[考研类试卷]考研数学二(微分方程)模拟试卷6.doc

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[考研类试卷]考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编6.doc

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[考研类试卷]考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编6一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1 设A是三阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为( )2 设A为三阶矩阵,将A的第2列加到第1列得矩阵B,再交换B的第2行与第3行得单位矩阵。

记,则A=( )(A)P1P2。

(B)P1-1P2。

(C)P2P1。

(D)P2P1-1。

3 设,其中c1,c2,c3,c4为任意常数,则下列向量组线性相关的为( )(A)α1,α2,α3。

(B)α1,α2,α4。

(C)α1,α3,α4。

(D)α2,α3,α4。

4 设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是( )(A)α1一α2,α2一α3,α3一α1。

(B)α1+α2,α2+α3,α3+α1。

(C)α1一2α2,α2—2α3,α3—2α1。

(D)α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1。

5 设矩阵。

若集合Ω={1,2},则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为( )6 矩阵相似的充分必要条件为( )(A)a=0,b=2。

(B)a=0,b为任意常数。

(C)a=2,b=0。

(D)a=2,b为任意常数。

7 设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22一y32,其中P=(e1,e2,e3),若Q=(e1,一e3,e2),则f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准形为( )(A)2y12—y22+y32。

(B)2y12+y22一y32。

(C)2y12一y22一y32。

(D)2y12+y22+y32。

二、填空题8 设三阶方阵A,B满足A2B一A—B=E,其中E为三阶单位矩阵,若A=,则|B|=_________。

9 设A,B为三阶方阵,且|A|=3,|B|=2,|A-1+B|=2,则|A+B-1|=_________。

10 设A=,E为四阶单位矩阵,且B=(E+A)-1(E—A)则(E+B)-1=_________。

考研数学二(常微分方程)模拟试卷4(题后含答案及解析)

考研数学二(常微分方程)模拟试卷4(题后含答案及解析)

考研数学二(常微分方程)模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.已知微分方程y’’+by’+y=0的每个解都在区间(0,+∞)上有界,则实数b 的取值范围是( )A.[0,+∞).B.(一∞,0].C.(一∞,4].D.(一∞,+∞).正确答案:A解析:方程y’’+by’+y=0的特征方程为r2+6r+1=0,特征根为(1)b2<4时,原方程通解为(2)b2=4时,原方程通解为(3)b2>4时,原方程通解为由以上解的形式可知,当b≥0时,每个解都在[0,+∞)上有界,故选A.知识模块:常微分方程2.具有特解y1=e-x,y2=2xe-x,y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是( )A.y’’’一y’’一y’+y=0.B.y’’’+y’’一y’一y=0.C.y’’’一6y’’+11y’一6y=0.D.y’’’一2y’’一y’+2y=0.正确答案:B解析:由y1=e-x,y2=2xe-x,y3=3ex是所求方程的三个特解知,r=一1,一1,1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根,则其特征方程为(r —1)(r+1)2=0,即r3+r2一r—1=0,对应的微分方程为y’’’+y’’一y’一y=0,故选B.知识模块:常微分方程3.函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是( )A.y’’一y’一2y=3xex.B.y’’一y’一2y=3ex.C.y’’+y’一2y=3xex.D.y’’+y’一2y=3ex.正确答案:D解析:根据所给解的形式,可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为λ1=1,λ2=一2.因此对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0.故对应的齐次微分方程为y’’+y’一2y=0.又因为y*=xex为原微分方程的一个特解,而λ=1为特征根且为单根,故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形为f(x)=Cex(C为常数).比较四个选项,应选D.知识模块:常微分方程4.设是微分方程的解,则的表达式为( )A.1B.1C.1D.1正确答案:A解析:1 知识模块:常微分方程5.微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y|x=2=1的特解为( )A.xy2=4.B.xy=4.C.x2y=4.D.一xy=4.正确答案:C解析:原微分方程分离变量得,两端积分得ln|y|=一2ln|x|+lnC,x2y=C,将y|x=2=1代入得C=4,故所求特解为x2y=4.应选C.知识模块:常微分方程6.已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解,则方程的通解为( )A.y=Cy1(x).B.y=Cy2(x).C.y=C1y1(x)+C2y2(x).D.y=C(y1(x)一y2(x)).正确答案:D解析:由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解,则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解,则y=C(y1(x)一y2(x))为该方程的解.知识模块:常微分方程7.设线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x)的解,C1,C2是任意常数,则该非齐次方程的通解是( ) A.C1y1+C2y2+y3.B.C1y1+C2y2一(C1+C2)y3.C.C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3.D.C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3.正确答案:D解析:因为y1,y2,y3是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)线性无关的解,所以(y1一y3),(y2一y3)都是齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解,且(y1一y3)与(y2一y3)线性无关,因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3).比较四个选项,且由线性微分方程解的结构性质可知,故选D.知识模块:常微分方程8.已知,y1=x,y2=x2,y3=ex为方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解,则该方程的通解为( )A.y=C1x+C2x2+ex.B.y=C1x2+C2ex+x.C.y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x.D.y=C1(x一x2)+C2(x2一ex).正确答案:C解析:方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程,则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解,则原方程通解为y=C1(x 一x2)+C2(x一ex)+x,故选C.知识模块:常微分方程填空题9.微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解为____________.正确答案:y=C1excosx+C2exsinx+ex解析:对应的特征方程为r2一2r+2=0,解得其特征根为r1,2=1±i.由于α=1不是特征根,可设原方程的特解为y*=Ae2,代入原方程解得A=1.因此所求的通解为y=C1exeosx+C2exsinx+ex.知识模块:常微分方程10.二阶常系数非齐次线性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解为y=______________.正确答案:y=C1ex+C2e3x-2e2x解析:特征方程为r2一4r+3=0,解得r1=1,r2=3.则对应齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x.设非齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=2e2x 的特解为y*=ke2x,代入非齐次方程可得k=-2.故通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x.知识模块:常微分方程11.微分方程满足初始条件y|x=2=1的特解是___________.正确答案:x=y2+y解析:将x看作未知函数,则上式为x对y的一阶线性方程,又因y=1>0,则将x=2,y=1代入,得C=1.故x=y2+y.知识模块:常微分方程12.微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=____________.正确答案:(x+C)cosx,C是任意常数解析:直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知知识模块:常微分方程13.已知y1=e3x一xe2x,y2=ex一xe2x,y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程的通解为y=_____________.正确答案:y=C1e3x+C2ex一xe2x,C1,C2为任意常数解析:显然y1一y3=e3x和y2-y2=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解.且y*=一xe2x是非齐次微分方程的一个特解.由解的结构定理,该方程的通解为y=C1e3x+C2e一xe2x,其中C1,C2为任意常数.知识模块:常微分方程14.设y=ex(asinx+bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为____________.正确答案:y’’-2y’+2y=0解析:由通解的形式可知,特征方程的两个根是r1,r2=1±i,因此特征方程为(r-r1)(r—r2)=r一(r1+r2)r+r1r2=r2一2r+2=0.故,所求微分方程为y’’一2y’+2y=0.知识模块:常微分方程15.微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=_____________.正确答案:xe1-x解析:此方程为一阶齐次微分方程,令y=ux,则有,所以原方程可化为解此微分方程得ln|lnu一1|=ln|C1x|,去绝对值可得lnu=C1x+1,u=eC1x+1,将u|x=1=1代入,得C1=一1,u=e1-x,因此原方程的解为y=xe1-x.知识模块:常微分方程16.微分方程xy’’+3y’=0的通解为_______________.正确答案:解析:令p=y’,则原方程化为,其通解为p=Cx-3.因此,知识模块:常微分方程17.微分方程的通解是____________.正确答案:y=Cxe-x(x≠0)解析:原方程等价为两边积分得lny=lnx—x+C1.取C=eC1,整理得y=Cxe-x(x ≠0).知识模块:常微分方程18.微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解为__________.正确答案:解析:将已知微分方程变形整理得,知识模块:常微分方程19.微分方程的通解为____________.正确答案:解析:二阶齐次微分方程的特征方程为知识模块:常微分方程20.微分方程满足y|x=1=1的特解为_____________.正确答案:解析:知识模块:常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(常微分方程)模拟试卷24

考研数学二(常微分方程)模拟试卷24

考研数学二(常微分方程)模拟试卷24(总分:54.00,做题时间:90分钟)一、选择题(总题数:2,分数:4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________ 解析:2.设线性无关的函数y 1.y 2,y 3都是二阶非齐次线性微分方程y”+py’+qy=f(x)的解,C 1、C 2是任意常数,则该非齐次方程的通解是(分数:2.00)A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 2 +C 2 y 2一(C 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2一(1一C 1—C 2 )y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1一C 1—C 2 )y 3√解析:二、填空题(总题数:4,分数:8.00)3.—x+y—1)的通解为 1.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:[*])解析:4.微分方程(y 2 +x)dx一2xydy=0的通解为 1.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:y 2 =x(ln|x|+C))解析:5. 1.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:[*])解析:6.方程y"一3y’+2y=2e x的通解为 1.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:y=C 1 e x +C 2 e 2x一2xe x)解析:三、解答题(总题数:21,分数:42.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________ 解析:8.(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________正确答案:()解析:9.求下列方程通解或满足给定初始条件的特解:1)y’+1=xe x+y.4)(1+x)y”+y’=0 5)yy”一(y’) 2 =y 4,y(0)=1.y’(0)=0 6)y"+4y’+1=0 7)y"+9y=cos(2x+5) 8)y"'一3y”+9y’+13y=e 2x sin2x(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________正确答案:(正确答案:2)x(csc(x+y)一cot(x+y))=C 3)y=(x+C)cosx 4)y=C 1ln|1+x|+C 2) 解析:10.已知y 1 =3,y 2 =3+x 2,y 3 =3+e x.是二阶线性非齐次方程的解,求方程通解及方程.(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:(正确答案:所求方程为(2x一x 2)y”+(x 2一2)y’+2(1一x)y=6(1-x).通解为: y=C 1 x 2 +C 2 e x +3)解析:11.已知函数y=e 2x +(x+1)e x是二阶常系数线性非齐次方程y”+ay’+by=ce x的一个特解,试确定常数a,b,c及该方程的通解.(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:(正确答案:a=一3,b=2,c=一1.y=C 1 e 2x +C 2 e x +xe x)解析:12.设有微分方程y’一2y=φ(x),其中φ试求在(一∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(一∞,1),(1,+∞)内都满足所给方程,且满足条件y(0)=0.(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________正确答案:()解析:13.已知y"+(x+e 2y )y '3 =0。

