2019年中考数学复习第二单元方程与不等式滚动小专题(二)方程、不等式的解法练习

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九年级中考总复习之2方程与不等式

九年级中考总复习（2）方程与不等式内容概要2.1 方程的定义与解方程2.2 方程的解的问题2.3 不等式及其解的问题2.4 方程、不等式应用题复习笔记1、方程：含有未知数的等式叫做方程．（1）一元一次方程：只含一个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程叫做一元一次方程．（2）二元一次方程：如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项的次数都为1次，那么这个整式方程就叫做二元一次方程．由两个一次方程组成且含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．（3）分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程．（4）一元二次方程：只含一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．2、方程的解：使方程等号两边相等的未知数的值叫做方程的解．3、解方程：方程的类型从少元到多元，从低次到高次，由整式到分式等复杂的方程．解决方程的思想为复杂方程变为简单方程，解决方程的方法正好是消元和降次，化为整式方程．4、解方程的方法：（1）一元一次方程：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化1．（2）二元一次方程（组）：①加减消元法；②代入消元法．（3）分式方程：化为整式方程，注意“增根”问题．（4）一元二次方程：①直接开平方法；②配方法：()200ax bx c a++=≠⇒2224c+=24b b axa a-⎛⎫⎪⎝⎭；③公式法：求根公式x=（240b ac-≥）；④因式分解法．课堂例题1、方程22(1)(3)0a a a x a x a +++-+=．当a =__________时，它为一元一次方程；当它为一元二次方程时，a 为__________．2、解方程：3、小明同学解关于x 的一元一次方程21152x x a ++-=时，方程左边的1忘记乘以10了，解得方程为x =4，求a 的值和原方程正确的解．4、已知a ，b 为定值，关于x 的方程2136kx a x bk ++=-，无论k 为何值，它的解总是1，则a +b =__________．5、已知方程组135x y a x y a +=-⎧⎨-=+⎩的解x 为正数，y 为非负数，给出下列结论：①－3＜a ≤1；②当a =53-时，x =y ；③当a =－2时，方程组的解也是方程x +y =5+a 的解；④若x ≤1，则y ≥2．其中正确的是__________．（填写正确结论的序号）6、关于x 的两个方程22x x --=．7、（1）关于x 的分式方程3111m x x+=--的解为正数，则m 的取值范围是__________；（2）已知方程3144a a a a --=--，且关于x 的不等式组x a x b>⎧⎨≤⎩只有4个整数解，那么b 的取值范围是__________．9、已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程224490x mx m -+-=的两实数根．（1）若这个方程有一个根为−1，求m 的值；（2）若这个方程的一个根大于−1，另一个根小于-1，求m 的取值范围；（3）已知直角∆ABC 的一边长为7，x 1、x 2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m 的值．课堂练习1、已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（）A ．abB ．a bC ．a +bD ．a −b2、解方程： 213011x x -=-- (3)7(3)x x x +=+ 2840x x --=22430x x +-= 2121111x x x x +-=--+4、（1）已知关于x 的分式方程111k x k x x ++=+-的解为负数，则k 的取值范围是__________；（2）使得关于x 的分式方程111x k k x x +-=+-的解为负整数，且使得关于x 的不等式组322144x x x k +≥-⎧⎨-≤⎩有5个整数解的所有k 的和为__________．5、若x 0是方程ax 2+2x +c =0（a ≠0）的一个根，设M =1−ac ，N =（ax 0+1）2，则M 与N 的大小关系正确的为（）A ．M ＞NB ．M =NC ．M ＜ND ．不确定6、当a ，b 都是实数，且满足2a －b =6，就称点P （a －1，2b +1）为完美点．（1）判断点A （2，3）是否为完美点；（2）已知关于x ，y 的方程组62x y x y m +=⎧⎨-=⎩，当m 为何值时，以方程组的解为坐标的点B （x ，y ）是完美点，请说明理由．7、已知关于x ，y 的二元一次方程3x y a -=和34x y a +=-．（1）如果51x y =⎧⎨=-⎩是方程3x y a -=的一个解，求a 的值；（2）当a =1时，求两方程的公共解；（3）若00x x y y =⎧⎨=⎩是已知方程的公共解，当x 0≤1时，求y 0的取值范围．8、已知关于x 、y 的二元一次方程组23221x y k x y k -=-⎧⎨+=-⎩（k 为常数）．（1）求这个二元一次方程组的解（用含k 的代数式表示）；（2）若方程组的解x 、y 满足x +y ＞5，求k 的取值范围；（3）若（4x +2）2y =1，直接写出k 的值；（4）若k ≤1，设m =2x －3y ，且m 为正整数，求m 的值．复习笔记1、方程的解的个数问题：①ax =b ．（1）0a ≠，方程有唯一解；（2）0a b ==，方程有无数解；（3）0,0a b =≠，方程无解．②ax by c dx ey f +=⎧⎨+=⎩(0)def ≠．（1）a b d e≠，方程组有唯一解；（2）a b c d e f==，方程组有无数解；（3）a b c d e f =≠，方程组无解．③()200ax bx c a ++=≠，判断方程与根的个数的即为判别式：∆=24b ac -．（1）∆＞0，方程有两个不等实根；（2）∆=0，方程有两个相等实根；（3）∆＜0，方程无实根．2、我们学会了解方程的方法，也往往要学会通过“不解方程”来进行求值．通常不解方程求值的方法是通过恒等变形，再使用（1）整体代换；（2）降次求解；（3）一元二次方程的韦达定理（12b x x a +=-，12c x x a =，注意用韦达定理的前提是一元二次方程∆≥0）等方法．课堂例题1、已知关于x 的方程351x a bx -+=+有唯一的一个解，则a 与b 必须满足的条件为__________；若该方程没有解，则a 与b 必须满足的条件为__________．2、已知关于x 的方程||540x a -+=无解，||430x b -+=有两个解，||320x c -+=只有一个解，则化简||||a c c b a b ---+-的结果是__________．3、当a ，c 为何值时，方程+2124ax y x y c =⎧⎨+=⎩有一个解？有无数解？无解？4、（1）若关于x 的分式方程21111x k x x +-=--有增根，则增根可能是__________；（2）若关于x 的分式方程61(1)(1)1m x x x -=+--有增根，则它的增根是__________；（3）若关于x 的分式方程22024mx x x +=--有增根，则m 的值为__________；（4）若关于x 的分式方程2134416m m x x x ++=-+-无解，则m 的值为__________；（5）已知，关于x 的分式方程2222x x a x x x x x--+=--恰有一个实数根，则满足条件的实数a 的值为__________．5、对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，下列四种条件：①240b ac -≥；②240b ac +>；③a 、c 异号；④0a b c ++=．满足其中条件之一的方程一定有实数根的有（）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种__________．7、已知关于x 的一元二次方程2()20a c x bx a c +++-=，其中a 、b 、c 分别为∆ABC 三边的长．