雅礼中学高一年级数学必修2模块结业考试
2024届湖南省长沙市雅礼教育集团数学高一下期末经典试题含解析
2024届湖南省长沙市雅礼教育集团数学高一下期末经典试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．方程tan 2x =的解集为（ ） A ．{}|2πarctan 2,x x k k =+∈Z B ．{}|2πarctan 2,x x k k =±∈Z C ．{}|πarctan 2,x x k k =+∈Z D ．(){}|π1arctan 2,kx x k k =+-∈Z2．若(3,1),(1,),2a b t a b a =-=+⊥（），则t =（） A ．32B ．23C ．14D ．133．设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A ．0PA PB += B ．0PC PA +=C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++= 4．已知集合A ＝｛x ｜0≤x≤3｝，B ＝｛x R ｜－2＜x ＜2｝则A ∩B =( ) A ．{0,1}B ．{1}C ．[0,1]D ．[0,2)5．在ABC ∆中，三个内角成等差数列是60B ∠=︒的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件6．已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为 A ．5B ．4C ．2D ．17．从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．238．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若::4:3:2a b c =，则2sin sin sin 2A BC-=（ ）A ．37B ．57C ．97D ．1079．半径为1cm ，中心角为150的弧长为（ ） A ．23cm B ．23cm π C ．56cmD ．56cm π 10．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年长沙市雅礼教育集团高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．42．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4＝0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（）A．2B．﹣2C．2，﹣2D．2，0，﹣23．在△ABC中，a＝1，c＝2，∠B＝120°，则b边长为（）A．3B．4C．5D．4．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 3655．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．26．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°10．数列{a n}中，a1＝2，且a n+a n﹣1＝+2（n≥2），则数列{}前2019项和为（）A．B．C．D．11．如图，四面体A﹣BCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．πB．3πC．πD．2π12．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前100项和为（）A．3690B．5050C．1845D．1830二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上. 13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与A1D所成角的大小为．14．设，为单位向量，且，则＝．15．若数列{a n}的前n项和为S n＝a n+，则数列{a n}的通项公式是a n＝．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列命题：①直线BD1⊥平面A1C1D；②三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；③异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]；④直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．其中所有真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E 为线段PC上一点．[Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．18．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD ＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．21．已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆E：x2+y2＝4上运动．（1）求过点C且被圆E截得的弦长为的直线方程；（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．22．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n＝3n+5，且a1＝1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1＝3λ＜0，b n＝λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4【分析】设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，由此解得d的值．解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5＝10，a4＝7，可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，解得d＝2，故选：B．2．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4＝0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（）A．2B．﹣2C．2，﹣2D．2，0，﹣2【分析】根据两直线垂直的充要条件：A1A2+B1B2＝0解：因为两直线垂直，所以：（2a+5）（2﹣a）+（a﹣2）（a+3）＝0，化简得：a2﹣4＝0，解得：a＝2或a＝﹣2故选：C．3．在△ABC中，a＝1，c＝2，∠B＝120°，则b边长为（）A．3B．4C．5D．【分析】根据题意和余弦定理直接求出b即可．解：由题意得，a＝1，c＝2，B＝120°，在△ABC中，由余弦定理得：b2＝c2+a2﹣2ca cos B＝1+4﹣2×1×2×（﹣）＝7，可得：b＝，故选：D．4．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 365【分析】设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意列出方程组，由此能求出结果．解：设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意得，解得b＝125，a＝20%，m＝369．故选：A．5．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．2【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个腰长是2的等腰直角三角形，求出底面的面积，垂直于底面的侧棱长是2，做出体积．解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，右图为该三棱锥的直观图，三棱锥的底面是一个腰长是2的等腰直角三角形，∴底面的面积是＝2垂直于底面的侧棱长是2，即高为2，∴三棱锥的体积是故选：C．6．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】利用已知条件求出||，然后利用向量的数量积求解即可．解：向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，可得||＝＝＝7，cos＜，+＞＝＝＝＝．故选：D．7．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB＝O，所以l⊥γ．所以正确．D、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确；故选：A．8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．【分析】由已知设圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，（2，1）代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a，a），则半径为a，a＞0．故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，再把点（2，1）代入，求得a＝5或1，故要求的圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）；故圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离d＝＝或d＝＝；故选：B．9．在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°【分析】根据正弦定理的式子，将题中数据代入求出sin A＝，结合三角形内角的取值范围即可算出A的值．解：∵在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，∴由正弦定理，得化简得sin A＝•sin30°＝∵a＝＞b＝1∴A＞B，可得A＝60°或120°故选：D．10．数列{a n}中，a1＝2，且a n+a n﹣1＝+2（n≥2），则数列{}前2019项和为（）A．B．C．D．【分析】由a n+a n﹣1＝+2（n≥2），可得﹣﹣2（a n﹣a n﹣1）＝n，化为：﹣＝n，利用“累加求和”方法可得，利用裂项求和即可得出．解：∵a n+a n﹣1＝+2（n≥2），∴﹣﹣2（a n﹣a n﹣1）＝n，化为：﹣＝n，∴﹣＝n+（n﹣1）+ (2)∴＝，可得：＝＝2（）．则数列{}前2019项和＝2＝2＝．故选：B．11．如图，四面体A﹣BCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．πB．3πC．πD．2π【分析】由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的体积．解：由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△ABC都是直角三角形，所以BC的中点就是球心，所以BC＝，球的半径为：所以球的体积为：×＝π．故选：A．12．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前100项和为（）A．3690B．5050C．1845D．1830【分析】n＝2k（k∈N*）时，a2k+1+a2k＝4k﹣1，n＝2k﹣1时，a2k﹣a2k﹣1＝4k﹣3，可得a2k+2﹣a2k+1＝4k+1，可得a2k+1+a2k﹣1＝2，a2k+2+a2k＝8k，利用分组求和即可得出．解：n＝2k（k∈N*）时，a2k+1+a2k＝4k﹣1，n＝2k﹣1时，a2k﹣a2k﹣1＝4k﹣3，可得a2k+2﹣a2k+1＝4k+1，∴a2k+1+a2k﹣1＝2，a2k+2+a2k＝8k，∴{a n}的前100项和＝（a1+a3）+…+（a97+a99）+（a2+a4）+…+（a98+a100）＝2×25+8（1+3+ (49)＝50+＝5050．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上. 13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与A1D所成角的大小为60°．【分析】由直线AD1∥B1C，得∠ACB1是直线AB1与A1D，由AB1＝CB1＝AC，求出直线AB1与A1D所成角的大小．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵直线AD1∥B1C，∴∠ACB1是直线AB1与A1D，∵AB1＝CB1＝AC，∴∠ACB1＝60°，∴直线AB1与A1D所成角的大小为60°．故答案为：60°．14．设，为单位向量，且，则＝．【分析】根据条件，对两边平方，进行数量积的运算即可求出，从而可求出的值．解：∵，∴＝，∴，∴．故答案为：．15．若数列{a n}的前n项和为S n＝a n+，则数列{a n}的通项公式是a n＝（﹣2）n﹣1．【分析】把n＝1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．解：当n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝1当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（）﹣（）＝，整理可得，即＝﹣2，故数列{a n}是以1为首项，﹣2为公比的等比数列，∴a n＝（﹣2）n﹣1．故答案为：（﹣2）n﹣1．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列命题：①直线BD1⊥平面A1C1D；②三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；③异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]；④直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．其中所有真命题的序号是①②④．【分析】在A中，推导出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，从而直线BD1⊥平面A1C1D；在B中，由B1C∥平面A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；在C中，异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．解：在①中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故①正确；在②中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故②正确；在③中，∵A1D∥B1C，∴异面直线AP与A1D所成的角为直线AP与B1C所成的角，当P运动到B1或C点时，直线AP与B1C所成的角最小为60°，当P在为B1C中点时，直线AP与B1C所成的角最大为90°，∴异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]，故③错误；在④中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，P（a，1，a），则D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），＝（1，0，1）＝（0，1，1），＝（a，0，a﹣1），设平面A1C1D的法向量＝（x，y，z），则取x＝1，得＝（1，1，﹣1），∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为＝＝：，∴当a＝时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E 为线段PC上一点．[Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．【分析】（Ⅰ）由PA⊥AB，PA⊥BC，推导出PA⊥平面ABC，由此能证明PA⊥BD．（Ⅱ）推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面BDE⊥平面PAC．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，∴PA⊥平面ABC，∵D为线段AC的中点，∴BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD．（Ⅱ）∵AB＝BC，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，∵PA⊥BD，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC．18．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．（2）＝＝﹣．利用裂项求和方法即可得出．解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1＝2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n＝2．∴a n＝．当n＝1时，a1＝2，上式也成立．∴a n＝．（2）＝＝﹣．∴数列{}的前n项和＝++…+＝1﹣＝．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出A的值．（2）利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出三角形的周长．解：（1）知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．则：2b sin A cos A＝a sin B，由于：sin A sin B≠0，则：cos A＝，由于：0＜A＜π，所以：A＝．（2）利用余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，由于：a＝2，所以：4＝b2+c2﹣bc，△ABC的面积为，则：，解得：bc＝4．故：b2+c2＝8，所以：（b+c）2＝8+2•4＝16，则：b+c＝4．所以：三角形的周长为2+4＝6．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD ＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．【分析】（I）取AD的中点H，连接GH，FH，说明PA不在平面EFG，FH在平面EFG，证明PA平行平面EFG内的直线FH即可证明PA∥平面EFG；（II）利用转化法，求出底面面积和高，求三棱锥P﹣EFG 的体积．【解答】解（I）：如图，取AD的中点H，连接GH，FH，∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD．∵G，H分别为BC，AD的中点，∴GH∥CD．∴EF∥GH．∴E，F，H，G四点共面．∵F，H分别为DP，DA的中点，∴PA∥FH．∵PA不在平面EFG，FH⊂平面EFG，∴PA∥平面EFG．（II）解：∵PD⊥平面ABCD，GC⊂平面ABCD，∴GC⊥PD．∵ABCD为正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD＝D，∴GC⊥平面PCD．∵PF＝PD＝1，EF＝CD＝1，∴．∵GC＝＝1，∴21．已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆E：x2+y2＝4上运动．（1）求过点C且被圆E截得的弦长为的直线方程；（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．【分析】（1）设直线方程为y+2＝k（x﹣4），由题意可知圆心到直线的距离为，利用点到直线距离公式即可求出k的值，从而得出直线方程；（2）P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，利用两点间距离公式化简|PA|2+|PB|2+|PC|2＝80﹣4y又﹣2≤y≤2，从而得到|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．