2 工程信号分析基础
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第2章 信号分析基础 题库-答案
（1）傅里叶级数实数形式的幅值谱、相位谱；
（2）傅里叶级数复数形式的幅值谱、相位谱；
（3）幅值谱密度。
解：（1）实数形式
傅里叶级数三角形式的展开式：
x(t)
a0 2
n1
(an
cos n0t
bn
sin
n0t )
x(t)
2 2
Acos(0t)
2 2
A sin(0t )
得： a0
0 ， an
形脉冲。
x(t)
t
x1 (t )
x2 (t )
图2-31
解：矩形脉冲信号
x(t
)
E 0
| t | T1 的频谱密度 | t | T1 t
t
X ()
T1 T1
Ee
jt dt
2ET1
sinc(T1)
所以
X1
(
)
sinc(
1 2
)
，
X
2
(
)
3
sinc(
3 2
)
x(t)
1 2
x1 (t
2.5)
x2 (t
过程： T 0
A2
T 1 cos 2t dt
T0
2
A2 2
18.求正弦信号 xt Asin( t ) 的概率密度函数 p(x)。
解：
公式： p(x) lim P(x x(t) x x)
x0
x
过程：
在一个周期内Tx0 t1 t2 P[x x(t) x x] lim Tx Tx0
答：充分条件：绝对可积
充要条件：
（D） a X a f
6．判断对错：1、 随机信号的频域描述为功率谱。（ V ）
机械工程测试技术第二章信号分析基础习题
第二章 信号分析基础（一）填空题1、 测试的基本任务是获取有用的信息，而信息总是蕴涵在某些物理量之中，并依靠它们来传输的。
这些物理量就是 ，其中目前应用最广泛的是电信号。
2、 信号的时域描述，以 为独立变量；而信号的频域描述，以 为独立变量。
3、 周期信号的频谱具有三个特点： ， ， 。
4、 非周期信号包括 信号和 信号。
5、 描述随机信号的时域特征参数有 、 、 。
6、 对信号的双边谱而言，实频谱（幅频谱）总是 对称，虚频谱（相频谱）总是 对称。
7、信号x(t)的均值μx 表示信号的 分量，方差2x σ描述信号的 。
7、 当延时τ＝0时，信号的自相关函数R x (0)= 均方值 ，且为R x (τ)的 最大 值。
9、 周期信号的自相关函数是 周期信号，但不具备原信号的 信息。
10、 为了识别信号类型，常用的信号分析方法有 概率密度函数 、和 自相关函数 。
11、为了获得测试信号的频谱，常用的信号分析方法有 傅立叶变换法 、 和 滤波器法12、 设某一信号的自相关函数为)cos(ωτA ，则该信号的均方值为2x ψ= ，均方根值为x rms = 。
（二）判断对错题（用√或×表示）1、 各态历经随机过程一定是平稳随机过程。
（√）p39-402、 信号的时域描述与频域描述包含相同的信息量。
（ √ ）3、 非周期信号的频谱一定是连续的。
（ ×）(离散傅立叶变换）4、 非周期信号幅频谱与周期信号幅值谱的量纲一样。
（×）5、 随机信号的频域描述为功率谱。
（√）6、 互相关函数是偶实函数。
（ × ）（三）单项选择题1、下列信号中功率信号是（ B ）。
A.指数衰减信号B.正弦信号、C.三角脉冲信号D.矩形脉冲信号2、周期信号x(t) = sin(t/3)的周期为（B ）。
A. 2π/3B. 6πC. π/3D. 2π3、下列信号中周期函数信号是（C ）。
A.指数衰减信号B.随机信号C.余弦信号、D.三角脉冲信号4、设信号的自相关函数为脉冲函数，则自功率谱密度函数必为（D ）。
工程测试技术 第2章 信号分析基础-3
第二章、信号分析基础
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2.5 信号的频域分析
信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为 频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特 征。
傅里叶 变换
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
第二章、信号分析基础
2.5 信号的频域分析
频域分析
Page 25 华中科技大学机械学院
吉布斯现象(Gibbs)
• 吉布斯现象是由于展开式在间断点邻域不能均匀收敛 引起的。
• 例：方波信号
x(t)
T
T
t
2.5 信号的频域分析
频域分析
Page 26 华中科技大学机械学院
N=1
2.5 信号的频域分析
Page 27 华中科技大学机械学院
用线性叠加定理简化
X1(f)
+Page 38 华中科技大学机械学院
5、频谱分析的应用
频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析 中最常用的一种手段。
在齿轮箱故障诊断中，可
以通过齿轮箱振动信号频谱分 析，确定最大频率分量，然后 根据机床转速和传动链，找出 故障齿轮。
2 T
T /2
T /2 x(t) sin n0tdt;
ω0―基波圆频率； f0 ―基频：f0= ω0/2π
An an2 bn2 ;
n
arctan bn an
;
2.5 信号的频域分析
傅里叶级数的复数表达形式：
x(t) Cne jn0t , (n 0,1,2,...) n
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2.5 信号的频域分析
第二章信号分析基础随机信号和相关分析080327
2.6 随机信号
案例：自相关测转速
理想信号
实测信号
干扰信号
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自相关系数
从自相关图可以确定周期因素的 频率，从而得到转速大小。
性质4：可提取周期性转速成分。
2.6 随机信号
