2018版高考数学人教A版理一轮复习课件重点强化课4 直线与圆
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人教A版数学【选修4-1】ppt课件：2-2第二讲-直线与圆的位置关系
任意平行四边形的四个顶点在同一个圆上
平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，因为
它的对角相等，但不一定互补．当互补时，共圆． 思考探究2 在我们学过的特殊四边形中，有哪些四边形
的四个顶点共圆？ 提示 有矩形、正方形、等腰梯形，因为它们的四个内角
中相对的两个内角互补.Fra bibliotek名师点拨 1.判定四点共圆的方法 (1)如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共 圆．
【证明】 O.
由A，B，D三点可以确定一个圆，设该圆为⊙
(1)如果点C在⊙O的外部(如图①)，连接BC，与圆相交于 点E. ∵∠1＝∠AEB，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEB. 而∠AEB>∠2，矛盾，故点C不可能在圆外．
(2)如果点C在⊙O的内部(如图②)． 延长BC与圆相交于点E，连接AE， 则∠1＝∠AEB，而∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEB，与∠2>∠AEB矛盾． ∴点C不可能在圆内． 由(1)、(2)知，点C只能在圆上． ∴A，B，C，D四点共圆．
规律技巧
本例的证明应用了分类讨论的思想和反证法．
变式2
已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点 F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G，求证： (1)D，E，F，G四点共圆； (2)G，B，C，F四点共圆．
证明 GEF＝90° .
(1)连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠
规律技巧
本题除了运用圆内接四边形的性质定理，还运
用了垂径定理及圆周角定理的推论2解决问题．
变式1
如图所示，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB和DC的延长 线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q.如果∠A＝50° ，∠P＝ 30° ，求∠Q的度数．
高中数学人教A版 选择性必修第一册 直线与圆的位置关系 课件
2 所以，所求直线方程为： x 2y 9 0 ，或 2x y 3 0 .
5、已知过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 x2 y2 4 y 21 0
所截得的弦长为 8，求直线 l 的方程；
【解析】圆心 C(0, 2) ，半径 r 5 .所以弦心距 d 52 42 3 ，
(2)SPACB 2S PAC PA r 2PA
2 PC2 4 4 7.
12.(1)已知实数 x，y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，则
x2＋y2 的最大值为__________．
【解析】x2＋y2＝[ （x－0）2＋（y－0）2]2， 它表示(0，0)和(x，y)两点间距离的平方， 最大距离为 3 2＋ 6， 则 x2＋y2 的最大值为(3 2＋ 6)2＝24＋12 3.
7、已知圆 C：x2＋(y－2)2＝5，直线 l：mx－y＋1－m＝0. (1)求证：对 m∈R，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点； (2)若直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点，
①当弦长|AB|最大时，求 m 的值； ②当弦长|AB|最小时，求 m 的值. 【分析】(1)直线 l：m(x－1)－y＋1＝0，过定点 P(1，1)， P 在圆 C 内，所以直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点.
设直线 l 的方程为 y 3 k(x 3) ，即 kx y 3k 3 0 ，
根据点到直线的距离公式， d | 3k 1| ， 1 k2
因此， | 3k 1| 3 ，即 | 3k 1| 3 1 k2 ，解得 k 4 ，
1 k2
3
直线方程为： 4x 3y 21 0 ，
经检验， x 3 0 适合题意， 所以，所求直线方程为： 4x 3y 21 0 或 x 3 0 .
(1) 2 b 2 2 (2) 2 b 2或b 2 2
5、已知过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 x2 y2 4 y 21 0
所截得的弦长为 8，求直线 l 的方程；
【解析】圆心 C(0, 2) ，半径 r 5 .所以弦心距 d 52 42 3 ，
(2)SPACB 2S PAC PA r 2PA
2 PC2 4 4 7.
12.(1)已知实数 x，y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，则
x2＋y2 的最大值为__________．
【解析】x2＋y2＝[ （x－0）2＋（y－0）2]2， 它表示(0，0)和(x，y)两点间距离的平方， 最大距离为 3 2＋ 6， 则 x2＋y2 的最大值为(3 2＋ 6)2＝24＋12 3.
7、已知圆 C：x2＋(y－2)2＝5，直线 l：mx－y＋1－m＝0. (1)求证：对 m∈R，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点； (2)若直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点，
①当弦长|AB|最大时，求 m 的值； ②当弦长|AB|最小时，求 m 的值. 【分析】(1)直线 l：m(x－1)－y＋1＝0，过定点 P(1，1)， P 在圆 C 内，所以直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点.
设直线 l 的方程为 y 3 k(x 3) ，即 kx y 3k 3 0 ，
根据点到直线的距离公式， d | 3k 1| ， 1 k2
因此， | 3k 1| 3 ，即 | 3k 1| 3 1 k2 ，解得 k 4 ，
1 k2
3
直线方程为： 4x 3y 21 0 ，
经检验， x 3 0 适合题意， 所以，所求直线方程为： 4x 3y 21 0 或 x 3 0 .
(1) 2 b 2 2 (2) 2 b 2或b 2 2
2018届高考数学总复习教材复习课“直线与圆”相关基础知识课件理
名称 斜截式 点斜式 两点式
截距式
一般式
几何条件 纵截距、斜率 过一点、斜率
过两点
纵、横截距
方程 _y_＝__k_x_＋__b__ _y_－__y_0＝__k__(x_－__x_0_) yy2－－yy11＝xx2－－xx11
xa＋by＝1
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
适用条件 与 x 轴不垂直
[小题速通] 1．方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆，则 a 的取值范
围是
()
A．(－∞，－2)∪23，＋∞
B．－23，0
C．(－2,0)
D．－2，23
解析：由题意知 a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，解得－2<a<23.
答案：D
教材复习课
“直线与圆”相关基础知识一课过
直线的方程 [过双基]
1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴 正向与直线 l向上 方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角； ②规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0 ； ③范围：直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是_[0_，__π_)_．
(2)直线的斜率 ①定义：当直线 l 的倾斜角 α≠π2时，其倾斜角 α 的正切值 tan α 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母 k 表示，即 k
＝ tan α ；
②斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直 y2－y1
线的斜率公式为 k＝ x2－x1 .
