全国名校高中数学优质学案(附详解)专题2.3.2 空间向量运算的坐标表示
高中北师大版数学选修2-1学案：2.3.3 空间向量运算的坐标表示 含答案
值．
解：a·b＝(3,0,1)·(k,2，－1)
＝3k＋0×2＋1×(－1)＝3k－1，
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
3π
＝ 32＋02＋12· k2＋22＋ －1 2·cos 4
10 ＝－
2
k2＋5.
3π ，求实数 k 的
4
则 3k－1＝－
10 k2＋5，
2
3－ 105
3＋ 105
解得 k＝
BA AM
aλ )．
→→ ∵ BM⊥AC1，∴ BM· ＝0.
AC1
1 即 a2λ ＋a2λ －a2＋a2λ ＝0，解得 λ ＝ ，
3
→
aaa
∴ AM＝ ， ， ，
(－ 3)
33
→ → → 2a a a
＝＋ ＝
.
(
3)
DM DA AM ， ，
33
( ∴ M 点坐标为
2a a a
3).
，， 33
规律方法 用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下
CA
→→ AB·CA
→→ |AB||CA|
－7
1
＝
＝－ .
14 × 14 2
Earlybird
晨鸟教育
已知三点 P1(1,1,0)，P2(0,1,1)和 P3(1,0,1)，O 为坐标原点，求|OP1＋
→→ OP2
→ →→
＋OP3|及 与 夹角的余弦值． P1P2 P1P3
→→→
解：OP1＋ ＋ ＝(1,1,0)＋(0,1,1)＋(1,0,1)＝(2,2,2)， OP2 OP3
或 k＝
4
4
(舍)，
Earlybird
晨鸟教育
空间向量运算的坐标表示
a a1i a2 j a3 k , b b1i b2 j b3 k ,
a a1i a2 j a3 k (a1, a2 , a3 ).
a b (a1 b1 )i (a2 b2 ) j (a3 b3 )k
(a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
2 2 2
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减去 起点的坐标.
例1. 如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中, 点E1 , F1分别是 A1B1 , C1D1的一个四等分点,求BE1,DF1所成角的余弦值.
解 : 设正方体的棱长为1,分别以 DA, DC , DD1 为 单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz. 则 z B(1,1,0), E (1,3/ 4,1), D(0,0,0), F (0,1/ 4,1).
D1 F1 C1
1
1
A1
E1
B1
BE1 (1, 3/ 4,1) (1,1, 0) (0, 1/ 4,1),
C
D
O
B
y
DF1 (0,1/ 4,1) (0 , 0 , 0) (0,1/ 4,1) .
A
x
1 1 15 BE1 DF1 0 0 ( ) 11 , 4 4 16
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a (a1 , a2 , a3 ),( R);
a b a1b1 a2b2 a3b3 .
证明如下：
证明：
设i, j, k为单位正交基底， 因为a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 ), 所以有
高中数学第二章空间向量与立体几何2.3.3空间向量运算的坐标表示教案全国公开课一等奖百校联赛微课赛课
所以AB (1,1,1), AC (1,2,2).
则 AB 12 12 12 3
AC 12 (2)2 22 9 3
(2)因为AB AC 111 (2) 1 2 1
COS AB, AC AB AC 1 3 AB AC 3 3 9
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今天你学到了什么呢？ 1.向量加减、数乘和数量积运算坐标表示； 2.两个向量垂直、平行判定坐标表示和长度 及夹角公式.
10/11
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2)
应用
a// b(b 0)
ab
a
cos a, b
坐标表示
x1 x2, y1 y2,z1 z2( R)
x1x2 y1y 2 z1z 2 0
a
x12
y12
z
2 1
x1x2 y1y 2 z1z 2
x12
y12
z
2 1
x22
y22
z
2 2
(a 0,b 0)
6/11
例1.已知a (1,3,2),b (1,2,0).求 :
所以(a b) (a 3b)
94
13
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例2.判断下列向量是否平行或垂直.
(1)a (1,2,3),b (1,2,1)
ab
(2)a (2,3,1),b (4,6,2) a// b
(3)a (0,3,3),b (0,1,1) a// b
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例3.已知空间三点A(1,1,1), B(2,2,2),C(2,1,3). (1)求 | AB |,| AC | ； (2)求向量AB,AC 夹角余弦值.
3.3 空间向量运算坐标表示
空间直角坐标系
拓展提升 空间中点 M 坐标的三种确定方法 (1)过 M 作 MM1 垂直于平面 xOy，垂足为 M1，求出 M1 的横坐标和纵坐标， 再由射线 M1M 的指向和线段 M1M 的长 度确定竖坐标． (2)构造以 OM 为体对角线的长方体， 由长方体的三个棱 长结合点 M 的位置，可以确定点 M 的坐标． (3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面， 或点 M 在坐标轴或坐标平面上， 则利用这一条件， 再作坐标轴的 垂线即可确定点 M 的坐标.
1 点 G 在 y 轴上，其横、竖坐标均为 0，又 CG＝4CD，
3 3 所以 GD＝4.故 G 点坐标为0，4，0 .
由 H 作 HK⊥CG 于 K，由于 H 为 C1G 的中点， 1 1 故 HK＝2，CK＝8.
7 1 7 ∴DK＝8.故 H 点坐标为0，8，2 .
【跟踪训练 2】 如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，所有 棱长都为 2，侧棱 AA1⊥底面 ABC，建立适当坐标系写出各 顶点的坐标．
解 取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1， 可得 BO⊥AC， 分别以 OB，OC，OO1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角 坐标系．
的竖坐标．
知识点二 空间两点间的距离公式 (1)点 P(x，y，z)到坐标原点 O(0,0,0)的距离|OP|＝ 1 □ x2＋y2＋z2 . (2)任意两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2| ＝
2 □ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22 .
3.特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的坐标一定是(0， b，c)的形式．( × ) (2)空间直角坐标系中， 在 xOz 平面内的点的坐标一定是 (0，b,0)的形式．( × ) (3)空间直角坐标系中，点(1， 3，2)关于 yOz 平面的对 称点为(－1， 3，2)．( √ ) (4)将距离公式中的两点的坐标互换，结果不变．( √ )
2025高二上数学专题第3讲 空间向量及其运算的坐标表示(解析版)
第3讲空间向量及其运算的坐标表示新课标要求①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。
知识梳理1.空间向量运算的坐标表示若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则：(1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；(2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)；(3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R )；(4)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(5)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )；(6)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0；(7)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(8)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23.2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则：(1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB →|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2.名师导学知识点1空间直角坐标系【例1-1】（武汉期末）点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点的坐标是()A ．(1，2，3)B ．(1，2-，3)-C ．(1-，2，3)-D ．(1-，2-，3)【变式训练1-1】（河南月考）在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1，2-，4)关于y 轴对称的点为()A ．(1-，2-，4)-B ．(1-，2-，4)C ．(1，2，4)-D ．(1，2，4)2025高二上数学专题第3讲 空间向量及其运算的坐标表示（解析版）知识点2空间向量的坐标运算【例2-1】（钦州期末）已知(1a = ，2，1)，(2b = ，4-，1)，则2a b +等于()A ．(4，2-，0)B ．(4，0，3)C ．(4-，0，3)D ．(4，0，3)-【例2-2】（济南模拟）已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值；(3)设|c |＝3，c ∥BC →，求c .【变式训练2-1】（菏泽期末模拟）已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(0，－1,2)．求：(1)a ＋b ；(2)2a －3b ；(3)a ·b ；(4)(a ＋b )·(a －b )．【变式训练2-2】（烟台期末）已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，若OA →＋λOB →与OB →(O 为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为()A.66B ．－66C ．±66D ．±6知识点3空间两点间的距离【例3-1】（淄博调研）已知△ABC 的三个顶为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为()A ．2B ．3C ．4D ．5【变式训练3-1】（温州期中）点(1M -，2，3)是空间直角坐标系Oxyz 中的一点，点M 关于x 轴对称的点的坐标为，||OM =．名师导练A 组-[应知应会]1．（安徽期末）空间直角坐标系中，点(2P ，1-，3)关于点(1M -，2，3)的对称点Q 的坐标为(()A ．(4，1，1)B ．(4-，5，3)C ．(4，3-，1)D ．(5-，3，4)2．（金牛区校级期中）点(3A ，2，1)关于xOy 平面的对称点为()A ．(3-，2-，1)-B ．(3-，2，1)C ．(3，2-，1)D ．(3，2，1)-3．（东阳市校级月考）已知点(1A ，2-，3)，则点A 关于原点的对称点坐标为()A ．(1-，2，3)B ．(1-，2，3)-C ．(2，1-，3)D ．(3-，2，1)-4．（茂名期末）已知向量(1,1,2)a =-- 及(4,2,0)b =- 则a b + 等于()A ．