2011届高考数学圆锥曲线的综合问题3
高考数学真题练习——圆锥曲线的综合高考真题
圆锥曲线的综合一．选择题（共4小题）1．（2020•浙江）已知点(0,0)O ，(2,0)A -，(2,0)B ．设点P 满足||||2PA PB -=，且P 为函数y =图象上的点，则||(OP = )A ．2B C D 2．（2019•天津）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），则双曲线的离心率为( )A B C ．2D3．（2015•天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为( )A ．22134x y -=B ．22143x y -=C ．2212128x y -=D ．2212821x y -=4．（2012•山东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，与双曲线221x y -=的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A ．22182x y +=B ．221126x y +=C ．221164x y +=D ．221205x y +=二．多选题（共1小题）5．（2020•海南）已知曲线22:1C mx ny +=．( ) A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n =>，则CC ．若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若0m =，0n >，则C 是两条直线 三．填空题（共1小题）6．（2011•山东）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ． 四．解答题（共10小题）7．（2017•天津）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点(B B 异于)A ，直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆AP 的方程． 8．（2017•浙江）如图，已知抛物线2x y =，点1(2A -，1)4，3(2B ，9)4，抛物线上的点(P x ，13)()22y x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PA PQ 的最大值．9．（2016•山东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过动点(0M ，)(0)m m >的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，(P P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B ． （ⅰ）设直线PM ，QM 的斜率分别为1k ，2k ，证明21k k 为定值； （ⅱ）求直线AB 的斜率的最小值．10．（2014•湖南）如图，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ；双曲线22222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e，已知12e e =，且24||1F F =．（Ⅰ）求1C 、2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P ，Q两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．11．（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、A '两点，||4AA '=．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P '，过P 、P '作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ P Q '⊥，求圆Q 的标准方程．12．（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设： ①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =； ②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向． （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？13．（2011•浙江）如图，设P 是抛物线21:C x y =上的动点．过点P 做圆222:(3)1C x y ++=的两条切线，交直线:3l y =-于A ，B 两点．（Ⅰ）求2C 的圆心M 到抛物线1C 准线的距离．（Ⅱ）是否存在点P ，使线段AB 被抛物线1C 在点P 处的切线平分？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2011•辽宁）如图，已知椭圆1C 的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上．椭圆2C 的短轴为MN ，且1C ，2C 的离心率都为e ．直线l MN ⊥．l 与1C 交于两点，与2C 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A 、B 、C 、D ．（Ⅰ）12e =，求||BC 与||AD 的比值； （Ⅱ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得//BO AN ，并说明理由．15．（2010•江西）已知抛物线221:C x by b +=经过椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点．（1）求椭圆2C 的离心率；（2）设(3,)Q b ，又M ，N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若QMN ∆的重心在抛物线1C 上，求1C 和2C 的方程．16．（2010•山东）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F ，2F 为顶点的三角形的周长为1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ． （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明121k k =；（Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数λ，使得||||||||AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．圆锥曲线的综合参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2020•浙江）已知点(0,0)O ，(2,0)A -，(2,0)B ．设点P 满足||||2PA PB -=，且P 为函数y =图象上的点，则||(OP = )A B C D 【解答】解：点O (0,0)，(2,0)A -，B (2,0)．设点P 满足||||2PA PB -=，可知P 的轨迹是双曲线22113x y -=的右支上的点，P 为函数y =221364y x +=在第一象限的点，联立两个方程，解得P ，所以||OP =． 故选：D ．2．（2019•天津）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），则双曲线的离心率为( )A B C ．2D【解答】解：抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ． (1,0)F ∴，准线l 的方程为1x =-，l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点）， 2||b AB a ∴=，||1OF =，∴24b a=，2b a ∴=，c ∴==，∴双曲线的离心率为ce a== 故选：D ．3．（2015•天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为( )A ．22134x y -=B ．22143x y -=C ．2212128x y -=D ．2212821x y -=【解答】解：由题意，b a =，抛物线2y =的准线方程为x =2y =的准线上，c ∴2227a b c ∴+==，2a ∴=，b =∴双曲线的方程为22143x y -=．故选：B ．4．（2012•山东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，与双曲线221x y -=的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A ．22182x y +=B ．221126x y +=C ．221164x y +=D ．221205x y +=【解答】解：由题意，双曲线221x y -=的渐近线方程为y x =± 以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，(2,2)∴在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上∴22441a b +=又e =∴22234a b a -= 224a b ∴= 220a ∴=，25b =∴椭圆方程为：221205x y +=故选：D ．二．多选题（共1小题）5．（2020•海南）已知曲线22:1C mx ny +=．( ) A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n =>，则CC ．若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若0m =，0n >，则C 是两条直线【解答】解：A ．若0m n >>，则11m n<，则根据椭圆定义，知22111x y m n+=表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；B ．若0m n =>，则方程为221x y n +=的圆，故B 错误； C ．若0m <，0n >，则方程为22111x y m n +=，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为y =， 若0m >，0n <，则方程为22111x y m n+=，表示焦点在x轴的双曲线，故此时渐近线方程为y =， 故C 正确；D ．当0m =，0n >时，则方程为y =表示两条直线，故D 正确；故选：ACD ． 三．填空题（共1小题）6．（2011•山东）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 22143x y -= ．【解答】解：由题得，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点坐标为，0)，(，0)，c =且双曲线的离心率为22c a a=⇒=．2223b c a ⇒=-=， 双曲线的方程为22143x y -=．故答案为：22143x y -=．四．解答题（共10小题）7．（2017•天津）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点(B B 异于)A ，直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆AP 的方程． 【解答】（Ⅰ）解：设F 的坐标为(,0)c -．依题意可得12212c a p a a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=． 所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =．（Ⅱ）解：直线l 的方程为1x =-，设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠， 联立方程组11x x my =-⎧⎨=+⎩，解得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m -．联立方程组221413x my y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634m y m =-+．2234(34m B m -+∴+，26)34m m -+． ∴直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(32m D m -+，0)．2222236||13232m m AD m m -∴=-=++． 又APD ∆，∴22162232||m m m ⨯⨯=+，整理得23|20m m -+=，解得||m，m ∴= ∴直线AP的方程为330x +-=，或330x -=．8．（2017•浙江）如图，已知抛物线2x y =，点1(2A -，1)4，3(2B ，9)4，抛物线上的点(P x ，13)()22y x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PA PQ 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知2(,)P x x ，1322x -<<，所以2114(1,1)122APx k x x -==-∈-+， 故直线AP 斜率的取值范围是：(1,1)-； （Ⅱ）由()I 知2(,)P x x ，1322x -<<，所以1(2PA x =--，21)4x -，设直线AP 的斜率为k ，则2114122x k x x -==-+，即12x k =+， 则11:24AP y kx k =++，139:24BQ y x k k =-++，联立直线AP 、BQ 方程可知2234(22k k Q k +-+，22981)44k k k +++，故2321(1k k k PQ k +--=+，4322)1k k k kk --+++，又因为2(1,)PA k k k =----，故323322(1)(1)(1)(1)||||(1)(1)11k k k k k PA PQ PA PQ k k k k+-+--==+=+-++， 所以3||||(1)(1)PA PQ k k =+-， 令3()(1)(1)f x x x =+-，11x -<<， 则22()(1)(24)2(1)(21)f x x x x x '=+-=-+-， 由于当112x -<<时()0f x '>，当112x <<时()0f x '<， 故127()()216max f x f ==，即||||PA PQ 的最大值为2716．9．（2016•山东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过动点(0M ，)(0)m m >的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，(P P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B ． （ⅰ）设直线PM ，QM 的斜率分别为1k ，2k ，证明21k k 为定值； （ⅱ）求直线AB 的斜率的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c．由题意知24,2a c ==所以2,a b ==C 的方程为22142x y +=．（Ⅱ）证明：（ⅰ）设0(P x ，00)(0y x >，00)y >， 由(0,)M m ，可得0(P x ，2)m ，0(Q x ，2)m -． 所以直线PM 的斜率1002m m m k x x -==，直线QM 的斜率20023m m mk x x --==-， 此时213k k =-．所以21kk 为定值3-． （ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．直线PA 的方程为y kx m =+， 直线QB 的方程为3y kx m =-+．联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得222(21)4240k x mkx m +++-=．由20122421m x x k -=+，可得21202(2)(21)m x k x -=+，所以211202(2)(21)k m y kx m m k x -=+=++．同理222222002(2)6(2),(181)(181)m k m x y m k x k x ---==+++． 所以22222122220002(2)2(2)32(2)(181)(21)(181)(21)m m k m x x k x k x k k x -----=-=++++，22222122220006(2)2(2)8(61)(2)(181)(21)(181)(21)k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++，所以221216111(6)44ABy y k k k x x k k-+===+-．由0m >，00x >，可知0k >， 所以1626k k+，等号当且仅当k 时取得，=，即m =， 所以直线AB10．（2014•湖南）如图，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ；双曲线22222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e，已知12e e =，且24||1F F =．（Ⅰ）求1C 、2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，12e e ==12||F F =．123e e =24||1F F =．∴2221b a+=1=． 解得：1a b ==．∴椭圆1C 的方程为2212x y +=，双曲线2C 的方程为2212x y -=；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1(1,0)F -． 直线AB 不垂直于y 轴，∴设AB 的方程为1x ny =-，联立22112x ny x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210n y ny +--=． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(M x ，0)y ， 则120222,22n n y y y n n +==++，12212y yn =-+． 