解：（1）依题意，直线的斜率存在，因为过点C的直线被圆E截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为，设直线方程为y+2＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣2＝0，所以，解得或k＝﹣1，所以直线方程为x+7y+10＝0或x+y﹣2＝0；（2）设P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，所以|PA|2+|PB|2+|PC|2＝（x+2）2+（y+2）2+（x+2）2+（y﹣6）2+（x﹣4）2+（y+2）2＝3（x2+y2）﹣4y+68＝80﹣4y，因为﹣2≤y≤2，所以72≤80﹣4y≤88，即|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88，最小值为72．22．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n＝3n+5，且a1＝1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1＝3λ＜0，b n＝λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．【分析】（1）把b n＝3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n＝6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n ＝2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ＝﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n 的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围．【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），b n＝3n+5，∴a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n）＝2（3n+8﹣3n﹣5）＝6，∴{a n}是等差数列，首项为a1＝1，公差为6，则a n＝1+（n﹣1）×6＝6n﹣5；（2）∵a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1＝2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m＝a1＝3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得．∴λ∈（）．②当λ＝﹣1时，a2n＝1，a2n﹣1＝﹣3，∴M＝3，m＝﹣1，不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．。
湖南省雅礼中学2023-2024学年高三上学期月考(二)数学试题(含答案)
大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若12z i =+，则()1z z +⋅=（）A.24i --B.24i-+ C.62i- D.62i+【答案】C 【解析】【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的定义求解.【详解】()()()122i 12i 244i 2i 62i z z +⋅=+-=+-+=-．故选:C .2.全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（）A.{2,3,5,7,9}B.{2,3,4,5,6,7,8,9}C.{4,6,8}D.{5}【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为()U A B ð，而全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，所以(){4,6,8}U A B ⋂=ð.故选：C 3.函数()2log 22xxx x f x -=+的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和特殊点即得.【详解】易知()2log 22xxx x f x -=+的定义域为{}0x x ≠，因为()()22log log 2222xxxxx x x f x x f x -----==-=-++，所以()f x 为奇函数，排除答案B ，D ；又()2202222f -=>+，排除选项C ．故选:A ．4.在边长为3的正方形ABCD 中，点E 满足2CE EB = ，则AC DE ⋅=（）A.3 B.3- C.4- D.4【答案】A 【解析】【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到AC ，DE，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示直角坐标系，由题意得()()()()0,3,1,0,3,0,3,3A E C D ，所以()3,3AC =- ，()2,3DE =--，所以()()()32333AC DE ⋅=⨯-+-⨯-=.故选：A.5.某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（1.5 4.7π≈）A.3045.6gB.1565.1gC.972.9gD.296.1g【答案】C 【解析】【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为R ，因为332π144πcm 3V R ==半球，所以6R =，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以((223113π6π363πcm 33V S S h =+=⋅+⋅+⨯=下上圆台，所以该实心模型的体积为3144π63π207πcm V V V =+=+=半球圆台，所以制作该模型所需原料的质量为207π 1.5207 4.7972.9g ⨯≈⨯=故选：C6.已知数列{} n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式以及前n 项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.【详解】若10a >，且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以对于任意*n ∈N ，0n S >成立，故充分性成立；若10a >，且12q =-，则()111112212111101323212n n nn n a S a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-=--⨯>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以由对于任意*n ∈N ，0n S >，推不出0q >，故必要性不成立；所以“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的充分不必要条件.故选:A7.若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )·(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为()A.4πB.2πC.34π D.54π【答案】C 【解析】【分析】根据已知不等式得到，要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a＝2的同一侧，利用正弦函数、余弦函数图象的性质进行解答即可．【详解】在同一坐标系中，作出y ＝sin x 和y ＝cos x的图象，当m ＝4π时，要使不等式恒成立，只有a＝2，当m ＞4π时，在x ∈[0，m ]上，必须要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a＝2的同一侧.∴由图可知m 的最大值是34π.故选：C.8.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（）A.()()2,04,∞-⋃+ B.()(),15,∞∞--⋃+C.()(),24,-∞-+∞ D.()()1,05,∞-⋃+【答案】D 【解析】【分析】根据()()2f x f x +=-可得()f x 关于直线1x =对称，根据()()24f f -=-可得()()240f f -==，结合函数()f x 的单调性可得函数图象，根据图象列不等式求解集即可.【详解】解：函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()f x 关于直线1x =对称，所以()()()244f f f -==-，即()()240f f -==，又()f x 在[)1,+∞上递增，所以()f x 在(),1-∞上递减，则可得函数()f x 的大致图象，如下图：所以由不等式()10xf x ->可得，20210x x -<<⎧⎨-<-<⎩或414x x >⎧⎨->⎩，解得10x -<<或5x >，故不等式()10xf x ->的解集为()()1,05,∞-⋃+.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对于实数a ，b ，c ，下列选项正确的是（）A.若a b >，则2a ba b +>> B.若0a b >>，则a b>>C.若11a b>，则0a >，0b < D.若0a b >>，0c >，则b c ba c a+>+【答案】ABD 【解析】【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可.【详解】对选项A ，因为a b >，所以022a b a b a +--=>，022a b a bb +--=>，所以2a ba b +>>，故A 正确；对选项B ，0a b >>1=>，所以a >因为1b =>b >，即a b >>，故B 正确；对选项C ，令2a =，3b =，满足11a b>，不满足0a >，0b <，故C 错误；对选项D ，因为0a b >>，0c >，所以()()()()()0a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==>+++，故D 正确．故选：ABD ．10.已知函数()2sin cos 2f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A.()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.函数()f x 的最小正周期为πC.函数()f x 的对称轴方程为()5πZ 12x k k π=+∈D.函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到【答案】AB 【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图像性质逐项判断.【详解】()211cos 21πsin cos sin 2sin 2cos 2sin 22222223x f x x x x x x x x +⎛⎫=-+=--=- ⎪⎝⎭，所以A 正确；对于B ，函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，所以B 正确；对于C ，由ππ2π32x k -=+，k ∈Z ，得5ππ122k x =+，Z k ∈，所以函数()f x 的对称轴方程为5ππ122k x =+，Z k ∈，所以C 不正确；对于D ，sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度，得ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到，所以D 不正确．故选：AB ．11.设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（）A.若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B.若数列{}n S 有最小项，则0d >C.若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D.若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列【答案】BD 【解析】【分析】取特殊数列判断A ；由等差数列前n 项和的函数特性判断B ；取特殊数列结合数列的单调性判断C ；讨论数列{}n S 是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A ：取数列{}n a 为首项为4，公差为2-的等差数列，2146S S =<=，故A 错误；对于B ：等差数列{}n a 中，公差0d ≠，211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-，n S 是关于n 的二次函数.当数列{}n S 有最小项，即n S 有最小值，n S 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，0d >，B 正确；对于C ：取数列{}n a 为首项为1，公差为2-的等差数列，22n S n n =-+，122(1)2(1)(2)210n n S n n n n S n =-+++-+---=+<＋，即1n n S S <＋恒成立，此时数列{}n S 是递减数列，而110S =>，故C 错误；对于D ：若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥，一定存在实数k ，当n k >时，之后所有项都为负数，不能保证对任意*N n ∈，均有0n S >.故若对任意*N n ∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，故D 正确．故选：BD12.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11B C ，CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.四面体11A D MN 的体积为定值B.当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C.直线MN 与平面ABCD 所成角的正切值的最小值为2D.当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形【答案】ACD 【解析】【分析】求出四面体的体积判断A ；把正方体的棱分成3类，再判断各类中的一条即可判断B ；作出线面角，并求出其正切表达式判断C ；利用线线、线面平行的性质作出截面判断D.【详解】点M ，N 在棱11B C ，CD 上运动时，M 到11A D 距离始终为2，N 到平面11A D M 的距离始终为2，所以四面体11A D MN 的体积11114222323N A MD V -=⨯⨯⨯⨯=恒为定值，A 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，棱可分为三类，分别是1111,,A A A B A D ，及分别与它们平行的棱，又1111,,A A A B A D 不与平面1A MN 平行，则在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面1A MN 平行，B 错误；正方体棱长为2，如图1，过M 作1MM BC ⊥于1M ，则有1MM ⊥平面ABCD ，于是MN 与平面ABCD 所成角即为1MNM ∠，于是11112tan MM MNM M N M N∠==，又1M N长度的最大值为MN 与平面ABCD所成角的正切值的最小值为2，C正确；如图2，取BC 中点M '，连接,AM MM ''，有11////MM BB AA '，且11MM BB AA '==，则四边形1AA MM '是平行四边形，有1//AM A M '，过N 作AM '的平行线交AD 于点E ，此时14DE DA =，则1//EN A M ，即EN 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面ABCD 的交线，连接1A E ，在BC 上取点F ，使得14CF CB =，同证1//AM A M '的方法得11//A E B F ，在棱1CC 上取点G ，使113CG CC =，连接MG 并延长交直线BC 于H ，则112CH C M CF ==，即11FH C M B M ==，而1//FH B M ，于是四边形1FHMB 是平行四边形，有11////MG B F A E ，则MG 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面11BCC B 的交线，连接NG ，则可得五边形1A MGNE 即为正方体中过1A ，M ，N 三点的截面，D 正确．故选：ABD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则=a __________．【答案】2-【解析】【分析】求导，利用()13f '=求解即可.【详解】解：因为()ln f x x a x =-，所以()1a f x x'=-，又函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则()1131af '=-=，所以2a =-．故答案为：2-14.在平面直角坐标系xOy 中，圆O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，若射线OB 平分AOC ∠，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，则点C 的坐标为__________．【答案】724,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【详解】由题意可知圆O 1=，设AOB BOC α∠=∠=，由题意可知4sin 5α=，3cos 5α=，则点C 的横坐标为271cos 212sin 25αα⨯=-=-，点C 的纵坐标为241sin 22sin cos 25ααα⨯==．故答案为：724,2525⎛⎫-⎪⎝⎭．15.已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】由题意可得()e 2e xxf x -=+，再结合基本不等式即可得答案.【详解】解：因为函数()e xy f x =+为偶函数，则()()e e x x f x f x --+=+，即()()ee xx f x f x ---=-，①又因为函数()3e xy f x =-为奇函数，则()()3e3e xx f x f x ---=-+，即()()3e 3ex xf x f x -+-=+，②联立①②可得()e 2e xxf x -=+，由基本不等式可得()e 2e x x f x -=+≥=，当且仅当e 2e x x -=时，即当1ln 22x =时，等号成立，故函数()f x 的最小值为故答案为：16.已知菱形ABCD 中，对角线BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________.【答案】28π【解析】【分析】将 ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，得到120AEC ∠=︒，在AEC △中由余弦定理求出AE 的长，进一步求出AB 的长,分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，证明Rt OGE △与Rt OFE 全等，求出OE ，再推出BD OE ⊥，连接OB ，由勾股定理求出OB ，即可得出外接球的表面积.