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案例：互相关分析对地下输油管道漏损位置的探测
x1,x2处放置传感器1，2，漏损处k视为向两侧传播声波的声源。因两 传感器位置离漏损处不等，其声波传到传感器就有时差，信号x1,x2 做相关分析，找出相关值最大时的τ ，即可确定漏损位置。 （在互相关图上， τ= τm处，Rx1x2(τ)的最大值τm就是时差）
T T
T x2 (t)dt
0
――信号的强度或平均功率
4．概率密度函数：
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x(t)的瞬时值落在某一个 (x, x x) 区间内的概率是
P[x x(t) x x] lim Tx T T
式中：T－观测时间
n
Tx ti i 1
表示信号幅值在T时间内落在 （x,x+△x）区间的总时间。
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数， 即x(t)与y(t)：
x(t)
y(t)
2.6 随机信号
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这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为 函数的相关系数，简称相关函数，并有：
x(t ) y(t )dt
( ) xy
[ x2 (t )dt y2 (t )dt ]1/2
•集合平均：不是沿单个样本的时间轴进行，而是将集 合中所有样本函数对同一时刻ti的观测值取平均；（纵 向） •时间平均：单个样本的时间历程进行平均；（横向）
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第二章信号分析基础-67页精选文档
b)非确定性信号 非确定性信号不能用数学关系式描述，其幅值、相位变化是不可
预知的，所描述的物理现象是一种随机过程。例如，汽车奔驰时所产 生的振动；飞机在大气流中的浮动；树叶随风飘荡；环境噪声等。
加工过程中螺纹车床主轴受环境影响的振动信号波形
然而，须要指出的是，实际物理过程往往是很复杂的，既无 理想的确定性，也无理想的非确定性，而是相互参杂的。
2.1.2 能量信号与功率信号 a)能量信号
在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称为能量信号， 满足条件：
关于信号的能量，可作如下解释：对于电信号，通常是电压或电流， 电压在已知区间（t1；，t2 ）内消耗在电阻上的能量
对于电流，能量
在上面每一种情况下，能量都是正比于信号平方的积分．讨论消耗 在IQ电阻上的能量往往是很方便的，因为当R—IQ时，上述两式具有相 同形式，采用这种规定时，就称方程
离散时间信号：离散时间信号在时间上是离散的．只是在某些不连 续的规定瞬时给出函数值，而在其他时间没有定义的信号。
离散时间信号
2.1.5 物理可实现信号
物理可实现信号又称为单边信号，满足条件：t＜0时，x(t) = 0， 即在时刻小于零的一侧全为零，信号完全由时刻大于零的一侧确定。
在实际中出现的信号，大量的是物理可实现信号，因为这种信号反 映了物理上的因果律．实际中所能测得的信号，许多都是由一个激发脉 冲作用于一个物理系统之后所输出的信号．例如，切削过程，可以把机 床、刀具、工件构成的工艺系统作为一个物理系统，把工件上的硬质点 或切削刀具上积屑瘤的突变等，作为振源脉冲，仅仅在该脉冲作用于系 统之后，振动传感器才有描述刀具振动的输出。
对比上式，显而易见，一个能量信号具有零平均功率，而一个功率 信号具有无限大能量．
2 信号分析基础(频谱分析)
(2.69)
傅 里 叶 变 换 与 非 周 期 信 号 的 分 解
式2.68称为 x t 的傅立叶变换，称式2.69为 X 的 傅立叶逆变换，两者称为傅立叶变换对，可记为
x t X
IFT
FT
2 f 代入傅立叶积分式中，则式2.68, 2.69变为
X f x t e j 2 ft dt
Im[X ( f )] ( f ) arctgRe[ X ( f )]
x (t ) 1 X ( )e jt d 2 X ( ) x (t )e jt dt
X f 连续幅值谱
f
连续相位谱
X 频谱密度函数
2.2 周期信号的频谱分析 第 二 章
信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变 换为频域信号X(f)，从另一个角度来了解信号的特征。
信 X(t)= sin(2πnft) 号 分 0 析 基 础
傅里叶 变换
t
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0
f
频域分析的概念 周 期 信 号 的 频 谱 分 析
傅 里 叶 变 换 与 非 周 期 信 号 的 分 解
T0 T0 , 设有一个周期信号x(t)在区间 2 2
以傅立叶级数表示为
x t
n
ce
n
jn0t
1 式中 cn T0
T0 2 T 0 2
x t e
jn0t
dt
将其代入上式则得
n n
幅频谱 相频谱
频谱图的概念 周 期 信 号 的 频 谱 分 析
工程测试与信号处理第二章信号分析基础1
(a) 拉氏变换:
(s) (t)est dt 1
(b) 傅氏变换:
( f ) (t )e j2ft dt 1
第二章 信号分析的基础
中原工学院 机电学院
2.sinc函数
sinc(t)函数又称为抽样函数、滤波函数或内插函数，在许多场合
下频繁出现.其定义为
sin c(t) sin t , or, sin t , ( t )
离散时间信号:在若干时间点上有定义
采样信号
第二章 信号分析的基础
中原工学院 机电学院
离散时间信号可以从试验中直接得到，也可能从连续时间信 号中经采样而得到。
典型离散时间信号有单位采样序列、阶跃序列、指数序列等.
