【精编】2015-2016年江西省高安二中、樟树中学联考高二(上)数学期中试卷和参考答案(理科)
江西省宜市樟树中学、高安二中联考高二数学上学期期末
2015-2016学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．i是虚数单位，则复数的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2．已知集合M={x|log2x＜3}，N={x|x=2n+1，n∈N}，则M∩N=（）A．（0，8） B．{3，5，7} C．{0，1，3，5，7} D．{1，3，5，7}3．已知条件p：x＞1，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知命题p：若x∈N*，则x∈Z．命题q：∃x0∈R，．则下列命题为真命题的是（）A．￢p B．p∧q C．￢p∨q D．￢p∨￢q5．若，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．46．用反证法证明命题“若a+b+c≥0，abc≤0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）A．a、b、c三个实数中最多有一个不大于零B．a、b、c三个实数中最多有两个小于零C．a、b、c三个实数中至少有两个小于零D．a、b、c三个实数中至少有一个不大于零7．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．B．（1，+∞）C．（1，2） D．8．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A． B． C．4 D．9．对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2016次操作后得到的数是（）A．25 B．250 C．55 D．13310．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，若g（x）=．则g′（1）=（）A．B．﹣C．﹣D．211．三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，则•等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣2D．212．已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数 b的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，成等比数列．14．由曲线y=x2和y2=x围成的封闭图形的面积是．15．已知=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），则向量+与﹣的夹角是．16．设双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=x2+alnx（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若g（x）=f（x）+在，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数 b的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，）【考点】导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，故可求实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=f（x）=，x＞0，∴f′（x）==，∴f（x）+xf′（x）=﹣=，∵存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，设g（x）=x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）=1﹣=，当g′（x）=0时，解的x=，当g′（x）＞0时，即＜x≤2时，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即≤x＜2时，函数单调递减，∴当x=2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）=2+=∴b＜，故选：B．【点评】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的最值，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，成等比数列．【考点】类比推理．【专题】计算题．【分析】由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．【解答】解：由于等差数列的定义是后一项减去前一项而等比数列的定义是后一项除以前一项在运算上升了一级故将差类比成比：则T4，，成等比数列故答案为．【点评】本题主要考查类比推理，类比推理一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．14．由曲线y=x2和y2=x围成的封闭图形的面积是．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线y=x2与y2=x 所围成的图形的面积．【解答】解：先将y2=x化成：，联立的：因为x≥0，所以解得x=0或x=1所以曲线y=x2与所围成的图形的面积S=∫01（﹣x2）dx=﹣x3|01=故答案为：．【点评】让学生理解定积分在求面积中的应用，会求一个函数的定积分．15．已知=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），则向量+与﹣的夹角是90°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】空间向量及应用．【分析】由题意可得向量的模长相等，进而可得∴（+）•（﹣）==0，可得结论．【解答】解：∵ =（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），∴||=||=，∴（+）•（﹣）==0∴+与﹣垂直，∴向量+与﹣的夹角为：90°故答案为：90°【点评】本题考查向量的数量积与夹角，涉及向量的模长公式，属基础题．16．设双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的离心率为 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由，得，从而求出A点坐标，再由点A在渐近线y=上，能求出双曲线的离心率．【解答】解：设点F（c，0），B（0，b），由，得=2（），∴，∴A（，），∵点A在渐近线y=上，则，解得e=．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围．【解答】解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]【点评】充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导．18．已知函数f（x）=x2+alnx（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若g（x）=f（x）+在[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调递增区间与单调递减区间；（Ⅱ）由题意得g'（x）=2x+﹣，分函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数与单调减函数讨论，即可确定实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）求导函数可得=（x＞0）令f′（x）＞0，则﹣1＜x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；令f′（x）＜0，则x＜﹣1或0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；∴函数的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．（Ⅱ）由题意得g'（x）=2x+﹣，①若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则2x+﹣≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥﹣2x2在[1，+∞）上恒成立，设Φ（x）=﹣2x2，∵Φ（x）在[1，+∞）上单调递减，∴Φ（x）≤Φ（1）=0，∴a≥0②若函数g（x）为[1，+∞）上的单调减函数，则 g'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，不可能．∴实数a的取值范围[0，+∞）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确运用分离参数法是关键．19．数列{a n}满足S n=2n﹣a n（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．【考点】数学归纳法；数列递推式；归纳推理．【专题】计算题；证明题；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（Ⅰ）通过n=1，2，3，4，直接计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式；（Ⅱ）直接利用数学归纳法证明．检验n取第一个值时，等式成立，假设，证明．【解答】（本小题满分8分）解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=2﹣a1，所以a1=1．当n=2时，a1+a2=s2=2×2﹣a2，所以．同理：，．由此猜想…（Ⅱ）证明：①当n=1时，左边a1=1，右边=1，结论成立．②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即，那么n=k+1时，a k+1=s k+1﹣s k=2（k+1）﹣a k+1﹣2k+a k=2+a k﹣a k+1，所以2a k+1=2+a k，所以，这表明n=k+1时，结论成立．由①②知对一切n∈N*猜想成立．…【点评】本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明故当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．20．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）连接A1C，交C1A于E，证明：DE∥A1B，即可证明A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ABA1的一个法向量、平面ADC1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接A1C，交C1A于E，则E为A1C的中点，又点D是BC的中点，所以DE∥A1B，…又DE⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，故A1B∥平面ADC1．…（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），C1（0，2，4），…=（0，2，0）是平面ABA1的一个法向量，…设平面ADC1的法向量=（x，y，z）．∵=（1，1，0），=（0，2，4），∴．取z=1，得y=﹣2，x=2∴平面ADC1的法向量=（2，﹣2，1），…平面ADC1与ABA1所成的二面角为θ，∴|cosθ|=||=．…从而sinθ=，即平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为…【点评】本题考查线面平行，考查平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点．O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P在椭圆C上，且=+，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可得b=，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解方程可得k；（ⅱ）当l垂直于x轴时，由向量的加法运算，即可判断．【解答】解：（1）由2b=2．得b=，即有=，a2﹣c2=2，所以，则椭圆方程为；（2）椭圆C的方程为2x2+3y2=6．设A（x1，y1），B（x2，y2）．（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k（x﹣1）．C上的点P使=+成立的充要条件是P点坐标为（x1+x2，y1+y2），且2（x1+x2）2+3（y1+y2）2=6，整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6，又A、B在椭圆C上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6，故2x1x2+3y1y2+3=0．①将y=k（x﹣1）代入2x2+3y2=6，并化简得（2+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣6=0，于是x1+x2=，x1•x2=，y1•y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=．代入①解得k2=2，因此，当k=﹣时，l的方程为x+y﹣=0；当k=时，l的方程为x﹣y﹣=0．（ⅱ）当l垂直于x轴时，由+=（2，0）知，C上不存在点P使=+成立．综上，l的方程为x±y﹣=0．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线方程的求法，注意运用分类讨论的思想方法和直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=alnx，g（x）=x2．其中x∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线相互平行，求两平行直线间的距离；（Ⅱ）若f（x）≤g（x）﹣1对任意x＞0恒成立，求实数a的值；（Ⅲ）当a＜0时，对于函数h（x）=f（x）﹣g（x）+1，记在h（x）图象上任取两点A、B连线的斜率为k AB，若|k AB|≥1，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导函数，可得切线方程，利用平行线间的距离公式，可求两平行直线间的距离；（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）+1，确定其单调性，分类讨论，即可求实数a的值；（Ⅲ）|h（x1）﹣h（x2）|≥|x1﹣x2|等价于h（x1）﹣h（x2）≥x2﹣x1，即h（x1）+x1≥h（x2）+x2，构造H（x）=h（x）+x=alnx﹣x2+x+1，H（x）在（0，+∞）上是减函数，可得﹣2x2+x+a≤0在x＞0时恒成立，分离参数，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），依题意得：a=2；…∴曲线y=f（x）在x=1处的切线为2x﹣y﹣2=0，曲线y=g（x）在x=1处的切线方程为2x﹣y ﹣1=0．…∴两直线间的距离为=…（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）+1，则当a≤0时，注意到x＞0，∴h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）单调递减，…又h（1）=0，故0＜x＜1时，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）﹣1，与题设矛盾．…当a＞0时，当，h′（x）＞0，当时，h′（x）＜0∴h（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，…∴h（x）≤∵h（1）=0，又当a≠2时，与不符．∴a=2．…（Ⅲ）当a＜0时，由（2）知h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上是减函数，不妨设0＜x1≤x2，则|h（x1）﹣h（x2）|=h（x1）﹣h（x2），|x1﹣x2|=x2﹣x1，…∴|h（x1）﹣h（x2）|≥|x1﹣x2|等价于h（x1）﹣h（x2）≥x2﹣x1，即h（x1）+x1≥h（x2）+x2，…令H（x）=h（x）+x=alnx﹣x2+x+1，H（x）在（0，+∞）上是减函数，∵（x＞0），…∴﹣2x2+x+a≤0在x＞0时恒成立，∴a≤（2x2﹣x）min…又x＞0时，（2x2﹣x）min=∴a≤﹣，又a＜0，∴a的取值范围是．…【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
【全国百强校】江西省高安中学2015-2016学年高二(重点班)上学期期中考试理数试题(原卷版)
江西省高安中学2015-2016学年高二（重点班）上学期期中考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，长轴为32，则椭圆C 的方程为( ) A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y +=2.从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） A.21 B. 错误！未找到引用源。
31 C. 14 D. 61 3.抛物线241x y =的准线方程是（ ） A. 161-=y B. 1-=y C. 1-=x D. 161-=x 4.已知圆O ：2216x y +=，在圆O 上随机取两点A 、B ，使4AB ≤ ）A ．159 B ．14 C ．35 D ．135.已知双曲线14222=-b y x 的右焦点与抛物线122y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为( )．A.5 B ．4 2 C ．3 D ．56.已知动点),(y x P 满足()()512431222++=-+-y x y x ，则点P 的轨迹是 ( )A ．双曲线B ．抛物线 C.两条相交直线 D ．椭圆 7.阅读程序框图,若m 、n 分别是双曲线221364x y -=的虚轴长和实半轴长，则输出,a i 分别是( ) A ．12,3a i == B ．12,4a i ==C ．8,3a i ==D ．8,4a i ==8.已知抛物线C ：28y x =焦点为F ，A 是C 上一点，O 点为坐标原点，若△AOF 的面积为2，则=PF ( ) A ．52 B ．3 C ．72D ．4 9.给出下列几个命题：①命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题为假命题;②命题:p 任意R x ∈，都有1sin ≤x ，则p ⌝“”：存在R x ∈0，使得1sin 0>x ③命题p :存在R x ∈0，使得23cos sin 00=+x x ；命题q :ABC ∆中，⇔Ａ＞ＢsinB sin ＞A ，则命题“q p 且⌝”为真命题 ④方程13522=++-m y m x 表示椭圆的充要条件是53<<-m ． ⑤对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若2OP OA OB OC =-+，则P 、A 、B 、C 四点共面． 其中不正确．．．的个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 410.方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图可能( ）11.如图，过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )．A ．x y 92=B ．x y 62=C ．x y 32=D ．x y 32=12.已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F ，2F ，且c F F 221=，若椭圆上存在点M 使得1221sin F MF sin F MF c a ∠=∠，则该椭圆离心率的取值范围为（ ） A.()12,0- B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,22 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛220， D.()112，-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知p ：4<-a x ，q ：065-2>-+x x ，且q 是p 的充分而不必要条件，则a 的取值范围为________. 14.双曲线22116y x m-=的离心率2=e ，则双曲线的渐近线方程为 15.点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离小于1的概率为_______16.如图，在空间四边形OABC 中，若8OA =,6AB =,4AC =,5BC =,=∠OAC 4π，OAB ∠=3π，则OA 与BC 所成角的余弦值为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）设：p 函数()()a x ax x f +-=22log 的值域为R ，q ：()02log 4log 222≥++-a x x 对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41x 恒成立，若q p 且为假，q p 或为真，求实数a 的取值范围。
江西省樟树中学、高安市第二中学高二数学上学期期中试
2017届樟树中学、高安二中 期中考试高二数学联考试题(理科）一、选择题（共12题，每题5分，共60分） 1.命题“存在∈0x R ，02x ≤0”的否定是( )A ．不存在∈0x R, 02x >0 B ．存在∈0x R, 02x ≥0C ．对任意的∈0x R, 02x ≤0D ．对任意的∈0x R, 02x>02. 已知命题p ：x ≤1，命题q ：≥1，则命题p 是命题q 的（ ） A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件 D ．必要不充分条件3.抛物线22ay x =的准线方程是1=x ，则a 的值是（ ）A ．18-B ． 18C ．-2D ．24.下列说法中，正确的是( )A ．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B ．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关C ．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D ．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数5.若βα,是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线βα⊥⊥a a a ,,；②存在一个平面βγαγγ⊥⊥,,；③存在两条平行直线βα⊆⊆b a b a ,,,,且αβ//,//b a ；④存在两条异面直线αββα//,//,,,,b a b a b a 且⊆⊆．那么可以是βα//的充分条件的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个6.已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB 与AC 的夹角为( ) A 30° B 45° C 60° D 90°7.程序框图如下图，运行的结果为132=S ，若要使输出的结果为1320，则可能的修改方法是 ( )（第12图）A.在①处改为1,13==s kB.在②处改为10<KC.在③处改为)1(-⨯=K S SD.在④处改为2-=K K8．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么的值为( )A. 3B. 3.15C. 3.5D. 4.59.如图，已知AB 是半圆O 的直径，P N M ,,是将半圆圆周四等分的三个分点，从P N M B O A ,,,,,这6个点中任取3个点，则这3个点组成直角三角形的概率为（ ）A ．52 B ． 207 C．103D ． 4110.如图，所在的平面和四边形所在的平面互相垂直，且，， ，，若，则点在平面内的轨迹是 ( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．曲线的一部分D ．抛物线的一部分11.椭圆1121622=+y x 的长轴为21,A A ,短轴为21,B B ,将椭圆沿y 轴折成一个二面角,使得点1A 在平面221B A B 上的射影恰好为椭圆的右焦点,则该二面角的大小为（ ） A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°12. 如图，已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0>>b a 的右顶点为,A O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点QP ,．若60PAQ ∠=︒且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为( )ABC D二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生. 14.如图，四边形ABCD 为矩形，AB=，BC=1，以A 为圆心，1为半径画圆，交线段AB 于E ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.15.表面积为60π的球面上有四点S 、A 、B 、C ，且△ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S ﹣ABC 体积的最大值为 ．16.若曲线1942=+y y x 和曲线03=-+y kx 有三个交点，则k 的取值范围是________. 三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17.在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．（Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？18.某校1000名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如右图所示，其中成绩分组区间是:[50,60), [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]。
2015-2016年江西省宜春市高安中学高二上学期数学期中试卷带答案(文科)(重点班)
2015-2016学年江西省宜春市高安中学高二（上）期中数学试卷（文科）（重点班）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1．（5分）原命题“若x≤﹣3，则x＜0”的逆否命题是（）A．若x＜﹣3，则x≤0 B．若x＞﹣3，则x≥0 C．若x≥0，则x＞﹣3 D．若x ＜0，则x≤﹣32．（5分）为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔（抽样距）K为（）A．40 B．30 C．20 D．123．（5分）江西省高安中学是江西省优秀重点中学，现有三个校区，瑞阳校区现有学生2100人，碧落校区现有学生2700人，南浦校区现有学生3000人，用分层抽样的方法从这三个校区的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从瑞阳校区学生中抽取的人数7，那么从南浦校区学生中抽取的人数应为（）A．7 B．8 C．9 D．104．（5分）某健康协会从某地区睡前看手机的居民中随机选取了n人进行调查，得到如图所示的频率分布直方图．已知睡前看手机时间不低于20分钟的有243人，则n的值为（）A．180 B．450 C．360 D．2705．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2≤0”B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0则x≠0或y≠0”C．若命题p，￢q都是真命题，则命题“p∧q”为真命题D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件6．（5分）已知某路口最高限速50km/h，电子监控测得连续6辆汽车的速度如图的茎叶图（单位：km/h）．若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=18．（5分）随机地从区间[0，1]任取两数，分别记为x、y，则x2+y2≤1的概率P=（）A．B．C．D．1﹣9．（5分）曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等10．（5分）“0＜a＜4”是“命题“∀x∈R，不等式x2+ax+a≥0成立，为真命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=112．（5分）已知点A（0，2），抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，射线FA 与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若，则p的值等于（）A．B．C．2 D．4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）写出命题“∃x∈R，x2+x≥0”的否定．14．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S．15．（5分）命题p：x＜2，命题q：x≤1，若p∧（￢q）为真，则x的取值范围为．16．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）焦点在y轴上的椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．（2）已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，并经过点（2，2），求此双曲线的标准方程．18．（12分）2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示．（1）根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；（2）现在从年龄属于[25，30）和[40，45）的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率．19．（12分）已知命题p：|m+1|≤2 成立．命题q：方程x2﹣2mx+1=0有实数根．若￢P为假命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．20．（12分）设p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0（其中a＞0），q：实数x满足2＜x≤5（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬q是¬p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．21．（12分）设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．22．（12分）如图，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．（1）求C1、C2的方程；（2）求证：MA⊥MB．（3）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若，求λ的取值范围．2015-2016学年江西省宜春市高安中学高二（上）期中数学试卷（文科）（重点班）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1．（5分）原命题“若x≤﹣3，则x＜0”的逆否命题是（）A．若x＜﹣3，则x≤0 B．若x＞﹣3，则x≥0 C．若x≥0，则x＞﹣3 D．若x ＜0，则x≤﹣3【解答】解：原命题“若x≤﹣3，则x＜0”则：逆否命题为：若x≥0，则x＞﹣3故选：C．2．（5分）为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔（抽样距）K为（）A．40 B．30 C．20 D．12【解答】解：抽样距==40．故选：A．3．