山西省2020学年高二年级3月月考理科数学试卷

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2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题一、单选题1．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）A ．48种B ．36种C ．24种D ．12种【正确答案】B利用分步计数原理，分3步即可求出【详解】解：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步计数原理，共有23636⨯⨯=不同的选取方法，故选：B2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532a a =,则95S S =（）A ．910B ．1518C ．95D ．185【正确答案】D【分析】根据等差数列的前n 项和21(21)n n S n a -=-，将95S S 转化为5a 和3a 的算式即可得到所求．【详解】解：依题意，数列{}n a 为等差数列，所以19951553992552a a S a a a S a +⨯⨯==+⨯⨯，又因为532a a =，所以955399182555S a S a ⨯===⨯，故选D.等差数列的性质，等差数列的前n 项和，考查分析解决问题的能力和运算能力，属于基础题．3．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）A ．8B ．10C ．12D ．14【正确答案】A【分析】分为三人组中包含小明和小李和不包含小明和小李两类，分别计算方案种数即可得结果.【详解】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，当三人组中包含小明和小李时，安装方案有12326C A =种；当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有222A =种，共计有628+=种，故选：A.4．设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，点M 在C 上，点N 在准线l 上且MN 平行于x 轴，若NF MN =，则MF =（）A ．3B ．1C ．3D ．4【正确答案】D【分析】由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程，设准线l 与x 轴交点为E ，画出图象，由抛物线定义及NF MN =可知MNF 是正三角形，结合平行关系可判断60EFN ∠=︒，利用直角三角形性质即可求解.【详解】由题可知，2p =，抛物线焦点F 为()1,0，准线l 为=1x -，设准线l 与x 轴的交点为E ，如图所示，由题知MN l ⊥，由抛物线的定义可知MN MF =，因为NF MN =，所以MNF 是正三角形，则在Rt NEF 中，因为MN EF ∥，所以60EFN MNF ∠=∠=︒，所以224MF NF EF p ====．故选：D5．三棱锥A BCD -中，AC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥．若3AB =，1BD =，则该三棱锥体积的最大值为（）A ．2B ．43C ．1D ．23【正确答案】D【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得BD ⊥平面ACD 、BD AD ⊥与AC CD ⊥，从而利用基本不等式求得2ACDS≤，进而得到23A BCDB ACD V V --=≤，由此得解.【详解】因为AC ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，又BD CD ⊥，AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BD ⊥平面ACD ，因为AD ⊂平面ACD ，所以BD AD ⊥，在Rt △ABD 中，3AB =，1BD =，则AD ==，因为AC ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AC CD ⊥，在Rt ACD △中，不妨设(),0,0AC a CD b a b ==>>，则由222AC CD AD +=得228a b +=，所以()221111222244ACDSAC CD ab ab a b =⋅==⨯≤+=，当且仅当a b =且228a b +=，即2a b ==时，等号成立，所以11221333A BCDB ACD ACDV V SBD --==⋅≤⨯⨯=，所以该三棱锥体积的最大值为23.故选：D..6．()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -项的系数为160，则=a （）A ．2B ．4C ．2-D ．-【正确答案】C先求得()61ay +展开式中3y 的系数，可得()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数，从而得答案.【详解】二项式()61ay +展开式的通项为()6166C 1C rr rr r r r T ay a y -+=⨯=，令3r =可得二项式()61ay +展开式中3y 的系数为336C a ，∴()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数为()3361C 160a -=，可得38a =-，解得2a =-，故选：C ．7．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（）种A ．5B ．8C ．14D ．21【正确答案】C【分析】按乙排第五和不是第五分类讨论．【详解】乙排在第五的情况有：33A ，乙不在第五的方法有112222C C A ，共有3112322214A C C A +=，故选：C ．关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定完成事件的方法：是先分类还是先分步：分类后每一类再分步．然后结合计数原理求解．8．设函数()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，则当(),x a b ∈时（）A ．()()f x g x <B ．()()f xg x >C ．()()()()f x g a g x f a +<+D ．()()()()f xg b g x f b +<+【正确答案】C【分析】对于AB ，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD ，构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数与函数单调性的关系证得()h x 在R 上单调递减，从而得以判断.【详解】对于AB ，不妨设()2f x x =-，()1g x =，则()2f x '=-，()0g x '=，满足题意，若()1,x a b =-∈，则()()21f x g x =>=，故A 错误，若()0,x a b =∈，则()()01f x g x =<=，故B 错误；对于CD ，因为()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，令()()()h x f x g x =-，则()()()0h x f x g x ''-'=<，所以()h x 在R 上单调递减，因为(),x a b ∈，即a x b <<，所以()()()h b h x h a <<，由()()h x h a <得()()()()f x g x f a g a -<-，则()()()()f x g a g x f a +<+，故C 正确；由()()h b h x <得()()()()f b g b f x g x -<-，则()()()()f x g b g x f b +>+，故D 错误.故选：C.二、多选题9．有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（）A ．共有66A 种不同的排法B ．男生不在两端共有2424A A 种排法C ．男生甲、乙相邻共有2525A A 种排法D ．三位女生不相邻共有3333A A 种排法【正确答案】AC【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A ；利用有位置条件的排列判断B ；利用相邻、不相邻问题的排列判断C ，D 作答.【详解】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有66A 种不同的排法，A 正确；男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有2434A A 种排法，B 不正确；男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有2525A A 种排法，C 正确；三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有3334A A种排法，D 不正确.故选：AC 10．()20232202301220231ax a a x a x a x +=++++ ，若16069a =-，则下列结论正确的有（）A ．3a =B ．202301220232a a a a ++++=- C ．202312220231333a a a +++=- D ．()20231ax +的展开式中第1012项的系数最大【正确答案】BC【分析】利用二项式展开式的通项公式求解含x 项的系数，从而求解a ，即可判断选项A ，赋值法即可求解系数和问题，从而判断选项B 、C ，利用展开式系数符合规律判断选项D 【详解】对于A ，112023C 20236069a a a =⋅==-，可得3a =-，故A 错误；对于B ，因为()2023201213x a a x a x -=++20232023a x ++ ，令1x =，则()202320230122023132a a a a ++++=-=- ，故B 正确；对于C ，令0x =，则01a =，令13x =，则2023202312002202311313333a a a a a ⎛⎫+++=-⨯-=-=- ⎪⎝⎭ ，故C 正确；对于D ，由展开式知，20n a >，210n a -<，故第1012项的系数10110a <，不会是展开式中系数最大的项，故D 错误.故选：BC11．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数()()3211R 32f x x x x b b =-++∈，则（）A ．()f x 一定有两个极值点B ．函数()y f x =在R 上单调递增C ．过点()0,b 可以作曲线()y f x =的2条切线D ．当712b =时，123202220222023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【正确答案】BCD【分析】对()f x 求导，得出()0f x ¢>，没有极值点，可判断A ，B ；由导数的几何意义求过点()0,b 的切线方程条数可判断C ；求出三次函数()f x 的对称中心，由于函数的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，可得()()12f x f x +-=，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D.【详解】由题意知()21f x x x '=-+，1430∆=-=-<，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，没有极值点，A 错误，B 正确；设切点为3211,32m m m m b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则()21k f m m m '==-+，切线方程为()()32211132y m m m b m m x m ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭，代入点()0,b 得32321132m m m m m m -+-=-+-，即322132m m =，解得0m =或34m =，所以切线方程为y x b =+或1316y x b =+，C 正确；易知()21f x x ''=-，令()0f x ''=，则12x =．当712b =时，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭''，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以点1,12⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，所以有11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x +-=．令123202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20222023⎛⎫ ⎪⎝⎭，又20222021202012023202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12022220232023S f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22021202212022240442023202320232023f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⨯= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ，所以2022S =，D 正确．故选：BCD.12．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线l ：()0y kx k =≠与椭圆C 交于M ，N 两点，12F MF ∠的角平分线与x 轴相交于点E ，与y 轴相交于点()0,G m ，则（）A ．四边形12MF NF 的周长为8B ．1114MF NF +的最小值为9C ．直线BM ，BN 的斜率之积为34-D ．当12m =-时，12:2:1F E F E =【正确答案】AC【分析】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为4a 即可求解；对B 选项，由直线()0y kx k =≠与椭圆相交的对称性知：12NF MF =，11121414MF NF MF MF ∴+=+，借助基本不等式可得1114MF NF +的最小值；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，由点()11,M x y 在椭圆上，即可化得BM BN k k ⋅的值；对D 选项，设出()()11,0t E t -<<，由条件推出()121MF t =+，()221MF t =-，又在椭圆C 中，由其第二定义1MF e =得()1112212MF x t =+=+，从而得到M ，E ，G 三点坐标，再根据其三点共线，化简求解即可．【详解】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为2248a a a +==，A 正确；对B 选项，1112141414MF NF MF MF +=+=()21121212414191444MF MF MF MF MF MF MF MF ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当1248,33MF MF ==时等号成立，故B 错误；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，又(B，所以211121113BM BNy y y k k x x x --⋅=⋅=-．因为点()11,M x y 在椭圆上，所以2211143x y +=，即()222111441333y x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以2121334BM BNy k k x -⋅==-，C 正确；对D 选项，设()()11,0t E t -<<，则12F E F E 1211MF t t MF +==-，124MF MF +=所以()121MF t =+，()221MF t =-，在椭圆C ：22143x y +=中，由其第二定义1MF e d =（d 指的是椭圆上的点到相应的准线的距离）得221111()()22M a a MF de x e x e x c c ==+⋅=+⋅=+，12MF ∴=+()11212x t =+，所以14x t =，故()14,M t y ，(),0E t ，10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭G ，因为三点共线，所以1123y t t =，解得132y =，则29164143t +=，解得14t =±，当14t =时，1211541314F E F E +==-，当14t =-时，1211341514F E F E -==+，故D 错误．故选：AC方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习加以强化.三、填空题....道上有编号1，2，.3，....10的十盏路灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足条件的关灯方法有__________种.【正确答案】20【分析】采用插空法即可求解.