新教材2020学年人教A版数学必修第二册课时分层作业31平面与平面垂直

合集下载

新教材2020学年人教A版数学必修第二册课时分层作业30直线与平面垂直

课时分层作业(三十)直线与平面垂直(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．相交或平行B[由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．]2．已知直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则b与α所成的角等于()A．40°B．50°C．90°D．150°B[根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.]3．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是() A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定D[如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选 D.]4．如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定C[∵BA⊥α，α∩β＝l，l?α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC?平面ABC，∴l⊥AC.]5．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的() A．内心B．重心C．外心D．垂心C[如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC.∵三棱锥的三条侧棱两两相等，∴P A＝PB＝PC.∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．]二、填空题6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD ＝6，则EF＝.6[因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，。

新人教A版高中数学必修二全册同步课时分层练习

新人教A版高中数学必修二全册同步课时分层练习课时分层作业(一) 棱柱、棱锥、棱台的结构特征(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．观察如下所示的四个几何体，其中判断不正确的是( )A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台B[结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．]2．下列说法正确的是( )A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形D[选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误：选项C错误，反例如图②，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．]①②3．如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )①②③④A．①②B．②③C．③④D．①④B[在图②③中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图②③完全一样，而①④则不同．]4．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定A[如图．因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．]5．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形C[按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．]①②二、填空题6．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.12[该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm.] 7．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．10[将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝AD2＋DD21＝10.]8．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．3[如图，三棱台可分成三棱锥C1ABC，三棱锥C1ABB1，三棱锥AA1B1C1，三个．]三、解答题9．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？[解]这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．10．试从正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．[解](1)如图①所示，三棱锥A1AB1D1(答案不唯一)．(2)如图②所示，三棱锥B1ACD1(答案不唯一)．(3)如图③所示，三棱柱A1B1D1ABD(答案不唯一)．①②③[能力提升练]1．由五个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是( )A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．四棱锥B[该多面体有三个面是梯形，而棱锥最多有一个面是梯形(底面)，棱柱最多有两个面是梯形(底面)，所以该多面体不是棱柱、棱锥，而是棱台．三个梯形是棱台的侧面，另两个三角形是底面，所以这个棱台是三棱台．]2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．10 [在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．]课时分层作业(二) 旋转体与简单组合体的结构特征(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是 ( )①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A ．①和⑤B ．①C ．③和④D ．①和④D [根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]2．图①②中的图形折叠后的图形分别是( )① ②A ．圆锥、棱柱B ．圆锥、棱锥C ．球、棱锥D ．圆锥、圆柱B [根据图①的底面为圆，侧面为扇形，得图①折叠后的图形是圆锥；根据图②的底面为三角形，侧面均为三角形，得图②折叠后的图形是棱锥．]3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为30°等腰三角形D ．其他等腰三角形A [设圆锥底面圆的半径为r ，依题意可知2πr ＝π·a 2，则r ＝a 4，故轴截面是边长为a 2的等边三角形．]4．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )A ．一个棱柱中挖去一个棱柱B ．一个棱柱中挖去一个圆柱C ．一个圆柱中挖去一个棱锥D ．一个棱台中挖去一个圆柱B [一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.]5．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( )A ．32B ．32πC .16πD ．8πB [若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为8π，其轴截面的面积为32π；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为32π.] 二、填空题6．如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________．圆柱 [一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．]7．下列命题中错误的是________．①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；③圆台所有平行于底面的截面都是圆面；④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形．② [因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两条母线的夹角为90°时，圆锥的轴截面面积最大．]8．一个半径为5 cm 的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm ，则截面圆面积为________ cm 2.9π [设截面圆半径为r cm ，则r 2＋42＝52，所以r ＝3.所以截面圆面积为9π cm 2.]三、解答题9．如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD <BC ，当梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．[解] 如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．10．一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[解] (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示)．由已知可得上底面半径O 1A ＝2(cm)，下底面半径OB ＝5(cm)，又因为腰长为12 cm ，所以高AM ＝122－（5－2）2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20 (cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.[能力提升练]1．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A ．一个球体B ．一个球体中间挖出一个圆柱C ．一个圆柱D ．一个球体中间挖去一个长方体B [圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.]2．如图所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .则绳子的最短长度的平方f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4) [将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，所以L ＝2πr ＝2π，所以∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°. 由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ，其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)．所以f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．]课时分层作业(三) 中心投影与平行投影空间几何体的三视图(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．直线的平行投影可能是( )A ．点B ．线段C ．射线D ．曲线A [直线的平行投影可能是直线也可能是点，故选A.]2．下列说法错误的是( )A ．正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度B ．俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度C ．侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度D ．一个几何体的正视图和俯视图高度一样，正视图和侧视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样D [正视图和俯视图长度一样；正视图和侧视图高度一样；侧视图和俯视图宽度一样．故3．有下列说法：①从投影的角度看，三视图是在平行投影下画出来的投影图；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，平行线还是成平行的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确说法有( )A．1个B．2个C．3个D．4个C[由投影的知识知①②④正确．只有③错误，空间图形经过中心投影后，直线变成直线、平行线有可能变成了相交直线，综上可知正确说法有3个，故选C.]4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )C[正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B，D，侧视图中小长方形在右上方，排除A，故选C.]5．如图所示，五棱柱的侧视图应为( )A B C DB[从五棱柱左面看，是2个矩形，上面的小一点，故选B.]二、填空题6．如下图，图①②③是图④表示的几何体的三视图，其中图①是________，图②是________，图③是________(说出视图名称)．① ② ③ ④正视图侧视图俯视图 [由几何体的位置知，①为正视图，②为侧视图，③为俯视图．]7．若线段AB 平行于投影面，O 是线段AB 上一点，且AO OB ＝m n，点A ′，O ′，B ′分别是A ，O ，B 在投影面上的投影点，则A ′O ′O ′B ′＝________． m n [由题意知AB ∥A ′B ′，OO ′∥AA ′，OO ′∥BB ′，则有A ′O ′O ′B ′＝AO OB ＝m n.] 8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________．23 [由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部，四棱锥为D BCC 1B 1，最长棱为DB 1＝DC 2＋BC 2＋BB 21＝4＋4＋4＝2 3.]三、解答题9．如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的．(1)判断该几何体是否为棱柱；(2)画出它的三视图．[解](1)是棱柱．因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相邻矩形的公共边都互相平行．(2)该几何体的三视图如图：10．某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征．[解]该三视图表示的几何体是由一个四棱柱和一个四棱台拼接而成的组合体(如图所示)．[能力提升练]1．如图所示，画出四面体AB1CD1三视图中的正视图，以AA1D1D为投影面，则得到的正视图可以为( )A B C DA [显然AB 1，AC ，B 1D 1，CD 1分别投影得到正视图的外轮廓，B 1C 为可见实线，AD 1为不可见虚线．故A 正确．]2．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投影长是103，则皮球的直径是________．15 [皮球的直径d ＝103sin 60°＝103×32＝15.]课时分层作业(四) 空间几何体的直观图(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．如图，已知等腰三角形ABC ，则如下所示的四个图中，可能是△ABC 的直观图的是( )① ② ③ ④A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④D [原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别为在∠x ′O ′y ′成135°和45°的坐标系中的直观图．]2．对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是( ) A ．三角形的直观图仍然是一个三角形 B ．90°的角的直观图会变为45°的角 C ．与y 轴平行的线段长度变为原来的一半 D ．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同B [对于A ，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A 正确；对于B ，90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B 错误；C ，D 显然正确．]3．把△ABC 按斜二测画法得到△A ′B ′C ′(如图所示)，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边互不相等的三角形A [根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得AB ＝BC ＝AC ＝2，故△ABC 为等边三角形，故选A.]4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m 、5 m 、10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A ．4 cm ，1 cm ，2 cm ，1.6 cmB ．4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，0.8 cmC ．4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，1.6 cmD ．2 cm ，0.5 cm ，1 cm ，0.8 cmC [由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm ，1 cm ，2 cm 和1.6 cm ，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，1.6 cm.]5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋22C ．2＋22D ．1＋ 2A [画出其相应平面图易求，故选A.]二、填空题6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．M′(4，2)[在x′轴的正方向上取点M1，使O′M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.]7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．2.5 [由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.]8．如图所示，水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．2 [△ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝CD.所以与BD的长相等的线段有2条．]三、解答题9．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC.[解](1)画法：过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于D′，E′；(2)在直角坐标系xOy中．在x轴上取二点E，D使OE＝O′E′，OD＝O′D′，再分别过E，D作y轴平行线，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′.连接OB，OC，BC即求出原△ABC.10．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[解] (1)画轴．画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°，如图①. (2)画底面．以O 为中心在xOy 平面内画出正方形水平放置的直观图ABCD . (3)画顶点．在Oz 轴上截取OP ，使OP 的长度是原四棱锥的高．(4)成图．连接PA 、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图②.① ② [能力提升练]1．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm D [由题意可知其直观图如下图：由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D.]2．已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为182，则原正方形的面积为________．72 [如图所示，作出正方形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′，作C ′D ′⊥x ′轴于点D ′.S 直观图＝O ′A ′×C ′D ′.又S 正方形＝OC ×OA .所以S 正方形S 直观图＝OC ×OAO ′A ′×C ′D ′，又在Rt △O ′D ′C ′中，O ′C ′＝2C ′D ′，即C ′D ′＝22O ′C ′，结合平面图与直观图的关系可知OA ＝O ′A ′，OC ＝2O ′C ′，所以S 正方形S 直观图＝OC ×OA OA ×22O ′C ′＝2O ′C ′22O ′C ′＝2 2. 又S 直观图＝182，所以S 正方形＝22×182＝72.]课时分层作业(五) 柱体、锥体、台体的表面积与体积(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．πC [底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C.]2．已知高为3的直棱柱ABC A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1ABC 的体积为( )A ．14B ．12C ．36D ．34D [由题意，锥体的高为BB 1，底面为S △ABC ＝34，所以V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.] 3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8πB [设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，所以r ＝1, 所以V圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.]4．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A ．5πB ．6πC ．20πD ．10πD [用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.]5．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A ．54B ．54πC ．58D ．58πA [设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似得r 3r ＝h －h 1h，∴h ＝32h 1，∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.]二、填空题6．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________． 3 [设底面半径为r ，则13πr 2×4＝4π，解得r ＝3，即底面半径为 3.]7．已知一个圆台的正视图如图所示，若其侧面积为35π，则a 的值为____．2 [圆台的两底面半径分别为1，2，高为a , 则母线长为1＋a 2，则其侧面积等于π(1＋2)·（1＋a 2）＝35π，解得a 2＝4，所以a ＝2(舍去负值)．]8．已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是________．S2[如图所示，设圆锥的底面半径为r , 母线长为l .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12πl 2＝S ，πl ＝2πr ，解得r ＝S2π.所以圆锥的底面面积为πr 2＝π×S 2π＝S2.]三、解答题9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． [解] 设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝157，圆锥的高h ＝35·157， V ＝13πr 2h ＝13π×157×35×157＝2537π. 10．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，截下一个棱锥C A 1DD 1，求棱锥C A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比．[解] 已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面ADD 1A 1的面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .而棱锥C A 1DD 1的底面积为12S ，高为h ，故三棱锥C A 1DD 1的体积为：VC A 1DD 1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12S h ＝16Sh ，余下部分体积为：Sh －16Sh ＝56Sh .所以棱锥C A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比1∶5.[能力提升练]1．三棱锥P ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE 的体积为V 1，P ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________．14 [如图，设点C 到平面PAB 的距离为h ，三角形PAB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14.] 2．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．8 [如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方体，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.]课时分层作业(六) 球的体积和表面积(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A ．59倍B ．95倍 C ．2倍 D ．3倍 B [设小球半径为1，则大球的表面积S 大＝36π，S 小＋S 中＝20π，36π20π＝95.]2．把半径分别为6 cm ，8 cm ，10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为( )A ．3 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．12 cmD [由43πR 3＝43π·63＋43π·83＋43π·103，得R 3＝1 728，检验知R ＝12.]3．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6πB [由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个球面积， S ＝π×12＋12×4×π×12＝3π.]4．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为( ) A ．163πB ．4π3C ．323πD ．4πB [根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r ＝1，所以V ＝43πr 3＝43π.]5．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4B [设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4.故选B.] 二、填空题6．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________． 3 [设此球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，R ＝3.]7．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________．33π [由三视图可知该几何体是上面为半球，下面为圆锥的组合体，所以表面积S ＝12×4π×32＋π×3×5＝33π.]8．如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．32[设球O 的半径为R ， ∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，底面半径为R .∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR3＝32.] 三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．[解] 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.10．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积．[解] 因为AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所以△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°.又球心O 到截面△ABC 的投影O ′为截面圆的圆心，也即是Rt △ABC 的外接圆的圆心，所以斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示)，设O ′C ＝r ，OC ＝R ，则球半径为R ，截面圆半径为r ，在Rt △O ′CO 中，由题设知sin ∠O ′CO ＝OO ′OC ＝12，所以∠O ′CO ＝30°，所以rR＝cos 30°＝32，即R ＝23r ，(*) 又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15，代入(*)得R ＝10 3.所以球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×(103)2＝1 200π. 球的体积为V ＝43πR 3＝43π×(103)3＝4 0003π.[能力提升练]1．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为( )A ．4∶3B ．3∶1C ．3∶2D ．9∶4C [作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R ，则圆锥的高h ＝3R ，圆锥底面半径r ＝3R ，则l ＝（h 2＋r 2）＝23R ，所以S 圆锥侧S 球＝πrl 4πR 2＝π×3R ·23R 4πR 2＝32.] 2．在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球. 若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是________.9π2[当球的半径最大时，球的体积最大. 在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r ＝6＋8－102＝2，直径为4>侧棱. 所以球的最大直径为3，半径为32，此时体积V ＝9π2.]课时分层作业(七) 平面(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知点A ，直线a ，平面α，以下命题表述正确的个数是( )①A ∈a ，a ⊄α⇒Aα；②A ∈a ，a ∈α⇒A ∈α；③Aa ，a ⊂α⇒A α；④A ∈a ，a ⊂α⇒A ⊂α.A ．0B ．1C ．2D ．3A [①不正确，如a ∩α＝A ；②不正确，∵“a ∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A a ，a ⊂α，但A ∈α；④不正确，“A ⊂α”表述错误．]2．下列命题中正确命题的个数是( ) ①三角形是平面图形； ②四边形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形； ④圆是平面图形． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B [根据公理2可知①④正确，②③错误．故选B.] 3．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( ) A ．相交 B ．重合C ．相交或重合D ．以上都不对C [若三点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合，若三点不共线，则这两个平面重合．]4．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行B[两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面，选B.] 5．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( )A．0 B．1C．0或1 D．1或3D[当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面，选D.]二、填空题6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.∈[因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.] 7．在长方体ABCDA1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条.5[由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条．] 8．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．1或2或3 [当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．]三、解答题9．已知：A∈l，B∈l，C∈l，D l，如图所示．求证：直线AD，BD，CD共面．[证明]因为D l，所以l与D可以确定平面α，因为A∈l，所以A∈α，又D∈α，所以AD⊂α.同理，BD⊂α，CD⊂α，所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它们共面．10．求证：三棱台A1B1C1ABC三条侧棱延长后相交于一点．[证明]如图，延长AA1，BB1,设AA1∩BB1＝P，又BB1⊂面BC1，∴P∈面BC1，AA1⊂面AC1，∴P∈面AC1，∴P为平面BC1和面AC1的公共点，又∵面BC1∩面AC1＝CC1，∴P∈CC1，即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P.[能力提升练]1．如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C l，直线AD∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过( )A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点DD[A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D∈γ，且C、D∈β，故C，D在γ和β的交线上．]2．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．共线[∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝CD.∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．]课时分层作业(八) 空间中直线与直线之间的位置关系(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面D[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a、b异面，直线c的位置可如图所示．]2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面D[可能相交也可能异面，选D.]3．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．垂直A[如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．]4．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )A．30° B．45°C．60°D．90°C[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C ＝60°.]5．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )A．有无数条B．有两条C．至多有两条D．有一条A[如图，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．因此，这样的异面直线有无数条．]二、填空题6．如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对．3 [PA与BC，PB与AC，PC与AB互为异面直线，∴共3对．]7．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．①在空间，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.②④[①错，可以异面；②正确，公理4；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平行直线的传递性可知．]8．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．。

