. 1.6B. 2.4C. 2D. 2.110.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）2+=0，则三角形的形状是（）A. 底与腰不相等的等腰三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形11.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )A. 直角三角形的面积B. 最大正方形的面积C. 较小两个正方形重叠部分的面积D. 最大正方形与直角三角形的面积和12.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大正三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A. 直角三角形的面积B. 较小两个正三角重叠部分的面积C. 最大正三角形的面积D. 最大正三角形与直角三角形的面积差二、填空题（共6题；共12分）13.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a=6，b=8，则c=________．14.在平静的湖面上，有一朵红莲，高出水面1 m，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵贴到水面，已知红莲移动的水平距离为2 m，则这里的水深是________m.15.已知三角形的三边长分别为，，，则此三角形的最长边上的高等于________。
北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理 单元检测试题(含答案)
第一章勾股定理单元检测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（）A.、、B.、、C.、、D.、、2. 已知一个的两边长分别为和，则第三边长的平方是( )A. B. C. D.或3. 如图所示，一个梯子长米，顶端靠墙上，这时梯子下端与墙角距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端下落了( )米．A. B. C. D.4. 用四个边长均为、、的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.．5. 如图，以的三边分别向外作正方形，则以为边的正方形的面积等于（）A. B. C. D.6. 下列各组数据不是勾股数的是A.，，B.，，C.，，D.，，7. 如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为( )A. B. C. D.8. 如图，在一块平地上，停在一辆大客车前处有一棵大树．在一次强风中，这棵树从离地面处正对大客车方向折断倒下，若倒下部分的长是，则大树倒下时会碰到客车吗？（）A.不会B.可能会C.一定会D.无法确定9. 有长度分别为，，，，，，，，，的木棒，用它来摆成直角三角形，可以重复使用，问可摆成不同的直角三角形的个数为（）A.个B.个C.个D.个10. 如图所示，是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（）A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④二、填空题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）11. 在中，若，则是________三角形，________是直角；若，则是________．12. 一个圆锥体形状的水晶饰品，母线长是，底面圆的直径是，点为圆锥底面圆周上一点，从点开始绕圆锥侧面缠绕一圈彩带回到点，则彩带最少用________厘米．（接口处重合部分忽略不计）13. 如图，把长、宽、对角线的长分别是、、的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是________．14. 如图，一个上方无盖的长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由盒外处出发，沿着盒子面爬行到盒内的点处，已知，，，，这只蚂蚁爬行的最短距离是________．15. 如图，起重机吊运物体，．若，，则________．16. 如图，圆柱形玻璃杯高为、底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________．17. 如图．是用个全等的直角三角形和一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是，小正方形的面积为，若用、表示直角三角形的两条直角边，则＝________．18. 如图，长方体的长、宽、高分别是、、，如果一只小虫从点开始爬行，经过个侧面爬行到另一个侧棱的中点处，则所爬行的最短的长度为________．三、解答题（本题共计7 小题，共计66分，）19. 如图，一只蚂蚁沿边长是的正方体表面从顶点爬到顶点，求它走过的最短路程，并画出示意图．20. 如图，已知在中，于点，，，.求，的长；求证：是直角三角形．21. 已知，如图，在四边形中，，，，求证：．22. 如图，两个直角三角形的直角边，在同一直线上，斜边为，请利用三角形和梯形面积公式验证勾股定理．23. 如图，有一个底面半径为，高为的圆柱，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物后再返回到点处休息，请问它需爬行的最短路程约是多少？取整数24. 消防队员进行消防演练，在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为，如图，即，此时建筑物中距地面高的处有一被困人员需要救援，已知消防云梯车的车身高是，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？25. 如图所示，、两块试验田相距米，为水源地，，，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地直接修筑两条水渠分别到、；乙方案；过点作的垂线，垂足为，先从水源地修筑一条水渠到所在直线上的处，再从分别向、进行修筑．（1）请判断的形状（要求写出推理过程）；（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【解答】解：、，能构成直角三角形；、，不能构成直角三角形；、，不能构成直角三角形；、，不能构成直角三角形；故选．2.【答案】D【解答】解：分两种情况：①，都为直角边，由勾股定理得，第三边长是，∴第三边长的平方为.②为直角边，为斜边，由勾股定理得，第三边长是，∴第三边长的平方是.故选．3.【答案】B【解答】解：在中，米，米，故米，在中，米，米，故米，故米．故选.4.【答案】A【解答】解：由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其边长为，里边的小四边形也为正方形，边长为，则有，整理得：．故选．5.【答案】C【解答】∵是直角三角形，∴＝，即＝，∴＝＝＝．6.【答案】A【解答】解：，，不能构成直角三角形，所以不是勾股数，故符合题意；，，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；，，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；，，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意.