【详解】10只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空挡中放入3只熄灭的灯，有36C 20=种方法，故答案为.2014．我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童.若一刍童为正棱台，其上、下底1，则该刍童的外接球的表面积为______.【正确答案】20π【分析】根据题意，作出图形，设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，分两种情况讨论，分别根据条件列出方程组，即可求出外接球半径，代入球的表面积公式计算即可求解．【详解】设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意，121O O =，22AO =，111A O =，1R OA OA ==．如图，当O 在12O O 的延长线上时，设2OO h =，则在2AOO 中，22R 4h =+①，在11A OO 中，()22R 11h =++②，联立①②得1h =，2R 5=，所以刍童外接球的表面积为20π，同理，当O 在线段12O O 上时，设1OO h =，则有22R 1h =+，()22R 14h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述，该刍童外接球的表面积为20π．故20π．15．两名学生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是170．”若每个参加面试的人被招聘的可能性相同，则根据这位负责人的话，可以推断出参加面试的人数为______．【正确答案】21【分析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】设参加面试的人数为n ，依题意有()()()()2122362C C 61C 12170n nn n n n n n --===---，即()()242020210n n n n --=+-=，解得21n =或20n -（舍去）．16．南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式()()()()()1112123123126n n n n ++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++，则数列{}22n n +的前n 项和为____________．【正确答案】()()1121226n n n n ++++-【分析】由三角垛公式可知数列()12n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，根据()212222n n n n n n ++=⨯-+，采用分组求和法，结合等差、等比求和公式可求得结果.【详解】()11232n n n ++++⋅⋅⋅+=，∴数列()12n n +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，()212222n n n n n n ++=⨯-+ ，∴数列{}22n n +的前n 项和()()()1211223212222222n n n n S n +⎛⎫⨯⨯=⨯++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()()()()()()121211211122232126n n n n n n n n n n +-+++=++-+=+--.故答案为.()()1121226n n n n ++++-关键点点睛：本题考查数列中的分组求和法的应用，解题关键是能够将所求数列的通项进行变型，从而与已知的三角垛公式联系起来，利用所给的三角垛公式来进行求和.四、解答题17．现有一些小球和盒子，完成下面的问题．(1)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中（允许有空盒子），一共有多少种不同的放法？(2)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？【正确答案】(1)256；【分析】（1）根据题意分析将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，由分步计数原理计算即可得出答案；（2）根据题意，分两步进行，①将4个小球分为3组，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，根据分步计数原理计算即可得出答案；【详解】（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，则4个小球有4444256⨯⨯⨯=种不同的放法；（2）①将4个小球分为3组，有24C 6=种分组方法，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，有3343C A 24=种情况，则624144⨯=种不同的放法．18．如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是AC 与BD 的交点，AB AD =，60BAD ∠=︒．(1)记圆柱的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V ；(2)设点F 在线段AP 上，4,4PA PF PC CE ==，求二面角F CD P --的余弦值．【正确答案】【分析】（1）利用平面几何的知识推得AC BD ⊥，进而得到BD =与4AC EC =，从而利用柱体与锥体的体积公式求得12,V V 关于,EC PC 的表达式，由此得解；（2）根据题意建立空间直角坐标系，设1CE = ，结合（1）中结论与（2）中所给条件得到所需向量的坐标表示，从而求得平面FCD 与平面PCD 的法向量n 与m ，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】（1）因为ABD ∠与ACD ∠是底面圆弧AD 所对的圆周角，所以ABD ACD ∠=∠，因为AB AD =，所以在等腰ABD △中，ABD ADE ∠=∠，所以ADE ACD ∠=∠，因为AC 是圆柱的底面直径，所以90ADC ∠=︒，则90CAD ACD ∠+∠=︒，所以90CAD ADE ∠+∠=︒，则90AED ∠=︒，即AC BD ⊥，所以在等腰ABD △，BE DE =，AC 平分BAD ∠，则1302CAD BAD ∠=∠=︒，所以60ADE ∠=︒，则30∠=︒CDE ，故在Rt CED 中，2CD EC =，DE ，则2BD DE ==，在Rt ACD △中，24AC CD EC ==，因为PC 是圆柱的母线，所以PC ⊥面ABCD ，所以()22211ππ24π2V AC CP EC PC EC PC ⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，2211143263V AC BD PC EC PC EC PC =⨯⋅⋅=⨯⨯⋅=⋅，所以12V V =．（2）以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，不妨设1CE = ，则44AC EC ==，DE =44PC CE ==，则()()()()0,0,0,4,0,0,1,,0,0,4C A D P ，所以()CD = ，()0,0,4CP = ，()4,0,4PA =- ，因为4PA PF =，所以()11,0,14PF PA ==- ，则()()01,0,1(1,0,3,0,4)CF CP PF ==+=-+ ，设平面FCD 的法向量(,,)n x y z = ，则00n CF n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即300x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令3x =-，则1y z ==，故(n =- ，设平面PCD 的法向量(,,)m p q r = ，则00m CP m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即400r p =⎧⎪⎨=⎪⎩，令3p =-，则0q r ==，故(m =- ，设二面角F CD P --的平面角为θ，易知π02θ<<，所以cos cos ,13||||n m n m n m θ⋅====⋅ ，因此二面角F CD P --19．记数列{}n a 的前n 项和为n T ，且111,(2)n n a a T n -==≥．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设m 为整数，且对任意*n ∈N ，1212nn m a a a ≥+++ ，求m 的最小值．【正确答案】(1)21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩(2)7【分析】（1）由数列n a 与n T 的关系可得()122n n a a n +=≥，再结合等比数列的通项可得解；（2）利用错位相减法求出1212nn a a a +++ ，结合范围即可得解.【详解】（1）因为111,(2)n n a a T n -==≥，所以211a a ==，当2n ≥时，112n n n n n a T T a a +-+===，故()222222n n n a a n --==⋅≥，且11a =不满足上式，故数列{}n a 的通项公式为21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）设1212n nn S a a a =+++ ，则11S =，当2n ≥时，102122322n n S n --=+⋅++⋅+⋅ ，故112112232222n n S n ---=+⋅+⋅+⋅+ ，于是()122115222222n n n S n ----=++++-⋅ ()121121252212n n n -----=+-⋅-．整理可得27(2)2n n S n -=-+，所以7n S <，又54968S =>，所以符合题设条件的m 的最小值为7．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点A ，且焦距为10．(1)求C 的方程；(2)已知点3),B D -，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H 两点．证明：||||||||GD HD GE HE =．【正确答案】(1)221169x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意列方程组求出,a b ，即可得出C 的方程；（2）根据,,,D E H G 四点共线，要证||||||||GD HD GE HE =即证HE GE G H D D ⋅=⋅，设出直线:DE y x =-，()()1122,,,G x y H x y，)E t ，联立直线方程与椭圆方程得出1212,x x x x +，将其代入G G HE E DH D ⋅-⋅ ，计算结果为零，即证出．【详解】（1）由题意可得2232910a b-==，故4,3a b ==，所以C 的方程为221169x y -=．（2）设)E t ，()()1122,,,G x y H x y ，当x =2321169y -=，解得3=±y ，则||3t <，双曲线的渐近线方程为34y x =±，故当直线DE 与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，此时直线DE方程为(34y x =±-，令x =y =||t ≠则直线:DE y x =-．由221169y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得()222292161440t x x t -+--=，所以212229x x t +=-，21221614429t x x t +=-．()()()()11221122,,,G HE GE DH x y x t x D y t y x y ⋅-⋅=--⋅----⋅-)()121212122232x x y y x x t y y =+-+-++()2221212243244t x x t x x t ⎛⎛⎫=+-++++ ⎪⎝⎭⎝()()()222222248943244322929t t t t t t t +++=-++--0=．所以HE GE G H D D ⋅=⋅ ，所以cos0cos0HE G G E D DH = 即||||||||GD HD GE HE =．关键点睛：本题第二问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的关系，采取设)E t ，从而得到直线DE 方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明0HE GE G D D H ⋅-⋅= 即可.21．设()()21031x Q x x ax b -=-++，其中()Q x 是关于x 的多项式，a ，b ∈R ．（1）求a ，b 的值；（2）若28ax b +=，求103x -除以81的余数．【正确答案】（1）10a =，12b =-；（2）28.【分析】（1）利用二项式定理及已知即求；（2）由题可知x 的值，然后利用二项式定理可求.【详解】（1）由已知等式，得()()()1021131x Q x x ax b -+-=-++⎡⎤⎣⎦，∴()()()()10920189101010101010C 1C 1C 1C 1C 3x x x x -+-+⋅⋅⋅+-+-+-()()21Q x x ax b =-++，∴()()()()()8722018101010C 1C 1C 110121x x x x Q x x ax b ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+-+-=-++⎣⎦，∴1012x ax b -=+，∴10a =，12b =-．（2）∵28ax b +=，即101228x -=，∴4x =，∴103x -1043=-()10313=+-0101991010101010C 3C 3C 3C 3=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+-()406156441010103C 3C 3C 4035328=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯+⨯+()0615610101081C 3C 3C 4528=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅+++，∴所求的余数为28．22．已知函数()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦（其中e 为自然对数的底数）．(1)若1k =，求函数()f x 的单调区间；(2)若12k ≤≤，求证：[]0,x k ∀∈，()2f x x <．【正确答案】(1)单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-；(2)见解析.【分析】（1）求导，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，即可解决；（2）由()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令新函数()21()1e 6x g x x x k=---，求导，由()()1e 6k g k k k =---，再令新函数()()()1e 6k h k g k k k ==---，证明()0h k <在12k ≤≤上恒成立，即可得证.【详解】（1）由题知()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦，所以()()e 1e e x x x f x k x kx '⎡⎤=+-=⎣⎦，当1k =时，()e x f x x '=，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，所以()f x 的单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-，（2）由题知12k ≤≤，[]0,x k ∀∈，()2f x x <，所以()21e 60x k x x ⎡⎤---<⎣⎦，因为12k ≤≤，所以()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令()21()1e 6x g x x x k=---即证()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，因为22()e (e )x x g x x x x k k'=-=-当()0g x '=时，2ln x k=，当()0g x '≥时，2lnx k ≥，即()g x 在2ln ,k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当()0g x '≤时，2ln x k ≤，即()g x 在20,ln k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因为(0)70g =-<，()()1e 6k g k k k =---，令()()()1e 6k h k g k k k ==---，所以()e 1k h k k '=-，因为12k ≤≤，所以()e 10k h k k '=->，所以()h k 在[]1,2上单调递增，所以2max ()(2)e 80h k h ==-<，所以()0g k <恒成立，因为(0)0,()0g g k <<，所以()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，即得证.。