考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)

考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)

考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.考虑二元函数的下面4条性质:①f(x,y)在点(x0,y0)处连续;②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续;③f(x0,y0)在点(x0,y0)处可微;④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在.若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q,则有A.②→③→①.B.③→②→①.C.③→④→①.D.③→①→④.正确答案:A 涉及知识点:多元函数微分学2.设有三元方程xy-zlny+exz=1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数z=x(y,x)和z=z(x,y).D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,2).正确答案:D 涉及知识点:多元函数微分学3.已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且,则A.点(0,0)不是f(x,y)的极值点.B.点(0,0)是f(x,y)的极大值点.C.点(0,0)是f(x,y)的极小值点.D.根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.正确答案:A 涉及知识点:多元函数微分学4.设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值,则下列结论正确的是A.f(x0,y)在y=y0处的导数等于零.B.f(x0,y)在y=y0处的导数大于零.C.f(x0,y)在y=y0处的导数小于零.D.f(x0,y)在y=y0处的导数不存在.正确答案:A 涉及知识点:多元函数微分学填空题5.设z=ex-f(x-2y),且当y=0时,z=x2,则=________。

考研数学二(微分方程)模拟试卷2(题后含答案及解析)

考研数学二(微分方程)模拟试卷2(题后含答案及解析)

考研数学二(微分方程)模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.设线性无关的函数y1(x),y2(x),y3(x)均是方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解,C1,C2是任意常数,则该方程的通解是( )A.C1y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2一(C1+C2)y3C.C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3D.C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3正确答案:D解析:由于C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3,其中y1一y3和y2一y3是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解,又y3是原方程的一个特解,所以(D)是原方程的通解.知识模块:微分方程2.设二阶线性常系数齐次微分方程y”+by’+y=0的每一个解y(x)都在区间(0,+∞)上有界,则实数b的取值范围是( )A.[0,+∞)B.(一∞,0]C.(-∞,4]D.(一∞,+∞)正确答案:A解析:因为当b≠±2时,y(x)=,所以,当b2—4>0时,要想使y(x)在区间(0,+∞)上有界,只需要即b>2.当b2—4<0时,要想使y(x)在区间(0,+∞)上有界,只需要的实部大于等于零,即0≤b<2.当b=2时,y(x)=C1e-x+C2xe-x 在区间(0,+∞)上有界.当b=一2时,y(x)=C1ex+C2xex(C12+C22≠0)在区间(0,+∞)上无界.综上所述,当且仅当b≥0时,方程y”+by’+y=0的每一个解y(x)都在区间(0,+∞)上有界,故选(A).知识模块:微分方程3.具有特解y1=e-x,y2=2xe-x,y3=3ex的三阶线性常系数齐次微分方程是( )A.y”‘一y”一y’+y=0B.y”‘+y”一y’一y=0C.y”‘一6y”+11y’一6y=0D.y”‘一2y”一y’+2y=0正确答案:B解析:根据题设条件,1,一1是特征方程的两个根,且一1是重根,所以特征方程为(λ一1)(λ+1)2=λ3+λ2一λ一1=0,故所求微分方程为y”‘+y”一y’一y=0,故选(B).或使用待定系数法,具体为:设所求的三阶线性常系数齐次微分方程是y”‘+ay”+by’+cy=0.由于y1=e-x,y2=2xe-x,y3=3ex 是上述方程的解,所以将它们代入方程后得解得a=1,b=一1,c=一1.故所求方程为y”‘+y”一y’一y=0,即选项(B)正确.知识模块:微分方程4.函数(其中C是任意常数)对微分方程而言,( )A.是通解B.是特解C.是解,但既非通解也非特解D.不是解正确答案:C解析:(1)因原方程阶数为二,通解中应包含两个任意常数(可求出通解为C1+(2)特解中不含有任意常数满足原方程,故选项(A),(B),(D)都不对,应选(C).知识模块:微分方程5.微分方程y”一6y’+8y=ex+e2x的一个特解应具有形式(其中a,b为常数) ( )A.aex+be2xB.aex+bxe2xC.axex+be2xD.axex+bxe2x正确答案:B解析:由原方程对应齐次方程的特征方程r2-6r+8=0得特征根r1=2,r2=4.又f1(x)=ex,λ=1非特征根,对应特解为y1*=aex;f2(x)=e2x,λ=2为特征单根,对应特解为y2*=bxe2x.故原方程特解的形式为aex+bxe2x,即选(B).知识模块:微分方程6.微分方程y”+2y’+2y=e-xsin x的特解形式为( )A.e-x(Acos x+Bsin x)B.e-x(Acos x+Bxsin x)C.xe-x(Acos x+Bsin x)D.e-x(Axcos x+Bsin x)正确答案:C解析:特征方程r2+2r+2=0即(r+1)2=一1,特征根为r1.2=一1±i,而λ±i ω=一1±i是特征根,特解y*=xe-x(Acosx+Bsin x).知识模块:微分方程7.微分方程的通解是( )A.2e3x+3ey2=CB.2e3x+=CC.2e3x一=CD.e3x—=C正确答案:C解析:原方程写成,分离变量有.积分得知识模块:微分方程8.微分方程y”一4y’+4y=x2+8e2x的一个特解应具有形式(其中a,b,C,d为常数) ( )A.ax2+bx+ce2xB.ax3+bx+C+dx2e2xC.ax2+bx+cxe2xD.ax2+(bx2+cx)e2x正确答案:B解析:对应特征方程为r2一4r+4=0,特征根是r1,2=2而f1=x2,λ1=0非特征根,故y1*=ax2+bx+c:又f2=8e2x,λ2=2是二重特征根,所以y2*=dx2e2x.y1*与y2*合起来就是特解,选(B).知识模块:微分方程填空题9.设y1=ex,y2=x2为某二阶线性齐次微分方程的两个特解,则该微分方程为__________.正确答案:解析:由于方程形状已知,故只要将两个特解分别代入并求出系数即可.设所求的二阶线性齐次微分方程为y”+p(x)y’+q(x)y=0分别以y1=ex,y2=x2代入,得知识模块:微分方程10.设p(x),q(x)与f(x)均为连续函数,f(x)≠0.设y1(x),y2(x)与y3(x)是二阶线性非齐次方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x) ①的3个解,且则式①的通解为_______正确答案:y=C1(y1—y2)+C2(y2一y3)+y1,其中C1,C2为任意常数解析:由线性非齐次方程的两个解,可构造出对应的齐次方程的解,再证明这样所得到的解线性无关便可.y1一y2与y2一y3均是式①对应的线性齐次方程y”+p(x)y’+q(x)y=0 ②的两个解.今证它们线性无关.事实上,若它们线性相关,则存在两个不全为零的常数k1与k2使k1(y1一y2)+k2(y2一y3)=0.③设k1≠0,又由题设知y2-y3≠0,于是式③可改写为矛盾.若k1=0,由y2一y3≠0,故由式③推知k2=0矛盾.这些矛盾证得y1一y2与y2-y3线性无关.于是Y=C1(y1一y2)+C2(y2一y3) ④为式②的通解,其中C1,C2为任意常数,从而知y=C1(y1一y2)+C2(y2-y3)+y1 ⑤为式①的通解.知识模块:微分方程11.微分方程满足初值条件y(0)=0,y’(0)=的特解是______.正确答案:x=ey一e-y一解析:熟悉反函数的导数的读者知道,原方程可化为x关于y的二阶常系数线性方程.将式①代入原方程,原方程化为解得x关于y的通解为x=C1ey+C2e-y一②以x=0时,y=0代入上式,得0=C1+C2.再将式②两边对y求导,有解得C1=1,C2=一1,于是得特解x=ey—e-y一知识模块:微分方程12.设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且对任意x∈(一∞,+∞),y∈(一∞,+∞),成立f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,且f’(0)存在等于a,a≠0,则f(x)=________.正确答案:axex解析:由f’(0)存在,设法去证对一切x,f’(x)存在,并求出f(x).将y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,得f(x)=f(x)+f(0)ex,所以f(0)=0.令△x→0,得f’(x)=f(x)+exf’(0)=f(x)+aex,所以f’(x)存在.解此一阶微分方程,得f(x)=ex[∫aex.e-xdx+C]=ex(sx+C).因f(0)=0,所以C=0,从而得f(x)=axex,如上所填. 知识模块:微分方程13.设f(x)在(一∞,+∞)上可导,且其反函数存在为g(x).若∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex-ex+1,则当一∞<x<+∞时.f(x)=______.正确答案:解析:未知函数含于积分之中的方程称积分方程.现在此积分的上限为变量,求此方程的解的办法是将方程两边对x求导数化成微分方程解之.注意,积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中,读者应自行设法挖掘之.将所给方程两边对x求导,有g(f(x))f’(x)+f(x)=xex.因g(f(x))≡x,所以上式成为xf’(x)+f(x)=xex.以x=0代入上式,由于f’(0)存在,所以由上式得f(0)=0.当x≠0时,上式成为解得由于f(x)在x=0处可导,所以连续.令x→0,得从而知C=1.于是得知识模块:微分方程14.微分方程y’+ytan x=cos x的通解为y=_______.正确答案:(x+C)cos x,其中C为任意常数解析:属于一阶线性非齐次方程,直接根据一阶线性非齐次方程的方法即可得出答案.知识模块:微分方程15.微分方程y”一4y=e2x的通解为y=______.正确答案:-其中C1,C2为任意常数解析:y”一4y=0的特征根λ=±2,则其通解为y=C1e-2x+C2e2x.设其特解y*=Axe2x代入y”*4y=e2x,可解得所以y”-4y=e2x的通解为C1e-2x+,其中C1,C2为任意常数.知识模块:微分方程16.微分方程3extan ydx+(1一ex)sec2ydy=0的通解是__________.正确答案:tan y=C(ex一1)3,其中C为任意常数解析:方程分离变量得.积分得ln(tan y)=3ln(ex一1)+lnC.所以方程有通解为tan y=C(ex一1)3,其中C为任意常数.知识模块:微分方程17.微分方程y’tan x=yln y的通解是_________.正确答案:y=eCsinx,其中C为任意常数解析:原方程分离变量,有.积分得ln(ln y)=ln(sin x)+ln C,通解为ln y=Csin x,或y=eCsinx,其中C为任意常数.知识模块:微分方程18.微分方程(6x+y)dx+xdy=0的通解是_________.正确答案:3x2+xy=C,其中C为任意常数解析:原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程.原方程化为①由一阶线性方程的通解公式得,其中C为任意常数,即3x2+xy=C,其中C 为任意常数.知识模块:微分方程19.微分方程的通解是_________.正确答案:y=C1e3x+C2e2x,其中C1,C2为任意常数解析:原方程是二阶常系数线性齐次微分方程.其特征方程为r2—5r+6=0,即(r一3)(r一2)=0.解出特征根r1=3,r2=2,即得上述通解.知识模块:微分方程20.微分方程的通解是_______.正确答案:y=(C1+C2x)ex+1,其中C1,C2为任意常数解析:原方程为二阶常系数线性非齐次微分方程.其通解为y=y齐+y*,其中y齐是对应齐次方程的通解,y*是非齐次方程的一个特解.因原方程对应齐次方程的特征方程为r2一2r+1=0,即(r一1)2=0,特征根为r1,2=1.故y齐=(C1+C2x)ex,其中C1,C2为任意常数.又据观察,显然y*=1与y齐合并即得原方程通解.知识模块:微分方程21.微分方程的通解_________包含了所有的解.正确答案:不一定解析:例如方程(y2一1)dx=(x一1)ydy,经分离变量有积分得通解y2-1=C(x 一1)2,但显然方程的全部解还应包括y=±1和x=1(实际上在分离变量时假定了y2一1≠0,x一1≠0).知识模块:微分方程22.微分方程(y2+1)dx=y(y一2x)dy的通解是________.正确答案:.其中C为任意常数解析:知识模块:微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(微分方程)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学二(微分方程)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学二(微分方程)模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数,则该方程的通解是A.C[y1(x)-y2(x)].B.y1(x)+C[y1(x)-y2(x)].C.C[y1(x)+y2(x)].D.y1(x)+C[y1(x)+y2(x)].正确答案:B 涉及知识点:微分方程2.设线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解,C1,C2是任意常数,则该非齐次方程的通解是A.C1y1+C2y2+y3.B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3.C.C1y1+C2y2-(1-C1—C2)y3.D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3.正确答案:D 涉及知识点:微分方程3.若连续函数f(x)满足关系式,则f(x)等于A.exln2.B.e2xIn2.C.ex+ln2.D.e2x+ln2.正确答案:B 涉及知识点:微分方程填空题4.微分方程y’+ytanx=cosx的通解为________.正确答案:y=(x+C)cosx;涉及知识点:微分方程5.微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为_______.正确答案:xy=2;涉及知识点:微分方程6.微分方程xy”+3y’=0的通解为_______.正确答案:y=C1x-2+C1;涉及知识点:微分方程7.微分方程y”=2y’+2y=e2的通解为________.正确答案:y=ex(C1cosx+C1sinx)+ex;涉及知识点:微分方程8.设Y=ex(C1sinx+C1cosx)(C1,C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_______.正确答案:y”-2y’+2y=0.涉及知识点:微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