单位采样序列用δ(n)表示，定义为:
(n)
0, n 0 1, n 0
此序列在n=0处取单位值1，其余点上都为零(图2-3 (a ) ).单位采样序
物理信号具有如下性质: (1)必然是能量信号.即时域内有限或满足可积收敛条件; (2)叠加、乘积、卷积运算以后仍为物理信号.
第二章 信号分析的基础
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六、信号分析中常用的函数
1. 脉冲函数—函数
函数表示一瞬间的脉冲. 狄拉克(Dirac)于1930年在量子力学中
引入了脉冲函数.从数学意义上讲，脉冲函数完全不同于普通函数，
第二章 信号分析的基础
二、能量信号与功率信号 1.能量信号
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在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称为 能量信号，满足条件：
x 2 (t )dt
一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。
第二章 信号分析的基础
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2. 功率信号
工程信号分析基础
包括低通滤波器、高通滤波器、带通 滤波器、带阻滤波器等。
信号的增强
信号的增强
是指通过各种方法对信号进行增强处理，以提高信号的特征和可识别 性。常见的增强方法包括幅度增强、频率增强、时间域增强等。
幅度增强的方法
包括对数变换、指数变换、幂次变换等。
频率增强的方法
包括傅里叶变换、小波变换等。
时间域增强的方法
通过对医学影像的信号处理和分析， 提高医学影像的质量和诊断准确性。
生物传感器应用
利用工程信号分析技术，开发和应 用各种生物传感器，用于生理参数 的监测和疾病诊断。
环境监测工程
噪声污染分析
通过对环境中的噪声信号进行分析，评估噪声污染的程度和影响。
空气质量监测
利用工程信号分析技术，对空气中的污染物进行监测和分析，保障 环境质量和人体健康。
信号的特性
01
02
03
时域特性
信号在时域中的特性包括 幅度、频率、相位等。
频域特性
通过傅里叶变换等方法， 可以将信号从时域转换到 频域，分析其频谱特性。
其他特性
信号还可以具有能量、功 率、相关性和统计特性等。
02
工程信号的采集与处理
信号的采集
01 02
信号的采集
是指利用各种传感器和测量仪器，将待测的物理量转换为电信号的过程。 在信号采集过程中，需要选择合适的传感器和测量仪器，以确保采集到 的信号准确可靠。
信号的频域分析
总结词
频域分析是将信号从时间域转换到频率域，通过分析信号的 频率成分和频谱特性，揭示信号内在的规律和特征。
详细描述
频域分析通过傅里叶变换等方法将信号分解成不同频率的分 量，从而可以分析信号中各频率成分的幅值和相位信息。频 域分析在信号处理、通信、振动分析等领域有广泛应用。
工程信号分析基础PPT(共 81张)
5 0
-2
0
1
0
2
4
工程信号分析基础 信号的时域分析
波形分析 概率分析 多段平均 相关分析 特征值 趋势分析
1
混合信号 0
-1 0
15
10
5
50
100
150
200
0 -1
0
1
概率分析
轴承故障分析
正常状态
工程信号分析基础 信号的时域分析 波形分析 概率分析 多段平均 相关分析 特征值 趋势分析
外圈故障
概率分析
正态分布的基本概念
均值 方差
工程信号分析基础 信号的时域分析
波形分析 概率分析 多段平均 相关分析 特征值 趋势分析
正态分布关于均值 u 对称，在此处取得最大值 方差σ 代表了概率分布的离散程度，σ 越小，越靠近均值
概率分析
轴承故障分析
正常状态 利用均值和方差Байду номын сангаас定量评价： 方差越小，说明离均值越近，
转轴发生不对中故障时， 信号在一个周期内，旋转 频率的2倍频成分明显加大 （一周波动2次）
转子发生碰摩和偏载，时 域信号中存在明显的削波 和不对称的现象
轴承/齿轮因故障产生冲击
vel
vel
vel,
工程信号分析基础 信号的时域分析
不平衡
不对中
Time 碰摩&偏载
冲击
信号的时域分析方法
信号的波形分析 概率分析 信号的多段平均 信号的统计特征值 信号的趋势分析 信号的相关分析
存在故障的可能性就越大 反之，设备正常
工程信号分析基础 信号的时域分析 波形分析 概率分析 多段平均 相关分析 特征值 趋势分析
-2
0
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工程信号分析基础 信号的时域分析
波形分析 概率分析 多段平均 相关分析 特征值 趋势分析
1
混合信号 0