高一数学人教A版必修2同步课时作业2.3.2平面与平面垂直的判定(有答案)

高一数学人教A 版必修2同步课时作业2.3.2平面与平面垂直的判定一、选择题1.如图,在直角梯形ABCD 中, 190,//,12A AD BC AD AB BC ∠=︒===，将ABD △沿BD 折起,使得平面ABD ⊥平面BCD .在四面体A BCD -中,下列说法正确的是( )A.平面ABD ⊥平面ABCB.平面ACD ⊥平面ABCC.平面ABC ⊥平面BCDD.平面ACD ⊥平面BCD2.如图所示，四边形ABCD 中，//AD BC ，,45AD AB BCD =∠=︒，90BAD ∠=︒.将ADB △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥A BCD -中，下列结论正确的是（）A.平面ABD ⊥平面ABCB.平面ADC ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDCD.平面ADC ⊥平面ABC3.在四棱锥P ABCD -中, PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为矩形,则四棱锥的五个面,,,PAB PAD PCD PBC 和ABCD 中,互相垂直的有( )A.3对B.4对C.5对D.6对 4.如图, AB 是O 的直径, VA 垂直O 所在的平面, C 是圆周上不同于A ,B 的任意一点, M ,N 分别为VA , VC 的中点,则下列结论正确的是 ( )A. //MN ABB. MN 与BC 所成的角为45C. OC ⊥平面VACD.平面VAC ⊥平面VBC5.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为菱形，M 是PC 上的一个动点，若要使得平面 MBD ⊥平面PCD ,则应补充的一个条件可以是（）A.MD MB ⊥B.MD PC ⊥C.AB AD ⊥D.M 是棱PC 的中点6.如图所示，四边形中ABCD ，//AD BC ，，,45AD AB BCD =∠=︒.90BAD ∠=︒将沿BD ADB △折起，使平面平ABD ⊥面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥中，A BCD -下列结论正确的是（）A.平面平ABD ⊥面ABCB.平面ADC ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDCD.平面ADC ⊥平面ABC7.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 是正方形， ,E F 分别是,PA PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 是异面直线；②直线BE 与直线AF 异面③直线//EF 平面PBC ；④平面BCE ⊥平面PAD其中正确的有（）A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④8.如图，2AC R =为圆O 的直径，45,PCA PA ∠=垂直于圆O 所在的平面，B 为圆周上不与点,A C 重合的点，AS PC ⊥于,S AN PB ⊥于N ，则下列不正确的是（）A. 平面ANS ⊥平面PBCB. 平面ANS ⊥平面PACC. 平面PAB ⊥平面PBCD. 平面ABC ⊥平面PAC 二、填空题9.αβ、是两个不同的平面，m n 、是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m n ⊥②αβ⊥③n β⊥④m α⊥以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_________________________.10.已知()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1===a b c 分别是平面,,αβγ的法向量,则,,αβγ三个平面中互相垂直的有_____对.11.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .（只要填写一个你认为是正确的条件即可）三、解答题12.如图，已知在三棱锥A BCD -中，2,9060,,AB AC AD BD BCD DBC E F G ====∠=︒∠=︒,,分别是,,BD AD CE 的中点.(1)证明：平面ABD ⊥平面BCD .(2)求异面直线AC 与FG 所成角的余弦值.参考答案1.答案：B解析：∵在直角梯形ABCD 中，1//, 1,902AD BC AD AB BC A ===∠=︒，在BCD △中，2,45BD BC DBC =∠=︒，由余弦定理得90BDC ∠=︒，∴BD CD ⊥. 又平面ABD ⊥平面BCD ,且平面ABD ⋂平面BCD BD =，故 CD ⊥平面ABD ，则 CD AB ⊥.又,AD AB CD AD D ⊥⋂=，∴AB ⊥平面ADC .又AB ⊂平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面ADC . 故选B.2.答案：D解析：∵在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ∠=︒，90BAD ∠=︒，∴BD CD ⊥. 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD 平面BCD BD =，故CD ⊥平面ABD ，则CD AB ⊥.又AD AB ⊥，AD CD D =， AD ⊂平面ADC ，CD ⊂平面ADC ，故AB ⊥平面ADC . 又AB ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC .3.答案：C解析：由题意,知PA ⊥平面ABCD ,BC ⊥平面PAB .AD ⊥平面PAB ,CD ⊥平面PAD ,故平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAB ⊥平面PBC ,平面PAB ⊥平面PAD ,平面PAD ⊥平面PCD ,共5对,故选C.4.答案：D解析：依题意, //MN AC ,又直线AC 与AB 相交,因此, MN 与AB 不平行;注意到AC BC ⊥,因此MN 与BC 所成的角是90; 注意到直线OC 与AC 不垂直,因此OC 与平面VAC 不垂直;由于BC AC ⊥,BC VA ⊥,因此BC ⊥平面VAC .又BC ⊂平面VBC ,所以平面VBC ⊥平面VAC .综上所述,故选D.5.答案：B解析：因为四边形ABCD 是棱形，AC BD ⊥∴，又PA ⊥平面ABCD ，PA BD ⊥∴，又,PA AC A BD =⊥∩∴平面,PAC PC ⊂∵平面,PAC PC BD ⊥∴，要使平面MBD ⊥平面PCD ，只需BM PC ⊥或DM PC ⊥，故选B.6.答案：D解析：∵在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ∠=︒，90BAD ∠=︒，∴BD CD ⊥．又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD 平面BCD BD =，故CD ⊥平面ABD ，则CD AB ⊥．又AD AB ⊥，AD CD D ＝， AD ⊂平面ADC ，CD ⊂平面ADC ，故AB ⊥平面ADC ．又AB ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC ．7.答案：B解析：如图所示，①中，连接EF ，则,E F 分别是,PA PD 的中点，所以,//EF AD AD BC =，所以//EF BC ，所以,,,E F B C 共面，所以直线BC 与直线CF 是共面直线，所以①是错误的；②因为E ∈平面,PAD AF ⊂平面,,PAD E AF B ∉∉平面PAD ，所以直线BE 与直线AF 是异面直线，所以是正确的；③由①知//EF BC ，因为EF ⊄平面,PBC BC ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC ，所以是正确的；④由于不能推出线面垂直，所以平面BCE ⊥平面PAD 是不成立的，综上只有②③是正确的，故选B.8.答案：B解析：根据线面垂直的判定定理得到结果.9.答案：,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥或,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥.解析：10.答案：0解析：()()()()0,1,11,1,010,0,1,11,0,110⋅==≠⋅⋅⋅==≠a b a c ,()()1,1,01,0,110⋅⋅==≠b c ,,,∴a b c 中任意两个都不垂直,即,,αβγ中任意两个都不垂直.11.答案：DM PC ⊥ （或BM PC ⊥）解析：连接AC ，BD ，则AC BD ⊥，∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA BD ⊥.又PA AC A =，∴BD ⊥平面PAC ，∴BD PC ⊥.∴当DM PC ⊥ （或BM PC ⊥）时，即有PC ⊥平面MBD .而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .12.答案：(1)如图，连接AE ，因为AB AD =，点E 为BD 的中点，所以AE BD ⊥. 又因为90BCD ∠=︒,所以CE BE =.而AB AC =，所以ABE ACE ≅.所以AE CE ⊥.因为BD CE E ⋂=，且, BD CE ⊂平面BCD ,AE ⊄平面BCD ，所以AE ⊥平面BCD . 因为AE ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD .(2)如图，取CD 的中点H ，连接,FH GH ，因为F 是AD 的中点，所以FH AC ,所以GFH ∠就是异面直线AC 与FG 所成的角.过F 点在平面ABD 内作FM BD ⊥，垂足为M ，连接GM ，则M 为ED 的中点.由已知2AB AD BD ===可得AE =所以12FM AE ==.在BCD 中，90,602BCD DBC BD ∠=︒∠=︒=,，所以CD =.由F 是AD 的中点，M 为ED 的中点，而G 是CE 的中点，所以111222GM CD GH ED ====.在Rt FGM 中，FG ==由已知2AC =，所以112FH AC ==.所以在FGH 中，由余弦定理的推论得，222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠==⋅。