2．直线方程的五种形式
2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的 x，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．
最新-2018届高考数学一轮复习 直线、圆的位置关系课件 精品
考点二
圆的切线问题
已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的 截距相等，求直线l的方程； (2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O 为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．
[自主解答] (1)将圆 C 配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
解：当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，直线 OP⊥l，
∴直线 OP 的方程为 2x＋y＝0.
解方程组22xx＋－y4＝y＋0，3＝0， 得点 P 的坐标为(－130，35)．
若本例(2)中求|PM|的 最小值呢？
|PM|＝|PO|＝ －1302＋352＝3105.
求经过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的切线方程． 解：将点(1，－7)代入x2＋y2得12＋(－7)2＝50>25，故点在 圆外，过圆外一点与圆相切的切线方程的求法有三种．
解析：圆心到直线 x－2y＋5＝0 的距离为 d＝ 15＋4＝ 5， 则弦|AB|＝2 8－5＝2 3.
答案：2 3
5．过点(－4，－8)作圆(x＋7)2＋(y＋8)2＝9的切线，则切线 的方程为__________．
解析：由于 －4＋72＋－8＋82＝3， ∴点(－4，－8)在圆上，从而切线方程为 x＝－4.
由点 C 到直线 AB 的距离公式： |－k22k＋－－6＋152|＝2，得 k＝34. k＝34时，直线 l 的方程为 3x－4y＋20＝0. 又直线 l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为 x＝0. ∴所求直线的方程为 3x－4y＋20＝0 或 x＝0.
法二：当直线 l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为 k， 则直线的方程为 y－5＝kx，即 y＝kx＋5， 联立直线与圆的方程yx＝2＋kyx2＋＋54，x－12y＋24＝0， 消去 y 得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0，① 设方程①的两根为 x1，x2，
高考数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2
k2＋1· x1＋x22－4x1x2＝ k2＋1|x1－x2|.
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方 程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆 外时，切线有两条.
返回
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
|1＋4－5＋ 5|
圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝|CP|＝
12＋22 ＝1.
在 Rt△ACP 中，|AP|＝ r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
解析答案
数学思想
数形结合思想
例 4 直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且只有一个交点，则 b 的取值范
围是( ) A.|b|＝ 2 C.－1≤b＜1
线的距离等于
12－222＝0，即圆心(1，2)位于直线 kx－y＝0 上.
于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0.
解析答案
课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质 进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算 量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长 的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去 y，组成 一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l＝
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题型探究
重点突破
题型一 直线与圆的位置关系的判断 例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方 程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆 外时，切线有两条.
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编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
|1＋4－5＋ 5|
圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝|CP|＝
12＋22 ＝1.
在 Rt△ACP 中，|AP|＝ r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
解析答案
数学思想
数形结合思想
例 4 直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且只有一个交点，则 b 的取值范
围是( ) A.|b|＝ 2 C.－1≤b＜1
线的距离等于
12－222＝0，即圆心(1，2)位于直线 kx－y＝0 上.
于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0.
解析答案
课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质 进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算 量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长 的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去 y，组成 一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l＝
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题型探究
重点突破
题型一 直线与圆的位置关系的判断 例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.
高中数学第二章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.2圆的一般方程课件新人教A版选择性必修第一册
________． 解析：∵(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，
∴r＝ 5－m＝32，解得 m＝141. 答案：141
题型一 对圆一般方程的理解 [学透用活]
圆的一般方程特点 (1)x2，y2 的系数相等且不为 0； (2)没有 xy 项．
[典例 1] 若方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 表示圆，求： (1)实数 m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
题型三 与圆有关的轨迹方程问题 [学透用活]
[典例 3] 已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2，－2)， 且圆心 C 在直线 l：x－y＋1＝0 上．
(1)求圆 C 的方程； (2)线段 PQ 的端点 P 的坐标是(5,0)，端点 Q 在圆 C 上运动， 求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程．
① ②
令 x＝0，得 y2＋Ey＋F＝0， ③
由已知|y1－y2|＝4 3，其中 y1，y2 是方程③的两根．
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48. ④
D＝－2， 联立①②④解得，E＝0，
F＝－12
D＝－10， 或E＝－8，
F＝4.
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－12＝0 或 x2＋y2－10x－8y
题型二 求圆的一般方程
[学透用活]
[典例 2] 已知一圆过 P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在 y 轴
上截得的线段长为 4 3，求圆的方程． [解] 法一：待定系数法
设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将 P，Q 的坐标分别代入上式，
得D4D－－3E2E－＋FF－＋102＝0＝0，0，
2．4．2 圆的一般方程
(一)教材梳理填空 1．圆的一般方程的概念 当 D2＋E2－4F＞0 时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0 叫做圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表
∴r＝ 5－m＝32，解得 m＝141. 答案：141
题型一 对圆一般方程的理解 [学透用活]
圆的一般方程特点 (1)x2，y2 的系数相等且不为 0； (2)没有 xy 项．
[典例 1] 若方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 表示圆，求： (1)实数 m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
题型三 与圆有关的轨迹方程问题 [学透用活]
[典例 3] 已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2，－2)， 且圆心 C 在直线 l：x－y＋1＝0 上．
(1)求圆 C 的方程； (2)线段 PQ 的端点 P 的坐标是(5,0)，端点 Q 在圆 C 上运动， 求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程．
① ②
令 x＝0，得 y2＋Ey＋F＝0， ③
由已知|y1－y2|＝4 3，其中 y1，y2 是方程③的两根．
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48. ④
D＝－2， 联立①②④解得，E＝0，
F＝－12
D＝－10， 或E＝－8，
F＝4.