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0
1
概率分析
轴承故障分析
正常状态
工程信号分析基础 信号的时域分析 波形分析 概率分析 多段平均 相关分析 特征值 趋势分析
外圈故障
概率分析
正态分布的基本概念
均值 方差
工程信号分析基础 信号的时域分析
波形分析 概率分析 多段平均 相关分析 特征值 趋势分析
正态分布关于均值 u 对称，在此处取得最大值 方差σ 代表了概率分布的离散程度，σ 越小，越靠近均值
概率分析
轴承故障分析
正常状态 利用均值和方差Байду номын сангаас定量评价： 方差越小，说明离均值越近，
转轴发生不对中故障时， 信号在一个周期内，旋转 频率的2倍频成分明显加大 （一周波动2次）
转子发生碰摩和偏载，时 域信号中存在明显的削波 和不对称的现象
轴承/齿轮因故障产生冲击
vel
vel
vel,
工程信号分析基础 信号的时域分析
不平衡
不对中
Time 碰摩&偏载
冲击
信号的时域分析方法
信号的波形分析 概率分析 信号的多段平均 信号的统计特征值 信号的趋势分析 信号的相关分析
存在故障的可能性就越大 反之，设备正常
工程信号分析基础 信号的时域分析 波形分析 概率分析 多段平均 相关分析 特征值 趋势分析
信号分析基础
二、信号旳描述
信号旳描述是揭示信号本身旳特征旳基础，是我们获取分析 问题、处理问题所需要旳信息旳基础。
根据实际测控系统旳不同要求，信号需要从不同旳角度描 述——时域描述和频域描述。
1.信号旳时域描述
信号旳时域描述是指以时间为独立变量来描述信号，反应信 号幅值随时间变化旳情况，描述信号幅值与时间旳相应关系，是 信号旳自然体现形式，是实际系统响应过程旳一种直观描述。
1.自有关
信号 f t旳自有关函数定义为
R
lim 1 T T
T
0
f
t f
t
dt
(1－17)
实际应用时采用有限长样本，即自有关函数旳估计值为：
⑵频限信号 频限信号分：频域有限信号，频域无限信号。 频域有限信号是指信号在有限频率区间内存在不全为零旳函数值， 而区间外恒为零； 频域无限信号是指信号出目前无限旳频率区间上。
例如，窗函数是时域有限信号，其傅立叶变换是频域无限信号， 如图1－5(a)所示；sinc(t)函数是时域无限信号，其傅立叶变换， 是频域有限信号，如图1－5(b)所示。
式中：
T — —周期，T 2 0 0 — —基频
(1－1)
周期信号又可分为：简谐周期信号，复杂周期信号。 简谐周期信号即单一频率旳正弦信号； 复杂周期信号是由若干正弦信号合成，各正弦信号旳频率比为有 理数。 如图1－1所示。
x(t) x(t)
0
t
0
(a)
t (b)
(a)简谐周期信号 (b)复杂周期信号 图1－1 周期性信号
总时间； 如图1－13所示。
f(t)
△t1
△t2
f+△f f
△t3 △t4
t 0
T
机械工程测试第二章信号分析基础
幅值不连续
采样信号
2.1 信号的分类及其基本参数
判断下列波形是连续时间还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？
f (t) sint (t)
值域连续 t
0
f(t)
0
值域不连续 t
连续时间信号
连续时间信号（可包含不连续点）
t<0时，ff((tn))=0的信号称为有始信号
f(n)
(2)
在测量过程中，除了待测量信号外，各种不可见的、随 机的信号可能出现在测量系统中。这些信号与有用信号叠 加在一起，严重扭曲测量结果。
问题
• 如何保证各信号变换与处理单元不失真传输信息 ？
• 对不同信号可否采用相同中间变换单元？（如同频 的方波和三角波其处理电路特性可否相同 ？ ）
测量系统模型由三个环节组成：
电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当f（t)满足
狄氏条件时，an, bn, cn才存在。
2.2 周期信号及其频谱
周期信号 x(t) x(t nT )的频域模型为有多种形式
1）付氏级数的三角函数展开式：
x(t)
a0 2
(an cosn0t
n 1
bn sin n0t)
频谱：对于一个复杂信号，可用傅立叶分析将它分解为许多不同频 率的正弦分量，而每一正弦分量则以它的振幅和相位来表征。将各 正弦分量的振幅与相位分别按频率高低次序排列成频谱。
频带：复杂信号频谱中各分量的频率理论上可扩展至无限，但因原 始信号的能量一般集中在频率较低范围内，在工程应用上一般忽略 高于某一频率的分量。频谱中该有效频率范围称为该信号的频带。
2.1 信号的分类及其基本参数
二、信号分析中的常用函数
04 工程测试技术 第二章 第三讲 工程测试技术 第二章 第一讲信号分析基础
x(t) 0.5 4cost 2cos2t cos(3t ) 1.5cos(4t / 2)
