2.3数学归纳法
高中数学选修4-5课件 §2.3数学归纳法与贝努利不等式
[合作探究]
1．在数学归纳法中两个步骤的作用分别是什么？
提示： 在数学归纳法中的第一步 “ 验证 n ＝ n0 时命题成 立”，是归纳的奠基、是推理证明的基础，第二步是归纳递推， 保证了推理的连续性，证明了这一步，就可以断定这个命题对 于 n 取第一个值 n0 后面的所有正整数也都成立．
2．用数学归纳法证明等式、不等式的关键是什么？
1 1 1 1 1 1．求证： ＋ 2＋ 3＋…＋ n＝1－2n. 2 2 2 2
1 证明：(1)n＝1 时，左边＝右边＝ ，命题成立． 2
1k 1 1 1 (2)假设 n＝k(k≥1)时，命题成立，即： ＋ 2＋…＋ k＝1－2 . 2 2 2
1 1 1 1 那么当 n＝k＋1 时， ＋ 2＋…＋ k＋ k＋1 2 2 2 2
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2 则当 n＝k＋1 时， －[2(k＋1)]2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2 ＝－2k2－5k－3＝－(k＋1)(2k＋3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1] 即当 n＝k＋1 时，等式成立． 由(1)(2)可知，对任何 n∈N＋，等式成立.
∴等式成立． (2)假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立， 1 1 1 k 即 ＋ ＋…＋ ＝ 成立， 2×4 4×6 2k2k＋2 4k＋1 那么当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ … ＋ ＋ 2× 4 4×6 6×8 2k2k＋2 1 2k＋1[2k＋1＋2]
课件7：2.3 数学归纳法
需要注意：步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键．归 纳假设“n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”起着已知的作用， 证明“当 n＝k＋1 时命题也成立”的过程中，必须用到归纳 假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结 论推证出当 n＝k＋1 时命题也成立，而不能直接将 n＝k ＋1 代入归纳假设，此时 n＝k＋1 时命题成立也是假设， 命题并没有得证．
活学活用 1.用数学归纳法证明： 11×23＋32×25＋…＋(2n－1n)(22n＋1)＝2n((2nn＋＋11)).
证明：(1)当 n＝1 时，11×23＝12××23成立．
(2) 假 设 当
n＝k
时
等
式
成
立
，
即
有
12 1×3
＋
22 3×5
＋
…
＋
(2k－1k)(22k＋1)＝2k((2kk＋＋11))，
2.3 数学归纳法
知识点 数学归纳法 提出问题
在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的 自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那 么整排自行车就会倒下．
问题 1：试想，要使整排自行车倒下，需要具备哪几个 条件？
【答案】①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行 车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下． 问题 2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？ 【答案】一些与正整数 n 有关的问题．
用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式 子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能 被某式(数)整除，这是用数学归纳法证明整除问题的一 大技巧．
活学活用 3.利用数学归纳法证明：x2n－y2n(n∈N*)能被 x＋y 整除． 证明：(1)当 n＝1 时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被 x＋y 整除，所以命题成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时命题成立，即 x2k－y2k 能被 x＋y 整除．
2.3 数学归纳法
个交点将新圆分成2k段弧 这2k个交点将新圆分成 段弧,这2k段弧 个交点将新圆分成 段弧, 段弧 将所经过的区域一分为二,因此新增2k个区 将所经过的区域一分为二,因此新增 个区 这样k+1个圆最多把平面分成 域,这样 个圆最多把平面分成 (k2-k+2) +2k=(k+1)2-(k+1)+2个区域, 个区域, 个区域 这就是说, 这就是说,当n=k+1时,结论也正确, 时 结论也正确, 由(1)和(2)可以断定,结论对任何 ) )可以断定, n∈N+都正确. ∈ 都正确.
用框图表示为: 用框图表示为:
验证n= 验证 =n0时 命题成立. 命题成立. 时命题成立, 若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立. 时命题也成立. 证明当 时命题也成立
归纳奠基 归纳递推
命题对从n 命题对从 0开始的所有 的自然数n都成立 都成立. 的自然数 都成立.
2.3 数学归纳法
从前,有个小孩叫万百千,他开始上学识字. 从前,有个小孩叫万百千,他开始上学识字.第 一天先生教他个" 一天先生教他个"一"字.第二天先生又教了个 第三天,他想先生一定是教" "二"字.第三天,他想先生一定是教"三"字 并预先在纸上划了三横. 了,并预先在纸上划了三横.果然这天教了个 于是他得了一个结论: "三"字.于是他得了一个结论:"四"一定是 四横, 一定是五横,以此类推, 从此 从此, 四横,"五"一定是五横,以此类推,…从此, 他不再去上学,家长发现问他为何不去上学, 他不再去上学,家长发现问他为何不去上学,他 自豪地说: 我都会了" 自豪地说:"我都会了".家长要他写出自己的 名字, 万百千"写名字结果可想而知. 名字,"万百千"写名字结果可想而知."