2025版新教材高中数学课时作业33直线与平面垂直的判定新人教A版必修第二册

课时作业33 直线与平面垂直的判定基础强化1.已知直线a ⊥平面α，直线b ⊂平面α，则下列结论肯定成立的是( ) A ．a 与b 相交 B ．a 与b 异面 C ．a ⊥b D ．a 与b 无公共点2．下列说法中可以推断直线l ⊥平面α的是( ) A ．直线l 与平面α内的一条直线垂直 B ．直线l 与平面α内的两条直线垂直 C ．直线l 与平面α内的两条相交直线垂直 D ．直线l 与平面α内的多数条直线垂直3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的6个面中，与AA 1垂直的平面有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．(多选)下列命题中正确的有( )A ．过直线l 外一点，有且只有一个平面与l 垂直B ．假如三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面C ．垂直于角的两边的直线必垂直于该角所在的平面D ．过点A 且垂直于直线a 的全部直线都在过点A 且垂直于a 的平面内6．(多选)若下列平面中的两条直线与直线a 垂直，则可以保证直线a 与平面垂直的是( )A ．四边形的两边B ．正六边形的两边C ．圆的两条直径D ．三角形的两边7．过平面外一点P 的斜线段是过这点的垂线段的233，则斜线段与平面α所成的角是________.8．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC 的关系是________.9.如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，BA＝BC，K是AC的中点．求证：AC⊥平面VKB.10．如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，D为AC的中点，若AB＝BC＝BB1，∠ABC＝π2，求CC1与平面BC1D所成角的正弦值．实力提升11.如图，圆柱OO′中，AA′是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则()A．BC⊥平面A′ACB．BC⊥平面A′ABC．AC⊥平面A′BCD．AC⊥平面A′AB12.如图，假如MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．不垂直C．垂直D．相交13．在四面体P-ABC中，若P A＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影肯定是△ABC 的()A．外心B．内心C．垂心D．重心14．(多选)已知正方体ABCD -A1B1C1D1，则()A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°[答题区]题号12345611121314 答案15.已知四棱锥P-ABCD中，侧棱P A⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，则该四棱锥的4个侧面中直角三角形的个数是________．16.如图，在四棱锥V-ABCD中，VA＝VD，BA＝BD.(1)证明：AD⊥VB.(2)在棱VC上是否存在一点P，使得VC⊥平面P AD？若存在，指出点P的位置；若不存在，说明理由．课时作业33直线与平面垂直的判定1．解析：因为直线a⊥平面α，直线b⊂平面α，依据线面垂直的定义，所以a⊥b，其他选项不肯定成立．故选C.答案：C2．解析：依据线面垂直的判定定理：直线垂直平面内两条相交直线，强调两条、相交，A、B不正确，C正确；依据线面垂直定义：直线垂直平面内的任一条直线，此时强调任一条，不是多数条，因为这多数条直线可能是平行的，D不正确．故选C.答案：C3.解析：在正方体中，侧棱都和底面垂直，故在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的6个面中，与AA 1垂直的平面有平面ABCD 和平面A 1B 1C 1D 1，共2个．故选B.答案：B4．解析：正四棱锥P -ABCD ，连接底面对角线AC ，令正四棱锥边长为1，则AC ＝2，易知△P AC 为等腰直角三角形．AC 中点为O ，由正四棱锥知，PO ⊥底面ABCD ，即∠P AC 为所求，所以侧棱和底面所成的角为45°.故选B.答案：B5．解析：过直线l 外一点，有且只有一个平面与l 垂直，故A 正确；假如三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面，故B 正确；垂直于角的两边(角两边不共线)的直线必垂直于该角所在的平面，故C 错误；过点A 且垂直于直线a 的全部直线都在过点A 且垂直于a 的平面内，故D 正确．故选ABD.答案：ABD6．解析：对于A ，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直；对于B ，若直线a 垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；对于C ，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；对于D ，三角形的随意两边肯定相交，故能保证线面垂直．故选CD.答案：CD 7．解析：如图，连接AB ，由PB ⊥α，知∠P AB 是线段P A 与平面α所成角，在Rt △P AB 中，因为P A ＝233PB ，所以sin ∠P AB ＝PB P A ＝32，∠P AB ∈(0，π2)，所以∠P AB ＝π3，即线段P A 与平面α所成角为π3.答案：π38．解析：∵AB ⊥α，l ⊂α，∴AB ⊥l ，又BC ⊥β，l ⊂β，∴BC ⊥l ，又AB ∩BC ＝B ，且AB ，BC ⊂平面ABC ，∴直线l ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，故l ⊥AC .答案：l ⊥AC9．证明：∵VA ＝VC ，∴三角形VAC 是等腰三角形， ∵K 是AC 中点，∴VK ⊥AC ，又BA ＝BC ，∴BK ⊥AC . ∵VK 与BK 交于点K ， ∴AC ⊥平面VKB . 10．解析：如图，过点C 作CH ⊥C 1D 于点H ，连接AC 1. ∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC .∵BD ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥BD .∵AB ＝BC ，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC . 又CC 1∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面ACC 1. ∵CH ⊂平面ACC 1，∴BD ⊥CH . 又CH ⊥C 1D ，C 1D ∩BD ＝D ， ∴CH ⊥平面BC 1D ，∴∠CC 1D 为CC 1与平面BC 1D 所成的角．设AB ＝2a ，则CD ＝2a ，C 1D ＝6a ，∴sin ∠CC1D＝CDC1D＝2a6a＝33.11．解析：对于A：依题意AA′⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA′⊥BC，又AB是底面圆的直径，所以BC⊥AC，AA′∩AC＝A，AA′，AC⊂平面AA′C，所以BC⊥平面AA′C，故A正确；对于B：明显BC与AB不垂直，则BC不行能垂直平面A′AB，故B错误；对于C：明显AC与A′C不垂直，则AC不行能垂直平面A′BC，故C错误；对于D：明显AC与AB不垂直，则AC不行能垂直平面A′AB，故D错误．故选A.答案：A12．解析：连接AC，因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又MC⊥菱形ABCD所在的平面，BD⊂平面ABCD，所以MC⊥BD，又MC∩AC＝C，MC，AC⊂平面MAC，所以BD⊥平面MAC，MA⊂平面MAC，所以MA⊥BD.故选C.答案：C13．解析：如图，设点P在平面ABC内的射影为点O，连接OP，则PO⊥平面ABC，连接OA，OB，OC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∵P A＝PB＝PC，PO为公共边，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，∴O为△ABC的外心．故选A.答案：A14．解析：如图，连接B 1C ，由A 1B 1∥DC ，A 1B 1＝DC ，得四边形DA 1B 1C 为平行四边形，可得DA 1∥B 1C ，∵BC 1⊥B 1C ，∴直线BC 1与DA 1所成的角为90°，故A 正确；∵A 1B 1⊥BC 1，BC 1⊥B 1C ，A 1B 1∩B 1C ＝B 1，∴BC 1⊥平面DA 1B 1C ，而CA 1⊂平面DA 1B 1C ，∴BC 1⊥CA 1，即直线BC 1与CA 1所成的角为90°，故B 正确；设A 1C 1∩B 1D 1＝O ，连接BO ，可得C 1O ⊥平面BB 1D 1D ，即∠C 1BO 为直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角，∵sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝12，∴直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角为30°，故C 错误；∵CC 1⊥底面ABCD ，∴∠C 1BC 为直线BC 1与平面ABCD 所成的角，为45°，故D 正确．故选ABD.答案：ABD 15．解析：由题意，在四棱锥P -ABCD 中，侧棱P A ⊥平面ABCD ，可得P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，所以△P AD ，△P AB 为直角三角形；又由四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥BC ，结合P A ⊥BC ，P A ∩AB ＝A ，可得BC ⊥平面P AB ，又因为PB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥PB ，所以△PBC 为直角三角形，同理，△PCD 也为直角三角形．所以该四棱锥的4个侧面中直角三角形的个数是4.答案：4 16．解析：(1)证明：取AD中点E，连接EV，EB.因为VA＝VD，所以AD⊥VE.因为BA＝BD，所以AD⊥EB.又VE∩EB＝E，所以AD⊥平面VEB.因为VB⊂平面VEB，所以AD⊥VB.(2)假设在棱VC上存在一点P，使得VC⊥平面P AD.因为AD⊂平面P AD，所以AD⊥VC. 又AD⊥VB，VB∩VC＝V，所以AD⊥平面VBC.因为BC⊂平面VBC，所以AD⊥BC. 在平面ABCD中，因为AD⊥EB，AD⊥BC，所以EB∥BC，与EB∩BC＝B冲突．所以在棱VC上不存在点P，使得VC⊥平面P AD.。

高一数学人教A版必修2同步课时作业2.3.1直线与平面垂直的判定(有答案)

高一数学人教A 版必修2同步课时作业2.3.1直线与平面垂直的判定一、选择题1.已知,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则下列命题正确的是（）A.若//,m n m α⊥,则n α⊥B.若//,//m n αα ,则//m nC.若m α⊥,//m β,则//αβD.若//m α,αβ⊥,则m β⊥2.在正方形123SG G G 中，E F 、分别是12G G 及23G G 的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE SF 、及EF 把这个正方形折成一个四面体，使1G 、2G 、3G 三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S EFG -中必有( )A. SG EFG ⊥△所在平面B. SD EFG ⊥△所在平面C. GF SEF ⊥△所在平面D. GD SEF ⊥△所在平面3.若三条直线,,OA OB OC 两两垂直,则直线OA 垂直于( )A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC4.设,m n 为直线,,αβ为平面,则m α⊥的一个充分条件可以是( )A.αβ⊥,n αβ⋂=,m n ⊥B.//αβ,m β⊥C.αβ⊥,//m βD.n α⊂,m n ⊥5.已知,αβ是不重合的平面，,m n 是不重合的直线，则m α⊥的一个充分条件是( )A.,m n n α⊥⊂B.//,m βαβ⊥C.,,n n m αββ⊥⊥⊥D.,,n m n αβαβ=⊥⊥6.己知直线l ⊥平面α,直线//m 平面β,若αβ⊥,则下列结论正确的是( )A ．//l β或l β⊂B ．//l mC ．m α⊥D ．l m ⊥ 7.如图，AB 是O 的直径，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，PA ⊥平面ABC ，则四面体P ABC -的四个面中，直角三角形的个数有( )A.4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个8.已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则m α⊥的一个充分条件是( )A.,m n n α⊥⊂B.//,m n βα⊥C.,,n n m αββ⊥⊥⊥D. ,,a n a m n ββ⋂=⊥⊥ 二、填空题9.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,且PA =,E 为棱BC 上的动点,若PE DE ＋的最小值为则PB =_________.10.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱垂直于底面，满足_________时，1BD AC ⊥.(写上一个条件即可)11.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥面ABCD ，且1PD =，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为__________．三、解答题12.已知ABC △中90ACB ∠=︒，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥，求证：AD ⊥面SBC .参考答案1.答案：A解析：对于A ，根据线面垂直的性质定理，即可知A 正确；对于B ，若//m α，//n α，则//m n 或者、相交或者异面，所以B 不正确；对于C ，若m α⊥，//m β，则αβ⊥，所以C 不正确；对于D ，若//m α，αβ⊥，则与β的关系不确定，所以D 不正确；综上，选A ．2.答案：A 解析：在折叠过程中，始终有11SG G E ⊥，33SG G F ⊥，即SG GE ⊥，SG GF ⊥，所以SG ⊥平面EFG ．故选A ．3.答案：C解析：∵,,OA OB OA OC OB OC O ⊥⊥⋂=，∴OA ⊥平面OBC .4.答案：B解析：选项A,缺少m B ⊂这一条件,故不一定推出m α⊥;选项B,显然能够推出m α⊥;选项C,若m 平行于平面α和平面β的交线,则//m α或m α⊂,故不一定推出m α⊥;选项D,若m α⊂,则直线m 不垂直于平面α.故选B.5.答案：C解析：对于答案A:,m n n α⊥⊂，得出m 与α是相交的或是垂直的，故A 错；答案B://,m βαβ⊥，得出m 与α是相交的、平行的都可以，故B 错；答案C:,n n αβ⊥⊥，得出//αβ，再m β⊥得出m α⊥，故C 正确；答案D:,,n m n αβαβ=⊥⊥，得出m 与α是相交的或是垂直的，故D 错故选C6.答案：A 对于A,直线l ⊥平面α,α⊥β,则l ∥β或l ⊂β，A 正确；对于B,直线l ⊥平面α,直线m ∥平面β,且α⊥β,则l ∥m 或l 与m 相交或l 与m 异面， ∴B 错误；对于C,直线l ⊥平面α,直线m ∥平面β,且α⊥β,则m ⊥α或m 与α相交或m ⊂α或m ∥α， ∴C 错误；对于D,直线l ⊥平面α,直线m ∥平面β,且α⊥β,则l ∥m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴D 错误故选：A.7.答案：A解析：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，∴ABC △是直角三角形；又PA ⊥平面ABC ，∴PA AB ⊥，,PA AC PA BC ⊥⊥；∴PAC PAB 、△△是直角三角形；又AC PA A =，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC PC ⊥，∴PBC △是直角三角形；∴四面体P ABC -的四个面中，直角三角形有4个。

2020版高中数学课时作业15直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质新人教A版必修2

课时作业15 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质基础巩固1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行 D.不确定解析：因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.答案：C2．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；③若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为 ( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.答案：B3．如图1，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是( )图1A ．PE ⊥ACB ．PE ⊥BCC ．平面PBE ⊥平面ABCD D ．平面PBE ⊥平面PAD解析：因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD .又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PE ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥AC ，PE ⊥BC ，所以A 、B 成立；又PE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面ABCD ，所以C 成立；若平面PBE ⊥平面PAD ，则AD ⊥平面PBE ，必有AD ⊥BE ，此关系不一定成立，故选D.答案：D4．如图2，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°，F 是AC 的中点，E 是PC 上的点，且EF ⊥BC ，则PE EC＝________．图2解析：在三棱锥P －ABC 中，因为PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°，所以AB ⊥平面APC .因为EF ⊂平面PAC ，所以EF ⊥AB ，因为EF ⊥BC ，BC ∩AB ＝B ，所以EF ⊥底面ABC ，所以PA ∥EF ，因为F 是AC 的中点，E 是PC 上的点，所以E 是PC 的中点，所以PE EC＝1. 答案：15．若α⊥β，α∩β＝l ，点P ∈α，P ∉l ，则下列命题中正确的为________．(只填序号)①过P 垂直于l 的平面垂直于β； ②过P 垂直于l 的直线垂直于β； ③过P 垂直于α的直线平行于β； ④过P 垂直于β的直线在α内．解析：由α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，P∉l知：在①中，由面面垂直的判定定理得：过P垂直于l的平面垂直于β，故①正确；在②中，过P垂直于l的直线有可能垂直于α，但不垂直于β，故②错误；在③中，由线面平行的判定定理得过P垂直于α的直线平行于β，故③正确；在④中，由面面垂直的性质定理得过P垂直于β的直线在α内，故④正确．答案：①③④能力提升1．如图3，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在( )图3A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上 D.△ABC的内部解析：因为BC1⊥AC，AB⊥AC，BC1∩AB＝B，所以AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABC1.又平面ABC∩平面ABC1＝AB，所以过点C1再作C1H⊥平面ABC，则H∈AB，即点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上．答案：A2．如图4，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )图4A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH解析：因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.答案：B图53．如图5所示，三棱锥PABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点解析：∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．答案：D4．如图6，四面体PABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________．图6解析：取AB的中点E，连接PE，EC(图略)．∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6， ∴AB ＝10，∴CE ＝5.∵PA ＝PB ＝13，E 是AB 的中点， ∴PE ⊥AB ，PE ＝12. ∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ， ∴PE ⊥平面ABC . ∵CE ⊂平面ABC ， ∴PE ⊥CE .在Rt △PEC 中，PC ＝PE 2＋CE 2＝13. 答案：135．(2019年湖北武汉模拟)如图7，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△ADE ，△CDF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点A ′.图7(1)求证：平面A ′DE ⊥平面A ′EF ； (2)求三棱锥A ′DEF 的体积．解：(1)证明：折叠前，AD ⊥AE ，CD ⊥CF . 折叠后，A ′D ⊥A ′E ，A ′D ⊥A ′F .又∵A ′E ∩A ′F ＝A ′，∴A ′D ⊥平面A ′EF . ∵A ′D ⊂平面A ′DE ，∴平面A ′DE ⊥平面A ′EF . (2)∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点， ∴AE ＝BE ＝BF ＝1，EF ＝ 2. 折叠后，A ′E ＝A ′F ＝1，∴A ′E 2＋A ′F 2＝EF 2，∴A ′E ⊥A ′F ， ∴S △A ′EF ＝12A ′E ×A ′F ＝12×1×1＝12.由(1)知，A ′D ⊥平面A ′EF ，∴V A ′DEF ＝V D A ′EF ＝13S △A ′EF ·A ′D＝13×12×2＝13.图86．在斜三棱柱A 1B 1C 1ABC (侧棱与底面不垂直)中，底面是等腰三角形，AB ＝AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC .若D 是BC 的中点．(1)求证：AD ⊥CC 1；(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM ＝MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .证明： (1)因为AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC ，因为底面ABC ⊥侧面BB 1C 1C ，所以AD ⊥侧面BB 1C 1C ，所以AD ⊥CC 1. (2)如图9，取BC 1的中点E ，连接ME ，DE . 因为D 为BC 的中点，图9所以DE ∥CC 1，DE ＝12CC 1.因为AA 1∥CC 1，AA 1＝CC 1，且M 为AA 1的中点，所以AM ∥CC 1且AM ＝12CC 1.所以DE ∥AM ，DE ＝AM ，所以四边形ADEM 是平行四边形，所以EM ∥AD . 因为AD ⊥平面BB 1C 1C ，所以EM ⊥平面BB 1C 1C . 又EM ⊂截面MBC 1，所以截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .拓展要求如图10①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图10②中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1BCDE .图10(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1BCDE 的体积为362，求a 的值．解：(1)证明：在图10①中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在图10②中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC ，又易得CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE ，即A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高．由图①知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2从而四棱锥A 1BCDE 的体积为V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3，由26a 3＝362，得a ＝6.。

