第8章 多元函数微分法及其应用 第一节

1 ( x + y ) sin 2 0 < ε ,所以原结论成 x + y2 立.
2 2
sin(x y) 例3 求极限 lim . 2 2 ( x , y )→( 0,0) x + y
x2 y sin( x 2 y ) 解 原式 = lim , 2 2 2 ( x , y )→ ( 0 , 0 ) x y x +y sin( x 2 y ) u = x 2 y sin u lim lim 其中 = 1, 2 ( x , y )→ ( 0 , 0 ) u→ 0 u x y
n维空间中两点间距离公式 维空间中两点间距离公式 设两点为 P ( x1 , x2 ,L , xn ), Q ( y1 , y2 ,L , yn ),
| PQ |= ( y1 x1 ) 2 + ( y2 x 2 ) 2 + L + ( yn x n ) 2 .
便为数轴,平面, 特殊地当n=1,2,3 时,便为数轴,平面,空间 两点间的距离. 两点间的距离.
左图球面. 左图球面
z
2 2 2
D = {( x , y ) x + y = a }.
单值分支: 单值分支
z= a x y
2 2 2
o
x
y
z = a2 x2 y2 .
三,多元函数的极限
定义 设二元函数 z = f ( x , y ) 在聚点 P0 ( x0 , y0 ) 的某一
去心邻域内有定义, 去心邻域内有定义,如果存在常数 A, ε > 0 , δ > 0 , 对 只要 0 < ( x x0 ) + ( y y0 ) < δ , 恒有
2
xy + 1 1 xy lim 例5 ( x , y )→ ( 0 , 0 ) xy 2 xy = lim ( x , y )→( 0 , 0 ) xy ( 1 + xy + 1 xy ) 2 = lim =1. ( x , y )→( 0 , 0 ) 1 + xy + 1 xy
在一元函数的极限中, 的方式可以任意; 在一元函数的极限中, x → x0 的方式可以任意; 同理 在二元函数的极限中, 在二元函数的极限中, P ( x , y ) → P0 ( x0 , y0 ) 的方式更为 复杂, 复杂 ,它要求 P 以任何方式趋于 P0 时 , f ( x , y ) 均趋于
n维空间中邻域,区域等概念 维空间中邻域, 维空间中邻域 邻域: 邻域: U ( P0 , δ ) = P | PP0 |< δ , P ∈ R n
{
}
内点,边界点,区域,聚点等概念也可定义. 内点,边界点,区域,聚点等概念也可定义.
二,多元函数的概念
是平面上的一个点集, 设 D 是平面上的一个点集,如果对于每个点
x
对于点集 E 如果存在正数 K ,使一切点 P ∈ E 与某一定点 A 间的距离 AP 不超过 K , 即 AP ≤ K
y
o
成立, 为有界点集, 对一切 P ∈ E 成立,则称 E 为有界点集,否 则称为无界点集. 则称为无界点集.
{( 例如, 例如, x , y ) | 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4} y 有界闭区域; 有界闭区域;
y=0
轴考察, 沿 y 轴考察,
( x , y )→ ( 0 , 0 ) x =0
lim
f ( x, y) = 0 ,
但如果沿射线 y = kx (k ≠ 0) ,则
xy kx 2 k lim ≠ 0, 2 2 = lim 2 2 2 = 2 ( x , y )→ ( 0 , 0 ) x + y x →0 x + k x 1+ k y = kx
2 2
f ( x, y) A < ε ,
则称函数 z = f ( x , y ) 当 ( x , y ) → ( x0 , y0 ) 时以 A 为极 限 , 记为
( x, y)→( xபைடு நூலகம் , y0 )
lim
f ( x, y) = A .
说明: 说明:
的方式是任意的; (1)定义中 P → P0 的方式是任意的; ) (2)二元函数的极限也叫二重极限 )二元函数的极限也叫二重极限. (3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似. )二元函数的极限运算法则与一元函数类似.
所求定义域为
D = {( x , y ) | 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4, x > y 2 }.
二元函数 z = f ( x , y )的图形
二元函数的图形通常是一张曲面 二元函数的图形通常是一张曲面. 曲面
例如, 例如 z = sin xy 图形如右图. 图形如右图
x2 + y2 + z2 = a2 再如, 再如
P ( x , y ) ∈ D ,变量
z
按照一定的法则总有确定的
值和它对应, 的二元函数, 值和它对应,则称 z 是变量 x, y 的二元函数,记为
z = f ( x , y ) (或记为 z = f (P ) ).