山西省山西大学附中2020学年高二数学下学期3月模块诊断试题理

山西大学附中2020学年高二第二学期3月（总第二次）模块诊断数学试题（理）考试时间：120分钟一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，请把答案写在答题纸上） 1. 下列导数运算正确的是（）A. B. C. D.2. 已知的导函数的图象如右图所示，那么函数的图象最有可能的是（）3.已知函数，则的增区间为（） A. B. C. D.4. 函数有 ( )A. 极大值 5，无极小值 B•极小值-27,无极大值 C. 极大值 5，极小值- 27 D .极大值5，极小值-115. 已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（） A. B. C. D.6. 若函数存在极值，则实数的取值范围是（）A. B . C . D7. 已知函数，则曲线上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D. 8.函数的图象在处的切线方程为，则的值为（）A. B. C. D.9•定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A. B . C . D .10.若函数在区间内任取有两个不相等的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（二•填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题纸上）13. 函数的单调减区间是 14. 设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 __________ .15. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是16. 设函数，，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （满分10分）已知，若直线过点且与图像相切，求直线的方程.18. （本小题满分12分）已知函数（1）求函数在上的最大值和最小值.（2）求证：在区间上函数的图象恒在函数的图象的下方A. B. C. D.11. 已知，则的最小值为（) A.B .C .D . 12. 已知直线为函数图象的切线，若与函数的图象相切于点 A. B. C. D.,则实数必定满足（19. （本小题满分12分）已知函数(1) 当在上是增函数，求实数的取值范围;(2) 当处取得极值，求函数上的值域.20. (本小题满分12分)已知函数.(1) 求的单调区间；(2) 若，求证：函数只有一个零点，且21. (本小题满分12分)已知函数有两个不同的零点(1)求的取值范围；⑵设是的两个零点，证明：.22. (本小题满分12分)已知函数(1) 讨论函数的单调性；(2) 当时，若函数的导函数的图象与轴交于两点，其横坐标分别为，线段的中点的横坐标为, 且恰为函数的零点，求证：..山西大学附中2020学年高二第二学期3月(总第二次)模块诊断数学答案(理)二•填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题纸上)13. 14. (1,1) 15. 16.三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1 3 4 1 3417.解析：设曲线y = 3X + 3与过点P (2,4)的切线相切于点 A (X o , -X 0+ 3),k = y 'I x = x o = x o .1 3 42 o 234 2y -(3x 0 + 3) = x o (x — x o )，即 y = x o • x — 3x 0+-. v 点 F (2,4)在切线上二 4= 2x o - 3x0+3，32322即 X o — 3x o + 4 = 0 ,• • X o + X o — 4x o + 4 = 0,解得 X o = — 1 或 x 2= 2, 切线方程为 4x — y — 4= o 或x — y + 2= o.——1o 分 18.---------- 12 分 19.解:(1), (1)因为在上是增函数，所以在区间上横成立， ............ 2 即在区间上横成立， ............ 4 令，,在上单调增函数. 所以 (6)⑵，因为处取得极值，所以=o ,得出 ............... 7 ,令 .. .........在上为减函数，在上增函数， ............. 9 又 . (11)所以，函数上的值域为 ............. 12 2。

山西省高中联合体2020-2021学年高二下学期3月调研测试-理数试题

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山西省忻州市第二中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学(理)试题

A．
B．
C．
D．
7．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）
A． B．
C． D．
8．有一段演绎推理：“对数函数是减函数；已知是对数函数，
所以是减函数”，结论显然是错误的，这是因为（）
A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误
二、填空题
9．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是______.
山西省忻州市第二中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．曲线在点处的切线方程为（）
A． B． C． D．
2．函数的单调递增区间是（）
A． B． C． D．
7．C
【分析】
首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+…+n2= 时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．
【详解】
当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，
当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．
3．C
【分析】
利用导函数的正负可确定原函数的单调性，由单调性可知当时，函数取极大值，无极小值；代入可求得极大值，进而得到结果.