高一数学人教a版必修2学业分层测评13_平面与平面垂直的判定_word版含解析

高一数学人教a版必修2学业分层测评13_平面与平面垂直的判定_word版含解析学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．其中正确的个数是()A．0B．1C．2 D．3【解析】根据二面角的定义知①②③都不正确．【答案】 A2．如图2-3-26，P A垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是()图2-3-26A．平面ABCDB．平面PBCC．平面P ADD．平面PBC【解析】由P A ⊥平面ABCD 得P A ⊥CD ，由四边形ABCD 为矩形得CD ⊥AD ，从而有CD ⊥平面P AD ，所以平面PCD ⊥平面P AD .故选C.【答案】 C3．在四面体A -BCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，A -BD -C 为直二面角，E 是CD 的中点，则∠AED 的度数为( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．90° 【解析】如图，设AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝a ，取BD 的中点为F ，连接AF ，CF ，则由题意可得AF ＝CF ＝22a . 在Rt △AFC 中，易得AC ＝a ， ∴△ACD 为正三角形．又∵E 是CD 的中点， ∴AE ⊥CD ，即∠AED ＝90°. 【答案】 D4．如图2-3-27，AB 是圆的直径，P A 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且P A ＝AC ，则二面角P -BC -A 的大小为( )【导学号：09960079】图2-3-27A．60°B．30°C．45°D．15°【解析】由条件得：P A⊥BC，AC⊥BC，又P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△P AC中，由P A＝AC得∠PCA＝45°，∴C对．【答案】 C5．如图2-3-28，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G 分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()图2-3-28A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面P AB与平面ABC所成二面角的平面角【解析】A正确，∵GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC；B正确，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC；C正确，易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；D 错误，∵GE 与AB 不垂直，∴∠FEG 不是平面P AB 与平面ABC 所成二面角的平面角．【答案】 D 二、填空题6．矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝435，则二面角A -BD -P 的度数为________．【解析】过点A 作AE ⊥BD ，连接PE ，则∠AEP 为所求角． ∵由AB ＝3，AD ＝4知BD ＝5，又AB ·AD ＝BD ·AE ， ∴AE ＝125.∴tan ∠AEP ＝435125＝33.∴∠AEP ＝30°.【答案】 30°7．在平面几何中，有真命题：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补．某同学将此结论类比到立体几何中，得一结论：如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补．你认为这个结论________．(填“正确”或“错误”)【解析】如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，平面CDD1C1⊥平面ABCD，而二面角A-C1D1-C为45°，二面角A-BC-C1为90°.则这两个二面角既不相等又不互补．【答案】错误三、解答题8．如图2-3-29，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC ＝90°，P A⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝23，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面P AC.图2-3-29【证明】∵P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥P A.又tan ∠ABD＝ADAB＝33，tan ∠BAC＝BCAB＝3，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC.又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面P AC.9．(2016·临沂高一检测)如图2-3-30，在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点.【导学号：09960080】图2-3-30(1)求证：DE∥平面P AC；(2)求证：AB⊥PB；(3)若PC＝BC，求二面角P-AB-C的大小．【解】(1)证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，所以DE∥P A.又因为P A⊂平面P AC，DE⊄平面P AC，所以DE∥平面P AC.(2)证明：因为PC⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，所以PC⊥AB.又因为AB⊥BC，PC∩BC＝C，所以AB⊥平面PBC，又因为PB⊂平面PBC，所以AB⊥PB.(3)由(2)知，AB⊥PB，AB⊥BC，所以∠PBC即为二面角P-AB-C的平面角，因为PC＝BC，∠PCB＝90°，所以∠PBC＝45°，所以二面角P-AB-C的大小为45°.[自我挑战]10．如图2-3-31所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中，下列命题正确的是()图2-3-31A．AD⊥平面BCDB．AB⊥平面BCDC．平面BCD⊥平面ABCD．平面ADC⊥平面ABC【解析】在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD ＝90°，所以BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC.【答案】 D11．如图2-3-32所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E是CD的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝ 3.图2-3-32(1)证明：平面PBE⊥平面P AB；(2)求二面角A-BE-P的大小．【导学号：09960081】【解】(1)证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°，知△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)由(1)知，BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB＝3，则∠PBA＝60°.故二面角A-BE-P的大小是60°.。

人教版高中数学必修二课时分层作业13直线与平面垂直的判定

课时分层作业（十三）直线与平面垂直的判（建议用时：45分钟）［基础达标练］、选择题1.如果一条直线I与平面a的一条垂线垂直，那么直线I与平面a的位置关系是（)A. I? aB. I丄aC. I // aD. I? a或1 // aD［结合正方体模型,直线I与平面a的位置关系是平行或在平面内,故选D.]2.已知直线a与平面a所成的角为50°,直线b// a,则b与a所成的角等于（）A. 40°B. 50°C. 90°D. 150°B ［根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与a所成的角也是50°.］3 .直线I与平面a内的无数条直线垂直，则直线I与平面a的关系是（）A . I和平面a相互平行B . I和平面a相互垂直C. I在平面a内 D .不能确定D ［如下图所示,直线I和平面a相互平行，或直线I和平面a相互垂直或直线I在平面a内都有可能.故选D.］4. 如图所示，aA I，点A，C€ a,点B€ p,且BA丄a, BC丄B,那么直线I 与直线AC 的关系是（）A .异面D .不确定C [ V BA 丄 a, aGB= I , I ? a —BA X I.同理 BC X I.又 BA G BC = B , /-I 丄平面 ABC.••AC?平面 ABC , / 丄AC.]5. 三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的（）A .内心C .外心 C [如图，设点P 在平面ABC 内的射影为0,连接0A , OB , OC.••三棱锥的三条侧棱两两相等，•••PA = PB = PC.••P0丄底面ABC ,•••PO X OA , PO X OB , PO X OC ,••Rt^OA 李t^OB 细t ZPOC ,•'•OA = OB = OC ,故顶点P 在底面的射影为底面三角形的外心.]二、填空题6. ______________________________________ 如图，直三棱柱 ABC-A i B i C i 中，/ ABC = 90°, M 为线段BB i 上的一动点，则直线AM 与直线BC 的位置关系为 ________________________________________________ .C .垂直 B .重心B .平行 D .垂心AM 丄 BC [T AA i 丄平面 ABC , .'BC1 AA i ,vzABC = 90° A BC ! AB ,又 AB A AAu A,•••BC 丄平面 AA i B i B ,又 AM?平面 AA 1B 1B ,「AM 丄 BC.]7. 如图，△ ABC 是直角三角形，/ ACB = 90°, PA 丄平面ABC ，此图形中有 ________ 直角三角形.4 [ T PA 丄平面 ABC , /PA X AC , PA 丄 AB , PA 丄 BC , T AC ! BC ,且 PA A AC=A , /BC 丄平面 FAC , A BC !PC.综上知： △ ABC , Z2PAC , △AB , ZPBC 都是直角三角形，共有4个.]8 .如图所示，AB 是O O 的直径，PA XO O 所在的平面，C 是圆上一点，且 / ABC = 30°, PA =AB ,则直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为2 [因为PA 丄平面ABC ,所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影,所以1 1/ PCA 即为PC 与平面ABC 所成的角.在△ ABC 中，AC = 2AB =?PA ,所以tan、解答题ZPCA = PA AC =2.]9•如图，四边形ABCD为矩形，AD丄平面ABE, F为CE上的点，且BF丄平面ACE.求证：AE丄BE.［证明］T AD丄平面ABE, AD//BC,•••BC丄平面ABE.又AE?平面ABE, /.AE±BC.••BF丄平面ACE, AE?平面ACE,「AE丄BF.又••• BF?平面BCE, BC?平面BCE, BF GBC= B,••AE丄平面BCE.又BE?平面BCE, 「AE 丄BE.10.如图，在边长为2的菱形ABCD中，/ ABC= 60°, PC丄平面ABCD, PC =2,［解••PC 丄平面 ABCD , AH?平面 ABCD ,•••PC 丄 AH ,又 PC n BC = C , /AH 丄平面 PBC.•••zAPH 为PA 与平面PBC 所成的角,在边长为2的菱形ABCD 中，Z ABC = 60°• ZABC 为正三角形，又AH 丄BC ,•为BC 中点，AH = .3VPC = AC = 2, •••PA = 2,2,故PA 与平面PBC 所成角的正弦值为二6.［能力提升练］1 •空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是（）C [取 BD 中点 0,连接 AO , CO , J 则 BD 丄AO , BD 丄CO , ABD ±面 AOC , BD 丄 AC ,又 BD 、AC 异面，•••选C.]A .垂直且相交B .相交但不一定垂直C .垂直但不相交D .不垂直也不相交A2.如图所示，在空间四边形 ABCD 中，AB , BC , CD , DA 的长和两条对角线AC, BD 都相等，且E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则直线BE 和平面ADF 所成的角的正弦值为 ___________ .BE 和平面ADF 所成的角,设 BC = 2,贝U BF = 1, BE = 3,.皿BEF 也鑒33［连接EF, ••AF PDF = F , •••BC 丄平面ADF. 根据题意,。

