江苏省高三数学专题复习专题二三角函数与平面向量过关提升文

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高考数学二轮复习专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质理-

专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。

高考数学大一轮专题复习专题二三角函数与平面向量配套课件文

则cos∠MNP＝|NN→→MM|··N|→N→PP|＝
Hale Waihona Puke －6 5×25＝－35.
由∠MNP∈[0，π]，得sin∠MNP＝ 1－cos2∠MNP＝45.
2 值；最后由点M在图象上求得φ的值，进而得到函数的解析式；先由x的范围，求得2x＋ π 的范围，把ωx＋φ看作一个整
6 体，再求得fx的值域.
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【互动(hù dònɡ)探究】
2．(2012年湖北八校联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π2，x∈R图象的一部分如图2-1.
第七页，共36页。
题型 2 三角变换与三角函数(sānjiǎhánshù)性质的整合例2：(2012年陕西西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)， x∈R 其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M23π，－2. (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈1π2，π2时，求f(x)的值域．
对广东的试题而言，2008 年、2009 年、2010 年、2011 年、 2012 年、2013 年连续六年都是考查三角变换及三角函数求值．这个数据足以说明广东对该题型的情有独钟，但绝对不能因此
还有两个现象也应该引起(yǐnqǐ)我们备考时注意：①三角函数与而放松对整章知识系统而全面地复习．平面向量的综合，是近几年全国各地高考试题中的一种重要题型，已成为热点．而广东高考仅在 2007 年、2009 年在三角函
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题型 1 三角变换(biànhuàn)与求值的整合
例1：(2012年广东)已知函数f(x)＝Acos4x＋π6

创新设计(江苏专用)高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题二三角函数与平面向量第3讲平面向

专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习文一、填空题1.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝________.解析由|a ＋b |＝10得|a ＋b |2＝10，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，①又|a －b |＝6，所以a 2－2a ·b ＋b 2＝6，②由①－②得4a ·b ＝4，则a ·b ＝1.答案 12.(2015·北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝__________；y ＝__________.解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB → ＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16. 答案 12 －163.已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________. 解析由AO →＝12(AB →＋AC →)，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB →与AC →的夹角为90°.答案 90°4.已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心).解析由已知，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，设△ABC中BC 边的中点为D ，知AB →＋AC →＝2AD →，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心.故填重心.答案重心5.已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为________. 解析因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－332，解得a ·b＝32，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π6. 答案π66.(2014·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.解析由题图可得，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →， BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →.∴AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB → ＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2，故有2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22. 答案 227.△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.解析 ∵AB →2＝4|a |2＝4，∴|a |＝1，故①正确；∵BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC 为等边三角形，∴|BC →|＝|b |＝2，故②错误；∵b ＝AC →－AB →，∴a·b ＝12AB →·(AC →－AB →)＝12×2×2×cos 60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误；∵BC →＝b ，故④正确；∵(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确.答案 ①④⑤8.(2016·淮安月考)如图，在△ABC 中，C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝________.解析法一如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A (3，0)，B (0，3)，设M (x ，y )，由BM →＝2MA →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（3－x ），y －3＝－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即M 点坐标为(2，1)，所以CM →·CB →＝(2，1)·(0，3)＝3.法二 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →) ＝13CB →2＝3. 答案 3二、解答题9.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值. 解 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos 2x ， |a ＋b |＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2cos 2x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ≥0，所以|a ＋b |＝2cos x .(2)由(1)，可得f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |＝cos 2x －4λcos x ，即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以0≤cos x ≤1. ①当λ＜0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝12； ③当λ＞1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ＞1相矛盾.综上所述λ＝12. 10.设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值.解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32. 11.(2016·南师附中调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行.(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积.解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)法一由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332. 法二由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.。

江苏高考二轮复习数学(理)知识考点三角函数与平面向量专题

三角函数的图象与性质[题型分析·高考展望] 三角函数的图象与性质是高考中对三角函数部分考查的重点和热点，主要包括三个大的方面：三角函数图象的识别，三角函数的简单性质以及三角函数图象的平移、伸缩变换.考查题型既有填空题，也有解答题，难度一般为低中档，在二轮复习中应强化该部分的训练，争取对该类试题会做且不失分.常考题型精析题型一三角函数的图象例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ改编)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为________________. ①⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z ； ②⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z ； ③⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z ； ④⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . (2)(2014·湖北)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24).①求实验室这一天上午8时的温度； ②求实验室这一天的最大温差.点评 (1)画三角函数图象用“五点法”，由图象求函数解析式逆用“五点法”是比较好的方法.(2)对三角函数图象主要确定下列信息：①周期；②最值；③对称轴；④与坐标轴交点；⑤单调性；⑥与标准曲线的对应关系.变式训练1 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝______，φ＝________.(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________. 题型二三角函数的简单性质例2 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值.点评解决此类问题首先将已知函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k )的形式，再将ωx ＋φ看成θ，利用sin θ(或cos θ)的单调性、对称性等性质解决相关问题. 变式训练2 (2014·福建)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.题型三三角函数图象的变换例3 已知函数f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.点评对于三角函数图象变换问题，平移变换规则是“左加右减上加下减”并且在变换过程中只变换其中的自变量x ，要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次把ωx ＋φ写成ω(x ＋φω)，最后确定平移的单位和方向.伸缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼，变换的倍数要根据横向和纵向，要加以区分.变式训练3 (2014·山东)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n ), 函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和点(2π3，－2).(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间.高考题型精练1.(2015·四川改编)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是________. ①y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； ②y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； ③y ＝sin 2x ＋cos 2x;④y ＝sin x ＋cos x .2.(2015·盐城模拟)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是________.3.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)＝________.4.(2015·南通模拟)已知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)的图象与y ＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝sin ωx 的图象向________平移________个单位.5.将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为________.6.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象的解析式为______________.7.若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3为________________________________________________________________________. ①奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 ②偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 ③偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 ④奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减 8.(2015·湖北)函数f (x )＝4cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________. 9.函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝____________.10.(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) 请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f (x )的解析式；(2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心.11.(2014·重庆)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若f (α2)＝34(π6<α<2π3)，求cos(α＋3π2)的值.12.(2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性.答案精析第17练三角函数的图象与性质常考题型典例剖析例1 (1)④解析由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . (2)解 ①f (8)＝10－3cos(π12×8)－sin(π12×8)＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×(－12)－32＝10.故实验室上午8时的温度为10℃. ②因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin(π12t ＋π3)，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin(π12t ＋π3)≤1.当t ＝2时，sin(π12t ＋π3)＝1；当t ＝14时，sin(π12t ＋π3)＝－1.于是f (t )在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. 变式训练1 (1)2 π3(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析 (1)∵f (x )＝2sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，∴T ＝2πω＝π，ω＝2.∵f (0)＝2sin φ＝3，即sin φ＝32(|φ|<π2)，∴φ＝π3. (2)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 例2 解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3×1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. 依题意知2π2ω＝4×π4，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 所以－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 变式训练2 解 (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 例3 解 (1)因为f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2＝53sin x ＋5cos x ＋5 ＝10sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋5，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)①将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5的图象，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到g (x )＝10sin x ＋5－a 的图象.又已知函数g (x )的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g (x )＝10sin x －8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，即sin x 0＞45.由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45. 由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞45.因为y ＝sin x 的周期为2π，所以当x ∈(2k π＋α0,2k π＋π－α0)(k ∈Z )时，均有sin x ＞45.因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π3＞1，所以对任意的正整数k ，都存在正整数x 0∈(2k π＋α0,2k π＋π－α0)，使得sin x 0＞45.亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0. 变式训练3 解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和(2π3，－2)，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6).由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π6).设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2). 将其代入y ＝g (x )得sin(2φ＋π6)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为[k π－π2，k π]，k ∈Z .常考题型精练 1.①解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故①正确； y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故②不正确； ③，④均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故③，④不正确. 2.π解析由题设，有f ⎝⎛⎭⎫π4ω＝±a 2＋b 2，即22(a ＋b )＝±a 2＋b 2，由此得到a ＝b . 又f ′⎝⎛⎭⎫π8＝0，所以aω⎝⎛⎭⎫cos ωπ8－sin ωπ8＝0，从而tanωπ8＝1，ωπ8＝k π＋π4，k ∈Z ，即ω＝8k ＋2，k ∈Z ，而0<ω<5，所以ω＝2，于是f (x )＝a (sin 2x ＋cos 2x ) ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，故f (x )的最小正周期是π. 3. 3解析由图象知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.4.左5π12解析由题意得ω＝2，所以y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12，只需将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位即可得到函数 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象. 5.3π8解析依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝⎛⎭⎫π4＝±4，得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故φ的最小正值为3π8.6.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析由图象知A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，∴ω＝2，由sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2⇒φ＝π6⇒f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，则图象向右平移π6个单位后得到的图象的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.7.④解析因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝k π－13π6，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，则φ＝－π6，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减. 8.2解析 f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点. 9.5π6解析函数y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3向左平移π2个单位得到函数y ＝cos(2x ＋φ)，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3向左平移π2个单位，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，即φ＝5π6. 10.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0.11.解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期为T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34，所以sin(α－π6)＝14.由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2，所以cos(α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154.所以cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14×32＋154×12 ＝3＋158. 12.解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减. 综上可知，f (x )在⎣⎡⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减.。

新(江苏专用)高考数学三轮增分练(一)三角函数与平面向量文

(一)三角函数与平面向量1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(4a －b ，c )，且m ∥n .(1)求cos C 的值；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝154，求a ，b 的值．解 (1)∵m ∥n ，∴c cos B ＝(4a －b )cos C ，由正弦定理，得sin C cos B ＝(4sin A －sin B )cos C ，化简，得sin(B ＋C )＝4sin A cos C .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝sin(B ＋C )．又∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴cos C ＝14. (2)∵C ∈(0，π)，cos C ＝14， ∴sin C ＝ 1－cos 2C ＝ 1－116＝154. ∵S ＝12ab sin C ＝154，∴ab ＝2.① ∵c ＝3，由余弦定理得3＝a 2＋b 2－12ab ， ∴a 2＋b 2＝4，②由①②，得a 4－4a 2＋4＝0，从而a 2＝2，a ＝±2(舍负)，∴b ＝2，∴a ＝b ＝ 2.2．(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A . (1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．(1)证明由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.3．(2016·北京)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求角B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得，a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A,0＜A ＜3π4.所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.因为0＜A ＜3π4，所以π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π2，即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.4．(2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }． f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2＝b 2－ac .(1)求B 的大小；(2)设∠BAC 的平分线AD 交BC 于D, AD ＝23，BD ＝1，求cos C 的值．解 (1)因为a 2＋c 2＝b 2－ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝23π.(2)在△ABD 中，由正弦定理得： AD sin B ＝BDsin∠BAD ，所以sin∠BAD ＝BD sin B AD ＝1·3223＝14，所以cos∠BAC ＝cos 2∠BAD ＝1－2sin 2∠BAD ＝1－2×116＝78.所以sin∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝ 1－782＝158.所以cos C ＝cos(π3－∠BAC ) ＝cos π3cos∠BAC ＋sin π3sin∠BAC＝12×78＋32×158＝7＋3516，即cos C 的值为7＋3516.。