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－12＝0 或 x2＋y2－10x－8y
题型二 求圆的一般方程
[学透用活]
[典例 2] 已知一圆过 P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在 y 轴
上截得的线段长为 4 3，求圆的方程． [解] 法一：待定系数法
设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将 P，Q 的坐标分别代入上式，
得D4D－－3E2E－＋FF－＋102＝0＝0，0，
2．4．2 圆的一般方程
(一)教材梳理填空 1．圆的一般方程的概念 当 D2＋E2－4F＞0 时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0 叫做圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 理(2021年最新整理)
2018版高考数学一轮复习第九章解析几何第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第九章解析几何第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高考数学一轮复习第九章解析几何第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系理的全部内容。
第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知集合A＝｛(x，y)｜x，y为实数，且x2＋y2＝1｝，B＝{（x，y）｜x，y为实数，且x ＋y＝1｝，则A∩B的元素个数为( ）．A．4 B．3 C．2 D．1解析法一（直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝错误!＝错误!＜1＝r，所以直线与圆相交，故选C。
法二（数形结合法）画图可得，故选C.答案C2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a）2＋y2＝2有公共点,则实数a的取值范围是（）．A．[－3,－1］B．［－1,3]C．[－3,1] D．(－∞,－3］∪［1，＋∞）解析由题意可得,圆的圆心为（a,0），半径为错误!，∴错误!≤错误!，即｜a＋1|≤2,解得－3≤a≤1.答案C3．若圆(x－a)2＋（y－b）2＝b2＋1始终平分圆(x＋1）2＋（y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是（)A．a2＋2a＋2b－3＝0B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2a＋2b＋5＝0D．a2－2a－2b＋5＝0解析即两圆的公共弦必过（x＋1)2＋(y＋1）2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0,将圆心坐标(－1,－1）代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0.答案C4．若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0（b∈R)恰有三条切线，则a＋b的最大值为 ( ）．A．－3错误!B．－3 C．3 D．3错误!解析易知圆C1的圆心为C1（－a,0)，半径为r1＝2；圆C2的圆心为C2(0,b），半径为r2＝1.∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，∴｜C1C2｜＝r1＋r2，即a2＋b2＝9。
新教材人教A版选择性必修第一册 2.5.1 直线与圆的位置关系 课件(64张)
际问题．(难点)
情景 导学 探新 知
“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句．它描 述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地 平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．
图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结，直 线与圆有几种位置关系？
1．直线与圆的三种位置关系
d_＜_r d_＝_r d_＞_r
方 法
代数法：由Axx－＋aB2y＋＋Cy－＝b0，2＝r2
Δ＞__0 Δ＝__0 Δ_＜_0
消元得到一元二次方程的判别式 Δ
思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有 什么特点？
[提示] “几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是 从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于 “形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”， 它倾向于“坐标”与“方程”．
(1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断． ( )
(2)过圆外一点作圆的切线有两条．
()
(3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距
离．
()
(4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切． ( )
[提示] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．直线 3x＋4y－5＝0 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系是( )
3．用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用_坐__标_和方__程__表示问题 中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代__数__问题；
第二步：通过_代_数__运算，解决_代_数__问题； 第三步：把代__数__运算的结果“翻译”成几何结论．
2018版高考数学人教A版理一轮复习课件：第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 精品
[变式训练 1] (1)(2017·山西忻州模拟)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2 的切线有
且只有一条，则该切线的方程为( )
A．2x＋y－5＝0
B.2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0
D.x－2y－7＝0
(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线 l：x－ 3y＋6＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两点，
值是( )
A．－2 或 12
B.2 或－12
C．－2 或－12
D.2 或 12
D [由圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为 1，所以|3×1＋324＋×412－b|
＝1，解得 b＝2 或 12.]
4．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－3＝0 被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 截 得的弦长为__________．
[易错与防范] 1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线 与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．
2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且 只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不 存在的情况，以防漏解．
∵圆 C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0 与直线 x－ 3y＋ 3－2＝0 相切， ∴圆心(－2,1)到直线 x－ 3y＋ 3－2＝0 的距离 d＝ 14＋3＝2＝r，4 分 ∴圆 C 的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4.5 分
(2)若圆 C 上有两点 M，N 关于直线 x＋2y＝0 对称，则可设直线 MN 的方程为 2x－y＋c＝0.7 分
4π [圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 化为标准方程是 C：x2＋(y－a)2＝a2＋2， 所以圆心 C(0，a)，半径 r＝ a2＋2.|AB|＝2 3，点 C 到直线 y＝x＋2a 即 x－y ＋2a＝0 的距离 d＝|0－a＋2 2a|，由勾股定理得2232＋|0－a＋2 2a|2＝a2＋2，解得 a2＝2，所以 r＝2，所以圆 C 的面积为 π×22＝4π.]
人教A版数学【选修4-1】ppt课件：《第二讲-直线与圆的位置关系》小结
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边， 得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF· BF， 所以EF2＝AD· BC.
【解】 P运动2 s时，PC＝2×2＝4 cm，AC＝8 cm. ∴P是AC的中点，由勾股定理知， BC＝6 cm，BP＝2 13 cm. 连接OD，∵D为切点，∴OD⊥AC. DP PC 4 2 ∴OD∥BC，∴ ＝ ＝ ＝ . OD BC 6 3 设半径OD为3x，则DP＝2x(x>0)． 由勾股定理可求出OP＝ 3x2＋2x2＝ 13x，
【分析】
如下图所示．
轮船是否有触礁的危险，在于轮船航行所在的直线与以A为圆 心，15海里为半径的圆的位置关系，此题应从直线与圆A相切这一 特殊关系入手，转化为三角函数求解．
【解】 (1)过B作⊙A的切线，切点为D，连接DA，则AD⊥ BD. 在Rt△BDA中，AB＝45，AD＝15， AD 1 ∴sin∠DBA＝ AB ＝3，∴∠DBA≈20° . (2)过C作⊙A的切线，切点为E，连接AE， 则AE⊥CE，在Rt△ACE中， AC＝45－15＝30，AE＝15.
