立体几何之外接球问题含答案
2022高考数学立体几何外接球专题(含解析)
知识梳理模型一、圆柱外接球结论：422h r R +=（R：外接球半径 h：圆柱高 r：圆柱底面半径）推导：模型一推广：（1）直棱柱422h r R += （h:圆柱的高 r:直棱柱底面外接圆半径 ）学 科 数学 教师姓名 教材版本 人教版新教材学生姓名所在年级上课时间课题名称外接球问题教学目标 1、圆柱和圆锥的外接球模型2、有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥外接球3、利用模型解决相关棱柱和棱锥外接球问题教学重点 教学难点（2）侧面为三角形，底面为矩形，侧面和底面垂直的四棱锥（3）侧棱垂直于底面的棱锥【2017深二模】已知三棱锥S-ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，则三棱锥的外接球的表面积为( )（A）64π（B）68π（C）72π（D）100π模型二、圆锥外接球结论：hh r R 222+=（R：外接球半径 h：圆锥高 r：圆锥底面半径）推导：模型二推广：（1）棱锥（上顶点在底面外心正上方）外接球hh r R 222+= （h:棱锥的高 r:棱锥底面外接圆半径 ）【2018深一模】如图，网格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）A．B．C．16πD．25π【2017全国一卷文 16】已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的表面积为______________．【2019 全国一卷理 12】已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A．B．C．D模型一、二总结题型：求几何体的外接球模型一： 422h r R += （圆柱模型） 模型二： h h r R 222+=（圆锥模型）适用于： 适用于：1、所有的圆柱、直棱柱 上顶点在底面外心正上方的棱锥2、侧棱垂直于底面的棱锥3、侧面为任意三角形，底面为矩形， 且侧面垂直于底面的四棱锥模型三、有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ，球心在公共斜边的中点处如下图，∠ABC=∠ADC=90°，则O 为外接球球心1、在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A. π12125B.π9125C.π6125D.π31252.三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O的球面上，且SA AC SB BC ====4SC =，则该球的体积为A 2563πB 323π C 16π D 64π专题练习类型一 构造法（补形法）【例1】已知是球上的点， , ， ,则球的表面积等于________________．【例2】【辽宁省鞍山一中2019届高三三模】刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．3πD ．4π,,,S A B C O SA ABC ⊥平面AB BC ⊥1SA AB ==BC =O【举一反三】1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为A．B．C．D．2、【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥S−ABC中，，则三棱锥S−ABC外接球的表面积为（）A．25ΠB．C．50ΠD．3、【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）A．7πB．8πC．9πD．10π类型二 正棱锥与球的外接【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ． B ． C ． D ．【举一反三】1、球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大值为( )A .33 B . 3 C ．2 3 D ．42. 【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD 的体积为，则正四面体ABCD 的外接球的体积为______．814π16π9π274π3、【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥P −ABC 中，√2PA =AB =4√2，点E 在棱PA 上，且PE =3EA .正三棱锥P −ABC 的外接球为球O ，过E 点作球O 的截面α，α截球O 所得截面面积的最小值为__________．类型三 直棱柱的外接球【例4】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,， 则此球的表面积等于 .【举一反三】1、【云南省2019年高三第二次统一检测】已知直三棱柱的顶点都在球O 的球面上，AB =AC =2，BC =2√2，若球O 的表面积为72Π，则这个直三棱柱的体积是（ ） A ．16 B ．15C ．D ．2、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,,,,则球的半径为（）A B ． C．D ．3、 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最111ABC A B C -12AB AC AA ===120BAC ∠=︒111ABC A B C -O 34AB AC ==，AB AC ⊥112AA =O 1321111ABCD A B C D -R值，为 .答案与解析类型一 构造法（补形法）【例1】已知是球上的点， , ， ,则球的表面积等于________________． 【答案】 【解析】由已知S,A,B,C 是球O 表面上的点，所以 ，又，，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC 三边长为长方体的外接球的半径，因为， ,所以，所以球的表面积.【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解.长方体的外接球即为该三棱锥的外接球.【例2】【辽宁省鞍山一中2019届高三三模】刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．3πD ．4π,,,S A B C O SA ABC ⊥平面AB BC ⊥1SA AB ==BC =O 4πOA OB OC OS ===SA ABC ⊥平面AB BC ⊥S ABC -1SA AB ==BC =22,1R R ==O 244S R ππ==【答案】B【解析】由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球，由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，∴长方体的对角线为，∴外接球的半径为，∴外接球的体积为.故选：B．【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可.【举一反三】1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，将直三棱柱补充为长方体，则该长方体的体对角线为，设长方体的外接球的半径为R，则2R=4，R=2,所以该长方体的外接球的体积，故选C.2、【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥S−ABC中，，则三棱锥S−ABC外接球的表面积为（）A．25蟺B．C．50蟺D．【答案】C【解析】解：如图，把三棱锥S−ABC补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为，则，∴三棱锥外接球的半径∴三棱锥S−ABC外接球的表面积为．故选：C．3、【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）A ．7πB ．8πC ．9πD ．10π 【答案】C 【解析】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为，从而外接球的表面积为9π.故答案为：C.类型二 正棱锥与球的外接【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．814π16π9π274π【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外接球的球心，构造直角三角形，利用勾股定理求半径. 【举一反三】1、球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大值为( )A .33 B . 3 C ．2 3 D ．4 【答案】A【解析】 (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球的对称性可知，当S 在“最高点”，即H 为AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥S -ABC 的体积最大．学科*网因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝233.在Rt △SHO 中，OH ＝12OC ＝33，所以SH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝1， 故所求体积的最大值为13×34×22×1＝33.2. 【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD 的体积为，则正四面体ABCD 的外接球的体积为______． 【答案】【解析】 解：如图，设正四面体ABCD 的棱长为x ，过A 作AD ⊥BC ， 设等边三角形ABC 的中心为O ，则AO =23AD =√33x ，，，即x=√2a．再设正四面体ABCD的外接球球心为G，连接GA，则，即．∴正四面体ABCD的外接球的体积为.故答案为：．3、【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥P−ABC中，√2PA=AB=4√2，点E在棱PA上，且PE=3EA.正三棱锥P−ABC的外接球为球O，过E点作球O的截面α，α截球O所得截面面积的最小值为__________．【答案】3π【解析】因为PA=PC=PB=4,AB=AC=BC=4√2，所以PA2+PC2=AC2，所以∠CPA=π2，同理∠CPB=∠BPA=π2，故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球O，直径为正方体的体对角线，故2R=4√3，设PA的中点为F，连接OF，则OF=2√2且OF⊥PA，所以OE=√8+1=3，当OE⊥平面α时，平面α截球O的截面面积最小，此时截面为圆面，其半径为√(2√3)2−32=√3，故截面的面积为3π．填3π．类型三 直棱柱的外接球 【例4】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,， 则此球的表面积等于 . 【答案】【解析】在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径. 【举一反三】1、【云南省2019年高三第二次统一检测】已知直三棱柱的顶点都在球O 的球面上，AB =AC =2，BC =2√2，若球O 的表面积为72蟺，则这个直三棱柱的体积是（ ） A ．16 B ．15 C ．D ．【答案】A 【解析】 由题，，因为AB =AC =2，BC =2√2，易知三角形ABC 为等腰直角三角形， 故三棱柱的高故体积V =12脳2脳2脳8=16 故选A111ABC A B C -12AB AC AA ===120BAC ∠=︒ABC ∆2AB AC ==120BAC ∠=︒BC =ABC ∆O 'O RT OBO '∆R =2420R ππ=2、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由球心作面ABC 的垂线，则垂足为BC 中点M.计算AM=，由垂径定理，OM=6，所以半径,选C.3、 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为 . 【答案】大111ABC A B C -O 34AB AC ==，AB AC ⊥112AA =O 213252132=1111ABCD A B C D -R。
立体几何高考专题--外接球的几种常见求法
立体几何高考专题--外接球的几种常见求法高三微专题：外接球在立体几何中，外接球问题是一个重点和难点。
其实质是确定球心O的位置和使用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r可根据正弦定理求得）。
一、由球的定义确定球心在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。
简单多面体外接球问题是立体几何中的重点和难点。
二、球体公式球的表面积公式为S=4R²，球体积公式为V=4/3R³。
三、球体几个结论：1）长方体、正方体外接球直径等于体对角线长。
2）侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心。
3）直径所对的球周角为90°（大圆的圆周角）。
4）正三棱锥对棱互相垂直。
四、外接球几个常见模型1.长方体（正方体）模型例1：长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为14。
练1：体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为12。
2.正棱锥（圆锥）模型对于侧棱相等，底面为正多边形的正棱锥，其外接球的球心位置位于顶点与底面外心连线线段（或延长线）上。
半径公式为R²=(h-R)²+r²（其中R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理a=2rsinA求得）。
例2：已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为h，体积为V，则这个球的表面积为____。
正四棱锥的高为h，体积为V，易知底面面积为，底面边长为。
正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为，得，在中。
由勾股定理，所以球的表面积为。
练2：正三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于。
解析：ABC外接圆的半径为，三棱锥S-ABC的直径为2R=，外接球半径R=，外接球体积V=4/3R³=。
对于侧棱与底面垂直的直棱柱和圆柱，其外接球的球心位置在上下底面外心连线中点处。
立体几何之外接球问题含答案
立体几何之外接球问题一讲评课1课时总第课时月日1、已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为( ? )A. B. C. D.2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（??）A.B. C.D.3、已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( ? ?)A. B. C. D.4、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（?）A.B. C.D.5、已知都在半径为的球面上，且，，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（）A. B.C. D.6、某几何体的三视图如图所示，这个几何体的内切球的体积为（? ）A.B.C. D.7、四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（?）A. B. C. D.8、一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( ? )A.B. C.D.9、一个棱长都为的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( ?)A.B.C. D.10、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为( ? )A. B. C. D.立体几何之外接球问题二讲评课1课时总第课时月日11、若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为__________.12、底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________.13、底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则棱长均为的正三棱柱外接球的表面积为__________.14、若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则__________. 15、若一个正方体的表面积为，其外接球的表面积为，则__________. 16.已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角为，则球的表面积为__________． 16、在三棱锥中,平面，，，,则此三棱锥外接球的体积为__________18、底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为__________.17、三棱柱的底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为，则三棱柱的最大体积为__________.20、一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则这个球的表面积为__________.