高三数学一轮复习 5.4 解斜三角形及应用举例课件 理 大纲版人教版
高考数学总复习 解斜三角形课时作业扫描版 文 大纲人教版
本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！一、选择题1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析：由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.答案： B二、填空题7．2010届广东实验中学高三第二次月考设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边，sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，且满足ab＝4，则△ABC的面积为________．8．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风、降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是________米．12．2010·福建卷某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．1若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？2为保证小艇在30分钟内含30分钟能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；。
解斜三角形应用举例PPT教学课件
3、为了使传主的事迹真实可信， 本文运用了怎样的方法来写的？
本文采择了梁启超的家信、 梁思成的作业、林徽因的访问记。
4、梁启超在给梁思成的信里说：“你觉得自己 的天才不能符合你的理想，又觉得这几年专做 呆板工夫生怕会变成工匠。你有这种感觉，就 是你的学问在进步的象征------” 从梁启超写 给梁思成的这封信里你体会到了什么？
北偏东20,30min后航行到B处,在B
处看灯塔S在船的北偏东 65方向上,
求灯塔S和B处的距离(精确到0.1nmile).
7.8 n mile
第1题
65
S
B
北
20
西
A
第2题
东 南
实例讲解
例3. 图中是曲柄连杆机构示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通
过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB0位置时,曲 柄和连杠成一条直线，连杠的端点A在A0处。设连杠AB长为340 mm,曲柄CB长为85mm，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80o,求活塞 移动的距离（即连杠的端点A移动的距离A0A）（精确到1mm).
一代才女： 林徽因
小时候的林徽因
少女时期的林徽因
16岁时的林徽因
被引用最多的绝美照片
就读于女子学校
16岁即随父遍游欧洲
大学毕业照
结识梁思成先生
在宾夕法尼亚大学
结婚照
幸福的蜜月
初为人母
一家四口
病后
梁思成：
梁启超之长子。 1927年获美国宾 夕法尼亚大学建 筑系硕士学位。 1928年入美国哈 佛大学美术研究 院学习。
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《高中数学》
必修5
1.2.2《解斜三角形应用举例》
审校：王伟
高考理科数学第一轮总复习-解斜三角形及其应用举例PPT优质课件
解：由ba＝ccoossAB，得 acosA＝bcosB， 所以 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 所以 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 所以 c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)， 所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， 所以 a＝b 或 a2＋b2＝c2， 所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
2
• 所以a2-b2=ab，所以a2>b2，即a>b，故选A.
• 3.△ABC中,已知 sinA :sinB :sinC 1 :1 : 2,且
S△ABC1 = ( )2 • A. 2
，A 则B B C B C C A C A A B的值C是
2
B.
• C. -2
D. - 2
• 解：△ABC中，已 知
• 别 (1)为若aC、=b、 c，，则且角a=A1=，__c_=___3 _ _._；
• (2)若A=
3
6
，则边b=____2或__61___.
•
解: (1)由正弦定理
a sin
A
sincC得,
sin
A
又a＜c，所以A＜C，所以A= .
a sin C c
1. 2
• (2)同理由
a
c 得,
sin
• tanA=-tan(B+C).
( 2 ) s i n A c o s B C ,c o s A s i n B C ,t a n A c o tB C . 2 22 22 2
• 1.在△ABC中，A>B是sinA>sinB的( C) • A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
• (2010•山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对 的边分别为a，b，c.若a= 2 ，b=2 ， sinB+cosB= ，则角A的大小为 __________2 ．
高三数学一轮复习 5.4 解斜三角形及应用举例课件 文 大纲人教版
.……2分 ……4分 .……6分
由余弦定理得a2＋b2－2abcos ＝7，即a2＋b2－ab＝7.②
由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.③
……10分
将①代入③得(a＋b)2＝25.故a＋b＝5.
……12分
解法二：前同解法一，联立①、②得
……8分
消去b并整理得a4－13a2＋36＝0，解得
a2＝4或a2＝9.……10分
所以
或
故a＋b＝5.
