2017年湖北省恩施州咸丰一中高二上学期数学期中试卷与解析(文科)
2017-2018学年高二(上)期中数学试卷(文科)带答案精讲
2017-2018学年高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．（1，2]D．[﹣2，+∞）2．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βC．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αD．若直线a与直线b平行，且直线l⊥a，则l∥b3．（5分）直线x+y=0被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．1 B．2 C．D．24．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件5．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．6．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．27．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=8．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．259．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x|﹣1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围是（）A．t≤0 B．t≥0 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为．12．（5分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是．13．（5分）=．14．（5分）若正数a，b满足a+b=1，则+的最小值为．15．（5分）等比数列{a n}中，公比q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=35，则a1+a2+…+a10=．16．（5分）给出下列命题：以下命题正确的是（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①非零向量、满足||=||=||，则与的夹角为30°；②•＞0，是、的夹角为锐角的充要条件；③命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”；④若（）=0，则△ABC为等腰三角形．17．（5分）过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．21．（14分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．22．（14分）设α，β为函数h（x）=2x2﹣mx﹣2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=（1）求的f（α）•f（β）值；（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．（1，2]D．[﹣2，+∞）【分析】分别求出集合A和集合B中不等式的解集，求出两个解集的公共部分即为两个集合的交集．【解答】解：由集合B可知x﹣1＞0即x＞1；由集合A可知|x|≤2即﹣2≤x≤2．所以B∩A={x|1＜x≤2}故选C．【点评】本题是一道以求不等式的解集为平台，求集合交集的基础题，也是高考中的基本题型．2．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βC．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αD．若直线a与直线b平行，且直线l⊥a，则l∥b【分析】根据平面的基本性质，可判断A；根据面面垂直的性质定理可判断B；根据线面平行的判定定理可判断C；根据异面直线夹角的定义，可判断D【解答】解：三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面或三个平面，故A 错误；若平面α⊥β，且α∩β=l，由面面垂直的性质定理可得：过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β，故B正确；若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α或m⊂α，故C错误；若直线a与直线b平行，且直线a⊥l，则l⊥b，故D错误；故选：B【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面的基本性质，面面垂直的性质定理，线面平行的判定定理，异面直线夹角的定义，难度不大，属于基础题．3．（5分）直线x+y=0被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．1 B．2 C．D．2【分析】首先根据已知题意分析圆心与半径．通过直线与圆相交构造一个直角三角形．直角边分别为半弦长，弦心距．斜边为半径．按照勾股定理求出半弦长，然后就能求出弦长．【解答】解：根据题意，圆为x2+y2﹣4y=0故其圆心为（0，2），半径为：2圆心到直线的距离为：d==由题意，圆的半径，圆心到直线的距离，以及圆的弦长的一半构成直角三角形故由勾股定理可得：l=2=2故选：B．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，首先根据圆分析出圆的要素，然后根据直线与圆相交时构造的直角三角形按照勾股定理求出结果．属于基础题4．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【分析】对两个条件，“cosA+sinA=cosB+sinB”与“C=90°”的关系，结合三角函数的定义，对选项进行判断【解答】解：“C=90°”成立时，有A+B=90°，故一定有“cosA+sinA=cosB+sinB”成立又当A=B时cosA+sinA=cosB+sinB”成立，即“cosA+sinA=cosB+sinB”得不出“C=90°”成立所以“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要非充分条件故选B．【点评】本题考查充要条件，解答本题要熟练理解掌握三角函数的定义，充分条件，必要条件的定义，且能灵活运用列举法的技巧对两个命题的关系进行验证，本题考查了推理论证的能力，解题时灵活选择证明问题的方法是解题成功的保证．5．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．2【分析】由三视图想象出空间几何体，代入数据求值．【解答】解：如图所示，四面体为正四面体．是由边长为1的正方体的面对角线围成．其边长为，则其表面积为4×（××）=2．故选D．【点评】本题考查了学生的空间想象力，属于中档题．7．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：D．【点评】本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力，属于基础题．8．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．25【分析】根据等差数列的性质，我们可将a k=a1+a2+a3+…+a7，转化为a k=7a4，又由首项a1=0，公差d≠0，我们易得a k=7a4=21d，进而求出k值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵a k=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选A【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据a4是数列前7项的平均项（中间项）将a k=a1+a2+a3+…+a7，化为a k=7a4，是解答本题的关键．9．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣【分析】条件“||=||”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积|2=||2，•=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A、B两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法．【解答】解：由||=||得||2=||2，•=0，⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=±2，故选C．【点评】若非零向量，，满足||=||，则．模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积．向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁．10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x|﹣1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围是（）A．t≤0 B．t≥0 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3【分析】利用函数f（x）的单调性以及f（0）=3，f（3）=﹣1，求出集合P，Q 的解集，利用充分条件和必要条件的定义进行求解．【解答】解：∵f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，∴不等式﹣1＜f（x+t）＜3，等价为f（3）＜f（x+t）＜f（0），即3＞x+t＞0，解得﹣t＜x＜3﹣t，即P={x|﹣t＜x＜3﹣t}．由f（x）＜﹣1得f（x）＜f（3），即x＞3，∴Q={x|x＞3}，∵“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，∴﹣t≥3，即t≤﹣3．故选：C．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，考查充分条件和必要条件的应用，利用函数的单调性先求解集合P，Q的等价条件是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为12．