立体几何之三视图问题1讲评课 1课时 总第 课时 月 日3、一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积是( ) A. B. C. D.4、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（??? ） A.B.C.D.5、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ? ?）A.B.C.D.6、某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（?? ） A. B. C.D.7、多面体的底面矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为( ???) A.B.C.D.8、某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（?? ） A.B.C.D.9、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积的最大值是（?? ） A. B.C. D. 10、一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积是（?? ）A.B.C.D.11、若某空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（?? ） A.B.C.D.12、某几何体三视图如下图所示，则该几何体的体积是（?? ）D.A. B. C.13、一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积为（?）A. B.C. D.14、已知一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是等腰梯形，则该几何体的体积为（?）A.D.B. C.15、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的体积为（?）C. D.A. B.立体几何之三视图问题2讲评课1课时总第课时月日16、某长方体的三视图如右图，长度为的体对角线在正视图中的长度为，在侧视图中的长度为，则该长方体的全面积为__________.17、一个空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为__________.18、一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积__________．19、已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示（单位：）,则该四棱锥的体积为__________.20、一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________.21、已知一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________.22、某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是正方形，则该三棱锥最长棱的长是__________.23、一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为____．24、2016年11月18日13时59分，神舟十一号飞船返回舱在内蒙古中部预定区域成功着陆. 神舟十一号载人飞行，是我国迄今为止时间最长的一次载人航天飞行，在轨33天飞行中，航天员景海鹏、陈冬参与的实验和实验多达38项. “跑台束缚系统”是未来空间站长期飞行的关键锻炼设备，本次任务是国产跑台首次太空验证. 如图所示是“跑台束缚系统”中某机械部件的三视图（单位：），则此机械部件的表面积为__________.25、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________．立体几何之外接球问题答案解析第1题答案C第1题解析如图所示，∵，∴为直角，即过的小圆面的圆心为的中点，和所在的平面互相垂直，则圆心在过的圆面上，即的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径，球的表面积为，故选．第2题答案B第2题解析设球心为，设正三棱柱上底面为，中心为，因为三棱柱所有棱的长都为，则可知?，，又由球的相关性质可知，球的半径，所以球的表面积为，故选.第3题答案C第3题解析如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选.第4题答案D第4题解析该几何体为三棱锥,设球心为，分别为和的外心，易求得,，∴球的半径，∴该几何体外接球的表面积为．第5题答案B第5题解析∵，∴，∴圆心在平面的射影为的中点，∴，∴．∴，当线段为截面圆的直径时，面积最小，∴截面面积的最小值为.第6题答案C第6题解析此几何体是底面边长为，高为的正四棱锥，可算出其体积为，表面积为. 令内切球的半径为，则，从而内切球的体积为，故选C.第7题答案B第7题解析由题意可知四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的直径，且四棱锥的高半径，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为?，于是,，进而球的体积. 故选.第8题答案B第8题解析由题可知该三棱锥为一个棱长的正方体的一角，则该三棱锥与该正方体有相同的外接球，又正方体的对角线长为，则球半径为，则. 故选.第9题答案A第9题解析如图：设、为棱柱两底面的中心，球心为的中点.又直三棱柱的棱长为，可知，，所以，因此该直三棱柱外接球的表面积为，故选.?第10题答案D第10题解析此几何体是三棱锥，底面是斜边长为的等腰直角三角形，且顶点在底面内的射影是底面直角三角形斜边的中点.易知，三棱锥的外接球的球心在上.设球的半径为，则，∵，∴，解得：，∴外接球的表面积为.第11题答案第11题解析过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆⊙和外切圆⊙，且两圆同圆心，即的内心与外心重合，易得为正三角形，由题意⊙的半径为，∴的边长为，∴圆锥的底面半径为，高为，∴．第12题答案第12题解析设球心为,正三棱柱的上下底面的中心分别为，，底面正三角形的边长为，则，由已知得底面，在中，,由勾股定理得，故三棱柱体积，又，所以，则.第13题答案第13题解析底面正三角形外接圆的半径为，圆心到底面的距离为，从而其外接圆的半径，则该球的表面积.第14题答案第14题解析设正四面体棱长为，则正四面体表面积为，其内切球半径为正四面体高的，即，因此内切球表面积为，则.第15题答案第15题解析设正方体棱长为，则正方体表面积为，其外接球半径为正方体体对角线长的，即为，因此外接球表面积为，则.第16题答案第16题解析设正的外接圆圆心为，易知，在中，，故球的表面积为.第17题答案第17题解析根据题意球心到平面的距离为，在的外接圆的半径为，所以球的半径为,所以此三棱锥的外接球的体积为,所以答案为:.第18题答案第18题解析设所给半球的半径为，则棱锥的高，底面正方形中有，所以其体积，则，于是所求半球的体积为.第19题答案第19题解析依题意,外接球的表面积为,所以.如图所示,三棱柱外接圆球心为,设,在直角三角形中,所以.三棱柱的体积为,当且仅当时取得最大值.第20题答案第20题解析由已知可得长方体的体对角线为球的直径：,所以.所以球的面积为.。
立体几何小题之外接球大全(1)
立体几何小题之外接球50道题
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1．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（）
A．6πB．12π C．8πD．16π
2．三棱锥S﹣ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠B=60°，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
3．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，BC=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积的最小值为（）
A．13π B．14π C．15πD．16π
4．已知三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=2，BC=2AD，直线AD与底面BCD所成角为，则此时三棱锥外接球的体积为（）
A．8πB．C．D．π
5．已知正四面体S﹣ABC的外接球O的半径为，过AB中点E作球O的截面，则截面面积的最小值为（）
A．4πB．6πC．D．
6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球的表面积为（）
A．8πB．13π C．17πD．48π
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几何体外接球表面积及体积的求法有答案
几何体外接球表面积及体积的求法答案1.D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出该几何体是圆柱，求出圆柱体的表面积和它外接球的表面积即可得出结论．【解答】解：根据三视图得，该几何体是底面半径为3，高为4的圆柱体，所以该圆柱体的表面积为S1=2π×32+2π×3×8=66π；根据球与圆柱的对称性，得它外接球的半径R满足（2R）2=62+82=100，所以外接球的表面积为S2=4πR2=100π；所以剩余几何体的表面积是S=S1+S2=66π+100π=166π．故选：D．【点评】本题考查了三视图的应用问题，也考查了利用三视图研究直观图的性质，球与圆柱的接切关系，球的表面积计算问题，是基础题目．2.D【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．3.C【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理列方程，解出球的半径即可．【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为E，过点A，B，C，D，S的球的球心为O，半径为R，则在直角三角形AEO中，AO=R，AE=BD=4，OE=SE﹣AO=8﹣R由AO2=AE2+OE2得R2=42+（8﹣R）2，解得R=5球半径R=5，故选C．【点评】本题主要考查球，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．4.D考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．解答：解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=．设球半径为R，则R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故选D点评：本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键．5.C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．6.C【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，则有（2R）2=x2+y2+z2=50（R为球的半径），得R2=，所以球的表面积为S=4πR2=50π．故选：C．【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一．7.B【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．8.B【考点】球内接多面体．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．9.D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，∴V P﹣ABC==，即R3=9，R3=3，所以：球的体积V球=×πR3=×π×3=4π．故选D．【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．10.B【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为2，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积是πR3=π×（）3=4π故选：B．【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．11.D12.考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R═=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．点评：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．12.A考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：压轴题．分析：先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可．解答：解：∵△ABC是边长为1的正三角形，∴△ABC的外接圆的半径∵点O到面ABC的距离，SC为球O的直径∴点S到面ABC的距离为∴棱锥的体积为故选A．点评：本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．13.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S 在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．在RT△SHO中，OH=OC=OS∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，∴体积V=Sh=××22×1=．故答案是．【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．14.12π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为： =．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．15.【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出两个半径，求出两个球的面积之比．【解答】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，正方体的内切球与外接球的面积之比：==．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查正方体的外接球与内切球的面积之比，求出外接球的半径，是解决本题的关键．16.16π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；立体几何．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO1上，记为O，如图．求出AO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=3，OO1=3﹣R，在Rt△AO1O中，AO1=AC=，由勾股定理R2=3+（3﹣R）2得R=2，∴球的表面积S=16π故答案为：16π．【点评】本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径．需具有良好空间形象能力、计算能力．17.36π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC，∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴2R=2 ，∴R=3，∴S=4πR2=4π•（3）2=36π，故答案为：36π．【点评】本题是中档题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力；三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．18.；。
高中数学立体几何外接球专题练习(含解析)
高中数学立体几何外接球专题练习(含解析)1.已知菱形ABCD满足|AB|=2，∠ABC=120°，将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B-AC-D，则三棱锥B-ACD外接球的表面积为（）。
A。
πB。
8πC。
7πD。
4π2.如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰直角三角形，AB=BD=BC=1，∠CBD=60°，且二面角A-BD-C的大小为120°，∠BAD=45°，若四面体ABCD的顶点都在球O上，则球O的表面积为（）。
A。
12πB。
20πC。
24πD。
36π3.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）。
A。
28πB。
32πC。
41πD。
31π4.已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）．若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）。
A。
4/3B。
2/3C。
8/3D。
16/35.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）。
A。
2+2+2B。
4+4+2C。
2+4+4D。
4+4+46.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）。
A。
25πB。
20πC。
16πD。
40π7.如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）。
A。
18+2B。
15+2C。
12+2D。
18+48.在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，DE⊥AC，E为棱BC的中点，DG⊥BE，点G在AE上且满足AG=2GE，若四面体ABCD的外接球的表面积为S，则tan∠AGD=S/12.A。
1/2B。
1C。
2D。
49.在三棱锥S-ABC中，∠ASB=90°，SA=SB=SC=2，且三棱锥S-ABC的体积为8/3，则该三棱锥的外接球的表面积为（）。
A。
4πB。
16πC。
36πD。
72π10.如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（）。
立体几何中球的内切和外接问题(完美版)
2 3 A． 3
B． 3 3
3 3 C． 2
正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为 2 ， MN 是它的内切球的一条弦 （我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦） ， P 为正方体表面上 的动点，当弦 MN 的长度最大时， PM PN 的取值范围是 ．
，∴ ， ，∴
，
， .