【详解】将 ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以AEC ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以120AEC ∠=︒；设AE a =，则AE CE a ==,在AEC △中2222cos120AC AE EC AE CE =+-⋅⋅︒，即2127222a a a ⎛⎫=-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得3a =，即3AE =，所以AB ==所以ABD △与BCD △是边长为的等边三角形.分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，则113EG AE ==，113EF CE ==；即EF EG =；因为ABD △与BCD △都是边长为所以点G 是ABD △的外心，点F 是BCD △的外心；记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，根据球的性质，可得OF ⊥平面BCD ，OG ⊥平面ABD ，所以 OGE 与OFE △都是直角三角形，且OE 为公共边，所以Rt OGE △与Rt OFE 全等，因此1602OEG OEF AEC ∠=∠=∠=︒，所以2cos 60EFOE ==︒；因为AE BD ⊥，CE BD ⊥，AE CE E =I ，且AE ⊂平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以BD ⊥平面AEC ；又OE ⊂平面AEC ，所以BD OE ⊥，连接OB，则外接球半径为OB ==所以外接球表面积为2428S ππ=⨯=.故答案为：28π【点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用,n n a S 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得n T ，即可证明.【小问1详解】依题意可得，当1n =时，2111122S a a a ==+，0n a >，则11a =；当2n ≥时，22n n n S a a =+，21112n n n S a a ---=+，两式相减，整理可得()()1110n n n n a a a a --+--=，又{}n a 为正项数列，故可得11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，1d =为公差的等差数列，所以n a n =.【小问2详解】证明：由（1）可知n a n =，所以()42222n b n n n n ==-++，()44441324352n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+22222222222222132435462112n n n n n n =-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-+---++2221312n n =+--<++，所以3n T <成立.18.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c )sin a C C =-.（1）求A ；（2）若8a =，ABC ABC 的周长.【答案】（1）2π3（2）18【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用三角形的面积公式可得出182b c bc ++=，结合余弦定理可求得b c +的值，即可求得ABC 的周长.【小问1详解】解：因为)sin aC C =-，)sin sin B AC C =-，①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin sin sin A C A C =-，又因为A 、()0,πC ∈，sin 0C ≠sin 0A A =-<，所以tan A =，又因为()0,πA ∈，解得2π3A =.【小问2详解】解：由（1）知，2π3A =，因为ABC 内切圆半径为所以()11sin 22ABC S a b c A =++⋅△，即()82b c ++=，所以，182b c bc ++=②，由余弦定理2222π2cos3a b c bc =+-⋅得2264b c bc ++=，所以()264b c bc +-=③，联立②③，得()()22864b c b c +-++=，解得10b c +=，所以ABC 的周长为18a b c ++=.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BC B C O = ，12BC BB ==，1AO =，160B BC ∠=︒，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）求证：1AB B C ⊥；（2）求二面角111A B C A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质和判断定理可得1B C ⊥平面1ABC ，从而即可证明1AB B C ⊥；（2）建立以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴的空间坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：因为AO ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1AO B C ⊥，因为1BC BB =，四边形11BB C C 是平行四边形，所以四边形11BB C C 是菱形，所以11BC B C ⊥．又因为1AO BC O ⋂=，AO ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，所以1B C ⊥平面1ABC ，因为AB ⊂平面1ABC ，所以1AB B C ⊥．【小问2详解】解：以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，则)B，()10,1,0B ，()0,0,1A，()1C ，所以()10,1,1AB =-，)11C B =，)110,1A B AB ==-，设平面11AB C 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则11111111100n AB y z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11x =，可得1y =1z =，所以(11,n =u r，设平面111B C A 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则211221112200n A B z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取21x =，可得2y =，2z =所以(21,n =，设二面角111A B C A --的大小为θ，因为1212121,1,1cos ,7n n n n n n ⋅⋅〈〉===⋅，所以sin 7θ==，所以二面角111A B C A --的正弦值为7．20.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF 交椭圆于B点，且满足||2||AF FB =，||2AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．【答案】（1）22132x y+=；（2）【解析】【分析】（1）由已知得b =，由||2||AF FB =且||2AB =，知||AF a ==，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）直线AF的方程为0y +-=，与椭圆联立求出3(,22B -，求出点,A B 到直线(0)y kx k =>的距离为1d =，2d =y kx =与椭圆方程结合弦长公式求出CD ，求出四边形ACBD 的面积121()2S CD d d =+，整理化简利用二次函数求出最值.【详解】（1）A Q 为椭圆C上一点，b ∴=又||2||AF FB =，||2AB =可得，||AF =，即a =所以椭圆C 的标准方程是22132x y +=.（2）由（1）知(1,0)F，A ，∴直线AF的方程为0y +-=，联立221320x y y ⎧+=⎪+-=，整理得：22462(3)0x x x x -=-=，解得：1230,2x x ==，∴3(,22B -设点A，3(,22B -到直线(0)y kx k =>的距离为1d 和2d ，则1d =，2d =直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，联立22132x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，整理得：22(32)6k x +=，解得：34x x ==34CD x ∴=-=∴设四边形ACBD 面积为S ，则121()2S CD d d =+=(0)2k =>.设)t k =++∞，则k t =-363636222S ∴==⋅⋅362=当18t =，即3t k ===+3k =时，四边形ACBD面积有最大值.【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.如图所示，A BCP -是圆锥的一部分(A 为圆锥的顶点)，O 是底面圆的圆心，23BOC π∠=，P 是弧BC 上一动点（不与B 、C 重合），满足COP θ∠=．M 是AB 的中点，22OA OB ==．（1）若//MP 平面AOC ，求sin θ的值；（2）若四棱锥M OCPB -的体积大于14，求三棱锥A MPC -体积的取值范围．【答案】（1）34（2）3,1212⎛ ⎝⎦【解析】【分析】（1）取OB 的中点N ，连接MN ，证明出//NP OC ，可得出3ONP π∠=，OPN θ∠=，然后在ONP △中利用正弦定理可求得sin θ的值；（2）计算得出四边形OCPB的面积3sin 264S πθ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，结合20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得θ的取值范围，设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，计算得出2361133sin 2324V V πθ⎛⎫==+-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，结合正弦型函数的基本性质可求得结果.【小问1详解】解：取OB 的中点N ，连接MN ，M 为AB 的中点，则//MN OA ，MN ⊄ 平面AOC ，AO ⊂平面AOC ，则//MN 平面AOC ，由题设，当//MP 平面AOC 时，因为MP MN M ⋂=，所以，平面//MNP 平面AOC ，NP ⊂ 平面MNP ，则//NP 平面AOC ，因为NP ⊂平面OBPC ，平面OBPC 平面AOC OC =，则//NP OC ，所以，3ONP BOC ππ∠=-∠=，OPN COP θ∠=∠=，在OPN 中，由正弦定理可得sin sin3ON OP πθ=，故sin3sin 4ON OP πθ==.【小问2详解】解：四棱锥M OCPB -的体积1111323V OA S S =⋅⋅=，其中S 表示四边形OCPB 的面积，则112111sin sin sin cos sin 2232222S OP OC OP OB πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅-=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333sin 4426πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，1131sin 3664V S πθ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，可得3sin 62πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，203πθ<<，则5666πππθ<+<，故2363πππθ<+<，解得,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，由于M 是AB 的中点，则231112sin 2623V V OA S OB OC π⎛⎫==⋅-⋅ ⎪⎝⎭133333sin ,32412126πθ⎛⎛⎫=+-∈ ⎢ ⎪ ⎝⎭⎣⎦⎝⎦.22.混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为()01p p <<．目前，我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数()Nf X KX K=+，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．（1）证明：()E f X N ≥⎡⎤⎣⎦；（2）若4010p -<<，1020K ≤≤．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．公众号：高中试卷君【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由均值的性质及基本不等式即可证明.（2）由二项分布的概率及条件概率化简即可证明.【小问1详解】由题意可得X 满足二项分布(),X B N p ，由()()E aX b aE X b +=+知，()()N N E f X K X E pN N K K K =+=+⋅≥⎡⎤⎣⋅⎦，当且仅当1Kp K=时取等号；【小问2详解】记P P =（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），i P P =（混管中恰有i 例阳性）=()C 1K i i i K p p --，0,1,,i K = ，令()e 1xh x x =--，33210210x ---⨯<<⨯，则()e 1xh x '=-，当()3021,0x -⨯∈-时，()0h x '<，()h x 为单调递减，当()300,21x -∈⨯时，()0h x '>，()h x 为单调递增，所以()()00h x h ≥=，且()()332103210e 21010h ---⨯--⨯=--⨯-≈，()()332103210e 21010h --⨯-⨯=-⨯-≈，所以当33210210x ---⨯<<⨯，e 10x x --≈即e 1x x ≈+，两边取自然对数可得()ln 1x x ≈+，所以当4010p -<<，1020K ≤≤时，所以()()ln 11e e 1K K p Kp p Kp ---=≈≈-，则()()()()110111111111K K Kp K p Kp p P P K p P Kp p ---⎡⎤-⎣⎦==≈=--≈---．故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.。
湖南省长沙雅礼中学2024届数学高一下期末预测试题含解析
湖南省长沙雅礼中学2024届数学高一下期末预测试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A ，则A 的对立事件是（ ）A ．至多有一件次品B ．两件全是正品C ．两件全是次品D ．至多有一件正品2．在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若cos cos a Bb A=，则ABC 的形状为 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．已知实数,x y 满足约束条件12010x x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为( )A ．3-B ．1-C ．1D ．54．数列{}n a 的通项1(1)n a n n =+，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(1)0n x y n +++=在y 轴上的截距为（ ）A ．-10B ．-9C ．10D ．95．设函数()sin (0)3f x wx w π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛≤⎫⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则w 的最小值为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．16．过点32M （，）的圆224240x y x y ++-+=的切线方程是（ ） A ．2y =B ．51290x y -+=或125260x y --=C ．125260x y --=或2y =D ．2y =或51290x y -+=7．已知集合，，则中元素的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．直线x+2y ﹣3＝0与直线2x+ay ﹣1＝0垂直，则a 的值为（ ） A ．﹣1B ．4C ．1D ．﹣49．《九章算术》卷第六《均输》中，提到如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？”其大致意思是说，若九节竹每节的容量依次成等差数列，下三节容量四升，上四节容量三升，则中间两节的容量各是（ ）A ．6766升、4133升B ．3733升、322升C ．322升、4133升D ．6766升、3733升10．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有1名男生和至少有1名女生B ．至多有1名男生和都是女生C ．至少有1名男生和都是女生D ．恰有1名男生和恰有2名男生二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
苏教版高中数学必修二高一必修模块2结业测试试题(第一卷).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作高一数学必修模块2结业测试试题（第一卷）一、选择题（每小题5分,共50分）1、圆锥过轴的截面是（ ）A 、 圆B 、等腰三角形C 、抛物线D 、椭圆2、给你6根火柴棒，最多能做( )个等边三角形.A 、2B 、3C 、4D 、53、已知0AB//PQ BC//QR ABC=30PQR=∠∠，， ，则 ( )A 、030B 、030或0150C 、0150D 、以上结论都不对4、过直线外一点与该直线平行的平面有（ ）个。
A 、0B 、1C 、2D 、无数5、若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是( )。
A 、平行 B 、相交 C 、在平面内 D 、平行或在平面内6、 球的表面积膨胀为原来的2倍，则其体积变为原来的（ ）倍。
A 、2B 、3C 、8D 、227、一个西瓜切3刀，最多能切出（ ）块。
A 、4B 、6C 、7D 、 88、已知直线PQ 过P （2，3），Q （6，5）则直线PQ 的斜率是（ ）A 、2B 、 1C 、-1D 、129、过点P （3，4），斜率为2的直线方程为（ ）A 、2x-y-2=0B 、2x y 20+-=C 、x y 10+-=D 、x y 20-+=10、已知A （-1，0），B （2，3），则|AB|=（ ）A 、3B 、2C 、32D 、22二、填空题（每小题5分,共25分）11、 原点到直线l ：5x-12y-9=0的距离为 .12、以C （4，-6）为圆心，半径等于3的圆的方程为 ．13、半径为2的球的体积是 .14、从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6、8、12，则其对角线长为 .15、过空间任一点能作 条直线与已知平面垂直.三、解答题16、求过点A （1，2），且平行于直线2x-3y+5=0 的直线方程。
17、已知一正四棱台的上底边长为4cm ，下底边长为8cm ，高为3cm ，求其体积。
(完整版)高中数学学业水平测试必修2练习和答案解析
