22.2.1配方法(二)
22.2.1 配方法解一元二次方程--
5
2x-1=-
5
分别解这两个一元一次方程得 x1= 1 5 x2= 1 5
2
2
利用转化思想解方程③ 方程的左边是完全平方形式 即为 (x+3)2=2 方程两边开平方得 x+3=±
方程的根为x1=
2
x2 =
归纳:以上方程①②③在解法有什么类似的地方,可归 纳怎样的步骤? 以上方程①②③都可用开平方法,将一元二次方程降 转化为两个一元一次方程 即用图表示为 一元二次方程x2=p(p≥0) 或(mx+n)2=p(p≥0
解一元二次方程
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500 d m ，李林用这桶
2
油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为 xdm， 列方程10 6 x 1500 由此可得 x 25 x 5， 即 x1 5， x2 5
2 2
这种解法叫做什么? 直接开平方法
经检验，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 x a ,x a 1 2 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
例1.用开平方法解下列方程:
(1).x2＝50 (2).x2－ 81＝0 (3).3x2－27=0
把此方程“降次”， 转化为两个一元 一次方程
怎样解方程(2 x 1) 5及
2
方程 x 6 x 9 2 ?
2
对照上面解方程①的过程你认为怎样解下列方程 方程:(2x-1)2=5 ② 方程:x2+6x+9=0 ③ 利用类比思想解方程② 方程两边开平方得 2x-1=± 5 即2x-1=
22.2.1配方法
∴X2+8X=-7
②∴X2+8X+（）2=（）2
即（X+4）2=9
3、3X2-6X+2=0如何变形可得到（X-1）2=
①∵3X2-6X+2=0
∴3X2-6X=-2
②∴X2-2X=-
③∴X2-2X+1=-+1
④∴(X-1)2=
3、怎样解方程X2+6X-16=0
1移项X2+6X=16
（1）X1=5，X2=8
(2)X1=1，X2=-
注重配方过程，得出两个实数根。
四、拓展延伸
1、用配方法解下列方程
（1）X2+8X=33
（2）2X2-3X+4=0
（3）X2-X+1=0
2、当x为何值时，代数式X2-8X+12=X
3、求证：方程有两个相等的实数根？
4、解方程：3X2+2x-a=0
怎样判断？
1、化为一般形式
2、移项
3、二次项系数化为1
4、配方
5、左边写成完全平方的形式
6、降次直接开平方
7、求解解一元一次方程定解等
要求学生通过讨论自己归纳得出步骤。引导学生回顾目标，明确重难、难点
六、作业布置
1、复习巩固所讲内容
2、完成课后练习和习题相关作业；
3、完成练习册相关作业。
即时练习，巩固所学知识。
3．解方程：X2+6X-16=0
4、用配方法解一元二次方程的基本步骤
4．用配方法解下列方程
例题1例题2例题3例题4
5．做一做
6．小结
7．作业等
学生学习活动评价设计
人教版数学九年级上册22.2.1《配方法》说课稿2
人教版数学九年级上册22.2.1《配方法》说课稿2一. 教材分析《配方法》是人教版数学九年级上册第22.2.1节的内容，本节课的主要内容是让学生掌握配方法的原理和应用。
配方法是解一元二次方程的一种重要方法，它能把一般形式的一元二次方程转化为完全平方式，从而使方程的解法更加简单。
在初中数学中，配方法不仅是一元二次方程解法的基础，也是后续学习二次函数、一元二次不等式等知识的基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元二次方程的基本概念和解法，对二次项、一次项、常数项有一定的了解。
但是，学生对于配方法的原理和推导过程可能还不太理解，对于如何运用配方法解决实际问题可能还存在困难。
因此，在教学过程中，我需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握配方法，并能够运用配方法解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握配方法的原理和步骤，能够运用配方法解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学的乐趣，培养对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：配方法的原理和步骤，如何运用配方法解一元二次方程。
2.教学难点：配方法的推导过程，如何灵活运用配方法解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生自主探究和合作交流。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合数学软件和网络资源，为学生提供丰富的学习资源。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习一元二次方程的基本概念和解法，引出配方法的概念和作用。
2.自主探究：让学生自主探究配方法的原理和步骤，引导学生发现配方法的规律。
3.合作交流：让学生分组讨论，分享各自的方法和经验，互相学习和借鉴。
4.讲解示范：通过讲解和示范，让学生理解和掌握配方法的具体操作步骤。
5.练习巩固：布置一些练习题，让学生运用配方法解一元二次方程，巩固所学知识。
22.2.1一元一次方程的解法(2)配方法1
2
(2) x 5x 6 0
2
x1 4 3 2 , x2 4 3 2
x1 6, x2 1
2
(3) x 7 6x
2
(4) x 10 2 6x
此方程无解
x1 3 2 , x2 3 2
设场地的宽为
xm,
长
x 6m ，列方程得
即
xx 6 16 2 x 6 x 16 0
方程 x
2
6 x 16 0 和方程 x 6 x 9 2
2
有何联系与区别呢？
把一元二次方程的左边配成一个 完全平方式,然后用开平方法求解,这 种解一元二次方程的方法叫做配方法.