（5分）江西省高安中学是江西省优秀重点中学，现有三个校区，瑞阳校区现有学生2100人，碧落校区现有学生2700人，南浦校区现有学生3000人，用分层抽样的方法从这三个校区的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从瑞阳校区学生中抽取的人数7，那么从南浦校区学生中抽取的人数应为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵由题意知瑞阳校区现有学生2100人，从瑞阳校区学生中抽取的人数为7∴可以做出每300人抽取一个人，∴从南浦校区学生中抽取的人数应为=10．4．（5分）某健康协会从某地区睡前看手机的居民中随机选取了n人进行调查，得到如图所示的频率分布直方图．已知睡前看手机时间不低于20分钟的有243人，则n的值为（）A．180 B．450 C．360 D．270【解答】解：根据频率分布直方图，得；睡前看手机时间不低于20分钟的频率为1﹣0.01×10=0.9，所以样本容量n==270．故选：D．5．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2≤0”B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0则x≠0或y≠0”C．若命题p，￢q都是真命题，则命题“p∧q”为真命题D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件【解答】解：A．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2≤0”，正确B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0则x≠0且y≠0”，故B错误，C．若命题p，￢q都是真命题，则命题p是真命题，q是假命题，则命题“p∧q”为假命题，故C错误，D．由x2﹣5x﹣6=0得x=﹣1或x=6，即“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，故D错误，6．（5分）已知某路口最高限速50km/h，电子监控测得连续6辆汽车的速度如图的茎叶图（单位：km/h）．若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：不同车速有6辆，从中任取2辆，共有C62=15．则恰好有1辆汽车超速的数目：2×4=8．从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为：．故选：C．7．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1【解答】解：由题意可得a2﹣b2=9，0+=1，∴a2=18，b2=9，故椭圆的方程为+=1，故选：D．8．（5分）随机地从区间[0，1]任取两数，分别记为x、y，则x2+y2≤1的概率P=（）A．B．C．D．1﹣【解答】解：在平面直角坐标系中作出图形，如图所示，则x，y∈[0，1]的平面区域为边长为1的正方形OABC，符合条件x2+y2≤1的区域为以原点为圆心，1为半径的扇形OAC内部，∴P（x2+y2≤1）==．故选：C．9．（5分）曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【解答】解：曲线=1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．曲线=1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8．对照选项，则D正确．故选：D．10．（5分）“0＜a＜4”是“命题“∀x∈R，不等式x2+ax+a≥0成立，为真命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若命题“∀x∈R，不等式x2+ax+a≥0成立，为真命题”，则△=a2﹣4a≤0，解得：0≤a≤4，∴0＜a＜4是“命题“∀x∈R，不等式x2+ax+a≥0成立，为真命题”的充分不必要条件，故选：A．11．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．12．（5分）已知点A（0，2），抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，射线FA 与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若，则p的值等于（）A．B．C．2 D．4【解答】解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∴，则|KN|：|KM|=2：1，k FN==﹣，∴﹣=﹣2，求得p=2，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）写出命题“∃x∈R，x2+x≥0”的否定∀x∈R，x2+x＜0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2+x≥0”的否定“∀x∈R，x2+x＜0”．故答案为：∀x∈R，x2+x＜0．14．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S7．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2°+21+22的值，∵S=2°+21+22=7．故答案为：7．15．（5分）命题p：x＜2，命题q：x≤1，若p∧（￢q）为真，则x的取值范围为（1，2）．【解答】解：∵p∧（￢q）为真∴p真q假若p真，x＜2若q假，x＞1综上，则x的取值范围为：（1，2）16．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为．【解答】解：∵|OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF∴|EF|=b，∵，∴E为PF的中点，|PF|=2b，又∵O为FF′的中点，∴PF′∥EO，∴|PF′|=2a，∵抛物线方程为y2=4cx，∴抛物线的焦点坐标为（c，0），即抛物线和双曲线右支焦点相同，过F点作x轴的垂线l，过P点作PD⊥l，则l为抛物线的准线，∴PD=PF′=2a，∴P点横坐标为2a﹣c，设P（x，y），在Rt△PDF中，PD2+DF2=PF2，即4a2+y2=4b2，4a2+4c（2a﹣c）=4（c2﹣b2），解得e=故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）焦点在y轴上的椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．（2）已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，并经过点（2，2），求此双曲线的标准方程．【解答】解：（1）由题可知b=2，a=4，椭圆的标准方程为：（6分）（2）设双曲线方程为：x2﹣4y2=λ，（9分）∵双曲线经过点（2，2），∴λ=22﹣4×22=﹣12，故双曲线方程为：．（12分）18．（12分）2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示．（1）根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；（2）现在从年龄属于[25，30）和[40，45）的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，年龄在[25，30）的频率为1﹣（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.2，∴年龄在[25，30）的小矩形的高为=0.04，补充画完整频率分布直方图如图所示，∴估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为22.5×0.01×5+27.5×0.04×5+32.5×0.07×5+37.5×0.06×5+42.5×0.02×5=33.5；（2）年龄在[25，30）内的频率为0.2，对应的人数为20×0.2=4，记为a、b、c、d；年龄在[40，45）内的频率为0.02×5=0.1，对应的人数为20×0.1=2，记为E、F；现从这6人中随机抽取2人，基本事件是ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，共15种，属于同一年龄组的基本事件是ab、ac、ad、bc、bd、cd、EF，共7种，所以，所求的概率是P=．19．（12分）已知命题p：|m+1|≤2 成立．命题q：方程x2﹣2mx+1=0有实数根．若￢P为假命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：因为“¬p”为假，所以命题p是真命题．（2分）又由“p∧q”为假命题，所以命题q是假命题．（4分）当p为真命题时，则得﹣3≤m≤1；（5分）当q为假命题时，则△=4m2﹣4＜0，得：﹣1＜m＜1（8分）当p是真命题且q是假命题时，得﹣1＜m＜1．（12分）20．（12分）设p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0（其中a＞0），q：实数x满足2＜x≤5（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬q是¬p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，解得1＜x＜4，即p为真时实数x的范围是：1＜x＜4，若p∧q为真，则P真且q真，∴实数x的范围是（2，4）；（2）若¬q是¬p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则B⊂A，由x2﹣5ax+4a2＜0得（x﹣4a）（x﹣a）＜0，∵a＞0，∴A=（a，4a），又B=（2，5]，则a≤2且4a＞5，解得：＜a≤2．21．（12分）设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【解答】解：设事件A为“方程有实根”．当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P==（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是22．（12分）如图，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．（1）求C1、C2的方程；（2）求证：MA⊥MB．（3）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若，求λ的取值范围．【解答】解：（1）椭圆C1的离心率e=，∴a2=2b2（1分）又∵x轴被曲线截得的线段长等于C1的短轴长．∴，得b=1，a2=2，可得椭圆C1的方程为而抛物线C2的方程为y=x2﹣1；（3分）（2）设直线AB方程为y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2），则由消去y，得x2﹣kx﹣1=0（4分）∴x1+x2=k，x1x2=﹣1，可得y1+y2=k（x1+x2）=k2，y1y2=kx1•kx2=k2x1x2=﹣k2∵M坐标为（0，﹣1），可得，∴=x1x2+y1y2+y1+y2+1=﹣1﹣k2+k2+1=0因此，，即MA⊥MB（7分）（3）设直线MA方程为y=k1x﹣1，直线MB方程为y=k2x﹣1，且满足k1k2=﹣1∴，解得，同理可得因此，=（10分）再由，解得，同理可得∴=（13分），即λ=的取值范围为[，+∞）（15分）赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF第21页（共21页）。
江西省樟树中学、高安市第二中学2015-2016学年高二上学期期中联考化学试题解析(解析版)
1．“低碳经济”是以低能耗、低污染、低排放为基础的可持续发展经济模式。
下列说法与“低碳经济”不符合．．．的是( )A．大力研发新型有机溶剂替代水作为萃取剂B．加强对煤、石油、天然气等综合利用的研究，提高燃料的利用率C．利用CO2合成聚碳酸酯类可降解塑料，实现“碳”的循环利用D．使用甲醇、乙醇混合型汽油可以减少对大气的污染【答案】A【解析】试题分析：A、有机溶剂比水污染大，不符合低碳经济，故正确；B、提高燃料的利用率，可减少能源的使用和污染物的排放，符合低碳经济，故错误；C、能减少CO2的排放，符合低碳经济，故错误；D、放出相同的热量，甲烷生成的CO2较少，利用甲烷更低碳，能减少CO2的排放，符合低碳经济，故错误。
考点：使用化石燃料的利弊以及新能源的开发等知识。
2．下列关于化学反应速率的说法正确的是()A．化学反应速率是指一定时间任何一种反应物的减小或任何一种生成物的增加B．化学反应速率0.8 mol/(L·s)是指1 s时某物质的浓度为0.8 mol/LC．对于任何化学反应来说，反应速率越大，反应现象就越明显D．根据化学反应速率的大小可以知道化学反应进行的快慢【答案】D【解析】试题分析：A、化学反应速率是指单位时间内反应物浓度的减小或生成物浓度的增加，故错误；B、是1s 内某物质浓度的变化为0.8mol·L－1，故错误；C、化学反应速率快，现象不一定明显，如NaOH和盐酸的反应，故错误；D、化学反应速率衡量化学反应进行快慢的程度，故正确。
考点：考查化学反应速率等知识。
3．下列说法中正确的是()A．在100 ℃、101 kPa条件下，1 mol液态水汽化时需要吸收40.69 kJ的热量，则H2O(g) ===H2O(l)的ΔH＝＋40.69 kJ·mol－1B．已知CH4(g)＋2O2(g)===CO2(g)＋2H2O(l)ΔH＝－890.3 kJ·mol－1，则CH4的燃烧热ΔH＝－890.3 kJC．H2(g)＋Br2(g)===2HBr(g)ΔH＝－72 kJ·mol－1其他相关数据如下表：则表中a为D．已知S(g)＋O2(g)===SO2(s)ΔH1，S(g)＋O2(g)===SO2(g)ΔH2，则ΔH2<ΔH1【答案】C【解析】试题分析：A、水蒸气转变成液态水放出热量，△H=－40.69kJ·mol－1，故错误；B、△H的单位不对，应为kJ·mol－1，故错误；C、△H=反应物的键能总和－生成物的键能总和=436＋a－2×369kJ·mol－1=－72kJ·mol－1，解得a=230，故正确；D、S(s)S(g) △H>0，因此△H1<△H2，故错误。
江西省高安市第二中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题(奥赛班)
高安二中2015-2016学年度第一学期期中考试高一年级数学试卷（A 卷）（注意：请将答案填在答题卡上）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合2{12},{log 2}A x x B x x =-<=<，则A B = （ ） A ．(1,3)-B ．(0,4)C .(0,3)D ．(1,4)-2. 设217.0=a ， 218.0=b ，3log 0.7c =，则,,a b c 之间的大小关系是（ ） A.c b a << B.c a b << C. a b c << D.b a c <<3． 设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a b B ．若//a α，b β⊥，且αβ⊥，则//a b C ．若a α⊥，//a b ，//b β， 则αβ⊥ D ．若a b ⊥，a α⊂，b β⊂，则αβ⊥ 4.下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．2()()f x g x == B ．0()1,()f x g x x ==C ．4,log 4xy x y == D ．()1f x x =+，21()1x g x x -=-5． 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上存在零点的是（ ） A ．1y x=B ．x y e -=C ．lg ||y x =D ．21y x =-- 6. 已知}01|{},0|{=-==-=ax x N a x x M ，若N N M =⋂，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．-1C ．1或-1D ．0或1或-17． 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E ，F 分别是边1AA ，1CC 的中点,点M 是1BB 上的动点,过点E ，M ，F 的平面与棱1DD 交于点N ,设BM x =,平行四边形EMFN 的面积为S ,设2y S =,则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（ ）（A ）23()222f x x x =-+，[0,1]x ∈ （B ）31,[0,),22()11,[,1].22x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪+∈⎪⎩（C ）22312,[0,],22()312(1),(,1].22x x f x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪--+∈⎪⎩ （D ）23()222f x x x =-++，[0,1]x ∈8.已知函数()f x 是R 上的偶函数，若对于0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当)2,0[∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2012()2011(f f +-的值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．29. 设,αβ为两个不重合的平面， l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出以下四个命题： ①若//,,//l l αβαβ⊂则 ②若,,//,//,//m n m n ααββαβ⊂⊂则 ③若//,,l l a αββ⊥⊥则 ④若,,,,m n l m l n l ααα⊂⊂⊥⊥⊥且则 其中正确的序号是（ ） A ．①③④ B ．①②③C ．①③D ．②④10． 已知函数⎩⎨⎧>≤+=0,10,2)(x nx x kx x f ()k R ∈，若函数()y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．2k ≤B ．10k -<<C ．21k -≤<-D ．2k ≤-11．设奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，且(1)1f -=-，若对所有的[]1,1x ∈-及任意的[]1,1a ∈-都满足2()21f x t at ≤-+，则t 的取值范围是（ ）A.[]2,2- B.{}220t t t t ≤-≥=或或C.,2211⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 02211t t t t ⎧⎫≤-≥=⎨⎬⎩⎭或或12．已知函数()M f x 的定义域为实数集R ,满足()1,0,M x Mf x x M∈⎧=⎨∉⎩(M 是R 的非空真子集),在RA．20,3⎛⎝13.14(1415．bBC=cCD=16．数(2f()(f x=(17.（1（218. 已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<． （1）求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的最小值为4-，求实数a 的值．19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱ABC AA 底面⊥1，且侧棱和底面边长均为2，D 是BC 的中点（1）求证:11CC BB AD 平面⊥；（2）求证:11ADC B A 平面∥；（3）求三棱锥11A D B C -的体积20．已知函数()l g (1)(1)a f x o x a =+>，若函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于原点对称． （1）写出函数()g x 的解析式；（2）求不等式2()()0f x g x +≥的解集A ；(3)问是否存在m R *∈，使不等式()2()log a f x g x m +≥的解集恰好是A ？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．21．如图,在底面是菱形的四棱锥P ABCD-中,60,,ABC PA AC a PB PD ∠=︒====，点E 在PD 上,且:2:1PE PD =AC A 1C 1B 1D(I)证明PA ABCD ⊥平面；(II)求以AC 为棱,平面EAC 与平面DAC 所成角θ的大小; (Ⅲ)在棱PC 上是否存在一点F ,使//BF AEC 平面？证明你的结论.22. 已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,121,0,312)(2x x x x x f x⑴写出该函数的单调区间；⑵若函数m x f x g -=)()(恰有3个不同零点，求实数m 的取值范围；⑶若12)(2+-≤bn n x f 对所有的[][]1,1,1,1-∈-∈b x 恒成立，求实数n 的取值范围。
江西省高二上学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线的图像如图所示，则角是（ ）sin cos :y x l θθ=+θA ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果. sin 0θ<cos 0θ>【详解】结合图像易知，，， sin 0θ<cos 0θ>则角是第四象限角， θ故选：D.2．的展开式中的系数为（ ） ()()8x y x y -+36x y A ． B ．C ．D ．2828-5656-【答案】B【分析】由二项式定理将展开，然后得出，即可求出的系数. 8()x y +8()()x y x y -+36x y 【详解】由二项式定理：8()()x y x y -+080171808888()(C C C )x y x y x y x y =-+++080171808080171808888888(C C C )(C C C )x x y x y x y y x y x y x y =+++-+++090181818081172809888888(C C C )(C C C )x y x y x y x y x y x y =+++-+++ 观察可知的系数为. 36x y 6523888887876C C C C 2821321⨯⨯⨯-=-=-=-⨯⨯⨯故选：B.3．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（ ） p 0mn >q 221x y m n+=p q A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系.【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立；0mn >0m n =>221x y m n +=而表示一个椭圆，则成立，必要性成立. 221x y m n+=0mn >所以是的必要不充分条件. p q 故选：B4．两平行平面分别经过坐标原点O 和点，且两平面的一个法向量，则两,αβ()1,2,3A ()1,0,1n =-平面间的距离是（ ）A B C D ．【答案】A【分析】由空间向量求解【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O 和点，,αβ(1,2,3),(1,2,3)A OA =且两平面的一个法向量，(1,0,1)n =-∴两平面间的距离 ||||n OA d n ⋅=== 故选：A5．2022年遂宁主城区突发“920疫情”，23日凌晨2时，射洪组织五支“最美逆行医疗队”去支援遂宁主城区，将分派到遂宁船山区、遂宁经开区、遂宁高新区进行核酸采样服务，每支医疗队只能去一个区，每区至少有一支医疗队，若恰有两支医疗队者被分派到高新区，则不同的安排方法共有（ ） A ．30种 B ．40种 C ．50种 D ．60种【答案】D【分析】先从5支医疗队中选取2支医疗队去高新区，再将剩下的3支医疗队分配到船山区与经开区，最后根据分步乘法原理求解即可.【详解】解：先从5支医疗队中选取2支医疗队去高新区，有种不同的选派方案，25C 10=再将剩下的3对医疗队分配到船山区与经开区，有种不同的选派方案，2232C A 6=所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有种.222532C C A 60=故选：D6．已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的两条切线C 2220x y x +-=l 10x y ++=P l P C 、，切点分别、，当最小时，直线PC 的方程为（ ）PA PB A B ·PC ABA ．B ．C ．D ．+=0x y 10x y --=2210x y -+=2210x y ++=【答案】B【分析】根据圆的切线的有关知识，判断出最小时，直线与直线垂直，进而可得直·PC AB l PC 线的方程.PC 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为.C ()2211x y -+=()1,0C =1r 依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ， 所以，而14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△当直线时，最小，此时最小， PC l ⊥PA PC AB ⋅所以此时，即. :=1PC y x -10x y --=故选：B.7．某奥运村有，，三个运动员生活区，其中区住有人，区住有人，区住有人A B C A 30B 15C 10已知三个区在一条直线上，位置如图所示奥运村公交车拟在此间设一个停靠点，为使所有运动员..步行到停靠点路程总和最小，那么停靠点位置应在（ ）A ．区B ．区C ．区D ．，两区之间A B C A B 【答案】A【分析】分类讨论，分别研究停靠点为区、区、区和，两区之间时的总路程，即可得出A B C A B 答案．【详解】若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米； A 15100103004500⨯+⨯=若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米； B 30100102005000⨯+⨯=若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米； C 303001520012000⨯+⨯=若停靠点为区和区之间时，设距离区为米，所有运动员步行到停靠点的路程和为：A B A x ， 30151001010020054500x x x x +⨯-+⨯+-=+（）（）当取最小值，故停靠点为区． 0x =A 故选：A8．已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若,,A B C 22221(0,0)x y a b a b -=>>AB O AC F 且，则该双曲线的离心率是（ ）BF AC ⊥2AF CF =A ．B C D ．5394【答案】B【分析】根据题意，连接，构造矩形；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角','AF CF 'FAF B 三角形勾股定理求得 的关系，进而求出离心率．a c 、【详解】设左焦点为， ，连接F'AF m =','AF CF 则 ， ， ， 2FC m ='2AF a m =+'22CF a m =+'2FF c =因为，且经过原点 BF AC ⊥AB O 所以四边形 为矩形'FAF B 在Rt △中， ，代入'AF C 222'+'AF AC F C =()()()2222+3=22a m m a m ++化简得 23a m =所以在Rt △中，，代入 'AF F 222'+'AF AF F F =()222222233a a a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得 ，即 22179c a =e =所以选B【点睛】本题考查了双曲线的综合应用，根据条件理清各边的相互关系，属于中档题．二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件1a =-210a x y -+=20x ay --=B ．已知，O 为坐标原点，点是圆外一点，直线的方程是，0ab ≠(,)P a b 222x y r +=m 2ax by r +=则与圆相交m C ．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为10kx y k ---=(3,1)M -(3,2)N k 1322k -≤≤D ．直线的倾斜角的取值范围是sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ 【答案】BD【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率、直线的方程，直线与圆的位置关系，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：对于A ，由直线与直线互相垂直，210a x y -+=20x ay --=，化为，解得或，21(1)()0a a ∴⨯+-⨯-=20a a +==0a 1- “”是“直线与直线互相垂直”的充分但不必要条件，故A 错误；∴1a =-210a x y -+=20x ay --=对于B ，因为点是圆外一点，所以，所以圆心到直线的距离(,)P a b 222x y r +=222a b r +>m，可得与圆相交，故B 正确；||d r =m 对于C ，已知直线和以，为端点的线段相交，则、两个点在直10kx y k ---=(3,1)M -(3,2)N M N 线的两侧或直线上，10kx y k ---=则有，解可得或，故C 错误； (311)(321)0k k k k -------≤12k ≤-32k ≥对于D ，设直线的倾斜角，则,， sin 20x y α++=θtan sin [1θα=-∈-1]故的取值范围是，故D 正确. θ3[0,[,)44πππ 故选：BD .10．已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ） 2(n x 314A ．B ．展开式中的常数项为45 10n =C ．含的项的系数为210D ．展开式中的有理项有5项5x【答案】ABC【分析】根据二项式的展开式的通项公式，结合第3项与第5项的系数之比为()52211C r n rr r n T x-+=-，可得.再根据公式逐个选项判断即可. 31410n =【详解】二项式的展开式的通项为，由于第3项与第5项的()()5222221C 11C rr n r rrn r r r n nT xx x---+=-=-系数之比为，则，故，得. 31424C 3C 14n n=()()()()1312123141234n n n n n n -⨯=---⨯⨯⨯25500n n --=∴(n ＋5)(n －10)＝0，解得n ＝10，故A 正确；则，令，解得， ()52021101C rr r r T x-+=-52002r-=8r =则展开式中的常数项为，故B 正确； 810C 45=令，解得，则含的项的系数为，故C 正确； 52052r -=6r =5x ()66101C 210-=令，则r 为偶数，此时，故6项有理项． 520Z 2r-∈0,2,4,6,8,10r =故选：ABC11．2022年2月5日晩，在北京冬奥会短道速滑混合团体接力决赛中，中国队率先冲过终点，为中国体育代表团拿到本届奥运会首枚金牌.赛后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5名运动员从左往右排成一排合影留念，下列结论正确的是（ ） A ．武大靖与张雨婷相邻，共有48种排法 B ．范可欣与曲春雨不相邻，共有72种排法 C ．任子威在范可欣的右边，共有120种排法D ．任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有78种排法 【答案】ABD【分析】利用分步乘法计数原理结合排列与排列数，逐项分析判断即可.【详解】解：A 项中，武大靖与张雨婷相邻，将武大靖与张雨婷排在一起有种排法， 22A 再将二人看成一个整体与其余三人全排列，有种排法，44A 由分步乘法计数原理得，共有（种）排法，故选项A 正确；2424A A 48=B 项中，范可欣与曲春雨不相邻，先将其余三人全排列，有种排法， 33A 再将范可欣与曲春雨插入其余三人形成的4个空位中，有种排法，24A由分步乘法计数原理得，共有（种）排法，故选项B 正确；3234A A =72C 项中，任子威在范可欣的右边，先从五个位置中选出三个位置排其余三人，有种排法， 35A 剩下两个位置排任子威、范可欣，只有1种排法，所以任子威在范可欣的右边，共有（种）排法，故选项C 错误；35A =60D 项中，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5人全排列，有种排法， 55A 任子威在最左边，有种排法，武大靖在最右边，有种排法， 44A 44A 任子威在最左边，且武大靖在最右边，有种排法，33A 所以任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有（种）排法，故选项D 正确. 543543A -2A +A =78故选：ABD.12．