2.3 数学归纳法
②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,
即ak= (k-1)-(k-2)a ,
k -(k -1)a
则当n=k+1时,ak+1=
1 2-ak
=
2-
1 (k -1)-(k -2)a
k -(k -1)a
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
=
k -(k -1)a
2[k -(k -1)a]-[(k -1)-(k -2)a]
2 | 数学归纳法的步骤
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法. ( ✕ ) 2.数学归纳法的第一步中n0的初始值一定为1. ( ✕ ) 3.数学归纳法的两个步骤缺一不可. ( √ ) 4.用数学归纳法证明命题时,归纳假设一定要用上. ( √ )
第1讲 描述运动的基本概念
高中数学 选修2-2 人教A版
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
2.3 数学归纳法
1 | 数学归纳法的概念 一般地,证明一个与① 正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行: 1.证明当n取第一个值② n0(n0∈N*) 时命题成立; 2.假设③ n=k(k≥n0,k∈N*) 时命题成立,证明当④ n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
= k(2k 3) 1
(2k 1)(2k 3)
= 2k 2 3k 1
(2k 1)(2k 3)
= (2k 1)(k 1)
(2k 1)(2k 3)
= k 1 .
2(k 1) 1
故当n=k+1时,等式也成立.
课件1 ：2.3 数学归纳法
命题
例1
用数学归纳法证明
n（n 1） （2n 1）
1 2 3 n
（n N ）
6
2
2
2
2
例2、数列{n}其通项公式为n=2n － 1 （n∈N ）
（1）试计算前项和S中前4项：S1，S2，S3，S4；
（2）猜测S= n²，并用数学归纳法证明。
证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。
2.3数学归纳法
第
二
章
推
理
与
证
明
思考
结论：归纳推理未必正确，必 须给予证明！
问题 1：数列{n}的通项公式为n＝(n2-5n+5)2,计算得 1＝1,2＝1, 3 ＝1,
猜出数列{n}的通项公式为：n＝1。
问题2：教师根据学生的成绩单逐一核实， 得到结论“全班及格”。
请问：
以上两个结论正确吗？为什么?
数学归纳法原理
我们知道，有一些命题是和正整数有关的，如果这个命题的情
况有无限种，那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明，而不完
全归纳法又不可靠，怎么办？
步骤：①（归纳奠基）验证当n取第一个n0时命题成立
②（归纳递推）假设n=k(k∈N ,k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时
也成立。
③根据①②得出对所有的正整数n命题成立。
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)
=（ k 1 ) [ 1( 2 k 1 ) ] =(k+1)2 ?为什么？
2
课件10：2.3 数学归纳法
第 k＋1 个圆与前 k 个圆产生 2k 个交点，第 k＋1 个圆被截 为 2k 段弧， 每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了 2k 个区域． ∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，
即 n＝k＋1 时命题成立，由(1)(2)知命题成立．
课堂小结 1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不 等式、数列问题、整除问题、几何问题等． 2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题 实际确定n0. 3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素， 还是式子；一定要用到归纳假设．
例 3 平面内有 n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行， 任何三条不过同一点，证明：交点的个数 f(n)＝n(n2－1). 证明：(1)当 n＝2 时，两条直线的交点只有一个， 又 f(2)＝12×2×(2－1)＝1， ∴当 n＝2 时，命题成立．
(2)假设 n＝k(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何 k 条直线交点个数 f(k)＝21k(k－1)， 那么，当 n＝k＋1 时， 任取一条直线 l，除 l 以外其他 k 条直线交点个数为 f(k) ＝12k(k－1)，
即b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bkb＋k 1＝32·54·67·…·2k2＋k 1> k＋1成立． 则当 n＝k＋1 时，左边＝b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bkb＋k 1·bkb＋k1＋＋1 1 ＝32·54·76·…·2k2＋k 1·22kk＋ ＋32
> k＋1·22kk＋ ＋32＝
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1. 由归纳假设，上式中的两项均能被 a2＋a＋1 整除， 故 n＝k＋1 时命题成立．由(1)(2)知，对任意 n∈N*， 命题成立．
2.3 数学归纳法
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么？
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就能全部倒下：
（1）第一块骨牌倒下；（基础）
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下 一定导致后一块倒下。 （依据）
条件（2）事实上给出了一个递推关系：当
第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。
证明：（1）当n=1时，左边 a1 , 右边 a1 0 d a1,
等式是成立的
（2）假设当n=k时等式成立，就是 ak a1 (k 1)d,
那么 ak1 ak d [a1 (k 1)d ] d
a1 [(k 1) 1]d
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学
家，他曾认为，当n∈N时，22n 1 一定都
是质数，这是他观察当n＝0，1，2，3，4
时的值都是质数，提出猜想得到的．半个 世纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 1 ＝ 4 294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
思考：归纳法有什么优点和缺点？ 优点：可以帮助我们从一些具体事
例中发现一般规律
缺点：仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有时是不正确的
在使用归纳法探究数学命题时，必 须对任何可能的情况进行论证后，才能 判别命题正确与否。
思考1：与正整数n有关的数学命题能否 通过一一验证的办法来加以证明呢？
思考2：如果一个数学命题与正整数n有 关,我们能否找到一种既简单又有效的证 明方法呢？
(2)假设n＝k时，等式成立，即
1+3+5+…+(2k-1)＝k2 需要证明的式子是?