2020年高中数学新教材人教A版必修第2册练习三十一直线与平面垂直二75

课时素养评价三十直线与平面垂直（二）基咄练（25分钟• 50分）一、选择题（每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）1. 四棱锥P-ABCD P从平面ABCD且PA=AB=AD四边形ABCD是正方形，E是PD的中点，则AE与PC的关系是（）A. 垂直B. 相交C. 平行D. 相交或平行【解析】选A.因为PA=AD E为PD的中点，所以AE1 PD,又PA!平面ABCD所以PA I CD又因为CDL AD.PA A AD=A 所以CDL平面PAD 所以CDL AE.又因为CD A PD=D所以AE1平面PCD.所以AE1 PC.2. 已知PA丄矩形ABCD所在平面，PA^ AD, M N分别是AB, PC的中点，贝U MN垂直于（）A. ADB.CDC.PCD.PD因为N, O分别为PC, AC的中点，所以NO// PA因为PA丄平面ABCD所以NC丄平面ABCD所以NOL CD. 又因为M O分别为AB AC的中点，所以MOI BC.因为BCL CD 所以MOL CD因为NS MO=O所以CDL平面MNO所以CD L MN.3. 如图，在正方体ABCD-AB i CD中，若E是AC与B i D的中点，则直线CE垂直于（）A.ACB.BDC.A i DD.A i D【解析】选B.在正方体ABCD-ABQD中，E是AC, BD的中点，设O是AC, BD的交点，连接EQ贝U EO丄平面ABCD所以EO丄BD又CO L BD, C6 EO=O所以BD丄平面COE因为CE? 平面COE所以BD丄CE.4. （多选题）如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ ABC内接于圆O,且AB为圆0的直径，点M为线段PB的中点.以下各命题中，真命题为（）CA. BC 丄PCB. OM//平面APCC. 点B到平面PAC的距离等于线段BC的长D. 三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半【解析】选ABCD因为PA丄圆0所在的平面，BC?圆0所在的平面，所以PAI BC,而BC丄ACPA P AC=A所以BCL平面PAC而PC?平面PAC所以BC丄PC,故A正确；因为点M为线段PB的中点，点O为AB的中点，所以OM/ PA,而OM平面PAC PA?平面PAC所以OI W平面APC故B正确；因为BCL平面PAC所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，故C正确；三棱锥M-PAC和三棱锥P-ABC均可以平面PAC为底面，此时M到底面的距离是B到底面距离的一半，故三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半，故D正确二、填空题（每小题4分，共8分）5. △ ABC的三个顶点A, B, C到平面a的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm,且它们在a的同侧，则△ ABC 的重心到平面a的距离为________________________ .【解析】如图，设A, B, C在平面a上的射影分别为A', B', C',△ ABC的重心为G,连接CG并延长交AB于中点E,又设E, G在平面a上的射影分别为E', G ,则E'€ A' B', G' € C' E ',1 52 2EE'「（A ' A+B' B）「, CC =4,CG： GE=2： 1，在直角梯形EE' C' C中，可求得GG =3.答案：36. ____________________________________________________________________ 如图所示，在直四棱柱ABCD-ABiGD中，当底面四边形ABCD满足条件___________________________ 时，有AC丄BD.【解析】若AC丄BQ,由四棱柱ABCD-ABG D为直四棱柱，AA丄BD,易得B i D丄平面AAGC, 则AQ 丄B i D,即卩AC丄BD（或四边形ABCD为菱形）.答案：AC丄BD或四边形ABCE为菱形三、解答题（共26分）7. （12 分）如图，四棱柱ABCD-ABC i D的底面ABCD是正方形，0为底面中心，A0丄平面ABCD 证明：AC丄平面BBDD.【证明】因为A i O丄平面ABCD所以A i O丄BD.又底面ABCD是正方形，所以BDL AC,因为AC A A i O=0所以BDL平面AOC所以BD丄A i C.又OA是AC的中垂线，所以A i A=AC=\ -，且AC=2所以AC=A " +A i C2,所以△ AA C是直角三角形，所以AA丄A i C.又BB // AA,所以A i C丄BB,因为BB n BD=B所以AQ丄平面BBD D.8. （ i 4 分）如图，三棱柱ABC-AB C中，侧面BBC C为菱形，B i C的中点为O,且AC丄平面BBC C.（i ）证明：B C± AB.⑵若ACL AB,/ CBB=60°, BC=i,求三棱柱ABC-AB i C 的高.【解析】（i ）连接BG,则O为B i C与BC的交点.因为侧面BBCQ为菱形，所以BC丄BG.又AO L平面BBCC，所以BC丄AQ故B i C丄平面ABO.由于AB?平面ABO 故BC丄AB.⑵方法一：在平面BBCC内作ODL BC垂足为D,连接AD.在平面AOD内作OH L AD,垂足为H.由于BC L AO BC L OD故BC丄平面AOD所以OH L BC.又OHLAD,所以OHL平面ABC.因为/ CBB=60°,所以△ CBB为等边三角形.又BC=1,可得OD=" 由于ACL AB ,所以OA= B i C=由OH・ AD=OD OA所以点B i到平面ABC的距离为又O为B i C的中点,故三棱柱ABC-ABG的高为方法二：由于侧面BBGC为菱形, / CBB=60° , BC=1.B i C=1, BO'，又AC1 AB,故B i C=1,1则AO=,AO= , AC= ，易得AB=1,•严4在厶ABC 中，易得AC 边上的高h=',由％ ■创应=巾】“肮,得21所以h 三棱柱=丁、/21所以三棱柱ABC-ABG 的高为 71.（4分）已知矩形 ABCD 的边AB=a, BC=3 PAL 平面ABCD 若 BC 边上有且只有一点丄DM 则a 的值为（）1 3 22A.B.1C.D.2【解析】选C.因为PA 丄平面ABCD 所以PA L DM 若BC 边上存在点 M 使 PM L MD 则DM L 平面 PAM 所以 DM L AM , 所以以AD 为直径的圆和 BC 相交即可.3因为AD=BC=3所以圆的半径为°,3要使线段BC 和半径为匚的圆相切，B M C1护 A BB.C q• AO= S MBC1 I Q2 2 T• h 三棱柱3T 所以；• h 三棱柱.能力练（15分钟• 30M 使PM则AB 」，即a ，，所以a 的值是'.所在平面，那么（）【解析】选C.因为PML 平面ABC MC?平面ABC 所以PML MC PML AB. 又因为 M 为 AB 中点，/ ACB=90，所以 MA=MB=MC.以 PA=PB=PC. 【加练•固】正方体ABCD-ABQD 中E 为线段BD 上的一个动点，则下列结论中错误的是（）A.AC 丄 BEB. BiE//平面 ABCDC. 三棱锥E-ABC 的体积为定值D.B i E 丄 BC【解析】选D.对于A.因为在正方体中， AC 丄BD, AC 丄DD , BD A DD=D, 所以ACL 平面 BBDD,因为 BE?平面BBDD,所以 ACL BE,所以 A 正确. 对于B.因为BiDi /平面ABCD所以B i E //平面ABCD 成立，即B 正确.对于C.三棱锥E-ABC 的底面△ ABC 的面积为定值，锥体的高BB 为定值，所以锥体体积为定值, 即C 正确.对于D.因为DiC i L BG ,所以B i E L BG 错误.2.（4分）如图，已知△ ABC 为直角三角形，其中/ ACB=90 , M 为AB 的中点，PM 垂直于△ ABCA.PA=PB>PC C.PA=PB=PCB. PA=PB<PCD.PA M PB^ PC3.（4分）正三棱锥的底面边长为 2,侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积是□【解析】如图，由已知得 PU PB, PU PC, PB n PC=P【解析】在三棱锥P-ABC 中，因为 PAL 底面 ABC / BAC=90 , 所以AB 丄平面APC. 因为EF?平面PAC 所以EF 丄AB, 因为 EF L BC, BCH AB=B所以EF 丄底面ABC 所以PA// EF , 因为F 是AC 的中点，E 是PC 上的点,2所以 PU 平面 PBC.又 PB 丄 PC, PB=PC BC=2 所以 PB=PC=：3所以 V P -AB (=V A -PBC = PA * S A PBC1 1 24.（4 分）如图，在三棱锥 P-ABC 中，P 从底面 ABC / BAC=90 , F 是AC 的中点,PE E 是PC 上EC的点，且EF ± BC ,贝U …PE所以E 是PC的中点，所以M =1.答案：i5.(i42分)如图直三棱柱ABC-ABiC中，D, E分别是AB, BB的中点，AA=AC=CB= AB=2.⑴证明：BG//平面ACD.⑵求三棱锥E-A i CD的体积.【解析】⑴连接AG交A i C于F,连接DF,贝U F为AC中点，又D为AB中点,因为BC // DF,又BC?平面A i CD DF?平面A i CD 所以BC //平面AQD.7T(2)因为AC=BC= AB=22所以ACL BC, AB=2\ ",A/2CD L AB CD=，因为三棱柱为直三棱柱，所以AA丄底面ABC所以AA丄CD因为A i A Q AB=A 所以CDL平面 A DEA3 2s------在矩形ABBA i 中，求得“…出,1 Bp?所以：二r ・心」聖='X 2 X \ -=1. 故三棱锥E-A i CD 的体积为1. 【加练•固】如图所示，已知矩形 ABCD 过A 作SA 丄平面ABCD 再过A 作AE ± SB 交SB 于点E ,过点E 作EF 丄SC 交SC 于点F. (1)求证：AF 丄SC.⑵若平面 AEF 交SD 于点G,求证：AGL SD.【证明】(1)因为SA L 平面ABCD BC?平面ABCD 所以SA L BC 因为四边形 ABCD 为矩形, 所以AB 丄BC,因为 AB A SA=A所以BC L 平面 SAB 所以BC L AE. 又 SB 丄 AE , SB A BC=B 所以AE!平面 SBC 所以AE ! SC. 又EF L SC,所以SC 丄平面AEF, 所以AF L SC.⑵因为SA L 平面 ABCD 所以SA L DC又 AD L DC, SA A AD=A所以DC L 平面 SAD 所以DC L AG. 由(1)知SC 丄平面 AEF, 因为A(?平面AEF,所以SC L AG 因为SC A DC=C 所以AGL 平面SDC 所以AGL SD.所以△州DEx CD培优练1. 如图，在矩形 ABCD 中, AB=2AD E 为边AB 的中点，将△ ADE 沿直线DE 翻折成△ ADE.若M 为线段AC 的中点，则在△ ADE 翻折过程中，下列结论中正确的有（）① 总存在某个位置，使 CEL 平面A i DE.② 总有BM//平面 A i DE. ③存在某个位置，使 DE 丄A i C.由MF// A i D 与FB// ED 可得平面 MBF//平面A i DE,所以总有 BM//平面A i DE,故②正确;在③中，A i C 在平面ABCD 中的射影为AC, AC 与 DE 不垂直，所以DE 与AC 不垂直，故③错误•啓2. （20i9 •南昌高一检测）如图，在四面体 P-ABC 中，PA 丄平面 ABC , PA=AB=i BC= ' , AC=2. ⑴证明： BC 丄平面（2）在线段PC 上是否存在点D,使得AC 丄BD,若存在，求PD 的值，若不存在，请说明理由弋I kJ【解析】⑴由题知：AB=i, BC 仝,AC=2.则 A$+B C=A C ，所以 AB 丄 BC,A.①②【解连接MF B.①③ C.②③ D.①②③ 选A.在①中，总存在某个位置，使1BF ,则 MF// AD 且 MF=AD,CE!平面A i DE ①正确；在②中，取 CD 中点F , ED 且 FB=EDFB//又因为PA丄平面ABC 所以PA丄BC因为PA H AB=A所以BC丄平面PAB.4⑵在线段PC上存在点D,当PD= 时，使得ACL BD.理由如下：在平面ABC内，过点B作BE L AC垂足为E,在平面PAC内，过点E作DE// PA,交PC于点D,连接BD,由PA L平面ABC知PA L AC,所以DEL AC,所以AC丄平面DBE又因为BD?平面DBE所以AC L BD在厶ABC中,AB.BC所以AE=，,CE CD~rp所以八=',所以CD= , PD=。

新教材2020学年人教A版数学必修第二册课时分层作业31 平面与平面垂直

课时分层作业(三十一)平面与平面垂直(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个B．1个C．无数个D．1个或无数个D[当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．] 2．下列不能确定两个平面垂直的是()A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线bD[如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．]3．如图，AB是圆的直径，P A垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且P A＝AC，则二面角P-BC-A的大小为()A．60°B．30°C ．45°D ．15°C [由条件得：P A ⊥BC ，AC ⊥BC ，又P A ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P -BC -A 的平面角．在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°，故选C.]4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥mB ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥βD [如图，AB ∥l ∥m ，AC ⊥l ，m ∥α⇒AC ⊥m ，AB ∥l ⇒AB ∥β. 故选D.]5．在正三角形 ABC 中，AD ⊥BC 于点 D ，沿 AD 折成二面角B -AD -C 后，BC ＝12AB ，这时二面角B -AD -C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．45°D ．120°A [∠BDC 为二面角B -AD -C 的平面角，设正三角形ABC 的边长为m ，则折叠后，BC ＝12m ，BD ＝DC ＝12m ，所以∠BDC ＝60°.]二、填空题6．已知α，β是两个不同的平面，l 是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l ⊥α，②l ∥β，③α⊥β.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .(用序号表示)①②⇒③ [由l ∥β可在平面β内作l ′∥l ，又l ⊥α，∴l ′⊥α，∵l ′⊂β，∴α⊥β，故①②⇒③.]7．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，将△ABC 沿斜线BC 上的高AD 折叠，使平面ABD ⊥平面ACD ，则BC ＝ .1[因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.，所以BC＝在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，所以BD＝CD＝22BD2＋CD2＝1.]8．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是．45°[如图，过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD 所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.]三、解答题9．如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面P AD.[证明]因为P A⊥平面AC，CD⊂平面AC，所以P A⊥CD.因为CD⊥AD，P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.因为CD⊂平面PDC，所以平面PDC⊥平面P AD.10．如图所示，平面角为锐角的二面角α-EF-β，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角α-EF-β的大小．[解]作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB，则GB⊥EF，∠GBH是二面角α-EF-β的平面角．又∠GAH是AG与β所成的角，设AG＝a，则GB＝22a，GH＝12a，sin∠GBH＝GHGB＝22.所以∠GBH＝45°，二面角α-EF-β的大小为45°.[等级过关练]1．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于．6[取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG ＝ 2. 因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝MG2＋NG2＝ 6.]2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1-EF-C等于45°，则BF＝.1[由题意知EF⊥BC. ∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF，又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F，∴EF⊥C1F. 故∠C1FC为二面角C1-EF-C的平面角，即∠C1FC＝45°，∵AA1＝1，∴CF＝1，又BC＝2，∴BF＝1.]。

人教A版新教材高中数学第二册课时作业12：8.6.3 平面与平面垂直(一)