故选.7.【答案】D【解答】解：将圆柱侧面展开，如图，过作的对称点，连接，则即为最短距离，则.由题意得，，∴，∴，∴底面周长.故选.8.【答案】A【解答】如图所示，＝米，＝米，根据勾股定理得，米米．9.【答案】D【解答】解：∵，，，，，∴可摆成不同的直角三角形个．故选．10.【答案】B【解答】解：①大正方形的面积是，则其边长是，显然，利用勾股定理可得，故选项①正确；②小正方形的面积是，则其边长是，根据图可发现，即，故选项②正确；③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积大正方形的面积，即，化简得，故选项③正确；④，则，故此选项不正确．故选．二、填空题（本题共计8 小题，每题 3 分，共计24分）11.【答案】直角,,钝角【解答】解：∵，∴，∴这个三角形是直角三角形，是最长边，∴边所对的为直角．故答案为：直角；；在中，∵，∴，由余弦定理可得：，∴为钝角，故答案为：钝角．12.【答案】【解答】解：由两点间直线距离最短可知，圆锥侧面展开图最短，由题意可得出：，，解得：，∴，∴，故答案为：．13.【答案】【解答】解：此图可以这样理解，有三个其面积分别为，和．还有一个直角梯形，其面积为．由图形可知：，整理得，，∴．故答案为：．14.【答案】【解答】解：如图所示，．故答案为：．15.【答案】【解答】解：由题意可得：．故答案为：．16.【答案】【解答】解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形，过作于，作关于的对称点，连结交于，连结，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵，，∴.∵，，在中，由勾股定理得：，故答案为：.17.【答案】【解答】利用勾股定理得＝；利用小正方形的边长得到＝，则＝，可得：＝，所以＝＝，18.【答案】【解答】解：分为三种情况：①如图将正面与右面展开在同一平面，连接，由勾股定理得：；②如图将下底面与后面展开在同一平面，连接，由勾股定理得：；③如图将下底面与右面展开在同一平面，连接，由勾股定理得：，即从处爬到处的最短路程是．故答案为．三、解答题（本题共计7 小题，每题10 分，共计70分）19.【答案】解：如图所示：将正方体展开，连接、，根据两点之间线段最短，．【解答】解：如图所示：将正方体展开，连接、，根据两点之间线段最短，．20.【答案】解：∵在中，，，∴．在中，，，∴．∴．证明：∵，，，∴，，∴，∴是直角三角形．【解答】解：∵在中，，，∴．在中，，，∴．∴．证明：∵，，，∴，，∴，∴是直角三角形．21.【答案】证明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【解答】证明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．22.【答案】解：由图可得，，整理得，，∴，∴．【解答】解：由图可得，，整理得，，∴，∴．23.【答案】解：将圆柱体展开，连接、，根据两点之间线段最短，根据题意可得：，是圆周的一半，∴，∴，∴它需爬行的最短路程约是．【解答】解：将圆柱体展开，连接、，根据两点之间线段最短，根据题意可得：，是圆周的一半，∴，∴，∴它需爬行的最短路程约是．24.【答案】解：由题意可知：，，，，∴，在中，.答：此消防车的云梯至少应伸长米.【解答】解：由题意可知：，，，，∴，在中，.答：此消防车的云梯至少应伸长米.25.【答案】解：是直角三角形；理由如下：∴，，∴，∴是直角三角形，；（2）甲方案所修的水渠较短；理由如下：∵是直角三角形，∴的面积，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴甲方案所修的水渠较短．【解答】解：是直角三角形；理由如下：∴，，∴，∴是直角三角形，；（2）甲方案所修的水渠较短；理由如下：∵是直角三角形，∴的面积，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴甲方案所修的水渠较短．。
北师大版八年级上册数学第一章单元测试题(含答案)
试卷第1页，共8页 北师大版八年级上册数学第一章单元测试题（含答案）一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ⊥于点D ，则BD 的长为（ ）A ．45B ．85C ．165D ．2452．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若()221a b +=，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．153．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中5AE =，13BE =，则2EF 的值是（ ）试卷第2页，共8页A ．128B ．64C ．32D ．1444．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ）A ．4B ．8C ．12D ．165．往直径为26cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽24cm AB =，则水的最大深度为（ ）A ．8cmB ．10cmC ．16cmD ．20cm6．如图，圆柱的底面周长为12cm ，AB 是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC 上有一点D ，且10cm BC =，2cm DC =．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短路程是（ ）cm ．试卷第3页，共8页A ．14B ．12C ．10D ．87．观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a ，b ，a b >，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（ ）A ．2()a a b a ab -=-B ．22()()a b a b a b +-=-C ．222( )2a b a ab b -=-+D ．222()2a b a ab b +=++8．我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数c 能表示为两个正整数a ，b 的平方和，即22c a b =+，那么称a ，b ，c 为一组广义勾股数，c 为广义斜边数，则下面的结论：①m 为正整数，则3m ，4m ，5m 为一组勾股数；①1，2，3是一组广义勾股数；①13是广义斜边数；①两个广义斜边数的和是广义斜边数；①若2222,12,221a k k b k c k k =+=+=++，其中k 为正整数，则a ，b ，c 为一组勾股数；①两个广义斜边数的积是广义斜边数．依次正确的是（ ）A ．①①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①9．如图， Rt AED △中，90,,3,11AED AB AC AD EC BE ∠=====，则ED 的值为（ ）试卷第4页，共8页ABCD110．如图，在①ABC 中，AB ＝2，①ABC ＝60°，①ACB ＝45°，D 是BC 的中点，直线l 经过点D ，AE ①l ，BF ①l ，垂足分别为E ，F ，则AE +BF 的最大值为（ ）AB ．C ．D ．11．在Rt①ABC 中，①C ＝90°，AC ＝10，BC ＝12，点D 为线段BC 上一动点．