课件2 ：2.3 数学归纳法
猜想其通项公式
1
a1
1
1
a2
2
1
an
n
1
a3
3
…
不完全归纳法
归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为
完全归纳法
和
不完全归纳法
考察全体对象,得到一
般结论的推理方法
考察部分对象,得到一
般结论的推理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
即当 = + 1时等式也成立
由（1）和（2）可知等式对任何 ∈ ∗ 都成立
课堂练习：
1.用数学归纳法证明等式
+ + + ⋯ ( + ) = ( + )( + )时，
当＝时，左边所得项是 1+2+3
；
当＝时，左边所得项是1+2+3+4+5 ；
1−+2
+ + + ⋯ … + ( − ) = ，
当 = + 时：
+ + + ⋯ … + ( − ) + [( + ) − ] = + + = ( + )，
所以当 = + 时等式也成立。
由①和②可知，对n∈∗ ，原等式都成立。
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论
才算完整
用上假设
递推才真
2
+1
2.用数学归纳法证明 , ≠ 1 1 + + +⋯ +
课件9：2.3 数学归纳法
2．数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1? 提示：不一定．
题型探究 题型一 用数学归纳法证明恒等式
例 1 已知 n∈N*，证明：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n ＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n.
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12，右边＝12， 等式成立； (2)假设当 n＝k(k≥1，且 k∈N*)时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k. 则当 n＝k＋1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时， 左边＝1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2(k＋11)－1－2(k＋1 1)
故结论成立． ②假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时，即42k＋1＋3k＋2能被13 整除，则当n＝k＋1时， [42(k＋1)＋1＋3k＋3]－(42k＋1＋3k＋2)＝(42k＋1·42＋3k＋2·3)－ (42k＋1＋3k＋2)＝42k＋1·13＋2·(42k＋1＋3k＋2)， ∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除， ∴[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－(42k＋1＋3k＋2)能被13整除， ∴42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除．
即(1＋1)1＋14…1＋3k－1 21＋3(k＋11)－2＞3 3(k＋1)＋1成立． 所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立．
由(1)和(2)可得不等式恒成立．
名师点评 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑： 一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比 较法、综合法、分析法、放缩法都可选用．
跟踪训练 2．设 n≥2，且 n∈N*，证明： (1)1＋131＋151＋17…1＋2n1－1＞ 2n2＋1； (2)n＋1 1＋n＋1 2＋…＋31n＞56.
学案12：2.3 数学归纳法
2.3数学归纳法学习目标：1．掌握数学归纳法的实质及归纳与猜想的关系．2．能运用数学归纳法解决实际问题．学习重难点：1．数学归纳法与函数、数列、不等式及几何问题相结合．(重点)2．能通过“归纳—猜想—证明”解决一些数学问题．(难点)学习过程：自学导引数学归纳法用框图表示就是：名师点睛1．数学归纳法在证明与正整数n有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用．2．归纳→猜想→证明(1)归纳、猜想和证明是人们探索事物发展规律的常用方法，在数学中是我们分析问题、解决问题的一个重要的数学思想方法．(2)在归纳、猜想阶段体现的是一般与特殊的相互转化关系．(3)在数学归纳法证明阶段体现的是有限和无限的转化，是一种极限的思想.例题讲解：题型一用数学归纳法证明不等式问题例1：用数学归纳法证明：1 22＋132＋142＋…＋1n2<1－1n(n≥2，n∈N*)．规律方法：用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式．变式1：用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12成立．题型二 用数学归纳法证明整除性问题例2：用数学归纳法证明：f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9能被36整除．规律方法：应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将n ＝k 时的项从n ＝k ＋1时的项中“硬提出来”，构成n ＝k 的项，后面的式子相对变形，使之与n ＝k ＋1时的项相同，从而达到利用假设的目的．变式2：用数学归纳法证明62n －1＋1(n ∈N *)能被7整除．题型三 用数学归纳法证明几何问题例3：用数学归纳法证明凸n 边形的对角线有12n (n －3)条．规律方法：用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n ＝k 到n ＝k ＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了几部分等，或先用f (k ＋1)－f (k )得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文字说明．变式3：平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f (n )＝n (n －1)2.题型四 归纳—猜想—证明例4：在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列{n ∈N ＋}．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512.题后反思：探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．这类题型是高考的热点之一，它对培养创造性思维具有很好的训练作用．变式4：已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．例5：用数学归纳法证明n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)．追本溯源：数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n (n 取无限多个值)有关的数学命题，但是，并不是所有与正整数n 有关的数学命题都可以用数学归纳法证明，例如用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1＋1n n (n ∈N *)的单调性就难以实现．一般说，从n ＝k 时的情形过渡到n ＝k ＋1时的情形，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难.参考答案例1：证明：(1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12.因为14<12，所以不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k ， 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1k ＋12<1－1k＋()211k +＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立． 