高考数学大一轮复习高考专题突破二高考中的三角函数

高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题1.(2016·江苏镇江中学质检)已知函数y ＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为2，则ω的值是________. 答案 1解析由题意得T 4>π4，即T >π，从而2πω>π，即0<ω<2，故函数在x ＝π4时取得最大值，即2sin(π4ω)＝2，也即sin(π4ω)＝22，又π4ω∈(0，π2)，故π4ω＝π4，解得ω＝1.2.在△ABC 中，AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，且cos C ＝55，则A ＝________. 答案 45°解析由题意及正弦定理得sin B cos A ＝3sin A cos B ， ∴tan B ＝3tan A ，∴0°＜A <90°，0°<B ＜90°，又cos C ＝55，故sin C ＝255，∴tan C ＝2，而A ＋B ＋C ＝180°，∴tan(A ＋B )＝－tan C ＝－2，即tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－2，将tan B ＝3tan A 代入，得4tan A1－3tan 2A ＝－2， ∴tan A ＝1或tan A ＝－13，而0°＜A ＜90°，则A ＝45°.3.在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则PA 2＋PB 2PC 2＝________.答案 10解析将△ABC 的各边均赋予向量，则PA 2＋PB 2PC 2＝PA →2＋PB →2PC→2＝PC →＋CA→2＋PC →＋CB →2PC→2＝2PC →2＋2PC →·CA →＋2PC →·CB →＋CA →2＋CB →2PC→2＝2|PC →|2＋2PC →·CA →＋CB →＋|AB →|2|PC →|2＝2|PC →|2－8|PC →|2＋|AB →|2|PC →|2＝|AB →|2|PC →|2－6＝42－6＝10.4.(2016·天津改编)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________. 答案 18解析如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝DE →＋EF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°，故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.5.(2017·江苏如东中学月考)若函数f (x )＝sin(ωπx －π4) (ω>0)在区间(－1,0)上有且仅有一条平行于y 轴的对称轴，则ω的最大值是________. 答案 54解析令ωπx －π4＝k π＋π2，则得x ＝4k ＋34ω(k ∈Z )，∴当k ＝－1时，得y 轴左侧第1条对称轴为－14ω；当k ＝－2时，得y 轴左侧第2条对称轴为－54ω，因此－1<－14ω<0且－1≥－54ω，解得14<ω≤54，故ωmax ＝54.题型一三角函数的图象和性质例1 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)＋sin(ωx －π6)－2cos 2ωx 2，x ∈R (其中ω>0).(1)求函数f (x )的值域；(2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离均为π2，求函数y ＝f (x )的单调增区间. 解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1) ＝2(32sin ωx －12cos ωx )－1＝2sin(ωx －π6)－1. 由－1≤sin(ωx －π6)≤1，得－3≤2sin(ωx －π6)－1≤1，所以函数f (x )的值域为[－3,1].(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y ＝f (x )的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin(2x －π6)－1，再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z ).所以函数y ＝f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z ).思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图象求解.已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(其中x ∈R )，求：(1)函数f (x )的最小正周期； (2)函数f (x )的单调区间；(3)函数f (x )图象的对称轴和对称中心.解 (1)因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋52 3＝5(12sin 2x －32cos 2x )＝5sin(2x －π3)，所以函数的周期T ＝2π2＝π.(2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12 (k ∈Z )，所以函数f (x )的单调增区间为 [k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z ).由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调减区间为 [k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z ).(3)由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z ).由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称中心为(k π2＋π6，0)(k ∈Z ).题型二解三角形例2 (2016·苏北四市期中)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B ＝2，tan C ＝3.(1)求角A 的大小； (2)若c ＝3，求b 的长.解 (1)因为tan B ＝2，tan C ＝3，A ＋B ＋C ＝π，所以tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C ) ＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－2＋31－2×3＝1，又A ∈(0，π)，所以A ＝π4.(2)因为tan B ＝sin B cos B ＝2，且sin 2B ＋cos 2B ＝1，又B ∈(0，π)，所以sin B ＝255，同理可得，sin C ＝31010.由正弦定理得b ＝c sin Bsin C ＝3×25531010＝2 2.思维升华根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在做有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，正确对结果进行取舍.(2016·无锡期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sinA ＝3a cosB .(1)求角B 的值； (2)若cos A sin C ＝3－14，求角A 的值. 解 (1)因为a sin A ＝bsin B ，所以b sin A ＝a sin B ，又b sin A ＝3a cos B ，所以3a cos B ＝a sin B ，即tan B ＝3，所以角B ＝π3.(2)因为cos A sin C ＝3－14，所以cos A sin(2π3－A )＝3－14，cos A (32cos A ＋12sin A )＝32cos 2A ＋12sin A ·cos A＝32·1＋cos 2A 2＋14sin 2A ＝3－14，所以sin(2A ＋π3)＝－12，因为0<A <2π3，所以2A ＋π3∈(π3，5π3)，所以2A ＋π3＝7π6，A ＝5π12.题型三三角函数和平面向量的综合应用例3 已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－cos x ，cos x )，c ＝(－1,0). (1)若x ＝π6，求向量a 与c 的夹角；(2)当x ∈[π2，9π8]时，求函数f (x )＝2a·b ＋1的最大值，并求此时x 的值.解 (1)设a 与c 的夹角为θ，当x ＝π6时，a ＝(32，12)，cos θ＝a·c|a||c |＝32×－1＋12×0322＋122×－12＋02＝－32.∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6. (2)f (x )＝2a·b ＋1＝2(－cos 2x ＋sin x cos x )＋1 ＝2sin x cos x －(2cos 2x －1) ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π4)，∵x ∈[π2，9π8]，∴2x －π4∈[3π4，2π]，故sin(2x －π4)∈[－1，22]，∴当2x －π4＝3π4，即x ＝π2时，f (x )max ＝1.思维升华 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cosB ＝13，b ＝3，求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值.解 (1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2. 又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－132＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.1.已知函数f (x )＝A sin(x ＋π4)，x ∈R ，且f (5π12)＝32. (1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f (3π4－θ).解 (1)∵f (5π12)＝A sin(5π12＋π4)＝A sin 2π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3.(2)由(1)知f (x )＝3sin(x ＋π4)，故f (θ)＋f (－θ)＝3sin(θ＋π4)＋3sin(－θ＋π4)＝32，∴3[22(sin θ＋cos θ)＋22(cos θ－sin θ)]＝32， ∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64.又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104，∴f (3π4－θ)＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.2.(2016·山东)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值. 解 (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z ).所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12k ∈Z .(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变).得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象.再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.3.(2016·江苏南京学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B .若点A 的横坐标是31010，点B 的纵坐标是255.(1)求cos(α－β)的值； (2)求α＋β的值.解 (1)因为锐角α的终边与单位圆交于点A ，且点A 的横坐标是31010，所以，由任意角的三角函数的定义可知，cos α＝31010，从而sin α＝1－cos 2α＝1010.因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是255，所以sin β＝255，从而cos β＝－1－sin 2β＝－55.cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝31010×(－55)＋1010×255＝－210. (2)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝1010×(－55)＋31010×255＝22. 因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(π2，3π2)，所以α＋β＝3π4.4.(2016·江苏仪征中学期初测试)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R )的部分图象如图所示.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π2，π2]时，求f (x )的取值范围.解 (1)由图象知，A ＝2，又T 4＝5π6－π3＝π2，ω>0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1.所以f (x )＝2sin(x ＋φ)，将点(π3，2)代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝π6.所以f (x )＝2sin(x ＋π6).(2)当x ∈[－π2，π2]时，x ＋π6∈[－π3，2π3]，所以sin(x ＋π6)∈[－32，1]，即f (x )∈[－3，2].5.已知向量a ＝(k sin x3，cos 2x 3)，b ＝(cos x3，－k )，实数k 为大于零的常数，函数f (x )＝a·b ，x ∈R ，且函数f (x )的最大值为2－12. (1)求k 的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若π2<A <π，f (A )＝0，且a ＝210，求AB →·AC →的最小值.解 (1)由题意，知f (x )＝a·b ＝(k sin x3，cos 2x 3)·(cos x3，－k )＝k sin x 3cos x3－k cos 2x3 ＝12k sin 2x3－k ·1＋cos2x32＝k 2(sin 2x 3－cos 2x 3)－k 2＝2k 2(22sin 2x 3－22cos 2x 3)－k2 ＝2k 2sin(2x 3－π4)－k 2. 因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为2－1k2＝2－12，则k ＝1. (2)由(1)知，f (x )＝22sin(2x 3－π4)－12，所以f (A )＝22sin(2A 3－π4)－12＝0，11 化简得sin(2A 3－π4)＝22，因为π2<A <π，所以π12<2A 3－π4<5π12，则2A 3－π4＝π4，解得A ＝3π4.因为cos A ＝－22＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b2＋c 2－402bc ，所以b 2＋c 2＋2bc ＝40，则b 2＋c 2＋2bc ＝40≥2bc ＋2bc ，所以bc ≤402＋2＝20(2－2).则AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 3π4＝－22bc ≥20(1－2)，所以AB →·AC →的最小值为20(1－2).。

(江苏专用)2020版高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质课件文苏教版

确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求 A，b：确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A＝M－2 m，b＝M＋2 m； (2)求 ω：确定函数的周期 T，则可得 ω＝2Tπ； (3)求 φ：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A，ω，b 已知)或代入图象与直线 y＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是在下降区间)．
(2)当 x∈－π2，π2时，x＋π6∈－π3，23π，所以 sinx＋π6∈－ 23，1，即 f(x)∈[－ 3，2]．
在江苏高考中，三角函数试题主要以两种形式出现：一是注重考查三角函数定义、性质、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识；二是以基本三角函数图象和正弦型函数、余弦型函数图象为载体，全面考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、图象变换等基础知识，即考查三角函数图象性质和数形结合思想等．
【解】 (1)由图象及 A>0 知，A＝2．又T4＝56π－π3＝π2，ω>0，所以 T＝2π＝2ωπ，得 ω＝1．所以 f(x)＝2sin(x＋φ)．将点π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，即 φ＝π6＋2kπ(k∈Z)，又－π2<φ<π2，所以 φ＝π6．所以 f(x)＝2sinx＋π6．
②五点法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)是 ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”) 是 ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)是 ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)是 ωx＋φ＝32π；“第五点”是 ωx＋φ＝2π．
[答案]
3 2
三角函数的图象与性质 [典型例题]

高三数学三角函数与平面向量提升练习(含答案)

2019-2019高三数学三角函数与平面向量提升练习（含答案）三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数，下面是三角函数与平面向量提升练习，请考生及时练习。