山西省山西大学附属中学2020学年高二数学3月月考试题理(含解析)

山西大学附属中学2020学年高二 3 月月考（理）数学一、选择题：共12 题1. 若直线的倾斜角为，则A. 等于B. 等于C. 等于D. 不存在【答案】C【解析】【分析】由题意结合倾斜角的定义确定倾斜角即可.【详解】绘制直线如图所示，由直线倾斜角的定义可知等于.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查直线方程的理解，直线倾斜角的定义及其确定等知识，意在考查学生的转化能力和概念掌握程度.2. 函数的导数为（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】函数的导数，故选B.3. 已知空间向量，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件求得实数x 的值，然后确定“”与“”的关系即可【详解】由向量垂直的充分必要条件可得，若，则，解得：，，据此可知：“”是“”的充分不必要条件本题选择A选项.【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：①若，，则②若，，则③若，，则④若，，则•其中真命题的序号为A.①③B. ②③C. ①④D. ②④【答案】D【解析】【分析】由题意结合立体几何的结论逐一考查所给的说法是否正确即可•【详解】逐一考查所给的命题：①如图所示，正方体中，取平面为平面，平面，直线为，满足，，但是不满足，题中所给的命题错误；②由面面垂直的性质定理可知若，，则，题中所给的命题正确；③如图所示，正方体中，取平面为，直线为，直线为，满足，，但是，不满足，题中所给的命题错误；④由面面垂直的性质定理可知若，，则，题中所给的命题正确•综上可得：真命题的序号为②④.本题选择D选项•【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键•5. 若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（）A. 0个B. 至多一个C. 1 个D. 2 个【答案】D试题分析：由题设可得, 即, 又,故点在椭圆内, 所以过点的直线必与椭圆相交于两个点, 故应选D．考点：直线与圆的位置关系及椭圆的几何性质．6. 焦点为且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是解析】【答案】B【解析】【分析】由题意利用待定系数法求解双曲线的方程即可.【详解】设双曲线的方程为：，即，①据此可知：，，，据此可得：，解得：，代入①式可得双曲线方程是.本题选择B选项•【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a, b, c, e及渐近线之间的关系，求出a, b的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出入的值即可.7. 如图, 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点D, 则异面直线与所成的角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平移法首先找到异面直线所成的角,然后结合空间几何体的结构特征求解异面直线与所成的角的余弦值即可.【详解】由三棱柱的性质可知： ,则或其补角为异面直线与所成的角, 不妨设三棱柱的棱长为,则,在中，由余弦定理可得：，据此可得：异面直线与所成的角的余弦值为.本题选择D选项. 【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8. 椭圆+=1的左、右焦点分别为F I,F2,弦AB过点F i,若厶ABF的内切圆周长为n,AB两点的坐标分别为（x i,y i）和（X2, y2）,则|y2-y i|的值为【答案】A【解析】【分析】首先确定内切圆半径，然后利用等面积法求解|y 2-y i| 的值即可.【详解】设内切圆半径为，由题意可得：，则，由椭圆的方程可知：，则的周长为：，设的面积为，利用等面积法可得：，即：，解得：.本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查焦点三角形的处理方法，圆与三角形内切的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9. 已知平面区域，.若命题“”为真命题，则实数m的最大值为A. B. C. D.【答案】B解析】分析】首先求得Z的最小值，然后结合恒成立的条件求得m的取值范围，最后确定m的最大值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数表示点与可行域内点的连线的斜率，数形结合可知，目标函数在点处取得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：.由恒成立的条件可得：，即实数m的最大值为.本题选择B选项•【点睛】(1) 本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2) 解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．10. 一个几何的三视图如图所示，则表面积为A. B. 或C. 或D.【答案】B【解析】如下图，三视图还原，有两种可能，图1 为一个边长为3 正方体切去一个左上角，图2 为一个边长为3 正方体切去一个左上角，一下右下角。

山西省太原市2020学年高二数学3月月考试题(无答案)

高二年级第二学期数学第一次月考试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.）1、下列求导运算正确的是( )． A. 2/31)3(x x x +=+B ．2ln 1)(log /2x x = C ．e x x 3/log 3)3(= D ．x x x x sin 2)cos (/2-= 2．函数y ＝sin2x 的导数为( )A ．Cos2xB ．-cos2xC ．2cos2xD ．-2cos2x3. 函数y=f(x)在区间(a ，b)内可导，且x 0∈(a ，b)，则的值为( ) A.f ′(x 0) B.2f ′(x 0) C.-2f ′(x 0)D.0 4.()dx x x ⎰-+422330等于( ) A ．56 B ．28C ．14 D .5635．函数f(x)＝alnx ＋x 在x ＝1处取得极值，则a 的值为( )A.12 B ．－1C ．0 D ．－126．函数x x x x f 2ln )(-=的图象在点)2,1(-处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝07．函数x x x f ln )(-=的单调递减区间为( )A ．(0,1)B ．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 8．函数)11(3)(3<<--=x x x x f ( )A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，也无最小值D ．无最大值，但有最小值9.已知f(x)的导函数f′(x)图象如下图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的( )10．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数y ＝(1－x )()f x '的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 ( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)11.已知y=f(x)是定义在R 上的函数，且f(1)=1，f ′(x)>1，则f(x)>x 的解集是( )A.(0，1)B.(-1，0)∪(0，1)C.(1，+∞)D.(-∞，-1)∪(1，+∞)12.函数f(x)=x 2+2x+alnx ，若函数f(x)在(0，1)上单调，则实数a 的取值范围是( )A.a ≥0B.a<-4C.a ≥0或a ≤-4D.a>0或a<-4二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13、曲线25+=-x e y 在点(0,3)处的切线方程为________________．14、如图，函数122++-=x x y 与1=y 相交形成一个封闭图形(图中的阴影部分)，则该封闭图形的面积是__________．15．已知函数()x x f x f cos sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛'=π，则⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf =_____ 16．已知函数()f x 的定义域为[]15,-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示.下列关于()f x 的命题：①函数()f x 的极大值点为 0与4；②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点；⑤函数a x f y -=)(零点的个数可能为0、1、2、3、4个.其中正确命题的序号是__________．三、解答题(本大题共4小题，共48分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17、已知函数 = x 3- 12x （1）求函数的极值（2）求在区间［-3，3］上的最值（3）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过点(0,2)，求直线l 的方程及切点坐标.18．已知函数a x x x x f +++-=93)(23.（1）求)(x f 的单调递减区间； ) ( x f（2）若函数)(x f 有且只有一个零点，试求实数a 的取值范围．19．已知函数()()2x f x x e =-和()32g x kx x =--．（1）若函数()g x 在区间()1,2不单调，求实数k 的取值范围；（2）当[)1,x ∈+∞时，不等式()()2f x g x x ≥++恒成立，求实数k 的最大值．。

2020-2021学年山西省高二下学期3月联合考试数学(理)试题答案

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2020山西省高二数学理科月考第一次试卷

（）
A． 3
二、填空题
B． 2 3
C． 4 3
D． 8 3
13．已知正四棱锥的底面边长为 2 ，高为 3 ，则此四棱锥的侧棱与底面所成角的弧度数
为______.
14．如图所示，在圆锥 SO 中， AB，CD 为底面圆的两条直径， AB CD = O ，且
AB ⊥ CD , SO = OB = 2 ， P 为 SB 的中点，则异面直线 SA 与 PD 所成角的正切值为
A．线段 BM 的长度是定值 B．点 M 在某个球面上运动 C．存在某个位置，使 DE⊥A1C
D．存在某个位置，使 MB 面 A1DE 12．如图，已知直三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长为 2 . E ， F 分别是侧面 ACC1A1 和侧面 ABB1A1 上的动点，满足二面角 A − EF − A1 为直二面角.若点 P 在线段 EF 上，且 AP ⊥ EF ，则点 P 的轨迹的面积是
__________.
15．四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上，AB＝2，BC＝CD＝1，∠BCD＝60°，AB⊥ 平面 BCD，则球 O 的表面积为_______． 16．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为 10 公里，母线长为 40 公
里， B 是母线 SA 上一点，且 AB = 10 公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从 A 绕山一周到 B 的观光铁路.这条铁路从 A 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为
4
（1）在棱 PD 上求一点 F ，使 AF // 平面 PEC ；（2）求二面角 D − PE − A 的余弦值.
22．如图，为正六棱柱 ABCDEF − A1B1C1D1E1F1 ，底面边长 AB = a ，高 AA1 = h .