2－12x＋ 62 (3)x
=(x－ 6 )2
结论:在方程两边同时添加的常数项等于一次 项系数一半的平方.
随堂练习1
32
填空：
X+3
42
X－4
3 2 ( ) 4
3 x 4
例1、解下列方程： （1） x2＋2x＝5； （2） x2－4x＋3＝0.
师生合作 1
例2 用配方法解方程: (1)x2-6x-7=0 (2)x2+3x+1=0
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.配方: 方程两边都加上一次项系数一半的平方; 3.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项 4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解.
(1)x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2 (2)x2－4x＋ 4 =(x－ 2 )2 6 (3)x2－___x＋ 9 =(x－ 3 )2
一元二次方程配方法
2、用配方法解形如ax2+bx+c=0一元二 次方程的一般步骤是什么？
系数化1ห้องสมุดไป่ตู้移项，配方，变形，开方，求解，定解
作业
• P42 第3题（3）（4）
2 )= 3
10 9
练一练
1解下列方程 （1）3x2+6x-4=0
1 2 (2) x +2x-1=0 2
(3)4x2-6x-3=0
(4)-2x2-x-1=0
试一试
2.用配方法求2x2-7x+2的最小值
3.用配方法证明-10x2+7x-4的值 恒小于0
归纳总结
1、解二次项系数不为1的一元二次方程的
开方，得
，x2=2
5 3 x 4 4
∴ x1 2
开方
定解
1 x2 2
典型例题
解下列方程： （1）2x2+1=3x
(2) 3x2-6x+4=0
概括总结
1.对于二次项系数不为1的一元二次方程， 用配方法求解时首先要怎样做 ？
首先要把二次项系数化为1
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
22.2.1一元二次方程的解法 配方法2
知识回顾
1.什么是配方法？ 我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
用配方法解一元二次方程的方法的 2.什么是平方根？
如果x2=a,那么x= a.
助手:
x就是a的平方根
3.什么是完全平方式？
式子a2±2ab+b2叫完全平方式, 且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
5 2
x+1=0与
2022年《降次--解一元二次方程(第二课时)》专题练习(附答案)
22．2降次--解一元二次方程〔第二课时〕配方法(2)◆随堂检测1、将二次三项式x 2-4x+1配方后得〔 〕A ．〔x-2〕2+3 B ．〔x-2〕2-3 C ．〔x+2〕2+3 D ．〔x+2〕2-3 2、x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的选项是〔 〕 A 、x 2-8x+42=31 B 、x 2-8x+42=1 C 、x 2+8x+42=1 D 、x 2-4x+4=-113、代数式2221x x x ---的值为0，求x 的值． 4、解以下方程：〔1〕x 2+6x+5=0；〔2〕2x 2+6x-2=0；〔3〕〔1+x 〕2+2〔1+x 〕-4=0. 点拨：上面的方程都能化成x 2=p 或〔mx+n 〕2=p 〔p ≥0〕的形式，那么可得x=mx+n=〔p ≥0〕.◆典例分析用配方法解方程22300x -=，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．解：方程两边都除以2并移项，得2152x x -=，配方，得2211()15224x x -+=+， 即2161()24x -=，解得122x -=±，即121122x x -==．分析：配方法中的关键一步是等式两边同时加上一次项系数一半的平方。
此题中一次项系数是2-，因此，等式两边应同时加上2(或2才对 解：上面的过程不对，错在配方一步，改正如下：配方，得221158x x +=+，即2121(8x -=，解得44x -=±，即122x x ==-． ◆课下作业●拓展提高 1、配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为〔 〕 A 、〔x-13〕2=89 B 、〔x-23〕2=0 C 、〔x-13〕2=89 D 、〔x-13〕2=1092、用配方法解方程x 2-23x+1=0正确的解法是〔 〕A 、〔x-13〕2=89，x=13±3 B 、〔x-13〕2=-89，原方程无解C 、〔x-23〕2=59，x 1=23，x 2 D 、〔x-23〕2=1，x 1=53，x 2=-133、无论x 、y 取任何实数，多项式222416x y x y +--+的值总是_______数． 4、如果16〔x-y 〕2+40〔x-y 〕+25=0，那么x 与y 的关系是________． 5、用配方法解以下方程：〔1〕x 2+4x+1=0；〔2〕2x 2-4x-1=0；〔3〕9y 2-18y-4=0；〔4〕x 26、如果a 、b 2-12b+36=0，求ab 的值．●体验中考1、〔2021年山西太原〕用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为〔 〕A ．()216x += B ．()216x -= C ．()229x +=D ．()229x -=2、〔2021年湖北仙桃〕解方程：2420x x ++=．3、〔2021年，陕西〕方程2(2)9x -=的解是〔 〕 A ．125,1x x ==- B ．125,1x x =-= C ．1211,7x x ==- D ．1211,7x x =-=4、〔2021年，青岛〕用配方法解一元二次方程：2220x x --=.参考答案： ◆随堂检测 1、B. 2、B.3、解:依题意,得222010x x x ⎧--=⎪⎨-≠⎪⎩,解得2x =．