为庆祝党的二十大胜利召开，由南京市委党史办主办，各区委党史办等协办组织的以“喜迎二十大 永远跟党走 奋进新征程”为主题的庆祝中共南京地方组织成立周年知识问答活动正在进100行，某党支部为本次活动设置了一个冠军奖杯，奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.则32π38下列结论正确的是（ ）A ．经过三个顶点的球的截面圆的面积为 ,,ABC 43πB ．异面直线与所成的角的余弦值为AD BE 916C ．连接，构成一个八面体，则该八面体的体积为 ,,AB BC CA ABCDEF ABCDEF 18D ．点 D 2【答案】ACD【分析】对A ：经过三个顶点的球的截面圆即为的外接圆，运算求解；对B ：建系，,,A B C MNG △利用空间向量处理异面直线夹角问题；对C ：八面体由三个全等的四棱锥ABCDEF和直棱柱组合而成，结合相关体积公式运算求解；,,D ACGM E ABNM F BCGN ---ABC MNG -对D ：点到球面上的点的最小距离为，结合球的性质运算求解.D OD R -【详解】如图1，取的中点分别为，连接 ,,DE EF DF ,,M NG ,,,,,AM BN CG MN NG GM 根据题意可得：均垂直于平面，可知 ,,AM BN CG DEF ABC MNG ≅△△∵的边长为2，设的外接圆半径为r ，则MNG △MNG △sin MN 2r MGN ==∠∴的外接圆面积为r =MNG △4ππ32r =∴经过三个顶点的球的截面圆的面积为，A 正确； ,,A B C 43π八面体由三个全等的四棱锥和直棱柱组合ABCDEF ,,D ACGM E ABNM F BCGN ---ABC MNG -而成直棱柱的底面边长为2，高ABC MNG -AM =12262ABC MNG V -=⨯⨯=设，则为的中点 EN MN H = H MN ∵平面，平面 AM ⊥DEF EH ⊂DEF ∴AM EH ⊥又∵为等边三角形且为的中点，则EMN A H MN MN EH ⊥，平面 AM MN M = ,AM MN ⊂ABNM ∴平面EH ⊥ABNM即四棱锥的高为E ABNM -EH =1243E ABNM V -=⨯=∴八面体的体积为，C 正确；ABCDEF 318E ABNM ABC MNG V V V --=+=设的中心分别为，球的球心为，由题意可得其半径 ,ABC MNG △△12,O O O =2R 则可知三点共线，连接 12,,O O O 1,O B OD则可得：212112O D O O O O O O O O OD ===+==点，D 正确；D 2-如图2，以G 为坐标原点建立空间直角坐标系则有：((()(),,2,0,0,0,A B D E -∴((,DA BE =-=- 又∵ 5cos ,8DA BE DA BE DA BE⋅==-∴异面直线与所成的角的余弦值为，B 错误；AD BE 58故选：ACD.【点睛】1.对于多面体体积问题，要理解几何体的结构特征，并灵活运用割补方法； 2.对于球相关问题，主要根据两个基本性质：①球的任何截面都是圆面；②球心和截面圆心的连线与截面垂直.三、填空题13．若，则______．2213C P x xx -+=x =【答案】5【分析】将排列数、组合数按照公式展开，即可解出x 的值.【详解】因为，， ()22313C 3C 2x x x x x --==21P (1)x x x +=+所以，由可得，3(x -1)=2(x +1)2213C P x x x -+=解得，x =5.故答案为：5.14．各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为_____． 【答案】120【分析】四个数位数字分别为，则，应用插空法求四位数个数. 1234,,,a a a a 12348a a a a +++=【详解】设对应个位到千位上的数字，则，且， 1234,,,a a a a *4N a ∈N(1,2,3)i a i ∈=1234a a a a +++8=相当于将3个表示0的球与8个表示1的球排成一排，即10个空用3个隔板将其分开，故共种.310C 120=故答案为：12015．已知分别为双曲线的左、右顶点，点为双曲线上任意一点，12,A A 2222:1(0)x y C a b a b -=>>P C 记直线，直线的斜率分别为，若，则双曲线的离心率为__________. 1PA 2PA 12,k k 122k k ⋅=C【分析】设，应用斜率两点式得到，根据为双曲线上一点即可得双曲线参()00,P x y 22202y x a=-P C 数关系，进而求其离心率【详解】依题意，设，则，，又()()12,0,,0A a A a -()00,P x y 0012002y y k k x a x a ⋅=⋅=+-22202y x a∴=-，，故，即()2222220220000222211b x a x y x y b a b a a -⎛⎫-=⇒=-= ⎪⎝⎭222b a ∴=22213b e a =+=e =16．在棱长为1的正方体中，M 是棱的中点，点P 在侧面内，若1111ABCD A B C D -1AA 11ABB A ，则的面积的最小值是________．1D P CM ⊥PBC △【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量、三角形的面积公式、二次函数进行求解.【详解】如图，以点D 为空间直角坐标系的原点，分别以DA ，DC ，所在直线为x ，y ，z 轴， 1DD 建立空间直角坐标系，则点，所以， ()1,,,[01]P y z y z ∈、，()10,0,1D ()11,,1D P y z =-因为，所以，()10,1,0,1,0,2C M ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,1,2CM =-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 因为，所以，所以，1D P CM ⊥ ()11102y z -+-=21z y =-因为，所以， ()1,1,0B ()0,1,21BP y y =--，=因为，所以当时， 01y ≤≤35y =min BP =因为正方体中，平面平面，故， BC ⊥11,ABB A BP ⊂11ABB A BC BP ⊥所以()min 1=12PBC S ⨯A四、解答题17．已知的顶点. ABC A ()()()2,64,2,2,0A B C -，(1)求边的中垂线所在直线的方程； BC (2)求的面积. ABC A 【答案】(1)； 340x y +-=(2)14.【分析】（1）求出直线的斜率，再由垂直关系得出直线边的中垂线的斜率，最后由点斜式BC BC 写出所求方程；（2）求出直线的方程，再求出点到直线的距离以及，最后由三角形面积公式计算即AB C AB AB 可.【详解】（1）直线的斜率为，直线边的中垂线的斜率为，BC 2014(2)3-=--BC 3-又的中点为，BC ()1,1边的中垂线所在直线的方程为：，即； BC ()131y x -=--340x y +-=（2）直线的方程为：，即， AB 626(2)24y x --=--2100x y +-=点到直线的距离 C AB d=故的面积为. ABC A 1142S AB d =⋅=18．已知展开式的二项式系数和为512，且()(2)n f x x =-.2012(2)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-(1)求的值； 123n a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2)求被除的余数. ()20f 17【答案】(1) 1(2) 1【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合展开式，分别令和，求得2512n =9n =1x =2x =和，即可求解；01a =-012390a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅（2）由，结合二项式的展开式，即可求解.999(20)(2021817)(1)f ==+=-【详解】（1）解：由展开式的二项式系数和为，可得，解得，(2)n x -5122512n =9n =则，9290129(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-令，可得，1x =90(12)1a =-=-令，可得，2x =012399(22)0a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅=-⋅+=⋅所以， 12390(1)1a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅=--+=⋅即.1231n a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅（2）解：由题意，可得，999(20)(2021817)(1)f ==+=-又由，90918890081789999999(171)1717171717(1717)1C C C C C C C +=⋅+⋅++⋅+⋅=⋅⋅+⋅+++ 所以被除的余数为.()20f 17119．如图，在四棱锥中，已知四边形是梯形，P ABCD -ABCD ，是正三角形．,,22⊥===∥AB CD AD AB AB BC CD PBC △(1)求证：；BC PA ⊥(2)当四棱锥体积最大时，二面角的大小为，求的值. P ABCD -B PA C --θcos θ【答案】(1)证明见解析； (2). 15【分析】（1）取BC 的中点O ，连接AO ，可证明，由线面垂直的判定定理可证AO BC ⊥PO BC ⊥明平面PAO ，即得证；BC ⊥（2）分析可知当平面平面ABCD 时，四棱锥体积最大，建立空间直角坐标系，PBC ⊥P ABCD -由二面角的向量公式，计算即可.【详解】（1）证明：如图，取AB 的中点E ，连接CE ，A C ．∵，， 2AB CD =AB CD ∥∴CD 与AE 平行且相等， ∴四边形AECD 是平行四边形，又，∴四边形AECD 是矩形，∴． AD AB ⊥CE AB ⊥∴，∴是等边三角形． =AC BC AB =ABC A 取BC 的中点O ，连接AO ，则． AO BC ⊥连接PO ，∵，∴， PB PC =PO BC ⊥∵，平面PAO ，=PO AO O ⋂PO AO ⊂，∴平面PAO ，∵PA 平面PAO ，∴； BC ⊥⊂BC PA ⊥（2）由（1）知，是等边三角形，∴， ABC A CE =∴梯形ABCD 的面积为定值， S =故当平面平面ABCD 时，四棱锥体积最大． PBC ⊥P ABCD -∵，平面平面ABCD ，平面 PO BC ⊥PBC ⋂BC =PO ⊂PBC ∴平面ABCD ，平面ABCD ，∴.PO ⊥,OA OB ⊂,PO OA PO OB ⊥⊥∵OP ，OA ，OB 两两互相垂直，∴以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 分别为x 轴、y 轴和z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则． (0,1,0),(0,1,0),A B C P -∴，，=(0,1,PA PB -- =(0,1,CP --设平面PAB 的法向量为，则，取，则． ()111,,n x y z =1111=0==0PA n PB n y ⋅-⋅-⎧⎪⎨⎪⎩ 111x z ==n = 同理设平面PAC 的法向量为，则，取，则． (,,)m x y z ===0=0CP m y PA m ⋅--⋅-⎧⎪⎨⎪⎩ 1x z ===(1,m - 设平面PAB 与平面PAD 的夹角为，则，θ1cos =|cos<,>|=||=||||5m n m n m n ⋅θ即为所求二面角的余弦值.B PAC --20．如图，某海面上有､､三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向O A B A O 45︒处，岛在岛的正东方向处.B O 20km(1)以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位长度，建立平面直角坐标系，写出O O x 1km A 、的坐标，并求、两岛之间的距离；B A B (2)已知在经过、、三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距O A B O 30°O 岛处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 20km 60︒【答案】(1)，， ()40,40A ()20,0B (2)该船有触礁的危险【分析】（1）结合图像，易得的坐标，再利用两点距离公式即可得解；,A B （2）先由待定系数法求得过、、三点的圆的方程，再求得该船航线所在直线的方程，利用O A B 点线距离公式可知该船航线与圆的位置关系，据此可解.【详解】（1）∵在的东北方向处，在的正东方向处， AO B O 20km ∴，， ()40,40A ()20,0B 由两点间的距离公式得；=（2）设过、、三点的圆的方程为，O A B 220x y Dx Ey F ++++=将､､代入上式得，解得，()0,0O ()40,40A ()20,0B 222=040+40+40+40+=020+20+=0F D E F D F ⎧⎪⎨⎪⎩=20=60=0D E F --⎧⎪⎨⎪⎩所以圆的方程为，即，故圆心为，半径2220600x y x y +--=()()2210301000x y -+-=()10,30r =设船起初所在的位置为点，则，且该船航线所在直线的斜率为C (10,C --， ()tan 6030tan 30︒-︒=︒=由点斜式得该船航线所在直线的方程：，l 200x -=所以圆心到：的距离为l 200x -=d+由于， 2(5700+=+21000700=>+即， 5d =+<所以该船有触礁的危险.21．已知椭圆的右焦点，离心率为，且点在椭圆上．2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 1231,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭C (1)求椭圆的标准方程；C (2)过的直线不与轴重合与椭圆相交于、两点，不在直线上且F (x )C A B P AB ，是坐标原点，求面积的最大值．()2OP OA OB λλ=+-O PAB △【答案】(1)22143x y +=(2) 32【分析】（1）依题意得到方程组，解得，，即可求出椭圆方程；2a 2b （2）设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消AB 1x my =+()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y 元、列出韦达定理，即可表示出，再表示出点到直线的距离，根据面积公式及基本不等AB P AB 式计算可得.【详解】（1）解：由题意，又，解得，， 221=2914+=1c a a b⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩222c a b =-24a =23b =的方程为；C ∴22143x y +=（2）解：设直线的方程为，，，，AB 1x my =+()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y 则，消元整理得， 22=+1+=143x my x y ⎧⎪⎨⎪⎩()2234690m y my ++-=所以，，122634my y m +=-+122934y y m =-+，()2212+13+4m m -由， ()2OP OA OB λλ=+-得，()()()()001212,2,2x y x x y y λλλλ=+-+-()()()()()0121212212122x x x my my my my λλλλλλ∴=+-=++-+=+-+， ()0122yy y λλ=+-到直线的距离P ∴ABh22112(+1)=×23+4PAB m S m ∴A 设，而在时递增，t =13y t t=+1t ≥当，即时，的最大值为．∴=1t 1=0m =PAB S A 3222．如图，已知抛物线的焦点F ，且经过点，．()2:20C y px p =>()()2,0A p m m >5AF =(1)求p 和m 的值；(2)点M ，N 在C 上，且．过点A 作，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得AM AN ⊥AD MN ⊥DQ 为定值．【答案】(1)，； 2p =4m =(2)证明见解析.【分析】（1）由抛物线定义有求，由在抛物线上求m 即可. ||252pAF p =+=p A （2）令，，，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据:MN x ky n =+11(,)M x y 22(,)N x y 及向量垂直的坐标表示列方程，求k 、n 数量关系，确定所过定点，再由AM AN ⊥MN B 易知在以为直径的圆上，即可证结论. AD MN ⊥D AB 【详解】（1）由抛物线定义知：，则， ||252pAF p =+=2p =又在抛物线上，则，可得. ()()4,0A m m >244m =⨯4m =（2）设，，由（1）知：，11(,)M x y 22(,)N x y (4,4)A 所以，，又，11(4,4)AM x y =-- 22(4,4)AN x y =--AM AN ⊥所以，121212121212(4)(4)(4)(4)4()4()320x x y y x x x x y y y y --+--=-++-++=令直线，联立，整理得，且，:MN x ky n =+2:4C y x =2440y ky n --=216160k n ∆=+>所以，，则，124y y k +=124y y n =-21212()242x x k y y n k n +=++=+，222121212()x x k y y kn y y n n =+++=综上，， 2216121632(48)(44)0n k n k n k n k ---+=--+-=当时，过定点；84n k =+:(4)8MN x k y =++()8,4B -当时，过定点，即共线，不合题意； 44n k =-:(4)4MN x k y =-+(4,4),,A M N 所以直线过定点，又，故在以为直径的圆上， MN ()8,4B -AD MN ⊥D AB而中点为，即为定值，得证.AB ()6,0Q 2AB DQ ==。
2015-2016年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2015-2016学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．（5分）设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知点P的极坐标为（2，），那么过点P且平行于极轴的直线的极坐标方程是（）A．ρsinθ＝B．ρsinθ＝2C．ρcosθ＝D．ρcosθ＝2 3．（5分）通过随机询问110名性别不同的中学生是否爱好运动，得到如下的列联表：由K2＝得，K2＝≈7.8参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好运动与性别无关”D．有99%以上的把握认为“爱好运动与性别无关”4．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．5D．35．（5分）吉安市高二数学竞赛中有一道难题，在30分钟内，学生甲内解决它的概率为，学生乙能解决它的概率为，两人在30分钟内独立解决该题，该题得到解决的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）从标有数字3，4，5，6，7的五张卡片中任取2张不同的卡片，事件A＝“取到2张卡片上数字之和为偶数”，事件B＝“取到的2张卡片上数字都为奇数”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．7．（5分）下列类比推理的结论正确的是（）①类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”；②类比“平面内，同垂直于一直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，同垂直于一直线的两直线相互平行”；③类比“设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列”，得到猜想“设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，成等比数列”；④类比“设AB为圆的直径，p为圆上任意一点，直线P A，PB的斜率存在，则k P A．k PB为常数”，得到猜想“设AB为椭圆的长轴，p为椭圆上任意一点，直线P A，PB的斜率存在，则k P A．k PB为常数”．A．①②B．③④C．①④D．②③8．（5分）某校根据新课程标准改革的要求，开设数学选修系列4的10门课程供学生选修，其中4﹣1，4﹣2，4﹣4三门由于上课时间相同，所以至多选一门，根据学分制要求，每位同学必须选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）A．120B．98C．63D．569．（5分）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同）．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．若点P在曲线C上，且P到直线l的距离为1，则满足这样条件的点P的个数为（）A．1B．2C．3D．410．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（1）＝（）A．﹣e B．﹣1C．1D．e11．（5分）若（2x﹣1）2015＝a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015（x∈R），则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣12．（5分）如图所示，连结棱长为2cm的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，注满为止．已知顶点B到水面的高度h以每秒1cm匀速上升，记该容器内水的体积V（cm3）与时间T（S）的函数关系是V （t），则函数V（t）的导函数y＝V′（t）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．（5分）如果随机变量ξ～B（n，p），且Eξ＝7，Dξ＝6，则P等于．14．（5分）二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为．15．（5分）如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）＝．16．（5分）有下列命题：①乘积（a+b+c+d）（p+q+r）（m+n）展开式的项数是24；②由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是36；③某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为24；④已知（1+x）8＝a0+a1x+…+a8x8，其中a0，a1，…，a8中奇数的个数为2．其中真命题的序号是．三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）＝7距离的最小值．18．（12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明P A∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．20．（12分）椭圆C焦点在y轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为2﹣．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；＝（Ⅱ）直线l与椭圆C交与P，Q两点，O为坐标原点，△OPQ的面积S△OPQ 1，则||2+||2是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由．21．（12分）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c＝0实根的个数（重根按一个计）．（I）求方程x2+bx+c＝0有实根的概率；（II）求ξ的分布列和数学期望；（III）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c＝0有实根的概率．22．（12分）定义在R上的函数f（x）满足，．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）如果s、t、r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近r．当a≥2且x≥1时，试比较和e x﹣1+a哪个更靠近lnx，并说明理由．2015-2016学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．（5分）设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由于复数z＝（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则，解得x＝1，故“x＝1”是“复数z＝（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的充要条件．故选：C．2．（5分）已知点P的极坐标为（2，），那么过点P且平行于极轴的直线的极坐标方程是（）A．ρsinθ＝B．ρsinθ＝2C．ρcosθ＝D．ρcosθ＝2【解答】解：点P的极坐标（2，）的直角坐标为（，），故过点P且平行于极轴的直线的直角坐标方程为y＝，即ρsinθ＝，故选：A．3．（5分）通过随机询问110名性别不同的中学生是否爱好运动，得到如下的列联表：由K2＝得，K2＝≈7.8参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好运动与性别无关”D．有99%以上的把握认为“爱好运动与性别无关”【解答】解：∵由一个2×2列联表中的数据计算得K2的观测值k≈7.822，则7.822＞6.635，∴有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选：B．4．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．5D．3【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），∵P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），∴2a﹣3与a+2关于x＝3对称，∴2a﹣3+a+2＝6，∴3a＝7，∴a＝，故选：A．5．（5分）吉安市高二数学竞赛中有一道难题，在30分钟内，学生甲内解决它的概率为，学生乙能解决它的概率为，两人在30分钟内独立解决该题，该题得到解决的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：难题能被解决包括三种情况，一是两个人都解决难题，二是甲解决了难题而乙没有解决难题，三是乙解决难题而甲没有解决难题，它的对立事件是两个人都没有解决难题．根据互斥对立事件时发生的概率得到P＝1﹣＝故选：C．6．（5分）从标有数字3，4，5，6，7的五张卡片中任取2张不同的卡片，事件A＝“取到2张卡片上数字之和为偶数”，事件B＝“取到的2张卡片上数字都为奇数”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．【解答】解：从5张卡片中随机抽取2张共有C52＝10种方法，事件A＝“取到2张卡片上数字之和为偶数”，表示取出的2张卡片上的数字必须两个奇数或两个偶数，共有C22+C32＝4种结果，则P（A）＝事件B＝“取到的2张卡片上数字都为奇数”，表示取出的2张卡片上的数字必须两个奇数共有＝3种结果，则P（B）＝，所以P（B|A）＝故选：C．7．（5分）下列类比推理的结论正确的是（）①类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”；②类比“平面内，同垂直于一直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，同垂直于一直线的两直线相互平行”；③类比“设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列”，得到猜想“设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，成等比数列”；④类比“设AB为圆的直径，p为圆上任意一点，直线P A，PB的斜率存在，则k P A．k PB为常数”，得到猜想“设AB为椭圆的长轴，p为椭圆上任意一点，直线P A，PB的斜率存在，则k P A．k PB为常数”．A．①②B．③④C．①④D．②③【解答】解：（•）与向量共线，（•）•与向量共线，当，方向不同时，向量的数量积运算结合律不成立，故①错误，可排除A，C答案；空间中，同垂直于一直线的两直线可能平行，可能相交，也可能异面，故②错误，可排除D答案；故选：B．8．（5分）某校根据新课程标准改革的要求，开设数学选修系列4的10门课程供学生选修，其中4﹣1，4﹣2，4﹣4三门由于上课时间相同，所以至多选一门，根据学分制要求，每位同学必须选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）A．120B．98C．63D．56【解答】解：∵4﹣1，4﹣2，4﹣4三门由于上课时间相同，至多选一门，第一类4﹣1，4﹣2，4﹣4三门课都不选，有C73＝35种方案；第二类4﹣1，4﹣2，4﹣4中选一门，剩余7门课中选两门，有C31C72＝63种方案．∴根据分类计数原理知共有35+63＝98种方案．故选：B．9．（5分）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同）．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．若点P在曲线C上，且P到直线l的距离为1，则满足这样条件的点P的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，化为x2+y2＝4x，化为（x﹣2）2+y2＝4，可得圆心C（2，0），半径r＝2．直线l的参数方程为（t为参数）．化为﹣4＝0．则圆心C到直线l的距离d＝＝1．∴若点P在曲线C上，且P到直线l的距离为1，则满足这样条件的点P的个数为3．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（1）＝（）A．﹣e B．﹣1C．1D．e【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，（x＞0）∴f′（x）＝2f′（1）+，把x＝1代入f′（x）可得f′（1）＝2f′（1）+1，解得f′（1）＝﹣1，故选：B．11．（5分）若（2x﹣1）2015＝a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015（x∈R），则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：由题意，令x＝，则0＝a0+a1+a2+…+a2015，令x＝0，可得a0＝﹣1，∴a1+a2+…+a2015＝1，由二项式定理可得a1＝4030，∴＝+（1﹣2015）＝．故选：C．12．（5分）如图所示，连结棱长为2cm的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，注满为止．已知顶点B到水面的高度h以每秒1cm匀速上升，记该容器内水的体积V（cm3）与时间T（S）的函数关系是V （t），则函数V（t）的导函数y＝V′（t）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：方法一，正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体，棱长为a＝＝，高为2，设时间为t时，当t≤1时，此时水面的边长为b，，则b＝t，则水面的面积为b2＝2t2，该容器内水的体积V（t）＝×2t2×t＝t3，当t＞1时，此时水面的边长为c，，则c＝（2﹣t），则水面的面积为c2＝2（2﹣t）2，该容器内水的体积V（t）＝（）2×2﹣×2×（2﹣t）2×（2﹣t）＝﹣×（2﹣t）3，∴y＝V′（t）＝2t2，（t≤1），y＝V′（t）＝2（2﹣t）2，（1＜t≤2），方法二，由题意得：V（cm3）与时间T（S）的函数关系是V（t），y＝tv（t）是关于t的3次函数，则y＝v′（t）是关于t的2次函数，故选：D．