[考研类试卷]考研数学二(常微分方程)模拟试卷16.doc

[考研类试卷]考研数学二(常微分方程)模拟试卷16.doc

[考研类试卷]考研数学二(常微分方程)模拟试卷16一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1 设C,C1,C2,C3是任意常数,则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是(A)y=C1x2+C2x+C3.(B)x2+y2=C.(C)y=ln(C1x)+ln(C1sinx).(D)y=C1sin2x+C2cos2x.2 设y1(x)、y2(x)为二阶变系数齐次线性方程y"+p(x)y'+q(x)y=0的两个特解,则C1y1(x)+C2y2(x)(C1,C2为任意常数)是该方程通解的充分条件为(A)y1(x)y2'(x)-y2(x)y1'(x)=0.(B)y1(x)y2'(x)-y2(x)y1'(x)≠0.(C)y1(x)y2'(x)+y2(x)y1'(x)=0.(D)y1(x)y2'(x)+y2(x)y1'(x)≠0.二、填空题3 已知(x-1)y"-xy'+y=0的一个解是y1=x,又知y=e x-(x2+x+1),y*=-x2-1均是(x-1)y"-xy'+y=(x-1)2的解,则此方程的通解是y=________.4 微分方程y"+6y'+9y=0的通解y=________.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

5 求解下列方程: (Ⅰ)求方程xy"=y'lny'的通解; (Ⅱ)求yy"=2(y'2-y')满足初始条件y(0)=1,y'(0)=2的特解.6 设f(x)连续,且满足∫01f(tx)dt=f(x)+xsinx,求f(x).7 求下列方程的通解:(Ⅰ) y"-3y'=2-6x; (Ⅱ)y"+y=cosxcos2x.8 设曲线L位于Oxy平面的第一象限内,过L上任意一点M处的切线与y轴总相交,把交点记作A,则总有长度,若L过点,求L的方程.9 设热水瓶内热水温度为T,室内温度为T0,t为时间(以小时为单位).根据牛顿冷却定律知:热水温度下降的速率与T-T0成正比.又设T0=20%,当t=0时,T=100℃,并知24小时后水瓶内温度为50℃,问几小时后瓶内温度为95℃?10 要设计一形状为旋转体水泥桥墩,桥墩高为h,上底面直径为2a,要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数p.设水泥的比重为ρ,试求桥墩的形状.11 求下列方程的通解:(Ⅰ) y'=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y; (Ⅱ) xy'=+y.12 求解二阶微分方程的初值问题13 求微分方程xy"-y'=x2的通解。

考研数学真题数二试卷

考研数学真题数二试卷

考研数学真题数二试卷考研数学真题数二试卷是针对中国研究生入学考试数学科目的模拟试题集。

数二通常指的是数学二,是理工科专业考研数学科目的一种类型,涉及的数学内容主要包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计。

试卷结构:数二试卷一般包括选择题、填空题、解答题等题型。

选择题和填空题主要考查考生对基础知识的掌握程度和基本运算能力,而解答题则更侧重于考查考生的逻辑推理和综合解题能力。

内容范围:1. 高等数学:包括微分学、积分学、级数、多元函数微分学、多元函数积分学等内容。

2. 线性代数:涉及矩阵理论、线性空间、线性变换、特征值问题等。

3. 概率论与数理统计:包括随机事件的概率、随机变量及其分布、多维随机变量、大数定律、中心极限定理、统计量的分布、参数估计、假设检验等。

试题特点:- 试题难度适中,旨在检验考生对数学概念、原理和方法的理解和应用能力。

- 试题设计注重基础与应用相结合,既考查理论知识,也考查实际应用。

- 试题形式多样,既有直接考查计算能力的题目,也有需要考生进行推理和证明的题目。

复习建议:- 系统复习数学基础知识,确保对概念、定理和公式有清晰的理解。

- 通过大量练习,提高解题速度和准确率,尤其是对解答题的解题思路和方法要熟练掌握。

- 注重历年真题的练习,了解考试的出题规律和重点,针对性地进行复习。

- 在复习过程中,注意总结和归纳解题技巧,形成自己的解题体系。

结语:考研数学真题数二试卷是考生备考过程中的重要参考资料。

通过认真分析和练习真题,考生可以更好地掌握考试要求,提高应试能力。

同时,也要注意调整心态,合理安排复习计划,确保在考试中能够发挥出最佳水平。

2024年考研数学二试卷

2024年考研数学二试卷

1. 一个数的七分之一加上4等于18,这个数是多少?- A. 84- B. 90- C. 96- D. 102- (答案)2. 如果一个正方形的面积是64平方厘米,那么它的边长是多少厘米?- A. 6- B. 7- C. 8- D. 9- (答案)3. 已知2x - 6 = 14,求x 的值。

- A. 8- B. 9- C. 10- D. 11- (答案)4. 一个等腰三角形的底角为40°,那么顶角的度数为多少?- A. 80°- B. 90°- C. 100°- D. 110°- (答案)5. 某商品打九折后的价格是180元,那么原价是多少元?- A. 185- B. 190- C. 200- D. 210- (答案)6. 等差数列3, 7, 11, 15, ... 的第4项是多少?- A. 18- B. 19- C. 20- D. 21- (答案)7. 一个小球从10米高的地方落下,每次弹起高度为原来的三分之一,那么第二次弹起的高度是多少米?- A. 2.22- B. 3.33- C. 4.44- D. 5.55- (答案)8. 一个半径为6厘米的圆,其周长是多少厘米?(取π=3.14)- A. 30.84- B. 36.84- C. 37.68- D. 38.68- (答案)9. 如果\( x - 4 = 12 \),那么\( x \) 的值为多少?- A. 15- B. 16- C. 17- D. 18- (答案)10. 一个长方形的周长是36厘米,如果长是10厘米,那么宽是多少厘米?- A. 5- B. 6- C. 7- D. 8- (答案)。

考研数学二(概率论与数理统计)模拟试卷6(题后含答案及解析)

考研数学二(概率论与数理统计)模拟试卷6(题后含答案及解析)

考研数学二(概率论与数理统计)模拟试卷6(题后含答案及解析)全部题型 2. 填空题3. 解答题填空题1.设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(μ,μ,σ2,σ2,0),则E(XY2)=__________,E[(X+Y)2]=__________。

正确答案:μσ2+μ3,2σ2+4μ2.解析:由于(X,Y)服从正态分布N(μ,μ,σ2,σ2,0),所以X服从N(μ,σ2),Y也服从N(μ,σ2),而ρ=0,所以X与Y是相互独立的.因此E(XY2)=E(X).E(Y2)=E(X)[D(Y)+(EY)2]=μ(σ2+μ2)=μσ2+μ3.E[(X+Y)2]=E(X2+2XY+Y2)=E(X2)+2E(X)E(Y)+E(Y2) =D(X)+[E(X)]2+2E(X)E(Y)+D(Y)+[E(Y)]2 =σ2+μ2+2μ2+σ2+μ2=2σ2+4μ2.知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2.设X和Y是相互独立的且均服从正态分布N(0,)的随机变量,求Z=|X—Y|的数学期望。