则||AB=． M 在直线AB 上， ∴20222122n x n n =-=-++．直线PQ 的方程为002y ny x x x ==-， 联立22212n y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得222()202n x x -⨯--=．解得2242x n =-，代入2n y x =- 得2222n y n =-．由220n ->，得n <P ∴，Q的坐标分别为(， 则P ，Q 到AB 的距离分别为：2212n nn d +-=，2222n n n d --=P ，Q 在直线A ，B 的两端，∴22122n nn d d +-+=．则四边形APBQ 的面积12213||()22S AB d d n =+=--． ∴当20n =，即0n =时，四边形APBQ 面积取得最小值2．11．（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、A '两点，||4AA '=．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P '，过P 、P '作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ P Q '⊥，求圆Q 的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知点(,2)A c -在椭圆上，则222()41c a b-+=，即222241a b a b -+=①离心率e =，∴2222212c a b a a -==② 联立①②得：2412b =，所以28b =． 把28b =代入②得，216a =．∴椭圆的标准方程为221168x y +=；（Ⅱ）设(,0)Q t ，圆Q 的半径为r ，则圆Q 的方程为222()x t y r -+=， 不妨取P 为第一象限的点，因为PQ P Q '⊥，则()(0)P t t +>． 联立22222()1168x t y r x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，得222421620x tx t r -++-=．由△222(4)4(2162)0t t r =--+-=，得228t r +=又()P t +在椭圆上，所以22())221168t ++=．整理得，218r t -=代入228t r +=，得22221(8)282r r r-+=． 解得：2163r =．所以283t =，t =．此时4t r +=+<． 满足椭圆上的其余点均在圆Q 外． 由对称性可知，当0t <时，t =2163r =． 故所求圆Q的标准方程为2216(3x y +=． 12．（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设： ①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =； ②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向． （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【解答】解：（1）0.5t =时，P 的横坐标772P x t ==，代入抛物线方程21249y x =中，得P 的纵坐标3P y =．2⋯分由||AP =海里/时．4⋯分 由7tan 30OAP ∠=，得7arctan 30OAP ∠=，故救援船速度的方向为北偏东arctan 730弧度．6⋯分 （2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为2(7,12)t t ．由vt 2221144()337v t t =++．10⋯分 因为2212t t +，当且仅当1t =时等号成立，所以22144233725v ⨯+=，即25v ．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．14⋯分13．（2011•浙江）如图，设P 是抛物线21:C x y =上的动点．过点P 做圆222:(3)1C x y ++=的两条切线，交直线:3l y =-于A ，B 两点．（Ⅰ）求2C 的圆心M 到抛物线1C 准线的距离．（Ⅱ）是否存在点P ，使线段AB 被抛物线1C 在点P 处的切线平分？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线1C 准线的方程为：14y =-，所以圆心M 到抛物线1C 准线的距离为：111|(3)|44---=．（Ⅱ）设点P 的坐标为0(x ，2)x ，抛物线1C 在点P 处的切线交直线l 与点D ， 因为：2y x =，所以：2y x '=；再设A ，B ，D 的横坐标分别为A x ，B x ，D x ，∴过点0(P x ，2)x 的抛物线1C 的切线的斜率02k x =． 过点0(P x ，20)x 的抛物线1C 的切线方程为：20002()y x x x x -=-① 当01x =时，过点(1,1)P 且与圆2C 相切的切线PA 方程为：151(1)8y x -=-．可得1715A x =-，1B x =，1D x =-，2A B D x x x +≠．当01x =-时，过点(1,1)P -且与圆2C 的相切的切线PB 的方程为：151(1)8y x -=-+．可得1A x =-，1715B x =，1D x =，2A B D x x x +≠．所以210x -≠．设切线PA ，PB 的斜率为1k ，2k ， 则：210:()PA y x k x x -=-② 2020:()PB y x k x x -=-．③将3y =-分别代入①，②，③得20003(0)2D x x x x -=≠；20013A x x x k +=-；200123(B x x x k k +=-，20)k ≠ 从而20012112(3)()A B x x x x k k +=-++．21=，即22222010010(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=， 同理22222020020(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=， 所以1k ，2k 是方程222220000(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=的两个不等的根， 从而20012202(3)1x x k k x ++=-，2201220(3)11x k k x +-=-， 因为2A B D x x X +=．．所以220001203112(3)()x x x k k x --++=，即120111k k x +=．从而20022002(3)1(3)1x x x x+=+-，进而得48x =，0x = 综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为(．14．（2011•辽宁）如图，已知椭圆1C 的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上．椭圆2C 的短轴为MN ，且1C ，2C 的离心率都为e ．直线l MN ⊥．l 与1C 交于两点，与2C 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A 、B 、C 、D ．（Ⅰ）12e =，求||BC 与||AD 的比值； （Ⅱ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得//BO AN ，并说明理由．【解答】解：()I 因为1C ，2C 的离心率相同，故依题意可设22122:1x y C a b+=，222242:1,(0)b y x C a b a a +=>>设直线:(||)l x t t a =<，分别与1C ，2C 的方程联立，求得(A t，(B t （4分） 当12e =，b =，分别用A y ，B y 表示的A ，B 的纵坐标，可知222||3||:||2||4B A y b BC AD y a ===（6分）（Ⅱ）0t =时的l 不符合题意，0t ≠时，//BO AN 当且仅当BO 的斜率BO k 与AN 的斜率AN k 相等， 即a b t t a=-， 解222221ab e t a a b e-=-=--；因为||t a <，又01e <<，所以22111e e--<-<1e <<所以当20e <时，不存在直线l ，使得//BO AN ；1e <<时，存在直线l ，使得//BO AN ． 15．（2010•江西）已知抛物线221:C x by b +=经过椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点．（1）求椭圆2C 的离心率；（2）设(3,)Q b ，又M ，N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若QMN ∆的重心在抛物线1C 上，求1C 和2C 的方程．【解答】解：（1）因为抛物线1C 经过椭圆2C 的两个焦点1(,0)F c -，2(,0)F c ， 所以220c b b +⨯=，即22c b =，由22222a b c c =+=得椭圆2C 的离心率e =． （2）由（1）可知222a b =，椭圆2C 的方程为：222212x y b b += 联立抛物线1C 的方程22x by b +=得：2220y by b --=，解得：2by =-或y b =（舍去），所以x =，即(,),,)22b bM N --，所以QMN ∆的重心坐标为(1,0)． 因为重心在1C 上，所以2210b b +⨯=，得1b =． 所以22a =．所以抛物线1C 的方程为：21x y +=，椭圆2C 的方程为：2212x y +=．16．（2010•山东）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F ，2F 为顶点的三角形的周长为1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ．（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明121k k =；（Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数λ，使得||||||||AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为c a =得a =，又221)a c +=，所以可解得a =，2c =，所以2224b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22184x y +=；所以椭圆的焦点坐标为(2,0)±，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144x y -=．（Ⅱ）设点0(P x ，0)y ， 则0102y k x =+，0202y k x =-， 2000122000224y y y k k x x x ∴==+--，又点0(P x ，0)y 在双曲线上， ∴2200144x y -=，即2204y x =-， 20122014y k k x ∴==-．（Ⅲ）假设存在常数λ，使得得||||||||AB CD AB CD λ+=恒成立， 则由()II 知121k k =，∴设直线AB 的方程为(2)y k x =+，则直线CD 的方程为1(2)y x k=-， 由方程组22(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得：2222(21)8880k x k x k +++-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则由韦达定理得，22121222888,1221k k xx x x k k --+==++， AB∴=，同理可得22221))1221k k CD k k++===++，||||||||AB CD AB CD λ+=，211||||AB CDλ∴=+-==∴存在常数λ，使得||||||||AB CD AB CD λ+=恒成立．。
2011-2017新课标高考数学圆锥曲线分类汇编(文)
2011-2017新课标(文科)圆锥曲线分类汇编一、选择填空[2011新课标]4．椭圆的离心率为〔 D 〕A．B．CD[解析]cea===2228111162，be ea=-=-=∴=，故选D.[2011新课标]9．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直. l与C交于A, B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为〔 C 〕A．18B．24C．36D．48[解析]易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C.[2012新课标]4．设F1、F2是椭圆E：22221x ya b+=(a>b>0)的左、右焦点，P为直线32ax=上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为〔C〕A．12B．23C．34D．45[解析]∵△F2PF1是底角为30º的等腰三角形，260PF A∴∠=︒，212||||2PF F F c==，∴2||AF=c，322c a∴=，34e∴=，故选C.[2012新课标]10．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，||AB=C的实轴长为〔〕A．．4D．8[解析]由题设知抛物线的准线为：4x=，设等轴双曲线方程为：222x y a-=，将4x=代入等轴双曲线方程解得y=∵||AB=∴a=2，∴C的实轴长为4，故选C.[2013新课标1]4. 已知双曲线C：2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)，则C的渐近线方程为( )A．y=±14x B．y=±13x C．y=±12x D．y＝±x[解析]∵e=∴ca=2254ca=，∵c2＝a2＋b2，∴2214ba=.∴12ba=.∵双曲线的渐近线方程为by xa=±，∴渐近线方程为12y x=±，故选C。
[2013新课标1]8. O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝的焦点，P为C上一点，若|PF|＝，则△POF的面积为(C)．A．2 B．．．4[解析]利用|PF|＝Px=可得x P＝∴y P＝±∴S△POF＝12|OF|·|y P|＝221168x y+=1312∆[2013新课标2]5. 设椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为(D ) A ．6 B ． 13 C ． 12D ．3[解析]如图所示，在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由tan 30°＝212||||2PF x F F c ==3x =， 而由椭圆定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝3x ，∴32a x ==，∴3c e a ===[2013新课标2]10. 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF|＝3|BF|，则l 的方程为(C)．A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝(x -1)或y ＝ -(x -1)C ．y ＝ 3(x -1)或y ＝ -3(x -1)D ．y ＝ 2(x -1)或y ＝ -2(x -1)[解析]由题意可得抛物线焦点F(1,0)，准线方程为x ＝－1，当直线l 的斜率大于0时，如图所示，过A ，B 两点分别向准线x ＝－1作垂线， 垂足分别为M ，N ，则由抛物线定义可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|. 设|AM|＝|AF|＝3t(t ＞0)，|BN|＝|BF|＝t ，|BK|＝x ，而|GF|＝2， 在△AMK 中，由||||||||NB BK AM AK =，得34t xt x t=+， 解得x ＝2t ，则cos ∠NBK＝||1||2NB t BK x ==， ∴∠NBK ＝60°，则∠GFK ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°. ∴斜率k ＝tan 60°y 1)x －． 当直线l 的斜率小于0时，如图所示， 同理可得直线方程为y＝1)x －，故选C.[2014新课标1]〔4〕已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a 〔 D 〕 A. 2 B.26C. 25D. 1 [解析]2=，解得1a =，选D. [2014新课标2]10. 设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB =〔 C 〕 〔A 〔B 〕6 〔C 〕12 〔D 〕[2014新课标2]12. 设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值X 围是〔 A 〕〔A 〕[]1,1-〔B 〕1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，〔C〕⎡⎣〔D 〕22⎡-⎢⎣⎦，[2015新课标1]〔5〕已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|=〔B 〕 〔A 〕3 〔B 〕6 〔C 〕9 〔D 〕12[2015新课标1]16. 已知F 是双曲线C ：x 2-82y=1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A 〔0,66〕.当△APF 周长最小是，该三角形的面积为12√6[2015新课标2]15．已知双曲线过点()34，，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程x 24-y 2=1。
2011山东数学圆锥曲线
2011山东数学圆锥曲线摘要：一、引言二、2011 年山东数学高考圆锥曲线试题概述1.题目背景2.题目类型3.难度及考查知识点三、解题思路及步骤1.分析题目2.提取关键信息3.运用相关知识点解题四、答案解析1.答案2.解析五、总结正文：一、引言随着高考制度的不断改革，数学圆锥曲线题目在高考中的地位日益显著。
本文将以2011 年山东数学高考圆锥曲线试题为例，为大家详细解析该题的解题思路及步骤。