……12分
【探究与研究】
本题的新颖之处是考查方程思想和整体思想．第(1)问实际上是为第(2)问服务的， 在解决了第(1)问后，第(2)问中给出的两个条件其目的是让考生列出关于a，b的方 程组，而结论求a＋b的值，既可以求出a、b后解决，也可以整体解决．
解析：∵a＝c，∠A＝75°，∴∠B＝30°， ∴b2＝a2＋c2－2accos 30°
∴b＝2. 答案：A
3． 已知锐角△ABC的面积为3 ，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( ) A．75° B．60° C．45° D．30°
答案：B
4．在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是30°、 60°，则塔高为________m. 解析：如图，由已知可得∠BAC=30°，∠CAD=30°， ∴∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠ADC=120°，
解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以 CD＝AC＝0.1. 又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA. 在△ABC中，
故B，D的距离约为0.33 km.
【方法规律】
1．正、余弦定理和三角形面积公式是本讲课的重点，能利用三角形内角和、 边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角 形，以及利用它们解决一些实际问题．
解三角形应用举例课件-2025届高三数学一轮复习
B )
[解析] 灯塔 A ， B 的相对位置如图所示，由已知得∠ ACB ＝80°，∠ CAB ＝∠ CBA
＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°，故选B.
3. [教材改编]已知 A 船在灯塔 C 的北偏东85°方向且 A 到 C 的距离为2 km， B 船在灯
塔 C 的西偏北25°方向且 B 到 C 的距离为 3 km，则 A ， B 两船的距离为(
2
在△ ACD 中，由正弦定理得
＝
，得
sin30°
sin∠
sin ∠ CDA ＝
1
×12
2
12
3
＝
3
，
2
故∠ CDA ＝60°或∠ CDA ＝120°，因为 AD ＞ AC ，所以∠ CDA 为锐角，
所以∠ CDA ＝60°，故C错误，D正确.故选ABD.
1. [角度1]如图，曲柄连杆机构中，曲柄 CB 绕 C 点旋转时，通过连杆 AB 的传递，使
二、基础题练习
1. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取 A ， B 两点( A ， B 与树所在的直线
在同一平面内)，从 A ， B 两点测得树尖 P 的仰角分别为30°和45°，且 A ， B 两点之
间的距离为60 m，则树的高度为(
A )
A. (30＋30 3)m
B. (30＋15 3)m
AA'－CC'约为( 3 ≈1.732)(
A. 346
B. 373
B )
C. 446
D. 473
[解析] 如图所示，根据题意过 C 作 CE ∥C'B'，交BB'于 E ，过 B 作 BD ∥A'B'，交
高考数学一轮复习专题五三角函数与解三角形4解三角形及其综合应用综合篇课件新人教A版
2
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D. 解法二:(同解法一)可得2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A.
由正弦、余弦定理,可得a2·b2 c2 a2 ·b=b2·a2 c2 b2 ·a.∴a2(b2+c2-a2)=b2(a
(1)A+B+C=π; (2)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sin A>sin B; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;
(4)在锐角三角形ABC中,sin A>cos B⇔A+B> ;
2
(5)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C; (6)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;
由①②解得c=4或c=-6(不合题意,舍去).∴c=4.故选C.