WORD 格式 . 整理版高中数学学业水平测试系列训练之模块二一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每题 5 分，共 50 分）．1．若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（） A ．圆锥B ．正四棱锥C ．正三棱锥D ．正三棱台2．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（）A ．1B ． 1C ． 2D ． 323．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（ ） A ．α∥β B ．α与β订交 C ．α与β重合 D ．α∥β或α与β订交4．以下四个说法① // α，bα , 则 //b② a ∩α＝ P ，b α，则 a 与 b 不平行aa③ a α，则 a // α ④a // α， b // α，则 a // b此中错误的说法的个数是（ ）A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个5．经过点 P( 2, m) 和 Q (m,4) 的直线的斜率等于 1，则 m 的值是 （）A ． 4B ． 1C ． 1 或 3D ． 1 或 4 6．直线 kx － y ＋ 1＝3k ，当 k 改动时，全部直线都经过定点（）A ． (0 ， 0)B ． (0 ， 1)C ． (3 ， 1)D ． (2 ， 1)7．圆 x 2y 2 2x 2 y 0 的周长是（ ）A ． 2 2B ． 2C ． 2D ． 48．直线 x － y+3=0 被圆（ x） 2 （ y － ） 2=2 截得的弦长等于（）+2+2A ．6B ． 3C ． 23D ． 629．假如实数 x, y 知足等式 ( x 2)2y23 ，那么 y的最大值是（）xA ．1B ． 3C ． 3D ． 323210．在空间直角坐标系中，已知点 P （ x ， y ， z ），给出以下 4 条表达：① 点 P 对于 x 轴的对称点的坐标是（ x ，－ y ， z ）② 点 P 对于 yOz 平面的对称点的坐标是（ x ，－ y ，－ z ） ③ 点 P 对于 y 轴的对称点的坐标是（ x ，－ y ， z ） ④ 点 P 对于原点的对称点的坐标是（－ x ，－ y ，－ z ）此中正确的个数是（）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 0优良 .参照 .资料WORD 格式 . 整理版11 x2 y22x 4 y 20 0，则x2y2 的最小值．．已知实数 x，y 知足关系：12．向来线过点（－ 3，4），而且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是 _____ _____ ．13．一个长方体的长、宽、高之比为2：1：3，全面积为 88cm2，则它的体积为 ___________．14．在棱长为a的正方体 ABCD－ A B C D 中， D 到 B C 的1 1 1 1 1 1距离为 _________， A 到 A1C 的距离为 _______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 共 76分)．15．已知：一个圆锥的底面半径为R，高为 H，在此中有一个高为x 的内接圆柱．（1）求圆柱的侧面积；（2）x为什么值时，圆柱的侧面积最大．16．以下图，四棱锥P－ ABCD中，底面 ABCD是矩形， PA⊥平面 ABCD， M、 N 分别是 AB、PC的中点， PA＝ AD＝a．（1）求证： MN∥平面 PAD；（2）求证：平面 PMC⊥平面 PCD．17．过点5， 4 作向来线l，使它与两坐标轴订交且与两轴所围成的三角形面积为5．18．（ 12 分）已知一圆经过点A（2，－3）和 B（－2，－5），且圆心 C在直线 l ：x 2 y 30 上，求此圆的标准方程．19．（ 12 分）一束光芒l 自 A（－3，3）发出，射到x 轴上，被x 轴反射到⊙ C： x2＋ y2－4x－4y＋7＝0上．（1）求反射线经过圆心C时，光芒l的方程；（2）求在x轴上，反射点M的范围．20．（ 14 分）如图，在正方体ABCD A1 B1C1 D1中， E、 F分别是 BB1、 CD 的中点（1）证明：AD D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明：面AED面A1FD1．高中数学学业水平测试系列训练之模块二（参照答案）一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每题5 分，共 50 分）．CDDCB CADBC二、填空题：请把答案填在题中横线上（每题6 分，共 24 分）．11． 3010 5；12． x 3y 9 0 或 4x y 160 ；13． 48cm 3；14． 6a ，6a ；23三、解 答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 共 76分)．15． 解：（ 1）设内接圆柱底面半径为 r .S 圆柱侧 2 r x ①r H xrR (Hx) ②RHH② 代入 ①S 圆柱侧2 xR( H x) 2 R x 2 Hx (0 x H ) H H22 （ 2） S 圆柱侧2 R x 2Hx2 R x HHHH2 4x H 时S圆柱侧最大RH2216．证明：如答图所示， ⑴ 设 PD 的中点为 E ，连接 AE 、NE ，由 N 为 PD 的中点知 EN //1DC ，2又 ABCD 是矩形，∴ DC // AB ，∴ EN //1AB2又 M 是 AB 的中点，∴ EN // AN ，∴AMNE 是平行四边形∴MN ∥AE ，而 AE 平面 PAD ， NM 平面 PAD∴MN ∥平面 PAD证明： ⑵ ∵PA ＝AD ，∴ AE ⊥ PD ，又∵ PA ⊥平面 ABCD ，CD 平面 ABCD ，∴ C D ⊥PA ，而 CD ⊥AD ，∴ CD ⊥平面 PAD∴ C D ⊥AE ， ∵PD ∩CD ＝D ，∴ AE ⊥平面PCD ，∵MN ∥AE ，∴ MN ⊥平面 PCD ，又 MN 平面 PMC ，∴平面 PMC ⊥平面 PCD.PNEDCAMBWORD 格式 . 整理版17．剖析：直线 l 应知足的两个条件是（ 1）直线 l 过点（－ 5,－4）；（ 2）直线 l 与两坐标轴订交且与两轴所围成的三角形面积为5.假如设 a ，b 分别表示 l 在 x 轴， y 轴上的截距，则有1 b5 .a2这样就有以下两种不一样的解题思路：第一，利用条件（ 1）设出直线 l 的方程（点斜式），利用条件（ 2）确立 k ； 第二，利用条件（ 2）设出直线 l 的方程（截距式），联合条件（ 1）确立 a ， b 的值 .解法一：设直线 l 的方程为 y 4k x 5 分别令 y0， x 0 ，得 l 在 x 轴， y 轴上的截距为：a5k4，b5k 4k由条件（ 2）得 ab105k 4 5k 410k得 25k 230 k 16 0 无实数解；或 25k250k16 0，解得 k 18， k 2 25 5故所求的直线方程为：8x 5y20 0 或2x 5y10 0解法二：设 l 的方程为x y 1，由于 l 经过点5， 4，则有：ab5 4 1 ①又ab10 ②ab5 b1a5 a5联立 ① 、② ，得方程组ab解得2或b4 b2ab10所以，所求直线方程为：8x 5y 20 0 或2x 5y 10 0 .18．解：由于 A （ 2，－ 3），B （－ 2，－ 5） ，所以线段 AB 的中点 D 的坐标为 （ 0，－ 4），y又k AB5 ( 3)1，所以线段 AB 的垂直x-2y-3=02 22O x均分线的方程是y2x 4 ．A联立方程组 x2 y 3，解得 x 1 ．By 2 x 4y 2所以，圆心坐标为C （－ 1，－ 2），半径r| CA |(2 1)2( 3 2) 2 10 ，所以，此圆的标准方程是(x1)2 ( y 2) 2 10 ．19．解： ⊙ C ： ( x － 2) 2＋ ( y －2) 2＝ 1（Ⅰ） C 对于 x 轴的对称点 ′(2，－ 2) ，过 ， ′的方程 ： x ＋ y ＝ 0 为光芒 l 的方程．CAC优良 .参照 .资料WORD 格式 . 整理版切时，有 2 k 2 3k 3 1 k 4 或k31 k234 ∴过 A′，⊙ C 的两条切线为y 3 4(x 3), y 33(x 3) 令y＝0，得3 , x2 3 4x1 14∴反射点M x轴上的活动范围是3 ,1在420．（ 1）AC1是正方体AD 面 DC 1 , 又 D1F 面 DC1 , AD D1 F （2）取AB中点G，连接A1G，FG , F是 CD中点GF / / AD 又 A1 D1 / / ADGF // A1 D1 GFD1 A1是平行四边形A1G // D1 F设 A1 G AE H则 AHA1是 AE与 D1 F所成的角E是BB1的中点Rt A1 AG Rt ABE GA1 A GAH A1 HA 90 即直线 AE 与D1 F所成角是直角（3）AD D1 F（ (1)中已证）AE D1 F ,又 AD AE A, D1 F 面AED ,又 D1 F 面 A1 FD 1 ,面 AED 面 A1 FD1。
湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、单选题1．已知集合{}2340M x x x =∈--≤Z ，{}03N x x =<≤，则M N ⋂=（ ）A ．{}1,0,1,2,3-B ．{}1,2,3C ．(]0,3D ．[]1,4-2．设i 为虚数单位，复数z 满足()1i 12i z +=-+，则z z ⋅为（ ）．A B ．5 C ．2D ．523．设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α，β垂直于同一个平面 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一条直线4．定义在R 上的函数()f x 满足()()23f x f x ++=，且()10f =，则()2023f =（ ） A ．3-B ．0C ．1D ．35．已知向量a r ，b r满足1b =r ，a b ⊥r r ，则2a b -r r 在b r 方向上的投影向量为（ ）A ．2B ．2a rC ．2b -rD ．2-6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．243a πB ．273a πC ．283a πD ．2163a π 7．某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧．若小明同学在B ，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为60︒和20︒，且BC a =米，则该球体建筑物的高度为（ ）米．A ．4cos10a︒B ．2cos10a︒C ．sin102sin 40a ︒︒D ．sin10sin 40a ︒︒8．已知正四棱锥S ABCD -的底面边长为1，SC 的中点为E ，过点E 作与SC垂直的平面α，则平面α截正四棱锥S ABCD -所得的截面面积为（ ）．A B C 3D ．23二、多选题9．学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是1.9，失球个数的标准差为0.3；乙班每场比赛平均失球数是1.3，失球个数的标准差为1.2，你认为下列说法中正确的是（ ） A ．平均来说乙班比甲班防守技术好 B ．乙班比甲班防守技术更稳定C ．乙班在防守中有时表现非常好，有时表现比较差D ．甲班很少不失球10．伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记录这n 次实验的结果，设事件M ＝“n 次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N ＝“n 次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（ ）．A ．若2n =，则M 与N 不互斥B ．若2n =，则M 与N 相互独立C ．若3n =，则M 与N 互斥D ．若3n =，则M 与N 相互独立11．如图，在四边形ABCD 中，ACD V 和ABC V 是全等三角形，AB AD =，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，1AB =．下面有两种折叠方法将四边形ABCD 折成三棱锥．折法①；将ACDV 沿着AC 折起，得到三棱锥1D ABC -，如图1．折法②：将ABD △沿着BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2．下列说法正确的是（ ）．A ．按照折法①，三棱锥1D ABC -的外接球表面积恒为4πB ．按照折法①，存在1D 满足1AB CD ⊥C ．按照折法②﹐三棱锥1A BCD -D ．按照折法②，存在1A 满足1AC ⊥平面1A BD ，且此时BC 与平面1A BD 所成线面角正三、填空题12．当0a >且1a ≠时，函数24x y a -=+的图象一定经过定点13．如图所示，已知PA ⊥平面,120,6ABC ABC PA AB BC ∠====o，则PC =u u u r．14．已知向量a r ，b r满足()0a b b +⋅=r r r ，44a b +=r r ，则a b b ++r r r 的最大值为．四、解答题15．已知函数1()cos212f x x x =++． (1)求()f x 的最小正周期T ；(2)求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合．16．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足22cos 0+-=c b a B . (1)求角A ；(2)若a =32BA AC ⋅=u u u r u u u r ，AD 是ABC V 中线，求AD 的长.17．我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．（1）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB AD ==，点M 和点N 在棱1CC 上，且22CM CN ==.(1)求证：//AM 平面BDN ； (2)求证：1AC DN ⊥. 19．已知平面四边形ABCD ，2AB AD ==，60BAD ∠=︒，30BCD ∠=︒，现将ABD △沿BD 边折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，此时AD CD ⊥，点P 为线段AD 的中点．(1)求证：BP ⊥平面ACD ；(2)若M 为CD 的中点，求MP 与平面BPC 所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，求二面角P BM D --的平面角的余弦值．。
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一(下)期末数学试卷(含解析)
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M ＝{x |﹣4＜x ＜2}，N ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，则M ∩N ＝（ ）A ．{x |﹣4＜x ＜3}B ．{x |﹣4＜x ＜﹣2}C ．{x |﹣2＜x ＜2}D ．{x |2＜x ＜3}2．（5分）设复数z 满足（1+2i ）•z ＝5i （i 是虚数单位），则z =（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2﹣iD ．﹣2+i3．（5分）在△ABC 中，“A ＜30°”是“sinA ＜12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．235．（5分）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）A ．f （x ）＝sin x B ．f （x ）＝2|x |C ．f （x ）＝x 3+xD ．f(x)=12(e ―x―e x )6．（5分）已知平面向量→a =(1，3)，|→b |=2，且|→a ―→b |=10，则(2→a +→b )⋅(→a ―→b )=（ ）A ．1B ．14C ．14D ．107．（5分）若cos(π6―α)=35，则sin(2α+π6)=（ ）A ．-2425B ．-725C ．725D ．24258．（5分）把边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角D ﹣AC ﹣B ，则三棱锥D ﹣ABC 的外接球的球心到平面BCD 的距离为（ ）A ．33B ．22C ．63D ．12二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【试卷】2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一(下)期末数学试卷
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x＜2}，B＝{0，1}，则下列判断正确的是（）A．B∈A B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A2．（5分）已知x＞0，则对于2﹣3x﹣，说法正确的是（）A．有最小值2+4B．有最小值2﹣4C．有最大值2+4D．有最大值2﹣43．（5分）已知＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．D．104．（5分）已知a＝log0.33，b＝log0.34，c＝30.3，那么（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．（5分）为了得到函数y＝cos，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y＝cos x，x∈R上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变6．（5分）随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分．如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是（）A．这9年我国快递业务量有增有减B．这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C．这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D．这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件7．（5分）在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为（）A．相交但不垂直B．垂直但不相交C．不相交也不垂直D．无法判断8．（5分）若直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α≤B．＜α＜πC．≤α＜D．＜α≤二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，则a的取值可以是（）A．﹣1B．1C．2D．510．（5分）已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的定义域为RB．函数f（x）在R上为增函数C．函数f（x）的值域为（﹣3，+∞）D．函数f（x）只有一个零点11．（5分）设z为复数，在复平面内z、对应的点分别为P、Q，坐标原点为O，则下列命题中正确的有（）A．当z为纯虚数时，P，O，Q三点共线B．当z＝1+i时，△POQ为等腰直角三角形C．对任意复数z，D．当z为实数时，12．（5分）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，下列命题中真命题是（）A．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交B．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直C．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交D．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知，，则tan2α＝．14．