排列组合的综合应用
高中数学中的排列组合与概率综合应用
高中数学中的排列组合与概率综合应用在高中数学中，排列组合与概率是两个重要的概念和工具。
它们不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在现实生活中也有着重要的意义。
本文将探讨排列组合与概率在高中数学中的综合应用。
一、排列组合与概率的基本概念排列组合是数学中的基本概念，它们描述了对象的不同排列和选择方式。
排列是指从一组对象中按照一定顺序选择若干个对象，组成一种排列方式。
组合是指从一组对象中选择若干个对象，不考虑其顺序。
概率是指某一事件发生的可能性，它可以用数值来表示。
二、排列组合与概率在生活中的应用1. 考试座位安排：在高中考试中，学校需要安排考生的座位。
通过排列组合的方法，可以计算出不同座位安排的可能性。
而概率则可以用来估计每个考生被安排到某个座位的可能性。
2. 抽奖活动：在各种抽奖活动中，排列组合与概率也有着广泛的应用。
例如，某个活动中有100个参与者，其中10个人可以获得奖品。
通过排列组合的方法，可以计算出不同人获奖的可能性。
而概率则可以用来估计每个人获奖的概率。
3. 股票投资：在股票投资中，投资者需要根据市场情况做出买入或卖出的决策。
排列组合与概率可以用来分析不同投资组合的可能性，并估计每种投资组合的收益概率。
4. 生产计划安排：在生产过程中，企业需要合理安排生产计划，以最大限度地提高生产效率。
通过排列组合的方法，可以计算出不同生产计划的可能性，并通过概率来估计每种生产计划的成功概率。
三、排列组合与概率的综合应用举例假设某公司有5个职位需要填补，共有10名应聘者。
每个应聘者只能担任一个职位。
现在需要计算以下几个问题：1. 有多少种不同的职位填补方式？通过排列的方法，可以计算出不同职位填补方式的数量。
根据排列的定义，可以得出答案为10的5次方，即10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30,240 种。
2. 某个应聘者被选中的概率是多少？假设某个应聘者是A，他被选中的概率可以通过计算他被选中的情况数与总情况数的比值得出。
排列组合的综合应用
利用排列、组合知识解决分组分配问题。
教学重点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平均分组域不平均分组处理方法
教学难点
不平均分组处理办法
变式1.现有5名学生要进入某工厂的四个车间实习，每 个车间至多去2人，有多少种不同的方法？
2 2 C5 C3 3 2 4 1 C5 A4 C4 A3 2 A2
240 360 600
再见
CCC 4 . A4 1080 2 2 A2 A2
点评：均匀分组与不均匀分组，无序分组与有序分组是组合问题 的常见题型，解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还 是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的全排，还有充分 考虑到是否与顺序有关，有序分组要在元素分组的基础上乘以分 组数的全排。
变式2：将2名教师 4名学生分成2组分别安排到甲
乙两地参加社会实践活动，每小组1名教师，2个学 生，不同的安排方案共有多少种？
C C 12种
1 2 2 4
变式3：将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人， 另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务， 不同的分配方案有多少种？
2 6 2 4 1 2
排列组合十二种类型
排列组合问题综合应用一、特殊元素优先法例1.由5,4,3,2,1,0可以组成多少个没有重复数字五位奇数？分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。
末位和首位有特殊要求。
先排末位，从5,3,1三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从4,2和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数种任选三个共有34A 种排列。
由分步计数原理得288341413=A C C 。
变式1.7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制得四个花盒中共有24A 种排列，再种其他葵花有55A 种排列。
由分步计数原理得14405524=A A 。
二、相邻问题捆绑法例2.7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：将甲乙两个元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个符合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理得480222255=A A A 。
变式2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为多少？分析：命中得三枪捆绑成一枪，与命中得另一枪插入未命中四枪形成得五个空位，共有2025=A 种排列。
三、相离问题插空法例3.一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题，分两步。
第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得432004652=A A .变式3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为多少？分析：将2个新节目插入原定5个节目排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有3026=A 种排列。
四年级奥数讲义：排列组合的综合应用