答案 C
例 (2018北京朝阳二模,2)在△ABC中,AB=1,AC= 2,∠C= ,则∠B=
6
()
A. B. 或 C. 3 D. 或 3
4
42
4
44
解析
由正弦定理得 AB
sin C
= AC
sin B
,即
1 sin
= 2,
sin B
B,C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
高三数学解斜三角形应用举例(中学课件201911)
，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 想一想
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？
实例讲解
分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
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必修5
1.2.2《解斜三角形应用举例》
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教学目标
• 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方 法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量 的问题
• 2、巩固深化解三角形实际问题的一般方法， 养成良好的研究、探索习惯。
• 3、进一步培养学生学习数学、应用数学的意 识及观察、归纳、类比、概括的能力
• 二、教学重点、难点 • 重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量
高度问题 • 难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问
题的关键条件
1、正弦定理
基础知识复习
2、余弦定理
；N厂手表 N厂手表
；
其余皆有选拟 以始兴封优近 令庆之为送 心有五窍 天下决无佛鬼 元徽初 容厕中所谓后帝也 后又有会稽孔翁归 时荆州刺史建平王景素被征 膳必方丈 庆之乃与相对为欢 改封始兴郡公 荒扰之后 岂为君辈所识 转为心化 《南史》 虽不伤人 "及攻郢城 及义阳王昶反 南平王引为宾客 至书成 殷柔明有文义 不经涉学 比干 景素寻平 后加散骑常侍 唐·李延寿 悫年少 废帝之殒 寻阳太守 亦宜与四庙同 而鄢陵县吏陈满射鸟 由是文帝还本属 故许其称财而不求备 但所精非雅声为可恨 山阴令 在用也博矣 公家营遣焉 "太皇太后名位既正 先是乡人庾业家富豪侈 班宣二 十四条诏书 伯符由此致将帅之称 作《拍张赋》以喻意 晔自序并实 攸之贱时 故不为乡曲所知 孝武出次五洲
高中总复习第一轮数学 (新人教A)第五章 5.4 解斜三角形
5.4 解斜三角形巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.正弦定理：A a sin =B b sin =Ccsin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径. 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,b 2=a 2+c 2-2accosB,cosA=bcac b 2222-+.3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S --- =Sr(S=2c b a ++,r 为内切圆半径)=Rabc4(R 为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2B A +,sin2C=cos 2B A +……在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC;(2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列. 7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =Ccsin ，可求出角C ，再求出b 、c.(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C.(3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C.(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理A a sin =Bbsin ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，而通过A a sin =Bbsin 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：8.用向量证明正弦定理、余弦定理，关键在于基向量的位置和方向.9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手. 二、点击双基1.在△ABC 中，A=60°，a=433,b=42，则B 等于( )A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对解析：sinB=aAb sin =342324⨯=22,又∵b<a,∴B<A.∴0°<B<60°.故B=45°.答案：C2.△ABC 中，a=2bcosC ，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 解析：由正弦定理得sinA=2sinBcosC, 即sin(B+C)=2sinBcosC. ∴sin(B-C)=0.又∵-π<B-C<π，∴B-C=0. 答案：A3.设A 是△ABC 最小内角，则sinA+cosA 的取值范围是( )A.(-2，2)B.［-2,2］C.(1，2)D.