下列关于这个方程的解和∆ABC 形状判断的结论错误的是（）A ．如果x ＝−1是方程的根，则∆ABC 是等腰三角形B ．如果方程有两个相等的实数根，则∆ABC 是直角三角形C ．如果∆ABC 是等边三角形，方程的解是x ＝0或x ＝−1D ．如果方程无实数解，则∆ABC 是锐角三角形8、对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，下列说法中：①若0a c +=，方程20ax bx c ++=有两个不等的实数根；②若方程20a x b x c ++=有两个不等的实数根，则方程20cx b x a ++=一定有两个不等的实数根；③若c 是方程20a x b x c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若m 是方程20a x b x c ++=的一个根，则一定有()2242b ac am b -=+成立．正确的有__________．（填写正确结论的序号）9、已知关于x 的方程()()22200mx m x m -++=≠．（1）求证方程有两个实数根；（2）若方程的两根都是整数，求正整数m 的值．10、关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是122,1x x =-=，（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程220a x m b +++=()的解是__________．11、三个同学对问题“若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是__________．12、阅读材料：善于思考的小军在解方程组2534115x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时，采用了一种“整体代换”的解法．解：将方程②变形：4x +10y +y =5即2（2x +5y ）+y =5③，把方程①代入③得：2×3+y =5，y =－1，把y =－1代入①得x =4，所以，方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩．请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组2356119x y x y -=⎧⎨-=⎩．（2）已知x ，y 满足方程组22223212472836x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩，求x 2+4y 2－xy 的值．13、若a 是方程2201810x x -+=的根，则22201820171a a a -++的值为__________．14、（1）一元二次方程x 2−3x −2=0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是（）A ．x 1=−1，x 2=2B ．x 1=1，x 2=−2C ．x 1+x 2=3D ．x 1x 2=2（2）一元二次方程x 2－3x －1=0与x 2－x +3=0的所有实数根的和为__________；（3）设12,x x 是方程22330x x --=的两个实数根，则1221x x x x +=__________；（4）设a 、b 是方程220180x x +-=的两个不相等的实数根，则22a a b ++=__________；（5）设关于x 的方程x 2－2x －m +1=0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|=6，那么实数m 的取值是__________．15、（1）如果m ，n 是两个不相等实数，且23m m -=，23n n -=，则2222018n mn m +-+=__________；（2）若∆ABC 三边a ，b ，c 满足2420a a -+=，2420b b -+=，c =∆ABC 的面积为S ，则S 2=__________．16、定义运算：a ⋆b =a （1−b ）．若a ，b 是方程x 2−x +14m =0（m ＜0）的两根，则b ⋆b −a ⋆a 的值为__________．17、若t 为实数，关于x 的方程x 2−4x +t −2=0的两个非负实数根为a 、b ，则代数式（a 2−1）（b 2−1）的最小值是__________．18、已知，关于x 的一元二次方程2220x mx n ++=有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程2220y ny m ++=同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②22(1)(1)2m n -+-≥；③1221m n -≤-≤．其中正确的结论是__________．（填写正确结论的序号）19、关于x 的一元二次方程()222110x k x k ++++=有两个不等实根1x 、2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根1x 、2x 满足1212·x x x x +=，求k 的值．课堂练习1、（1）方程111082x x +=-的根是10，则另一个根是__________；（2）如果方程211x bx m ax c m --=-+有等值异号的根，那么m =__________；（3）如果关于x 的方程2221511k k x x x x x --+=-+-，有增根x =1，则k =__________；（4）方程1110113x x x x +-+=-+的根是__________．2、关于x 的方程()2220ax a x ++=-只有一解（相同解算一解），则a 的值为__________．3、已知∆ABC 的一边为5，另外两边分别是方程260x x m -+=的两个根，则m 的取值范围是__________．4、关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（） A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据k 的取值不同，方程根的情况分为无实数根、有两个相等的实数根和两个不等的实数根三种5、关于x 的方程210mx x m +-+=，有以下三个结论：①当m =0时，方程只有一个实数解；②当0m ≠时，方程有两个不等的实数解；③无论m 取何值，方程都有一个负数解．其中正确的是__________．（填写正确结论的序号）6、有两个一元二次方程M ：20ax bx c ++=，N ：20cx bx a ++=，其中0a c +=，以下列四个结论中，错误的是（）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根B ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同C ．如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根 D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =7、已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y 的二元一次方程组3(+)()5()11x y a x y x y b x y --=⎧⎨++-=⎩的解为__________．8、将关于x 的一元二次方程20x px q ++=变形为2x px q =--，就可将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知210x x --=，可用“降次法”求得432018x x -+的值是__________．9、（1）若x 1，x 2是一元二次方程x 2−2x −1=0的两个实数根，则x 12−x 1+x 2=__________；（2）若x 1，x 2为一元二次方程2310x x ++=的两个实数根，则31282018x x ++=__________．10、若关于x 的一元二次方程x 2+2x －m 2－m =0（m ＞0），当m =1、2、3、…、2018时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2018、β2018，则112220182018111111αβαβαβ+++++的值为__________．