【分析】由方差的性质得2（k2+3），2（k2+3）…2（k8+3）的方差为22×3=12．【解答】解：∵数据组k1，k2…k8的平均数为3，方差为3，∴2（k2+3），2（k2+3）…2（k8+3）的方差为：22×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．12．（5分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是．【分析】甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题，先做出甲和乙都抽到判断题的概率，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题， ∵甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为， ∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为1﹣= 故答案为：． 【点评】本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力，考查对立事件的概率．13．（5分）= ．【分析】考查已知条件和要求的表达式，不难得到结果．【解答】解：因为1﹣sin 2x=cos 2x ，所以又=，所以= 故答案为：【点评】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．14．（5分）若正数a ，b 满足a +b=1，则+的最小值为 ． 【分析】变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数a ，b 满足a +b=1，∴（3a +2）+（3b +2）=7．∴+===，当且仅当a=b=时取等号． ∴+的最小值为． 故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．15．（5分）等比数列{a n}中，公比q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=35，则a1+a2+…+a10=．【分析】等比数列{a n}中，公比q=2，可得a1a10=a2a9=...=a5a6=．由log2a1+log2a2+...+log2a10=35，利用对数的运算性质可得log2（a1a2 (10)==35，化为=27，可得a1．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵等比数列{a n}中，公比q=2，∴a1a10=a2a9=…=a5a6=．∵log2a1+log2a2+…+log2a10=35，∴log2（a1a2…a10）==35，∴=27，∴a1=．∴a1+a2+…+a10==．故答案为：．【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的性质通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）给出下列命题：以下命题正确的是①③④（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①非零向量、满足||=||=||，则与的夹角为30°；②•＞0，是、的夹角为锐角的充要条件；③命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”；④若（）=0，则△ABC为等腰三角形．【分析】根据向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质可判断①，根据向量数量积的定义，及充要条件的定义，可判断②；根据否命题的定义，可判断③；根据向量数量积运算法则及向量模的定义，可判断④【解答】解：①非零向量、满足||=||=||，则以，为邻边的平行四边形为菱形，且，的夹角为60°，根据菱形的对角线平分对角，可得与的夹角为30°，故①正确； ②•＞0，、的夹角为锐角或0，故•＞0，是、的夹角为锐角的必要不充分条件，故②错误；③命题“若m 2+n 2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m 2+n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”，故③正确；④若（）===0，即，即AB=AC ，则△ABC 为等腰三角形，故④正确．故答案为：①③④【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质，向量数量积的定义，充要条件的定义，否命题的定义，向量数量积运算法则及向量模的定义，是向量与逻辑的综合应用，难度中档．17．（5分）过点（2，3）且与直线l 1：y=0和l 2：都相切的所有圆的半径之和为 42 ．【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用条件列出方程组，求出圆的半径即可．【解答】解：因为所求圆与y=0相切，所以设圆的圆心坐标（a ，r ），半径为r ，l 2：化为3x ﹣4y=0． 所以，解②得a=﹣r ，或a=3r ，由a=﹣r 以及①可得：a 2+14a +13=0，解得a=﹣1或a=﹣13，此时r=3或r=39， 所有半径之和为3+39=42．由a=3r以及①可得：9r2﹣18r+13=0，因为△=﹣144，方程无解；综上得，过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为：42．故答案为：42．【点评】本题考查圆的方程的求法，计算准确是解题的关键，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．【分析】（I）利用sin（C﹣A）=1，求出A，C关系，通过三角形内角和结合sinB=，求出sinA的值；（II）通过正弦定理，利用（I）及AC=，求出BC，求出sinC，然后求△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为sin（C﹣A）=1，所以，且C+A=π﹣B，∴，∴，∴，又sinA＞0，∴（Ⅱ）如图，由正弦定理得∴，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴【点评】本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．=4a n+2，①由S n+1则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），①﹣②得a n+1又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1，所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）先证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC；（3）利用四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求出四棱锥P﹣ABCD的高为PA，利用PA⊥AB，即可求PB的长．【解答】（1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，…（1分）∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，…（3分）∴OM∥平面PAB．…（4分）（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分）∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分）∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分）（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴菱形ABCD的面积为，…（11分）∵四棱锥P﹣ABCD的高为PA，∴，得…（12分）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分）在Rt△PAB中，．…（14分）【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．21．（14分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，建立方程，根据圆C 的面积小于13，即可求圆C的标准方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，再假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，即可得出结论．【解答】解：（I）设圆C：（x﹣a）2+y2=R2（a＞0），由题意知，解得a=1或a=，…（3分）又∵S=πR2＜13，∴a=1，∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4．…（6分）（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），又∵l与圆C相交于不同的两点，联立，消去y得：（1+k2）x2+（6k﹣2）x+6=0，…（9分）∴△=（6k﹣2）2﹣24（1+k2）=3k2﹣6k﹣5＞0，解得或．x 1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+6=，=（x1+x2，y1+y2），，假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，∴，解得，假设不成立．∴不存在这样的直线l．…（13分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．22．（14分）设α，β为函数h（x）=2x2﹣mx﹣2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=（1）求的f（α）•f（β）值；（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）结合韦达定理用m把α，β的和、乘积表示出来，代入所求化简即可；（2）利用定义进行证明，在判断结果的符号时，要适当结合第一问m与α，β间的关系，将m用α，β替换，根据α，β与x1，x2的大小关系进行化简判断符号．（3）先假设存在，根据已知构造出取最值时的等式，只要取等号的条件存在，即存在．【解答】解：（1）由题意得，故．（2）∀x1，x2∈[α，β]，x1＜x2，可得，因为（x1﹣α）（x2﹣β）≤0，（x1﹣β）（x2﹣α）＜0，两式相加得2x1x2﹣（α+β）（x1+x2）+2αβ＜0；又因为，∴（x2﹣x1）[4x1x2﹣4﹣m（x1+x2）]＜0．所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函数f（x）在[α，β]上为增函数．（3）函数在[α，β]上为增函数，所以．当且仅当时，等号成立，此时f（β）=2，即．结合可得m=0．综上可得，存在实数m=0满足题意．【点评】本题综合考查了函数的零点与方程的根之间的关系，即利用函数的观点解决方程的问题，或利用方程思想来解决函数问题．属于综合题，有一定难度．。