一、填空题1.(2019江苏高考)函数y=3sin的最小正周期为________.2.(2019江苏高考)已知tan =-2，tan(+)=，则tan 的值为________.3.(2019江苏高考)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若ma+nb=(9，-8)(m，nR)，则m-n的值为________.4.(2019江苏高考)函数f(x)=Asin(x+)，(A，，是常数，A0，0)的部分图象如图所示，则f(0)=________.5.(2019江苏高考)在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，+=6cos C，则+=________.6.(2019江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC.若=1+2(1，2为实数)，则1+2的值为________.7.(2019江苏高考)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a=e1-2e2，b=ke1+e2，若ab=0，则k的值为________.8.(2019江苏高考)已知函数y=cos x与y=sin(2x+)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是________.9.(2019江苏高考)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，=2，则的值是________.10.(2019江苏高考)若△ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C，则cos C的最小值是________.二、解答题11.(2019江苏高考)在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60.(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值.12.(2019江苏高考)已知，sin =.(1)求sin的值；(2)求cos的值.13.(2019江苏高考)已知向量a=(cos ，sin )，b=(cos ，sin )，0.(1)若|a-b|=，求证：a(2)设c=(0，1)，若a+b=c，求，的值.专题二三角函数与平面向量经典模拟演练卷一、填空题1.(2019吉林实验中学三模)已知向量a=(sin ，-2)，b=(1，cos )，且ab，则sin 2+cos2的值为________.2.(2019苏、锡、常、镇调研)函数f(x)=Asin (x+)(A，，为常数，A0，0，0)的图象如图所示，则f的值为________.3.(2019苏州调研)设为锐角，若cos=，则sin的值为________.4.(2019德州模拟)已知向量与的夹角为60，且==2，若=+，且，则实数的值为________.5.(2019南昌调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2=(a-b)2+6，C=，则△ABC的面积是________.6.(2019潍坊三模)已知函数f(x)=2sin+1(xR)图象的一条对称轴为x=，其中为常数，且(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________.7.(2019郑州模拟)将函数f(x)=2sin(0)的图象向右平移个单位，得到函数y=g(x)的图象，若y=g(x)在上为增函数，则的最大值为________.8.(2019邢台模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ac=b2-a2，A=，则B=________.9.(2019南京、盐城模拟)设函数f(x)=cos(2x+)，则f(x)是奇函数是=的______条件.10.(2019苏北四市调研)已知函数f(x)=2sin(0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[-1，1]上的单调递增区间为______.参考答案1. [利用函数y=Asin(x+)的周期公式求解.函数y=3sin的最小正周期为T==.]2.3 [∵tan =-2，tan(+)===，解得tan =3.]3.-3 [∵a=(2，1)，b=(1，-2)，ma+nb=(2m+n，m-2n)=(9，-8)，即解得故m-n=2-5=-3.]4. [因为由图象可知振幅A=，=-=，所以周期T==，解得=2，将代入f(x)=sin(2x+)，解得一个符合的=，从而y=sin，f(0)=.]5.4 [+=6cos C6abcos C=a2+b2，6ab=a2+b2，a2+b2=.由正弦定理得：上式==4.]6. [如图，=+=+=+(-)则1=-，2=，1+2=.]7. [因为e1，e2是夹角为的两个单位向量，所以e1e2=cos〈e1，e2〉=cos=-，又ab=0，所以(e1-2e2)(ke1+e2)=0，即k--2+(-2k)=0，解得k=.]8. [根据题意，将x=代入可得cos=sin，即sin=，++或=2k(kZ).又∵[0，)，=.]9.22 [由题图可得，=+=+，=2--2=2，故有2=25--64，解得=22.]10. [∵sin A+sin B=2sin C.由正弦定理可得a+b=2c，即c=，cos C==当且仅当3a2=2b2，即=时等号成立.一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

江苏省高考_高三数学一轮复习专题(二)三角函数

专题3 三角函数相城区陆慕高级中学沈四海【课标要求】1．课程目标通过三角函数的教学，使学生逐步理解三角函数的概念及基本性质；认识三角函数与实际生活的紧密联系；体会三角函数在解决具有周期变化规律问题中的作用．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，认识并可以运用它们解决一些实际问题．2．复习要求（１）理解三角函数的定义及有关概念，理解同角三角函数的基本关系式，理解正弦、余弦的诱导公式．（２）理解正弦函数、余弦函数、正切函数函数的图像和性质；了解)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质．（３）掌握两角和（差）的正弦、余弦和正切；理解二倍角的正弦、余弦和正切；了解几个三角恒等式的恒等变换．（４）理解正弦定理、余弦定理及其应用．3．复习建议（１）同角三角函数的关系与诱导公式是借助于单位圆中三角函数线引入的，使结论内涵更直观．其中诱导公式揭示了终边相同角的函数关系，因为公式较多，高三复习应重视推导方法与理念的领悟．（２）正弦函数、余弦函数、正切函数的图像是高考的重点，主要是图像的认识及性质的研究；三角函数在本质上是对单位圆周上一点运动的“动态描述”，它的各种性质和公式都与单位圆的几何性质密切相关．因此，在解决三角函数的有关问题时，应自觉运用单位圆中的三角函数线和三角函数图像，数形结合把问题直观地表达出来．而关于)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质的复习则无需加深．（３）两角和与差及倍角公式是历年高考的重要内容，而且有进一步加强的趋势．公式应用讲究一个“活”字，特别是角的变换具有很强的灵活性，因此要深刻理解各公式之间的联系，掌握公式变换及应用的通性、通法．化归的思想和方法是本节的重点；但在复习中不要盲目地训练技巧性太强、化简繁难的偏题、怪题，应以基本题型为主，研究简单的三角函数的求值、化简，适当地综合函数、不等式、向量、导数等知识，体现在知识交汇处命题的原则．（４）解三角形问题是以三角形为载体，借助于正弦定理、余弦定理，进行三角形中边角关系的互化，是把几何问题转化为代数问题的重要方法；解三角形是三角函数的重要内容，在复习中应加强解三角形问题的训练，提高分析问题和解决问题的能力及数学运算的能力．【典型例题】例１（填空题）(1)设α为第二象限角，其终边上一点)5,(m P ，且m 42cos =α，则αsin 的值为________．解析：m m m425cos 2=+=α,32=m ,41055sin 2=+=m α． (2)若2cos sin cos sin =-+αααα,则ααcos sin =___________________．解析：4cos sin cos sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+αααα,得103cos sin =αα;也可以转化为αtan 的表达式求解.(3)若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos ___________________. 解析：利用已知角⎪⎭⎫⎝⎛-απ6表示要求角⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+αππαπ62232, 97232cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ. (4)函数5)c o s()sin ()(++++=βπαπx b x a x f ,（βα,,,b a 均为常数）,且8)2003(=f ,则=)2009(f .解析：诱导公式可以算出3cos sin -=+βαb a ,8)2009(=∴f （或利用=)2009(f )2003(f ）.(5)已知x x f ωsin )(=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上单调递增,且在此区间上的最大值为23,则正实数ω的值为 .解析：0>ω ，∴40ωπω≤≤x .由题意知：24πω≤x,且234sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛ωπ,∴34πωπ=,34=∴ω. (6)如果函数x b x a x f 2cos 2sin )(+=（b a ,均为常数,且0≠ab ）的图象关于直线6π-=x 对称,那么函数x a x b x g 2cos 2sin )(-=的图象离原点最近的一个对称中心为 . 解析：由题意知)0(3f f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-π, 即0cos 0sin 32cos 32sin b a b a +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ,a b 33-=∴. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴32sin 332)(πx a x g .对称中心横坐标满足ππk x =-32,62ππ+=∴k x . 即对称中心为)(0,62Z k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ,离原点最近的是⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6π. (7)给出下列命题：① 存在实数⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx ,使π3cos sin =+x x ；② 若,αβ是锐角ABC ∆的内角,则βαcos sin >；③ 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2732sin πx y 是偶函数；④ 函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位,得到⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42sin πx y 的图象.其中正确的命题是 . 解析：①(]2,14sin 2cos sin ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+πx x x ,而13<π，不合适；② 锐角2πβα>+，所以022>->>βπαπ，ββπαcos 2sin sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛->∴；③ 函数化为x y 32cos =，是偶函数；④ 平移后得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22sin πx y 的图象.故 ② ③正确.。

