直线与圆测试(人教A版)(含答案)
人教A版(2019)选择性必修第一册《直线与圆、圆与圆的位置关系》提升训练(含解析)
人教A版（2019）选择性必修第一册《2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系》提升训练一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）若a2+b2=43c2，则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为()A. 2B. 1C. 34D. 122.（5分）方程(a−1)x−y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线与圆(x+1)2+y2=25的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 不能确定3.（5分）两内切圆的半径长是方程x2+px+q=0的两根，已知两圆的圆心距为1，其中一圆的半径为3，则p+q=()A. 2或4B. 4C. 1或5D. 54.（5分）若圆P的半径为1，且经过坐标原点，过圆心P作圆(x−4)2+(y−3)2=4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为()A. √3B. 2√3C. 2D. 45.（5分）直线4x−3y=0被圆(x−1)2+(y−3)2=10所截得的弦长为()A. 3B. 3√2C. 6D. 6√26.（5分）以直线ax−y−3−a=0(a∈R)经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是()A. x2+y2−2x+6y+6=0B. x2+y2+2x−6y+6=0C. x2+y2+6x−2y+6=0D. x2+y2−6x+2y+6=07.（5分）圆x2+y2−2x−8y+13=0截直线ax+y−1=0所得的弦长为2√3，则a=()A. −43B. −34C. √3D. 28.（5分）已知A(−4,0)，B(0,4)，点C是圆x2+y2=2上任意一点，则ΔABC面积的最大值为()A. 8B. 4√2C. 12D. 6√2二、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）已知圆C1：(x+1)2+y2=1和圆C2：(x−4)2+y2=4，过圆C2上任意一点P作圆C1的两条切线，设两切点分别为A，B，则()A. 线段AB的长度大于√2B. 线段AB的长度小于√3C. 当直线AP与圆C2相切时，原点O到直线AP的距离为65D. 当直线AP平分圆C2的周长时，原点O到直线AB的距离为4510.（5分）已知圆O与直线l1：y=2x−4和l2：y=2x+6共有两个公共点，则圆O的方程可以是()A. (x−1)2+(y−3)2=5B. (x−1)2+(y−2)2=5C. (x−1)2+(y+3)2=25D. (x−1)2+(y−10)2=2511.（5分）已知圆C：x2+y2−4x=0和一点M(3,0)()A. 点M在圆C外面B. 过点M的圆C的最短弦所在直线方程是x=3C. 过点M作倾斜角为150∘的直线l被圆C所截得的弦长为√15D. 过点N(−2,0)作斜率为k的直线与圆C有公共点，则k∈[−√33,√3 3]12.（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为x2+(y−1)2=4，过点P(x0,y0)存在直线l被圆C截得的弦长为2√3，则下列点P的坐标满足条件的是()A. (0,0)B. (0,1)C. (12,1) D. (2,0)13.（5分）已知圆C：(x−2)2+(y−2)2=25，直线l：3x−4y+m=0.圆C上恰有3个点到直线l的距离为3.则m的值为()A. −13B. −8C. 12D. 17三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）(1)已知圆O：x2+y2=1，圆M：(x−a)2+(y−a+4)2=1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°.则实数a的取值范围为________.(2)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2−8x+15=0，若直线y=kx−2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________15.（5分）已知M(3,0)是圆x2+y2−8x−2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是______．16.（5分）过点(1,0)且与直线x-√2y+3=0平行的直线l被圆(x-6)2+(y-√2)2=12所截得的弦长为________.17.（5分）若直线l:ax+by−5=0(ab>0)恒过圆C：(x−3)2+(y−2)2=25的圆心，则3a +2b的最小值为__________.18.（5分）在面直角坐系Oy中，圆C程为(x−22+(−3)2=9，若过点M03)的线与交于PQ点(其中点P第二象)且∠PM=2∠PQO，则点Q的横坐标为 ______ ．四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知直线l1:x−y−2=0与圆C:x2+y2−2x+6y=0交于A,B两点，直线l2过点(1,−3)且l2//l1，l2与圆C交于M,N两点.求由点A,B,M,N构成四边形的面积.20.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1：x2+y2−mx−14y+60=0，三个点A(2,4)、B、C均在圆O1上，(1)求该圆的圆心O1的坐标；(2)若OA →=BC →，求直线BC 的方程；(3)设点T(0,t)满足四边形TABC 是平行四边形，求实数t 的取值范围． 21.（12分）已知圆C ：x 2+8x +y 2=0，直线l ：mx +y +2m =0.(1)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |=2√14，求直线l 的方程. (2)已知点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上是否存在两个定点M ，N ，使得|PM ||PN |=12若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，说明理由.22.（12分）已知圆C ：x 2+y 2−4x +ay +1=0(a ∈R )，过定点P(0,1)作斜率为−1的直线交圆C 于A 、B 两点，P 为AB 的中点． (1)求实数a 的值；(2)从圆外一点M 向圆C 引一条切线，切点为N ，且有MN =√2MP ，求MN 的最小值． 23.（12分）在位于城市A 南偏西60°相距100海里的B 处，一股台风沿着正东方向袭来，风速为120海里/小时，台风影响的半径为r(r >50)海里： (1)若r =70，求台风影响城市A 持续的时间(精确到1分钟)？ (2)若台风影响城市A 持续的时间不超过1小时，求r 的取值范围．答案和解析1.【答案】B;【解析】解：因为a 2+b 2=43c 2，圆x 2+y 2=1， 所以圆心O(0,0)到直线ax +by +c =0的距离d =√a 2+b2=√32， 所以直线ax +by +c =0被圆x 2+y 2=1所截得的弦长为l =2√r 2−d 2=2×12=1. 故选：B.利用圆的性质及弦长公式即求．此题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．2.【答案】C; 【解析】该题考查直线过定点问题，考查直线与圆位置关系的判定，是基础题． 求出直线所过定点，再由定点在圆内得答案．解：由(a −1)x −y +2a +1=0，得a(x +2)−x −y +1=0， 联立{x +2=0−x −y +1=0，解得{x =−2y =3．∴直线(a −1)x −y +2a +1=0过定点(−2,3)， ∵(−2+1)2+32=10<25，∴点(−2,3)在圆(x +1)2+y 2=25的内部，则直线(a −1)x −y +2a +1=0与圆(x +1)2+y 2=25的位置关系是相交． 故选：C ．3.【答案】C;【解析】解：根据题意，设两个圆的半径为R ，r ，且R =3， 则有|R −r|=1，解可得r =2或4，又由R 、r 是方程x 2+px +q =0的两根，则{R +r =−p Rr =q ，当r =2时，p =−5，q =6，此时p +q =1， 当r =4时，p =−7，q =12，此时p +q =5， 故p +q =1或5， 故选：C ．根据题意，设两个圆的半径为R ，r ，且R =3，由圆心距求出r 的值，结合一元二次方程根与系数的关系分析可得答案．此题主要考查圆与圆的位置关系，涉及一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．4.【答案】B;【解析】解：由圆P的半径为1，且经过坐标原点，可得圆心P的轨迹为x2+y2=1，又圆C：(x−4)2+(y−3)2=4，其圆心C(4,3)，半径r=2，过点P作圆C：(x−4)2+(y−3)2=4的切线，切点为Q，则|PQ|=√|PC|2−4，当|PC|最小时，|PQ|最小，又由点P在单位圆上，则|PC|的最小值为|OC|−1=√9+16−1=4，则|PQ|的最小值为√16−4=2√3．故选：B．由已知可得P的轨迹，画出图形，求得|PC|的最小值，则答案可求．该题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．5.【答案】C;【解析】此题主要考查直线与圆相交的弦长.先根据圆的方程求得圆的圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得被截的弦的一半，则弦长可求.=1，解：因为圆心到直线的距离为d=|4×1−3×3|5所以l=2√r2−d2=2√10−1=6，故选C.6.【答案】A;【解析】解：由题可知，直线过定点(1,−3)，所以圆方程为(x−1)2+(y+3)2=4，即x2+y2−2x+6y+6=0.故选：A.求出圆的圆心，然后写出圆的方程即可．此题主要考查直线系方程的应用，圆的方程的求法，是基础题．7.【答案】A;【解析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．此题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，正确运用勾股定理是解答该题的关键．解：圆的方程可化为(x−1)2+(y−4)2=4，则由垂径定理可得点到直线距离为√22−(√3)2=1，圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：d=√a2+1=1，化简可得(a+3)2=a2+1，解得a=−43.故选A.8.【答案】C;【解析】解：根据题意，A(−4,0)，B(0,4)，则直线AB的方程为x−y−4=0，且|AB|=√16+16=4√2，圆x2+y2=2的圆心为O，其坐标为(0,0)，半径r=√2，则O到直线AB的距离d=√1+1=2√2，要求ΔABC面积的最大值，则点C到直线AB的距离最大，又由点C是圆x2+y2=2上任意一点，则C到直线AB距离的最大值为d+r=2√2+√2=3√2，故ΔABC面积的最大值为12×3√2×4√2=12；故选：C．根据题意，由A、B的坐标求出直线AB的方程以及|AB|的值，由圆的方程分析圆心的坐标以及圆的半径，分析可得要求ΔABC面积的最大值，则点C到直线AB的距离最大，由点与圆的位置关系分析可得C到直线AB距离的最大值，计算即可得答案．该题考查点到直线的距离公式的应用，涉及三角形面积的计算，属于基础题．9.【答案】AD;【解析】解：如图示：C 1(−1,0)，C 2(4,0)，根据直角三角形的等面积方法可得，|AB|=2⋅|PA|⋅|AC 1||PC 1|=2⋅√|PC 1|2−1|PC 1|=2√1−1|PC 12，由于|PC 1|∈[3,7]， 故2√1−1|PC 1|2∈[4√23,8√37]， 由于4√23>√2,8√37>√3，故A 正确，B 错误；当直线AP 与圆C 2相切时，由题意可知AP 斜率存在， 故设AP 方程为y =kx +m ， 则有|−k+m|√1+k 2=1,|4k+m|√1+k 2=2，即|4k +m|=2|k −m|，即2k =−3m 或6k =m ，设原点O 到直线AP 的距离为d ，则d =|m|√1+k2=|m||k−m|， 当2k =−3m 时，d =25；当6k =m 时，d =65，故C 错误； 当直线AP 平分圆C 2的周长时，即直线AP 过点C 2(4,0)，AP 斜率存在，设直线AP 方程为y =t(x −4)，即tx −y −4t =0， 则|−t−4t|√1+t 2=1，即|5t|√1+t 2=1,|t|√1+t 2=15，故原点O 到直线AP 的距离为d ′，则d ′=|4t|√1+t2=45，故D 正确； 故选：AD.根据圆的切线的几何性质可求得|AB|=2√1−1|PC 1|2，确定|PC 1|∈[3,7]，可求得√1−1|PC1|2∈[4√23,8√37]，即可判断A ，B ；当直线AP 与圆C 2相切时，设直线AP 的方程，利用和圆相切可得|4k +m|=2|k −m|，继而求得原点O 到直线AP 的距离，判断C ；当直线AP 平分圆C 2的周长时，直线AP 过点C 2(4,0)，设直线AP 方程，可得|t|√1+t2=15，由此求得原点O 到直线AP 的距离，判断D.此题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．10.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查的是直线与圆的位置关系，关键是找出圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，属于中档题.根据各个选项给出的圆的方程，分别计算出圆心到直线的距离，再与圆的半径进行比较，即可找出符合条件的圆的方程．解：直线l1：y=2x−4和l2：y=2x+6化为一般式为：l1：2x−y−4=0和l2：2x−y+6=0，两直线平行，A：(x−1)2+(y−3)2=5，圆心为(1,3)，半径为√5，圆心到直线l1：2x−y−4=0的距离为√5=√5，直线l1：2x−y−4=0与圆相切，圆心到直线l2：2x−y+6=0的距离为√5=√5，直线l2：2x−y+6=0与圆相切，共有两个公共点，故A正确；B:(x−1)2+(y−2)2=5，圆心为(1,2)，半径为√5，圆心到直线l1：2x−y−4=0的距离为√5=4√55<√5，直线l1：2x−y−4=0与圆相交，有两个交点，圆心到直线l2：2x−y+6=0的距离为√5=6√55>√5，直线l2：2x−y+6=0与圆相离，无公共点，故B正确；C:(x−1)2+(y+3)2=25，圆心为(1,−3)，半径为5，圆心到直线l1：2x−y−4=0的距离为√5=√55<5，直线l1：2x−y−4=0与圆相交，有两个交点，圆心到直线l2：2x−y+6=0的距离为√5=11√55<5，直线l2：2x−y+6=0与圆相交，有两个交点，故C错误；D:(x−1)2+(y−10)2=25，圆心为(1,10)，半径为5，圆心到直线l1：2x−y−4=0的距离为√5=12√55>5，直线l1：2x−y−4=0与圆相离，无交点，圆心到直线l2：2x−y+6=0的距离为√5=2√55<5，直线l2：2x−y+6=0与圆相交，有两个交点，故D正确.故选ABD.11.【答案】BCD;【解析】此题主要考查点与圆、直线与圆的位置关系，属于一般题.将点M坐标代入圆的方程即可判断A;利用过点M的圆C的最短弦与CM垂直即可判断B；利用弦长公式即可判断C；利用圆心到直线的距离小于等于半径即可判断D.解：对于A、因为32+02−4×3<0，所以点M在圆C内部，故A错误；对于B 、因为圆C 方程可化为(x −2)2+y 2=4，圆心为C(2,0)，半径为r =2， 由于过点M 的圆C 的最短弦与CM 垂直，又k CM =0，则该弦所在直线的斜率不存在， 故对应的方程为x =3，故B 正确； 对于C 、l 的方程为y =−√33x +√3，即√3x +3y −3√3=0， 圆心C 到l 的距离为d =√3−3√3|√(√3)2+32=12，故弦长为2√r 2−d 2=2√22−(12)2=√15，故C 正确；对于D 、因为过点N(−2,0)作斜率为k 的直线方程为y =kx +2k ，即kx −y +2k =0， 因为直线与圆C 有公共点，则√k 2+(−1)2⩽2，解得k ∈[−√33,√33]，故D 正确， 故选BCD .12.【答案】AD; 【解析】此题主要考查直线与圆相交，属基础题目， 利用弦心距、半弦长、半径满足勾股关系得解.解：圆C 的方程为x 2+(y −1)2 = 4， ∴圆心C(0,1)，半径为2，由题意过点P 存在直线l 被圆C 截得的弦长为2√3， 设圆心C 到直线l 的距离为d ， 则d 2=r 2−(2√32)2，d 2=4−3=1，则点P 到点C 的距离不小于1，∴满足条件的点P 的坐标 (0,0)或 (2,0)， 故选AD .13.【答案】BC;【解析】解：圆C ：(x −2)2+(y −2)2=25的圆心为C(2,2)，半径r =5， 因为圆C 上恰有3个点到直线l 的距离为3. 所以圆心C 到直线l 的距离为r −3=2， 所以√32+42=2，整理得|m −2|=10，解得m =12或m =−8. 故选：BC.根据圆的性质，得到圆心到直线l 的距离等于2，由点到直线的距离公式求解即可． 此题主要考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．14.【答案】(1)[2−√22,2+√22] (2)43; 【解析】(1)此题主要考查了轨迹思想以及圆与圆的位置关系的应用．其中条件“∠APB =60°”就是用来确定点P 的轨迹的，一方面，根据点满足∠APB =60°，从而得到点P 在动圆x 2+y 2=4上，，另一方面，P 也在圆M 上，从而将所求解的问题转化为研究圆与圆的位置关系的问题，通过它们的位置关系，就可以求出变量a 的取值范围．解：(1)因为圆M 上存在点P ，使经过点P 作圆O 的两条切线， 切点为A ，B ，使∠APB =60°，则∠APO =30°， 所以OP =2，即点P 在圆x 2+y 2=4上，又点P 在圆M 上，圆M 圆心为(a,a −4)，半径为1， 于是2−1⩽√a 2+(a −4)2⩽2+1， 即1⩽√a 2+(a −4)2⩽3， 解得实数a ∈[2−√22,2+√22]. 故答案为[2−√22,2+√22]. (2)此题主要考查根据圆和圆的位置关系求解参数的取值范围的问题．本题关键在于利用圆和圆有公共点建立关于k 的不等式，再利用直线上至少存在一点，从而将问题转化为不等式有解的问题．解：由题意知圆C 的方程可化为(x −4)2+y 2=1，则圆心C(4,0). 设直线上一点的坐标为(x,kx −2)， 则由题意得√(x −4)2+(kx −2)2⩽2， 整理得(k 2+1)x 2−(8+4k )x +16⩽0，此不等式有解的条件是Δ=(8+4k )2−64(k 2+1)⩾0， 解得0⩽k ⩽43，故最大值为43. 故答案为43.15.【答案】x-y-3=0;【解析】解：把圆的方程x 2+y 2−8x −2y +10=0化为标准方程得： (x −4)2+(y −1)2=7， 所以圆心坐标为(4,1)，又M(3,0)，根据题意可知：过点M 最长的弦为圆的直径， 则所求直线为过圆心和M 的直线，设为y =kx +b ， 把两点坐标代入得：{4k +b =13k +b =0，解得：{k =1b =−3，则过点M 最长的弦所在的直线方程是y =x −3，即x −y −3=0． 故答案为：x −y −3=0由M 为已知圆内一点，可知过M 最长的弦为过M 点的直径，故过点M 最长的弦所在的直线方程为点M 和圆心确定的直线方程，所以把圆的方程化为标准，找出圆心坐标，设出所求直线的方程，把M 和求出的圆心坐标代入即可确定出直线的方程．该题考查了直线与圆的位置关系，要求学生会将圆的方程化为标准方程，会利用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意得出所求直线为过圆心和M 的直线是本题的突破点．16.【答案】6; 【解析】此题主要考查直线的点斜式方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式. 【解析】解：设与直线x −√2y +3=0平行的直线方程为x −√2y +c =0， 将点(1,0)代入直线x −√2y +c =0得c =−1， 所以该直线方程为x −√2y −1=0，圆(x −6)2+(y −√2)2=12的圆心C 为(6,√2)，半径r =2√3， 所以点C 到直线x −√2y −1=0的距离为d =√2×√2−1√1+2=√3=√3，所以被截得的弦长为2√r 2−d 2=2×√12−3=6， 故答案为6.17.【答案】5 ; 【解析】此题主要考查直线和圆的位置关系，注意运用直线过圆心，考查乘1法和均值不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．求得圆的圆心，代入直线方程，可得3a +2b =5(a 、b >0)，即有3a +2b =15(3a +2b)(3a +2b )，计算、运用基本不等式，即可得到最小值．解：圆C ：(x −3)2+(y −2)2=25的圆心为(3,2)，由题意可得3a+2b=5(a、b>0)，则3a +2b=15(3a+2b)(3a+2b)=15(13+6ab+6ba)⩾15(13+2√6ab)=15(13+12)=5.当且仅当a=b=1时，取得最小值5.故答案为5.18.【答案】1;【解析】解：图所示，以MO=MQ=，解x=1，与圆的方(x−2)2+(y3)29联立，以点Q的横标为1．则点M(3)为圆，r=3为半径的圆方程为消y得：−4x+=0，x2+(−3)2=，据题意画出形，结图得出点Q在以点为心，3为半上，写出圆的方程，与圆C的方联立去y求得x的值即可．本题查了直线与圆的程应用问题，也考了化法与数形结合的应问题，是基题目．19.【答案】解：由题知，设直线l2:x−y+m=0，代入点(1,−3)得m=−4，即直线l2:x−y−4=0，∵圆C:x2+y2−2x+6y=0，化为(x−1)2+(y+3)2=10，∴圆心坐标为(1,−3)，半径为√10，则直线l2过圆心(1,−3)，所以|MN|=2√10，又圆心C(1,−3)到直线l1:x−y−2=0的距离为d=√2，∴|AB|=2√(√10)2−(√2)2=4√2，∵l 2//l 1 ∴l 1到l 2的距离√12+(−1)2=√2，∴由A,B,M,N 构成四边形为梯形，且面积S =12×(4√2+2√10)×√2=4+2√5.;【解析】此题主要考查两条直线平行的判定，点到直线的距离公式，两平行直线间的距离，直线与圆的位置关系及判定，属于中档题．先由直线l 2过点(1,−3)且l 2//l 1，求出l 2的方程，再分别求出弦长|AB |，|MN |，及两平行线间的距离，即可求由A,B,M,N 构成梯形的面积.20.【答案】解：(1)将A(2,4)代入圆O 1：x 2+y 2−mx −14y +60=0得4+16−2m −56+60=0，解得m =12， ∴O 1(6,7)，半径r =5．(2)∵OA →=BC →，∴k BC =k OA =2，且|BC |=|OA |=2√5， 设直线BC ：y =2x +b ，即2x −y +b =0， 圆心O 1到直线2x −y +b =0的距离d =√22+1=√5，由勾股定理得2√5=2√25−d 2，∴d 2=20，∴(5+b)25=20，∴5+b =±10，∴b =5或b =−15，所以直线BC 的方程为y =2x +5或y =2x −15． (3)设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)， 所以{x 2=x 1−2y 2=y 1+t −4…①，因为点C 在圆O 1上，所以(x 2−6)2+(y 2−7)2=25…② 将①代入②，得(x 1−8)2+(y 1+t −11)2=25，于是点B 既在圆O 1上，又在圆(x −8)2+(y +t −11)2=25上，从而圆(x −6)2+(y −7)2=25与圆(x −8)2+(y +t −11)2=25有公共点， 所以5−5⩽√(8−6)2+(11−t −7)2⩽5+5， 解得4−4√6⩽t ⩽4+4√6．因此，实数t 的取值范围是[4−4√6,4+4√6].;【解析】该题考查了直线与圆的关系，涉及了向量知识，弦心距公式，点到直线的距离公式等内容，属于中档题．(1)将A 点代入圆的方程可得m 的值，继而求出半径和圆心；(2)可设直线BC 方程为：y =2x +b ，可得圆心O 1(6,7)到直线BC 的距离，结合弦心距定理可得b 的值，求出直线方程；(3)设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，得{x 2=x 1−2y 2=y 1+t −4，(x 1−8)2+(y 1+t −11)2=25，于是点B 既在圆O 1上，又在圆(x −8)2+(y +t −11)2=25上，从而圆(x −6)2+(y −7)2=25与圆(x −8)2+(y +t −11)2=25上有公共点，即可求解．21.【答案】解：(1)由x 2+8x +y 2=0得(x +4)2+y 2=16， 因此圆C 的圆心C(−4,0)，半径r =4. 因为圆心C 到直线l 的距离d =√m 2+1=√m 2+1，而直线l 与圆C 相交于A ，B 两点， 所以|AB |=2√r 2−d 2=2√16−4m 2m 2+1.又因为|AB |=2√14，所以2√16−4m 2m 2+1=2√14，即4m 2m 2+1=2，解得m =±1，因此直线l 的方程为y =x +2或y =−x −2. (2)设P(x,y)，M(x 1,0)，N(x 2,0).因为点P 是圆C 上任意一点，而点P 的轨迹方程为x 2+y 2=−8x ， 所以x ∈[−8,0].若在x 轴上存在两个定点M ，N ，使得|PM ||PN |=12成立， 即√(x−x 1)2+y 2√(x−x 2)2+y 2=12对x ∈[−8,0]恒成立， 即x 2+y 2+x 12−2x 1x x 2+y 2+x 22−2x 2x =14对x ∈[−8,0]恒成立，化简得−8x +x 12−2x 1x −8x +x 22−2x 2x =14对x ∈[−8,0]恒成立，即2(4x 1−x 2+12)x +(x 22−4x 12)=0对x ∈[−8,0]恒成立，因此޴x 1−x 2+12=0x 22−4x 12=0，解得{ x 1=−6x 2=−12或{ x 1=−2x 2=4， 所以满足题意的定点M ，N 存在，其坐标为M(−6,0)，N(−12,0)或M(−2,0)，N(4,0).; 【解析】此题主要考查了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，直线与圆的位置关系及判定和圆方程的综合应用，属于较难题.(1)利用圆的标准方程得圆C 的圆心和半径，再利用点到直线的距离得直线l 与圆C 的相交弦长，再结合题目条件，计算得结论；(2)设P(x,y)，M(x 1,0)，N(x 2,0)，由点P 是圆C 上任意一点得x ∈[−8,0]，再利用若在x 轴上存在两个定点M ，N ，使得|PM ||PN |=12成立，结合两点间的距离公式得2(4x 1−x 2+12)x +(x 22−4x 12)=0对x ∈[−8,0]恒成立，从而得޴x 1−x 2+12=0x 22−4x 12=0，从方程{ 4x 1−x 2+12=0x 22−4x 12=0有解得满足题意的定点M ，N 存在，再求出点M ，N 的坐标.22.【答案】解：(1)由x2+y2−4x+ay+1=0(a∈R)得C(2,−a2)因为P为AB的中点，所以P在圆内且CP⊥AB.所以{ 12+a×1+1<0−a2−12=1，解得a=−6.(2)由(1)得圆C：x2+y2−4x−6y+1=0,即(x−2)2+(y−3)2=12，所以圆心C(2,3)，半径r=2√3.设M点坐标为(x,y)，因为MN为圆C的切线，所以MN⊥CN，所以MN2= MC2−r2=MC2−12，又MN=√2MP，所以2M P2=MC2−12，则2x2+2(y−1)2=(x−2)2+(y−3)2−12，整理，得(x+2)2+(y+1)2=4.由于MN=√2MP，故MN取最小值，即MP取最小值，点P(0,1)到圆(x+2)2+(y+1)2=4的圆心距离d=√(0+2)2+(1+1)2=2√2，所以，MP的最小值为2√2−2，所以，MN的最小值为4−2√2.;【解析】此题主要考查了直线与圆相切，圆中的最值问题，属于中档题.(1)由圆的方程可得C(2,−a2)，由题意得P在圆内且CP⊥AB，即可求得实数a的值；(2)由(1)得圆C (x−2)2+(y−3)2=12，设M点坐标为(x,y)，结合题意得MN2=MC2−r2=MC2−12，从而有2M P2=MC2−12，可得MN取最小值，即MP取最小值，计算可得结果.23.【答案】解：（1）由题意，AB=70，AC=50，则BC=√4900−2500=20√6，∵风速为120海里/小时，∴台风影响城市A持续的时间为2×20√6120×60≈49分钟；（2）由题意，|BC|≤60，∴√r2−2500≤60，∵r＞5，∴5＜r≤10√61;【解析】(1)由题意，AB=70，AC=50，则BC=√4900−2500=20√6，根据风速为120海里/小时，即可得出结论；(2)若台风影响城市A持续的时间不超过1小时，|BC|⩽60，求r的取值范围．此题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