11、关于x 的一元二次方程x 2－（2k －3）x +k 2+1=0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）求证：x 1＜0，x 2＜0；（3）若x 1x 2－|x 1|－|x 2|=6，求k 的值．12、已知方程x 2+px +q =0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=－p ，x 1x 2=q ，反过来，如果x 1+x 2=－p ，x 1x 2=q ，那么以x 1，x 2为两根的一元二次方程是x 2+px +q =0．请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x 的方程x 2+mx +n =0（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a 、b 满足a 2－15a －5=0，b 2－15b －5=0，求a bb a+的值；（3）已知a 、b 、c 均为实数，且a +b +c =0，abc =16，求正数c 的最小值．13、已知关于x 的方程x 2+2kx +k 2+k +3=0的两根分别是x 1、x 2，则（x 1－1）2+（x 2－1）2的最小值是__________．复习笔记（1）一元一次不等式：含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式．常见不等号有：>、<、≥、≤、≠．（2）不等式的基本性质：①a b a c b c >⇒+>+，a b a c b c <⇒+<+； ②()()00ac bc c a b ac bc c ⎧>>⎪>⇒⎨<<⎪⎩； ③()()00a bc c ca b a b c c c⎧>>⎪⎪>⇒⎨⎪<<⎪⎩．（3）解不等式：解一次不等式的方法类似于解一次方程．步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化1．要特别注意的是不等式区别于方程在于变号（两边同乘以或者同除以一个负数不等号要变号）．（4）不等式组的解：若a b >，分别在数轴上画出表示下列不等式组的解的情况：x ax b x b <⎧⇒<⎨<⎩（小小取小） x ax a x b >⎧⇒>⎨>⎩（大大取大）x ab x a x b <⎧⇒<<⎨>⎩（大小小大取中间） x ax b >⎧⇒⎨<⎩无解（大大小小取不了）（5）含参（字母）的不等式问题：特别注意：①变号问题；②会利用数轴解决问题．课堂例题1、若a b >，0c <，则ac _____bc ，a b a -_____b b a-，2ac _____2bc ，||a c _____||b c ．2、下列命题中，真命题是（）A ．若a b >，则2a ab > B1m =-，则1m ≤ C ．若a b >，则11a b < D ．已知a ，b 为实数，若1a b +=，则14ab ≤3、解不等式（组）：4、若不等式(2)2a x a ->-的解集是1x <-，则a 的取值范围是__________．5、若不等式组112123x ax x +<⎧⎪++⎨≤-⎪⎩的解是x < a −1，则实数a 的取值范围是__________．6、已知m ，n 为常数，若mx +n >0的解集为12x <，则nx +m <0的解集是__________．7、（1）若关于x 的一元一次不等式组100x x a -<⎧⎨->⎩无解，则a 的取值范围是__________．（2）若关于x 的不等式组2011a x x ->⎧⎨-≤<⎩有解，则a 的取值范围是__________；（3）已知不等式组253(2)23x a x x a x+≤+⎧⎪-⎨<⎪⎩有解，且每一个解x 均不在－1≤x ≤4范围内，则a 的取值范围是__________．8、对x 、y 定义一种新运算▲，规定：x y ax by =+#（其中a 、b 均为非零常数），例如：10a =#．已知113=#，111-=-#．（1）求a 、b 的值；（2）若关于m 的不等式组3(12)42m m m m p -≤⎧⎨>⎩##恰有3个整数解，求实数p 的取值范围．9、已知关于x 的方程2m x =的解满足325x y n x y n-=-⎧⎨+=⎩（0＜n ＜3），若y ＞1，则m 的取值范围是__________．10、（1）从−3，−1，12，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组1(27)33x x a ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩无解，且使关于x 的分式方程2133x a x x--=---有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是__________；（2）若关于x 的不等式组2223x x x m +⎧≥-⎪⎨⎪<⎩的所有整数解的和是－9，则m 的取值范围是__________．11、阅读理解：我们把对非负实数x “四舍五入”到各位的值记为《x 》，即当n 为非负整数时，若1122n x n -≤<+，则《x 》=n ．例如：《0.67》=1，《2.49》=2，……．给出下列关于《x》=2；②《2x 》=2《x 》；③当m 为非负整数时，《m +2x 》=m +《2x 》；④若《2x －1》=5，则实数x 的取值范围是111344x ≤<；⑤满足《x 》=32x 的非负实数x 有三个．其中正确的结论是__________．（填写正确结论的序号）a b 有最大值2 D 89=3a +2b ．则c ．13、若不等式27125ax x x +->+对11a -≤≤恒成立，则x 的取值范围是__________．课堂练习1、已知a ，b ，c ，d 都是正实数，且a cb d <，给出下列四个不等式中，正确的有__________． ①a bcd b d ++<；②c d a b d b --<；③2ac c b d <；④b d a b c d<++．2、解不等式（组）：13(21)(12)32x x --> 26321054x x x x -<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩ 2231x x -≤-≤+3、已知a ，b 为实数，则解可以表示为22x -<<的不等式组的是（）A ．11ax bx >⎧⎨>⎩B ．11ax bx >⎧⎨<⎩C ．11ax bx <⎧⎨>⎩D ．11ax bx <⎧⎨<⎩4、若不等式组x ax b>-⎧⎨≥-⎩ 的解为x b ≥-，则下列各式正确的是（）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．b ≤aD ．ab ＞05、若关于x 的不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1，2，3，则适合这个不等式组的整数a ，b 的有序数对（a ，b ）的个数是__________个．6、若3a －22和2a －3是实数m 的平方根，且t则不等式2353212x t x t ---≥的解集为__________．7、如果关于x 的分式方程1311a xx x --=++有负分数解，且关于x 的不等式组2()43412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为x ＜−2，那么符合条件的所有整数a 的积是__________．8、如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．（1）在方程①x －（3x +1）=－5；②23x+1=0；③3x －1=0中，不等式组25312x x x x -+>-⎧⎨->-+⎩的关联方程是__________（填序号）；（2）若不等式组2112x x x -<⎧⎨+>-+⎩的某个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是__________（写出一个即可）；（3）若方程111222x x -=，3+x =2（x +12）都是关于x 的不等式组22x x m x m <-⎧⎨-≤⎩的关联方程，直接写出m 的取值范围．复习笔记运用方程解决应用题的基本步骤：①审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系；（审题，寻找等量关系）②考虑如何根据等量关系设元，列出方程；（设未知数，列方程）③列出方程后求解，得到答案；（解方程）④检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．