创新设计江苏专用理科高考数学二轮专题复习——专题二三角函数与平面向量(课件+提升训练)(共35张P

第1讲三角函数的图象与性质高考定位高考对本内容的考查主要有：三角函数的有关知识大部分是B 级要求，只有函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质是A 级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答题中也有考查，经常与向量综合考查，构成低档题．真题感悟1．(2013·江苏卷)函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________．解析利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期公式求解．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为T ＝2π2＝π. 答案 π2.(2011·江苏卷)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________．解析因为由图象可知振幅A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以周期T ＝π＝2πω，解得ω＝2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)，解得一个符合的φ＝π3，从而y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (0)＝62.答案 623．(2014·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．解析根据题意，将x ＝π3代入可得cos π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，∴2π3＋φ＝2k π＋π6或23π＋φ＝2k π＋56π(k ∈Z )．又∵φ∈[0，π)，∴φ＝π6. 答案 π64．(2015·浙江卷)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析 f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z . 答案 π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) 考点整合1．三角函数的图象及常用性质(表中k ∈Z )y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．3．正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的对称中心是函数图象与x轴的交点，对称轴是过函数图象的最高点或者最低点且与x 轴垂直的直线；正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象是中心对称图形，不是轴对称图形.热点一三角函数的图象 [微题型1] 图象变换【例1－1】 (2015·南通调研)为了得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象向________平移________单位长度．解析由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，因此，把y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．答案左 5π12探究提高对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位和方向．另外，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把ωx ＋φ变成ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω，最后确定平移的单位并根据φω的符号确定平移的方向．[微题型2] 由三角函数图象求其解析式【例1－2】 (1)(2015·苏北四市模拟)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为________．(2)(2015·苏、锡、常、镇调研)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________．解析 (1)由图象知T2＝6－(－2)＝8， ∴T ＝16，A ＝4. ∴ω＝2πT ＝2π16＝π8. ∴y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ，把点(6，0)代入得：π8×6＋φ＝0，得φ＝－3π4. ∴y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4，又∵|φ|＜π2. ∴y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.(2)根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2.又函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，所以有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，而0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.答案 (1)y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4 (2)1探究提高已知图象求函数y ＝A sin ()ωx ＋φ(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．【训练1】 (1)(2015·苏州模拟)已知函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f (0)＝________．(2)(2015·南师附中模拟)把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数表达式为________．解析 (1)由图可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，而|φ|＜π，所以φ＝－π6.故f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－1.(2)将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象．答案 (1)－1 (2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈R热点二三角函数的性质[微题型1] 考查三角函数的单调性与对称性【例2－1】 (1)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．(2)(2015·南通调研)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则φ等于________．解析 (1)由2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋32π，k ∈Z 且ω＞0，得1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4≤x ≤1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋54π，k ∈Z .取k ＝0，得π4ω≤x ≤5π4ω，又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，∴π4ω≤π2，且π≤5π4ω，解之得12≤ω≤54.(2)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π6后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ的图象，因为该函数是奇函数，且0＜φ＜π，所以φ＝π3. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 (2)π3探究提高此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解．或者，也可以取选项中的特殊值验证．[微题型2] 考查三角函数在闭区间上的最值(或值域)【例2－2】 (2015·宿迁高三摸底考试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈[0，π))的图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )＋3f (x ＋2)在x ∈[－1，3]上的最大值和最小值．解 (1)由图可得A ＝3，f (x )的周期为8，则2πω＝8，即ω＝π4，f (－1)＝f (3)＝0，则f (1)＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又φ∈[0，π)，故φ＝π4，综上所述，f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)g (x )＝f (x )＋3f (x ＋2)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋33sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4（x ＋2）＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋33cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋7π12.当x ∈[－1，3]时，π4x ＋7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，故当π4x ＋7π12＝π2即x ＝－13时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋7π12取得最大值为1，则g (x )的最大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝6；当π4x ＋7π12＝4π3即x ＝3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋7π12取得最小值为－32，则g (x )的最小值为g (3)＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3 3. 探究提高求三角函数最值的两条思路：(1)将问题化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，结合三角函数的性质或图象求解；(2)将问题化为关于sin x 或cos x 的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解．【训练2】 (2015·河南名校联考)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程； (2)设函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x )，求g (x )的值域．解 (1)f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.则f (x )的最小正周期为π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以函数图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．(2)g (x )＝[f (x )]2＋f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋122－14. 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12时，g (x )取得最小值－14，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，g (x )取得最大值2，所以g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.1．(1)y ＝－sin x 与y ＝sin x 的单调性正好相反，y ＝－cos x 与y ＝cos x 的单调性也同样相反．(2)y ＝|sin x |与y ＝|cos x |的周期是π，y ＝sin|x |不是周期函数，y ＝cos|x |是周期函数． (3)对于函数y ＝tan x ，不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上为增函数． 2．运用整体换元法求解单调区间与对称性：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．(1)令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程；(2)令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标；(3)将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号． 3．奇偶性：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；(3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π2(k ∈Z )． 4．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的图象求解析式 (1)A ＝y max －y min 2，B ＝y max ＋y min2. (2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT .(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.一、填空题1．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象向________平移________个单位．解析因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，要得到函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位．答案右 π122．(2015·陕西卷改编)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．解析由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8. 答案 83．(2014·南京、盐城模拟)设函数f (x )＝cos(2x ＋φ)，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的______条件．解析 φ＝π2⇒f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝cos(2x ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z ) ⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．答案必要不充分4．(2015·扬州模拟)已知直线y ＝2与函数y ＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)图象的两个相邻交点A ，B ，线段AB 的长度为2π3，则ω的值为________．解析依题意，函数y ＝sin ωx ＋3cos ωx＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，于是有2πω＝2π3，ω＝3. 答案 35．(2015·苏北四市调研)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4(ω＞0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为________．解析因为函数f (x )的最大值为2，所以最小正周期T ＝2＝2π2ω，解得ω＝π2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π4，当2k π－π2≤πx －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即2k －14≤x ≤2k ＋34，k ∈Z 时，函数f (x )单调递增，所以函数f (x )在x ∈[－1，1]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，346．若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4――→右平移φg (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ，关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝－k 2π－π8(k ∈Z )，显然，k ＝－1时，φ有最小正值π2－π8＝3π8. 答案 3π87．(2015·南京、盐城模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________．解析观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，由已知得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12. 又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.答案 328．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．解析由f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，得T 2≥π2－π6，即T ≥2π3；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，所以f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12；又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，所以f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.所以14T ＝7π12－π3＝π4，即T ＝π.答案 π 二、解答题9．(2015·泰州模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－π8＝－65，求f (x 0)的值．解 (1)T ＝2π2＝π，单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，18π＋k π，k ∈Z . (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－π8＝－65，即sin 2x 0＝－35， ∴cos 2x 0＝±45，∴f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π4＝2(sin 2x 0＋cos 2x 0)＝25或－725.10．(2015·北京卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.11．(2015·咸阳模拟)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(A ＞0，ω＞0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3时，h (x )有最小值为3，求a 的值．解 (1)由题意，得2πω·π＝2π2.所以ω＝1.又A ＝2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π4＝2tan 174π＝2tan π4＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )． (2)因为h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x ＝32×4×sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋23cos 2x＝3(sin x ＋cos x )2＋23cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋3(cos 2x ＋1) ＝3＋3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，又h (x )有最小值为3，所以有3＋3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12.因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ＋π6，5π6，所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6.第2讲三角恒等变换与解三角形高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C 级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B 级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题；(2)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B 级要求，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．真题感悟1．(2015·江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析 ∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3.答案 32．(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250. 答案172503．(2010·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B ＝________．解析 b a ＋a b ＝6cos C ⇒6ab cos C ＝a 2＋b 2，6ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2，a 2＋b 2＝3c 22.tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos C ·cos B sin A ＋sin B cos A sin A sin B＝sin C cos C ·sin （A ＋B ）sin A sin B ＝1cos C ·sin 2C sin A sin B ，由正弦定理得：上式＝1cos C ·c 2ab ＝4. 答案 44．(2014·江苏卷)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．解析 ∵sin A ＋2sin B ＝2sin C .由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a ＋2b 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立．∴cos C 的最小值为6－24. 答案6－24考点整合1．三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(2)诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.2．正、余弦定理、三角形面积公式 (1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ；推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .热点一三角变换的应用 [微题型1] 求值【例1－1】 (1)(2015·苏北四市模拟)sin(π－α)＝－53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝________．(2)(2015·邯郸模拟)已知cos （π－2α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α＝________． (3)(2015·金华模拟)已知tan αtan α－1＝－1，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(π－α)cos(π＋α)＋2＝________．解析 (1)sin(π－α)＝sin α＝－53，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－532＝－23. 由cos α＝2cos 2α2－1， α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，得cos α2＝－cos α＋12＝－66.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cos α2＝－66.(2)cos （π－2α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－cos 2α22（sin α－cos α）＝－（cos 2α－sin 2α）22（sin α－cos α）＝2(cos α＋sin α)＝－22. 所以cos α＋sin α＝－12. (3)由tan αtan α－1＝－1得tan α＝12，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(π－α)cos(π＋α)＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2(sin 2α＋cos 2α) ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝135.答案 (1)－66 (2)－12 (3)135探究提高在三角函数求值过程中，要注意“三看”，即： (1)看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；(2)看名称，把一个等式尽量化成同一名称或近似的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式，如果满足，直接使用，如果不满足，则需要转化角或转换名称，才可以使用．[微题型2] 求角【例1－2】 (2015·中山模拟)已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________．解析因为cos(2α－β)＝－1114，且π4＜2α－β＜π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437，且－π4＜α－2β＜π2. 所以cos(α－2β)＝17，所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12. 又π4＜α＋β＜3π4，所以α＋β＝π3. 答案 π3探究提高解答这类问题的方法一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可，特别要注意对三角函数值符号的判断．【训练1】 (2014·江苏卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2 sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.热点二正、余弦定理的应用 [微题型1] 判断三角形的形状【例2－1】 (2015·南师附中模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，则△ABC 的形状是________．解析因为(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，所以(a 2＋b 2)(sin A cos B －cos A sin B ) ＝(a 2－b 2)(sin A cos B ＋cos A sin B )，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .法一由正弦定理得sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，因为sin A ·sin B ≠0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．法二由正弦定理、余弦定理得a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2aa 2＋c 2－b 22ac ，即a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，所以a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0，即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2. 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．答案等腰三角形或直角三角形探究提高判断三角形的形状要对所给的边角关系进行转化，使之变为只含有边或角的式子然后判断．如本题既可化为角的关系A ＝B 或A ＋B ＝π2来判断，也可化为边的关系a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2来判断．同时在判断三角形的形状时一定要注意“解”是否唯一，并注意挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．[微题型2] 解三角形【例2－2】 (2014·苏、锡、常、镇模拟)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213. (1)求AB →·AC→； (2)若c －b ＝1，求a 的值．解 (1)由cos A ＝1213，且0<A <π，得sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513. 又S △ABC ＝12bc sin A ＝30，所以bc ＝156，所以AB →·AC→＝bc cos A ＝156×1213＝144. (2)由(1)知bc ＝156，又cos A ＝1213，c －b ＝1，在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A ) ＝1＋2×156×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1213＝25，所以a ＝5.探究提高解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．[微题型3]求解三角形中的实际问题【例2－3】(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝1213，cosC＝3 5.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213 ＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短． (3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．探究提高应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【训练2】(2015·南通模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c sin B＝b cos C＝3.(1)求b；(2)若△ABC的面积为212，求c.解(1)由正弦定理得：sin C sin B＝sin B cos C. 又sin B≠0，所以sin C＝cos C，∴C＝45°.又b cos C＝3，所以b＝3 2.(2)因为S△ABC＝12ac sin B＝212，c sin B＝3，所以a＝7，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝25.所以c＝5.1．对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法．2．三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解．3．三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题，如：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数.一、填空题1．(2013·苏、锡、常、镇模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝______．解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝－79. 答案－792．(2015·晋中模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则cos α等于________．解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，54π.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－45，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤φ＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4 ＝－45×22＋35×22＝－210. 答案－2103．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝________．解析 S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.答案54．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①. ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 答案3325．(2015·苏、锡、常、镇模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________．解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α ＝32cos α＋32sin α＝45 3，∴12cos α＋32sin α＝45，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.答案－456．(2015·南京、盐城模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且B ＝π3，则△ABC 的形状为________三角形．解析依题意，A ＋C ＝2π3，b 2＝ac ；又由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即ac ＝a 2＋c 2－ac ，故a ＝c ，故A ＝C ＝π3，即△ABC 为等边三角形．答案等边7．(2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315， ∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8. 答案 88．在△ABC 中，tan A ＋B 2＝2sin C ，若AB ＝1，则12AC ＋BC 的最大值为________．解析因为tan A ＋B 2＝2sin C ，所以sinA ＋B 2cos A ＋B 2＝2sin C ⇒2sin A ＋B 2·cos A ＋B 22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ＋B22＝2sin C ⇒sin （A ＋B ）1＋cos （A ＋B ）＝2sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，所以sin C1－cos C＝2sin C ，因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以cos C ＝12，所以C ＝π3.因为BC sin A ＝AC sin B ＝AB sin C ＝233，所以12AC ＋BC ＝33sin B ＋233sin A ＝33·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋233sin A ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A ＋2sin A ＝213sin(A ＋φ)，其中0＜φ＜π2且tan φ＝35，所以当sin(A ＋φ)＝1时，12AC ＋BC 取得最大值，为213. 答案213二、解答题9．(2015·江苏卷)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BC sin A ，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277.因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437.10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B . 由正、余弦定理得 a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac . 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13. 由于0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4 ＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.11．(2015·苏北四市模拟)某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l 上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC ，CD 用一根5米长的材料弯折而成，边BA ，AD 用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A 和∠C 互补，且AB ＝BC ，(1)设AB ＝x 米，cos A ＝f (x )，求f (x )的解析式，并指出x 的取值范围； (2)求四边形ABCD 面积的最大值．解 (1)在△ABD 中，由余弦定理得 BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A .同理，在△CBD 中，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos C . 因为∠A 和∠C 互补，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos C ＝CB 2＋CD 2＋2CB ·CD ·cos A .即x 2＋(9－x )2－2x (9－x )cos A ＝x 2＋(5－x )2＋2x (5－x )cos A . 解得cos A ＝2x ，即f (x )＝2x ，其中x ∈(2，5)．(2)四边形ABCD 的面积S ＝12(AB ·AD ＋CB ·CD )·sin A ＝12[x (5－x )＋x (9－x )] 1－cos 2A .＝x (7－x )1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＝（x 2－4）（7－x ）2 ＝（x 2－4）（x 2－14x ＋49）.记g (x )＝(x 2－4)(x 2－14x ＋49)，x ∈(2，5)．由g ′(x )＝2x (x 2－14x ＋49)＋(x 2－4)(2x －14)＝2(x－7)(2x2－7x－4)＝0，解得x＝4(x＝7和x＝－12舍)．所以函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减．因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108.所以S的最大值为108＝6 3.故所求四边形ABCD面积的最大值为6 3 m2.第3讲平面向量高考定位平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求．主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档；(2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现．真题感悟1．(2015·江苏卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若m a＋n b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴m a＋n b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3. 答案－32．(2011·江苏卷)已知e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则k 的值为________．解析因为e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，所以e 1·e 2＝||e 1||e 2cos 〈e 1，e 2〉＝cos 2π3＝－12，又a·b ＝0，所以(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k －12－2＋(－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，解得k ＝54.答案 543．(2014·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD→的值是________．解析由题图可得，AP→＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →， BP→＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →. ∴AP →·BP→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB → ＝AD →2－12AD →·AB→－316AB →2＝2，故有2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22.答案 224．(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12.答案 12考点整合1．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． 2．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.3．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. (3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 4．平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1)． (2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →，OB →的关系是OP→＝12(OA →＋OB →)． (3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.热点一平面向量的有关运算 [微题型1] 平面向量的线性运算【例1－1】 (2015·北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________．解析 MN→＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.答案 12 －16探究提高解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理，将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式列方程组可得． [微题型2] 平面向量的坐标运算【例1－2】 (2015·保定模拟)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，若(a ＋2c )∥b ，则k ＝________．解析依题意得a ＋2c ＝(3，1)＋(2k ，14)＝(3＋2k ，15)，因为b ＝(1，3)，(a ＋2c )∥b . 所以3(3＋2k )＝15，解得k ＝1. 答案 1探究提高在应用两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是 x 1y 2－x 2y 1＝0；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断．[微题型3] 平面向量数量积的运算【例1－3】 (1)(2015·湖北卷)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________． (2)(2015·天津卷)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF→的最小值为________．解析 (1)因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA→|2＋0＝32＝9. (2)法一在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.法二以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 又BE→＝λBC →；DF →＝19λDC →，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF→的最小值为2918. 答案 (1)9 (2)2918探究提高求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法．【训练1】 (1)(2015·福建卷改编)已知AB→⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB→|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC→的最大值等于________．(2)(2015·苏州期末)已知a ，b ，c 是单位向量，a ⊥b ，则(a ＋b ＋2c )·c 的最大值是________．解析 (1)建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13.(2)依题意，设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a ＋b ＋2c )·c ＝(2cos θ＋1，2sin θ＋1)·(cos θ，sin θ)＝(2cos θ＋1)cos θ＋(2sin θ＋1)·sin θ＝2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的最大值是2＋ 2.答案 (1)13 (2)2＋ 2 热点二平面向量与三角的交汇 [微题型1] 平面向量与三角形【例2－1】已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP→＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心)．解析由已知，得OP→－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP→＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，设△ABC 中BC 边的中点为D ，知AB →＋AC →＝2AD →，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故填重心．答案重心探究提高在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达式具有许多重要的性质．在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，考查平面向量的相关知识点和考生分析问题、解决问题的能力． [微题型2] 平面向量与三角函数【例2－2】 (2015·南师附中调研)已知向量m ＝(3sin 2x ＋2，cos x ),n ＝(1,2cos x )，设函数f (x )＝m ·n .(1)求f (x )的最小正周期与单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若f (A )＝4，b ＝1，△ABC 的面积为32，求a 的值．解因为m ＝(3sin 2x ＋2，cos x )，n ＝(1，2cos x )，函数f (x )＝m · n ，所以f (x )＝3sin 2x ＋2＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3.(1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)因为f (A )＝4，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋3＝4，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12.由于0＜A ＜π，所以2A ＋π6＝5π6，即A ＝π3.又S △ABC ＝12bc sin A ＝32且b ＝1，所以34c ＝32，解得c ＝2.在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋4－2×1×2×12＝3，所以a ＝3.探究提高三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇．不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解． [微题型3] 平面向量与解三角形【例2－3】 (2015·陕西卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行． (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，。