4、解：〔1〕移项，得x 2+6x=-5， 配方，得x 2+6x+32=-5+32，即〔x+3〕2=4， 由此可得：x+3=±2，∴x 1=-1，x 2=-5 〔2〕移项，得2x 2+6x=-2， 二次项系数化为1，得x 2+3x=-1， 配方x 2+3x+〔32〕2=-1+〔32〕2，即〔x+32〕2=54，由此可得x+32=∴x 1=2-32，x 2=-2-32〔3〕去括号整理，得x 2+4x-1=0， 移项，得x 2+4x=1， 配方，得〔x+2〕2=5，由此可得x+2=，∴x 1，x 2◆课下作业 ●拓展提高 1、D. 2、B.3、正 ()222224161(2)11110x y x y x y +--+=-+-+≥>.4、x-y=54 原方程可化为[]24()50x y -+=，∴x-y=54.5、解：〔1〕x 1=3-2，x 2=-3-2；〔2〕x 1=1+6，x 2=1-6；〔3〕y 1=133+1，y 2=1-133；〔4〕x 1=x 2=3.6、解：原等式可化为234(6)0a b ++-=，∴34060a b +=⎧⎨-=⎩，∴43a =-，6b =，∴8ab =-. ●体验中考1、 B.分析：此题考查配方，2250x x --=，22151x x -+=+，()216x -=，应选B ． 2、解：242x x +=-∴1222,2 2.x x =-3、A ∵2(2)9x -=，∴23x -=±,∴125,1x x ==-.应选A.4、解得1213,13x x ==第2课时 多项式与多项式相乘一、填空题〔每题3分，共24分〕1．假设a b c x x x x ＝2008x ，那么c b a ++＝______________． 2．(2)(2)a b ab --＝__________，2332()()a a --＝__________． 3．如果2423)(a a a x =⋅，那么______=x ．4．计算：(12)(21)a a ---= ．5．有一个长9104⨯mm ，宽3105.2⨯mm ，高3610⨯mm 的长方体水箱，这个水箱的容积是______________2mm ．6．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式〔一定成立的等式〕，请根据右图写出一个代数恒等式是：________________．7.假设3230123(2)x a a x a x a x -=+++，那么220213()()a a a a +-+的值为 ．8．：A ＝－2ab ，B ＝3ab 〔a ＋2b 〕，C ＝2a 2b －2ab 2 ，3AB －AC 21＝__________．二、选择题〔每题3分，共24分〕 9．以下运算正确的选项是〔 〕．A ．236x x x =B ．2242x x x +=C ．22(2)4x x -=-D ．358(3)(5)15a a a --=10．如果一个单项式与3ab -的积为234a bc -，那么这个单项式为〔 〕．A ．14acB ．214a cC ．294a cD ．94ac11．计算233[()]()a b a b ++的正确结果是〔 〕．A ．8()a b +B ．9()a b +C ．10()a b +D ．11()a b +12．长方形的长为〔a －2〕cm ，宽为〔3a ＋1〕 cm ，那么它的面积是多少？〔 〕．A ．2(352)a a cm --B ．2(352)a a cm -+C ．2(352)a a cm +-D ．2(32)a a cm +-13．以下关于301300)2(2-+的计算结果正确的选项是〔 〕．A ．3003013003016012(2)(2)(2)(2)+-=-+-=-B ．1301300301300222)2(2-=-=-+C ．300300300301300301300222222)2(2-=⨯-=-=-+D ．601301300301300222)2(2=+=-+14．以下各式中，计算结果是2718x x +-的是〔 〕． A ．(1)(18)x x -+ B ．(2)(9)x x -+ C ．(3)(6)x x -+ D ．(2)(9)x x ++15．以下各式，能够表示图中阴影局部的面积的是〔 〕．①()at b t t +- ②2at bt t +- ③()()ab a t b t --- ④2()()a t t b t t t -+-+ A ．只有① B ．①和② C ．①、②和③ D ．①、②、③、④16．：有理数满足0|4|)4(22=-++n n m ，那么33m n 的值为〔 〕．A.1B.－1C. ±1D. ±2 三、解答题〔共52分〕 17．计算：〔1〕3243-ab c 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 〔2〕()2232315x y-xy -y -4xy 426⎛⎫⎪⎝⎭18．解方程：2(10)(8)100x x x +-=-19．先化简，再求值：用这种方法不仅可比大小，也能解计算题哟！〔1〕()()()2221414122x x x x x x ----+-，其中x ＝－2. 〔2〕()()()()5.0232143++--+a a a a ，其中a ＝－3.20．一个长方形的长为2xcm ，宽比长少4cm ，假设将长方形的长和宽都扩大3cm ，长方形比原来增大的面积是多少？拓广探索21.在计算时我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式， 一定会提高解题的速度，在解答下面问题中请留意其中的规律.〔1〕计算后填空：()()=++21x x ； ()()=-+13x x ； 〔2〕归纳、猜测后填空：()()()()++=++x x b x a x 2〔3〕运用〔2〕猜测的结论，直接写出计算结果：()()=++m x x 2 .22.有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题．例 假设x ＝123456789×123456786，y ＝123456788×123456787，试比拟x 、y 的大小．解：设123456788＝a ，那么()()2122x a a a a =+=---，()21y a a a a ==--，∵()()222x y a a a a =-----＝－2，∴x ＜y看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！ 问题：假设x ＝20072007200720112007200820072010⨯-⨯，y ＝20072008200720122007200920072011⨯-⨯，试比拟x 、y 的大小．