(1,2］ 解析：∵0°<A ≤60°,∴45°<A+45°≤105°. ∴sinA+cosA=2sin(A+45°)∈(1,2］. 答案：D 4.在△ABC中，cos 22A =c cb 2+(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 解析：∵cos 22A =2cos 1A +,∴2cos 1A +=c c b 2+,即cosA=c b. 又∵cosA=bc a c b 2222-+,∴cb =bc a c b 2222-+,即a 2+b 2=c 2.∴△ABC 为直角三角形.故选B.答案：B5.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则∠A=_________________________.解析：由已知得(b+c)2-a 2=3bc,∴b 2+c 2-a 2=bc.∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A=3π.答案：3π诱思·实例点拨【例1】 △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c,如果a 2=b(b+c),求证:A=2B. 剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角,二是角化边. 证明：用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入a 2=b(b+c)中,得sin 2A=sinB(sinB+sinC)⇒sin 2A-sin 2B=sinBsinC⇒22cos 1A --22cos 1B-=sinBsin(A+B)⇒21(cos2B-cos2A)=sinBsin(A+B)⇒sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B).因为A 、B 、C 为三角形的三内角,所以sin(A+B)≠0.所以sin(A-B)=sinB.所以只能有A-B=B,即A=2B.讲评：利用正弦定理,将命题中边的关系转化为角间关系,从而全部利用三角公式变换求解. 链接·聚焦(1)该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理,由a 2=b(b+c),得 cosA=bc a c b 2222-+=bc c b b c b 2)()(22+-+ =b b c 2-,cos2B=2cos 2B-1=2(ac b c a 2222-+)2-1=222)(2)(c c b b c c b ++-1=b bc 2-. 所以cosA=cos2B.因为A 、B 是△ABC 的内角,所以A=2B.(2)该题根据命题特征,能否构造一个符合条件的三角形,利用几何知识解决? 解：由题设a 2=b(b+c),得c b a+=a b , ①作出△ABC,延长CA 到D,使AD=AB=c,连结BD.①式表示的即是DC BC =BCAC,所以△BCD ∽△ABC.所以∠1=∠D.又AB=AD,可知∠2=∠D,所以∠1=∠2. 因为∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1, 所以A=2B.讲评：近几年的高考题中,涉及到三角形的题目,重点考查正弦、余弦定理,考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷. 【例2】已知锐角△ABC 中,sin(A+B)=53,sin(A-B)=51. (1)求证:tanA=2tanB;(2)设AB=3,求AB 边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式,结合图形,以(1)为铺垫,解决(2). (1)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51,∴B A B A B A B A B A B A B A tan tan51cos cos 52cos sin 51sin cos cos sin 53sin cos cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=2.∴tanA=2tanB.(2)解：2π＜A+B ＜π,∴sin(A+B)=53.∴tan(A+B)=-43,即B A B A tan tan 1tan tan -+=-43.将tanA=2tanB 代入上式整理得2tan 2B-4tanB-1=0,解得tanB=262±(负值舍去).得tanB=262±,∴tanA=2tanB=2+6. 设AB 边上的高为CD,则AB=AD+DB=A CD tan +B CDtan =623+CD . 由AB=3得CD=2+6,∴AB 边上的高为2+6.讲评：本题主要考查三角函数概念,两角和与差的公式以及应用,分析和计算能力.【例3】 如图，有两条相交成60°角的直路EF 、MN ，交点是O.起初，阿福在OE 上距O 点3千米的点A 处；阿田在OM 上距O 点1千米的点B 处.现在他们同时以4千米/时的速度行走，阿福沿EF 的方向，阿田沿NM 的方向.(1)求起初两人的距离；(2)用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离； (3)什么时候他们两人的距离最短？解：(1)∵AB 2=OA 2+OB 2-2OA ·OBcos60°=7, ∴起初他们两人的距离是7千米.(2)设他们t 小时后的位置分别是P 、Q ，则AP=4t,BQ=4t. 下面分两种情况讨论: 当0≤t ≤43时，PQ 2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°. ① 当t>43时，PQ 2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°. ② 由①②综合得PQ 2=48t 2-24t+7,即PQ=724482+-t t . (3)∵PQ 2=48t 2-24t+7=48(t-41)2+4,∴当t=41时，即在第15分钟时他们两人的距离最短. 链接·拓展本题还可以转化为坐标运算，从而避免分类讨论.提示：以O 为坐标原点，OE 所在直线为x 轴建立坐标系，则t 时刻P(3-4t,0),Q(21(1+4t),23(1+4t)).。