高二第一学期期中考试文科试题精编版(含答案)20171024
高二第二次半月考试题文科数学一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若,,a b c R ∈，a b >,则下列不等式成立的是（ C ）A.11a b <B.22a b > C.2211a b c c >++ D.||||a c b c > 2.在等比数列{}n a 中，26,a a 是方程234640x x -+=的两个根，则4a 等于（A ）A.8B.8-C.8±D.以上都不对 3.已知1x >-，则函数11y x x =++的最小值为（ C ）A.1-B.0C.1D.2 4.已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（ C ）A.3-B.12C.5D.65.下列命题正确的是（D）A.若x k π≠，k Z ∈，则224sin 41sin x x +≥+B.若0a <，则44a a +≥-C.0a >，0b >，则lg lg a b +≥D.0a <,0b <,则2b aa b+≥.6，在ABC ∆中，8,60,75a B C ==︒=︒，则b =（ C ）A.B.C. D.2237.设等比数列{}n a ，n S 是该数列的前n 项和，314S =，且18a +，23a ，36a +依次成等差数列，则13a a ⋅等于（ C ）A.4B.9C.16D.258.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A ∠的取值范围是（ C ）A.(0,]6πB.[,)6ππC.(0,]3πD.[,)3ππ9.等差数列{}n a 中，已知16a =-，0n a =，公差*d N ∈，则(3)n n ≥的最大值为 （ C ）A.5B.6C.7D.810.在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()()3a b ca b c a b +++-=，且s i n 2c o s s C A B =，则ABC ∆是（ A ） A.等边三角形 B.等腰三角形，但不是等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形，但不是等腰三角形11.已知每项都大于零的数列{}n a 中，首领11a =且前n 项的和n S 满足1(*,n n S S S n N =∈且2)n ≥，则81a =（ C ）C.640D.64112.已知不等式211117log (1)122334(1)2a a n n +++⋅⋅⋅+>-+-⨯⨯⨯⨯+对于一切正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是（ B ）A.(0,3)B.(1,3)C.(2,4)D.(3,)+∞ 二、填空题（共4小题，每小题5分.将正确的答案写在相应的横线上.）13.已知数列{}n a 满足：16a =，12n n a a -=-，则该数列的通项公式28n a n =-+.14.函数1()f x x x=+的值域是(,2][2,)-∞-+∞ . 15.若实数,x y 满足1002x y x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，则y x 的最小值是216.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ，已知4A π=，4cos 5θ=,若10BC =,D 为AB 的中点，则CD=.三、解答题（共6个小题，共70分.写出必要的解题或证明步骤.） 17.解下列关于x 的不等式（1）215311x x x x +≥++-- （2）2(2)20 (0)ax a x a -++≤> 【答案】（1）1[,1)2-（2）①02a <<时，21x a ≤≤；②2a =时，1x =；③2a >时，21x a≤≤；18.已知在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1）求sin sin CA的值； （2）若1cos 4B =，2b =，求ABC ∆的面积S .【答案】（1）sin 2sin C A = （2）4ABC S ∆=19.某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()103C x x x =+（万元），当年产量不小于80千件时，10000()511450C x x x=+-（万元），每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式. （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大. 【答案】（1）①当080x <<时，21()402503L x x x =-+-；②当80x ≥时，10000()1200()L x x x=-+； 即 2140250,(080)3()100001200(),(80)x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩（2）①当080x <<时，max (60)950L L ==万元；②当80x ≥时，max (100)1000L L ==；20.已知数列{}n a 满足：1113,22n n n a a a n n++==++.（1）证明：数列{}na n 是等差数列. （2）证明：12311111na a a a +++⋅⋅⋅+<.【答案】（1）121n n a an n+-=+；（2）21na n n=+，22(21)n a n n n n =+=+，所以，11111(21)(1)1n a n n n n n n =<=-+++故有123111111111n a a a a n +++⋅⋅⋅+<-<+. 【另解】112211111(21)2(21)2(22)2(1)21n a n n n n n n n n n n ⎛⎫==<=⋅=⋅- ⎪++---⎝⎭12311111111111111222334111515 1132626n a a a a a n n n ⎛⎫∴+++⋅⋅⋅+<+⋅-+-+-+⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫=+⋅-=-<< ⎪⎝⎭21.如图所示，在地面上共线的三点,,A B C 处测得一建筑物的仰角分别为30,45,60︒︒︒，且60AB BC m ==，求该建筑物的高度.【答案】h =22.已知二次函数232x x =-，数列的前n 项和为，点均在函数的图像上．（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前n 项和，求使得对所有都成立的最小正整数m ．【答案】（1）由2()32f x x x =-得，232n S n n =-，由公式2n ≥时，由11a =，1n n n a S S -=-得，65n a n =-（2）由（1）可知1111[](65)(61)66561n b n n n n ==⨯--+-+，得，11[1]66160n m T n =⨯-<+，6061n m n >+，而max 60604[]86177n n ==+，所以，min 9m =. *()n N ∈.()y f x ={}n a n S (,)()n n S n N *∈()y f x ={}n a 11n n n b a a +=n T {}n b 20n m T <n N *∈。
湖北省恩施市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试文科数学试卷含答案
恩施市第一中学高二文科数学试卷满分：150分时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。
1。
已知直线3330x y --=，则该直线的倾斜角为A 。
30B 。
60C 。
120D 。
1502．已知直线l 1：x+2ay ﹣1=0，与l 2:（2a ﹣1)x ﹣ay ﹣1=0平行，则a 的值是（ ）A ．0或1B ．1或C ．0或D ．3。
下列命题中，,m n 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面：①若,m n αα⊥⊂,则m n ⊥ ②若//,m n αα⊂，则//m n③若,m αβα⊥⊂，则m β⊥ ④若//,m αβα⊂,则//m β正确的命题是A. ①③ B 。
②③ C 。
①④D 。
②④4.如下框图所示，已知集合{}|A x x =框图中输出的值集合{}|B y y =框图中输出的值，当0x =时，A B =A. {}0,1,3B. {}1,3,5C. {}1,3,5,7 D 。
{}0,1,3,55．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A ．k ＝错误!，b ＝－4B ．k ＝－错误!，b ＝4C ．k ＝错误!，b ＝4D ．k ＝－错误!，b ＝－46．过点（错误!，0）引直线l 与曲线y ＝错误!相交于A ,B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）A 。
错误!B ．－错误!C ．±错误!D ．－错误!7.若变量、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-≤+0,024y x y x y x ，则y x +2的最大值是（）A 。
2 B.4 C.7 D 。
88. 《九章算术》是我国古代的数学巨著,其卷第五“商功"有如下的问题：“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈，无广，高一丈。
高二数学上学期期中试题文