正确答案:由于X和Y是相互独立的且均服从正态分布N(0,)的随机变量,所以T=X—Y服从N(0,1),其概率密度为解析:本题考查独立条件下正态分布的性质及其函数的期望的计算.需要先判断X-Y的概率分布,然后再选择恰当的公式计算.知识模块:概率论与数理统计3.设X1和X2是相互独立的且均服从正态分布N(μ,σ)的随机变量,求E(max(X1,X2)).正确答案:设X1,X2的分布函数为F(x),Z=max{X1,X2},则fZ(x)=2F(x)d(x),涉及知识点:概率论与数理统计4.设随机变量X和Y相互独立,且均服从参数为1的指数分布,记U=max(X,Y),V=min(X,Y).(1)求V的概率密度fV(v);(2)E(U+V),E(UV).正确答案:由于X和Y相互独立,都服从参数为1的指数分布,所以E(X)=E(Y)=1,且X的分布函数为(1)设V的分布函数为Fmin(v),则Fmin(v)=1一[1-F(v)]2=1=e-2v,v>0.故fV(v)=(2)E(U+V)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.E(UV)=E(X)E(Y)=1×1=1.解析:本题考查独立同分布条件下最大值和最小值的分布.先写出V的分布函数,再求导得到其概率密度.注意到U+V=X+Y,UV=XY,利用性质和指数分布期望的结果得到E(U+V),E(UV).知识模块:概率论与数理统计5.设(X,Y)在区域D={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上服从均匀分布,事件A={X≤a},B={Y>a}.(1)若P(A∪B)=,求a;(2)设D0为事件A∪B所占的区域,随机地向D投点4次,Z为落入D0内的次数,求E(Z2).正确答案:解析:本题考查将问题提炼为几何型概率和伯努利概率模型的能力.首先利用加法公式求出常数a,而D0为事件A∪B所占的区域,随机地向D投点4次,因此该试验是4次伯努利试验,由于Z为落入D0内的次数,因此意识到Z服从B(4,P(A∪B)),进而可利用方差的计算公式求出E(Z2).知识模块:概率论与数理统计6.随机变量X的概率密度为f(x)=对X独立重复地观察4次,用Y表示观察值大于的次数,求E(Y2).正确答案:于是E(Y2)=D(Y)+(EY)2=5.解析:本题仍然是考查常用分布之二项分布的数字特征.对X独立重复地观察4次,用Y表示观察值大于.知识模块:概率论与数理统计7.设X服从N(1,4),Y服从N(2,9),且X与Y相互独立,如果服从N(0,1),求常数a,b.正确答案:由已知,E(X)=1,D(X)=4,E(Y)=2,D(Y)=9,由于X与Y 相互独立,所以解得a=一2,b=±5.解析:考查正态分布的数字特征.根据期望和方差的运算性质或独立条件下正态分布的性质求出a,b.知识模块:概率论与数理统计8.设随机变量X3,X2,X3相互独立,其中X1在[0,6]上服从均匀分布,X2服从N(0,4),X3服从参数为λ=3的泊松分布,记Y=X1-2X2+3X3,求D(Y).正确答案:由已知条件,D(X1)==3,D(X2)=4,D(X3)=3.又X1,X2,X3相互独立,从而D(Y)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+4×4+9×3=46.涉及知识点:概率论与数理统计9.设(x)表示标准正态分布函数,随机变量X的分布函数F(x)=(x一1),求(1)a、b应满足的关系式;(2)E(X).正确答案:(1)F(+∞)=1,有a+b=1.(2)以φ(x)表示标准正态分布的概率密度,则E(x)=∫-∞+∞xdF(x)=∫-∞+∞x[aφ(x)+bφ(x一1)]dx.=a ∫-∞+∞xφ(x)dx+b∫-∞+∞xφ(x一1)dx.注意到∫-∞+∞xφ(x)dx=0,从而有E(x)=b∫-∞+∞xφ(x一1)dx=b∫-∞+∞(x一1+1)φ(x一1)dx =b∫-∞+∞(x一1)φ(x一1)dx+b∫-∞+∞φ(x—1)dx.令x一1=t,有E(x)=b∫-∞+∞tφ(t)dt+b∫-∞+∞φ(t)dt =b×0+b×1=b.解析:考查分布函数的性质和计算数学期望的方法.由于X的分布已知,可以利用公式结合分布的性质出E(X).知识模块:概率论与数理统计10.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且E(X)=E(Y)=0,D(X)=16,D(Y)=25,cov(X,Y)=12,求(X,Y)的概率密度.正确答案:解析:本题考查二维正态分布的参数含义和概率密度的形式,将参数代入到概率密度表达式可得到概率密度的具体形式.知识模块:概率论与数理统计11.已知随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),且X 与Y的相关系数ρXY=.(1)求E(Z)和D(Z);(2)求X与Z的相关系数ρXY;(3)问X与Z是否相互独立,为什么?正确答案:(3)X与Z不一定相互独立.因为Z未必服从正态分布,(X,Z)也未必服从二维正态分布,X与Z不相关,但X与Z不一定是独立的.解析:综合考查正态分布,二维正态分布的关系和数字特征.利用数字特征的性质直接求出E(Z),D(Z)和ρXY.判断X与Z是否相互独立则需要利用正态分布的性质.知识模块:概率论与数理统计12.设随机变量X1,X2,…,Xn(n>1)相互独立同分布,且期望均为μ,方差均为σ2(σ2>0),令的相关系数ρ.正确答案:解析:本题考查正确使用公式和性质计算数字特征的能力及Xi与的关系,是基本问题.中含有Xi,因此与Xi一般是不独立的.知识模块:概率论与数理统计13.设随机变量X1,X2,…,Xn(n>2)相互独立,且均服从N(0,1),记,i=1,2,…,n.求(1)D(Yi);(2)coy(Y1,Yn).正确答案:涉及知识点:概率论与数理统计14.设随机变量X1,X2,…,Xn(n>2)的期望都为0,方差都为1,且任意两个的相关系数都为ρ,设U=X1+X2+…+Xn,Y=Xn+1+Xn+2+…+X2n,求U 和V的相关系数ρXY。

考研数学二(常微分方程)模拟试卷10(题后含答案及解析)

考研数学二(常微分方程)模拟试卷10(题后含答案及解析)

