最新江苏省镇江市高一下学期期中数学试题(解析版)

2018-2019学年江苏省镇江市高一下学期期中数学试题
一、单选题
1．在平行四边形ABCD 中，AB AD +u u u r u u u r
等于（ ）
A ．AC u u u r
B ．CA u u u r
C ．B
D u u u r D ．DB uuu r
【答案】A
【解析】根据平面向量的平行四边形法则求解即可. 【详解】
因为ABCD 为平行四边形,故AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r
.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了向量的平行四边形法则.属于基础题. 2．复数32z i =-（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．2i - B ．2i
C ．-2
D ．3
【答案】C
【解析】根据虚部的定义直接判定即可. 【详解】
根据虚部的概念可知复数32z i =-的虚部是2-. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了虚部的概念,属于基础题.
3．在ABC ∆中，3AC =，1AB =，120A ∠=︒，则BC 的长度为（ ）
A B C ．D ．4
【答案】C
【解析】根据余弦定理求解即可. 【详解】
根据余弦定理有2
2
2
12cos 9123132BC AC AB AC AB A ⎛⎫
=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭
.
故BC 故选：C
【点睛】
本题主要考查了余弦定理的运用,属于基础题. 4．下列四个命题中，错误的是（ ） A ．若a b >，c d <，则a c b d ->-； B ．若0a b >>，0c d <<，则ac bd <；
C ．若a b >；
D ．若a b >，则a b >.
【答案】D
【解析】根据不等式的性质逐个判定或举反例即可. 【详解】
对A,因为a b >,c d <,故c d ->-,故a c b d ->-成立.故A 正确.
对B,因为0a b >>,0c d <<,故0c d ->->,故ac bd ->-,故ac bd <成立.故B 正确.
对C,因为y =
,故若a b >,>成立.故C 正确.
对D,举出反例,当1,2a b ==-时满足a b >,但a b >不成立.故D 错误. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了不等式的性质,属于基础题. 5．已知1x >-，则4
1
x x ++的最小值是（ ） A ．1 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
【解析】配凑出基本不等式求解即可. 【详解】
因为1x >-,故10x +>,故44111311
+=++-≥=++x x x x . 当且仅当4
11
x x +=+,即1x =时取最小值3. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了基本不等式的运用,属于基础题.
6．已知向量()2,0AB =uu u r ，(AC =-u u u r ，则向量BC uuu r 与AC u u u
r 的夹角为（ ）
A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 【答案】A
【解析】根据向量的夹角公式求解即可. 【详解】
因为()
3,3BC AC AB =-=-u
u u r u u u r u u u r .故向量BC uuu r 与AC u u u
r 的夹角θ满足
329313cos BC A C C C A B θ==+⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r .又[]0,θπ∈,故6
πθ=.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了利用向量坐标求解向量夹角的问题,属于基础题. 7．不等式2
6x x -<的解集为（ ） A ．R B ．()2,3- C ．()3,2- D ．()1,6-
【答案】B
【解析】根据绝对值的几何意义求解即可. 【详解】
2
6x x -<即266x x -<-<,故()()2
2320
6060x x x x x R
x x ⎧⎧-+<--<⇒⎨⎨∈-+>⎩⎩,解得
()2,3x ∈-
故选：B 【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式与二次不等式的求解.属于基础题.
8．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，
D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距
6013km ，
一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）
A ．120km
B ．606km
C ．605km
D ．603km
【答案】D
【解析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得
CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF .
【详解】
取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.
因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =,
又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以
60DE km =,60ADE ∠=o ,
在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以603BD km =,
因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =
+=+⨯=km ,
所以6033
cos BD BDC CD ∠===
, 因为1
360904
DF km =⨯
=, 所以在三角形BDF 中,
2222232cos (603)90260390BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯g
10800=,
所以603BF =km .
故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命
令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有. 故选D . 【点睛】
本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.
二、填空题
9．已知()6,2A ，()2,4B --，若AC CB =u u u r u u u r
，则点C 的坐标为______. 【答案】()2,1-
【解析】设(),C x y 再根据AC CB =u u u r u u u r
计算即可. 【详解】
设(),C x y ,因为AC CB =u u u r u u u r
,故()()6,22,4x y x y --=----,
故622
241x x x y y y -=--=⎧⎧⇒⎨⎨-=--=-⎩⎩
,即()2,1C -.
故答案为：()2,1- 【点睛】
本题主要考查了利用向量求解点的坐标,属于基础题. 10．命题“x R ∃∈，320x +=”的否定是______. 【答案】3
,20x x R ∀+∈≠
【解析】根据特称命题的否定为全称命题写出即可. 【详解】
命题“x R ∃∈,320x +=”的否定是“3
,20x x R ∀+∈≠”. 故答案为：3
,20x x R ∀+∈≠ 【点睛】
本题主要考查了特称命题的否定,属于基础题.