∴外接球的半径为
，∴球的表面积等于
解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小 圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利 c 用正弦定理得到小圆半径 sin C 2r ，从而解决问题。
5
A．
正棱锥的外接球的球心是在其高上
,侧棱 PA 与底面 ）
例 5 在三棱锥 P－ABC 中，PA＝PB=PC=
测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心
例 7、.若三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2， SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为（ ）
B.
C.1
D.
S
O
，即 .
C M B
A
7
，
解： 因为 所以 在 且
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。
D
1 r S全 3 2 2 3 r 3
E
r
6 2 S球 85 2 6
1 1 V多面体 S 全 r V S全 内切球 多 面 体3
3
r内 切 球
变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截 面的可能图形是（ ）
考点三 4
组合体的表面积与体积
与球有关的内切、外接问题
(2)三棱锥A－BCD，侧棱长为2 5 ，底面是边长为2 3 的等边三角形， 125
则该三棱锥外接球的体积为___6__π__.
解析 如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面 BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O′在线段AO上， O′为外接球球心， 令 O′A＝O′D＝R，OD＝23DE＝23×2 3× 23＝2， AD＝2 5，
(2) 三 棱 锥 A － BCD 的 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 ， 且 侧 棱 AB 垂 直 于 底 面
BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝
4 3
，则该三棱锥A－BCD外接
球的体积为__4___3_π__.
解析 因为AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体， 则AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径. 设外接球的半径为R. ∵VA－BCD＝13×12×BC×CD×AB＝16×2×CD×2＝43， ∴CD＝2，∴该长方体为正方体，∴AD＝2 3，∴R＝ 3， 外接球体积为 V＝43πR3＝4 3π.
B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为___3__.
解析 如图，设正四棱锥的底面中心为O1， ∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O， ∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆， 外接圆的半径就是外接球的半径. 在△ASC 中，由 SA＝SC＝ 2，AC＝2，
得SA2＋SC2＝AC2. ∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形. ∴A2C＝1 是外接圆的半径，也是外接球的半径. 故 V 球＝43π.
∴AO＝ AD2－OD2＝4，∴OO′＝4－R，
又OO′2＋OD2＝O′D2， ∴(4－R)2＋4＝R2，解得 R＝52，∴V 球＝43πR3＝1625π.
反思 感悟
立体几何的外接球问题
立体几何中的外接球问题概 述①长方形的外接圆圆心为对角线的中点，222a b R +=(,a b 为长方形的长、宽）。
长方体的外接球球心为体对角线的中点，222(,,2a b c R a b c ++=为长方体的长、宽、高）。
②三角形的外接圆圆心是底边的中垂线的交点，外接圆半径可由，余弦定理求得2sin a r A=；等边三角形的外心是高的三等分点（靠底边）；直角三角形的外心是斜边中点。
③三棱锥或其它几何体，其外接球球心一定在过面的外心且与该面垂直的垂线上。
④过球心的截面截得的圆是大圆。
⑤勾股定理、正弦定理、余弦定理、射影定理、面积法、体积法等平面几何性质灵活应用。
1.圆柱、直棱柱、一侧棱垂直底面的棱锥设底面外接圆半径为r ，高为h ，则外接球半径224h R r =+'Rt OAO ∆。
2、圆锥、各侧棱都相等的棱锥（包括正三棱锥、正四棱锥）设底面外接圆半径为r ，高为H ，则外接球半径222H r R H +=，截面图中1Rt OAO ∆勾股定理解得。
()222222H r R H R r R H+=-+⇒=。
3、等腰四面体补成长、宽、高分别为,,x y z 的长方体，则2222222222222222x y b a b c x z c x y z z y a ⎧+=⎪+++=⇒++=⎨⎪+=⎩外接球半径222222222x y z a b c R ++++==。
注：（1）棱长为a 的正四面体外接球半径2226422a a a aR ++==； （2）从某顶点出发，三棱长为,,a b c 的直角三棱锥外接球半径2222a b c R ++=。
补体法：（1）正四面体；（2）等腰四面体；（3）直角三棱锥或其他。
4、有两个面互相垂直的三棱锥设两垂直面的交线长为l ，两垂直面的外接圆半径分别为12,r r 则外接球半径2222212124l R r d r r =+=+-。
cc b baa r 2O O 2O 1C A5、任意三棱锥已知两面外接圆半径分别为12,r r ，两面外心到交线的距离分别为12,d d ，两面的交线长为l ，已知或可求二面角α，2222111222,44l l O E d r O E d r ==-==-，221212122cos O O d d d d α=+-221212122cos sin sin d d d d O O OE ααα+-==，222222121222cos 4sin 4d d d d l l R OE αα+-=+=+。
立体几何外接球及内切球问题
立体几何外接球及内切球问题一、球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1球与正方体如图1所示，正方体1111D C B A ABCD -,设正方体的棱长为a ，G H F E ,,,为棱的中点，O 为球的球心。
常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFHG 和其内切圆，则2a r OJ ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG 和其外接圆，则a R OG 22==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11A ACC 和其外接圆，则23'1a R O A ==. 例 1： 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ） A ．B ．C ． D1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间1111ABCD A B C D -O E F ，1AA 1DD EF O 2112+,,,a b c l 2l R ==部分的体积为( ) A.10π3B.4πC.8π3D.7π31.3球与正棱柱：①结论：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. ②球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.本类题目的解法：构造直角三角形法：设正三棱柱111C B A ABC -的高为h ，底面边长为a ； 如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心。
根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，a AD R AO h OD 33,,2===，借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求22332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a h R 。
立体几何专题：外接球问题
4.【2011高考真题新课标理，15】已知矩形 的顶点都在半径为4的球 的球面上，且 , ,则棱锥 的体积为
【答案】：
提示：利用球的截面性质
题型二构造正方体或长方体确定球心
结论：长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处，即体对角线是其外接球的直径，以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．
例3.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的
等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
提示：构造正方体
针对性练习
1.【2010新课标高考真题文，7】设长方体的长、宽、高分别为 ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】
10.若正方体外接球的体积是 ，则正方体的棱长等于
【答案】
题型三：三棱柱或能构造三棱柱的外接球问题（模型二）
该三棱柱只能是直三棱柱，上下面三角形的外心的连线的中点为球心，三棱柱实质为长方体的一部分，所以构造三棱柱的途径和构造长方体的相同。
以下是常见的、基本的几何体补成三棱柱的途径与方法．
途径1：若已知三棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成三棱柱．
途径2：若四个面都是直角三角形的三棱锥，则可将棱锥补成三棱柱．
例1.直三棱柱 的各个顶点都在同一球面上，若 ,
,则此球的表面积为。
【答案】
点评：球心一定在直三棱柱的中截面上。
例2.【2010辽宁高考真题文】已知 是球 表面上的点， ， ， ， ，则球 的表面积等于
A.4 B.3 C.2 D.
【答案】A
外接球的有关问题
解决问题的方法
立体几何截面、外接球、动点归类(解析版)
立体几何截面、外接球、动点归类目录题型一：动点：恒平行题型二：动点：恒垂直题型三：动点：球截面题型四：动点；定角题型五：外接球：线面垂直型题型六：外接球：垂面型题型七：外接球：两线定心法题型八：外接球：二面角型题型九：外接球：最值范围型题型十：外接球：动点与翻折题型十一：动点型最短距离和题型十二：动点：内切球题型十三：多选题综合应用：二面角型几何体题型十四：多选题综合应用：翻折型题型十五：多选题综合应用：正方体表面动点型题型十六：多选题综合应用：两部分体积比型题型一：动点：恒平行线面恒平行，过线做面，需要找它们和第三个面的交线互相平行，借助好“第三个面的交线平行“这个性质，可以解决线面恒平行题型的截面问题1在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA=AC=2AB=2AD=4，CD⊥AD，CB⊥AB，G为PC的中点，过AG的平面α与棱PB、PD分别交于点E、F．若EF∥平面ABCD，则截面AEGF的面积为．【答案】865【分析】由题知AC =2AB +2AD ，则PA =23PB +23PD -13PC ①，再根据E 、F 、G 三点共面得PA=xPE +yPF +zPG ，其中x +y +z =1．设PE =λPB 0<λ<1 ，PF =λPD ，从而可求PA =λxPB +λyPD +z 2PC ，与①对比即可求出λ，从而可求EF 的长度；再证明BD 垂直平面PAC ，EF ∥BD ，从而得AG ⊥EF ，根据S 截面AEGF =12AG ⋅EF 即可得答案．【详解】∵AC =2AB =2AD ，CD ⊥AD ，CB ⊥AB ，∴∠DAC =∠BAC =60°，则根据向量加法法则易知，AC =2AB +2AD ，即PC -PA =2PB -PA +2PD -PA ，则PA =23PB +23PD -13PC ．根据共面向量定理的推论知，PA =xPE +yPF +zPG，其中x +y +z =1．连接BD ，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面ABCD =BD ，∴EF ∥BD ，设PE =λPB 0<λ<1 ，则PF =λPD ，又G 为PC 的中点，∴PA =xPE +yPF +zPG =λxPB +λyPD+z 2PC ，则λx =λy =23，z 2=-13，解得λ=45，AB =2，BD =2×AB sin60°=23，则EF =45BD =835．连接AG ，∵PA =AC =4，G 为PC 的中点，故AG =12PC =22．易知BD ⊥AC ，BD ⊥PA ，AC ∩PA =A ，故BD ⊥平面PAC ，又AG ⊂平面PAC ，∴BD ⊥AG ，∴AG ⊥EF ，因此S 截面AEGF =12AG ⋅EF=12×22×835=865．故答案为：865．解法二：连接BD ，设AC 与BD 交于点K ，连接AG 、PK ，设AG 与PK 交于点L ，由题易得BD ∥EF ，则PL PK =PE PB =EFBD ，作KN ∥AG 交PC 于N ，易知CK =3AK ，则CN =3GN ，从而PG =4GN ，故EF BD =PL PK =PG PN=45，即EF =45BD =835．以下解法同上故答案为：865．2在三棱锥ABCD 中，对棱AB =CD =5，AD =BC =13，AC =BD =10，当平面α与三棱锥ABCD 的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD 被平面α所截得的截面面积最大值为.【答案】3【分析】每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCD 放入长方体中，设长宽高分别为x ，y ，z ，求出x ,y ,z ，由线面平行得线线平行，证明当E ,F ,G ,H 是所在棱中点时面积最大，按截面与哪对棱平行分类讨论求得截面面积的最大值.【详解】因为每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCD 放入长方体中，设长宽高分别为x ，y ，z ，则x 2+y 2=5，x 2+z 2=10，y 2+z 2=13，则x =1,y =2,z =3.