四年级奥数讲义：排列组合的综合应用排列组合是数学中风格独特的一部分内容.它具有广泛的实际应用.例如：某城市电话号码是由六位数字组成，每位可从0～9中任取一个，问该城市最多可有多少种不同的电话号码？又如从20名运动员中挑选6人组成一个代表队参加国际比赛.但运动员甲和乙两人中至少有一人必须参加代表队，问共有多少种选法？回答上述问题若不采用排列组合的方法，结论是难以想像的.（前一个问题，该城市最多可有1000000个不同电话号码.后一个问题，代表队有20196种不同选法.）当然排列组合的综合应用具有一定难度.突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石.其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握.例1 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？分析首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理.解：符合要求的选法可分三类：不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有5×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的.因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有15＋10＋6＝31种.注运用两个基本原理时要注意：①抓住两个基本原理的区别，千万不能混.不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数.不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数.②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分.③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的.例2 一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列.分析要不重不漏地写出所有排列，利用树形图是一种直观方法.为了方便，树形图常画成倒挂形式.解：由此可知，排列共有如下八种：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反.例3 用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数.分析此题属于有条件限制的排列问题，首先弄清楚限制条件表现为：①某位置上不能排某元素.②某元素只能排在某位置上.分析无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排0，或说千位上只能排1～9这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法.解法1：分析某位置上不能排某元素.分步完成：第一步选元素占据特殊位置，第二步选元素占据其余位置.解：分两步完成：第一步：从1～9这九个数中任选一个占据千位，有9种方法.第二步：从余下的9个数（包括数字0）中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种.十位有8种，个位有7种方法.由乘法原理，共有满足条件的四位数9×9×8×7=4536个.答：可组成4536个无重复数字的四位数.解法2：分析对于某元素只能占据某位置的排列可分步完成：第一步让特殊元素先占位，第二步让其余元素占位.在所给元素中0是有位置限制的特殊元素，在组成的四位数中，有一类根本无0元素，另一类含有0元素，而此时0元素只能占据百、十、个三个位置之一.解：组成的四位数分为两类：第一类：不含0的四位数有9×8×7×6=3024个.第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法，（让0占位只能在百、十、个位上，所以有3种）第二步让其余9个数占位有9×8×7种占法.所以含0的四位数有3×9×8×7=1512个.∴由加法原理，共有满足条件的四位数3024+1512=4536个.解法3：从无条件限制的排列总数中减去不合要求的排列数（称为排除法）.此题中不合要求的排列即为0占据千位的排列.解：从0～9十个数中任取4个数的排列总数为10×9×8×7，其中0在千位的排列数有9×8×7个（0确定在千位，百、十、个只能从9个数中取不同的3个）∴共有满足条件的四位数10×9×8×7-9×8×7=9×8×7×（10-1）=4536个.注用解法3时要特别注意不合要求的排列有哪几种？要做到不重不漏.例4 从右图中11个交点中任取3个点，可画出多少个三角形？分析首先，构成三角形与三个点的顺序无关因此是组合问题，另外考虑特殊点的情况：如三点在一条直线上，则此三点不能构成三角形，四点在一条直线上，则其中任意三点也不能构成三角形.此题采用排除法较方便.解：组合总数为C311，其中三点共线不能构成的三角形有7C33，四点共线不能构成的三角形有2C34，∴C311-（7C33+2C34）=165-（7+8）=150个.例5 7个相同的球，放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？（请注意，球无区别，盒是有区别的，且不允许空盒）分析首先研究把7分成4个自然数之和的形式，容易得到以下三种情况：①7=1+1+1+4②7=1+2+2+2③7=1+1+2+3其次，将三种情况视为三类计算不同的放法.第一类：有一个盒子里放了4个球，而其余盒子里各放1个球，由于4个球可任意放入不同的四个盒子之一，有4种放法，而其他盒子只放一个球，而球是相同的，任意调换都是相同的放法，所以第一类只有4种放法.第二类：有一个盒子里放1个球，有4种放法，其余盒子里都放2个球，与第一类相同，任意调换都是相同的放法，所以第二类也只有4种放法.第三类：有两个盒子里各放一个球，另外两个盒子里分别放2个及3个球，这时分两步来考虑：第一步，从4个盒子中任取两个各放一个球，这种取法有C24种.第二步，把余下的两个盒子里分别放入2个球及3个球，这种放法有P22种.由乘法原理有C24×P22=12种放法.∴由加法原理，可得符合题目要求的不同放法有4+4+12=20（种）答：共有20种不同的放法.注本题也可以看成每盒中先放了一个球垫底，使盒不空，剩下3个球，放入4个有区别盒的放置方式数.例 6 用红、橙、黄、绿、蓝、青、紫七种颜色中的一种，或两种，或三种，或四种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？分析首先介绍正四面体（模型）.正四面体四个面的相关位置，当底面确定后，（从上面俯视）三个侧面的顺序有顺时针和逆时针两种（当三个侧面的颜色只有一种或两种时，顺时针和逆时针的颜色分布是相同的）.先看简单情况，如取定四种颜色涂于四个面上，有两种方法；如取定一种颜色涂于四个面上，只有一种方法.但取定三种颜色如红、橙、黄三色，涂于四个面上有六种方法，如下图①②③（图中用数字1，2，3分别表示红、橙、黄三色）如果取定两种颜色如红、橙二色，涂于四个面上有三种方法.如下图④⑤⑥但是从七种颜色里，每次取出四种颜色，有C47种取法，每次取出三种颜色有C37种取法，每次取出两种颜色有C27种取法，每次取出一种颜色有C17种取法.因此着色法共有2 C47+6 C37+3 C27+ C17=350种.习题六1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.如右图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？6.有十张币值分别为1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元的人民币，能组成多少种不同的币值？并请研究是否可组成最小币值1分与最大币值（总和）之间的所有可能的币值.。