江苏专用高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量高考热点追踪二练习文苏教版

江苏专用高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量高考热点追踪二练习文苏教版1．(2019·南京、盐城高三模拟)在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝π4，cos B＝35，则c＝________．[解析] 根据题意得，sin B＝45，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋B＝7210，由asin A＝csin C，得5sinπ4＝c7210，解得c＝7．[答案] 72．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α＝________．[解析]1＋cos 2αsin 2α＝2cos2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，所以tan α＝2，所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝41－4＝－43．[答案] －433．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(七))已知向量a＝(2，1)，b＝(3，－1)，若a＋2k b与3a－b平行，则k＝________．[解析] 因为a＝(2，1)，b＝(3，－1)，所以a＋2k b＝(2，1)＋2k(3，－1)＝(2＋6k，1－2k)，3a－b＝3(2，1)－(3，－1)＝(3，4)，又a＋2k b与3a－b平行，所以4(2＋6k)－3(1－2k)＝0，解得k＝－16．[答案] －164．(2019·扬州模拟)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值为________．[解析] 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)．因为cos α＝13，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－79，所以sin 2α＝1－cos22α＝429，而α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝223，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327． [答案] 23275．(2019·盐城高三模拟)已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b |＝1，|a －b |＝21，则向量a ，b 的夹角为________．[解析] 法一：设向量b ＝(x ，y )，则由|b |＝1，|a －b |＝21得，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1（x －4）2＋（y ＋3）2＝21⇒4x －3y ＝52，所以a ·b ＝(4，－3)·(x ，y )＝4x －3y ＝52，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以向量a ，b 的夹角为π3．法二：由|a －b |＝21得，(a －b )2＝21⇒a 2－2a ·b ＋b 2＝21，所以a ·b ＝52，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以向量a ，b 的夹角为π3．[答案] π36．(2019·南京高三模拟)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →．若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝________．[解析] 由题意可得AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →，BM →＝AM →－AB →＝23AD →－AB →，则AC →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AD →－AB →＝－3，则23|AD →|2－12|AB →|2－23AB →·AD →＝－3，即6－8－23AB →·AD →＝－3，解得AB →·AD →＝32．[答案] 327．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象对应的函数解析式为________．[解析] 由所给图象知A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6． [答案] y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π68．(2019·苏锡常镇四市高三调研)在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________．[解析] 由题意可得AB →·AC →＝1×2×12＝1，AB →·AP →＝AB →2＋λAB →·AC →＝1＋λ，AP →·AC →＝1＋4λ，AP 2→＝AB 2→＋2λAB →·AC →＋λ2AC 2→＝4λ2＋2λ＋1，又BP →·CP →＝1，则(AP →－AB →)·(AP →－AC →)＝AP 2→－AP →·AC →－AP →·AB →＋AB →·AC →＝1，代入化简得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1．[答案] －14或19．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 的面积的最大值为________．[解析] 因为a ＝2，(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，根据正弦定理，得(a ＋b )(a－b )＝(c －b )c ，所以a 2－b 2＝c 2－bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12，因为A ∈(0，π)，故A ＝π3．因为b 2＋c 2－bc ＝4，所以4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (当且仅当b ＝c ＝2时取等号)，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝3，所以△ABC的面积的最大值为3．[答案] 310．(2019·唐山模拟)在△ABC 中，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角A 的最大值为________． [解析] 因为(AB →－3AC →)⊥CB →，所以(AB →－3AC →)·CB →＝0，(AB →－3AC →)·(AB →－AC →)＝0，AB →2－4AC →·AB →＋3AC →2＝0，即cos A ＝|AB →|2＋3|AC →|24|AC →|·|AB →|＝|AB →|4|AC →|＋3|AC →|4|AB →|≥2316＝32，当且仅当|AB →|＝3|AC →|时等号成立．因为0＜A ＜π，所以0＜A ≤π6，即角A 的最大值为π6．[答案] π611．(2019·苏北四市模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(2，－1)． (1)若a ⊥b ，求sin θ－cos θsin θ＋cos θ的值；(2)若|a －b |＝2，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值．[解] (1)由a ⊥b 可知，a ·b ＝2cos θ－sin θ＝0，所以sin θ＝2cos θ，所以sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝2cos θ－cos θ2cos θ＋cos θ＝13．(2)由a －b ＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得， |a －b |＝（cos θ－2）2＋（sin θ＋1）2＝6－4cos θ＋2sin θ＝2，即1－2cos θ＋sin θ＝0，①又cos 2θ＋sin 2θ＝1，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，②由①②可解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝35，cos θ＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(sin θ＋cos θ) ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝7210． 12．(2019·盐城高三模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，a ＋c ＝4．(1)当a ，b ，c 成等差数列时，求△ABC 的面积； (2)设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值．[解] (1)因为a ，b ，c 成等差数列，所以b ＝a ＋c2＝2．由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，B ＝60°，得b 2＝(a ＋c )2－3ac ＝16－3ac ＝4，解得ac ＝4，从而S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×32＝3．(2)法一：因为D 为AC 边的中点，所以BD →＝12(BA →＋BC →)，则BD →2＝14(BA →＋BC →)2＝14(BA →2＋2BA →·BC →＋BC →2)＝14(c 2＋2ac cos B ＋a 2)＝14[(a ＋c )2－ac ]＝4－14ac ≥4－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝3，当且仅当a ＝c ＝2时取等号，所以线段BD 长的最小值为3．法二：因为D 为AC 边的中点，所以可设AD ＝CD ＝d ，由cos ∠ADB ＋cos ∠CDB ＝0，得BD 2＋d 2－c 22d ·BD ＋BD 2＋d 2－a 22d ·BD＝0，即BD 2＝a 2＋c 22－d 2＝8－ac －d 2，又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，B ＝60°，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ＝16－3ac ，即4d 2＝16－3ac ，所以d 2＝4－34ac ，故BD 2＝4－14ac ≥4－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝3，当且仅当a ＝c ＝2时取等号，所以线段BD 长的最小值为3．13．(2019·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于P (x 1，y 1)，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转π2后与单位圆交于点Q (x 2，y 2)．记f (α)＝y 1＋y 2．(1)求函数f (α)的值域；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (C )＝2，且a ＝2，c ＝1，求b ．[解] (1)由题意，得y 1＝sin α，y 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α，所以f (α)＝sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，故f (α)∈(1，2]． (2)因为f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ＝2，又C ∈(0，π)，所以C ＝π4，在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即1＝2＋b 2－22×22b ，解得b ＝1．14．(2019·江苏省四星级学校4月联考)金镶玉奖牌是中国文化与体育精神完美结合的载体．现有一矩形玉片BCEF ，CE 为36毫米，BC 为32毫米，G 为EF 的中点．现要开糟镶嵌金丝，将其加工为镶金工艺品，如图，金丝部分为优弧PQ ︵和线段MP ，NQ ，MN ，其中优弧PQ ︵所在圆的圆心为O ，圆O 与矩形的边FB ，BC ，CE 分别相切于点A ，H ，D ．M ，N 在线段EF 上(M 在N 的左侧)，MP ，NQ 分别与圆O 相切点P ，Q ，且FM ＝NE ．若优弧PQ ︵部分镶嵌的金丝每毫米造价为3a 元(a >0)，线段MP ，NQ ，MN 部分镶嵌的金丝每毫米造价为2a 元．记锐角∠POG ＝α，镶嵌金丝总造价为W 元．(1)试表示出关于α的函数W (α)，并写出cos α的范围； (2)当M ，N 位于什么位置时，镶嵌金丝的总造价最低？[解] (1)如图，过点P 作OG 的垂线，垂足为R ，过点M 作PR 的垂线，垂足为S ，由圆O 与矩形的边FB ，BC ，CE 相切，得圆O 半径为16．易得PR ＝16sin α，OR ＝16cos α，MS ＝GR ＝OG －OR ＝CE －CD －16cos α＝36－16－16cos α＝20－16cos α，因为MP 与圆O 相切，切点为P ，所以OP ⊥MP ，易得∠MPS ＝∠POG ＝α，所以MP ＝NQ ＝MSsin α＝20－16cos αsin α， PS ＝MStan α＝20－16cos αtan α，所以MG ＝SR ＝PR －PS ＝16sin α－20－16cos αtan α＝16－20cos αsin α，MN ＝2MG ＝2×16－20cos αsin α＝32－40cos αsin α．因为优弧PQ ︵的圆心角为(2π－2α)，所以优弧PQ ︵的长为32(π－α)，所以W (α)＝32(π－α)×3a ＋⎝⎛⎭⎪⎫20－16cos αsin α×2＋32－40cos αsin α×2a ＝96a (π－α)＋72－72cos αsin α×2a ＝48a (2π－2α＋3－3cos αsin α)，考虑临界状态，当M ，N ，G 三点重合时，△POG 为直角三角形，其中∠GPO ＝π2，OG ＝20，OP ＝16，cos α＝OP OG ＝1620＝45，所以cos α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，45． (2)由(1)知，W ′(α)＝48a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3－3cos αsin 2α＝48a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin 2α＋3－3cos αsin 2α＝48a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋2cos 2α＋3－3cos αsin 2α＝48a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α－3cosα＋1sin 2α＝48a ·（2cos α－1）（cos α－1）sin 2α，α∈(α0，π2)，其中α0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α0＝45，令W ′(α)＝0，得cos α＝12或cos α＝1(舍)，又cos α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，45且α为锐角，所以α＝π3，所以当α∈⎝⎛⎭⎪⎫α0，π3时，W ′(α)<0，W (α)单调递减；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2时，W ′(α)>0，W (α)单调递增．所以当α＝π3时，总造价W (α)取得最小值，为W ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝64πa ＋483a ，此时，MG ＝NG ＝43．答：(1)W (α)＝48a (2π－2α＋3－3cos αsin α)，cos α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，45；(2)当MG ＝NG ＝43毫米时，能使总造价最低．。

