多元函数的概念

分别是二元和三元的初等函数 。
初等函数
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下课 高素质人才！
第一节 多元函数的概念
1. 空间Rn 中邻域的定义
2. 聚点、开集、闭集、有界集
请点击
3.区域 4. 多元函数及其图形
第一节多元函数概念
回忆一维空间中点的邻域概念
点 x0 的 邻域 U( x0 , ) ：
{x | | x x0 | }
x0
(
.
x0
x0
)
U( x0 , ) {x | d( x, x0 ) }
·
内点、外点、边界点
集合的聚点
设有集合E，若 0，
ˆ (X0, ) E U
则称点 X 0 为集合 E 的一个聚点 。
聚点
E

聚点
例
集合 E {( x, y ) | 0 x 2 y 2 1} 的内点、 圆周 x 2 y 2 1 上的点、以及点(0, 0) 都是 E 的聚点。
其中， x 0, y 0, z 0。
例
一元函数
y f ( x)
X
y
.
f
I
.R
f
二元函数 矩形的面积 z x, y S = fx(× y) o 三元函数 长方体体积 z x f× ( x,yy , z) Vu= × z
X D
x
.
X
.R
.
o

y
f
.R
多元函数图示
x
R
n

.
f
X
.u
u f ( X ) f ( x1 , x2 ,, xn ) 称为函数 f 在点 X 处的函数值， f () 称为函
数的值域。记为 R ( f )。
自变量
D( f ) , X ( x1 , x2 , , xn ) 。
多元函数定义
多元函数的表示方法
解析法
表格法
图形法
多元函数表示法
它表示为三维空间R 3 中的几何图形( 曲面、曲线等 )。
前面学过的一些二次曲面就是
相应的一些二元函数的图形。
多元函数的图形
n 元函数 u f ( x1 , x2 ,, xn ) , ( x1 , x2 ,, xn ) 的图形为集合
{( x1 , x2 , , xn ) | u f ( x1 , x2 , , xn ) , ( x1 , x2 , , xn ) } 。
z f (u , v , w)
u
z
u x y
x
y
v w
v xy
w x y
例
与一元函数中的情形类似
多元函数也有隐函数
定义
如果方程 F ( x, y, z ) 0 能确定 z 为 x, y 的函数：
z f ( x, y) ,
则称之为由方程 F ( x, y, z ) 0 所确定的隐函数。
有界集
若 r 0, 使 E U(O, r ), 则称 E 为
R n 中的有界集 , 否则 , 称为无界集 .
y
E U(O, r )
R 2 中的有界集
E E
O
r
x
有界集
y
E
O
a
b
x
无界集
E {( x, y) | a x b , y }
无界性示意图
集合的连通性
. ..
O
y
聚点可能属于集合 E , 也可能不属于集合 E 。 1 x
例
集合的孤立点
ˆ ( X 0 ) ，其内不含集合 若点 X 0 E ，但存在 U
E 的点, 则称 X 0 为集合 E 的孤立点 。
孤立点是否为集合的边界点？ 集合的孤立点一定是集合的边界点.
集合的孤立点
例
1 集合 E＝ {( x, y) | x y , n N } n
三元及三元以上的函数 不能画出几何图形。
求多元函数定义域举例
求定义域举例
z
二元函数 z f ( x , y) 的图形在 xy
.
z f ( x , y)
平面上的投影即为函数的定义域。
O x
.
y
D
定义域图示
例
求下列函数的定义域:
x2 3y2 z x y
与一元函数的情形进行比较
想想，该怎么求？
隐函数的定义
例
方程 x 2 y 2 z 2 r 2 确定函数
z
和
r 2 x2 y 2
z r 2 x2 y 2
下半球面
上半球面
例
多元函数的初等函数概念与一元函数的情形类似。
如
z e x y ln(1 x2 y 2 )
u 1 (x2 y2 z 2 )
例
解
由分母不能为零可知， 该函数的定义域为 xy 平面上
除 y x 以外的所有点：
{( x, y ) | ( x, y ) R 2 且 x y }
y
yx
O
x

例
求函数的定义域:
f ( x, y ) ln( y x) x 1 x2 y2
与一元函数的情形进行比较
想想:二维、三维空间中点的邻域是什么样子 ?
1.空间Rn中邻域的定义
在 R 2 中： U( X 0 , ) {( x, y) |
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 }
y
.
O
X 0 ( x0 , y0 )
开圆盘
x
在 R3 中： U( X 0 , ) {( x, y, z ) | ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 }
在圆周 x 2 y 2 a 2 上各点的值。
解
z
x 2 y 2 a 2
(想一想 x2 y 2 )2 1 1 (x2 y2 )
x2 y 2 a 2
a4 1 。 2 1 a
想一想
例
与一元函数中的情形类似 多元函数也有复合函数
复合函数
例
z f ( x y , xy , x y) ( x2 Fra Baidu bibliotek y 2 ) xy
的所有点均为 E 孤立点。
y
1 2
O
. ( , ) . . . ..
1 2
.
(1,1)
但点 (0, 0) 为其聚点
x
例
开集、闭集
若集合E 中的每一点均为它的内 点，
则称集合E 为 Rn 中的开集。
由内点构成的集合！
若集合E 包含了它的所有聚点 ，
则称集合E 为 Rn 中的闭集。
喂！是所有聚点哦！
开集、闭集
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学 （三 ）
—— 多元微积分学
第一讲 多元函数的基本概念
主讲教师：彭亚新
脚本编写：彭亚新
课件制作：彭亚新
第一章 多元函数微分学 第一节 多元函数的概念
本节教学要求： 正确理解集合的连通性的概念。