︵
【分析2】 如图②，欲证∠CAE＝∠ACD，连接OC，AC， 得到∠CAO＝∠OCA，因此只需证∠EAO＝∠OCD. ∵CD⊥AB，C为A E 的中点，∴OC⊥AE. ∴∠EAO＋∠COA＝∠OCD＋∠COA. ∴∠EAO＝∠OCD. ︵
【分析3】 如图③，欲证∠CAE＝∠ACD， ︵ ︵ ∵ CE ＝ AC ，∴∠CAE＝∠ABC，故只需证明∠ACD＝∠ ABC，这由∠ACB＝90° ，CD⊥AB可得． 证明略．
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第二章 直线与圆的位置关系
即 − + = 或 − − = ,故A错误；
经过点′(−, −),(, )的方程为 = ,故B正确；
|−+−|
+
= ,解得 =
因为|′| =
( + ) + ( + ) = ,所以光线经过的最短路程为 − ,故C正
[解析]点(−, )关于轴的对称点为′(−, −).圆的方程为
( − ) + ( − ) = ,由题意知反射光线的斜率存在,设反射光线方程为
+ = ( + ),即 − + − = .对于A，由相切知
或 =
.
∴反射光线方程为 + = ( + )或 + = ( + ).
∴圆心(, )到直线 + = 的距离 =
相交.
+
< = ,则直线与圆的位置关系是
2.直线与圆: 2 + 2 + 2 − 4 + = 0( < 5)相交于,两点,若弦的中点为
(−2,3),则直线的方程为() A
A. − + 5 = 0B. + − 1 = 0C. − − 5 = 0D. + − 3 = 0
[解析]由题意知,线段 = + (− ≤ ≤ )与半圆 + = ( ≥ )只有一个交
点,结合图形（图略）易得 < −或 > 或 = ± .故选.
15.[2024江苏常州高二质检]若是直线: 3 + 4 − 9 = 0上一动点,过点作圆
: 2 + 2 + 4 = 0的两条切线,切点分别为,,则四边形面积的最小值为() B
经过点′(−, −),(, )的方程为 = ,故B正确；
|−+−|
+
= ,解得 =
因为|′| =
( + ) + ( + ) = ,所以光线经过的最短路程为 − ,故C正
[解析]点(−, )关于轴的对称点为′(−, −).圆的方程为
( − ) + ( − ) = ,由题意知反射光线的斜率存在,设反射光线方程为
+ = ( + ),即 − + − = .对于A，由相切知
或 =
.
∴反射光线方程为 + = ( + )或 + = ( + ).
∴圆心(, )到直线 + = 的距离 =
相交.
+
< = ,则直线与圆的位置关系是
2.直线与圆: 2 + 2 + 2 − 4 + = 0( < 5)相交于,两点,若弦的中点为
(−2,3),则直线的方程为() A
A. − + 5 = 0B. + − 1 = 0C. − − 5 = 0D. + − 3 = 0
[解析]由题意知,线段 = + (− ≤ ≤ )与半圆 + = ( ≥ )只有一个交
点,结合图形（图略）易得 < −或 > 或 = ± .故选.
15.[2024江苏常州高二质检]若是直线: 3 + 4 − 9 = 0上一动点,过点作圆
: 2 + 2 + 4 = 0的两条切线,切点分别为,,则四边形面积的最小值为() B
2018_2019学年高中数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版
(2)求弦AB的长.
解:(2)圆心 C(1,0)到直线 x+2y+4=0 的距离为 d=
|1 0 4 | 1 2
2 2
= 5,
|AB|=2 r 2 d 2 =2 16 5 =2 11 .
题型三 直线与圆相切问题
【例 3】 (12 分)已知圆 O:x +y =4. (1)过点 P( 2 , 2 )作圆 O 的切线,求切线 l 的方程;
| Aa Bb C | A2 B2
代数法:
Ax By C 0 由 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r
Δ > 0
Δ = 0
Δ< 0
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
自我检测
1.(直线与圆的位置关系判定)直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关 系是( D ) (A)相交 (B)相切 (C)相交且过圆心 (D)相离
.
解析:点 Q 到圆心的距离为 22 42 = 20 ,所以切线长为 ( 20)2 4 =4.
答案:4
方法技巧
(1)用点斜式求直线方程时要首先验证斜率不存在的情形.
(2)直线与圆相切用几何法列式计算比较简单,一般不用代数法(判别式法).
(3)求动点P的轨迹方程要用坐标变量表示P点,即P(x,y),然后利用条件列 出(x,y)满足的方程化简则得解.
1 1 |AB|= ³4 5 =2 5 , 2 2
则|OH|= | OA |2 | AH |2 = 5 ,故
| 5(1 k ) | k 1
2
= 5,
解得 k=
1 或 k=2, 2
故直线 l 的方程为 x-2y+5=0 或 2x-y-5=0.
直线与圆的位置关系的实际应用课件高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
问题的答案如何?
P
A₁A₂O A₃
B
A₄
y=√ 14.52-(-2)²-10.5≈14.36-10.5=3.86(m).
例3如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20 m,拱高OP= 4 m,建造时每间隔4 m 需要用一根支柱支撑，求支柱A₂P₂ 的高度(精确到0.01 m).
解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是( 圆的半径是r,则圆的方程是x²+(y-b)2=r².
2.5.1课时2 直线与圆的位置关系的实际应用
学习目标
1.理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用. (重点) 2.会用“数形结合”的数学思想解决问题. (难点)
复习导入
2024年台风“格美”由强台风级升级为超强台风级，登陆中国台湾地区， 并于26日在福建省沿海二次登陆。目前“格美”仍在进一步向中国东南内陆地 区挺进，假设当前台风中心P在厦门向东300 km处，并以40 km/h的速度向西偏 北45°方向移动.已知距离台风中心250 km 以内的地方都属于台风侵袭的范围， 那么经过多长时间后厦门市开始受到台风侵袭?受台风侵袭大概持续多长时间?
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如 点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
例3如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20 m,拱高OP= 4 m,建造时每间隔4 m 需要用一根支柱支撑，求支柱A₂P₂ 的高度(精确到0.01 m).
思考2 你能用代数法(坐标法)求支柱A₂P₂ 的高度吗? 思考3 取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程?
x²+(y+10.5)²=14.52 思考4 利用这个圆的方程可求得点P₂的纵坐标是多少?
P
A₁A₂O A₃
B
A₄
y=√ 14.52-(-2)²-10.5≈14.36-10.5=3.86(m).
例3如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20 m,拱高OP= 4 m,建造时每间隔4 m 需要用一根支柱支撑，求支柱A₂P₂ 的高度(精确到0.01 m).