(3-，1，2)-B ．(5，5，2)-C ．(3，1-，2)D ．(5-，5-，2)5．（高安市校级期末）已知空间向量()()()1,,1,3,1,,,0,0,,(a xb yc z a b c xyz =-==+= 则的值为)A ．2±B ．2-C ．2D ．06．（丰台区期末）已知(2AB = ，3，1)，(4AC = ，5，3)，那么向量(BC = )A ．(2-，2-，2)-B ．(2，2，2)C ．(6，8，4)D ．(8，15，3)7．（多选）（三明期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4AD =，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则()A ．点1B 的坐标为(4，5，3)B ．点1C 关于点B 对称的点为(5，8，3)-C ．点A 关于直线1BD 对称的点为(0，5，3)D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0)8．（公安县期末）在空间直角坐标系中，已知两点(5P ，1，)a 与(5Q ，b ，4)关于坐标平面xOy 对称，则a b +=．9．（温州期末）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''=．10．（浙江期中）空间直角坐标系O xyz -中，点(1M ，1-，1)关于x 轴的对称点坐标是；||OM =．11．（兴庆区校级期末）已知(2a = ，3-，1)，(2b = ，0，3)，(1c = ，0，2)，则68a b c +-= ．12．（辽阳期末）已知向量(2,3,1)a =- ，(1,2,4)b =- ，则a b +=．13．（越秀区期末）已知点(1A ，2，0)和向量(3a = ，4，12)-，若2AB a = ，则点B 的坐标是．14．（黄浦区校级月考）已知向量(7,1,5),(3,4,7)a b =-=- ，则||a b +=15．（青铜峡市校级月考）已知点A ，B 关于点(1P ，2，3)的对称点分别为A '，B '，若(1A -，3，3)-，(3A B ''= ，1，5)，求点B 的坐标．16．（福建期中）已知空间三点(1A -，2，1)，(0B ，1，2)-，(3C -，0，2)（1）求向量AB AC与的夹角的余弦值，（2）若向量3AB AC AB k AC -+与向量垂直，求实数k 的值．17．（扶余县校级月考）（Ⅰ）设向量(3a = ，5，4)-，(2b = ，0，3)，(0c = ，0，2)，求：()a b c -+ 、68a b c +- ．（Ⅱ）已知点(1A ，2-，0)和向量(1a =- ，2，3)求点B 坐标，使向量AB 与a同向，且．B 组-[素养提升]1.（襄阳期中）已知向量a，b ，c 是空间的一个单位正交基底，向量a b + ，a b - ，c 是空间的另一个基底，若向量p 在基底a，b ，c 下的坐标为(3，2，1)，则它在a b + ，a b - ，c 下的坐标为()A ．15(,,1)22B ．51(,1,)22C ．15(1,,22D ．51(,,1)222.（安庆质检）已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)若AP →∥BC →，且|AP →|＝214，求点P 的坐标；(2)求以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积．第3讲空间向量及其运算的坐标表示新课标要求①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
高二数学 空间向量运算的坐标表示导学案
学 【 （自主学习）预习案】 复习平面向量坐标运算：
习
过
程
1、给定点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ，则 AB ( 若
)
a ( x1 , y1 ) ， b ( x2 , y2 ) 则
2、 a b 若 R ，则
a b
，
a
例5
cos a , b
探究二：应用 【当堂检测】
Hale Waihona Puke 1、 设a (1,5,1),
b (2,3,5) 。
（1） 若 (k a b) // (
a 3b) ，求 k 的值； a 3b) ，求 k 的值。
（2） 若 (k a b) (
2、课本 38 页练习 【当堂小结】请写出本节课你学到的知识。 【课后巩固（布置作业） 】38 页 5、6 【纠错反思（教学反思） 】
a
，
3、 a b 4、若 a b ，则坐标满足 若 a // b ，则坐标满足
cos a , b
【 （合作学习）探究案】小组合作完成下列问题 探究一：阅读教材内容，完成下列问题： 空间中，设 1、 a b
a ( x , y , z ), b ( x , y
1 1 1 2
2
, z 2 ) ，则
，
，a b
若 R ，则
a
) ，
2、给定点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ，则 AB ( 3、 a b 4、若 a b ，则坐标满足 若 a // b ，则坐标满足 5、
3.2空间向量运算的坐标表示及应用+课件-高一上学期数学北师大版(2019)选择性必修+第一册
k
i
x
实数组 (x，y，z)，使得 =xԦ +yԦ +z
O
j
y
（x,y,z）是的三个坐标
1、空间向量的数量积
思考1：若=2Ԧ+3Ԧ+4,你能说出的坐标吗？
（2,3,4）
思考考3：你发现了什么？
向量终点坐标
A(x,y,z)
例2
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1的中点为M，B1D1的
中点为N，若以{ , , }为标准正交基，求 的坐标。
解析：因为M是AD1的中点，N是B1D1的中点，
所以＝ ＝ ＝ （＋ ）＝0·＋
＋ ，所以在{，， }下的坐标为（0，
一一对应
向量终点坐标A(x,y,z)
向量的运算
向量坐标=(x,y,z)
a＋b =（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2）
a－b =（x1－x2，y1－y2，z1－z2）
λa =（λx1，λy1，λz1）
a·b =x1x2＋y1y2＋z1z2
向量的平行与垂直
∥
⊥
=
∙=
=
线，则m＋n＝
－3
.
解析：＝（3，－1，1），＝（m＋1，n－2，－2）.
∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ，
即（m＋1，n－2，－2）＝λ（3，－1，1）＝（3λ，－λ，λ），
+ = ，
＝－，
∴ － = －， 解得 ＝－， ∴m＋n＝－3.
－ = ，
= .
例4
已知a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2）.（1）若｜c｜＝3，d＝b
空间向量运算的坐标表示 精品教案
空间向量运算的坐标表示【教学目标】1．掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； 2．掌握空间向量坐标运算的规律；3．会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；4．会用中点坐标公式解决有关问题。
【教学重点】空间右手直角坐标系，向量的坐标运算。
【教学难点】空间向量的坐标的确定及运算。
【授课类型】新授课。
【课时安排】1课时。
【内容分析】本节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离公式这一小节，我们在直角坐标系下，使空间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便在上一小节已学习向量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难在第2个知识点中，我们给出空间解析几何两个最基本的公式：夹角和距离公式。
在这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性质定理”通过解一些立体几何的应用题，就可为学生今后进一步学习空间解析几何、高维向量和矩阵打下基础。
要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点的距离公式掌握直线垂直于平面的性质定理。
【教学过程】：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a +=把),(y x 叫做向量a的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0= 2．平面向量的坐标运算若),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a+),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ= 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=3．a ∥b (b≠)的充要条件是x1y2-x2y1=04平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a⋅设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
人教版高中数学高二数学《空间向量基本定理的坐标表示》学案
教学目标：会用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
教学重点：掌握空间向量的坐标运算。
教学难点：会根据向量的坐标判断两个向量平行。
教学过程：
一、复习引入
1、平面解析几何初步中，空间直角坐标系的定义？空间任意一点的位置如何用坐标表示？
2、如何用坐标表示空间向量？怎样进行空间向量的坐标运算？
二、新课讲授
1、空间向量的坐标
2、空间向量坐标运算的法则
3、空间向量平行的坐标表示
三、例题讲解
例1、（1）已知(1,3,8),(3,10,4)a b =-=-，求,,3a b a b a +-
（2）已知(8,3,),(2,6,5)m a n b ==，若m n ，求a b +的值
例2、已知空间四点A （-2，3，1），B （2，-5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9）， 求证：四边形ABCD 是梯形。
例3、如图四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，AB AD ⊥，CD AB ，若22CD AB a AD b AP h E ====，，，为PC 中点。
（1）建立适当空间直角坐标系，求出E 点坐标及BE 的坐标；（2）求证：BE 平面PAD 。
D E C P
例4、四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，底面是菱形ABCD ，60ABC ∠=，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，问棱PC 上是否存在一点F ，使BF AEC 平面，若存
在求出点F ；若不存在，请说明理由。
332空间向量运算的坐标表示及应用(一) 课件-23学年高二上学期数学(2019)选择性必修第一册
解(1) 2 =2(-1,-3,2)=(-2,-6,4).
(2)因为 +2b=(-1,-3,2)+2(1,2,0)
=(-1,-3,2)+(2,4,0)
=(1,1,2),
-2 +b=-2(-1,-3,2)+(1,2,0)
=(2,6,-4)+(1,2,0)
=(3,8,-4),
所以( +2b) · (-2 +b)=(1,1,2) · (3,8,-4)
自己完成.证明过程如下：
因为 = ₁ ₁ ₁ , = ₂ ₂ ₂ ,所以
根据向量数量积的分配律，
以及i · i=j · j=k · k=1,i · j=j · k=i · k=0,即可得出
⋅ = ₁₂ ⋅ + ₁₂ ⋅ + ₁₂ ⋅ + ₁₂ ⋅ + ₁₂ ⋅
(2)因为 a＝AB
所以 ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2
＋k－10＝0．
5
解得 k＝2 或 k＝－2．
自探
空间向量平行与垂直
2．已知 a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，
₁ሻ
也就是说：一个向量在空间
直角坐标系中的坐标等于表
= ₂ − ₁ + ₂ − ₁ +
示这个向量的有向线段的终
₂ − ₁
点的坐标减去起点的坐标.