2017年秋季期高二期中考试卷文科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点()3,2在椭圆22221x y a b+=上，则( )A. 点()3,2--不在椭圆上B. 点()3,2-不在椭圆上C. 点()3,2-在椭圆上D. 无法判断点()3,2--， ()3,2-， ()3,2-是否在椭圆上2．设椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ， P 是C 上任意一点，则12PF F ∆的周长 为（ ）A. 9B. 13C. 15D. 18 3.已知命题:,p x R ∃∈使得12,x x+<命题2:,10q x R x x ∀∈++>，下列命题为真的是 A ．（)p q ⌝∧ B ．p ∧q C ．()p q ∧⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝4.已知点(3,2)在椭圆22221x y a b+=上，则( )A ．点(3,2)--不在椭圆上B ．点(3,2)-不在椭圆上C ．点(3,2)-在椭圆上D ．无法判断点(3,2)--，(3,2)-，(3,2)-是否在椭圆上5.已知实数y x ,满足()10<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是（ ）33.y x A > y x B sin sin .> ()()1ln 1ln .22+>+y x C 1111.22+>+y x D 6.在等比数列{}n a 中，若4a ，8a 是方程2430x x -+=的两根，则6a 的值是A. D.3±7.抛物线2x y =上到直线042=--y x 距离最近的点的坐标是（ ）A ．(1,1)B ．⎪⎭⎫⎝⎛41,21 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛91,31 D ．（2,4）8.变量x ，y 满足约束条件3602030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数z=y-2x 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．-4D ．-7 9.已知函数()f x 的导函数为()f x ',且满足x e f x x f ln )(2)(+'=,则=')(e fA ．e - B. C.1 D. -110.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为A.22134x y -=B.22143x y -=C.2212128x y -=D.2212821x y -=11.下列命题正确的个数是（ ）（1）已知(2,0)M -、(2,0)N ，||||3PM PN -=，则动点P 的轨迹是双曲线左边一支； （2）在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3的距离相等的点的轨迹是抛物线； （3）设定点1(0,2)F ，2(0,2)F -，动点P 满足条件124(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是椭圆。
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年高二上学期期中试卷（文科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A 等于（ ）A ．135°B ．45°C ．135°或45°D ．60° 3．设a ＞b ，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．＜B ．a 3＞b 3C ．＞D ．a 2＞b 24．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=3，a 4=2，则a 5等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．已知变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围是（ ）A ．[2，5]B ．（﹣∞，2]∪[5，+∞）C ．（﹣∞，3]∪[5，+∞）D ．[3，5]6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，则角A 是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，则S 12等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．148．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且，则等于（ ）A ．2B ．C ．D ．10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A 、B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）甲 乙 原料限额 A （吨） 3 2 12 B （吨） 128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元 11．若等差数列{a n }的公差为2，且a 5是a 2与a 6的等比中项，则该数列的前n 项和S n 取最小值时，n 的值等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．712．定义算式⊗：x ⊗y=x （1﹣y ），若不等式（x ﹣a ）⊗（x+a ）＜1对任意x 都成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．不等式x 2+x ﹣2＞0的解集为 ．14．在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n （n ≥1），则该数列的通项a n = ．15．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a=1，c=，∠A=30°，则b 等于 ．16．下列命题中：①在△ABC 中，sinA ＞sinB ，则A ＞B ；②若a ＞0，b ＞0，a+b=4，则的最大值为3；③已知函数f （x ）是一次函数，若数列{a n }的通项公式为a n =f （n ），则该数列是等差数列；④数列{b n }的通项公式为b n =q n ，则数列{b n }的前n 项和S n =．正确的命题的序号是 ．三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，平面四边形ABCD 中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD 的长；（2）求∠ADC 的度数．18．已知等差数列{a n }中，a 1+a 4=10，a 3=6． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和S n ．19．连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm 2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm 为长度单位分米），上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm ．（1）若设版心的高为xdm ，求海报四周空白面积关于x 的函数S （x ）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2ccosA+a=2b ．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c 取最小值时，求△ABC 的面积．21．已知f （x ）=x 2+ax+b ，a ，b ∈R ，若f （x ）＞0的解集为{x|x ＜0或x ＞2}．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）解不等式f （x ）＜m 2﹣1．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n =． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 为数列{b n }的前n 项和，其中b n =，求T n ；（Ⅲ）若存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，求出实数λ的取值范围．2017-2018学年高二上学期期中试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的函数特性．【分析】利用符号为（﹣1）n 与绝对值为即可得出．【解答】解：数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是a n =（﹣1）n．故选：D ．【点评】本题考查了数列的通项公式，参考老头老娘了与计算能力，属于基础题．2．已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°【考点】正弦定理．【分析】结合已知条件a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，可求出sinA，结合大边对大角可求得A【解答】解：a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，a＜b A＜B=60°A=45°故选B【点评】本题考查正弦定理和大边对大角定理解三角形，属于容易题3．设a＞b，则下列不等式中恒成立的是（）A．＜B．a3＞b3C．＞D．a2＞b2【考点】不等式比较大小．【分析】A．取a=2，b=﹣1时不成立；B．利用函数y=x3在R上单调递增即可判断出正误．C．取a=2，b=1时不成立；D．取a=1，b=﹣2时不成立．【解答】解：A．取a=2，b=﹣1时不成立；B．由于函数y=x3在R上单调递增，∵a＞b，∴a3＞b3，成立．C．取a=2，b=1时不成立；D．取a=1，b=﹣2时不成立．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=3，a 4=2，则a 5等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 6=3，a 4=2，∴6a 1+d=3，a 1+3d=2，解得a 1=﹣7，d=3． 则a 5=﹣7+3×4=5， 故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围是（ ）A ．[2，5]B ．（﹣∞，2]∪[5，+∞）C ．（﹣∞，3]∪[5，+∞）D ．