解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是( 圆的半径是r,则圆的方程是x²+(y-b)2=r².
2.5.1课时2 直线与圆的位置关系的实际应用
学习目标
1.理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用. (重点) 2.会用“数形结合”的数学思想解决问题. (难点)
复习导入
2024年台风“格美”由强台风级升级为超强台风级，登陆中国台湾地区， 并于26日在福建省沿海二次登陆。目前“格美”仍在进一步向中国东南内陆地 区挺进，假设当前台风中心P在厦门向东300 km处，并以40 km/h的速度向西偏 北45°方向移动.已知距离台风中心250 km 以内的地方都属于台风侵袭的范围， 那么经过多长时间后厦门市开始受到台风侵袭?受台风侵袭大概持续多长时间?
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如 点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
例3如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20 m,拱高OP= 4 m,建造时每间隔4 m 需要用一根支柱支撑，求支柱A₂P₂ 的高度(精确到0.01 m).
思考2 你能用代数法(坐标法)求支柱A₂P₂ 的高度吗? 思考3 取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程?
x²+(y+10.5)²=14.52 思考4 利用这个圆的方程可求得点P₂的纵坐标是多少?
2018版高考数学一轮复习课件：重点强化课4 直线与圆
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第五页，编辑于星期六：二十二点 三十分。
高三一轮总复习
设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直线的方程为 y＋3＝k(x－ 2)，即 kx－y－2k－3＝0.
由反射光线与圆相切，则有 d＝|－3k－k22－＋21k－3|＝1， 解得 k＝－43或 k＝－34.]
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第十八页，编辑于星期六：二十二点 三十分。
高三一轮总复习
直线 BC 的斜率为
2＋1－ 0－1
2＝－1，
故切线的斜率为 1，切线方程为 y＝x＋ 2＋1.
令 y＝0，解得 x＝－ 2－1，
故所求截距为－ 2－1.]
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第十九页，编辑于星期六：二十二点 三十分。
高三一轮总复习
则|MN|＝( )
A．2 6
B.8
C．4 6
D.10
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第十一页，编辑于星期六：Hale Waihona Puke 十二点 三十分。高三一轮总复习
(1)C (2)C [(1)由圆 x2＋y2－ax＋2y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 关于直线 y＝x－1 对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线 y＝x－1 上，故可得 a＝2， 即点 C(－2,2)．
∴2m＋n＝(2m＋n)m2 ＋1n＝5＋2mn＋2nm≥5＋2 当且仅当2mn＝2nm时取等号． ∴2m＋n 的最小值为 9.]
2mn·2nm＝9.
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第九页，编辑于星期六：二十二点 三十分。
高三一轮总复习
重点 2 圆的方程
名师高中数学人教A版选择性必修直线与圆的位置关系完整版课件
探究 2 “两法”解决求过直线与圆交点的圆的方程问题 解决此类问题有以下两种方法：(1)联立方程组，求出交点坐 标，再根据交点坐标求圆的方程；(2)设圆系方程确定参数，一般 地，过直线 l：Ax＋By＋C＝0 与圆 C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2 ＋E2－4F>0)的交点的圆系方程可设为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋ λ(Ax＋By＋C)＝0，但注意系数 λ 一定要写在直线方程之前．
题型四 弦长问题
例 4 求直线 x－ 3y＋2 3＝0 被圆 x2＋y2＝4 截得的弦长．
【思路分析】 利用几何方法构造关系求解．
【解析】 如图，设直线 x－ 3y＋2 3＝0 与圆 x2＋y2＝4 交于
A，B 两点，弦 AB 的中点为 M，则 OM⊥AB(O 为坐
标原点)，所以|OM|＝
|0－0＋2 12＋（－
题型二 求圆的方程
例 2 求经过直线 且经过点 P(－1，－2)的圆的方程．
【解析】 方法一：解方程组xx＋ 2＋yy＝2＋0，2x－4y－8＝0， 得xy＝ ＝1－，1或xy＝ ＝－ 4. 4， ∴直线与圆交于 A(1，－1)和点 B(－4，4)．
思考题 2 (1)已知圆 C 与直线 x－y＝0 及 x－y－4＝0 都
相切，圆心在直线 x＋y＝0 上，则圆 C 的方程为( B ) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝3 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 (2)已知圆 C 的圆心与点(－2，1)关于直线 y＝x＋1 对称，直
探究 1 解决直线与圆的位置关系问题一般有两种方法： (1)代数法，联立直线与圆的方程，通过方程组解的个数来判 断； (2)几何法，判断圆心到直线的距离和半径之间的关系，确定 直线与圆的位置关系，一般情况下利用几何法更简单．
高考数学一轮复习专题九平面解析几何1直线方程与圆的方程综合篇课件新人教A版
3.直线方程的几种形式
名称 方程
说明
斜截式 y=kx+b
k是斜率,
b是纵截距
点斜式 y-y0=k(x-x0)
(x0,y0)是直线上的已知点, k是斜率
两点式
y y1 y2 y1
=
x x1 x2 x1
(x1≠x2,y1≠y2)
(x1,y1),(x2,y2)是直线上的两个已知点
适用条件 与x轴不垂直的直线
A
x1
2
x2
B
y1
2
y2
C
0, 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其
A( y1 y2 ) B(x1 x2 ),
中A≠0,x1≠x2).
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决,有两种情况:一是已
知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.
以下为教师用书专用
圆的方程
名称 标准方程 一般方程
考点二 圆的方程
方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)
圆心 (a,b)
DE
- 2 ,- 2
半径
r
1 D2 E2 4F 2
温馨提示 (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,若没有给出r>0,则圆的半径为|r|,实 数r可以取负值.
(2)由已知设直线y=3x的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α.因为tan α=
3,所以tan 2α= 2 tan α =- 3 .
1 tan2α 4
又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=- 3 (x+1),即3x+4y+15=0.
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第2章 直线和圆的方程 直线与圆的位置关系
从而
2 + 2 - 2
cos∠BAD=
2·
=
7
>0,所以∠BAD
25
为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此,Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
规律方法 解决直线与圆的方程的应用题的步骤
(1)审题:从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知.
②当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为在上面解法中不
包括斜率不存在的情况.