A() 1.5
0
() /2
x(t) 1.5cos(4t / 2)
0
21
2.5 信号的频域分析
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x(t) 0.5 4cost 2cos2t cos(3t ) 1.5cos(4t / 2)
频域分析
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T
Bw=2/
24
2.5 信号的频域分析
频域分析
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25
2.5 信号的频域分析
频域分析
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26
2.5 信号的频域分析
频域分析
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周期T越小，频率间隔0=2/T越大！
27
2.5 信号的频域分析
周期信号幅值谱性质
a. 谐波性：仅在一些离散频率点，
工程测试技术
第二章、信号分析基础
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本章学习要求：
1. 掌握信号分类方法 2. 了解信号分析中的常用函数 3. 掌握信号分析中函数的运算（卷积和相关） 4. 掌握信号时域波形分析方法 5. 掌握信号时域统计分析方法 6. 掌握信号频域频谱分析方法 7. 了解其它信号分析方法
1
第二章、信号分析基础
A() 2.0
0
()
x(t) 2cos2t
0
19
2.5 信号的频域分析
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x(t) 0.5 4cost 2cos2t cos(3t ) 1.5cos(4t / 2)
A()
0
-1.0
()
x(t) cos(3t )
第二章信号分析基础随机信号和相关分析130313
见书图2－27 正弦波：周期信号，自相关函数也为周期函数； 正弦波加随机噪声：自相关函数在τ很大时都不衰减； 宽带随机噪声：自相关函数很快衰减为零； 窄带随机噪声：自相关函数有较慢的衰减特性。
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2)互相关函数：
Rxy
(
)
lim
T
1 T
T
x(t)y(t )dt
0
xy
2 () 0, x(t)和y(t)在频率上不相干； xy
2 () 1, x(t)和y(t)在频率完全相干； xy
0 2 () 1, x(t)和y(t)受外界噪声干扰，系统非线性； xy
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自相关函数：x(t)=y(t)
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例： x(t) Asin(0t x ) y(t) B sin(0t y )
则
Rxy ( )
AB 2
cos(0
y
x )
AB 2
cos
0
(
y x 0
)
2.6 信号的
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Rx ( )是实偶函数，故 Sx ()也是实偶函数
Байду номын сангаас
Rx
(0)
lim
T
1 T
T
2 T
x2 (t)dt
2
S
x
(
f
)df或
1
2
S x ()d
Sx ()曲线下面和频率轴所包围的面积为信号的平均功率， 所以Sx ()就是信号的功率谱密度沿频率轴的分布，简称功率谱
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2)互相关函数：
Rxy
(
)
lim
T
1 T
T
x(t)y(t )dt
0
xy
2 () 0, x(t)和y(t)在频率上不相干； xy
2 () 1, x(t)和y(t)在频率完全相干； xy
0 2 () 1, x(t)和y(t)受外界噪声干扰，系统非线性； xy
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自相关函数：x(t)=y(t)
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例： x(t) Asin(0t x ) y(t) B sin(0t y )
则
Rxy ( )
AB 2
cos(0
y
x )
AB 2
cos
0
(
y x 0
)
2.6 信号的