8．6.3 平面与平面垂直（一）A级——基础过关练1．下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．32．阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是()如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：平面P AC⊥平面BDE.证明：因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD．又因为AC⊥BD，且AC∩PO＝O，所以__________．又因为BD⊂平面BDE，所以平面P AC⊥平面BDE.A．BD⊥平面PBC B．AC⊥平面PBDC．BD⊥平面P AC D．AC⊥平面BDE3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ4．如图，AB是圆的直径，P A垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且P A＝AC，则二面角P-BC-A的大小为()A．60°B．30°C．45°D．15°5．(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是()A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面P AB与平面ABC所成二面角的平面角6．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，P A＝6，那么二面角P-BC-A的大小为________．7．在平面几何中，有真命题：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补．某同学将此结论类比到立体几何中，得一结论：如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补．你认为这个结论________．(填“正确”或“错误”)8．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，P A⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝23，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面P AC．9．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，D为AC的中点．求证：平面POD⊥平面P AC．B 级——能力提升练10．如图，二面角α-l -β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是( )A ．14B ．13C ．34D ．3311．如图，四棱锥P -ABCD 中，△P AB 与△PBC 是正三角形，平面P AB ⊥平面PBC ，AC ⊥BD ，则下列结论不一定成立的是( )A ．PB ⊥AC B ．PD ⊥平面ABCD C ．AC ⊥PDD ．平面PBD ⊥平面ABCD12．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B -AC -D 的余弦值为( )A ．13B ．12C ．223D ．3213．已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面(如图)，则图中互相垂直的平面有________对．14．如图，一张矩形白纸的长、宽分别为22a,2a ，且A ，B ，C ，D 分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P 1，P 2，P 3，P 4四点重合为一点P ，得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①该多面体是三棱锥；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD．15．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC为正三角形，AD＝λAC(0＜λ＜1)．试问λ为何值时，会使得平面BC1D⊥平面ACC1A1?16．在边长为5的菱形ABCD中，AC＝8.现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为925.(1)求证：平面ABD⊥平面CBD；(2)若M是AB的中点，求三棱锥A-MCD的体积．C级——探索创新练17．已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC ＝a，得到三棱锥A-BCD，如图．(1)当a＝2时，求证：AO⊥平面BCD；(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时，求二面角A-BC-D的正切值．——★参*考*答*案★——A级——基础过关练1．『『答案』』A『『解析』』根据二面角的定义知①②③都不正确．2．『『答案』』C『『解析』』根据线面垂直的判定定理可知横线处应填“BD ⊥平面APC ”．故选C ． 3．『『答案』』A『『解析』』A 正确．B 错，有可能m 与β相交；C 错，有可能m 与β相交，D 错，有可能α与β相交．故选A ． 4．『『答案』』C『『解析』』由条件得P A ⊥BC ，AC ⊥BC ，又P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P -BC -A 的平面角．在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°.故选C ． 5．『『答案』』ABC『『解析』』A 正确，∵GF ∥PC ，GE ∥CB ，GF ∩GE ＝G ，PC ∩CB ＝C ，∴平面EFG ∥平面PBC ；B 正确，∵PC ⊥BC ，PC ⊥AC ，PC ∥GF ，∴GF ⊥BC ，GF ⊥AC ，又BC ∩AC ＝C ，∴GF ⊥平面ABC ，∴平面EFG ⊥平面ABC ；C 正确，易知EF ∥BP ，∴∠BPC 是直线EF 与直线PC 所成的角；D 错误，∵GE 与AB 不垂直，∴∠FEG 不是平面P AB 与平面ABC 所成二面角的平面角． 6．『『答案』』90°『『解析』』取BC 的中点O ，连接OA ，OP (图略)，则∠POA 为二面角P -BC -A 的平面角，OP ＝OA ＝3，P A ＝6，所以△POA 为直角三角形，∠POA ＝90°. 7．『『答案』』错误『『解析』』如图所示的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面ABC 1D 1⊥平面BCC 1B 1，平面CDD 1C 1⊥平面ABCD ，而二面角A -C 1D 1-C 为45°，二面角A -BC -C 1为90°.则这两个二面角既不相等又不互补．8．证明：∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥P A ．又tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB＝3，∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°，∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC ．又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ．又BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面P AC ．9．证明：如图，连接OC ，CB ．因为OA ＝OC ，D 是AC 的中点，所以AC ⊥OD ．又PO ⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ，所以AC ⊥PO . 因为OD ∩PO ＝O ，所以AC ⊥平面POD ．又AC ⊂平面P AC ，所以平面POD ⊥平面P AC ．B 级——能力提升练10．『『答案』』C『『解析』』如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连接OB ，OC ，则OC ⊥l .设AB 与β所成的角为θ，则∠ABO ＝θ，由图得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝34.11．『『答案』』B『『解析』』在A 中，取PB 中点O ，连接AO ，CO ，则AO ⊥PB ，CO ⊥PB ，∴PB ⊥平面AOC ，∴PB ⊥AC ，故A 成立；在B 中，设AC ∩BD ＝M ，连接PM ，易知P A ＝PC ，则PM ⊥AC ，∴PD 与AC 不垂直，∴PD 与平面ABCD 不垂直，故B 不成立；在C 中，易知PB ⊥平面AOC ，∴PB ⊥AC ，又AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面PBD ，∴AC ⊥PD ，故C 成立；在D 中，∵AC ⊥平面PBD ，AC ⊂平面ABCD ，∴平面PBD ⊥平面ABCD ，故D 成立．故选B ．12．『『答案』』A『『解析』』在菱形ABCD 中，连接BD 交AC 于O 点，则AC ⊥BD ．在折起后的图中，由四边形ABCD 为菱形且边长为1，则DO ＝OB ＝32.因为DO ⊥AC ，BO ⊥AC ，所以∠DOB 就是二面角B -AC -D 的平面角．由BD ＝1，得cos ∠DOB ＝OD 2＋OB 2－DB 22OD ·OB＝34＋34－12×32×32＝13.13．『『答案』』5『『解析』』因为DA ⊥AB ，DA ⊥P A ，所以DA ⊥平面P AB ，同理BC ⊥平面P AB ．又AB ⊥平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD ．所以平面P AD ⊥平面AC ，平面P AB ⊥平面AC ，平面PBC ⊥平面P AB ，平面P AB ⊥平面P AD ，平面PDC ⊥平面P AD ，共5对． 14．『『答案』』①②③『『解析』』由题意得该多面体是一个三棱锥，故①正确；∵AP ⊥BP ，AP ⊥CP ，BP ∩CP ＝P ，∴AP ⊥平面BCD ，又∵AP ⊂平面ABD ，∴平面BAD ⊥平面BCD ，故②正确；同理可证平面BAC ⊥平面ACD ，故③正确．综上，正确命题的序号为①②③. 15．解：如图，取AC 的中点为D ，连接AB 1，DB ，DC 1，C 1B ．∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥BD ．又∵底面ABC 是正三角形，D 是AC 的中点， ∴BD ⊥AC ．∵AA 1∩AC ＝A ，BD ⊥平面ACC 1A 1. 又∴BD ⊂平面BC 1D ．∴平面BC 1D ⊥平面ACC 1A 1. 故λ＝12.16．(1)证明：在菱形ABCD 中，记AC ，BD 的交点为O ，由已知可知AD ＝5，OA ＝4， ∴OD ＝3.翻折后，在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos ∠ADC ＝25＋25－2×5×5×925＝32.在△AOC 中，OA 2＋OC 2＝32＝AC 2， ∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ．又AO ⊥BD ，OC ∩BD ＝O ，∴AO ⊥平面BCD ．又AO ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面CBD ．(2)解：∵M是AB的中点，∴A，B到平面MCD的距离相等．∴V A－MCD＝V B－MCD＝12V A－BCD＝16S△BCD·AO＝8.C级——探索创新练17．(1)证明：在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝ 2.∴AC2＝AO2＋CO2.∴AO⊥CO.又∵AO⊥BD，BD∩CO＝O，∴AO⊥平面BCD．(2)解：折叠后，BD⊥AO，BD⊥CO，∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，即∠AOC＝120°. 在△AOC中，AO＝CO＝2，∴AC＝ 6.如图，过点A作CO的垂线交线段CO的延长线于点H.∵BD⊥CO，BD⊥AO，CO∩AO＝O，∴BD⊥平面AOC．∵AH⊂平面AOC，∴BD⊥AH.又∵CO⊥AH，CO∩BD＝O，∴AH⊥平面BCD．∴AH⊥BC．过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK.∵AK∩AH＝A，∴BC⊥平面AHK.∵HK⊂平面AHK，∴BC⊥HK.∴∠AKH为二面角A-BC-D的平面角．在△AHO中，AH＝62，OH＝22，∴CH＝CO＋OH＝2＋22＝322.在Rt△CKH中，HK＝22CH＝32.在Rt△AHK中，tan∠AKH＝AHHK＝6232＝63.6∴二面角A-BC-D的正切值为3.。

2020-2021学年新教材人教A版必修第二册 863 第2课时平面与平面垂直的性质作业

2020-2021学年新教材人教A版必修第二册8.6.3 第2课时平面与平面垂直的性质作业A组·素养自测一、选择题1．如图所示，对于面面垂直的性质定理的符号叙述正确的是(D)A．α⊥β，α∩β＝l，b⊥l⇒b⊥βB．α⊥β，α∩β＝l，b⊂α⇒b⊥βC．α⊥β，b⊂α，b⊥l⇒b⊥βD．α⊥β，α∩β＝l，b⊂α，b⊥l⇒b⊥β[解析]根据面面垂直的性质定理知，D正确.2．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(D)A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直[解析]由于长方体中平面ABB1A1⊥平面ABCD，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF⊥平面A1B1C1D1相交且垂直.3．如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面P AB，P A＝PB，AD＝DB，则(B) A．PD⊂平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC[解析]∵P A＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面P AB，PD⊂平面P AB，平面ABC∩平面P AB＝AB，∴PD⊥平面ABC.4．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是(B)A．m∥n B．n⊥mC．n∥αD．n⊥α[解析]由面面垂直的性质定理知，要使n⊥β，应有n与交线m垂直，∴应增加条件n ⊥m.5．(多选)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论错误的是(ABC)A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC[解析]由平面图形易知∠BDC＝90°.∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，且CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB.又AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.二、填空题6．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是__平行__.[解析]因为α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.7．如图，在三棱锥P－ABC内，侧面P AC⊥底面ABC，且∠P AC＝90°，P A＝1，AB＝2，则PB＝[解析]∵侧面P AC⊥底面ABC，交线为AC，∠P AC＝90°(即P A⊥AC)，∴P A⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴P A⊥AB，∴PB＝P A2＋AB2＝1＋4＝ 5.8．如图，在三棱锥C－ABD内，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD 是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为__6__.[解析]∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形.∴图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD 共6个.三、解答题9．如图，在三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△P AC 是直角三角形，∠P AC＝90°，∠ACP＝30°，平面P AC⊥平面ABC.求证：平面P AB⊥平面PBC.[证明]∵平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，P A⊥AC，∴P A⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩P A＝A，AB⊂平面P AB，P A⊂平面P AB，∴BC⊥平面P AB.又BC⊂平面PBC，∴平面P AB⊥平面PBC.10．(2018·北京文，18)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.[解析](1)∵P A＝PD，且E为AD的中点，∴PE⊥AD.∵底面ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴PE⊥BC.(2)∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD.∵平面P AD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面P AD.∴AB⊥PD.又P A⊥PD，AB∩P A＝A∵PD⊥平面P AB，PD⊂平面PCD∴平面P AB⊥平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，GD.∵F，G分别为PB和PC的中点，∴FG∥BC，且FG＝12BC.∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，∴ED∥BC，DE＝12BC，∴ED∥FG，且ED＝FG，∴四边形EFGD为平行四边形，∴EF∥GD.又EF⊄平面PCD，GD⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.B组·素养提升一、选择题1．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在(A)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部[解析]连接AC1．∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1．又AC⊂平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A．2．在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且AB ＝BC ，AD ＝CD ，则BD 与CC 1( C )A ．平行B ．共面C ．垂直D ．不垂直[解析] 如图所示，在四边形ABCD 中，∵AB ＝BC ，AD ＝CD .∴BD ⊥AC .∵平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面AA 1C 1C .又CC 1⊂平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥CC 1，故选C ．3．如图，点P 为四边形ABCD 外一点，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ＝PD ，E 为AD 的中点，则下列结论不一定成立的是( D )A ．PE ⊥ACB ．PE ⊥BCC ．平面PBE ⊥平面ABCD D ．平面PBE ⊥平面P AD[解析] 因为P A ＝PD ，E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PE ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥AC ，PE ⊥BC ，所以A 、B 成立.又PE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面ABCD ，所以C 成立.若平面PBE ⊥平面P AD ，则AD ⊥平面PBE ，必有AD ⊥BE ，此关系不一定成立，故选D ．4．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB ︰A ′B ′等于( A )A ．2︰1B ．3︰1C ．3︰2D ．4︰3[解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π4，∠ABA ′＝π6，设AB ＝2a ，则BB ′＝2a sin π4＝2a ，A ′B ＝2a cos π6＝3a ，∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB ︰A ′B ′＝2︰1．二、填空题5．如图所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点.若CD ＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF ，则线段MN 的长等于[解析] 如图，取CD 的中点G ，连接MG ，NG .因为ABCD ，DCEF 为正方形，且边长为2，所以MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝ 2.因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG⊂平面ABCD，所以MG⊥平面DCEF，又NG⊂平面DCEF，所以MG⊥NG，所以MN＝MG2＋NG2＝ 6.6．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α︰cos β＝[解析]由题意，两个矩形的对角线长分别为5,25，所以cosα＝525＋4＝529，cosβ＝2529，所以cosα∶cosβ＝5︰2．三、解答题7．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm，BD＝12 cm，求线段CD的长.[解析]∵AC⊥l，AC＝3 cm，AB＝4 cm，∴BC＝5 cm.∵BD⊥l，α∩β＝l，α⊥β，BD⊂β，∴BD⊥α.又BC⊂α，∴BD⊥BC.在Rt△BDC中，DC＝BD2＋BC2＝13 cm.8．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，对角线AC与BD相交于点E，平面P AC 垂直于底面ABCD，线段PD的中点为F.(1)求证：EF∥平面PBC；(2)求证：BD⊥PC.[证明](1)∵ABCD为菱形，∴BE＝DE，又PD的中点为F，∴EF为△PBD的中位线，∴EF∥PB，又EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC.(2)在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵平面P AC⊥底面ABCD，平面P AC∩底面ABCD＝AC，∴BD⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴BD⊥PC.。

人教A版数学必修第二册课时分层作业31 平面与平面垂直

课时分层作业(三十一)平面与平面垂直(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个B．1个C．无数个D．1个或无数个D[当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．] 2．下列不能确定两个平面垂直的是()A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线bD[如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．]3．如图，AB是圆的直径，P A垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且P A＝AC，则二面角P-BC-A的大小为()A．60°B．30°C．45°D．15°C[由条件得：P A⊥BC，AC⊥BC，又P A∩AC＝C，∴BC⊥平面P AC，∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△P AC中，由P A＝AC得∠PCA＝45°，故选C.]4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥βD[如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥α⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β. 故选D.] 5．在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC＝12AB，这时二面角B-AD-C的大小为()A．60°B．90°C．45°D．120°A[∠BDC为二面角B-AD-C的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝12m，BD＝DC＝12m，所以∠BDC＝60°.]二、填空题6．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：.(用序号表示)①②⇒③[由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′⊂β，∴α⊥β，故①②⇒③.]7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC 沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝.1[因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，所以BD＝CD＝22，所以BC＝BD2＋CD2＝1.]8．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是．45°[如图，过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD 所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.]三、解答题9．如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面P AD.[证明]因为P A⊥平面AC，CD⊂平面AC，所以P A⊥CD.因为CD⊥AD，P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.因为CD⊂平面PDC，所以平面PDC⊥平面P AD.10．如图所示，平面角为锐角的二面角α-EF-β，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角α-EF-β的大小．[解]作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB，则GB⊥EF，∠GBH是二面角α-EF-β的平面角．又∠GAH是AG与β所成的角，设AG＝a，则GB＝22a，GH＝12a，sin∠GBH＝GHGB＝22.所以∠GBH＝45°，二面角α-EF-β的大小为45°.[等级过关练]1．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于．6[取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG ＝ 2. 因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝MG2＋NG2＝ 6.]2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1-EF-C等于45°，则BF＝.1[由题意知EF⊥BC. ∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF，又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F，∴EF⊥C1F. 故∠C1FC为二面角C1-EF-C的平面角，即∠C1FC＝45°，∵AA1＝1，∴CF＝1，又BC＝2，∴BF＝1.]由Ruize收集整理。

2020版高中数学人教版必修2高一数学第二章直线、平面垂直的判定及其性质(课时作业)

课时作业13　直线与平面垂直的判定基础巩固1．如图1所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )图1A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析：因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA 与BD的位置关系是垂直但不相交．答案：C2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( ) A．α∥β，且m⊂α B.m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂β D.m⊥n，且n∥β解析：A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.答案：B3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )图2A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在解析：若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．答案：B4．如果PA，PB，PC两两垂直，那么点P在平面ABC内的投影一定是△ABC的( )A．重心B．内心C．外心D．垂心解析：如图2，由PA，PB，PC两两互相垂直，可得AP⊥平面PBC，BP⊥平面PAC，CP⊥平面PAB，所以BC⊥OA，AB⊥OC，AC⊥OB，所以点O是△ABC三条高的交点，即点O是△ABC的垂心，故选D.答案：D图35．如图3，平面α∩β＝CD ，EA ⊥α，垂足为A ，EB ⊥β，垂足为B ，则CD 与AB 的位置关系是________.解析：∵EA ⊥α，CD ⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA . 同样，∵EB ⊥β，CD ⊂β，则有EB ⊥CD . 又EA ∩EB ＝E ， ∴CD ⊥平面AEB .又∵AB ⊂平面AEB ，∴CD ⊥AB . 答案：CD ⊥AB6．如图4所示，PA ⊥平面ABC ，在△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．图4解析：⇒{PA ⊥平面ABCBC ⊂平面ABC )⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ， {PA ⊥BCAC ⊥BC PA ∩AC ＝A)∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC .答案：47．在三棱柱ABC A ′B ′C ′中，底面ABC 是正三角形，AA ′⊥底面ABC ，且AB ＝1，AA ′＝2，求直线BC ′与平面ABB ′A ′所成角的正弦值．解：如图5所示，取A ′B ′的中点D ，连接C ′D ，BD .图5∵底面△A ′B ′C ′是正三角形， ∴C ′D ⊥A ′B ′. ∵AA ′⊥底面ABC ， ∴A ′A ⊥C ′D .又AA ′∩A ′B ′＝A ′，∴C ′D ⊥侧面ABB ′A ′，故∠C ′BD 是直线BC ′与平面ABB ′A ′所成角．等边三角形A ′B ′C ′的边长为1，C ′D ＝，32在Rt △BB ′C ′中，BC ′＝＝，B ′B 2＋B ′C ′25故直线BC ′与平面ABB ′A ′所成角的正弦值为＝.C ′D BC ′1510能力提升1．下列四个命题中，正确的是( )①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另一条直线垂直．A．①② B.②③C．②④ D.③④解析：若一条直线垂直于一个平面内的无数条平行的直线，则这条直线与这个平面不一定垂直，所以①错误．若一条直线平行于一个平面，垂直于这条直线的直线也可能平行于这个平面，所以②错误．若一条直线平行于一个平面，则平面内必有一条直线与之平行，另一条直线垂直于这个平面，则该直线与平面内的那条直线垂直，从而这两条直线互相垂直，所以③正确．显然若两条直线垂直，则过其中一条直线与另外一条直线垂直的平面只有一个，所以④正确．答案：D2．若直线l不垂直于平面α，那么在平面α内( )A．不存在与l垂直的直线B．只存在一条与l垂直的直线C．存在无数条直线与l垂直D．以上都不对解析：过斜足，容易在α内找到一条直线与l垂直，则在α内与此直线平行的无数条直线都与l垂直．答案：C3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )A．垂直且相交 B.相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D.不垂直也不相交图6解析：取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，且AO∩CO＝O，∴BD⊥面AOC，又AC⊂平面AOC，∴BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选C.答案：C4．设α表示平面，a、b表示直线，给出下列四个说法，其中正确的是( )①a∥α，a⊥b⇒b∥α②a∥b，a⊥α⇒b⊥α③a⊥α，a⊥b⇒b⊂α④a⊥b，b⊂α⇒a⊥αA．①② B.①④C．② D.②④解析：①中可能有b∥α，b⊂α或b与α相交；③中可能有b⊂α或b∥α；④中可能有a与α不垂直，或a⊥α；只有②正确．答案：C5．如图7，四棱锥SABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．图7①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．解析：因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确；因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确；因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确；因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．答案：4图86．(2019年河北正定高一检测)直三棱柱ABCA1B1C1(侧棱与底面垂直的棱柱)中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是2A1B1的中点．(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？请证明你的结论．图9解：(1)证明：∵ABCA1B1C1是直三棱柱，由已知得A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．事实上，∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.∵AA1＝A1B1＝，∴四边形AA1B1B为正方形．2又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点，∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.7．如图10，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．图10(1)求证：AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM.∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ，∴AN ⊥平面PBM . (2)由(1)知AN ⊥平 PBM ，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB . 又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，∴PB ⊥平面ANQ . 又NQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥NQ .8．如图11所示，三棱锥A SBC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC .求直线AS 与平面SBC 所成的角．图11解析：因为∠ASB ＝∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC ，所以△ASB 与△SAC 都是等边三角形．因此AB ＝AC . 如图12所示，取BC 的中点D ，图12连接AD ，SD ，则AD ⊥BC . 设SA ＝a ，则在Rt △SBC 中， BC ＝a ，CD ＝SD ＝a .222在Rt △ADC 中，AD ＝＝a .AC 2－CD 222则AD 2＋SD 2＝SA 2，所以AD ⊥SD .又BC ∩SD ＝D ，所以AD ⊥平面SBC .因此∠ASD 即为直线AS 与平面SBC 所成的角．在Rt △ASD 中，SD ＝AD ＝a ，22所以∠ASD ＝45°，即直线AS 与平面SBC 所成的角为45°.拓展要求1．如图13，动点P 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于M ，N .设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )图13解析：取A 1A 、CC 1中点E 、F ，则点P 移动时，M ，N 为菱形EBFD 1的边上的点，当M 在EB 上时，＝＝tan ∠EBD 1为常数，12MN BP y 2x函数y ＝f (x )的图象应为直线的一部分，再由对称性知选B.答案：B2．如图14甲，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图14乙．图14(1)求证：DE ∥平面A 1CB ；(2)求证：A 1F ⊥BE ；(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由．解：(1)证明：因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE ∥BC .又因为DE ⊄平面A 1CB ，BC ⊂平面A 1CB ，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.因为DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.图15(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图15，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由第(2)问知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。

2020学年新教材高中数学课时素养评价三十一直线与平面垂直(二)新人教A版必修2(最新整理)

2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价三十一直线与平面垂直（二）新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价三十一直线与平面垂直（二）新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价三十一直线与平面垂直（二）新人教A版必修2的全部内容。

课时素养评价三十一直线与平面垂直(二)（25分钟·50分）一、选择题(每小题4分,共16分，多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分，有选错的得0分)1.四棱锥P—ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=AD，四边形ABCD是正方形，E是PD的中点,则AE与PC的关系是（）A.垂直B。

相交C。

平行D.相交或平行【解析】选A.因为PA=AD，E为PD的中点，所以AE⊥PD，又PA⊥平面ABCD.所以PA⊥CD,又因为CD⊥AD.PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE。

又因为CD∩PD=D，所以AE⊥平面PCD。

所以AE⊥PC.2.已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA≠AD，M，N分别是AB，PC的中点，则MN垂直于（）A。

AD B。

CD C。

PC D。

PD【解析】选B.连接AC，取AC的中点为O，连接NO，MO，如图所示:因为N，O分别为PC，AC的中点,所以NO∥PA，因为PA⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD,所以NO⊥CD.又因为M,O分别为AB,AC的中点,所以MO∥BC。

因为BC⊥CD，所以MO⊥CD，因为NO∩MO=O,所以CD⊥平面MNO,所以CD⊥MN。

2020年高中数学新教材人教A版必修第2册练习三十直线与平面垂直一56

课时素养评价三十直线与平面垂直(一)(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1.如图，AB是☉O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC 的四个面中，直角三角形的个数有( )A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】选A.因为AB是圆O的直径，所以∠ACB=90°，即BC⊥AC，三角形ABC是直角三角形，又因为PA⊥平面ABC，所以△PAC，△PAB是直角三角形.且BC在这个平面内，所以PA⊥BC，因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，所以BC⊥平面PAC，所以△PBC是直角三角形.从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是4.2.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直【解析】选C.因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC=C，所以BD⊥平面AMC，又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然MA与BD不共面，因此MA与BD的位置关系是垂直但不相交.3.(2019·镇江高一检测)若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选B.正四棱锥S-ABCD的侧棱和底面边长相等，作SO⊥底面ABCD，垂足为O，所以∠SBO是该正四棱锥的侧棱和底面所成的角，设AB=a，则SB=a，OB=BD=，所以cos∠SBO===，所以∠SBO=45°，所以该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为45°.4.(多选题)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的有( )A.①B.②C.③D.④【解析】选BD.在①中，AB与CE的夹角为45°，所以直线AB与平面CDE不垂直，故①不符合；在②中，AB⊥EC，AB⊥CD，所以AB⊥平面CDE，故②符合；在③中，AB与EC的夹角为60°，所以直线AB与平面CDE不垂直，故③不符合；在④中，AB⊥DE，AB⊥CE，所以AB⊥平面CDE，故④符合.二、填空题(每小题4分，共8分)5.在三棱锥P-ABC中，点O是点P在底面ABC内的射影，若点P到△ABC三边的距离相等，则点O是△ABC的________心；若PA，PB，PC与底面ABC所成的角相等，则点O是△ABC的________心.【解析】因为点P到△ABC三边的距离相等，所以点O到△ABC三边的距离相等，所以点O是△ABC的内心；PA，PB，PC与底面ABC所成的角相等，则点O到A，B，C的距离相等，所以点O是△ABC的外心.答案：内外6.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________.【解析】如图，设C在平面α内的射影为点O，连接AO，MO，则∠CAO=30°，∠CMO就是CM与α所成的角.设AC=BC=1，则AB=，所以CM=，CO=，所以sin∠CMO==，所以∠CMO=45°.答案：45°【加练·固】如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________.【解析】连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角.在Rt△FBE中，BF=1，BE=，则tan∠FEB=.答案：三、解答题(共26分)7.(12分)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，且FA=FC.求证AC⊥平面BDEF.【证明】设AC与BD相交于点O，连接FO，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC的中点，又FA=FC，所以AC⊥FO，因为FO∩BD=O，所以AC⊥平面BDEF.8.(14分)如图，在四面体A-BCD中，∠BDC=90°，AC=BD=2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF=.求证：BD⊥平面ACD.【证明】取CD的中点为G，连接EG，FG.又因为E，F分别为AD，BC的中点，所以FG∥BD，EG∥AC.因为AC=BD=2，则EG=FG=1.因为EF=，所以EF2=EG2+FG2，所以EG⊥FG，所以BD⊥EG.因为∠BDC=90°，所以BD⊥CD.又EG∩CD=G，所以BD⊥平面ACD.(15分钟·30分)1.(4分)(2019·三明高一检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠BAC=90°，以下能使A1C⊥BC1的是( )A.AB=ACB.AA1=ACC.BB1=AB1=BC【解析】选B.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，即AB⊥AC，又AA1⊥AB，AA1∩AC=A，所以AB⊥平面AA1C，又A1C⊂平面AA1C，所以AB⊥A1C，若AA1=AC，则矩形AA1C1C为正方形，可得：A1C⊥AC1，又AB∩AC1=A，所以A1C⊥平面ABC1，又BC1⊂平面ABC1，所以A1C⊥BC1.2.(4分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=，则PC与平面ABCD所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选C.如图，连接AC.因为PA⊥平面ABCD，所以∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.因为AC=，PA=，所以tan∠PCA===.所以∠PCA=60°.3.(4分)如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有________条.【解析】因为PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PO⊥AC.又AC⊥BO，PO∩BO=O，所以AC⊥平面PBD，所以PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，所以图中共有4条直线与AC垂直. 答案：44.(4分)如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，给出下列结论：①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；④AC⊥SO.正确结论的序号是【解析】连接SO，如图所示，因为四棱锥S-ABCD的底面为正方形，所以AC⊥BD.因为SD⊥底面ABCD，所以SD⊥AC，因为SD∩BD=D，所以AC⊥平面SBD，因为SB⊂平面SBD，所以AC⊥SB，则①正确；因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，则②正确；因为SD⊥底面ABCD，所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角，因为AD=CD，SD=SD，所以∠SAD=∠SCD，则③正确；因为AC⊥平面SBD，SO⊂平面SBD，所以AC⊥SO，则④正确.答案：①②③④5.(14分)(2019·衢州高一检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面是棱长为1的菱形，∠ADC=60°，PA=，M是PB的中点.(1)求证：PD∥平面ACM.(2)求直线CM与平面PAB所成角的正弦值.【解析】(1)连接BD，交AC于点O，连接OM，由底面ABCD是菱形，知O是BD的中点，又M是BP的中点，所以OM∥DP，又OM⊂平面ACM，所以PD∥平面ACM.(2)取AB中点E，连接ME，CE，由题可知△ACB是等边三角形，所以CE⊥AB，又PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，所以平面ABCD⊥平面PAB.又平面ABCD∩平面PAB=AB，所以CE⊥平面PAB，所以直线CM与平面PAB所成角为∠CME，因为ME=PA=，CE=，又MC==，所以sin∠CME==.【加练·固】(2019·静安高一检测)如图所示，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB ⊥AD，BC=BA=AD=m，VA⊥平面ABCD.(1)求证：CD⊥平面VAC.(2)若VA=m，求CV与平面VAD所成角的大小.【解析】(1)因为AB=BC，∠ABC=90°，所以∠CAB=∠ACB=45°，取AD中点G，连接CG，因为BC∥AD，所以四边形ABCG为正方形.所以CG=GD，∠CGD=90°，所以∠DCG=45°，所以∠DCA=90°，所以CD⊥CA，又VA⊥平面ABCD，所以CD⊥VA，因为CA∩VA=A，所以CD⊥平面VAC.(2)连接VG，由⇒CG⊥平面VAD，所以∠CVG是CV与平面VAD所成的角，VC==2m；CG=m，所以∠CVG=30°，所以CV与平面VAD所成角为30°.1.如图所示，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，且∠B AC=60°，下列说法中错误的是( )A.AD⊥平面BDCB.BD⊥平面ADCC.DC⊥平面ABDD.BC⊥平面ABD【解析】选D.不妨设AD=BD=CD=1，则由题意可得AB=AC=，因为∠BAC=60°，所以BC=AB=AC=，可得∠BDC=90°，AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD=D，可得：AD⊥平面BDC，A正确；BD⊥AD，BD⊥CD，AD∩CD=D，可得：BD⊥平面ADC，B正确；CD⊥AD，CD⊥BD，AD∩BD=D，可得：CD⊥平面ABD，C正确.2.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1=，D是A1B1的中点.(1)求证C1D⊥平面AA1B1B.(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论.【解析】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°.又D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1.因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1=A1，所以C1D⊥平面AA1B1B.(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求.因为C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D=D，所以AB1⊥平面C1DF.因为AA1=A1B1=，所以四边形AA1B1B为正方形.又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，所以F为BB1的中点，所以当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.。