排列组合综合应用课件
An n
(n为均
分的组数)避免重复计数。
练习2、
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4
个队,
有多少分法？ C C C 5
44
13 8
4
A2 2
2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转
入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每
班安排2名，则不同的安排方案种数为______
C C A 2 2 42 A22
（1）分三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本 （2）分给甲、乙、丙3个人，甲1本，乙2本，丙3本 （3）分给甲、乙、丙3个人，一人1本，一人2本，
一人3本。 （4）分三 堆，有两堆各1本，另一堆4本 （5）平均分成三组 （6）平均分给甲、乙、丙3个人
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一
种情况,所以分组后要一定要除以
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
种 A64不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有A55 A64 种
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进 行排队再把相不相邻独 元素独插入中独 间和相两端
练习题
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果 将这两个新节目插入原节目单中，且两 个新节目不相邻，那么不同插法的种数 为（30 ）
7. 合理分类与分步策略 例4.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能
将n个共相有同_的__元__素_C_分9_6_成__m种份分（法n，。m为正整数）,
每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n
个为元素C排mn1成1 一 班一排的二班n-1三班个空四班隙中五班，所六 班有分七 班法数
练习题
1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一
高中数学排列组合与概率的综合应用题解析与求解
高中数学排列组合与概率的综合应用题解析与求解在高中数学中，排列组合与概率是两个重要的概念和技巧。
排列组合主要涉及对对象的选择和排列，而概率则是研究事件发生的可能性。
在解决实际问题时，这两个概念常常会结合起来使用。
本文将通过具体的题目来说明如何应用排列组合与概率的知识解决综合应用题。
题目一：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，其中至少有1个男生。
求这样的小组的可能数。
解析：这是一个典型的排列组合问题，我们需要从10个男生中选出至少1个男生，再从8个女生中选出剩下的2个人。
根据排列组合的知识，我们可以得出解题步骤如下：1. 选出1个男生的可能数：C(10, 1) = 102. 从8个女生中选出2个人的可能数：C(8, 2) = 283. 将步骤1和步骤2的结果相乘，得到最终的结果：10 * 28 = 280所以，这样的小组的可能数为280。
通过这个题目，我们可以看到排列组合的应用，以及如何将多个步骤结合起来求解问题。
这对于高中学生来说，是一个很好的练习。
题目二：某班有10个男生和8个女生，从中随机选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有1个男生的概率。
解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。
根据概率的定义，我们可以得出解题步骤如下：1. 满足条件的小组数：根据题目一的解析，我们已经知道满足条件的小组数为280。
2. 总的小组数：从18个人中选出3个人的可能数为C(18, 3) = 816。
3. 将步骤1除以步骤2，得到最终的结果：280 / 816 ≈ 0.343。
所以，这样的小组中至少有1个男生的概率约为0.343。
通过这个题目，我们可以看到概率的应用，以及如何计算概率的具体步骤。
这对于高中学生来说，是一个很好的练习。
题目三：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有2个男生的概率。
解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。
微专题：排列组合问题的综合应用经典题型(含解析)
【学生版】微专题：排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排；2、合理分类与准确分步；3、排列、组合混合问题先选后排；4、相邻问题捆绑处理；5、不相邻问题插空处理；6、定序问题倍除法处理；7、分排问题直排处理；8、“整体”排列问题先整体后局部；9、构造模型；10、正难则反，等价条件。
【典例】题型1、特殊元素（位置）问题例1、大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置），其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种【提示】；【答案】；【解析】；【说明】题型2、相邻、相间问题例2、（1）某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有()A．12种B．24种C．18种D．36种【答案】【解析】；（2）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120 C．144 D．168【答案】【解析】；题型3、分组、分配问题例3、（1）现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，不同分法的种数为()A．36 B．9 C．18 D．