（检验，答）课堂例题1、《算法统宗》是我国明代的一部数学名著，记载了很多有趣的问题．其中有一道“李白饮酒”的数学诗谜，原诗如下：“今携一壶酒，游春郊外走，逢朋加一倍，入店饮斗九．相逢三处店，饮尽壶中酒．”诗文大意为：李白去郊外春游，带了一壶酒，每次遇见朋友，就先到酒馆里将壶里的酒增加一倍，然后喝掉其中的19升酒，这天他共三次遇到了朋友，恰好把壶中的酒喝光．根据诗中的叙述，若我们设壶中原有x 升酒，可以列出的方程为__________．2、某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“……”，设实际每天铺设管道x 米，则可得方程300030001510x x-=-，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（） A ．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成 B ．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成 C ．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成 D ．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成3、书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠； ②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折； ③一次性购书200元一律打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是__________元．4时采用了下面的方法：由=）2－）2=（24－x ）－（8－x ）=16．．．=5．=5两边平方可解得x =－1．经检验x =－1是原方程的解．请你学习小明的方法，解下面的方程：（1的解是__________；（2x ．5、阅读材料：小明在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．解决问题：（1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是__________cm；（3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．6、（1）如图1．∆ABC中，∠C为直角，AC=6，BC=8，D，E两点分别从B，A开始同时出发，分别沿线段BC，AC向C点匀速运动，到C点后停止，他们的速度都为每秒1个单位，请问D点出发2秒后，∆CDE 的面积为多少？（2）如图2，将（1）中的条件“∠C为直角”改为∠C为钝角，其他条件不变，请问是否仍然存在某一时刻，使得∆CDE的面积为∆ABC面积的一半？若存在，请求出这一时刻，若不存在，请说明理由．7、某厂制作甲、乙两种环保包装盒．已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料．（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？（2）如果制作甲、乙两种包装盒3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度l(m)与甲盒数量n(个)之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料．（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？9、近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40，两种猪肉元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的34销售的总金额比5月20日提高了1a%，求a的值．10课堂练习1、古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为__________．2、某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为__________m2．3、为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客2名老师．（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为__________辆；（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．4、凉山州政府在邛海“空列”项目考察座谈会上与多方达成初步合作意向，决定共同出资60.8亿元，建设40千米的邛海空中列车．据测算，将有24千米的“空列”轨道架设在水上，其余架设在陆地上，并且每千米水上建设费用比陆地建设费用多0.2亿元．（1）求每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元？（2）预计在某段“空列”轨道的建设中，每天至少需要运送沙石1600m 3，施工方准备租用大、小两种运输车共10辆，已知每辆大车每天运送沙石200m 3，每辆小车每天运送沙石120m 3，大、小车每天每辆租车费用分别为1000元、700元，且要求每天租车的总费用不超过9300元，问施工方有几种租车方案？哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？5、对于三个数a ，b ，c ，用M {a ，b ，c }表示这三个数的中位数，用max {a ，b ，c }表示这三个数中最大数，例如：M {－2，－1，0}=－1，max {－2，－1，0}=0，max {－2，－1，a }=(1)1(1)a a a ≥-⎧⎨-<-⎩．解决问题：（1）填空：M {sin45°，cos60°，tan60°}=__________，如果max {3，5－3x ，2x －6}=3，则x 的取值范围为__________；（2）如果2•M {2，x +2，x +4}=max {2，x +2，x +4}，求x 的值；（3）如果M {9，x 2，3x －2}=max {9，x 2，3x －2}，求x 的值．6、实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1:2:1，用两个相同的管子在容器的5cm 高度处连通（即管子底端离容器底5cm ），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm ，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升56cm ，则开始注入__________分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm ．7、上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体，目前，某通信公司推出消费优惠新招−−“定制套餐”，消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信费．下表是流量与语音的阶梯定价标准：【小提示：阶梯定价收费计算方法，如600分钟语音通话费=0.15×500+0.12×（600−500）=87元】（1）甲定制了600MB的月流量，花费48元；乙定制了2GB的月流量，花费120.4元，求a，b的值．（注：1GB=1024MB）（2）甲的套餐费用为199元，其中含600MB的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含1GB的月流量，二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300分钟，求m的值．8、随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．（1）该市的养老床位数从2016年底的2万个增长到2018年底的2.88万个，求该市这两年（从2016年度到2018年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？。