参考答案一、填空题1．2007 2．2242a b ab -+、12a - 3．18 4．214a - 5．16610⨯ 6．()ab a b a a 2222+=+ 7．1 8．32231638a b a b -- 二、选择题9．D 10．A 11．B 12．A 13．C 14．B 15．D 16．B 三、解答题〔共56分〕 17．〔1〕3612278a b c -〔2〕3324510323x y x y xy -++ 18．2281080100x x x x -+-=-，220x =-，∴10x =-． 19．〔1〕324864x x x +--，8 〔2〕26a --，0 20．(23)(21)x x +-－2(24)x x - ＝2(4623)x x x +--－2(48)x x - ＝2244348x x x x +--+ ＝123x -答：增大的面积是(123)x cm -．21．〔1〕232x x ++、223x x +- 〔2〕a b +、ab 〔3〕2(2)2x m x m +++ 拓广探索22．设20072007＝a ，x ＝(4)(1)(3)a a a a +-++＝224(43)a a a a +-++＝－3，y ＝(1)(5)(2)(4)a a a a ++-++＝2265(68)a a a a ++-++＝－3，∴x ＝y ．。
22.2.1 配方法(2)
63中学导学案年级：八年级学科：数学姓名：_________ ____年____月___日63中学导学案年级：八年级学科：数学姓名：_________ ____年____月___日1．式子44x +配成完全平方式，应加上（ D ）A. 4xB. ±4xC. 4x 2D. ±4x 22．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ B ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=3．+-px x 2_________=(x －_________)2．4．x ab x -2＋_________=(x －_________)2．5．方程2x 2+5x-3=0的解为6．解方程x 2－2x －1=0．7．解方程y 2－6y ＋6=0．8．解方程3x 2－4x =2．（完成时间：45分钟，满分：100分）一、选择题（每题5分，共25分）1．方程x 2－3x ＋2＝0的解是 ( )A ．1和2B ．－1和－2C ．1和－2D ．－1和22．用配方法解方程x 2＋2x =8的解为 ( )A ．x 1=4，x 2=－2B ．x 1=－10，x 2=8C ．x 1=10，x 2=－8D ．x 1=－4，x 2=23．用配方法解方程01322=--x x 应该先变形为 ( ) A ．98)31(2=-x B ．98)31(2-=-x C ．910)31(2=-x D ．0)32(2=-x 4．若关于x 的二次三项式x 2－ax ＋2a －3是一个完全平方式，则a 的值为 ( )．A ．－2B ．－4C ．－6D ．2或65．方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（） A ．12 B ．15 C ．12或15 D ．不能确定二、填空题（每题5分，共25分）6．x x 232-＋_________=(x －_________)2．7．方程x 2－6x ＋8＝0的解是8．方程042=-x x 的解是______________．9．若x ＝1是方程x 2－mx ＋2m ＝0的一个根，则方程的另一根为______．10．关于x 的方程x 2＋mx －8=0的一个根是2，则m =______，另一根是______．三、解答题（每题10分，共50分）11．x 2＋4x －3=0．12．x (x ＋4)＝21．13．－2x 2＋2x ＋1＝0.14．2x －1=－2x 215．x 2＋2mx =n ．(n ＋m 2≥0)．。
配方法.公式法.因式分解
学习课题：22.2.1配方法（2）课题内容：找出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程学习目标：了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目学习重点：讲清配方法的解题步骤．把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方学习指南：学习流程：学习流程：复习自学（阅读课本）自我检测课堂展示小结报告学习环节一、温馨回忆：学生活动：解下列方程：（1）x2-8x+7=0已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，•右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题解：（1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9x-4=±3即x1=7，x2=1（2）x2+4x+1=0（试一试二、自我探究学习：像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解例1．解下列方程（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．解：（1）移项，得：x2+6x=-5配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5（2）移项，得：2x2+6x=-2二次项系数化为1，得：x2+3x=-1配方x2+3x+（32）2=-1+（32）2（x+32）2=54由此可得x+32=x132，x232（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0（自己试一试）三、自我展示：（学生小组交流解疑，教师点拨、拓展）问题一：配方法解方程2x2-43x-2=0应把它先变形为（）．A．（x-13）2=89B．（x-23）2=0C．（x-13）2=89D．（x-13）2=109问题二：1．如果x2+4x-5=0，则x=_______．2．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数问题三：用配方法解方程．