2015-2016年广东省东莞市南开实验学校高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)

2015-2016学年广东省东莞市南开实验学校高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（在每个小题提供的四个选项中，有且仅有一个正确答案．每题5分，满分60分）1．（5分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．7 D．52．（5分）下列命题中正确的是（）A．若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列B．若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列C．若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列D．若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列3．（5分）若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则=（）A．4 B．3 C．2 D．14．（5分）若命题“￢p”与命题“p∨q”都是真命题，那么（）A．命题p与命题q的真值相同B．命题p一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题q一定是真命题5．（5分）过点（﹣3，2）且与=1有相同焦点的椭圆的方程是（）A．=1 B．=1C．=1 D．=16．（5分）下列函数中，最小值为2的是（）A．B．C．y=e x+2e﹣x D．y=log2x+2log x27．（5分）在△ABC中，“A＞60°”是“sinA＞”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b的值为（）A．﹣10 B．﹣14 C．10 D．149．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为（）A．B．C．﹣1 D．﹣110．（5分）直线y=kx+1的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是（）A．k＜0 B．k＜﹣1 C．k＜1 D．k＞﹣211．（5分）已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）A．1 B．C．D．12．（5分）给出平面区域如图所示，若使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（）A．B．C．4 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）命题“x∈R，x≤1或x2＞4”的否定是．14．（5分）不等式＜1的解集为．15．（5分）椭圆+y2=1上的点P与点Q（0，﹣2）的距离的最大值为．16．（5分）在△ABC中，∠C=60°，BC＞1，AC=AB+，则AC的最小值是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共70分）. 17．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．18．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．19．（12分）某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少，能使利润总额最大？20．（12分）在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n，再令a n=lgT n，n≥1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=tana n•tana n+1，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）已知中心是原点、焦点在y轴上的椭圆C长轴长为4，且椭圆C过点P（1，），（1）求此椭圆的方程；（2）过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交椭圆C于A、B两点．求直线AB的斜率．22．（12分）已知曲线C：xy=1，过C上一点A n（x n，y n）作一斜率为的直线交曲线C于另一点A n+1（x n+1，y n+1），点列A n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{x n}，其中．（1）求x n与x n+1的关系式；（2）求证：{}是等比数列；（3）求证：（﹣1）x1+（﹣1）2x2+（﹣1）3x3+…+（﹣1）n x n＜1（n∈N，n≥1）．2015-2016学年广东省东莞市南开实验学校高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（在每个小题提供的四个选项中，有且仅有一个正确答案．每题5分，满分60分）1．（5分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．7 D．5【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于2a得：2a=3+d⇒d=2a ﹣3=7．故选：C．2．（5分）下列命题中正确的是（）A．若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列B．若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列C．若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列D．若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列【解答】解：对于A，a=b=c=0，结论不成立；对于B，a=﹣1，b=1，c=﹣1，结论不成立；对于C，若a，b，c是等差数列，则2b=a+c，所以2a，2b，2c是等比数列，成立；对于D，a=﹣1，b=1，c=﹣1，则2a，2b，2c是等差数列不成立．故选：C．3．（5分）若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则=（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：由题意可知，，∴===．故选：C．4．（5分）若命题“￢p”与命题“p∨q”都是真命题，那么（）A．命题p与命题q的真值相同B．命题p一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题q一定是真命题【解答】解：命题￢p是真命题，则p是假命题．又命题pvq 是真命题，所以必有q是真命题．故选：D．5．（5分）过点（﹣3，2）且与=1有相同焦点的椭圆的方程是（）A．=1 B．=1C．=1 D．=1【解答】解：由题意=1的焦点坐标（），所以2a==2，所以a=．所以b2=15﹣5=10所以所求椭圆的方程为：=1．故选：A．6．（5分）下列函数中，最小值为2的是（）A．B．C．y=e x+2e﹣x D．y=log2x+2log x2【解答】解：A：由可得：当x＜0时不能运用基本不等式，所以A错误．B：≥2，当且仅当sinx=时取等号，由三角函数的性质可得sinx=不成立，所以B错误．C：因为e x＞0，所以y=e x+2e﹣x=≥2，当且仅当e x=时取等号，此函数满足：一正，二定，三相等，所以C正确．D：由y=log 2x+2log x2可得：当log2x＜0时不能运用基本不等式，所以D错误．故选：C．7．（5分）在△ABC中，“A＞60°”是“sinA＞”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：在△ABC中，若sinA＞，则60°＜A＜120°，即A＞60°成立，当A=150°时，满足A＞60°但sinA=，则sinA＞不成立，故“A＞60°”是“sinA＞”的必要不充分条件，故选：B．