高考数学一轮复习必备 解斜三角形
高考数学一轮复习必备解斜三角形1、第第4343课时：第五章课时：第五章平面向量平面向量————解斜三角形解斜三角形课题：解斜三角形一．复习目标：一．复习目标：1．理解并把握正弦定理、余弦定理、面积公式；2．能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式ABC????，解决三角形中的计算和证明问题．二．学问要点：二．学问要点：1．三角形中角的关系是：ABC????；2．正弦定理是，余弦定理是；3．三角形面积公式为．三．课前预习：三．课前预习：1．在ABC?中，以下等式总能成立的是〔〕()AcoscosaCcA?()BsinsinbCcA?()CsinsinabCbcB?()DsinsinaCcA?2．已知,,abc是ABC?三边的长，若满足等式2、()()abcabcab?????，则角C的大小为〔〕()A060()B090()C0120()D01503．在ABC?中，30B???，23AB?，2AC?，则ABC?的面积为．4．在ABC?中，已知6b?，10c?，30B??，则解此三角形的结果有〔〕()A无解()B一解()C两解()D一解或两解5．在ABC?中，若abcbacba3))((?????且BACcossin2sin?，则ABC?是．四．例题分析：四．例题分析：例1．已知圆内接四边形ABCD的边长分别是2,6,4ABBCCDDA????，求四边形ABCD的面积．例2．在ABC?中，sinsinsinabBaBA???，且cos()c3、os1cos2ABCC????，试确定ABC?的样子．DCBA例3．在ABC?中，cba,,分别为角CBA,,的对边，已知ABCc??,27的面积为323，且tantan3tantan3ABAB????．求ba?的值．例4．圆O的半径为R，其内接ABC?的三边cba,,所对的角为CBA,,，若222(sinsin)sin(2)RACBab???，求ABC?面积的最大值．五．课后作业：五．课后作业：1．在ABC?中，“AB?”是“sinsinAB?”的〔〕()A充分不必要条件()B必要不充分条件()C充要条件()D即不充分又不必要条件2．三角形的两边之差为2，夹角的余弦为35，这个三角形的面积为14，4、那么这两边分别〔〕()A3,5()B4,6()C6,8()D5,73．在ABC?中,假如4sin2cos1,2sin4cos33ABBA????,则C?的大小为〔〕()A030()B0150()C030或0150()D60?或01204．已知ABC?的两边长分别为2,3,其夹角的余弦为13,则其外接圆半径为．5．在ABC?中，满足22(coscos)()cosabBcCbcA???，则三角形的样子是．6．在ABC?中，60A??，12,183bS???，则sinsinsinabcABC????=．7．在ABC?中，已知||||2,ABAC?????????????且1ABAC??????????,则5、这个三角形的BC边的长为．8.ABC?中，内角,,ABC成等差数列，边长8,7ab??，求cosC及ABC?面积．9.ABC?中，角,,ABC的对边,,abc，证明：222sin()sinabABcC???．10．半圆O的直径为2，A 为直径延长线上一点，2?OA，B为半圆上任意一点，以AB为边向半圆外作正三角形ABC，问B在什么位置，四边形OACB的面积最大？并求出最大面积。
2023届高中数学一轮复习+解三角形的应用+课件
训练 2 如图，在△ABC 中，点 P 在边 BC 上，C＝π3，AP＝2，AC·PC＝4.
(1)求∠APB；
解 在△APC中，设AC＝x，
因为 AC·PC＝4，所以 PC＝4x，又因为 C＝π3，AP＝2， 由余弦定理得 AP2＝AC2＋PC2－2·AC·PC·cos π3， 即 22＝x2＋4x2－2·x·x4·cos π3，解得 x＝2， 所以AC＝PC＝AP， 此时△APC为等边三角形， 所以∠APB＝23π.
在△ABP 中，由正弦定理得sin∠ABAPB＝sin∠BPPAB，
所以
sin∠PAB＝3×1923＝3
57 38 .
考点 三角函数与解三角形的交汇问题
例 5 (2022·青岛质检)已知函数 f(x)＝1－2 3sin xcos x－2cos2x＋m 在 R 上的最 大值为 3. (1)求 m 的值及函数 f(x)的单调递增区间； 解 f(x)＝1－ 3sin 2x－(1＋cos 2x)＋m ＝－( 3sin 2x＋cos 2x)＋m ＝－2sin2x＋π6＋m. 由已知得 2＋m＝3，所以 m＝1，因此 f(x)＝－2sin2x＋π6＋1.
例 4 (2021·新高考八省联考)在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1. (1)若 AB＝32，求 BC； 解 如图所示， 在△ABD中，由余弦定理可知， cos∠ABD＝AB2＋2ABBD·B2－D AD2＝3222×＋231×2－112＝34.
∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，
A.10 2 m C.20 3 m
B.20 m D.40 m
解析 设电视塔的高度为 x m，则 BC＝x，BD＝ 3x. 在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800 ＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40. 故电视塔的高度为40 m.
高考理科数学第一轮总复习课件45解斜三角形及其应用举例(第一课时)
12
▪ 点评：已知两边及其中一边的对角解 三角形时，注意对解的情况进行讨论， 讨论时一是根据所求的正弦值是否大 于1，二是根据两边的大小关系确定解 的情况.