= ₂ − ₁ ₂ − ₁ ₂ − ₁ .
空间向量运算坐标表示
3.3.2第2课时空间向量运算的坐标表示及应用课件-高二上学期数学北师大版选择性
学习目标
新课讲授
课堂总结
例2:如图，三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱与底面垂直，CA=CB=1，∠BCA= ,
2
棱AA'=2，点M，N分别是A'B'和A'A的中点.
(1)求 BN ；(2)求cos BA,CB 的值；(3)求证：AB CM .
(3)由题意,得A'(1,0,2)，B(0,1,0)，C'(0,0,2)，M
新授课 3.3.2 第2课时 空间向量运算的坐标表示及应用
学习目标
新课讲授
课堂总结
1.进一步熟悉空间向量的坐标表示. 2.能利用空间向量的坐标解决一些简单的长度与夹角问题.
学习目标
新课讲授
课堂总结
复习回顾：空间向量运算的坐标表示有哪些？
设向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则
则 BN 1, 1,1, BN 12 12 12 3.
学习目标
新课讲授
课堂总结
例2:如图，三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱与底面垂直，CA=CB=1，∠BCA= ,
2
棱AA'=2，点M，N分别是A'B'和A'A的中点. (1)求 BN ；(2)求cos BA,CB 的值；(3)求证：AB CM .
(2)由题意,得B(0,1,0)，C(0,0,0)，A'(1,0,2)，
B'(0,1,2). BA 1,1,2,CB 0,1,2, BA 12 12 22 6, CB 02 12 22 5, BA CB 1 0 1 1 2 2 3,
cos BA,CB BA CB 3 30 . BA CB 6 5 10
全国名校高中数学优质学案(附详解)专题2.3.1 向量的坐标表示和空间向量基本定理导学案
【学法指导】
空间向量的标准正交分解与空间向量基本定理是在平面向量的正交分解与平面向量基本定理的基础上，增加了一维，可以类比平面向量来理解。
【预习感知】请同学们预习课本内容认真理解有关概念
1.标准正交基
在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的________________i，j，k叫作标准正交基．
2．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且＝ BB1，DF＝ DD1.
(1)证明：A、E、C1、F四点共面；
(2)若 ＝x ＋y ＋z ，求x＋y＋z的值．
5．空间向量基本定理
如果向量e1，e2，e3是空间三个__________的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得________________________．
空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．
【预习检测】
1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则不能作为空间基底的向量组是()
A．1B. C. D．2
4．若|a|＝4，|b|＝5，且a在b上的投影为－2，则a·b＝________，〈a，b〉＝________.
【自主探究】（例1和例2，希望同学们在预习的时候，认真思考，做一做。）
★空间向量的坐标表示
例1棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F、G分别为棱DD′、D′C′、BC的中点，以{ ， ， }为基底，求下列向量的坐标．
2．标准正交分解
设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk，则把a＝xi＋yj＋zk叫作a的标准正交分解．
高中数学 空间向量运算的坐标表示参考教案 北师大版选修2-1
2.3.3 空间向量运算的坐标表示 教案一、教学目标：1．掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义；2．掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。
二、教学重点：空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律； 教学难点：用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离；三、教学方法：探究归纳，讲练结合；四、教学过程（一）、创设情景1、空间直角坐标系中的坐标；2、空间向量的直角坐标运算律；3、平面向量的数量积、夹角、模等概念。
（二）、探析新课数量积：（1）设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量><,cos ||||叫作向量b a ,的数量积，记作b a ⋅，即 b a ⋅＝><b a b a ,cos ||||（2）夹角： 定义：,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作==,，则AOB ∠叫做向量与向量的夹角，记作><, 规定：π>≤≤<,0 特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
2cos ||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+ （3）运算律⋅=⋅；)()(a b b a ⋅=⋅λλ；c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(（4）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则2||a a a a =⋅=+，2||b b b b =⋅=+ （5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB x ==，,A B d =（6）00212121=++⇔=⋅⇔⊥z z y y x x（7）与非零向量a 同方向的单位向量为：}cos ,cos ,{cos },,{1γβα===z y x a a a a a a a 0（三）、知识运用 1、例1已知)3,1,3(A ，(1,0,5)B ，求：（1）线段AB 的中点坐标和长度； （2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件解：（1）设M 是线段AB 的中点，则)23,3,2()(21=+=． ∴AB 的中点坐标是)23,3,2(， )3,4,2(-=AB 29)3(4)2(||222=-++-=．（2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，则222222)0()5()1()3()1()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x ,化简得：07684=++-z y x ,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是07684=++-z y x ．点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件07684=++-z y x 的系数构成一个向量)6,8,4(-=，发现与)3,4,2(-=AB 共线。
新教材高中数学第3章空间向量与立体几何§33 2空间向量运算的坐标表示及应用学案北师大版选择性必修第
3.2 空间向量运算的坐标表示及应用学习任务核心素养1．理解空间向量坐标的概念．(重点)2．掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直．(重点)3．掌握空间向量的模、夹角公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．(重点、难点)1．通过学习空间向量坐标的概念，培养数学抽象素养．2．通过求空间向量的模、夹角，培养数学运算与直观想象素养．3．通过判断两个向量的共线或垂直，培养逻辑推理素养．1．在平面向量中，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b，a－b，λa，a·b分别等于什么？2．空间向量的坐标比平面向量的坐标多了一个竖坐标，如何把平面向量运算的坐标表示类比到空间向量运算中？1．空间向量的正交分解及其坐标表示标准正交基在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基空间直角坐标系以i，j，k的公共起点O为原点，分别以i，j，k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝x i＋y j＋z k，则把x，y，z称作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝(x，y，z)．单位向量i，j，k都叫作坐标向量设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)；(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)，λ∈R；(4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2．3．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(x1，y，z1)，b＝(x2，y2，z2)．则a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0；|a |＝a·a ＝x 21＋y 21＋z 21；若点A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则 |AB |＝|AB →|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2． cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22(a ≠0，b ≠0)．空间向量的加法的坐标表示是如何推导的？〖提示〗 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，b ＝b 1i ＋b 2j ＋b 3k ， 所以a ＋b ＝()a 1i ＋a 2j ＋a 3k ＋()b 1i ＋b 2j ＋b 3k ＝()a 1＋b 1i ＋()a 2＋b 2j ＋()a 3＋b 3k ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)在不同的坐标系中，同一向量的坐标仍相同．( ) (2)已知a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，若a ∥b ，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3．( ) (3)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0．( )(4)若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2．( ) 〖答案〗 (1)× (2)× (3)√ (4)√2．已知向量a ＋b ＝(4，1，0)，a －b ＝(0，1，－2)，则cos 〈a ，b 〉＝( ) A ．12 B ．3010 C ．23 D ．32B 〖由已知得a ＝()2，1，－1，b ＝()2，0，1，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝330＝3010．〗3．已知a ＝(2，1，3)，b ＝(－4，5，x )，若a ⊥b ，则x ＝________． 〖答案〗 14．已知A 点的坐标是(－1，－2，6)，B 点的坐标是(1，2，－6)，O 为坐标原点，求向量OA →与OB →的夹角．〖解〗 因为OA →＝(－1，－2，6)，OB →＝(1，2，－6)． 所以cos 〈OA →，OB →〉＝－414141＝－1，所以向量OA →与OB →的夹角为π．类型1 空间向量的坐标运算〖例1〗 (1)已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1，4)，求a ＋b ，a －b ，a·b ，(2a )·(－b )，(a ＋b )·(a －b )；(2)已知O 是坐标原点，且A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P 的坐标：①OP →＝12(AB →－AC →)；②AP →＝12(AB →－AC →)．〖解〗 (1)a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)； a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)； a·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a )·(－b )＝－2(a·b )＝－2×(－7)＝14；(a ＋b )·(a －b )＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8． (2)由题意知，AB →＝(2，6，－3)，AC →＝(－4，3，1)．①OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6，3，－4)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，32，－2． ②设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)． 因为AP →＝12(AB →－AC →)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3y ＋1＝32，z －2＝－2解得x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，12，0．对空间向量坐标运算的两点说明(1)空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广.(2)空间向量的加法、减法、数乘运算的结果依然是一个向量；空间向量的数量积运算的结果是一个实数.〖跟进训练〗1．已知a ＝(1，1，0)，b ＝(0，1，1)，c ＝(1，0，1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p·q ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．－2A 〖因为p ＝a －b ＝(1，0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0，3，1)，所以p·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1．