以CD 为①O 直径，作AD 交①O 于点E ，则BE 的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1212．中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；①两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；①若c 2为“整弦数”，则c 不可能为正整数；①若m ＝a 12+b 12，n ＝a 22+b 22，11a b ≠22a b ，且m ，n ，a 1，a 2，b 1，b 2均为正整数，则m 与n 之积为“整弦数”；①若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)试卷第5页，共8页 13．如图，OE ①AB 于E ，若①O 的半径为10，OE ＝6，则AB ＝_______．14．一根直立于水中的芦节（BD ）高出水面（AC ）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D 恰好到达水面的C 处，且C 到BD 的距离AC ＝6米，水的深度（AB ）为________米15．学习完《勾股定理》后，尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为1米，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端4米，则旗杆的高度为______米．16．已知2(4)5y x x -+，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应y 值的总和是__________．17．一个数的平方根是4a 和25a +，则=a _________，这个正数是_________．18．已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足2(3)50a c--=，则这个三角形的形状是_______．19732x y--，则2x﹣18y2＝_____．20．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是______cm三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；①根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；①牵线放风筝的小明的身高为1.6米．(1)求风筝的垂直高度CE；试卷第6页，共8页试卷第7页，共8页 (2)如果小明想风筝沿CD 方向下降12米，则他应该往回收线多少米？22．在一条东西走向河的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB ＝AC ，由于种种原因，由C 到A 的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A ，H ，B 在一条直线上），并新修一条路CH ，测得CB ＝3千米，CH ＝2.4千米，HB ＝1.8千米．（1）问CH 是不是从村庄C 到河边的最近路，请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC 的长．23．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C 处吹折，竹子的顶端A 刚好触地，且与竹子底端的距离AB 是4米．求竹子折断处与根部的距离CB ．24．太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE ，他们进行了如下操作： ①测得BD 的长为15米（注：BD CE ）；①根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；①牵线放风筝的小明身高1.7米．(1)求风筝的高度CE．(2)过点D作DH BC⊥，垂足为H，求BH的长度．25．（12，其中4x=．（2）已知x=y=，求22x xy y-+值．试卷第8页，共8页参考答案1．C2．B3．A4．B5．A6．C7．C8．D9．A10．A11．B12．C13．1614．815．7.5；16．203217．-3118．直角三角形19．2220．1621．(1)风筝的高度CE为21.6米；(2)他应该往回收线8米．22．（1）是；（2）2.5米．23．3米24．(1)风筝的高度CE为21.7米(2)BH的长度为9米25．（1）62,122x（2）11答案第9页，共1页。
北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理--动点问题 练习(含答案)
《勾股定理--动点问题》一、单选题1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝90°，若P 是AC 上的一个动点，则AP+BP+CP 的最小值是（ ）A ．14.8B ．15C ．15.2D ．162．如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AB ＝25cm ，AC ＝7cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度运动，设运动时间为ts ，当△APB 为等腰三角形时，t 的值为（ ）A ．62596或252B ．252或24或12C ．62596或24或12D ．62596或252或243．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，连接AC ，∠BAC ＝45°，∠CAD ＝30°，CD ＝2，点P 是四边形ABCD 边上的一个动点，若点P 到AC 的距离为3，则点P 的位置有（ ）A ．4处B ．3处C ．2处D ．1处4．如图，在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，则DE+DF ＝（ ）A ．5B ．8C ．13D ．4.85．已知Rt △BCE 和Rt △ADE 按如图方式摆放，∠A ＝∠B ＝90°，A 、E 、B 在一条直线上，AD ＝3，AE ＝4，EB ＝5，BC ＝12，M 是线段AD 上的动点，N 是线段BC 上的动点，MN 的长度不可能是（ ）A ．9B ．12C ．14D ．16二、填空题6．如图，已知∠AOM＝45°，OA=2，点B是射线OM上的一个动点．当△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为 ．7．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝6，BC＝8，P是BC边上的一动点（P不与点B、C重合），∠B＝∠APE，边PE与AC交于点D，当△APD为等腰三角形时，则PB的长为 ．8．如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是 ．9．如图，在三角形△ABC中，∠A＝45°，AB＝8，CD为AB边上的高，CD＝6，点P为边BC上的一动点，P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接P1P2，则线段P1P2长度的取值范围是 ．三、解答题10．如图，∠AOB＝90°，点C在OA边上，OA＝36cm，OB＝12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C 点相遇，求BC的长度？