提醒:已知一点求圆的切线方程时,切勿漏掉斜率不存在的情况.
变式训练1过点Q(3,0)作圆x2+y2=4的切线,求此切线方程.
解 容易判断点Q(3,0)在圆外.易知切线斜率存在,设切线的方程为y=k(x-3),
∴圆心 O 到直线 l:x-y+2=0 的距离 d=
∴弦长=2 2 -2 =2 7.故选 A.
|0-0+2|
12 +12
= 2,
1 2 3 4 5
2.(多选题)若直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值可以是( CD )
A.-2
B.-12
C.2
D.12
解析 圆的方程为x2+y2-2x-2y+1=0,
位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它 不会 (填
“会”或“不会”)受到台风的影响.
解析 如图,以台风中心为原点O,正东方向为x轴的正方
向,建立平面直角坐标系,其中,取10 km为单位长度.则
当 d=2,即 m=0 或
4
m=-3时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;
2 + 2 - 2
cos∠BAD=
2·
=
7
>0,所以∠BAD
25
为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此,Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
规律方法 解决直线与圆的方程的应用题的步骤
(1)审题:从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知.
②当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为在上面解法中不
包括斜率不存在的情况.
提醒:已知一点求圆的切线方程时,切勿漏掉斜率不存在的情况.
变式训练1过点Q(3,0)作圆x2+y2=4的切线,求此切线方程.
解 容易判断点Q(3,0)在圆外.易知切线斜率存在,设切线的方程为y=k(x-3),
∴圆心 O 到直线 l:x-y+2=0 的距离 d=
∴弦长=2 2 -2 =2 7.故选 A.
|0-0+2|
12 +12
= 2,
1 2 3 4 5
2.(多选题)若直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值可以是( CD )
A.-2
B.-12
C.2
D.12
解析 圆的方程为x2+y2-2x-2y+1=0,
位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它 不会 (填
“会”或“不会”)受到台风的影响.
解析 如图,以台风中心为原点O,正东方向为x轴的正方
向,建立平面直角坐标系,其中,取10 km为单位长度.则
当 d=2,即 m=0 或
4
m=-3时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;
最新-2018届高考数学一轮复习 直线与圆、圆与圆的位置关系调研课件 文 新人教A版 精品
5
③当d<r即|m|< 5，即－5<m<5时，直线与圆相交． 5
2x－ y＋ m＝ 0 解 法二：联 立方程x2＋ y2＝ 5
得 ： 5x2＋ 4mx＋ m2－ 5＝ 0 ∴ 当△ <0时， 即 (4m)2－ 20(m2－ 5)<0 即 m>5或 m<－ 5时 ，方程无 根 ∴此时直线与圆相离． 当 △＝ 0，即 (4m)2－ 20(m2－ 5)＝ 0 解之得m＝5或－5，直线与圆相切
3．圆与圆的位置关系的判定 设⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)， ⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)，则有： |C1C2|>r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2相离； |C1C2|＝r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2外切； |r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2相交； |C1C2|＝|r1－r2|⇔⊙C1与⊙C2内切(r1≠r2)； |C1C2|<|r1－r2|⇔⊙C1与⊙C2内含． 4．P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2(r>0)上，则以P为切点的切线方程为x0x＋y0y＝ r2.
第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系
2011·考纲下载
1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定 两个圆的方程判断两圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
请注意!
直线与圆，圆与圆的位置关系一直是高考考查的热点，主要考查： (1)方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断； (2)利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围； (3)利用相切或相交求圆的切线或弦长.
∴ 所求点 P的 轨迹方程 为 2x－ 4y＋ 3＝ 0.
③当d<r即|m|< 5，即－5<m<5时，直线与圆相交． 5
2x－ y＋ m＝ 0 解 法二：联 立方程x2＋ y2＝ 5
得 ： 5x2＋ 4mx＋ m2－ 5＝ 0 ∴ 当△ <0时， 即 (4m)2－ 20(m2－ 5)<0 即 m>5或 m<－ 5时 ，方程无 根 ∴此时直线与圆相离． 当 △＝ 0，即 (4m)2－ 20(m2－ 5)＝ 0 解之得m＝5或－5，直线与圆相切
3．圆与圆的位置关系的判定 设⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)， ⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)，则有： |C1C2|>r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2相离； |C1C2|＝r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2外切； |r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2相交； |C1C2|＝|r1－r2|⇔⊙C1与⊙C2内切(r1≠r2)； |C1C2|<|r1－r2|⇔⊙C1与⊙C2内含． 4．P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2(r>0)上，则以P为切点的切线方程为x0x＋y0y＝ r2.
第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系
2011·考纲下载
1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定 两个圆的方程判断两圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
请注意!
直线与圆，圆与圆的位置关系一直是高考考查的热点，主要考查： (1)方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断； (2)利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围； (3)利用相切或相交求圆的切线或弦长.
∴ 所求点 P的 轨迹方程 为 2x－ 4y＋ 3＝ 0.
最新-2018高三数学 7-1第七章直线和圆的方程教师讲义手册课件全国版 文 新人教A版 精品
∴tanα＝－1⇒α＝135°. 答案：－1 135°
【例1】 已知两点A(－1,2)，B(m,3)，求：
(1)直线AB的斜率k与倾斜角α；
(2)求直线AB的方程；
(3)已知实数m∈
，求直线AB的倾
斜角α的范围．
[分析] 已知两点坐标，可直接根据斜率和倾斜角的 定义来求解．由于过A，B两点的斜率表达式中分母为m＋ 1，故应进行讨论．
[解答] (1)m＝－1时，直线AB的斜率不存在，倾斜 角α＝
(2)当m＝－1时，AB的方程为x＝－1， 当m≠－1时，AB的方程为y－2＝
[拓展提升] 求斜率一般有两种方法：其一，已知直
线上两点，根据斜率公式k＝
求斜率；其二，
已知倾斜角α或α的三角函数值，根据k＝tanα来求斜率，
此类问题常与三角函数知识联系在一起，要注意准确、灵
[解答] (1)方法1：设直线l的方程为： y－1＝k(x－2)(k<0) 显然k不存在时的直线不符合题意． 令y＝0，得点A(2－ ，0)； 令x＝0，得点B(0,1－2k)
当且仅当k＝－1时取等号，所求直线l的方程为 y－1＝－1(x－2)即x＋y－3＝0.