创新设计江苏专用理科高考数学二轮专题复习——专题二三角函数与平面向量(课件+提升训练)(共35张P

第1讲三角函数的图象与性质一、填空题1．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象向________平移________个单位．解析因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，要得到函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位．答案右 π122．(2015·陕西卷改编)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．解析由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.答案 83．(2014·南京、盐城模拟)设函数f (x )＝cos(2x ＋φ)，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的______条件．解析 φ＝π2⇒f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝cos(2x ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )⇒φ＝π2. ∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．答案必要不充分4．(2015·扬州模拟)已知直线y ＝2与函数y ＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)图象的两个相邻交点A ，B ，线段AB 的长度为2π3，则ω的值为________．解析依题意，函数y ＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，于是有2πω＝2π3，ω＝3.答案 35．(2015·苏北四市调研)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4(ω＞0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为________．解析因为函数f (x )的最大值为2，所以最小正周期T ＝2＝2π2ω，解得ω＝π2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π4，当2k π－π2≤πx －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即2k －14≤x ≤2k ＋34，k ∈Z 时，函数f (x )单调递增，所以函数f (x )在x ∈[－1，1]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，346．若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4――→右平移φg (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ，关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝－k 2π－π8(k ∈Z )，显然，k ＝－1时，φ有最小正值π2－π8＝3π8.答案 3π87．(2015·南京、盐城模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________．解析观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，由已知得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.答案 328．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．解析由f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，得T 2≥π2－π6，即T ≥2π3；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，所以f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12；又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，所以f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.所以14T ＝7π12－π3＝π4，即T ＝π.答案 π二、解答题9．(2015·泰州模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－π8＝－65，求f (x 0)的值．解 (1)T ＝2π2＝π，单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，18π＋k π，k ∈Z . (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－π8＝－65，即sin 2x 0＝－35， ∴cos 2x 0＝±45，∴f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π4＝2(sin 2x 0＋cos 2x 0)＝25或－725.10．(2015·北京卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.11．(2015·咸阳模拟)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(A ＞0，ω＞0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3时，h (x )有最小值为3，求a 的值．解 (1)由题意，得2πω·π＝2π2.所以ω＝1.又A ＝2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π4＝2tan 174π＝2tan π4＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )． (2)因为h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x ＝32×4×sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋23cos 2x＝3(sin x ＋cos x )2＋23cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋3(cos 2x ＋1) ＝3＋3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，又h (x )有最小值为3，所以有3＋3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12.因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ＋π6，5π6，所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6.。

创新设计江苏专用理科高考数学二轮专题复习课件专题二第3讲三角函数与平面向量

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[微题型2] 平面向量的坐标运算【例1－2】 (2015·保定模拟)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝
(k，7)，若(a＋2c)∥b，则k＝________.
解析依题意得a＋2c＝(3，1)＋(2k，14)＝(3＋2k，15)，因为b＝(1，3)，(a＋2c)∥b. 所以3(3＋2k)＝15，解得k＝1. 答案 1
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(2)依题意，设 a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(cos θ，sin θ)，则(a＋b ＋2c)·c＝(2cos θ＋1，2sin θ＋1)·(cos θ，sin θ)＝(2cos θ＋1)cos θ＋ (2sin θ＋1)·sin θ＝2＋ 2sinθ＋π4的最大值是 2＋ 2. 答案 (1)13 (2)2＋ 2
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[微题型 3] 平面向量数量积的运算【例 1－3】 (1)(2015·湖北卷)已知向量O→A⊥A→B，|O→A|＝3，则O→A·O→B
＝________. (2)(2015·天津卷)在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC，AB＝2， BC＝1，∠ABC＝60°，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 B→E＝λB→C，D→F＝91λD→C，则A→E·A→F的最小值为________.
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热点二平面向量与三角的交汇 [微题型1] 平面向量与三角形【例 2－1】已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线

(江苏专用)高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质学案文苏教

第1讲三角函数的图象与性质[2019考向导航]考点扫描三年考情考向预测2019201820171．三角函数的图象与解析式江苏近几年高考三角函数试题一般是一个小题一个大题，大题一般都为基础题，处在送分题的位置．从高考命题内容来看，三角函数的图象和性质，尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图象变换、特征分析(对称轴、对称中心)等是命题热点．2．三角函数的图象与性质第7题第16题1．必记的概念与定理(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α．(2)诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．(3)三角函数的图象及常用性质函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象单调性在⎣⎢⎡－π2＋2k π，⎦⎥⎤π2＋2k π(k ∈Z )上单调递增；在⎣⎢⎡π2＋2k π，⎦⎥⎤3π2＋2k π(k ∈Z )上单调递减在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在⎝ ⎛－π2＋ k π，⎭⎪⎫π2＋k π(k ∈Z )上单调递增2．记住几个常用的公式与结论对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)要记住下面几个常用结论： (1)定义域：R ． (2)值域：[－A ，A ]．当x ＝2k π＋π2－φω(k ∈Z )时，y 取最大值A ；当x ＝2k π－π2－φω(k ∈Z )时，y 取最小值－A ．(3)周期性：周期函数，最小正周期为2πω．(4)单调性：单调递增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π2－φω，2k π＋π2－φω(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π＋π2－φω，2k π＋3π2－φω(k ∈Z )． (5)对称性：函数图象与x 轴的交点是对称中心，即对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫k π－φω，0(k ∈Z )，对称轴与函数图象的交点纵坐标是函数的最值，即对称轴是直线x ＝k π＋π2－φω，其中k ∈Z ．(6)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，A 影响函数图象的最高点和最低点，即函数的最值；ω影响函数图象每隔多少长度重复出现，即函数的周期；φ影响函数的初相．(7)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一．3．需要关注的易错易混点三角函数图象平移问题(1)看平移要求：看到这类问题，首先要看题目要求由哪个函数平移到哪个函数，这是判断移动方向的关键点．(2)看移动方向：在学习中，移动的方向一般我们会记为“正向左，负向右”，其实，这样不理解的记忆是很危险的．上述规则不是简单地看y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的正负，而是和它的平移要求有关．正确地理解应该是：平移变换中，将x 变换为x ＋φ，这时才是“正向左，负向右”．(3)看移动单位：在函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x 轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相位，再经过ω的压缩，最后移动的单位是|φω|．三角函数的图象与解析式[典型例题](1)(2018·高考江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x＝π3对称，则φ的值是________． (2)(2019·江苏省高考名校联考(八))已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12的值为________．【解析】 (1)由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1，因为－π2<φ<π2，所以π6<2π3＋φ<7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6．(2)由函数f (x )的部分图象可知，A ＝2，12T ＝2π3－π6＝π2，得T ＝π，所以ω＝2．当x＝π6时，f (x )＝2，即sin (2×π6＋φ)＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin(2x ＋π6)，所以f (－5π12)＝2sin(－5π6＋π6)＝2sin(－2π3)＝－3．【答案】 (1)－π6(2)－3确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是在下降区间)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)是ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)是ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)是ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)是ωx ＋φ＝3π2；“第五点”是ωx ＋φ＝2π．[对点训练]1．定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．[解析] 由sin 2x ＝cos x 可得cos x ＝0或sin x ＝12，又x ∈[0，3π]，则x ＝π2，3π2，5π2或x ＝π6，5π6，13π6，17π6，故所求交点个数是7． [答案] 72．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(四))已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中M ，N 是图象与x 轴的交点，K 是图象的最高点，若点M 的坐标为(3，0)且△KMN 是面积为3的正三角形，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝________．[解析] 由正三角形KMN 的面积为3知，△KMN 的边长为2，高为3，即A ＝3，最小正周期T ＝2×2＝4，ω＝2πT ＝2π4＝π2，又M (3，0)，MN ＝2，所以π2×4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π－3π2，k ∈Z ，又0<φ<π，所以φ＝π2，即f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＝3cos π2x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝32．[答案] 32三角函数的图象与性质[典型例题](2019·南京、盐城高三模拟)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，求f (x )的取值范围．【解】 (1)由图象及A >0知，A ＝2．又T 4＝5π6－π3＝π2，ω>0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1．所以f (x )＝2sin(x ＋φ)．将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝π6．所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，即f (x )∈[－3，2]．在江苏高考中，三角函数试题主要以两种形式出现：一是注重考查三角函数定义、性质、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识；二是以基本三角函数图象和正弦型函数、余弦型函数图象为载体，全面考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、图象变换等基础知识，即考查三角函数图象性质和数形结合思想等．[对点训练]3．(2019·合肥模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6．(1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0，1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．[解] (1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx3－1 ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6．由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z ．(2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0，1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3，4]时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3，4]时，π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，即当x ∈[0，1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12．1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的定义域是________．[解析] 因为x －π4≠k π＋π2，所以x ≠k π＋3π4，k ∈Z ．[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z2．(2019·徐州模拟)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为________．[解析] 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )3．(2019·镇江市高三调研考试)定义在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的函数f (x )＝8sin x －tan x 的最大值为________．[解析] f ′(x )＝8cos x －cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝8cos 3x －1cos 2x ，令f ′(x )＝0，得cos x ＝12，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x ＝π3，且当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3是f (x )的极大值，也是最大值，故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝33．[答案] 3 34．(2019·苏北三市高三模拟)已知函数f (x )＝sin x (x ∈[0，π])和函数g (x )＝12tan x的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为________．[解析] 由题意知，x ≠π2，令sin x ＝12tan x ，可得sin x ＝sin x 2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，可得sin x ＝0或cos x ＝12，则x ＝0或π或π3，不妨设A (0，0)，B (π，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，则△ABC 的面积为12π×32＝34π．[答案]34π 5．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知在矩形ABCD 中，AB ⊥x 轴，且矩形ABCD 恰好能完全覆盖函数y ＝a cos(a πx )＋b (a ，b ∈R ，a ≠0)的一个完整周期的图象，则当a 变化时，矩形ABCD 的面积为________．[解析] 由题意得，矩形ABCD 的边长分别为函数y ＝a cos(a πx )＋b (a ，b ∈R ，a ≠0)的最小正周期⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a 和|2a |，故此矩形的面积为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a×|2a |＝4．[答案] 46．(2019·山西四校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为________．[解析] 根据所给图象，周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故π＝2πω，所以ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z )，再由|φ|＜π2，得φ＝－π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值． [答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π3，k ∈Z7．(2019·南京模拟)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________．[解析] 因为函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝π2，所以f (x )＝－4sin ωx ，又A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，且|a －b |的最小值是1，所以函数f (x )的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f (x )＝－4sin πx ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2．[答案] －28．(2019·苏北三市高三第一次质量检测)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则以函数f (x )与g (x )的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为______．[解析] 函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，如图所示，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，B ，C 之间的距离为一个周期π，所以三角形ABC的面积为12π×2×32＝3π2．[答案]3π29．(2019·开封模拟)如果存在正整数ω和实数φ使得函数f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1，0))，那么ω的值为________．[解析] 由f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)＝1－cos （2ωx ＋2φ）2及其图象知，12<12×2π2ω<1，即π2<ω<π，所以正整数ω＝2或3．由函数f (x )的图象经过点(1，0)，得f (1)＝1－cos （2ω＋2φ）2＝0，得2ω＋2φ＝2k π(k ∈Z )，即2φ＝2k π－2ω(k ∈Z )．由图象知f (0)>12，即1－cos 2φ2＝1－cos 2ω2>12，得cos 2ω<0，所以ω＝2． [答案] 210．(2019·无锡市普通高中高三调研考试)已知直线y ＝a (x ＋2)(a >0)与函数y ＝|cos x |的图象恰有四个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，其中x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝______． [解析] 易知直线y ＝a (x ＋2)过定点(－2，0)，作出直线y ＝a (x ＋2)与函数y ＝|cos x |的图象，如图所示．由图可知，直线y ＝a (x ＋2)(a >0)与y ＝|cos x |的图象在x ＝x 4处相切，且x 4∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则a (x 4＋2)＝－cos x 4，所以a ＝－cos x 4x 4＋2，又在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上，y ＝－cos x ，y ′＝sin x ，所以(－cos x 4)′＝sin x 4，所以a ＝sin x 4．因此a ＝－cos x 4x 4＋2＝sin x 4，即cos x 4sin x 4＝－x 4－2，x 4＋cos x 4sin x 4＝x 4＋1tan x 4＝－2．[答案] －211．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1． (1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．[解] (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4．(2)图象如图所示．12．(2019·扬州市第一学期期末检测)已知函数f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x ，x ∈R ．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)求方程f (x )＝0在(0，π]内的所有解．[解] f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．(1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为[－π3＋k π，π6＋k π]，k ∈Z ．(2)由f (x )＝0，得2sin(2x ＋π6)＝0，得2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，即x ＝－π12＋k π2，k ∈Z ，因为x ∈(0，π]，所以x ＝5π12或x ＝11π12． 13．(2019·南通市高三调研)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(A ＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若角α满足f (α)＋3f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，α∈(0，π)，求角α的值． [解] (1)由条件得，最小正周期T ＝2π，即2πω＝2π，所以ω＝1，即f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3．因为f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，所以A sin 2π3＝32，所以A ＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3． (2)由f (α)＋3f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－π2＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝1，即sin α＝12．因为α∈(0，π)，所以α＝π6或5π6． 14．已知函数f (x )＝sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4． (1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．[解] (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋3×1＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3． (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6．令2x －π6＝t ，因为0≤x ≤π2，所以－π6≤t ≤5π6． g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (t )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1．所以－12<k ≤12或k ＝－1．。