二、2011 年山东数学高考圆锥曲线试题概述1.题目背景在2011 年山东数学高考中，圆锥曲线题目作为压轴题出现，分值高达12 分。
该题以实际问题为背景，考查了学生对圆锥曲线知识的掌握程度和解题能力。
2.题目类型该题为综合题，考查了椭圆、双曲线及抛物线的性质及其应用。
题目难度适中，需要考生具备一定的分析问题和解决问题的能力。
3.难度及考查知识点该题综合考查了圆锥曲线的基本性质、几何意义、方程求解等知识点，需要考生对这些知识点有较为全面的了解和掌握。
三、解题思路及步骤1.分析题目首先，考生要仔细阅读题目，理解题意，明确考查的知识点和要求。
2.提取关键信息通过阅读题目，提取关键信息，如曲线类型、已知条件、要求等。
3.运用相关知识点解题根据提取的关键信息，运用圆锥曲线相关知识点进行解答。
需要注意的是，解题过程中要注重逻辑性和条理性，步骤要清晰。
四、答案解析1.答案根据解题过程，得出最终答案。
2.解析对答案进行详细的解释和说明，包括答案的求解过程、原理及意义等。
五、总结通过对2011 年山东数学高考圆锥曲线试题的解析，希望考生能够掌握解题思路和方法，进一步提高解题能力。
2011届高考数学总复习的对策与思考
验进 行 归 纳和 总 结 ，看 看 得 到哪 些感 悟 与 启 发 。 同时教 是 否 定一 切 ，它是 指 在科 学 理 论 的指 导 下 ，面对 新 的 问 师 还可 以进一 步 引 导学 生 探索 该 问题 更 深 刻 的发 生 、发 题 敢 于提 出新 的观 点 与新 的方法 ，它 是对 一 切 落后 的 、 展 变化 ，如适 当改变 问题 的 背景 ，将 条 件 与 结论 倒 置 ，
学计 划落 实 的情 况及 下 一 周教 学 工作 的要 点 ，做到 “ 五 课 ，精 选 习题 外 ，关 键 是要 提 高课 堂 效率 ，在 课堂 上做 统 一 ” “五 细 ” “ 加 强 ” ， 即 ： 统 一 思 想 ，统 一 认 到三 到位 。 五
识 ，统一 进 度 ，统 一方 案 ，统 一 行动 ；考 纲 、 教材 要钻 研 得 细 ，复 习计 划 要制 订得 细 ，复 习 内容 要 研 究得 细 ，
２ ｔ 年２ ０ １ 月上 第 ４ （ 期 总第 ２ ６ ） ２期
墓
一
６一
／ 教学研究 ／
仿 阶段 必 须 依赖 学 生 自己 的感 悟 、摸 索 、探 究 、反 思 和 将 起 到事 半功 倍 的作用 。一 些做 法 ：１ ）不在 乎 多讲一 套 ） 总结 。 这 样 就 要 求 教 师 在 精 选 习题 时 一 定 要 选 针 对 性 题 或 少讲 一套 题 ，应根 据实 际情 况 ，做到 快慢 有致 ；２ 强 、思维 力 度适 当、有 一 定挑 战性 和 一 定钻 研价 值 的 问 在 学 生 中 组建 一 个数 学 问题讲 解 组 ，教 师可 以指定 部 分 题 。教 师 在 导时 ，既要 按 常 规方 式 讲清 怎样 审题 、常 规 问题 由讲解 组 来讲 解 ；３ ）遇 到较好 的题 材 ，教师 要 引导 思路 、方 法 和技 巧 、 关键 步 骤及 常 见 的主 要 错误 等 ，同 学 生 多 反 思 ，努 力扩 大 解题 成 果 ，总 结 解题 经 验 ，逐渐
高考数学第八篇平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题(第3课时)定点、定值、存在性专题文
＋1)，
由x82＋y42＝1，
得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.
y＋2＝k（x＋1），
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－4k（1＋k－2k22），
y1)，B(x2，y2)．
返回(fǎnhuí)导航
第7节 圆锥曲线的综合问题 第二十二页，共四十二页。
由x42＋y2＝1，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. y＝kx＋m
则 Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2 ＝－1＋8km4k2，x1x2＝41m＋2－4k42 ，则 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝m12＋－44kk22，
且 x1＋x2＝4k82k＋2 3，x1x2＝44kk22－＋132.
直线 AE 的方程为 y＝x1y－1 2(x－2)，
令 x＝4，得点 M4，x12－y12，
返回(fǎnhuí)导航
第7节 圆锥曲线的综合问题 第十七页，共四十二页。
直线 AF 的方程为 y＝x2y－2 2(x－2)， 令 x＝4，得点 N4，x22－y22， 所以点 P 的坐标为4，x1y－1 2＋x2y－2 2. 所以直线 PF2 的斜率为 k′＝x1y－1 2＋4－x21y－2 2－0 ＝13x1y－1 2＋x2y－2 2＝13·y2xx11x＋2－x22y（1－x12＋（xy21）＋＋y24）
返回(fǎnhuí)导航
第7节 圆锥曲线的综合问题 第十一页，共四十二页。
(2)由(1)知 F(1，0)，设 A(x0，y0)(x0＞0)，D(xD，0)(xD＞0)， 因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1， 由 xD＞0 得 xD＝x0＋2，故 D(x0＋2，0)， 故直线 AB 的斜率为 kAB＝－y20， 因为直线 l1 和直线 AB 平行， 故可设直线 l1 的方程为 y＝－y20x＋b，
高考数学文(二轮复习)课件讲《圆锥曲线中的综合问题》
2．有关弦长问题 (1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关 系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义 的运用，以简化运算． ①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2， y2)，则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k |x2－x1|或|P1P2|＝
2
1 1＋k2 |y2－
4．定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的 量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比 例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所 影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问 题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系 等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
3．轨迹方程问题 (1)求轨迹方程的基本步骤： ①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标 ——解析法(坐标法)； ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系； ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化； ④化简整理方程——简化； ⑤证明所得方程为所求的轨方程的常用方法： ①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程； ②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定 系数法求方程； ③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联 系； ④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动 直线交点的轨迹．
高考真题要回访，做好真题底气足 1．(2014· 四川高考)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在 → → 该抛物线上且位于x轴的两侧， OA · OB ＝2(其中O为坐标原点)， 则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( A．2 B．3 17 2 C. 8 ) D. 10
答案：B
解析：设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，A(x1，y1)， B(x2，y2)， → → ∵OA· OB＝2，
2011年高考试题分类汇编(圆锥曲线客观题)
2011年高考试题分类汇编（圆锥曲线）考点1 直线与圆1.（2011·浙江卷·文科）若直线50x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = .2.（2011·大纲全国卷·文科）设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离12C C =A.4B.8 D.3.（2011·重庆卷·理科）在圆06222=--+y x y x 内，过点(0,1)E 的最长弦与最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 A.25 B.210C.215D.2204.（2011·重庆卷·文科）过原点的直线与圆222440x y x y +--+=相交所得弦的长为2，则该直线的方程为 .5.（2011·辽宁卷·文科）已知圆C 经过(5,1)A ，(1,3)B 两点，圆心在x 轴上．则C 的方程为_______.6.（2011·安徽卷·文科）若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心,则a 的值为A.1-B.1C.3D.3-7．（2011·湖南卷·文科）已知圆C :2212x y +=直线l ：4325x y +=（1）圆C 的圆心到直线l 的距离为 ．（2）圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 ．8.（2011·江西卷·理科）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A.(B.3((0,)C.[D.3((,)-∞+∞考点2 椭圆1.（2011·全国课标卷·文科）椭圆221168x y +=的离心率为A.13B.12C.3D.22.（2011·全国课标卷·理科）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2.过1F 的直线l 交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为 .3.（2011·浙江卷·理科）设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =，则点A 的坐标是 .4．（2011·江西卷·理科）若椭圆12222=+by a x 的焦点在x 轴上，过点1(1,)2作圆122=+y x 的切线，切点分别为,A B ,直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是 .考点3 抛物线1.（2011·广东卷·文科）设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切，则C 的圆心轨迹为A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆2.（2011·陕西卷·文理科）设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是A.28y x =-B.28y x =C.24y x =-D.24y x =3.（2011·大纲全国卷·理科）已知抛物线C :24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于,A B 两点，则cos AFB ∠= A.54 B.53 C.53- D.54- 4.（2011·湖北卷·文理科）将两个顶点在抛物线22y px =（0p >）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A.0n =B.1n =C.2n =D.3n ≥4.（2011·辽宁卷·文理科）已知F 是抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 A.34 B.1 C.54 D.745.（2011·重庆卷·理科）设圆C 位于抛物线22y x =与直线3x =所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为_______.6.（2011·全国课标卷·文科）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为A.18B.24C.36D.487.（2011·山东卷·文科）设00(,)M x y 为抛物线C ：28x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是A.(0,2)B.[0,2]C.(2,)+∞D.[2,)+∞8．（2011·天津卷·理科）已知抛物线C 的参数方程为288x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C 的的焦点，且与圆222(4)(0)x y r r -+=>相切，则r = .考点4 双曲线考法1 方程1.（2011·安徽卷·文理科）双曲线2228x y -=的实轴长是A.2B.4 D.2.（2011·大纲全国卷·文理科）已知1F 、2F 分别为双曲线C ：221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF = .3.（2011·山东卷·理科）已知双曲线221a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线和圆22650x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则双曲线的方程为 A.22154x y -= B.22145x y -= C.22136x y -= D.22163x y -= 4.（2011·山东卷·文科）已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）和椭圆 221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .考法2 离心率1.（2011·江西卷·文科）若双曲线22116y x m-=的离心率2e =，则m = . 2.（2011·全国课标卷·理科）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为2 D.33.（2011·辽宁卷·理科）已知点(2,3)在双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）上，C 的焦距为4，则它的离心率为 .4.（2011·福建卷·文理科）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为1F 、2F ，若曲线C 上存在点P 满足1122::PF F F PF 4:3:2=，则曲线C 的离心率等于 A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或32 考法3 渐近线1.（2011·北京卷·文科）已知双曲线2221y x b -=（0b >）的一条渐近线的方程为2y x =，则b = .5.（2011·湖南卷·文理科）设双曲线219a -=（0a >）的渐近线方程为32x y ± 0=，则a 的值为A.4B.3C.2D.16.（2011·浙江卷·理科）已知椭圆1C ：22221x y a b+=（a >0b >）与双曲线2C ：2214y x -=有公共的焦点，1C 的一条渐近线与以2C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点.若1C 恰好将线段AB 三等分，则 A.2132a =B.213a =C.212b = D.22b =。
2011年高考数学圆锥曲线配套试卷及答案
2011年最新高考+最新模拟——圆锥曲线1. 【2010•浙江理数】设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF FF =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.340x y ±=B.350x y ±=C.430x y ±=D.540x y ±= 【答案】C【解析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案选C ，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题2. 【2010•全国卷2理数】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞过右焦点F且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（ ）（A ）1 （B （C （D ）2 【答案】B【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.3. 【2010•陕西文数】已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为 （ ）A.12B.1C.2D.4【答案】C【解析】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线y 2＝2px （p>0）的准线方程为2px -=，因为抛物线y 2＝2px （p>0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，所以2,423==+p p法二：作图可知，抛物线y 2＝2px （p>0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切与点（-1,0）所以2,12=-=-p p4. 【2010•辽宁文数】设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）12 D.12【答案】D【解析】选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：bc -，()1b ba c∴⋅-=-，2b ac ∴=220c a ac --=，解得12c e a ==.5. 【2010•辽宁文数】设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 斜率为PF =（ ）A.【答案】B【解析】利用抛物线定义，易证PAF ∆为正三角形，则4||8sin30PF ︒== 6. 【2010•辽宁理数】设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )D. 【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x ya ba b-=>>，则F（c,0）,B(0,b)直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=bxa垂直，所以1b bc a-=-，即b2=ac所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以12e=或12e-=（舍去）.7. 【2010•辽宁理数】设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=( )A. B.8C. D.16【答案】B【解析】抛物线的焦点F（2，0），直线AF的方程为2)y x=-，所以点(A-、P，从而|PF|=6+2=88. 【2010•全国卷2文数】已知椭圆C：22221x ya b+=（a>b>0）的离心率为2，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若3AF FB=。