11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．点P从点A出发沿AB方向以1cm/s 的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）当t＝2时，求P，Q两点之间的距离；（3）当AP＝CQ时，求t的值？12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，点P从点A沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，点Q从点B沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）运动几秒后，△PBQ是等腰三角形；（3）运动过程中，直线PQ能否平分△ABC的周长，若能，求出t的值，若不能，请说明理由．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．14．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？15．某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练．已知：△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3；机器人从点C出发，沿着△ABC边按C→B→A→C的方向匀速移动到点C停止；机器人移动速度为每秒1个单位，移动至拐角处调整方向需要0.5秒（即在B、A处拐弯时分别用时0.5秒）．设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）．（1）点C到AB边的距离是 ；（2）是否存在这样的时刻，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．16．如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE；（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD．17．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长；（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？18．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求AC的长及斜边AB上的高；（2）①当点P在AC延长线上运动时，CP的长为 ；（用含t的代数式表示）②若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为 ；（3）在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值．度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求AC的长．（2）求斜边AB上的高．（3）①当点P在BC上时，PC的长为 ．（用含t的代数式表示）②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 ．（4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值．答案一、单选题1．【思路点拨】利用勾股定理求出AC，根据垂线段最短，求出BP的最小值即可解决问题．【解题过程】解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=AB2+BC2=62+82=10，∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10，根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的值最小，最小值BP=AB⋅BCAC =245= 4.8，∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8，故选：A．2．【思路点拨】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【解题过程】解：∵∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，∴BC＝24cm．①当BP＝BA＝25时，∴t=252．②当AB＝AP时，BP＝2BC＝48cm，∴t＝24．③当PB＝PA时，PB＝PA＝2t cm，CP＝（24﹣2t）cm，AC＝7cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，∴（2t）2＝72+（24﹣2t）2，解得t=62596．综上，当△ABP为等腰三角形时，t=252或24或62596，3．【思路点拨】根据勾股定理，可以求得AC、AD、BC和AB的长，然后即可得到点D到AC的距离和点B到AC 的距离，从而可以得到满足条件的点P有几处，本题得以解决．【解题过程】解：∵∠CAD＝30°，CD＝2，∠D＝90°，∴AC＝4，AD=AC2−C D2=42−22=23，∴在Rt△ADC中，斜边AC上的高是：AD⋅CDAC =23×24=3，∵AC＝4，∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴AB＝BC＝22，∴在Rt△ABC中，斜边AC上的高是：BC⋅ABAC =22×224=2，∵3＜2，点P是四边形ABCD边上的一个动点，点P到AC的距离为3，∴点P的位置在点D处，或者边BC上或者边AB上，即满足条件的点P有3处，故选：B．4．【思路点拨】连接CD，过C点作底边AB上的高CG，根据S△ABC＝S△ACD+S△DCB不难求得DE+DF的值．【解题过程】解：连接CD，过C点作底边AB上的高CG，∵AC＝BC＝5，AB＝8，∴BG＝4，CG=BC2−B G2=52−42=3，∵S△ABC＝S△ACD+S△DCB，∴AB•CG＝AC•DE+BC•DF，∴8×3＝5×（DE+DF）∴DE+DF＝4.8．故选：D．5．【思路点拨】根据已知条件易求AB＝9，AD∥BC，再确定MN的最大值及最小值可求出MN的取值范围，进而可求解．【解题过程】解：∵AE＝4，EB＝5，∴AB＝AE+EB＝4+5＝9，∵∠DAE＝∠B＝90°，∴∠DAE+∠B＝180°，∴AD∥BC，当M点与A点重合，N点与C点重合时，如图，∵∠B＝90°，BC＝12，∴MN=AB2+BC2=92+122=15；当M点与A点重合，N点与B点重合时，如图，MN＝AB＝9，∴9≤MN≤15，∴MN的长度不可能是16，故选：D．二、填空题6．【思路点拨】分三种情况，当OB＝AB，OA＝AB，OA＝OB时，由等腰三角形的性质可求出答案．【解题过程】解：当△AOB为等腰三角形时，分三种情况：①如图，OB＝AB，∴∠O＝∠OAB，∵∠AOM＝45°，∴∠ABO＝90°，∴OB＝1；②如图，OA＝OB=2；③如图，OA＝AB，∴∠O＝∠ABO＝45°，∴∠A＝90°，∴OB=OA2+AB2=2+2=2．综上所述，OB的长为1或2或2．故答案为：1或2或2．7．【思路点拨】需要分类讨论：①当AP＝PD时，易得△ABP≌△PCD．②当AD＝PD时，根据等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式求得答案．③当AD＝AP时，点P与点B重合．【解题过程】解：①当AP＝PD时，则△ABP≌△PCD，则PC＝AB＝6，故PB＝2．