剖析数列极限的“ε-N”定义
数列极限的定义和判定方法
数列极限的定义和判定方法数列是数学中的重要概念，它在许多数学领域中都有广泛的应用。
在数列中，极限是一个关键的概念，它可以帮助我们更好地理解数列的变化趋势和性质。
本文将介绍数列极限的定义和判定方法，希望能够对读者有所帮助。
一、数列极限的定义数列的极限是指随着数列项的无限增加，数列的值逐渐趋近于一个常数。
数列极限的定义可以用以下形式来描述：对于给定的实数L，如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n大于N时，数列的项a_n满足不等式|a_n - L| < ε，那么我们说数列的极限为L。
在这个定义中，L表示数列的极限值，ε表示误差范围，N表示某个正整数。
二、数列极限的判定方法1. 数列极限的定义判定法根据数列极限的定义，我们可以通过判断数列是否满足定义来确定其极限。
具体步骤如下：（1）根据给定的极限值L和误差范围ε，找到对应的正整数N。
（2）验证对于任意大于N的整数n，数列的项a_n是否满足不等式|a_n - L| < ε。
（3）如果满足上述条件，则数列的极限为L；否则，数列不存在极限。
这种判定方法较为直接，但需要根据具体的数列和极限值进行具体的推导分析。
2. 数列极限的基本性质判定法数列极限的判定方法中，除了直接根据定义判断外，还有一些基本性质可以用来帮助判断。
以下是常用的基本性质：（1）有界性：如果数列有界，即存在一个常数M，使得对于所有的正整数n，都有|a_n| ≤ M，那么数列必存在极限。
（2）单调性：如果数列单调递增且有上界（或递减且有下界），那么数列必存在极限。
（3）夹逼准则：如果存在两个数列{a_n}和{b_n}，使得对于所有的正整数n，都有a_n ≤ c_n ≤ b_n，且数列{a_n}和{b_n}的极限都为L，那么数列{c_n}的极限也为L。
（4）递推公式：如果数列通过递推公式来定义，且递推公式能够收敛到一个常数L，那么数列的极限也为L。
根据上述性质，我们可以利用数列的特点和性质，通过分析数列的变化趋势来判定其极限。
数列极限的概念与计算
数列极限的概念与计算数列是数学中一个重要的概念，我们经常会遇到各种各样的数列，如等差数列、等比数列等。
而数列极限作为数学分析中的一部分，更是关乎着数列的收敛性和发散性。
本文将介绍数列极限的概念，并讨论一些常见的数列极限的计算方法。
一、数列极限的概念数列极限是指当数列的项数趋近于无穷大时，数列中的元素趋于某个确定的值。
具体来说，对于一个数列 {a_n}，当存在常数 L，对于任意给定的正数ε，都存在正整数 N，使得当 n > N 时，有 |a_n - L| < ε 成立，那么我们称数列 {a_n} 的极限为 L，记作 lim(n→∞) a_n = L。
在数列极限的定义中，ε 为我们所给定的精度，而 N 则是与ε 相对应的项数，当项数大于N 时，数列的元素与极限的差的绝对值小于ε。
也就是说，对于任意给定的精度ε，我们都可找到数列中的某一项，使其后的所有项与极限的差的绝对值都小于ε。
二、数列极限的计算方法在实际计算数列极限时，我们经常会遇到一些常见的数列类型，比如等差数列和等比数列。
下面将介绍两种常见数列的极限计算方法。
1. 等差数列的极限计算等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差值都相等，我们可以用公式 a_n = a_1 + (n-1) * d 来表示等差数列的通项公式，其中 a_1是首项，d 是公差。
对于一个等差数列{a_n}，我们可以通过取极限的方式计算其极限。
假设等差数列的首项为 a，公差为 d，我们可以推导得到：lim(n→∞)a_n = lim(n→∞) (a_1 + (n-1) * d) = a_1 + lim(n→∞) ((n-1) * d)。
根据极限的性质，我们知道当常数乘以一个趋于无穷大的量时，其极限仍为无穷大。
因此，可以得到lim(n→∞) ((n-1) * d) = ∞。