11．已知复数()()321m m i -+-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围是______. 【答案】2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】根据复数的几何意义以及对应的点的坐标列式求解即可. 【详解】
因为复数()()321m m i -+-在复平面内对应的点位于第四象限,故320
10m m ->⎧⎨-<⎩
.
解得
2
13
m <<. 故答案为：2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查了复数的几何意义,属于基础题. 12．在ABC ∆中，3
A π
=，12a =，则
sin sin sin a b c
A B C
++=++______.
【答案】【解析】根据正弦定理求解即可. 【详解】
设ABC ∆外接圆半径为R ,则根据正弦定理有
()2sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin R A B C a b c
R A B C A B C ++++==++++
1212πsin sin 3
a A =
==?
故答案为：【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用,属于基础题.
13．与向量()6,8a =r
方向相同的单位向量的坐标是______.
【答案】34,
55⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】先求解向量()6,8a =r
的模长,再根据同向单位向量的公式求解即可.
【详解】
因为10a ==r ,故与向量()6,8a =r 方向相同的单位向量坐标是34,55a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
r
r .
故答案为：34,55⎛⎫
⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查了同向单位向量的求解,属于基础题.
14．已知()2
9f x x tx =-+，若对任意[]1,5x ∈，不等式()0f x ≥恒成立，则实数t 的
最大值为______. 【答案】6
【解析】参变分离可得9t x x ≤+,再根据基本不等式求9
x x
+在区间[]1,5x ∈上的最小值即可. 【详解】
因为()0f x ≥恒成立,即2
9
90x tx t x x
-+≥⇒≤+
,又[]1,5x ∈,故
96x x +
≥= 当且仅当9
x x
=,即3x =时等号成立.故6t ≤,所以实数t 的最大值为6. 故答案为：6 【点睛】
本题主要考查了函数恒成立中求解参数最值的问题,需要参变分离用基本不等式求解.属于基础题.
15．已知向量a r ，b r
满足1a =r ，a b -=r r ，)
1a b +=
-r r ，则b =r
______.
【答案】2
【解析】将a b -=r r 两边平方,再求)
1a b +=-r r
的平方,消去a b ⋅r r
的项再代入
1a =r
即可.
【详解】
因为a b -=r r 所以22
26a a b b -⋅+=r r r r …①,又)
1a b +=
-r r ,
所以()2
2
2
+2+14a a b b ⋅+=-=r r r
r …②.
①+②有222
2210514a b b +=⇒=-=r r r ,故2b =r .
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积与模长的计算等.在遇到有和差等的模长时,经常平方模长进行运算,属于基础题.
16．已知向量a r 表示“向正东方向走10米”，向量b r
表示“向东偏南45︒方向走5米”，
向量c r 表示“向正北方向走20米”，用向量a r ，b r 表示向量c =r ______.
【答案】242a b -r r
【解析】画图根据向量的运算法则求解即可. 【详解】
如图,过c r 的终点A 作a r 的平行线AB 交b r
的反向延长线OB 于B ,易得OAB ∆为直角
三角形.且20,OA AB ==202OB =.故c OB BA =+r u u u r u u u r
.
又5b =r ,故42OB b =-u u u r r ,10a =r ,故2BA a =u u u r r
. 故242c OB BA a b =+=-r u u u r u u u r r r .
故答案为：242a b -r
【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算方法,需要画图利用几何知识构造三角形进行求解.属于基础题.
三、解答题
17．已知复数z 满足()1243i z i +=+（i 是虚数单位）. 求：（1）z ； （2）2
z z -.
【答案】(1) 2i -；26
【解析】(1)易得4312i
z i
+=
+,再利用复数的除法运算即可. (2)由(1)分别求得2,z z 再计算2z z -求模长即可. 【详解】 (1)由题()()()()43124310521212125
i i i i
z i i i i +-+-=
===-++-.即2z i =- (2)由(1)2z i =-,故()()2
22215z z i i i -=--+=-,故
()2
221526z z -=+-=.
即2
26z z -=
【点睛】
本题主要考查了复数的四则运算与模长的计算等.属于基础题.
18．如图，在直角坐标系xOy 中，()1,4A -，()4,1B -，点C 在直线1x =上.
（1）求向量AB u u u r
的坐标；
（2）若A ，B ，C 三点共线，求C 点的坐标； （3）若四边形ABCD 是矩形，求C 点和D 点的坐标. 【答案】(1)()3,3--;(2) ()1,6C ;(3) ()1,4C -,()4,1D - 【解析】(1)根据向量坐标的计算求解即可. (2)设()1,C c 再根据三点共线列式求解即可.