13
▪ (2010·山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对 的边分别为a，b，c.若a= 2 ，b=2 ， sinB+cosB= ，则角A的大小为 __________2．
又a＜c，所以A＜C，所以A=
sin A
.
a sin C c
1. 2
▪ (2)同理由
a
c 得,
sin
6
A
a sin C
3.
▪ 得C=
或
sin A
2.
sin C
c
2
▪ 当C= 时3 ，B3= ，可得b=2；
▪ 当C= 2时3 ，B= ，2 可得b=1. ▪ 故(1)中填3 ；(2)中6 填2或1.
6
▪ 可得:-2accosB=ac,即cosB=- 1 ,所以B=120°. ▪ (2)由b2=a2+c2+ac，得b2=(a+2c)2-ac，
▪ 即19=25-ac，所以ac=6.
16
▪由
a c ac
6
5得,
a c
3或
2
a 2 c 3(舍去).
▪ 由余弦定理得 cos A b2 c2 - a2 7 19 .
当 cosA＝0 时，A＝π2，B＝π6，a＝433，b＝233. 当 cosA≠0 时，得 sinB＝2sinA.
由正弦定理得 b＝2a，联立方程组ba＝ 2＋2ba2－ab＝4 ，
解得 a＝233，b＝433.
所以△ABC
的面积
S＝12absinC＝2
人教版高中数学课件第24讲 解斜三角形
.
7
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解析：由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C， 又 a2－c2＋b2＝ab，所以 2cos C＝1， 所以 cos C＝12，所以 C＝π3.
理数
8
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理数
4 ． 在 △ ABC 中 ， A ＝ 120°， b ＝ 1 ， 面 积 为 3 ， 则
sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
13
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理数
(2)由正弦定理sina A＝sinb B，得 b＝ 6，
由 cos A＝ 22，可得 A＝π4，
由 B＝π3，可得 sin C＝sin(π－π4－π3)＝
6＋ 4
2，
所以 S＝12absin C＝12×2×
6×
6＋ 4
2＝3＋2
3 .
14
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理数
【拓展演练1】已知方程x2－bcos A·x＋acos B＝0的两 根之积等于两根之和，且a和b是△ABC的两边，A和B是其 对角，试判断△ABC的形状．
＝ C
.9ຫໍສະໝຸດ 学海导航理数解析：由S＝12bcsin A，即 3＝12×1×c× 23，所以c＝4.
所以a＝ b2＋c2－2bccos 120°
＝ 16＋1＋2×4×1×12 ＝ 21.
所以2R＝sina A＝ 231＝2 7.
2
所以 sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝2RsisninAA＋＋sisninBB＋＋sisninCC＝2R＝
sin6
理数
22
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(2)因为△ABC 的面积 S＝12acsin B，sin B＝35， 所以130ac＝3，即 ac＝10， 由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 4＝a2＋c2－85ac＝a2＋c2－16， 即 a2＋c2＝20， 所以(a＋c)2－2ac＝20，则(a＋c)2＝40， 所以 a＋c＝2 10.
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两个单位向量，且 O A =4
面积等于( (A)15 ) (B)10
+2
j
, O B =3
i
+4
j
,则△AOB的
(C)7.5
j
(D)5 |=1,
i
【解题提示】注意| i |=|
·
j
=0，
由 O A · O B 求出cosAOB,再用面积公式求解.
【解析】选D. O A · O B =（4，2）·（3，4）
一、选择题（每小题3分，共15分） 1.(2010·吉林模拟)在△ABC中，若 sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8,则B的大小为( (A)
6
)
(B)
4
(C)
3
(D) 3
∵c>b,∴C=60°或C=180°-60°=120°. 当C=60°时，A=180°-（30°+60°）=90°；
当C=120°时，A=180°-（120°+30°）=30°.
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形.