〗2．已知△ABC 中，A (2，－5，3)，AB →＝(4，1，2)，BC →＝(3，－2，5)，求顶点B 、C 的坐标及CA →．〖解〗 设B (x ，y ，z )，C (x 1，y 1，z 1)，所以AB →＝(x －2，y ＋5，z －3)，BC →＝(x 1－x ，y 1－y ，z 1－z )． 因为AB →＝(4，1，2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝4y ＋5＝1z －3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝－4z ＝5，所以B 的坐标为(6，－4，5)． 因为BC →＝(3，－2，5)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1－6＝3y 1＋4＝－2，z 1－5＝5解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝9y 1＝－6z 1＝10，所以C 的坐标为(9，－6，10)，CA →＝(－7，1，－7)． 类型2 坐标形式下的平行与垂直〖例2〗 已知空间三点A (－2，0，2)、B (－1，1，2)、C (－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →． (1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k ． 〖解〗 (1)因为BC →＝(－2，－1，2)且c ∥BC →， 所以设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R )， 所以|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3．解得λ＝±1．所以c ＝(－2，－1，2)或c ＝(2，1，－2)． (2)因为a ＝AB →＝(1，1，0)，b ＝AC →＝(－1，0，2)， 所以k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． 因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，即(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0． 解得k ＝2或k ＝－52．1．若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则 a ∥b (b ≠0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2，当b 与三坐标轴都不平行时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2．a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0．2．利用平行与垂直的充要条件可以解决两类问题 ①平行与垂直的判定，②平行与垂直的应用．〖跟进训练〗3．已知a ＝(1，2，－y )，b ＝(x ，1，2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( ) A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1B 〖由题意知，a ＋2b ＝(2x ＋1，4，4－y )，2a －b ＝(2－x ，3，－2y －2)．因为(a ＋2b )∥(2a －b )，所以存在实数λ，使a ＋2b ＝λ(2a －b )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ(2－x )，4＝3λ，4－y ＝λ(－2y －2)，解得⎩⎨⎧λ＝43，x ＝12，y ＝－4.〗4．已知空间三点O (0，0，0)，A (－1，1，0)，B (0，1，1)，若直线OA 上的一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为________．⎝⎛⎭⎫－12，12，0 〖设H (x ，y ，z )，则OH →＝(x ，y ，z )，BH →＝(x ，y －1，z －1)，OA →＝(－1，1，0)．因为BH ⊥OA ，所以BH →·OA →＝0，即－x ＋y －1＝0 ①，又点H 在直线OA 上，所以OA →＝λOH →，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λx ，1＝λy ，0＝λz②，联立①②解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12，z ＝0.所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，12，0．〗 类型3 向量夹角与长度的计算 〖探究问题〗已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)． 1．如何求AB →、AC →的模与〈AB →，AC →〉的大小？〖提示〗 因为AB →＝(－2，1，6)－(0，2，3)＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)． 所以||AB→＝(－2)2＋(－1)2＋32＝14，||AC→＝12＋(－3)2＋22＝14，由夹角公式得cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714·14＝12，又〈AB →，AC →〉∈〖0，π〗， 所以〈AB →，AC →〉＝60°．2．在空间中，如何利用向量求△ABC 的面积？〖提示〗 S ＝12|AB →||AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝732．〖例3〗 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，其中CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 是A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值．〖解〗 如图，以C 为坐标原点，分别以CA →，CB →，CC 1→为正交基底建立空间直角坐标系C -xyz ．(1)依题意得B (0，1，0)，N (1，0，1)． 所以|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝3．(2)依题意得A 1(1，0，2)，B (0，1，0)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)． 所以BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→＝(0，1，2)， 所以BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5． 所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010．1．空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解．这体现了向量的工具作用．引入坐标运算，可使解题过程程序化．2．平行四边面积的计算公式： S ▱ABCD ＝||AB→2||AC→2－(AB →·AC →)2．〖跟进训练〗5．已知空间三点A (1，2，3)，B (2，－1，5)，C (3，2，－5)． 求：(1)向量AB →，AC →的模； (2)向量AB →，AC →夹角的余弦值．〖解〗 (1)因为AB →＝(2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)，AC →＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)，所以|AB →|＝12＋(－3)2＋22＝14，|AC →|＝22＋02＋(－8)2＝217．(2)因为AB →·AC →＝(1，－3，2)·(2，0，－8)＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14， 所以cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－1414×217＝－23834．因此，向量AB →，AC →夹角的余弦值为－23834．1．向量的坐标实质上是该向量在标准正交基底下的分解式的一种简化表示，它也能反映向量的方向与大小．2．对于空间向量的坐标运算．牢记运算法则是正确计算的关键．3．常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直与平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求空间角和两点间距离的问题，在求空间角时，应注意所求角与两向量夹角之间的关系及所求角的范围限制．1．已知a ＝(1，－5，6)，b ＝(0，6，5)，则a 与b ( ) A ．平行且同向 B ．平行且反向 C ．垂直D ．不垂直也不平行C 〖∵a·b ＝1×0＋(－5)×6＋6×5＝0，∴a ⊥b ．〗 2．下列各组向量中不平行的是( ) A ．a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4) B ．c ＝(1，0，0)，d ＝(－3，0，0) C ．e ＝(2，3，0)，f ＝(0，0，0)D ．g ＝(－2，3，5)，h ＝(16，24，40) 〖答案〗 D3．已知向量a ＝(1，2，3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°C 〖a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a·c ＝7，得a·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a·c |a ||c |＝－12，〈a ，c 〉＝120°．〗4．设a ＝(1，0，1)，b ＝(1，－2，2)，则|a －b |＝________，〈a ，b 〉＝________． 5 π4〖由a －b ＝(1，0，1)－(1，－2，2)＝(0，2，－1)，得|a －b |＝02＋22＋(－1)2＝5．∵cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |＝32×3＝22，〈a ，b 〉∈〖0，π〗，∴〈a ，b 〉＝π4．〗5．若A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，求|AB →|的取值范围． 〖解〗 |AB →|＝(2cos θ－3cos α)2＋(2sin θ－3sin α)2＋(1－1)2＝13－12cos (α－θ)，∵－1≤cos(α－θ)≤1， ∴1≤|AB →|≤5．。
高中数学第2章空间向量与立体几何33.3空间向量运算的坐标表示学案北师大版选修2_1
3.3 空间向量运算的坐标表示学习目标：1.掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示．(重点) 2.能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角．(难点)1．空间向量的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， ①a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， ②a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)， ③λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)， ④a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.2．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则①a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )； ②a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0；③|a |＝a·a ④cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23. 思考：已知a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，能否用a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3表示a ∥b 的条件？为什么？[提示] 不能．无法保证b 1b 2b 3≠0，故不能用a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3表示a ∥b 的条件．1.判断正误(1)对空间任意的两个向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，若a·b >0，则〈a ，b 〉为锐角．( )(2)若a ＝(x ，y ，z )，则|a |＝x 2＋y 2＋z 2. ( )(3)若向量AB →＝(x 1，y 1，z 1)，则点B 的坐标为(x 1，y 1，z 1)． ( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＝(10，－5，－6) B ．a －b ＝(2，－1，－6) C ．a·b ＝10D ．|a |＝6D [a ＋b ＝(10，－5，－2)，A 错误；a －b ＝(－2，1，－6)，B 错误；a·b ＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×2＝22，C 错误；|a |＝42＋（－2）2＋42＝6，故选D.]3．已知向量a ＝(0，2，1)，b ＝(－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A ．0° B ．45° C ．90°D ．180°C [∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝2－25×6＝0，〈a ，b 〉∈[0°，180°]．∴〈a ，b 〉＝90°.]4．已知a ＝(1，－2，4)，b ＝(－2，4，x )． (1)当a ⊥b 时，x ＝________． (2)当a ∥b 时，x ＝________．(1)52 (2)－8 [(1)由a·b ＝－2－8＋4x ＝0，得x ＝52. (2)由a ∥b 得1－2＝－24＝4x解得x ＝－8.]4)，(2，－1，－2)，设p ＝AB →，q ＝CD →.求：(1)p ＋2q ；(2)3p －q ；(3)(p －2q )·(p ＋2q )．