15（2）若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有种不同的分法．题型4、涂色问题例4、（1）如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？（2）如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色．现在有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(用数字作答)【说明】解决涂色问题，关键还是阅读理解与用好两个计数原理；【归纳】排列、组合的混合问题是从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上的问题．其基本的解题步骤为：第一步：选，根据要求先选出符合要求的元素；第二步：排，把选出的元素按照要求进行排列；第三步：乘，根据分步乘法计数原理求解不同的排列种数，得到结果；均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数；【即时练习】1、有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A．34种B．48种C．96种D．144种2、从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为()A．C210P48B．C19P59C．C18P59D．C18P583、北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有种A．12种B．24种C．48种D．96种4、如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有种5、在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（3）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（4）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？6、现有7名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.（1）若4人被分到育才中学，2人被分到星云中学，1人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？【教师版】微专题：排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排；2、合理分类与准确分步；3、排列、组合混合问题先选后排；4、相邻问题捆绑处理；5、不相邻问题插空处理；6、定序问题倍除法处理；7、分排问题直排处理；8、“整体”排列问题先整体后局部；9、构造模型；10、正难则反，等价条件。
排列、组合综合应用(学生版)
排列组合综合应用一、例题讲解题型一先选后排问题例1有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________种.题型二配对问题例2 设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，将五个小球放入五个盒子中（每个盒子中放一个小球），⑴则恰有两个小球和盒子编号相同的放法有多少种？⑵则恰有一个小球和盒子编号相同的放法有多少种？练习1：从5双不同的袜子中任取4只，则恰有2只袜子配成一双的可能取法种数是多少？题型三相同元素问题例3现准备将7台型号相同的电脑分配给5所小学，每个学校至少1台，则不同的分配方案共有（）A．13种B．15种C．20种D．30种练习2：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有________种分配方案.练习3：已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，则不定方程正整数解的组数为________．练习4：已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，则不定方程自然数解的组数为________．例4 马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有() A．60种B．20种C．10种D．8种练习5：某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同学同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个5元(红包中金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人都抢到红包的情况有（）A．36种B．24种C．18种D．9种题型四古典概型与排列组合例5（2021全国甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8二、课后巩固1．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ）A ．20B ．24C ．25D ．262.（2020新高考I 卷）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种3.（2021全国甲卷理）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）A ．13B ．25C ．23D ．45 4.（2019全国乙卷）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）A ．516B ．1132C ．2132D ．1116 5.（2022新高考II 卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种6．受疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ） A ．240种B ．120种C ．188种D ．156种7．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）A ．311C 种B ．38A 种C ．39C 种 D ．38C 种8．为进一步规范电动自行车管理，某社区持续开展了两轮电动车安全检查和宣传教育，为了解工作效果，该社区将四名工作人员随机分派到A ，B ，C 三个小区进行抽查，每人被分派到哪个小区互不影响，则三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为（ ）A．49B．