山西省2019-2020学年高二上学期第三次月考数学试题

第一学期月考（三）试题高二数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列语句中是命题的是( )A ．作直线AB B ．x 是整数C ．梯形是四边形D ．今天会下雪吗？2.命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A ．1 B.2 C.3 D.43.“0=θ”是“θsin =0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若命题q p ∧为假，且p ⌝为假，则（） A.p 或q 为假 B.q 为假 C.p 为假 D.不能判断q 的真假5．设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，那么“x ∈M ，或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知双曲线12222=-b y a x (a >b >0)的离心率为26，椭圆12222=+by a x 的离心率为（） A ．23 B.23 C. 26 D.22 7.已知命题1sin ,:≤∈∀x R x p ,则其否定是（）A.1sin ,:00≥∈∃⌝x R x p B.1sin ,:≥∈∀⌝x R x p C.1sin ,:00>∈∃⌝x R x p D.1sin ,:>∈∀⌝x R x p8.已知命题p:△ABC 中,若A>B,则cosA>cosB,则下列命题为真命题的是（）A.p 的逆命题B.p 的否命题C.p 的逆否命题D.p 的否定9.若双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为（） A.112422=-y x B.161022=-y x C.141222=-y x D.110622=-y x 10.方程)10(01≤≤=-+x y x 表示的曲线是（）A.射线B.线段C.直线D.平面区域11.动点P 到点（1，-2）的距离为3，则动点P 的轨迹方程是（）A.()()92122=++-y x B.()()32122=-++y x C.()()92122=-++y x D.()()32122=++-y x12.椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( )A. 4B.12 C ．41 D ．2 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知椭圆的离心率为12，焦点是(－3,0)，(3,0)，则椭圆方程为______________． 14．已知21F F ，是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若2ABF ∆是正三角形，则这个椭圆的离心率是________．15．设F1、F2是双曲线_1422=-y x 的两个焦点,是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于___.16.命题020021,:x x R x p <+∈∃的否定p ⌝为__________命题. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. (10分)将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)正方形是矩形又是菱形；(2)同弧所对的圆周角不相等；(3)方程x 2－x ＋1＝0有两个实根． 18.(12分)设P 为曲线1422=-y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，求点M 的轨迹方程。

2019-2020学年山西省芮城市高二3月月考数学理 Word版

2019-2020学年山西省芮城市高二3月月考理科数学注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)一、单选题（每小题5分，共60分)1．已知复数21i zi+ =-（i是虚数单位），则z（z是z的共轭复数）的虚部为（）A．12B．12-C．32D．32-2．设()f x是可导函数,且满足()()11lim22xf f xx∆→-+∆=∆,则曲线()y f x=在点()()1,1f处的切线斜率为( )A．4 B．-1 C．1 D．-43．如图是函数()y f x=的导函数()'y f x=的图象,则下列说法正确的是( )A．x a=是函数()y f x=的极小值点B．当x a=-或x b=时,函数()f x的值为0C．函数()y f x=关于点()0,c对称D．函数()y f x=在(),b+∞上是增函数4．若数列{}n a是等差数列，12...nna a abn+++=，则数列{}nb也为等差数列，类比这一性质可知，若{}n c是正项等比数列，且{}n d也是等比数列，则n d的表达式应为（）A ．12...nn c c c d n+++=B ．12....nn c c c d n=C ．n d =D ．n d =5．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（） A ．y x =-B ．2y x =-+C ．y x =D ．2y x =-6．观察下列各式：553125=，6515625=，7578125=，…，则20195的末四位数字为（） A ．3125B ．5625C ．0625D ．81257．已知复数(,)z x yi x y R =+∈，且|2|z -=，则1y x+的最大值为（）ABC ．2D ．28．用反证法证明命题：“,,,,1,1a b c d R a b c d ∈+=+=，且1ac bd +>，则a b c d ,,,中至少有一个负数”时的假设为（） A ．a b c d ,,,至少有一个正数 B ．a b c d ,,,全为正数 C ．a b c d ,,,全都大于等于0 D ．a b c d ,,,中至多有一个负数9．若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－2,0] B ．[0,2]C ．[－2,2]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)10．函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（） A ．()1,1-B ．()1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(),-∞+∞11．若函数21()ln 2f x x x bx =+-存在单调递减区间,则实数b 的取值范围为( ) A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞12．已知()()221sin 1x x f x x ++=+,()f x '是()f x 的导函数，则()()20192019f f '++()()20192019f f '---=（）A ．8056B ．4028C ．1D ．2第II 卷（非选择题)二、填空题（每小题5分，共20分)13．已知函数y ＝()f x 的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是122y x =＋，则()()1'1f f ＋＝________.14．若z =则z =___________ 15．集合{,,}{1,2,3}a b c =，现有甲、乙、丙三人分别对a ，b ，c 的值给出了预测，甲说3a ≠，乙说3b =，丙说1c ≠.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么10100a b c ++=__________.16．已知定义在R 上的可导函数f (x)的导函数为()'fx ，满足()'f x ＜f (x)，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x)＜e x 的解集为________．三、解答题（第17题10分，18-22题每题12分)17．已知：复数1z 与2z 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且12(1)(1)z i z i -=+（i 为虚数单位），|1z．（I ）求1z 的值；（II ）若1z 的虚部大于零，且11mz n i z +=+（m ，n ∈R ），求m ，n 的值． 18．选择恰当的方法证明下列各式：（1)n N *>∈；理科数学月考答案第I 卷（选择题)一、单选题（每小题5分，共60分)1--5． DDDDA 6--10．DCCCB 11--12．BD第II 卷（非选择题)二、填空题（每小题5分，共20分)13． 3 14． 8 15． 213 16． (0,)+∞ 三、解答题（第17题10分，18-22题每题12分) 17．（I ）11z i =-或11z i =-+（II ）4,1m n =-= 【详解】（I ）设1z x yi =+（x ，y ∈R ），则2z =－x+yi ，∵z 1（1－i ）=2z （1+i ），|1z|=，∴22()(1)()(1)2x yi i x yi i x y +-=-++⎧⎨+=⎩， ∴11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即11z i =-或11z i =-+（II ）∵1z 的虚部大于零，∴11z i =-+，∴11z i =--，则有(1)1mi n i i +--=+-+，∴12112mn m ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，∴41m n =-⎧⎨=⎩． 18．（1)n N *>∈即证)*n N >∈，即证()4122221n n n n +>++⇒+>⇔+>22212n n n n ⇔++>+恒成立，得证；（2≥2+≥，因为0a >，0b >，由基本不等式可得2a b a b +≥，2b a b a+≥，当且仅当a b =时，上述两个不等式取等号，由不等式的基本性质可得()2a b b a a b b a ⎛⎫⎛⎫+++≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a ba b b a+≥+成立. 19．（1）321()22f x x x x =--（2）()max (2)2,()min (2)6f x f f x f ===-- 【详解】（Ⅰ）f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ，f¢（x ）＝3x 2＋2ax ＋b ………………1分由f¢（23－）＝124a b 093－＋＝，f¢（1）＝3＋2a ＋b ＝0 ………………3分得a ＝12－，b ＝－2 …………………………………5分经检验，a ＝12－，b ＝－2符合题意………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得f¢（x ）＝3x 2－x －2＝（3x ＋2）（x －1）， ………………7分列表如下： x（－2，－23）－23（－23，1） 1 （1，2） f¢（x ）＋－ 0 ＋ f （x ） -极大值¯极小值-…………9分…………11分[]2222,2()max (),()min (2)6327x f x f f x f ∈-=-==-=-所以在上，………12分20．（1）单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）1,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x ，()212a f x x x =-+'，又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行所以()1122f a =-+='，即1a =()1ln 2f x x x x ∴=++，()()()()21210x x f x x x +-=>' 由()0f x '<且0x >，得102x <<，即()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫⎪⎝⎭由()0f x '>得12x >，即()f x 的单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）由（1）知不等式()2m f x x x ≥+恒成立可化为1ln 22mx x x x x++≥+恒成立即ln 1m x x ≤⋅+恒成立令()()ln 1?ln 1g x x x g x x '=⋅+=+ 当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 所以1x e=时，函数()g x 有最小值由ln 1m x x ≤⋅+恒成立得11m e ≤-，即实数m 的取值范围是1,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 21．（1）3,11,10a b c ===；（2）见解析【详解】(1):假设存在符合题意的常数a ，b ，c ，在等式1•22+2•32+…+n （n+1）2=（an2+bn+c）中，令n=1，得4=（a+b+c）①令n=2，得22=（4a+2b+c）②令n=3，得70=9a+3b+c③由①②③解得a=3，b=11，c=10，于是，对于n=1，2，3都有1•22+2•32+…+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．(2)下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），那么当n=k+1时，1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2=（3k2+5k+12k+24）=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．22．（1）见解析（2）a∈（15+e，-234e）．【详解】（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．由f（x）=-a2lnx+x2-ax（a∈R）可知f'（x）=()() 222222x a x aa x ax ax ax x x+----+-==，所以若a>0，则当x∈（0，a）时，f'（x）<0，函数f（x）单调递减，当x ∈（a ，+∞）时，f'（x ）>0，则函数f （x ）单调递增；若a=0，则当f'（x ）=2x>0在（0，+∞）内恒成立，函数f （x ）单调递增；若a<0，则当x ∈（0，-2a）时，f'（x ）<0，函数f （x ）单调递减，当x ∈（-2a，+∞）时，f'（x ）>0，则函数f （x ）单调递增．（2）若a>0，f （x ）在（0，a ）单调递减，在（a ，+∞）单调递增．若a<0，f （x ）在（0，-2a ）单调递减，在（-2a，+∞）单调递增．由题意，若f （x ）在区间（1，e ）中有两个零点，则有()()()1,0,10,0a e f a f f e <<⎧⎪<⎪⎨>⎪⎪>⎩或()()1,20,210,0,a e a f f f e ⎧<-<⎪⎪⎛⎫⎪-< ⎪⎨⎝⎭⎪>⎪⎪>⎩ 得a 无解或a ∈（e ，-234e ）.综上，a ∈（e ，-234e ）．。