当平面α与三棱锥ABCD 的对棱AB ，CD 均平行时，截而为四边形EFGH ，AB ⎳FG ⎳EH ，CD ⎳EF ⎳HG ，设AE AC =t (0<t <1)，则EF CD =AE AC=t ，EF =tCD ，同理EH =(1-t )AB ，∠HEF (或其补角)是异面直线AB ,CD 所成的角，S EFGH =EF ⋅EH sin ∠HEF =t (1-t )AB ⋅CD sin ∠HEF ，其中AB ⋅CD sin ∠HEF 为定值，t (1-t )=-t 2+t =-t -12 2+14，t =12时，t (1-t )取得最大值，即截面EFGH 面积最大，此时E ,F ,G ,H是所在棱中点，由长方体性知最大面积为长方体上下底面面积的一半12xy =1，同样地，当平面a 与三棱锥ABCD 的对棱AC ，BD 均平行时，截面最大面积为12xz =32；当平面α与三棱锥ABCD 的对棱AD ，BC 均平行时，截面最大面积为12yz =3.故答案为：3.3(山西省怀仁市2022届高三下学期一模数学试)在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为22的正方形，P 在底面的射影为正方形的中心O ,PO =4,Q 点为AO 中点.点T 为该四棱锥表面上一个动点，满足PA ,BD 都平行于过QT 的四棱锥的截面，则动点T 的轨迹围成的多边形的面积为()A.55B.554C.354D.552【答案】D【分析】首先取AD 的中点E ，PD 的中点F ，PO 的中点R ，PB 的中点N ，连接QR 延长交PC 与点M ，连接EFMNG ，证明平面EFMNG 即为所求的截面，再证明四边形EFNG 是矩形，RM ⊥FN ，矩形面积加三角形面积之和即为所求.【详解】取AD 的中点E ，PD 的中点F ，PO 的中点R ，PB 的中点N ，连接QR 延长交PC 与点M ，连接EFMNG ,因为底面ABCD 是边长为22的正方形，所以对角线AC =BD =4，AO =2，因为在底面的射影为正方形的中心，可得PO ⊥面ABCD ，因为AO ⊂面ABCD ，所以PO ⊥AO ，因为PO =4，AO =2，所以PA =22+42=25，因为E 、F 为AD 、PD 的中点，所以EF =12PA =5，且EF ⎳PA ，因为PA ⊄平面EFMG ，EF ⊂平面EFMG ，所以PA ⎳平面EFMG ，同理BD ⎳平面EFMG ，所以平面EFMG 即为所求截面.又因为平面APC ∩平面EFMG =QM ，PA ⊂平面APC ，所以QM ⎳AP ，因为Q 为AO 的中点，可得QC =34AC ，所以QM =34AP ，QR =12AP ，RM =QM -QR =14AP =52，因为N 、F 为PB 、PD 的中点，所以FN ⎳BD ，FN =12BD ，所以FN ⎳EG ，FN =EG ，所以四边形EFNG 是平行四边形，因为EG ⊥PO ，EG ⊥AC ，PO ∩AC =O ，所以EG ⊥平面APC ，因为QM ⊂平面APC ，可得EG ⊥QM ，所以EG ⊥GN ，所以四边形EFNG 是矩形，所以动点T 的轨迹围成的多边形的面积为5×2+12×2×52=552.故选：D题型二：动点：恒垂直恒垂直型截面，可以借助投影解决，投影型，需要利用”三垂线定理及其逆定理“这个性质转化寻找。
空间几何体的外接球内切球问题
Ｐ ＤS ＣAＯ空间几何体的外接球、内切球问题外接球问题一.棱锥的外接球三棱锥都有外接球；底面有外接圆的任意棱锥都有外接球。
1.确定棱锥外接球球心的通法先找到棱锥底面的外接圆的圆心D ，过D 作底面的垂线ＤＰ交一侧棱的中垂面于O ，点O 即为外接球的球心。
练习：1.三棱锥S-ABC 的各顶点都在同一球面上，若SB ⊥平面ABC ,SB=6，AB=AC=2120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。
3.四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ，6=BD ，则该球的表面积为 （ ）A ． π14 B.π15 C.π16 D.π182.补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一结论求解。
练习：1.三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ）A ．26a πB ．29a πC ．212a πD ．224a π2.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π3.,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3πB.4πD.6π4.3.公共边所对的两个角为直角确定球心法 练习1.在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π2.空间四边形ABCD中，1,AB BC AD DC ====ABCD 的外接球的表面积为4.利用轴截面截球为大圆确定球半径正四、六、八棱锥的外接球的一个轴截面为大圆，该圆的半径等于外接球的半径. 练习：1.正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .2.正六棱锥EF S ABCD -的底面边长为1S A B C D 、、、、、E 、F 都在同一球面上，则此球的表面积为 .3.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_ C_ A_ O_ D _ BA．3B．13π C．23π D．3二.棱柱的外接球底面有外接圆的直棱柱才有外接球。
高中数学立体几何外接球问题专题02 正四面体模型
专题02 正四面体模型一、解题技巧归纳总结1．正四面体如图，设正四面体ABCD 的的棱长为a ，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R ==，即正四面体外接球半径为R =.二、典型例题例1．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）．A ．2B ．2C D例2．正四面体的棱长为1，则其外接球的表面积为 .三、配套练习1．棱长为1的正四面体的外接球的半径为( )A B C ．1 D 2．棱长为a 的正四面体的外接球和内切球的体积比是( )A ．9:1B ．4:1C ．27:1D ．8:13．如图所示，在正四面体A BCD -中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +则该正四面体的外接球的体积是( )A B ．6π C D ．32π4．表面积为( )A ．B ．12πC ．8πD ．5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的表面积为( )A ．6πB ．8πCD ．11π6．相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．，则两圆的公共弦长是( )A ．34BC ．1D ．127．如图所示，正四面体ABCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +则该正四面体的外接球表面积是( )A ．12πB ．32πC ．8πD ．24π8．已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是( )A ．24πB ．18πC ．12πD ．6π9．一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是( )A ．4πB ．6πC ．12πD ．24π10．如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是线段AG 的中点，则三棱锥M BCD -的外接球的表面积为( )A．πB．32πC．64πD．68π11．正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点P、Q，若线段PQ长度的最大值为463，则这个四面体的棱长为．12．已知正四面体ABCD的棱长为1，M为棱CD的中点，则二面角M AB D--的余弦值为；平面MAB 截此正四面体的外接球所得截面的面积为．13．已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是．14．一个正四面体的展开图是边长为22的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为．15．如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP PE+的最小值为14，则该正四面体的外接球的体积是．答案例1．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）．A B C D【解析】如图球的截面图就是正四面体中的∆ABD ，已知正四面体棱长为2，所以=AD =1AC ，所以=CD故选：C ．例2．正四面体的棱长为1，则其外接球的表面积为 .【解析】解析：依题意，正四面体的外接球半径R =，其表面积为23=42S R ππ=，故答案为32π. 三、配套练习1．棱长为1的正四面体的外接球的半径为( )A B C ．1 D 【解析】已知正四面体A BCD -的棱长为1，过B 作BE CD ⊥，交CD 于E ， A 作AF ⊥平面BCD ，交BE 于F ，连结AE ，设球心为O ，则O 在AF 上，连结BO ，BE AE ===23BF BE ==13EF BE ==，AF ， 设球半径为R ，则BO AO R ==，222)R R ∴=+-，解得R =故选：A ．2．棱长为a 的正四面体的外接球和内切球的体积比是( )A ．9:1B ．4:1C ．27:1D ．8:1【解析】把棱长为a 的正四面体镶嵌在棱长为x 的正方体内，∴外接球和内切球的球心重合，为正方体的中心O ，∴=2211)63x h =⨯，h =，h ==∴3:1=， ∴正四面体的外球和内切球的体积比是27:1，故选：C ．3．如图所示，在正四面体A BCD -中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +则该正四面体的外接球的体积是( )A B ．6π C D ．32π 【解析】将侧面ABC ∆和ACD ∆展成平面图形，如图所示：设正四面体的棱长为a则BP PE +的最小值为1cos1202BE a a 2a ∴=． 在正四面体A BCD -的边长为2，外接球的半径R ==外接球的体积343V R π==． 故选：A ．4．表面积为( )A ．B ．12πC ．8πD ．【解析】表面积为将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的对角线长为，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴外接球的表面积的值为24(3)12ππ=．故选：B ．5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的表面积为( )A ．6πB ．8πCD ．11π【解析】正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴外接球的表面积的值为264()62ππ=． 故选：A ．6．相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．，则两圆的公共弦长是( )A ．34BC ．1D ．12【解析】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1所以球的半径为：R =， 设相互垂直两圆的圆心分别为1O 、2O ，球心为O ，公共弦为AB ，其中点为E ，则12OO EO 为矩形，于是对角线12O O OE =，而OE =， 12AE ∴=，则1AB =； 故选：C ．7．如图所示，正四面体ABCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +则该正四面体的外接球表面积是( )A ．12πB ．32πC ．8πD ．24π【解析】将三角形ABC 与三角形ACD 展成平面，BP PE +的最小值，即为BE 两点之间连线的距离，则BE =设2AB a =，则120BAD ∠=︒，由余弦定理221414222a a a a+--=，解得a =则正四面体棱长为 所以，设外接球半径为R ，则6223R == 则表面积244312S R πππ===．故选：A ．8．已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是( )A ．24πB ．18πC ．12πD ．6π【解析】将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为∴外接球的表面积的值为24(6)24ππ=．故选：A ．9．一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是( )A ．4πB ．6πC ．12πD ．24π【解析】正方体可以在正四面体纸盒内任意转动，∴正方体在正四面体的内切球中，∴正方体棱长最大时，正方体的对角线是内切球的直径，点O 为内切球的圆心，连接PO 并延长交底面ABC 与点D ，点D 是底面三角形ABC 的中心，PD ∴⊥底面ABC ，OD ∴为内切球的半径，连接BO ，则BO OP =，在Rt BDP ∆中，263BD ==PD在Rt BDO ∆中，2222222()OD BD OB BD OP BD OP OD =+=+=+-，代入数据得OD =，令正方体棱长为a ，则23a =a∴此时正方体的外接球半径：r =． ∴当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是：22446S r πππ==⨯=． 故选：B ．10．如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是线段AG 的中点，则三棱锥M BCD -的外接球的表面积为( )A ．πB ．32πCD 【解析】连接BG ，四面体ABCD 中，由G 为BCD ∆的重心，可得AG ⊥面BCD ，M 是线段AG 的中点，BG =AG =M 为线段AG 的中点，MG ∴=设三棱锥M BCD -外接球的半径为R ，则2R =22)(R +，R ∴=， ∴三棱锥M BCD -外接球的表面积为2342R ππ=． 故选：B ．11．正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点P 、Q ，若线段PQ 长度，则这个四面体的棱长为 4 ． 【解析】设这个四面体的棱长为a ，则它的外接球与内切球的球心重合，且半径R =外，r =内，+= 4a ∴=． 故答案为：4．12．已知正四面体ABCD 的棱长为1，M 为棱CD 的中点，则二面角M AB D --的余弦值为 ；平面MAB 截此正四面体的外接球所得截面的面积为 ．【解析】如图，M 为棱CD 的中点，AM CD ∴⊥，BM CD ⊥，又AM BM M =，CD ∴⊥平面AMB ，则AM B ∠为二面角A CD B --的平面角，由对称性，可知二面角C AB D --的平面角等于AM B ∠． 由正四面体ABCD 的棱长为1，可得AM BM ==，则1cos()2AMB ∠== 平面AMB 平分二面角C AB D --，∴二面角M AB D --的余弦值1cos()2AMB =∠= 设BCD ∆的外心为G ，连接AG，求得23BG BM ==AG ==， 设正四面体ABCD 的外接球的半径为R，则222)R R -+=，解得R = 平面MAB 过正四面体ABCD 的外接球的球心，∴平面MAB截此正四面体的外接球所得截面的面积为238ππ⨯=．38π． 13．已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是 27 ． 【解析】正四面体的外接球和内切球的半径之比为3:1，∴正四面体的外接球和内切球的体积比是27:1，正四面体的内切球体积是1，∴该正四面体的外接球的体积是27．故答案为：27．14．一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为 3π ．【解析】如图，一个正四面体的展开图是边长为∴G ，则23AG AD ==，正四面体的高PG ==． 再设正四面体外接球的球心为O ，连接OA ，则222)R R =+-，解得R =．∴该四面体的外接球的表面积为243ππ⨯=． 故答案为：3π．15．如图所示，正四面体ABCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +则该正四面体的外接球的体积是 ．【解析】将侧面ABC ∆和ACD ∆展成平面图形，如图所示： 设正四面体的棱长为a ，则BP PE +的最小值为2cos1202a BE a ︒=a ∴=在棱锥A BCD -中，设底面三角形BCD 的中心为M ，外接球的球心为O ，F 为BC 的中点，则DF ==23DM DF ∴==AM ==．设外接球的半径OA OD r ==，则OM r =-，在Rt OMD ∆中，由勾股定理可得：222)r r =-+，解得：r =．∴外接球的体积为343r π=．故答案为：．。