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．（5分）如果随机变量ξ～B（n，p），且Eξ＝7，Dξ＝6，则P等于．【解答】解：∵随机变量ξ～B（n，p），且Eξ＝7，Dξ＝6，∴，∴7（1﹣p）＝6，1﹣p＝解得p＝．故答案为：．14．（5分）二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为3或．【解答】解：二项式的展开式的通项为T r+1＝（|a|x）3﹣r（﹣）r，∵展开式的第二项的系数为，∴|a|3﹣1（﹣）1＝，解得：a＝±1，当a＝﹣1时，＝x2dx＝＝[﹣1﹣（﹣8）]＝，当a＝1时，＝x2dx＝＝[1﹣（﹣8）]＝3，∴的值为3或．故答案为：3或．15．（5分）如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）＝．【解答】解：根据题意，得P（AB）＝＝＝，∵P（A）＝＝＝，∴P（B|A）＝＝故答案为：16．（5分）有下列命题：①乘积（a+b+c+d）（p+q+r）（m+n）展开式的项数是24；②由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是36；③某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为24；④已知（1+x）8＝a0+a1x+…+a8x8，其中a0，a1，…，a8中奇数的个数为2．其中真命题的序号是①②③④．【解答】解：①乘积（a+b+c+d）（p+q+r）（m+n）展开式的项数是4×3×2＝24；故①正确，②如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×A32A22＝24种，如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，首先排5，有＝3种，然后排1和2，有A22A22＝12种，3×A22A22＝12种，共计12+24＝36种；故②正确；③将空位插到三个人中间，三个人有两个中间位置和两个两边位置，就是将空位分为四部分，五个空位四分只有1，1，1，2空位五差别，只需要空位2分别占在四个位置就可以有四种方法，另外三个人排列A33＝6，根据分步计数可得共有4×6＝24，故③正确，；④由（1+x）8＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8．可知：a0，a1，a2…a8均为二项式系数，依次是c80，c81，c82 (88)∵C80＝C88＝1，C81＝C87＝8，C82＝C86＝28；C83＝C85＝56；C84＝70∴a0，a1，a2…a8中奇数只有a0，a8两个，故④正确，故答案为：①②③④．三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）＝7距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2＝1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t＝时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）＝7化为x﹣2y＝7，M到C3的距离d＝＝|5sin（θ+φ）﹣13|，从而当cosθsinθ＝，sinθ＝﹣时，d取得最小值．18．（12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率．【解答】解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率1﹣（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+0.005）×10＝0.3，故成绩落在[70，80）上的频率是0.3，频率分布直方图如下图．（Ⅱ）由题意，[60，70）分数段的人数为0.15×60＝9人，[70，80）分数段的人数为0.3×60＝18人；∵分层抽样在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴[60，70）分数段抽取2人，分别记为m，n；，[70，80）分数段抽取4人，分别记为a，b，c，d；设从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），…（c，d）共15种，则基本事件A包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d0共9种，∴P（A）＝19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明P A∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．【解答】解：方法一：（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在△P AC中，EO是中位线，∴P A∥EO而EO⊂平面EDB且P A⊄平面EDB，所以，P A∥平面EDB（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC．①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．②由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF＝E，所以PB⊥平面EFD．（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．设正方形ABCD的边长为a，则，．在Rt△PDB中，．在Rt△EFD中，，∴．所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC＝a．（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG．依题意得．∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且．∴，这表明P A∥EG．而EG⊂平面EDB且P A⊄平面EDB，∴P A∥平面EDB．（2）证明；依题意得B（a，a，0），．又，故．∴PB⊥DE．由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD．（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），，则（x0，y0，z0﹣a）＝λ（a，a，﹣a）．从而x0＝λa，y0＝λa，z0＝（1﹣λ）a．所以．由条件EF⊥PB知，，即，解得∴点F的坐标为，且，∴即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．∵，且，，∴．∴．所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．20．（12分）椭圆C焦点在y轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为2﹣．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；＝（Ⅱ）直线l与椭圆C交与P，Q两点，O为坐标原点，△OPQ的面积S△OPQ 1，则||2+||2是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，可得b2＝a2﹣c2＝1，即有椭圆C的标准方程为：；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（1）当l斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，S△OPQ＝|x1|•|y1|＝1，又，解得，||2+||2＝2（x12+y12）＝2×（+2）＝5；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，由题意知m≠0，将其代入，得（k2+4）x2+2kmx+m2﹣4＝0，即有，则，O到PQ距离，则，解得k2+4＝2m2，满足△＞0，则，即有||2+||2＝（x12+y12）（x22+y22）＝＝＝﹣3+8＝5，综上可得||2+||2为定值5．21．（12分）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c＝0实根的个数（重根按一个计）．（I）求方程x2+bx+c＝0有实根的概率；（II）求ξ的分布列和数学期望；（III）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c＝0有实根的概率．【解答】解：（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的基本事件总数为6×6＝36，满足条件的事件是使方程有实根，则△＝b2﹣4c≥0，即．下面针对于c的取值进行讨论当c＝1时，b＝2，3，4，5，6；当c＝2时，b＝3，4，5，6；当c＝3时，b＝4，5，6；当c＝4时，b＝4，5，6；当c＝5时，b＝5，6；当c＝6时，b＝5，6，目标事件个数为5+4+3+3+2+2＝19，因此方程x2+bx+c＝0有实根的概率为．（II）由题意知用随机变量ξ表示方程x2+bx+c＝0实根的个数得到ξ＝0，1，2根据第一问做出的结果得到则，，，∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望．（III）在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c＝0有实根，这是一个条件概率，记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程ax2+bx+c＝0有实根”为事件N，则，，∴．22．（12分）定义在R上的函数f（x）满足，．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）如果s、t、r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近r．当a≥2且x≥1时，试比较和e x﹣1+a哪个更靠近lnx，并说明理由．【解答】解：（1）f′（x）＝f′（1）e2x﹣2+2x﹣2f（0），所以f′（1）＝f′（1）+2﹣2f（0），即f（0）＝1．又，所以f′（1）＝2e2，所以f（x）＝e2x+x2﹣2x．（4分）（2）∵f（x）＝e2x﹣2x+x2，∴，∴g′（x）＝e x﹣a．（5分）①当a≤0时，g′（x）＞0，函数g（x）在R上单调递增；（6分）②当a＞0时，由g′（x）＝e x﹣a＝0得x＝lna，∴x∈（﹣∞，lna）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．综上，当a≤0时，函数g（x）的单调递增区间为（∞，∞）；当a＞0时，函数g（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（﹣∞，lna）．（8分）（3）解：设，∵，∴p（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，又p（e）＝0，∴当1≤x≤e时，p（x）≥0，当x＞e时，p（x）＜0．∵，，∴q′（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，又q′（1）＝0，∴x∈[1，+∞）时，q'（x）≥0，∴q（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，∴q（x）≥q（1）＝a+1＞0．①当1≤x≤e时，，设，则，∴m（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，∴m（x）≤m（1）＝e﹣1﹣a，∵a≥2，∴m（x）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，∴比e x﹣1+a更靠近lnx．②当x＞e时，，设n（x）＝2lnx﹣e x﹣1﹣a，则，，∴n′（x）在x＞e时为减函数，∴，∴n（x）在x＞e时为减函数，∴n（x）＜n（e）＝2﹣a﹣e e﹣1＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，∴比e x﹣1+a更靠近lnx．综上：在a≥2，x≥1时，比e x﹣1+a更靠近lnx．（12分）。
2015-2016学年江西省上高县第二中学高二上学期期末考试(理)数学试题 word版
2015-2016学年上学期期末考试高二年级数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一容量为3的样本，则某特定个体入样的概率是（ ） A ．401 B ．89101⨯⨯ C ．103 D ．101 2.“21<<m ”是“方程13122=-+-my m x 表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3.若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为（ ） A ．1,1- B ．2,2- C ． D ．1-4.从5,3,2,1这四个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为奇数的概率是（ ） A ．41 B ．43 C ．21 D ．315.以下四个命题中，其中真命题的个数为（ ）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②对于命题R x p ∈∃:，使得012<++x x ，则R x p ∈∀⌝:，均有012≥++x x ； ③“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的充分不必要条件； ④命题P ：“3>x ”是“5>x ”的充分不必要条件. A ． B ．2 C ．3 D ．4 6.根据如下样本数据得到的回归方程为a bx y +=∧.若9.7=a ，则x 每增加个单位，y 就（ ） A ．增加4.1个单位 B ．减少4.1个单位 C ．增加2.1个单位 D ．减少2.1个单位7.已知n m ,为直线，α为平面，下列结论正确的是（ ）A ．若n m ⊥，α⊂n ，则α⊥mB ．若α∥m ，n m ⊥，则α⊥nC ．若α∥m ，α∥n ，则n m ∥D ．若α⊥m ，α⊥n ，则n m ∥8.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A.312 B ．336 C ．327 D ．69.阅读如下程序框图，如果输出4=i ，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）A ．?8<SB ．?12<SC ．?14<SD ．?16<S10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线过点)3,2(，且双曲线的一个焦点在抛物线x y 742=的准线上，则双曲线的方程为 （ ）A ．1282122=-y x B ．1212822=-y x C ．14322=-y x D ．13422=-y x 11.已知一个三角形的三边长分别是6,5,5，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（ ）A ．21π-B ．31π-C ．61π-D ．121π-12.已知2F 、1F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．3 C ．2 D ．2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知抛物线)0(22>=p px y 的准线与圆16)3(22=+-y x 相切，则p 的值为______.16.下图左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，号到16号同学的成绩依次为1A 、2A 、......、16A ，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）已知关于y x ,的方程042:22=+--+m y x y x C . （1）当m 为何值时，方程C 表示圆；（2）若圆C 与直线042:=-+y x l 相交于N M ,两点，且MN 的长为54，求m 的值. 18.（本题满分12分）已知p ：函数12)(2+-=mx x x f 在)2,(-∞上为减函数；q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根，若“q p ∨”为真，“q p ∧”为假，求m 的取值范围. 19.为选拔选手参加“汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计.按照]100,90[),90,80[),80,70[),70,60[),60,50[的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在]100,90[),60,50[的数据）.（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在]100,90[内的概率.20.（本题满分12分）已知抛物线x y 42=，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点.（1）求点Q 的轨迹方程；（2）若倾斜角为 60且过点F 的直线交Q 的轨迹于A ，B 两点，求弦长AB . 21.（本题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，M 为DC 的中点.将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM ，E 为BD 的中点. （1）求证：⊥BM 平面ADM ；（2）求直线AE 与平面ADM 所成角的正弦值.22.（本题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率与双曲线3322=-y x 的离心率互为倒数，且过点)23,1(. （1）求椭圆方程；（2）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,51(P ，求k 的取值范围.2015-2016学年上学期期末考试高二年级数学（理）试卷参考答案一、选择题CADA ABDB BDCC 二、填空题13.2 14.2 15.π34 16.10 三、解答题17.解（1）方程C 可化为m y x -=-+-5)2()1(22，显然05>-m 时方程C 表示圆，即5<m . ................5分 （2）圆的方程化为m y x -=-+-5)2()1(22，圆心)2,1(C ，半径m r -=5， 则圆心)2,1(C 到直线042:=-+y x l 的距离为5121422122=+-⨯+=d ， ∵54=MN ，则5221=MN ，有222)21(MN d r +=，∴22)52()51(5+=-m ，得4=m . ...................10分若p 真，q 假，则⎩⎨⎧≥≤≥312m m m 或，故3≥m . ..............6分若p 假，q 真，则⎩⎨⎧<<<312m m ，故21<<m . ..............8分所以m 的取值范围是{}321≥<<m m m 或. ..........12分 19.解：（1）由题意可知，样本容量5010016.08=⨯=n ，004.010502=⨯=y ，030.0040.0016.0010.0004.0100.0=----=x . .........6分（2）由题意可知，分数在)90,80[内的学生有5人，记这5人分别为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，分数在]100,90[内的学生有2人，记这2人分别为1b ，2b .抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：),(21a a ，),(31a a ，),(41a a ，),(51a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(32a a ，),(42a a ，),(52a a ，),(12b a ，),(22b a ，),(43a a ，),(53a a ，),(13b a ，),(23b a ，),(54a a ，),(14b a ，),(24b a ，),(15b a ，),(25b a ，),(21b b .其中2名同学的分数都不在]100,90[内的情况有10种，分别为：),(21a a ，),(31a a ，),(41a a ，),(51a a ，),(32a a ，),(42a a ，),(52a a ，),(43a a ，),(53a a ，),(54a a .∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在]100,90[内的概率211121101=-=P . ........12分 20.解：（1）设),(y x Q ，∵Q 是OP 中点，∴)2,2(y x P ， 又∵点P 在抛物线x y 42=上，∴x y 24)2(2⨯=，即x y 22=为点Q 的轨迹方程. .......6分 （2）∵)0,1(F ，3=AB k ，∴直线AB 的方程为：)1(3-=x y ，设点),(),,(2211y x B y x A ，直线AB 的方程代入x y 22=，消去y 得：03832=+-x x ， ∴1,382121==+x x x x ， ∴3744)(1212212=-++=x x x x k AB . ................12分 21.解：（1）ABM ∆中，2=AB ，2==BM AM ，∴BM AM ⊥，又平面⊥ADM 平面ABCM ，平面 ADM 平面AM ABCM =，且⊆BM 平面ABCM ， ∴⊥BM 平面ADM . ...............6分（2）如图，以M 点为坐标原点，MA 所在直线为x 轴，MB 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,0(M ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)22,0,22(D ，∵E 为BD 中点，∴)42,22,42(E ，)42,22,423(-=AE ， 由（1）知，为平面ADM 的一个法向量，)0,2,0(=，7142812189222,cos =⨯++⨯<， ∴直线AE 与平面ADM 所成角的正弦值为714. .................12分 22.解：（1）双曲线3322=-y x 的离心率2=e .由题意椭圆的离心率21=e . ∴21=a c ，∴c a 2=，∴22223c c a b =-=， ∴椭圆方程为1342222=+c y c x . ....................2分又点)23,1(在椭圆上，∴13)23(41222=+c c ，∴12=c ，∴椭圆的方程为13422=+y x . .............4分（2）设),(),,(2211y x N y x M ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 13422消去y 并整理得01248)43(222=-+++m kmx x k ， ∵直线m kx y +=与椭圆有两个交点，0)124)(43(4)8(222>-+-=∆m k km ，即3422+<k m ， ......6分又221438kkmx x +-=+， ∴MN 中点P 的坐标为)433,434(22kmk km ++-， 设MN 的垂直平分线l '方程：)51(1--=x k y ，∴P 在l '上)51434(143322-+--=+k km k k m ，即03542=++km k ，kk m 5342+-=， ......10分 将上式代入得3425)34(2222+<+k k k ，712>k ，77>k 或77-<k ， ∴k 的取值范围为),77()77,(+∞--∞ . ............12分。
2015-2016年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
二、填空题（共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13． （5 分）对任意实数 x，若不等式|x+2|+|x+1|＞k 恒成立，则实数 k 的取值范围 是 ．
14 ． （5 分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果 是 ．
15． （5 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为
（Ⅰ）若 a＝1，p 且 q 为真，求实数 x 的取值范围； （Ⅱ）若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围． 21． （12 分）已知椭圆 （a＞b＞0）的焦距为 4，且与椭圆
有相同的离心率，斜率为 k 的直线 l 经过点 M（0，1） ，与椭圆 C 交于不同两 点 A、B． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）当椭圆 C 的右焦点 F 在以 AB 为直径的圆内时，求 k 的取值范围． 22． （12 分）已知函数 ．
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（Ⅰ）当 k＝1 时，求函数 f（x）单调区间和极值； （Ⅱ）若关于 x 的方程 f（x）＝k 有解，求实数 k 的取值范围．
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2015-2016 学年江西省宜春市樟树中学、 高安二中联考高 二（下）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 题，每题 5 分，共 60 分） 1． （5 分）若复数 Z＝ 对应点的坐标为（ A． （0，2） 【解答】解：∵Z＝ ∴ ∴Z＝3i． ∴在复平面内 Z 对应点的坐标为（0，3） ． 故选：C． 2． （5 分）已知命题 p：∀x＞0，x+ ≥2，则￢p 为（ A．∀ C．∃ ＜2 ＜2 B．∀ D．∃ ） ＜2 ＜2 ＜2， ，即 a＝6． （a∈R，i 是虚数单位）是纯虚数，则在复平面内 Z ） B． （0，3i ） ＝ C． （0，3） D． （0，2i） 是纯虚数，
2015-2016学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数z满足z（1﹣i）=1（其中i为虚数单位），则z=（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）=1，∴z（1﹣i）（1+i）=1+i，化为2z=1+i，∴．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．某大学数学系共有本科生4500人，其中大一、大二、大三、大四的学生人数比为5：4：3：1，若用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽大二的学生（）A．80人B．60人C．40人D．20人【考点】分层抽样方法．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，根据大一、大二、大三、大四的学生比为5：4：3：1，利大二所占的比数除以所有比数的和再乘以样本容量【解答】解：由题意知，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽大二的学生人数为：×260=80（人）．故选：A．【点评】本题考查分层抽样的应用，解题时要认真审题，是基础题．3．命题“∃x∈R，使得x2＜1”的否定是（）A．∀x∈R，都有x2＜1 B．∃x∈R，使得x2≥1C．∀x∈R，都有x2≥1 D．∃x∈R，使得x2＞1【考点】命题的否定．【专题】计算题；整体思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则否命题的否定是：∀x∈R，都有x2≥1，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．抛物线x=ay2的准线方程是x=2，则a的值为（）A．﹣8 B．﹣C．D．8【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程的形式，再根据其准线方程即可求之．【解答】解：抛物线x=ay2的标准方程是y2=x，则其准线方程为x=﹣=2，所以a=﹣，故选：B．【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式，考查抛物线标准方程中的参数，属于基础题．5．曲线y=sinx在x=0处的切线的倾斜角是（）A ．B ．C ．D ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】求得函数的导数，求得切线的斜率，运用直线的斜率公式，即可得到倾斜角．【解答】解：y=sinx 的导数为y ′=cosx ， 即有在x=0处的切线斜率为k=cos0=1， 由tan θ=1（θ为倾斜角，且0≤θ＜π），可得倾斜角θ=．故选：B ．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查直线的斜率公式的运用，属于基础题．6．400辆汽车通过某公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[60，80）的汽车大约有（ ）A ．120辆B ．140辆C ．160辆D ．240辆 【考点】频率分布直方图．【专题】对应思想；数形结合法；概率与统计．【分析】根据频率分布直方图求出时速在[60，80）的频率，再根据频率=求出对应的频数即可．【解答】解：根据频率分布直方图得，时速在[60，80）的频率为（0.04+0.02）×10=0.6，时速在[60，80）的汽车大约有400×0.6=240．故选：D．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．7．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c都是偶数【考点】反证法与放缩法．【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】找出题中的题设，然后根据反证法的定义对其进行否定．【解答】解：∵结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”可得题设为：a，b，c中恰有一个偶数∴反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．故选B．【点评】此题考查了反证法的定义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“．8．将一枚质地均匀的骰子先后抛两次，设事件A={两次点数互不相同}，B={至少出现一次3点}，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】此是一个条件概率模型的题，可以求出事件A={两个点数都不相同}包含的基本事件数，与事件B包含的基本事件数，再用公式求出概率．【解答】解：由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36﹣6=30，事件B：至少出现一次3点，有10种，∴P（B|A）==，故选：D．【点评】本题考查古典概率模型及条件概率计算公式，解题的关键是正确理解事件A：两个点数互不相同，事件B：至少出现一次3点，以及P（B|A），比较基础．9．某企业为了研究员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了80名员工进行调查，所得的数据如表所示：根据上述数据能得出的结论是（参考公式与数据：（其中n=a+b+c+d）；当Χ2＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当Χ2＞6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当Χ2＜3.841时认为事件A与B无关．）（）A．有99%的把握说事件A与B有关B．有95%的把握说事件A与B有关C．有90%的把握说事件A与B有关D．事件A与B无关【考点】独立性检验的应用．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】先利用公式计算K2，再与临界值比较可得结论【解答】解：K2=80×（50×10﹣10×10）2÷（60×20×60×20）≈8.88由于8.88＞6.635，所以有99%的把握说事件A与B有关．【点评】本题考查独立性检验的意义、收集数据的方法，是一个基础题，题目一般给出公式，只要我们代入数据进行运算就可以，注意数字的运算不要出错．10．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为（）A．k≥16 B．k＜8 C．k＜16 D．k≥8【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加k值到S并输出S．