②当AD＝PD时，∴∠PAD＝∠APD，∵∠B＝∠APD＝∠C，∴∠PAD＝∠C，∴PA＝PC，过A作AG⊥BC于G，∴CG＝4，∴AG=AC2−C G2=62−42=25，过P作PH⊥AC于H，∴CH＝3，设PC＝x，∴S△APC=12AG•PC=12AC•PH，∴5x＝3×PH，x，∴PH=53∵PC2＝PH2+CH2，∴x2＝（5x）2+9，3（负值舍去），解得：x=92∴PC=9，2∴PB=7；2③当AD＝AP时，点P与点B重合，不合题意．．综上所述，PB的长为2或72故答案为：2或7．28．【思路点拨】分为三种情况：①PQ＝BP，②BQ＝QP，③BQ＝BP，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．【解题过程】解：∵OA＝8，OB＝6，C点与A点关于直线OB对称，∴BC＝AB=42+32=5，分为3种情况：①当PB＝PQ时，∵C点与A点关于直线OB对称，∴∠BAO＝∠BCO，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BPQ＝∠BCO，∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝∠BCO+∠CBP，∴∠APQ＝∠CBP，在△APQ与△CBP中，{∠QAP=∠PCB∠APQ=∠CBP，QP=PB∴△APQ≌△CBP（AAS），∴PA＝BC，此时OP＝5﹣4＝1；②当BQ＝BP时，∠BPQ＝∠BQP，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BAO＝∠BQP，根据三角形外角性质得：∠BQP＞∠BAO，∴这种情况不存在；③当QB＝QP时，∠QBP＝∠BPQ＝∠BAO，∴PB＝PA，设OP＝x，则PB＝PA＝4﹣x，在Rt△OBP中，PB2＝OP2+OB2，∴（4﹣x）2＝x2+32，解得：x=7；8∵点P在AC上，∴点P在点O左边，此时OP=7．8．∴当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是1或78故答案为：1或7．89．【思路点拨】如图，连接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H．证明△P1AP2是等腰直角三角形，推出P1P2=2 PA，求出PA的取值范围即可解决问题．【解题过程】解：如图，连接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H．∵P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，∴AP＝AP1＝AP2，∠PAB＝∠BAP1，∠PAC＝∠CAP2，∵∠BAC＝45°，∴∠P1AP2是等腰直角三角形，∴P1P2=2AP2=2PA．∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，∴AD＝DC＝6，∴AC＝62＞AB，∵AB＝8，∴BD＝2，BC=BD2+CD2=4+36=210，∵S△ABC=12•BC•AH=12•AB•CD，∴AH=8×6210=12510，∵12105≤PA≤62，∴2455≤P1P2≤12．故答案为2455≤P1P2≤12．三、解答题10．解：∵点P、Q同时出发，且速度相同，∴BC＝CA，设BC＝xcm，则CA＝xcm，∵OA＝36cm∴OC＝（36﹣x）cm，∵∠AOB＝90°∴OB2+OC2＝BC2，∴122+（36﹣x）2＝x2，解得：x＝20，∴BC＝20cm．11．解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，∴BC=AC2−A B2=24cm．（2）如图，连接PQ，BP＝7﹣2＝5，BQ＝6×2＝12，在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ=BP2+BQ2=13（cm）；（3）设t秒后，AP＝CQ．则t＝24﹣6t，．解得 t=247秒，AP＝CQ．答：P、Q两点运动24712．解：（1）由勾股定理得，BC=AC2−A B2=252−72=24（cm）；（2）∵△PBQ是等腰三角形，∠B＝90°，∴BP＝BQ，则7﹣1×t＝6t，解得t＝1，∴运动1秒后，△PBQ是等腰三角形；（3）假设直线PQ能平分△ABC的周长，则BP+BQ=12(AB+BC+AC)=12(7+24+25)=28（cm），则7﹣1×t+6t＝28，解得t=215，当t=215时，点Q的运动路程为6×215=25.2＞24，∴直线PQ不能平分△ABC的周长．13．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AB2−A C2=102−62=8（cm）；（2）存在，理由如下：如图，当点P恰好运动到∠BAC平分线上时，点P到直线AB的距离与点P到点C的距离相等，由已知可得：BP＝2tcm，PC＝BC﹣BP＝（8﹣2t）cm，连接AP，过点P作PE⊥AB于E，如图所示：则PE＝PC＝（8﹣2t）cm，在△AEP与△ACP中，{∠PAE=∠PAC∠AEP=∠C=90°AP=AP，∴△AEP≌△ACP（AAS），∴AE＝AC＝6cm，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），在Rt△BEP中，由勾股定理得：BP2＝BE2+PE2，即（2t）2＝42+（8﹣2t）2，解得：t=52，即当t的值为52时，点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等．14．解：（1）∵运动时间为4秒，∴BQ＝2×4＝8（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣1×4＝12（cm），在Rt△PQB中，根据勾股定理得：PQ=BQ2+BP2=82+122=413（cm）；（2）设运动时间为t秒，则BQ＝2t（cm），BP＝（16﹣t）（cm），根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t=163，即出发163秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）当点Q在CA边上，且△CQB形成直角三角形时，过点B作CA的垂线，垂足即为点Q．在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC=AB2+BC2=162+122=20（cm），根据三角形面积公式可得：BQ=AB⋅BCAC =12×1620=485（cm），在Rt△BCQ中，根据勾股定理得：CQ=BC2−B Q2=122−(485)2=365（cm），（12+365）÷2＝9.6（秒），当点Q运动到点A时，△CQB也形成直角三角形，（12+20）÷2＝16（秒）．∴当点Q在边CA上运动时，出发9.6或16秒钟后，△CQB能形成直角三角形．15．解：（1）△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∵AB＝5，BC＝3，∵52＝AC2+32，∴AC＝4，∴点C到AB边的距离=AC⋅BCAB =3×45= 2.4；故答案为：2.4；（2）存在，使△PBC为等腰三角形时，P在AB上或在AC上，当P在AB上时，①BC＝BP，如图1，∵BP＝t﹣0.5﹣3，∴t﹣0.5﹣3＝3，解得：t＝6.5；②CB＝CP，如图2，过点C作CD⊥AB于D，则BD＝PD，由（1）知：CD＝2.4，∵BC＝3，∴BD=32−2．