高考数学一轮复习专题03 圆锥曲线面积问题(解析版)
F 2F 1OyxBA解析几何专题三：圆锥曲线面积问题一、知识储备 1、三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ 0021kx y md PH k-+==+00002211122'2'1ABP kx y m kx y mS AB d k A A k ∆-+∆-+∆=⋅=+⋅=+2、焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为 112121212'ABF c S F F y y c y y A ∆∆=⋅-=-= 2222222222222224()11||S =||d 22AOB a b a A b B C C AB A B a A b B A B∆+-=+++2222222222()C ab a A b B C a A b B+-=+注意：'A 为联立消去x 后关于y 的一元二次方程的二次项系数3、平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+ 1221m m d CH k-==+222222121212''11()41()41'''B C AB k x x k x x x x k k A A A ∆=+-=++-=+--⋅=+1212221''1ABCDm m m m SAB d k A A k -∆-∆=⋅=+⋅=+注意：'A 为直线与椭圆联立后消去y 后的一元二次方程的系数. 4、范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数CDHOyxBA均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论）（2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++ 当且仅当2219k k =时，等号成立 （3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+= 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立(5)2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立. 二、例题讲解1．（2022·广东高三月考）已知椭圆G ：()222210x y a b a b +=>>，且过点()3,1．（1）求椭圆G 的方程；（2）斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()3,2P -，求PAB ∆的面积．【答案】（1）221124x y +=；（2）92.【分析】（1）根据椭圆离心率、及所过的点，结合椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB ：y x b =+，其线段AB 中垂线为1y x =--，联立椭圆方程并应用韦达定理求12x x +、12x x ，进而可得12y y +，由AB 中点在中垂线上代入求参数b ，进而求||AB 、P 到AB 的距离，即可求△PAB 的面积． 【详解】（1）由题意，22222911a b a b c c e a ⎧==⎪⎪⎪+⎨==+⎪⎪⎪⎩，解得22124a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆G 的方程221124x y+=.（2）令AB 为y x b =+，则AB 中垂线方程为(3)21y x x =-++=--， 联立AB 与椭圆方程得：223()12x x b ++=，整理得22463120x bx b ++-=， 若1122(,),(,)A x y B x y ，则1232b x x +=-，2123124b x x -=， △121222by y x x b +=++=，又1212(,)22x x y y ++在AB 中垂线上，△3144b b-=，可得2b =，即123x x +=-，120x x =，△||AB == 又()3,2P -到AB的距离d △19||PABSAB d =⋅=. 2．（2022·全国高三模拟预测）已知双曲线C ：22221x ya b -=()0,0a b >>的左､右焦点分别为1F ，2F ，虚轴上､下两个端点分别为2B ，1B ，右顶点为A ，且双曲线过点，22213B F B A ac a ⋅=-.（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）设以点1F 为圆心，半径为2的圆为2C ，已知过2F 的两条相互垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与双曲线交于P ，Q 两点，直线2l 与圆2C 相交于M ，N 两点，记PMN ∆，QMN ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S +的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）[)12,+∞.【分析】（1）由22213B F B A ac a ⋅=-得223a b =，由双曲线过点得22231a b -=，两个方程联立求出a 和b ，可得双曲线1C 的标准方程；（2）设直线1l ：2x my =+，根据垂直关系得直线2l ：()2y m x =--，求出弦长||MN 和||PQ ，求出121||||2S S MN PQ +=，再根据参数的范围可求出结果. 【详解】（1）由双曲线的方程可知(),0A a ，()10,B b -，()20,B b ，()2,0F c ， 则()22,B F c b =-，()1,B A a b =.因为22213B F B A ac a ⋅=-，所以223ac b ac a -=-，即223a b =.①又双曲线过点，所以22231a b -=.② 由①②解得1a =，b = 所以双曲线1C 的标准方程为2213y x -=. （2）设直线1l ：2x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则由21l l ⊥，得直线2l ：()2y m x =--，即20mx y m +-=. 因为圆心()12,0F -到直线MN的距离d ==所以MN =2d <，故2103m ≤<. 联立221,32,y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()22311290m y my -++=， ()222144363136(1)0m m m ∆=--=+>，则1221231m y y m +=--，122931y y m =-，所以()22126113m PQ y m +=-=-，则1212S S PQ MN +=⋅=， 又2103m ≤<，所以[)1212,S S +∈+∞. 即12S S +的取值范围为[)12,+∞. 【点睛】关键点点睛：设直线1l ：2x my =+，用m 表示||MN 和||PQ 是本题的解题关键.3．（2022·浙江高三开学考试）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F 右侧的点，点A 为抛物线C在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率； （2）求三角形AMN 面积的最小值. 【答案】（1（2）16.【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，设点()2,2A t t ，可知0t >，求出M 、N 的纵坐标，利用斜率公式结合已知条件得出1AM MN k k ⋅=-，可得出关于t 的方程，解出正数t 的值，进而可求得直线AF 的斜率；（2）求出点M 、N 的坐标，求得AM 以及点N 到直线AM 的距离d ，可求得AMN 的面积关于t 的表达式，利用基本不等式可求得AMN 面积的最小值. 【详解】（1）()1,0F ，则12p=，得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =， 设()2,2A t t ，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，故0t >，设点(),0D d ，由AF DF =得211t d +=-，则22d t =+，得()22,0D t +，所以，221AMt k t =-，直线AM 的方程为2112t x y t-=+， 联立224112y xt x y t ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，得222240t y y t ---=，所以，42M A y y t -==-， 进一步得()2222AN AD tk k t t t ===--+，直线AN 的方程为212x y t t=-++， 联立22124x y t t y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()224420y y t t +-+=，4N A y y t ∴+=-，则42N y t t=--，又AM MN ⊥，22224414444A M M N A M M N AM MN A M M N A M M N A M M Ny y y y y y y y k k y y y y x x x x y y y y ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=---++--， 代入得44122422t tt t t⋅=-----，化简得：42230t t --=， 又0t >，t ∴=(3,A，AF k ∴==（2）由（1）知224,2N t t t t ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，212,M t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()222221122A M t AM x x t tt+=++=++=，直线AM 的方程2112t x y t-=+即为()22120tx t y t ---= 所以点N 到直线AM 的距离为()()()222221211t t d tt t++==+，()332331122216AMN t S t t t +⎛⎛⎫==+≥= ⎪ ⎝⎭⎝△， 当且仅当1t =时，S 取到最小值16. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．1．（2022·江苏南京·高三月考）已知抛物线1G ：24y x =与椭圆2G ：22221x y a b+=（0a b >>）有公共的焦点，2G 的左、右焦点分别为1F ，2F ，该椭圆的离心率为12． （1）求椭圆2G 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴，椭圆2G 顺次交于P ，Q ，R （P 点在椭圆左顶点的左侧），且1PFQ ∠与1PF R ∠互补，求1F QR ∆面积S 的最大值．【答案】（1）22143x y +=．（2【分析】（1）由已知条件推导出1c =，结合12e =和隐含条件222a b c =+，即可求出椭圆标准方程； （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，可得110QF RF k k +=，根据已知条件，结合韦达定理、点到距离公式和均值不等式，即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，∴椭圆的半焦距1c =，又椭圆的离心率为12，∴12c e a ==，即2a =， 222a b c =+，222413b a c ∴=-=-=，即b =∴椭圆2C 的方程为22143x y +=． （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，∴110QF RF k k +=， ∴1212011y yx x +=++，化简整理，可得1222110x y y x y y +++=①， 设直线PQ 为(0)x my n m =+≠，联立直线与椭圆方程22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简整理，可得222(34)63120m y mny n +++-=，∆222224364(34)(312)0b ac m n m n =-=-+->，可得2234n m <+②，由韦达定理，可得21212226312,3434mn n y y y y m m -+=-=++③， 将11x my n =+，22x my n =+代入①，可得12122(1)()0my y n y y +++=④， 再将③代入④，可得2226(4)6(1)3434m n mn n m m -+=++，解得4n =-，PQ ∴的方程为4x my =-，由点(1,0)F -到直线PQ的距离d =，11||2F QRSQR d =⋅= 由②可得，23416m +>，即24m >，设()f m =24m t -=，0t >，()f t ∴= 由均值不等式可知，25625692996t t t t+⋅=， 当且仅当2569t t =时，即163t =，等号成立，当2569t t+取最小值时，()f t 取最大值，即1FQR 面积S 最大，∴()18max f t =， ∴△1FQR 面积S2．（2022·重庆市第十一中学校高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为点与右焦点的连线构成正三角形． （△）求椭圆C 的标准方程；（△）设过点(0,2)P -的动直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，当OMN ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】（△）2214x y +=；（△）2y -或2y =-． 【分析】（△）由题意知，c =c a =222b a c =-，即可求得椭圆的方程； （△）设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=，利用韦达定理，弦长公式结合OMN的面积公式得到OMNS =，利用换元结合基本不等式求解. 【详解】（△）由题意知，c =cos 6c a π==， 2a ∴=，2221b a c =-=所以椭圆的方程为2214x y +=．（△）当l x ⊥轴时不合题意，由题意设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ． 联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=． 当()216430k ∆=->，即234k >，且1221614k x x k +=-+，1221214x x k =+．从而12||MN x-=．又点O 到直线MN的距离d =所以OMN 的面积1||2OMNSd MN =⋅=t ，则0t >，24444OMNt St t t==++．因为44t t +≥，当且仅当2t =，即2k =±时等号成立，且满足0∆>． 所以，当OMN 的面积最大时，直线l的方程为2y x =-或2y x =-． 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2022·全国高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别是()1F和)2F ，点Р在椭圆E 上，且12PF F △的周长是4+ （1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知、、A B C 为椭圆E 上三点，若有0OA OB OC ++=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据题设条件和椭圆的定义得到12124PF PF F F ++=+124PF PF +=，得到2a =，进而求得21b =，即可求得椭圆的方程；()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，联立方程组求得1212,x x x x +，根据0OA OB OC ++=，求得2282(,)1414km m C k k -++，结合点到直线的距离公式和面积公式，求得3332ABCOABS S=⋅=；当直线AB 斜率不存在时，得到直线AB 方程为1x =±，求得332ABCABOS S==. 【详解】（1）由题意，双曲线2222:1xy E a b+=的焦点()1F 和)2F ，可得12F F =因为12PF F △的周长是4+12124PF PF F F ++=+所以124PF PF +=，即24a =，可得2a =，又由222431b a c =-=-=， 所以椭圆E 的方程是2214x y +=.