山西省吕梁市东会中学2020年高二数学理月考试卷含解析

山西省吕梁市东会中学2020年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数若实数满足，则（）A． B． C．D．参考答案：D略2. 已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（）A B CD参考答案：B3. 下列函数中，奇函数是（）A．y=x2 B．y=2x C．y=log2x D．y=2x参考答案：B【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可．【解答】解：对于A是偶函数，对于B是奇函数，对于C、D是非奇非偶函数，故选：B．4. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（）A． B． C． D．参考答案：B略5. P为正六边形ABCDEF外一点，O为ABCDEF的中心则→PA+→PB +→PC +→PD +→PE +→PF等于（）A.→POB.3→POC.6→POD.→0参考答案：C略6. 下列式子或表格①②，其中,③④⑤其中表示是的函数的是( )A.①②③④⑤B.②③⑤C.③④D.④⑤参考答案：D略7. 已知, 则导数（▲）A．B．C．D．0参考答案：D略8. 已知与之间的几组数据如下表:则与的线性回归方程必过（） A． B． C． D．参考答案：C9. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点,的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则( )A．B．C．D．参考答案：C10. 右图程序流程图描述的算法的运行结果是A．-l B．-2C．-5 D．5参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则= ___________．参考答案：略12. 函数的导数为_________________参考答案：略13. 已知命题：所有有理数都是实数，命题：正数的对数都是正数，在以下四个命题中：①②③④，所有真命题的序号是 .参考答案：④14. 已知p：|4－|≤6 ,q：(m>0)，若是的充分而不必要条件，则实数m的取值范围是________．参考答案：［9，+∞略15. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．参考答案：16. 已知x＞0，y＞0， +=2，则2x+y的最小值为．参考答案：4【考点】基本不等式．【分析】由题意可得2x+y=（+）（2x+y）=（4+++），运用基本不等式即可得到最小值．【解答】解：∵x＞0，y＞0， +=2，∴2x+y=（+）（2x+y）=（4+++）≥（4+2）=4，当且仅当y=2x=2时取等号．故答案为：4．17. 要对如图所示的四个部分进行着色，要求相邻的两块不能用同一种颜色，现有五种不同的颜色可供选择，则共有种不同的着色方法.（用数字作答）180三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高二上学期第三次月考理科数学试题 Word版含答案

知识决定格局，格局影响命运绝密★启用前怀仁市大地学校2020-2021学年度上学期第三次月考高二理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4. 考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. a＞0，b＞0且111a b+=，则4a b+=的最小值是A. 2B. 6C. 3D. 92. 给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②存在每个面都是直角三角形的四面体；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 33. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为A. 25B. 26C. 42D. 434. 如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OA B C'''，且直观图OA B C'''的面积为2，则该平面图形的面积为A. 2B. 42C. 4D. 225. 如图是一个空间几何体的三视图，则这个几何体侧面展开图的面积是A. 2πB. πC.2πD.4π6. 已知,m n是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是A. 若//,//,m nαα则//m n B. 若,,αγβγ⊥⊥则//αβC. 若//,//,m mαβ则//αβ D. 若,,m nαα⊥⊥则//m n7. 若直线1:260l ax y++=与直线()22:(1)10l x a y a+-+-=平行，则a的值为A. 2a=-或1a= B. 2a= C. 2a=或1a=- D. 1a=-8. 已知点(2,3)A，(3,2)B--与直线:10l kx y k--+=，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为A. 2k≥或34k≤ B.34k≥或14k≤-C.344k-≤≤ D.324k≤≤9. 在平面直角坐标系xOy中，直线240x y+-=与两坐标轴分别交于点A、B，圆C经过A、B，且圆心在y轴上，则圆C的方程为A. 226160x y y++-= B. 226160x y y+--=C. 22890x y y++-= D. 22890x y y+--=10. “2x<”是“()lg10x-<”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 已知命题p：Rα∃∈，5sin cos4αα+=，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是知识决定格局，格局影响命运A. ()p q ⌝∨B. p q ∧C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()()p q ⌝∨⌝12. 关于曲线2211:1C x y+=，有如下结论：①曲线C 关于原点对称；②曲线C 关于直线0x y ±=对称；③曲线C 是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π； ④曲线C 不是封闭图形，且它与圆222x y +=无公共点；⑤曲线C 与曲线:||||22D x y +=有4个交点，这4点构成正方形；其中所有正确结论的序号为A. ①②③⑤B. ①②④⑤C. ①②③④D. ①②③④⑤第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是__________. 14. 若命题“x R ∃∈，使得2x ax a ++＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是__________.15. 若直线l 被直线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=截得的线段长为22，则直线l 的倾斜角()090θθ︒≤<︒的值为__________.16. 已知1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，且离心率23e =，点P 是椭圆上位于第二象限内的一点，若12PF F △是腰长为4的等腰三角形，则12PF F △的面积为__________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）命题p ：x R ∀∈，2240x ax ++>，命题q ：[]01,1x ∃∈-，使得210x a +->成立. （1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p ，q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围. 18. （本小题满分12分）已知圆C ：()()221316x y -+-=，直线l ：()()234220m x m y m ++++-=.（1）无论m 取任何实数，直线l 必经过一个定点，求出这个定点的坐标；（2）当m 取任意实数时，直线l 和圆的位置关系有无不变性，试说明理由；（3）请判断直线l 被圆C 截得的弦何时最短，并求截得的弦最短时m 的值以及弦的长度a ． 19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//,90B AB C AD D ︒∠=，点E 为PB 的中点，且224CD AD AB ===，点F 在CD 上，且13DF FC =.（1）求证:EF //平面PAD（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =且PA PD ⊥，求三棱锥P CEF - 的体积20. （本小题满分12分）已知直线60x y +-=与直线20x y --=将圆C 分成面积相等的四部分，且圆C 与y 轴相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）直线l 过点(2,0)P -，且与圆C 交于A ，B 两点，是否存在直线l ，使得12PA AB =，若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）如图，ABCD 是边长为a 的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，33DE AF ==. （1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3∶11？若存在，求出G 的位置；若不存在，说明理由. 22. （本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且经过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()1,0作直线l 与椭圆相较于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.知识决定格局，格局影响命运理科数学参考答案 1．D 2．C 3．C 4．B 5．B 6．D 7．D8．A9．A10．B11．D12．B13．()1,4,1--14．0a <或4a > 15．15︒或75︒1617．（1）()2,2-；（2）{21a a -<≤-或}2a ≥.18．（1）证明见解析；直线l 恒过()2,2-；（2）答案见解析；（3）当直线l 垂直PC 时，截得的弦最短，9m =-，a =19．（1）详见解析；（2）1220．（1）22(4)(2)16x y -+-=；（2）存在，20x y -+=或720x y ++=．. 21．（1）证明过程见详解；（2）存在点G 且1EG =满足条件.22．（1）22143x y +=；（2）存在(4,0)Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称.。