此时a＝b＝3，因此l的方程为x＋y－3＝0
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0. 综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
总结评述：求直线方程时，一方面应依据题设条件灵 活选取方程的形式；另一方面应特别注意直线方程各种形 式的适用范围，即注意分类讨论．
【例3】 过点P(2,1)作直线l分别交x、y正半轴于A、 B两点
(1)求|PA|·|PB|取得最小值时直线l的方程． (2)求|OA|·|OB|取得最小值时直线l的方程． [分析] 由题意知求直线方程应选择适当的形式，本 题(1)可用点斜式，也可用向量知识来做，(2)可用斜截式 也可用点斜式来做．
【例1】 已知两点A(－1,2)，B(m,3)，求：
(1)直线AB的斜率k与倾斜角α；
(2)求直线AB的方程；
(3)已知实数m∈
，求直线AB的倾
斜角α的范围．
[分析] 已知两点坐标，可直接根据斜率和倾斜角的 定义来求解．由于过A，B两点的斜率表达式中分母为m＋ 1，故应进行讨论．
[解答] (1)m＝－1时，直线AB的斜率不存在，倾斜 角α＝
(2)当m＝－1时，AB的方程为x＝－1， 当m≠－1时，AB的方程为y－2＝
[拓展提升] 求斜率一般有两种方法：其一，已知直
线上两点，根据斜率公式k＝
求斜率；其二，
已知倾斜角α或α的三角函数值，根据k＝tanα来求斜率，
此类问题常与三角函数知识联系在一起，要注意准确、灵
[解答] (1)方法1：设直线l的方程为： y－1＝k(x－2)(k<0) 显然k不存在时的直线不符合题意． 令y＝0，得点A(2－ ，0)； 令x＝0，得点B(0,1－2k)
当且仅当k＝－1时取等号，所求直线l的方程为 y－1＝－1(x－2)即x＋y－3＝0.
此时a＝b＝3，因此l的方程为x＋y－3＝0
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0. 综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
总结评述：求直线方程时，一方面应依据题设条件灵 活选取方程的形式；另一方面应特别注意直线方程各种形 式的适用范围，即注意分类讨论．
【例3】 过点P(2,1)作直线l分别交x、y正半轴于A、 B两点
(1)求|PA|·|PB|取得最小值时直线l的方程． (2)求|OA|·|OB|取得最小值时直线l的方程． [分析] 由题意知求直线方程应选择适当的形式，本 题(1)可用点斜式，也可用向量知识来做，(2)可用斜截式 也可用点斜式来做．
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高三一轮总复习
重 点 一
重点强化课(四)
直线与圆
重 点 三
重 点 二
重 点 强 化 训 练
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高三一轮总复习
[复习导读]
1.本部分的主要内容是直线方程和两条直线的位置关系、圆的方
程、直线与圆的位置关系.2.高考对本部分的考查主要涉及直线的倾斜角与斜率的 关系、两直线的位置关系的判断；距离公式的应用、圆的方程的求法以及直线与 圆的位置关系，常与向量、椭圆、双曲线、抛物线的几何性质相结合考查.3.另外， 应认真体会数形结合思想的应用，充分利用直线、圆的几何性质简化运算．
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高三一轮总复习
设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直线的方程为 y＋3＝k(x－ 2)，即 kx－y－2k－3＝0. |－3k－2－2k－3| 由反射光线与圆相切，则有 d＝ ＝1， 2 k ＋1 4 3 解得 k＝－3或 k＝－4.]
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高三一轮总复习
[规律方法] 标．
1.直线过定点问题，可将直线中的参数赋值，解方程组得交点坐
2．直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查，考查直线方程的求 法以及直线间的位置关系等．注意数形结合思想、分类讨论思想的应用．
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高三一轮总复习
[对点训练 1] (2017· 福建龙岩二模)已知 m，n 为正整数，且直线 2x＋(n－1)y －2＝0 与直线 mx＋ny＋3＝0 互相平行，则 2m＋n 的最小值为( A．7 C．11 B.9 D.16 )
【导学号：01772304】 A．y2－4x＋4y＋8＝0 C．y2＋4x－4y＋8＝0 B.y2＋2x－2y＋2＝0 D.y2－2x－y－1＝0
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高三一轮总复习
(2)(2015· 全国卷Ⅱ)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交 y 轴于 M，N 两点， 则|MN|＝( A．2 6 C．4 6 ) B.8 D.10
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(2)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， D＋3E＋F＋10＝0， 则4D＋2E＋F＋20＝0， D－7E＋F＋50＝0， D＝－2， 解得E＝4， F＝－20.
∴圆的方程为 x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令 x＝0，得 y＝－2＋2 6或 y＝－2－2 6， ∴M(0，－2＋2 6)，N(0，－2－2 6)或 M(0，－2－2 6)，N(0，－2＋2 6)， ∴|MN|＝4 6.]
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x y [对点训练 2] (2017· 河北唐山二模)直线 l：4＋3＝1 与 x 轴、y 轴分别相交于 点 A，B，O 为坐标原点，则△OAB 内切圆的方程为__________． 【导学号：01772305】
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(x－1)2＋(y－1)2＝1 径为|m|.
2n 2 m m ·n ＝9.
2n 2m 当且仅当 m ＝ n 时取等号． ∴2m＋n 的最小值为 9.]
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高三一轮总复习
重点 2
圆的方程
(1)若圆 x2＋y2－ax＋2y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 关于直线 y＝x－1 对称， 过点 C(－a，a)的圆 P 与 y 轴相切，则圆心 P 的轨迹方程为( )
[由题意，设△OAB 的内切圆的圆心为 M(m，m)，则半
x y 直线 l 的方程4＋3＝1 可化为 3x＋4y－12＝0， |3m＋4m－12| 由题意可得 ＝m，解得 m＝1 或 m＝6(不符合题意，舍去)． 2 2 3 ＋4 ∴△OAB 内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.]