第二章 直线与圆的方程单元测试卷-高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册
第二章 直线与圆的方程满分卷-2021-2020人教A （2019）高二（上）选择性必修第一册一．选择题（共8小题）1．如图中的直线1l 、2l 、3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则( )A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<2．已知直线1:10l ax y -+=，2:420l ax y ++=，则“2a =”是“12l l ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．经过点(0,1)P -的直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 两点的线段总有公共点，则l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[1-，1] B ．(-∞，1][1-，)+∞C ．3[,]44ππD ．3[0,][,)44πππ4．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以(,)22a a-为中点的弦长为( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．两条直线1:20l x y c ++=，2:210l x y -+=的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．重合D ．不能确定6．已知实数x ，y 满足224x y +=，则函数226825S x y x y =+--+的最大值和最小值分别为( )A ．49，9B ．7，3C D ．77．已知直线l 经过点(1,2)P -，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为( ) A ．2340x y ++=B ．2380x y +-=C ．3270x y --=D ．3210x y --=8．关于x 、y 的方程210(0)a x ay a --=≠表示的直线（图中实线）可能是( )A ．B ．C ．D ．二．多选题（共4小题）9．已知直线:20l kx y k -+=和圆222:O x y r +=，则( ) A ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直B ．直线l 恒过定点(2,0)C ．若4r >，则直线l 与圆O 相交D ．若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为 10．下列结论错误的是( )A ．若直线1l ，2l 的斜率相等，则12//l lB ．若直线的斜率121k k ⋅=，则12l l ⊥C ．若直线1l ，2l 的斜率都不存在，则12//l lD ．若直线1l ，2l 的斜率不相等，则1l 与2l 不平行11．已知动直线:0m x y λλ-+=和:320n x y λλ+--=，P 是两直线的交点，A 、B 是两直线m 和n 分别过的定点，下列说法正确的是( ) A ．B 点的坐标为(3,2)- B ．m n ⊥C ．P 的轨迹是一条直线D ．PA PB ⨯的最大值为1012．已知直线1:40l x y +-=与圆心为(0,1)M 且半径为3的圆相交于A ，B 两点，直线2:22350l mx y m +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 的面积的值可以是()A ．B ．C ．D ．1)三．填空题（共4小题）13．在平面直角坐标系中，已知(2,2)A 、(1)B -若过点(1,1)P --的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 斜率的取值范围是 ．14．直线210x y -+=和圆222410x y x y +---=的位置关系是 ． 15．直线1:3470l x y +-=与直线2:3410l x y ++=之间的距离为 ．16．圆222440x y x y +-++=上的点到3490x y -+=的最大距离是 ，最小距离是 ． 四．解答题（共6小题）17．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点(3,0)A -，(1,2)B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程； （Ⅱ）过点(0,2)P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，求弦MN 的长． 18．（1）求直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长；（2）已知圆22:430C x y x +-+=，求过点(3,2)M 的圆的切线方程．19．在直角坐标系xOy 中，直线:40l x --=交x 轴于M ，以O 为圆心的圆与直线l 相切．（1）求圆O 的方程；（2）设点0(N x ，0)y 为直线3y x =-+上一动点，若在圆O 上存在点P ，使得45ONP ∠=︒，求0x 的取值范围；（3）是否存在定点S ，对于经过点S 的直线L ，当L 与圆O 交于A ，B 时，恒有AMO BMO ∠=∠？若存在，求点S 的坐标；若不存在，说明理由．20．已知直线10l y -+=，圆C 的方程为224210x y x y ++-+=． （Ⅰ）判断直线l 与该圆的位置关系；（Ⅱ）若直线与圆相交，求出弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离． 21．已知圆M 过点(4,0)A ，(2,0)B -，(1,3)C ． （Ⅰ）求圆M 的标准方程；（Ⅱ）若过点(2,3)P且斜率为k的直线l与圆M相切，求k的值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线:20l x y++=和圆22+=，P是直线l上一O x y:1点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．（1）若PA PB⊥，求点P的坐标；（2）求线段PA长的最小值；（3）设线段AB的中点为Q，是否存在点T，使得线段TQ长为定值？若存在，求出点T；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图中的直线1l 、2l 、3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则( )A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<解：由图象知，直线1l 、2l 、3l 的倾斜角分别为1α，2α，3α， 且1(2πα∈，)π，3202παα<<<；所以对应的斜率分别为10k <，320k k <<， 即132k k k <<． 故选：D ．2．已知直线1:10l ax y -+=，2:420l ax y ++=，则“2a =”是“12l l ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：直线1:10l ax y -+=，2:420l ax y ++=，12l l ⊥， (1)40a a ∴⨯+-⨯=，240a ∴-=，2a ∴=±， 2a ∴=是12l l ⊥的充分不必要条件，故选：A ．3．经过点(0,1)P -的直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 两点的线段总有公共点，则l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[1-，1]B ．(-∞，1][1-，)+∞C ．3[,]44ππD ．3[0,][,)44πππ解：如图所示，设直线l 的倾斜角为α，[0α∈，)π． 12101PA k -+==--，11102PB k --==-． 直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 的线段总有公共点，1tan 1α∴-．[0α∴∈，3][44ππ，)π． 故选：D ．4．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以(,)22a a-为中点的弦长为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：依题意可知直线过圆心(1,2)-，即34110a +-=，2a =．故(,)(1,1)22a a-=-．圆方程配方得22(1)(2)5x y -++=，(1,1)-与圆心距离为1，故弦长为4=． 故选：D ．5．两条直线1:20l x y c ++=，2:210l x y -+=的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．重合D ．不能确定解：直线1l 的斜率是：2-， 直线2l 的斜率是：12， 由1212-⨯=-，得直线垂直， 故选：B ．6．已知实数x ，y 满足224x y +=，则函数226825S x y x y =+--+的最大值和最小值分别为( )A ．49，9B ．7，3CD ．7解：22226825(3)(4)S x y x y x y =+--+=-+-， 实数x ，y 满足224x y +=，22(3)(4)S x y ∴=-+-的几何意义为圆224x y +=上的动点与定点(3,4)M 的距离的平方， 如图，||5OM =，2(52)49max S ∴=+=，2(52)9min S =-=．∴函数226825S x y x y =+--+的最大值和最小值分别为49，9．故选：A ．7．已知直线l 经过点(1,2)P -，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为( ) A ．2340x y ++=B ．2380x y +-=C ．3270x y --=D ．3210x y --=解：直线l 与直线2310x y +-=垂直， 所以直线l 的斜率为32， 又直线l 经过点(1,2)P -，所以直线l 的方程为：3(2)(1)2y x --=-，化简得：3270x y --= 故选：C ．8．关于x 、y 的方程210(0)a x ay a --=≠表示的直线（图中实线）可能是( )A ．B ．C ．D ．解：关于x 、y 的方程210(0)a x ay a --=≠表示的直线，直线的斜率为a ，在y 轴上的截距为1a-，直线的斜率和它在y 轴上的截距的乘积等于1-，图A 中，直线的斜率和它在y 轴上的截距都是正的，这不满足条件，故排除A ；图B 中，直线的斜率小于1，它在y 轴上的截距大于1-小于零，这不满足条件，故排除B ； 图C 中，直线的斜率和它在y 轴上的截距都是负值，这不满足条件，故排除C ；图D 中，直线的斜率小于1-，它在y 轴上的截距大于零小于1，能满足条件，故D 可能成立， 故选：D ．二．多选题（共4小题）9．已知直线:20l kx y k -+=和圆222:O x y r +=，则( ) A ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直B ．直线l 恒过定点(2,0)C ．若4r >，则直线l 与圆O 相交D ．若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为 解：对于A ，直线0:220l x y -+=的斜率为12，则当2k =-时，满足直线l 与直线0:220l x y -+=垂直，故A 正确；对于B ，由:20l kx y k -+=，得(2)0k x y +-=，令200x y +=⎧⎨-=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩，∴直线l 恒过定点(2,0)-，故B 错误；对于C ，若4r >，则直线l 所过定点(2,0)-在圆O 内部，则直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于D ，若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的最大值为8，最小值为=即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为，8]，故D 错误． 故选：AC ．10．下列结论错误的是( )A ．若直线1l ，2l 的斜率相等，则12//l lB ．若直线的斜率121k k ⋅=，则12l l ⊥C ．若直线1l ，2l 的斜率都不存在，则12//l lD ．若直线1l ，2l 的斜率不相等，则1l 与2l 不平行 解：若直线1l ，2l 的斜率相等，则12//l l 或重合，A 错误； 若直线的斜率121k k ⋅=-，则12l l ⊥，B 错误；若直线1l ，2l 的斜率都不存在，则12//l l 或重合，C 错误； 若直线1l ，2l 的斜率不相等，则1l 与2l 一定不平行，D 正确． 故选：ABC ．11．已知动直线:0m x y λλ-+=和:320n x y λλ+--=，P 是两直线的交点，A 、B 是两直线m 和n 分别过的定点，下列说法正确的是( ) A ．B 点的坐标为(3,2)- B ．m n ⊥C ．P 的轨迹是一条直线D ．PA PB ⨯的最大值为10解：对于A ，直线:(2)30n y x λ-+-=，所以直线n 过点(3,2)，故A 错误； 对于B ，1(1)0λλ⨯+-⨯=，所以m n ⊥，故B 正确；对于C ，因为PA PB ⊥，所以P 的轨迹是以AB 为直径的圆，故C 错误； 对于D ，222202PA PB AB PA PB +==⨯，所以D 正确． 故选：BD ．12．已知直线1:40l x y +-=与圆心为(0,1)M 且半径为3的圆相交于A ，B 两点，直线2:22350l mx y m +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 的面积的值可以是()A ．B ．C ．D ．1)解：根据题意，圆M 的圆心为(0,1)M 且半径为3，则圆M 的方程为22(1)9x y +-=，即22280x y y +--=，直线1:40l x y +-=与圆M 相交于A ，B 两点，则有2228040x y y x y ⎧+--=⎨+-=⎩，解可得：31x y =⎧⎨=⎩或04x y =⎧⎨=⎩，即A 、B 的坐标为(3,1)，(0,4)，则||AB AB 的中点为3(2，5)2，直线2:22350l mx y m +--=，变形可得(23)250m x y -+-=，直线2l 恒过定点3(2，5)2，设3(2N ，5)2，当CD 与AB 垂直时，四边形ACBD 的面积最大， 此时CD 的方程为5322y x -=-，变形可得1y x =+，经过点(0,1)M ， 则此时||6CD =，故ACBD S 四边形的最大值162ACB ADB S S ∆∆=+=⨯⨯=故92ACBD S 四边形， 分析选项：BC 符合题意， 故选：BC ．三．填空题（共4小题）13．在平面直角坐标系中，已知(2,2)A 、(1)B -若过点(1,1)P --的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 斜率的取值范围是 ． 解：如图，显然点P 在直线AB 下方，直线AP 的斜率为21121AP k +==+，直线BP 的斜率BP k == 所以若过点(1,1)P --的直线l 与线段AB 有公共点， 则直线l 斜率BP k k ，或者AP k k ， 所以3k -或者1k ，故答案为：(-∞，[1，)+∞．14．直线210x y -+=和圆222410x y x y +---=的位置关系是 ．解：圆222410x y x y +---=化简可得22(1)(2)6x y -+-=，圆心坐标为(1,2)，，圆心到直线210x y -+==< ∴直线210x y -+=和圆222410x y x y +---=的位置关系是相交，故答案为：相交．15．直线1:3470l x y +-=与直线2:3410l x y ++=之间的距离为 ． 解：直线1:3470l x y +-=与直线2:3410l x y ++=之间的距离85d ==．故答案为：85．16．圆222440x y x y +-++=上的点到3490x y -+=的最大距离是 ，最小距离是 ． 解：圆222440x y x y +-++=即22(1)(2)1x y -++=，表示以(1,2)C -为圆心，半径为1的圆．由于圆心(1,2)C -到直线3490x y -+=的距离4d ==，故动点P 到直线3490x y -+=的距离的最小值与最大值分别为3，5， 故答案为：5，3． 四．解答题（共6小题）17．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点(3,0)A -，(1,2)B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，求弦MN 的长． 解：（Ⅰ）设AB 的中点为D ，则(2,1)D -， 由圆的性质得CD AB ⊥， 所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-，所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x =--，设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为(0)r r >， 由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =-，所以圆心(1,0)C -，||2r CA ==，所以圆C 的标准方程为22(1)4x y ++=； （Ⅱ）因为直线l 过点(0,2)P 斜率为34， 则直线l 的方程为324y x =+， 圆心(1,0)C -到直线l的距离为3|2|1d -==，所以MN ==18．（1）求直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长；（2）已知圆22:430C x y x +-+=，求过点(3,2)M 的圆的切线方程． 解：（1）根据题意，圆22(2)4x y +-=的圆心为(0,2)，半径2r =， 圆心到直线y x =的距离d =则直线y x =被圆截得的弦长2l == 故直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为（2）圆22:430C x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，其圆心为(2,0)，半径1r =， 若切线的斜率不存在，则切线的方程为3x =，符合题意；若切线的斜率存在，则设切线的斜率为k ，则切线的方程为2(3)y k x -=-，即320kx y k --+=，则有1d ==，解可得：34k =，此时切线的方程为3410x y --=．综上可得，圆的切线方程为3x =或3410x y --=．19．在直角坐标系xOy 中，直线:40l x --=交x 轴于M ，以O 为圆心的圆与直线l 相切．（1）求圆O 的方程；（2）设点0(N x ，0)y 为直线3y x =-+上一动点，若在圆O 上存在点P ，使得45ONP ∠=︒，求0x 的取值范围；（3）是否存在定点S ，对于经过点S 的直线L ，当L 与圆O 交于A ，B 时，恒有AMO BMO ∠=∠？若存在，求点S 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）直线:40l x -=交x 轴于(4,0)M ，圆心半径2r ==，所以圆的方程224x y +=．（2）如图，直线NP 与圆相切，设PNO α∠=，则2sin ONα=， 根据图象，N 越靠近O 点，ON 越小，sin α越大，由2sin 452ON ︒==，得ON = 设(,3)N x x -，由距离公式22(3)8x x +-=，解得x =0372x +．（3）AMO BMO ∠=∠，若直线L 的斜率不存在，显然S 点存在； 当斜率存在时，设:L y kx m =+，L 与圆的交点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 根据题意只需0AM BM k k +=，即1212044y yx x +=--， 把11y kx m =+，22y kx m =+带人并化简得12122(4)()80kx x m k x x m +-+-=， 把L 与圆联立解方程224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得12221kmx x k +=-+，212241m x x k -=+， 带入上式222422(2)8011m kmk m k m k k ----=++，化简得0k m +=，即m k =-，所以:(1)L y k x =-，恒过(1,0)点．20．已知直线10l y -+=，圆C 的方程为224210x y x y ++-+=． （Ⅰ）判断直线l 与该圆的位置关系；（Ⅱ）若直线与圆相交，求出弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离． 解：（Ⅰ）圆的方程为224210x y x y ++-+=，即22(2)(1)4x y ++-=，∴圆心为(2,1)-，半径为2r =，则圆心到直线的距离d r =，∴直线与圆相交．（Ⅱ）弦长2l ==． 21．已知圆M 过点(4,0)A ，(2,0)B -，(1,3)C ． （Ⅰ）求圆M 的标准方程；（Ⅱ）若过点(2,3)P 且斜率为k 的直线l 与圆M 相切，求k 的值． 解：（Ⅰ）设圆M 的标准方程为222()()x a y b r -+-=，则有222222222(4)(0)(2)(0)(1)(3)a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪--+-=⎨⎪-+-=⎩，解得1a =，0b =，3r =，所以圆M 的标准方程为22(1)9x y -+=； （Ⅱ）因为直线l 过点(2,3)P 且斜率为k ，则直线l 的方程为：3(2)y k x -=-，即230kx y k --+=， 因为直线l 与圆M 相切，所以圆心到直线l3=，解得0k =或34-．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y ++=和圆22:1O x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标； （2）求线段PA 长的最小值；（3）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若存在，求出点T ；若不存在，请说明理由．解：（1）若PA PB ⊥，则四边形PAOB 为正方形， 则P=P 在直线20x y ++=上，设(,2)P x x --，则||OP =1x =-， 故(1,1)P --；（2）由22||||1PA PO =-，可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小． 线段PO 长的最小值，即点O 到直线l 的距离，故||min PO ==∴||1min PA ==；（3）设0(P x ，02)x --，则以OP 为直径的圆的方程为222200002(2)()()224x x x x x y --+---+-=， 化简得：2200(2)0x x x x y y -+++=，与221x y +=联立， 可得AB 所在直线方程为00(2)1x x x y -+=，联立0022(2)11x x x y x y -+=⎧⎨+=⎩，得22200000(244)2430x x x x x x x ++----=， Q ∴的坐标为002200002(,)244244x x x x x x --++++， 可得Q 点轨迹为22111()()448x y +++=，圆心11(,)44--，半径4R =．故存在点11(,)44T --，使得线段TQ 长为定值．。
人教A版高中数学选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (5)(含答案解析)
B． 的最大值是
C．过点 做 的切线，则切线方程为
D．过点 做 的切线，则切线方程为
19．已知直线 ： 与 ： 平行，则 的值可能是（）
A．1B．2C．3D．5
三、填空题
20．已知 方程为 ，过点 的直线与 交于 ， 两点，则弦 中点 的轨迹方程为___________.
21．圆 关于直线 对称的圆的方程为___________.
2．C
【解析】
先写出两圆的圆心的坐标，再求出两圆的连心线所在直线的方程即得解.
圆 ： 的圆心坐标为 ，圆 ： 的圆心为 ，
由题得线段 的垂直平分线就是两圆的连心线，
所以 ,
所以线段 的垂直平分线为 .
所以线段 的垂直平分线为 .
故选：C
方法点睛：求直线的方程常用的方法是：待定系数法，先定式，后定量.要根据已知条件灵活选择方法求解.
8．D
【解析】
由|PA|=2|PB|得动点 的轨迹方程为圆 ，将题意转化为两圆有交点，根据两圆的位置关系列出关于 的不等式解出即可.
设 的坐标为 ，
因为|PA|=2|PB|，A(-2，0)，B(1，0)，即 ，
化简得： ，
又因为点 在圆 上，
所以 ， ，解得 ，
故选：D.
关键点点睛：（1）根据题意得出动点的轨迹为圆；
（2）当 时， 为方程 表示曲线上的任意一个点，求 到直线 距离的最大值.
39．（1）求过点 且与原点距离为2的直线方程；
（2）求过直线 与 的交点，并且与 垂直的直线方程.
40．已知圆 经过 ， ， 三点，直线 过定点 .
（1）求圆 的标准方程；
（2）若直线 与圆 相切，求直线 的方程；
人教A版高中数学必修2第四章《圆与方程》测试题(含答案)
由于 ，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而 .
因为ON的斜率为3，所以 的斜率为 ，故 的方程为 .
又 ，O到 的距离为 ， ，所以 的面积为 .
21．(1).由已知得过点 的圆的切线斜率的存在,
设切线方程为 ,即 .
则圆心 到直线的距离为 ,
A． B．
C． D．
5．一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
6．已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
7．已知方程 ，则 的最大值是（ ）
A．14－ B．14＋ C．9D．14
A．4B．6C． D．
12．已知直线 ： 是圆 的对称轴.过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 （ ）
A．2B． C．6D．
二、填空题
13．已知两点 ，以线段 为直径的圆的方程为________________.
14．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是_______
15．已知 为直线 上一点，过 作圆 的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．
当 的斜率不存在， 的斜率等于0时， 与圆 不相交， 与圆 不相交.
当 、 的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设 、 的方程分别为 ，即 .
因为 到 的距离 ，
到 的距离 ，所以 到 的距离与 到 的距离相等.
所以圆 与圆 的半径相等，所以 被圆 截得的弦长与 被圆 截得的弦长恒相等.
综上所述，过点 任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.