42=1.8，∴BP＝3.6，∴t＝3.6+3+0.5＝7.1；③PB＝CP，如图3，∴∠B＝∠PCB，∵∠ACP+∠PCB＝∠A+∠B＝90°，∴∠ACP＝∠A，∴AP＝CP＝BP＝2.5，∴t＝2.5+0.5+3＝6；当P在AC上，如图4，CB＝CP＝3，∴t＝3+5+0.5+0.5+4﹣3＝10．综上所述，t的值为6.5或7.1或6或10．16．解：（1）∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25∴BC＝20，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠EAD，∵AC⊥CB，DE⊥AB，∴∠EDA＝∠ECA＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE（AAS），∴CE＝DE，AC＝AD＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10在Rt△BED中∴x2+102＝（20﹣x）2，∴x＝7.5，∴CE＝7.5．（2）①当AD＝AC时，△ACD为等腰三角形∵AC＝15，∴AD＝AC＝15．②当CD＝AD时，△ACD为等腰三角形∵CD＝AD，∴∠DCA＝∠CAD，∵∠CAB+∠B＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠BCD，∴BD＝CD，∴CD＝BD＝DA＝12.5，③当CD＝AC时，△ACD为等腰三角形，如图1中，作CH⊥BA于点H，则12•AB•CH=12•AC•BC，∵AC＝15，BC＝20，AB＝25，∴CH＝12，在Rt△ACH中，AH=AC2−C H2=9，∵CD＝AC，CH⊥BA，∴DH＝HA＝9，∴AD＝18．17．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．∵∠C＝90°，∴由勾股定理得PB＝210cm∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+210=（16+210）cm；（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，∵BP平分∠ABC，∴PD＝PC．在Rt△BPD与Rt△BPC中，{PD=PCBP=BP，∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），∴BD＝BC＝6 cm，∴AD＝10﹣6＝4 cm．设PC＝x cm，则PA＝（8﹣x）cm在Rt△APD中，PD2+AD2＝PA2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴当t＝3秒时，AP平分∠CAB；（3）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；若P在AB边上时，有两种情况：①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP＝7.2cm，所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC ∴PA＝PB＝5cm∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．∴t＝6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形．18．解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP=AC2+PC2=164=241．答：AP的长为241．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB=64+256=320=85若BA＝BP，则 2t＝85，解得t＝45；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为45、16、5．（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：则∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．19．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，由勾股定理得：AC＝4．设斜边AB上的高为h，∵12AB•h=12AC•BC，∴5h＝3×4，∴h＝2.4．∴AC的长为4，斜边AB上的高为2.4；（2）已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，①当点P在CB上时，点P运动的长度为：AC+CP＝2t，∵AC＝4，∴CP＝2t﹣AC＝2t﹣4．故答案为：2t﹣4．②若点P在∠ABC的角平分线上，则：设PM＝PC＝y，则AP＝4﹣y，在Rt△APM中，AM2+PM2＝AP2，∴22+y2＝（4﹣y）2，解得y=32，(4−32)÷2=54，即若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为54．故答案为：54．（3）当AB作为底边时，如图所示：∵APAM =AP2.5=54，∴AP＝3.125，此时t＝3.125÷2＝1.5625；当AB作为腰时，如图所示：AP1＝AB＝5，此时t＝5÷2＝2.5；AP2＝2AC＝8，此时t＝4，综上，t的值为1.5625或2.5或4．20．解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC=AB2−B C2=102−62=8；（2）设边AB上的高为h则S△ABC =12AC⋅BC=12AB⋅h，∴12×6×8=12×10⋅h，∴h=245，答：斜边AB上的高为245；（3）①当点P在BC上时，点P运动的长度为AB+BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝6﹣（2t﹣10）＝6﹣2t+10＝16﹣2t；②当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图：∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，∴PD＝PC，有①知，PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，∴PD＝16﹣2t，在Rt△ACP和Rt△ADP中，{AP=APPD=PC，∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），∴AD＝AC＝8，又∵AB＝10，∴BD＝2，在Rt△BDP中，由勾股定理得：22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，解得：t=20．3．故答案为：①16﹣2t；②203（4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AB上，①当点P在线段AB上时，若BC＝BP，则点P运动的长度为AP＝2t，∵AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4，∴2t＝4，∴t＝2；②若PC＝BC，如图，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AB•CH＝AC•BC，∴10CH＝8×6，∴CH=245，在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH=BC2−C H2=62−(245)2=185= 3.6，∴BP＝2BH＝7.2，∴点P运动的长度为：AP＝AB﹣BP＝10﹣7.2＝2.8，∴2t＝2.8，∴t＝1.4；③若PC＝PB，如图所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，则BQ＝CQ=12×BC＝3，∠PQB＝90°，∴∠ACB＝∠PQB＝90°，∴PQ∥AC，∴PQ为△ABC的中位线，∴PQ=12×AC=12×8＝4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP=BQ2+PQ2=32+42=5，点P运动的长度为AP＝2t，AP＝AB﹣BP＝10﹣5＝5，∴2t＝5，∴t＝2.5．综上，t的值为1.4或2或2.5．。