【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：S k 是否继续循环循环前0 1/第一圈 1 2 是第二圈 3 4 是第三圈7 8 是第四圈15 16 否故退出循环的条件应为k≥16故选A【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．11．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣22a4acos120°，得c2=7a2，则．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1设g（x）=（x∈R），则g′（x）==又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率1﹣．【考点】几何概型．【专题】计算题．【分析】本题利用几何概型求解．只须求出满足：OQ≥1几何体的体积，再将求得的体积值与整个正方体的体积求比值即得．【解答】解：取到的点到正方体中心的距离小于等于1构成的几何体的体积为：×13=，∴点到正方体中心的距离大于1的几何体的体积为：v=V﹣=8﹣正方体取到的点到正方体中心的距离大于1的概率：P==1﹣．故答案为：1﹣．【点评】本小题主要考查几何概型、球的体积公式、正方体的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．14．在某比赛中，评委为一选手打出如下七个分数：97，91，87，91，94，95，94 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 2.8．【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出所剩数据的平均数，再求所剩数据的方差．【解答】解：七个分数：97，91，87，91，94，95，94 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为：（91+91+94+95+94）=93，所剩数据的方差为：[（91﹣93）2+（91﹣93）2+（94﹣93）2+（95﹣93）2+（94﹣93）2]=2.8．故答案为：2.8．【点评】本题考查数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．15．已知函数f（x）=ax2+3，若，则实数a的值为1．【考点】极限及其运算．【专题】计算题；函数思想；极限思想；导数的概念及应用．【分析】由题意可知，f′（1）=2，求出函数的导函数，得到f′（1），列等式可得a值．【解答】解：由f（x）=ax2+3，得f′（x）=2ax，∴f′（1）=2a，又，∴2a=2，a=1．故答案为：1．【点评】本题考查导数的定义，考查了极限及其运算，是基础的计算题．16．如图所示：一个边长为的正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形的边上再连接正方形，…，如此继续．若共得到255个正方形，则最小正方形的边长为．【考点】归纳推理．【专题】数形结合；归纳法；推理和证明．【分析】依次得到正方形的边长和正方形个数均成等比数列，公比分别为和2，利用数列的知识解出．【解答】解：第一次得到的正方形的边长为，共有1个，第二次得到的正方形边长为，共有2个，第三次得到的正方形边长为，共有4个，第四次得到的正方形边长为，共有8个，…由此可归纳得：依次得到正方形的边长成对比数列，公比为，依次得到正方形的个数成对比数列，公比为2．设第n次得到的正方形边长为a n，第n次得到的正方形个数为b n．则a n=（）n，b n=2n﹣1．令前n次得到正方形的个数为S n，则S n==2n﹣1．令S n=2n﹣1=255，则n=8．∴a8=（）8=．故答案为．【点评】本题考查了归纳推理，等比数列的通项公式与前n项和公式，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．某校羽毛球小组有男学生A，B，C和女学生X，Y，Z共6人，其所属年级如下：现从这6名学生中随机选出2人参加羽毛球比赛（每人被选到的可能性相同）．（1）共有几种不同的选法？用表中字母列举出来；（2）设M为事件“选出的2人性别相同”，求事件M发生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】（1）一一列举即可得到所有的种数，（2）找到选出的2人性别相同的所有可能结果，根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）从6名学生中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}共15种．（2）选出的2人性别相同的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}共6种．因此事件M发生的概率为．【点评】本题考查了古典概率的问题，关键是不重不漏的列举所有的基本事件，属于基础题．18．（1）已知命题p：y=（a+2）x+1是增函数，命题q：关于x的不等式x2﹣ax﹣a＞0恒成立，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围；（2）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【专题】数形结合；不等式的解法及应用；集合；简易逻辑．【分析】（1）若命题p为真，则a＞﹣2，若命题q为真，则﹣4＜a＜0，由于p∨q为真，p∧q为假，可得p与q一真一假，即可得出．（2）由题意，得命题p对应的数集为A=[﹣3，1]，命题q对应的数集为B；由于p是q的必要不充分条件，可得B⊊A，利用数轴即可得出．【解答】解：（1）若命题p为真，则a＞﹣2，若命题q为真，则﹣4＜a＜0，当p真q假时，，∴a≥0，当p假q真时，，∴﹣4＜a≤﹣2．综上，a的取值范围为{a|﹣4＜a≤﹣2，a≥0}．（2）由题意，得命题p对应的数集为A=[﹣3，1]，命题q对应的数集为B；∵p是q的必要不充分条件，∴B⊊A，利用数轴分析可得得﹣3≤m≤1．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法与性质，考查了数形结合方法、计算能力，属于中档题．19．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0（Ⅰ）求实数a，b的值（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b（Ⅱ）对f（x）求导，分别令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的单调区间，继而确定极值．【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b从而f′（x）=6y=f′（x）关于直线x=﹣对称，从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．从而f（x）在x=﹣2处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=﹣6．【点评】本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值，考查运算能力．20．某地区2007年至2013年居民人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：（1）设y关于t的线性回归方程为y=bt+a，求b，a的值；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2016年居民人均纯收入．（参考公式：b=，a=﹣b）【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数；（2）把x=10代入回归方程计算估计值．【解答】解：（1）∵，∴，；（2）由（1）知y关于t的回归方程为y=0.5t+2.3．当t=10时，y=0.5×10+2.3=7.3（千元），答：预计到2016年，该区人均纯收入约7300元左右．【点评】本题考查了线性回归方程的求解和数值估计，属于基础题．21．已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点与上顶点分别为点A、B，且．（1）求椭圆C的离心率；（2）若过点（0，2）斜率为2的直线l交椭圆C于P、Q，且OP⊥OQ，求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）运用两点的距离公式，结合a，b，c和离心率公式计算即可得到；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），联立椭圆方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．【解答】解：（1）由已知，即，即4a2+4b2=5a2，即4a2+4（a2﹣c2）=5a2，∴；（2）由（1）知a2=4b2，可得椭圆C：，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），即2x﹣y+2=0．由，即17x2+32x+16﹣4b2=0．．，．∵OP⊥OQ，∴，即x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）=0，5x1x2+4（x1+x2）+4=0．从而，解得b=1，a=2，∴椭圆C的方程为．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两点的距离公式和a，b，c的关系，考查椭圆方程的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的圆能力，属于中档题．22．已知函数．（1）若y=f（x）在（3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（2）若，设g（x）=ln（1﹣x）+f（x），且方程有实根，求实数b的最大值．【考点】根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；转化思想；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求导f′（x）=x2﹣2x﹣2a≥0在区间（3，+∞）上恒成立，从而转化为最值问题求解即可；（2）化简方程可得，从而化为b=x（lnx+x﹣x2）在（0，+∞）上有解，从而讨论函数p（x）=x（lnx+x﹣x2）的值域即可．【解答】解：（1）∵f（x）在区间（3，+∞）上为增函数，∴f′（x）=x2﹣2x﹣2a≥0，即2a≤x2﹣2x在区间（3，+∞）上恒成立．∵在（3，+∞）内，x2﹣2x＜3；∴2a≤3，即．（2）∵，∴，∴b=x（lnx+x﹣x2），令p（x）=x（lnx+x﹣x2），即求函数p（x）=x（lnx+x﹣x2）在（0，+∞）上的值域．令h（x）=lnx+x﹣x2，则，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，当x＞1时h′（x）＜0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数，因此h（x）≤h（1）=0．又∵x＞0，故p（x）=xh（x）≤0，∴b≤0，因此当x=1时，b取得最大值0．【点评】本题考查了导数的综合应用，同时考查了转化思想的应用及方程与函数的关系应用．。
江西省樟树中学、高安市第二中学高二数学上学期期末联考试题 文
高安二中、樟树中学2017届高二上学期期末联考数学试卷（文科）考试时长：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数z 满足(1)1z i -=（其中i 为虚数单位），则z =A ．1122i- B ．1122i -+ C ．1122i + D ．1122i -- 2．某大学数学系共有本科生4500人，其中大一、大二、大三、大四的学生人数比为5:4:3:1，若用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽大二的学生 A ．80人 B ．60人 C ．40人 D ．20人 3．命题“R x ∈∃，使得12<x ”的否定是A ．R x ∈∀，都有12<xB ．R x ∈∃，使得12≥xC ．R x ∈∀，都有21x ≥D ．R x ∈∃，使得12>x 4．抛物线2x ay =的准线方程是2x =，则a 的值是A ．8B ．18C ．-8D ．18-5．曲线sin y x =在0x =处的切线的倾斜角是A ．2π B ．4π C ． 6π D ．3π 6．400辆汽车通过某公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[)6080，的汽车大约有A ．120辆B ．140辆C ．160辆D ．240辆 7．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a b c ，，中恰有一个偶数”正确的反设为 A ．a b c ，，都是奇数 B ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数 C ．a b c ，，中至少有两个偶数 D ．a b c ，，都是偶数8．将一枚质地均匀的骰子先后抛两次，设事件A ={两次点数互不相同}，B ={至少出现一次3点}， 则=)|(A B P A ．1110 B ．185 C ．12D ．319．某企业为了研究员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了80名员工进行调查， 所得的数据如下表所示：积极支持改革 不太支持改革 合 计 工作积极 50 10 60工作一般1010 20 合 计 602080根据上述数据能得出的结论是（参考公式与数据：22()()()()()n ad bc a b b c a c b d χ-=++++（其中d c b a n +++=）；当2 3.841χ> 时，有95%的把握说事件A 与B 有关；当26.635χ>时，有99%的把握说事件A 与B 有关； 当23.841χ<时认为事件A 与B 无关．）A ．有99%的把握说事件A 与B 有关 B ．有95%的把握说事件A 与B 有关C ．有90%的把握说事件A 与B 有关D ．事件A 与B 无关 10．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件可以是A ．16k <B ．8k <C ．16k ≥D ．8k ≥11．已知1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为A ．7B ．4C ．332 D ．3 12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f f x x '<，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为A ．(2,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在棱长为2的正方体内随机取一点，该点到正方体中心的距离小于1的概率为_________． 14．在某比赛中，评委为一选手打出如下七个分数：97，91，87，91，94，95，94 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为_________． 15．已知函数2()3f x ax =+,若0(1)(1)lim 2x f x f x∆→+∆-=∆，则实数a 的值为_________．16．如图所示：一个边长为22的正方形上连接着等腰直角三角形， 等腰直角三角形的边上再连接正方形，…，如此继续.若共得到 255个正方形，则最小正方形的边长为_________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）某校羽毛球小组有男学生A ，B ，C 和女学生X ，Y ，Z 共6人，其所属年级如下：一年级 二年级 三年级 男生 A B C 女生 X Y Z现从这6． （1）共有几种不同的选法？用表中字母列举出来； （2）设M 为事件“选出的2人性别相同”，求事件M 发生的概率． 18．（本小题满分12分）（1）已知命题1)2(:++=x a y p 是增函数，命题:q 关于x 的不等式02>--a ax x恒成立，若q p ∨为真，q p ∧为假，求实数a 的取值范围；（2）已知2|1:|≤+x p ，0))(1(:≤-+m x x q ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 19．（本小题满分12分）设 3.2()21f x x ax bx =+++的导函数为()f x '，若()y f x '=的图像关于直线12x =-对称， 且(1)0f '=．（1）求实数,a b 的值； （2）求函数()f x 的极值.20．（本小题满分12分）某地区2007年至2013年居民人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）设y 关于t 的线性回归方程为y bt a =+，求,b a 的值；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2016年居民人均纯收入．()()()121,ni i i n i i t t y y b a y btt t ==⎛⎫--⎪ ⎪==-⎪-⎪⎝⎭∑∑参考公式： 21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，右顶点与上顶点分别为点A 、B ，且5|||AB BF =． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过点(0,2)斜率为2的直线l 交椭圆C 于P 、Q ，且OP OQ ⊥，求椭圆C 的方程．22．（本小题满分12分）已知函数32()2()3x f x x ax a R =--∈．（1）若()y f x =在()3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）若12a =-，设()ln(1)()g x x f x =-+，且方程3(1)(1)3x bg x x--=+有实根，求实数b 的最大值．高安二中、樟树中学2017届高二上学期期末联考数学参考答案（文科）1-10.CACD BDBD ACAB 13．6π 14．2.8 15．1 16．11617．解：（1）从6名学生中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{}{},,,,C A B A{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Z C Y C X C Z B Y B X B C B Z A Y A X A {}{},,,,Z X Y X{}Z Y ,共15种. …………5分（2）选出的2人性别相同的所有可能结果为{}{},,,,C A B A {}C B ,{}{}{}Z Y Z X Y X ,,,,,共6种. 因此事件M 发生的概率为()52156==M P …………10分 18．解：（1）若命题p 为真，则2->a ， 若命题q 为真，则04<<-a ，当p 真q 假时，⎩⎨⎧≥-≤->042a a a 或0≥∴a当p 假q 真时， ⎩⎨⎧<<--≤042a a 24-≤<-∴a综上，a 的取值范围为}024|{≥-≤<-a a a 或 …………6分 （2）由题意，得命题p 对应的数集为[]1,3-=A ,命题q 对应的数集为B ；∵p 是q 的必要不充分条件，∴B A ≠⊂, 利用数轴分析可得得13≤≤-m . ……12分19.解：（1）因322()21,()62.f x x ax bx f x x ax b '=+++=++故从而22()6(),66a a f x x b '=++-即()y f x '=关于直线6ax =-对称， 从而由题设条件知1, 3.62a a -=-=解得又由于(1)0,620,12.f a b b '=++==-即解得 …………6分（2）由（1）知32()23121,f x x x x =+-+2()6612f x x x '=+-6(1)(2).x x =-+ 令12()0,6(1)(2)0.2, 1.f x x x x x '=-+==-=即解得当(,2),()0,()(,2)x f x f x '∈-∞->-∞-时故在上为增函数； 当(2,1),()0,()(2,1)x f x f x '∈-<-时故在上为减函数； 当(1,),()0,()(1,)x f x f x '∈+∞>+∞时故在上为增函数；∴函数()f x 极大值为(2)21f -=，极小值为(1) 6.f =- …………12 分20.解：（1）127 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.94, 4.377t y +++++++++====L Q ,设回归方程为y bt a =+,代入公式,经计算可得3 1.420.700.5 1.8 4.81410.5(941)21422b ⨯++++++====++⨯⨯,14.34 2.32a y bt =-=-⨯=, ∴y 关于t 的回归方程为0.5 2.3y t =+． …………8分（2）∵0.510 2.37.3y =⨯+=（千元）,∴预计到2015年,该区人均纯收入约7300元左右． …………12分21.解：（1）由已知5||||2AB BF =，即2252a b a +=，222445a b a +=， 222244()5a a c a +-=，∴ 3c e a ==． …………4分（2）由（1）知224a b =，∴ 椭圆C ：222214x y b b+=．设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为22(0)y x -=-，即220x y -+=．由22222222204(22)4014x y x x b x y bb -+=⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 即2217321640x x b ++-=． 22217321617(4)0b b ∆=+⨯->⇔>123217x x +=-，21216417b x x -=． …………8分 ∵ OP OQ ⊥，∴ 0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，即12120x x y y +=，1212(22)(22)0x x x x +++=，121254()40x x x x +++=． 从而25(164)128401717b --+=，解得1b =，∴ 椭圆C 的方程为2214x y +=． …………12分 22.解：（1）∵()f x 在区间()3,+∞上为增函数，∴2'()220f x x x a =--≥即222a x x ≤-在区间()3,+∞上恒成立．∵在()3,+∞内223x x -< ∴23a ≤即32a ≤…………4分 （2）方程3(1)(1)3x b g x x--=+可化为2ln b x x x x +-=．∴条件转化为2(ln )b x x x x =+-在()0,+∞上有解，令2()(ln )p x x x x x =+-，∴即求函数2()(ln )p x x x x x =+-在()0,+∞上的值域．令2()ln h x x x x =+-，则1(21)(1)'()12x x h x x x x+-=+-=， ∴当01x <<时'()0h x >，从而()h x 在()0,1上为增函数，当1x >时'()0h x <，从而()h x 在()1,+∞上为减函数，因此()(1)0h x h ≤=．又∵0x >，故()()0p x x h x =⋅≤， ∴0b ≤因此当1x =时，b 取得最大值0． …………12分。
江西省宜春市樟树中学、高安二中联考2015-2016学年高二下学期期中数学试卷(理科) 含解析
2015—2016学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二（下）期中数学试卷(理科）一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．设x∈R，则“x=1”是“复数z=（x2﹣1)+（x+1）i为纯虚数"的(）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知点P的极坐标为（2,），那么过点P且平行于极轴的直线的极坐标方程是（）A．ρsinθ=B．ρsinθ=2 C．ρcosθ=D．ρcosθ=23．通过随机询问110名性别不同的中学生是否爱好运动，得到如下的列联表：男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110由K2=得，K2=≈7.8P(K2≥k）0.050 0。
010 0。
001k 3。
841 6.635 10.828参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好运动与性别有关”B．有99％以上的把握认为“爱好运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好运动与性别无关”D．有99％以上的把握认为“爱好运动与性别无关”4．设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P(ξ＜2a﹣3）=P(ξ＞a+2），则a 的值为（）A．B．C．5 D．35．吉安市高二数学竞赛中有一道难题，在30分钟内,学生甲内解决它的概率为,学生乙能解决它的概率为，两人在30分钟内独立解决该题,该题得到解决的概率为(）A．B．C．D．6．从标有数字3，4，5,6，7的五张卡片中任取2张不同的卡片，事件A=“取到2张卡片上数字之和为偶数",事件B=“取到的2张卡片上数字都为奇数"，则P（B|A)=(）A．B．C．D．7．下列类比推理的结论正确的是()①类比“实数的乘法运算满足结合律",得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”；②类比“平面内，同垂直于一直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中,同垂直于一直线的两直线相互平行";③类比“设等差数列{a n}的前n项和为S n,则S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列"，得到猜想“设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，成等比数列”;④类比“设AB为圆的直径，p为圆上任意一点,直线PA,PB的斜率存在，则k PA．k PB为常数"，得到猜想“设AB为椭圆的长轴，p为椭圆上任意一点，直线PA，PB的斜率存在,则k PA．k PB为常数”．A．①② B．③④ C．①④ D．②③8．某校根据新课程标准改革的要求，开设数学选修系列4的10门课程供学生选修，其中4﹣1,4﹣2，4﹣4三门由于上课时间相同，所以至多选一门，根据学分制要求，每位同学必须选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是(）A．120 B．98 C．63 D．569．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同）．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．若点P在曲线C上,且P到直线l的距离为1，则满足这样条件的点P的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知函数f(x）的导函数为f′(x），且满足f（x）=2xf′(1）+lnx,则f′（1）=(）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e11．若（2x﹣1)2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015（x∈R），则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣12．如图所示，连结棱长为2cm的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，注满为止．已知顶点B到水面的高度h以每秒1cm 匀速上升,记该容器内水的体积V（cm3）与时间T（S）的函数关系是V（t)，则函数V(t）的导函数y=V′(t）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．如果随机变量ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则P等于．14．二项式的展开式的第二项的系数为,则的值为．15．如图所示,EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”,则P（B|A）=．16．有下列命题:①乘积（a+b+c+d)(p+q+r）（m+n）展开式的项数是24;②由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是36；③某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为24；④已知（1+x）8=a0+a1x+…+a8x8，其中a0,a1,…，a8中奇数的个数为2．其中真命题的序号是．三、解答题(17题10分，18-22题每题12分,共70分）17．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．18．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数）分成六段[40，50），［50，60）…[90,100］后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在［70，80)内的频率,并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[60,80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段［70，80）的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3)求二面角C﹣PB﹣D的大小．20．椭圆C焦点在y轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为2﹣．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交与P，Q两点，O为坐标原点,△OPQ的面积S△OPQ=1，则｜|2+｜｜2是否为定值,若是求出定值；若不是,说明理由．21．设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．（I）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；（II)求ξ的分布列和数学期望；（III）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率．22．定义在R上的函数f（x）满足，．（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数g（x)的单调区间;（3）如果s、t、r满足|s﹣r｜≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近r．当a≥2且x≥1时，试比较和e x﹣1+a哪个更靠近lnx，并说明理由．2015-2016学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二（下）期中数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．设x∈R，则“x=1”是“复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由于复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，故可得到x的值，再与“x=1"比较范围大小即可．【解答】解：由于复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则,解得x=1，故“x=1”是“复数z=（x2﹣1)+(x+1）i为纯虚数”的充要条件．故答案为C．2．已知点P的极坐标为(2，），那么过点P且平行于极轴的直线的极坐标方程是(）A．ρsinθ=B．ρsinθ=2 C．ρcosθ=D．ρcosθ=2【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点P的直角坐标为（，),过点P且平行于极轴的直线的直角坐标方程为y=，再化为极坐标方程．【解答】解：点P的极坐标（2，）的直角坐标为（，），故过点P且平行于极轴的直线的直角坐标方程为y=，即ρsinθ=,故选：A．3．通过随机询问110名性别不同的中学生是否爱好运动，得到如下的列联表: 男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110由K2=得，K2=≈7。