所以，等差数列的极限为a_1 + ∞，当a_1+∞ 为有穷数时，等差数列不存在极限；当a_1+∞ 为无穷大时，等差数列的极限为无穷大。
关于数列极限ε-N定义的教学方法研究
列 极 限 的描 述性 定 义 出 发 ， 过 分 析 得 出“ 限 增 大 ” “ 限 接 通 无 、无
这样 ． 使 学 生获 得 了 数列 极 限 的感 性 认 识 。 就
近 ” 精 确数 学 语 盲 ， 出数 列 极 限 的“— Ｎ 定 义” 再 通 过 剖 析 的 引 ｅ ．
数列 极 限 的 描述 性 定 义 是 对 数 列 极 限 的定 性 描述 ． 种 定 这 其 中各 量 之 间 的 内在 联 系 ， 到深 刻 理 解数 列 极 限 定义 的 目的 。 性描 述 对 学 生感 悟 数 列 极 限 无 疑 是 非 常 有 利 的 ， 这 种 定 义 中 达 但
在上面的问题中， 天后， 经过 剩余棰子的长度是寺 ， 且无
论 天 数 多 么多 ， 余 长 度都 不会 为 零 ， 当 无 限 增 大 时 ， 会 剩 但
越 来 越 无 限地 趋 于 零 ， ， ｏ 时 ， 即 。 有 一ｏ 。 为 了 给 出数 列极 限 的描 述 性 定 义 ， 们 不 妨 再 看 以下 几 个 我
， ｜
极 限理 论 至 关重 要 。
１
１
． ＋ （ １ ｎ ＝１ 一 ）
ｒ ｜ ｒ｜
的极 限 ， 将其 变 化 过 程 分 别 在 数 轴 上 表 并
２ 数列极 限的“—Ｎ定义” Ｅ
２ １ 数 列极 限 的描 述 性 定 义 ．
引 例 ，庄 子 ・ 下 篇 ” 中 的截 杖 问 题 ：一 尺 之 棰 ， “ 天 “ 日取 其 半 ， 世 不 竭 。 万 ”
数 Ａ；
问 ： 为 什 么 会“ 世 不 竭 ” ？这 个 过 程 会不 会 完 结 ？ ① 万 呢 ② 每 天 截取 后 剩余 长度 是 多 少 呢 ？
简析如何掌握极限的ε语言定义
简析如何掌握极限的ε语言定义作者：杨兆兰来源：《求知导刊》2015年第05期摘要：极限的ε语言定义是非常精准但又极其抽象的定义，本文从解不等式的角度出发，讨论了如何理解并掌握这种定义，为数学专业的初学者提供了一种思考的新角度，有助于学习者能巧妙而快速地应用ε语言定义求极限。
关键词：极限；ε-δ定义；不等式极限理论是微积分的理论基础，而极限的ε语言定义是从量化的角度给出了用数学解析式计算数列an（函数f（x））与某个常数A的依赖于自变量n（x）的距离的一种定义形式。
极限的ε语言定义中核心的是两个不等式及其之间的逻辑关系。
就不等式本身而言，其求解就是数学中比较难的一个环节，在极限的ε语言定义中涉及两个不等式，而计算的核心是由一个不等式出发求证另一个不等式的存在性，由于极限的语言定义的极度抽象，使得初学者对它的学习感到很难掌握。
本文从不等式出发，解析两个不等式之间的这种逻辑结构，给出它们之间更为清晰的关系以便初学者能快速地应用极限的ε语言定义解题。
一、数列极限的ε-N定义定义1 设{an}为数列，a为已知的常数，若对任意的ε>0，总存在正整数N，使得当n>N 时有|an-a|则称a为数列{an}的极限，记作liman=a。
在数列极限的ε-N定义中有两个不等式，即：n>N和|an-a|它们的逻辑关系是：任给ε>0，希望不等式|an-a|N时，在|an-a|中，将其中的n用不等式n>N右侧的N替换，就会推出不等式|an-a|基于数列极限ε-N这样的定义，有以下两个问题必须搞清楚：（1）能否找到使不等式|an-a|ε成立的n允许取值的下限N，即不等式n>N；（2）若能找到，如何找？对这两个问题的回答是理解和掌握数列极限的ε-N定义的关键。
事实上，一般情况下，这两个问题是在同一过程中解答的，为了找到使不等式|an-a|N，有两方面要去思考。
一方面，虽然n>N是使|an-a|ε成立的充分条件，但是为了更快地寻找线索，可以先假设|an-a|N作为|an-a|N，同时也即是问题所要的充分条件。
数列敛散性判定及求极限方法总结(老黄学高数第82讲)
设
=a，
=b.