[解] 因为A (－1，2，1)，B (1，3，4)，C (0，－1，4)，D (2，－1，－2)，所以p ＝AB →＝(2，1，3)，q ＝CD →＝(2，0，－6)．(1)p ＋2q ＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(2，1，3)＋(4，0，－12)＝(6，1，－9)． (2)3p －q ＝3(2，1，3)－(2，0，－6)＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15)． (3)(p －2q )·(p ＋2q )＝p 2－4q 2＝|p |2－4|q |2＝(22＋12＋32)－4(22＋02＋62)＝－146.1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2；(2)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.1．若向量a ＝(1，1，x )，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x 的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．1A [∵c －a ＝(1，1，1)－(1，1，x )＝(0，0，1－x )， 2b ＝(2，4，2)．∴2×(1－x )＝－2，∴x ＝2.]【例2】 已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB ，b ＝AC . (1)若|c |＝3，c ∥BC →.求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .[思路探究] 解答本题可先求出a ，b ，再根据向量平行与垂直的条件列方程求解． [解] (1)因为BC →＝(－2，－1，2)，且c ∥BC →， 所以设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)，得|c |＝（－2λ）2＋（－λ）2＋（2λ）2＝3|λ|＝3，解得λ＝±1. 即c ＝(－2，－1，2)或c ＝(2，1，－2)．(2)因为a ＝AB →＝(1，1，0)，b ＝AC →＝(－1，0，2)， 所以k a ＋b ＝(k －1，k ，2) k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． 又因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0， 即(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.1．向量平行与垂直问题主要有以下两种类型：一是判断平行与垂直；一是利用平行与垂直求参数或其他问题．2．解决这种问题时要注意：①适当引入参数参与运算；②建立关于参数的方程；③准确运算．1111分别为A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值； (3)求证：BN ⊥平面C 1MN .[解] (1) 如图所示，建立空间直角坐标系C xyz . 依题意得B (0，1，0)，N (1，0，1)，∴|BN →|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝3， ∴线段BN 的长为 3.(2)依题意得A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)， ∴BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→＝(0，1，2)， ∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5. ∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.故A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为3010. (3)证明：依题意得A 1(1，0，2)，C 1(0，0，2)，B (0，1，0)，N (1，0，1)，M ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，2，∴C 1M →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1N →＝(1，0，－1)，BN →＝(1，－1，1)， ∴C 1M →·BN →＝12×1＋12×(－1)＋0×1＝0，C 1N →·BN →＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.∴C 1M →⊥BN →，C 1N →⊥BN →，∴BN ⊥C 1M ，BN ⊥C 1N ， ∴BN ⊥平面C 1MN .在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．3．已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求三棱柱的侧棱长；(2)M 为BC 1的中点，试用基向量AA 1→，AB →，AC →表示向量AM →； (3)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值．[解析] (1)设侧棱长为b ，则A (0，－1，0)，B 1(3，0，b )，B (3，0，0)，C 1(0，1，b )，所以AB 1→＝(3，1，b )，BC 1→＝(－3，1，b )．因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝(3，1，b )·(－3，1，b )＝－(3)2＋12＋b 2＝0，解得b ＝ 2.(2)因为M 为BC 1的中点，所以AM →＝12(AC 1→＋AB →)＝12(AA 1→＋AC →＋AB →)．(3)由(1)知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1，0)， 因为|AB 1→|＝（3）2＋12＋（2）2＝6， |BC →|＝（－3）2＋12＋02＝2，AB 1→·BC →＝(3，1，2)·(－3，1，0)＝－(3)2＋1×1＝－2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝|AB 1→·BC →||AB 1→||BC →|＝|－2|6×2＝66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.1．已知a ＝(1，2，－3)，b ＝(5，－7，8)，则2a ＋b 的坐标为( ) A ．(7，－3，2) B ．(6，－5，5) C ．(6，－3，2)D ．(11，－12，13)A [2a ＋b ＝2(1，2，－3)＋(5，－7，8)＝(2，4，－6)＋(5，－7，8)＝(7，－3，2)．] 2．已知向量a ＝(－3，2，5)，b ＝(1，x ，－1)，且a·b ＝2，则x 的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6C [∵a·b ＝－3×1＋2x ＋5×(－1)＝2.∴x ＝5.]3．已知a ＝(2，－3，0)，b ＝(k ，0，3)，〈a ，b 〉＝120°，则k ＝________. －39 [∵a·b ＝2k ，|a |＝13，|b |＝k 2＋9， ∴cos 120°＝2k13×k 2＋9，∴k ＝－39.] 4．若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，如果a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________．16 －32 [因为a 与b 共线，所以2x 1＝1－2y ＝39，所以x ＝16，y ＝－32.] 5．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是DD 1，BD ，BB 1的中点． (1)求证：EF ⊥CF ；(2)求EF →与CG →所成角的余弦值； (3)求CE 的长．[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0，0，0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，C (0，1，0)，F ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，G ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，0，CG →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12，CE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－1，12. 因为EF →·CF →＝12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×0＝0，所以EF →⊥CF →，即EF ⊥CF .(2)因为EF →·CG →＝12×1＋12×0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＝14，|EF →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32， |CG →|＝12＋02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52，所以cos 〈EF →，CG →〉＝EF →·CG →|EF →||CG →|＝1432×52＝1515.(3)|CE |＝|CE →|＝02＋（－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52.。
2021_2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.3.2空间向量运算的坐标表示学案含解
1.3.2 空间向量运算的坐标表示新课程标准学业水平要求1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示．2．掌握空间向量的数量积的坐标表示．1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题．(数学运算)2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(逻辑推理、数学运算)3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(逻辑推理、数学运算)必备知识·自主学习导思1.怎样用坐标进行向量的线性运算和数量积运算？2．怎样通过坐标反映向量的平行与垂直？怎样用坐标求向量的模和夹角？1.空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．2．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝a a＝a+a a222123+；cos 〈a，b〉＝a·b|a||b|＝112233222222123123a b a b a ba a ab b b＋＋＋＋＋＋.若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，a ∥b ，则一定有a 1b 1 ＝a 2b 2 ＝a 3b 3 成立吗？提示：不一定，只有当b 1，b 2，b 3均不为0时，a 1b 1 ＝a 2b 2 ＝a 3b 3 成立．3．空间两点间的距离在空间直角坐标系中，设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则12P P ＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)； P 1P 2＝|12P P |＝222212121(x x )(y y )(z z )-+--．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)若a ＝(1，－2，1)，a ＋b ＝(－1，2，－1)，则b ＝(－2，4，－2).( ) (2)若a ＝(1，2，0)，b ＝(－2，0，1)，则|a |＝|b |.( ) (3)若a ＝(0，0，1)，b ＝(1，0，0)，则a ⊥b .( )(4)在空间直角坐标系中，若A(1，2，3)，B(4，5，6)，则AB →＝(－3，－3，－3).( ) (5)已知a ＝(x 1，y 1，z 1)，若x 1＝y 1＝z 1＝1，则a 为单位向量．( ) 提示：(1)√.b ＝a ＋b －a ＝(－1，2，－1) －(1，－2，1)＝(－2，4，－2). (2)√.||a ＝12＋22＋02 ＝ 5 ，||b ＝（－2）2＋02＋12 ＝ 5 ，所以||a ＝||b .(3)√.由a ·b ＝0，得a ⊥b .(4)×.由 A(1，2，3)，B(4，5，6)，得AB → ＝(4－1，5－2，6－3)＝ (3，3，3). (5)×.若x 1＝y 1＝z 1＝1，则||a ＝12＋12＋12 ＝ 3 ，所以a 不是单位向量．2．已知向量a ＝(3，－2，1)，b ＝(－2，4，0)，则4a ＋2b 等于( ) A ．(16，0，4) B ．(8，－16，4) C ．(8，16，4) D ．(8，0，4)【解析】选D.4a ＝(12，－8，4)，2b ＝(－4，8，0)，所以4a ＋2b ＝(8，0，4). 3．已知a ＝(2，－3，1)，b ＝(4，－6，x)，若a ⊥b ，则x 等于 ( ) A ．－26 B ．－10 C ．2 D ．10【解析】选A.由于a ＝(2，－3，1)，b ＝(4，－6，x)，且有a ⊥b ， 所以a ·b ＝2×4＋(－3)×(－6)＋1×x ＝0，解得x ＝－26.4．(教材二次开发：例题改编)已知A 点的坐标是(－1，－2，6)，B 点的坐标是(1，2，－6)，O 为坐标原点，则向量OA → 与OB →的夹角是________． 【解析】cos 〈OA → ，OB →〉＝－1×1＋（－2）×2＋6×（－6）（－1）2＋（－2）2＋62×12＋22＋（－6）2＝－4141＝－1， 所以〈OA → ，OB →〉＝π. 答案：π关键能力·合作学习类型一 空间向量的坐标运算(数学运算)1.若向量a ＝()4，2，－4 ，b ＝()2，1，－1 ，则2a －3b ＝( ) A ．()6，3，－7 B ．()－2，－1，－1 C ．()2，1，－5 D ．()14，7，－112.若a ＝()2，3，－1 ，b ＝()2，0，3 ，c ＝()0，2，2 ，则a ·()b ＋c 的值为( ) A ．()4，6，－5 B ．5 C ．7D ．363．若向量a ，b 的坐标满足a ＋b ＝()－2，－1，2 ，a －b ＝()4，－3，－2 ，则a ·b 等于( ) A ．5 B ．－5 C ．7 D ．－1【解析】1.选C.因为a ＝()4，2，－4 ，b ＝()2，1，－1 ， 所以2a －3b ＝2()4，2，－4 －3()2，1，－1 ＝()2，1，－5 .2．