立体几何之外接球练习题(二) 菁优网
立体几何之外接球练习题（二）一．选择题（共23小题）1．（2014•陕西）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A ．B．4πC．2πD．2．（2012•黑龙江）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A ．πB．4πC．4πD．6π3．（2006•安徽）表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）A ．B．C．D．4．（2006•四川）如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果，则求O的表面积为（）A ．4πB．8πC．12πD．16π5．（2005•江西）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A ．πB．πC．πD．π6．（2004•辽宁）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（）A ．B．C．D．7．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）A ．B．C．4πD．8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A ．B．C．D．9．（2014•乌鲁木齐三模）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为，则该球的表面积为（）A ．B．8πC．9πD．12π10．（2014•兴安盟一模）在三棱椎A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱椎外接球的表面积为（）A ．2πB．6πC．πD．24π11．（2014•河南模拟）四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A ．25πB．45πC．50πD．100π12．（2014•辽宁二模）设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC、AD⊥AC、AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值为（）A ．4 B．8 C．12 D．1613．（2014•梧州模拟）四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧面SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且侧面SAB⊥底面ABCD，若AB=2，则此四棱锥的外接球的表面积为（）A ．14πB．18πC．20πD．24π14．（2014•河池一模）如图，在三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若AB=2，则此正三棱锥外接球的体积是（）A ．12πB．4πC．πD．12π15．（2014•唐山三模）三棱锥S﹣ABC的四个顶点都在球面上，SA是球的直径，AC⊥AB，BC=SB=SC=2，则该球的表面积为（）A ．4πB．6πC．9πD．12π16．（2014•河南模拟）已知正三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在球O上，且PA=PB=PC=2，AB=BC=CA=2，则球O的表面积为（）A ．25πB．C．D．20π17．（2014•怀化一模）圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是（）A ．cmB．2cm C．3cm D．4cm18．（2014•四川模拟）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）A ．B．C．3πD．12π19．（2014•贵阳模拟）已知四棱锥V﹣ABCD的顶点都在同一球面上，底面ABCD为矩形，AC∩BD=G，VG⊥平面ABCD，AB=，AD=3，VG=，则该球的体积为（）A ．36πB．9πC．12πD．4π20．（2011•广州一模）如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为（）A ．4πB．2πC．πD．21．棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（）A ．B．C．D．22．点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD的体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A ．B．8πC．D．23．在球O的表面上有A、B、C三个点，且，△ABC的外接圆半径为2，那么这个球的表面积为（）A ．48πB．36πC．24πD．12π二．填空题（共7小题）24．（2008•浙江）如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于_________．25．（2008•海南）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为_________．26．（2003•北京）如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=_________．27．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O 的表面积等于_________．28．三棱锥P﹣ABC的各顶点都在一半径为R的球面上，球心O在AB上，且有PA=PB=PC，底面△ABC中∠ABC=60°，则球与三棱锥的体积之比是_________．29．将4个半径都是R的球体完全装入底面半径是2R的圆柱形桶中，则桶的最小高度是_________．30．已知圆O1，O2，O3为球O的三个小圆，其半径分别为，若三个小圆所在的平面两两垂直且公共点P在球面上，则球的表面积为_________．立体几何之外接球练习题（二）参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．（2014•陕西）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A ．B．4πC．2πD．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．解答：解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．点评：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．2．（2012•黑龙江）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A ．πB．4πC．4πD．6π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球的体积为：=4π．故选B．点评：本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．3．（2006•安徽）表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）A ．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；综合题．分析：设出正八面体的边长，利用表面积，求出边长，然后求球的直径，再求体积．解答：解：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由知，a=1，则此球的直径为，球的体积为．故选A．点评：本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，正八面体的外接球的体积，是中档题．4．（2006•四川）如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果，则求O的表面积为（）A ．4πB．8πC．12πD．16π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；综合题．分析：由题意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积．解答：解：如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，S ABCD=2R2，，所以，R=2，球O的表面积是16π，故选D．点评：本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，是基础题．5．（2005•江西）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A ．πB．πC．πD．π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．解答：解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球=π×（）3=．故选C．点评：本题考查学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题．6．（2004•辽宁）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（）A ．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；综合题．分析：设出球的半径，球心到该平面的距离是球半径的一半，结合ABCD的对角线的一般，满足勾股定理，求出R即可求球的体积．解答：解：设球的半径为R，由题意可得R=球的体积是：=故选A．点评：本题考查球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．7．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）A ．B．C．4πD．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．解答：解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=．设球半径为R，则R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故选D点评：本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键．8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A ．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．解答：解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A．点评：本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．9．（2014•乌鲁木齐三模）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为，则该球的表面积为（）A ．B．8πC．9πD．12π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；球．分析：根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为×S△ABC×DQ=，S△ABC=AC•BQ=即××DQ=，∴DQ=2，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=（）2+（2﹣R）2，∴R=则这个球的表面积为：S=4π（）2=9π；故选：C．点评：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．10．（2014•兴安盟一模）在三棱椎A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱椎外接球的表面积为（）A ．2πB．6πC．πD．24π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，转化为对角线长，即可求三棱锥外接球的表面积．解答：解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，∵侧棱AC、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为、、，∴AB•AC=，AD•AC=，AB•AD=∴AB=，AC=1，AD=∴球的直径为：=∴半径为∴三棱锥外接球的表面积为4π×=6π故选：B．