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重点 1
( )
直线方程与两直线的位置关系
(1)(2017· 江西南昌模拟)直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0 过定点
【导学号：01772303】 A．(1，－3) C．(3,1) B.(4,3) D.(2,3)
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(2)(2017· 济南调研)一条光线从点(－2，－3)射出，经 y 轴反射后与圆(x＋3)2 ＋(y－2)2＝1 相切，则反射光线所在直线的斜率为( 5 3 A．－3或－5 5 4 C．－4或－5 3 2 B.－2或－3 4 3 D.－3或－4 )
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B [直线 2x＋(n－1)y－2＝0 与直线 mx＋ny＋3＝0 互相平行， ∴2n＝m(n－1)， ∴m＋2n＝mn， 2 1 又 m>0，n>0，得m＋n＝1.
2 1 2n 2 m ∴2m＋n＝(2m＋n) m＋n ＝5＋ m ＋ n ≥5＋2
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[规律方法]
求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求
圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用 到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中 垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
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(1)C (2)C [(1)由圆 x2＋y2－ax＋2y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 关于直线 y＝x－1 对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线 y＝x－1 上，故可得 a＝2， 即点 C(－2,2)． ∴过点 C(－2,2)且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2， 整理得 y2＋4x－4y＋8＝0.
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பைடு நூலகம்
(1)C (2)D [(1)2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，
2x＋y＝7， 由 x＋y＝4， x＝3， 解得 y＝1，
则直线过定点(3,1)．
(2)由已知，得点(－2，－3)关于 y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射 光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．
重 点 一
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直线与圆
重 点 三
重 点 二
重 点 强 化 训 练
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[复习导读]
1.本部分的主要内容是直线方程和两条直线的位置关系、圆的方
程、直线与圆的位置关系.2.高考对本部分的考查主要涉及直线的倾斜角与斜率的 关系、两直线的位置关系的判断；距离公式的应用、圆的方程的求法以及直线与 圆的位置关系，常与向量、椭圆、双曲线、抛物线的几何性质相结合考查.3.另外， 应认真体会数形结合思想的应用，充分利用直线、圆的几何性质简化运算．
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设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直线的方程为 y＋3＝k(x－ 2)，即 kx－y－2k－3＝0. |－3k－2－2k－3| 由反射光线与圆相切，则有 d＝ ＝1， 2 k ＋1 4 3 解得 k＝－3或 k＝－4.]
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[规律方法] 标．
1.直线过定点问题，可将直线中的参数赋值，解方程组得交点坐
2．直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查，考查直线方程的求 法以及直线间的位置关系等．注意数形结合思想、分类讨论思想的应用．
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[对点训练 1] (2017· 福建龙岩二模)已知 m，n 为正整数，且直线 2x＋(n－1)y －2＝0 与直线 mx＋ny＋3＝0 互相平行，则 2m＋n 的最小值为( A．7 C．11 B.9 D.16 )
【导学号：01772304】 A．y2－4x＋4y＋8＝0 C．y2＋4x－4y＋8＝0 B.y2＋2x－2y＋2＝0 D.y2－2x－y－1＝0
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(2)(2015· 全国卷Ⅱ)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交 y 轴于 M，N 两点， 则|MN|＝( A．2 6 C．4 6 ) B.8 D.10
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(2)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， D＋3E＋F＋10＝0， 则4D＋2E＋F＋20＝0， D－7E＋F＋50＝0， D＝－2， 解得E＝4， F＝－20.
∴圆的方程为 x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令 x＝0，得 y＝－2＋2 6或 y＝－2－2 6， ∴M(0，－2＋2 6)，N(0，－2－2 6)或 M(0，－2－2 6)，N(0，－2＋2 6)， ∴|MN|＝4 6.]
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x y [对点训练 2] (2017· 河北唐山二模)直线 l：4＋3＝1 与 x 轴、y 轴分别相交于 点 A，B，O 为坐标原点，则△OAB 内切圆的方程为__________． 【导学号：01772305】
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(x－1)2＋(y－1)2＝1 径为|m|.
2n 2 m m ·n ＝9.
2n 2m 当且仅当 m ＝ n 时取等号． ∴2m＋n 的最小值为 9.]
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重点 2
圆的方程
(1)若圆 x2＋y2－ax＋2y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 关于直线 y＝x－1 对称， 过点 C(－a，a)的圆 P 与 y 轴相切，则圆心 P 的轨迹方程为( )
[由题意，设△OAB 的内切圆的圆心为 M(m，m)，则半
x y 直线 l 的方程4＋3＝1 可化为 3x＋4y－12＝0， |3m＋4m－12| 由题意可得 ＝m，解得 m＝1 或 m＝6(不符合题意，舍去)． 2 2 3 ＋4 ∴△OAB 内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.]
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重点 1
( )
直线方程与两直线的位置关系
(1)(2017· 江西南昌模拟)直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0 过定点
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(2)(2017· 济南调研)一条光线从点(－2，－3)射出，经 y 轴反射后与圆(x＋3)2 ＋(y－2)2＝1 相切，则反射光线所在直线的斜率为( 5 3 A．－3或－5 5 4 C．－4或－5 3 2 B.－2或－3 4 3 D.－3或－4 )
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B [直线 2x＋(n－1)y－2＝0 与直线 mx＋ny＋3＝0 互相平行， ∴2n＝m(n－1)， ∴m＋2n＝mn， 2 1 又 m>0，n>0，得m＋n＝1.
2 1 2n 2 m ∴2m＋n＝(2m＋n) m＋n ＝5＋ m ＋ n ≥5＋2
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[规律方法]
求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求
圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用 到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中 垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
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(1)C (2)C [(1)由圆 x2＋y2－ax＋2y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 关于直线 y＝x－1 对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线 y＝x－1 上，故可得 a＝2， 即点 C(－2,2)． ∴过点 C(－2,2)且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2， 整理得 y2＋4x－4y＋8＝0.
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(1)C (2)D [(1)2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，
2x＋y＝7， 由 x＋y＝4， x＝3， 解得 y＝1，
则直线过定点(3,1)．
(2)由已知，得点(－2，－3)关于 y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射 光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．