选B.b ＋c ＝()2，0，3 ＋()0，2，2 ＝()2，2，5 ，a ·()b ＋c ＝2×2＋2×3＋(－1)×5＝5.3．选B.因为a ＋b ＝()－2，－1，2 ，a －b ＝()4，－3，－2 ，两式相加得2a ＝()2，－4，0 ，解得a ＝()1，－2，0 ，b ＝()－3，1，2 ，所以a ·b ＝1×()－3 ＋()－2 ×1＋0×2＝－5.空间向量坐标运算方法一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.【补偿训练】已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4).求：(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b).【解析】(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2).(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2，0，－6).(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.(4)因为2a＝(4，－2，－4)，所以(2a)·(－b)＝(4，－2，－4)·(0，1，－4)＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.类型二用向量运算解决平行与垂直(数学运算、逻辑推理)【典例】已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2).(1)若a∥b，分别求λ与m的值；(2)若|a|＝ 5 ，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.【思路导引】(1)根据向量平行，设(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，列出方程组，即可得出λ与m的值；(2)由向量垂直以及模长公式得出λ＝－1，即可求出向量a . 【解析】(1)因为a ∥b ，所以设(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m －1，2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6k ，1＝k （2m －1），2λ＝2k解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ＝15，m ＝3， 所以λ＝15，m ＝3.(2)因为|a |＝ 5 且a ⊥c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧（λ＋1）2＋12＋（2λ）2＝5，2()λ＋1－2λ×1－λ×2λ＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋2λ＝3，2－2λ2＝0， 解得λ＝－1.因此a ＝(0，1，－2).向量平行与垂直问题的两种题型 (1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意： ①适当引入参数(比如向量a ，b 平行，可设a ＝λb )，建立关于参数的方程； ②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．1．已知向量a ＝()1，1，0 ，b ＝()－1，0，2 ，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝( ) A ．75 B ．1 C ．35 D ．15【解析】选A.因为a ＝()1，1，0 ，b ＝()－1，0，2 ， 所以k a ＋b ＝()k －1，k ，2 ，2a －b ＝()3，2，－2 ，又因为k a ＋b 与2a －b 互相垂直，所以()k a ＋b ·()2a －b ＝0，所以3k －3＋2k －4＝0，解得k ＝75.2．设x ，y ∈R ，向量a ＝()x ，1，1 ，b ＝()1，y ，1 ，c ＝()2，－4，2 ，且a ⊥c ，b ∥c ，则||a ＋b ＝()A ．2 2B ．10C ．3D ．4【解析】选C.因为b ∥c ，所以2y ＝－4×1，所以y ＝－2，所以b ＝()1，－2，1 ，因为a ⊥b ，所以a ·b ＝x ＋1×()－2 ＋1＝0，所以x ＝1，所以a ＝()1，1，1 ，所以a ＋b ＝()2，－1，2 ，所以||a ＋b ＝22＋()－12＋22 ＝3.类型三 用向量运算求夹角和距离(数学运算) 角度1 求夹角【典例】已知向量a ＝()1，0，－1 ，则下列向量中与a 成60°角的是( ) A ．()－1，1，0 B ．()1，－1，0 C ．()0，－1，1 D ．()－1，0，1【思路导引】用夹角公式计算夹角余弦值，进一步求角．【解析】选B.对于A 选项中的向量a 1＝()－1，1，0 ，cos 〈a ，a 1〉＝a ·a 1||a ||a 1 ＝－12×2＝－12 ，则〈a ，a 1〉＝120°；对于B 选项中的向量a 2＝()1，－1，0 ，cos 〈a ，a 2〉＝a ·a 2||a ||a 2 ＝12×2 ＝12，则〈a ，a 2〉＝60°；对于C 选项中的向量a 3＝()0，－1，1 ，cos 〈a ，a 3〉＝a ·a 3||a ||a 3 ＝－12×2＝－12 ，则〈a ，a 3〉＝120°；对于D 选项中的向量a 4＝()－1，0，1 ，此时a 4＝－a ，两向量的夹角为180°. 角度2 求距离【典例】ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱，若AB ＝1，AB 1⊥BC 1，则AA 1＝( ) A ． 2 B ．22 C ． 3 D ．33【思路导引】由题意画出图形，取AB 的中点O ，连接OC ，以O 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，设AA 1＝a ，再由11AB BC ＝0列式求解a 值，则答案可求．【解析】选B.如图，取AB 的中点O ，连接OC ，以O 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系．设AA 1＝a ，则A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0 ，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，a ，B ⎝⎛⎭⎫12，0，0 ，C 1⎝⎛⎭⎫0，32，a ，则1AB ＝()1，0，a ，1BC ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，a . 由AB 1⊥BC 1得11AB BC ＝－12 ＋a 2＝0，即a ＝22 .所以AA 1＝22.利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算； (4)转化：转化为夹角与距离问题．1．在空间直角坐标系Oxyz 中，O(0，0，0)，E(2 2 ，0，0)，F(0，2 2 ，0)，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足|CO → |＝|CB → |＝3，若cos 〈EF → ，BC → 〉＝16 ，则OC → ·OF →＝( )A ．9B ．7C ．5D ．3【解析】选D.设C(x ，y ，z)，B( 2 ， 2 ，0)，OC → ＝(x ，y ，z)，BC → ＝(x － 2 ，y － 2 ，z)，EF → ＝(－2 2 ，2 2 ，0)，由cos 〈EF → ，BC → 〉＝EF →·BC →||EF →||BC→ ＝（－22，22，0）·（x －2，y －2，z ）4×3 ＝16 ，整理可得x －y ＝－22①，由|CO → |＝|CB →|＝3得x 2＋y 2 ＝（x －2）2＋（y －2）2 ，化简得x ＋y ＝ 2 ②， 由①②联立得x ＝24 ，y ＝324， 则OC → ·OF →＝(x ，y ，z)·()0，22，0 ＝2 2 y ＝3.2．已知△ABC 的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC 边上的中线长为________．【解析】设BC 边的中点为D ，则AD → ＝12(AB → ＋AC → )＝(－1，－2，2)，所以|AD → |＝1＋4＋4＝3. 答案：33．已知向量a ＝(2，－1，－2)，b ＝(1，1，－4). (1)计算2a －3b 和||2a －3b . (2)求〈a ，b 〉．【解析】(1)因为向量a ＝(2，－1，－2)，b ＝(1，1，－4)， 所以2a －3b ＝2(2，－1，－2)－3(1，1，－4)， ＝(4，－2，－4)－(3，3，－12)＝(1，－5，8)， 所以||2a －3b ＝12＋（－5）2＋82 ＝310 . (2)cos 〈a ，b 〉＝a ·b ||a ||b ＝93×32＝22 .因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π4.备选类型 向量法解决存在性问题(数学运算、逻辑推理)【典例】如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＋AD ＝4，CD ＝ 2 ，∠CDA ＝45°.设AB ＝AP ，在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由．【思路导引】根据图形特征建立坐标系，设出点G 的坐标，利用到点P ，B ，C ，D 的距离都相等建立方程组，考察方程组的解的情况．【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD. 又AB ⊥AD ，所以AP ，AB ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等．连接GB ，GC ，GP ，设AB ＝AP ＝t ，G(0，m ，0)(其中0≤m≤4－t)，则B(t ，0，0)，P(0，0，t)，D(0，4－t ，0).因为∠CDA ＝45°，所以C(1，3－t ，0).所以GC → ＝(1，3－t －m ，0)，GD → ＝(0，4－t －m ，0)，GP → ＝(0，－m ，t).由|GC → |＝|GD → |，得12＋(3－t －m)2＝(4－t －m)2， 即t ＝3－m.①由|GD → |＝|GP →|，得(4－t －m)2＝m 2＋t 2.② 由①②消去t ，化简得m 2－3m ＋4＝0.③由于方程③没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等．立体几何存在性问题的解法存在性问题通常都是假设存在，即设出点的坐标，运用题目条件建立方程或不等式，有解说明存在，无解说明不存在，即要把立体几何的存在性转化为方程或不等式有解问题．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB 和BC 的中点，在棱B 1B 上是否存在一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.若存在，求出该点；若不存在，说明理由．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，B 1(1，1，1)，C(0，1，0)，D 1(0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0 ， 设M(1，1，m).连接AC ，则AC →＝(－1，1，0).而E ，F 分别为AB ，BC 的中点， 所以EF →＝12AC → ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0 . 又因为1B E ＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－1 ，1D M ＝(1，1，m －1)， 而D 1M ⊥平面EFB 1，所以D 1M ⊥EF ， 且D 1M ⊥B 1E ，即1D M ·EF →＝0，且11D MB E ＝0.所以⎩⎨⎧－12＋12＋（m －1）×0＝0，0－12＋1－m ＝0，解得m ＝12，即M 为B 1B 的中点．课堂检测·素养达标1．若向量a ＝(1，1，x)，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)，满足条件(c －a )·2b ＝ －2，则x 的值为( ) A ．2B ．－2C ．0D ．1【解析】选A.因为c －a ＝(1，1，1)－(1，1，x)＝(0，0，1－x)，2b ＝2(1，2，1)＝(2，4，2)，所以(c －a )·2b ＝2－2x ＝－2.所以x ＝2.2．向量a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是( ) A ．a ∥b ，a ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对【解析】选C.因为a·b ＝(－2，－3，1)·(2，0，4)＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a ⊥b . 又因为a ＝(－2，－3，1)＝12 (－4，－6，2)＝12c ，所以a ∥c .3．(教材二次开发：习题改编)若点A(0，1，2)，B(1，0，1)，则AB → ＝________，|AB|→＝________． 【解析】AB → ＝(1，－1，－1)，|AB → |＝12＋（－1）2＋（－1）2 ＝ 3 .答案：(1，－1，－1) 34．若向量a ＝()1，－1，2 ，b ＝()2，1，－3 ，则||2a ＋b ＝________．【解析】由于向量a ＝()1，－1，2 ，b ＝()2，1，－3 ，所以2a ＋b ＝()4，－1，1 .故||2a ＋b ＝42＋（－1）2＋12 ＝18 ＝3 2 . 答案：3 25．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则AB → 与CA → 的夹角的大小是________．【解析】因为AB → ＝(－2，－1，3)，CA → ＝(－1，3，－2)，cos 〈AB → ，CA → 〉＝（－2）×（－1）＋（－1）×3＋3×（－2）14×14＝－714 ＝－12 ，所以〈AB → ，CA → 〉＝120°.答案：120°。
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.3.3 空间向量