（5分）已知两点A（1，﹣2），B（5，0），则线段AB的垂直平分线方程为．15．（5分）甲、乙两位同学进行羽毛球赛，采取三局两胜制．设甲每一局获胜的概率为，乙每一局获胜的概率为，且甲已获得第一局胜利．求甲获得最终比赛胜利的概率为．16．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，△SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，则该三棱锥外接球的表面积为．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g（x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．18．（12分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，f（A）＝，a＝，b＝2c，求c．19．（12分）某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查．（1）求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率．20．（12分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°．求：（1）AC1的长；（2）直线BD1与AC所成角的余弦值．21．（12分）已知直线l：（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．（2）为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝PD＝P A＝AD＝AB＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面P AB；（2）求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x＜2}，B＝{0，1}，则下列判断正确的是（）A．B∈A B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A【分析】利用集合之间的包含关系判断集合的关系．【解答】解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B集合的元素都在集合A中，∴B⊆A．故选：D．【点评】本题考查的集合的子集概念，是基础题．2．（5分）已知x＞0，则对于2﹣3x﹣，说法正确的是（）A．有最小值2+4B．有最小值2﹣4C．有最大值2+4D．有最大值2﹣4【分析】直接利用基本不等式求解即可判断选项．【解答】解：2﹣3x﹣＝2﹣（3x+），x＞0，3x+≥＝4．当且仅当3x2＝4，即x＝是取等号．∴2﹣3x﹣＝2﹣（3x+）≤2﹣4．故选：D．【点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，注意表达式的变形是解题的关键．3．（5分）已知＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．D．10【分析】根据，即可求出x，y的值，然后即可求出的坐标，进而得出的值．【解答】解：∵，∴，解得x＝2，∵，∴﹣4﹣2y＝0，解得y＝﹣2，∴，，∴．故选：A．【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，平行向量的坐标关系，向量坐标的加法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）已知a＝log0.33，b＝log0.34，c＝30.3，那么（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】可得出，然后即可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵log0.34＜log0.33＜log0.31＝0，30.3＞0，∴b＜a＜c．故选：C．【点评】本题考查了对数函数的单调性，指数函数的值域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．5．（5分）为了得到函数y＝cos，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y＝cos x，x∈R上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变【分析】根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．【解答】解：将函数y＝cos x图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos x的图象．故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+∅）的图象变换规律，属于基础题．6．（5分）随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分．如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是（）A．这9年我国快递业务量有增有减B．这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C．这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D．这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件【分析】分别观察这9年我国快递业务量和各年我国快递业务量同比增速，对选项一一分析，可得结论．【解答】解：由条形图可得，这9年我国快递业务量逐年增加，故A错误；将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得：25.3%，26.6%，28.0%，30.5%，48.0%，51.4%，51.9%，54.8%，61.6%，故中位数为第五个数48.0%，故B错误；这9年我国快递业务量同比增速的极差为61.6%﹣25.3%＝36.3%＞36%，故C错误；由条形图可得，自2016年起，各年的快递业务量远超过210亿件，故快递业务量的平均数超过210亿件，故D正确．故选：D．【点评】本题考查条形图、曲线图的应用，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．7．（5分）在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为（）A．相交但不垂直B．垂直但不相交C．不相交也不垂直D．无法判断【分析】作AO⊥平面BCD，垂足为O，连接OA，OB，OC，由线面垂直的判定和性质，以及三角形的垂心的定义，可得结论．【解答】解：如图，作AO⊥平面BCD，垂足为O，可得AO⊥CD，又AB⊥CD，则CD⊥平面ABO，所以BO⊥CD，同理可证DO⊥BC，所以O为△BCD的垂心，所以OC⊥BD，又OA⊥BD，OA∩OC＝O，所以BD⊥平面ACO，故BD⊥AC．故选：B．【点评】本题考查空间中线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题．8．（5分）若直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α≤B．＜α＜πC．≤α＜D．＜α≤【分析】根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率k，分析可得斜率k的范围，结合直线的斜率k与倾斜角的关系可得tanα＝k≥1，又由倾斜角的范围，分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2），则直线l的斜率k＝＝1+m2，又由m∈R，则k＝1+m2≥1，则有tanα＝k≥1，又由0≤α＜π，则≤α＜；故选：C．【点评】本题考查直线的斜率、倾斜角的计算，关键是求出斜率的范围．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，则a的取值可以是（）A．﹣1B．1C．2D．5【分析】由题意可得，三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点，由此求得a的范围．【解答】解：∵三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点．而直线x+y＝0和x﹣y＝0交于原点，无论a为何值，直线x+ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay＝3与另两条直线不平行，所以，a≠±1，故选：CD．【点评】本题主要考查三条直线能构成三角形的条件，两条直线不平行的条件，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的定义域为RB．函数f（x）在R上为增函数C．函数f（x）的值域为（﹣3，+∞）D．函数f（x）只有一个零点【分析】利用分段函数的性质对应各个选项逐个判断即可．【解答】解：选项A：由已知可得函数定义域为R，故A正确；选项B：当x＜1时，函数f（x）为增函数，当x≥1时，函数为增函数，且41﹣3＝1＞ln1＝0，所以函数在R上不单调，故B错误；选项C：当x＜1时，﹣3＜f（x）＜1，当x≥1时，f（x）≥0，所以函数的值域为（﹣3，+∞），故C正确；选项D：当x＜1时，令4x﹣3＝0，解得x＝log43，当x≥1时，令lnx＝0，解得x＝1，故函数有两个零点，故D错误，故选：AC．【点评】本题考查了分段函数的性质，考查了学生对分段函数的理解能力，属于中档题．11．（5分）设z为复数，在复平面内z、对应的点分别为P、Q，坐标原点为O，则下列命题中正确的有（）A．当z为纯虚数时，P，O，Q三点共线B．当z＝1+i时，△POQ为等腰直角三角形C．对任意复数z，D．当z为实数时，【分析】当z为纯虚数时，可得P、O、Q都在虚轴上，判断A正确；由|OP|＝|OQ|且判断B；举例说明C错误；当z为实数时，由判断D．【解答】解：对于A，当z为纯虚数时，设z＝bi（b∈R且b≠0），则P（0，b），O（0，0），Q（0，﹣b），三点共线，故A正确；对于B，当z＝1+i时，，则P（1，1），Q（1，﹣1），|OP|＝|OQ|，且，则△POQ为等腰直角三角形，故B正确；对于C，取z＝1，则，有，故C错误；对于D，当z为实数时，，则，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．12．（5分）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，下列命题中真命题是（）A．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交B．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直C．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交D．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行【分析】点M不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交，A正确．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，B正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，C不正确．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，D正确．【解答】解：直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取C1C的中点N，则MN∥AB，且MN＝AB，设BN与B1C1交于H，则点A、B、M、N、H共面，直线HM必与AB直线相交于某点O．所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故A正确．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故B正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故C不正确．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知，，则tan2α＝．【分析】由已知求得cosα，进一步得到tanα，再由二倍角的正切求解．【解答】解：∵，，∴cosα＝﹣，∴tanα＝．则tan2α＝＝．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．14．（5分）已知两点A（1，﹣2），B（5，0），则线段AB的垂直平分线方程为2x+y﹣5＝0．【分析】求出线段AB的中点和斜率，可得AB中垂线的斜率，再利用点斜式求出线段AB的垂直平分线方程．【解答】解：经过两点A（1，﹣2），B（5，0）的直线的斜率为＝，中点为（3，﹣1），则线段AB的垂直平分线的斜率为﹣2，故线段AB的垂直平分线方程为y+1＝﹣2（x﹣3），即2x+y﹣5＝0，故答案为：2x+y﹣5＝0．【点评】本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式求直线的方程，属于基础题．15．（5分）甲、乙两位同学进行羽毛球赛，采取三局两胜制．设甲每一局获胜的概率为，乙每一局获胜的概率为，且甲已获得第一局胜利．求甲获得最终比赛胜利的概率为．【分析】直接法：分成甲胜第二局直接取胜和乙胜第二局甲胜第三局两种情况，甲胜第二局概率为，乙胜第二局甲胜第三局概率为＝，由此能求出甲获胜概率．间接法：先求出乙获胜概率，利用对立事件概率计算公式能求出甲获胜概率．【解答】解：直接法：分成甲胜第二局直接取胜和乙胜第二局甲胜第三局两种情况．甲胜第二局概率为：，乙胜第二局甲胜第三局概率为：＝，∴甲获胜概率为：＝．间接法：乙获胜概率为＝，所以甲获胜概率为：1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，△SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，则该三棱锥外接球的表面积为．【分析】由题意画出图形，可得等边三角形ABC外接圆的圆心为三棱锥S﹣ABC的外接球的其球心，求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：如图，取AB中点G，则G为三角形SAB的外心，取等边三角形ABC的外心O，则OG⊥平面SAB，又二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，即平面SAB⊥平面ABC，且平面SAB∩平面ABC＝AB，∴OG⊥平面SAB，则OC＝OA＝OB＝OS，故O为三棱锥S﹣ABC的外接球的球心，则外接球的半径R＝OC＝，则该三棱锥外接球的表面积为4π×＝．故答案为：．【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查数形结合思想，是中档题．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g（x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．【分析】（1）直接由已知结合利润＝总收益﹣总成本可得每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）分段求出函数的最大值，则答案可求．【解答】解：由题意可得：（1）；（2）由（1）可得：当0≤x≤10时，f（x）＝﹣2（x﹣8）2+23．当x＝8时，f（x）max＝f（8）＝23；当x＞10时，f（x）＝30﹣x为减函数，则f（x）＜20．∴当x＝8时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大．最大利润为：w＝23×10＝230（万元）．【点评】本题考查函数模型的选择及其应用，训练了分段函数最值的求法，是基础题．18．（12分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，f（A）＝，a＝，b＝2c，求c．【分析】（I）先结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；（II）由已知可先求A，然后结合余弦定理可求．【解答】解：（I）f（x）＝，＝﹣cos x，＝sin（x﹣），故函数的最大值为1；（II）由f（A）＝sin（A﹣）＝且A为三角形内角，则A＝，因为a＝，b＝2c，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc，即3＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝1．【点评】本题主要考查了二倍角公式，正弦函数的性质，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．19．（12分）某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查．（1）求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率．【分析】（1）由频率分布直方图的性质列方程能求出a，由此能估算这100位学生学习的平均时长．（2）从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，在[6，11）的学生中抽取5位，在[21，26）的学生中抽取3位，从这8位学生中随机抽取2位家访，基本事件总数n＝＝28，这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m＝＝15．由此能求出这2位学生来自不同组别的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.020+0.050+0.070+a+a）×5＝1，解得a＝0.03．∴估算这100位学生学习的平均时长为：3.5×0.020×5+8.5×0.050×5+13.5×0.070×5+18.5×0.030×5+23.5×0.030×5＝13.5（小时）．（2）从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，学习时长在[6，11）的学生中抽取：8×＝5位，学习时长在[21，26）的学生中抽取：8×＝3位，从这8位学生中随机抽取2位家访，基本事件总数n＝＝28，这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m＝＝15．∴这2位学生来自不同组别的概率P＝＝．【点评】本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．20．（12分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°．求：（1）AC1的长；（2）直线BD1与AC所成角的余弦值．【分析】（1）由，两边平方，代入数量积运算即可求解；（2）分别求出、及，再由数量积求夹角公式可得直线BD1与AC 所成角的余弦值．【解答】解：（1）∵，∴＝+＝22+12+12+2×1×2×cos120°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°＝2，∴；（2）∵，∴＝12+12+0＝2，∴，∵，∴＝+＝22+12+12+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°＝6，∴，∴＝﹣2．∴＝．∴直线BD1与AC所成角的余弦值为．【点评】本题考查空间中的点、线、面间的距离计算，考查异面直线所成角的求法，考查空间向量的应用，是中档题．21．（12分）已知直线l：（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．（2）为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．