点评：本题考查三棱锥外接球的表面积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．11．（2014•河南模拟）四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A ．25πB．45πC．50πD．100π考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．解答：解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，则有（2R）2=x2+y2+z2=50（R为球的半径），得R2=，所以球的表面积为S=4πR2=50π．故选：C．点评：本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一．12．（2014•辽宁二模）设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC、AD⊥AC、AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值为（）A ．4 B．8 C．12 D．16考点：球的体积和表面积．专题：球．分析：三棱锥A﹣BCD是长方体的三个面，扩展为长方体，它的对角线就是球的直径，设出AB=a，AC=b，AD=c，求出三个三角形面积的和，利用直径等于长方体的对角线的关系，以及基本不等式，求出面积最大值．解答：解：设AB=a，AC=b，AD=c，因为AB，AC，AD两两互相垂直所以a2+b2+c2=4×22S△ABC+S△ACD+S△ADB=（ab+ac+bc）≤（a2+b2+c2）=8．即最大值8．故选：B．点评：本题考查球的内接体问题，考查基本不等式，空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．13．（2014•梧州模拟）四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧面SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且侧面SAB⊥底面ABCD，若AB=2，则此四棱锥的外接球的表面积为（）A ．14πB．18πC．20πD．24π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用侧面SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且侧面SAB⊥底面ABCD，设AC∩BD=O，取AB中点E，可得O为球心，球的半径，即可求出四棱锥S﹣ABCD的外接球表面积．解答：解：∵侧面SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且侧面SAB⊥底面ABCD，∴设AC∩BD=O，取AB中点E，有OE=SE=AB，OS=AB，∴O为球心，球的半径为∴四棱锥S﹣ABCD的外接球表面积为4π×（）2=24π．故选：D．点评：本题考查四棱锥S﹣ABCD的外接球表面积，考查学生的计算能力，确定四棱锥S﹣ABCD的外接球的半径是关键．14．（2014•河池一模）如图，在三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若AB=2，则此正三棱锥外接球的体积是（）A ．12πB．4πC．πD．12π考点：球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定．专题：球．分析：由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．解答：解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球．∴侧棱长为：2，∴R=，∴正三棱锥外接球的体积是=．故选：B．点评：本题是中档题，考查三棱锥的外接球的体积，考查空间想象能力，三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．15．（2014•唐山三模）三棱锥S﹣ABC的四个顶点都在球面上，SA是球的直径，AC⊥AB，BC=SB=SC=2，则该球的表面积为（）A ．4πB．6πC．9πD．12π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，SA是球的直径，可得SC⊥AC，SB⊥BA，利用AC⊥AB，BC=SB=SC=2，可得AC=，AC==，即可求出SA，从而可求球的表面积．解答：解：由题意，SA是球的直径，∴SC⊥AC，SB⊥BA，∵AC⊥AB，BC=SB=SC=2，∴AC=，AC===∴=∴SA2=6，∴SA=，∴球的半径为，∴球的表面积为4π•=6π，故选：B．点评：本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，确定SA是关键．16．（2014•河南模拟）已知正三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在球O上，且PA=PB=PC=2，AB=BC=CA=2，则球O的表面积为（）A ．25πB．C．D．20π考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：先确定底面三角形外接圆的半径，进而求得正三棱锥的高，再利用勾股定理，求得外接球的半径，即可求得外接球的表面积．解答：解：设P在平面ABC中的射影为D，则∵AB=BC=CA=2，∴AD=××2=2，∵PA=2，∴PD==4，设外接球的半径为R，则R2=22+（4﹣R）2，∴R=，∴外接球的表面积为4πR2=25π，故选：A．点评：本题考查正三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确运用正三棱锥的性质是关键．17．（2014•怀化一模）圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是（）A ．cmB．2cm C．3cm D．4cm考点：球的体积和表面积．专题：球．分析：设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．解答：解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×πr3+πr2×6=πr2×6r，解得r=3．故选：C．点评：本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，是基础题．18．（2014•四川模拟）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）A ．B．C．3πD．12π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；球．分析：根据题意，三棱锥S﹣ABC扩展为正方体，正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的中点，求出正方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积．解答：解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，∴球的半径R==．球的表面积为：4πR2=4=3π．故选：C．点评：本题考查三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积，解题的关键是确定三棱锥S﹣ABC的外接球的球心与半径．19．（2014•贵阳模拟）已知四棱锥V﹣ABCD的顶点都在同一球面上，底面ABCD为矩形，AC∩BD=G，VG⊥平面ABCD，AB=，AD=3，VG=，则该球的体积为（）A ．36πB．9πC．12πD．4π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：分析可知，△V AC所在的圆为球的大圆，从而知要解△V AC；从而得到体积．解答：解：∵底面ABCD为矩形，AB=，AD=3，∴AC=．由AC∩BD=G，VG⊥平面ABCD知，△V AC所在的圆为球的大圆，且在△V AC中，由AC=，VG=，VG⊥平面ABCD知，V A=VC==，∴AC2=V A2+VC2，则△V AC为直角三角形，则球的半径R==．则该球的体积为V===4π．故选D．点评：本题考查了学生的空间想象能力，难点在于找到球的半径与四棱锥之间的量的关系．属于中档题．20．（2011•广州一模）如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为（）A ．4πB．2πC．πD．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，连接N点与D点，得到一个直角三角形△NMD，P为斜边MN的中点，所以|PD|的长度不变，进而得到点P的轨迹是球面的一部分．解答：解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接N点与D点，由ND，DM，MN构成一个直角三角形，设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的球面积．所以答案为，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟悉结合体的结构特征与球的定义以及其表面积的计算公式．21．棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（）A ．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：棱长为的正四面体内切一球，那么球O与此正四面体的四个面相切，即球心到四个面的距离都是半径，由等体积法求出球的半径，求出上面三棱锥的高，利用相似比求出上部空隙处放入一个小球，求出这球的最大半径．解答：解：由题意，此时的球与正四面体相切，由于棱长为的正四面体，故四个面的面积都是=3又顶点A到底面BCD的投影在底面的中心G，此G点到底面三个顶点的距离都是高的倍，又高为=3，故底面中心G到底面顶点的距离都是2由此知顶点A到底面BCD的距离是=2此正四面体的体积是×2×3=2，又此正四面体的体积是×r×3×4，故有r==．上面的三棱锥的高为，原正四面体的高为2，所以空隙处放入一个小球，则这球的最大半径为a，，∴a=．故选C．点评：本题考查球的体积和表面积，用等体积法求出球的半径，熟练掌握正四面体的体积公式及球的表面积公式是正确解题的知识保证．相似比求解球的半径是解题的关键．22．点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD的体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A ．B．8πC．D．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ=，即×1×DQ=，∴DQ=2，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（2﹣R）2，∴R=则这个球的表面积为：S=4π（）2=；故选C．点评：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．23．在球O的表面上有A、B、C三个点，且，△ABC的外接圆半径为2，那么这个球的表面积为（）A ．48πB．36πC．24πD．12π考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题．分析：根据，OA=OB=OC，可得四面体O﹣ABC为正四面体，利用△ABC的外接圆半径为2，确定球的半径，进而可求球的表面积．解答：解：由题意，∵，OA=OB=OC∴四面体O﹣ABC为正四面体设球的半径为r，则正四面体的棱长为r∵△ABC的外接圆半径为2，∴∴r=∴球的表面积为故选A．点评：本题考查球的表面积，考查正四面体的性质，解题的关键是确定球的半径．二．填空题（共7小题）24．（2008•浙江）如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于π．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题．分析：说明△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，球的直径就是CD，求出CD，即可求出球的体积．解答：解：AB⊥BC，△ABC的外接圆的直径为AC，AC=，由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，∴CD为球的直径，CD==3，∴球的半径R=，∴V球=πR3=π．故答案为：π．点评：本题是基础题，考查球的内接多面体，说明三角形是直角三角形，推出CD是球的直径，是本题的突破口，解题的重点所在，考查分析问题解决问题的能力．25．（2008•海南）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为．考点：球的体积和表面积；棱柱的结构特征．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：先求正六棱柱的体对角线，就是外接球的直径，然后求出球的体积．解答：解：∵正六边形周长为3，得边长为，故其主对角线为1，从而球的直径，∴R=1，∴球的体积故答案为：．点评：正六棱柱及球的相关知识，易错点：空间想象能力不强，找不出球的直径．空间想象能力是立体几何中的一个重要能力之一，平时要加强培养．26．（2003•北京）如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；综合题．分析：先求半径为r的实心铁球的体积，等于升高的水的体积，可得结论．解答：解：半径为r的实心铁球的体积是：升高的水的体积是：πR2r所以：∴故答案为：．点评：本题考查球的体积，考查空间想象能力，是基础题．27．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O 的表面积等于16π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；压轴题．分析：由题意求出圆M的半径，设出球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出球的半径，然后可求球的表面积．解答：解：∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径r=，设球的半径为R，由图可知，R2=R2+3，∴R2=3，∴R2=4．∴S球=4πR2=16π．故答案为：16π点评：本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口，解题重点所在，仔细体会．28．三棱锥P﹣ABC的各顶点都在一半径为R的球面上，球心O在AB上，且有PA=PB=PC，底面△ABC中∠ABC=60°，则球与三棱锥的体积之比是．考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：由题意推知AB为球的直径，PO为三棱锥的高，求出底面面积，即可求出三棱锥的体积，求出球的体积可得比值．。