江西省樟树中学、高安市第二中学2015-2016学年高二上学期期末联考文数试题(原卷版)
江西省樟树中学、高安市第二中学2015-2016学年高二上学期期末联考文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1．复数z 满足(1)1z i -=（其中i 为虚数单位），则z =A ．1122i -B ．1122i -+C ．1122i +D ．1122i -- 2．某大学数学系共有本科生4500人，其中大一、大二、大三、大四的学生人数比为5:4:3:1，若用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽大二的学生A ．80人B ．60人C ．40人D ．20人3．命题“R x ∈∃，使得12<x ”的否定是A ．R x ∈∀，都有12<xB ．R x ∈∃，使得12≥xC ．R x ∈∀，都有21x ≥D ．R x ∈∃，使得12>x4．抛物线2x ay =的准线方程是2x =，则a 的值是A ．8B ．18C ．-8D ．18- 5．曲线sin y x =在0x =处的切线的倾斜角是A ．2πB ．4π C ． 6π D ．3π 6．400辆汽车通过某公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[)6080，的汽车大约有A ．120辆B ．140辆C ．160辆D ．240辆7．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a b c ，，中恰有一个偶数”正确的反设为A ．a b c ，，都是奇数B ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数C ．a b c ，，中至少有两个偶数D ．a b c ，，都是偶数8．将一枚质地均匀的骰子先后抛两次，设事件A={两次点数互不相同}，B={至少出现一次3点}， 则=)|(A B PA ．1110B ．185C ．12D ．31 9．某企业为了研究员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了80名员工进行调查， 所得的数据如下表所示：（参考公式与数据：22()()()()()n ad bc a b b c a c b d χ-=++++（其中d c b a n +++=）； 当2 3.841χ> 时，有95%的把握说事件A 与B 有关；当26.635χ>时，有99%的把握说事件A 与B 有关； 当2 3.841χ<时认为事件A 与B 无关．）A ．有99%的把握说事件A 与B 有关 B ．有95%的把握说事件A 与B 有关C ．有90%的把握说事件A 与B 有关D ．事件A 与B 无关10．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件可以是A ．16k <B ．8k <C ．16k ≥D ．8k ≥11．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别 交于点A 、B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为A B ．4 C D 12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f f x x '<，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为A ．(2,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在棱长为2的正方体内随机取一点，该点到正方体中心的距离小于1的概率为_________．14．在某比赛中，评委为一选手打出如下七个分数：97，91，87，91，94，95，94 去掉一个最高分和一 个最低分后，所剩数据的方差为_________．15．已知函数2()3f x ax =+,若0(1)(1)lim2x f x f x ∆→+∆-=∆，则实数a 的值为_________．16的正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形的边上再连接正方形，…，如此继续.若共得到255个正方形，则最小正方形的边长为_________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）某校羽毛球小组有男学生A ，B ，C 和女学生X ，Y ，Z 共6人，其所属年级如下：．（1）共有几种不同的选法？用表中字母列举出来；（2）设M 为事件“选出的2人性别相同”，求事件M 发生的概率．18．（本小题满分12分）（1）已知命题1)2(:++=x a y p 是增函数，命题:q 关于x 的不等式02>--a ax x 恒成立，若q p ∨为真，q p ∧为假，求实数a 的取值范围；（2）已知2|1:|≤+x p ，0))(1(:≤-+m x x q ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分12分）设 3.2()21f x x ax bx =+++的导函数为()f x '，若()y f x '=的图像关于直线12x =-对称，且(1)0f '=． （1）求实数,a b 的值；（2）求函数()f x 的极值.20．（本小题满分12分）某地区2007年至2013年居民人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（1）设y 关于t 的线性回归方程为y bt a =+，求,b a 的值；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2016年居民人均纯收入．()()()121,n i i i n i i t t y y b a y bt t t ==⎛⎫-- ⎪ ⎪==- ⎪- ⎪⎝⎭∑∑参考公式： 21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，右顶点与上顶点分别为点A 、B ，且|||AB BF =． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过点(0,2)斜率为2的直线l 交椭圆C 于P 、Q ，且OP OQ ⊥，求椭圆C 的方程．22．（本小题满分12分）已知函数32()2()3x f x x ax a R =--∈． （1）若()y f x =在()3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）若12a =-，设()ln(1)()g x x f x =-+，且方程3(1)(1)3xb g x x --=+有实根，求实数b 的最大值．：。
江西省高安二中、樟树中学联考高二数学上学期期中试卷 理(含解析)
2015-2016学年江西省高安二中、樟树中学联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞02．已知命题p：x≤1，命题q：≥1，则命题p是命题q的（）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件3．抛物线x=2ay2的准线方程是x=1，则a的值是（）A．﹣B．C．﹣2 D．24．下列说法中，正确的是（）A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数5．若α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．那么可以是α∥β的充分条件有（ C ）A．4个B．3个C．2个D．1个6．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．程序框图如图，如果程序运行的结果为S=132，若要使输出的结果为1320，则正确的修改方法是（）A．在①处改为k=13，s=1 B．在②处改为K＜10C．在③处改为S=S×（K﹣1）D．在④处改为K=K﹣28．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.59．如图，已知AB是半圆O的直径，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点，从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，则这3个点组成直角三角形的概率为（）A．B．C．D．10．如图，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，若tan∠ADP+2tan∠BCP=10，则点P在平面a内的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分11．椭圆=1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）A．75° B．60° C．45° D．30°12．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A．B．C． D．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．14．如图，四边形ABCD为矩形，，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是．15．表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC 的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为．16．若曲线+=1和曲线kx+y﹣3=0有三个交点，则k的取值范围是．三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．阿在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．（Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？18．某校1000名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如右图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这1000名学生数学成绩的平均分；（3）若数学成绩在区间[72，88]上的评为良好，在88分以上的评为优秀，试估计该校约有多少学生的数学成绩可评为良好，多少评为优秀？19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）﹣b2+16=0．（1）若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；（2）若a∈[2，4]，b∈[0，6]，求方程没有实根的概率．20．已知命题p：方程（m﹣1）x2+（m+2）y2=（m﹣1）（m+2）表示的曲线是双曲线；命题q：不等式3x2﹣m＞0在区间（﹣∞，﹣1）上恒成立，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．21．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=，AB=1，AD=m，E为BC中点，且∠AEA1恰为二面角A1﹣ED﹣A的平面角．（1）求证：平面A1DE⊥平面A1AE；（2）求异面直线A1E、CD所成的角；（3）设△A1DE的重心为G，问是否存在实数λ，使得=λ，且MG⊥平面A1ED同时成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．22．已知A，B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴交于点P．（Ⅰ）若直线AB经过抛物线y2=4x的焦点，求A，B两点的纵坐标之积；（Ⅱ）若点P的坐标为（4，0），弦AB的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江西省高安二中、樟树中学联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞0【考点】特称命题；命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定命题即可．【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，都有2x＞0”．故选：D．【点评】本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，写出答案即可，是基础题．2．已知命题p：x≤1，命题q：≥1，则命题p是命题q的（）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】先解不等式，结合集合的包含关系，判断即可．【解答】解：命题p：x≤1，由命题q：≥1，解得：0＜x≤1，故命题p是命题q的必要不充分条件，故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合问题，是一道基础题．3．抛物线x=2ay2的准线方程是x=1，则a的值是（）A．﹣B．C．﹣2 D．2【考点】抛物线的简单性质．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程的形式，再根据其准线方程即可求之．【解答】解：抛物线x=2ay2的标准方程是y2=x，则其准线方程为x=﹣=1，所以a=﹣，故选：A．【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式，考查抛物线标准方程中的参数，属于基础题．4．下列说法中，正确的是（）A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数【考点】极差、方差与标准差．【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计．【分析】这种问题考查的内容比较散，需要挨个检验，A中众数有两个4和5，又因为一组数据的标准差是这组事件的方差的平方根，C可以根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，频率分步直方图中各个小正方形的面积是各组相应的频率．【解答】解：对于A：众数有两个4和5，A是错误；对于B：B中说法错误，因为一组数据的标准差是这组事件的方差的平方根，故B错误；对于C：可以根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，故C正确，对于D：频率分步直方图中各个小正方形的面积是各组相应的频率，故D错误；故选：C．【点评】本题主要考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．5．若α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．那么可以是α∥β的充分条件有（ C ）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】平面与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据垂直于同一直线的两平面平行，判断①是否正确；根据垂直于同一平面的两平面位置关系部确定来判断②是否正确；借助图象，分别过两平行线中一条的二平面位置关系部确定，判断③的正确性；利用线线平行，线面平行，面面平行的转化关系，判断④是否正确．【解答】解：当α、β不平行时，不存在直线a与α、β都垂直，∴a⊥α，a⊥β⇒α∥β，故①正确；对②，γ⊥α，γ⊥β，α、β可以相交也可以平行，∴②不正确；对③，∵a∥b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α时，α、β位置关系不确定，∴③不正确；对④，∵异面直线a，b．∴a过上一点作c∥b；过b上一点作d∥a，则 a与c相交；b与d相交，根据线线平行⇒线面平行⇒面面平行，∴④正确．故选C【点评】本题考查面面平行的判定．通常利用线线、线面、面面平行关系的转化判定．6．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【专题】计算题．【分析】由题意可得：，进而得到与| |，||，再由cos＜，＞=可得答案．【解答】解：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以，所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=，所以cos＜，＞==，∴的夹角为60°故选C．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题7．程序框图如图，如果程序运行的结果为S=132，若要使输出的结果为1320，则正确的修改方法是（）A．在①处改为k=13，s=1 B．在②处改为K＜10C．在③处改为S=S×（K﹣1）D．在④处改为K=K﹣2【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知1320=10×11×12三数的积故程序只需运行三次．运行三次后，k值变为10，即可得答案．【解答】解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是12，以后所乘的数依次减少1，由于1320=10×11×12，故判断框中应填k≤9，或者k＜10故：B．【点评】本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果，属于基础题．8．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5【考点】回归分析的初步应用．【专题】计算题．【分析】先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果．【解答】解：∵由回归方程知=，解得t=3，故选A．【点评】本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错．9．如图，已知AB是半圆O的直径，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点，从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，则这3个点组成直角三角形的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】整体思想；综合法；概率与统计．【分析】这是一个古典概型问题，我们可以列出从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，可能组成的所有三角形的个数，然后列出其中是直角三角形的个数，代入古典概型公式即可求出答案．【解答】解：从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM、ABN、ABP、AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP，其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP，3个，所以这3个点组成直角三角形的概率P=，故选：C．【点评】本题考查古典概型的概率问题，掌握古典概型的计算步骤和计算公式是解答本题的关键．10．如图，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，若tan∠ADP+2tan∠BCP=10，则点P在平面a内的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【考点】轨迹方程．【专题】计算题．【分析】由题意可得+2=10，即 PA+PB=40＞AB，再根据P、A、B三点不共线，利用椭圆的定义可得结论．【解答】解：由题意可得+2=10，即PA+PB=40＞AB=6，又因P、A、B三点不共线，故点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆的一部分，故选 B．【点评】本题考查椭圆的定义，直角三角形中的边角关系，得到PA+PB=40＞AB，是解题的关键．11．椭圆=1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）A．75° B．60° C．45° D．30°【考点】椭圆的应用；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题．【分析】连接A10根据椭圆的性质可知A10⊥y轴，A20⊥y轴，推断出∠A10A2为所求的二面角，利用椭圆的方程求得a和c，即|A10|和|0F|的值，进而在Rt△A10A2中利用求得cos∠A10A2进而求得∠A10A2．【解答】解：连接A10∵A10⊥y轴，A20⊥y轴，∴∠A10A2为两个面的二面角．|A10|=a=4，|0F|=c==2，∴cos∠A10A2==∴∠A10A2=60°，故选B【点评】本题主要考查了椭圆的应用，与二面角相关的立体几何的综合．解决二面角问题的关键是找到或作出此二面角．12．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．【解答】解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中， =，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60 名学生．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．14．如图，四边形ABCD为矩形，，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是．【考点】概率的基本性质；几何概型．【专题】计算题．【分析】由题意知本题是一个几何概型，解决几何概型问题时，看清概率等于什么之比，试验包含的所有事件是∠BAD，而满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是∠BAD，如图，连接AC交弧DE于P，则，∴∠CAB=30°，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点∴概率P=，故答案为：【点评】本题考查了几何摡型知识，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．15．表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC 的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为27 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】棱锥S﹣ABC的底面积为定值，欲使棱锥S﹣ABC体积体积最大，应有S到平面ABC 的距离取最大值，由此能求出棱锥S﹣ABC体积的最大值．【解答】解：∵表面积为60π的球，∴球的半径为，设△ABC的中心为D，则OD=，所以DA=，则AB=6棱锥S﹣ABC的底面积S=为定值，欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，又平面SAB⊥平面ABC，∴S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而SO=，点D到直线AB的距离为，则S到平面ABC的距离的最大值为，∴V=．故答案为：27．【点评】本小题主要考查棱锥的体积的最大值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．16．若曲线+=1和曲线kx+y﹣3=0有三个交点，则k的取值范围是（﹣，﹣）∪（，）．【考点】曲线与方程．【专题】综合题；数形结合；综合法；直线与圆．【分析】由题意，y≥0， =1，y＜0， =1，渐近线方程为y=±，作出图象，即可得出结论．【解答】解：由题意，y≥0， =1，y＜0， =1，渐近线方程为y=±，如图所示，曲线kx+y﹣3=0与=1联立，可得（9﹣4k2）x2+24kx﹣72=0，∴△=（24k）2+288（9﹣4k2）=0，∴k=±，结合图象，可得k的取值范围是（﹣，﹣）∪（，），故答案为：（﹣，﹣）∪（，）．【点评】本题考查曲线与方程，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．（Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】（1）由题意知本题是一个古典概型，列举出所有的基本事件，列举出满足条件的事件，根据古典概型的公式，得到结果．（2）根据古典概型公式算出两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，把所得结果进行比较，得到结论．【解答】解：用（x，y）（x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2、5）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3、5）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）共25个；（1）．则事件A包含的基本事件有：（2，1）、（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、共有10个；则．）（2）．设：甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C．事件B所包含的基本事件有：事件B所包含的基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2.3），（3，1），（3，2），（4，1）共有10个；则P（B）==所以P（C）=1﹣P（B）=1﹣=．因为P（B）≠P（C），所以这样规定不公平．【点评】本题考查概率的意义和用列举法来列举出所有的事件数，本题解题的关键是不重不漏的列举出所有的事件数．18．某校1000名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如右图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这1000名学生数学成绩的平均分；（3）若数学成绩在区间[72，88]上的评为良好，在88分以上的评为优秀，试估计该校约有多少学生的数学成绩可评为良好，多少评为优秀？【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；函数思想；概率与统计．【分析】（1）根据频率分布直方图所有小矩形的面积之和为1，求a．（2）根据平均数公式计算即可，（3）数学成绩在区间[72，88]上的人数，在88分以上的人数，然后求解该校约有多少学生的数学成绩可评为良好，评为优秀．【解答】解：（1）由频率分布图可知：（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1⇔a=0.005…（2）由频率分布图可得该校1000名学生的数学成绩平均分为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73…（3）数学成绩在区间[72，80]的人数约为：数学成绩在区间[80，88]的人数约为：∴成绩评为良好的学生数约为：240+160=400；成绩评为优秀的学生人数约为∴评为良好的人数约为400人，评为优秀的人数约为90人…【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）﹣b2+16=0．（1）若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；（2）若a∈[2，4]，b∈[0，6]，求方程没有实根的概率．【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）本题是一个古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件，基本事件（a，b）的总数有36个，满足条件的事件是二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有两正根，根据实根分布得到关系式，即可得到概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}，求出两者的面积，即可得到概率．【解答】解：设“方程有两个正根”的事件为A，（1）由题意知本题是一个古典概型用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个，二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有两正根，等价于，即，则事件A包含的基本事件为（6，1）、（6，2）、（6，3）、（5，3）共4个∴所求的概率为P（A）=；（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6}，其面积为S（Ω）=12满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6，（a﹣2）2+b2＜16}，如图中阴影部分所示，其面积为S（B）=+=∴所求的概率P（B）=．【点评】本题考查古典概型和几何概型，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题目．20．已知命题p：方程（m﹣1）x2+（m+2）y2=（m﹣1）（m+2）表示的曲线是双曲线；命题q：不等式3x2﹣m＞0在区间（﹣∞，﹣1）上恒成立，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】分类讨论；综合法；简易逻辑．【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假得到不等式组，解出即可．【解答】解：若p为真：方程（m﹣1）x2+（m+2）y2=（m﹣1）（m+2）可化为：，曲线为双曲线，则：（m+2）（m﹣1）＜0，∴﹣2＜m＜1…若q为真，3x2＞m在区间（﹣∞，﹣1）上恒成立，3x2＞3（﹣1）2≥m即m≤3…p∨q为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假…若p真q假，则，不等式无解…若p假q真，则，m≤﹣2，或1≤m≤3…综上可得：m≤﹣2，或1≤m≤3…．【点评】本题考查了双曲线以及函数恒成立问题，考查复合命题的判断，是一道中档题．21．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=，AB=1，AD=m，E为BC中点，且∠AEA1恰为二面角A1﹣ED﹣A的平面角．（1）求证：平面A1DE⊥平面A1AE；（2）求异面直线A1E、CD所成的角；（3）设△A1DE的重心为G，问是否存在实数λ，使得=λ，且MG⊥平面A1ED同时成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】（1）根据二面角的平面角的定义，可得二面角的棱垂直于平面角所在的平面，得线面垂直，再由线面垂直⇒面面垂直．（2）建立空间直角坐标系，给出相关点与向量的坐标，根据AE⊥DE，求出m的值，再求向量夹角的余弦值．（3）根据=λ，写出M的坐标，求出的坐标，根据条件MG⊥DE，MG⊥EA1确定是否存在λ．【解答】解：（1）证明：∵∠AEA1为二面角A1﹣ED﹣A的平面角∴A1E⊥ED，AE⊥ED，A1E∩AE=E，∴ED⊥平面A1AE，DE⊂平面A1DE，∴平面A1DE⊥平面A1AE．（2）如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），A1（0，0，），B（1，0，0），D（0，m，0），E（1，，0）．=（1，，﹣），ED=（），AE=（），∵AE⊥ED，，即﹣1+=0⇒m=2，则C（1，2，0），=（﹣1，0，0），cos===，∴异面直线A1E、CD所成的角为60°．（3）依题意得：G（），=λ，∴M（0，2λ，0）．=（，1﹣2λ，），假设存在λ满足题设条件，则，且，即，解得λ=，故存在实数λ=，使得=λ，且MG⊥平面A1ED同时成立．【点评】本题考查了利用向量坐标运算求异面直线所成的角，考查用向量法解决立体几何中的存在性问题，考查了学生的运算能力及逻辑推理能力，本题对向量的工具作用体现较好．22．已知A，B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴交于点P．（Ⅰ）若直线AB经过抛物线y2=4x的焦点，求A，B两点的纵坐标之积；（Ⅱ）若点P的坐标为（4，0），弦AB的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出抛物线的焦点，设直线AB方程为y=k（x﹣1），联立抛物线方程，消去x，可得y的方程，运用韦达定理，即可求得A，B两点的纵坐标之积；（Ⅱ）设AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和抛物线方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，化简整理，再由二次函数的最值，即可求得弦长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），依题意，设直线AB方程为y=k（x﹣1），其中k≠0．将代入直线方程，得，整理得ky2﹣4y﹣4k=0，所以y A y B=﹣4，即A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（Ⅱ）设AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0．由△=4k2b2+16﹣16kb﹣4k2b2=16﹣16kb＞0，得kb＜1．所以，．设AB中点坐标为（x0，y0），则，，所以弦AB的垂直平分线方程为，令y=0，得．由已知，即2k2=2﹣kb．====，当，即时，|AB|的最大值为6．当时，；当时，．均符合题意．所以弦AB的长度存在最大值，其最大值为6．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，考查直线和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，结合二次函数的最值求法，属于中档题．。