第二章 直线和圆的方程 专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一
第二章直线和圆的方程专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一第二章直线和圆的方程专题测试注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2.请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1.（2020·福建高二学业考试）已知直线 $ $l_1\parallell_2$，则实数 $k=$（）。
A。
$-2$B。
$-1$C。
$1$D。
$2$2.（2020·XXX高一月考）直线$l_1:(a-2)x+(a+1)y+4=0$，$l_2:(a+1)x+ay-9=0$ 互相垂直，则 $a$ 的值是（）。
A。
$-0.25$B。
$1$C。
$-1$D。
$1$ 或 $-1$3.（2020·XXX高一月考）直线 $l:(m-1)x-my-2m+3=0$（$m\in R$）过定点 $A$，则点 $A$ 的坐标为（）。
A。
$(-3,1)$B。
$(3,1)$C。
$(3,-1)$D。
$(-3,-1)$4.（2020·广东高二期末）设 $a\in R$，则“$a=1$”是“直线$ax+y-1=0$ 与直线 $x+ay+1=0$ 平行”的（）。
A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件5.（2020·黑龙江高一期末）若曲线 $y=4-x^2$ 与直线$y=k(x-2)+4$ 有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）。
A。
$\left[\frac{3}{4},1\right]$B。
$\left[\frac{3}{4},+\infty\right)$C。
$(1,+\infty)$D。
$(1,3]$6.（2020·XXX高三其他）已知直线 $x+y=t$ 与圆$x+y=2t-t^2$（$t\in R$）有公共点，则 $\frac{t(4-t)}{9}$ 的最大值为（）。
人教A版高中数学选修1第二章直线和圆的方程2
第二章 2.2 2.2.3A级——基础过关练1．(2020年大连月考)倾斜角为60°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( ) A．3x－y－1＝0 B．3x－y＋1＝0C．3x－3y－1＝0 D．3x＋3y－1＝0【答案】A【解析】由于直线的倾斜角为60°，故斜率为tan60°＝3，由斜截式求得直线l的方程为y＝3x－1，即3x－y－1＝0．2．若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝( ) A．1 B．3C．4 D．2【答案】D【解析】线段AB的中点为(1,1)，则m＋3－5＝0，即m＝2，故选D．3．若直线2x－y－4＝0在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则a－b的值为( ) A．6 B．2C．－2 D．－6【答案】A【解析】令y＝0，得x＝2；令x＝0，得y＝－4．所以a＝2，b＝－4，所以a－b＝6．4．直线l过点(－1,2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0【答案】A【解析】设所求直线方程为3x＋2y＋m＝0，代入点(－1,2)得3×(－1)＋2×2＋m＝0，所以m＝－1．故直线l的方程是3x＋2y－1＝0．5．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是( )【答案】C【解析】将l1与l2的方程化为斜截式得y＝ax＋b，y＝bx＋a，根据斜率和截距的符号可得C ．6．已知Rt △ABC 的顶点C (0，－1)，斜边AB 所在直线的方程为3x －2y ＋1＝0，则AB 边上的高所在直线的方程为( )A ．2x －3y ＋3＝0B ．2x ＋3y ＋3＝0C ．3x ＋2y ＋3＝0D ．3x －2y ＋3＝0【答案】B【解析】由题意可得直线AB 的斜率k ＝32，则所求直线方程的斜率k ′＝－23，直线的点斜式方程为y ＋1＝－23x ，即2x ＋3y ＋3＝0．7．(多选)下列说法正确的是( ) A ．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点(3,2) B ．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为－2 C ．直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角为60°D ．过点(－1,2)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＝0 【答案】ABD【解析】y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )可化为y －2＝a (x －3)，则直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点(3,2)，故A 正确；令x ＝0，则y ＝－2，即直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为－2，故B 正确；3x ＋y ＋1＝0可化为y ＝－3x －1，则该直线的斜率为－3，即倾斜角为120°，故C 错误；设过点(－1,2)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线的斜率为k ，因为直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，所以k ·12＝－1，解得k ＝－2，则过点(－1,2)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线的方程为y －2＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＝0，故D 正确．故选ABD ．8．在平面直角坐标系Oxy 中，若直线l 1：x －2y －1＝0和直线l 2：2x －ay －a ＝0平行，则常数a 的值为________．【答案】4【解析】当a ＝0时，l 2：x ＝0，显然与l 1不平行；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧1a22＝0，2a 1a 0，解得a ＝4．9．已知点P (－1,1)与点Q (3,5)关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________． 【答案】x ＋y －4＝0【解析】线段PQ 的中点坐标为(1,3)，直线PQ 的斜率k PQ ＝1，所以直线l 的斜率k l ＝－1．所以直线l 的方程为x ＋y －4＝0．10．求m ，n 的值，使直线l 1：y ＝(m －1)x －n ＋7满足： (1)平行于x 轴；(2)平行于直线l 2：7x －y ＋15＝0； (3)垂直于直线l 2：7x －y ＋15＝0． 解：(1)当m ＝1且n ≠7时，l 1平行于x 轴． (2)7x －y ＋15＝0化为斜截式y ＝7x ＋15． 当l 1∥l 2时，m －1＝7且－n ＋7≠15， 所以m ＝8，n ≠－8．(3)当7(m －1)＝－1，即m ＝67，n ∈R 时，l 1⊥l 2．B 级——能力提升练11．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则该直线方程为( ) A ．15x －3y －7＝0 B ．15x ＋3y －7＝0 C ．3x －15y －7＝0 D ．3x ＋15y －7＝0【答案】A【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－A B＝5，A －2B ＋3C ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－5B ，C ＝73B .所以直线方程为－5x ＋y ＋73＝0，即15x －3y －7＝0．12．(多选)(2021年襄阳联考)已知直线l 1：x ＋ay －a ＝0和直线l 2：ax －(2a －3)y ＋a －2＝0，则( )A ．l 2始终过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B ．若l 2在x 轴和y 轴上的截距相等，则a ＝1 C ．若l 1⊥l 2，则a ＝0或a ＝2 D ．若l 1∥l 2，则a ＝1或a ＝－3 【答案】AC【解析】l 2：ax －(2a －3)y ＋a －2＝0化为a (x －2y ＋1)＋3y －2＝0，由x －2y ＋1＝0且3y －2＝0，解得x ＝13，y ＝23，即直线l 2恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，故A 正确；若l 2在x 轴和y 轴上截距相等，则l 2过原点或其斜率为－1，则a ＝2或－a2a －3＝－1⇒a ＝1，故B 错误；若l 1⊥l 2，则1×a ＋a ×(3－2a )＝0，解得a ＝0或2，故C 正确；若l 1∥l 2，则先由1×(3－2a )＝a ×a ，解得a ＝1或－3，再检验当a ＝1时，l 1，l 2重合，故D 错误．故选AC ．13．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是________．【答案】3或5【解析】由两直线平行得，当k －3＝0时，两直线的方程分别为y ＝－1与y ＝32，显然两直线平行，当k －3≠0时，由k －32k －3＝4－k－2，得k ＝5．综上所述，k 的值是3或5． 14．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0，则直线l 经过定点________；若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为______________．【答案】(1，－3) 3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0 【解析】直线l的方程可写为a (x －1)＋x ＋y ＋2＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3，∴直线l 经过定点(1，－3)．当截距为0时，a ＝2，直线l 过原点，直线l 的方程为3x ＋y ＝0．当截距不为0时，a ＋1≠0，且a ≠2．∵直线l 在两坐标轴上的截距相等，∴a －2a ＋1＝a －2，∴a ＋1＝1，∴a ＝0．∴直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0．综上，直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0．15．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0．(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围． (1)证明：将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35． 而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故l 过第一象限． ∴不论a 为何值，直线l 总经过第一象限． (2)解：如图，直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3．∵l 不经过第二象限，∴a ≥3．。
2019-2020学年人教A版高中数学必修二检测-圆与圆的位置关系-直线与圆的方程的应用-Word版含解析
圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用 检测题一、题组对点训练对点练一 圆与圆的位置关系1．两圆x2＋y2＝r2，(x －3)2＋(y ＋1)2＝r2外切，则正实数r 的值是________． 解析：由题意得，2r ＝(3－0)2＋(－1－0)2＝10，即r ＝102. 答案：1022．已知圆C ：x2＋y2－8x ＋15＝0，直线y ＝kx ＋2上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最小值是________．解析：将圆C 的方程化为标准方程，得(x －4)2＋y2＝1，故圆心为C(4,0)，半径r ＝1.又直线y ＝kx ＋2上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，所以点C 到直线y ＝kx ＋2的距离小于或等于2，即|4k －0＋2|k2＋1≤2，解得－43≤k ≤0，所以实数k 的最小值是－43. 答案：－433．圆O1：x2＋y2－4y ＋3＝0和圆O2：x2＋y2－16y ＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．内含解析：选D 因为r1＝1，r2＝8，|O1O2|＝(0－0)2＋(2－8)2＝6，则|O1O2|＜r2－r1.所以两圆内含．4．若两圆x2＋y2＝m 和x2＋y2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(121，＋∞)C．[1,121] D．(1,121)解析：选C x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d＝(0＋3)2＋(0－4)2＝5，若两圆有公共点，则|6－m|≤5≤6＋m，∴1≤m≤121.5．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则(a－4)2＋(b＋1)2＝1. ①(1)若两圆外切，则有(a－2)2＋(b＋1)2＝1＋2＝3, ②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有(a－2)2＋(b＋1)2＝|2－1|＝1, ③联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.对点练二直线与圆的方程的应用6．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h ，则A(0.8，h －3.6)所在圆的方程为： x2＋(y ＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h －3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h ＝40.77≈3.5(米)．7．某公园有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x 轴，B 点在y 轴正半轴上建立平面直角坐标系．由题意，得A(2，2)，B(0,22)，设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝b2，由A 、B 两点在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝42，b ＝52，由实际意义知a ＝0，b ＝2，∴圆的方程为x2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．8．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．所以DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km. 二、综合过关训练1．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( )A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b)，则b ＝6(b ＝－6舍去)．再由a2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.2．已知点M 在圆C1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4上，点N 在圆C2：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：选C 由题意知圆C1的圆心C1(－3,1)，半径长r1＝2；圆C2的圆心C2(1，－2)，半径长r2＝2.因为两圆的圆心距d＝[1－(－3)]2＋[(－2)－1]2＝5＞r1＋r2＝4，所以两圆相离，从而|MN|的最大值为5＋2＋2＝9.故选C.3．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9解析：选D 设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.4．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )A．4 B．4 2C．8 D．8 2解析：选C ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a ＝__________.解析：由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y＝1a，利用圆心(0,0)到直线的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a1＝22－(3)2＝1，解得a＝1.答案：16．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0.(1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系；(2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当m＝1时，圆C1的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径长为r1＝3，圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为C2(－1,0)，半径长为r2＝1，两圆的圆心距d＝(1＋1)2＋(－2－0)2＝22，又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交．(2)不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．理由如下：圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径为3.假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，即(m＋1)2＜0，此不等式无解．故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．7．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d>r，∴直线与圆相离，即轮船不会受到台风的影响．。
人教A版高中数学选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (1)(含答案解析)
选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (1)一、单选题1．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，P 、Q 分别为面1111D C B A 和线段1B C 上的动点，则EPQ △周长的最小值为（ ）A ．BC ．D ．2．已知直线l 过定点()0,1，则“直线l 与圆()2224x y -+=相切”是“直线l 的斜率为34”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．一束光线，从点A (-2，2)出发，经x 轴反射到圆C ：()()22331x y -+-=上的最短路径的长度是（ ）A ．1B ．1C ．1D ．14．已知圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线方程为（ ） A ．1y x =-+ B ．1y x =+ C ．2y x =-+ D ．2y x =+5．已知点集()()(){}2222,cos sin 1,S x y x y R ααα=-+-≤∈，当α取遍任何实数时，S 所扫过的平面区域面积是（ ）A ．πB ．2π+C ．1π+D ．4π+6．已知点(7,3)P ，Q 为圆22:210250M x y x y +--+=上一点，点S 在x 轴上，则||||SP SQ +的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．107．已知直线()10,0ax by c b c ++-=>经过圆22250x y y +--=的圆心，则41b c+的最小值是（ ）. A ．9 B ．8 C ．4 D ．28．在[2-，2]上随机取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆(224x y -+=有公共点”发生的概率为（ ） A ．14B ．12C ．23D ．349．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:29C x y -+=，,E F 是直线:2l y x =+上的两点，若对线段EF 上任意一点P ，圆C 上均存在两点,A B ，使得cos 0APB ∠≤，则线段EF 长度的最大值为（ ）A ．2BC ．D ．4二、多选题10．定义点()00,P x y 到直线l :()2200ax by c a b ++=+≠的有向距离为=d 已知点12,P P 到直线l 的有向距离分别是12,d d .以下命题不正确的是（ ） A ．若121d d ==，则直线12PP 与直线l 平行 B ．若11d =，21d =-，则直线12PP 与直线l 垂直 C ．若120d d +=，则直线12PP 与直线l 垂直 D ．若120d d ⋅≤，则直线12PP 与直线l 相交11．已知直线l ：20ax y +-=与C ：()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，若△ABC 为钝角三角形，则满足条件的实数a 的值可能是（ ） A ．12B ．1C ．2D ．412．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论正确的是（ ） A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0，1)和B (－1，0)C ．不论a 为何值时，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，则|MO |13．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ．点P 满足||1||2PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =D ．C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为114．已知点P 在圆C ：()()22455x y -+-=上，点()4,0A ，()0,2B ，则下列说法中正确的是（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于6 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．cos APB ∠的最大值为45D ．APB ∠的最大值为2π 15．（多选题）下列说法正确的是（ ）A ．直线20x y -+=与两坐标轴围成三角形的面积是2B ．过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- C ．点(1,1)关于直线10x y -+=的对称点为(0,2)D ．经过点(3,4)P ，且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线条数共有6条三、填空题16．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45和30角，过点()1,0P 作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线12y x =上时，则直线AB 的方程是______．17．已知点Q 是直线l ：40x y --=上的动点，过点Q 作圆O ：224x y +=的切线，切点分别为A ，18．已知直线:l y x b =+，曲线:C y b 的取值范围是______． 19．已知()3,1A -，()5,2B -，点P 在直线0x y +=上，若使PA PB +取最小值，则点P 的坐标是___________.20．已知圆心为()()1,0m m <的圆与x 轴相切，且与直线20x y -=相交于,A B 两点，若AB 4=，则实数m =___________.21．已知直线l 经过点()4,3P ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程______． 22．已知(),P x y 为圆221x y +=上的动点，则3410x y ++的最大值为________．23．设点P (x ，y )是圆C ：x 2+(y -2)2=1上的动点，定点A (1，0)，B (－1，0)，则PA PB ⋅的最大值为_____24．已知(),0C m ，若以C 为圆心的圆C 与直线310x y +-=相切于点()1,T n ，则圆C 的标准方程是______．25．点P 在曲线21y x =+上，当点P 到直线25y x =-的距离最小时，P 的坐标是______. 26．已知直线:(1)(1)(3)0l m x m y m ++-+-=，则原点到直线l 的距离的最大值等于___________. 27．已知复数z 满足1i z z -=-（其中i 为虚数单位），则2i z +-的最小值为________． 28．设直线:(1)(21)30()l m x m y m m R -+++=∈与圆222(1)(0)x y r r -+=>交于A ，B 两点，C 为圆心，当实数m 变化时，ABC 面积的最大值为4，则2mr =______.29．圆2221: 290C x y ax a +++-=和圆2222: 4140C x y by b +--+=只有一条公切线，若a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，则2241a b +的最小值为___________. 30．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，BC 的长为______.四、解答题31．已知点(P 在以坐标原点为圆心的圆O 上，直线1l 0y +-=与圆O 相交于A ，B 两点，且A 在第一象限（1）求圆O 在点P 处的切线方程；（2）设()()000,1Q x y x ≠±是圆O 上的一个动点，点Q 关于原点O 的对称点为1Q ，点Q 关于x 轴的对称点为2Q ，如果直线1AQ ，2AQ 与y 轴分别交于()0,m 和()0,n 两点，问mn 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.32．已知点()1,3M ，圆C ：()()22214x y -++=.（1）若直线l 过点M ，且被圆C 截得的弦长为l 的方程；（2）设O 为坐标原点，点N 在圆C 上运动，线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程. 33．已知圆C ：22230x y x ++-=.（1）求斜率为1且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）已知点()4,0A ，()0,4B ，P 是圆C 上的动点，求ABP △面积的最大值.34．以三角形边BC ，CA ，AB 为边向形外作正三角形BCA '，CAB '，ABC '，则AA '，BB '，CC '三线共点，该点称为ABC 的正等角中心．当ABC 的每个内角都小于120º时，正等角中心点P 满足以下性质： （1）120APBAPC BPC ；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．35．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长AB 为2，宽AD 为1，AB ，AD 边分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴，以A 为坐标原点，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上(包括端点).（1）若折痕所在直线的斜率为k ，求折痕所在直线方程；（2）当20k -+≤≤时，求折痕长的最大值；（3）当21k -≤≤-时，折痕为线段PQ ，设()221t k PQ =-，试求t 的最大值36．已知圆C 经过()2,4，()1,3两点，圆心C 在直线10x y -+=上，过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点. （1）求圆C 的方程；（2）若12OM ON ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程. 37．如图，已知圆()22:19M x y -+=，点()2,1A -．（1）求经过点A 且与圆M 相切的直线l 的方程；（2）过点()3,2P -的直线与圆M 相交于D 、E 两点，F 为线段DE 的中点，求线段AF 长度的取值范围．38．已知直线l ：450x ay +-=与直线l ′：20x y -=相互垂直，圆C 的圆心与点(2，1)关于直线l 对称，且圆C 过点M (-1，-1)． （1）求直线l 与圆C 的方程．（2）过点M 作两条直线分别与圆C 交于P ，Q 两点，若直线MP ，MQ 的斜率满足k MP ＋k MQ =0，求证：直线PQ 的斜率为1．39．已知直线l ：10x y -+=，点()12，A --． （1）求过点A 且与l 垂直的直线方程； （2）求点A 关于直线l 的对称点A '的坐标；40．已知直线180l mx y n ++=：，直线2210l x my +-=：，12//l l ()(00)A m n m n >>，，的直线l 被1l 、2l（1）A 点坐标； （2）直线l 的方程．41．已知点(1,0),(4,0)A B ，曲线C 上任意一点P 满足2PB PA =． （1）求曲线C 的方程；（2）设点(3,0)D ，问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点E ，F ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分∠EDF ，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，请说明理由．42．已知在平面直角坐标系xOy 中，点()30A -,. （1）设动点(),M x y ，满足2=MA MO ，求动点M 的轨迹C 的方程； （2）已知Q 点的坐标为()3,3-，求过点Q 且与C 相切的直线方程.43．已知圆C 经过两点(1,3),(3,1)P Q ---，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为(1)2530k x y k -++-=．（1）求圆C 的方程；（2）证明：直线l 与圆C 一定相交； （3）求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．44．如图直线l 过点(3，4)，与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，AOB 的面积为24.点P 为线段AB 上一动点，且//PQ OB 交OA 于点Q .（1）求直线AB 斜率的大小； （2）若APQ 的面积APQS与四边形OQPB 的面积OQPB S 满足：13APQ OQPB S S =△时，请你确定P 点在AB 上的位置，并求出线段PQ 的长；（3）在y 轴上是否存在点M ，使MPQ 为等腰直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.45．已知ABC 的三个顶点()30A -，，2(3)B -，，(01)C ，. （1）求ABC 外接圆的方程； （2）求ABC 内切圆的方程.46．已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==.从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y .（1）求切点1P 坐标和切点n P 的坐标；（2）已知()f x x x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭n n x y <.47．如果()2,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()2,0D -，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω，（1）求AB 所在圆与CB 所在圆的公共弦方程； （2）求CB 与BA 的公切线方程.48．如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45︒的方向做匀速直线航行，速度为/小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东1tan 2θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭的方向作匀速直线航行，速度为/小时.（1）求出发后3小时两船相距多少海里？ （2）求两船出发后多长时间距离最近？49．已知圆()22:11M x y -+=，15,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,B t ，()()0,404C t t -<<，直线,PB PC 都是圆M 的切线，且点P 在y 轴右侧.（1）过点A 的直线l 被圆M l 的方程； （2）当1t =时，求点P 的横坐标； （3）求PBC 面积的最小值.五、双空题50．已知直线1:30l x y -+=，2:20l x y +=相交于点A ，则点A 的坐标为_________，圆22:+C x y 2410x y -++=，过点A 作圆C 的切线，则切线方程为__________.【答案与解析】1．B 【解析】先分析出P 在B 1C 1上时,△PEQ 的周长更短.过E 点作关于B 1C 1的对称点N ,关于B 1C 的对称点M ,则,EQ MQ EP NP ==，过P 作在平面BCC 1B 1的投影P ',连接,P Q P E '',则,PQ P Q PE P E ''>>,所以只有P 在B 1C 1上时,△PEQ 的周长更短.过E 点作关于B 1C 1的对称点N ,关于B 1C 的对称点M ,则,EQ MQ EP NP ==，把△PEQ 的周长转化为PQ PN QM ++，当,,,N P Q M 共线时，周长最短，即可求解.所以△PEQ 的周长可以转化为PQ PN QM ++. 当,,,N P Q M 共线时，周长最短.则=PQ PN QM MN ++.因为E 为中点,所以111,1C N C E CM CE ====，所以△PEQ 的周长为MN即EPQ △. 故选:B距离的计算方法有两类：（1）几何法：利用几何图形求最值；（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. 2．B 【解析】首先根据题意求直线l ，再判断充分，必要条件. 当直线斜率存在时，直线l 的方程是1y kx =+，圆心()2,0到直线10kx y -+=的距离2d =，解得：34k =，当直线斜率不存在时，直线l 的方程是0x =与圆()2224x y -+=相切，综上可知，“直线l 与圆()2224x y -+=相切”是“直线l 的斜率为34”的必要不充分条件.故选：B 3．A 【解析】求出点A 关于x 轴对称点A '，再求点A '与圆C 上的点距离最小值即可. 依题意，圆C 的圆心(3,3)C ，半径1r =，点A (-2，2)关于x 轴对称点(2,2)A '--，连A C '交x 轴于点O ，交圆C 于点B ，如图，圆外一点与圆上的点距离最小值是圆外这点到圆心距离减去圆的半径，于是得点A '与圆C 上的点距离最小值为1A B A C r ''=-=1=， 在x 轴上任取点P ，连,,AP A P PC '，PC 交圆C 于点B '，而,AO A O AP A P ''==，AO OB A O OB A B A C r A P PC r AP PB '''''+=+==-≤+-=+，当且仅当点P 与O 重合时取“=”，所以最短路径的长度是1. 故选：A 4．D 【解析】本题首先可求出两圆的圆心，然后根据题意得出直线l 过两圆心连接而成的线段的中点且互相垂直，最后根据直线的点斜式方程即可得出结果. 224x y +=，圆心为()0,0，半径为2，224440x y x y ++-+=，即()()22224x y ++-=，圆心为()2,2-，半径为2，因为圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称， 所以直线l 过两圆心连接而成的线段的中点且互相垂直， 则直线l 过点()1,1-，斜率112020k，故直线方程为11y x -=+，即2y x =+， 故选：D. 5．