变式1：证明：(1)当n ＝2时，左＝1＋13＝43，右＝52，左>右，∴不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时，不等式成立，即⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12k －1>2k ＋12，那么当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12k －1⎣⎡⎦⎤1＋12(k ＋1)－1 >2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋3·2k ＋12·2k ＋1＝2(k ＋1)＋12，∴n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②知，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立．例2：证明：①当n ＝1时，f (1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．②假设n ＝k 时，f (k )能被36整除，即(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除， 则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9 ＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)， 由归纳假设3[(2k ＋7)·3k ＋9]能被36整除，而3k －1－1是偶数，所以18(3k －1－1)能被36整除， 所以f (k ＋1)能被36整除．由①②可知，对任意的n ∈N ＋，f (n )能被36整除． 变式2：证明：(1)当n ＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时，62k －1＋1能被7整除． 那么当n ＝k ＋1时，62(k ＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k －1＋1)－35.∵62k －1＋1能被7整除，35也能被7整除， ∴当n ＝k ＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．例3：证明：①当n ＝3时，12n (n －3)＝0，这就说明三角形没有对角线，故结论正确．②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N ＋)时结论正确， 即凸k 边形的对角线有12k (k －3)条，则当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形的对角线的条数f (k )＝12k (k －3)(k ≥4)，当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点， 设为A k ＋1，增加的对角线是顶点A k ＋1与不相邻顶点的连线再加上原k 边形一边A 1A k ，共增加了对角线的条数为k －2＋1＝k －1. ∴f (k ＋1)＝12k (k －3)＋k －1＝12(k 2－k －2) ＝12(k ＋1)(k －2) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3] 故当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ≥4，n ∈N *，命题成立． 变式3：证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线的交点个数f (k )＝12k (k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线的交点个数为f (k )＝12k (k －1)，l 与其他k 条直线交点个数为k ， 从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点， 即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)，(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立． 例4：解： (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可以得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立． 即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1) ＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k ＝(k ＋2)2，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②，可知a n ＝n (n ＋1)， b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立． (2)证明：1a 1＋b 1＝16＜512.n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n . 故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎣⎡⎦⎤12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512.综上，原不等式成立． 变式4：解：S 1＝11×4＝14；S 2＝14＋14×7＝27； S 3＝27＋17×10＝310；S 4＝310＋110×13＝413.可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1.于是可以猜想S n ＝n3n ＋1(n ∈N *)．下面我们用数学归纳法证明这个猜想．(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k3k ＋1，那么， 11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1]＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4) ＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1， 所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N *都成立． 例5：证明：(1)当n ＝1时，显然命题成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，原不等式成立． 即k 2＋k ＜k ＋1，∴k 2＋k ＜(k ＋1)2. 则当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2 ＝k 2＋k ＋2k ＋2＜(k ＋1)2＋2k ＋2＝k 2＋4k ＋3＜k 2＋4k ＋4＝k ＋2＝(k ＋1)＋1. ∴(k ＋1)2＋k ＋1＜(k ＋1)＋1， 故当n ＝k ＋1时，原不等式成立． 由(1)(2)知，原不等式对n ∈N *成立． 即n 2＋n ＜n ＋1.。
2.3 数学归纳法
1 a2 2
1 a3 3
1 a4 = 4
(n N 具有某种性质推出 这类对象全体都具有这 种性质的归纳推理方法
能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都 成立？
问题情境: 多米诺骨牌操作实验
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
例题1
例题1：已知数列{an}中，a1=1,an+1=an/(an+1),
结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明. 解： S 1 1 ; 1 1 4 4 1 1 2 S2 ; 4 4 7 7 2 1 3 S3 ; 7 7 10 10 3 1 4 S4 . 10 10 13 13
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分 子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1,于是 可以猜想
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从
n0开始的所有正整数n都成立. 这种证明方法叫做数学归纳法.
数学归纳法： 验证n=n0时 命题成立. 若n = k ( k ≥ n0) 时命题成立， 证明n=k+1时命题也成立. 归纳递推 两个步骤 一个结论 缺一不可
归纳奠基
命题对从n0开始所有 的正整数n 都成立.