记Sn=max{an,bn}，Tn=min{an,bn}，n=1,2,…
证明：(1)
=max{a,b}；(2)
=min{a,b}.
证：若a=b，则max{a,b}=min{a,b}=a，
记数列{Cn}：a1,b1,a2,b2…an,bn. 则
=a.
∵{Sn},{Tn}都是{Cn}的子列， ∴
(2)发散数列的ε-N定义： 设数列{an}，对任意的数a， 存在ε0>0，对任意的整数N>0，总有n0>N，使得 |an0-a|≥ε0，则{an}没有极限，称{an}为发散数列.
一、用定义判定： 2、数列极限与邻域相关的定义： 任给ε>0，若在U(a; ε)之外数列{an}的项 至多只有有限个，则称数列{an}收敛于极限a. (1)数列极限与邻域相关的否定定义： 若有ε0>0，使 {an}有无穷多项在U(a; ε0)之外， 则{an}不以a为极限。 (2)发散数列与邻域相关的定义： 若(1)中的a具有任意性，则{an} 是发散数列.
四、其它： 2、收敛数列前n项的算术平均数和几何平均数收敛； 3、利用极限e求相关数列的极限；
4、若an>0或an<0，且
…… 则{an}是无穷小数列.
五、发散数列的类型： 1、无界数列 (1)无穷大数列，如{n}, {(-1)nn}等； i 定向发散数列：包括 正无穷大数列，如{n}, 和负无穷大数列，如{-n}等； ii 不定向发散数列：如{(-1)nn}等. (2)无界非无穷大数列，如{n+(-1)nn}等；(不定向发散) 2、有界振荡数列，如{(-1)n}. 包含收敛于不同极限的子列，不定向发散.
二、数列收敛充要条件： 1、{an -a}为无穷小数列； 等价于{an}收敛于a. 2、{an}的任何非平凡子列都收敛； 且必收敛于同一极限. (1)若存在发散的非平凡子列，则{an}发散. (2)若存在极限不同的非平凡子列，则{an}发散.