【分析】（1）直线l方程可整理为：a（3x﹣y）+（﹣x+2y﹣1）＝0，由直线系的知识联立方程组，解方程组可得定点；（2）把直线转化为y＝x﹣，由直线不经过第二象限，得到x的系数不小于0，且常数不大于0，由此能求出实数m的取值范围，（3）由题意可得a的范围，分别令x＝0，y＝0可得相应的截距，可表示面积，由二次函数的知识可得结论．【解答】解：（1）直线l方程可整理为：a（3x﹣y）+（﹣x+2y﹣1）＝0，联立，解得，∴直线恒过定点（，）；（2）∵（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1，当a＝2时，x＝，满足题意，当a≠2时，∴y＝x﹣，∵直线不经过第二象限，∴，解得a＞2．∴实数a的取值范围是[2，+∞）；（3）由题意可知直线的斜率k＝＜0，解得＜a＜2，令y＝0可得x＝，令x＝0可得y＝．∴S△＝•|•|＝||，对于函数y＝3a2﹣7a+2其对称轴为a＝，当a＝时，此时函数y取最小值，且为负数，为﹣所以函数y＝|3a2﹣7a+2|的范围为（0，]，∴S的面积有最小值，当a＝时取最小值．此时l的方程为：5y+15x﹣6＝0．【点评】本题考查直线方程过定点的证明，考查直线不过第二象限时参数的取值范围的求法涉及函数最值的求解，属中档题．22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝PD＝P A＝AD＝AB＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面P AB；（2）求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．【分析】（1）取PB的中点E，P A的中点F，连接DF，EF，EC，先证明四边形EFDC 为平行四边形，可得CE∥DF，由面面垂直的性质定理证明AB⊥平面P AD，从而证明AB⊥DF，CE⊥AP，由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PCB和平面PCD的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可．【解答】（1）证明：取PB的中点E，P A的中点F，连接DF，EF，EC，所以EF∥AB，AB＝2EF，又因为AB∥CD，AB＝2CD，则EF∥CD，且EF＝CD，故四边形EFDC为平行四边形，所以CE∥DF，因为平面PDA⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，又因为AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面P AD，又DF⊂平面P AD，所以AB⊥DF，因为PD＝P A，F为P A的中点，所以DF⊥AP，因为CE∥DF，所以CE⊥AB，CE⊥AP，又AP∩AB＝A，AB⊂平面P AB，所以CE⊥平面P AB，又因为CE⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面P AB．（2）解：取AD的中点O，取BC的中点G，以点O为坐标原地，建立如空间直角坐标系图所示，则O（0，0，0），，所以，，设平面PCB的法向量为，则，即，令，则x＝1，y＝﹣1，故，设平面PCD的法向量为，则，即，令，则x＝3，故，设二面角D﹣PC﹣B的大小为θ，所以|cosθ|＝＝，则，故二面角D﹣PC﹣B的正弦值为．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．。
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题(含答案与解析)_2894
长沙市雅礼中学2024届模拟试卷（二）数 学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数()x f =的定义域是（ ）A. []22-,B. ()2,2-C. {}2,2x x x -或D. {}2,2-2. 已知函数y=f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）A. B. C. D.3. 中心在坐标原点，离心率为53的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ） A. y =±54x B. y =±45xC. y =±43xD. y =±34x4. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，当()32f -=-时，则()2023f 等于（ ） A. 2B. 2-C. 0D. 4-5. 将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像向右平移φ（0φ>）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图像关于直线4x π=对称，则φ的最小值为 A.34π B.2πC.8πD.38π 6. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A 0.96B. 0.94C. 0.79D. 0.757. 在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，则向量BD u u u r在BA上的投影向量为（）A. 3BA 2B. 3BA 4C.D.BA8. 如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列结论一定成立的是（ ）A. 三棱锥1A A PD -的体积大小与点P 的位置有关B.1A P 与平面1ACD 相交C 平面1PDB ^平面11A BCD. 1AP D C ⊥二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题的..目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的有（ ） A. 2c cd <B. a c b d -<-C. ac bd <D.0c da b-> 10. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A. 此人第二天走了九十六里路B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C. 此人第三天走的路程占全程的18D. 此人后三天共走了42里路11. 三棱锥A BCD -的侧棱AB 垂直于底面BCD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，三棱锥A BCD -的体积43A BCD V -=，则（ ） A. 三棱锥A BCD -的四个面都是直角三角形 B. 2CD =C. π2CDA ∠=D. 三棱锥A BCD -外接球的体积三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 在复数范围内，方程210x x ++=的根为________.13. 已知圆N ：22650x y y +-+=，直线1y =-，圆M 与圆N 外切，且与直线1y =-相切，则点M 轨迹方程为_____________．14. 若m ，*n ∈N ，3m ≥，2n m ≥+，则22111222A A A C A A mm m n m n m n ----=++_____________．（请用一个排列数来表示）四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =. （1）求角C 的大小；（2）试求ABC 面积S 的最大值.16. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，PD ⊥底面ABCD ．的（1）证明：PA BD ⊥；（2）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．17. 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>，右焦点为(),斜率为1的直线l 与椭圆G 交于,A B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -. （1）求椭圆G 的方程； （2）求PAB 的面积.18. 某手机App 为了答谢新老用户，设置了开心大转盘抽奖游戏，制定了如下中奖机制：每次抽奖中奖的概率为p ，n 次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖．每次中奖时有12的概率中积分奖，有12的概率中现金奖．若某一次中奖为积分奖，则下一次抽奖必定中现金奖，抽到现金奖后抽奖结束．（1）若2n =，12p =，试求直到第3次才抽到现金奖的概率； （2）若19n =，0.01p =，X 表示抽到现金奖时的抽取次数． （ⅰ）求X 的分布列（用p 表示即可）；（ⅱ）求X 的数学期望()E X ．（180.990.8345≈，结果四舍五入精确到个位数）19. 极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值. 对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，当0x ∆>，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处右可导；当0x ∆<，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处左可导.当函数()y f x =在点0x 处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数()y f x =在点0x 处可导.（1）请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数极值点；的（2）已知函数()22132e sin e ax f x x x x x +=--.（ⅰ）求函数()21e sin e axg x x x +=--在0x =处的切线方程；（ⅱ）若0x =为()f x 的极小值点，求a 的取值范围.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数()x f =的定义域是（ ）A. []22-,B. ()2,2-C. {}2,2x x x -或D. {}2,2-【答案】D 【解析】【分析】根据函数有意义得出不等式组，解之即得函数定义域.【详解】由()f x =224040x x ⎧-≥⎨-≥⎩，解得2x =±，即函数的定义域为{2,2}-. 故选：D.2. 已知函数y=f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【详解】由y ＝f′(x)的图象知，y ＝f(x)的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快， 而在区间(0,1)上增长速度越来越慢． 故选B.3. 中心在坐标原点，离心率为53的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ） A. y =±54x B. y =±45xC. y =±43xD. y =±34x【答案】D 【解析】【分析】根据离心率可求出43b a =，再根据焦点位置可得出渐近线方程. 详解】∵c a =53，∴222259a b a +=，∴43b a =. ∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y =±abx . ∴所求双曲线的渐近线方程为y =±34x . 故选：D.4. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，当()32f -=-时，则()2023f 等于（ ） A. 2 B. 2-C. 0D. 4-【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和对称性推得函数()f x 的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得()2023f 的值.【详解】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴()()2f x f x =-，故()()()2f x f x f x -=+=-， ∴()()()24f x f x f x =-+=+，∴()f x 是周期为4的周期函数．【则()()()3(202350533)42f f f f =⨯+==--=． 故选：A ．5. 将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移φ（0φ>）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图像关于直线4x π=对称，则φ的最小值为 A.34π B.2πC.8πD.38π 【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的平移和伸缩变换，求得变换后的解析式；根据对称轴代入即可求得φ的表达式，进而求得φ的最小值．【详解】将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移φ（0φ>）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍后解析式变为 ()2sin 424f x x πφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为图像关于直线4x π=对称所以42242x k ππφπ-+=+代入4x π=化简得38k πφπ=+，k ∈Z所以当k=0时，φ取得最小值为38π 所以选D【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换，三角函数对称轴的应用，属于中档题．6. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A. 0.96 B. 0.94C. 0.79D. 0.75【答案】B【解析】【分析】根据方差的计算公式求得正确答案. 【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：8001200988.412008001200800⨯+⨯=++（小时），该地区中学生每天睡眠时间的方差为：()()228001200198.40.588.40.9412008001200800⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦++.故选：B7. 在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，则向量BD u u u r在BA上的投影向量为（）A. 3BA 2B. 3BA 4C.D.BA【答案】B 【解析】【分析】首先画出图形，根据投影的几何意义，计算结果.【详解】由余弦定理可知2222cos1201113BC AB AC AB AC =+-⋅⋅=++= ，BC ∴=，30ABC ∠= ，AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，ABC 是等腰三角形，D ∴是BC中点，BD =，由图可知向量BD u u u r在BA 上的投影向量为BE3cos304BE BD ==34BE BA = ，34BE BA ∴= .故选：B【点睛】本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.8. 如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列结论一定成立的是（ ）A. 三棱锥1A A PD -的体积大小与点P 的位置有关B.1A P 与平面1ACD 相交C. 平面1PDB ^平面11A BCD. 1AP D C ⊥ 【答案】C 【解析】【分析】由11A A PD P AA D V V --=，结合正方体1111ABCD A B C D -的性质，可得判定A 不成立；由线面平行的判定定理，分别证得1//BC 平面1ACD 和1//BA 平面1ACD 得到平面11//BA C 平面1ACD ，可判断B 不成立；根据线面垂直的判定定理，证得1B D ⊥平而11A BC ，得到平面1PDB ^平面11A BC ，可判定C 成立；根据当B 与P 重合时，得到AP 与1D C 的夹角为4π，可判定D 不成立.【详解】对于A 中，由11A A PD P AA D V V --=，在正方体1111ABCD A B C D -中， 可得1//BC 平面1AA D ，所以P 到平面1AA D 的距离不变， 即三棱锥1P AA D -的高不变，又由1AA D △的面积不变， 因此三棱锥1P AA D -的体积不变，即三棱锥1A A PD -的体积与点P 的位置无关，故A 不成立.对于B 中，由于11//BC AD ，1AD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ， 所以1//BC 平面1ACD ，同理可证1//BA 平面1ACD ， 又由11BA BC B = ，所以平面11//BA C 平面1ACD ，因为1A P ⊂平面11BA C ，所以1//A P 平面1ACD ，所以B 不成立.对于C 中，因为11A C BD ⊥，111A C BB ⊥，1BD BB B ⋂=， 所以11A C ⊥平面1BB D ，则111A C B D ⊥，同理11A B B D ⊥， 又因为1111A C A B A = ，所以1B D ⊥平而11A BC .又由1B D ⊂平面1PDB ，所以平面1PDB ^平面11A BC ，所以C 成立. 对于D 中，当B 与P 重合时，可得AP 与1D C 的夹角为4π，所以D 不成立.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的有（ ）A. 2c cd <B. a c b d -<-C. ac bd <D.0c da b-> 【答案】AD 【解析】【分析】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误. 【详解】对于A ，由0c d >>和不等式性质可得2c cd <，故A 正确； 对于B ，因0a b c d >>>>，若取2a =，1b =，1c =-，2d =-， 则3a c -=，3b d -=，所以a c b d -=-，故B 错误；对于C ，因0a b c d >>>>，若取2a =，1b =，1c =-，2d =-， 则2ac =-，2bd =-，所以ac bd =，故C 错误； 对于D ，因0a b >>，则110a b<<，又因0c d >>则0c d <-<-， 由不等式的同向皆正可乘性得，c d a b-<-，故0c da b ->，故D 正确．故选：AD ．10. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A. 此人第二天走了九十六里路B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C. 此人第三天走的路程占全程的18D. 此人后三天共走了42里路 【答案】ABD 【解析】【分析】设第n 天走a n 里路，则{a n }是首项为a 1，公比为12q =的等比数列，由S 6＝378求得首项，再逐一分析四个选项的答案．【详解】设此人第n 天走a n 里路，则{a n }是首项为a 1，公比为12q =的等比数列， 由等比数列前n 项和公式得：1661(1)2378112a S -==-，解得a 1＝192，A ：21192962a =⨯=，故此人第二天走了九十六里路，正确； 为B ：后五天所走的路程为378192186-=里，则第一天比后五天多走1921866-=里，正确；C ：31192484a =⨯=，而4813788>，错误； D ：456111192()4281632a a a ++=⨯++=，正确．故选：ABD11. 三棱锥A BCD -的侧棱AB 垂直于底面BCD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，三棱锥A BCD -的体积43A BCD V -=，则（ ） A. 三棱锥A BCD -的四个面都是直角三角形 B. 2CD =C. π2CDA ∠=D. 