考研数学二(常微分方程)模拟试卷10(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.微分方程y’’-y=ex+1的一个特解应具有形式(式中a,b为常数)( ).A.aex+bB.axex+bC.aex+bxD.axex+bx正确答案:B解析:y’’-y=0的特征方程为λ2-1=0,特征值为λ1=-1,λ2=1,y’’-y=ex的特解形式为y1=axex,y’’-y=1的特解形式为y2=b,故方程y’’-y=ex+1的特解形式为y=axex+b,应选(B).知识模块:常微分方程2.在下列微分方程中以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是( ).A.y’’’+y’’-4y’-4y=0B.y’’’+y’’+4y’+4y=0C.y’’’-y’’-4y’+4y=0D.y’’’-y’’+4y’-4y=0正确答案:D解析:因为通解为y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x,所以特征值为λ1=1,λ2,3=±2i,特征方程为(λ-1)(λ-2i)(λ+2i)=0,整理得λ3-λ2+4λ-4=0,对应为微分方程为y’’’-y’’+4y’-4y=0,应选(D).知识模块:常微分方程填空题3.设函数φ(u)可导且φ(0)=1,二原函数z=φ(x+y)exy满足,则φ(u)=______正确答案:解析:令x+y=u,则再由φ(0)=1得C=1,故φ(u)= 知识模块:常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4.在t=0时,两只桶内各装10L的盐水,盐的浓度为15g/L,用管子以2L/min的速度将净水输入到第一只桶内,搅拌均匀后的混合液又由管子以2L /min的速度被输送到第二只桶内,再将混合液搅拌均匀,然后用1L/min的速度输出.求在任意时刻t>0,从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程.正确答案:设在任意时刻t>0,第一只桶和第二只桶内含盐分别为m1(t),m2(t),在时间[t,t+dt]内有dm1=,且满足初始条件m1(0)=150,解得m1(t)=;在时间[t,t+dt]内有,且满足初始条件m2(0)=150.涉及知识点:常微分方程5.某人的食量是2500卡/天(1卡=4.1868焦),其中1200卡/天用于基本的新陈代谢.在健身运动中,他所消耗的为16卡/千克/天乘以他的体重.假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效,而一千克脂肪含热量10000卡,求该人体重怎样随时间变化.正确答案:输入率为2500卡/天,输出率为(200+16w),其中w为体重,根据题意得涉及知识点:常微分方程6.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上,链条长18m,运动开始时链条一边下垂8m,另一边下垂10m,问整个链条滑过钉子需要多长时间?正确答案:设链条的线密度为ρ,取x轴正向为垂直向下,设t时刻链条下垂x(t)m,则下垂那段的长度为(10+x)m,另一段长度为(8-x)m,此时链条受到的重力为(10+x)ρg-(8-x)ρg=2(x+1)ρg.链条的总重量为188,由牛顿第二定理F=ma得涉及知识点:常微分方程7.质量为1g的质点受外力作用作直线运动,外力和时间成正比,和质点的运动速度成反比,在t=10s时,速度等于50cm/s.外力为39.2cm/s2,问运动开始1min后的速度是多少?正确答案:由题意得,因为当t=10时,u=50,F=39.2,所以k=196,从而F=,分离变量得vdv=196tdt,所以=98t2+C,由v|t=10=50,得C=-8550,于是涉及知识点:常微分方程8.设非负函数f(x)当x≥0时连续可微,且f(0)=1.由y=f(x),x轴,y轴及过点(x,0)且垂直于x轴的直线围成的图形的面积与y=f(x)在[0,x]上弧的长度相等,求f(x).正确答案:根据题意得涉及知识点:常微分方程9.设函数f(x)二阶连续可导,f(0)=1且有f’(x)+求f(x).正确答案:因为两边对x求导得f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x,由λ2+3λ+2=0得λ1=-1,λ2=-2,则方程f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解为C1e-x+C2e-2x.令f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x的一个特解为y0=axe-x,代入得a=1,则原方程的通解为f(x)=C1e-x+C2e1-2x+xe-x.由f(0)=1,f’(0)=-1得C1=0,C2=1,故原方程的解为f(x)=e-2x+xe-x.涉及知识点:常微分方程10.高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足z=h(t)-,已知体积减少的速度与侧面积所成比例系数为0.9,问高度为130的雪堆全部融化需要多少时间.(其中长度单位是cm,时间单位为h)?正确答案:t时刻雪堆体积V=侧面积S=,根据题意得因为h(0)=130,所以C=130,则h(t)=,得t=100,即经过100小时全部融化.涉及知识点:常微分方程11.早晨开始下雪整天不停,中午一扫雪车开始扫雪,每小时扫雪体积为常数,到下午2点扫雪2km,到下午4点又扫雪1km,问降雪是什么时候开始的?正确答案:设单位面积在单位时间内降雪量为a,路宽为b,扫雪速度为c,路面上雪层厚度为H(t),扫雪车前进路程为S(t),降雪开始时间为T,则H(t)=a(t-T),又b×H(t)×△s=c×△t,涉及知识点:常微分方程12.设A从原点出发,以固定速度v0沿y轴正向行驶,B从(x0,0)出发(x0<0),以始终指向点A的固定速度v1朝A追去,求B的轨迹方程.正确答案:设t时刻B点的位置为M(x,y),则两边积分,得由y(x0)=0,得c1=,则B的轨迹方程为当k=1时,B的轨迹方程为涉及知识点:常微分方程13.飞机在机场开始滑行着陆,在着陆时刻已失去垂直速度,水平速度为v0(m/s),飞机与地面的摩擦系数为μ,且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比,在水平方向的比例系数为kx(kg.s2/m2),在垂直方向的比例系数为ky(kg.s2/m2).设飞机的质量为m(kg),求飞机从着陆到停止所需要的时间.正确答案:水平方向的空气阻力Rx=kxv2,垂直方向的空气阻力Ry=kyv2,摩擦力为W=μ(mg-Ry),由牛顿第二定律,有涉及知识点:常微分方程14.设函数y=y(x)满足△y=△x+o(△x),且y(0)=0,求函数y=y(x).正确答案:由涉及知识点:常微分方程15.设f(x)在(-∞,+∞)上有定义,且对任意实数a,b,都有等式f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)成立,又f’(0)=1,求f(x).正确答案:取a=0,b=0得f(0)=0.通解为f(x)=[∫ex.e∫dxdx+C]e-∫-dx=(x+C)ex,由f(0)=0得C=0,故f(x)=xex.涉及知识点:常微分方程16.设当u>0时f(u)一阶连续可导,且f(1)=0,又二元函数z=f(ex-ey)满足=1,求f(u).正确答案:由,f(u)=lnu+C,由f(1)=0得C=0,故f(u)=lnu.涉及知识点:常微分方程17.求微分方程=x2+y2满足条件y|x=e=2e的特解.正确答案:由将x=e,u=2代入得C=1,所求的特解为y2=2x2lnx+2x2.涉及知识点:常微分方程18.微分方程=y(lny-lnx)的通解.正确答案:解得ln-1=Cx,于是u=eCx+1,故通解为y=xeCx+1.涉及知识点:常微分方程19.求微分方程的通解.正确答案:通解为涉及知识点:常微分方程20.求微分方程xy’+(1-x)y=e2x(x>0)的满足的特解.正确答案:原方程化为涉及知识点:常微分方程21.求微分方程y’+ycosx=(lnx)e-sinx的通解.正确答案:通解为y=[∫(lnx)e-sinx.e∫cosxdxdx+C]e-∫cosxdx=(∫lnxdx+C)e-sinx=(xlnx-x+C)e-ssinx 涉及知识点:常微分方程22.求微分方程的满足初始条件y(1)=0的特解.正确答案:原方程化为=lnx.通解为=Cx2-x(1+lnx),由y(1)=0得C=1,故y=x2-x(1+lnx).涉及知识点:常微分方程23.求微分方程(1-x2)y’’-xy’=0的满足初始条件y(0)-0,y’(0)=1的特解.正确答案:由(1-x2)y’’-xy’=0的由y’(0)=1得C1=1,从而y’=于是y=arcsinx+C2,再由y(0)=0得C2=0,故y=arcsinx.涉及知识点:常微分方程24.已知微分方程y’+y=f(x),其中f(x)=,求该微分方程的解y=y(x)满足y(0)=0.正确答案:当0≤x≤1时,y’+y=2的通解为y=C1e-x+2;当x>1时,y’+y=0的通解为y=C2e-x,即y=由y(0)=0得C1=-2,再由C1e-1+2=C2e-1得C2=2e-2,故所求的特解为涉及知识点:常微分方程25.解方程(3x2+2)y’’=6xy’,已知其解与ex-1(x→0)为等价无穷小.正确答案:由(3x2+2)y’’=6xy’得从而y’=C1(3x2+2),解得y=C1x3+2C1x+C2,因为C1x3+2C1x+C2~ex-1~x,所以C1=,C2=0,故所求的解为y=x3+2x.涉及知识点:常微分方程26.求微分方程yy’’+(y’)2=0的满足初始条件y(0)=1,y’(0)=的特解.正确答案:由yy’’+(y’)2=0得(yy’)’=0,从而yy’=C1,进一步得=C1x+C2,由y(0)=1,y’(0)= 涉及知识点:常微分方程27.设函数y=y(x)满足微分方程y’’-3y’+2y=2ex,且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点的切线重合,求函数y=y(x).正确答案:特征方程为λ2-3λ+2=0,特征值为λ1=1,λ2=2,y’’-3y’+2y=0的通解为y=C1ex+C2e2x.令特解y0=axex,代入得a=-2,原方程的通解为y=C1ex+C2e2x-2xex.曲线y=x2-x+1在(0,1)处的斜率为y’|x=0=-1,由题意得y(0)=1,y’(0)=-1,从而解得C1=1,C2=0,故所求的特解为y=ex-2xex.涉及知识点:常微分方程28.求微分方程y’’-y=4cosx+ex的通解.正确答案:特征方程为λ2-1=0,特征值为λ1=-1,λ2=1,y’’-y=0的通解为y=C1e-x+C2ex,令y’’-y=4cosx的特解为y1=acosx+bsinx,代入得a=-2,b=0;令y’’-y=ex的特解为y3=cxex,代入得c=特解为y0=-2cosx+xex,原方程通解为y=C1e-x+C2ex-2cosx+ 涉及知识点:常微分方程29.设连续函数f(x)满足:[f(x)+xf(xt)]dt与x无关,求f(x).正确答案:即f’(x)+f(x)=0,解得f(x)=Ce-x.涉及知识点:常微分方程30.设f(x)二阶可导,且=x+1,求f(x).正确答案:f’(x)+f(x)=0,解得f(x)=Ce-x,因为f(0)=1,所以C=1,故f(x)=e-x.涉及知识点:常微分方程31.设u=,求f(t)的表达式.正确答案:令由对称性得f’’(1nr)=r5,从而f’’(t)=e5t,涉及知识点:常微分方程。

考研数学二(常微分方程)模拟试卷16(题后含答案及解析)

考研数学二(常微分方程)模拟试卷16(题后含答案及解析)

考研数学二(常微分方程)模拟试卷16(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.设C,C1,C2,C3是任意常数,则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是A.y=C1x2+C2x+C3.B.x2+y2=C.C.y=ln(C1x)+ln(C1sinx).D.y=C1sin2x+C2cos2x.正确答案:D解析:仅有D含有两个独立的任意常数C1与C2,选D.知识模块:常微分方程2.设y1(x)、y2(x)为二阶变系数齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=0的两个特解,则C1y1(x)+C2y2(x)(C1,C2为任意常数)是该方程通解的充分条件为A.y1(x)y2’(x)-y2(x)y1’(x)=0.B.y1(x)y2’(x)-y2(x)y1’(x)≠0.C.y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)=0.D.y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)≠0.正确答案:B解析:根据题目的要求,y1(x)与y2(x)应该线性无关,即≠λ(常数).反之,若这个比值为常数,即y1(x)=λy2(x),那么y1’(x)=λy2’(x),利用线性代数的知识,就有y1(x)y2’(x)-y2(x)y1’(x)=0.所以,B成立时,y1(x),y2(x)一定线性无关,应选B.知识模块:常微分方程填空题3.已知(x-1)y”-xy’+y=0的一个解是y1=x,又知y=ex-(x2+x+1),y*=-x2-1均是(x-1)y”-xy’+y=(x-1)2的解,则此方程的通解是y=________.正确答案:C1x+C2ex-x2-1解析:由非齐次方程(x-1)y”-xy’+y=(x-1)2的两个特解与y*可得它的相应齐次方程的另一特解-y*=ex-x,事实上y 2=(ex-x)+x=ex也是该齐次方程的解,又ex与x线性无关,因此该非齐次方程的通解是y=C1x+C2ex-x2-1,其中C1,C2为任意常数.知识模块:常微分方程4.微分方程y”+6y’+9y=0的通解y=________.正确答案:(C1+C2)e-3x解析:特征方程λ2+6λ+9=0,即(λ+3)2=0.通解为y=(C1+C2)e-3x,其中C1,C2为任意常数.知识模块:常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(向量组的线性关系与秩)模拟试卷6(题后含答案及解析)

考研数学二(向量组的线性关系与秩)模拟试卷6(题后含答案及解析)

考研数学二(向量组的线性关系与秩)模拟试卷6(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.设A是4×5矩阵,α1,α2,α3,α4,α5是A的列向量组,r(α1,α2,α3,α4,α5)=3,则( )正确。