这种证明方法叫做 数学归纳法
证明当n=k+1时命题也成立【 . 假设推理过程】
【总结提升】
问题1：甲同学猜想 1 3 5 2n 1 n 2 1 用数学归纳法证明步骤如下： 证明：假设n=k时等式成立，即
1 3 5 (2k 3) (2k 1) k 1 那么 1 3 5 (2k 1) (2 k 1)
= a1+(k-1)d+d
= a1+[(k+1)-1]d ∴当n=k+1时，结论也成立。 由(1)和凑假设 (2)知,等式对于任何n∈N*都成立。
第二章 2.3 数学归纳法
§2.3 数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点 数学归纳法 (1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法的框图表示思考 数学归纳法的第一步n 0的初始值是否一定为1?答案 不一定，如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°时，第一个值n 0＝3.1．与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( × )2．在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用归纳假设．( × ) 3．用数学归纳法证明等式时，由n ＝k 到n ＝k ＋1，等式的项数不一定增加了一项．( √ ) 4．用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( × )一、用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ≥1，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边， 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)知，对一切n ≥1，n ∈N *，等式均成立． 反思感悟 数学归纳法证明等式需要注意： (1)搞清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；(2)弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项； (3)证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n ＝k ＋1时证明目标的表达式进行变形． 跟踪训练1 用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1). 证明 (1)当n ＝1时，左边＝121×3，右边＝1×22×3，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)， 则当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可得，对于任意的n ∈N *等式都成立． 二、用数学归纳法证明不等式例2 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12成立．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52，左边>右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时不等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1 >2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12，即当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)知，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立． 反思感悟 用数学归纳法证明不等式需要注意(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．(2)在推证“n ＝k ＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，便于应用归纳假设，变换出要证明的结论． 跟踪训练2 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1n>2(n ＋1－1)(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，不等式显然成立， (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，1＋12＋ (1)>2(k ＋1－1)，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1>2(k＋1－1)＋1k＋1，∵2(k＋2－1)－2(k＋1－1)－1k＋1＝2k＋2－2k＋1－1k＋1＝2(k＋1)(k＋2)－2(k＋1)－1k＋1＝2(k＋1)(k＋2)－2k－3k＋1＝4k2＋12k＋8－4k2＋12k＋9k＋1<0，∴2(k＋1－1)＋1k＋1>2(k＋2－1)，∴1＋12＋…＋1k＋1k＋1>2(k＋2－1)，∴当n＝k＋1时，不等式也成立，综上，对任意n∈N*，原不等式都成立．归纳—猜想—证明典例已知数列{a n}满足关系式a1＝a(a>0)，a n＝2a n－11＋a n－1(n≥2，n∈N*)，(1)用a表示a2，a3，a4；(2)猜想a n的表达式(用a和n表示)，并用数学归纳法证明．解(1)a2＝2a1＋a，a3＝2a21＋a2＝2×2a1＋a1＋2a1＋a＝4a1＋3a，a 4＝2a 31＋a 3＝2×4a 1＋3a 1＋4a 1＋3a ＝8a1＋7a.(2)因为a 1＝a ＝20a1＋(20－1)a ，a 2＝21a1＋(21－1)a ，…，猜想a n ＝2n －1a1＋(2n －1－1)a .下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，因为a 1＝a ＝20a1＋(20－1)a ， 所以当n ＝1时猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立， 即a k ＝2k －1a 1＋(2k －1－1)a，所以当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2a k1＋a k ＝2k a1＋(2k －1－1)a1＋2k －1a1＋(2k －1－1)a＝2k a1＋(2k －1－1)a ＋2k －1a ＝2k a1＋2×2k －1a －a ＝2(k ＋1)－1a1＋[2(k ＋1)－1－1]a，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据①与②可知，猜想对一切n ∈N *都成立． [素养提升] (1)“归纳—猜想—证明”的一般步骤(2)归纳—猜想—证明，就是先得出数学结论，再进行严格证明，让学生学会有逻辑地思考问题，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，提升逻辑推理的数学核心素养．1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<4答案 B解析 ∵n ∈N *，n >1，∴n 所取的第一个正整数为2，故第一步应验证1＋12＋13<2.2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a ＋a 2＋a 3 D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4答案 C解析 将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3，故选C. 3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1(n ∈N *)时，等式左边应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 答案 D解析 当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2.4．用数学归纳法证明n 3＋5n 能被6整除的过程中，当n ＝k ＋1时，式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为____________． 答案 (k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6解析 (k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋1＋3k 2＋3k ＋5k ＋5＝(k 3＋5k )＋3k 2＋3k ＋6＝(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.∵k (k ＋1)为偶数，∴3k (k ＋1)能被6整除， ∴(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由此可知对于任意n ∈N *，等式都成立． 上述证明，错误是________． 答案 未用归纳假设解析 本题在由n ＝k 成立的基础上证明n ＝k ＋1成立时， 应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符．1．知识清单：数学归纳法的定义，证题步骤．2．方法归纳：归纳猜想证明，数学归纳法． 3．常见误区：(1)证题时搞错n ＝n 0时的情况． (2)归纳假设没有使用．1．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)，第一步验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3D ．n ＝42．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立 C ．当n ＝4时命题不成立 D ．当n ＝4时命题成立 答案 B3．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时成立，则有n ＝k ＋1时命题也成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确 答案 C解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立．在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.4．用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有1－12＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n ，在验证n ＝2正确后，归纳假设应写成( ) A ．假设n ＝k (k ∈N *)时命题成立 B ．假设n ≥k (k ∈N *)时命题成立 C ．假设n ＝2k (k ∈N *)时命题成立 D ．假设n ＝2(k ＋1)(k ∈N *)时命题成立 答案 C解析 因为题目要求n 为正偶数，所以应假设n ＝2k (k ∈N *)时命题成立．5．