人教新课标版数学高一必修2课时作业 1.2.3 第3课时平面与平面垂直的判定及性质

第3课时平面与平面垂直的判定及性质【课时目标】掌握两个平面垂直的定义、判定定理及性质定理，并能进行有关的证明．1．两平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面________，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相______，就称这两个平面互相垂直．2．面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的______________，则两个平面互相垂直．3．面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在________________垂直于它们________的直线垂直于另一个平面．一、选择题1．下列命题中正确的是()A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β2．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是()①若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β．A．①②B．①③C．②③D．①②③3．过两点与一个已知平面垂直的平面()A．有且只有一个B．有无数个C．有且只有一个或无数个D．可能不存在4．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则()A．l∥γ B．l⊂γC．l与γ斜交D．l⊥γ5．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有()A．0条B．1条C．2条D．无数条6．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于()A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3二、填空题7．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，PD/∈l，则下列命题中正确的为________．(只填序号)①过P垂直于l的平面垂直于β；②过P垂直于l的直线垂直于β；③过P垂直于α的直线平行于β；④过P垂直于β的直线在α内．8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分别是2 cm、3 cm、6 cm，则点P到O的距离为________．9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在________．三、解答题10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD．11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．能力提升12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．在直三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，AB＝BC．能否在侧棱BB1上找到一点E，使得截面A1EC⊥侧面AA1C1C？若能找到，指出点E的位置；若不能找到，说明理由．1．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．至此判定线面垂直的方法主要有以下五种：(1)线面垂直的定义； (2)线面垂直的判定定理； (3)面面垂直的性质定理；(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α．(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β．第3课时平面与平面垂直的判定及性质答案知识梳理1．垂直垂直 2．一条垂线3．一个平面内交线作业设计 1．C 2．B 3．C 4．D5．A 6．A7．①③④解析由性质定理知②错误． 8．7 cm解析 P 到O 的距离恰好为以2 cm,3 cm,6 cm 为长、宽、高的长方体的对角线的长． 9．直线AB 上解析由AC ⊥BC 1，AC ⊥AB ，得AC ⊥面ABC 1，又AC ⊂面ABC ， ∴面ABC 1⊥面ABC ．∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．10．证明∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD．又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．11．证明(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．12．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．因为EF⊄平面ABC．BC⊂平面ABC．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．解假设能够找到符合题意的点E．如图所示，作EM⊥A1C于点M．因为截面A1EC⊥侧面AA1C1C，所以EM⊥侧面AA1C1C．取AC的中点N，连接MN，BN，因为AB＝BC，所以BN⊥AC．又因为AA1⊥BN，所以BN⊥侧面AA1C1C，所以BN∥EM．因为平面BEMN∩平面AA1C1C＝MN，BE∥平面AA1C1C，所以BE∥MN∥A1A．因为AN＝NC，所以A1M＝MC．因为四边形BEMN为矩形，所以BE＝MN＝12A1A．所以当E为BB1的中点时，平面A1EC⊥侧面AA1C1C．。

2020年高中数学新教材人教A版必修第2册练习三十三平面与平面垂直二69

课时素养评价三十三平面与平面垂直（二）基础练（25分钟• 50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1. 已知I , m n为两两垂直的三条异面直线，过I作平面a与m垂直，则n与a的关系是（）A. n // aB. n // a 或n? aC. n? a或n与a不平行D. n ? a【解析】选A.因为I , m, n为两两垂直的三条异面直线，过I作平面a与m垂直，所以I ?a ,且I与n异面，又因为ml a , n丄m 所以n // a .2. 如图，点P为平面ABCD外一点，平面PADL平面ABCD PA=PD点E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是（）PA. PE 丄ACB. PE 丄BCC. 平面PBE!平面ABCDD. 平面PBE!平面PAD【解析】选D.因为PA=PD点E为AD的中点，所以PE丄AD.又平面PADL平面ABCD平面PAD 门平面ABCD=AD所以PE丄平面ABCD所以PEI AC, PE丄BC,所以A, B成立.又PE?平面PBE所以平面PBEL平面ABCD所以C成立.若平面PBEL平面PAD贝U AD丄平面PBE 必有AD l BE此关系不一定成立.3. 三棱锥P-ABC的高为PH若三个侧面两两垂直，贝U H ABC的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心【解析】选C.如图所示,三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角，则AP丄平面PBC因为BC?平面PBC所以AP I BC,因为PH丄平面ABC BC?面ABC所以PH丄BC,又AP A PH=P所以BCL平面APH因为AH?平面APH所以AHL BC,同理可得CHL AB,故H ABC的垂心.用4. 在三棱锥P-ABC中,PA=PB= ' ,平面PAB L平面ABC PA L PB, AB丄BC, / BAC=30 ,贝U PC=( )A J B.2」"J。

6【解析】选C.因为PA=PB= , PA L PB,所以AB=2l ' ,因为AB丄BC, / BAC=30 , 所以BC=ABtan 30 ° =2 ,因为平面PABL平面ABC AB丄BC,平面PABA平面ABC=AB BC?平面ABC所以BC L平面PAB所以BC L PB,二、填空题(每小题4分，共8分)5. 把Rt△ ABC沿斜边上的高CD折起使平面ADCL平面BDC如图所示，互相垂直的平面有_______ 对.【解析】由已知得CD L AB所以平面ADC L平面ABD平面ADBL平面BDC又因为ADCL平面BDG所以互相垂直的平面有3对.答案：36. 在四面体ABCD中, AB丄AD AB=AD=BC=CD=1且平面ABDL平面CM的长为_______ .【解析】如图所示，取BD的中点O连接OA OC BCD M为AB中点，贝U线段因为AB=AD=BC=CD=1所以OAL BD, OCL BD.PABL平面ABC PA L PB M【证明】 ⑴ 因为M N 分别为AB, PA 的中点，所以MIN/ PB,又MN?平面MNC PEP 平面 MNC 所以PB//平面 MNC.(2)因为AC=BCM 为AB 的中点，所以CML AB 因为平面 PABL 平面 ABC 平面PABH 平面 ABC=AB CMP 平面ABC 所以CML 平面 PAB 所以CML PA 因为PA 丄PB, PB// MN 所以PA I MN 又MN ?平面MNC CM?平面 MNC MN P CM=M 所以PA 丄平面 MNC 又PA?平面PAQ 所以平面 PAC 丄平面MNC. 8.(14分)如图甲，在四边形 ABCD 中 , AD=2 ' , CD=2 △ ABC 是边长为4的正三角形，把厶 ABC沿 AC 折起到△ PAC 的位置，使得平面 PACL 平面ACD 如图乙所示，点 O, M, N 分别为棱 AC, PA AD 的中点.(1)求证：平面 PADL 平面 PON.⑵求三棱锥M-ANO 的体积.平面ACD=AC 所以POL 平面 ACD 又AD?平面 ACD 所以POL AD,因为AD=2 ' , CD=2 AC=4, 所以A D+CI^AC 2 ,所以AD 丄CD 因为02是厶ACD 的中位线，所以 ON/ CD ,所以AD 丄ON 又 ONH PO=O 所以 AD 丄平面 PON 又AD?平面PAD 所以平面 PAE 丄平面 PON.⑵ 因为△ PAC 是边长为4的等边三角形,B 2 4所以P0=2l '，所以M 到平面ACD 勺距离d=~PO= ' ,因为02是厶ACD 勺中位线，所以S^。

平面与平面垂直课时作业2020-2021学年高一下学期数学人教A版必修第二册第八章立体几何初步

课时作业平面与平面垂直[练基础]1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，已知m∥α，n⊥β，下列说法正确的是()A．若m⊥n，则α⊥βB．若m∥n，则α⊥βC．若m⊥n，则α∥βD．若m∥n，则α∥β2.如图所示，在三棱锥P -ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B -P A -C的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°3.如图，设P是正方形ABCD外一点，且P A⊥平面ABCD，则平面P AB与平面PBC、平面P AD的位置关系是()A．平面P AB与平面PBC、平面P AD都垂直B．它们两两垂直C．平面P AB与平面PBC垂直，与平面P AD不垂直D．平面P AB与平面PBC、平面P AD都不垂直4．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的大小为________．5．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α⊥β；③若a⊥α，b⊂β，a∥b，则α⊥β.其中不正确的命题是________．6．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是AB上的点，D 为AC的中点．证明：平面POD⊥平面P AC.[提能力]7．(多选)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD:BC:AB＝2:3:4，E，F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出以下四个结论，可能成立的是() A．DF⊥BCB．BD⊥FCC．平面BDF⊥平面BCFD．平面DCF⊥平面BFC8．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出下列四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．(用序号表示)9．如图，P是四边形ABCD所在平面外一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形．侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB.[战疑难]10．如图，在三棱锥P -ABC中，△P AC，△ABC都是边长为6的等边三角形，若二面角P -AC -B的大小为120°，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为________．课时作业解析1．解析：若m⊥n，则α与β可以平行或相交，故A，C错误；若m∥n，则α⊥β，D错，选B.答案：B2．解析：∵P A⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，∴BA⊥P A，CA⊥P A，因此，∠BAC即为二面角B -P A -C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A.答案：A3．解析：∵P A⊥平面ABCD，BC，AD⊂平面ABCD，∴P A⊥BC，P A⊥AD.又∵BC⊥AB，P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB.∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面P AB.由AD⊥P A，AD⊥AB，P A∩AB＝A，得AD⊥平面P AB.∵AD⊂平面P AD，∴平面P AD⊥平面P AB.显然平面P AD与平面PBC不垂直．故选A.答案：A4．解析：如图，设S在底面内的射影为O，取AB的中点M，连接OM，SM，则∠SMO为所求二面角的平面角，在Rt△SOM中，OM＝12AD＝1，SM＝SA2－14AB2＝2，所以cos∠SMO＝OMSM＝22，所以∠SMO＝45°.答案：45°5.解析：如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，记平面ADD1A1为α，平面ABCD为β，平面ABB1A1为γ，显然①错误；②只有在直线b，c相交的情况下才成立；易知③正确．答案：①②6．证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.又PO⊥底面AOC，AC⊂底面AOC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC⊂平面P AC，所以平面POD⊥平面P AC.7.解析：对于A，因为BC∥AD，AD与DF相交，不垂直，所以BC与DF不垂直，故A不可能成立；对于B，如图，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD:BC:AB＝2:3:4可使条件满足，故B可能成立；对于C，当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故C可能成立；对于D，因为点D的射影不可能在FC上，所以D不可能成立．故选BC.答案：BC8．解析：m⊥n，将m和n平移到相交的位置，此时确定一平面，∵n⊥β，m⊥α，∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，从而平面α和平面β形成的二面角的平面角为90°，∴α⊥β.故①③④⇒②.答案：①③④⇒②(答案不唯一)9.证明：(1)如图所示，连接BD.因为四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形，因为G是AD的中点，所以BG⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD.所以BG⊥平面P AD.(2)连接PG.因为△P AD为正三角形，G为AD的中点，所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，而PG∩BG＝G，PG⊂平面PBG，BG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG.又因为PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB.10.解析：如图，取AC的中点D，连接DP，DB.（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。