A.A的任何3个行向量都线性无关.B.α1,α2,α3,α4,α5的一个含有3个向量的部分组(Ⅰ)如果与α1,α2,α3,α4,α5等价,则一定是α1,α2,α3,α4,α5的最大无关组.C.A的3阶子式都不为0.D.α1,α2,α3,α4,α5的线性相关的部分组含有向量个数一定大于3.正确答案:B解析:r(α1,α2,α3,α4,α5)=3,说明α1,α2,α3,α4,α5的一个部分组如果包含向量超过3个就一定相关,但是相关不一定包含向量超过3个.D不对.r(α1,α2,α3,α4,α5)=3,则A的行向量组的秩也是3,因此存在3个行向量线性无关,但是不是任何3个行向量都线性无关.排除A.A的秩也是3,因此有3阶非零子式,但是并非每个3阶子式都不为0,C也不对.下面说明B对.(Ⅰ)与α1,α2,α3,α4,α5等价,则(Ⅰ)的秩=r(α1,α2,α3,α4,α5)=3=(Ⅰ)中向量的个数,于是(Ⅰ)线性无关,由定义(Ⅰ)是最大无关组.知识模块:向量组的线性关系与秩2.n维向量组(Ⅰ)α1,α2,…,αr可以用n维向量组(Ⅱ)β1,β2,…,βs线性表示.A.如果(Ⅰ)线性无关,则r≤s.B.如果(Ⅰ)线性相关,则r>s.C.如果(Ⅱ)线性无关,则r≤s.D.如果(Ⅱ)线性相关,则r>s.正确答案:A解析:C和D容易排除,因为(Ⅱ)的相关性显然不能决定r和s的大小关系的.A是定理3.8的推论的逆否命题.根据该推论,当向量组(Ⅰ)可以用(Ⅱ)线性表示时,如果r>s,则(Ⅰ)线性相关.因此现在(Ⅰ)线性无关,一定有r≤s.B则是这个推论的逆命题,是不成立的.也可用向量组秩的性质来说明A的正确性:由于(Ⅰ)可以用(Ⅱ)线性表示,有r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s 又因为(Ⅰ)线性无关,所以r(Ⅰ)=r.于是r≤s.知识模块:向量组的线性关系与秩3.A是m×n矩阵,B都n×m矩阵.AB可逆,则A.r(A)=m,r(B)=m.B.r(A)=m,r(B)=n.C.r(A)=n,r(B)=m.D.r(A)=n,r(B)=n.正确答案:A解析:AB是m阶矩阵,AB可逆,则m=r(AB)≤r(A)≤m,得r(A)=m.同理得r(B)=m。

考研数学二(解答题)模拟试卷6(题后含答案及解析)

考研数学二(解答题)模拟试卷6(题后含答案及解析)

考研数学二(解答题)模拟试卷6(题后含答案及解析) 题型有:1.1.设f(x)在[0,+∞)连续,=A≠0,证明:∫01f(nx)dx=A.正确答案:先作变量替换:这是型数列极限.将它转化为型函数极限,便可用洛必达法则求之,即涉及知识点:极限、连续与求极限的方法2.计算(0≤t≤2π)与x轴所围成.正确答案:涉及知识点:多元函数微积分3.设函数y=y(x)由方程ylny一x+y=0确定,试判断曲线y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性。

正确答案:要判断曲线y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性,只需判断y’’(x)在点(1,1)附近的正负。

在方程ylny一x+y=0两边对x求导得y’lny+y’一1+y’=0,上式两边对x求导得y’’lny+(y’)2+2y’’=0,于是解得y’’=,显然(y’)2≥0,在点(1,1)附近,可选择一个合适的范围,如y>e-2,使得y(2+lny)>0,则在点(1,1)附近有y’’≤0,所以曲线y=y(x)在点(1,1)附近是凸的。

涉及知识点:一元函数微分学4.设z=yf(x2一y2),求正确答案:涉及知识点:高等数学5.设非负函数f(x)当x≥0时连续可微,且f(0)=1.由y=f(x),x轴,y轴及过点(x,0)且垂直于x轴的直线围成的图形的面积与y=f(x)在[0,x]上弧的长度相等,求f(x).正确答案:根据题意得∫0xf(t)dt=∫0x所以,积分得由y(0)=1,得C=1,所以=chx.涉及知识点:高等数学6.设有参数方程0≤t≤π.(Ⅰ)求证该参数方程确定y=y(x),并求定义域;(Ⅱ)讨论y=y(x)的可导性与单调性;(Ⅲ)讨论y=y(x)的凹凸性.正确答案:(Ⅰ)=3cos2t(-sint)≤0,(t∈[0,π]),仅当t=0,,π时为零x是t 的单调(减)函数,反函数t=t(x)y=sin3t(x)=y(x),x∈[-1,1].(Ⅱ)记当t≠0,反函数t=t(x)可导y=y(x)可导注意y=y(x)在[-1,1]连续,t与x的对应关系:于是0≤x≤1时y(x)单调下降,-1≤x≤0时y(x)单调上升.(Ⅲ)由y=y(x)在[-1,0],[0,1]均是凹的.y=y(x)的图形如图4.2.涉及知识点:微分中值定理及其应用7.已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx一2ydy,并且f(1,1)=2。

考研数学二(行列式、矩阵、向量)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)

考研数学二(行列式、矩阵、向量)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)