()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2221484()40k x kmx m +++-=，则22212122284416(41)0,,1414km m k m x x x x k k -∆=-+>+=-=++ 由0OA OB OC ++=，可得12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，又由122814kmx x k +=-+，可得()12121222214m y y kx m kx m k x x m k +=+++=++=+ 所以332282,1414km m x y k k ==-++， 将()33,x y 代入椭圆方程可得222282441414km m k k ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得22414m k =+， 又O 到直线AB的距离为d =则()2112OABSk =⋅+= 又由0OA OB OC ++=，可得点O 为ABC 的重心，所以3332ABCOABS S=⋅=； 当直线AB 斜率不存在时，根据坐标关系可得，直线AB 方程为1x =±，可得AB112ABOS ==所以13312ABC ABOSS==⨯综上可得：ABC S △. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．4．（2022·榆林市第十中学高三月考（理））已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的左，右焦点，126F F =，当P 在E 上且1PF 垂直x 轴时，217PF PF =.（1）求E 的标准方程；（2）A 为E 的左顶点，B 为E 的上顶点，M 是E 上第四象限内一点，AM 与y 轴交于点C ，BM 与x 轴交于点D .（i ）证明：四边形ABDC 的面积是定值. （ii ）求CDM 的面积的最大值.【答案】（1）221123x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）())max 31CDM S =△.【分析】（1）由通径长公式得21b PF a=，结合椭圆定义可得,a b 关系，再由3c =求得,a b ，得椭圆方程；（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，由三点共线把,s t 用,m n 表示，然后计算四边形面积可得结论；（ii ）由（i ）只要ABM 面积最大即可，求出椭圆的与AB 平行的切线方程，切点即为M （注意有两个切点，需要确定其中一个），从而得面积最大值． 【详解】解：（1）由题意知21b PF a=，212PF PF a +=，217PF PF =，则182PF a =，得2a b =，又3c =，222a b c =+，解得2a b == 所以E 的标准方程是221123x y +=.（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，因为A ，C ，M 三点共线，则AC AM λ=，解得t =B ，D ，M 三点共线，则BD BM μ=，解得s =，AD s =+BC t =，221123m n +=，66AD BC st ⋅--+==6612m n +==. 162ABDC S AD BC =⋅=. （ii ）因为CDM ABM ABDC S S S =-四边形△△， 所以当ABM S △最大时，CDMS 最大.1:2AB l y x =AB 平行的直线()1:02l y x p p =+<， 与221123x y +=联立，消y 得222260x px p ++-=，()2244260pp ∆=--=，解得p =p =（舍去），两平行线AB l ，l间的距离25d =，())max1312ABM S AB d =⋅=△，则())max 31CDM S =△.5．（2022·山西祁县中学高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)F ，动点P 到直线6x =的距离等于2||2PF +.动点P 的轨迹记为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）已知(2,0)A ，过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，记AOB ∆和AOD ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S +的最大值．【答案】（1）221123x y +=；（2）3.【分析】（1）设点P (x ，y )，再根据动点P 到直线x ＝6的距离等于2|PF |＋2列出方程化简即可；（2）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立直线与（1）中所得的椭圆方程，得出韦达定理，再得出S 1＋S 2＝12|OA ||y 1－y 2|关于m 的表达式，换元求解最值即可 【详解】(1)设点P (x ，y )，当6x ≥时，P 到直线x ＝6的距离显然小于PF ，故不满足题意； 故()62,6x x -=<，即4x -=整理得3x 2＋4y 2＝12，即24x ＋23y ＝1.故曲线C 的方程为24x ＋23y ＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率不为0，则可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，Δ>0显然成立， 所以y 1＋y 2＝－2634m m +，y 1y 2＝－2934m +， 所以|y 1－y 2|故S 1＋S 2＝12|OA ||y 1|＋12|OA ||y 2|＝12|OA ||y 1－y2|.设t t ≥1，则m 2＝t 2－1，则S 1＋S 2＝21231tt +＝1213t t+. 因为t ≥1，所以3t ＋1t≥4(当且仅当t ＝1时，等号成立)．故S 1＋S 2＝1213t t+≤3， 即S 1＋S 2的最大值为3.6．（2022·西藏拉萨中学高三月考（理））（1）一动圆过定点(1,0)A ，且与定圆22:(1)16C x y ++=相切，求动圆圆心的轨迹E 的方程．（2）直线l 经过点A 且不与x 轴重合，l 与轨迹E 相交于P 、Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【分析】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．由与定圆22:(1)16C x y ++=相切，且点A 的圆C 内，由||44||MC R MA =-=-，即||||4MC MA +=，利用椭圆的定义求解；（2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=，由121||2CPQSCA y y =⋅-，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．定圆C 的圆心(1,0)C -，半径为4. 点A 的圆C 内．||44||||||4MC R MA MC MA ∴=-=-∴+=，且4AC > ，∴轨迹E 是以C 、A 为焦点，长轴长为4的椭圆，所以椭圆方程为：22143x y +=. （2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=， 得()2234690m y my ++-=，设()()1122,,P x y Q x y ⋅， 则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，121||2CPQSCA y y =⋅-，=令21(1)t m t =+，则1212CPQS=1()9f t t t=+在[1,)+∞为增函数1t ∴=，即0m =时，CPQ S △取最大值3.7．（2022·山东高三模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30o ． （1）求双曲线C 的方程；（2）经过点F 的直线与双曲线的右支交与,A B 两点，与y 轴交与P 点，点P 关于原点的对称点为点Q ，求证：QABS>【答案】（1）2213x y -=；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意可得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+可求出22,a b ，从而可求出双曲线C 的方程； （2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，可得()02P k -，，()02Q k ，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，从而可表示出()()2222248131QABk k Sk +=-，再由直线与双曲线的右支交与,A B 两点，可得231k >，则2310t k =->，代入上式化简可求得结果 【详解】解：（1）由题意得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+ 解得2231a b ==，所以双曲线C 的方程为：2213x y -=（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，得()02P k -，，()02Q k ，， 设()11A x y ，，()22B x y ，，联立()22132x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得()222231121230k x k x k --++=21221231k x x k +=-，212212331k x x k +⋅=- 所以1212QABQPB QPASSSPQ x x =-=-122k x x =- 所以()()2222221212224123124443131QABk k Sk x x x x k k k ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎢⎥=+-=- ⎪⎣⎦--⎢⎥⎝⎭⎣⎦2()()222248131k k k+=-直线与双曲线右支有两个交点，所以22121222121230,03131k k x x x x k k ++=>⋅=>-- 所以231k >，设2310t k =->，()2221111645334813QABt t St t t ++⎛⎫⋅+⎪⎛⎫⎝⎭==++ ⎪⎝⎭2641564251633383643t ⎛⎫=+->⨯-=⎪⎝⎭所以QAB S >【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出()()2222248131QABk k S k+=-，再结合231k >，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题 8．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为()12,0F -，()22,0F，点(P 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）记O 为坐标原点，过点()0,2Q 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，若OAB ∆的面积为求直线l 的方程．【答案】（1）22122x y -=；（2）2y =+和2y =+． 【分析】（1）根据焦点坐标，可得2c =，所以224a b +=，代入双曲线方程，可得()222221044x y a a a-=<<-，将P 点坐标代入，即可求得a 值，即可得答案；（2）设直线l 的方程为2y kx =+，与双曲线C 联立，可得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的表达式，代入弦长公式，即可求得AB ，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直线l 的距离d ，代入面积公式，结合题意，即可求得k 的值，即可得答案. 【详解】（1）依题意，2c =，所以224a b +=，则双曲线C 的方程为()222221044x y a a a-=<<-，将点P 代入上式，得22252314a a -=-， 解得250a =(舍去)或22a =， 故所求双曲线的方程为22122x y -=．（2）依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理，得()221460k x kx ---=．因为直线l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，所以()22210(4)2410k k k ⎧-≠⎪⎨-+->⎪⎩，解得1k k ≠±⎧⎪⎨<⎪⎩(*) 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122246,11k x x x x k k +==---，所以||AB =又原点O 到直线l 的距离d =所以11||22OABSd AB =⋅==．又OABS=1=，所以4220k k --=，解得k =(*)．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+． 【点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式等知识，并灵活应用，易错点为：解得k 值，需检验是否满足判别式0∆>的条件，考查计算化简的能力，属中档题.9．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线22:1164x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ． （1）求与双曲线C 有共同渐近线且过点()2,3的双曲线标准方程； （2）若P 是双曲线C 上一点，且12150F PF ∠=︒，求12F PF △的面积．【答案】（1）221832y x -=；（2）8-【分析】（1）根据题意，设所求双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，代入点()2,3，求得k 值，即可得答案； （2）不妨设P 在C 的右支上，根据双曲线定义，可得1228PF PF a -==，根据方程可得12F F 的值，在12F PF △中，利用余弦定理可得12PF PF 的值，代入面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）因为所求双曲线与22:1164x y C -=共渐近线，所以设该双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠， 又该双曲线过点()2,3， 所以49164k -=，解得k =-2， 所以所求双曲线方程为：221832y x -=（2）不妨设P 在C 的右支上，则1228PF PF a -==，122F F c == 在12F PF △中，2222121212121212()280cos15022PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF +--+-︒===解得1232PF PF =- 所以12F PF △的面积1212111sin (328222F P S F PF PF ∠==⨯-⨯=-【点睛】解题的关键是：掌握共渐近线的双曲线方程的设法，即与22221x y a b-=共渐近线的方程可设为：2222(0)x y k k a b -=≠；与22221x y a b -=共焦点的方程可设为：22221x y a b λλ-=+-，再代入点求解即可，考查分析计算的能力，属中档题.10．（2022·浙江高三开学考试）已知抛物线T ：()22y px p N +=∈和椭圆C ：2215x y +=，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点．（1）若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；（2）若MN 恰好被AB 平分，求OAB 面积的最大值． 【答案】（1）4p =；（2【分析】（1）根据椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，再根据F 恰是椭圆C 的焦点，即可得出答案；（2）设直线l ：2p x my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，求得AB 的中点坐标，根据因为MN 恰好被AB 平分，则直线MN 的斜率等于m -，再根据点差法求得直线MN 的斜率，求得2m ，根据由AB 的中点在椭圆内，求得p 的最大值，从而可求得OAB 面积的最大值． 【详解】解：（1）在椭圆中，2224c a b =-=，所以2c =， 因为F 恰是椭圆C 的焦点， 所以22p=，所以4p =； （2）设直线l ：2px my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ， 联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y mpy p --=， 则212122,y y mp y y p +=⋅=-，则2122x x m p p +=+，故AB 的中点坐标为2,2p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又因为MN 恰好被AB 平分，则2342x x m p p +=+，342y y mp +=，直线MN 的斜率等于m -，将M 、N 的坐标代入椭圆方程得：223315x y +=，224415x y +=， 两式相减得：()()()()3434343405x x x x y y y y +-++-=， 故234342110y y m x x m-+=--， 即直线MN 的斜率等于22110m m+-， 所以22110m m m+-=-，解得218m =， 由AB 的中点在椭圆内，得2222()15p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+<，解得26413p <， 因为p Z ∈，所以p 的最大值是2，12y y -== 则OAB面积212122p S y y p =⨯-==≤， 所以，当2p =时，OAB ． 11．（2022·普宁市第二中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为24x y =，线段AB 是抛物线C 的一条动弦．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）求=4OA OB ⋅-，求证：直线AB 恒过定点；（3）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点，求FMN 面积的最小值．【答案】（1）准线方程：1y =-；（2）直线AB 恒过定点()0,2，证明见解析；（3）4．【分析】（1）由焦点在y 轴正半轴上，且2p =，即可得准线方程；（2）设直线AB 方程为y kx b =+，与抛物线方程联立由韦达定理和向量数量积的坐标运算，解方程可得b 的值，即可得所过的定点；（3）设1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，与抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式求M 、N 两点坐标，由两点间距离公式求FM 、FN 的长，再计算12FMN SFM FN ，由基本不等式求最值即可求解.【详解】 （1）由24x y =可得：2p =，焦点为()0,1F ，所以准线方程：1y =-，（2）设直线AB 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=， 所以124x x k +=，124x x b =-，222121212124416x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=-， 即2440b b -+=，解得：2b =所以直线2y kx =+过定点()0,2（3）()0,1F ，由题意知直线1l 、2l 的斜率都存在且不为0，设直线1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线2l 的方程为11y x k=-+， 由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=， 所以344x x k +=，344x x =-，所以()34122M x x x k =+=，2121M M y kx k =+=+，所以()22,21M k k + 用1k -替换k 可得2N x k =-，221N y k =+，所以222,1N k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12FMN S FM FN ====224≥=⨯=，当且仅当221k k =即1k =±时，等号成立， 所以FMN 的面积取最小值4．【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。