(3)根据四边形ABCD 是矩形可知AB BC ⊥,即可求得C .再设(),D x y 根据
BA CD =u u u r u u u r
求解即可.
【详解】
(1) 因为()1,4A -,()4,1B -,故()()()41,143,3AB =----=--u u u r
.
(2) 设()1,C c ,因为A ,B ,C 三点共线,故,AB AC R λλ=∈u u u r u u u r
,即
()()3,32,4c λ--=-,
故()3232436
c c λλλ⎧=-⎧=-
⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩,故()1,6C
(3) 设()1,C c ,因为四边形ABCD 是矩形,故AB BC ⊥u u u r u u u r
,即()()3,35,10c --⋅-=, 解得4c =-,故()1,4C -.
设(),D x y ,则因为BA CD =u u u r u u u r
,所以()()3,31,4x y =-+,解得4,1x y ==-.故
()4,1D -.
所以()1,4C -,()4,1D - 【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算,属于基础题.
19．（1）已知,x y R ∈，证明：()()2
44222x y x y +≥+；
（2）已知正实数x ，y 满足1x y +=，求2228
x y x y
+++的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2)19 【解析】(1)利用作差法证明即可.
(2)化简2228
x y x y
+++利用1x y +=构造基本不等式证明即可. 【详解】
(1)证明：因为()(
)
()2
2
4422442222220x y x y x y x y x y ==+---+≥+.
故()()
2
4422
2x y x y +≥+
(2) 因为1x y +=,所以()222828
281x y x y x y x y x y x y ⎛⎫+++=+++=+++ ⎪⎝⎭
28111119y x x y =+
+≥+=,当且仅当28y x x y = 即2y x =,12
,33
x y =
=时等号成立. 故2228x y x y
+++的最小值为19.
【点睛】
本题主要考查了利用作差法证明不等式以及基本不等式中“1的变换”方法.属于中档题.
20．在ABC ∆中，点D 在边AB 上，5CD =，53AC =.
（1）若30ACD ∠=︒，求AD 的长； （2）若120BCA ∠=︒，且ABC ∆753
，求ACD ∠的大小； （3）若CD BC ⊥，2BD AD =，求AB 的长.
【答案】(1) 5AD =；(2) 90ACD ∠=︒或30°；(3) 15AB = 【解析】(1)在ADC ∆中利用余弦定理求解即可. (2)根据ABC ∆753
即可求得53BC =可得ABC ∆为等腰三角形,故30A ∠=︒,再在ADC ∆中利用正弦定理求解ADC ∠,再求ACD ∠即可.
(3) 设22BD AD x ==,再根据CD BC ⊥可知
5cos 2CDB x ∠=
,5cos 2CDA x
∠=-, 再在ADC ∆中利用余弦定理求解x 即可. 【详解】
(1) 在ADC ∆中, 2222cos AD CA CD CA CD ACD =+-⋅∠, 即23
752550325AD =+-=,解得5AD =. (2)因为ABC ∆753
, 故
175313753
sin 5324224
AC BC BCA BC ⋅⋅∠=⇒⋅⋅=
,解得53BC =又53AC BC ==120BCA ∠=︒.故180120302
A ︒-︒
∠==︒.
在ADC ∆中有
sin 3
sin sin sin 2
AC CD AC CAD ADC ADC CAD CD ⋅∠=⇒∠==
∠∠.
又()0,180ADC ∠∈︒︒,故60ADC ∠=︒或120ADC =∠︒. 当60ADC ∠=︒时, 180306090ACD ∠=︒-︒-︒=︒, 当120ADC =∠︒时, 1803012030ACD ∠=︒-︒-︒=︒. 故90ACD ∠=︒或30ACD ∠=︒.
(3)设22BD AD x ==,因为CD BC ⊥,故5
cos 2CDB x
∠=
,所以5cos 2CDA x
∠=-
, 在ADC ∆中有2222cos AC AD CD DA CD ADC =+-⋅∠, 即2
2
5752510252x x x x ⎛⎫=+-⋅-⇒= ⎪
⎝⎭
,即5x =. 故315AB x == 【点睛】
本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题意分析边角关系,进而利用公式进行求解.属于中档题.
21．如图，在平面四边形ABCD 中，AB 与DC 不平行，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点.