关于数列极限“ε—N”定义的教学探讨
关于数列极限“ε—N”定义的教学探讨作者：赵文强张一进来源：《教育教学论坛》2017年第08期摘要：数列极限的“ε-N”定义是高等数学教学的起点也是难点，本文就概念的直观定义、抽象化处理等方面阐述了具体教学实践中的一些经验方法。
关键词：数列极限；存在；任意中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）08-0191-02极限概念是大学数学的基本概念，是微积分学的基础，是由静止到运动、由有限到无限的桥梁，体现了无限运动与无限逼近的思想，是高等数学的重要工具。
高等数学课程中的主要内容包括连续性、可微性、可积性等都是用极限语言定义和认知的。
因此，能否准确理解数列极限的概念，直接影响到整个高等数学知识的学习水平和数学能力的高低。
本文结合具体教学实践，就数列极限概念教学中应该把握的几个问题给以阐述。
一、实例引入，归纳数列极限的直观定义观察当n越来越大时，数列项的变化趋势：（1）xn=1+1/n，（2）xn=1+（-1）n，（3）xn=2n。
可以看出当自变量n越来越大时，上述数列有三种变化趋势：其一，数列（1）是单调减少越来越接近1。
其二，数列（2）只有两个数值0和2。
当自变量n越来越大时，xn的值在0和2之间来回摆动，无法趋于一个固定的数值。
其三，数列（3）当自变量n越来越大时，数列xn数值单调增加且趋于无穷远，无法与一个有限的数值接近。
第一变化趋势表明数列xn的极限存在，数值1为数列（1）的极限；第二和三种变化趋势的数列称为极限不存在。
这样我们就归纳出数列xn的极限是常数a的直观定义，即当n无限增大时，数列的项xn无限接近一个常数a。
二、直观定义抽象化上述直观定义不能解决数列极限及其相关的许多问题。
例如，直接观察可以得到数列xn=nsin（1/n）和xn=（1+1/n）n的极限吗？显然很困难。
因此，我们必须研究数列极限的精确定义，才能进一步获得极限的优良性质，然后利用它的性质去研究复杂数列极限的存在性。
数列极限的ε-N定义的解读(老黄学高数第49讲)
只要取N=2/ε或N=[2/ε]+1，
(1)当ε1=0.1时，取N1=20. (2)当ε2=0.01时，取N2=200. (3)当ε3=0.001时，取N3=2000.
设an =
，n=1,2,…，a=0.
(2)对ε1，ε2，ε3可找到相应的N，是否证明an趋于0？ 若不是，应该怎样做才对？
老黄学高数
第49讲 数列极限
ε-N定义的解读
(数列极限的ε-N定义)
设{an}为数列，a为定数. 若对任给的正数ε，总存在正整数N，
使n>N(或n≥N)时，有|an -a|<ε(或|an-a|≤ε)，
则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，
记作：
=a，或an→a(n→∞)，
读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”.
a+ε1 a
a-ε1
… …an…
注：
1、正数ε具有任意性，ε愈小表示an与定数a愈接近， ε可以任意地小，说明an与a可以接近到任何程度。 所以可以“不妨设ε小于某正数”， 不能“不妨设ε大于某正数”。
a+ε2 a
a-ε2
… …an…
注：
1、正数ε具有任意性，ε愈小表示an与定数a愈接近， ε可以任意地小，说明an与a可以接近到任何程度。 所以可以“不妨设ε小于某正数”， 不能“不妨设ε大于某正数”。
注：
1、正数ε具有任意性，ε愈小表示an与定数a愈接近， ε可以任意地小，说明an与a可以接近到任何程度。 所以可以“不妨设ε小于某正数”， 不能“不妨设ε大于某正数”。
a+ε0
a
… …an…
a-ε0
注：
浅谈用ε-N定义证明数列极限的教学体会
浅谈用ε－Ｎ定义证明数列极限的教学体会作者：姚元金来源：《现代职业教育》2020年第32期[摘要] 通过对数列极限的ε-N定义的教学，探讨了用ε-N定义证明数列极限的方法和技巧，以提高学生对极限定义的理解和掌握。
[关鍵词] ε-N定义;证明;数列极限[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2020）32-0212-02极限概念是高等数学和数学分析最基本的概念。