2011高考数学真题考点分类新编考点28圆锥曲线的综合问题(大纲版地区)
考点28 圆锥曲线的综合问题一、选择题1、(2011·重庆高考文科·T9)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A B 、两点，左焦点在以AB 为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为 ( ) (A) ()20， (B) ()21，(C) ） (D) ()∞+，2【思路点拨】先设出双曲线的标准方程,写出左准线的方程和渐近线的方程,根据左焦点与圆的位置关系求解离心率的范围.【精讲精析】选 B.设双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ,则左准线的方程为ca x 2-=渐近线方程为x a by ±=,故可求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-c ab ca B c abc a A ,,,22,所以,以AB 为直径的圆的方程为222222c b a y ca x =+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+,因为左焦点)0,(c -在圆内,所以 22222c b a c a c <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,即2222442b a c a c a <-+, 根据222c b a =+化简得, 0322244<-+c a c a 即02324<+-e e 解得212<<e ,又因为双曲线的离心率1>e ,所以21<<e . 二、解答题2、（2011·湖北高考理科·T20）（本小题满分14分）平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线. （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点.试问：在1C 上，是否存在点N ，使得△1F N 2F的面积2||S m a =.若存在，求tan 1F N 2F 的值；若不存在，请说明理由.【思路点拨】（1）设M （x,y ）,利用12MA MA k k m ⋅=可得,x y 的方程为222mx y ma -=，再根据m 与0，-1的大小分类讨论；（2）设00(,)N x y ,由N 在C 1上可得00y a <≤，再由122F NF s m a =可将0y 用m 表示，由此可求点N 存在时，m 的取值范围，设12F NF θ∠=，又121212111sin sin tan ,22cos 2NF NF s NF NF NF NF θθθθ⋅===⋅⋅先求出12NF NF ⋅后，即可求出tan .θ【精讲精析】可设动点为M ，其坐标为(x ，y)，当x a ≠±时，由条件可得12222,MA MA y y y k k m x a x a x a⋅=⋅==-+-即()222,mx y ma x a -=≠± 又1(,0)A a -、2(,0)A a 的坐标满足222,mx y ma -= 故依题意，曲线C 的方程为222mx y ma -=.当1m <-时，曲线C 的方程为22221,x y a ma +=-C 是焦点在y 轴上的椭圆； 当1m =-时，曲线C 的方程为222x y a +=，C 是圆心在原点的圆；当10m -<<时，曲线C 的方程为22221,x y a ma +=-C 是焦点在x 轴上的椭圆； 当0m >时，曲线C 的方程为22221,x y a ma-=C 是焦点在x 轴上的双曲线.⑵由⑴知，当1m =-时，C 1的方程为222x y a +=.当(1,0)(0,)m ∈-⋃+∞时， C2的两个焦点分别为1(F -2(F 对于给定的(1,0)(0,)m ∈-⋃+∞， C 1上存在点000(,)(0)x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是22200020,0,12.2x y a y a m ⎧+=≠⎪⎨⋅=⎪⎩①② 由①得00y a <≤，由②得0y =，当0a <≤，即10,2m ≤≤或102m <≤时， 存在点N ，使2||S m a =；a >，即112m -<<故12m >时， 不存在满足条件的点N.当m ⎫⎛∈⋃⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦时，由100(,)NF x y =--，200(,)NF x y =-，可得22221200(1).NF NF x m a y ma ⋅=-++=-令11r NF =，22r NF =，12F NF θ∠=，则由21212cos ,NF NF rr ma θ⋅==-可得212,cos ma r r θ=- 从而22121sin 1sin tan ,22cos 2ma s r r ma θθθθ==-=-于是由2||S m a =， 可得221tan ,2ma a m θ-=即2tan .m mθ=-综上：当m ⎫∈⎪⎪⎣⎭时，在C 1上，存在点N ，使得2||S m a =，且12tan 2;F NF =当10,2m ⎛+∈ ⎝⎦时，在C 1上，存在点N ，使得2||S m a =，且12tan 2;F NF =-m ⎛∈-⋃ ⎝⎦⎫+∞⎪⎪⎣⎭时，在C 1上，不存在满足条件的点N.3、（2011·全国高考理科·Ｔ21）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=(Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把0.OA OB OP ++=用坐标表示后求出P 点的坐标，然后再结合直线方程把P 点的纵坐标也用A 、B 两点的横坐标表示出来.从而求出点P 的坐标,代入椭圆方程验证即可证明点P 在C 上.(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明,APB AQB ∠∠互补.通过证明这两个角的正切值的和为零即可，在求正切值时要注意利用倒角公式.思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N ，然后证明N 到四个点A 、B 、P 、Q 的距离相等即可.【精讲精析】 (I)设1122(,),(,)A x y B x y直线:1l y =+，与2212y x +=联立得2410x --=12,44x x ==1212124x x x x +==- 由0.OA OB OP ++=得1212((),())P x x y y -+-+12()x x -+=, 121212()(11))21y y x x -+=-+++=+-=-22(1)(12-+= 所以点P 在C 上.（II）方法一：1222tan 11PA PBPA PBk k APB k k -∠==+214()3x x -==同理21)22tan 11QB QA QA QBk k AQB k k -∠==++214()3x x -==-所以,APB AQB ∠∠互补，因此A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上. 方法二：由(1)P -和题设知，Q ,PQ 的垂直平分线1l的方程为y x =…①设AB 的中点为M ，则1)2M ，AB 的垂直平分线2l 的方程为14y x =+…②由①②得1l 、2l 的交点为1()8N||8NP ==,21||||2AB x x =-=||4AM =,||MN ==,||NA ==故||||NP NA =.||||,||||NP NQ NA NB == 所以A 、P 、B 、Q 四点在同一圆圆N 上.4、（2011·上海高考理科·T23）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l （1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ；（2）设l 是长为2的线段，求点的集合{(,)1}D P d P l =≤所表示的图形面积； （3）写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中12,l AB l CD ==，,,,A B C D 是下列三组点中的一组.对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分. ①(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --. ②(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---. ③(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D .【思路点拨】本题考查解析几何知识，第（1）问比较简单，可以直接求出，注意的是已知的是线段:30(35)l x y x --=≤≤，不能直接使用点到直线距离公式，第（2）问是为最后一问做铺垫的，稍有难度，第三问非常好，设计了多种情况，开拓了学生的思维，锻炼了学生的解题能力。
十年（2011-2020）高考真题数学分项详解（全国版）专题29圆锥曲线的综合问题（原卷版）
专题29圆锥曲线的综合问题25线与椭圆直线与椭圆考点出现频率2021年预测考点98曲线与方程37次考1次命题角度：（1）定点、定值问题；（2）最值、范围问题；（3）证明、探究性问题．核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象考点99定点与定值问题37次考6次考点100最值与范围问题37次考5次考点101探索型与存在性问题37次考3次考点98曲线与方程1．（2020山东）已知曲线22:1C mx ny +=．（）A ．若m>n>0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m=n>0，则CC ．若mn<0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m=0，n>0，则C 是两条直线2．（2020天津）设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（）A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -=3．【2019北京理】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是A ．①B ．②C ．①②D ．①②③4．（2020全国Ⅱ文19）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于,A B 两点，交2C 于,C D 两点，且43CD AB =．（1）求1C 的离心率；（2）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12，求1C 与2C 的标准方程．5．（2020全国Ⅱ理19）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于,A B 两点，交2C 于,C D 两点，且43CD AB =．（1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点，若5=MF ，求1C 与2C 的标准方程．6．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点12，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为7，求直线l 的方程．7．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．8．（2016全国Ⅲ文理）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．9．（2015江苏理）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．10．（2014广东理）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．11．（2014辽宁理）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P ．（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．12．（2013四川理）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为1(10)F -，，210F （，），且椭圆C 经过点），3134(P ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率（Ⅱ）设过点），（20A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是MN 上的点，且222112ANAMAQ+=，求点Q 的轨迹方程．13．（2011天津理）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．考点99定点与定值问题14．【2020全国Ⅰ文21理20】已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为,C PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．15．【2020山东】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程；（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．16．【2019全国Ⅲ理】已知曲线C：y=22x，D为直线y=12-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．17．【2019北京理】已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．18．【2019全国Ⅲ文】已知曲线C：y=22x，D为直线y=12-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．19．【2019北京文】已知椭圆2222:1x yCa b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定点．20．【2018北京文20】（本小题14分）已知椭圆M ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为3，焦距为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的焦点,A B （I ）求椭圆M 的方程；（II ）若1k =，求AB 的最大值；（III ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若,C D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k ．21．【2018北京理19】（本小题14分）已知抛物线2:2C y px =经过点()1,2P ，过点()0,1Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，且直线PA 交于y 轴与M ，直线PB 交y 轴与N ．（I ）求直线l 的斜率的取值范围．（II ）设O 为原点，,QM QO QN QO λμ== ，求证：11λμ+为定值．22．（2017新课标Ⅰ理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，33(1,2P =-，43(1,2P =中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．23．（2017新课标Ⅱ文理）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．24．