（1）已知EF DC AB λμ=+u u u r u u u r u u u r
，求实数λ，μ的值；
（2）已知4AB =，6CD =，24EF DC ⋅=u u u r u u u r
，求线段EF 的长度. 【答案】(1) 11
,22
λμ=
=；19【解析】(1)根据E ,F 分别是边AD ,BC 的中点有ED EA =-u u u r u u u r ,FC FB =-u u u
r u u u r ,再用上
下两个四边形的向量关系表达EF u u u r
相加即可.
(2)由(1)有1122
EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r ,再将24EF DC ⋅=u u u r u u u r
利用,DC AB u u u r u u u r 表达,进而得出
12AB DC ⋅=u u u r u u u r ,再平方
1122
EF DC AB =+u u u r u u u r
u u u r 代入12AB DC ⋅=u u u r u u u r 与4AB =,6CD =求解即可. 【详解】
(1)因为E ,F 分别是边AD ,BC 的中点,故ED EA =-u u u r u u u r ,FC FB =-u u u
r u u u r .
又EF ED DC CF =++u u u r u u u r u u u r u u u r …①, EF EA AB BF =++u u u r u u u r u u u r u u u r
…②,
①+②可得2EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r ,故1122
EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r .故11,22λμ==.
(2) 由(1)有1122EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r ,故24EF DC ⋅=u u u r u u u r 有112422DC AB DC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭u u u
r u u u r u u u r ,
故211244822DC AB DC DC AB DC ⎛⎫+⋅=⇒+⋅= ⎪⎝⎭
u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,又6CD =,故12AB DC ⋅=u u u r u u u r .
又1122EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r ,故()
()
2
2221124
4
EF DC AB DC DC AB AB =
+=+⋅+u u u r u u u r u u u r
u u u
r u u u r u u u r u u u r 即()21
3621216=194
EF =+⋅+u u u r ,故EF 长为19.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算,包括基底向量的用法以及向量数量积与模长的综合运用,属于中档题.
22．某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米.为迎接“五一”观光游，欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径PM ，PN ，其中M ，
N 分别在边界AB ，AC 上，小径PM ，PN 与边界BC 的夹角都为60︒.区域PMB
和区域PNC 内种植郁金香，区域AMPN 内种植月季花.
（1）探究：观赏小径PM 与PN 的长度之和是否为定值？请说明理由；
（2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN ，当P 点在何处时，三条小径(),,PM PN MN 的长度和最小？
（3）求郁金香区域面积和的最小值.
【答案】(1)PM 与PN
的长度之和为定值)
400
1；
(2) 当P 点MN 的中点位置时,三条小径(),,PM PN MN
的长度和最小为
)600
1；
(3) (200003
【解析】(1)在BPM ∆和CPN ∆中分别利用正弦定理即可求得PM 与PN 的长度之和.
(2)在PMN ∆中利用MN 边的余弦定理,再根据两边的积与和的基本不等式求解即可. (3)根据(1)
可得)
1PM PB =
-
,)
1PN PC =
,进而表达出BPM S ∆与CPN S ∆,
并利用PB PC BC +=为定值,利用基本不等式求解即可. 【详解】
(1) 在BPM ∆中,易得180456075BMP ∠=︒-︒-︒=︒,故由正弦定理可得
sin sin PM PB
B BMP
=∠∠,
即)
sin 451sin 754
PB PM PB PB ︒⋅=
==︒.
同理)
1PN PC =
.
故)
()1PM PN PC PB +=
+
))
1400
1BC =
=为定值.
(2) 在PMN ∆中,由余弦定理可得2222cos60MN PM PN PM PN =+-⋅︒ 即()()
()2
2
2
2334
PM PN MN PM PN PM PN PM PN +=+-⋅≥+-⨯
,
所以()2
24
PM PN MN +≥
,2
PM PN
MN +≥
.又由(1)
有)
4001PM PN +=,
故)
200
1MN ≥,
当且仅当)
200
1PM PN ==时等号成立.
故当P 点MN 的中点位置时,三条小径(),,PM PN MN
的长度和最小为)
6001.
(3)由(1)
有)
1PM PB =
,
故)
21sin 60124
BPM S PB PM PB ∆=⋅⋅⋅︒=.
同理)
21CPN S PC ∆=
.
故)
()()2
2231++24
4BPM CPN S S PB PC PB PC PB PC ∆∆⎡⎤+=
=
-⋅⎣
⎦
()())2
22
2++2+4PB PC PB PC PB PC ⎤≥-⋅==
⎥⎢⎥⎣⎦
(
200003=.
当且仅当200PB PC ==时取得最小值(200003 【点睛】
本题主要考查了解三角形中的面积公式运用,同时也考查了基本不等式在解三角形中的应用,需要根据题意利用边长表达所求的量,再分析和与积的关系选用合适的基本不等式进行求解.属于难题.。