A 【解析】根据题意S 中的元素组成以()22cos ,sin αα为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部，当α取遍任何实数时，点集S 对应的图形如图，为矩形与两个半圆的组合图形，从而可得答案. 根据题意，点集()()(){}2222,cos sin 1,S x y x y R ααα=-+-≤∈，S 中的元素组成以()22cos ,sin αα为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部，设M ()22cos ,sin αα又由22220cos 10sin 1sin cos 1a a αα⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪+=⎩，则圆心M 在线段()101x y x +=≤≤上，则点集S 对应的图形如图，为矩形ABCD 与两个半圆的组合图形， 其中AB＝2，BC ，则当α取遍任何实数时，S 所扫过的平面区域面积S＝2ππ=；故选：A ．6．C【解析】本题目是数形结合的题目，根据两点之间线段最短的原则，可以将SP 转换为'SP ，连接'MP ，找到S 点的位置，从而求出线段和的最小值将圆方程化为标准方程为：()()22151x y -+-=，如下图所示：作点(7,3)P 关于x 轴的对称点'(7,3)P -，连接'MP 与圆相交于点Q ，与x 轴相交于点S ，此时，||||SP SQ +的值最小，且'''||||||||SP SQ SP SQ P Q P M r +=+==-，由圆的标准方程得：M 点坐标为()1,5，半径1r =，所以'10P M ==，'9P M r -=，所以||||SP SQ +最小值为9 故选：C 7．A 【解析】直线过圆心，先求圆心坐标，利用1的代换，以及基本不等式求最小值即可．解：圆22250x y y +--= 即22(1)6x y +-=，表示以(0,1)C 的圆． 由于直线()10,0ax by c b c ++-=>经过圆22250x y y +--=的圆心，故有1b c +=．∴()()5414152494c b c b b c b cb c +=+=++++= 当且仅当223b c ==时，取等号， 故41b c+的最小值为9， 故选：A ． 8．B 【解析】先求出直线与圆有公共点的k 值区间，再利用几何概型即可求出概率.显然，圆(224x y -+=的圆心坐标为0)，半径为2，直线y kx =与圆(224x y -+=2≤，解得11k -≤≤，在[2-，2]上随机取一个数k 的试验的全部结果构成的区间长度为4，“直线y kx =与圆(224x y -+=有公共点”的事件A 的区间长度为2，于是得21()42P A ==，事件“直线y kx =与圆(224x y -+=有公共点”发生的概率为12.故选：B 9．C 【解析】设圆的切线为PM 、PN ，由cos 0APB ∠≤得90APB ∠≥，即90MPN ∠≥， 再求得PC 的取值范围，求得点P 的坐标，即可求得EF 的最大值． 由题意，圆心到直线:2l y x =+的距离为3d =<（半径）故直线l 和圆相交；当点P 在圆外时，从直线上的点向圆上的点连线成角， 当且仅当两条线均为切线时，APB ∠才是最大的角，不妨设切线为PM ，PN ，则由cos 0APB ∠≤， 得90APB ∠≥， 90MPN ∴∠≥；当90MPN ∠=时，32sin sin 452MPC PC ∠===，PC ∴=设()00,2P x x +，PC ==解得：0x =设())2,2E F，如图，EF 之间的任何一个点P ，圆C 上均存在两点,A B ，使得90APB ∠≥，线段EF 长度的最大值为EF ==故选：C 10．BCD 【解析】要理解题目中有向距离的概念，点在直线上方时为正，下方时为负，绝对值代表点到直线的距离，根据各选项判断即可 设()111,P x y , ()222,P x y ,选项A, 若121d d ==, 则1122ax by c ax by c ++=++=则点12,P P 在直线的同一侧，且到直线距离相等，所以直线12PP 与直线l 平行, 所以正确;选项B, 点12,P P 在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等, 直线12PP 不一定与l 垂直, 所以错误; 选项C, 若120d d ==, 满足120d d +=, 即11220ax by c ax by c ++=++=, 则点12,P P 都在直线l 上, 所以此时直线12PP 与直线l 重合, 所以错误; 选项D, 若120d d ⋅≤, 即()()11220ax by c ax by c ++++≤, 所以点12,P P 分别位于直线l 的两侧或在直线l 上, 所以直线12PP 与直线l 相交或重合, 所以错误. 故选：BCD 11．AC 【解析】根据ABC 的形状先判断出CAB ∠的大小，然后结合圆心到直线的距离d 以及sin CAB ∠的取值范围求解出a 的取值范围.由题意，圆C 的圆心为()1,a ，半径为2r，由于△ABC 为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则045CAB ︒<∠<︒， 设圆心C 到直线l 的距离为d，则d =则0sin 2d CAB r <∠==<， 且直线不经过圆心，即20a a +-≠，整理可得24101a a a ⎧-+<⎨≠⎩，解得22a <<+，且1a ≠.所以()(21,2a ∈⋃. 故选：AC. 12．ABD 【解析】对A ，根据斜率相乘为1-可判断；对B ，可直接求出定点可判断；对C ，取特殊的点代入即可判断；对D ，联立直线求出交点即可表示出MO 即可求出最值.对于A ，1(1)0a a ⨯+-⨯=恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A (0，1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1，0)，故B 正确． 对于C ，在l 1上任取点(,1)x ax +，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为(1,)ax x ---，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不等于0，故C 不正确；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MO MO，故D 正确. 故选：ABD. 13．ABD 【解析】对于A ，设点(),P x y ，由||1||2PA PB =结合两点间的距离公式化简即可判断，对于B ，由A 可知曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，从而可求出圆上的点到点()1,1的距离的范围，进而进行判断，对于C ，设()00,M x y ，由2MO MA =，由距离公式可得方程，再结点()00,M x y 在曲线C 上，得到一个方程，两方程联立求解判断，对于D ，由于曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，所以只要求出圆心到直线的距离减去圆的半径可得答案由题意可设点(),P x y ，由()2,0A -，()4,0B ，||1||2PA PB =，12=，化简得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，所以选项A 正确；对于选项B ，曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，点()1,1与圆心的距离为44，而34]∈，所以选项B 正确；对于选项C ，设()00,M x y ，由2MO MA =，又()2200416x y ++=，联立方程消去0y 得02x =，解得0y 无解，所以选项C 错误； 对于选项D ，C 的圆心()4,0-到直线34130x y --=的距离为|3(4)13|55d ⨯--==，且曲线C 的半径为4，则C 上的点到直线34130x y --=的最小距离541d r -=-=故选项D 正确； 故选：ABD ． 14．BCD 【解析】首先求出线段AB 的中点，即可求出线段AB 的垂直平分线，再由圆心在直线上，即可求出P 到直线AB 的距离的最值，当ABP △的外接圆与圆C 相内切时，APB ∠最小，当ABP △的外接圆与圆C 相外切时，APB ∠最大，数形结合即可求出cos APB ∠的最大值； 解：(4,0)A ，(0,2)B ，所以线段AB 的中点为()2,1M ，201042AB k -==--，所以线段AB 的垂直平分线为()122y x -=-，即23y x =-，因为圆C ：()()22455x y -+-=，圆心()4,5C ，半径r = 又点()4,5C 恰在直线23y x =-上，所以点P 到直线AB 的距离最小值为2CM r -=，最大值为6CM r +=，由正弦定理可知，当ABP △的外接圆与圆C 相内切时，APB ∠最小，此时cos APB ∠最大，此时P 恰在23y x =-与()()22455x y -+-=的一个交点上，由()()2245523x y y x ⎧-+-=⎪⎨=-⎪⎩解得57x y =⎧⎨=⎩或33x y =⎧⎨=⎩，所以()5,7P ，所以AP =PMcos PM APM AP ∠==24cos cos 22cos 15APB APM APM ∠=∠=∠-=，当ABP △的外接圆与圆C 相外切时，APB ∠最大，此时2APB π∠=，故C 、D 正确；故选：BCD15．AC 【解析】选项A 先求出直线20x y -+=与两坐标轴的交点坐标，再求面积；选项B 利用直线方程的条件限制判定；选项C 利用求一点关于直线对称的点的步骤求解；选项D 分截距为零和截距不为零讨论，对于截距不为零的利用截距式方程求解.选项A ：因为直线20x y -+=与两坐标轴的交点为()2,0A -，()0,2B ，所以直线20x y -+=与两坐标轴围成三角形的面积是12222⨯-⨯=，故选项A 正确；选项B ：直线方程写成11y y x x y y x x --=--的条件为1212,y y x x ≠≠，故选项B 错误；选项C ：设点(1,1)关于直线10x y -+=的对称点为(),m n ，由1110,221111m n n m ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，解得0,2m n =⎧⎨=⎩，故选项C 正确；选项D ：当截距为零时，有一条43y x =；当截距不为零时，设直线方程为1x ya b+=， 因为过定点(3,4)P ，所以341a b +=，即1243b a =+-，又a ，b 均为正整数，所以3a -必为12的正因数1，2，3，4，6，12，共6种情况， 故综合起来应该有7条，故选项D 错误． 故选：AC.16．(3230x y -- 【解析】先求出射线OA ，OB 的方程，(),A m m，(),B n ，可得点C 的坐标，利用点C 在直线12y x =以及Ap BP k k =列方程组可得m 的值，再求出Ap k ，由点斜式可得直线方程. 由题意可得tan 451OA k ==，()3tan 18030tan1503OB k =-==-，所以直线OA 的方程：y x =，直线OB 的方程：y =， 设(),A m m ，(),B n ，所以AB 的中点2m n C ⎫+⎪⎪⎝⎭， 由点C 在直线12y x =上，且,,A P B 三点共线得：12201m n m m ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得：m ，所以A又()1,0P，所以AB AP k k =，所以直线AB 的方程是：)1y x =-，即(3230xy --=， 故答案为：(3230x y --=. 17．(1，－1) 【解析】恒过的定点坐标.由题意可设Q 的坐标为(m ，n )，则m －n －4＝0，即m ＝n ＋4，过点Q 作圆O ：224x y +=的切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为mx ＋ny －4＝0，又由m ＝n ＋4，则直线AB 的方程变形可得nx ＋ny ＋4x －4＝0，则有0440x y x +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，则直线AB 恒过定点(1，－1).故答案为：(1，－1).18．1b ≤<【解析】由直线、曲线方程画出对应的图形，应用数形结合法，确定对应图形有两个交点时参数b 的取值范围.y x b =+表示斜率为1的平行直线系；y x 轴及其上方的半圆，如图所示．当l 通过()1,0A -，()0,1B 时，l 与C 有两交点，此时1b =，记为1l ；当l 与半圆相切时，此时b =2l ； 当l 夹在1l 与2l 之间时，l 和C 有两个不同的公共点．综上，1b ≤<故答案为：1b ≤<19．1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】求出点A 关于直线0x y +=的对称点E ，则直线BE 与0x y +=的交点即为所求. 点()3,1A -关于直线0x y +=的对称点为()1,3E -，又()5,2B -， 则直线BE 的方程为135123x y -+=--+，即4130x y --=，联立41300x y x y --=⎧⎨+=⎩，解得135x =，135y =-，所以使PA PB +取最小值的点P 的坐标是1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.20．-7 【解析】根据题意可知半径r m =-，进而算出圆心到直线的距离，再根据弦长为4，通过勾股定理列出等式即可解出.因为圆心为()()1,0m m <的圆与x 轴相切，所以半径r m =-，圆心到直线20x y -=的距离d =又因为AB 4=，由()2222212||425m AB r d m -⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭，因为0m <，所以7m =-. 故答案为：-7.21．7y x =-+或34y x = 【解析】直线在两坐标轴上的截距相等，有两种情况，斜率为1-，或直线过原点，结合直线过点()4,3P 即可求解，有两种情况因为直线与坐标轴的截距相等，则直线的斜率为1-，或直线过原点，当直线斜率为1-时，因为直线过点()4,3P ，根据点斜式，直线方程为：()34y x -=--，化简得：7y x =-+； 当直线过原点时，34k =，所以直线方程为34y x =故答案为：7y x =-+或3y x =22．15 【解析】设3410t x y =++，即34100x y t ++-=，由直线与圆相切可得t 的范围，即可求解. 设3410t x y =++，则34100x y t ++-=，直线与圆相切时圆心()0,0到直线34100x y t ++-=的距离1d =，1=，解得：5t =或15t =，所以515t ≤≤，所以5341015x y ≤++≤， 所以3410x y ++的最大值为15， 故答案为：15. 23．8 【解析】用点P 的坐标表示出PA ，PB ，再求出PA PB ⋅并借助点P 在圆C 上的条件即可作答. 因点(,)P x y 在圆C 上，即22(2)1x y +-=，则22(1)2x y =--，且13y ≤≤， 而(1,),(1,)P PA x y x y B =--=---，于是得22221(2)44PA x y y y y PB ⋅=-+=--+=-，显然44y -在[1,3]y ∈上单调递增，则当3y =时，max (44)8y -=，即max ()8P PA B ⋅=， 所以PA PB ⋅的最大值为8. 故答案为：824．()22740x y -+=． 【解析】根据题意直接可求出n ，再根据切线的性质可得直线CT 与直线310x y +-=垂直，从而求出m ，进而求得半径，即可得出答案.解：根据题意，圆C 与直线310x y +-=相切于点()1,T n ， 则()1,T n 在直线310x y +-=上，则有310n +-=，解可得2n =-， 又由圆心C 的坐标为(),0m ，直线310x y +-=的斜率为3-， 则有0113n m -=-，解可得7m =，圆的半径r TC == 故圆C 的标准方程是()22740x y -+=； 故答案为：()22740x y -+=． 25．(1,2) 【解析】任取曲线上一点()00,x y ，利用点到直线的距离公式可得d =求出d 取最小值时，01x =，即可得到答案；解：任取曲线上一点()00,x y ，则0021y x =+直线:25,l y x =-即250x y --= 点()00,x y 到直线l的距离为d===()20150y x =-+>在01x =时，min d ==02y =，故答案为：(1,2) 26【解析】根据题意,设原点到直线的距离为d ,将直线变形分析可得直线经过定点(1,2),设M (1,2),分析可得d OM ≤，即可得答案.根据题意，设原点到直线的距离为d .直线()()():1130l m x m y m ++-+-=,即()130m x y x y -+++-=则有1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩,即直线l 恒过定点(1,2).设M (1,2),则d OM ≤即原点到直线l故答案为:.27【解析】由复数的几何意义可得满足题意的复数z 对应的点P 到复数1和i 对应点(1,0)A ，(0,1)B 距离相等，即轨迹为线段AB 的垂直平分线,则2i z +-的最小值即可转化为点(2,1)-到垂直平分线的距离求解．如图所示,设复数z ，1，i 对应的点分别为(),P x y ，(1,0)A ，(0,1)B , 由题意1i z z -=-得PA PB =即点P 的轨迹为线段AB 的垂直平分线l ,由平面几何知识可求得垂直平分线l 的方程为:0x y -=, 由|i 2i ||(2)(1)i |2i z x y x y =++-=+-++-,所以2i z +-的最小值即为点(2,1)C -到直线l 的距离,则由d CP ==,即2i z +-的故答案为:本题考查了复数的几何意义,复数模的几何意义及其运算,重点考查了运算能力,属于中档题． 28．4-或28-． 【解析】求出圆心C 到直线l 的距离，利用勾股定理求出弦长，计算ABC 的面积，从而求出直线的斜率与方程．解：直线:(1)(21)30()l m x m y m m R -+++=∈， 直线l 的方程可化为：()(23)0x y m x y -++++=， 可得230y xx y =⎧⎨++=⎩，直线恒过：(1,1)--．圆222(1)(0)x y r r -+=>的圆心(1,0)，半径为：r ． 圆心C 到直线l 的距离为：d ；所以三角形ABC 的面积为211||22ABCS AB d r =⋅⋅≤，2142r =，解得r =2d =．2，解得12m =-或72m =-所以，24mr =-或28-． 故答案为：4-或28-． 29．4 【解析】首先将两圆方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意可得两圆相内切，即可得到31-，从而得到2244a b +=，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；解：因为圆2221:290C x y ax a +++-=和圆2222:4140C x y by b +--+=，所以圆()221:9C x a y ++=和圆()222:21C x y b +-=，圆心分别为()1,0C a -，()20,2C b ，半径分别为3和1，依题意可知两圆31=-，所以2244a b +=，因为a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，所以()22222222224416411111884444a b a b a a b b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝+⎝⎭，当且仅当222216b a a b =时，等号成立，所以2241a b +的最小值为4； 故答案为：430．【解析】建立直角坐标系，根据条件将B 点轨迹转化为阿氏圆的问题来解决如上图所示，以AC 的中点为原点，AC 边所在直线为x 轴建立直角坐标系，因为6AC =，所以()30A -,，()3,0C ，设点(),B x y ，因为sin 2sin C A =，由正弦定理可得：2c a =，即2AB BC =， 所以：()()22223434x y x y ++=-+，化简得：()22516x y -+=，且1x ≠，9x ≠， 圆的位置如上图所示，圆心为()5,0，半径4r =，观察可得，三角形底边长AC 不变的情况下，当B 点位于圆心D 的正上方时，高最大， 此时ABC 的面积最大，B 点坐标为()5,4，所以BC ==故答案为：31．（1）40x -=；（2）是定值，理由见解析. 【解析】（1）算出OP k ，然后可算出答案；（2）可得()100,Q x y --，()200,Q x y -，22004x y +=，然后表示出直线1AQ ，2AQ 的方程，然后可得0m =n =，然后可算出mn 的值.（1）因为OP k ==O 在点P处的切线斜率为所以圆O在点P处的切线方程为)1y x =-，即40x -= （2）是定值，理由如下解方程组224y x y +-=+=⎪⎩，可得A ， 因为()000,(1)Q x y x ≠±，所以()100,Q x y --，()200,Q x y -，22004x y +=，由10:1)AQ y x -，令0x=，得0m =由20:1)AQ y x -，令0x =，得0n =∴2020004(1)41x mn x --===-． 32．（1）158390x y +-=或1x =；（2）()223112x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.【解析】（1）由条件求出圆心到直线l 的距离，然后分直线l 的斜率不存在、直线l 的斜率存在两种情况求解即可；（2）设()00,N x y ，(),P x y ，然后由()()2200214x y -++=，中点坐标公式可得答案.（1）因为直线l 被圆C截得的弦长为所以圆心到直线l1=当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，满足 当直线l 的斜率存在时，则其方程为()13y k x =-+所以1518d k ==⇒=-，此时直线方程为158390x y +-= 综上：直线方程为158390x y +-=或1x = （2）设()00,N x y ，(),P x y 则()()2200214x y -++= 因为P 是MN 中点，则满足000012122332x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩代入方程得：()223112x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭33．（1）1y x =±；（2）10+【解析】（1）设直线方程为：y x b =+，根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解. （2）易得点P 到直线AB 的距离的最大值为圆心到直线的距离d 与圆的半径之和，即max h d r =+，然后()()max12ABP SAB d r =⨯⨯+求解. （1）设直线方程为：y x b =+， 圆C ：()2214x y ++=， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即21d b ==⇒=±，所以直线l 方程为：1y x =±.（2）AB == 直线AB 的方程为：4y x =-+，圆心到到直线AB 的距离为：d ==所以点P 到直线AB 的距离的最大值为max 2h d r =+，所以()max 12102ABP S⎫=⨯=+⎪⎪⎝⎭.34．2【解析】由题可知，所要求的代数式恰好表示平面直角坐标系中三个距离之和，所以首先要把代数式中三个距离的对应的点找到，再根据题干所述找到相应的费马点，即可得出结果． 根据题意，在平面直角坐标系中，令点(0,1)A ，(0,1)B -，(2,0)C ，(,)x y 到点A 、B 、C 的距离之和，因为ABC 是等腰三角形，AC BC =，所以C '点在x 轴负半轴上，所以CC '与x 轴重合， 令ABC 的费马点为(,)P a b ，则P 在CC '上，则0b =，因为ABC 是锐角三角形，由性质（1）得120APC ∠=︒，所以60APO ∠=︒，所以1a =a =P ⎫∴⎪⎪⎝⎭到A 、B 、C 的距离分别为PA PB =2PC =，,即为费马点P 到点A 、B 、C 的距离之和，则2PA PB PC ++=35．（1）2122k y kx =++；（2）2；（3）-【解析】（1）根据对折的对称性可得，若折叠后A 点落在G 点，则斜率相乘为1-，从而得到G 点的坐标关于k 的表达式，写出折痕所在的直线方程（2）当20k -+≤≤，分析可得折痕交在BC 和y 轴上，求出交点坐标，求出折痕长度关于k 的表达式，结合k 的范围求出最大值（3）当21k -≤≤-时，折痕交在DC 和x 轴上，求出PQ 的表达式，代入求出t 关于k 的表达式，结合k 的范围求出t 的最大值（1）①当0k =时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程12y =； ②当0k ≠时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为(),1G a ， 所以A 与G 关于折痕所在的直线对称， 有111OG k k k a k a⋅=-⇒⋅=-⇒=-， 故G 点坐标为(),1G k -，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标，即线段OG 的中点为122k M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，折痕所在的直线方程122k y k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即2122k y kx =++，由①②得折痕所在的直线方程为：2122k y kx =++；（2）当0k =时，折痕的长为2，当折痕刚好经过B 点时，将()2,0代入直线方程得：2410k k ，2k =-+2k =-时，A 点不在线段DC 上，舍）当20k -<时，折痕两个端点一定在BC 和y 轴上，直线交BC 于点212,222k P k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，交y轴于210,2k Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(22222211||224444732222k k PQ k k ⎡⎤⎛⎫+=+-++=+≤+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∴2= ，而22>，故折痕长度的最大值为2；()3当21k -≤≤-时，折痕的两个端点一定在DC 和x 轴上，直线交DC 于1,122kP k ⎛⎫-⎪⎝⎭，交x 轴于21,02k Q k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，2222111||11222k k PQ k k k ⎡⎤+⎛⎫=---+=+⎢ ⎪⎥⎝⎭⎣⎦，22(2||1)t k PQ k k∴=-=+， 21k -≤≤-，2k k∴+≤-当且仅当()21k =--，时取“=”号)，∴当k =t 取最大值，t 的最大值是-本题综合考查了直线方程、函数的最值、均值不等式，考查了数形结合和分类讨论的数学思想，属难题．36．（1）()()22231x y -+-=；（2）1y x =+. 【解析】（1）设圆C 的圆心和半径，根据已知条件用待定系数法列方程求解（2）设设直线方程1y kx =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则121212OM ON x x y y ⋅=+=，所以需要含参直线与圆联立方程，根据韦达定理进行计算，一个方程求解一个未知数 解：（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则依题意，得()()()()22222224,13,10,a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩解得2,3,1,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴圆C 的方程为()()22231x y -+-= （2）设直线l 的方程为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1y kx =+，代入22(2)(3)1x y -+-=并。
第二章 直线和圆的方程 专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一
第二章 直线和圆的方程专题测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·福建高二学业考试）已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（ ） A ．－2B ．－1C ．0D ．12．（2020·洮南市第一中学高一月考）直线()()1:2140l a x a y -+++=与()2:190l a x ay ++-=互相垂直，则a 的值是（ ）. A ．-0.25B ．1C ．-1D ．1或-13．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）直线:l (1)230m x my m ---+=（m R ∈）过定点A ，则点A 的坐标为（ ） A ．(3,1)-B ．(3,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)--4．（2020·广东高二期末）设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y -1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件,5．（2020·黑龙江高一期末）若曲线y 与直线y ＝k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．（1，+∞）D ．（1，3]6．（2020·浙江柯城。
衢州二中高三其他）已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）A ．4B ．289C ．329D ．3277．（2020·广东高一期末）若两平行直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=则m +n ＝（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．2-8．（2020·北京市第五中学高三其他）过直线y ＝x 上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y ＝x 对称时，它们之间的夹角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，每题5分，共20分）9．（2020·江苏省苏州第十中学校高一期中）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为12+ 10．（2020·江苏徐州.高一期末）已知直线12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=，则下列说法正确的是（ ）A ．若12l l //，则m =-1或m =3B ．若12l l //，则m =3C ．若12l l ⊥，则12m =-D ．若12l l ⊥，则12m =11．（2020·江苏扬州.高一期末）已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．（2020·江苏省江阴高级中学高一期中）下列说法正确的是（ ） A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2) B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=第II 卷（非选择题）三、填空题(每题5分，共20分）13．（2020·湖南张家界。
直线与圆方程中的距离关系 (人教A版)(含答案)
直线与圆方程中的距离关系（人教A版）一、单选题(共8道，每道12分)1.过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆的切线方程2.直线与轴的交点为，点把圆的直径分为两段，则其长度之比为( )A.或B.或C.或D.或答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆相交的性质3.已知光线自点射到后被轴反射，则反射光线所在的直线与圆C：( )A.相离B.相切C.相交且过圆心D.相交但不过圆心答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆相交的性质4.过点作圆的弦，其中弦长为整数的条数为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线和圆的方程的应用5.在平面直角坐标系中，圆C的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆的切线方程6.已知圆与交于两点，为坐标原点，若，则的值为( )A.0B.1C.-1D.2答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆相交的性质7.已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆方程的综合应用8.两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则成两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线，和圆“相切”，则的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆相交的性质。
直线与圆方程综合应用(人教A版)(含答案)
直线与圆方程综合应用（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.直线与圆相交于，若，则的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线和圆的方程的应用2.在圆上与点距离最大的点的坐标是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆方程的综合应用3.若直线和直线与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数的值为( )A. B.C. D.以上都不对答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：两条直线垂直的性质4.若是圆上不同的三个点，且，存在实数，使得，实数的关系为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆方程的综合应用5.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，若点在圆上，且，则实数等于( )A.-2B.-1C.0D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆方程的综合应用6.已知圆，过点的直线被圆所截，则截得的最短弦的长度为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆相交的性质7.已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆方程的综合应用8.已知，为圆的两条互相垂直的弦、交于点，且，则四边形的面积等于( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆方程的综合应用9.设是定义在上的减函数，且，则的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆方程的综合应用10.两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则成两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线，和圆“相切”，则的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆相交的性质。
人教A版高一直线与圆的方程的应用精选试卷练习(含答案)1