江苏省高考数学二轮复习专题训练：专题二三角函数与平面向量

专题二三角函数与平面向量第7讲三角函数的图象与性质1. 把函数y ＝sinx(x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是________．2. 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω＝________.3. 已知函数f(x)＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cosx ＋sinx ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________.4. 设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y ＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得到的图象与原图象重合，则ω的最小值等于________．5. 方程sin 2x ＋cosx ＋a ＝0一定有解，则实数a 的取值范围是________．(第6题)6. 函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)的值等于________．7. 设函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5，对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．8. 定义在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数y ＝6cosx 的图象与y ＝5tanx 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．9. 已知函数f(x)＝－acos2x －23asinx·cosx ＋2a ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，求实常数a 、b 的值．10.已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A>0，ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求函数f(x)的最值．第8讲三角变换与解三角形1. 若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tanα＝________.2. 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sinA ＝13，则a ＝________.3. 若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a ＝1，∠B ＝45°，S △ABC ＝2，则b ＝________.4. 已知α是第三象限角，且sin 2α＋sinαcosα－2cos 2α＝0，则sin2α的值是________．5. 在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b a ＋a b ＝6cosC ，则tanCtanA ＋tanCtanB＝________.6. 设sinα＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)的值等于________.7. 在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cosC ＝1314，则最大内角的余弦值为________．8. 在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则sinA＝________.9. 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.已知a ＝1，b ＝2，cosC ＝14.(1) 求△ABC 的周长； (2) 求cos(A －C)的值．10.在△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 边所对的角，且cosA ＝45.(1) 求sin 2B ＋C2＋cos2A 的值；(2) 若a ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值．第9讲平面向量及其应用1. 已知向量a ＝(3,4)，b 满足a ·b ＝0且|b |＝1，则b ＝________.2.已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．3.已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________.4.O 为△ABC 中的重心，AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°，则AO →·AC →＝________.5.若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝________.6. 在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.7.设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为________． 8. 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O为圆心的圆弧AmB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．(第8题)9. 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cosA ，sinA)，且m ·n ＝0，(1) 求角A;(2) 若1＋sin2Bcos 2B －sin 2B ＝－3，求tanC.10.如图，在四边形ABCD 中，AD ＝8，CD ＝6，AB ＝13，∠ADC ＝90°，且AB →·AC →＝50.(1) 求sin ∠BAD 的值；(2) 设△ABD 的面积为S △ABD ，△BCD 的面积为S △BCD ，求S △ABD S △BCD的值．(第10题)滚动练习(二)1. 设集合M ＝{m ∈Z |－3<m<2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N ＝________.2. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x 3－2x ＋1，则f(1)＝________.3. cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.4. 函数y ＝16－x －x 2的定义域是________．5. 函数f(x)＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．6. 已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.7. 定义集合运算：A*B ＝{z|z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B}．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为________．8. “m ＝－2”是函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)9. 已知函数f(x)＝e x －2x ＋a 有零点，则实数a 的取值范围是________.10. 已知函数f(x)＝x 2－cosx ，对于⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2； ②x 21>x 22；③|x 1|>x 2；④x 1>|x 2|.其中能使f(x 1)>f(x 2)恒成立的条件序号是________．(填上所有的可能情况)11. 已知奇函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x>0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x<0.(1) 求实数m 的值；(2) 若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．12.已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx ＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1) 求ω的值；(2) 将函数y ＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数y ＝g(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值．13.△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cosA ＝1213.(1) 求AB →·AC →；(2) 若c －b ＝1，求a 的值．14. 直角△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，分别在AB 、BC 、CA 上取点D 、E 、F ，使△DEF 为正三角形，求△DEF 边长的最小值．(第14题)专题二三角函数与平面向量第7讲三角函数的图象与性质1. y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 2. 103. 1 解析：f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫π4cosx ＋sinx ，f ′(x)＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sinx ＋cosx ，f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－22f ′⎝⎛⎭⎫π4＋22，f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1，f(x)＝(2－1)cosx ＋sinx ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1. 4. 6 解析：平移后f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3，与原来函数图象重合，则ωπ3＝2kπ，k ∈Z ，∵ ω＞0，∴ ωmin ＝6.5. ⎣⎡⎦⎤－54，1 解析：a ＝cos 2x －cosx －1＝⎝⎛⎭⎫cosx －122－54，转化为函数的值域问题． 6. 2＋22 解析：f(x)＝2sin πx4，周期为8，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋2 2.7. 2 解析：T ＝2ππ2＝4，对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，f(x)min ＝f(x 1)，f(x)max＝f(x 2)，于是|x 1－x 2|min ＝T2＝2.8. 23 解析：考查三角函数的图象、数形结合思想．线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且其中的x 满足6cosx ＝5tanx ，解得sinx ＝23.线段P 1P 2的长为23.9. 解：f(x)＝－2asin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，当a ＞0时，－2a ＋2a ＋b ＝－5，－2a ×⎝⎛⎭⎫－12＋2a ＋b ＝1，∴ a ＝2，b ＝－5；当a ＜0时，－2a ＋2a ＋b ＝1，－2a ×⎝⎛⎭⎫－12＋2a ＋b ＝－5，∴ a ＝－2，b ＝1； a ＝0，不存在．综上，a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.10. 解：(1) 由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2，由T ＝π得ω＝2πT ＝2ππ＝2，由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，所以4π3＋φ＝2kπ－π2，故φ＝2kπ－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以当2x ＋π6＝π6时，即x ＝0时，f(x)取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f(x)取得最大值 3.第8讲三角变换与解三角形1. 3 解析：∵ sin 2α＋cos2α＝14，∴ sin 2α＋1－2sin 2α＝14，∴ sin 2α＝34，∵ α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ sinα＝32，∴ α＝π3，tanα＝ 3. 2. 523 解析：由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得 a ＝bsinAsinB ＝5·1322＝523.3. 5 解析：12arcsinB ＝2，c ＝42，由余弦定理可求得b.4. 1 解析：由sin 2α＋sinαcosα－2cos 2α＝0，得tan 2α＋tanα－2＝0，tanα＝1或tanα＝－2(舍)，sin2α＝2sinαcosα＝2tanα1＋tan 2α＝21＋1＝1.5. 4 解析：由余弦定理得b a ＋ab ＝6cosC ，a 2＋b 2ab ＝6×a 2＋b 2－c 22ab ，a 2＋b 2＝32c 2，tanC tanA ＋tanC tanB ＝sinC cosC ⎝⎛⎭⎫cosA sinA ＋cosB sinB ＝1cosC ⎝⎛⎭⎫sin 2C sinAsinB ＝2ab a 2＋b 2－c 2⎝⎛⎭⎫c 2ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2，将a2＋b 2＝32c 2代入上式即可．注：(1) 在用正、余弦定理处理三角形中的问题时，要么把所有关系转化为边的关系，要么把所有的关系都转化为角的关系；(2) 本题也可以转化为角的关系来处理．6.724 解析：tanα＝－34，tanβ＝－12，tan2β＝－43. 7. －17 解析：由余弦定理得c ＝a 2＋b 2－2abcosC ＝3，故最大角为角B.8.817 解析：12bcsinA ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ，12bcsinA ＝－2bccosA ＋2bc ， 2－12sinA ＝2cosA ，⎝⎛⎭⎫2－12sinA 2＝(2cosA)2＝4(1－sin 2A)，sinA ＝817. 9. 解：(1) ∵ c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－4×14＝4，∴ c ＝2，∴ △ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2) ∵ cosC ＝14，∴ sinC ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154， ∴ sinA ＝asinC c ＝1542＝158.∵ a ＜c ，∴ A ＜C ，故A 为锐角，∴ cosA ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78，∴ cos(A －C)＝cosAcosC ＋sinAsinC ＝78×14＋158×154＝1116.10. 解：(1) sin 2B ＋C 2＋cos2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos2A ＝1＋cosA 2＋2cos 2A －1＝5950.(2) ∵ cosA ＝45，∴ sinA ＝35，∴ S △ABC ＝12bcsinA ＝310bc ，∵ a ＝2，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝4，∴ 85bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ，bc ≤10，∴ S △ABC ＝12×bcsinA ＝310bc ≤3，当且仅当b ＝c 时，取得最大值，所以当b ＝c 时，△ABC 的面积S 的最大值为3.第9讲平面向量及其应用1. ⎝⎛⎭⎫45，－35或⎝⎛⎭⎫－45，352.10 解析：|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，得α·(α－2β)＝0，α·β＝12，|2α＋β|＝4α2＋4α·β＋β2＝10.3. π3 解析：∵ (a ＋2b )·(a －b )＝－6，∴ |a|2－2|b|2＋a·b ＝－6，∴ a·b ＝1，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝12. 4. 4 解析：设BC 边中点为D ，则AO →＝23AD →，AD →＝12(AB →＋AC →)，∴ AO →·AC →＝13(AB →＋AC →)·AC →＝13(3×2×cos60°＋32)＝4.5. (－3,1)或(－1,1) 解析：设a ＝(x ，y)，∴ a ＋b ＝(x ＋2，y －1)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝0，(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1.6. －14 解析：AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎫23AC →－AB → ＝12⎝⎛⎭⎫－1＋23－13×12＝－14. 7. 1－2 解析：设a ＋b ＝2d ，则d 为单位向量． (a －c )·(b －c )＝1－(a ＋b )·c ＝1－2d·c ＝1－2cos 〈d ，c 〉．8. 2 解析：取O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠COA ＝θ，则θ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，C(cosθ，sinθ)，∴ (cosθ，sinθ)＝x(1,0)＋y ⎝⎛⎭⎫－12，32，x ＋y ＝3sinθ＋cosθ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，θ＝π3时取最大值2. 9. 解：(1) 由m·n ＝0得－cosA ＋3sinA ＝0，tanA ＝33，A ∈(0，π)， ∴ A ＝π6.(2)1＋sin2B cos 2B －sin 2B ＝－3，∴ sinB ＋cosBcosB －sinB＝－3，∴ tanB ＝2，∴ tanC ＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6－B ＝－tan π6＋tanB 1－tan π6tanB＝8＋5 3. 10. 解：(1) 在Rt △ADC 中，AD ＝8，CD ＝6，则AC ＝10，cos ∠CAD ＝45，sin ∠CAD ＝35.又∵ AB →·AC →＝50，AB ＝13，∴ cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝513.∵ 0＜∠BAC ＜π，∴ sin ∠BAC ＝1213.∴ sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD)＝6365.(2) S △BAD ＝12AB·AD·sin ∠BAD ＝2525，S △BAC ＝12AB·AC·sin ∠BAC ＝60，S △ACD ＝24，则S △BCD ＝S △ABC ＋S △ACD －S △BAD ＝1685，∴ S △ABD S △BCD ＝32.滚动练习(二)1. {－1,0,1} 解析：M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝{－1,0,1}．2. 0 解析：f(1)＝－f(－1)＝－(－3＋2＋1)＝0.3. 2 解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2sin40°2sin 240°＝ 2.4. (－3,2) 解析：6－x －x 2＞0，∴ x 2＋x －6＜0，∴ －3＜x ＜2.5. 2 解析：f ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)，则函数的增区间是(－∞，0)∪(2，＋∞)，减区间是(0,2)，所以函数在x ＝2处取极小值．6. 1 解析：a －2b ＝(3，3)与c 共线，则3·3＝3k ，∴ k ＝1.7. 6 解析：A*B ＝{0,2,4}．8. 充要解析：f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称－m2＝1m ＝－2.9. (－∞，2ln2－2] 解析：f ′(x)＝e x －2，x ∈(－∞，ln2)，f ′(x)＜0，x ∈(ln2，＋∞)，f ′(x)＞0，x ＝ln2时，f(x)取极小值即为最小值2－2ln2＋a ≤0，a ≤2ln2－2；本题也可转化为a ＝－e x ＋2x ，求函数g(x)＝－e x ＋2x 值域即可．10. ②④ 解析：函数为偶函数，在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调增，画图即可． 11. 点拨：本题考查函数的概念和性质，对分段函数在讨论其性质时要整体考虑．对二次函数要能用数形结合的思想来研究它的单调性与最值等问题．解：(1) 函数f(x)为奇函数，f(－x)＋f(x)＝0对x ∈R 恒成立，m ＝2；(2) 由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞00，x ＝0，x 2＋2x ，x ＜0，知f(x)在[－1,1]上单调递增，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，得1＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(1,3]． 12. 点拨：本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质进行运算、变形、转换和求解的能力．解：(1)∵ f(x)＝sin(π－ωx)cosωx ＋cos 2ωx ，∴ f(x)＝sinωxcosωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12，由ω＞0得2π2ω＝π，∴ ω＝1. (2) 由(1)知f(x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， ∴ g(x)＝f(2x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12，当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，∴ 22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g(x)≤1＋22，故x ＝0时，g(x)在此区间内取最小值为1.13. 点拨：本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力．解：由cosA ＝1213，得sinA ＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.又12bcsinA ＝30，∴ bc ＝156. (1) AB →·AC →＝bccosA ＝156×1213＝144.(2) a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝(c －b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×⎝⎛⎭⎫1－1213＝25，∴ a ＝5. 14. 点拨：应用题是高考必考题型，解决应用题的关键要学会审题，根据条件，选择合适的变量，建立数学模型，选择适当的方法解题，结论要符合题意．解：∵ △ABC 是直角三角形，AB ＝2，BC ＝1，∴ ∠A ＝30°.设∠FEC ＝α，则α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∠EFC ＝90°－α，∠AFD ＝180°－60°－(90°－α)＝30°＋α，∴ ∠ADF ＝180°－30°－(30°＋α)＝120°－α，再设CF ＝x ，则AF ＝3－x ，在△ADF 中有DFsin30°＝3－x sin (120°－α)，由于x ＝EF·sinα＝DF·sinα， ∴DF sin30°＝3－DF·sinαsin (120°－α)，化简得DF ＝32sinα＋3cosα≥37＝217， ∴ △DEF 边长的最小值为217.。