（1）9y2-18y-4=0 （2）x2问题四：如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________问题五：已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．A．1 B．2 C．-1 D．-2问题六：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数四、自我练习：1.教材P42复习巩固3小结学习报告：（写出小节所学的内容，以及自已的学习感受）五、能力提升已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求222x yx y-+的值六、中考链接：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案学习课题：公式法课题内容：1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程学习目标：理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a ≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程学习重点：求根公式的推导和公式法的应用 学习指南：学习流程：复习 自学（阅读课本） 自我检测 课堂展示 小结报告 学 习 环 节一、温馨回忆： 学生活动：（学生活动）用配方法解下列方程 （1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解 二、自我探究学习：如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1x 2分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c •也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-ca配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a）2即（x+2b a ）2=2244b aca -∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b aca-≥0 直接开平方，得：x+2ba =即∴x 1x 2由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根三、学有所用：（学生小组交流解疑，教师点拨、拓展） 问题一：1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．A ．x=B ．C ．x= D ．2、 若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是____3、 用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a 2=0问题二：用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可 问题三：某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22mx ++（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？问题四：12的根是（ ）．A ．x 1=x 2B ．x 1=6，x 2C ．x 1x 2D ．x 1=x 22、如果分式3322---x x x 的值为0,则x 值为A.3或-1B.3C.-1D.1或-3问题五：1、m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）． A ．4 B ．-2 C ．4或-2 D ．-4或22、若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是____问题六：1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4． 3、利用求根公式求x x 62152=+的根时,a,b,c 的值分别是 A.5,21,6 B.5,6, 21 C.5,-6, 21 D.5,-6,- 21四、自我练习：教材P 42 练习1．（1）、（3）、（5） 小结学习报告：五、能力提升设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=ca；（2）•求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值六、中考链接：某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A元收费． （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A 表示）（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况学习课题：22.2.3因式分解法课题内容：用因式分解法解一元二次方程学习目标：1、掌握用因式分解法解一元二次方程．2、通过复习用配方法、公式法解一元二次方程学习重难点：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法学习指南：学习流程：复习自学（阅读课本）自我检测课堂展示小结报告学习环节一、温馨回忆（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）二、自我探究学习：1、自学教材38—39页内容，明确因式分解法解一元二次方程的一一般方法步骤，主要依据，会用因式分解法节简单的一元二次方程，通过演练40页练习题1，43页习题6检验自己自学效果，小组讨论解决疑难问题，15分钟后抽同学展示学习成果。
人教版九年级数学上册降次解一元二次方程同步练习题 (2)