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋3时正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1时正确C ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋1时正确D ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋2时正确解析 ∵n 为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：假设当n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推出当n ＝2k ＋1时正确，故选B.6．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步应验证n ＝________.答案 3解析 由凸多边形的性质，应先验证三角形．7．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N *，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2n ＋1)－f (2n )＝________________________________________________________________________. 答案12n＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1 8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)的过程中，从n ＝k 到n ＝k ＋1左端需要增乘的代数式为________． 答案 2(2k ＋1)解析 当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．9．用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，左边＝右边，所以当n ＝2时等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ，则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式恒成立．10．用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12.因为14<12，所以不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k， 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．11．设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1为( )A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1答案 C 解析 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，① 得S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1).② 由②－①，得S k ＋1－S k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1＝12k ＋1－12(k ＋1). 故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1). 12．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项表达式为( )A.24n －3B.26n －5C.24n ＋3D.22n －1答案 B解析 结合题意，得a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5，故选B. 13．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2(n ∈N *)．假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是____________________．答案 122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3 解析 当n ＝k ＋1时，目标不等式为：122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3. 14．数学归纳法证明34n ＋2＋52n ＋1(n ∈N *)能被14整除的过程中，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1应变形为______________________．答案 25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·34k ＋2解析 当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1＝81·34k ＋2＋25·52k ＋1＝25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·34k ＋2.15．设平面内有n 条直线(n ≥3，n ∈N *)，其中有且仅有两条直线相互平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )－f (n －1)＝________(用含n 的数学表达式表示)．答案 5 n －1解析 最初的三条直线产生2个交点，即f (3)＝2.每增加1条直线，与前面的每条直线都产生1个交点，故f (4)＝f (3)＋3＝5，故新增加的第n 条直线与前面的(n －1)条直线产生(n －1)个交点，即f (n )－f (n －1)＝n －1.16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n ＝S n n (2n －1)，且a 1＝13. (1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明．解 (1)a 2＝S 22×(2×2－1)＝a 1＋a 26， 又a 1＝13，则a 2＝115， 类似地，求得a 3＝135. (2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，……， 猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1). 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由(1)可知猜想成立．②假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1). 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，∵S k＝k(2k－1)a k＝k(2k－1)1(2k－1)(2k＋1)＝k2k＋1，S k＋1＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1，∴a k＋1＝S k＋1－S k＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1－k2k＋1，∴k(2k＋3)a k＋1＝k2k＋1，∴a k＋1＝1(2k＋1)(2k＋3)＝1[2(k＋1)－1][2(k＋1)＋1].∴当n＝k＋1时猜想也成立．由①②可知，猜想对任意n∈N*都成立．∴{a n}的通项公式为a n＝1(2n－1)(2n＋1).。
2.3数学归纳法
问题提出
1.归纳推理的基本特征是什么？
由个别事实概括出一般结论.
2.综合法，分析法和反证法的基本思 想分别是什么？ 综合法：由已知推未知，逐步推出未知. 反证法：假设结论不成立，推出矛盾得 证明.
分析法：由未知探需知，逐步推向已知.
3.归纳推理能帮助我们发现一般结 论，但得出的结论不一定正确，即使正 确也需要经过严格的证明才能肯定其真 实性.
1 1 1 1 练习 2．用数学归纳法证明 ＋ ＋ ＋„＋ 1· 2 2· 3 3· 4 n(n＋1) n ＝ (n∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增 n＋1 添的项是 1 A. k(k＋1) 1 1 B. ＋ k(k＋1) (k＋1)(k＋2) 1 C. k(k＋2) 1 D. (k＋1)(k＋2) ( )
k－ 1
－1)能被 36 整
除，这就说，当 n＝k＋ 1)(2)可知对一切正整数 n 都有 f(n)＝(2n＋7)· 3n＋ 9 能被 36 整除， m 的最大值为 36.
点评： 本题解决的关键是通过 n 的取特殊值猜想这 样的正整数 m 存在，然后利用数学归纳法加以证明．用 数学归纳推证 n＝ k＋1 成立时，关键是掌握加一个数与 减一个数的恒等式变形，将 n＝ k＋ 1 的形式用 n＝ k 时的 形式表示．
[答案]
D
[ 解析 ] 1 k(k＋1)
1 1 当 n ＝ k 时，等式左边＝ ＋ ＋ „ ＋ 1· 2 2· 3
1 1 1 当 n＝k＋1 时，等式左边＝1· 2＋2· 3＋„＋k(k＋1)＋ 1 (k＋1)(k＋2) 1 两者比较需添加的项为 . (k＋1)(k＋2) 故应选 D.
1 1 1 127 3．用数学归纳法证明不等式 1＋2＋4＋„＋ n－1> 64 成 2 立时，起始值 n 至少应取为 A．7 C．9
2.3 数学归纳法
证 不 式 明 等 ： 1 2
2
1 3
2 3
1 n
2
1
1 n
(n 2)
例1对一切大于1 的自然数n，证明： （ )(1 ) (1 1 ) 3 5 2n 1 1 1 1 2n 1 2
1 n 1
1 n2
1 3n
5 6
(n 2且n N ）
（2 k +1 )(2 k + 2 ) k +1
= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。 由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。
用 学 纳 证 ： 数 归 法 明 1 1 2 1 n 1 1 3 1 4 1 n2 1 2n 1 1 2n 1 2n
2
k +k 4k + 2
+
(k + 1)
2
k ( k + 1 ) ( 2 k + 3 )+ 2 ( k + 1 ) 2(2k + 1)(2k + 3) (k + 1)(2k + 1)(k + 2) 2(2k + 1)(2k + 3) .
2.3 数学归纳法
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举例示范
例1 已知数列 {an }为等差数列，公差为d，求证： 数列 {an }的通项公式为 an=a1+(n-1)d.
证明：(1) 当n=1时，a1=a1+(1-1)d=a1, 结论成立. (2) 假设当n=k 时结论也成立，即ak=a1+(k-1)d, 那么， ak 1 ak d , ak 1 a1 (k 1)d d a1 kd
题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开 始的所有正整数n都成立. 这种证明方法叫做数
学归纳法 (mathematical induction).