8．（5分）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b的值为（）A．﹣10 B．﹣14 C．10 D．14【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣，）∴﹣，为方程ax2+bx+2=0的两个根∴根据韦达定理：﹣+=﹣①﹣×=②由①②解得：∴a+b=﹣14故选：B．9．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为（）A．B．C．﹣1 D．﹣1【解答】解：由已知可得：椭圆+=1与直线y=2x交于（c，2c）点，即+=1，即+=1，即a4﹣6a2c2+c4=0，即1﹣6e2+e4=0，解得：e2=3﹣2，或e2=3+2（舍去），∴e=﹣1，或e=1﹣（舍去），故选：D．10．（5分）直线y=kx+1的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是（）A．k＜0 B．k＜﹣1 C．k＜1 D．k＞﹣2【解答】解：由题意，y=kx+1的倾斜角为钝角故k＜0考察四个选项，A是充要条件，B是其充分条件，C是其必要不充分条件，D是它的即不充分也不必要条件故选：C．11．（5分）已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）A．1 B．C．D．【解答】解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=．∴|m﹣n|=．故选：C．12．（5分）给出平面区域如图所示，若使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（）A．B．C．4 D．【解答】解：由题意，最优解应在线段AC上取到，故ax+y=0应与直线AC平行∵k AC==﹣，∴﹣a=﹣，∴a=，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）命题“x∈R，x≤1或x2＞4”的否定是∀x∈R，x＞1且x2≤4．【解答】解：析已知命题为存在性命题，故其否定应是全称命题、答案∀x∈R，x＞1且x2≤414．（5分）不等式＜1的解集为{x|x＜2或x＞} ．【解答】解：∵＜1，∴﹣1=＜0，∴或，解得x＜2或x＞，∴不等式＜1的解集为{x|x＜2或x＞}．故答案为：{x|x＜2或x＞}．15．（5分）椭圆+y2=1上的点P与点Q（0，﹣2）的距离的最大值为．【解答】解：由椭圆+y2=1，设点P（2cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π）），则|PQ|===≤=．∴点P与点Q（0，﹣2）的距离的最大值为．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，∠C=60°，BC＞1，AC=AB+，则AC的最小值是+2．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得cosC==，即AC2=AC•BC+AB2﹣BC2．把AC=AB+，代入上式化简可得AC2=AC•BC+﹣BC2，即AC===1+BC+=（1﹣BC）++2≥2+2=+2，当且仅当1﹣BC=时，等号成立，故答案为：+2．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共70分）. 17．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．【解答】解：（Ⅰ）由，由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC．于是=．（6分）（Ⅱ）由．由余弦定理：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，又b2=ac=2，cosB=，得a2+c2=b2+2ac•cosB=2+4×=5，则（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，解得：a+c=3．（12分）18．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[﹣，]都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．19．（12分）某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少，能使利润总额最大？【解答】解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，则目标函数为z=600x+900y．作出以上不等式组所表示的平面区域（如图），即可行域．作直线l：600x+900y=0，即直线l：2x+3y=0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+900y取最大值．解方程组，解得M的坐标为（）因此，当x=，y=时，z取得最大值．此时zmax=600×+900×=130000．答：应生产甲种棉纱吨，乙种棉纱吨，能使利润总额达到最大，最大利润总额为13万元．20．（12分）在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n，再令a n=lgT n，n≥1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=tana n•tana n+1，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（I）∵在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，又∵这n+2个数的乘积计作T n，∴T n=10n+2又∵a n=lgT n，∴a n=lg10n+2=n+2，n≥1．（II）∵b n=tana n•tana n+1=tan（n+2）•tan（n+3）=，∴S n=b1+b2+…+b n=[]+[]+…+[]=21．（12分）已知中心是原点、焦点在y轴上的椭圆C长轴长为4，且椭圆C过点P（1，），（1）求此椭圆的方程；（2）过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交椭圆C于A、B两点．求直线AB的斜率．【解答】解：（1）由题意设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），可得，解得a=2，b2=2=c2．设此椭圆的方程为：．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设PA的方程为y﹣=k（x﹣1），代入椭圆方程化简得：（k2+2）x2﹣2k x+﹣2=0，显然1与x1是这个方程的两解，∴x1=，y1=，用﹣k代替x1，y1中的k，得x2=，．∴=．22．（12分）已知曲线C：xy=1，过C上一点A n（x n，y n）作一斜率为的直线交曲线C于另一点A n+1（x n+1，y n+1），点列A n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{x n}，其中．（1）求x n与x n+1的关系式；（2）求证：{}是等比数列；（3）求证：（﹣1）x1+（﹣1）2x2+（﹣1）3x3+…+（﹣1）n x n＜1（n∈N，n≥1）．【解答】解：（1）过C：上一点A n（x n，y n）作斜率为k n的直线交C于另一点A n+1，则，于是有：x n x n+1=x n+2即：．（2）记，则，因为，因此数列{}是等比数列．（3）由（2）知：，．①当n为偶数时有：（﹣1）n﹣1x n﹣1+（﹣1）n x n==，于是在n为偶数时有：．1在n为奇数时，前n﹣1项为偶数项，于是有：（﹣1）x1+（﹣1）2x2++（﹣1）n﹣1x n﹣1+（﹣1）n x．n综合①②可知原不等式得证．。