2.3.3 空间向量运算的坐标表示1．掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示．(重点)2．能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角．(难点)[基础·初探]教材整理1 空间向量运算的坐标表示阅读教材P 36～P 37例5以上的部分，完成下列问题． 1．空间向量运算的坐标表示设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则： (1)a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)，即，空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和． (2)a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2)，即，空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差． (3)λa ＝(λx 1，λy 1，λz 1)(λ∈R )，即，实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积． (4)设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. 即，空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和． 2．空间向量的坐标与起点和终点坐标的关系若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．1．已知a ＝(1,2，－3)，b ＝(5，－7,8)，则2a ＋b 的坐标为( ) A ．(7，－3,2) B ．(6，－5,5) C ．(6，－3,2)D ．(11，－12,13)【解析】 2a ＋b ＝2(1,2，－3)＋(5，－7,8)＝(2,4，－6)＋(5，－7,8)＝(7，－3,2)． 【答案】 A2．在空间直角坐标系中，点A 的坐标为(1,2,3)，点B 的坐标为(4,5,6)，则AB →＝________.【解析】 AB →＝OB →－OA →＝(4,5,6)－(1,2,3)＝(3,3,3)． 【答案】 (3,3,3)教材整理2 空间向量平行、垂直、长度、夹角的表示 阅读教材P 37例5以下～P 38练习以上的部分，完成下列问题． 设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则(1)若b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λ b ⇔x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2(λ∈R )； (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0. |a |＝a 2＝x 21＋y 21＋z 21.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22.(a ≠0，b ≠0)1．已知a ＝(1，－5,6)，b ＝(0,6,5)，则a 与b ( ) A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向D ．平行且反向【解析】 a·b ＝0－30＋30＝0，∴a ⊥b . 【答案】 A2．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标为( ) A ．(1,3,2) B ．(－1，－3,2) C ．(－1,3，－2)D ．(1，－3，－2)【解析】 ∵(－1,3，－2)＝－(1，－3,2)， ∴(－1,3，－2)与(1，－3,2)平行． 【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________[小组合作型]空间向量的坐标运算(1)已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(1,2，－1)， 则a ＋b ＝________，2a －b ________.【自主解答】 a ＋b ＝(2＋1，－1＋2,3－1)＝(3,1,2)，2a －b ＝2(2，－1,3)－(1,2，－1)＝(4，－2,6)－(1,2，－1)＝(3，－4,7)．【答案】 (3,1,2) (3，－4,7)(2)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值为________． 【自主解答】 ∵a ∥b ，∴b ＝k a ， 即k (λ＋1,0,2)＝(6,2μ－1,2λ)∴⎩⎪⎨⎪⎧k λ＋1＝60＝2μ－12k ＝2λ，∴μ＝12，λ＝2或－3.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2μ＝12 或 ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3μ＝12(3)已知a ＝(1,0，－1)，b ＝(1，－2,2)，c ＝(－2,3，－1)，则a －b ＋2c ＝________.【导学号：32550032】【自主解答】 a －b ＋2c ＝(1,0，－1)－(1，－2,2)＋2(－2，3，－1)＝(－4,8，－5)． 【答案】 (－4,8，－5)数量积的坐标运算已知a 求(1)a·b ；(2)(2a －b )·(3a ＋b )．【精彩点拨】 根据数量积的计算公式运算即可． 【自主解答】 (1)a ·b ＝3×2＋5×1＋(－4)×8＝－21.(2)2a －b ＝2(3,5，－4)－(2,1,8)＝(6,10，－8)－(2,1,8)＝(4,9，－16)． 3a ＋b ＝3(3,5，－4)＋(2,1,8)＝(9,15，－12)＋(2,1,8)＝(11,16，－4)． ∴(2a －b )·(3a ＋b )＝4×11＋16×9＋(－16)×(－4)＝252.空间向量数量积即将对应坐标乘积的求和，牢记运算公式是正确计算的关键． [再练一题]1．本例条件不变，求(a ＋b )·(a －b )．【解】 (a －b )·(a ＋b )＝a·a －b·b ＝(3,5，－4)·(3,5，－4)－(2,1,8)·(2,1,8)＝9＋25＋16－(4＋1＋64)＝－19.利用坐标运算解决长度和夹角问题已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)，求以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积．【精彩点拨】 根据平行四边形的面积S ＝|AB →|·|AC →|·sin θ(θ＝〈AB →，AC →〉)，所以必须求出|AB →|、|AC →|、sin θ的大小．【自主解答】 ∵AB →＝(－2,1,6)－(0,2,3)＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3,2)．设θ＝〈AB →，AC →〉，∵cos θ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714·14＝12，∵〈AB →，AC →〉∈[0，π]， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝1－14＝32， ∴S ＝|AB →||AC →|sin θ＝73，即以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积为7 3.1．空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解．这体现了向量的工具作用．引入坐标运算，可使解题过程程序化．2．平行四边形面积的计算公式：S ▱ABCD ＝|AB →||AC →|2－AB →·AC→2.[再练一题]2．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)．(1)求cos ∠BAC ；(2)求△ABC 中BC 边上中线的长度．【解】 (1)a ＝AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， b ＝AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． cos ∠BAC ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02·5＝－1010. (2)设BC 中点为D ，则D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12，3，又A (－2,0,2)，∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1， ∴|AD →|＝02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝54＝52. 即△ABC 中BC 边上中线的长度为52. 坐标形式下的平行与垂直问题已知空间三点A (－2,0,2)、B (－1,1,2)、C (－3,0,4)．设a ＝AB →，b ＝AC →.【导学号：32550033】(1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .【精彩点拨】 利用向量平行与垂直的直角坐标表示运算即可． 【自主解答】 (1)∵BC →＝(－2，－1,2)且c ∥BC →， ∴设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)． ∴|c |＝－2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)， ∴k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(k a ＋b )⊥(k a －2b )， ∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝0.即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0.解得k ＝2或k ＝－52.向量平行与垂直问题主要有以下两种类型：一是判断平行与垂直；一是利用平行与垂直求参数或其他问题．解决这种问题时要注意：①适当引入参数参与运算；②建立关于参数的方程；③准确运算．[再练一题]3．设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)． (1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k . 【解】 (1)由于(k a ＋b )∥(a －3b )， 所以(k a ＋b )＝λ(a －3b )，即k a ＋b ＝λa －3λb ，由于a 与b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－3λ，解得k ＝－13；(2)由于(k a ＋b )⊥(a －3b )，所以(k a ＋b )·(a －3b )＝0， 即k |a |2－(3k －1)a·b －3|b |2＝0，而|a |2＝27，|b |2＝38，a·b ＝8，所以27k －8(3k －1)－114＝0，解得k ＝1063.[探究共研型]空间直角坐标系的特征探究1 【提示】 (1)空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体，其“线线夹角”、“点点距离”是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简．(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系转化为坐标运算，一般按照右手系建系，如图所示．探究2 用坐标表示空间向量的一般步骤是什么？ 【提示】 用坐标表示空间向量的一般步骤是： (1)观察图形、认识图形，并分析图形特征．(2)建系．找出三条两两垂直的直线作轴，建立空间直角坐标系．(3)计算．利用向量的线性运算用基底表示目标向量． (4)结果．根据线性运算表示不确定向量的坐标．如图2313所示，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．过B 作BM ⊥AC 1于M ，求点M 的坐标．图2313【精彩点拨】 写出A ，B ，C 1的坐标，设出M 的坐标，利用条件BM ⊥AC 1及M 在AC 1上建立方程组，求解．【自主解答】 法一：设M (x ，y ，z )，由图可知：A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C 1(0，a ，a )，则AC 1→＝(－a ，a ，a )，AM →＝(x －a ，y ，z )，BM →＝(x －a ，y －a ，z )． ∵BM →⊥AC 1→，∴BM →·AC 1→＝0， ∴－a (x －a )＋a (y －a )＋az ＝0， 即x －y －z ＝0.①又∵AC 1→∥AM →，∴x －a ＝－λa ，y ＝λa ，z ＝λa ， 即x ＝a －λa ，y ＝λa ，z ＝λa .② 由①②得x ＝2a 3，y ＝a 3，z ＝a3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3.法二：设AM →＝λAC 1→＝(－aλ，aλ，aλ)， ∴BM →＝BA →＋AM →＝(0，－a,0)＋(－aλ，aλ，aλ) ＝(－aλ，aλ－a ，aλ)． ∵BM ⊥AC 1， ∴BM →·AC 1→＝0即a 2λ＋a 2λ－a 2＋a 2λ＝0，解得λ＝13，∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，a 3，a 3， DM →＝DA →＋AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a3. ∴M 点坐标⎝⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3.[构建·体系]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对空间任意的两个向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)若a 与b 共线，则x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2.( )(2)若a ＝(x ，y ，z )则|a |＝x 2＋y 2＋z 2.( )(3)若向量AB →＝(x 1，y 1，z 1)，则点B 的坐标为(x 1，y 1，z 1)．( ) 【解析】 (1)若b ＝0则x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2不成立． (2)|a |＝x 2＋y 2＋z 2.(3)因AB →＝OB →－OA →需知A 点坐标方可求点B 坐标． 【答案】 (1)× (2)× (3)×2．向量a ＝(2,1，－1)，b ＝(3，－2,1)，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＝(5，－1,1)B ．a －b ＝(－1，－1,0)C ．2b ＝(6，－4,2)D ．a·b ＝9【解析】 a ＋b ＝(5，－1,0)，a －b ＝(－1,3，－2)， 2b ＝(6，－4,2)，a ·b ＝2×3＋(－2)×1＋1×(－1)＝3. 【答案】 C3．