北师大版八年级数学上册第一章同步测试题及答案
北师大版八年级数学上册第一章同步测试题及答案1 探索勾股定理一、选择题。
1. 直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则下列关于a，b，c三边的关系式不正确的是（）A. b2=c2，a2B. a2=c2，b2C. b2=a2，c2D. c2=a2+b22. 一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A. 斜边长为5B. 三角形的周长为25C. 斜边长为25D. 三角形的面积为203. 如图，点E在正方形ABCD内，满足，AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）A. 48B. 60C. 76D. 804. 在Rt，ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A. 18B. 9C. 6D. 无法计算5. 在Rt，ABC中，，C=90°，若AC=5，BC=12，则AB的长为（）A. 5B. 12C. 13D. 156. 若直角三角形的三边长分别为3，5，x，则x的可能值有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 如图，分别以直角，ABC的三边AB，BC，CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（）A. S1=S2B. S1，S2C. S1，S2D. 无法确定8. 在Rt，ABC中，，C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A. 365B. 1225C. 94D. 3√349. 直角三角形的周长为12，斜边长为5，则面积为（）A. 12B. 10C. 8D. 6二、填空题。
10. 在Rt，ABC中，，B=90°，a，b，c分别是，A，，B，，C的对边，且a=12，b=13，则c的值为______，11. 甲船以15海里/时的速度离开港口向北航行，乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距______海里．12. 如图，在，ABC中，，ABC=90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2=4，S3=6，则S1=______，13. 如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是______，14. 如图，，MCF=，FCD，，MCE=，ECB，EF=10cm，则CE2+CF2=______，15. 在直角三角形ABC中，，C=90°，BC=12，AC=9，则AB=______，16. 等腰，ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是______cm，17. 如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，Rt，ABF中，，AFB=90°，AF=4，AB=5．四边形EFGH 的面积是______，18. 在Rt，ABC中，，C=90°，AD平分，CAB，AC=6，BC=8，CD=______，三、解答题。
北师大版八年级数学上册第一章复习测试卷
北 南 A 东第8题图第一章《勾股定理》单元检测题一、选择题1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 ( )A. 1.5, 2, 3;B. 7, 24, 25;C. 6 ,8, 10;D. 9, 12, 15. 2、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ）A 、6厘米B 、8厘米C 、1380厘米D 、1360厘米3、若等腰三角形腰长为10cm ，底边长为16 cm,那么它的面积为 （ ） A. 48 cm 2 B. 36 cm 2 C. 24 cm 2 D.12 cm 24、如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面 成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）A ．10米B ．15米C ．25米D ．30米 5、如图中字母A 所代表的正方形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 646、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边比斜边短1cm ，则斜边长为 （ ） A.18 cm B.20 cm C.24 cm D.25 cm7、一部电视机屏幕的长为58厘米,宽为46厘米,则这部电视机大小规格（实际测量误差忽略不计）（ ）A.34英寸（87厘米）B.29英寸（74厘米）C. 25英寸（64厘米）D.21英寸（54厘米）8、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）A 、25海里B 、30海里C 、35海里D 、40海里二、填空题09、在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝ ． 10、在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝10，a ＝6，则C Rt △ABc ＝ ．11、已知一个三角形的三边长分别是12cm ，16cm ，20cm ，则这个三角形的面积为 .12、如图，带阴影的正方形面积是 .（5题图） 30°4题图13、如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有 米。
初中数学北师大版八年级上学期_第一章测试卷