2015-2016学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．i是虚数单位，则复数的虚部是（）A．1 B．﹣1 C． D．﹣【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式，即可推出结果．【解答】解：===，所以复数的虚部为：．故选C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力．2．已知集合M={x|log2x＜3}，N={x|x=2n+1，n∈N}，则M∩N=（）A．（0，8） B．{3，5，7} C．{0，1，3，5，7} D．{1，3，5，7}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：log2x＜3=log28，即0＜x＜8，∴M={x|0＜x＜8}，∵N={x|x=2n+1，n∈N}，∴M∩N={1，3，5，7}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．已知条件p：x＞1，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．【解答】解：由x＞1，推出＜1，p是q的充分条件，由＜1，得＜0，解得：x＜0或x＞1．不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题．4．已知命题p：若x∈N*，则x∈Z．命题q：∃x0∈R，．则下列命题为真命题的是（）A．￢p B．p∧q C．￢p∨q D．￢p∨￢q【考点】复合命题的真假．【专题】数形结合；转化思想；简易逻辑．【分析】先判定命题p与q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：若x∈N*，则x∈Z．是真命题．命题q：∵∀x∈R，则＞0，因此不∃x0∈R，．是假命题．则下列命题为真命题的是￢p∨￢q．故选：D．【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．若，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【考点】定积分．【专题】方程思想；定义法；导数的概念及应用．【分析】利用定积分的运算法则列出方程，求出a的值即可．【解答】解：∵，∴（x2﹣ax）=sinx，即﹣a=，解得a=1．故选：B．【点评】本题考查了定积分的求法问题，求出积分函数的原函数是解题的关键，是基础题．6．用反证法证明命题“若a+b+c≥0，abc≤0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）A．a、b、c三个实数中最多有一个不大于零B．a、b、c三个实数中最多有两个小于零C．a、b、c三个实数中至少有两个小于零D．a、b、c三个实数中至少有一个不大于零【考点】反证法与放缩法．【专题】证明题；推理和证明．【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的否定为：“a、b、c三个实数中至少有两个小于零”，由此得出结论．【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的否定为：“a、b、c三个实数中至少有两个小于零”，故应假设的内容是：a、b、c三个实数中至少有两个小于零．故选：C．【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．7．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．B．（1，+∞）C．（1，2） D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据椭圆的标准方程，得焦点在y轴上的椭圆方程中，x2、y2的分母均为正数，且y2的分母较大，由此建立关于k的不等式组，解之即得实数k的取值范围．【解答】解：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴，解之得1＜k＜2实数k的取值范围是（1，2）故选：C【点评】本题给出标准方程表示焦点在y轴上的椭圆，求参数k的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程的概念，属于基础题．8．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A． B． C．4 D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故选B．【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．9．对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2016次操作后得到的数是（）A．25 B．250 C．55 D．133【考点】归纳推理．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133，所以操作结果，以3为周期，循环出现，由此可得第2016次操作后得到的数【解答】解：第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133∴操作结果，以3为周期，循环出现∵2016=3×672，∴第2016次操作后得到的数与第3次操作后得到的数相同∴第2016次操作后得到的数是250，故选：B【点评】本题考查合情推理，考查学生的阅读能力，解题的关键是得出操作结果，以3为周期，循环出现．10．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，若g（x）=．则g′（1）=（）A． B．﹣C．﹣D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，∴f（1）=1，f′（1）=，∵g（x）=，∴g′（x）=，则g′（1）===，故选：A．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的斜率关系，求函数的导数利用导数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．11．三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，则•等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣2D．2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】用表示出，再计算数量积．【解答】解：∵，∴•=•（）=﹣=2×2×cos90°﹣2×2×cos60°=﹣2．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量线性运算的三角形法则，属于基础题．12．已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，）【考点】导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，故可求实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=f（x）=，x＞0，∴f′（x）==，∴f（x）+xf′（x）=﹣=，∵存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，设g（x）=x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）=1﹣=，当g′（x）=0时，解的x=，当g′（x）＞0时，即＜x≤2时，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即≤x＜2时，函数单调递减，∴当x=2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）=2+=∴b＜，故选：B．【点评】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的最值，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，成等比数列．【考点】类比推理．【专题】计算题．【分析】由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．【解答】解：由于等差数列的定义是后一项减去前一项而等比数列的定义是后一项除以前一项在运算上升了一级故将差类比成比：则T4，，成等比数列故答案为．【点评】本题主要考查类比推理，类比推理一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．14．由曲线y=x2和y2=x围成的封闭图形的面积是．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线y=x2与y2=x 所围成的图形的面积．【解答】解：先将y2=x化成：，联立的：因为x≥0，所以解得x=0或x=1所以曲线y=x2与所围成的图形的面积S=∫01（﹣x2）dx=﹣x3|01=故答案为：．【点评】让学生理解定积分在求面积中的应用，会求一个函数的定积分．15．已知=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），则向量+与﹣的夹角是90°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】空间向量及应用．【分析】由题意可得向量的模长相等，进而可得∴（+）•（﹣）==0，可得结论．【解答】解：∵ =（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），∴||=||=，∴（+）•（﹣）==0∴+与﹣垂直，∴向量+与﹣的夹角为：90°故答案为：90°【点评】本题考查向量的数量积与夹角，涉及向量的模长公式，属基础题．16．设双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由，得，从而求出A点坐标，再由点A在渐近线y=上，能求出双曲线的离心率．【解答】解：设点F（c，0），B（0，b），由，得=2（），∴，∴A（，），∵点A在渐近线y=上，则，解得e=．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围．【解答】解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]【点评】充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导．18．已知函数f（x）=x2+alnx（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若g（x）=f（x）+在[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调递增区间与单调递减区间；（Ⅱ）由题意得g'（x）=2x+﹣，分函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数与单调减函数讨论，即可确定实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）求导函数可得=（x＞0）令f′（x）＞0，则﹣1＜x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；令f′（x）＜0，则x＜﹣1或0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；∴函数的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．（Ⅱ）由题意得g'（x）=2x+﹣，①若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则2x+﹣≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥﹣2x2在[1，+∞）上恒成立，设Φ（x）=﹣2x2，∵Φ（x）在[1，+∞）上单调递减，∴Φ（x）≤Φ（1）=0，∴a≥0②若函数g（x）为[1，+∞）上的单调减函数，则g'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，不可能．∴实数a的取值范围[0，+∞）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确运用分离参数法是关键．19．数列{a n}满足S n=2n﹣a n（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．【考点】数学归纳法；数列递推式；归纳推理．【专题】计算题；证明题；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（Ⅰ）通过n=1，2，3，4，直接计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式；（Ⅱ）直接利用数学归纳法证明．检验n取第一个值时，等式成立，假设，证明．【解答】（本小题满分8分）解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=2﹣a1，所以a1=1．当n=2时，a1+a2=s2=2×2﹣a2，所以．同理：，．由此猜想…（Ⅱ）证明：①当n=1时，左边a1=1，右边=1，结论成立．②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即，那么n=k+1时，a k+1=s k+1﹣s k=2（k+1）﹣a k+1﹣2k+a k=2+a k﹣a k+1，所以2a k+1=2+a k，所以，这表明n=k+1时，结论成立．由①②知对一切n∈N*猜想成立．…【点评】本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明故当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．20．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）连接A1C，交C1A于E，证明：DE∥A1B，即可证明A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ABA1的一个法向量、平面ADC1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接A1C，交C1A于E，则E为A1C的中点，又点D是BC的中点，所以DE∥A1B，…又DE⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，故A1B∥平面ADC1．…（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），C1（0，2，4），…=（0，2，0）是平面ABA1的一个法向量，…设平面ADC1的法向量=（x，y，z）．∵=（1，1，0），=（0，2，4），∴．取z=1，得y=﹣2，x=2∴平面ADC1的法向量=（2，﹣2，1），…平面ADC1与ABA1所成的二面角为θ，∴|cosθ|=||=．…从而sinθ=，即平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为…【点评】本题考查线面平行，考查平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点．O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P在椭圆C上，且=+，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可得b=，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解方程可得k；（ⅱ）当l垂直于x轴时，由向量的加法运算，即可判断．【解答】解：（1）由2b=2．得b=，即有=，a2﹣c2=2，所以，则椭圆方程为；（2）椭圆C的方程为2x2+3y2=6．设A（x1，y1），B（x2，y2）．（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k（x﹣1）．C上的点P使=+成立的充要条件是P点坐标为（x1+x2，y1+y2），且2（x1+x2）2+3（y1+y2）2=6，整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6，又A、B在椭圆C上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6，故2x1x2+3y1y2+3=0．①将y=k（x﹣1）代入2x2+3y2=6，并化简得（2+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣6=0，于是x1+x2=，x1•x2=，y1•y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=．代入①解得k2=2，因此，当k=﹣时，l的方程为x+y﹣=0；当k=时，l的方程为x﹣y﹣=0．（ⅱ）当l垂直于x轴时，由+=（2，0）知，C上不存在点P使=+成立．综上，l的方程为x±y﹣=0．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线方程的求法，注意运用分类讨论的思想方法和直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=alnx，g（x）=x2．其中x∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线相互平行，求两平行直线间的距离；（Ⅱ）若f（x）≤g（x）﹣1对任意x＞0恒成立，求实数a的值；（Ⅲ）当a＜0时，对于函数h（x）=f（x）﹣g（x）+1，记在h（x）图象上任取两点A、B 连线的斜率为k AB，若|k AB|≥1，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导函数，可得切线方程，利用平行线间的距离公式，可求两平行直线间的距离；（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）+1，确定其单调性，分类讨论，即可求实数a的值；（Ⅲ）|h（x1）﹣h（x2）|≥|x1﹣x2|等价于h（x1）﹣h（x2）≥x2﹣x1，即h（x1）+x1≥h（x2）+x2，构造H（x）=h（x）+x=alnx﹣x2+x+1，H（x）在（0，+∞）上是减函数，可得﹣2x2+x+a≤0在x＞0时恒成立，分离参数，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），依题意得：a=2；…∴曲线y=f（x）在x=1处的切线为2x﹣y﹣2=0，曲线y=g（x）在x=1处的切线方程为2x ﹣y﹣1=0．…∴两直线间的距离为=…（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）+1，则当a≤0时，注意到x＞0，∴h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）单调递减，…又h（1）=0，故0＜x＜1时，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）﹣1，与题设矛盾．…当a＞0时，当，h′（x）＞0，当时，h′（x）＜0∴h（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，…∴h（x）≤∵h（1）=0，又当a≠2时，与不符．∴a=2．…（Ⅲ）当a＜0时，由（2）知h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上是减函数，不妨设0＜x1≤x2，则|h（x1）﹣h（x2）|=h（x1）﹣h（x2），|x1﹣x2|=x2﹣x1，…∴|h（x1）﹣h（x2）|≥|x1﹣x2|等价于h（x1）﹣h（x2）≥x2﹣x1，即h（x1）+x1≥h（x2）+x2，…令H（x）=h（x）+x=alnx﹣x2+x+1，H（x）在（0，+∞）上是减函数，∵（x＞0），…∴﹣2x2+x+a≤0在x＞0时恒成立，∴a≤（2x2﹣x）min…又x＞0时，（2x2﹣x）min=∴a≤﹣，又a＜0，∴a的取值范围是．…【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
江西省樟树中学、高安市第二中学2015-2016学年高二上学期期末联考理数试题(原卷版)
i 12i 江西省樟树中学、高安市第二中学2015-2016学年高二上学期期末联考理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. i 是虚数单位，则复数1i i +的虚部是A ． 12B ．C ．1D ． 2. 已知集合2{|log 3}M x x =<,{|21,}N x x k k z ==+∈,则M N ⋂=A ．(0,8)B ．{3,5,7}C ．{0,1,3,5,7}D ．{1,3,5,7}3. 若:1p x >，1:1q x<，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知命题p ：若x ∈N *，则x ∈Z.命题q ：∃x 0∈R ， 01()02x =.则下列命题为真命题的是A ．p ⌝B ．p ∧qC ． p q ⌝∨D ．p q ⌝∨⌝5．若()2610cos x a dx xdx π-=⎰⎰，则a 等于A ．1-B ．1C ．2D ．46．用反证法证明命题“若0a b c ++≥，0abc ≤，则,,a b c 三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为A ．,,a b c 三个实数中最多有一个不大于零B ．,,a b c 三个实数中最多有两个小于零C ．,,a b c 三个实数中至少有两个小于零D ．,,a b c 三个实数中至少有一个不大于零7.已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 A. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M(2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于A． B． C ．4 D．9.对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 016次操作后得到的数是A ．25B ．250C ．55D ．13310. 已知函数()y f x =的图像在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()x g x f x =，则()1g '= A.12 B.12- C.32- D.211. 三棱锥A-BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则ABCD 等于A ．－2B ．2C ．－D ．12.已知函数()()2ln x x b f x x +-=（R b ∈）．若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，则实数b 的取值范围是 A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．(),3-∞ C ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D．(-∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列．类比以上结论有：设等比数列 {b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，128T T 成等比数列． 14．曲线2x y =和曲线x y =2围成的图形面积是15. 已知(cos ,1,sin )a αα=r ，(sin ,1,cos )b αα=r ，则向量a b +r r 与a b -r r 的夹角是16．设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，线段BF 与双曲线的一条渐近线交于点A ，若2FA AB =uu r uu u r ，则双曲线的离心率为_____．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分10分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a>0，命题q ：实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩ (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若非p 是非q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x 2＋alnx.(1)当a ＝－2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若g(x)＝f(x)＋2x在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围． 19. （本小题满分12分）数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．20.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求证：1A B ∥1ADC 平面；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：22221x y a b += (a>b>0)，短轴长为，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 在椭圆C 上，且OP OA OB =+，求直线l 的方程；22.(本小题满分12分)已知函数2()ln ,(),f x a x g x x a R ==∈其中 .(1) 若曲线()()y f x y g x ==与 在1x = 处的切线相互平行，求两平行直线间的距离．（2）若())1f x g x ≤-（对任意0x >恒成立，求实数a 的值；（3）当0a < 时，对于函数()()()1h x f x g x =-+ ，记在()h x 图象上任意两点A 、B 连线的斜率为AB k ,若1AB k ≥恒成立，求a 的取值范围．：。
江西省樟树中学、高安市第二中学高二数学上学期期末联考试题理
i12i高安二中、樟树中学2017届高二上学期期末联考数学理科试卷考试时长：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. i 是虚数单位，则复数1ii+的虚部是A ．12B ．C ．1D ． 2. 已知集合2{|log 3}M x x =<,{|21,}N x x k k z ==+∈,则M N ⋂= A ．(0,8) B ．{3,5,7} C ．{0,1,3,5,7} D ．{1,3,5,7}3. 若:1p x >，1:1q x<，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 已知命题p ：若x ∈N *，则x ∈Z .命题q ：∃x 0∈R ，01()02x =.则下列命题为真命题的是A ．p ⌝B ．p ∧qC ． p q ⌝∨D ．p q ⌝∨⌝ 5．若()261cos x a dx xdx π-=⎰⎰，则a 等于A ．1-B ．1C ．2D ．46．用反证法证明命题“若0a b c ++≥，0abc ≤，则,,a b c 三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为A ．,,a b c 三个实数中最多有一个不大于零B ．,,a b c 三个实数中最多有两个小于零C ．,,a b c 三个实数中至少有两个小于零D ．,,a b c 三个实数中至少有一个不大于零7.已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 59. 对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 016次操作后得到的数是A ．25B ．250C ．55D ．13310. 已知函数()y f x =的图像在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()xg x f x =，则()1g '=A.12B.12-C.32-D.211. 三棱锥A BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于 A ．－2 B ．2C ．－2 3D ．2 312.已知函数()()2ln x x b f x x +-=（R b ∈）．若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，则实数b 的取值范围是A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．(),3-∞ C ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(-∞ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，T 12T 8成等比数列． 14．曲线2x y =和曲线x y =2围成的图形面积是15. 已知(cos ,1,sin )a αα=r ，(sin ,1,cos )b αα=r，则向量a b +r r 与a b -r r 的夹角是16．设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，线段BF 与双曲线的一条渐近线交于点A ，若2FA AB =uu r uu u r，则双曲线的离心率为_____．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.(本小题满分10分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若非p 是非q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若g (x )＝f (x )＋2x在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围．19. （本小题满分12分）数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．20.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求证：1A B ∥1ADC 平面；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)的离心率为33，短轴长为F 的直线l 与C 相交于A ，B两点．O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 在椭圆C 上，且OP →＝OA →＋OB →，求直线l 的方程；22.(本小题满分12分)已知函数2()ln ,(),f x a x g x x a R ==∈其中 .(1) 若曲线()()y f x y g x ==与 在1x = 处的切线相互平行，求两平行直线间的距离．（2）若())1f x g x ≤-（对任意0x >恒成立，求实数a 的值； （3）当0a < 时，对于函数()()()1h x f x g x =-+ ，记在()h x 图象上任意两点A 、B 连线的斜率为AB k ,若1AB k ≥恒成立，求a 的取值范围．