2027C．1627D．14279．将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为（）A．18B．16C．112D．12410.（多选）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1、A2、A3、A4、A5是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，现在甲需要从道路网M出发，随机选择一条沿街的最短路径走到N处为止，下列说法正确的是（）A．如果甲需要经过A5，那么从M到N的线路有4条；B．如果甲需要经过A2，那么从M到N的线路有16条；C．如果甲需要经过A3，那么从M到N的线路有36条；D．甲从M到N的线路一共有70条；11．（2020新高考II卷）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.12.（2023新高考Ⅰ卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．13．某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两辆车，每辆车坐4人.若要求两位老师分别坐在两辆车上，共有种分配方法.14. （教材28页）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有________种不同情况．15．某微信群中五人同时抢4个红包，每人最多抢一个且红包全部被抢完，已知4个红包中有两个2元，一个3元，一个5元（红包中金额相同视为相同的红包），则有种不同的情况.16．（浙江卷）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)．17.有10本相同的画册要分给6个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数有__________种．18．将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数有种.。
排列组合综合应用题专题
排列组合综合应用题专题
排列组合是数学中的一个重要分支，常常用于计数。
在实际生活中，排列组合常常被用来解决各种问题。
下面介绍几个常见的应用案例。
1. 摆放位置问题
假设有10个人要坐在一排座位上，问有多少种不同的坐法？这
是一个典型的排列问题，因为这10个人的顺序不同，组合起来的结果
也就不同。
答案是10的阶乘，即10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3,628,800种。
2. 抽奖问题
假设有40个人参加了一次抽奖活动，每人只能中一次奖，问中
奖的人数有多少种可能性？这是一个组合问题，因为每个人是否中奖
并不影响其他人是否中奖。
答案是40个人中选取1个人中奖的方案数，即40种。
3. 球队比赛问题
假设有20支球队要进行比赛，每两支球队之间只能比赛一次，
问需要多少场比赛才能产生胜负？这是一个排列组合问题。
首先需要
从20支球队中选取两支进行比赛，共有C(20,2)种选法，即20 * 19
/ 2 = 190种。
然后每一场比赛都有胜负和平局三种可能性，因此总共需要190 * 3 = 570场比赛。
排列组合在实际生活中的应用非常广泛，以上只是其中的几个例子。
对于排列组合的掌握不仅能够帮助我们解决生活中的问题，也对
数学学习有很大帮助。
1.2.2组合(第4课时排列组合的综合应用)
例7 .对某种产品的6件不同的正品和4件不 同的次品,一一进行测试，至区分出所有次 品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全 部发现,则这样的测试方法有种可能？
解：由题意知前5次测试恰有4次测 到次品，且第5次测试是次品。 3 1 4 故有： C4 C6 A4 576 种可能。
例2. 袋中有10个球，其中4个红球，6个白球， 若取到1个红球记2分，取到1个白球记1分，那 么从这10个球中取出4个，使总分不低于5分的 取法有多少种?
例3. 有8名外语翻译人员，其中3名英语翻译员， 2名日语翻译员，另外3名英语、日语都精通， 从中找出6人，使他们组成两个翻译小组，其中 3人翻译英文，另外3人翻译日文，这两个小组 能同时工作，有多少种分配方案?
直排
排
处理的策略;
后 消 处理的策略;
(9)“小集团”排列问题先
整体
后
局部
的策略.
处理有附加条件的排列、组合应用题的策略:
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再
考虑殊位置的要求，再
考虑其他位置;
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再
减去不合要求的排列数或组合数.
例4.赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左
舷，其余5人两舷都能划.现要从中选6人上艇，
平均分配在两舷上划桨，有多少种不同的选法?
例5. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余 5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不 同的获奖情况有_________种
例6：∠A的一边AB上有4个点,另一边AC上 有5个点,连同∠A的顶点共10个点，以这些 点为顶点，可以构成多少个三角形? 解：方法1:把可构成的三角形可分成两类:
专题课排列组合综合应用课件高二下学期数学人教A版选择性
类型二：多面手问题
例2 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英
语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有
多少种不同的选法？ 方法一 直接分类（从元素考虑）
由图可知既会英语又会日语的有
7+3-9=1人，记为甲，只会英语6人，只会日语2人。
Ⅰ类：甲去教英语，有 N1 C12 2种方法； Ⅱ类：甲去教日语，有 N2 C16 6 种方法； Ⅲ类：甲未被选中，有 N3 C16C12 12 种方法； 由分类加法计数原理得 N N1 N2 N3 20
专题课 排列组合综合应用
排列组合题 型
有条件的抽（选）取问题 多面手问题 分组分配问题
类型一：有限制条件的抽(选)取问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各 有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选.