已知向量a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a·b ＝2，则x 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6【解析】 ∵a·b ＝－3×1＋2x ＋5×(－1)＝2. ∴x ＝5. 【答案】 C4．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(0，－1,4)，则a ＋b ＝________.3b ＝________，a ·b ＝________.【解析】 a ＋b ＝(2＋0，－1－1,2＋4)＝(2，－2,6)． 3b ＝3(0，－1,4)＝(0，－3,12)．a ·b ＝2×0＋(－1)×(－1)＋2×4＝9.【答案】 (2，－2,6) (0，－3,12) 95．已知a ＝(5,3,1)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，t ，－25且a 与b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 【导学号：32550034】【解】 由已知得a·b ＝5×(－2)＋3t ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝3t －525.因为a 与b 的夹角为钝角，所以a·b ＜0且〈a ，b 〉≠180°. 由a·b ＜0，得3t －525＜0，所以t ＜5215.若a 与b 的夹角为180°，则存在λ＜0，使a ＝λb (λ＜0)，即(5,3,1)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，t ，－25，所以⎩⎪⎨⎪⎧5＝λ·－23＝λt ，1＝λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，解得t ＝－65.所以t 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－65∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，5215.我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)________________________________________________。
高中数学第二章空间向量与立体几何2.3.3空间向量运算的坐标表示训练案北师大版选修2-1(2021
2018-2019学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.3.3 空间向量运算的坐标表示训练案北师大版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.3.3 空间向量运算的坐标表示训练案北师大版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.3。
3 空间向量运算的坐标表示[A.基础达标］1．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A，B的坐标分别为A （1，2,2）,B（2,－2，1），则｜AB｜＝（）A．18 B．12C．3 2 D．2错误!解析:选C.错误!＝（1，－4,－1)，｜AB|＝|错误!｜＝错误!＝3错误!。
2.若ABCD为平行四边形,且A（4，1，3），B(2，－5，1)，C（－3，7，－5)，则顶点D 的坐标为( )A。
错误!B．(2，3，1）C．(－3，1，5) D．（－1,13，－3)解析：选D。
设D(x,y,z），因为错误!＝错误!，所以(－2，－6，－2）＝(－3－x，7－y，－5－z)，所以｛－2＝－3－x，，－6＝7－y，，－2＝－5－z，所以错误!3．已知a＝(cos α,1，sin α)，b＝(sin α，1,cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是（）A．0° B．60°C．30° D．90°解析：选D.因为（a＋b)·(a－b）＝a2－b2＝cos2α＋1＋sin2α－（sin2α＋1＋cos2α）＝0，所以cos〈a＋b，a－b〉＝0，所以<a＋b，a－b〉＝90°.4．已知向量a＝（1，1，0），b＝(0，1，1),c＝（1，0，1），d＝（1，0，－1)，则其中共面的三个向量是（）A．a，b，c B．a，b,dC．a,c，d D．b，c，d解析：选B。
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2.3.2空间向量运算的坐标表示
【学习目标】
(1)掌握空间向量线性运算和数量积的坐标表示．
(2)能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度和夹角．
【重点、难点】
重点：空间向量运算的坐标表示及空间向量模与夹角的求法．
难点：空间向量的坐标运算在解决简单的立体几何问题中的应用．【学法指导】
通过类比平面向量的坐标运算去理解定义空间向量的坐标运算．【预习感知】
1．空间向量的直角坐标运算律
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a＋b＝_____________________________；
(2)a－b＝_________________________________________；
(3)λa＝______________________(λ∈R)；
(4)a·b＝________________________；
(5)a∥b；
(6)a⊥b．
2．几个重要公式
→＝
(1)若A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)，则AB
________________________________.即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的________的坐标减去
________的坐标．
(2)模长公式：若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a ·a ＝_________________，|b |＝b ·b ＝________________________.
(3)夹角公式：cos 〈a ，b 〉＝________________＝____________________ (a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3))．
(4)两点间的距离公式：若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)．则|AB
→|＝AB →2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2.
答案：1．(1)(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) (2)(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3) (3)(λa 1，λa 2，λa 3) (4)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 (5)a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )
(6)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0
2．(1)(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1) 终点 起点 (2)a 21＋a 22＋a 23 b 21＋b 22＋b 23
(3)a ·b |a ||b | a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3
a 21＋a 22＋a 23
b 21＋b 22＋b 23
【预习检测】
1．已知a ＝(1,2，－3)，b ＝(5，－7,8)，则2a ＋b 的坐标为( )
A ．(7，－3,2)
B ．(6，－5,5)
C ．(6，－3,2)
D ．(11，－12,13)
【解析】 2a ＋b ＝2(1,2，－3)＋(5，－7,8)＝(2,4，－6)＋(5，－7,8)＝(7，－3,2)．
【答案】 A
2．已知a ＝(1，－5,6)，b ＝(0,6,5)，则a 与b ( )
A ．平行且同向
B ．平行且反向
C ．垂直
D ．不垂直也不平行
【解析】 ∵a ·b ＝1×0＋(－5)×6＋6×5＝0，∴a ⊥B ．
【答案】 C
3．设a ＝(1,0,1)，b ＝(1，－2,2)，则|a －b |＝________，〈a ，b 〉＝________.
【解析】 由a －b ＝(1,0,1)－(1，－2,2)＝(0,2，－1)，得|a －b |＝02＋22＋(－1)2＝ 5.
∵cos 〈a ，b 〉＝
a ·
b |a ||b |＝32×3
＝22，〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝π4.
【答案】
5 π4 【自主探究】
例1．设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．
(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；
(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .
解 k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，
a －3
b ＝(7，－4，－16)．
(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，
则k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16， 解得k ＝－13.
(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，则(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋
5)×(－16)＝0，解得k ＝1063.
例2．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，
b ＝AC →.
(1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c .
(2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．
解 (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)， ∴c ＝mBC →＝m (－2，－1,2)＝(－2m ，－m,2m )，
∴|c |＝(－2m )2＋(－m )2＋(2m )2＝3|m |＝3，
∴m ＝±1.
∴c ＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．
(2)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，
∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，
又∵|a |＝12＋12＋02＝2，
|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，
∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－110＝－10
10，
即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－10
10.
【课堂检测】
1．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 的坐标为(－1,2,1)，点B 的坐标为(1,3,4)，则( )
A.AB
→＝(－1,2,1) B.AB →＝(1,3,4) C.AB
→＝(2,1,3) D.AB →＝(－2，－1，－3) 2．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( )
A ．x ＝13，y ＝1
B ．x ＝12，y ＝－4
C ．x ＝2，y ＝－14
D ．x ＝1，y ＝－1
3．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3
是a ∥b 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
4．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )
A ．1 B.15 C.35 D.75
5．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A.65 B.652 C ．4 D ．8
6．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )则|b －a |的最小值是( ) A.55 B.555 C.355 D.115
7．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x ＝______.
8．已知A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AB
→在AC →上的投影为______．
【答案】1．C
2．B [∵a ＋2b ＝(1＋2x,4,4－y )，2a －b ＝(2－x,3，－2y －2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，∴3(1＋2x )＝4(2－x )且3(4－y )＝4(－2y －2)，
∴x ＝12，y ＝－4.]
3．A [设a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3
＝k ，易知a ∥b ，即条件具有充分性．又若b ＝0时，b ＝(0,0,0)，
虽有a ∥b ，但条件a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3
显然不成立，所以条件不具有必要性，故选A.]
4．D [∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，
(k a ＋b )⊥(2a －b )，∴3(k －1)＋2k －4＝0.
∴k ＝75.]
5．A [设向量a 、b 的夹角为θ，
于是cos θ＝4－2＋23×3
＝49，由此可得sin θ＝659. 所以以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为
S ＝2×12×3×3×659＝65.]。