人教A 版高一直线与圆的方程的应用精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）A ．2B ．C ．6D ．2．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( ) A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-=D ．2240x y x +-=3．已知直线0ax by c ++=（0abc ≠）与圆221x y +=相切，则三条边长分别为a 、b 、c 的三角形是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不存在4．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸5．若直线x ﹣my+m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）6．圆2250x y +=与圆22126400x y x y +--+=的公共弦长为（ ）A BC ．D ．7．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）A ．12-B ．1C ．2D ．128．过点()3,0P作直线()2120x y λλ++-=（R λ∈）的垂线，垂足为M ，己知定点()4,2N ，则当λ变化时，线段MN 的长度取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．C ．D ．9．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )A ．B ．C ．D ．10．由直线1y x =+上的一点P 向圆C ：()2231x y -+=引切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A ．1B ．CD ．311．过圆()()22111C x y -+-=：的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB∆被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足,S S S S ⅥⅡⅢI +=+则直线AB 有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条12．若直线10x y --=被圆心坐标为（2，-1）的圆截得的弦长为方程A ．()()22214x y -++= B ．()()22214x y ++-= C ．()()22212x y ++-=D ．()()22212x y -++=13．若方程220x y x y m -++=+表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．2m ≤ B ．2m < C ．12m <D ．12m ≤二、填空题14．若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120oAOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____.15．若C 为半圆直径AB 延长线上的一点，且2AB BC ==，过动点P 作半圆的切线，切点为Q ，若PC =，则PAC ∆面积的最大值为____．16．已知圆O ：221x y +=，O 为坐标原点，若正方形ABCD 的一边AB 为圆O 的一条弦，则线段OC 长度的最大值是 .17．在平面直角坐标系xOy 中，过点()5,P a -作圆222210x y ax y +-+-=的两条切线，切点分别为()11,M x y 、()22,Nx y ，且2112211220y y x x x x y y -+-+=-+，则实数a 的值是______.18．已知平面直角坐标系中两点12(,)A a a 、12(,)B b b ，O 为原点，有122112AOB S a b a b ∆=-.设11(,)M x y 、22(,)N x y 、33(,)P x y 是平面曲线2224x y x y +=-上任意三点，则12212332T x y x y x y x y =-+-的最大值为________19．已知实数x 、y 满足()2211x y -+≤，则342z x y =-+的最大值为_____． 20．已知A ，B 为圆C :22(1)(1)5x y ++-=上两个动点，且AB =2，直线l :(5)y k x =-，若线段AB 的中点D 关于原点的对称点为D ′，若直线l 上任一点P ，都有1PD '≥，则实数k 的取值范围是__________.21．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约________秒（精确到0.1）．22．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______．三、解答题23．已知圆C 经过点()0,6E ，()5,5F ，且圆心在直线:3590l x y -+=上 （1）求圆C 的方程.（2）过点()0,3M 的直线与圆C 交于A ，B 两点，问：在直线3y =上是否存在定点N ，使得AN BN k k =-（AN k ，BN k 分别为直线AN ，BN 的斜率）恒成立？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.24．已知圆C 过(1,0)A ，(0,1)B -两点，且圆心C 在直线20x y -+=上． （1）求圆C 的方程；（2）设点P 是直线4380x y --=上的动点，PM 、PN 是圆C 的两条切线，M 、N 为切点，求四边形PMCN 面积的最小值．25．已知圆()()22:414C x y -+-=,直线():23120l mx m y -++=（1）求证：直线l 过定点；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值；（3）已知点()4,5M ，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PM PN为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．26．如图，某处立交桥为一段圆弧AB .已知地面上线段40AB =米，O 为AB 中点.桥上距离地面最高点P ，且OP 高5米.工程师在OB 中点C 处发现他的正上方桥体有裂缝.需临时找根直立柱，立于C 处，用于支撑桥体.求直立柱的高度.（精确到0.01米）.27．某景区欲建造同一水平面上的两条圆形景观步道1M 、2M （宽度忽略不计），已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ，且90CAD BAD ︒∠+∠=. （1）若60BAD ︒∠=，求圆1M 、圆2M 的半径（结果精确到0.1米）；（2）若景观步道1M 、2M 的造价分别为每米0.8千元、0.9千元，如何设计圆1M 、圆2M 的大小，使总造价最低？最低总造价为多少（结果精确到0.1千元）？ 28．在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3),A 直线:24=-l y x ，设圆C 的半径长为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 存在点M ，使2=MA MO ,求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 29．已知圆C 过点A (2,6),且与直线l 1: x +y －10=0相切于点B (6,4). (1)求圆C 的方程；(2)过点P (6,24)的直线l 2与圆C 交于M ,N 两点,若△CMN 为直角三角形,求直线l 2的斜率； (3)在直线l 3: y =x －2上是否存在一点Q ,过点Q 向圆C 引两切线,切点为E ,F , 使△QEF 为正三角形,若存在,求出点Q 的坐标,若不存在,说明理由.30．已知动点P 与两个定点O （0，0），A （3，0）的距离的比值为2，点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的轨迹方程（2）过点（﹣1，0）作直线与曲线C 交于A ，B 两点，设点M 坐标为（4，0），求△ABM 面积的最大值．31．已知圆M 过两点A （1，﹣1），B （﹣1，1），且圆心M 在x +y ﹣2＝0上， （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）设P 是直线x +y +2＝0上的动点．PC ，PD 是圆M 的两条切线，C ，D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值．32．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛= ⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．（1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； （2） 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？33．如图，12,l l是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连结M，N 两地之间的铁路线是圆心在2l上的一段圆弧，若点M在点O正北方向3公里；点N到,l l距离分别为4公里和5公里.的12（1）建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（2）若该城市的某中学拟在点O的正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4公里，求该校址距点O的最短距离（注：校址视为一个点）34．已知A（﹣1，0），B（1，0），动点G满足GA⊥GB，记动点G的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）如图，点M是C上任意一点，过点（3，0）且与x轴垂直的直线为l，直线AM 与l相交于点E，直线BM与l相交于点F，求证：以EF为直径的圆与x轴交于定点T，并求出点T的坐标．35．已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线l ：10mx y m -+-=. ①求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；②设l 与圆C 交于A 、B 两点，若AB =l 的倾斜角； ③当实数m 变化时，求直线l 被圆C 截得的弦的中点的轨迹方程.36．已知椭圆22221(0)x y a b a b Γ+=>>：的左右顶点分别是(2,0)A -，(2,0)B ，点12⎫⎪⎭在椭圆上，过该椭圆上任意一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||QP PC =．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同A 、B ）与直线2x =交于R ，D 为线段RB 的中点，证明：直线CD 与曲线E 相切；37．已知圆O ：224x y +=，直线:280l x y +-=，点A 在直线l 上． （1）若点A 的横坐标为2，求过点A 的圆O 的切线方程．（2）已知圆A 的半径为2，求圆O 与圆A 的公共弦EF 的最大值．38．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 的方程为2216x y +=，过点(0,1)M 的直线l 与圆O 交于两点A ，B ．（1）若AB =l 的方程；（2）若直线l 与x 轴交于点N ，设NA mMA =u u u r u u u r ，NB mMB =u u u r u u u r，m ，n ∈R ，求m n +的值．39．已知圆M 与直线2x =相切，圆心M 在直线0x y +=上，且直线20x y --=被圆M 截得的弦长为（1）求圆M 的方程，并判断圆M 与圆22:68150N x y x y +-++=的位置关系； （2）若横截距为-1且不与坐标轴垂直的直线l 与圆M 交于,A B 两点，在x 轴上是否存在定点Q ， 使得0AQ BQ k k +=，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，说明理由. 40．已知点M 与定点()6,0A 和原点O 的距离的比为2． （1）求点M 的轨迹C 方程；（2）设过点()4,0B 的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点． ①求线段PQ 的中点N 的轨迹方程；②求证：BP BQ ⋅u u u r u u u r为定值，并求出这个定值．41．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，0)，离心率是3，直线y t =与椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P,圆心为P 。
人教A版高中必修二试题圆的方程及直线与圆的位置关系.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作圆的方程及直线与圆的位置关系典题探究例1．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是 ( )A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定 答案：C例2．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)的位置关系是________．例3．已知直线l 1：ax ＋y ＋2a ＝0，直线l 2：ax －y ＋3a ＝0.若l 1⊥l 2，则a ＝________.例4．点P (a,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离等于4，且在不等式2x ＋y ＜4表示的平面区域内，则P 点的坐标为__________．演练方阵A 档（巩固专练）1. 过点P (1,2)，且方向向量v ＝(－1,1)的直线的方程为 ( )A ．x －y －3＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝02．将直线l 1：y ＝2x 绕原点逆时针旋转60°得直线l 2，则直线l 2到直线l 3：x ＋2y －3＝0的角为 ( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．设A 、B 为x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为 ( )A ．2x ＋y －7＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋y －5＝04．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32 B.32C ．3D ．－35．直线x ＋a 2y ＋6＝0和(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0无公共点，则a 的值是 ( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．0或－16．两直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点在第二象限，则m 的取值范围是( )A ．－32≤m ≤2B ．－32＜m ＜2C ．－32≤m ＜2D ．－32＜m ≤27．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 ( )A ．－5B ．1C ．2D ．38．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( )A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 39．与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是 ( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)＝410．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为原点，则实数a 的值为 ( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6B 档（提升精练）1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3) D ．(2，－3)2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则圆C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝14．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( ) A ．2 B ．1＋ 2 C ．2＋22D ．1＋2 25．若点P(1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝0[答案] D[解析] 圆心C(3,0)，k CP ＝－12，由k CP ·k MN ＝－1，得k MN ＝2，所以MN 所在直线方程是2x －y －1＝0，故选D.6．圆心在曲线y ＝3x (x>0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －2)2＋(y －32)2＝9D ．(x －3)2＋(y －3)2＝97．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A(1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．8．已知点M(1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．9．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．10．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A(3,5)，求：(1)过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S.C 档（跨越导练）1.已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 62．以抛物线y 2＝20x 的焦点为圆心，且与双曲线x 216－y29＝1的两渐近线都相切的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－20x ＋64＝0 B ．x 2＋y 2－20x ＋36＝0 C ．x 2＋y 2－10x ＋16＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＋9＝03．已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C(1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．4．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为__________．5.圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于A 、B ，|AB|＝3，则该圆的标准方程是________．6．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t∈R，t≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若|OM|＝|ON|，求圆C 的方程． 7. 求经过7x ＋8y ＝38及3x －2y ＝0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程．8.已知直线l 经过点P (3,1)，且被两平行直线l 1；x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l 的方程.9．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．10.已知m ∈R，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0.(1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？圆的方程及直线与圆的位置关系参考答案典题探究例1解析：直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则1a 2＋b2＜1，a 2＋b 2＞1，点P (a ，b )在圆C 外部，故选C.例2．答案：相交解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2,1)在直线上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ，即x 2＋y 2＝9，且22＋12＜9，(2,1)在圆O 内，则直线l 与圆O ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)的位置关系是相交，故填相交．例3．答案：±1解析：∵l 1⊥l 2，∴kl 1·kl 2＝－1，即(－a )·a ＝－1，∴a ＝±1.例4．答案：(－3,3)解析：因|4a －9＋1|5＝4，∴a ＝7，a ＝－3.当a ＝7时，不满足2x ＋y ＜4(舍去)，∴a ＝－3.演练方阵A 档（巩固专练）1、答案：C解析：方向向量为v ＝(－1,1)，则直线的斜率为－1，直线方程为y －2＝－(x －1)即x ＋y －3＝0，故选C.2、答案：A解析：记直线l 1的斜率为k 1，直线l 3的斜率为k 3，注意到k 1k 3＝－1，l 1⊥l 3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l 2到直线l 3的角是30°，选A.3、答案：D解析：因k PA ＝1，则k PB ＝－1，又A (－1,0)，点P 的横坐标为2，则B (5,0)，直线PB 的方程为x ＋y －5＝0，故选D.4、答案：A解析：由两点式，得y －31－3＝x －0－1－0，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0，得x ＝－32，即在x 轴上的截距为－32.5、答案：D解析：当a ＝0时，两直线方程分别为x ＋6＝0和x ＝0，显然无公共点；当a ≠0时，－1a2＝－a －23a，∴a ＝－1或a ＝3.而当a ＝3时，两直线重合，∴a ＝0或－1. 6、答案：B解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －my ＋4＝0，2mx ＋3y －6＝0，解得两直线的交点坐标为(3m －6m 2＋3，4m ＋6m 2＋3)，由交点在第二象限知横坐标为负、纵坐标为正，故3m －6m 2＋3＜0且4m ＋6m 2＋3＞0⇒－32＜m ＜2.7、答案：D解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0所围成的区域如图所示．∵其面积为2，∴|AC |＝4，∴C 的坐标为(1,4)，代入ax －y ＋1＝0， 得a ＝3.故选D.8、答案：D解析：∵直线的方程为y ＝3x ，圆心为(0,2)，半径r ＝2.由点到直线的距离公式得弦心距等于1，从而所求弦长等于222－12＝2 3.故选D. 9、答案：C解析：圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0的圆心为(－1,1)，半径为2，过圆心(－1,1)与直线x －y －4＝0垂直的直线方程为x ＋y ＝0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A 、B ，圆心(－1,1)到直线x －y －4＝0的距离为62＝32，则所求的圆的半径为2，故选C.10、答案：C 解析：由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得|OA →＋OB →|2＝|OA →－OB →|2，OA →·OB →＝0，OA →⊥OB →，三角形AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a |2＝2，a ＝±2，故选C.B 档（提升精练）1. [答案] D[解析] 将一般式化为标准式(x －2)2＋(y ＋3)2＝13. ∴圆心坐标为(2，－3)． 2. [答案] A[解析] 动圆圆心C 到定点(0,3)的距离与到定直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故选A.3. [答案] A[解析] 设圆心坐标为(0，b)，则由题意知－2＋b －2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 4. [答案] B[解析] 圆的方程化为标准形式：(x －1)2＋(y －1)2＝1， 圆心(1,1)到直线x －y －2＝0的距离d ＝|1－1－2|2＝2，所求距离的最大值为2＋1，故选B.5. [解析] 圆心C(3,0)，k CP ＝－12，由k CP ·k MN ＝－1，得k MN ＝2，所以MN 所在直线方程是2x －y －1＝0，故选D.6. [答案] C[解析] 设圆心坐标为(a ，3a)(a>0)，则圆心到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d ＝|3a ＋12a ＋3|5＝35(a ＋4a ＋1)≥35(4＋1)＝3，等号当且仅当a ＝2时成立．此时圆心坐标为(2，32)，半径为3，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －32)2＝9.7. [答案]254[解析] ∵点A(1,2)在⊙O ：x 2＋y 2＝5上， ∴过A 的切线方程为x ＋2y ＝5， 令x ＝0得，y ＝52，令y ＝0得，x ＝5，∴三角形面积为S ＝12×52×5＝254.8. [答案] x ＋y －1＝0[解析] 过点M 的最短的弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C(2,1)， ∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0.9. [答案] (x ＋2)2＋y 2＝210. [解析] (1)⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1.当切线的斜率不存在时，过点A 的直线方程为x ＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k 存在时，设直线方程为y －5＝k(x －3)， 即kx －y ＋5－3k ＝0，由直线与圆相切得， |－k ＋2|k 2＋1＝1，∴k ＝34.∴直线方程为x ＝3或y ＝34x ＋114.(2)|AO|＝9＋25＝34， 直线OA ：5x －3y ＝0， 点C 到直线OA 的距离d ＝134， S ＝12·d·|AO|＝12.C 档（跨越导练）C 组答案 1、[答案] B[解析] 圆的方程：(x －3)2＋(y －4)2＝25， ∴半径r ＝5，圆心到最短弦BD 的距离d ＝1， ∴最短弦长|BD|＝46， 又最长弦长|AC|＝2r ＝10，∴四边形的面积S ＝12×|AC|×|BD|＝20 6.2、[答案] C[解析] 抛物线的焦点坐标是(5,0)，双曲线的渐近线方程是3x±4y＝0，点(5,0)到直线3x±4y＝0的距离d ＝3即为所求圆的半径．故所求圆的方程为(x －5)2＋y 2＝9，即x 2＋y 2－10x ＋16＝0，故选C.3、[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9[解析] ∵M 是以AB 为直径的圆的圆心，|AB|＝6， ∴半径为3，又⊙M 经过点C ，∴|CM|＝12|AB|＝3，∴点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.4、[答案] (x ＋1)2＋y 2＝2[解析] 在直线方程x －y ＋1＝0中，令y ＝0得，x ＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)， 由点到直线的距离公式得圆的半径 R ＝|－1＋0＋3|2＝2，∴圆的标准方程为(x ＋1)＋y 2＝2.5、[答案] (x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1[解析] 如下图设圆心C(a ，b)，由条件知a ＝1，取弦AB 中点D ，则CD ＝AC 2－AD 2＝12－⎝⎛⎭⎪⎫322＝12，即b ＝12，∴圆方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.6、[解析] (1)证明：∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t2. 设圆C 的方程是(x －t)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12|OA|·|OB|＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t|＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|， ∴OC 垂直平分线段MN. ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴直线OC 的方程是y ＝12x.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.7、解析：易得交点坐标为(2,3)设所求直线为7x ＋8y －38＋λ(3x －2y )＝0， 即(7＋3λ)x ＋(8－2λ)y －38＝0，令x ＝0，y ＝388－2λ，令y ＝0，x ＝387＋3λ，由已知，388－2λ＝387＋3λ，∴λ＝15，即所求直线方程为x ＋y －5＝0.又直线方程不含直线3x －2y ＝0，而当直线过原点时，在两轴上的截距也相等，故3x －2y ＝0亦为所求．8、分析一：如图，利用点斜式方程，分别与l 1、l 2联立，求得两交点A 、B 的坐标(用k 表示)，再利用|AB |＝5可求出k 的值，从而求得l 的方程.解析：解法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1、l 2的交点分别为A ′(3，－4)或B ′(3，－9)，截得的线段AB 的长|AB |＝|－4＋9|＝5，符合题意.若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋1＝0，得 A (3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1)． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋6＝0，得 B (3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1)． 由|AB |＝5.得(3k －2k ＋1－3k －7k ＋1)2＋(－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋1)2＝52. 解之，得k ＝0，直线方程为y ＝1.综上可知，所求l 的方程为x ＝3或y ＝1.9、解析：设所求圆的圆心为(a ，b )，半径为r ，∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上，∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上，∴a ＋2b ＝0， ①(2－a )2＋(3－b )2＝r 2. ②又直线x －y ＋1＝0截圆所得的弦长为22，∴r 2－(a －b ＋12)2＝(2)2 ③ 解由方程①、②、③组成的方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－3，a ＝6，r 2＝52.或⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－7，a ＝14，r 2＝244，∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.10、解析：(1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4m m 2＋1， 直线l 的斜率k ＝mm 2＋1，因为|m |≤12(m 2＋1)， 所以|k |＝|m |m 2＋1≤12，当且仅当|m |＝1时等号成立． 所以，斜率k 的取值范围是[－12，12]．(2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x －4)，其中|k |≤12.圆C 的圆心为C (4，－2)，半径r ＝2.圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k 2. 由|k |≤12，得d ≥45＞1，即d ＞r 2. 从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3. 所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．。
人教A版高中数学选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (4)(含答案解析)