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Rx ( )是实偶函数，故 Sx ()也是实偶函数
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Rx
(0)
lim
T
1 T
T
2 T
x2 (t)dt
2
S
x
(
f
)df或
1
2
S x ()d
Sx ()曲线下面和频率轴所包围的面积为信号的平均功率， 所以Sx ()就是信号的功率谱密度沿频率轴的分布，简称功率谱
工程测试技术 信号分析基础
t1 2
24
yzs (t)
⑤ 3≤t 时
2 1 d 1 t2 1 t 3
t1 2
4 24
29 f ( t -τ) h(τ) = 0，故 yzs(t) = 0
0
t-1 t t-1 t t-1 t 2
τt
h(τ )f (t -τ )
0 t t-1 1t t-1 2 3 τ yf (t )
-T0
T0
h(T0/2- )
-T0
T0
A2
-T0
T0
2.6 卷积分
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t) y(t)
2A2T0
-2T0
t= T0时：
0
2T0
y(T0)=A2 T0
10
x()
-T0
T0
h(T0- )
-T0
T0
A2
-T0
T0
2.6 卷积分
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t) y(t)
x(t)
(1)换元
h(t)
反折；
0
t (2)平移；
0
t
x(t)
(4)积分
(3)相乘； h(-)
(1)反折
(4)积分。
0
x(t)
h(t1 -)
t (3)相乘
0
h(t1 -)
(2)平移
00
t
23
0
2.6 卷积分
图解法一般比较繁琐，确定积分的上下限是关键。
e(t)或e( )
h(t)或h( )
• 举例 1
t (6 e2te3 e ) d
e2t t (6 e3 ) d t e d
e2t 2 e3
信号分析基础2(频谱
2021/4/22
7
西安工业大学机电学院
an
2 T0
T0
2 T0
f (t) cos n0t.dt
2
bn
2 T0
T0
2 T0
f (t) sin n0t.dt
2
f
(t)
a0 2
(an
n1
cos nw0t
bn
sin nw0t)
A0 2
An
n1
cos(nw0t
n )
（1）
A0 a0
2021/4/22
x(t) X ( f )e j2ft df
x( f ) X (t)e j2ft dt
X (t) x( f )
2021/4/22
35
2.4 傅立叶变换的性质
已知条件： x(t)
西安工业大学机电学院
X(f)
t X(t)
可推出：
f x(f)
t
f
2021/4/22
36
2.4 傅立叶变换的性质
X(t)= sin(2πnft)
傅里叶 变换
0
t
0
f
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
2021/4/22
2
2.3信号的频域分析 时域分析与频域分析的关系
幅值
西安工业大学机电学院
信号频谱X(f)代表了信号在 不同频率分量成分的大小， 能够提供比时域信号波形 更直观，丰富的信息
An an2 bn2
n
arctg bn an
8
周期信号的频谱分析
西安工业大学机电学院
复指数形式：将三角函数形式中的正余弦用欧拉公式代换
2工程信号分析基础
多段平均 相关分析 特征值 趋势分析
Max[x(t)]
概率密度函数的计算
Min[x(t)]
概率密度函数p(x)曲 线下的面积p(x) Δx， 即是幅值x(t)落在x和 (x+Δx)内的概率
概率分析
几种典型信号的概率密度函数
1
Sin信号 0
-1 0
4 2
白噪声 0
-2 0
50
100
150
200
50
100
波形分析 概率分析 多段平均 相关分析
量纲为1/(dx)
15
特征值 趋势分析
2
10
0
5
-2
-4 0
0
50
100
150
200
250
300
-4
-2
0
2
4
60
2
40
0
20
-2
-4
0
0
50
100
150
200
250
300
-4
-2
0
2
4
概率分析
轴承故障分析
正常状态
工程信号分析基础 信号的时域分析 波形分析 概率分析 多段平均 相关分析 特征值 趋势分析
外圈故障
概率分析的matlab应用
工程信号分析基础 信号的时域分析
Dy=linspace(ymin, ymax, n); % 将幅值区间分成 n 个等分点
最小幅值 最大幅值
Num=hist(y, Dy); % 计算各区间的点个数 bar(Dy, Num) ; % 画出柱状概率密度分布
信号的时域分析方法