[3，5]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率， 由图象知OC 的斜率最小，OA 的斜率最大，由得，即A （1，5），此时OA 的斜率k=5，由得，即C （2，4），此时OC 的斜率k==2，即2≤≤5，则的取值范围是[2，5]，故选：A ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率是解决本题的关键．6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，则角A 是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦定理．【分析】直接利用余弦定理化简求解即可．【解答】解：在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，由余弦定理可得：cosA=，解得A=．故选：A ．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．7．设等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，则S 12等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．14 【考点】等比数列的前n 项和．【分析】直接利用等比数列的性质，化简求解即可．【解答】解：等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，可得S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8，也是等比数列，S 12﹣S 8===8．S 12=14． 故选：D ．【点评】本题考查等比数列的简单性质的应用，考查计算能力．8．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．【解答】解：在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，可得，可得sin2A=sin2B ． 可得2A=2B 或2A+2B=π，即：A=B 或A+B=；故选：D ．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．9．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且，则等于（ ）A ．2B ．C ．D ．【考点】等差数列的性质．【分析】利用===，即可得出结论．【解答】解： =====，故选C．【点评】本题考查等差数列通项的性质，考查等差数列的求和公式，比较基础．10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【考点】简单线性规划的应用．【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为 z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z=3x+4y=6+12=18．max即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．11．若等差数列{an }的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和Sn取最小值时，n的值等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a1，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时n的值．【解答】解：由a5是a2与a6的等比中项，可得a52=a2a6，由等差数列{an}的公差d为2，即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10），解得a1=﹣11，a n =a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，由a1＜0，a2＜0，…，a6＜0，a7＞0，…可得该数列的前n项和Sn取最小值时，n=6．故选：C．【点评】等差数列与等比数列是高考考查的基本类型，本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，以及等差数列的单调性和前n项和的最小值，属于中档题．12．定义算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【考点】二次函数的性质．【分析】由已知中算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），我们可得不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，转化为一个关于x的二次不等式恒成立，进而根据二次不等式恒成立的充要条件，构造一个关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值范围．【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y），∴若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则（x﹣a）（1﹣x﹣a）﹣1＜0恒成立即﹣x2+x+a2﹣a﹣1＜0恒成立则△=1+4（a2﹣a﹣1）=4a2﹣4a﹣3＜0恒成立解得故选D【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立充要条件是a＜0，△＜0构造一个关于a的不等式，是解答本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．不等式x2+x﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞1} ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】不等式x2+x﹣2＞0化为：（x+2）（x﹣1）＞0，解出即可得出．【解答】解：不等式x2+x﹣2＞0化为：（x+2）（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜﹣2．∴不等式x2+x﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞1}．故答案为：{x|x＜﹣2或x＞1}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．在数列{an }中，若a1=1，an+1=2an（n≥1），则该数列的通项an= 2n﹣1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得，该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，由此求得它的通项公式．【解答】解：由于在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n （n ≥1），则该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，故它的通项公式为 a n =1×2n ﹣1=2n ﹣1，故答案为 2n ﹣1．【点评】本题主要考查等比数列的定义和通项公式，属于基础题．15．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a=1，c=，∠A=30°，则b 等于 1或2 ．【考点】正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得b 2﹣3b+2=0，进而可解得b 的值．【解答】解：∵a=1，c=，∠A=30°，∴由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得：1=b 2+3﹣2×b ×，整理可得：b 2﹣3b+2=0，∴解得：b=1或2． 故答案为：1或2．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．16．下列命题中：①在△ABC 中，sinA ＞sinB ，则A ＞B ；②若a ＞0，b ＞0，a+b=4，则的最大值为3；③已知函数f （x ）是一次函数，若数列{a n }的通项公式为a n =f （n ），则该数列是等差数列；④数列{b n }的通项公式为b n =q n ，则数列{b n }的前n 项和S n =．正确的命题的序号是 ①②③ ．【考点】命题的真假判断与应用；基本不等式；数列的函数特性；正弦定理．【分析】逐项判断．①利用正弦定理易得；②先平方在利用基本不等式即可；③由等差数列的函数特征易得；④易知当q=1时，结论不正确．【解答】解：①由正弦定理，当sinA＞sinB时，由 a＞b，故有A＞B，所以①为真；②≤9+（a+3）+（b+2）=18，所以“=”当且仅当“”成立，故②为真；③由等差数列的通项公式的函数特征知③正确；④易知，当q=1时结论不正确．总上可得①②③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查了正弦定理，基本不等式，等差数列的通项以及等比数列的前n项和问题．其中第2个命题的判断是本题难点．属于中档题．三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）方法一：在△BCD中，由题意和正弦定理求出BD；方法二：由∠BDC=30°求出BC，利用条件和余弦定理列出方程，求出BD；（2）在△ABD中，利用条件和余弦定理求出cos∠ADB的值，结合图象求出∠ADC的度数．【解答】解：（1）方法一：在△BCD中，由正弦定理得：，即…解得BD=3…方法二：由已知得∠BDC=30°，故…由余弦定理得：BD2=CD2+BC2﹣2CDBCcos∠BCD= …∴BD=3…（2）在△ABD 中，由余弦定理得：…∴∠ADB=45° … 由已知∠BDC=30°…∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+30°=75°…【点评】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查一题多解，化简、计算能力．18．已知等差数列{a n }中，a 1+a 4=10，a 3=6． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）利用等差数列的通项公式即可得出． （II ）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d ，∵a 1+a 4=10，a 3=6．