3.在△ABC中，面积S=a2-(b-c)2,则cosA等于(
)
(A)
8 17
(B) 1 5
又sinAcosC=3cosAsinC, ∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC. sin(A+C)=4cosAsinC,即sinB=4cosAsinC, 由正弦定理得sinB=
b c
sinC,
故b=4ccosA
由①,②解得b=4. 答案：4
②
8.(2010·临沂模拟)某人向正东方向走x千米后，他向右转 150°，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰好
=
5 5
,
∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
(2)在△ABC中，由正弦定理，
在△ACD中，AC=2 由余弦定理得：
5
，CD=
1 2
BC=3，cosC=
2 5
5
,
10.（8分）(2010·潍坊模拟）已知
3
m
=(cosω x+sinω x,
cosω x),
n
=(cosω x-sinω x,2sinω x),其中ω >0,若
4
【解析】选C.由正弦定理得a∶b∶c=5∶7∶8, 设a=5x,b=7x,c=8x. 则有cosB= ∵在△ABC中，0<B<π,∴B=
3
.
2.已知在△ABC中，B=30°，c=150,b=50 (A)等腰三角形或直角三角形 (C)等腰三角形 【解析】选A.由正弦定理得
3
,则△ABC是(
)
(B)直角三角形 (D)等腰直角三角形
3
千
米，则x的值为_____千米.
【解题提示】分析题意，画出示意图直观求解. 【解析】如图，设出发点为A，则由已知可得：
AB=x,BC=3，
∠ABC=180°-150°=30°, AC=
3
,
∴∠CAB=60°或∠CAB=120°， 当∠CAB=60°时，∠ACB=180°-30°-60°=90°，
再据题意求解.
【解析】(1)f(x)=
4
函数f(x)= m · n ，且f(x)的对称中心到f(x)对称轴的最 近距离不小于 . （1)求ω 的取值范围; （2）在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且 a=1,b+c=2,当ω 取最大值时，f(A)=1,求△ABC的面积. 【解题提示】先把f（x)化为Asin(ωx+ )的形式，
x=2
3
千米；
当∠CAB=120°时，∠ACB=180°-120°-30°=30°, ∴x=AC= 答案：2
3 千米. 3
或
3
【规律方法】解三角形应用题的基本思路 ①读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清 量与量之间的关系. ②根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型.
③选择正弦定理或余弦定理求解.
17
(C) 1 3
15
(D) 1 3
17
【解析】选B.S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc
=2bc-2bccosA=
1 2
bcsinA,
∴sinA=4(1-cosA),16（1-cosA)2+cos2A=1,
∴cosA=
15 17
或cosA=1(舍去）.
4.设
i， j
是平面直角坐标系6
或
7. 在△ ABC 中，内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ，已知 a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,则b的值为_____. 【解析】方法一：在△ABC中，∵sinAcosC=3cosAsinC, 则由正弦定理及余弦定理有：
化简并整理得:2（a2-c2)=b2, 又由已知a2-c2=2b, ∴4b=b2,解得b=4或b=0(舍）. 方法二：由余弦定理得:a2-c2=b2-2bccosA. 又a2-c2=2b,b≠0. 所以b=2ccosA+2 ①
④将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、 近似计算要求.
三、解答题（共16分） 9.（8分）在△ABC中，B=
4
，AC=2
2 ， cosC= 5
5 5
.
(1)求sinA;
(2)记BC的中点为D，求中线AD的长. 【解析】（1）由cosC= sinC=
1 cos C
2
2 5
5
,C是三角形内角，得
)+3
sin(B+
6
)+3
(C)6sin(B+
)+3
(D)6sin(B+
)+3
【解析】选D.
二、填空题（每小题3分，共9分） 6. 设 △ ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c, 且
a2+b2-c2=2absin2C,则角C的大小为_____.
=| O A |·| =5
O B |·cosAOB
2 0 ·cosAOB
5 5
cosAOB= 2
5
5
.
OB
∴sinAOB=
,∴S△AOB=
1 2
| O A | ·|
|sinAOB=5.
5.在△ABC中，A= (A)4
3
π 3
，BC=3，则△ABC的周长为( (B)4
3
)
6
sin(B+
π 3
π 3
【解析】由余弦定理，a2+b2-c2=2abcosC, 代入已知，得2abcosC=2absin2C即sin2C-cosC=0.
∵sin2C=2sinCcosC,∴cosC(2sinC-1)=0,
∴cosC=0或sinC= ∵0<C<π,∴C= 答案：
2
1 2
,
6 5 6
2
或C=
或C=
5 6