150
200
25 20 15 10
工程信号分析基础
9
第四章 工程信号分析基础
④ 自相关函数的工程应用
某滚动轴承在不同状 态下的振动加速度信号的 自相关函数，其中图(a)为 正常状态下的自相关函数 接近于宽带随机噪声的自 相关函数。图(b)所示为外 围滚道上有疵点，在间隔 为14ms处有峰值出现；图 (c)所示为内圈滚道上有疵 点，在间隔11ms处有峰值。
峭度：
＝ x4 p(x)dx －
4
第四章 工程信号分析基础
峭度指标、裕度指标和脉冲指标对于早期冲击 脉冲类故障比较敏感，但稳定性不好。均方根值稳 定性好，但对早期故障信号不敏感，因此多同时应 用。
5
第四章 工程信号分析基础
如图所示为一轴承 外圈在工作到21小时出 现损伤以后，峰态因数 与峰值指标的变化趋势。 由图可见，当轴承正常 工作时，两者都接近于 3，当出现损伤时，峰 态因数的变化趋势非常 明显，其值可达13，这 是因为信号中脉冲成分 比较明显的缘故。
6
第四章 工程信号分析基础
二、信号的时域分析
时域分析的主要特点是针对信号的时间顺序，即数据 产生的先后顺序。在时域中提取信号特征的主要方法有 相关分析和时序分析。
1. 相关分析：
① 相关系数：客观事物变化量之间的相依关系。随机变量 x和y之间的相关性利用相关系数表示：
xy
cxy
x y
E[(x x )( y y )] E[(x x )2 ]E[( y y )2 ]
11
第四章 工程信号分析基础
② 时序模型
自回归滑动平均模型ARMA(n,m)的意义：将观察值 表示为t时刻以前的n个观察值xt-1~xt-n以及m个随机干扰 αt-1~ αt-m的线性组合，其权因子即为自回归参数及滑动 平均参数。
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工程信号分析基础
信号的时域分析
信号的波形分析 概率分析 信号的多段平均 信号的统计特征值 信号的趋势分析 信号的相关分析 幅值谱 功率谱 倒频谱
关注:
1. 方法的原理？ 2. 方法的作用？
3. 方法的适用性（注意事项）？
信号的频域分析
信号的时域分析方法 信号的波形分析 概率分析 信号的多段平均 信号的统计特征值 信号的趋势分析 信号的相关分析
x(t )x(t )
4
9
14
19
时间延迟 8
0 -1 R(8) -2 0
1
x(1) x(9) x(2) x(10) x( N 8) x( N )
N 8
5 10 15 20 25
0
4 2 9 3 14 19 4
R 1.5
1 0.5 0 -0.5
实例
转子碰摩的时域信号存在 明显的削波现象 轴承/齿轮因故障产生冲击
vel 冲击
vel
转轴发生不对中故障时， 信号在一个周期内，旋转 频率的2倍频成分明显加大 （一周波动2次）
vel,
旋转机械出现不平衡故障 时，信号中有明显的以旋 转频率为特征的周期成分 (接近正弦波形)
不对中
Time 碰摩&偏载
自相关结果
2
3
4
8
12
16
自相关的计算
1 Rx ( ) N
N t 1
工程信号分析基础 信号的时域分析
2 0 -2 0 1.5 2 1 0.5 0 0 -0.5 -2 1 0 2 1.5 1 0.5 0 0 -0.5 -2 1
x(t )x(t )
4
9
14
19
1 时间延迟 1
Min[x(t)]
概率密度函数的计算
概率密度函数p(x)曲 线下的面积p(x) Δx， 即是幅值x(t)落在x和 (x+Δx)内的概率
概率分析
几种典型信号的概率密度函数
1
工程信号分析基础 信号的时域分析 波形分析 概率分析 多段平均 相关分析 特征值 趋势分析
-1 0 1
25 20
Sin信号
0
15 10 5
x+Δx x 0 t
T
概率分析
工程信号分析基础 信号的时域分析
概率密度函数
概率大小
P[ x ≤ x(t ) ≤ x + Δx] 1 Δt p( x) = lim = lim [ lim ] Δx →0 Δx →0 Δx T →∞ T Δx
区间范围
Max[x(t)]
波形分析 概率分析 多段平均 相关分析 特征值 趋势分析
0.2
0.4
0.6
问题的提出
工程信号分析基础 信号的时域分析
如何分析两个信号之间的关系？
问题的提出
工程信号分析基础 信号的时域分析
x(t)
x(t)
y(t)
研究变量 x(t ) 与延迟时间 x(t ) 之间的关系，称 后的 为自相关
研究变量 x(t ) 与延迟时间 后 的另一个变量 y(t ) 之间的关 系，称为互相关
-1
0
50
100
150
200
0
20 15 10 5
4 2
白噪声
0 -2 0 50 100 150 200
0
-2
0
2
4
1
15 10 5
混合信号 0
-1 0 50 100 150 200
0
-1
0
1
概率分析