导数、微分、积分等重要概念都是在极限概念的基础上建立起来的，极限知识贯穿于整个高等数学和数学分析，它的应用非常广泛。
因此，学好极限就显得尤为重要，在高等数学和数学分析教学中极限概念的教学始终是重点，但也是难点。
本文通过对数列极限的ε-N定义的教学体会，探讨了用ε-N定义证明数列极限的方法和技巧，以加深学生对极限定义的理解和掌握。
一、要吃透数列极限的ε-N定义对数列极限ε-N定义，应从以下几方面加深理解：（一）ε的任意性（二）N的依赖性用ε-N定义证明数列极限，关键是求N，但N是依赖于ε的，必须先给出ε，然后才能确定N，一般有N随着ε的变小而变大，因此常把N写作Nε。
（三）N的不唯一性对N，强调N由ε所确定，即任给ε>0，一定存在N>0，即N的存在性。
但N不唯一，如N=50时能使当n>50时有-a0，只要找到一个满足条件的N即可，而不必求出这个最小的N。
二、要熟练掌握用ε-N定义证明数列极限的方法和技巧（一）用ε-N定义证明数列极限的方法a。
（二）用ε-N定义证明数列极限的技巧三、用ε-N定义证明数列极限参考文献：[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册第五版）[M].北京：高等教育出版社，2019：21-25.[2]黄立宏.高等数学（上册第五版）[M].上海：复旦大学出版社，2017：17-20.◎编辑武生智。
ε～n定义证明极限
ε～n定义证明极限
数列极限的ε-N定义是指：对于一个数列{an}，如果存在一个实数L，对于任意一个正实数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有∣an-L∣<ε，那么就称数列{an}收敛于L，记作：lim an=L（n→∞）。
其中，∣an-L∣表示数列{an}的第n项与L的差的绝对值，ε表示任意小的正实数，N表示从第N项开始，数列{an}的每一项都满足∣an-L∣<ε。
换言之，对于任意一个正实数ε，如果数列{an}从某一项开始，与极限L的差的绝对值始终小于ε，那么我们就称数列{an}收敛于L，且L是该数列的极限。
反之，如果对于数列{an}，不存在实数L满足上述条件，那么就称数列{an}发散，没有极限。
这个定义中的ε-N 定义可以用来判定一个数列是否收敛，并且可以通过不断缩小ε和增大N的值，逐步逼近数列的极限。
级数发散的ε-n语言
级数发散的ε-n语言摘要：一、引言1.级数发散的概念2.ε-n 语言的定义二、级数发散的ε-n 语言的性质1.稳定性2.右连续性3.左极限和右极限三、ε-n 语言在级数收敛性判断中的应用1.级数an 的收敛性判断2.级数an 的绝对收敛性判断3.级数的比较判别法四、ε-n 语言与其他收敛性判别方法的比较1.比值判别法2.根值判别法五、结论1.ε-n 语言在级数收敛性判断中的重要性2.ε-n 语言的局限性及发展方向正文：级数发散的ε-n 语言，是数学分析中一种描述级数收敛性的语言。
首先，我们需要了解级数发散的概念和ε-n 语言的定义。
级数发散是指当级数an 的项趋于无穷大时，级数an 的和大于一个确定的值。
而ε-n 语言，则是用来描述这种发散情况的。
具体来说，如果存在一个正数ε，使得对于任意正整数n，都有|an+1| < ε，那么我们就说级数an 是发散的，或者说是ε-n 发散的。
级数发散的ε-n 语言具有稳定性、右连续性、左极限和右极限等性质。
稳定性是指如果级数an 是ε-n 发散的，那么对于任意正数ε，级数an 都是ε-n 发散的。
右连续性是指如果级数an 是ε-n 发散的，那么对于任意正整数n，都有an+1 是ε-n 发散的。
左极限和右极限则是指如果级数an 是ε-n 发散的，那么对于任意正整数n，都有an 的左极限和右极限都是ε-n 发散的。
在级数收敛性判断中，ε-n 语言有着广泛的应用。
例如，我们可以用ε-n 语言来判断级数an 的收敛性。
如果级数an 是ε-n 收敛的，那么级数an 就是收敛的。
同样，我们也可以用ε-n 语言来判断级数an 的绝对收敛性。
如果级数an 是ε-n 绝对收敛的，那么级数an 就是绝对收敛的。
此外，我们还可以用ε-n 语言来判断级数的比较判别法。
如果级数an 是ε-n 发散的，那么级数an 的和小于一个确定的值。