∴，解得， ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，∴．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm，求出海报四周空白面积．（2）利用基本不等式求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm…故海报四周空白面积为，…即S（x）=2x++8，x＞0…（2）由基本不等式得：…当且仅当时取等号…∴要使海报四周空白面积最小，版心的高应该为18 dm、宽为9 dm…【点评】本题考查实际问题选择函数的模型，基本不等式的应用，考查计算能力．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】方法一：（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，由条件和完全平方公式化简后，利用基本不等式求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积；方法二：（Ⅰ）利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系，由余弦定理求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，结合条件消元后，利用一元二次函数的性质求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：方法一：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…∵A+B+C=π，∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），…即 2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，…∴sinA=2sinAcosC，…∵sinA≠0，∴cosC=，…又∵C是三角形的内角，∴C=．…（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，…∵a+b=4，故c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，…∴（当且仅当a=b=2时等号成立），…∴c的最小值为2，故．…方法二：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴，…∴b2+c2﹣a2+ab=2b2，即 c2=a2+b2﹣ab，…∴，…又∵C是三角形的内角，∴c=．…（Ⅱ）由已知，a+b=4，即b=4﹣a，由余弦定理得，c 2=a 2+b 2﹣ab=（a+b ）2﹣3ab ，…∴c 2=16﹣3a （4﹣a ）=3（a ﹣2）2+4，…∴当a=2时，c 的最小值为2，故． …【点评】本题考查正弦、余弦定理，三角恒等变换中的公式，以及求最值的方法：基本不等式、一元二次函数的性质，考查一题多解，化简、变形能力．21．已知f （x ）=x 2+ax+b ，a ，b ∈R ，若f （x ）＞0的解集为{x|x ＜0或x ＞2}．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）解不等式f （x ）＜m 2﹣1． 【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）利用方程的根，列出方程组，即可求解a ，b 的值；（Ⅱ）化简不等式为乘积的形式，通过因式的根的大小对m 讨论，求解不等式的解集即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据题意可知，方程x 2+ax+b=0两根分别为0，2，…将两根代入方程得∴．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知不等式f （x ）＜m 2﹣1为x 2﹣2x ＜m 2﹣1， 即[x ﹣（1﹣m ）][x ﹣（1+m ）]＜0，…∴当m=0时，1﹣m=1+m ，不等式的解集为Φ；…当m ＞0时，1﹣m ＜1+m ，不等式的解集为{x|1﹣m ＜x ＜1+m}； … 当m ＜0时，1+m ＜1﹣m ，不等式的解集为{x|1+m ＜x ＜1﹣m}．… （如上，没有“综上所述…”，不扣分）【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n =． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 为数列{b n }的前n 项和，其中b n =，求T n ；（Ⅲ）若存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，求出实数λ的取值范围．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知数列的前n 项和，利用a n =S n ﹣S n ﹣1（n ≥2）求数列的通项公式；（Ⅱ）把b n =变形，利用裂项相消法化简，代入S n =得答案；（Ⅲ）把a n 、T n 代入T n ﹣λa n ≥3λ，分离参数λ，利用不等式求得最值得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1==n ，当n=1时，a 1=S 1=1也符合上式，∴a n =n ；（Ⅱ）∵，∴=；（Ⅲ）∵存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，∴存在n ∈N *，使得成立，即有解，∴，而，当n=1或n=2时取等号，∴λ的取值范围为．【点评】本题考查数列递推式，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，训练了利用分离参数法求解数列恒成立问题，是中档题．。
【全国百强校】湖北省咸丰一中2016-2017学年高二上学期期中考试文数试题解析(解析版)
湖北省咸丰一中2016-2017学年高二上学期期中考试文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合(){}(){}22,|10,,|1A x y x y B x y xy =+-==+=，则AB =（ ）A ．{}0,1B ．()(){}0,1,1,0C ．(){}0,1D ．(){}1,0【答案】B考点：集合的交集.2. 98与63的最大公约数为a ，二进制数()2110011化为十进制数为b ，则a b +=（ ） A ．53 B ．54 C ．58 D ．60 【答案】C 【解析】试题分析：∵981633563135283512872874=⨯+=⨯+=⨯+=⨯，，，，∴98和63的最大公约数是7． 故选C ． 考点：算法案例.3. 在同一平面内，线段AB 为圆C 的直径，动点P 满足0AP BP >，则点P 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点P 在圆C 外部 B ．点P 在圆C 上 C ．点P 在圆C 内部 D ．不确定 【答案】A 【解析】试题分析：在同一平面内，线段AB 为圆C 的直径，动点P 满足0AP BP >，所以APB ∠为锐角，所以则点P 在圆C 外部.考点：平面向量的数量积.4. 从一批产品取出三件产品，设A =“三件产品全部是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品不全是次品”，则下列结论哪个是正确的（ ）A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥 C.,,A B C 中任何两个均互斥D ．,,A B C 中任何两个均不互斥 【答案】B 【解析】试题分析：由题意知事件C 包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，∴事件C 中不包含B 事件，事件C 和事件B 不能同时发生，∴B 与C 互斥，故选B ． 考点：互斥事件与对立事件．5. 2015年我校组织学生积极参加科技创新大赛，其中作品A 获得省级奖，九位评委为作品A 给出的分数如茎叶图所示，记分员算得的平均分为89，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x ）无法看清.若记分员的计算无限，则数字x 应该是（ ）A ．3B ．2 C.1 D ．0 【答案】C考点：茎叶图. 6. 已知2sin 23α=，则2sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．16 B ．12 C.23 D ．56【答案】D 【解析】试题分析：25sin 1cos 21sin 2443ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 考点：1.二倍角公式；2.诱导公式.7. 过()()0,12,1A B -、两点的面积最小的圆的方程为（ ） A ．()2212x y -+= B ．()()22115x y -++=C. ()()22111x y ++-= D ．()()221210x y +++= 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意可知，以线段AB 为直径的圆在过A 和B 两点的所有圆中面积最小，()()0,12,1A B -、的中点坐标为()1,0 ，半径r ==，所以过()()0,12,1A B -、两点的面积最小的圆的方程为()2212x y -+=.考点：圆的标准方程．8. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近于圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的（四舍五入精确到小数点后两位）的值为（ ）（参考数据：sin150.2588,sin 7.50.1305︒=︒=）A ．3.10B ．3.11 C. 3.12 D ．3.13 【答案】B考点：程序框图．9. A 为圆22:1O x y +=上的点，B 为直线:20l x y +-=上的点，则线段AB 长度的最小值为（ ）A B ．1- D ．1【答案】C 【解析】试题分析：圆22:1O x y +=的圆心()0,0O 到直线:20l x y +-=的距离为d ==，所以点A 是圆上的点，点B 是直线上的点，则线段AB 1-，故选C. 考点：直线与圆的位置关系.10. 