山西省实验中学2020-2021学年高二上学期第三次月考数学(理)试题

山西省实验中学2020-2021学年度第一学期第三次月考试题（理）高二数学总分100分时间90分钟一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线2228x y -=的实轴长是A. 2B.C. 4C试题分析：双曲线方程变形为22148x y -=，所以28b b =∴=2b =考点：双曲线方程及性质2. 抛物线24y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上且其横坐标为4，则AF =（）A. B. 5 C. 4 D. 3B本题首先可以根据抛物线方程确定焦点F ，然后根据横坐标为4确定点A 坐标，最后根据两点间距离公式即可得出结果.因为抛物线方程为24y x =，所以焦点()1,0F ，因为点A 在抛物线上且其横坐标为4，所以244y ，解得4y =或4-，点A 坐标为()4,4或()4,4-，取()4,4A ，则5AF ==；取()4,4A -，则5AF ==，故选：B.3. “35m -<<”是“方程22153x y m m +=-+表示椭圆”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件B先根据椭圆知识求出方程22153x y m m +=-+表示椭圆的充要条件，再根据必要不充分条件的概念可得结果.因为方程22153x ym m +=-+表示椭圆的充要条件是503053m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，即35m -<<且1m ≠，故“35m -<<”是“方程22153x y m m +=-+表示椭圆”的必要而不充分条件.故选：B.本题考查了椭圆的标准方程，考查了必要不充分条件，属于基础题.4. 若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（）A. 离心率相等B. 虚半轴长相等C. 实半轴长相等D. 焦距相等D09k <<，则90k ->，250k ->，双曲线221259x y k-=-的实半轴长为5，，焦距为=离双曲线221259x y k -=-，虚半轴长为3，焦距为=，因此，两双曲线的焦距相等，故选D.5. 已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（）A. (B. (C. (D. ( A由题知12(3,0),(3,0)F F -，220012x y -=，所以12MF MF ⋅=0000(3,)(3,)x y x y ---⋅--=2220003310x y y +-=-<，解得03333y -<<，故选A .考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.6. 若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是（） A. 2 B.C.D. 3A由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，可将问题转化为抛物线焦点F (1，0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离求解.由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离，点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和，等于点P 到焦点的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1，0)到直线3x ＋4y ＋7＝02237234+=+故选：Ａ本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及点到直线距离公式，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.7. 设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 5A准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．8. 斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为（）A. 2B.55C.105D.8105C设直线l 的方程为y x t =+，联立方程，结合韦达定理和弦长公式，求得24255AB t =-，即可求得弦长的最大值，得到答案.设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，直线l 的方程为y x t =+，由2244y x t x y =+⎧⎨+=⎩，整理得22584(1)0x tx t ++-=，则2121284(1),55t t x x x x -+=-=，所以12AB x =-=25t ==-，当0t =时，max 5AB =.故选：C. 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中联立方程组，结合根与系数的关系，以及弦长公式，准确运算解答的关键，着重考查推理与运算能力.9. 若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上点的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为A. 2B. 3C. 6D. 8C由椭圆方程得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则OP FP ⋅＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝20x ＋x 0＋20y ∵P 为椭圆上一点，∴204x ＋203y ＝1.∴OP FP ⋅＝20x ＋x 0＋320(1)4x -＝204x ＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2.∴OP FP ⋅的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.10. 设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为 F ，点M 在 C 上，5MF =，若以 MF 为直径的圆过点（0,2），则C 的方程为（） A. 24y x =或 28y x = B. 22y x =或 28y x =C. 24y x =或 216y x =D. 22y x =或 216y x = C∵抛物线C 方程为22(0)y px p =>,∴焦点(,0)2pF ，设(,)M x y ,由抛物线性质52pMF x =+=,可得52p x =-，因为圆心是MF 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为52，由已知圆半径也为52,据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4，即(5,4)2pM -,代入抛物线方程得210160p p -+=，所以p=2或p=8. 所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =. 故答案C.本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF ,以MF 为直径的圆交抛物线于点(0,2)，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出p 的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键.11. 已知椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为45的直线与椭圆交于,A B两点，且112F B AF =，则椭圆的离心率=（）D利用直线过椭圆的焦点坐标，可得直线方程，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和112F B AF =的条件，建立a b c 、、的关系式，进而求椭圆的离心率即可．椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12F F 、，过10F c -（，）且斜率为1k =的直线为y x c =+ 联立直线与椭圆方程22221x y a b y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消x 后，化简可得2222222220a b y cb y c b a b +++-=（）因为直线交椭圆于A ，B ，设1122Ax y B x y （，），（，）由韦达定理可得22222121222222y y ,y y cb c b a b a b a b-+=-=++ 且112F B AF =，可得212y y =-，代入韦达定理表达式可得2222221122222,2cb c b a b y y a b a b --=--=++ 即222222222222cb c b a b a b a b ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭化简可得229c 2a =所以c e a ==故选：D ．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题．12. 抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线E 上的两个动点，且满足23AFB π∠=．过弦AB 的中点M 作抛物线E 准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB 的最大值为( )A【分析】设|AF |＝a ，|BF |＝b ，连接AF 、BF ．由抛物线定义得2|MN |＝a +b ，由余弦定理可得|AB |2＝（a +b ）2﹣ab ，进而根据基本不等式，求得|AB |的取值范围，从而得到本题答案．设|AF |＝a ，|BF |＝b ，连接AF 、BF由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP | 在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ．由余弦定理得，|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos120°＝a 2+b 2+ab 配方得，|AB |2＝（a +b ）2﹣ab ，又∵ab ≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭∴（a +b ）2﹣ab ≥（a +b ）214-（a +b ）234=（a +b ）2得到|AB |32≥（a +b ）．所以()()1323a b MN AB a b +≤=+，即MN AB 的最大值为33．故选A ．本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求MN AB的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆方程为_____．221106y x += 设椭圆方程为221mx ny +=（0m >,0n >,且m n ≠）,将两点坐标代入椭圆方程，求出,m n 即可.设椭圆方程为221mx ny +=（0m >,0n >,且m n ≠）.椭圆经过两点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则925144351m n m n ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得16110m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 所以所求椭圆方程为221106y x +=.故答案为：221106y x +=14. 设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF -的最小值为________．5-()23,0F ，122210,5PF PF a MF +====，()12221010105105PM PF PM PF PM PF MF ∴-=--=+-≥-=-=-，当且仅当三点2,,M F P 共线时取等号，故答案为5-.15. 已知椭圆22:1(0)2x y E m m m+=>的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若AB的中点坐标为(1,1)-，则椭圆E 的方程为__．221189x y +=由题意可知，点F ，0)，所以直线AB的斜率为k =，设A ，B 两点的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，利用点差法可得，1212121212()2y y x x k x x y y -+=-==-+，从而求得m 的值，再代入椭圆E 的方程中即可得解．由题意可知，点F 0)，所以直线AB的斜率为k = 设A ，B 两点的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，则221122221212x y mm x y m m⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，整理得，121212121212()2(1)22y y x x x x y y -+⨯=-=-=-+⨯-⨯，所以12k ==，解得9m =， ∴椭圆E 的方程为221189x y +=．故答案为：221189x y +=．【点评】本题考查求椭圆的方程，合理运用点差法是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e的取值范围为，直线1y x =-+交椭圆于点M ，N ，O 为坐标原点且OM ON ⊥，则椭圆长轴长的取值范围是______．设(),M x y ，()22,N x y ，联立222211y x x y a b =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩和韦达定理求出22221a b a =-，再根据e ∈，求出椭圆长轴长的取值范围.联立222211y x x y ab =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()222222220a b x a x a a b +-+-=设(),M x y ，()22,N x y ，则212222a x x a b +=+，2221222a ab x x a b -=+由OM ON ⊥，则()()()12121212121211210OM ON x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++=即22222222210a a b a a b a b--+=++，化简得22221a b a =-，c e a ==，222222212111121a b a e a a a -∴=-=-=--,3e ⎢⎣∈，211,32e ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，即221111121,,21322123a a ⎡⎤⎡⎤-∈⇒∈⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦2235321,2,242a a ⎡⎤⎡⎤⇒-∈⇒∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得：22a ∈⎣⎦，2a ∴∈所以椭圆长轴长的取值范围是故答案为：思路点睛：本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的简单几何性质，解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知直线l ：2y x m =+，椭圆C ：22142x y +=.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．（1）m -<<2）m =±3）m <-m >先联立直线l 与椭圆C 的方程得到2298240x mx m ++-=,将公共点的个数转化为方程解的个数问题,利用∆与0的关系进行处理即可将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立,得方程组222142y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,整理得2298240x mx m ++-=①,()()222849248144m m m ∆=-⨯⨯-=-+,（1）当0∆>,即3232m -<<时,方程①有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实解,这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点；（2）当0∆=,即32m =±时,方程①有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点,即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点； (3)当∆<0,即32m <-或32m >时,方程①没有实数根,可知原方程组没有实数解,这时直线l 与椭圆C 没有公共点本题考查已知直线与椭圆的位置关系求参数问题,考查转化思想18. 如图，已知1F 、2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且1230PF F ∠=．求：（1）双曲线的离心率：（2）双曲线的渐近线方程．（13；（2）2y x =.（1）由题意知在21Rt PF F 中，1211243cos 3F F c PF PF F ∠==，2112323cPF PF ==，结合双曲线定义知122PF PF a =－232a =，进而得到离心率；（2）对于双曲线的性质，2221b c a c a a a -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，代入离心率即可求得结果．（1）2190PF F ∠=︒，1230PF F ∠=︒，在21Rt PF F 中，12112243cos cos303F F c c PF PF F ∠===，2112323cPF PF ==，由双曲线定义知122PF PF a =－，即2323c a =，3c a =，所以双曲线的离心率3e =．（2）对于双曲线，有222c a b =+，22b c a ∴=-．2221312b c a c a a a -⎛⎫∴==-=-= ⎪⎝⎭．所以双曲线的渐近线方程为2y x =±．关键点点睛：本题考查双曲线的定义及简单几何性质，求双曲线渐近线方程的思路与方法，恰当利用几何条件时解题的关键，属于一般题. 19.已知椭圆22:14x G y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点.（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值. （Ⅰ）焦点坐标为(3,0),(3,0).-，离心率为32c e a ==（Ⅱ）. |AB|的最大值为2 试题分析：（1）先由椭圆的标准方程求出值，再利用求出值，进而写出焦点坐标和离心率；（2）先讨论两种特殊情况（点在圆上，即斜率不存在的情况），再设出切线的点斜式方程，利用直线与圆相切得到与的关系，再联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系和弦长公式得到关于的关系式，再利用基本不等式进行求解．试题解析：（1）由已知得：2,1a b ==，所以223c a b =-=．所以椭圆G的焦点坐标为(0)，．离心率为c e a ==（2）由题意知：1m ≥．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点A ，B的坐标分别为，(1,，此时AB =．当1m =-时，同理可得AB =．当1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-．由22(){14y k x m x y =-+=，得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=．设A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则2122814k m x x k +=+，22122414k m x x k =+．又由l 与圆221x y +=1=，即2221m k k =+．所以AB ===，由于当1m =±时，AB =，所以AB =，(,1][1,)m ∈-∞-⋃+∞．因为23AB m m==≤+，且当m =2AB =，所以AB最大值为2．考点：1．椭圆的标准方程和几何性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．直线与圆的位置关系．【易错点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系，属于难题；在处理直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系时，往往第一步设直线方程时容易忽视“直线的斜率不存在”这一特殊情况，导致结果错误不得分或步骤不全而失分，如本题（2）中，当斜率不存在时的直线，即切线l 的方程为1x =的情况．20. 如图，椭圆C ：()221212x y m m m +=>+-的离心率32e =，椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，又P ，M ，N 为椭圆C 上非顶点的三点.设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .（1）求椭圆C 的方程，并求12k k ⋅的值；（2）若//AP ON ，//BP OM ，判断OMN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.（1）椭圆C 的方程为2214x y +=，1214k k ⋅=-；（2）为定值，且定值为1.（1）结合已知条件，利用2222,,cc a b e b a c a=-==-求得,,c a b 的值，由此求得椭圆C 的方程.设出P 点坐标，结合P 在椭圆上，化简求得12k k ⋅的值.（2）设直线MN 的方程为()0y kx t k =+≠，联立直线MN 的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，由14AP BP k k ⋅=-求得,k t 的关系式，利用弦长公式求得MN ，求得O 到直线MN 的距离d ，由此求得OMN 的面积为定值1. （1）由题意得()()123c m m =+--=32c e a ==，所以2a =，221b a c -=，即椭圆C ：2214x y +=.设()00,P x y ，则222200001144x x y y ==-+⇒，又()2,0A -，()2,0B ，则()()20201220001142244x y k k x x x -⋅===--+-. （2）设直线MN 的方程为()0y kx t k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，22,1,4y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222418440k x ktx t ⇒+++-=， 122841kt x x k +=-+，21224441t x x k -=+，()()12121212121211404044AP BP y y k k y y x x kx t kx t x x x x ⋅=-⇒⋅=-⇒+=⇒+++=，()()22121241440k x x kt x x t ++++=，()22222448414404141t ktk kt t k k -+⋅-⋅+=++即()()()2222224144324410k t k t t k +--++=，即2281640t k --=22241t k ⇒-= 22241t k ⇒=+，MN ==========O 到直线MN 的距离d =所以112OMNS=⋅==.∴OMN 的面积为定值1.本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形的面积问题，考查运算求解能力，属于难题.。