选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (4)一、单选题1．已知A 、B 是圆O ：224x y +=上两个动点，点P 的坐标为(2,1)，若PA PB ⊥，则线段AB 长度的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．D 2．在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC =4，点P 是边AB 边上异于AB 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图），若光线QR 经过△ABC 的重心，则三角形PQR 周长等于（ ）A B C ．D3．直线:20+=l x ，若1l l ⊥，则1l 的倾斜角是（ ） A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．若直线y kx =与曲线2y =k 的取值范围是（ ） A ．41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦5．已知直线:sin cos 1l x a y a -=，其中a 为常数且[0,2)a π∈．有以下结论： ①直线l 的倾斜角为a ；②无论a 为何值，直线l 总与一定圆相切；③若直线l 与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1； ④若(,)p x y 是直线l 上的任意一点，则221x y +≥． 其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．设点(,1)M m ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则m 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]22-,D ．⎡⎢⎣⎦7．直线:cos 0l x θ=被圆22650x y x +-+=截得最大弦长为（ ）A B C D ．38．《米老鼠和唐老鸭》这部动画给我们的童年带来了许多美好的回忆，令我们印象深刻.如图所示，有人用3个圆构成米奇的简笔画形象.已知3个圆方程分别为： 圆 22:(3)9,Q x y ++= 圆224:(4)L x y ++=，圆 22:(4)4,S x y -+=若过原点的直线 l 与圆L 、S 均相切，则l 截圆Q 所得的弦长为（ ）A ．3B ．2C ．32D ．19．直线330kx y k -+-=与曲线2y =k 的取值范围是（ ） A ．1[,)4+∞B ．3(,)4-+∞C ．(]31,44-D ．31(,)0,44⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦10．已知直线10x y ++=与圆C 相切，且直线()210mx y m m R ---=∈始终平分圆C 的面积，则圆C 的方程为（ ）A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y -++= C ．()()22212x y -+-=D ．()()22212x y -++=11．已知直线1:0()l kx y k R +=∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是直线30x y --=的动点，()0,1C ，则BA BC +的最小值为（ ）A ．B ．C ．7D ．512．已知直线20x ay +-=与圆C ：()()2214x a y -++=相交于A ，B 两点，且ABC 为等边三角形，则实数a =（ ）A ．BC ．D 13．古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (0k >且1k ≠)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ，()3,0A ，圆C ：()()22220y x r r +=->上有且仅有一个点P 满足2PA PO =，则r 的取值可以为（ ） A ．1或3B ．2C ．5D ．1或514．已知点P 0y =上的动点，则点P 到直线34100x y --=距离的取值范围是（ ） A ．71,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,3C ．713,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．如图，棱长为2正方体1111ABCD A B C D -，O 为底面AC 的中心，点P 在侧面1BC 内运动且1D O OP ⊥，则点P 到底面AC 的距离与它到点B 的距离之和最小是（ ）A ．85B ．125C D ．16．直线()():2311l a y a x -=--不过第二象限，则a 的取值范围为（ ） A ．2a <B ．23a -≤≤C ．2a ≥D ．4a ≥17．已知直线2y kx =-上存在点P ，满足过P 点作圆224240x y x y +--+=的两条切线，切点分别为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数k 的最小值为（ ） A ．512-B ．1-C ．1D ．512二、填空题18．设m R ∈，过定点A 的动直线20mx y m --=和过定点B 的动直线10x my +-=相交于P 点（点P 与点A B ，不重合），则PAB △的面积的最大值为_________．19．若直线y kx =与曲线2y =k 的取值范围是________．20．圆224230x y x y +-+-=上恰好有两点到直线0x y a +-=a 的取值范围是___________.21．若直线1y kx =+与函数()2,0224x x f x x -≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩的图象恰有3个不同的交点，则k 的取值范围为__________.22．过点P 的直线l 与曲线y A ，B 两点，若25PA AB =，则直线l 的斜率为____________. 23．已知直线11:42k l y kx =-+，直线()22224:40l y x k k k=-++≠，若直线1l ，2l 与两坐标轴围成一个四边形，则当4k >时，这个四边形面积的取值范围是___________.24．平面内，动点P 到点()0,2A 的距离与点Р到点()0,6B -的距离之比为13，且点P 又在直线(y k x =-上，则k 的最小值是__________．25．已知点()3,0A 、()0,4B ，点P 在圆221x y +=上运动，则点P 到直线AB 的距离的最小值为________．26．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(6,8)A -，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是_______.27．若圆22:1C x y +=被直线:l y x m =+m =________三、解答题28．求圆心在直线40x y --=上，并且经过圆22640x y x ++-=与圆226280x y y ++-=的交点的圆的方程．29．已知圆221:2310C x y x y ++++=，圆222:4320C x y x y ++++=，证明圆1C 与圆2C 相交，并求圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程．30．赵州桥的跨度是37.4m ，圆拱高约为7.2m ．求这座圆拱桥的拱圆的方程．31．求与圆22:20C x y x y +-+=关于直线:10l x y -+=对称的圆的方程．32．某圆拱桥的水面跨度20 m ，拱高4 m ，现有一船，宽10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？33．如图，某台机器的三个齿轮，A 与B 啮合，C 与B 也啮合．若A 轮的直径为200 cm ，B 轮的直径为120 cm ，C 轮的直径为250 cm ，且45A ∠=︒．试建立适当的坐标系，用坐标法求出A ，C两齿轮的中心距离（精确到1 cm ）．34．求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形： （1）圆心为()3,5M -，且与直线720x y -+=相切； （2）圆心在直线y x =上，半径为2，且与直线6y =相切；（32360x y -+=相切于点()3,4．35．己知圆22:2410++-+=C x y x y ，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，切点为M ．（1）若点()1,3P ，求此时的切线l 的方程；（2）当PM PO =时，求P 点的轨迹方程． 36．已知直线1l ：20mx y m +--=，2l ： 340x y n +-=.（1）求直线1l 过的定点P ，并求出直线2l 的方程，使得定点P 到直线2l 的距离为85； （2）过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，求使得AOB 面积最小时，直线 l 的方程.37．已知直线:270l ax y +-=与圆()()22:129C x y -+-=交于A ，B 两点． （1）若直线l 与直线320x y -+=平行，求直线l 的方程；（2）若AB =，求直线l 的方程．38．分别写出满足下列条件的直线方程，并化成一般式. （1）经过点(2,0)和(4,)1-；（3）经过点(1,2)且与直线10x y -+=垂直.39．已知点(1,0)M ，(1,3)N ，圆22:1C x y +=，直线l 过点N . （1）若直线l 与圆C 相切，求l 的方程；（2）若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k +为定值.40．已知圆1O 经过点()4,1A ､()2,1B -两点，且圆心在直线2380x y --=上，圆2O ：224210x y x y ++++=（1）求圆1O 的标准方程； （2）求圆1O 与圆2O 的公共弦长41．已知圆C 过点()0,1A ，()2,1B --，且圆心C 在直线3y x 上．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(4,2)P -的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．42．已知直线():1l y kx k =+∈R 与圆()()22:231C x y -+-=相交于A ，B 不同两点.（1）若*k ∈N ，求k 的值；（2）设M 是圆C 上的一动点(异于A ，B )，O 为坐标原点，若12AO BO ⋅=，求MAB △面积的最大值.43．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,4),(2,2),(5,5)D E F ---都在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）直线0x y m -+=与圆C 交于A B ，两点，OA OB ⊥时，求m 值．44．已知一个动点P 在圆220432x y y -+=+上移动，它与定点()6,0Q 所连线段的中点为M . （1）求点M 的轨迹方程；（2）过定点()0,3-的直线l 与点M 的轨迹方程交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，且满足1221212x x x x +=，求直线l 的方程. 45．已知圆经过(11)A ， 和(2,2)B -两点，且圆心C 在直线10x y -+=上. （1）求圆C 的方程.（2）若过点(6,4)M -的直线l 与圆C 相交于,P Q 两点，且8PQ =，求直线l 的方程. 46．圆心为C 的圆经过点(4,1)A -,(3,2)B -，且圆心C 在:20l x y --=上，（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(3,1)P -作直线m 交圆C 于MN 且||8MN =，求直线m 的方程.47．如图，已知以点(1,2)A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切.过点(2,0)B -的动直线l 与圆A 相交于,M N 两点.（1）求圆A 的方程；（2）当MN =l 的方程.48．如图，ABC 中，顶点()1,2A ，BC 边所在直线的方程为310x y ++=，AB 边的中点D 在y 轴上.（1）求AB 边所在直线的方程；（2）若AC BC =，求AC 边所在直线的方程.49．已知圆()22:210C x y x ay a +-++=∈R ，圆心C 在直线30x y -=上．（1）求圆C 的标准方程；（2）求直线:0l x y -=被圆C 截得的弦AB 的长．50．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()1,1，动点P 满足|||PO PA =．（2）若直线l 过点()4,6Q 且与轨迹C 相切，求直线l 的方程．【答案与解析】1．D 【解析】先根据题意设出Q 的坐标，根据勾股定理得到Q 的轨迹方程，求出PQ 的最大值，根据||2||AB PQ =即可求解. 解：如图所示：取AB 的中点Q ，连OQ 、PQ ， 由圆的性质可知OQ AB ⊥， 由PA PB ⊥可知：2AB PQ =， 设点Q 的坐标为(,)x y ，在Rt OBQ 中，222OB OQ PQ =+， 即 ，整理为22224210x y x y +--+=，可化为2213(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，故Q 的轨迹为以11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭PQ =故||2||AB PQ =≤． 故选：D.2．A 【解析】建立如图所求的直角坐标系，得(4,0),(0,4)B C ，设(,0)P a ，求出P 关于直线BC 的对称点1P 坐标，P 关于y 轴对称性2P 坐标，由反射性质12,,,P Q R P 四点共线，求得直线QR 方程，由G 在直线QR 上可求得a ，然后计算12PP 即得．建立如图所求的直角坐标系，得(4,0),(0,4)B C ，直线BC 方程为4x y +=，ABC 的重心为44(,)33G ，设(,0)P a ，P 关于直线AB 的对称为1(,)P x y ， 则04220(1)1x a y y x a++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⋅-=-⎪-⎩，解得44x y a =⎧⎨=-⎩，则1(4,4)P a -， 易知P 关于y 轴的对称点为2(,0)P a -，根据光线反射原理知12,,,P P Q R 四点共线， ∴直线QR 的方程为[]40()4()a y x a a --=----，即4()4a y x a a -=++，又直线QR 过44(,)33G ，∴444343a a a -⎛⎫=⨯+ ⎪+⎝⎭，解得43a =或0a =（舍去），4,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴184,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，24(,0)3P -，12PP == 故选：A ．关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把PQR 的三边转化为到同一条直线上，利用直线方程求得P 点位置，然后得路程的最小值． 3．B 【解析】根据两直线垂直得出1l 的斜率，即可得倾斜角.因为直线:20+=l x ，所以k = 又1l l ⊥，所以1l 的斜率为1k = 因为倾斜角的范围[0,)π， 所以1l 的倾斜角为3π， 故选：B 4．A 【解析】对曲线2y =()4,2为圆心，2为半径在直线2y =上方的半圆，然后求出当直线与该半圆相切、当直线过点()2,2时对应的k 的值，然后可得答案.曲线2y =()()()224242x y y -+-=≥，它表示以()4,2为圆心，2为半径在直线2y =上方的半圆，且左侧端点坐标为()2,2，直线()0y kx k =>过原点()0,0，当直线与该半圆相切时(即图中虚线)，由2=43k =；当直线过点()2,2时(即图中实线)，1k =，故要使直线与曲线有两个不同交点，则413k ≤<. 故选：A.5．C 【解析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.对于①，直线l 的倾斜角的取值范围为[0,)π，与角a 的不同，故①错误； 对于②，(0,0)1=，则无论a 为何值，直线l 总与221x y +=相切，故②正确；对于③，若直线l 与两坐标轴都相交，则截距分别为1sin a ，1cos a-，则与两坐标轴围成的三角形的面积为111112sin cos sin 2a a a⋅=≥，故③正确； 对于④，由②知直线l 总与221x y +=相切，则直线l 上的点到原点的距离大于等于1，即221x y +≥，故④正确；综上所述，②③④共3个正确； 故选：C 6．A 【解析】当M 确定时，易知直线MN 与圆O 相切时，OMN ∠最大，若在圆上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，即令相切时，45OMN ∠≥即可，sin ON OM OMN =≤=∠M 点坐标，求得m 的范围. 当M 确定时，易知直线MN 与圆O 相切时，OMN ∠最大，若在圆上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，即令相切时，45OMN ∠≥即可，则sin ON OM OMN =≤=∠2，解得[]1,1m ∈- 故选：A 7．C 【解析】计算出圆心到直线l 的距离的最小值，利用勾股定理可求得结果.圆22650x y x +-+=的标准方程为()2234x y -+=，圆心为()3,0C ，半径为2，圆心C 到直线l的距离为3,32d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以，直线l 被圆C截得最大弦长为故选：C.8．A 【解析】设直线:l y kx =，利用直线与圆相切，求得斜率，再利用弦长公式求弦长 设过点O 的直线:l y kx =.由直线l 与圆L 、圆 S2, 解得 213k =(1).设点Q 到直线l 的距离为1,d 则1d (2).又圆Q 的半径3r =直线l 截圆Q 所得弦长 1l = 结合(1)(2)两式，解得1 3.l = 9．C 【解析】将曲线方程化为半圆方程，求得直线的定点为()3,3，作草图确定有两个交点的临界位置，即可求解参数范围. 如图所示：由直线330kx y k -+-=得()330k x y --+=得直线过定点为()3,3C ，由2y =()()()22214,2y x y -+-=≥当直线与半圆相切时，则2d r ===解得34k =-当直线过点()1,2A -时，则2330k k --+-=得14k = 由于直线与曲线有两个不同交点，故3144k -<≤故选：C本题的解题关键在于求出直线的定点及将曲线化为半圆方程，通过草图确定临界位置. 10．D 【解析】根据直线()210mx y m m R ---=∈始终平分圆C 的面积，可得圆C 的圆心，再根据直线10x y ++=与圆C 相切，可得圆C 的半径，进而可得圆C 的方程. ∵直线()210mx y m m R ---=∈始终平分圆C 的面积，∴直线()210mx y m m R ---=∈始终过圆C 的圆心()21-，， 又圆C 与直线10x y ++=相切，则圆的半径r == ∴圆C 的方程为()()22212x y -++=． 故选：D. 11．D 【解析】由题意可知点A 为圆22(1)(1)2x y -+-=上的点，由于,A C 两点在直线30x y --=的同侧，所以求出点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ，则BA BC BA BD =++，然后利用两点间线段最短可得答案解：由1:0()l kx y k R +=∈，得yk x=-，由2:220l x ky k -+-=，得22x k y -=-，所以22x yy x-=--，化简得22(1)(1)2x y -+-=， 所以点A 为圆22(1)(1)2x y -+-=上的点， 设点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ， 则1113022n mm n -⎧=-⎪⎪⎨+⎪--=⎪⎩，解得43m n =⎧⎨=-⎩，即(4,3)D -因为CB DB =，所以当点,,A B D 共线，且过点(1,1)时，BA BC +取最小值， 所以BA BC +5=故选：D关键点点睛：此题考查直线与圆的应用，考查距离问题，解题的关键是求出点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ，将BA BC +的最小值转化为BA BD +的最小值，属于中档题 12．A 【解析】a 的值.由题意知，等边ABC 边长为2，所以圆心(),1C a -到直线20x ay +-==，解得213a =，即a =故选：A. 13．D 【解析】设出动点P 的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P 的轨迹方程，由点P 是圆222:(2)(0)C x y r r -+=>上有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得r 的值．解：设(,)P x y ，由||2||PA PO =，得2222(3)44x y x y -+=+，整理得22(1)4x y ++=，又点P 是圆222:(2)(0)C x y r r -+=>上有且仅有的一点， 所以两圆相切，圆22(1)4x y ++=的圆心坐标为(1,0)-，半径为2，圆222:(2)(0)C x y r r -+=>的圆心坐标为(2,0)，半径为r ， 两圆的圆心距为3，当两圆外切时，23r +=，得1r =， 当两圆内切时，|2|3r -=，得=5r ． 故选：D ． 14．D 【解析】0y =与直线34100x y --=的图象，利用点到直线的距离公式可求得结果.0y =可得y 0y ≥，在等式y 221x y +=，0y =为圆221x y +=的上半圆，该圆的半径为1r =，0y =与直线34100x y --=的图象如下图所示：原点O 到直线34100x y --=2=，设点P 到直线34100x y --=的距离为d ，当点P 的坐标为()1,0，d 取最小值，即min 75d ==，由图象可知，max 2213d r =+=+=，因此，点P 到直线34100x y --=的距离的取值范围是7,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（10y =化简变形为221x y +=，确定曲线为圆的一半，数形结合求解； （2）当直线l 与圆相离时，圆心到直线l 的距离为d ，则圆上一点到直线l 的距离的最大值为d r +，最小值为d r -（其中r 为圆的半径）. 15．A 【解析】先确定动点在平面内所在的线段，再根据对称性原理找最小值.取1BB 中点F ，连接,,,AC FA FC BD ,则1D DO OBF ，1D O OF ⊥，又AC ⊥平面11BDD B ，1D O ⊂平面11BDD B ，所以1AC D O ⊥，AC OF O ⋂=，1D O ⊥平面ACF ， 因为1D O OP ⊥，所以OP ⊂平面ACF ，P ∈平面ACF因为点P 在侧面1BC 内，所以P ∈平面ACF ⋂平面11BCC B CF =； 在平面11BCC B 内作B 关于直线FC 对称的点B '，连接,B F B C ''，,PB PB ' 则BCF B CF '≅，PB PB '=所以1B F '=，2B C '=，作PH BC ⊥， 则PB PH PB PH '+=+当B '、P 、H 三点共线时，PB PH +取最小值， 此时因为1BB CF ⊥，B BHCFB '，所以2B H BH '=，2HC BH =-，Rt B HC '中，222HC B H B C ''+=，即()()222222BH BH -+=，得45BH =，故85B H '=， 即点P 到底面AC 的距离与它到点B 的距离之和最小是85.故选:A. 关键点睛:（1）找出动点在平面内的所在的线段;（2）作出对称点，把问题转化为求动点到定直线的最短距离. 16．C 【解析】分20a -=、20a -≠两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数a 的不等式（组），由此可解得实数a 的取值范围.若20a -=，可得2a =，直线l 的方程为15x =，该直线不过第二象限，合乎题意；若20a -≠，可得0a ≠，直线l 的斜截式方程为31122a y x a a -=---，若直线l 不过第二象限，则3102102a a a -⎧≥⎪⎪-⎨⎪-<⎪-⎩，解得2a >.综上所述，2a ≥. 故选：C.关键点点睛：解本题的关键在于对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在斜率存在的前题下，一般从直线的斜率与纵截距或直线在两坐标轴上的截距来进行分析，结合已知条件列不等式（组）求解. 17．D 【解析】由圆224240x y x y +--+=，先找圆心C 和半径，根据题意，分析出P 的轨迹为圆，利用≤d R ，解出k 的范围.将圆224240x y x y +--+=化为标准方程：22(2)(1)1x y -+-=， 故圆心C (2，1)，半径r =1，在△PCA 中，30,90APC ACP ∠=︒∠=︒，∴PC =2P A =2∴P 的轨迹为以C 为圆心，半径R =2的圆，其方程为22(2)(1)4x y -+-=. 而圆心C 到直线2y kx =-的距离d =只需要2≤d2≤，解得：512k ≥所以实数k 的最小值为512.故选：D与圆的切线方程有关问题的思路通常有两种: （1）几何法:用圆心到直线的距离等于半径； （2）代数法:直线方程与圆的方程联立,利用Δ=0． 18．1 【解析】由题知，A ，(1,0)B ，且两动直线互相垂直，P 点的轨迹是以AB 为直径的圆，P 点到AB 的距离的最大值为圆的半径，从而求得PAB △面积的最大值.由题知，A ，(1,0)B，2AB =，且两动直线互相垂直， 则AP BP ⊥，P 点的轨迹是以AB 为直径的圆，则P 点到AB 的距离的最大值为112AB =故PAB △面积的最大值为12112⨯⨯=故答案为：1 19．41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】先对曲线2y = 进行化简，画出图形，数形结合即可求解.解：曲线2y =()()()224242x y y -+-=≥，如图所示：它表示以()4,2为圆心，2为半径在直线2y =上方的半圆，直线y kx =过原点()0,0，当直线与该半圆相切时（即图中虚线），43k =； 当直线过点()2,2时（即图中实线），1k =， 故要使直线与曲线有两个不同交点，则413k ≤<． 故答案为：41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.20．()()5,13,7--【解析】把圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标，由与直线0x y a +-=圆相交，一条与圆相离可得，由已知得到关于a 的不等式，解不等式即可得解. 把圆的方程化为标准式为()()22218x y -++=，所以圆心坐标为()2,1-，半径r =则圆心到直线0x y a +-=的距离d ==由题意得<，即12124a a ⎧->⎪⎨--<⎪⎩，即216a <-<解得：51a -<<-或37a <<，即实数a 的取值范围为()()5,13,7-- ，故答案为：()()5,13,7--.21．31,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】结合()f x 的图象和直线1y kx =+过定点，当直线1y kx =+与圆()2231x y -+=的下半部分相切和经过点()2,0时，可得答案.()f x 的图象如图所示，直线1y kx =+过定点()0,1，当直线1y kx =+与圆()2231x y -+=的下半部分相切时，1d ==解得34k =-或0k =（舍去），当直线1y kx =+经过点()2,0时，12k =-.数形结合可得31,42k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.故答案为：31,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭本题考查了直线和圆的位置关系，关键点是作出图象找出临界值，考查了数形结合思想、计算的能力. 22．2 【解析】由题意画出图形，由切割线定理求得PA ，进一步得到AB，数形结合求得直线的倾斜角，则斜率可求．解：设PQ与曲线y Q，曲线y 2213x y +=的上半部分，圆的半径r ，圆心坐标为()0,0，因为25PA AB =，P ，所以PO =则22227||||||||(||||)||||||355PQ PA PB PA PA AB PA PO OQ =⋅=⋅+==-=．||5PA ∴=，||2AB =，O到弦AB的距离d=，所以1sin 2APO ∠== 30APO ∴∠=︒，由45POx ∠=︒所以直线l 的倾斜角为453015︒-︒=︒，斜率为1tan15tan(4530)2︒=︒-︒==故答案为：2．23．17,84⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由直线1l ，2l 过定点()2,4B ，再分别求出直线1l 、2l 与x 轴、y 轴的交点，将四边形AOCB 分成一个梯形和一个直角三角形，根据面积公式结合二次函数的性质得出四边形面积的取值范围.直线14(2):422l k k y x k x =-+=-+，过定点()2,4B ，与x 轴的交点为28,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭直线()222:24l y x k =--+，过定点()2,4B ，与y 轴的交点为240,4C k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭过点B 作y 轴的垂线交于点D ，如下图所示 将四边形AOCB 分成一个梯形和一个直角三角形 则122114424422S DB DC k k⎛⎫=⨯=⨯⨯+-= ⎪⎝⎭2112816()24822k S OA DB OD k k -⎛⎫=+⨯=+⨯=- ⎪⎝⎭则四边形AOCB 的面积为212241618428S S S k k k ⎛⎫=+=-+=-- ⎪⎝⎭因为4k >，所以110,4k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则17,84S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：17,84⎛⎫⎪⎝⎭关键点睛：解决本题的关键是得出直线1l ，2l 过定点()2,4B ，以此画出图象得出四边形面积的取值范围. 24．【解析】先求点P 的轨迹方程，再利用直线与圆的位置关系，求k 的最小值.设点(),P x y ，13PA PB =，13=，化简得()2239x y +-=， 点P 又在直线(y k x=-上，∴直线与圆相交， 圆心()0,3到直线(y kx =-的距离3d ≤，得20k +≤解得：0k ≤，所以k 的最小值是故答案为：方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种： 1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法. 25．75【解析】求出直线AB 的方程，求出圆心到直线AB 的距离，进而可得出点P 到直线AB 的距离的最小值. 圆221x y +=的圆心为原点O ，半径为1r =，直线AB 的方程为134x y+=，即43120x y +-=，原点到直线AB 的距离为125d ==，所以，直线AB 与圆221x y +=相离， 因此，点P 到直线AB 的距离的最小值为127155d r -=-=. 故答案为：75.结论点睛：若直线AB 与半径为r 的圆C 相离，且圆心C 到直线AB 的距离为d ，则圆C 上一点到直线AB 的距离的最小值为d r -，最大值为d r +. 26．(8,12) 【解析】由以A 为圆心2为半径的圆与圆O 相交可得．由题意以A 为圆心2为半径的圆与圆O 相交，．∴22r r -<+，解得812r <<． 故答案为：(8,12)．本题考查圆与圆的位置关系，解题关键是把问题转化为两圆相交．圆与圆的位置关系： 两圆圆心距离为d ，半径分别为,r R ，则相离d R r ⇔>+，外切d R r ⇔=+，相交R r d R r ⇔-<<+，内切d R r ⇔=-，内含d R r ⇔<-． 27．±1 【解析】求出圆心到直线的距离，由圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形可得答案.圆心()0,0C ，半径为1，圆心到直线的距离为1OC =<，解得m 2CB =，因为222OB OC CB =+，所以221=+⎝⎭， 解得1m =±，符合题意. 故答案为：±1.本题考查了直线和圆的位置关系，关键点是利用由圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形解题，判断直线和圆的位置关系有①几何法，就是利用圆心到直线的距离和半径大小；②代数法，就是利用圆的方程和直线方程联立后的判别式求解. 28．227320x y x y +-+-= 【解析】设两圆交点系方程为2222+64+(+628)0x y x x y y λ+-+-=，求得圆心坐标代入直线40x y --=求得圆的方程.设经过两圆交点的圆的方程为2222+64+(+628)0x y x x y y λ+-+-=，即22(1)(1)+662840x y x y λλλλ++++--=，圆心坐标为33(,)11λλλ--++ ，将其代入直线40x y --=解得7λ=- ．所以圆的方程为227320x y x y +-+-=． 故所求圆方程为：227320x y x y +-+-=29．证明见解析，公共弦所在直线的方程为210x +=. 【解析】依题意求得圆1C 和圆2C 的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果；将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程.圆1C 的标准方程为()2239124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，所以圆心为131,2C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径132r =；圆2C 的标准方程为()22317224x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，所以圆心为232,2C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径2r =两圆圆心距121d C C ==，1232r r +=1232r r -=，所以1212r r d r r -<<+，圆1C 和圆2C 相交.将圆2C 和圆1C 的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为210x +=. 30．()22220.6827.88x y ++= 【解析】根据题意以拱高所在直线为y ，如图建立平面直角坐标系，再求圆的方程. 解：根据题意，以拱高所在直线为y ，如图建立平面直角坐标系，根据题意得：7.2OC =，18.7OB OA ==，此时圆心在y 轴上，圆心为D ，半径为r ，则7.2OD r OC r =-=-， 所以在Rt OBD △中，222BD OD OB =+，即()2227.218.7r r =-+， 解得：27.88r =，所以7.220.68OD r =-= 设所求圆的方程为()22220.6827.88x y ++=， 即拱圆的方程为：()22220.6827.88x y ++= 31．()2235224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭【解析】先求出圆22:20C x y x y +-+=的圆心和半径，利用对称求出对称圆的圆心，即可写出对称圆的方程.圆22:20C x y x y +-+=可化为：()2215124x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，所以其圆心112⎛⎫- ⎪⎝⎭，，半径254r =. 设对称的圆的圆心(),a b ，则有：1·1112112122b a a b +⎧=-⎪-⎪⎪⎨⎪+-⎪=+⎪⎩，解得：232a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以对称的圆的方程为：()2235224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭.32．该船可以从桥下通过 【解析】建立适当平面直角坐标系，如图所示，得出A B P D E ，，，，各点的坐标，设出圆的标准方程，将A B P ，，坐标代入确定出这座圆拱桥的拱圆方程，把D 横坐标代入求出纵坐标，与3比较即可作出判断.建立如图所示的坐标系.依题意，有A (－10,0)，B (10,0)，P (0,4)，D (－5,0)，E (5,0).设所求圆的方程是222()(0)=()x a y b r r -->+， 于是有()()()22222222210,10,4,a b r a b r a b r ⎧++=⎪⎪-+=⎨⎪+-=⎪⎩解此方程组，得a ＝0，b ＝－10.5，r ＝14.5，所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52(0≤y ≤4). 把点D 的横坐标x ＝－5代入上式，得y ≈3.1.由于船在水面以上高3 m ，3＜3.1，所以该船可以从桥下通过. 33．260cm【解析】根据题意，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 建立平面直角坐标，进而得直线AC 的方程为y x =，故设(),,0C t t t >，再结合圆与圆的位置关系求解即可得答案.解：根据题意，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 建立平面直角坐标系，如图，则160AB =，()0,0A ，()160,0B ，由于45CAB ∠=，所以直线AC 的方程为y x =， 故设(),,0C t t t >，则()12501201852BC =+=，由于圆B 与圆C 相外切，故BC =，解方程得183.5t ≈所以259.5260AC cm ==≈cm.故A ，C 两齿轮的中心距离约为260cm .34．（1）()()223532x y -++=；（2）()()22444x y -+-= 或()()22884x y -+-=；（3）22(5)(1)13x y -+-= 或 22(1)(7)13x y -+-=.【解析】（1）根据点到直线的距离求得半径,进而得答案;（2）设圆心坐标为(),a a ，再根据题意得62r a =-=，解得4a =或8a =，进而求得答案；（3）设圆心坐标为(),a b ,则4332b a -⎧=-⎪-⎪⎨=51a b ⎧=⎨=⎩或17a b =⎧⎨=⎩，进而求得答案.解：（1）因为圆M 与直线720x y -+=相切，所以点()3,5M -到直线720x y -+=的距离即为圆M 的半径， 所以r == 所以圆M 的方程为：()()223532x y -++=， 图像如图：（2）因为圆心在直线y x =上，半径为2， 所以设圆心坐标为(),a a ， 又因为所求圆与直线6y =相切， 所以62r a =-=，解得4a =或8a =，所以所求圆的方程为 ()()22444x y -+-= 或()()22884x y -+-=， 图像如图：（32360x y -+= 相切于点()3,4，所以设圆心坐标为(),a b ,则4332b a -⎧=-⎪-⎪⎨=51a b ⎧=⎨=⎩或17a b =⎧⎨=⎩，所以所求圆的方程为：22(5)(1)13x y -+-= 或 22(1)(7)13x y -+-=， 图像如下：35．（1）34150x y +-=或1x =；（2）()()22126x y -++=. 【解析】（1）利用几何法分别判断切线斜率存在即斜率不存在是切线情况； （2）(),P x y，根据PM ，及222PM PC CM =-进行化简即可.（1）圆的标准方程为()()22124x y ++-=,当切线斜率不存在时，直线为1x =，此时该直线是圆的切线，满足条件．当切线斜率存在时，切线方程可以设为,():31l y k x -=-，即30kx y k -+-=，圆心()1,2C -到切线l 的距离2==d ，解得：34k =-，:34150∴+-=l x y ，∴切线方程为：34150x y +-=或1x =；（2）设(),P x y ，PM =, 又222222=+PO x y222PM PC CM ∴=-()()22124=++--x y 222=PM PO 知222410+-+-=x y x yP ∴的轨迹方程为：()()22126x y -++=36．（1）(1,2)P ，2l ：3430x y +-=或34190x y +-=（2）240x y +-= 【解析】（1）利用直线系求出定点，根据点到直线距离求出2l ；（2）由题意直线斜率存在，设出直线方程，求出截距，表示出三角形面积，利用均值不等式求最值.