河南省2019年中考数学总复习第二章方程(组)与不等式(组)课件

1.设元的方法 . (1)直接设元法 :直接设要求的量为未知数; (2)间接设元法 :当问题较复杂时,有时设与要求的未知量相关的一些量为未知数 , 即为间接设元. 无论怎样设元, 设几个未知数,就要列几个方程. 2.用一次方程 (组)求解的应用题, 一般有两个相等关系,若列一元一次方程求解 ,则这两个相等关系一个用来设出未知数后表示另一个未知数, 另一个相等关系用来列方程;若列二元一次方程组, 则这两个相等关系均用来列方程 .在选择是列一元一次方程 ,还是方程组解题时 ,若题中两个未知数有比较简单的关系, 比如倍数关系、差一定或和一定时, 可以很方便地用一个未知数表示另一个未知数, 则用一元一次方程求解比较合适; 反之, 若两个未知数比较独立, 关系比较复杂,难以用一个未知数表示另一个未知数时, 则设两个未知数列方程组求解比较合适 .
方法帮
方法帮
命题角度 1
例1
一次方程(组)的解法
提分技法
x + y = 10, 的解是( A ) (培养运算能力)[2018 天津 ]方程组 2x + y = 16 x = 6, x = 5, A. B. y =4 y =6 x = 3, x = 2, C. D. y =6 y =8
思路分析观察可知,方程组中的两个方程中y的系数相等,故可利用加减消元法求解.
方法帮
命题角度 1
例1
一次方程(组)的解法
提分技法
二元一次方程组的一般解法当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数既不是相反数也不相等时,可通过找系数的最小公倍数将系数变成相等或相反数,再用加减消元法求解. 注意 :若涉及求方程组两个未知数的代数式的值时 ,可以先考虑将方程组的两个方程相加或相减, 再比较所得式子与所求代数式的异同, 从而求解.

【新】河北省2019届中考数学系统复习第二单元方程与不等式滚动小专题(二)方程、不等式的解法练习-参考

滚动小专题(二) 方程、不等式的解法类型1 解方程(组)1．解方程(组)：(1)(2018·攀枝花)x －32－2x ＋13＝1；解：去分母，得3(x －3)－2(2x ＋1)＝6，去括号，得3x －9－4x －2＝6，移项，得－x ＝17，系数化为1，得x ＝－17.(2)(4x －1)2－9＝0；解：(4x －1)2＝9.∴4x －1＝±3.4x ＝1±3.x ＝1±34. ∴x 1＝1，x 2＝－12.(3)3(x －2)2＝2－x ；解：3(x －2)2＋(x －2)＝0.(x －2)(3x －6＋1)＝0.(x －2)(3x －5)＝0.∴x －2＝0或3x －5＝0.∴x 1＝2，x 2＝53.(4)(2018·大庆)x x ＋3－1x＝1；解：两边都乘以x(x ＋3)，得x 2－(x ＋3)＝x(x ＋3)．解得x ＝－34. 检验：当x ＝－34时，x(x ＋3)＝－2716≠0. 所以分式方程的解为x ＝－34.(5)(2018·宿迁)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，①3x ＋4y ＝6.② 解：①×2－②，得－x ＝－6.解得x ＝6.将x ＝6代入①，得6＋2y ＝0.解得y ＝－3.故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－3. 类型2 解不等式(组)2．(2017·嘉兴改编)解不等式：1＋x 2－2x ＋13≤1. 解：3(1＋x)－2(2x ＋1)≤6.3＋3x －4x －2≤6.3x －4x ≤6－3＋2.－x ≤5.x ≥－5.3．解下列不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧5x －1>3（x ＋1），①12x －1≥7－32x.② 解：解不等式①，得x ＞2.解不等式②，得x ≥4.∴不等式组的解集是x ≥4.4．(2017·枣庄)x 取哪些整数值时，不等式5x ＋2＞3(x －1)与12x ≤2－32x 都成立？解：联立不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2＞3（x －1），①12x ≤2－32x ，② 解不等式①，得x ＞－52. 解不等式②，得x ≤1.∴－52＜x ≤1. 故满足条件的x 的整数解有－2，－1，0，1.5．(2017·呼和浩特)已知关于x 的不等式2m －mx 2>12x －1. (1)当m ＝1时，求该不等式的解集；(2)m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．解：(1)当m ＝1时，不等式为2－x 2>x 2－1，去分母，得2－x ＞x －2，解得x ＜2.(2)不等式去分母，得2m －mx ＞x －2，移项、合并同类项，得(m ＋1)x ＜2(m ＋1)，∴m ≠－1时，不等式有解．当m ＞－1时，不等式的解集为x ＜2；当m ＜－1时，不等式的解集为x ＞2.。