人教版九年级数学试题22．2降次--解一元二次方程（第二课时）22.2.1 配方法(2)◆随堂检测1、将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）A ．（x-2）2+3 B ．（x-2）2-3 C ．（x+2）2+3 D ．（x+2）2-3 2、已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ） A 、x 2-8x+42=31 B 、x 2-8x+42=1 C 、x 2+8x+42=1 D 、x 2-4x+4=-113、代数式2221x x x ---的值为0，求x 的值．4、解下列方程：（1）x 2+6x+5=0；（2）2x 2+6x-2=0；（3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0. 点拨：上面的方程都能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p （p ≥0）的形式，那么可得 x=p mx+n=p （p ≥0）.◆典例分析用配方法解方程222300x x -=，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正． 解：方程两边都除以2并移项，得2215x =， 配方，得22211()1524x x +=+， 即2161()24x -=， 解得1612x -=， 即12161161x x +-==．分析：配方法中的关键一步是等式两边同时加上一次项系数一半的平方。
本题中一次项系数是2-，因此，等式两边应同时加上22()或22()才对 解：上面的过程不对，错在配方一步，改正如下： 配方，得22221158x x +=+， 即22121(8x -=， 解得211244x -=±， 即125232,2x x ==-． ◆课下作业●拓展提高 1、配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为（ ） A 、（x-13）2=89 B 、（x-23）2=0 C 、（x-13）2=89 D 、（x-13）2=1092、用配方法解方程x 2-23x+1=0正确的解法是（ ） A 、（x-13）2=89，x=13±23 B 、（x-13）2=-89，原方程无解C 、（x-23）2=59，x 1=235，x 225- D 、（x-23）2=1，x 1=53，x 2=-133、无论x 、y 取任何实数，多项式222416x y x y +--+的值总是_______数． 4、如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________． 5、用配方法解下列方程：（1）x 2+4x+1=0；（2）2x 2-4x-1=0；（3）9y 2-18y-4=0；（4）x 236、如果a 、b 34a +2-12b+36=0，求ab 的值．●体验中考1、（2009年山西太原）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x += B ．()216x -= C ．()229x +=D ．()229x -=2、（2009年湖北仙桃）解方程：2420x x ++=．3、（2008年，陕西）方程2(2)9x -=的解是（ ） A ．125,1x x ==- B ．125,1x x =-= C ．1211,7x x ==- D ．1211,7x x =-=4、（2008年，青岛）用配方法解一元二次方程：2220x x --=.参考答案： ◆随堂检测 1、B. 2、B.3、解:依题意,得222010x x x ⎧--=⎪⎨-≠⎪⎩,解得2x =．4、解：（1）移项，得x 2+6x=-5， 配方，得x 2+6x+32=-5+32，即（x+3）2=4， 由此可得：x+3=±2，∴x 1=-1，x 2=-5 （2）移项，得2x 2+6x=-2， 二次项系数化为1，得x 2+3x=-1， 配方x 2+3x+（32）2=-1+（32）2， 即（x+32）2=54，由此可得x+32=5∴x 1532，x 2532（3）去括号整理，得x 2+4x-1=0， 移项，得x 2+4x=1， 配方，得（x+2）2=5，由此可得x+2=5，∴x 15，x 25◆课下作业 ●拓展提高 1、D. 2、B.3、正 ()222224161(2)11110x y x y x y +--+=-+-+≥>.4、x-y=54 原方程可化为[]24()50x y -+=，∴x-y=54.5、解：（1）x 1=3-2，x 2=-3-2；（2）x 1=1+62，x 2=1-62；（3）y 1=133+1，y 2=1-133；（4）x 1=x 2=3.6、解：原等式可化为234(6)0a b ++-=，∴34060a b +=⎧⎨-=⎩，∴43a =-，6b =，∴8ab =-. ●体验中考1、 B.分析：本题考查配方，2250x x --=，22151x x -+=+，()216x -=，故选B ． 2、解：242x x +=-∴1222,2 2.x x =-3、A ∵2(2)9x -=，∴23x -=±,∴125,1x x ==-.故选A.4、解得1213,13x x ==习题试解预习法检验预习效果的最佳途径数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。
配方法二
6. a ， b ， c 是 ABC 的三条边 1 当 a 2 2ab c 2 2bc 时，试判断 ABC 的形状. ○ 2 证明 a 2 b 2 c 2 2ac 0 ○ 四、小结归纳 用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化为 ax2 bx c 0a 0 的形式， 2.把常数项移到方程右边； 3.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为 1； 4.方程两边都加上一次项系数一半的平方； 5.原方程变形为（x+m）2=n 的形式； 6.如果右边是非负数， 就可以直接开平方求出方程的解， 如果右边是负数， 则一元二次方程无解． 不写出完整的解方程过程，原方程变形为（x+m）2=n 的形式后，若 n 为 0，原方程有两个相等的实数根；若 n 为正数，原方程有两个不相等的 实数根；若 n 为负数，则原方程无实数根. 五、作业设计 必做：P42：3（3） （4） 选做：P43：8、9 教 学 反 思 学生归纳，总结阐述， 体会，反思. 并做出笔 记.