初中数学北师大版八年级上学期第一章测试卷一、单选题（共8题；共16分）1. 下列选项中，是直角三角形的三边长的是（）A.1，2，3B.2，3，4C.3，4，5D.4，5，62. 如果将直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的()A.2倍B.4倍C.3倍D.以上结论都不对3. 下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A.2、3、4B.3、4、6C.5、12、13D.6、7、114. 如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是()A.9B.2√10C.3√2+6D.125. 如图，一客轮以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一客轮同时以12海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里6. 若Rt△ABC中，∠C=90∘，且AB=10，BC=8，则AC的值是（）A.5B.6C.7D.87. 将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A.ℎ≤15cmB.ℎ≥8cmC.8cm≤ℎ≤17cmD.7cm≤ℎ≤16cm8. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程正确的是（）A.(x+2)2+(x−4)2＝x2B.(x−2)2+(x−4)2＝x2C.x2+(x−2)2＝(x−4)2D.(x−2)2+x2＝(x+4)2二、填空题（共4题；共4分）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是________.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为________ ．如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是________．活动楼梯如图所示，∠B＝90∘，斜坡AC的坡度为1:1，斜坡AC的坡面长度为8m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升的高度BC为________．三、解答题（共2题；共10分）如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速．如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪A60m的C处，过了4s 后，小汽车到达离车速检测仪A100m的B处，已知该段城市街道的限速为60km/ℎ，请问这辆小汽车是否超速？四、综合题（共4题；共41分）如图，正方形网格中的两个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，一个顶点为格点的三角形称为格点三角形：（1）如图①，已知格点△ABC，则△ABC________（是或不是）直角三角形：（2）画一个格点△DEF，使其为钝角三角形，且面积为4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D为边AC上一点，且BC=3CD，BD=10。
第一章 勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)
第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是( )A.18B.114C.194D.3242、如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=10，BE=24，则EF的长是（）A.14B.13C.14D.143、如图所示，直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D、E分别是直线AB，y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是（）A.3B.3C.2D.24、如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y=x的图象上，AB＝4，CB ⊥AB，BC＝2，则OC的最大值为（）A.2 ＋2B.2 ＋4C.2D.2 ＋25、直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为( )A. B. C. D.6、设三角形的三边长分别等于下列各组数，能构成直角三角形的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D.4，5，67、如图：在中，，于点D，点P在线段DB上，点M是边AC的中点，连结MP，作，点Q在边BC上.若，则（）A.当时，点P与点D重合B.当时，C.当时，D.当时，8、如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿折叠得到，延长交边于点，则的长为（）A.2B.C.3D.9、如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A.4B.3C.2D.510、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）A.2B.C.1D.11、菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则它的周长和面积分别为A.28、48B.20、24C.28、24D.20、4812、把宽为2cm 的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与圆的两个交点处的度刻恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm ），则该圆的半径是（）A.3 cmB.3.25 cmC.2 cmD.4 cm13、一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处．若M，N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（）A.50°B.60°C.70°D.90°14、若等腰三角形腰长为10cm，底边长为16cm，那么它的面积为（）A.48cm 2B.36cm 2C.24cm 2D.12cm 215、下列各组数中，能构成直角三角形的一组是（）A.2，2，B.1，，2C.4，5，6D.6，8，12二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC与点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE＝1 cm，则BF＝________cm.17、在一个内角为60°的菱形中，一条对角线长为16，则另一条对角线长等于________．18、如图，在△ABC中，，cos B．如果⊙O的半径为cm，且经过点B、C，那么线段AO=________cm．19、如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为________．20、如图，在正方形ABCD中，AB=4，以B为圆心，BA长为半径画弧，点M为弧上一点，MN⊥CD于N，连接CM，则CM－MN的最大值为 ________.21、如图，在平面直角坐标系中，直线 y = -x 与双曲线交于A、B两点，P是以点为圆心，半径长为2的圆上一动点，连结 AP， Q为AP的中点.若线段OQ 长度的最大值为 3.5，则k的值为________.22、某排水管的截面如图，已知截面圆半径OB=10cm，水面宽AB是16cm，则截面水深CD 为________．23、如图, 是⊙的直径，分别与⊙相切于点，若，则图中阴影部分的面积为________.24、用两块完全相同的直角三角形纸片，拼成一个四边形，若直角三角形两直角边分别为3，4，则拼成的四边形中，较长的对角线的长度可能为________.25、若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为________三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上。