（2017北京文）已知椭圆C 的两个顶点分别为(2,0)A -，(2,0)B ，焦点在x 轴上，离心率为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ．求证：BDE ∆与BDN ∆的面积之比为4：5．25．（2016年全国I 理）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．26．（2016年北京文）已知椭圆C ：22221x y a b+=过(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．27．（2016年北京理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．28．（2016年山东文）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为2 ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过动点M(0，m)(m>0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P(P 在第一象限)，且M 是线段PN的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B ．(i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明k k'为定值；(ii)求直线AB 的斜率的最小值．29．（2015新课标2文）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，点在C 上．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ．证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．30．（2015新课标2理）已知椭圆C ：2229x y m +=（0m >），直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．31．（2015陕西文）如图，椭圆E ：22221x y a b+=（a >b >0）经过点(0,1)A -，且离心率为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP与AQ 的斜率之和为2．32．（2014江西文理）如图，已知双曲线C ：2221x y a-=(0a >)的右焦点F ，点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）．（1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y a x x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值．33．（2013山东文理）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F，离心率为2，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF ．设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(),0M m ，求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，若0k ≠，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值．34．（2012湖南理）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的点均在2C ：22(5)9x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设00(,)P x y （3y ≠±）为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A ，B 和C ，D ．证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．考点100最值与范围问题35．【2020年江苏18】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F ∆的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB ∆与MAB ∆的面积分别为12,S S ，若213S S =，求点M 的坐标．36．【2020浙江21】如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．37．【2019全国Ⅱ理】已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x ，y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12．记M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值．38．【2019浙江】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G的坐标．39．（2018浙江21）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上．（I ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（II ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB △面积的取值范围．40．（2017浙江文理）如图，已知抛物线2x y =．点11(,24A -，39(,)24B ，抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求||||PA PQ ⋅的最大值．41．（2017山东文）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为22，椭圆C 截直线1y =所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l ：(0)y kx m m =+≠交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ．点N 是M 关于O 的对称点，N 的半径为||NO ．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与N 分别相切于点E ，F ，求EDF ∠的最小值．42．（2017山东理）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为2，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：1y k x =-E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且124k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T ．求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．43．(2016全国II 理)已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．44．(2016天津理)设椭圆13222=+y a x (3)a >的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF⊥，且MOA MAO ∠∠≤，求直线l 的斜率的取值范围．45．（2016浙江文）如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于||1AF -．（I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ．求M 的横坐标的取值范围．45．（2015重庆文）如图，椭圆22221x y a b+=（a >b >0）的左、右焦点分别为1F ，2F ，且过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且PQ ⊥1PF ．（Ⅰ）若12PF =+，22PF =-|，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|1PQ PF λ=，且3443λ≤≤，试确定椭圆离心率e 的取值范围．46．（2014新课标1文理）已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．（Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．47．（2014浙江文理）如图，设椭圆(),01:2222>>=+b a by a x C 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．（Ⅰ）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标；（Ⅱ）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -．48．（2015山东理）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，左、右焦点分别是1F 、2F ．以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222144x y a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m 交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值．49．（2014山东文理）已知抛物线）＞0(2:2p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线l l //1，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．50．（2014山东理）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线y x=被椭圆C 截得的线段长为5．（Ｉ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．（ⅰ）设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ⅱ）求OMN ∆面积的最大值．51．（2014四川文理）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（ii ）当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标．52．（2013广东文理）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（Ⅲ）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．53．（2011新课标文理）在平面直角坐标系xoy 中，已知点(0,1)A -，B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．54．（2011广东文理）设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y ++=+=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点M (,55F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标．考点101探索型与存在性问题55．【2018上海20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设常数2t >，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()20F ,，直线:l x t =，曲线()2:800y x x t y Γ=≤≤≥,．l 与x 轴交于点A ，与Γ交于点B P Q ,,分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 为表示点B 到点F 的距离；（2）设,23t FQ ==，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP △的面积；（3）设8t =，是否存在以FP FQ ,为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．56．（2016全国I 文）在直角坐标系xOy 中，直线l ：(0)y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（I ）求||||OH ON ；（II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．57．（2015新课标1理）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：24x y =与直线y kx a =+(0)a >交与M ，N 两点，（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．58．（2015北京理）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为22，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．59．（2015湖北理）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．60．（2015四川理）如图，椭圆E：2222+1(0)x y a ba b=>>的离心率是22，过点(0,1)P的动直线l与椭圆相交于,A B两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为．（1）求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．61．（2015浙江理）已知椭圆2212x y+=上两个不同的点,A B关于直线12y mx=+对称．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）求AOB∆面积的最大值（O为坐标原点）．62．（2014湖南文理）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（Ｉ）求12,C C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．63．（2013安徽文理）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点P ．64．（2013湖北文理）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=并说明理由．65．（2012广东文理）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =，且椭圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．66．（2011山东文理）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=．如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线3x=-于点(3,)D m-．（Ⅰ）求22m k+的最小值；（Ⅱ）若2OG OD=∙OE，（i）求证：直线l过定点；（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由．。
2011广东高考大解密之圆锥曲线大题.doc000
2011广东高考大解密之圆锥曲线大题一、2000——2010圆锥大题呈现 ①类模型——椭圆模型21．(本小题满分14分)（2001年）已知椭圆1222=+y x 的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且ＢＣ∥x 求证直线AC 经过线段EF 的中点． 21．（本小题满分14分）（2003年）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.22、本小题14分（2004年）设直线l 与椭圆2212516x y +=相交于,A B 两点，l 又与双曲线221x y -=相交于C 、D 两点，,C D 三等分线段AB ，求直线l 的方程。
18． (本小题满分14分)（2007年）在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限、半径为的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．(1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由②类模型——双曲线型22．（本小题满分14分）（2000年）如图，已知梯形ABCD 中|AB|=2|CD|，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为伪点，当4332≤≤λ时，求双曲线离心率c 的取值范围20、（本题满分14分）（2002年）20.（本小题满分14分）（2010年）已知双曲线212xy -=的左、右顶点分别为12,A A ，点11(,)P x y ，11(,)Q x y -是双曲线上不同的两个动点。
圆锥曲线中的定点、定值问题的结论及多种证明方法 高考数学
七、圆锥曲线中的平行弦的问题
在前面一、推论：“若圆锥曲线为圆，直线AB交C于A、B两点，的斜率分别为，当时，为定值，”给出了平移图像法、一般法、参数方程法等多种证明方法。现在我们对一、推论
31.采用另一种思维方式探究如下：设点是圆上的一定点，过点P作x轴的
2. 当 时， 【1】化为： 。即 时，为定值，,
3.当)时，,得， ，，即 ，
，即 。 得：
； 【2】
即： 或 (因为直线AB不过点P，舍去)AB的方程为化为： 即 由得 即直线AB恒过定点( )。
3. 当时， 由 【2】化为： ， ， ， 即：。(因为直线AB不过点P，舍去)或；，即 为定值.