ε-n 语言与其他收敛性判别方法相比，具有其独特的优势。
第二节 数列极限例子-1
lim xn = a ε > 0, N , n > N , 有|xn a |< ε
n →∞
lim xn ≠ a ε 0 > 0, N , n0 > N , 有|xn0 a |≥ ε 0
n →∞
语言证明 例7：用ε-N语言证明 ： 语言
1 lim[(1) + ]不存在. n →∞ n
n
n
1 证明：只需证 ∈ n→∞ 证明：只需证a∈R, lim[(1) + ] ≠ a. n
证明 因 ε >0, N = max{4,[1/ ε ]}, 当 n>N 时 有 为 ,
n2 n + 4 1 3 n4 1 = < <ε 2 2 2n + n 4 2 2 2n + n 4 n n2 n + 4 1 = 所以 lim 2 n →∞ 2n + n 4 2
分析: 3 n 2 nn 44 1 3 3 n n3 4 1 + < = 2 =2 < < ε <ε 2 2 22n n++ n 4 2 2 2n 2n 4nn n 2 n4 2 + 4 这是一个不易求解的绝对值不等式， 这是一个不易求解的绝对值不等式，必须使用放大法 对任意ε>0,取N=[1/ε 即可。 对任意ε>0,取N=[1/ε]即可。 为了去掉绝对值，不妨设n>4, n>4,则有 为了去掉绝对值，不妨设n>4,则有
4 2 ≤ a 3 xn a 3
所以对ε 要使 所以对ε>0,要使 ε
3 2 令 ε1 = a 3 ε 4
3
4 2 只需 a 3 xn a < ε， xn 3 a < ε ， 3
关于数列极限“ε-N”定义的教学探讨
关于数列极限“ε-N”定义的教学探讨
赵文强;张一进
【期刊名称】《教育教学论坛》
【年(卷),期】2017(000)008
【摘要】数列极限的“ε-N”定义是高等数学教学的起点也是难点,本文就概念的直观定义、抽象化处理等方面阐述了具体教学实践中的一些经验方法.
【总页数】2页(P191-192)
【作者】赵文强;张一进
【作者单位】重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067;重庆邮电大学理学院,重庆400065
【正文语种】中文
【中图分类】G642.41
【相关文献】
1.浅谈数列极限定义教学经验——抽象的定义通过做习题引入 [J], 冯永杰
2.关于数列极限定义的教学探讨 [J], 黄政明
3.如何用数列极限定义证明数列极限问题 [J], 罗威
4.数列极限定义的等价定义及其作用 [J], 王芳
5.运用数列的递推关系求数列极限的教学探讨 [J], 黄弋钊;欧阳菊
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
再论数列极限的“ε—N”定义
[2]纪春静，王彩芬，曹荣荣.从认识论和教学法谈数列极限定义[J].貴州师范学院学报，2013，29（09）：15-17.
[3]桂绍辉.基于数学语言数列极限定义的教学[J].赣南师范学院学报，2013，34（03）：95-98.
再论数列极限的“ε—N”定义
作者：黄民海
来源：《教育界·下旬》2017年第10期
【摘要】文章从学生的角度去考虑如何理解和掌握数列极限的定义，剖析在学习这一概念时产生的一些问题或疑惑，提高学生的认知度。
【关键词】数列极限；定义；应用
一、引言
数学分析的理论基础是极限理论，掌握好极限理论是学生真正地学好数学分析的前提和必要条件。数列极限的“”定义是极限理论非常重要的一个基本概念，是真正领会和理解极限理论的关键点。可以毫不夸张地说，只要掌握了数列极限的“”定义，数学分析的基础就扎实牢固了。然而，大多数学生对数列极限的定义都是一知半解，云里雾里，不知所云，学习中遇到许多问题，出现各式各样的错误，由此对后续有关理论内容的学习也造成了极大的影响，进而影响到整个数学分析课程的学习。随着大学教育的大众化和普及化，这种现象越来越明显。不少专家学者都曾撰文对这一概念进行过论述，然而大多数都是从教学的角度去阐述如何教好这一概念，笔者也曾发表过一篇类似的文章。本文试图从学生的角度去考虑如何理解和掌握这一重要的概念，剖析在学习这一概念时产生的一些问题或疑惑，提高学生的认知度。
[4]潘建辉，郑继明，李红刚.极限概念教学难点分析及其突破策略[J].高等教学研究，2014（05）：25-29.