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高二年级月考（三）理科数学试题
一、选择题
1．若()22cos
sin 22x x f x =-，则()f x '=（） A ．sin x -
B ．sin x
C ．cos x -
D ．cos x 2．曲线2
x y x =+在点()1,1--处的切线方程为（） A ．21y x =+
B ．21y x =-
C ．23y x =-
D ．22y x =+ 3．定积分
()102x x x e d +⎰的值为（） A ．2e +
B ．1e +
C ．e
D ．1e - 4．函数313y x x =+-有（）
A ．极小值2-，极大值2
B ．极小值，极大值3
C ．极小值1-，极大值1
D ．极小值1-，极大值3
5．已知A 、B 两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶.A 车、B 车的速度曲线分别为A v 与B v （如图所示），那么对于图中给定的0t 和1t ，下列判断中一定正确的是（）
A ．在1t 时刻，A 车在
B 车前面
B ．1t 时刻后，A 车在B 车后面
C ．在0t 时刻，两车的位置相同
D ．0t 时刻后，B 车在A 车前面 6．函数21ln 2y x x =
-的单调递减区间为（） A ．(]1,1- B ．(]0,1
C ．[)1,+∞
D ．()0,+∞ 7．已知函数()3f x x ax =-+在区间[]1,1-上是增函数，则实数a 的取值范围是（）
A ．()3,+∞
B ．(),3-∞
C ．[)3,+∞
D ．(],3-∞ 8．函数22x y x e =-在[]2,2-的图像大致为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．由曲线y =
，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（） A ．103 B ．4 C ．163 D ．6
10．曲线ln 2y x =上的点到直线y x =距离的最小值为（）
A ．1ln 2
2-
B C ．1ln2-
D ．ln 2 11．若函数()322f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则a 、b 的值为（）
A ．4,11a b =-=
B ．3,3a b ==-
C ．4,11a b =-=或3,3a b ==-
D ．以上都不正确 12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()20f =，当0x >时，有()()2
0xf x f x x '-<恒成立，则不等式()20x f x >的解集是（）
A ．()()2,02,-+∞U
B ．()()2,00,2-U
C ．()(),22,-∞-+∞U
D ．()(),20,2-∞-U
二、填空题
13．若函数()21
x a f x x +=+在1x =处取极值，则a =______. 14．函数()ln f x x x =的最小值为______.
15．1
0x d =⎰______. 16．已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围为______.
三、解答题
17．已知函数()32f x x ax bx c =+++在23
x =-与1x =时都取得极值. （Ⅰ）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若对[]1,2x ∈-，不等式()2
f x c <恒成立，求c 的取值范围. 18．（Ⅰ）已知函数()ln f x x ax =-在区间[)1,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围.
（Ⅱ）已知函数()()211ln 2
g x x ax a x =
-+-，()1a >，讨论函数()g x 的单调性. 19．设函数()32962f x x x x a =-+-. （Ⅰ）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；
（Ⅱ）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围.
20．设函数()()
21x f x x e ax =--. （Ⅰ）若12
a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.。