1.当时，， ， ，
，即： ， ，
化为：， (因为直线AB不过点P，舍去)或。， ； 【6】AB的方程为化为： 即 由得 即当时，直线AB恒过定点( )。
2.当 时， 【6】化为：； 即当时，为定值，。
3.当时， 即， ，，即 ，
， ； 【7】 ，化为：， (因为直线AB不过点P，舍去)或。由，
2.当时，直线AB恒过定点(
3.当时，为定值
4.当时，即直线AB恒过定点( ). 及其证法已知点(其中 是圆锥曲线上的一个定点，过点作直线分别与圆锥曲线C相交于点A、 则必定存在以下结论：
二、椭圆、双曲线、抛物线、圆中的定点、定值问题的统一结论
1.当时，为定值，
2.当时，直线AB恒过定点( )
圆锥曲线中的定点、定值问题的
结论及多种证明方法
主讲人：某某某老师
某某学校
山东东营 徐新华 大家都知道，圆锥曲线的很多重要结论，特别是圆锥曲线的定点、定值问题并没有列入高中数学教材，但它们一直确是高考数学试题中考察的重要内容。本文件中，从多个角度、采用多种方法对圆锥曲线的定点、定值问题的结论作出了证明，并力求对证明过程给予最大化的展示。需要说明的是，个别证法有相当大的难度，其证明过程也极为复杂，因此叙述也就比较详细具体。
2011届高考数学圆锥曲线的综合问题3
2011 届高考数学圆锥曲线的综合问题 3 第八节圆锥曲线的综合应用一、基本知识纲要：1知识精讲：圆锥曲线的综合问题包含：分析法的应用，数形联合的思想，与圆锥曲线相关的定值、最值等问题，主要沿着两条主线，即圆锥曲线科内综合与代数间的科间综合，灵巧运用分析几何的常用方法，解决圆锥曲线的综合问题；经过问题的解决，进一步掌握函数与方程、等价转变、分类议论等数学思想 .2要点难点：正确娴熟地运用分析几何的方法解决圆锥曲线的综合问题，从中进一步领会分类议论、等价转变等数学思想的运用 .3思想方式：数形联合的思想，等价转变，分类议论，函数与方程思想等 .4特别注意：要能正确地进行数与形的语言变换和运算、推理变换，并在运算过程中注意思想的严实性，以保证结果的完好。
二、例题：例 1.A ， B 是抛物线上的两点，且oA（ o 为坐标原点）求证：（ 1）A，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别是定植；（ 2）直线 AB经过一个定点证明：（ 1）设两式相乘得所以直线 AB过定点 (2p,0)例 2、（2005 年春天北京， 18）如图， o 为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线两点。
（1）写出直线的截距式方程（2）证明：（3）当时，求的大小。
（图赐教材 P135 页例 1）解：（ 1）直线的截距式方程为。
（1）（ 2）、由（ 1）及消去可得（ 2）点， N 的坐标为（ 2）的两个根。
故所以（3）、设直线 o、oN 的斜率分别为当时，由（ 2）知，所以。
说明：此题主要考察直线、抛物线等基本知识，考察运用分析几何的方法剖析问题和解决问题的能力。
例 3、（ 2005 年黄冈高三调研考题）已知椭圆 c 的方程为，双曲线的两条渐近线为，过椭圆 c 的右焦点 F 作直线，使，又与交于 P 点，设与椭圆 c 的两个交点由上而下挨次为A、 B。
（图赐教材 P135 页例 2）（ 1）当夹角为，双曲线的焦距为 4 时，求椭圆 c 的方程（ 2）当时，求的最大值。
2011年高考数学圆锥曲线试题解析(文科)
2011年高考试题解析数学（文科）圆锥曲线一、选择题:1. （2011年高考山东卷文科9)设M(0x ，0y )为抛物线C ：28x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是 (A)(0，2) (B)[0，2] (C)(2，+∞) (D)[2，+∞) 【答案】C3. （2011年高考海南卷文科9)已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A,B 两点,|AB|=12,P 为C 的准线上一点,则A B P ∆的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 【答案】C【解析】因为AB 过抛物线的焦点且与对称轴垂直,所以线段AB 是抛物线的通径,长为212p =,所以6p =,又点P 到AB 的距离为焦参数p ,所以A B P ∆的面积为212362p p p ⨯==,故选C.4. (2011年高考安徽卷文科3) 双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2(B) (C) 4【答案】C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.【解析】x y 222-=8可变形为22148xy-=，则24a =，2a =，24a =.故选C.5．(2011年高考广东卷文科8)设圆C 与圆外切，与直线0y =相切．则C 的圆心轨迹为（ ）A ． 抛物线B ． 双曲线C ． 椭圆D ． 圆6.（2011年高考浙江卷文科9)已知椭圆22122:1x y C ab+=（a ＞b ＞0）与双曲线222:14yC x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与1C 2C 的长度为直径的圆相交于,A B 两点.若1C 恰好将线段A B 三等分，则 （A ）2132a = （B ）213a = （C ）212b =(D) 22b =【答案】 C【解析】：由1c 恰好将线段AB 三等分得133A Ax x x x =⇒=由222,5A y x x x y=⎧⇒=⎨+⎩,1515x a y a∴==222222)1515,)1111515a ab ab∴+=⇒= 在椭圆上,又22215,2a b b -=∴=，故选C.7. (2011年高考天津卷文科6)已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为A.【答案】B【解析】由题意知,抛物线的准线方程为2x =-,所以4p =,又42p a +=,所以2a =,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为12y x =±,即12b a=,所以1b =,即25c =,2c =选B.8. （2011年高考福建卷文科11)设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线I’上存在点P 满足1PF ：12F F ：2P F = 4:3:2，则曲线I’的离心率等于 A. 1322或 B.223或 C.122或 D. 2332或【答案】A【解析】由1PF ：12F F ：2P F = 4:3:2，可设14PF k =,123F F k =,22PF k =,若圆锥曲线为椭圆,则26a k =,23c k =,12e =;若圆锥曲线为双曲线,则22a k =,23c k =,32e =,故选A.9. （2011年高考四川卷文科11)在抛物线y=x 2+ax-5(a ≠0)上取横坐标为x 1=-4,x 2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标是（ ）（A ） (-2,-9) （B ）(0,-5) (C) (2,-9) （D ）(1,6)10. （2011年高考陕西卷文科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（A ）28y x =- （B ） 24y x =- (C) 28y x = (D) 24y x = 【答案】C【解析】：设抛物线方程为2y ax =，则准线方程为4a x =-于是24a -=-8a ⇒=故选C11．（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线2221(0)9x ya a-=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八节 圆锥曲线的综合应用
一、基本知识概要：
1知识精讲：
圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题，主要沿着两条主线，即圆锥曲线科内综合与代数间的科间综合，灵活运用解析几何的常用方法，解决圆锥曲线的综合问题；通过问题的解决，进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.
2重点难点：正确熟练地运用解析几何的方法解决圆锥曲线的综合问题，从中进一步体会分
类讨论、等价转化等数学思想的运用.
3思维方式：数形结合的思想，等价转化，分类讨论，函数与方程思想等.
4特别注意：要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思
维的严密性，以保证结果的完整。
二、例题：
例1. A ，B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点）求证：
（1）A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别是定植； （2）直线AB 经过一个定点
证明：（1）设
,,
2,2),,(),,(212122
212
12211=+∴⊥==y y x x OB OA px y px y y x B y x A 则
两式相乘得2212214,4p x x p y y =-=
)
0,2),0,2),
2(2).(2,
2,),(2)2(212
112
112
121212
2
2
1p x x p p x y y p y x x y y p y y AB y y p k x x x x p y y AB 时，显然也过点（
当过定点（化简得的方程所以直线当=-+=
-+=-+=
≠-=-
所以直线AB 过定点(2p,0)
例2、（2005年春季北京，18）如图，O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b )0,0(≠>b a ，且交抛物线）（），（于22112
,N ,M )0(2y x y x p px y >=两点。
（1） 写出直线l 的截距式方程 （2） 证明：
b
y y 1112
1
=+
（3） 当p a 2=时，求MON ∠的大小。
（图见教材P135页例1） 解：（1）直线l 的截距式方程为
1=+b
y a x 。
（1）
（2）、由（1）及px y 22=消去x 可得0222=-+pab pay by （2）
点M ，N 的坐标21,y y 为（2）的两个根。
故.2,22121pa y y b
pa y y -=⋅-=
+
所以
.122112
1212
1
b
pa b
pa
y y y y y y =--=
+=
+
（3）、设直线OM 、ON 的斜率分别为.,,,2
221
1121x y k x y k k k =
=
则
当p a 2=时，由（2）知，,42221p pa y y -=-=
,
44)4(4)(,4)(,2,22
2
2
22
2
2121212
221222
12
1
p p
p p
y y x x x x p y y px y
px y
==
=
===相乘得由因此︒
∠⊥-=-=
=
90MON ON OM .1442
2
2
12121＝，即所以p
p x x y y k k 。
说明：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。
例3、（2005年黄冈高三调研考题）已知椭圆C 的方程为
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x ，双曲线
12
22
2=-
b
y a
x 的两条渐近线为21,l l ，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1l l ⊥，又l 与2l 交
于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点由上而下依次为A 、B 。
（图见教材P135页例2）
（1） 当21l l 与夹角为︒
60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程 （2） 当P A A F
λ=时，求λ的最大值。
解：（1） 双曲线的渐近线为x a
b y ±
=，两渐近线的夹角为︒
60，又
1<a
b ，
.
13
C .1,3,
4.33
330
tan ,302
2
2
2
2
2=+==∴=+=⇒=
==∠∴︒
︒
y
x
b
a
b
a b a a
b POx 的方程为
故椭圆又即
（3） 由已知
,
,
P ),(:2
）（
解得与c
ab c
a
x a
b y
c x b
a y l =
-=
由P A A F
λ=得)1,
1(
2
λ
λλ
λ+⋅+⋅
+c
ab c
a
c A ，将A 点坐标代入椭圆方程得
2
22222224
2
222)1()(,)1()(λλλλλλ+=++∴+=++e e c a a
a c。
－的最大值为
12.223322)2(222
22
42
λλ∴-≤+⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+--=--=
∴e e e e
e 说明：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用。
解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想。
本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题。
例4、A ，F 分别是椭圆
112
)1(16
)1(2
2
=-+
+x y 的一个上顶点与上焦点，位于x 轴的正半轴
上的动点T （t,0）与F 的连线交射线OA 于Q ，求：
（1） 点A ，F 的坐标及直线TQ 的方程;
（2） 三角形OTQ 的面积S 与t 的函数关系式及该函数的最小值
（3） 写出该函数的单调递增区间,并证明. 解:(1)由题意得A(1,3),F(1,1)
直线TQ 得方程为x+(t-1)y-t=0
(2)射线OA 的方程y=3x 2
3),0(-=≥t t x TQ x Q 的方程，得代入
时取等号）
当则得由3
4(3
4493)(,3
2,4
9
)43
1(43
)32
1
(21)23(232
1)(,2
33,3
2,02
22
=
=
≥
∴>+
--=-=
-=
=
∴-=
>>t t S t t t t t t OT y t S t t y t x Q Q Q
所以S(t)的最小值为
3
4
(3)S(t)在⎪⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞
,3
4
上是增函数 )
32)(32(94)32)(32()(2
1)()(,342121122121--⎥
⎦⎤⎢⎣⎡
----∙==-<≤t t t t t t t S t S t t 那么设
)()(,,3
232,32)32(,34.122112t S t S t t t t >∴>-
≥
-
∴≥
>
所以该函数在上是增函数
⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞,3
4
三、课堂小结：
1、解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系，再结合代数等知识来解。
2、对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解四.作业: 教材P136闯关训练。