类型一：有限制条件的抽(选)取问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各 有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (2)至多有两名女生当选； 解 直接法（分类加法原理，从元素角度考虑）
Ⅰ类：0名女生当选，有 N1 C85 56 种方法； Ⅱ类：1名女生当选，有 N2 C15C84 350 种方法； Ⅲ类：2名女生当选，有 N3 C52C83 560 种方法； 由分类加法原理得 N N1 N2 N3 966
英语 日语 7人 3人
类型二：多面手问题
例2 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英
语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有
排列与组合的应用
排列与组合的应用排列与组合是组合数学中的重要内容，它们广泛应用于各个领域，如概率统计、密码学、计算机科学等。
本文将介绍排列与组合的基本概念及其在实际问题中的应用。
一、排列的应用排列是从若干不同元素中选取一部分元素按一定顺序排列的方式。
排列的应用可以从以下几个方面进行讨论：1. 组织活动在组织活动中，排列可以用来确定不同岗位的人员安排，如某公司年会上的节目表排列。
此外，还可以用排列确定参赛选手的出场次序，以确保比赛的公平性。
2. 电话号码的生成电话号码的生成是排列的一个实际应用。
在电话号码中，不同的数字可以按一定的规则组合，生成各种不同的号码。
排列的概念可以帮助我们理解电话号码的生成原理，并在需要时进行相应计算。
3. 密码的破解在密码学中，排列被广泛应用于密码的破解。
通过尝试不同的排列组合，攻击者可以尝试找到正确的密码。
而密码学家则利用排列的复杂性来设计更加安全的密码系统，以保护信息的安全性。
二、组合的应用组合是从若干不同元素中选取一部分元素，不考虑元素的顺序，的方式。
组合的应用可以从以下几个方面进行讨论：1. 资源分配在资源有限的情况下，通过组合的方法可以确定资源的分配方案。
例如，某公司有多个项目需要资金支持，通过组合的方式可以确定哪些项目可以得到资金支持，以及每个项目可以获得的资金量。
2. lottery彩票在购买lottery彩票时，我们需要从给定的数字中选出一定数量的数字，这就是组合的应用。
组合帮助我们计算出每种组合的中奖概率，从而帮助我们做出购买决策。
3. 球队的选人在组建一个球队时，我们需要从一群球员中选取一定数量的球员。
组合的概念可以帮助我们计算出不同的组合方式，并从中选择最合适的球员组合。
三、排列与组合的综合应用排列与组合往往在实际问题中同时使用，从而产生更为复杂的计算。
以下是排列与组合综合应用的例子：1. 网球比赛的比赛安排在网球比赛中，组织者需要确定每个选手的比赛场次和对手。
排列与组合的概念可以帮助我们计算出不同的比赛安排方案，并确保每个选手都有机会与其他选手进行比赛。
组合数学中的排列组合问题的应用
组合数学中的排列组合问题的应用组合数学是数学的一个分支领域，主要研究集合的组合和排列问题。
在各个领域中，包括计算机科学、经济学、统计学、物理学等等，排列组合问题都有着广泛的应用。
本文将介绍一些组合数学在实际问题中的应用案例。
1. 排列组合在密码学中的应用密码学是保护信息安全和传输隐私的关键学科。
其中，排列组合问题在密码学中发挥着重要的作用。
比如，密码中的字母可以通过排列组合的方式进行各种变换，增加密码的复杂性，提高破译难度。
同时，排列组合问题也被应用在密码破译中，通过穷举排列的方式尝试破解密码。
2. 排列组合在网络路由中的应用网络路由是计算机网络中的核心功能，用于决定数据包的传输路径。
在网络路由中，排列组合问题被用来确定最佳的路由路径。
通过穷举所有可能的路径组合，找到最短路径或最优路径，以提高网络传输的效率。
3. 排列组合在电子商务中的应用在电子商务中，排列组合问题常用于决策分析和商品推荐系统。
通过对用户的浏览历史、购买记录等数据进行排列组合的分析，可以预测用户的购买偏好，并基于此推荐相关商品，提高在线购物的用户体验。
4. 排列组合在人才选拔中的应用人才选拔是企业和组织中的重要环节，而排列组合问题可以用来评估候选人的能力和潜力。
通过排列组合的方式对不同的能力指标进行组合，可以综合评估候选人的综合能力，并做出合理的选拔决策。
5. 排列组合在生物学中的应用生物学是研究生命的基本规律和生物体之间关系的科学，排列组合问题在生物学中也有广泛的应用。
比如，在基因组序列中，通过排列组合的方式来寻找基因的排列规律，进而研究基因的功能和作用。
总结：组合数学中的排列组合问题在各个领域都有着重要的应用。
从密码学到网络路由，从电子商务到人才选拔，从生物学到统计学，排列组合问题都发挥着关键的作用。
通过对排列组合的灵活应用，可以解决实际问题，提高生产力和效率。
因此，熟练掌握和灵活运用组合数学中的排列组合方法，对于解决实际问题具有重要意义。
排列与组合的综合应用
如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法
有___C__13_C_12_C__11 _种。再从5×5方队选出3×3
方队便可解决问题
江西省宜春一中 刘学德
排列组合应用题解法综述
计数问题中排列组合问题是最常见 的，由于其解法往往是构造性的, 因 此方法灵活多样, 不同解法导致问题 难易变化也较大，而且解题过程出现 “重复”和“遗漏”的错误较难自检 发现。因而对这类问题归纳总结, 并 掌握一些常见的解题模型是必要的。
1.两个原理的区别与联系：
练. 由三个3和四个4可组成多少个不同的七位 整数？
设想有7个位置，分别把三个3和四个4插
入，故共有C
3 7
35个不同的七位整数
元素相同问题隔板策略
应用背景：相同元素的名额分配问题 不定方程的正整数解问题
隔板法的使用特征：
相同的元素分成若干部分，每部分至少一个
例 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个，有多少 装法？
的选择方案共有 （ B ）
A．300种
B．240种 C．144种 D．96种