专题八：立体几何外接球问题-2021高考数学冲刺(含详细解析)
专题八：立体几何外接球问题-2021新高考考点专项冲刺-解析版一、单选题1.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=2，∠ABC=π，若该直三棱柱的外接球表面积为216π，则此直三棱柱的高为（）．A. 4B. 3C. 4√2D. 2√2【答案】 D【解析】【解答】解：因为∠ABC=π，所以将直三棱柱ABC−A1B1C1补成长方体ABCD−A1B1C1D1，2则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，设球的半径为R，则4πR2=16π，解得R=2，设直三棱柱的高为ℎ，则4R2=22+22+ℎ2，即16=8+ℎ2，解得ℎ=2√2，所以直三棱柱的高为2√2，故答案为：D，所以将直三棱柱ABC−A1B1C1补成长方体ABCD−A1B1C1D1，则直三棱【分析】因为∠ABC=π2柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，再利用勾股定理求出长方体的体对角线的长，进而求出外接球的直径，从而求出外接球的半径长，再利用勾股定理求出直三棱柱的高。
2.已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，AB=2，若四棱锥P−ABCD外接球的体积为8√2π，则该四棱锥的表面积为（）3A. 4√3B. 6√3C. 8√3D. 10√3【答案】B【解析】【解答】设四棱锥P−ABCD外接球的球心为O，过O作底面ABCD的垂线，垂足为M，因为四边形ABCD是长方形，所以M的底面中心，即对角线AC、BD的交点，过O作三角形APD的垂线，垂足为N，所以N是正三角形APD外心，设外接球半径为r，外接球的体积为8√2π3=4πr33，所以r=√2，即OA=√2，过N作NE⊥AD，则E是AD的中点，连接EM，所以EM=12AB=1，EM⊥AD，因为平面APD⊥平面ABCD，平面APD∩平面ABCD=AD，所以NE⊥平面ABCD，所以NE//OM，所以EM⊥平面APD，所以EM//ON，所以四边形MENO是平行四边形，即OM=NE，设AD=2x，则AM=√AE2+EM2=√x2+1，NE=13PE=13×√32AD=√33x，所以OM=NE=√33x，由勾股定理得OA2=OM2+AM2，即2=13x2+x2+1，解得x=√32，所以AD=√3，S△PAD=12AD2sin60∘=3√34，因为AB//CD//OM，所以AB⊥平面APD，CD⊥平面APD，所以PA⊥AB，PD⊥CD，S△PAB=S△PCD=12×AB×AP=√3，因为PB=PC=√PA2+AB2=√7，BC=√3，作PH⊥BC于H，所以H为BC的中点，所以PH=√PB2−(12BC)2=√7−34=52，所以S△PBC=12×PH×BC=5√34，S矩形ABCD=2√3，所以S表=S△PAD+S△PAB+S△PCD+S矩形ABCD=6√3。
2025届立体几何微专题外接球问题
外接球问题一、柱体外接球问题公式：R 2=r 2+h 22，其中R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为柱体的高.此模型适用于直三棱柱、圆柱、一条侧棱垂直于底面棱锥等，外接圆半径可由正弦定理求得，高为柱体的高或垂直于底面的侧棱长.1.已知正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的体积为()A.16π3B.165π3C.205π3D.20π3【答案】C【解析】如图,设正六棱柱下底面的中心为O ,其外接球的圆心为点O ,则OO =1,△ABO 为等边三角形,故AO =2,OA 即为其外接球的半径,所以R =AO =AO 2+OO 2=22+12=5,所以该正六棱柱的外接球的体积为43π5 3=2053π.2.在三棱锥P -ABC 中，AC ⊥平面P AB ，AB =6，AC =10，BP =22，∠ABP =45°，则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为()A.144πB.128πC.140πD.148π【答案】C【解析】在△ABP中由余弦定理AP2=AB2+BP2-2AB⋅BP cos∠ABP=62+222-2×6×22×22=20，所以AP=25，设△ABP外接圆的半径为，则2r=APsin∠ABP=2522=210，所以r=10，又AC⊥平面P AB，AC=10，设三棱锥P-ABC外接球的半径为，则R2=r2+AC22=102+52=35，所以三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR2=140π.3.直三棱柱ABC-A B C 的各个顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC= 2.若球O的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是.【答案】1 2【解析】∵AB=AC=1，BC=2，∴AB⊥AC，∴直三棱柱ABC-A B C 外接球的球心O即为侧面BCC B 的中心，设球O半径为r，则4πr2=3π，∴r=32，即OC=r=3 2，∴直三棱柱ABC-A B C 的高h=2r2-12BC2=1，∴直三棱柱ABC-A B C 的体积V=S△ABC⋅h=12×1×1×1=124.圆柱的底面半径为1,侧面积为10π,则该圆柱外接球的表面积为.【答案】29π【解析】设圆柱的高为h,其外接球的半径为R,由圆柱的底面半径为1,侧面积为10π,得2πh=10π,解得h=5,由圆柱和球的对称性可知,球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处,因此R=1+522=292,所以球的表面积为S=4πR2=29π.5.如图，该“四角反棱柱”是由两个相互平行且全等的正方形经过旋转、连接而成，其侧面均为等边三角形，已知该“四角反棱柱”的棱长为4，则其外接球的表面积为.【答案】32+82π【解析】如图，由题意可知旋转角度为π2，设上、下正方形的中心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2的中点O即为外接球的球心，其中点B为所在棱的中点，OA即为该几何体的外接球的半径，O1A=22，O2B=2，AB=23，过点B作BC⊥O1A于点C，则AC=O1A-O2B=22-2，BC=AB2-AC2=8 2.易得四边形CBO1O2为矩形，即O1O2=BC=82，OO1=12O1O2=22，则OA=OO12+O1A2=8+22，即R=8+22，S=4πR2=32+82π，即该“四角反棱柱”的外接球的表面积为32+82π.二、长方体外接球问题公式：R=a2+b2+c22此模型适用于长方体、三条棱两两垂直的三棱锥、四棱锥等模型，其中a、b、c为长方体的长宽高，或者锥体的三条互相垂直的棱长.此类型外接球问题，可拓展出对棱相等模型：若三棱锥三组对棱分别对应相等，则三棱锥可看作为长方体的一部分，则其外接球公式为：R=λ2+μ2+ϕ28，其中λ、μ、ϕ为三组对棱的长.6.已知长方体的一条棱长为2,体积为16,则其外接球表面积的最小值为()A.5πB.12πC.20πD.80π【答案】C【解析】设长方体的长、宽、高分别为a,b,2,所以长方体的体积为V=2ab=16,解得：ab=8,设长方体的外接球的半径为R,所以2R=a2+b2+4,即4R2=a2+b2+4≥2ab+4=20,即R≥5,当且仅当a=b=22时取等,所以R min=5,所以其外接球表面积的最小值为S=4πR2=20π.7.已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球O的球面上，且SA=BC=2，SB=AC=7，SC=AB=5，则球O的体积是().A.83π B.3223π C.423π D.823π【答案】D【解析】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为a，b，c，如图所示：则a2+b2=5a2+c2=7b2+c2=4，故a2+b2+c2=8，球O的半径R=12a2+b2+c2=2，故体积为43πR3=82π3.故选：D.将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为a，b，c，可得则a2+b2=5 a2+c2=7 b2+c2=4，得到球半径，计算体积得到答案.三、锥体外接球模型公式：R2=r2+h-R2此模型适用于圆锥、正棱锥等，其中R为外接球半径，r为底面圆的半径，h为锥体的高，特别的，正四面体的外接球半径公式为：R=64a.8.已知正三棱锥P-ABC的四个顶点都在半径为R的球面上,且AB=2,若三棱锥P-ABC的体积为32R,则该球的表面积为()A.32π27B.16π9C.64π27D.64π9【答案】D【解析】由题意得,△ABC为等边三角形,取△ABC的中心O1,设球心为O ,易得P ,O ,O 1共线,设三棱锥的高为h ,S △ABC =12×22×32=3,则V P -ABC =13⋅S △ABC ⋅h =32R ,则h =32R ,又OA =OP =R ,由正弦定理得,O 1A =12⋅2sin π3=233,在△OAO 1中,O 1O 2+O 1A 2=OA 2,即32R -R2+2332=R 2,解得R =43,则球的表面积为4πR 2=64π9.9.已知正四棱锥P -ABCD 的各顶点都在同一球面上,且该球的体积为36π,若正四棱锥P -ABCD 的高与底面正方形的边长相等,则该正四棱锥的底面边长为()A.16B.8C.4D.2【答案】C【解析】如图所示,设P 在底面的投影为G ,易知正四棱锥P -ABCD 的外接球球心在PG 上,不妨设球半径r ,OG =h ,AB =2a ,该球的体积为36π,即43πr 3=36π⇒r =3=OA =OP ,又正四棱锥P -ABCD 的高与底面正方形的边长相等,则AG =2a ,PG =2a ,AG 2+OG 2=r 2=PG -OG 2即2a -h2=92a 2+h 2=9⇒h =12a =4.四、垂面模型(两平面互相垂直)公式：R 2=r 21+r 22-l 24，其中R 为外接圆半径，r 1、r 2分别为两个垂直平面的外接圆半径，l 为公共边长.10.在体积为12的三棱锥A -BCD 中，AC ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ACD ⊥平面BCD ，∠ACD =π3，∠BCD =π4，若点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，则球O 的表面积为()A.12πB.16πC.32πD.48π【答案】D 【解析】如图，取CD 的中点O ，连接AO ，BO ，因为AC ⊥AD ，BC ⊥BD ，所以OA =OB =OC =OD ，因此点O 就是球心，又∠BCD =π4，故△BCD 是等腰直角三角形，所以OB ⊥CD .因为平面ACD ⊥平面BCD ，平面ACD ∩平面BCD =CD ，所以OB ⊥平面ACD .设球O 半径为R ，则OB =R ，AC =R ，又∠ACD =π3，则AD =3R ，所以三棱锥A -BCD 的体积V =13S △ACD ⋅OB =13×12×AC ⋅AD ⋅OB =36R 3=12，所以R =23，所以球O 的表面积为4πR 2=48π.11.在三棱锥P -ABC 中,AB =BC =10,∠ABC =120°,D 为AC 的中点,PD ⊥平面ABC ,且PD =15,则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为.【答案】500π【解析】在△ABC 中,AB =BC =10,∠ABC =120°,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC ⋅cos ∠ABC =300,所以AC =103,设△ABC 的外接圆O 1的半径为r ,则由正弦定理得2r =AC sin ∠ABC =103sin120°,解得r =10结合图形分析：因为D 为AC 的中点,PD ⊥平面ABC ,且PD =15,在Rt △ABD 中,AD =12AC =53,BD =AB 2-AD 2=5,又O 1B =r =10,则圆心O 1到D 点的距离为O 1D =5,另设三棱锥P -ABC 的外接球球心O 到平面ABC 的距离为OO 1=d ,设外接球的半径为R ,则Rt △O 1OB 中,O 1B 2+OO 21=OB 2,即102+d 2=R 2,直角梯形O 1OPD 中,O 1D 2+PD -OO 1 2=OP 2,即52+15-d 2=R 2,解得d =5,R 2=125,所以S =4πR 2=500π..五、两面相交模型公式：R 2=m 2+n 2-2mn cos θsin 2θ+l 24，其中m 、n 为外心到公共边的距离，l 为公共边长，θ为二面角大小，若仅有一个面为钝角三角形，则取其补角.12.如图,在三棱锥P -ABC ,△P AC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形,且CB =22,AB =AC =6,二面角P -AC -B 的大小为120°,则三棱锥P -ABC 的外接球表面积为.【答案】10π【解析】先分别作BC ,AC 中点E ,F ,连接AE ,PF ;再过点F 在平面ABC 内作AC 垂线,与AE 相交于点G ,AB 相交于点H ;分别过点F ,G 作平面P AC ,平面ABC 垂线,相交于点O ,连接AO ,如图所示,由题可知,二面角P -AC -B 的平面角为∠HFP =120°,点F ,G 分别为△P AC ,△ABC 的外心,故O 为该三棱锥外接球球心,AO 为外接球半径,可得,OF ⊥PF ,OG ⊥FH ,OG ⊥AG ,所以∠OFG =30°在△ABC 中,sin ∠CAE =CE AC=12BCAC=26=33所以tan ∠CAE =22,sin ∠BAC =sin2∠CAE =223,所以FG =AF tan ∠CAE =62×22=32,由正弦定理可知BCsin ∠BAC=2AG ⇒AG =32因为∠OFG =30°,OG ⊥FH 所以OG =FG tan30°=12因为OG ⊥AG所以有OA 2=AG 2+OG 2=52所以外接表面积为4πOA 2=10π13.如图，三棱锥P -ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，P A ⊥PC ，△ABC 是边长为6的正三角形，二面角P -AC -B 的大小为120°，则球O 的体积为.