（1）由20mx y m +--=可得(1)20m x y -+-=， 所以直线1l 的定点(1,2)P ，(1,2)P 到直线2l ：340x y n +-=的距离|11|855n d -===， 解得3n =或19n =，所以直线2l ：3430x y +-=或34190x y +-= （2）由题意，设直线l ：2(1)y k x -=-， 因为直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点， 所以0k <令0,20x y k ==->，20,10y x k==->，所以122(2)(1)22422AOB k S k k k =--=--≥+△，当且仅当2k =-时等号成立，故所求直线方程为22(1)y x -=--，即240x y +-=关键点点睛：直线系过定点问题，需将直线化为含参数与不含参数的部分，如(1)20m x y -+-=，可根据此形式直接写出定点；直线与坐标轴围成三角形的面积，可利用截距表示. 37．（1）6270x y -+=；（2）512420x y +-= 【解析】（1）因为直线l 与直线320x y -+=平行得直线l 的斜率，可得答案；（2）圆的半径、圆心到直线的距离和弦长的一半构成的直角三角形，利用勾股定理可得答案. （1）因为直线l 与直线320x y -+=平行，所以直线l 的斜率3k =， 则32a-=，解得6a =-， 故直线l 的方程为6270x y -+-=，即6270x y -+=． （2）由题意可知圆C 的圆心坐标为()1,2，半径为3，因为AB =C 到直线l 的距离1d =，解得56a =， 故直线l 的方程为52706x y +-=即512420x y +-=．38．（1）220x y +-=；（2）3260x y --=；（3）30x y +-=. 【解析】（1）用两点式写出直线方程并化简为一般式； （2）用截距式写出直线方程交化简为一般式；（3）由垂直求出直线斜率，设出直线方程的斜截式，代入点的坐标可得结论．然后方程化为一般式．解：（1）所求的直线方程为021042--=---y x ， 整理得220x y +-=. （2）所求的直线方程为123x y +=-， 整理得3260x y --=.（3）因为直线10x y -+=的斜率为1，所以所求直线的斜率为1-， 设所求直线方程为y x b =-+，将(1,2)代入可得123=+=b ， 所以所求的直线方程为3y x =-+，即30x y +-=.思路点睛：本题考查求直线方程，直线方程有形式多种多样：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式，可以根据不同的条件写出直线方程，然后转化为一般式． 39．（1）1x =或4350x y -+=；（2）证明见解析. 【解析】（1）若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为1x =，此时直线l 与圆C 相切，故1x =符合条件；若直线l 的斜率存在，设斜率为k ，其方程为(1)3y k x =-+，由直线l 与圆C1=，解得43k =，进而可得直线方程；（2）由（1）可知，l 与圆C 有两个交点时，斜率存在，此时设l 的方程为30kx y k --+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与圆的方程，根据判别式求得斜率的取值范围，又由韦达定理可知12x x +，12x x ，所以121221213(2)22()13k k x x k x x x x +-==--++++.（1）若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为1x =， 此时直线l 与圆C 相切，故1x =符合条件.若直线l 的斜率存在，设斜率为k ，其方程为(1)3y k x =-+， 即30kx y k --+=.由直线l 与圆C 相切，圆心(0,0)到l 的距离为1，1=，解得43k =.所以直线l 的方程为4(1)33=-+y x ，即4350x y -+=，综上，直线l 的方程为1x =或4350x y -+=.（2）由（1）可知，l 与圆C 有两个交点时，斜率存在，此时设l 的方程为30kx y k --+=，联立22301kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩， 消去y 可得()()2222126680kx kk x k k +--+-+=，则()()()2222264168∆=--+-+k k k k k 24320=->k .解得43k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122261k k x x k -+=+，2122681k k x x k -+=+，(*)所以()1121212113111-++=+=---k x y y k k x x x ()221213332111-++=++---k x k x x x()()1212123221+-=+-++x x k x x x x ，将(*)代入上式整理得121862293--+=+=-k k k k ， 故12k k +为定值23-.过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况. 40．（1）22(1)(2)18x y -++=；（2. 【解析】（1）设圆1O 的标准方程为222()()x a y b r -+-=，根据题意可得三个关于,,a b c 的方程，解出三个未知数即可；（2）首先判断两圆的位置关系是相交，联立方程组解出交点坐标16251135x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩或，利用两点间距离公式求出公共弦长即可.（1）设圆1O 的标准方程为222()()x a y b r -+-= ，过点()4,1A ､()2,1B -两点，且圆心在直线2380x y --=上， 所以2222222380(4)(1)(2)(1)a b a b r a b r --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+-=⎩，解得12a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩ ，所以圆1O 的标准方程为22(1)(2)18x y -++=.（2）圆2O ：224210x y x y ++++=，即22(2)(1)4+++=x y ，因为两圆圆心距离为2d =<2 ， 所以两圆相交，联立22(1)(2)18x y -++=与22(2)(1)4+++=x y ，解得16251135x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩或 ，=. 41．（1）22(2)(1)4x y ++-=；（2）4x =-或34200x y -+=.。
人教A版高中数学选修1第二章直线和圆的方程2
第二章 2.2 2.2.1A 级——基础过关练1．(2021年天津月考)直线x ＝3y －1的斜率为( ) A ．33 B ． 3C ．－33D ．－ 3【答案】A【解析】将x ＝3y －1化为斜截式y ＝33x ＋33，即该直线的斜率为33． 2．(2020年济南检测)在平面直角坐标系中，下列四个结论： ①每一条直线都有点斜式和斜截式方程； ②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数； ③方程k ＝y ＋1x －2与方程y ＋1＝k (x －2)可表示同一条直线； ④直线过点P (x 0，y 0)，倾斜角为90°，则其方程为x ＝x 0． 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故①错误；对于②，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为负数，直线斜率为负数，故②正确；对于③，方程k ＝y ＋1x －2表示直线y ＋1＝k (x －2)去掉点(2，－1)，与方程y ＋1＝k (x －2)不表示同一直线，故③错误；对于④，直线过点P (x 0，y 0)，倾斜角为90°，则其方程为x ＝x 0，故④正确．所以正确的个数为2．3．已知直线l 的方程为y －m ＝(m －1)(x ＋1)，若l 在y 轴上的截距为7，则m ＝( ) A ．4 B ．3 C ．1 D ．5【答案】A【解析】直线l 的方程可化为y ＝(m －1)x ＋2m －1，所以2m －1＝7，得m ＝4． 4．已知直线l 1：y ＝2x ＋3a ，l 2：y ＝(a 2＋1)x ＋3，若l 1∥l 2，则a ＝( ) A ．0B ．－1C ．1D ．±1【答案】B【解析】因为l 1∥l 2，所以a 2＋1＝2，a 2＝1，所以a ＝±1．又由于l 1∥l 2，两直线l 1与l 2不能重合，则3a ≠3，即a ≠1，故a ＝－1．5．已知直线l 的方程为y ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52，若设l 的斜率为a ，在y 轴上的截距为b ，则log a b 的值为( )A ．12B ．2C ．log 26D ．0【答案】B【解析】直线l 的方程为y ＝2x ＋4，故a ＝2，b ＝4，所以log a b ＝log 24＝2． 6．直线y ＝x ＋1绕其与y 轴交点旋转90°的直线方程是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x ＋1 D ．y ＝－2x ＋1 【答案】B【解析】当x ＝0时，y ＝1，旋转后斜率k ＝－1，所以直线方程为y ＝－x ＋1． 7．(多选)(2021年广州月考)给出下列四个结论，正确的是( )A ．平面直角坐标系中，过点P (2，－1)的所有直线可以用方程y ＋1＝k (x －2)表示B ．直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的斜率为－A BC ．直线3x ＋3y －1＝0的倾斜角为5π6D ．直线y ＝2x －1在x 轴上的截距为12，在y 轴上的截距为1【答案】BC【解析】对于A ，直线x ＝2过点P (2，－1)，但不能用方程y ＋1＝k (x －2)表示，故A 错误；对于B ，直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)可化为y ＝－A B x －C B ，则其斜率为－A B，故B 正确；对于C ，直线3x ＋3y －1＝0可化为y ＝－33x ＋13，其斜率为－33，则倾斜角为5π6，故C 正确；对于D ，令y ＝0，得出x ＝12，令x ＝0，得出y ＝－1，则直线y ＝2x －1在x 轴上的截距为12，在y 轴上的截距为－1，故D 错误．故选BC ．8．直线y ＝2x －4绕着它与x 轴的交点逆时针旋转90°后，所得的直线方程为____________．【答案】y ＝－12(x －2)【解析】y ＝2x －4与x 轴的交点为(2,0)，所得的直线l 2与直线l 1：y ＝2x －4垂直，所以k 2²k 1＝－1，即k 2²2＝－1，故k 2＝－12．所以l 2的方程为y －0＝－12(x －2)，即y ＝－12(x －2)． 9．直线l 经过点A (－2,2)且与直线y ＝x ＋6在y 轴上有相同的截距，则直线l 的斜截式方程为____________．【答案】y ＝2x ＋6【解析】直线y ＝x ＋6在y 轴上的截距为6，即所求直线过点(0,6)，直线l 又经过点A (－2,2)，所以直线l 的斜率为2，所以直线l 的方程为y ＝2x ＋6．10．求下列直线的斜截式方程： (1)斜率为－4，在y 轴上的截距为7； (2)在y 轴上的截距为2，且与x 轴平行；(3)求倾斜角为150°，与y 轴的交点到原点的距离为3的直线方程． 解：(1)直线的斜率为k ＝－4， 在y 轴上的截距b ＝7， 所求直线方程为y ＝－4x ＋7． (2)直线的斜率为k ＝0， 在y 轴上的截距为b ＝2， 所求直线方程为y ＝2．(3)直线的倾斜角为150°，所以斜率为－33． 因为直线与y 轴的交点到原点的距离为3， 所以在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3． 故所求的直线方程为y ＝－33x ＋3或y ＝－33x －3． B 级——能力提升练11．已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有的直线恒过定点( ) A ．(1,3) B ．(－1，－3) C ．(3,1) D ．(－3，－1)【答案】C【解析】直线kx －y ＋1－3k ＝0变形为y －1＝k (x －3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．12．(多选)(2021年黑龙江月考)下列说法正确的有( ) A ．若直线y ＝kx ＋b 经过第一、二、四象限，则(k ，b )在第二象限 B ．直线y ＝ax －3a ＋2过定点(3,2)C ．过点(2，－1)斜率为－3的点斜式方程为y ＋1＝－3(x －2)D ．斜率为－2，在y 轴截距为3的直线方程为y ＝－2x ±3 【答案】ABC【解析】对于A ，由直线y ＝kx ＋b 过一、二、四象限，可知直线的斜率k ＜0，截距b ＞0，故点(k ，b )在第二象限，所以A 正确；对于B ，由直线方程y ＝ax －3a ＋2，整理得a (x －3)＋(－y ＋2)＝0，所以无论a 取何值，点(3,2)都满足方程，所以B 正确；对于C ，由点斜式方程，可知过点(2，－1)斜率为－3的点斜式方程为y ＋1＝－3(x －2)，所以C 正确；对于D ，由斜截式直线方程得到斜率为－2，在y 轴上的截距为3的直线方程为y ＝－2x ＋3，所以D 错误．故选ABC ．13．已知直线l ：y ＝－a b x ＋2b 与直线l ′：y ＝23x －43平行，且直线l 与y 轴的交点为(0,1)，则a ＝________，b ＝________．【答案】－432【解析】由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－a b ＝23，2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－43，b ＝2.14．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是__________． 【答案】y ＝3x －6或y ＝－3x －6【解析】因为所求直线与y 轴相交成30°角，所以它的倾斜角为60°或120°，斜率为3或－3，其点斜式方程为y ＝3x －6或y ＝－3x －6．15．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1． (1)求证：直线l 恒过一个定点；(2)当－3＜x ＜3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．(1)证明：由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．(2)解：设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使－3＜x ＜3时，直线上的点都在x 轴上方， 需满足⎩⎪⎨⎪⎧f 30，f30，即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1．所以实数k 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪－15≤k ≤1．。
第二章 直线和圆的方程 综合能力测试 - 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
第二章 直线和圆的方程一、单选题1．圆2)1(22=++y x 的圆心到直线3+=x y 的距离为（ ）。
A 、1B 、2C 、2D 、222．若平面内两条平行线1l ：02)1(=+-+y a x 与2l ：012=++y ax 间的距离为553，则实数=a （ ）。
A 、2-B 、1-C 、1D 、23．过点P -且倾斜角为135的直线方程为（ ）A ．30x y --=B ．0x y --=C ．0x y +=D ．0x y ++= 4．圆1C ：221x y +=与圆2C ：()224310x y k x y +++-=（k ∈R ，0k ≠）的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC 的顶点()2,0A ，()0,4B ，AC BC =，则ABC 的欧拉线方程为（ ） A ．230x y +-=B ．230x y -+=C ．230x y --=D ．230x y -+= 6．若直线l 将圆()()22129x y -++=平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为（ ）A ．10x y ++=或20x y +=B ．10x y -+=或20x y +=C ．10x y -+=或20x y -=D ．10x y --=或20x y -= 7．过坐标原点O 作圆()()22341x y -+-=的两条切线，切点为,A B ，直线AB 被圆截得弦AB 的长度为( )A BC D 8．已知圆M 的方程为22680x y x y +--=，过点()0,4P 的直线l 与圆M 相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC ，弦长最长的弦为BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．30B ．40C ．60D ．80 二、多选题9. 下列说法中，正确的有（ ）A. 过点P (1，2)且在x ，y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B. 直线y ＝3x -2在y 轴上的截距为-2C. 直线 10x -+=的倾斜角为60°D. 过点(5，4)并且倾斜角为90°的直线方程为x -5＝010. 如果0AB <，0BC <，那么直线0Ax By C ++=经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限11．已知圆O ：x 2+y 2＝4和圆M ：x 2+y 2﹣2x +4y +4＝0相交于A 、B 两点，下列说法正确的是（ ）A ．圆M 的圆心为（1，﹣2），半径为1B ．直线AB 的方程为x ﹣2y ﹣4＝0C ．线段AB 的长为2√55D ．取圆M 上点C （a ，b ），则2a ﹣b 的最大值为4+√512．已知圆C ：（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝16与直线l ：mx +2y ﹣4＝0，下列选项正确的是（（ ）A ．直线l 与圆C 不一定相交B ．当m ≥1615时，圆C 上至少有两个不同的点到直线l 的距离为1C ．当m ＝﹣2时，圆C 关于直线1对称的圆的方程是（x +3）2+（y +3）2＝16D ．当m ＝1时，若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P 为圆C 上任意一点，当|PB |＝3√2时，∠PBA 最小三、填空题13．已知点()P x y ，在直线10x y ＝++上运动，则()()2211x y +－－取得最小值时点P 的坐标为_______．14．已知P 是直线l : 260x y ++=上一动点，过点P 作圆C :22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A 、B .则四边形PACB 面积的最小值为___________.15．已知圆心为(),0a 的圆C 与倾斜角为56π的直线相切于点(3,N ，则圆C 的方程为___________16．直线3y x =+D ：(()2213x y +-=交与A ，B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为_____________．四、解答题17．实数x ，y 满足x 2+y 2+2x ﹣4y +1＝0，求：（1）y x−4的最大值和最小值；（2）2x +y 的最大值和最小值．18.已知点)2212(-+，P ，点)13(，M ，圆C ：4)2()1(22=-+-y x 。
人教A版高中数学选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (6)(含答案解析)
选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (6)一、单选题1．已知Rt PAB 的直角顶点P 在圆(()22:11C x y +-=上，若点(),0A t -，()(),00B t t >，则t的取值范围为（ ） A ．(]0,2B ．[]1,2C ．[]2,3D ．[]1,32．设直线l 与圆()()221:2536C x y ++-=交于A 、B 两点，若线段AB 的中点为()1,1M ，则圆()()222:341C x y -+-=上的点到直线l 的距离的最小值为（ ）A ．15B ．35C ．65D ．953．已知点P 为圆()()22121x y -+-=上动点，O 为坐标原点，则向量OP →在向量()2,1a →=方向上投影的最大值为（ ）A B 1 C 1 D 4．若,62ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则直线4cos 670x y α+-=的倾斜角的取值范围是（ ）A ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦5．直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是（ ）A ．bB ．11b -<≤或b =C ．11b -≤≤D ．1b <≤-6．设a ，b 分别表示直线l 在x 轴和y 轴上的截距，k 为l 的斜率，p 为原点到l 的距离，且0abpk ≠，则有（ ）A ．()22221a k p k =+ B ．b k a =C ．11p a b+=D ．a kp =-二、多选题7．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，点P 满足12PA PB =．设点P 的轨迹为C ，则（ ）． A ．轨迹C 的方程为()2249x y ++=B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得12PD PE=C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是APB ∠的角平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =8．点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（ ）A ．||PQ 的最小值为0B ．||PQ 的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为43-D ．两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --=9．已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（ ） A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y 轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离10．（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（ ）． A ．直线l 的斜率可以等于0B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =-三、双空题11．函数21y x x =-+________，其中x =________．四、填空题12．已知圆()()22:124C x y ++-=，则过点()1,3P 作圆C 的切线l 的方程为___________.13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.14．直线y x b =+与曲线||1x -=b 的取值范围是_______；15．直线(5)1y k x =-+与曲线3y =k 的取值范围是________；16．已知在ABC 中，()1,1A ，(()14B m m <<，()4,2C ，则当ABC 的面积S 最大时，m =______． 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22430x y y +-+=，若直线20x ty -+=上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 相切，则实数t 的取值范围为______．18．已知圆()22:116C x y ++=，过点()0,1P 的直线l 交圆C 于不同的两点，当圆上的点到直线l 的距离的最大值为6时，直线l 的方程为______．19．过圆22240x y y +--=与22420x y x y +-+=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程是_______．20．光线从点(3,5)B -出发射到x 轴上，经反射后过点(2,10)A ，则光线从点B 到点A 经过的路程为___________.五、解答题21．已知直线1:210l x y -+=和22:0x y l --=的交点为P ．（1）若直线l 经过点P 且与直线343:50x y l --=平行，求直线l 的方程；（2）若直线m 经过点P 且与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，求OAB 的面积（其中O 为坐标原点）．22．已知ABC 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M 所得的弦（1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC 面积的最小值.23．已知直线l 过点()0,4P ，并且点()1,3A 和点()3,5B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程． 24．已知圆C 过()0,0O ，()1,1A ，()4,2B ， （1）求圆C 的方程；（2）判断()3,2P 和圆C 的位置关系．25．如图所示，已知O 的方程为224x y +=，直线l 的方程为4x =，圆O 与x 轴的交点分别为A 、B ，P 是圆O 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别交直线l 于M 、N 两点.求证：当点P 变化时，以MN 为直径的圆必过圆O 内一定点.26．实数x ，y 滿足222410x y x y ++-+=， 求（1）4yx -的最大值和最小值； （2）2x y +的最大值和最小值.27．四条直线1:3150l x y +-=，2:60l kx y --=，3:50l x y +=，4:0l y =围成一个四边形，问k 取何值时，该四边形有一个外接圆，并求出外接圆的方程.28．（蝴蝶定理）过圆AB 弦的中点M ，任意作两弦CD 和EF ，CF 与ED 交弦AB 于P 、Q ，求证：PM QM =.29．判别方程222(410)10200x y kx k y k ++++++=（k 为参数，1k ≠-）表示何种曲线?找出通过定点的坐标.30．求过两圆22640x y x ++-=与226280x y y ++-=的交点的直线方程和圆心在直线40x y --=上的圆的方程.31．已知ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为210x y -+=，A ∠的角平分线所在的直线方程为0y =，点C 的坐标为()12，． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点C 作函数(0)k y x x=>的图像，在图像上是否存在一点P 使得PAB △面积最小，如果存在求此时点P 的坐标及PAB △面积最小值，若不存在说明理由.32．一圆经过点()2,4--，且与直线3260x y +-=相切于点()8,6，试求该圆的方程．33)x ∈R ．34．求以相交两圆221:410C x y x y ++++=及222:2210C x y x y ++++=的公共弦为直径的圆的方程；35．求函数y =.36．过圆222x y r +=内部一点(,)M a b 作动弦AB ，过A 、B 分别作圆的切线，设两条切线的交点为P .求证：点P 恒在一条定直线上的运动. 37．已知224x y +≤，且0x ≥，求41y x ++的最大值与最小值.38．关于x 2kx =+只有一个实根，求k 的取值范围.39．ABC 的边,AC AB 上的高所在直线的方程分别为2310,0x y x y -+=+=，顶点(1,2)A ，求BC 边所在直线的方程．40．已知C 经过点(2,0)A -，(0,2)B ，且圆心在直线y x =上.又直线l ：1y kx =+与C 相交于P ，Q 两点.（1）求C 的方程；（2）过点(0,1)作直线1l 与l 垂直，且直线1l 与C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值. 41．（1）已知实数z 、y 满足方程22(2)1x y ++=，求12y x --的最小值； （2）若实数x 、y 满足方程222410x y x y +--+=，求代数式2yx +的取值范围. 42．已知10条直线，11:0l x y c -+=，1c 22:0l x y c -+=， 33:0l x y c -+=，……1010:0l x y c -+=，其中1210c c c <<<．这10条直线中，每相邻两条直线之间的距离依次为2，3，4，…，10． （1）求实数10c 的值；（2）求100x y c -+=与x 轴、y 轴围成的图形的面积． 43．已知点()2,1P -.（1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.44．已知过坐标原点O 的一条直线与函数9log y x =的图象交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作y 轴的平行线与函数3log y x =的图象交于C ，D 两点． （1）证明：点C ，D ，O 在同一条直线上； （2）当直线BC 的斜率为0时，求点A 的坐标．45．已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆()()22:231C x y -+-=交于M ，N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求OMN 的面积．46．已知方程()()()222321620m m x m m y m m --++-+-=∈R ．（1）若方程表示一条直线，求实数m 的取值范围；（2）若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m 的值，并求出此时的直线方程； （3）若方程表示的直线在x 轴上的截距为3-，求实数m 的值； （4）若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m 的值．47．求函数()f x .48．已知两直线2212:224,:224(02)l ax y a l x a y a a -=-+=+<<与两坐标轴的正半轴围成四边形.当a 为何值时，围成的四边形面积取最小值，并求此最小值. 49．已知ABC 的三个顶点(4,0),(8,10),(0,6)A B C . （1）求过点A 且垂直于BC 的直线方程； （2）求过点B 且与点A ，C 距离相等的直线方程.50．求两平行直线1:30l kx y k --=与2:40l kx y -+=之间距离的最大值.【答案与解析】1．D 【解析】首先根据题意得到点P 在以AB 为直径的圆222:M x y t +=上（去掉,A B 两点）.又因为P在圆(()22:11C x y +-=上，且2CM =，所以得到121t t -≤≤+，再解不等式即可.因为点P 为Rt PAB 的直角顶点，且点(),0A t -，()(),00B t t >， 所以点P 在以AB 为直径的圆222:M x y t +=上（去掉,A B 两点）. 又因为P在圆(()22:11C x y +-=上，所以圆C 与圆M 有交点，因为2CM =，所以121t t -≤≤+，解得13t ≤≤. 故选：D 2．A 【解析】求出直线l 的方程，并求出圆2C 的圆心到直线l 的距离，结合圆的几何性质可得出结果. 圆1C 的圆心为()12,5C -，由垂径定理可知1C M l ⊥， 直线1C M 的斜率为1514213C M k -==---，所以，直线l 的斜率为34k =，故直线l 的方程为()3114y x -=-，即3410x y -+=， 圆2C 的圆心为()23,4C ，半径为1r =， 圆心2C 到直线l 的距离为65d =， 因此，圆()()222:341C x y -+-=上的点到直线l 的距离的最小值为61155d r -=-=. 故选：A. 3．B 【解析】设向量a →所在直线为OA （A 为向量的终点），当点P 位于与直线OA 垂直且与圆相切的直线上时，投影取得最值，进而求出最大值.如图所示，向量a →所在直线为OA （A 为向量的终点），则12OA k =，则设与直线OA 垂直且与圆相切的直线为:2l y x t =-+，所以圆心到直线的距离14d t =⇒=根据图形可知，当t =:2l y x =-+OA 交于B ， 易得，直线OA ：12y x =，联立：212y x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，解得：((21,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以(||1OB ==，则向量OP →在向量()2,1a →=方向上投影的最大值为1+. 故选：B. 4．B 【解析】求出直线4cos 670x y α+-=的斜率的取值范围，利用斜率与倾斜角的关系可出结果. 因为,62ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则cos α⎛∈ ⎝⎦， 所以，直线4cos 670x y α+-=的斜率为2cos 3k α⎡⎫=-∈⎪⎢⎪⎣⎭， 因此，直线4cos 670x y α+-=的倾斜角的取值范围是5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B. 5．B 【解析】首先根据题意得到曲线x y x b =+与曲线x =有且仅有一个公共点时b 的取值范围.将方程x ()2210x y x +=≥．当直线y x b =+与曲线221x y +=1=，即b ，解得b =由图可知，当b =11b -<≤时，直线y xb =+与曲线x = 故选：B. 6．A 【解析】根据题意，设出直线的截距式方程，进而求出斜率以及原点到直线的距离，最后得到答案. 由题意可得，直线的截距式方程为1x ya b+=，斜截式方程为y kxb =+，由点到直线的距离公式，得p =又1x y a b +=与y kx b =+表示同一条直线，所以b ak =-.将bak =-代入p =()222()1ak p k ⋅-=+，即()22221a k p k =+.故选：A. 7．BC 【解析】根据两点间的距离公式计算化简，逐一判断选项即可.A ：在平面直角坐标系xOy 中，()20A -，，()40B ，，点P 满足12PA PB =， 设()P x y ，12=，化简得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，所以A 错误；B ：假设在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得12PD PE=，设()0D m ，，()0E n ，化简得()2222338240x y m n x m n +--+-=，由轨迹C 的方程为2280x y x ++=，可得8224m n -=-，2240m n -=， 解得6m =-，12n =-或2m =-，4n =（舍去），所以B 正确； C ：当A ，B ，P 三点不共线时，12OA PAOBPB==， 可得射线PO 是APB ∠的角平分线，所以C 正确；D ：若在C 上存在点M ，使得2MO MA =，可设()M x y ，，，化简得221616033x y x +++=， 与2280x y x ++=联立，方程组无解，故不存在点M ，所以D 错误． 故选：BC ． 8．BC 【解析】求出圆心距12C C ，结合半径由圆的性质可得圆上两点的距离的最大值和最小值，判断AB ，得直线斜率，判断C ，根据两圆位置关系可判断D ．解：根据题意，圆221:1C x y +=，其圆心1(0,0)C ，半径1R =，圆222:68240C x y x y +-++=，即22(3)(4)1x y -++=，其圆心2(3,4)C -，半径1r =，圆心距12||5C C ==，则||PO 的最小值为123C C R r --=，最大值为127C C R r ++=，故A 错误，B 正确； 对于C ，圆心1(0,0)C ，圆心2(3,4)C -，则两个圆心所在的直线斜率404303k --==--，C 正确， 对于D ，两圆圆心距125C C =，有122C C R r >+=，两圆外离，不存在公共弦，D 错误． 故选：BC ． 9．BC 【解析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ；利用几何法求出弦长可判断B ；求出圆心A到直线的距离再减去半径可判断C ；求出圆B 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D ，进而可得正确选项.对于A ：由22230x y x +--=可得()2214x y -+=，所以A 的半径为2r ，故选项A 不正确； 对于B ：圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =，所以圆A 截y 轴所得的弦长为B 正确；对于C ：圆心()1,0到直线34120x y -+=3=，所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=，故选项C 正确；对于D ：由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=，所以圆心()4,4B ，半径3R =，因为5AB r R ==+，所以两圆相外切，故选项D 不正确；故选：BC.10．