考研数学二(行列式、矩阵、向量)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.[2001年] 设A是n阶矩阵,α是n维列向量,若秩=秩(A),则线性方程组( ).A.AX=α必有无穷多解B.AX=α必有唯一解C.=0仅有零解D.=0必有非零解正确答案:D解析:齐次线性方程组解的情况的判定关键是要弄清楚该方程组的未知数个数与系数矩阵秩之间的关系,对非齐次方程组解的情况判定的关键是要弄清楚该方程组的增广矩阵与系数矩阵A的秩的关系.若秩(A)=秩(),则该非齐次方程组必有在秩()=秩(A)=r的前提下考察r与未知数个数n之间的关系,进一步了解解的情况.解一因秩=秩(A)≤n<n+1(n+1为未知数个数),即系数矩阵非列满秩,由命题2.4.1.1(1)知,=0必有非零解.仅(D)入选.解二由秩=秩(A)知,α必为A的列向量组的线性组合,因而秩([A:α])=秩(A).由命题4.1.1.2(2)知,Ax=α有解,但有多少个解尚不能确定.如秩(A)<n,则由命题2.4.1.2(4)知,AX=α必有无穷多解,故(B)不对.但如果秩(A)=n,由命题2.4.1.2(3)知,AX=α必有唯一解,故(A)不对.因(C)中方程组的系数矩阵不是列满秩,由命题2.4.1.1(1)知,该方程组必有非零解,故(C)不成立.因而仅(D)入选.知识模块:线性方程组2.非齐次线性方程组AX=b 中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则( ).A.r=m时,方程组AX=b有解B.r=n 时,方程组AX=b有唯一解C.m=n时,方程组AX=b有唯解D.r<n时,方程组AX=b有无穷多解正确答案:A解析:非齐次线性方程组解的情况常用命题2.4.1.2判别,为此应首先考查秩(A)与秩(A)是否相等,但m=秩(A)=r时,可直接利用命题2.4.1.3判定.因A为m×n矩阵,若秩(A)=m,则m=秩(A)≤秩([A : b])≤m,于是秩(A)=秩([A : b])=m,故方程组AX=b当秩(A)=m时必有解.仅(A)入选.知识模块:线性方程组3.[2004年] 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O,若ξ1,ξ2,ξ3 ,ξ4是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系( ).A.不存在B.仅含一个非零解向量C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量正确答案:B解析:基础解系所含解向量个数等于n=秩(A),因此先求秩(A),进而确定选项.解一当A*≠O时,秩(A*)=0,因而秩(A*)=n或秩(A*)=1,于是秩(A)=n或秩(A)=n一1.由题设知AX=b有四个互不相等的解,因而解不唯一,于是秩(A)=n一1.因而n一秩(A)=n一(n-1)=1,即其基础解系仅含一个解向量.仅(B)入选.解二因A*≠O,故秩(A*)≥1,则秩(A)≥n-1.又因AX=0有解且不唯一,故秩(A)≤n一1,因而秩(A)=n一1,其基础解系仅含一个解向量.仅(B)入选.知识模块:线性方程组4.[2011年] 设A=[α1,α2,α3,α4]是四阶矩阵,A*为A的伴随矩阵,若[1,0,1,0]T是方程组AX=0的一个基础解系,则A*X=0的基础解系可为( ).A.α1,α3B.α1,α2C.α1,α2,α3D.α2,α3,α4正确答案:D解析:先求A*X=0的一个基础解系所含解向量的个数.再由A*A=∣A∣E=0E=0得到A的列向量为A*X=0的解,且A的列向量组中含有A*X=0的基础解系,最后利用AX=0的基础解系求得A的列向量之间的线性关系,从而确定A*X=0的基础解系.因AX=0的基础解系只含一个解向量[1,0,1,0]T,故n 一秩(A)=4一秩(A)=1,即秩(A)=3.因而秩(A*)=1.于是A*X=0的一个基础解系必含n一秩(A*)=4一l=3个解向量,这就排除了(A),(B)选项.因秩(A)=3,故∣A∣=0,所以A*A=∣A∣E=O.又因秩(A)=3,故A的列向量组中含有A*X=0的基础解系.又因[1,0,1,0]T为AX=[α1,α2,α3,α4]X=0的解向量,故[α1,α2,α3,α4][1,0,1,0]T=α1+α3=0,即α1与α3线性相关,从而排除(C).仅(D)入选.知识模块:线性方程组5.已知β1,β2是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解,α1,α2是对应齐次线性方程组AX=0的基础解系,k1,k2为任意常数,则AX=b的通解必是( ).A.k1α1+k2(α1一α2)+(β1-β2)/2B.k1α1+k2(α1一α2)+(β1+β2)/2C.k1α1+k2(β1一β2)+(β1-β2)/2D.k1α1+k2(β1一β2)+(β1+β2)/2正确答案:B解析:利用解的结构定理即命题2.4.4.2求之.解一因α1,α2线性无关,由命题2.3.2.2知α1,α1+α2线性无关,α1,α1一α2也线性无关.又因1/2+1/2=1,由命题2.4.4.1知,(β1+β2)/2为AX=b的一特解,由命题2.4.4.2知,k1α1+k2(α2一α1)+(β1+β2)/2为AX=b 的通解.仅(B)入选.解二因(A)中(β1一β2)/2不是AX=b的特解,而(C)中既没有特解,且β1+β2也不是AX=0的解,(D)中虽有特解,且α1与β2一β1均为AX=0的解,但α1与β2一β1的线性相关性无法确定,故(A),(C),(D)均不正确.仅(B)入选.知识模块:线性方程组6.[2000年] 设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量,且秩(A)=3,α1=[1,2,3,4]T,α2+α3=[0,1,2,3]T,c表示任意常数,则线性方程组AX=b的通解X=( ).A.[1,2,3,4]T+c[1,1,1,1]TB.[1,2,3,4]T+c[0,1,2,3]TC.[1,2,3,4]T+c[2,3,4,5]TD.[1,2,3,4]T+c[3,4,5,6]T正确答案:C解析:关键在于构造出AX=0的一个非零特解,求得其基础解系.构造的方法需利用命题2.4.4.1.解一仅(C)入选.AX=b为四元非齐次方程组,秩(A)=3,AX=0的一个基础解系只含n一秩(A)=4—3=1个解向量.将特解的线性组合2α1,α2+α3写成特解之差的线性组合:2α1一(α2+α3)=(α1一α2)+(α1一α3).因2一(1+1)=0,由命题2.4.4.1知,2α1一(α2+α3)=[2,3,4,5]T≠0仍为AX=0的一个解向量,且为其一个基础解系,故AX=b的通解为X=α1+c[2α1一(α2+α3)]=[1,2,3,4]T+c[2,3,4,5]T,c为任意常数.解二仅(C)入选.因秩(A)=3,故四元齐次方程组AX=0的基础解系所含向量的个数为4一秩(A)=1,所以AX=0的任一个非零解都是它的基础解系.由于α1及(α2+α3)/2都是AX=b的解(因1/2+1/2=1),故α1一(α3+α2)/2=(1/2)[2α1一(α2+α3)]=(1/2)[2,3,4,5]T是AX=0的一个解,从而2×(1/2)[2,3,4,5]T=[2,3,4,5]T=η,也是AX=0的一个解,且因η≠0,故η为AX=0的一个基础解系,所以AX=b的通解为X=α1+cη=[1,2,3,4]T+c[2,3,4,5]T,其中C为任意常数.知识模块:线性方程组7.[2015年] 设矩阵.若集合Ω={1,2},则线性方程组AX=b有无穷多解的充分必要条件为( ).A.aΩ,dΩB.aΩ,d∈ΩC.a∈Ω,dΩD.a∈Ω,d∈Ω正确答案:D解析:只需由AX=b有无穷多解的充分必要条件秩(A)=秩(A:b)<3找出a,d所满足的条件即可.注意到A为3阶范德蒙行列式,由秩(A)<3得∣A∣=(2一1)(a一1)(a-2)=0,故a=1或a=2,即a∈Ω.排除(A)、(B).又由a=1时,=[A:b]=由秩=秩[A:b]<3得到(d一1)(d一2)=0,即d=1,d=2,d∈Ω.当a=2时,由,故(d-1)(d-2)=0,即d=1,d=2,d∈Ω.因而当a=l,2时,d∈Ω,排除(C).仅(D)入选.知识模块:线性方程组8.要使ξ1=[1,0,2]T,ξ2=[0,1,一1]T都是线性方程组AX=0的解,只要系数矩阵A为( ).A.[一2,1,1]B.C.D.正确答案:A解析:可用一般的方法求之,也可利用Ax一0的基础解系中解向量的个数求之.解一ξ1,ξ2线性无关,以ξ1T,ξ2T为行向量作矩阵B=,解BX=0,得基础解系β1=[一2,1,1]T,以β1T为行向量作矩阵A=[β1T],则A即为所求的矩阵,因而仅(A)入选.解二因ξ1,ξ2线性无关,n=3,三元齐次线性方程组AX=0的基础解系中至少含2个解向量,故3一秩(A)≥2,即秩(A)≤1.(A),(B),(C),(D)中矩阵只有(A)中矩阵的秩等于1.故仅(A)入选.知识模块:线性方程组9.[2000年] 设A为n阶实矩阵,AT是A的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ):AX=0和(Ⅱ):ATAX=0必有( ).A.(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解.B.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解.C.(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解.D.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解,但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.正确答案:A解析:本题的难点是在由ATAX=0得到A.这只有将ATAX=0化成只含AX 的式子才好研究,为此在ATAX=0两边同时左乘XT.解一由命题2.4.7.3(1)知,仅(A)入选.解二设a为组(Ⅰ)的任一解,则Aα=0,于是有ATAα=AT(Aα)=AT0=0,即α也是组(Ⅱ)的解.于是得到组(Ⅰ)的解必为组(Ⅱ)的解.反之,设β为组(Ⅱ)的任一解.下面证明它也是组(Ⅰ)的解.由ATAβ=0得到βT(ATAβ)=0,即(Aβ)T(Aβ)=(βTAT)(Aβ)=βT(ATA β)=0.设Aβ=[b1,b2,…,bn]T,则(Aβ)T(Aβ)=b12+b22+…+bn2=0bi=0 (i=1,2,…,n),即Aβ=0,亦即β为AX=0的解向量.或用反证法证之.若Aβ=[b1,b2,…,bn]T≠0,不妨设b1≠0,则(Aβ)T(Aβ)一[b1,b2,…,bn][b1,b2,…,bn]T=b12+bi2>0.这与(Aβ)T(Aβ)=0矛盾.因而Aβ=0,于是组(Ⅱ)的解也必为组(I)的解.因而组(I)与组(II)同解.仅(A)入选.知识模块:线性方程组10.设有齐次线性方程组AX=0和βX=0,其中A,B均为m×n矩阵,现有四个命题:①若AX=0的解均是BX=0的解,则秩(A)≥秩(B);②若秩(A)≥秩(B),则AX=0的解均是BX=0的解;③若AX=0与BX=0同解,则秩(A)=秩(B);④若秩(A)=秩(B),则AX=0与BX=0同解.以上命题中正确的是( ).A.①②B.①③C.②④D.③④正确答案:B解析:利用线性方程组同解的基本性质判别之.仅(B)入选.由命题2.4.7.2知,命题③正确.又命题①也正确,这是因为AX=0的解均是BX=0的解,则AX=0的基础解系是BX=0的基础解系的一部分,因此AX=0的基础解系所含向量个数小于等于BX=0的基础解系所含向量的个数,即n一秩(A)≤n一秩(B),秩(A)≥秩(B).知识模块:线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二常微分方程-试卷6_真题无答案

考研数学二常微分方程-试卷6_真题无答案

考研数学二(常微分方程)-试卷6(总分54, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.方程y〞-2y′+3y=e χ sin( )的特解的形式为SSS_SINGLE_SELABCAe χ sin( ).DAe χ cos( ).2.设y(χ)、y(χ)为二阶变系数齐次线性方程y〞+p(χ)y′+q(χ)y=0的两个特解,则C1 y1(χ)+C2y2(χ)(C1,C2为任意常数)是该方程通解的充分条件为SSS_SINGLE_SEL Ay1(χ)y2′(χ)-y2(χ)y1′(χ)=0.By1(χ)y2′(χ)-y2(χ)y1′(χ)≠0.Cy1(χ)y2′(χ)+y2(χ)y1′(χ)=0.Dy1(χ)y2′(χ)+y2(χ)y1′(χ)≠0.3.设函数y1(χ),y2(χ),y3(χ)线性无关,而且都是非齐次线性方程y〞+p(χ)y′+q(χ)y=f(χ)的解,C1,C2为任意常数,则该非齐次方程的通解是SSS_SINGLE_SEL AC1 y1+C2y2+y3.BC1 y1+C2y2-(C1+C2)y3.CC1 y1+C2y2-(1-C1-C2)y3.DC1 y1+C2y2+(1-C1-C2)y3.2. 填空题1.微分方程y〞+6y′+9y=0的通解y=_______.SSS_FILL2.当△χ→0时α是比△χ较高阶的无穷小量.函数y(χ)在任意点χ处的增量△y=+α且y(0)=π,则y(1)=_______.SSS_FILL3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1.设f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+∫t f(s)sinsds, (*) 求f(t).SSS_TEXT_QUSTI2.设f(χ)连续,且满足∫1f(tχ)dt=f(χ)+χsinχ,求f(χ).SSS_TEXT_QUSTI3.求下列方程的通解:(Ⅰ)y〞-3y′=2-6φ;(Ⅱ)y〞+y=cosχcos2χ.SSS_TEXT_QUSTI4.设曲线L的极坐标方程为r=r(θ),M(r,θ)为L上任一点,M(2,0)为L上一定点.若极径OM,OM与曲线L所围成的曲边扇形的面积值等于L上M 0,M两点间弧长值的一半,求曲线L的极坐标方程.SSS_TEXT_QUSTI5.设曲线L位于Oχy平面的第一象限内,过L上任意一点M处自切线与y轴总相交,把交点记作A,则总有长度,若L过点(),求L的方程.SSS_TEXT_QUSTI6.在上半平面求一条凹曲线(图6.2),使其上任一点P(χ,Y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与χ轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与χ轴平行.SSS_TEXT_QUSTI7.设热水瓶内热水温度为T,室内温度为T,t为时间(以小时为单位).根据牛顿冷却定律知:热水温度下降的速率与T-T0成正比.又设T=20℃,当t=0时,T=100℃,并知24小时后水瓶内温度为50℃,问几小时后瓶内温度为95℃.SSS_TEXT_QUSTI8.从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为V,海水的比重为ρ,仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k>0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系y=y(v).SSS_TEXT_QUSTI9.要设计一形状为旋转体水泥桥墩,桥墩高为h,上底面直径为2a,要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数p.设水泥的比重为ρ,试求桥墩的形状.SSS_TEXT_QUSTI10.设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正方向运动,物体B从点(-1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,任意时刻B点的坐标(χ,y),试建立物体B的运动轨迹(y作为χ的函数)所满足的微分方程,并写出初始条件.SSS_TEXT_QUSTI11.求下列方程的通解:(Ⅰ)y′=[sin(lnχ)+cos(lnχ)+a]y;(Ⅱ)χy′=+y.SSS_TEXT_QUSTI12.求下列微分方程的通解:SSS_TEXT_QUSTI13.求解二阶微分方程的初值问题SSS_TEXT_QUSTI14.解下列微分方程:(Ⅰ)y〞-7y′+12y=χ满足初始条件的特解;(Ⅱ)y〞+a 2 y=8cosbχ的通解,其中a>0,b>0为常数;(Ⅲ)y″′+y〞+y′+y=0的通解.SSS_TEXT_QUSTI15.求微分方程χy〞-y′=χ 2的通解.SSS_TEXT_QUSTI16.求方程χ 2ydχ-(χ 3+y 3 )dy=0的通解.SSS_TEXT_QUSTI17.利用代换u=ycosχ将微分方程y〞cosχ-2y′sinχ+3ycosχ=e χ化简,并求出原方程的通解.SSS_TEXT_QUSTI18.χ(χ-t)f(t)dt,其中f(χ)连续,求f(χ).设f(χ)=χsinχ-∫SSS_TEXT_QUSTI19.设有二阶线性微分方程(1-χ 2 ) +y=2χ.求:作自变量替换χ=sint( ),把方程变换成y关于t的微分方程.SSS_TEXT_QUSTI20.设f(χ)是以ω为周期的连续函数,证明:一阶线性微分方程y′+ky=f(χ) SSS_TEXT_QUSTI1。