工程信号分析基础 信号的时域分析 波形分析 概率分析 多段平均 相关分析 特征值 趋势分析
p(x)不受所取幅值间隔大小的影响，即概率 密度函数表示了概率相对幅值的变化率， 或是单位幅值的概率，故有密度的概念，
工程信号分析基础 信号的时域分析
x(t ) s(t ) n(t )
n(t ) ~ N (0, )
将x(t)分成N段，每段有M个数据点
1 N 1 y(i) s(i) nk (i), N k 0
N 1 N 1
i 0,1,, M 1
1 1 1 2 D[ nk (i)] 2 D[nk (i)] N k 0 N k 0 N
20
4
-0.5 -1 0 4 8 12 16
1.5 1 0.5 0 -0.5
1
2
3
4
自相关的计算
周期信号
1 Rx ( ) N
2
N t 1
工程信号分析基础 信号的时域分析
2 0 -2 0 1.5 2 1 0.5 0 0 -0.5 -2 1 0 2 1.5 1 0.5 0 0 -0.5 -2 1
工程信号分析基础 信号的时域分析
时域波形分析
工程信号分析基础 信号的时域分析 波形分析 概率分析 多段平均 相关分析 特征值 趋势分析
特点
时域波形直观、易于理解 包含的信息量大 但不容易看出所包含信息与故障的联系
应用
对某些故障信号进行初步、定性的判断
时域波形分析
工程信号分析基础 信号的时域分析 不平衡
降噪过程就是利用信号与噪声的特点，尽可能地 保持信号成分，同时又尽可能地抑制噪声成分。
时域的多段平均
工程信号分析基础 信号的时域分析
方法原理：分段 + 平均
分段：选择合适的时间长度将信号分成若干段 时间长度必须为信号周期的整数倍 平均：把多段数据的对应点相加、求和、取平均
方法作用：
抑制了非周期成分和噪声干扰，保留了周期信号
量纲为1/(dx)
15
2
10
0
50
200
250
300
0 -4
-2
0
2
4
60
2
40
0
-2
20
-4
0
50
100
150
200
250
300
0 -4
-2
0
2
4
概率分析
工程信号分析基础 信号的时域分析 波形分析 概率分析 多段平均 相关分析 特征值 趋势分析
轴承故障分析
外圈故障
正常状态
机械设备故障诊断技术
--信号的时域分析、频域分析
北京科技大学 机械工程学院 黎敏 阳建宏 2015/8/18
工程信号分析的意义
在叶片上粘贴硬币，模拟工程实际中的不平衡现象 转速 n：单位时间内物体做圆周运动的次数 (r/min) 转频 f：每秒转过的圈数，f = n/60 (Hz)
工程信号分析的意义
概率分析的matlab应用
工程信号分析基础 信号的时域分析
Dy=linspace(ymin, ymax, n);
最小幅值 最大幅值
% 将幅值区间分成 n 个等分点
Num=hist(y, Dy);
% 计算各区间的点个数
bar(Dy, Num) ;
% 画出柱状概率密度分布
信号的时域分析方法 信号的波形分析 概率分析 信号的多段平均 信号的统计特征值 信号的趋势分析 信号的相关分析
信号的时域分析方法 信号的波形分析 概率分析 信号的多段平均 信号的统计特征值 信号的趋势分析 信号的相关分析
工程信号分析基础 信号的时域分析
观察波形特征，定性分析
概率分析
工程信号分析基础 信号的时域分析 波形分析 概率分析 多段平均 相关分析 特征值 趋势分析
概率函数
工程信号分析基础 信号的时域分析
14 14
19 19
t
研究 t 时刻与t 时刻，两个信号 之间的依赖关系
3 3
19 20
4 4
25
t
30
1 R ( ) lim x (t )x (t ) d 4 3 3.5 4
乘积、加和、求平均
N t 1
• 实际工程应用中
1 Rx ( ) N
增加硬币重量，模拟更严重的不平衡现象
时域和频域的幅值变大
工程信号分析的意义
将转速提高为原来的2倍
时域中信号变得密集，频域中特征频率是原来的2倍
工程信号分析的意义
不平衡质量块加重
增加转速
工程信号分析的意义
时域：幅值？周期特性？ 频域：幅值？频率大小？
Questions:
1. 时域还可以关注哪些特征？ 2. 复杂信号如何观察频域特征？
工程信号分析基础 信号的时域分析
引入键相信号
在工程应用中通常使用键相信号
A
同步数据采集
信号的时域分析方法 信号的波形分析 概率分析 信号的多段平均 信号的相关分析 信号的统计特征值 信号的趋势分析
工程信号分析基础 信号的时域分析
观察波形特征，定性分析
落入某区间内累积量，定性分析 整周期分段 /叠加 /平均，降噪
R(1)
-1 -2 0 5 0
2
x(1) x(2) x(2) x(3) x( N 1) x( N )
N 1
10 15 20 25
x(2) x(3)
4
2
9
3 14
19 x( N 1 ) x( N )
4
R
1.5 1 0.5 0
自相关结果