在区间()0,1中随机取出两个数，则两数之和不小于45的概率是（ ） A ．825 B ．925 C.1625 D ．1725【答案】D考点：几何概型.【思路点睛】根据题意，设取出两个数为x ，y ；易得 0101x y <<⎧⎨<<⎩，若这两数之和小于45，则有010415x y x y +⎧⎪<<⎪<<⎨⎪⎪<⎩，根据几何概型，原问题可以转化为求不等式组 010415x y x y +⎧⎪<<⎪<<⎨⎪⎪<⎩表示的区域与0101x y <<⎧⎨<<⎩表示区域的面积的比值的问题，做出图形，计算可得答案． 11.曲线y =与直线y x b =-+有两个不同的交点，则b 的取值范围为（ ）A ．12b -<< B2b ≤<2b ≤≤ D ．22b -≤≤ 【答案】B考点：1.直线与圆的位置关系；2.曲线与方程．【思路点睛】本题考查学生掌握直线与圆的位置关系的判别方法，灵活运用数形结合的数学思想解决实际际问题；根据曲线方程的特点得到此曲线的图象为一个半圆如图所示，然后分别求出相切、过)及过直线方程，利用图象即可得到满足条件的b 的范围．12. 直线()()212110t t x y --++=()t R ∈的倾斜角为α，则α的范围是（ ）A ．3044ππααπ≤<<≤或B ．3442πππαα≤≤≠且C.3044ππααπ≤<<<或 D ．04πα≤<【答案】C【解析】试题分析：由题意可知212tan 12121t t t α-==-++，又12211011112121t t t +>⇒<<⇒-<-<++，可得1tan 1α-<<，由正切函数的性质和[)0,απ∈，可知3044ππααπ≤<<<或. 考点：直线的斜率和倾斜角.【思路点睛】本题主要考查了直线的斜率和倾斜角之间的关系；由题意可知212tan 12121t t tα-==-++，然后再根据指数幂的性质可知12211011112121t t t +>⇒<<⇒-<-<++，进而可求得1tan 1α-<<，然后再根据正切函数的性质和倾斜角[)0,απ∈，即可求出α的范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知x 与y 之间的一组数据为：则y 与x 的回归直线方程y bx a ∧=+必过定点 ．【答案】5,52⎛⎫ ⎪⎝⎭考点：直线的回归方程.14. 设圆22450x y x +--=的弦AB 的中点为()3,1P ，则直线AB 的方程为 ．【答案】()404x y y x +-==-+或 【解析】试题分析：由22450x y x +--=得：()2229x y -+=，得到圆心0(2)C ，，所以求出直线CP 的斜率为10132-=-，根据垂径定理可知CP AB ⊥，所以直线AB 的斜率为1-，过()3,1P ，所以直线AB 的方程为()13y x -=-- 即40x y +-=.考点：直线与圆的位置关系．15. 根据下列程序，当a 的输入值为2，b 的输入值为-2时，输出值为a b 、，则ab = ．【答案】12-考点：顺序语句.【思路点睛】本题主要考查了算法中顺序语句，根据题中所给的顺序语句，可知第一步得到的0,2a b ==，第二步得到1a =，第三步得到12b =-，进而求出ab 的值. 16. 已知圆()222:0O x y r r +=>，直线:1l y x =+.若圆O 上恰有两个点到直线的距离是1，则r 的取值范围是 ．【答案】11r <<+【解析】试题分析：圆心0(0)O ，到直线:1l y x =+的距离d ==，∵圆()222:0O x y r r +=>上恰有两个点到直线:1l y x =+的距离等于1，∴11r d r -<<+，∴11r r ⎧-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩∴11r -<<+．考点：直线与圆的位置关系．【思路点睛】本题考查圆的半径的取值范围的求法，先求出圆心0(0)O ，到直线:1l y x =+的距离d ，由圆()222:0O x y r r +=>上恰有两个点到直线:1l y x =+的距离等于1，得11r d r -<<+，由此能求出结果．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知直线()1:120l m x y m +++-=和直线()2:210l x my m R +-=∈. （1）当12l l ⊥时，求实数m 的值； （2）当12//l l 时，求实数m 的值. 【答案】（1）23m =-；（2）2m =-（2）12//l l∴()()()12122m m m m +=⎧⎪⎨-+≠-⎪⎩解得2m =-∴当2m =-时12//l l .考点：直线与直线的位置关系. 18. （本小题满分12分）现有一个质地均匀的正四面体骰子，每个面上分别标有数字1、2、3、4，将这个骰子连续投掷两次，朝下一面的数字分别记为a b 、，试计算下列事件的概率： （1）事件:A a b =； （2）事件B ：函数()2112f x ax bx =-+在区间3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数. 【答案】（1）()14P A =；（2）()38P B =试题解析：将骰子投掷一次有4种结果，所以投掷两次有16种结果 （1）事件A 包含4种结果 由古典概型的概率计算公式可得：()14P A =（2）函数()2112f x ax bx =-+在区间3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数. ∴034a b a >⎧⎪⎨≤⎪⎩即()304b a a ≤>.∴事件A 包含6种结果由古典概型的概率计算公式可得：()38P B =考点：古典概型.19. （本小题满分12分）我校名教师参加我县“六城”同创“干部职工进网络，服务群众进社区”活动，他们的年龄均在25岁至50岁之间，按年龄分组：第一组[)25,30，第二组[)30,35，第三组[)35,40，第四组[)40,45，第五组[]45,50，得到的频率分布直方图如图所示：上表是年龄的频数分布表. （1）求正整数,,a b N 的值；（2）根据频率分布直方图估计我校这N 名教师年龄的中位数和平均数；（3）从第一、二组用分层抽样的方法抽取4人，现在从这4人中任取两人接受咸丰电视台的采访，求从这4人中选取的两人年龄均在第二组的概率.【答案】（1）15,20,50a b N ===；（2）中位数为：36.25；平均数：36. 5；（3）12试题解析：（1）15,20,50a b N === （2）设中位数为x ，则()350.080.1x -⨯= ∴ 36.25x = 即中位数为：36.25平均数：27.50.132.50.337.50.442.50.147.50.136.5*+*+*+*+*=（3）由题意：在第一组抽取1人记为A ，在第二组抽取3人记为B C D 、、 ∴从这4人中任意抽取2人共有：AB AC AD BC BD CD 、、、、、六种结果 其中2人均在第二组的有：BC BD CD 、、三种结果 ∴其概率为：3162=. 考点：1.古典概型及其概率计算公式；2.频率分布直方图．【方法点睛】古典概型的一般解题技巧：第一步：判明问题的性质；这类随机试验中只有有限种不同的结果，即只可能出现有限个基本事件不妨设为12n ωωω、、、；且它们具有以下三条性质: (1)等可能性:：()()()12n P P P ωωω===； (2)完备性：在任一次试验中至少发生一个； (3)互不相容性：在任一次试验中，12n ωωω、、、，中至多有一个出现,每个基本事件的概率为1n，即()i P ω；第二步：掌握古典概率的计算公式； 如果样本空间包含的样本点的总数n ，事件A 包含的样本点数为m ，则事件A 的概率()A A A m P n ===事件包含的基本事件数有利于的基本事件数基本事件总数基本事件总数. 20. （本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设AB 终点为,M CF 中点为N .（1）请将字母F G H 、、标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （2）证明：//MN AEF 直线面；（3）若正方体棱长为2，求三棱锥M AEF -的体积. 【答案】（1）；（2）（2）设P 为BE 中点，连MP NP 、N 为CF 中点∴//NP EF ,NP AEF EF AEF ⊄⊆面面 ∴//NP AEF 面 又M 为AB 中点∴MP //12AE,MP AEF AE MNP ⊄⊆面面 ∴//MP AEF 面 而MPNP P = MP NP MNP ⊆、面∴//,MNP AEF MN MNP ⊆面面而面 ∴//MN AEF 面////Q DF MN AQ MN AEF ⇒⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭法二：设为中点，易证直线面法三：建立空间直角坐标系酌情给分（3）M AEF F AEM V V --=13AEM S EF ∆=∙ 1112232=⨯⨯⨯⨯ 23=.考点：1. 直线与平面平行的判定；2.空间几何体的体积公式． 21. （本小题满分12分）已知函数()231f x x x =-+，数列{}()n a n N +∈是递增的等差数列，()()1231,0,1a f x a a f x =+==-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2n n b a =+，求数列()11n n n N b b ++⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【答案】（1）2n a n =-；（2）1n n +试题解析：（1）由题意：()()()()22132131113120a a x x x x a +=+-+++---== 解得：1x =或2x =若2x =，则()()12331,0,11a f a a f =====-（不合题意，舍去） 若1x =，则()()12321,0,01a f a a f ==-=== ∴数列{}n a 的通项公式为：()1112n a n n =-+-⨯=- （2）由（1）知2n n b a n =+= ∴()1111111n n b b n n n n +==-++ ∴数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为：1111111111122334111nn n n n -+-+--=-=+++…… （结果写成111n -+也给分）考点：1.等差数列的性质；2.裂项相消求和.【方法点睛】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一:()()n k a f n f n c =+型，通过拼凑法裂解成11n n n c n n c k k a a a cd a a ++⎛⎫==-⎪⎝⎭；类型二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式。