类似地可定义三元及三元以上函数. 类似地可定义三元及三元以上函数.
元函数统称为多元函数. 当 n ≥ 2 时, n 元函数统称为多元函数
U ( P0 , δ ) = { P | PP0 |< δ }
2 2
δ
P0
= { ( x , y ) | ( x x 0 ) + ( y y0 ) < δ } .
邻域, 点 P0 的去心 δ 邻域,记作 U ( P0 , δ ) ,即
o
U ( P0 , δ ) = { ( x, y) 0 < ( x x0 ) + ( y y0 ) < δ }
A.因此,假如 P 以不同的方式趋于 P0 时, f ( x , y ) 趋于不 因此, 同的极限, 时无极限. 同的极限 , 则说明 f ( x , y ) 当 P → P0 时无极限 .
确定二重极限不存在的方法: 确定二重极限不存在的方法: 不存在的方法
(1) 令 P ( x , y ) 沿 y = kx 趋向于 P0 ( x0 , y0 ) , 若极限值 有关,则可断言极限不存在; 与 k 有关,则可断言极限不存在; lim f ( x, y) 存在 (2) 找两种不同趋近方式,使 找两种不同趋近方式, 存在,
C = { ( x, y) x + y < r }
2 2 2
o
r
x
(1) 邻域 平面上的一个点, 设 P0 ( x 0 , y 0 ) 是 xoy 平面上的一个点,δ 是某一 正数, 正数 , 与点 P0 ( x 0 , y 0 ) 距离小于δ 的点 P ( x , y ) 的全 邻域, 体 , 称为点 P0 的δ 邻域 , 记为 U ( P0 , δ ) ,
2 2
P
即为开集. 即为开集.
E
的点, 如果点 P 的任一个邻域内既有属 于 E 的点, 的点( 也有不属于 E 的点(点 P 本身可以属于 E ,也 ),则称 的边界点. 可以不属于 E ),则称 P 为 E 的边界点.
P
E 的边界点的全体称为 E 的边界. 的边界.
设 D 是开集.如果对于 D 内任何 是开集. E 两点, 起来, 两点,都可用折线连结 起来,且该折线 是连通的. 上的点都属于 D ,则称开集 D 是连通的.
( x, y )→( x0 , y0 )
但两者不相等, 但两者不相等 此时也可断言 f ( x , y ) 在点 P0 ( x 0 , y0 ) 处 极限不存在. 极限不存在.
xy 时的极限. 当 ( x , y ) → (0,0) 时的极限 . 例6 考察 f ( x , y ) = 2 2 x +y 解 沿 x 轴考察, lim 轴考察, ( x , y )→( 0, 0 ) f ( x , y ) = 0 ,
多元函数中同样有定义域,值域,自变量, 多元函数中同样有定义域,值域,自变量,因 变量等概念. 变量等概念.
arcsin( 3 x y ) 的定义域. 的定义域. 例1 求 f ( x , y ) = 2 x y
2 2
解
3 x2 y2 ≤ 1 x y2 > 0
2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 2 x > y
2 2
边界上的点都是聚点也都属于集合. 边界上的点都是聚点也都属于集合.
2. n 维空间 为取定的一个自然数, 设 n 为取定的一个自然数,我们称 n 元数组 ( x1 , x 2 ,L , x n ) 的全体为 n 维空间,而每个 n 元 维空间, 维空间中的一个点, 数组( x 1 , x 2 , L , x n ) 称为 n 维空间中的一个点, 个坐标. 数 x i 称为该点的第 i 个坐标 n 说明: 说明: n维空间的记号为 R ; 维空间的记号为
1 lim ( x + y ) sin 2 2 = 0 . 例2 求证 ( x, y )→(0,0) x +y 1 2 2 证 ( x + y ) sin 2 0 2 x +y 1 2 2 = x + y sin 2 2 x +y
2 2
≤x +y ,
2 2
ε > 0, δ = ε ,
当 0 < ( x 0) 2 + ( y 0) 2 < δ 时 ,
2
1 x y ≤ x x → 0 → 0 , 2 2 2 x +y
sin(x y) ∴ lim =0. 2 2 ( x , y )→(0,0) x + y
2
2
( xy ) / 2 1 1 cos( xy ) lim = lim = . 例4 2 2 ( x , y )→ ( 0 , 0 ) ( x , y )→( 0 , 0 ) ( xy ) 2 ( xy )