2019年中考数学第二章方程与不等式2.1一元一次方程及一元二次方程(讲解部分)素材

答案Ｃ
变式训练２某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，
每吨利润为１０００元，若经粗加工后销售，则每吨利润可达４５００元，
若经精加工后销售，则每吨利润涨至７５００元．当地一家公司收购这
种蔬菜１４０吨．该公司加工厂的生产能力：如果对蔬菜进行粗加工，
那么每天可加工１６吨；如果进行精加工，那么每天可加工６吨，但两
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
解析方案一：因为每天粗加工１６吨，所以１４０吨可以在１５
天内加工完．
总利润Ｗ１＝４５００×１４０＝６３００００（元）．方案二：每天精加工６吨，１５天可以加工９０吨，其余５０吨直接
销售．
总利润Ｗ２＝９０×７５００＋５０×１０００＝７２５０００（元）．方案三：设１５天内精加工蔬菜ｘ吨，则粗加工蔬菜（１４０－ｘ）吨，
ａ满足
（）
Ａ．ａ≥１
Ｂ．ａ＞１且ａ≠５
Ｃ．ａ≥１且ａ≠５
Ｄ．ａ≠５
答案Ａ
解析当ａ－５≠０时，原方程为一元二次方程，此时方程
有实数根的条件是 Δ≥０，即（－４）２－４×（ａ－５） ×（－１） ≥０，解得ａ
≥１；当ａ－５＝０时，原方程为一元一次方程，即－４ｘ－１＝０，有实数
少千克？用油的重复利用率是多少？
解析（１）由题意得，实际耗油量为７０ ×（１－６０％）＝７０ ×
４０％＝２８（千克）．
（２）设乙车间加工一台大型机械设备的润滑用油量为ｘ ···
千克，由题意得，ｘ［１－（９０－ｘ） ×１．６％－６０％］＝１２，整理得ｘ２－６５ｘ－７５０＝０，解得ｘ１＝７５，ｘ２＝－１０（舍去）．（９０－７５） ×１．６％＋６０％＝８４％．

滚动小专题二一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

解：(1)①当 k＝0 时，方程的解是 x＝0，符合题意； ②当 k≠0 时，Δ＝(k＋1)2－4k·k4＝2k＋1≥0， ∴k≥－12且 k≠0. 综上所述，k 的取值范围是 k≥－12.
(2)不存在．理由如下：假设存在实数 k，使方程的两根的倒数和为 1， ∴x11＋x12＝1. ∵x1＋x2＝－k＋k 1，x1x2＝14， ∵x11＋x12＝x2x＋1x2x1＝－k＋k 1×4＝1，解得 k＝－45.∵k≥－12， ∴不存在实数 k，使方程两根的倒数和为 1.
∴6－a＝－1，－2，－3，－6，∴a＝7，8，9，12.
(3)∵b＝ a－5＋ 10－2a＋50， ∴a＝5，b＝50. ∴－x2＋10x＋5＝0， ∴x1＋x2＝10，x1x2＝－5，x21＝10x1＋5.
∴原式＝x21·x1＋10x22＋5x2－b ＝(10x1＋5)·x1＋10x22＋5x2－50 ＝10(x21＋x22)＋5(x1＋x2)－50 ＝10(x1＋x2)2－20x1x2＋5(x1＋x2)－50 ＝10×102－20×(－5)＋5×10－50
数学中考考点精练34讲
第二单元方程与不等式
长滚动小专题(二) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1基础过关
1．(2019·南充三诊)已知 k 为实数，关于 x 的方程 x2＋k2＝2(k－1)x 有两个实数根 x1，x2. (1)求实数 k 的取值范围； (2)若(x1＋1)(x2＋1)＝2，试求 k 的值．
(2)由|x1|＝|x2|，可得 x1＝x2 或 x1＝－x2. 当 x1＝x2 时，Δ＝(2m＋1)2－4m(m－2)＝0，解得 m＝－112. 此时 x1＝x2＝－2（（2mm－＋21））＝15；当 x1＝－x2 时，x1＋x2＝－2mm－＋21＝0，

(全国通用版)2019年中考数学复习第二单元方程与不等式滚动小专题(二)方程、不等式的解法练习

滚动小专题(二) 方程、不等式的解法类型1 方程（组)的解法1．解方程(组):(1)4x－3＝2(x－1）；解：去括号，得4x－3＝2x－2.移项，得4x－2x＝－2＋3。