3．下列方程中，一定有实数解的是（ A．x2+1=0 B． （2x+1）2=0
） ． D． （ 1 x-a）2=a
2
C． （2x+1）2+3=0
4.解决课本练习 2（2）到（6） 5.已知 x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则 x+y+z 的值是（ A．1 B．2 C．-1 D．-2 ） ．
原方程无解. (4) 不写出完整的解方程过程，到哪一步就可以确定方程的解得情况？ 三、课堂训练 1.方程 4x 2 4 3x 2 0化为x a2 b的形式，正确的是( 2 A. x 3 2 5 B. x 3 2 5 C. D. 3 1 x 4 4 2 4 )
教案：22.2降次——解一元二次方程(2)
22.2降次——解一元二次方程（2）配方法南通市观河中学 初二备课组一、教学内容本节课主要学习运用配方法，即通过变形运用开平方法降次解方程。
二、教学目标知识技能：探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程．数学思考：（1）在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。
（2）渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．情感态度：继续体会由未知向已知转化的思想方法．三、教学重点、难点重点：用配方法解一元二次方程．难点：正确理解把ax x 2形的代数式配成完全平方式.四、教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容五、 教学过程（一）复习引入【问题】（学生活动）请同学们解下列方程(1)3x 2－27=0; (2)(2x －3)2=7老师点评：上面的方程都能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p （p ≥0）的形式，那么可得x=mx+n=p ≥0）．如：4x 2+16x+16=（2x+4）2 【活动方略】 教师演示课件，给出题目．学生根据所学知识解答问题．【设计意图】复习直接开门平方法，解形如（mx+n）2=p（p≥0）的形式的方程，为继续学习引入作好铺垫．（二）探索新知【问题情境】要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？【活动方略】学生活动：学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．考虑设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0，对于如何解方程x2+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x＋9=16＋9，即（x＋3）2＝25，问题解决。
22.2.1配方法(二)
1、用直接开平方法解下列方程:
(1) (2)
9x 1
2
静心想一想：
(x 2) 2
2
2、下列方程能用直接开平方法来解吗? 2 (1) x 4x 4 3 把两题转化成
(2)
X2+6X+9 = 2
(x+b)2=a(a≥0)的 形式，再利用开平 方
大胆试一试：
填上适当的数或式,使下列各等式成立.
(1) (2)
x 8 x 4 =( x 4 2 2 (3) x 4 x 2 =( x 2
2
x 6x 32 =( x
2
2
+ 3)2 )2 )2
p 2 )2
观察(1)(2)看所填的 常数与一次项系数之 间有什么关系?
x 共同点：
(4)
2
p px 2 =(
2
例1: 用配方法解方程
配方得： x 6x 3 7 3
2 2
2
即 ( x 3) 16
2
开平方得： x 3 4 x1 1 , x2 7 ∴原方程的解为：
例2: 你能用配方法解方程 2 x 2 x 6 0
解: 二次项系数化为1得：x 2 1 x 3 0
(1)x2+8x-15=0
(2)x2-5x-6=0
(3)2x2-5x-6=0 (4) x2+px+q=0(p2-4q＞ 0)
1、配方法： 通过配方,将方程的左边化成一个含未
知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直接开平 方程的解的方法。 2、用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤： (1)化二次项系数为1 （2）移项 （3）配方 （4）开平方
22.2.1_配方法解一元二次方程(2) 课件 (人教版九年级上册)
(4) 4 x 6 x 3 0;
2
(5) x 4 x 9 2 x 11;
2
(6) x ( x 4) 8 x 12 .
练习：用配方法解下列方程： (1) x2＋12x
2 2
=－ 9
2 2
(2) －x2＋4x－3=0
解 : x 2 4 x 3 x 2 4 x 4 3 4 ( x 2) 2 1 x 2 1 x 2 1 或 x 2 1 x1 1 x2 3
根的定义,可解得
x1 a, x2 这种解一 a
元二次方程的方法叫做直接开平方法.
2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然 后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫 做配方法. 注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方.
3.用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 化 1：把二次项系数化为1； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
x(x+6)=16
怎样解?