【答案】52133π/5213π3【解析】取AC 的中点D ，连接BD ，设E 为△ABC 的外心，则点E 在BD 上且BE =2ED ，因为P A ⊥PC ，则D 为Rt △APC 的外心，根据球的几何性质，则OE ⊥平面ABC ，OD ⊥平面P AC ，因为二面角P -AC -B 的大小为120°，平面OAC ⊥平面P AC ，则二面角O -AC -B 的大小为30°，所以∠ODE =30°，因为△ABC 是边长为6的正三角形，则BD =6sin60°=33，所以ED =BD3=3，在Rt △OED 中，OD =EDcos30°=2，在Rt △ADO 中，因为AD =3，则OA =AD 2+OD 2=13，所以球O 的半径R =13，表面积为V 球=43πR 3=43π×1313=52133π.14.三棱锥A -BCD 中，BC =CD =2，BC ⊥CD ，△ABD 是正三角形，AC =14，则三棱锥A -BCD 的体积为；此三棱锥外接球的表面积为.【答案】63；56π3【解析】设BD的中点为P,连接CP,AP因为△ABD是正三角形,所以AB=AD,又因为BC=CD=2,所以有CP⊥BD,AP⊥BD,而CP∩AP=P,CP,AP⊂平面ACP,因此有BD⊥平面ACP,因为BC=CD=2,BC⊥CD,所以BD=BC2+CD2=4+4=22，CP=12BD=2因为△ABD是正三角形,BD的中点为P,所以AP=(22)2-12×222=6,而AC=14,根据余弦定理可知：cos∠APC=6+2-142×6×2=-32⇒∠APC=5π6因为BD的中点为P,所以三棱锥A-BCD的体积为:1 3S△ACP⋅BD=13×12×6×2×12×22=63因为BC=CD=2,BC⊥CD,BD的中点为P,所以P是△BCD的外心,设O1为△ABD的外心,过P作平面BCD的垂线，过O1作平面ABD的垂线，两个垂线的交点为球心O,在正△ABD中,O1P=13AP=63,O1A=23AP=263由上可知:∠APC=5π6,于是∠OPO1=5π6-π2=π3，于是有OO1=tan π3⋅O1P=3×63=2,在直角三角形OO1A中,OA=O1O2+O1A2=2+249=423因此此三棱锥外接球的表面积为4π⋅4232=56π3.六、台体的外接球模型公式：利用R2=r21+h-x2=r22+x2建立方程求解，其中h为台体高，r1、r2为底面圆(或外接圆)半径.15.已知某圆台的母线长为22，母线与轴所在直线的夹角是45°，且上、下底面的面积之比为1:4，则该圆台外接球的表面积为()A.40πB.64πC.80πD.128π【答案】C【解析】根据题意，将圆台补全为圆锥，记圆锥顶点为E，取圆锥的轴截面EAB，记该轴截面与圆台的交点为ABCD，记圆台上底面圆心为M，下底面圆心为N，根据圆台的对称性可知，其圆台的对称性可知，其外接球球心O在中轴线EN上，连接OC，OB如图所示:因为上、下底面的面积之比为1:4，则上底面半径与下底面半径之比为1:2，即BN=2MC，则有EB=2EC=2BC，EN=2MN，又由∠AEN=45°，则∠AEB=90°，而BC=22，则有MC=2，BN= 4，EN=4，则有NM=2，记圆台外接球半径为R，ON=h，在直角△OCM和直角△OBN中由勾股定理知：OM2+CM2=OC2，ON2+BN2=OB2，则有(h+2)2+4= h2+16，解可得h=2，故圆台外接球的半径R2=OB2=4+16=20，则该圆台外接球的表面积S=4πR2= 80π.16.已知正四棱台的顶点都在同一球面上,其上、下底面边长分别为2,22,高为3,则该球的表面积为()A.40πB.20πC.16πD.205π3【答案】B【解析】法一:正四棱台的对角面的外接圆为其外接球O 的大圆(如下图),对角面为等腰梯形AA C C ,其上下底边长分别为2,4,高为3,由正四棱台的对称性可知,球O 的球心O 在梯形上下底的中点连线O 1O 2所在直线上,设OO 1=d ,则OO 2=3-d ,球O 半径为OC =R =OC ,由Rt △OO 1C ,Rt △OO 2C 可得R 2=|3-d |2+22=d 2+12,解得d =2,R =5,所以所求的球O 的表面积为4πR 2=20π,法二:下底的外接圆不大于球的大圆,故球半径R ≥2(下底对角线长的一半),表面积4πR 2≥16π,排除D ;对角面等腰梯形AA C C 的对角线长32,故球半径R >322,表面积4πR 2>18π,排除C ;若4πR 2=40π,则R =10,易求球心到A C 的距离为d 1=3,球心到AC 的距离为d 2=6,无法满足d 1+d 2 =h =3,或d 1-d 2 =h =3,排除A .。
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立体几何之外接球问题一讲评课1课时总第课时月日1、已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为( )A. B. C. D.2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.B. C.D.3、已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( )A. B. C. D.4、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A.B. C.D.5、已知都在半径为的球面上，且，，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（）A. B.C. D.6、某几何体的三视图如图所示，这个几何体的内切球的体积为（）A.B.C. D.7、四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（）A. B. C. D.8、一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.B. C.D.9、一个棱长都为的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.B.C. D.10、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为( )A. B. C. D.立体几何之外接球问题二讲评课1课时总第课时月日11、若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为__________.12、底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________.13、底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则棱长均为的正三棱柱外接球的表面积为__________.14、若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则__________.15、若一个正方体的表面积为，其外接球的表面积为，则__________.16.已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角为，则球的表面积为__________．16、在三棱锥中,平面，，，,则此三棱锥外接球的体积为__________18、底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为__________.17、三棱柱的底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为，则三棱柱的最大体积为__________.20、一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则这个球的表面积为__________.立体几何之三视图问题1讲评课1课时总第课时月日3、一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积是( )A. B. C. D.4、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A. B. C. D.5、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A. B.C.D.6、某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C. D.7、多面体的底面矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为( )A.B.C.D.8、某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.9、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积的最大值是（）A. B. C. D.10、一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积是（）A. B. C. D.11、若某空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A. B. C. D.12、某几何体三视图如下图所示，则该几何体的体积是（）D.A. B. C.13、一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积为（）A. B.C. D.14、已知一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是等腰梯形，则该几何体的体积为（）D.A.B. C.15、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的体积为（）C. D.A. B.立体几何之三视图问题2讲评课1课时总第课时月日16、某长方体的三视图如右图，长度为的体对角线在正视图中的长度为，在侧视图中的长度为，则该长方体的全面积为__________.17、一个空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为__________.18、一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积__________．19、已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示（单位：）,则该四棱锥的体积为__________.20、一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________.21、已知一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________.22、某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是正方形，则该三棱锥最长棱的长是__________.23、一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为____．24、2016年11月18日13时59分，神舟十一号飞船返回舱在内蒙古中部预定区域成功着陆. 神舟十一号载人飞行，是我国迄今为止时间最长的一次载人航天飞行，在轨33天飞行中，航天员景海鹏、陈冬参与的实验和实验多达38项. “跑台束缚系统”是未来空间站长期飞行的关键锻炼设备，本次任务是国产跑台首次太空验证. 如图所示是“跑台束缚系统”中某机械部件的三视图（单位：），则此机械部件的表面积为__________.25、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________．立体几何之外接球问题答案解析第1题答案C第1题解析如图所示，∵，∴为直角，即过的小圆面的圆心为的中点，和所在的平面互相垂直，则圆心在过的圆面上，即的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径，球的表面积为，故选．第2题答案B第2题解析设球心为，设正三棱柱上底面为，中心为，因为三棱柱所有棱的长都为，则可知，，又由球的相关性质可知，球的半径，所以球的表面积为，故选.第3题答案C第3题解析如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选.第4题答案D第4题解析该几何体为三棱锥,设球心为，分别为和的外心，易求得,，∴球的半径，∴该几何体外接球的表面积为．第5题答案B第5题解析∵，∴，∴圆心在平面的射影为的中点，∴，∴．∴，当线段为截面圆的直径时，面积最小，∴截面面积的最小值为.第6题答案C第6题解析此几何体是底面边长为，高为的正四棱锥，可算出其体积为，表面积为. 令内切球的半径为，则，从而内切球的体积为，故选C.第7题答案B第7题解析由题意可知四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的直径，且四棱锥的高半径，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为，于是,，进而球的体积. 故选.第8题答案B第8题解析由题可知该三棱锥为一个棱长的正方体的一角，则该三棱锥与该正方体有相同的外接球，又正方体的对角线长为，则球半径为，则. 故选.第9题答案A如图：设、为棱柱两底面的中心，球心为的中点.又直三棱柱的棱长为，可知，，所以，因此该直三棱柱外接球的表面积为，故选.第10题答案D第10题解析此几何体是三棱锥，底面是斜边长为的等腰直角三角形，且顶点在底面内的射影是底面直角三角形斜边的中点.易知，三棱锥的外接球的球心在上.设球的半径为，则，∵，∴，解得：，∴外接球的表面积为.第11题答案第11题解析过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆⊙和外切圆⊙，且两圆同圆心，即的内心与外心重合，易得为正三角形，由题意⊙的半径为，∴的边长为，∴圆锥的底面半径为，高为，∴．第12题答案设球心为,正三棱柱的上下底面的中心分别为，，底面正三角形的边长为，则，由已知得底面，在中，,由勾股定理得，故三棱柱体积，又，所以，则.第13题答案第13题解析底面正三角形外接圆的半径为，圆心到底面的距离为，从而其外接圆的半径，则该球的表面积.第14题答案第14题解析设正四面体棱长为，则正四面体表面积为，其内切球半径为正四面体高的，即，因此内切球表面积为，则.第15题答案第15题解析设正方体棱长为，则正方体表面积为，其外接球半径为正方体体对角线长的，即为，因此外接球表面积为，则.第16题答案第16题解析设正的外接圆圆心为，易知，在中，，故球的表面积为.第17题答案第17题解析根据题意球心到平面的距离为，在的外接圆的半径为，所以球的半径为,所以此三棱锥的外接球的体积为,所以答案为:.第18题答案第18题解析设所给半球的半径为，则棱锥的高，底面正方形中有，所以其体积，则，于是所求半球的体积为.第19题答案第19题解析依题意,外接球的表面积为,所以.如图所示,三棱柱外接圆球心为,设,在直角三角形中,所以.三棱柱的体积为,当且仅当时取得最大值.第20题答案第20题解析由已知可得长方体的体对角线为球的直径：,所以.所以球的面积为.。