[5]黄民海.剖析数列极限的“”定义[J].数学教学研究，2012，31（09）：62-66.
以两个诡辩问题解释数列极限的ε-N定义
以两个诡辩问题解释数列极限的ε-N定义
赵燕冰
【期刊名称】《河北建筑工程学院学报》
【年(卷),期】2008(026)002
【摘要】ε的"任意性"和N的"无穷性"是理解数列极限ε-N定义的关键所在,从两个诡辩问题实例出发阐述了ε-N定义中ε的"任意性"和N的"无穷性".
【总页数】2页(P127-128)
【作者】赵燕冰
【作者单位】张家口职业技术学院,张家口市,075000
【正文语种】中文
【中图分类】O172.1
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1.数列极限的两个等价定义 [J], 范大付;莫燚
2.浅谈数列极限定义教学经验——抽象的定义通过做习题引入 [J], 冯永杰
3.如何用数列极限定义证明数列极限问题 [J], 罗威
4.用定义证明数列的极限应注意的几个问题 [J], 丁长银
5.数列极限定义的等价定义及其作用 [J], 王芳
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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中图分 类号 ： ７ ；Ｇ ４ ０１２ ６ ２
数学分析是数学专业最重要 的一 门基础 的现象和结论是不能用有 限的思维理解 的，
课 ， 于学 生数 学思 想 的形 成 ， 继课 程 的学 也不能用静态的观点去看待． 对 后 然而， 作为客观
习都有着重要的意义． 数学分析是 以极限理 世界的一种存在形式 ，无穷” “ 世界里也有其
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１２ 数 列极 限 的几何 直观 。 何性 概念 ． 几
描述 性定 义 对学 生感 悟 数 列极 限非 常直 白 ， 于理 解 ， 这 种 定 义 中出 现 的 “ 限增 易 但 无
表 ２ Ｉ Ｉ ｎ 与 ａ 一ａ 的变化情况
大” “ 限趋 近” 、无 这样 的词 ， 十分 含糊 不 明确 ， 缺乏 数 学 的严 密 性 ， 利 于对 数 列 极 限进 行 不
０ １ ２ ３ ４
图 ２ 数列 一
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数列极限的几何直观可用数学语言表述
为： 当 无限增大时， 限接近于口等价于 ａ无 根据这一定 义 ， １中前两个数列 的极 当 ， 表 ｚ 无限增大时 ， 与的ａ距离 Ｊ 一ｎ 无限 ａ 口 Ｉ 限为 Ｏ后两个数列 的极 限为 １ ， ． 接近 于 ０这 也可 以从 表 ２中看 出． ．
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数 学教学研究
第 ３ 卷第 ９ １ 期
２１ 年 ９ ０２ 月
剖 析 数 列极 限 的“ Ｎ” 义 定
黄 民海
（ 肇庆学院 数学与信息科学学院 ，广东 肇庆
摘
５６６） ２０ １
要： 分层次、 多角度 全面剖析 数列极 限的“－ 定义 ， ￣ Ｎ” 一一揭开其本质的含义．
关键 词 ： 列 极 限 ； ” 义 ； 面 剖 析 数 “Ｎ 定 全