即x 6 x 16 0
2
变 形 为
(mx n) p, ( p 0)的形式 .
2
想一想解方程 x 2 6 x 16 0的流程怎样?
x 6 x 16 0
2
移项
两边加上32,使左边配成
x 2 6 x 16
x 2bx b 的形式
解 : x 12x 6 4 6 ( x 6) 32 x 6 4 2 x6 4 2 或 x 6 4 2 x1 6 4 2 x 2 6 4 2
配方法解一元二次方程
22．2．1配方法（第2课时）【学习目标】1．知道什么是配方法以及用配方法解一元二次方程的基本步骤；2．会用配方法解数字系数的一元二次方程．【活动方案】活动一 认识配方法自学课本Ｐ6—P 7，思考下列问题：1．所列出的方程x 2+6x +4=0利用直接开平方法能解吗？2．怎样解方程x 2+6x +4=0？看教材框图，能理解框图中的每一步吗？3．讨论：在框图中第二步为什么方程两边加9？加其它数行吗？4．什么叫配方法？配方法的目的是什么？练习：填空（1） ()22________10+=++x x x （2）()22________12-=+-x x x（3） ()22_________5+=++x x x （4）()22________32-=+-x x x 小组长组织交流，总结配方的关键是 ．活动二 运用配方法解方程1．自学课本P 7例1，思考下列问题：（1）方程（1）中为什么两边都加24？加其他数行吗？（2）方程（2）、（3）的二次项系数与方程（1）的二次项系数有什么区别？为了便于配方应怎样处理？（3）方程（3）为什么没有实数解？小结用配方法解一元二次方程的基本步骤.练习：解下列方程：（1）09102=++x x （2）04632=-+x x（3）03642=--x x （4）112942-=-+x x x课堂小结：学完本节课后，你有什么收获？还有哪些疑惑？【检测反馈】1．将二次三项式0762=++x x 进行配方，正确的结果应为（ ）A ． 02)3(2=++xB ．02)3(2=+-xC ． 02)3(2=-+xD ． 02)3(2=--x2．把一元二次方程03232=--x x 化成n m x =+2)(3的形式是 ． 3．用配方法解下列方程：（1）0472=--x x （2）x x 3122=+ （3）()1284+=+x x x。
配方法
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1.化 1: 把二次项系数化为1; 2.移项: 把常数项移到方程的右边; 3.配方: 方程两边都加上一次项系 数一半的平方; 4.变形: 方程左边分解因式,右边 合并同类项; 5.开方: 方程两边开平方; 6.求解: 解一元一次方程; 7.定解: 写出原方程的解.
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
自主学习
自学课本第82页例1.
掌握配方法解一元二 次方程的书写步骤。
巩固练习
解下列方程：
2 （1）x +10x+9=0
(2)
2 3x +6x-4=0
(3) x(x+4)=8x+12
拓展提高
2 已知y=x +6x+10,当x为
何值时，y有最小值？ 最小值是什么？
所加的数与一次项系数之 间有什么关系?
加上一次项系数一半的平方
合作探究
2 ［例］解方程：x +6x-16=0
思考与归纳： 1、什么是配方法？定义中的关 键词是什么？ 2、用配方法解一元二次方程的 一般步骤是什么？
通过配成完全平方形式来解一元二 次方程的方法，叫做配方法。
合作探究
2 ［例］解方程：x +6x-16=0
思考与归纳： 1、什么是配方法？定义中的关 键词是什么？ 2、用配方法解一元二次方程的 一般步骤是什么？
通过配成完全平方形式来解一元二 次方程的方法，叫做配方法。
1.化 1: 把二次项系数化为1; 2.移项: 把常数项移到方程的右边; 3.配方: 方程两边都加上一次项系 数一半的平方; 4.变形: 方程左边分解因式,右边 合并同类项; 5.开方: 方程两边开平方; 6.求解: 解一元一次方程; 7.定解: 写出原方程的解.
当堂检测
用配方法解下列方程：
（1 ） （2 ）
2 x +4x－3=0
2ห้องสมุดไป่ตู้2x +12x-4=0
课后作业
必做题：课本P89:第2、3题
选做题：《北大绿卡》
P65:第11题
学习目标
1.了解配方法的定义,掌握配 方法解一元二次方程的步骤； 2.会用配方法解数字系数的 一元二次方程； 3.提高自学能力与小组 合作交流能力。
小试身手
2 2 2 （1）x +4x+____=(x+____)
1 （2）x2－2
1 1 2 2 ( ) 4 4 x+____=(x －___)
2 2