合并同类项,得2x＝1.系数化为1，得x＝错误!。

（2)错误!＝错误!；解：方程两边同乘x（x＋1)，得2(x＋1)＝3x。

去括号，得2x＋2＝3x。

移项，得2x－3x＝－2。

合并同类项，得－x＝－2.系数化为1，得x＝2。

检验，当x＝2时，x（x＋1）≠0。

∴x＝2是原分式方程的根．（3）错误!解：①＋②,得2x＋y＋x－y＝4－1.解得x＝1.把x＝1代入①，得2＋y＝4。

解得y＝2。

∴原方程组的解是错误!(4)2x2－4x－1＝0；解：x2－2x－错误!＝0.（x－1)2＝错误!。

x＝1±错误!。

∴x1＝1＋错误!，x2＝1－错误!。

(5)1x－2＋2＝1－x2－x.解：方程两边同乘x－2，得1＋2(x－2）＝x－1.解得x＝2。

检验：当x＝2时，x－2＝0.所以x＝2不是原方程的解．∴原方程无解．类型2 不等式(组)的解法2．解不等式（组)：(1)4x＋5≤2（x＋1);解：去括号，得4x＋5≤2x＋2.移项、合并同类项，得2x≤－3。

解得x≤－错误!.（2）错误!解：解不等式①，得x≥1。

解不等式②，得x＞2。

∴不等式组的解集为x＞2.(3）错误!解：解不等式①，得x＞－4。

解不等式②，得x≤－1。

∴不等式组的解集是－4＜x≤－1。

3．解不等式：2x－1＞错误!，并把它的解集在数轴上表示出来．解:去分母,得4x－2＞3x－1。

解得x＞1.这个不等式的解集在数轴上表示如下：4．解不等式组：错误!并把它的解集在数轴上表示出来．解：解不等式2x≥－9－x，得x≥－3.解不等式5x－1＞3（x＋1），得x＞2。

则不等式组的解集为x＞2。

将解集表示在数轴上如下：5．x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3（x－1）与错误!x≤2－错误!x都成立？解：联立不等式组错误!解不等式①，得x〉－错误!。

2019届中考数学复习第二章方程组与不等式组2.1一次方程组课件

陕西考点解读
2(1.二)概元念一：次方方程程组aa12组x中x有bb12两yy个cc未1，2。知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有
⑦两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组。
(2)一般形式：
(a1，a2，b1，b2均不为0，a1，b1，c1，a2，b2，c2
都为常数) (3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解。
陕西考点解读
2. 列方程(组)常用的相等关系
陕西考点解读
【特别提示】
1.设未知数时可以直接设未知数，也可间接设未知数。 2.一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组。 3.要根据应用题的实际意义检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去。 4.在列方程组时，要注意等号左、右两边的单位统一。
20x 10y 110， B.30x 5y 85
5x 20y 110， D.10x 30y 85
重难突破强化
重难点1 一元一次方程的应用（重点）
例1 一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店( C) A.不盈不亏 B.盈利20元 C.亏损10元 D.亏损30元
陕西考点解读
3.二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是⑧消元，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有⑨代入消元法和 ⑩加减消元法。 (1)代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。 (2)加减消元法：将方程组中的两个方程通过适当变形后相加(或相减)消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。

(广西专用)2019年中考数学复习第二章方程(组)与不等式(组)2.1一次方程(组)(讲解部分)素材(pdf)

品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是５分钟㊁６分钟㊁解题思路㊀（１）设九年级师生表演的歌唱类节目有ｘ个，
元和代入消元，本题中ｙ的系数相同，应用加减消元，消ｙ求出ｘ，再代入求ｙ即可．解析㊀ ②－①得３ｘ＝６，解得ｘ＝２，将ｘ＝２代入①得ｙ＝－１， ʑ 原方程组的解为
根据题意，得
{
{
答：九年级师生表演的歌唱类节目有１２个，舞蹈类节目有８个．（２）设参与的小品类节目有ａ个，由于ａ为整数，ʑ ａｍａｘ＝３．根据题意，得１２ˑ５＋８ˑ６＋８ａ＋１５＜１５０，解得ａ＜答：参与的小品类节目最多能有３个．２７，８
㊀
组：
㊀
Hale Waihona Puke （２０１６江西，１３（１），３分）解方程
（ｉ）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数不互为
（２）加减法解二元一次方程组的一般步骤
括号㊀，（３）移项，（４） ⑥㊀合并同类项㊀，（５）未知数的系数化为１．
３．解一元一次方程主要有以下步骤：（１）去分母，（２） ⑤㊀去
��
相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使它们中同一个未知数的系数相等或�� ㊀互为相反数㊀； �� 数，得到一个一元一次方程；（ｉｉｉ）解这个一元一次方程；（ｉｉ）把两个方程的两边分别�� ㊀相减㊀或相加，消去一个未知 �� （ｉｖ）将求出的未知数的值代入原方程组的�� ㊀任意一个方程㊀， ��

2019年中考数学第二章方程(组)与不等式(组)2.2一元二次方程及其应用(讲解部分)素材

（４）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为（ｘ－ａ）㊃（ｘ－ｂ）＝０的形式，进而得到ｘ－ａ＝０或ｘ－ｂ＝０来求解．
��
)
１０㊀
５年中考３年模拟因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价６元．此时，售价为６０－６＝５４（元），答：该店应按原售价的九折出售．５４ ˑ１００％＝９０％．６０
化简，得ｘ２－１０ｘ＋２４＝０．解得ｘ１＝４，ｘ２＝６．
��
ʑ ｘ１＝
１＋５１－５，ｘ２＝，２２
��
㊀㊀１．一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ ʂ０）的根的判别式是 Δ ＝ ⑤㊀ｂ２－４ａｃ㊀．
ｘ１＋ｘ２Biblioteka ＝－２．一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ ʂ０）的两个实数根为ｘ１，ｘ２，那么
考点三㊀一元二次方程的应用
解法二：（公式法） ʑ ｘ＝－（－１０） ʃ ２ˑ１