（直接法）分三种情况： 情况一,不选甲、乙两个去游览:则有 P44 种选择方案, 情况二:甲、乙中有一人去游览：有C21C31C43P3种3 选择方案; 情况三：甲、乙两人都去游览,有 C22C42C31P33 种选择方案, 综上不同的选择方案共有 P44 + C21C31C43P33 + C22C42C31P33 =240
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素.
高中三年级上学期数学《排列组合的综合应用举例(2)》教学设计
排列组合的综合应用举例（2）——教学设计一、教学目标：1．理解并能熟练掌握求排列组合的一般方法，对不同题型寻求到一种恰当的解答方式。
2.进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，体验数学思想方法的发现和运用带来的解题便利，体会数学的实用价值和魅力。
二、教学重点与难点：教学重点：常见排列组合题型的归纳求解，几类思想方法的传授。
教学难点：解题过程中分类为加、分步为乘，有序排列、无序组合的区分联系。
三、学情分析：高中数学中的排列组合问题和生活的联系比较大,也是高中学生学习的重难点,同样还是高考的必考内容。
现在很多学生都对这部分内容感到难,遇到这些问题不会做,这也就成了学习中棘手的事,基于此,本课就高中数学教学中排列组合应用问题进行探究。
三、教学方法与教学手段：本节课以教师为引导，学生为主体，讨论为主线的教学原则，采用情境教学、操作发现、直观演示的教学方法。
以“不会才教，以教导学”作为教学路径，利用多媒体辅助教学等手段，通过合作交流、动手操作、自主探究的学习方法，使学生在一系列活动中感知排列组合，让学生快乐学习、高效学习。
大屏幕四、教学过程【大纲下载】1.理解排列、组合的概念。
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式。
3.能解决简单的实际问题。
【设计意图】明确本节课的学习目的和要求。
【回归教材】1.排列、组合的定义。
2.排列数组合数的公式。
3.常见的排列组合的解题技巧：①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；③多排问题单排法；④定位问题优先法；⑤定序问题倍缩法；这些技巧是我们解决排列组合问题的策略针对原则。
【设计意图】复习上节课内容，为本节课作铺垫，温故而知新，承上启下。
【授人以渔】例一：一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．A．36 B．48 C．72 D．120【设计意图】培养学生多方面考虑问题的能力。
高中数学 1.4 第2课时 排列、组合的综合应用课件 北师大版选修23
从 52 张扑克牌(除大王、小王)中任取 5 张，计算： (1)有 4 张数值相同，另外 1 张不同，有多少种取法？ (2)有 3 张数值相同，另外 2 张数值也相同，有多少种取 法？ (3)5 张数值顺序连续，花色可以不同，有多少种取法？
第十五页，共46页。
【解】 (1)扑克牌中共有 13 种数值(1～13)，有 4 张数 值相同，则有 13 种可能，第 5 张则在余下的 48 张中选取．
所以符合条件的方法有 13·C418＝624 种． (2)3 张数值相同，有 C113·C34种；另外 2 张数值也相同，则 有 C112·C42种，所以共有 C113·C34·C112·C24＝3 744 种．
第十六页，共46页。
(3)5 张数值连续，只有下述 9 种可能： 1,2,3,4,5； 2,3,4,5,6； 3,4,5,6,7； … 9,10,11,12,13. 任何一种数值都有 4 种花色供选择，所以 5 种数值的花 色选配方法有 4×4×4×4×4＝45 种． 所以符合条件的取法共有 9×45＝9 216 种．
第二页，共46页。
2．在解决排列与组合应用题时，如何看待题设中的元素 与位置？
【提示】 在排列、组合问题中，元素与位置没有严格 的界定标准，哪些事物看成元素或位置，随着解题者思维方 式的变化而变化，要视具体情况而定，有时元素选位置，问 题解决起来简捷，有时位置选元素效果会更好．
第三页，共46页。
在解答排列组合综合问题时，要注意准确地应用两个基 本原理，要注意准确区分是排列问题还是 组合(z问ǔh题é)，要注 意在利用直接法解题的同时，也要根据问题的实际恰当地利 用 间接(jiàn ji解ē)法题．
第二十页，共46页。
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5
3号盒
3
4号盒
4
5号盒
2C
2 5
十六. 分解与合成策略
例16.30030能被多少个不同的偶数整除？
30030=2×3×5 × 7 ×11×13
C C C C C
1 5 2 5 3 5 4 5
5 5
十七.化归策略
例17.25人排成5×5方阵,现从中选3人,要 求3人不在同一行也不在同一列,不同的选 法有多少种？
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有 多少不同的排法？ 7 3 4
A7/ A3
A7
练习：10人身高各不相等,排成前后排，每 排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有 多少排法？
C
5 10
五.重排问题求幂策略（住店法） 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共 有多少种不同的分法？
7
6
练习：七名学生争夺五项冠军，每项冠军 只能由一人获得，获得冠军的可能的种数?
1 C4
3 A4
1 C3
二.相邻元素捆绑策略
例2. 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰 好有3枪连在一起的情形的不同种数为 .
A
2 5
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的 出场顺序有多少种？ 5 4 A5 A6
四.定序问题倍缩空位插入策略
m A 排列数公式 n ＝
性