(江苏专版)高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题2三角函数、解三角形、平面向量第8讲三角函数的图象

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题型二| 三角函数的图象及应用
(1)函数y＝sin 2x－π3 的图象可由函数y＝sin x的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y＝sin x的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的，现给出下列四个变换：
A．图象上所有点向右平移π6个单位； B．图象上所有点向右平移π3个单位；
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3．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图8－5所示，则f(x)的单调递减区间为 ________．
图8－5
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2k－14，2k＋34，k∈Z [由图象知，周期T＝254－14＝2， ∴2ωπ＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝π4， ∴f(x)＝cosπx＋π4. 由2kπ<πx＋π4<2kπ＋π，k∈Z，得2k－14<x<2k＋34，k∈Z， ∴f(x)的单调递减区间为2k－14，2k＋34，k∈Z.]
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1．(2016·苏北三市三模)已知函数f(x)＝sin
x(x∈[0，π])和函数g(x)＝
1 2
tan
x的
图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积为________．
43π [由sin x＝12tan x得cos x＝12，又x∈[0，π]，∴x＝π3，又fπ3＝sinπ3＝ 23.
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(1)
π 3
(2) －14，34
[(1)因为三角函数的对称轴经过最值点，所以当x＝
π 6
时，
f(x)＝sin(x＋θ)取最值，即sinπ6＋θ＝±1⇒π6＋θ＝π2＋kπ，(k∈Z)，又0<θ<π2，所以θ

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专题二三角函数与平面向量专题过关·提升卷(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知向量a ＝(2，1)，b －a ＝(－3，k 2－3)，则k ＝2是a ⊥b 的____条件．2．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向________平移________个单位．3．(2015·苏州模拟)已知函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f (0)＝________．4．(2015·全国卷Ⅰ改编)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＋y ＝______________．5．已知|a |＝4，|b |＝1，且〈a ，b 〉＝23π，当|a ＋x b |取得最小值时，则实数x 的值为________．6．已知sin α－cos α＝32，则2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________． 7．(2015·山东高考)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝________． 8．(2015·浙江高考)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是______，单调递减区间是________．9．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝33，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝________． 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________．11．(2015·潍坊二模)已知G 为△ABC 的重心，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝________．12．已知函数f (x )＝2cos(x ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，且f (0)＝1，f ′(0)>0，将函数f (x )的图象向右平移π3个单位，得函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )在[0，π]上的最小值为________．13．(2015·四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝________．14．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝________．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)(2015·北京高考)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．16．(本小题满分14分)(2014·苏、锡、常、镇模拟)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．17．(本小题满分14分)(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n, 求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求函数g (x )＝f (x )f ′(x )－f 2(x )的最大值和最小正周期； (2)若f (x )＝2f ′(x )，求1＋sin 2xcos 2x －sin x cos x 的值．19．(本小题满分16分)(2015·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．20．(本小题满分16分)(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？专题过关·提升卷1．充分不必要 [由a ＝(2，1)，b －a ＝(－3，k 2－3)，得b ＝(－1，k 2－2)．又a ⊥b ⇔a ·b ＝－2＋k 2－2＝0，∴k ＝±2，故“k ＝2”是“a ⊥b ”的充分不必要条件．] 2．右π12 [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．]3．－1 [由题图可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，而|φ|＜π，所以φ＝－π6.故f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－1.]4．1 [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →，故x ＋y＝1.]5．2 [∵|a |＝4，|b |＝1，〈a ，b 〉＝23π，∴a 2＝16，b 2＝1，a ·b ＝|a ||b |·cos 23π＝－2.则|a ＋x b |2＝a 2＋x 2b 2＋2x a ·b ＝16＋x 2－4x ＝(x －2)2＋12≥12，当且仅当x ＝2时，|a ＋x b |2有最小值．∴x ＝2时，|a ＋x b |取得最小值．]6.54 [由sin α－cos α＝32，得1－sin 2α＝34，∴sin 2α＝14，因此2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1＋sin 2α＝54.]7.32a 2[如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.]8．π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) [f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z .]9.32－36 [由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝33，得sin θcos π3＋cos θsin π3＋sin θcos π3－cos θsin π3＝33.∴2sin θcos π3＝33，则sin θ＝33.又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝1－sin 2θ＝63.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝cos θcos π6－sin θsin π6＝32－36.] 10．2 π3 [因为T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT＝2. 将⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入解析式可得：76π＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，即φ＝2k π＋π3(k ∈Z )，又0＜φ＜π2，所以φ＝π3.]11．3 [由G 为重心，得AG →＝23×12(a ＋b )＝13(a ＋b )．∴PG →＝AG →－AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋b 3，GQ →＝AQ →－AG →＝⎝⎛⎭⎪⎫n －13b －13a ，又P 、G 、Q 三点共线，∴13－m －13＝13n －13，即m ＋n ＝3mn .因此1m ＋1n ＝3.]12．－1 [由f (x )＝2cos(x ＋φ)，得f ′(x )＝－2sin(x ＋φ)． ∴f (0)＝2cos φ＝1，且f ′(0)＝－2sin φ>0因此cos φ＝12，且sin φ<0，所以φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又|φ|＜π2，则φ＝－π3，f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，根据图象平移变换，知g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23π. 又0≤x ≤π，知－2π3≤x －2π3≤π3.∴g (x )的最小值为2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.]13．9 [AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9.] 14. 5 [由S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12，得sin B ＝22，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝2＋1－22×1×22＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，则△ABC 为直角三角形，不合题设，舍去．当B ＝3π4时，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意．] 15．解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.16．解 (1)由cos A ＝1213，且0<A <π，得sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513.又S △ABC ＝12bc sin A ＝30，所以bc ＝156，所以AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144.(2)由(1)知bc ＝156，又cos A ＝1213，c －b ＝1，在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )＝1＋2×156×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1213＝25，所以a ＝5.17．解 (1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4.因此x －π4＝π6，故x ＝5π12.18．解 (1)∵f (x )＝sin x －cos x ，且g (x )＝f (x )·f ′(x )－f 2(x )， ∴f ′(x )＝cos x ＋sin x ，因此g (x )＝(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )－(sin x －cos x )2＝sin 2x －cos 2x －(1－sin 2x )＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1.故函数f (x )的最小正周期T ＝π，最大值为2－1. (2)由f (x )＝2f ′(x )，得sin x －cos x ＝2(cos x ＋sin x )，得tan x ＝－3， 1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2xcos 2x －sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－tan x ＝194. 19．解 (1)由A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C .所以－cos 2B ＝sin 2C .又由A ＝π4，得B ＋C ＝34π.∴2B ＝32π－2C ，则cos 2B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－2C ＝－sin 2C .从而sin 2C ＝sin 2C ，即2sin C cos C ＝sin 2C . 又sin C ≠0，故tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55，又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010，由正弦定理，c ＝b sin C sin B ＝223b .① 又S △ABC ＝12bc sin A ＝3，A ＝π4，所以bc ＝62，② 联立①，②可求b ＝3.20．解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得11 AB ＝ACsin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短． (3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．。

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