４
：
ห้องสมุดไป่ตู้●
当建立数轴后 ， 实数集里 的数 与数轴 上 的点建立 了一一对应关系． 数列 ｛ 可看作 ａ） 是数轴上的点列 ， 常数 ａ看作是 数轴上的定
点 ， 着 无 限增 大 ， 列 的项 ａ 随 数 的变 化 趋 又 ， 咒无 限增 大 时 ，ａ 一ａＩ 限 接 近 当 Ｉ 无
尺之棰 ， 取 其半 ， 日 万世不竭．其含义就 ”
是说 把一根 长 为一 尺 的木棒 ， 天 截去 一半 ， 每
这样 的过程可以无 限制地进行下去． 将每天 截下 的长度列出就得到数列
秘面纱 ， 为这一概念的教与学提供更全面 的
参考 ． Ｉ 从概念 形成 过程 理解“ Ｎ” 义 定
序排列， 无穷性 是指 这样 的排列 没有穷尽．
｛丢 ） ＋ ） 化 Ⅱ１ （ ）＇ 的 趋 表 一 ｛ １ 变
“ 穷” 一个 看 不 见摸 不 着 的世 界 ， 无 是 有许 多 所示．
收 稿 日期 ：０２ ０ —７ ２ １ —７ ２
第 ３ 卷第 ９期 １
２１ ０ ２年 ９ 月
夸张地说 ， 不能真正理解数列极限的“－ 定 们首先从这一概念的形成过程来循序渐进地 ｅ Ｎ” 义， 就肯定学不好数学分析 ， 如何强调这一概 认识和理解这一定义． 念的重要性都不为过． 仁者见仁智者见智 ， 多 １１ 数 列极 限 的感性 认识 ， 述性概 念 ． 描 年来许多作者都 曾对这一概念的教学进行过 首先看一个生动的例子 ： 战国时代哲学 分析（ 例如［ —］ ． 而， １５ ）然 在当今大众化的教
育 背 景下 ， 通 高 校 学 生 的 整 体水 平 有 了 明 普
家庄周所著的《 庄子一 天下篇》 引用过一句话 ：
“
一
显的下降 ， 因而， 有必要对这一概念作更全面
细致 的分 析 ， 以便使 当下 学 生 能理 解并 掌 握． 笔 者根据 多 年 的数 学分 析 教学 经验 ， 层 次 、 分 多角 度 地深 入 剖 析 ， 一 揭 开 这 一概 念 的神 一
｛｝ ，，． ， ’ 参：击１． … 丢 ・ ． ，， 击
容易看出， 当天数无 限增加时 ， 截下木棒 的长 度无限地接近于 ０ ．
再 看 看 以 下 几 个 数 列
按一定次序排列 的一列数称为数列． 数 列有两个明显的特点 ： 有序性和无穷性． 有序
性是指数列按照 自 然数的顺序由小到大的次
数学教学研究
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表 １ 数 列的变化趋势
不难得 出 ， 随着 天 数 的无 限增 大 ， 木棒 剩 余 的长 度无 限地 接近 于 ０ ．
数 列极 限 也 可 以从 直 角 坐标 系 中点 （ ，
口） 的变 化来 形 象 反 应 ． 如 数列 ｂ 例 ｎ
，
通过 观察 不难 发现 ， 当 无 限增 大时 ， 数列 的值 对应 的点 无 限趋 近 于 １如 图 ２所示． ，
‘ 口
１
通过观察易知 ， 无限增大时， 当 前两个 数列的项无 限趋 近于 ０ 后 两个数列 的项无 ， 限趋近于 １ 归纳 以上这些数 列 的共 同特征 ． 就得到数列极限的描述性定义 ： 当项数 ， 限增大时 ， ｚ 无 如果数列 ｛ 的 ａ） 项 ａ 无 限趋 近于一个确定 的常数 ａ 那 么 ａ ， 就 叫做这个数列 的极 限．