(1)An n＝
n－m m n！； (1)C0 C 1 ；(2)Cn ＝ n ； n＝
m m－1 C (3)Cm ＋ C ＝ n＋1 n n
质 (2)0！＝ 1 备 注
n，m∈N*且m≤n
一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没 有重复数字五位奇数.
二十.复杂分类问题表格策略 例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别 标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5 只,要求各字母均有且三色齐备,则共有 多少种不同的取法？
排列组合的综合应用
一、排列与排列数
1．排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定顺序 排成一列 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个排列．
2．排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同的
排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列
数，记作Am n.
二、组合与组合数 1．组合
C A
2 5
4 4
九.小集团问题先整体后局部策略 例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五 位数其中恰有两个偶数夹在1,５两个奇 数之间,这样的五位数有多少个？
A A A
2 2
2 2
2 2
十.元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额，分给7个班， 每班至少一个,有多少种分配方案？
一 班
二 班
三 班
四 班
五 班
六 班
七 班
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字 中取出三个数，使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有多少种？
C C C 9
1 5 2 5 3 5
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本 共有多少分法？ C 2C 2C 2 / A 3
CCCCC
3 5
3 5
1 3
1 2
1 1
十八.数字排序问题查字典策略 例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可 以组成多少个没有重复的比324105大的 数？
N 2 A 2 A A A A 297
5 5 4 4 3 3 2 2 1 1
十九.树图策略
例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为 第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲 的手中,则不同的传球方式有______
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
合成一组 ．叫做
从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同的组
合个数 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合 数，用符号
Cm n
表示.
三、排列数、组合数的公式及性质
组合数公式 m A n m C ＝ n ( n － 1) … ( n － m ＋ 1) n 公式 Am m nn－1…n－m＋1 ＝ n！ m！ ＝ n－m！ n！ ＝ m！n－m！
六.环排问题线排策略 例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?
C D E F G H B A A B C D E F G H A
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙 在前排,丙在后排,共有多少排法？
前 排
后 排பைடு நூலகம்
八.排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒 内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法.
十四.构造模型策略 例14.马路上有编号1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不 能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两 端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少 种？
C
3 5
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号 1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这 五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并 且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同, 有多少投法？
6 4 2 3
练习：10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组, 有多少种不同的分组方法？ 1540
十三. 合理分类与分步策略 例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8 人能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱 歌2人伴舞的节目,有多少选派方法？
2 2 1 1 2 2 2 C3 C3 C5 C3C4 C5 C5