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验证n=n0时 命题成立
若当n=k(kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始的所 有正整数n都成立.
1+3+5+…+(2k-1)=k2，
当n=k+1时，左边= 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)
=k2+2k+1=(k+1)2，
所以当n=k+1时等式也成立. 由(1)和(2)可知，对n∈N ，原等式都3;1时”的证明可否改换为： 左边= 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)
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课堂小结
1. 数学归纳法的证题步骤：两步三结论.
2. 数学归纳法的证题的两步缺一不可.
3. 数学归纳法的证题的第二步必需要用上归
纳假设. 4. 重要方法：归纳、猜想、证明.
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2.3数学归纳法
[费马（Fermat）猜想]:
1640年，法国数学家费马发现：
设函数 f (n) 22n 1(n N)，则
f (n)与 n 的对应值如下表：
费马(1601--1665) 法国伟大的业余数学 家。
于是，他猜想：形如 f (n) 22n 1(n N)的数都是质数.
已知数列an , a1 1,
=1或2等）时结论正确，是推理的起点、源泉；
（2）假设 n k(k N*,k n0)时，结论成立，当 n k 1 时，
利用假设证明结论也成立，是递推的关键、核心. （3）由（1）和（2）得出结论，缺一不可，注意完整性.
3.数学归纳法作为一种完全归纳的证明方法，其基本思想是 递推思想，所涉及到的主要数学思想方法有：类比、归纳、有 限到无限的转化、辩证唯物主义等思想.
1 3 5 (2k 3) (2k 1) k2 1 那么 1 3 5 (2k 1) (2k 1)
k 2 1 (2k 1) (k 1)2 1 即n=k+1时等式成立.
所以等式对一切自然数 n 均N成 立.
结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失 去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证， 可有可无.
(3)提出问题：骨牌全倒下应满足什么条件？
探讨结论：骨牌全部倒下满足的条件： 第一张牌要倒下； 要保证任意前一块倒下，后一块也倒下。
我们就得到一个证明一个与正整数有关的命题的方法:
（1）已知第一张牌要倒下（第一个条件） 要证明当n 1 时猜想成立，由条件知，当 n 1 时猜想成立.
（2）要保证任意前一张倒下，后一张也倒下（第二个条件） 即要证明若当n k时命题成立，则当 n k 1时命题也成立.
1 3 5 2k 1 k 2
课件12：2.3 数学归纳法
则当 n＝k＋1 时， 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k＋1 1＋2k＋1 2. 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)、(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
3．用数学归纳法证明不等式 1＋12＋14＋…＋2n1－1>16247成立时，
起始值 n 至少应取为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
【解析】∵1＋12＋14＋…＋271－1＝11－－12127 ＝2－216＝272－6 1＝16247， 而 1＋12＋14＋…＋281－1>16247，故选 B.
方法规律总结： 用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出假 设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除．其 中的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等 方法分析出因子，从而利用归纳假设使问题得到解决．
利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P(k)能被p整除， 证P(k＋1)能被p整除，也可运用结论：若P(k＋1)－P(k)能被p 整除⇒P(k＋1)能被p整除．或利用“∵P(k)能被P整除，∴存 在整式q(k)，使P(k)＝P·q(k)”，将P(k＋1)变形转化分解因式 产生因式p.
命题方向3：用数学归纳法证明整除问题 例3：求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1， 命题显然成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除， 则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1. 由归纳假设知，上式能被a2＋a＋1整除， 故当n＝k＋1时命题也成立． 由(1)、(2)知，对一切n∈N*，命题都成立．
原创4：2.3 数学归纳法
有多少块骨牌，都能全部倒下.
1
通项公式为 an 的证明方法
n
（1）当 = 时，猜想成立
（2）若当 = 时猜想成立，即
= ，则当 = + 时猜想也
成立 ,即+ =
=
根据（1）和（2），可知对任意的
正整数，猜想都成立。
（二）提炼概念
a6 =
a7 =
a5 =
6
7
5
1
1
a8 =
正整数无
a9 =
啊,有完没
•
•
•
8
9
an +1 =
数个!
完啊?
二、引导探究，寻求解决方法
问题：对于数列 an , 若a1 1, a n 1
1
猜想：an
n
an
.
1 an
(n N *)，如何证明？
（一）视频播放
你见过多米诺骨牌游戏吗?请欣赏一下那场景!
A．1
B.1+3
D．4
）
C．1+2+3
D.1+2+3+4
演练2
3.用数学归纳法证明
1 1
1
1 n
n( n N , n 1)
2 3
2 1
时，由 = （ > ）时不等式成立，推证 = + 时成立，
左边应增加的项数是（
A. −
B. +
+ +
=
6
证明： （1）当 = 时， 左边=12=1
右边= 1
证明：12
第2章 2.3 数学归纳法
比较即可.
(2)在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的
度.