考研数学二多元函数微分学-试卷6_真题-无答案

考研数学二多元函数微分学-试卷6_真题-无答案

考研数学二(多元函数微分学)-试卷6(总分68,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.A. 等于0B. 不存在C. 等于D. 存在但不等于也不等于02.A. B.C. D.3.A. 等于0B. 不存在C. 等于D. 存在且不等于0及4. 设u=f(r),而f(r)具有二阶连续导数,则=( )A. B.C. D.5. 考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质:①f(x,y)在点(x0,y0)处连续②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续③f(x,y)在点(x0,y0)处可微④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q,则有( )A. ②→③→①B. ③→②→①C. ③→④→①D. ③→①→④6. 设函数u=u(x,y)满足及(x,2x)=x,u1"(x,2x)=x2,u有二阶连续偏导数,则u11"(x,2x)=( )A. B.C. D.7. 利用变量替换u=x,y=,可将方程化成新方程( )A. B.C. D.8. 若函数u=.其中f是可微函数,且=G(x,y)u,则函数G(x,y)= ( )A. x+yB. x—yC. x2一y2D. (x+y)29. 已知du(x,y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy,则( )A. a=2,b=一2B. a=3,b=2C. a=2,b=2D. a=一2,b=210. 设u(x,y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数,且则u(x,y)的( )A. 最大值点和最小值点必定都在D的内部B. 最大值点和最小值点必定都在D的边界上C. 最大值点在D的内部,最小值点在D的边界上D. 最小值点在D的内部,最大值点在D的边界上11. 设函数z=(1+ey)cos x—yey,则函数z=f(x,y) ( )A. 无极值点B. 有有限个极值点C. 有无穷多个极大值点D. 有无穷多个极小值点2. 填空题1. 设f可微,则由方程f(cx一az,cy—bz)=0确定的函数z=z(z,y)满足azx"+bzy"=_______2. 设函数z=z(x,y)由方程sin x+2y-z=ez所确定,则=________.3. 函数f(x,y,z)=一2x2在x2一y2一2z2=2条件下的极大值是_______.4. 函数u=arcsin的定义域为________.5. 设z=esinxy,则dz=_______.3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二微分方程模拟试卷10_真题-无答案

考研数学二微分方程模拟试卷10_真题-无答案

考研数学二(微分方程)模拟试卷10(总分60,考试时间90分钟)选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1. 微分方程y"一6y'+8y=ex+e2x的一个特解应具有形式(其中a,b为常数) ( )A. aex+be2xB. aex+bxe2xC. axex+be2xD. axex+bxe2x2. 微分方程y"+2y'+2y=e-xsinx的特解形式为(其中a,b为常数) ( )A. e-x(acosx+bsinx)B. e-x(acosx+bxsinx)C. xe-x(acosx+bsinx)D. e-x(axcosx+bsinx)3. 微分方程的通解是(其中C为任意常数) ( )A. 2e3x+3ey2=CB. 2e3x+3e-y2=CC. 2e3x一3ey2=CD. e3x一e-y2=C4. 微分方程y"一4y'+4y=x2+8e2x的一个特解应具有形式(其中a,b,c,d为常数)( )A. ax2+bx+ce2xB. ax2+bx+c+dx2e2xC. ax2+bx+cxe2xD. ax2+(bx2+cx)e2x5. 微分方程y"+2y'+y=shx的一个特解应具有形式(其中a,b为常数) ( )A. ashxB. achxC. ax2e-x+bexD. axe-x+bex2. 填空题1. 微分方程的通解是____________.2. 微分方程y"一2y'=x2+e2x+1的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是__________.3. 以y=7e3x+2x为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是_________.4. 微分方程满足初值条件y(0)=0,的特解是___________.5. 微分方程3extanydx+(1一ex)Sec2ydy=0的通解是_________.6. 微分方程的通解是_________.7. 微分方程的通解__________(一定/不一定)包含了所有的解.8. 微分方程(y2+1)dx=y(y一2x)dy的通解是__________.9. 微分方程(1一x2)y—xy'=0满足初值条件y(1)=1的特解是__________.10. 微分方程的通解为________.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二重积分模拟试卷6_真题-无答案

考研数学二重积分模拟试卷6_真题-无答案

考研数学二(重积分)模拟试卷6(总分56,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1. 设D:χ2+y2≤16,则|χ2+y2-4|dχdy等于( ).A. 40nB. 80nC. 20nD. 60n2. 设D是χOy平面上以(1,1),(-1,1),(-1,-1)为顶点的三角形区域,D1为区域D 位于第一象限的部分,则(χy+cosχsiny)dσ等于( ).A. 2cosχsinydχdyB. 2χydχdyC. 4(χycosχsiny)dχdyD. 03. 设平面区域D:1≤χ2+y2≤4,f(χ,y)是区域D上的连续函数,则等于( ).A. 2π∫12rf(r)drB. 2π[∫12rf(r)dr-∫01rf(r)dr]C. 2π∫12rf(r2)drD. 2π[∫02rf(r2)dr-∫01rf(r2)dr]2. 填空题1. =_______.2. 设区域D={(χ,y)|0≤χ≤1,0≤y≤1},则|y-χ2|dχdy=_______.3. 改变积分次序f(χ,y)dy=_______.4. =_______.5. 设D由y=及χ轴围成,f(χ,y)=χy-(χ,y)dχdy,求f(χ,y)=_______.6. (χ+χy-χ)dχdy=_______,其中D由直线y=χ,y=2χ及χ=1围成.7. (|χ|+χ2y)dχdy=_______.3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1. 改变积分次序2. 改变积分次序3. 改变积分次序f(χ,y)dy(a>0).4. 改变积分次序并计算5. 计算6. 计算7. 把二重积分(χ,y)dχdy写成极坐标下的累次积分的形式(先r后θ),其中D由直线χ+y=1,χ=1,y=1围成.8. 把(χ,y)dχdy写成极坐标的累次积分,其中D={(χ,y)|0≤χ≤1,0≤y≤χ}.9. 设f(χ)连续,f(0)=1,令F(f)=f(χ2+y2)dχdy(t≥0),求F〞(0).10. 计算I=ydχdy中。

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[考研类试卷]考研数学二(微分方程)模拟试卷6
一、选择题
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1 微分方程y"+2y'+y=sh x的一个特解应具有形式(其中a,b为常数) ( ) (A)ash x
(B)ach x
(C)ax2e一x+be x
(D)axe一x+be x
2 设f(x)连续,且满足f(x)=∫02x f()dt+ln 2,则f(x)= ( )
(A)e x ln 2
(B)e x ln 2
(C)e x+ln 2
(D)e2x+ln 2
3 设f(x),f'(x)为已知的连续函数,则方程y'+f'(x)y=f(x)f'(x)的通解是 ( ) (A)y=f(x)+Ce一f(x)
(B)y=f(x)+1+Ce一f(x)
(C)y=f(x)一C+Ce一f(x)
(D)y=f(x)一1+Ce一f(x)
4 方程y(4)一2y"'一3y=e一3x一2e一x+x的特解形式(其中a,b,c,d为常数)是 ( )
(A)axe一3x+bxe一x+cx3
(B)ae一3x+bxe一x+cx+d
(C)ae一3x+bxe一x+cx3+dx2
(D)axe一3x+be一x+cx3+dx
5 已知y1=xe x+e2x和y2=xe x+e一x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解,则此方程为 ( )
(A)y"一2y'+y=e2x
(B)y"—y'一2y=xe x
(C)y"一y'一2y=e x一2xe x
(D)y"一y=e2x
6 微分方程y"一y=e x+1的特解应具有形式(其中a,b为常数) ( )
(A)ae x+b
(B)axe x+b
(C)ae x+bx
(D)axe x+bx
二、填空题
7 微分方程y"=的通解为____________.
8 微分方程y"一2y'=x x+e2x+1的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是____________.
9 特征根为r1=0,r2,3=±i的特征方程所对应的三阶常系数线性齐次微分方程为____________.
10 满足f'(x)+xf'(一x)=x的函数f(x)=____________.
11 已知∫01f(tx)dt=f(x)+1,则f(x)=____________.
12 微分方程xdy—ydx=ydy的通解是____________.
13 微分方程=0的通解是____________.
14 以y=7e3x+2x为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是____________.
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15 求(y3一3xy2一3x2y)dx+(3xy2一3x2y—x3+y2)dy=0的通解.
16 求微分方程y"(3y'2—x)=y'满足初值条件y(1)=y'(1)一1的特解.
17 求微分方程=y4的通解.
18 求微分方程y"+2y'+2y=2e一x cos2的通解.
19 求y"一y=e|x|的通解.
20 设函数f(u)有连续的一阶导数,f(2)=1,且函数z=满足
,x>0,y>0,①求z的表达式.
21 设z=z(u,v)具有二阶连续偏导数,且z=z(x一2y,x+3y)满足
,①求z=z(u,v)的一般表达式.
22 利用变换y=f(e x)求微分方程y"一(2e x+1)y'+e2x y=e3x的通解.
23 求二阶常系数线性微分方程y"+λy'=2x+1的通解,其中λ为常数.
24 (1)用x=e t化简微分方程
25 设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该
点处的切线在y轴上的截距,且L经过点(,0). (1)试求曲线L的方程; (2)求
L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.
26 设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y'(x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及到z轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为
S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1~S2恒为1,
求此曲线y=y(x)的方程.
27 位于上半平面向上凹的曲线y=y(z)在点(0,1)处的切线斜率为0,在点(2,2)处的切线斜率为1.邑知曲线上任一点处的曲率半径与及(1+y'2)的乘积成正比,求该曲线方程.。

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