BD【解析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误.当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在，当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∵直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m ，∵1tan 60m =︒=1tan120m =︒=∵m =或m =B 选项正确； 直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误；当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在，当0m ≠时，令0x =，得1m y m -=，令0y =，得1x m =-， 令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确． 故选：BD ．11．9 2x =-或1x =【解析】将所求函数整理为2y =，设()2,P x x 是抛物线2y x 上的动点，()3,5-M，所求问题的几何意义是：点P 到直线10y x -+=的距离与到点M 计算点()3,5-M 到直线10y x -+=的距离即可求最小值，求出过点()3,5-M 与10y x -+=垂直的直线方程与2y x 联立可得x 的值.因为21y x x =-+所以2y ． 设()2,P x x 是抛物线2y x 上的动点，()3,5-M ，如图所示，设PQ ⊥直线1y x =-于Q PQ =PM ．所求问题的几何意义是：点P 到直线10y x -+=的距离与到点M 于是，当M 、P 、Q 三点共线时，PQ PM +取得最小值．此直线是过点M 且垂直于直线1y x =-的直线为()53y x -=-+即2y x =-．则PQ PM +的最小值就是点M 到直线1y x =-的距离．因为)21y x x PQ PM MQ =-++9==． 由22y x y x =-⎧⎨=⎩可得1x =或2x =-， 故最小值为9，且对应的2x =-或1x =．故答案为：9；2x =-或1x =.12．1x =或34150x y +-=【解析】本题考查求圆的切线方程，分斜率存在与不存在，利用由圆心到切线的距离等于半径，求解即得. 圆()()22:124C x y ++-=的圆心坐标()1,2C -，半径2r ,当切线l 的斜率不存在时，:1l x =，显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线； 当切线l 的斜率存在时，设斜率为k ，():31l y k x -=-，即：30kx y k --+=,2=，解得34k =-， 故切线的方程为34150x y +-=，故答案为：1x =或34150x y +-=易错点睛：本题考查求过点作圆的切线，关键是由首先验证斜率不存在时是否是圆的切线，考查学生的分类讨论思想，属于易错题.13．403k ≤≤【解析】求出圆C 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解. 由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=，因此圆C 的圆心为(4,0)C ，半径为1，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点， 只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=，即22(21)1k k -≤+，所以2340k k -≤，解得403k ≤≤， 所以k 的取值范围是403k ≤≤， 故答案为：403k ≤≤.14．1b =或1b -或32b <+【解析】化简曲线||1x -=.曲线||1x -=22(||1)(1)1x y -+-=表示两个半圆，当1x 时，22(1)(1)1x y -+-=；当1x -时，22(1)(1)1x y ++-=，如图所示，当直线在1l 时，b =2l 时，1b =；当直线在3l 时，2b =4l 时，1b =-；当直线在5l 时，3b =.由图象可知，当1b =或1b -或32b <+.∵b 的取值范围是1b =或1b -或32b <+故答案为：1b =或1b <-或32b <+15．205k -< 【解析】化简曲线3y =.由3y =222)(3)4(3)x y y -+-=≤（， 其图象是以(2,3)为圆心，2为半径的半圆，(5)1y k x =-+是过定点(5,1)A 的直线，作出图象，如图所示，其中0AC k =，25AD k =-，有两个不同的公共点时，k 的取值范围是205k -<. 故答案为：205k -< 16．94 【解析】表示三角形面积12S AC d =⋅，其中d 为点(B m 到直线AC 的距离，可得2131224S ⎫=-⎪⎭，利用二次函数的最值即得解因为()1,1A ，()4,2C ，所以AC ==且直线AC 的方程为()211141y x --=⨯--，即320x y -+=．又点(B m 到直线AC 的距离d =，所以211131222224S AC d m ⎫=⋅=-=-⎪⎭．因为14m <<，所以12<<，所以131222-<<，所以231024⎫≤<⎪⎭，所以2113242S ⎡⎤⎫=⨯-⎢⎥⎪⎭⎢⎥⎣⎦，当94m =时，S 最大． 故答案为：9417．(],0-∞【解析】首先由题意求出圆C 的圆心到直线20x ty -+=的距离范围，再通过点到直线的距离公式即可求解. 由于圆C 的标准方程为()2221x y +-=，则圆C 的圆心坐标为()0,2，半径为1．要使直线20x ty -+=上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 相切，则只需满足圆C 的圆心到直线20x ty -+=的距离2d ≥，即2d =≥，解得0t ≤．故答案为：(],0-∞．18．1y =【解析】由题知圆C 的圆心到直线l 的距离为2d =，进而分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可.由题意知，圆C 的圆心为()0,1C -，半径4r =，易知点()0,1P 在圆C 的内部．设圆C 的圆心到直线l 的距离为d ，则圆上的点到直线的距离的最大值为4d +，所以46d +=，可得2d =．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，所以2d ==，解得0k =，所以直线l 的方程为1y =；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，不满足题意．综上，直线l 的方程为1y =．故答案为：1y =19．22310x y x y +-+-=【解析】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，并求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线l 的方程，从而求出圆的方程.设圆的方程为()222242(1)240x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则()()()221412240x x y y λλλλ+-+++--=，即2242240111x y x y λλλλλ-+-+-=+++，所以圆心坐标为21,11λλλ-⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 把圆心坐标21,11λλλ-⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入2410x y +-=，可得13λ=，所以所求圆的方程为22310x y x y +-+-=．故答案为：22310x y x y +-+-=.20．【解析】利用入射光线上的一点关于x 轴的对称点一定在反射光线的反向延长线上的性质，即可求解. 易知点(3,5)B -关于x 轴的对称点为(3,5)B '--，设直线AB '交x 轴于P 点，则'||||PB PB =，又∵A 点坐标(2,10)，∵'||||||||PA PB PA PB AB '+=+===故光线从点B 到点A 经过的路程为故答案为：21．（1）4330x y --=；（2）30【解析】（1）先求出交点P 的坐标和直线的斜率，再用点斜式求直线的方程；（2）先求出A 、B 两点的坐标，再利用三角形的面积公式，求得OAB 的面积．解：（1）由21020x y x y -+=⎧⎨--=⎩， 解得：35x y =-⎧⎨=-⎩， 可得直线1:210l x y -+= 和22:0x y l --=的交点为()3,5P =--，由于直线l 3的斜率为43， 故过点P 且与直线343:50x y l --=平行的直线l 的方程为()4533y x +=⨯+， 即4330x y --=； （2）由题意知：直线m 的斜率存在且不为零，设直线m 的斜率为k ，则直线m 的方程为()53y k x +=+，由于直线m 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且()3,5P =--为线段AB 的中点，故：()53,0,0,35A B k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 53323552k k ⎧-⎪=-⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩， 解得53k =-， 故()()6,0,0,10A B -- ，故OAB 的面积为116103022OA OB ⨯⋅=⨯⨯=. 22．（1）22(1)1y x +-=；（2）2±（3）163. 【解析】（1）设ABC 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解；（3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.（1）设ABC 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d =， 又因为直线截圆M所以221+=⎝⎭， 解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离1d =，解得2k = （3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111AC t t k MAO t t-=∠==---， 同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BC t t k t t --+==+-- ，所以直线AC 的方程为：()221t y x t t =---， 直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ， 由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩， 即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭， 又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-， 当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83， 所以ABC 面积的最小值.18164233ABC S=⨯⨯=. 23．40x y -+=或4y =．【解析】 方法一：分点A 和点B 在直线l 的同侧和异侧两种情况求解；方法二：设直线l 的方程为()2200ax by c a b ++=+≠，再根据点到线的距离公式求解即可 方法一：当点A 和点B 在直线l 的同侧时，易得//AB l ． ∵53131AB k -==-，∵1l k =． 又知直线l 过点()0,4P ，∵直线l 的方程为()410y x -=⨯-，即40x y -+=．当点A 和点B 在直线l 的异侧，这时直线l 过AB 的中点()2,4．又因为直线l 过点()0,4P ，则直线l 的斜率为0，直线l 的方程为4y =． 综上所述，直线l 的方程为40x y -+=或4y =．方法二：设直线l 的方程为()2200ax by c a b ++=+≠． 由题设知，直线l 过点()0,4P ，并且点()1,3A 和点()3,5B 到直线l的距离相等，则40b c +=⎧=，于是可得3a b a b -=+． 从而可得3a b a b -=+或3a b a b -=--，解得a b =-或0a =．当a b =-时，4c b =-，0a ≠且0b ≠，此时直线方程为40x y -+=．当0a =时，0b ≠，此时直线方程为4y =．综上所述，直线l 的方程为40x y -+=或4y =．24．（1）()()224325x y -++=；（2）点()3,2P 在圆C 外． 【解析】（1）利用待定系数法求得圆C 的方程.（2）由()()2234232625-++=>判断出点P 与圆C 的位置关系.（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，因为圆C 过()0,0O ，()1,1A ，()4,2B ，则()()()()()()222222222001142a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得24325a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以所求圆C 的方程为()()224325x y -++=；（2）因为()()2234232625-++=>，所以点()3,2P 在圆C 外．25．证明见解析.【解析】设出直线PA 与PB 的方程，结合题意可求得,M N 的坐标，进而可求得以MN 为直径的圆C 的方程，再令0y =，可求出圆与x 轴的交点，即可求解由题意可知()2,0A -，()2,0B ，设直线l 与x 轴的交点为K ，设直线PA 的方程为()2y k x =+，则直线PB 的方程为()12y x k=--. 由题意可知()4,6M k 、24,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以MN 的中点坐标为14,3k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，123MN k k=+，所以以MN 为直径的圆的方程为：()22211433x y k k k k ⎛⎫⎛⎫-+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22182340x y x k y k ⎛⎫+---+= ⎪⎝⎭，令0y =，则2840x x -+=，解得4x =±点()4+在圆O 外部，点()4-在圆O 内部，所以以MN 为直径的圆C 必过O 内一定点()4-.26．（1）最大值为0，最小值为2021-；（2）最大值为- 【解析】先求出所给的圆的圆心和半径，（1）4yx - 表示圆上的点（x y ）与点A （4，0）连线的斜率 k ．设出过点A 的圆的切线方程，根据圆心C 到切线的距离等于半径，求得k 的值，可得k 的最大值和最小值． （2）将条件进行化简，转化为点和圆的位置关系进行求解即可. （1）4y x -表示圆上的点(),x y 与点()4,0A 连线的斜率， 设圆的切线斜率为k ，圆的切线方程为()04y k x -=-，即40kx y k --=，由2=0k =或2021-， 结合图形知，4yx -的最大值为0，最小值为2021-. （2）令2x y t +=，t 表示过圆上的点且斜率等于2-的直线在y 轴上的截距，当直线2x y t +=和圆相切时，有2=∵t =±故2x y +的最大值为-27．当47k =-时，该四边形有一个外接圆，外接圆方程为22151590x y x y +--=.【解析】设过该四边形4个顶点的二次曲线系方程为：(315)(5)(6)0x y x y kx y y λ+-++--⋅=，再根据二元二次方程表示圆的条件求得k 的值，进而再求出圆的方程.设过该四边形4个顶点的二次曲线系方程为：(315)(5)(6)0x y x y kx y y λ+-++--⋅=，即22(8)(15)15(756)0x k xy y x y λλλ+++--+--=，由151,80,k λλ-=⎧⎨+=⎩解得14,4.7k λ=⎧⎪⎨=-⎪⎩∴所求圆的方程为22151590x y x y +--=.28．证明见解析 【解析】建立平面直角坐标系，设出圆、直线CD 、直线EF 的方程.结合曲线系与AB 的交点,P Q 的横坐标所满足的方程的根与系数关系，证得M 是PD 的中点，由此证得PM QM =. 如图所示，以M 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设圆方程为 222()(||)x y b r b r +-=<设直线CD 、EF 的方程分别为1y k x =，2y k x =.将它们合并为()()120y k x y k x --=，于是过点C 、D 、E 、F 的曲线系方程为()()22212()0x y b r y k x y k x λ+--+--=.令0y =，得()2221210k k x b r λ++-=，即过点C 、D 、E 、F 的曲线系与AB 交于点P 、Q 的横坐标是方程()2221210k k x b r λ++-=的两根.由韦达定理得0P Q x x +=，即M 是PQ 的中点，故PM QM =.29．圆心在(,25)k k ---1|k +的圆；定点的坐标为(1,3)- 【解析】由题通过配方整理可得方程表示圆，将原方程整理为关于k 的方程可得定点. 将原方程整理得222()[(25)]5(1)0x k y k k ++++-+=，即222()[(25)]1)]x k y k k ++++=+，∴方程表示圆心在(,25)k k ---1|k +的圆，将原方程整理为关于k 的方程：221020(2410)0x y y k x y ++++++=，由2210200,24100x y y x y ⎧+++=⎨++=⎩解得1,3,x y =⎧⎨=-⎩ 即圆过定点(1,3)M -.30．直线方程为：40x y --=；圆的方程为：227320x y x y +-+-=. 【解析】首先写出过两圆交点的圆系方程，当1λ=-时，求出直线方程；通过对圆系方程化简整理，求出圆心，再结合已知条件即可求得圆的方程.由题意，过两圆交点的圆系方程为：()2222646280x y x x y y λ++-+++-=，令1λ=-，得40x y -+=， 故所求直线方程为：40x y -+=；对圆系方程化简整理得：22(1)(1)664280x y x y λλλλ+++++--=， ∵圆心的坐标为33,11λλλ-⎛⎫- ⎪++⎝⎭，而圆心在直线40x y --=上， 从而334011λλλ-+-=++，解得，7λ=- 代入圆系方程得，227320x y x y +-+-=. 故所求圆的方程为：227320x y x y +-+-=.31．（1）()10A -，，()56B -，；（2）存在,3，P .【解析】（1）由条件解方程组2100x y y -+=⎧⎨=⎩得出点A 坐标，得出BC 边上得高所在得直线方程，求出AB 得方程，由联立BC ，AB 的直线方程得出点B 的坐标.（2）由点C 作函数(0)ky x x =>的图像上求出k ，设2(,),P a aP 到AB l距离为d =1||2ABDA d SB =⨯⨯得出面积的表达式，从而求出答案. ()1因为点A 在BC 边上的高210x y -+=上，又在角A 的角平分线0y =上,所以解方程组2100x y y -+=⎧⎨=⎩得(1,0).A -BC 边上得高所在得直线方程为210,x y -+= 所以2BC k =- 1,1,AC AB AC k k k =∴=-=-所以AB 得方程为x+y+1=010240x y x y ++=⎧⎨+-=⎩得(5,6),B - 所以：()10A -，，()56B -，． (2)因为C 在曲线k y x =上. 22,2,1k k y x∴=∴=∴=2(,),(0),:10AB P a a l x y a>∴++=则P 到AB l距离为d2111122||||1|3|1|2222ABDa AB d a a Sa a ++=⨯⨯==⨯++=++202a a >∴+≥当且仅当22,a =即a =2211|1|1,a a a a++≥∴++≥3PABS∴≥，此时P．32．22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】设圆的圆心为C ，()()2,4,8,6A B --，:3260l x y +-=，由CB l ⊥，得到直线CB 的方程， 再求导线段AB 的垂直平分线方程，联立求得圆心即可.设圆的圆心为C ，()()2,4,8,6A B --，:3260l x y +-=，则CB l ⊥， 所以直线CB 的方程为：()638y x -=-，即3180x y --=， 又AB 的中点为()3,1，且64182AB k +==+， 所以线段AB 的垂直平分线方程为()13y x -=--，即40x y +-=， 由318040x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得11232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以圆的圆心为113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为r =所以圆的方程是22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 33．证明见解析【解析】=可知代数式的几何意义是抛物线2yx 上的点()2,M x x 到点()3,2A 、()0,1B 的距离之差，数形结合以及三点共线可求得MA MB -的最大值，即可证得结论成立.=2yx 上动点()2,M x x 与两定点()3,2A 、()0,1B 的距离之差，如下所示：左边MA MB AB -≤==当且仅当B 在线段AM 上时取等号． 34．226121055x y x y ++++=.【解析】先由两个圆的方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后设所求圆的方程为()2222412210x y x y x y x y λ+++++++++=，再由其圆心在公共弦上求解.两个圆的方程相减，得20x y -=，即为公共弦所在的直线方程.显然圆2C 的圆心(1,1)-不在此直线上.设所求圆的方程为()2222412210x y x y x y x y λ+++++++++=.即22(1)(1)2(2)(12)(1)0x y x y λλλλλ+++++++++=.其圆心M 的坐标为212,12(1)λλλλ⎛⎫++-- ⎪++⎝⎭，点M 在直线20x y -=上，2(2)12012(1)λλλλ++∴-+=++，解得72λ=-. 故所求圆的方程为22555360222x y x y -----=，即226121055x y x y ++++=.35 【解析】解法一：运用判别式法的前提是必须有一元二次方程，且该方程有实根，而此函数的定义域为R ，用判别式法求解是可以的.关键是把函数转化为一元二次方程，因此先将其中一个根式移项，然后两边平方，再将含有根式的项整理到方程的一边，再平方，进而整理成关于自变量x 的一元二次方程，方程有实根的充要条件是“0∆≥”，解关于y 的不等式即可求得其最小值. 解法二：根据解析式中蕴涵的几何意义，转化为求两点间的距离即可求解.解法一：函数y ==.y ∴又0y ，即2y >，对∵式两边平方，得222225413y x x x x --+=-+.整理，得2822y x -+=对∵式两边平方，得()()()2222228484425y x y x y x x -+-+=-+，再整理，得()()2224244123236640y x y x y y ----+-=.∵2440y ->，x 为实数，()()()22242123244436640y y y y ∴∆=----+-≥，化简并整理，得64228520y y y -+≥， 即()()()242222285202260yyy y y y -+≥⇔--≥，又2y >，226y ∴≥，y ≥当y =∵为21002801960x x -+=，即22570490x x -+=，解得75x =解法二：y =令(,0)P x ，(1,2)A ，()2,3B ，则||||y AP BP =+点A 关于x 轴的对称点为(1,2)A '-.则min ||||||||y AP BP AP BP A B '=+=+≥=（其中运用三角形两边之和大于第三边，当且仅当A '、P 、B 三点共线时取“等号”）. 36．证明见解析 【解析】先求出切线PA 、PB 的方程，得到直线AB 的方程，再证明点P 恒在定直线上.证明：设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，不妨将A 、B 、P 都视为定点（视动为静），先求直线AB的方程.切线PA 的方程为211x x y y r +=，切线PB 的方程为222x x y y r +=.∵P 点在切线上，∵21010x x y y r +=，22020x x y y r +=，这表明点A 、B 都在直线200x x y y r +=上，故直线AB 的方程为200x x y y r +=.又∵点M 在直线AB 上，∵200x a y b r +=.任意()00,P x y 都满足上式，故动点P 必在直线2ax by r +=上（换静为动）.37．最大值为6 【解析】不等式224x y +≤（0x ≥）表示半圆,41y x ++表示半圆域上的点(,)x y 与点(1,4)--连线的斜率，通过画出图象，结合图形来看，问题就迎刃而解.如图所示，不等式224x y +≤（0x ≥）表示半圆域. 设41y k x +=+，41y x ++表示半圆域上的点(,)x y 与点(1,4)--连线的斜率，当直线过点(0,2)时，有max461y x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，当直线在切线位置时，k 值最小，由点(0,0)2=，解得k =. 又因为0k >，所以k =所以min41y x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭ 38．0k =或1k >或1k <-. 【解析】先将问题转化为两函数y 2y kx =+的图像只有一个交点，再画出图像，利用函数2y kx =+是过定点(0,2)且绕定点(0,2)转动的直线， 数形结合即得参数范围.依题意，函数y 2y kx =+的图像只有一个交点.函数y 2为半径的上半圆，而2y kx =+是过定点(0,2)斜率k 在变化的直线，也就是说直线绕(0,2)点转动， 因为(0,2)点在半圆上，所以动直线不可能与半圆再有其他交点（如图所示）.∵当0k =或1k >或1k <-时，两图像只有一个交点. 所以k 的取值范围为0k =或1k >或1k <-. 39．2370x y ++=． 【解析】已知直线AC 、AB 的高线方程可以得到对应的AC 、AB 的直线方程，联立方程AC 与AB 边上的高线方程可得到C 点坐标，联立方程AB 与AC 边上的高线方程可得到B 点坐标，求出BC 的斜率，然后利用点斜式带入求出方程.因为AC 边上的高所在直线的方程为2310x y -+=，所以AC 边所在直线的斜率为32-．所以AC 边所在直线的方程为32(1)2y x -=--，即3270x y +-=．同理，AB 边所在直线的方程为10x y -+=． 由32700x y x y +-=⎧⎨+=⎩得顶点C 的坐标为(7,7)-．由10,2310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得顶点B 的坐标为(2,1)--．所以BC 边所在直线的斜率为1(7)2273---=---．所以BC 边所在直线的方程为21(2)3y x +=-+，即2370x y ++=．40．（1）224x y +=；（2）7. 【解析】（1）由AB 的中垂线及圆心所在直线得圆心坐标，得半径，从而得圆方程；（2）用斜率k 的式子表示弦PQ 的长度，同理可得弦MN 的长度，也可用含k 的式子表示，结合图形特征得到函数()S f k =，运用不等式知识求其最大值.解：（1）由题设知QC 的圆心既在AB 的中垂线上，又在直线y x =上，易得圆心为原点，半径为2.∵C ：224x y +=.（2）设四边形PMQN 的面积为S ，当直线l 的斜率0k =时， 则1l的斜率不存在，此时142S =⋅=当直线l 的斜率0k ≠时，设1l ：11y x k=-+. 联立2214y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得()221230k x kx ++-=.所以有()22122122441(3)02131k k k x x k x x k ⎧∆=-+->⎪⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩.同理可得21MN k=+.211221S PQ MN k =⋅=+== 因为22212224k k k +++=，所以172122742S +=⨯=. 当且仅当1k =±时等号成立，所以S 的最大值为7. 41．（1）0；（2）120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）转换为圆上动点与圆外一定点连线的斜率问题.通过数形结合求解即可；（2）转换为圆上动点与圆外一定点连线的斜率问题.通过数形结合求解即可. 解：（1）设12y k x -=-，则y -1=kx -2k ，y =kx -2k +1. 设(2,21)a x kx k =+-+，(,1)b k =-，则222222222()(221)1(2)(2)(21)||1||a b kx k kx k x y x kx k a k b ⋅+-+-=++=++-+==+ 22(41)1k k -=+，故22(41)1k k -+，(158)0k k -，解得8015k . 则12y k x -=-的最小值是0. （2）设2yk x =+，则2y kx k =+，∵ ∵方程222410x y x y +--+=可化为22(1)(2)4x y -+-=， 故可将∵式写成32(1)1(2)k k x y -=-⋅-+⋅-， 构造向量(1,2)m x y =--，(,1)n k =-，则||(1)2m x =-=，2||1n k =+32m n k ⋅=-. 由222()||||m n m n ⋅⋅，得()22(32)41k k -+，解得1205k， 故所求2y x +的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 42．（1）10c =；（2） 3025． 【解析】（1）先计算出O 到直线1l 的距离1d ，然后根据规律可计算出O 到直线10l 的距离10d ，结合点到直线。
2023-2024学年四川省泸州市高中数学人教A版选修一直线和圆的方程章节测试-8-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年四川省泸州市高中数学人教A 版选修一直线和圆的方程章节测试(8)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）（﹣2，3），4（﹣2，3），16（2，﹣3），4（4，﹣6），161. 圆x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3=0的圆心和半径分别为（ ）A.B. C. D. 至多为12102. 若直线mx- ny = 4与⊙O ： x 2+y 2= 4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆的交点个数是 （）A. B. C. D. 平面上任一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程 （A ，B 不同时为0）表示当 时，方程（A ，B 不同时为0）表示的直线过原点当 时，方程 表示的直线与x 轴平行任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化3. 下列说法中不正确的是（ ）A. B. C. D. (1，4)以上都不是4. 一次函数与 图象交点组成的集合（ ）A. B. C. D. 323或﹣12或﹣15. 已知点（3，m ）到直线x+y ﹣4=0的距离等于，则m=（ ）A. B. C. D.x ﹣y+1=0或3x ﹣2y=0x ﹣y+1=0x+y ﹣5=0或3x ﹣2y=0x+y ﹣5=06. 过点P （2，3），并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ）A. B. C. D. 7. 阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为 ，动点 满足 ，当不共线时， 面积的最大值是（ ）A. B. C. D. 8. 若直线的参数方程为 （ 为参数），则直线的斜率为（ ）A. B. C. D.9. 已知函数 ，过点 的直线 与 的图象有三个不同的交点，则直线 斜率的取值范围为（ ）A. B. C. D.10. 若点为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）A. B. C. D.145611. 已知直线l 的方程为3x+4y ﹣25=0，则圆x 2+y 2=1上的点到直线l 的最大距距离是（ ）A. B. C. D. 12. 若为圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. B. C. D.13. 在平面直角坐标系 中，已知圆 ，圆 ．直线 与圆 相切，且与圆 相交于 ， 两点，则弦的长为 14. 已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为 ， 直线交于 ， 两点， ， 若的面积为2，则实数的值为 .15. 已知一束光线通过点，经直线 ： 反射，如果反射光线通过点 ，则反射光线所在直线的方程是 .16. 已知圆C 的圆心在直线上，点（3，0）与（1，－2）都在圆C 上，则圆C 的面积为 ．阅卷人三、解答题（共6题，共70分）得分17. 过斜率为的直线交抛物线于，两点.(1) 若点是的中点，求直线的方程；(2) 设是抛物线上的定点，，不与点重合.①证明恒成立；②设，交直线于，两点，求的取值范围.18. 已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．(1) 求直线l的方程；(2) 求直线l关于原点O对称的直线方程．19. 已知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，P点坐标为（2，3），求：(1) 过P点的圆的切线长．(2) 过P点的圆的切线方程．20. 已知圆，直线的斜率为2，且过点．(1) 判断与的位置关系；(2) 若圆，求圆与圆的公共弦长．21. 已知直线与圆相交于、两点，且满足．(1) 求圆的方程．(2) 若，，为轴上两点，点在圆上，过作与垂直的直线与圆交于另一点，连，求四边形的面积的取值范围．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)第 11 页 共 11 页。
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直线与圆测试（人教A版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.已知圆，若直线过点且被圆截得的线段长为，则的方程为( )
A. B.
C.或
D.或
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与圆相交的性质
2.直线被圆所截得的弦长等于圆的半径，则实数的值是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与圆相交的性质
3.若圆上有三个不同的点到直线的距离为
，则直线的斜率是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与圆相交的性质
4.若圆和圆相交，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：两圆相交的性质
5.已知，若圆和圆
只有一条公切线（注：公切线是两个圆公共的切线），
则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆与圆的位置关系及其判定
6.圆经过点，且与圆相切于，则圆
的圆心坐标为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆与圆的位置关系及其判定
7.若圆始终平分圆的周长，则
满足的关系是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆与圆的位置关系及其判定
8.若方程无实数解，则实数的取值范围是( )
A. B.(-1，2)
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线和圆的方程的应用
9.过点作圆的弦，其中弦长为整数的条数
为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线和圆的方程的应用
10.已知圆，圆，分别是圆
、的动点，为轴上的动点，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线和圆的方程的应用。