【自主解答】
(1)当n＝k＋1时左边的代数式是
1 k＋2
＋
1 k＋3
＋…＋
1 2k＋1
＋
2k＋1 2，增加了两项2k＋1 1与2k＋1 2，但是少了一项k＋1 1，故不等式的左边增加的式
子是2k＋1 1＋2k＋1 2－k＋1 1＝2k＋112k＋2.
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[小组合作型]
用数学归纳法证明等式
(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝n＋32n＋4(n∈N*)
时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是________.(填序号)
①1；
②1＋2；
③1＋2＋3；
④1＋2＋3＋4.
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(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈ N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为__________.
k
k＋1＋1 k＋1
<
k2＋ k＋k＋1 12＋1＝2kk＋＋11＝2
k＋1.
∴当n＝k＋1时，不等式成立.
由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立.
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[再练一题] 2.试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式. 【证明】 ①当n＝2时，2＋1 1＋2＋1 2＝172>1234. ②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时不等式成立， 即k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k>1234， 那么当n＝k＋1时， k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k＋1 1
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变：用数学归纳法证明： 12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 证明：（1）当n=1 时，左边=12 =1，右边=1， 所以等6式成立.
(2)假设当n k(k N *) 时等式成立,即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1)
试验一
（1）从大球中取出了4个小球，发现全是红色的
推理
大球中装的全是红球
考察部分对象，得到一般结论的方法， 叫做不完全归纳法。不完全归纳法得 到的结论不一定正确！
试验二
（2）从大球中取出所有的小球， 发现全是红色的
推理
大球中装的全是红球
考察全部对象，得到一般结论的方法， 叫做完全归纳法。完全归纳法得到的 结论一定正确！
=
6 (k +1)[(k +1) +1][2(k +1) +1] =
6 即当n k 1 等式也成立.
6
根据(1)和(2),等式对任何 n N都* 成立.
小结： 1、数学归纳法能够解决哪一类问题？
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题 2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？ 两个步骤和一个总结，缺一不可，不要忘记总结 3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？ 关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确 4、数学归纳法体现的核心思想是什么？ 递推思想：用“有限”的步骤，来解决“无限”的过程
1,
an1
an 1Βιβλιοθήκη an(n N ),
计算a2 ,a3 ,a4的值，并归纳猜想数列的通项公式。
解：a2
1 2
, a3
1 3 , a4
1 4
猜想：an
=
1 n
问题4：多米诺骨牌与数学问题有 相似性吗？若有，体现哪些方面？
证明.(1).n
1时，a1
1 1
=1
(2).假设当n
总结：由（1）（2）可得对任意的正整数n,猜想都成立
例1. 用数学归纳法证明等式
求证：1+2+3+ +n 1 n(n 1)(n N ) 2
证明：（1）当n 1时，左边=1，
右边=
1 2
1
2=1，左边=右边，等式成立。
（2）.假设n=k时等式成立，即1+2+3+
+k=
1 2
那么,当 n k 1 时
6
12 22 32 k 2 (k 1)2
k(k +1)(2k +1) =
6
+ (k +1)2 = k(k +1)(2k +1) + 6(k +1)2 6
(k +1)(2k 2 + 7k + 6) (k +1)(k + 2)(2k + 3)
=
一、概念 1、归纳法的定义： 对于某类事物，由它的特殊事例或其全部可能情况， 归纳出一般结论的推理方法，叫做归纳法。
2、归纳法的分类： （1）不完全归纳法（2）完全归纳法
说明（1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论 不一定正确 （2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难
探讨：如何找一种严格推理的归纳 法？
问题情境二
多米诺骨牌视频.mp4
问题1：多米诺骨牌全部倒下的条件有几个？ 分别是什么？ （1）第一块骨牌倒下。 （2）任意相邻的两块骨牌，前一 块倒下一定导致后一块牌也倒下。
问题2：（1）作用是什么？ 基础（奠基）
问题3：条件（2）的作用是什么？ 传递（递推）
问题情境三
对于数列{an},已知a1
欢迎指导！
k
(k
1)
则当n=k+1时，1+2+3+ +k+(k+1)
= 1 k(k 1) (k 1) 1 (k 1)(k 2)
2
2
由(1)(2)可得，对于一切n N, 等式都成立。
变式：用数学归纳法证明
12 +22 +32 + +n2 n(n 1)(2n 1) (n N ) 6
k时，等式成立，即ak
1 k
1
则ak 1
ak （已知） 1 ak
k 1
1（代入假设）
k
1 （目标） 1
k
即n k 1时猜想也成立.
所以，由(1)(2)可得，对任意的正整数n,
猜想都成立，即数列的通项公式是an
1. n
数学归纳法
步骤 一般的，证明一个与正整数有关的命题 时，可以按以下的步骤进行： (1)（归纳奠基）：证明当n取第一个值n0 （ n0 ∈N*）时，结论成立。 (2)（归纳递推）: 假设当n=k(n∈N*且k≥n0) 时结论成立, 证明当n=k+1时结论也成立。
数学归纳法 高二数学组 杨益锋
学习目标
• 1.了解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法 的证明步骤。
• 2.通过数学归纳法的学习，体会用不完全归 纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的 途径。
• 3.能够利用数学归纳法证明一些简单的与正 整数有关的数学命题。
问题情境一
大球中装有9个小球,要判断这9个小球的颜色