正确理解开区域、闭区域、区域边界的概念。
正确理解区域的有界性概念。 正确理解 n 维空间中点的邻域的概念。 正确理解集合的聚点的概念。 正确理解多元函数及其图形的概念。
R
n

.
f
X
.u
R
uR
X ( x1, x2 ,, xn ) R
n
u f ( X ) f ( x1 ,, xn )
多元函数的图形
二元函数 z f ( x, y ) , ( x, y ) D 的图形为集合
{( x, y, z) | z f ( x, y) , ( x, y) D } ,
ˆ ( X 0 , ) {( x, y) | 0 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 } 在 R 2 中： U ˆ ( X 0 , ) {( x, y, z ) | 0 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 } 在 R3 中： U
例
解
由对数函数知识、
分母不能为零、 负数不能开偶次方， 得
y

yx
1 x2 y2 0 x0
故原函数的定义域为
yx0
O
1
x
{( x, y ) | y x 0, x 0, 1 x 2 y 2 0 }
例
x4 2x2 y 2 y 4 1 设z , 求函数 2 2 1 x y
若 E 中的任意两点均可用完 全位于E内的
折线连接起来 , 则称 E 为 R n 中的连通集 .
否则, 称 E 为不连通的 .
连通集
分为
单连通集 复连通集
集合的连通性
集合的连通性示意图
.E .
单连通
.
E
E
.
.
.
复连通
不连通
连通性示意图
例
判别下列集合的有界性、连通性及开闭:
E1 {( x, y ) | x 2 y 2 4 }
z
.
x O
X 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
开球体
y
去心邻域的概念也可搬过来。
空间Rn 中去心邻域的定义
设 X 0 R n ( n 2, 3, )， 0 为实数，则称集合
U( X 0 , ) { X | 0 d( X , X 0 ) }
ˆ ( X 0 , ) 。 为 R n 中点 X 0 的 去心邻域，记为 U
区域与其全部边界点的并集, 称为闭区域.
记为


闭区域
4. 多元函数及其图形
多元函数及其图形
例
长方体体积 V 依赖于其长度 x ，宽度 y 及高 z ：
V xyz
这里 x , y , z 各自独立变化，所以 V 是“自变量” x、y、z 的 函数。它是一个三元函数：
V f ( x, y, z) x y z
去心邻域概念
2. 聚点、开集、闭集、有界集
集合的内点、外点、边界点。 集合的聚点
请点击
集合的孤立点 开集、闭集 有界集 集合的连通性
2.聚点、开集、有界集
集合的内点、外点、边界点
边界点
U( X 0 ) E
U( X 0 )
其内既有 E 的点也有不 属于E 的点
·
内点
外点
E
·
U( X 0 ) E
R
uR
X ( x1, x2 ,, xn ) R
n
u f ( X ) f ( x1 ,, xn )
定义：
设非空集 Rn。若映射
f : R
则称 f 为 上的 n 元函数，记为 u f ( x1 , x2 , , xn )
点函数
称为函数的定义域，记 为 D( f ) 。
利用“点”、“距离” 将邻域概念推广到高维空 间
1. 空间R 中邻域的定义
设 X 0 R n ( n 2, 3, )， 0 为实数，则称集合
U( X 0 , ) { X | d( X , X 0 ) }
n
为 R n 中点 X 0 的 邻域，记为 U( X 0 , ) 。
对空集的规定
3. 区域
若非空集 R n 为一连通开集 , 则称
为 Rn 中的区域.
区域是连通开集.
开的
区域 的内点及边界点都是它的聚点.
注意：集合的聚点 不一定属于集合.
的所有边界点构成的集 合 称为 的边界，记为 。
区域的边界
区域的边界





区域的边界图示
利用“点”、“距离” 将邻域概念推广到高维空 间
回忆一维空间中点的邻域概念
点X x00 的 邻域 U( x , ) ： X 00
{x | | x x0 | }
x0
(
.
x0
x0
)
U( x , ) {X x | | d( ,x ) 0 X00 d(x X ,0 X ) } | X X0 |
是有界 连通
开集
E2 {( x , y ) x 2 y 2 1 }
是无界 连通
闭集
E3 {( x , y , z ) | 4 x 2 y 2 z 2 16}
是有界 连通 非开非闭集
例
空间 R n 中, 空集 与全集 R n 是开集还是闭集 ?
规定 : 空间中的空集与全集既是开集又是闭集.