2015高中数学2.3幂函数课时跟踪检测新人教A版必修1

幂函数
一、选择题
1.如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m
和
y ＝x n
在第一象限内的图象，则下列结论正确的是
( )
A ．n <m <0
B ．m <n <0
C ．n >m >0
D ．m >n >0
2．下列幂函数中，定义域为R 且为偶函数的个数为( )
①y ＝x －2
；②y ＝x ；③y ＝x 13；④y ＝x 23
. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．设α∈{－2，－1，－12，13，1
2，1,2,3}，
则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 4．函数y ＝x 53
的图象大致是(
)
5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1234，b ＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫1534，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121
2，则( )
A ．a <b <c
B ．c <a <b
C ．b <c <a
D ．b <a <c 二、填空题
6．函数y ＝(m －1)x m 2
－m
为幂函数，则该函数为
________(填序号)．
①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数． 7．已知幂函数f (x )＝x α
的部分对应值如下表：
则不等式f (|x |)≤2的解集是________．
8．为了保证信息的安全传输，有一种为秘密密钥密码系统，其加
密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y ＝
x α(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文
“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的
明文是________．
三、解答题
9．点(2，2)与点⎝
⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：
①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．
10．已知幂函数f (x )＝x
223
m m －＋＋ (m ∈Z )为
偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
(1)求函数f (x )的解析式；
答 案 课时跟踪检测(二十)
1．选A 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m <0，n <0.
2．选A 易知②③中的函数是奇函数，①中函数是偶函数，但其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；④中函数符合条件．故选A.
3．选A ∵f (x )＝x α
为奇函数，∴α＝－1，1
3
，
1,3.
又∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴α＝－1.
4．选B 由于5
3>1，故可排除选项A ，D.根据
幂函数的性质可知，当α>1时，幂函数的图象在第一象限内下凸，故排除选项C ，只有选项B 正确．
5．选D 构造幂函数y ＝x 3
4
(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递增，知a >b ；构造指数函数y
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，由该函数在定义域内单调递减，所以a <c ，故c >a >b .
6．解析：由y ＝(m －1)x
m 2
－m 为幂函数，得m －
1＝1，即m ＝2，则该函数为y ＝x 2
，故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．
答案：②
7．解析：由表中数据知22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝1
2，
∴f (x )＝x 12，∴|x |12
≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4.
答案：{x |－4≤x ≤4}
8．解析：由题目可知加密密钥y ＝x α
(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意得2＝4α
，解得α＝1
2，则y ＝x 1
2.由x 1
2＝3，得x ＝9.
答案：9
9．解：设f (x )＝x α
，g (x )＝x β
. ∵(2)α＝2，(－2)β
＝－12，
∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2
，g (x )＝x －1.
分别作出它们的图象，如图所示．
由图象知，当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，
f (x )>
g (x )；
当x ＝1时，f (x )＝g (x )； 当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．
10．解：(1)∵f (x )在区间(0，＋∞)上是单调
增函数，
∴－m 2
＋2m ＋3>0，即m 2
－2m －3<0，依据函数
y ＝m 2－2m －3的图象，解得－1<m <3.
又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2，而当m ＝0,2时，f (x )＝x 3
不是偶函数；当m ＝1时，f (x )＝x 4
是偶函数．
故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 4
.
(2)由(1)知f (x )＝x 4
，则g (x )＝x 2＋2x ＋c ＝(x ＋1)2
＋(c －1)．
∵g (x )>2对任意的x ∈R 恒成立，
∴g (x )min >2，且x ∈R .
又g (x )min ＝g (－1)＝c －1，∴c －1>2，解得
c >3.
故实数c 的取值范围是(3，＋∞)．
(2)设函数g (x )＝f
x ＋2x ＋c ，若g (x )>2
对任意的x ∈R 恒成立，求实数c 的取值范围．。