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滚动小专题(二) 方程、不等式的解法类型1 方程(组)的解法
1．解方程(组)：
(1)4x －3＝2(x －1)；
解：去括号，得4x －3＝2x －2.
移项，得4x －2x ＝－2＋3.
合并同类项，得2x ＝1.
系数化为1，得x ＝12
.
(2)2x ＝3x ＋1
；解：方程两边同乘x(x ＋1)，得2(x ＋1)＝3x.
去括号，得2x ＋2＝3x. 移项，得2x －3x ＝－2.
合并同类项，得－x ＝－2.
系数化为1，得x ＝2. 检验，当x ＝2时，x(x ＋1)≠0.
∴x＝2是原分式方程的根．
(3)⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，①x －y ＝－1；② 解：①＋②，得2x ＋y ＋x －y ＝4－1.解得x ＝1.
把x ＝1代入①，得2＋y ＝4.解得y ＝2.
∴原方程组的解是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.
(4)2x 2－4x －1＝0；
解：x 2－2x －12
＝0. (x －1)2＝32
. x ＝1±62
. ∴x 1＝1＋
62，x 2＝1－62.
(5)1x －2＋2＝1－x 2－x
. 解：方程两边同乘x －2，得1＋2(x －2)＝x －1.
解得x ＝2.
检验：当x ＝2时，x －2＝0. 所以x ＝2不是原方程的解．
∴原方程无解．
类型2 不等式(组)的解法
2．解不等式(组)：
(1)4x ＋5≤2(x＋1)；
解：去括号，得4x ＋5≤2x＋2.
移项、合并同类项，得2x≤－3.
解得x≤－32
.
(2)⎩
⎪⎨⎪⎧3x －1≥x＋1，①x ＋4<4x －2；② 解：解不等式①，得x≥1.
解不等式②，得x ＞2.
∴不等式组的解集为x ＞2.
(3)⎩⎪⎨⎪⎧2x －7<3（x －1），①43
x ＋3≤1－23x.② 解：解不等式①，得x ＞－4. 解不等式②，得x≤－1.
∴不等式组的解集是－4＜x≤－1.
3．解不等式：2x －1＞3x －12
，并把它的解集在数轴上表示出来．解：去分母，得4x －2＞3x －1.
解得x ＞1.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
4．解不等式组：⎩
⎪⎨⎪⎧2x≥－9－x ，5x －1>3（x ＋1），并把它的解集在数轴上表示出来．解：解不等式2x≥－9－x ，得x≥－3.
解不等式5x －1＞3(x ＋1)，得x ＞2.
则不等式组的解集为x ＞2.
将解集表示在数轴上如下：
5．x 取哪些整数值时，不等式5x ＋2＞3(x －1)与12x≤2－32
x 都成立？解：联立不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2>3（x －1），①12
x≤2－32x ，② 解不等式①，得x>－52
. 解不等式②，得x≤1.
∴－52
<x≤1. 故满足条件的整数有－2，－1，0，1.
类型3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
6．已知关于x 的方程x 2＋mx ＋m －2＝0.
(1)若此方程的一个根为1，求m 的值；
(2)求证：不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
解：(1)把x ＝1代入方程x 2＋mx ＋m －2＝0，得
1＋m ＋m －2＝0.解得m ＝12
. (2)证明：∵Δ＝m 2－4(m －2)＝(m －2)2
＋4≥4>0.
∴不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
7．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2＝0①有两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
(2)设方程①的两个实数根分别为x 1，x 2，当k ＝1时，求x 21＋x 22的值．
解：(1)∵x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2＝0①有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2k ＋1)2－4k 2>0.
∴k>－14
. (2)当k ＝1时，原方程为x 2＋3x ＋1＝0.
∵x 1，x 2是该方程的两个实数根，
∴由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝1.
∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－3)2－2×1＝7.
8．已知关于x 的方程(x －3)(x －2)－p 2＝0.
(1)求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足x 21＋x 22＝3x 1x 2，求实数p 的值．
解：(1)证明：∵(x－3)(x－2)－p2＝0，
∴x2－5x＋6－p2＝0.
∴Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝1＋4p2.
∵无论p取何值时，总有4p2≥0，
∴1＋4p2＞0.
∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
(2)由(1)，得x1＋x2＝5，x1x2＝6－p2，
∵x21＋x22＝3x1x2，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝3x1x2.
∴52＝5(6－p2)．
∴p＝±1.
9．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求m的取值范围；
(2)若x1，x2满足3x1＝|x2|＋2，求m的值．
解：(1)∵原方程有两个实数根，
∴Δ＝(－6)2－4(m＋4)＝36－4m－16＝－4m＋20≥0.
∴m≤5.
(2)∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1＋x2＝6.①
x1x2＝m＋4.②
又3x1＝|x2|＋2，
若x2≥0，则3x1＝x2＋2.③
联立①③解得x1＝2，x2＝4.
∴8＝m＋4，m＝4.
若x2<0，则3x1＝－x2＋2，④
联立①④解得x1＝－2，x2＝8(不合题意，舍去)．
∴符合条件的m的值为4.。