高安二中、樟树中学2017届高二上学期期末联考理科数学答卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. ____ 14. __15. ____ 16. ___三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. (本小题满分10分)18. (本小题满分12分)19. (本小题满分12分)20. (本小题满分12分)21. (本小题满分12分)22. (本小题满分12分)高安二中、樟树中学2017届高二上学期期末联考理 科 数 学 参 考 答 案1-12. ADADB CCBBA AC 13-16. 84T T , 13， 2 ，217.解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0， 得(x －3a )(x －a )<0. ……2分又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2，即2<x ≤3.所以q 为真时，2<x ≤3. ……4分若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．………6分(2)因为非p 是非q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，于是满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a >3，……9分解得1<a ≤2，故所求a 的取值范围是(1,2]．……10分 18．(1)由已知，函数的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，所以f ′(x )＝2x －2x＝x －x ＋x，……4分则当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，所以(0,1)为f (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，(1，＋∞)为f (x )的单调递增区间．……6分(2)由题意得g ′(x )＝2x ＋a x －2x2，函数g (x )在[1，＋∞)上是单调函数．……7分(ⅰ)若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x－2x 2在[1，＋∞)上恒成立，……9分设φ(x )＝2x－2x 2，因为φ(x )在[1，＋∞]上单调递减，所以φ(x )max ＝φ(1)＝0，所以a ≥0. ……11分(ⅱ)若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． 综上，实数a 的取值范围是[0，＋∞)．……12分19．(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1.当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4，∴a 4＝158. ……4分由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．……6分(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．…7分②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，…8分那么n ＝k ＋1(k ≥1且k ∈N *)时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k＝2＋a k －a k ＋1.∴2a k ＋1＝2＋a k ＝2＋2k －12k －1＝2k ＋1－12k －1.……10分∴a k ＋1＝2k ＋1－12k，由①②可知，对n ∈N *，a n ＝2n－12n －1都成立．……12分 20. (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0，2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4),…2分设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．.……5分,因为110A B n ⋅=uuu r u r所以1A B ∥1ADC 平面；.……6分,(2)取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ. 由|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝29×1＝23，……11分得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.……12分21. (1)由2b ＝2 2.得b ＝ 2 ……1分c a ＝33，222a c -= …3分所以1a c ==椭圆方程为22132x y +=…………5分 （2）椭圆C 的方程为2x 2＋3y 2＝6.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(ⅰ)当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝k (x －1)．…6分 C 上的点P 使OP →＝OA →＋OB →成立的充要条件是P 点坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，且2(x 1＋x 2)2＋3(y 1＋y 2)2＝6，整理得2x 21＋3y 21＋2x 22＋3y 22＋4x 1x 2＋6y 1y 2＝6， 又A 、B 在椭圆C 上，即2x 21＋3y 21＝6,2x 22＋3y 22＝6， 故2x 1x 2＋3y 1y 2＋3＝0.① …7分将y ＝k (x －1)代入2x 2＋3y 2＝6，并化简得 (2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，于是x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1·x 2＝3k 2－62＋3k2，…9分y 1·y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝－4k 22＋3k 2.代入①解得k 2＝2，因此，当k ＝－2时，l 的方程为2x ＋y －2＝0；当k ＝2时， l 的方程为2x －y －2＝0. …11分(ⅱ)当l 垂直于x 轴时，由OA →＋OB →＝(2,0)知，C 上不存在点P 使OP →＝OA →＋OB →成立． 综上， l 的方程为2x ±y －2＝0. …12分 22．解：（Ⅰ）x x g xax f 2)(',)('==,依题意得:a =2; ……………2分 曲线y=f (x )在x =1处的切线为2x －y －2=0,曲线y=g (x )在x =1处的切线方程为2x －y －1=0. ……………3分 两直线间的距离为55……………4分 （Ⅱ）令h (x )=f (x )－g(x ) +1, ,则xx a x x a x h 222)('-=-=当a ≤0时, 注意到x>0, 所以)('x h <0, 所以h (x )在(0,+∞)单调递减, ………………5分又h (1)=0,故0<x <1时,h (x )>0,即f (x )> g(x )-1,与题设矛盾. ……………6分当a >0时,)0)(2)(2(2)('>-+=x x a x a x x h 当20a x <<,,0)('>x h 当2ax >时,0)('<x h所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2上是增函数,在⎝⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上是减函数,∴h (x )≤ln 1222a a a h =-+因为h (1)＝0,又当a ≠2时1≠ ,0)1()2(=>h a h 与0)2(≤a h 不符.所以a ＝2. ………8分 （Ⅲ）当a <0时,由(2)知)('x h <0,∴h (x )在(0,＋∞)上是减函数,不妨设0<x 1≤x 2,则|h (x 1)－h (x 2)|＝h (x 1)－h (x 2),|x 1－x 2|＝x 2－x 1, ∴|h (x 1)－h (x 2)|≥|x 1－x 2|等价于h (x 1)－h (x 2)≥x 2－x 1,即h (x 1)＋x 1≥h (x 2)＋x 2,令H (x )＝h (x )＋x ＝alnx －x 2＋x ＋1,H (x )在(0,＋∞)上是减函数,∵xax x x x a x H ++-=+-=2212)(' (x >0),∴－2x 2＋x ＋a ≤0在x >0时恒成立,∴a ≤(2x 2－x )min ……………10分又x >0时, (2x 2－x )min =81-………11分 ∴a ≤－18,又a <0,∴a 的取值范围是]81,(--∞…………12分。
江西省樟树中学、高安市第二中学高二数学下学期期中联
高安二中、樟树中学2015-2016（下）高二期中考试数学(文)试题一、选择题（共12题，每题5分，共60分） 1.若复数Z=（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则在复平面内Z 对应点的坐标为( )A ．（0，2）B ．（0，3i ）C ．（0，3）D ．（0，2i ）2．已知命题1:0,2p x x x∀>+≥，则p ⌝为（ ） A. 10,2x x x ∀>+< B. 10,2x x x ∀≤+<C. 10,2x x x ∃≤+<D. 10,2x x x∃>+<3.“|x ﹣1|＜2成立”是“x （x ﹣3）＜0成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4.以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—分析法，②—反证法 B ．①—分析法，②—综合法 C ．①—综合法，②—反证法 D ．①—综合法，②—分析法 5．已知22=+b a ，则ba164+的最小值为( ) A ．2 B ．4C ．8D ．166．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x x 甲乙，，则下列判断正确的是（ ） A 、x x <甲乙；乙比甲成绩稳定 B 、x x >甲乙；乙比甲成绩稳定 C 、x x <甲乙；甲比乙成绩稳定 D 、x x >甲乙；甲比乙成绩稳定 7.下列命题为真命题的是（ ） A ．若ac ＞bc ，则a ＞b B ．若a 2＞b 2，则a ＞bC ．若，则a ＜bD ．若，则a ＜b8. 已知集合{|sin ,}A y y x x R ==∈，集合{|lg }B x y x ==，则()R C A B 为（ ）A. (,1)(1,)-∞-+∞B.[1,1]-C. (1,)+∞D. [1,)+∞9.四个小动物换座位,开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在1,2,3,4号位子上(如图),第一次前后排动物互换座位,第二次左右列动物互换座位,…,这样交替进行下去,那么第2 015 次互换座位后,小兔的座位对应的是().A.编号1B.编号2C.编号3D.编号4 10．在极坐标系中与圆θρsin 4=相切的一条直线的方程为（ ）. A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ= C ．4sin()3πρθ=+D ．4sin()3πρθ=-11.双曲线（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点 F 1作倾斜角为30°的直线l ，l 与双曲线的右支交于点P ，若线段PF 1的中点M 落在y 轴上，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y=±xB ．y=±x C ．y=±x D ．y=±2x12.设函数f （x ）在R 上存在导数f ′（x ），∀x ∈R ，有f （﹣x ）+f （x ）=x 2，在（0，+∞）上f ′（x ）＜x ，若f （4﹣m ）﹣f （m ）≥8﹣4m ．则实数m 的取值范围为（ ） A ．[﹣2，2] B ．[2，+∞） C ．[0，+∞）D ．（﹣∞，2]∪[2，+∞）二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．对任意实数x ，若不等式|x+2|+|x+1|≥k 恒成立，则实数k 的取值范围是 ． 14.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．15．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 5cos 5x y （θ为参数，20πθ≤≤）和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=ty t x 22221（t 为参数），则曲线C 1和C 2的交点坐标为 ．16.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n （n>l ，n ∈N *）个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则201720165443329999a a a a a a a a ++++ = 。
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2015-2016学年江西省高安二中、樟树中学联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．（5分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞02．（5分）已知命题p：x≤1，命题q：≥1，则命题p是命题q的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件3．（5分）抛物线x=2ay2的准线方程是x=1，则a的值是（）A．﹣ B．C．﹣2 D．24．（5分）下列说法中，正确的是（）A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数5．（5分）若α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．那么可以是α∥β的充分条件有（C）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．（5分）已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．（5分）程序框图如图，如果程序运行的结果为S=132，若要使输出的结果为1320，则正确的修改方法是（）A．在①处改为k=13，s=1 B．在②处改为K＜10C．在③处改为S=S×（K﹣1）D．在④处改为K=K﹣28．（5分）表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.59．（5分）如图，已知AB是半圆O的直径，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点，从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，则这3个点组成直角三角形的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）如图，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，若tan∠ADP+2tan∠BCP=10，则点P在平面a内的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分11．（5分）椭圆=1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）A．75°B．60°C．45°D．30°12．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．14．（5分）如图，四边形ABCD为矩形，AB=，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在圆弧上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是．15．（5分）表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为．16．（5分）若曲线+=1和曲线kx+y﹣3=0有三个交点，则k的取值范围是．三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（10分）在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．（Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？18．（12分）某校1000名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如右图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这1000名学生数学成绩的平均分；（3）若数学成绩在区间[72，88]上的评为良好，在88分以上的评为优秀，试估计该校约有多少学生的数学成绩可评为良好，多少评为优秀？19．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）﹣b2+16=0．（1）若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；（2）若a∈[2，4]，b∈[0，6]，求方程没有实根的概率．20．（12分）已知命题p：方程（m﹣1）x2+（m+2）y2=（m﹣1）（m+2）表示的曲线是双曲线；命题q：不等式3x2﹣m＞0在区间（﹣∞，﹣1）上恒成立，若“p ∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．21．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=，AB=1，AD=m，E为BC 中点，且∠AEA1恰为二面角A1﹣ED﹣A的平面角．（1）求证：平面A1DE⊥平面A1AE；（2）求异面直线A1E、CD所成的角；（3）设△A1DE的重心为G，问是否存在实数λ，使得=λ，且MG⊥平面A1ED同时成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．22．（12分）已知A，B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴交于点P．（Ⅰ）若直线AB经过抛物线y2=4x的焦点，求A，B两点的纵坐标之积；（Ⅱ）若点P的坐标为（4，0），弦AB的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江西省高安二中、樟树中学联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．（5分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题．∴命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是：“对任意的x∈R，2x＞0”．故选：D．2．（5分）已知命题p：x≤1，命题q：≥1，则命题p是命题q的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件【解答】解：命题p：x≤1，由命题q：≥1，解得：0＜x≤1，故命题p是命题q的必要不充分条件，故选：D．3．（5分）抛物线x=2ay2的准线方程是x=1，则a的值是（）A．﹣ B．C．﹣2 D．2【解答】解：抛物线x=2ay2的标准方程是y2=x，则其准线方程为x=﹣=1，所以a=﹣，故选：A．4．（5分）下列说法中，正确的是（）A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数【解答】解：对于A：众数有两个4和5，A是错误；对于B：B中说法错误，因为一组数据的标准差是这组事件的方差的平方根，故B错误；对于C：可以根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，故C正确，对于D：频率分步直方图中各个小正方形的面积是各组相应的频率，故D错误；故选：C．5．（5分）若α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．那么可以是α∥β的充分条件有（C）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：当α、β不平行时，不存在直线a与α、β都垂直，∴a⊥α，a⊥β⇒α∥β，故①正确；对②，γ⊥α，γ⊥β，α、β可以相交也可以平行，∴②不正确；对③，∵a∥b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α时，α、β位置关系不确定，∴③不正确；对④，∵异面直线a，b．∴a过上一点作c∥b；过b上一点作d∥a，则a与c 相交；b与d相交，根据线线平行⇒线面平行⇒面面平行，∴④正确．故选：C．6．（5分）已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以，所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=，所以cos＜，＞==，∴的夹角为60°故选：C．7．（5分）程序框图如图，如果程序运行的结果为S=132，若要使输出的结果为1320，则正确的修改方法是（）A．在①处改为k=13，s=1 B．在②处改为K＜10C．在③处改为S=S×（K﹣1）D．在④处改为K=K﹣2【解答】解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是12，以后所乘的数依次减少1，由于1320=10×11×12，故判断框中应填k≤9，或者k＜10故选：B．8．（5分）表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5【解答】解：∵由回归方程知=，解得t=3，故选：A．9．（5分）如图，已知AB是半圆O的直径，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点，从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，则这3个点组成直角三角形的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM、ABN、ABP、AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP，其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP，3个，所以这3个点组成直角三角形的概率P=，故选：C．10．（5分）如图，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，若tan∠ADP+2tan∠BCP=10，则点P在平面a内的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分【解答】解：由题意可得+2=10，即PA+PB=40＞AB=6，又因P、A、B三点不共线，故点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆的一部分，故选：B．11．（5分）椭圆=1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A 1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【解答】解：连接A10∵A10⊥y轴，A20⊥y轴，∴∠A10A2为两个面的二面角．|A10|=a=4，|0F|=c==2，∴cos∠A10A2==∴∠A10A2=60°，故选：B．12．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由=3，可得Q（3m，），圆的半径为r=|PQ|==2m•，PQ的中点为H（2m，），由AH⊥PQ，可得=﹣，解得m=，r=．A到渐近线的距离为d==，则|PQ|=2=r，即为d=r，即有=•．可得=，e====．故选：C．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．14．（5分）如图，四边形ABCD为矩形，AB=，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在圆弧上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是∠BAD，如图，连接AC交弧DE于P，则，∴∠CAB=30°，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC 有公共点∴概率P=，故答案为：15．（5分）表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为27．【解答】解：∵表面积为60π的球，∴球的半径为，设△ABC的中心为D，则OD=，所以DA=，则AB=6棱锥S﹣ABC的底面积S=为定值，欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，又平面SAB⊥平面ABC，∴S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而SO=，点D到直线AB的距离为，则S到平面ABC的距离的最大值为，∴V=．故答案为：27．16．（5分）若曲线+=1和曲线kx+y﹣3=0有三个交点，则k的取值范围是（﹣，﹣）∪（，）．【解答】解：由题意，y≥0，=1，y＜0，=1，渐近线方程为y=±，如图所示，曲线kx+y﹣3=0与=1联立，可得（9﹣4k2）x2+24kx﹣72=0，∴△=（24k）2+288（9﹣4k2）=0，∴k=±，结合图象，可得k的取值范围是（﹣，﹣）∪（，），故答案为：（﹣，﹣）∪（，）．三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（10分）在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．（Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？【解答】解：用（x，y）（x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2、5）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3、5）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）共25个；（1）．则事件A包含的基本事件有：（2，1）、（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、共有10个；则．）（2）．设：甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C．事件B所包含的基本事件有：事件B所包含的基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2.3），（3，1），（3，2），（4，1）共有10个；则P（B）==所以P（C）=1﹣P（B）=1﹣=．因为P（B）≠P（C），所以这样规定不公平．18．（12分）某校1000名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如右图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这1000名学生数学成绩的平均分；（3）若数学成绩在区间[72，88]上的评为良好，在88分以上的评为优秀，试估计该校约有多少学生的数学成绩可评为良好，多少评为优秀？【解答】解：（1）由频率分布图可知：（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1⇔a=0.005…（4分）（2）由频率分布图可得该校1000名学生的数学成绩平均分为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73…（8分）（3）数学成绩在区间[72，80]的人数约为：数学成绩在区间[80，88]的人数约为：∴成绩评为良好的学生数约为：240+160=400；成绩评为优秀的学生人数约为∴评为良好的人数约为400人，评为优秀的人数约为90人…（12分）19．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）﹣b2+16=0．（1）若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；（2）若a∈[2，4]，b∈[0，6]，求方程没有实根的概率．【解答】解：设“方程有两个正根”的事件为A，（1）由题意知本题是一个古典概型用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个，二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有两正根，等价于，即，则事件A包含的基本事件为（6，1）、（6，2）、（6，3）、（5，3）共4个∴所求的概率为P（A）=；（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6}，其面积为S（Ω）=12满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6，（a﹣2）2+b2＜16}，如图中阴影部分所示，其面积为S（B）=+=∴所求的概率P（B）=．20．（12分）已知命题p：方程（m﹣1）x2+（m+2）y2=（m﹣1）（m+2）表示的曲线是双曲线；命题q：不等式3x2﹣m＞0在区间（﹣∞，﹣1）上恒成立，若“p ∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若p为真：方程（m﹣1）x2+（m+2）y2=（m﹣1）（m+2）可化为：，曲线为双曲线，则：（m+2）（m﹣1）＜0，∴﹣2＜m＜1…（3分）若q为真，3x2＞m在区间（﹣∞，﹣1）上恒成立，3x2＞3（﹣1）2≥m即m≤3…（6分）p∨q为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假…（7分）若p真q假，则，不等式无解…（9分）若p假q真，则，m≤﹣2，或1≤m≤3…（11分）综上可得：m≤﹣2，或1≤m≤3…（12分）．21．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=，AB=1，AD=m，E为BC 中点，且∠AEA1恰为二面角A1﹣ED﹣A的平面角．（1）求证：平面A1DE⊥平面A1AE；（2）求异面直线A1E、CD所成的角；（3）设△A1DE的重心为G，问是否存在实数λ，使得=λ，且MG⊥平面A1ED同时成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）证明：∵∠AEA1为二面角A1﹣ED﹣A的平面角∴A1E⊥ED，AE⊥ED，A1E∩AE=E，∴ED⊥平面A1AE，DE⊂平面A1DE，∴平面A1DE⊥平面A1AE．（2）如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），A1（0，0，），B（1，0，0），D（0，m，0），E（1，，0）．=（1，，﹣），ED=（），AE=（），∵AE⊥ED，，即﹣1+=0⇒m=2，则C（1，2，0），=（﹣1，0，0），cos===，∴异面直线A 1E、CD所成的角为60°．（3）依题意得：G（），=λ，∴M（0，2λ，0）．=（，1﹣2λ，），假设存在λ满足题设条件，则，且，即，解得λ=，故存在实数λ=，使得=λ，且MG⊥平面A1ED同时成立．22．（12分）已知A，B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴交于点P．（Ⅰ）若直线AB经过抛物线y2=4x的焦点，求A，B两点的纵坐标之积；（Ⅱ）若点P的坐标为（4，0），弦AB的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），依题意，设直线AB方程为y=k（x﹣1），其中k≠0．将代入直线方程，得，整理得ky2﹣4y﹣4k=0，所以y A y B=﹣4，即A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（Ⅱ）设AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0．由△=4k2b2+16﹣16kb﹣4k2b2=16﹣16kb＞0，得kb＜1．所以，．设AB中点坐标为（x 0，y0），则，，所以弦AB的垂直平分线方程为，令y=0，得．由已知，即2k2=2﹣kb．====，当，即时，|AB|的最大值为6．当时，；当时，．均符合题意．所以弦AB的长度存在最大值，其最大值为6．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。