三棱锥A BCD -外接球的体积【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设条件构造长方体，计算分析推得正方体，判断其外接球直径即该正方体的体对角线长，推理计算即可一一判断各选项正误.【详解】因AB ⊥平面BCD ，则,AB BC AB CD ⊥⊥,又BC CD ⊥ 则可构造如图所示的长方体，则AD 为三棱锥A BCD -的外接球的直径．对于A ，因AB ⊥平面BCD ，因,,BC CD BD ⊂平面BCD ,则,AB BC AB CD ⊥⊥，AB BD ⊥， 因AB CD ⊥，BC CD ⊥，且AB BC B ⋂=,可得CD ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，故CD AC ⊥,即三棱锥A BCD -的四个面都是直角三角形，故A 正确； 对于B ，由11422323A BCD V CD -=⨯⨯⨯⨯=解得2CD =，即B 正确； 对于C ，由A 项分析得CD AC ⊥，故在Rt ACD △中，CDA ∠是锐角，故C 错误； 对于D ，设三棱锥A BCD -外接球的半径为R ，由2AB BC CD ===,知该长方体为正方体，则22AD R ===,解得R =，故其外接球体积为34π3V R ==，即D 正确. 故选:ABD ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查三棱锥的相关性质的应用及外接球问题,属于难题.解此题的关键在于弄清题中,,AB BC CD 三条直线的两两垂直关系，构造长方体，从而将对三棱锥的性质探究转化为对长方体的探究，给解题带来了较大的方便.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 在复数范围内，方程210x x ++=的根为________.【解析】【分析】根据复数范围求根公式求解【详解】因为1430D =-=-<，所以方程210x x ++=【点睛】本题考查复数范围解实系数一元二次方程，考查基本分析求解能力，属基础题.13. 已知圆N ：22650x y y +-+=，直线1y =-，圆M 与圆N 外切，且与直线1y =-相切，则点M 的轨迹方程为_____________． 【答案】212x y = 【解析】【分析】设动圆的半径为r ，则点M 到l ＇：=3y -与点M 到点N 的距离相等，都是2r +，再利用抛物线的定义求解.【详解】由题意得，直线l ：1y =-，且圆N ：()2234x y +-=，设圆M 半径为r ，则点M 到l ＇：=3y -与点M 到点N 的距离相等，都是2r +， 故点M 的轨迹是以N 为焦点，以l ＇为准线的抛物线，故方程为212x y =． 故答案为：212x y =14. 若m ，*n ∈N ，3m ≥，2n m ≥+，则22111222A A A C A A m m m n m n m n ----=++_____________．（请用一个排列数来表示） 【答案】2A mn - 【解析】【分析】根据排列的意义及分类加法计数原理，对其中两个指定的元素,a b 分类求解即可. 【详解】从n 个元素中选取m 个元素排列到m 个位置上去，对于两个指定的元素,a b 进行分类，,a b 都被选出来，有222A A m m n --种排法，,a b 中有一个被选出来，有11122C A A m m n --种排法，,a b 都没有被选出来，有2A mn -种排法，所以221112222A A A C A A A mm m mn m n m n n -----=++． 故答案为：2A mn -.四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =. （1）求角C 大小；（2）试求ABC 面积S 的最大值. 【答案】（1）3π（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式得到关于cos C 的方程，解出cos C ，进而得到C ；（2）根据正弦定理求得c ，根据余弦定理，结合基本不等式可得12ab ≤，代入三角形面积公式求得面积的最大值.的【详解】（1）由22sincos 212A BC ++=得：()2cos 212sin cos cos 2A B C A B C +=-=+=- 即22cos cos 10C C +-= 解得：1cos 2C =或cos 1C =-（舍） 3C π∴=（2）由正弦定理得：2sin 4sin3c R C π===由余弦定理得2221122cos 222c a b ab C ab ab ab ==+-≥-⋅=当且仅当a b ==ab 取得最大值1211sin 1222S ab C ∴=≤⨯=，即ABC ∆面积S 的最大值为【点睛】本题考查正余弦定理解三角形、三角形面积的最值问题，关键是能够利用余弦定理构造出基本不等式的形式，从而得到积的最大值.16. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，PD ⊥底面ABCD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理求解即可；（2）以D 为坐标原点，,,DA DB DP 为,,x y z 轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】因为60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，所以在ABD △中，由余弦定理得2222cos DB AD AB AD AB DAB =+-⨯⨯∠，解得DB =，所以在ABD △中222AD DB AB +=，所以BD AD ⊥，又因为PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥， 因为AD PD D =I ，,AD PD ⊂平面PAD ， 所以BD ⊥平面PAD ， 又因为PA ⊂平面PAD ， 所以PA BD ⊥.小问2详解】因为PD ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥， 结合（1）可知,,DP DA DB 两两垂直，以D 为坐标原点，,,DA DB DP 为,,x y z 轴建立如图所示坐标系，所以()0,0,1P ，()1,0,0A，()B，()C -，所以()1PB =- ，()1,0,1PA =-，()1PC =-- ，设平面APB 的法向量()111,,x n y z =，则11110PB n z PA n x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，解得n = ， 设平面CPB 的法向量()222,,m x y z =，则222220PB m z PC m x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，解得(m = ，所以cos ,n m n m n m⋅===，所以结合图像可得二面角A PB C --的余弦值为. 17. 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>，右焦点为(),斜率为1的直线l 与椭圆G 交【于,A B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -. （1）求椭圆G 方程； （2）求PAB 的面积.【答案】（1）221.124x y +=（2）92【解析】【分析】（1）根据椭圆的简单几何性质知a =，又2224b a c =-=，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线y x m =+，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出AB 中点为00(,)E x y 的坐标，再根据△PAB 为等腰三角形知PE AB ⊥，从而得PE 的斜率为241334mk m -==--+，求出2m =，写出AB ：20x y -+=，并计算||AB =，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积．【详解】（1）由已知得c =c a =a =，又2224b ac =-=， 所以椭圆G 的方程为221124x y +=．（2）设直线l 的方程为y x m =+，由22,{1124y x m x y ，=++=得22463120x mx m ++-=，① 设A 、B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y （12x x <），AB 中点为00(,)E x y ， 则120324x x m x +==-，004my x m =+=， 因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE AB ⊥．所以PE 的斜率为241334mk m -==--+，解得2m =，此时方程①为24120x x +=．解得13x =-，20x =，所以11y =-，22y =，所以||AB =， 此时，点(3,2)P -到直线AB ：20x y -+=的距离d ， 的所以△PAB 的面积1922S AB d =⋅=． 考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离. 【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题．解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键．18. 某手机App 为了答谢新老用户，设置了开心大转盘抽奖游戏，制定了如下中奖机制：每次抽奖中奖的概率为p ，n 次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖．每次中奖时有12的概率中积分奖，有12的概率中现金奖．若某一次中奖为积分奖，则下一次抽奖必定中现金奖，抽到现金奖后抽奖结束．（1）若2n =，12p =，试求直到第3次才抽到现金奖的概率； （2）若19n =，0.01p =，X 表示抽到现金奖时的抽取次数． （ⅰ）求X 的分布列（用p 表示即可）；（ⅱ）求X 的数学期望()E X ．（180.990.8345≈，结果四舍五入精确到个位数） 【答案】（1）14（2）（ⅰ）分布列见解析，（ⅱ）19 【解析】【分析】（1）先设抽到现金奖时共抽取了3次为事件A ，事件A 包括两种情况，分别算出概率即可. （2）X 的可能取值为1，2，3，…，19，20，21，由（1）可得2X =，3，…，19的概率，因为19次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖，所以求20X =的概率时，可以包括前18次没中第19次中了积分奖第20次一定中现金奖或前19次没中奖第20次中现金奖两种情况，分别写出概率列出分布列求期望即可.【小问1详解】设抽到现金奖时共抽取了3次为事件A ，则事件A 包括第一次未中奖第二次未中奖第三次中了现金奖或第一次未中奖第二次中了积分奖第三次中现金奖，其中中了积分奖的概率为111224⨯=， 则()1111111222244P A =⨯⨯+⨯⨯=，所以直到第3次才抽到现金奖的概率为14． 【小问2详解】（ⅰ）X 的可能取值为1，2，3，…，19，20，21．()112P X p ==， ()()()()()21211111121222i i i P X i p p p p p p p ---==-⋅⋅+-⋅=--，2i =，3，…，19， ()()()()18191811120111222P X p p p p ==-⋅+-⋅=-，()()()1919112111122P X p p ==-⋅⨯=-，所以X 的分布列为 X 12…i…2021P12p ()122p p - … ()()21212i p p p --- … ()18112p - ()19112p - 其中2i =，3，…，19． （ⅱ）()()()()()()12111112232121192222i E X p p p p p p i p p p -=⨯+⨯-+⨯--++⨯--++⨯ ()()()1719181112120(1)211222p p p p p --+⨯-+⨯- ()()()()()()217181911212231411911011222p p p p p p p p ⎡⎤=+-+-+-++-+-+-⎣⎦ ，令()()()21723141191S p p p =+-+-++- ，则()()()()()23181213141191p S p p p p -=-+-+-++- ， 作差得()()()()()23171821111191pS p p p p p =+-+-+-++--- ，则()()()17181112191p p pS p p⎡⎤---⎣⎦=+--，所以()()()()()18182111192221222p p p p p S p p p p ⎡⎤----⎣⎦-=-+---，()()()()()()()181818192111192122110112222p p p E X p p p p p p p⎡⎤----⎣⎦=+-+---+-+-，()()()()()()()1818181921219212110112222p p p E X p p p p p p --+=----+-+-，()()()()()18221921121012222p p E X p p p p p ⎡⎤-+=+----++-⎢⎥⎣⎦()18111122p p pp ⎛⎫=++--- ⎪⎝⎭，代入0.01p =，因为180.990.8345≈，所以得()19E X ≈， 所以X 的数学期望()E X 约为19.19. 极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值. 对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，当0x ∆>，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处右可导；当0x ∆<，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处左可导.当函数()y f x =在点0x 处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数()y f x =在点0x 处可导.（1）请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点； （2）已知函数()22132e sin e ax f x x x x x +=--.（ⅰ）求函数()21e sin e axg x x x +=--在0x =处的切线方程；（ⅱ）若0x =为()f x 的极小值点，求a 的取值范围. 【答案】（1）y x =，说明见解析（2）（ⅰ）切线方程为0y =，（ⅱ）1ea ≥ 【解析】【分析】（1）根据题意，求出函数y x =的左导数和右导数，即可说明； （2）（ⅰ）根据导数的几何意义求切线； （ⅱ）()()221e sin e axf x xx x +=--，通过利用导数研究函数()g x 的性质，解决()f x 的极小值问题，从而求a 的取值范围.【小问1详解】y x =，0x =为该函数的极值点，当0x ∆>，()()000000lim lim lim 1x x x x f x f x x x x∆→∆→∆→∆-+∆-∆===∆∆∆， 当0x ∆<，()()000000lim lim lim 1x x x x f x f x x x x ∆→∆→∆→∆-+∆--∆===-∆∆∆，则该函数在0x =处的左导数为1-，右导数为1，所以该函数在0x =处不可导.【小问2详解】（ⅰ）根据题意，(0)0g =，则切点()0,0，又()212e sin cos ax g ax x x x x +'=--，则(0)0k g '==，所以切线方程为0y =；（ⅱ）()()22213221e sin e e sin e ax ax f x x x x x x x x ++=--=--， 因为当0x ≠时，20x >，故()f x 与()g x 同号，()21e sin e ax g x x x +=--，先考察()g x 的性质，由于()g x 为偶函数，只需分析其在()0,∞+上的性质即可，()212e sin cos ax g ax x x x x +'=--，()0,0g '=，设()()212e sin cos ,0,ax m ax x x x x x ∞+=--∈+，则()()222124e 2cos sin ax a a x x x x m x +=+-+'，()2e 20m a =-'，则必有()2002e a m =-'≥，即1ea ≥. ①否则，若()2002e a m =-<'，即1e a <， 则必存在一个区间()0,m ，使得()0m x '<，则()g x '在()0,m 单调递减，又()00g '=，则()g x '在区间()0,m 内小于0，则()g x 在()0,m 单调递减，又()00g =，故()g x 在区间()0,m 内小于0，故()f x 在区间()0,m 内小于0，则0x =不可能为()f x 的极小值点.②当1ea ≥时，()22111e e sin e e sin e x ax g x x x x x ++=----≥， 令()211e e sin e x h x x x +=--，()2112e sin cos ee x x h x x x x +'=--， 令()2112e sin cos ex e x x x x s x +=--， 则()2112e 224e 2cos sin e e x x x x x s x +'⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭， 易知2112e 224e e e x y x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上单调递增， 对2cos sin y x x x =-+，2sin sin cos 3sin cos y x x x x x x x '=++=+，则3sin cos y x x x '=+在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上大于0， 故2cos sin y x x x =-+在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 故()2112e 224e 2cos sin e e x x x x x s x +'⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 又()00s '=，故()0s x '≥，故()h x '在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 又()00h '=，故()0h x '≥，故()h x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 又()00h =，故()0h x >，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()()21e sin e 0ax x x x g x h +=-->≥，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，由偶函数知π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x >， 故0x =为()f x 的极小值点，所以a 的取值范围为1ea ≥. 【点睛】关键点点睛：最后一问中由()()221e sin e ax f x x x x +=--，通过利用导数研究函数()g x 的性质，解决()f x 的极小值问题，从而求a 的取值范围.。
湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．若{1,2},{(,),}A B x y x A y A ==∈∈∣,则集合B 中元素的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．42．若,R a b ∈，则“a b =”是“22a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题“a ∃∈R ，210ax +=有实数解”的否定是（）A ．a ∀∈R ，210ax +≠有实数解B ．a ∃∈R ，210ax +=无实数解C ．a ∀∈R ，210ax +=无实数解D ．a ∃∈R ，210ax +≠有实数解4．已知集合{1,2}M =，{1,2,4}N =，给出下列四个对应关系：①1y x=，②1y x =+，③y x =，④2y x =，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）A ．B ．C ．D ．6．若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A ．02a <<B ．111a b+≤C 2≤D ．228a b +≤7．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则满足()0xf x <的x 的取值范围是（）A ．()(),22,∞∞--⋃+B ．()()0,22,+∞UC ．()()2,02,-+∞ D ．()(),20,2-∞- 8．若函数()()()()2212(0)210b x b x f x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+--≤⎪⎩，为在R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（）A ．1,22⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[]1,2D ．[2,)+∞二、多选题9．对于函数()bf x x x=+，下列说法正确的是（）A ．若1b =，则函数()f x 的最小值为2B ．若1b =，则函数()f x 在(1,)+∞上单调递增C ．若1b =-，则函数()f x 的值域为R D ．若1b =-，则函数()f x 是奇函数10．已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）的部分图象如图所示，则（）A ．0abc >B ．0a b +>C ．0a b c ++<D ．不等式20cx bx a -+>的解集为1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭11．定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，当0x <时，()0f x >，则下列说法正确的是（）A ．()00f =B ．()f x 为奇函数C ．()f x 在区间[],m n 上有最大值()f n D ．()()22120f x f x -+->的解集为{}31x x -<<三、填空题12．若36a ≤≤，12b ≤≤，则a b -的范围为.13．定义在R 上的函数()f x 满足：①()f x 为偶函数；②在0,+∞上单调递减；③()01f =，请写出一个满足条件的函数()f x =．14．对于一个由整数组成的集合A ，A 中所有元素之和称为A 的“小和数”，A 的所有非空子集的“小和数”之和称为A 的“大和数”.已知集合{1,0,1,2,3}B =-，则B 的“小和数”为，B 的“大和数”为.四、解答题15．已知集合{}3A x a x a =≤≤+，集合{1B x x =<-或5}x >，全集R U =.(1)若A B =∅ ，求实数a 的取值范围；(2)若命题“x A ∀∈，x B ∈”是真命题，求实数a 的取值范围.16．已知幂函数()2()253mf x m m x =-+是定义在R 上的偶函数.(1)求()f x 的解析式；(2)在区间[]1,4上，()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围.17．已知关于x 的不等式(2)[(31)]0mx x m ---≥.(1)当2m =时，求关于x 的不等式的解集；(2)当R m ∈时，求关于x 的不等式的解集.18．为促进消费，某电商平台推出阶梯式促销活动：第一档：若一次性购买商品金额不超过300元，则不打折；第二档：若一次性购买商品金额超过300元，不超过500元，则超过300元部分打8折；第三档：若一次性购买商品金额超过500元，则超过300元，不超过500元的部分打8折，超过500元的部分打7折.若某顾客一次性购买商品金额为x 元，实际支付金额为y 元.(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)若顾客甲、乙购买商品金额分别为a 、b 元，且a 、b 满足关系式45085b a a =++-320(90)a ≥，为享受最大的折扣力度，甲、乙决定拼单一起支付，并约定折扣省下的钱平均分配.当甲、乙购买商品金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付多少钱？并分析折扣省下来的钱平均分配，对两人是否公平，并说明理由．（提示：折扣省下的钱=甲购买商品的金额+乙购买商品的金额-甲乙拼单后实际支付的总额）19．经过函数性质的学习，我们知道：“函数()y f x =的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“()y f x =是奇函数”．(1)若()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()1f x x =+，求()f x 的解析式；(2)某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数()y f x =的图象关于点(),0a 成中心对称图形”的充要条件是“()y f x a =+为奇函数”．若定义域为R 的函数()g x 的图象关于点()1,0成中心对称图形，且当1x >时，1()1g x x=-．（i ）求()g x 的解析式；（ii ）若函数()f x 满足：当定义域为[],a b 时值域也是[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值”区间，若函数()()()0h x tg x t =>在()0,∞+上存在保值区间，求t 的取值范围．。
雅礼集团 2023-2024 学年第二学期 12 月联考高一年级数学参考答案
雅礼集团2023-2024 学年第二学期12月联考8．【答案】D 【详解】由 2()(())(1)(())0g x f f x a f f x a ， 得 10f f x f f x a ， 解得 1f f x 或 f f x a ， 作出 f x 的图象如图，则若 1f x ，则0x 或2x ，设 t f x ，由 1f f x 得 1f t ，此时0 t 或2t ， 当0 t 时， 0f x t ，有两根， 当2t 时， 2f x t ，有一个根， 则必须有 f f x a ，1a 有5个根， 设 t f x ，由 f f x a 得 f t a ，若0a ，由 0f t a ，得1t 或1t ， 1f x 有一个根，1f x 有两个根，共3个根，不满足题意； 若1a ，由 f t a ，得2t ， f x t 有一个根，不满足条件. 若a<0，由 f t a ，得21t ， f x t 有一个根，不满足条件； 若01a ，由 f t a ，得110t 或201t 或 312t ， 当110t ， 1f x t 有一个根，当201t 时， 2f x t 有3个根，当312t 时， 3f x t 有一个根，此时共有5个根，满足题意. 所以实数a 的取值范围为 0,1. 故选：A.10．【答案】BCD 【解析】对于B ，()log (1)1(0,1)a f x x a a 恒过点(2,1)，B 正确；取等号，即B 正确；6()2x y x y 舍或，则x+y 的最小值为2，即D 正确； 故选：AC.二、填空题 13.314. 1.25,1.5与的中点横坐标为即：124x x ，当时，由于在上是减函数，在上是增函数，又因为，，则，有，244log 214x x 又故取值范围是(33] ，三、解答题 17．【答案】（1）0； ………5分 （2）2 ………10分所以1和b 是方程2540ax x 的两个实数根且0a ， ………2分当且仅当36x y时，等号成立， ………8分依题意有 2min 7x y k k ，即297k k ， ………10分得22021k k k ，所以k 的取值范围为2,1 . ………12分20．【详解】（1）解：因为 f x 是定义域为R 的偶函数，所以 f(−x)=f(x), [222][222]xx x x x k x k ………2分[222][222](22)2(22)0x x x x x x x x x k x k x x k 1(22)(1)0,x x k x k 即 ………5分（2）解： 22222222222222x x x x x x x x g x m m ，令22x x t ，因为函数12x t 、22xt 均为 1, 上的增函数，函数222y t mt 图象的对称轴为t m ，21.【详解】（1）由题意知，当 0,14t 时，曲线是二次函数图象的一部分，又当 14,45t 时，曲线是函数 log 583a yt (0a 且1a )图象的一部分，（2）由题意知，注意力指数p 大于80时听课效果最佳，解得：1432t. ………10分∴ f x 的定义域为 ,33, ； ………3分即 f x b 在(3) ，上有且只有一个解， ∵函数 f x 在(3) ，上的值域为(0,) ， ∴b 的范围是(0,) ． ………7分（3）假设存在这样的实数a ，使得当f x 的定义域为 ,m n 时，值域为 1log ,1log a a n m ， 由m n 且1log a n 1log a m ，可得01a．即 2313h x ax a x ，有两个大于3的相异零点.。
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雅礼中学高一年级数学必修2模块结业考试试 题 卷时量：120分钟满 分：100 分（必考试卷Ⅰ） 50分（必考试卷Ⅱ）命题人：高一备课组必考试卷Ⅰ一、选择题:本大题共7个小题,每小题5分,满分35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是（ ） A ．正三角形的直观图仍然是正三角形. B ．平行四边形的直观图一定是平行四边形. C ．正方形的直观图是正方形. D ．圆的直观图是圆2．已知直线的倾斜角为45°，在y 轴上的截距为2，则此直线方程为（ ） A ．y x =+2. B ．y x =-2 C ．y x =-+2 D ．y x =--23．已知直线:(),l m x y -+-=11210:,l mx y -+=230 若l l ⊥12，则m 的值为（ ） A ．2. B ．-1 C ．-21或 D ．134的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积等于（ ） ( )A. 4πB. 6πC. 8πD. 9π5．已知圆:C x y x y +++-=2212880与圆:C x y x y +---=2224420相交，则圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线的方程为（ ）A ．210x y ++=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y --=6．若a 、b 表示两条不同直线，α、β表示两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A ．,a b a b αα⊥⇒⊥∥ B ．a b a b αα⇒∥,∥∥ C ．a b a b αα⊂⇒∥,∥ D ．a a αβαβ⊥⊂⇒⊥,7．已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ） A.B.C.D.BACDB AA二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8. 若球的表面积为36π，则该球的体积等于 。
答案：36π9．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为１的正方形，侧棱长1AA =，则异面直线11A B 与1BD 的夹角大小等于___________. 答案：60︒10. 与圆()()x y -+-=22124关于y 轴对称的圆的方程为______________.答案：()()x y ++-=2212411. 已知点,A B 到平面α的距离分别为4cm 和6cm ，当线段ＡＢ与平面α相交时，线段AB 的中点M 到α平面的距离等于_________________． 答案：112. 无论m 为何值，直线:()()l m x m y m +++--=211740恒过一定点P ，则点P 的坐标为_________. 答案：(3,1)13. 直线y kx =+1与以A (3,2)、B (2,3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是_________. 答案：[,]113三、解答题:本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14．（本小题满分11分）如图示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都侧视图俯视图ＡＢＣＤ 1A1B1C 1D是边长为2的正三角形，俯视图为半径等于1的圆.试求这个几何体的侧面积与体积.解析：根据几何体的三视图知，原几何体是以半径为1 (3)分由于该圆锥的母线长为2，则它的侧面积2S rl ππ==侧，……………7分体积213V r h π==.……………11分15．（本小题满分12分）已知直线1l ：310ax y ++=，2l ：(2)0x a y a +-+=. （1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离. 解析：（1）由12l l ⊥知3(2)0a a +-=，…………4分 解得32a =；……………6分（2）当12//l l 时，有(2)303(2)0a a a a --=⎧⎨--≠⎩，…………8分解得3a =，…………9分此时，1l 的方程为：3310x y ++=， 2l 的方程为：30x y ++=即3390x y ++=，则它们之间的距离为d ==分16．（本小题满分12分）如图示，AB 是圆柱的母线，BD 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上一点，E 是AC 中点，且2,45AB BC CBD ==∠=︒. （1）求证：CD ABC ⊥面；（2）求直线BD 与面A ＣＤ所成角的大小.解析：（1）证明：∵BD 是底面圆直径，∴CD BC ⊥，……２分又AB ⊥面BCD ，CD ⊂面BCD ， ∴AB CD ⊥，……４分从而，CD ⊥面ABC ；…………5分（2）连接ＤＥ，由（１）知BE CD ⊥，又E 是AC 中点，2AB AC ==，90ABC ∠=︒ 则BE AC ⊥，所以，BE ⊥面ACD .………７分于是，直线BD 与面A ＣＤ所成角为BDE ∠，………９分 而BE ⊥面ACD ，则BE ED ⊥，即BED ∆为直角三角形. 又2,45AB BC CBD ==∠=︒，则BD =而BE =，所以30BDE ∠=︒。
…………12分必考试卷Ⅱ一、选择题:本大题共1个小题,每小题5分,满分5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、直线2=-y x 被圆22(4)4x y -+=所截得的弦长为（ ）AB ．22 C． D ． 4 答案：Ｂ二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线ABCDEABCDE2、若圆柱的侧面展开图是边长为４的正方形，则它的体积等于 . 答案：16π三、解答题:本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 3、（本小题满分13分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，90ACB ∠=︒，1AC BC CC a ===，E 是11A C 的中点，F 是AB 中点.（1）求证：EF ∥面11BB C C ；（2）求直线EF 与直线1CC 所成角的正切值；（3）设二面角E AB C --的平面角为θ，求tan θ的值. 解析：（1）证明：取AC 中点G ，连EG 、FG ， ∵1//,//EG C C FG BC ，∴面//EFG 面1C BC 而EF ⊂面1C BC ，则EF ∥面1C CB ， 即EF ∥面11BB C C ；…………4分（2）.∵1//EG CC ，所以直线EF 与直线1CC 所成角为FEG ∠，…………6分又EFG ∆是直角三角形，且90FGE ∠=︒，则112tan 2aFGFEG EG a ∠===；…………8分 （3）取H 为AF 中点，连接HG 、HE ，∵F 是AB 中点，G 是AC 中点，∴//HG FC ， 又AC BC =，则FC AB ⊥，于是HG AB ⊥，而EG ⊥面ABC ，则EG AB ⊥，从而AB ⊥面HEG ，故AB HE ⊥，则EHG ∠是二面角E AB C --的平面角，所以，EHG ∠=θ，…………11分 又EHG ∆是直角三角形，且90HGE ∠=︒，12HG FC ==，1EG CC a ==，则tan EG HGθ===13分4、（本小题满分13分）已知⊙C 经过点(2,4)A 、(3,5)B 两点，且圆心C 在直线220x y --=上.ABA 1B 1C 1 FECGHABA 1B 1C 1 EC（1）求⊙C 的方程；（2）若直线3y kx =+与⊙C 总有公共点，求实数k 的取值范围. 解析：（1）解法1：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则2222242406353508242()()2022D E F D D E F E D E F ⎧++++=⎪=-⎧⎪⎪++++=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪----=⎩，…………5分 所以⊙C 方程为2268240x y x y +--+=.………6分 解法2：由于AB 的中点为59(,)22D ，1AB k =，则线段AB 的垂直平分线方程为7y x =-+，而圆心C 必为直线7y x =-+与直线220x y --=的交点， 由7220y x x y =-+⎧⎨--=⎩解得34x y =⎧⎨=⎩，即圆心(3,4)C，又半径为1CA ==，故⊙C 的方程为22(3)(4)1x y -+-=.（2）解法1：因为直线3y kx =+与⊙C 总有公共点，则圆心(3,4)C 到直线3y kx =+1，………11分将其变形得2430k k -≤， 解得304k ≤≤.………………13分解法2：由2222(3)(4)1(1)(62)903x y k x k x y kx ⎧-+-=⇒+-++=⎨=+⎩， 因为直线3y kx =+与⊙C 总有公共点，则22(62)36(1)0k k ∆=+-+≥， 解得304k ≤≤.注：如有学生按这里提供的解法2答题，请酌情记分。
5、(本小题满分14分）如图所示，在一个特定时段内，以点E 为中心的10海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北403海里处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东30°且与点A 相距100海里的位置B ，经过2小时又测得该船已行驶到点A 北偏东60°且与点A 相距203海里的位置C .（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）; （2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解析：（1）如图建立平面直角坐标系：设一个单位为10海里 则坐标平面中AB = 10，AC = 2 3 A (0,0)，E (0, －43) 再由方位角可求得：B (5,53)，C (3,3) ………………4分 所以|BC | =(5－3)2+(53－3)2= 213……………6分所以BC 两地的距离为2013海里所以该船行驶的速度为1013海里/小时 ………………7分（2）直线BC 的斜率为53－35－3 = 2 3所以直线BC 的方程为：y － 3 = 23(x －3) 即23x －y －5 3 =0………10分所以E 点到直线BC 的距离为|43－53| 13 = 313 < 1………12分所以直线BC 会与以E 为圆心，以一个单位长为半径的圆相交，所以若该船不改变航行方向则会进入警戒水域。
……………14分答：该船行驶的速度为1013海里/小时，若该船不改变航行方向则会进入警戒水域。
北南西东。