高二上学期期中考试数学文科试题(有答案).doc
高二上学期期中考试数学文科试题（有答案）A．第一列B．第二列C．第三列D．第四列第II卷（非选择题）请修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题11. 在△中，，，，则___________.12. 在平面直角坐标系中,不等式( 为常数)表示的平面区域的面积为8,则的最小值为13. 已知是等差数列，，，则等于14. 已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y=kx +1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是__________ 评卷人得分三、解答题15. 已知数列满足: ,其中为的前n项和.(1)求的通项公式;(2)若数列满足,求的前n项和.16. 设集合，.(1) 已知，求实数的取值范围；(2) 已知，求实数的取值范围.19. 如果无穷数列{an}满足下列条件：①②存在实数M，使得an≤M，其中n∈N*，那么我们称数列{an}为Ω数列．(1) 设数列{bn}的通项为bn＝5n－2n，且是Ω数列，求M的取值范围；(2) 设{cn}是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，证明：数列{Sn}是Ω数列；(3) 设数列{dn}是各项均为正整数的Ω数列，求证：dn≤dn＋1.参考答案4.【答案】B【解析】5.【答案】C【解析】由题可知，故，而，故选C。
6.【答案】B【解析】当时,可知,所以A选项错误;当时,C选项错误;当时, ,与D选项矛盾.因此根据均值定理可知B选项正确.7.【答案】B【解析】设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值．解得当时zmin＝2 200.8.【答案】C【解析】令一直角边长为a，则另一直角边长为2a，斜边长为a2＋4a2，周长l＝a＋2a＋a2＋4a2≥22＋2>4.8，当且a＝2a时取等号．9.【答案】Ｃ【解析】10.【答案】D【解析】二、填空题11.【答案】【解析】12.【答案】【解析】13.【答案】47【解析】14.【答案】【解析】三、解答题15.【答案】【解析】(1)①当n=1时, ,得②当时,所以,数列是以首项为,公比为的等比数列(2)…①又…②由①－②,得16.【答案】解：（1），当时，符合题意；当，即：时，，所以解得，综上可得当时，实数的取值范围是（2）同（1）易得当时，实数的取值范围是【解析】17.【答案】（1）设的公差为，则，且又，所以，，（2）易知，∴。
湖北省部分重点中学高二数学上学期期中试题 文
湖北省部分重点中学2016－2017学年度上学期高二期中考试数 学 试 卷（文科）一、选择题（5×12＝60分） 1. 下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2. 为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为（ ）A.40 B.30 C.20 D.12 3. 已知直线⊥平面，直线m ，给出下列命题： ①∥②∥m; ③∥m④23tan 6DCPCα∴===∥其中正确的命题是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．①③ 4. 某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内为（ ）A ．k >4?B ．k >5?C ．k >6?D ．k >7?5. 有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率为 ( )A ． B ． C ． D ．6. 如右图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有( )A ．a 1>a 2B ．a 2>a 1C ．a 1＝a 2D ．a 1、a 2的大小不确定7. 某人5次上班途中所花的时间（单位：min）分别为：x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数是10，方差为2，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48.两条异面直线a,b所成的角是60°，A为空间一定点，则过点A作一条与直线a,b均成60°的直线，这样的直线能作几条（）A.1条B.2条C.3条D.4条9. 如右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④10.如图，在棱长为1的正方体—中，点在线段上运动，给出以下四个命题：①异面直线与所成的角为定值；②二面角的大小为定值；③三棱锥的体积为定值；其中真命题的个数为( )A．B．C．D．11. 下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为，后因某未知原因第5组数据的值模糊不清，此位置数据记为（如下表所示），则利用回归方程可求得实数的值为（）196 197 200 203 2041 3 6 7（A）（B）（C）（D）12.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为( ) A. B.C. D.二、填空题（5×4＝20分）13. 已知A表示点，a，b，c表示直线，M，N表示平面，给出以下命题：①a⊥M，若M⊥N，则a∥N ②a⊥M，若b∥M,c∥a,则a⊥b,c⊥b③a⊥M，b M,若b∥M，则b⊥a④a b∩=A,c为b在内的射影，若a⊥c，则a⊥b。
高二第一学期期中测试数学试题(文科)及答案doc
高二第一学期期中测试数学试题（文科）参考公式：回归直线方程a x by ˆˆ+=∧，其中∑∑==∧--=n i i ni ii xn x yx n yx b 1221，x b y aˆˆ-= 一、选择题（本大题共10小题，每小题５分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．设,a b 为非零实数,若a b <,0c ≠ 则下列不等式成立的是A. ac bc <B. 22a b < C. 22ac bc < D. a c b c -<+ 2．要完成下列两项调查：宜采用的抽样方法依次为①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况.A ．①随机抽样法，②系统抽样法B ．①分层抽样法，②随机抽样法C ．①系统抽样法，②分层抽样法D ．①②都用分层抽样法3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立．．．．．．的两个事件是 A ．至少有1个白球，都是白球 B ．至少有1个白球，至少有1个红球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至少有1个白球，都是红球4．一组数据的平均数是2 .8 ，方差是3 .6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是A ．57.2 ，3.6B ．57.2 ，56.4C ．62.8 ，63.6D ．62.8 ，3.65．当1x >时，关于函数 下列叙述正确的是A.函数()f x 有最小值2B.函数()f x 有最大值2C.函数()f x 有最小值3D.函数()f x 有最大值3 6．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90% , 则甲、乙二人下成和棋的概率为A. 50%B. 30%C. 10%D. 60% 7．如右图所示的程序框图输出的结果是S ＝120 ，则判断框内应填写的条件是A. i ≤5？B. i>5？C. i ≤6？D. i>6？,11)(-+=x x x f354555658．已知回归直线斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的回归方程是 A. 1.230.08y x ∧=+ Ｂ． 1.235y x ∧=+ Ｃ． 1.234y x ∧=+ Ｄ．0.08 1.23y x ∧=+9．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c ，若 A=2B ，则cosB 等于A. B. C. D.10．ABCD 为长方形，AB=2 ，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到点O 的距离大于1的概率为 A ．4π B ． 14π- C ． 8π D ．18π- 二、填空题（本大题共4小题，每小题５分，共20分）11．把5进制数4301（5）化为十进制数：4301（5）= 。
2017-2018学年高二上学期期中数学(文科)试卷 Word版含解析
2017-2018学年高二（上）期中试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．△ABC 中，a=1，b=，A=30°，则B 等于（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°2．已知数列…，则2是这个数列的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第11项D ．第19项3．已知{a n }是等比数列，a 2=2，a 5=，则公比q=（ ）A ．B ．﹣2C ．2D ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 17=10，则S 19的值是（ ）A ．55B ．95C ．100D ．不确定5．命题“若x ＞1，则x ＞0”的否命题是（ ）A ．若x ≤1，则x ≤0B ．若x ≤1，则x ＞0C ．若x ＞1，则x ≤0D ．若x ＜1，则x ＜06．若变量x ，y 满足约束条件，则z=x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．若0＜a ＜b ，且a+b=1，则在下列四个选项中，较大的是（ ）A ．B ．a 2+b 2C ．2abD ．b8．△ABC 中，sinA=2sinCcosB ，那么此三角形是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若=，则=（ ）A ．B ．C ．D ．10．等差数列{a n }的前三项依次为a ﹣1，a+1，2a+3，则此数列的第n 项a n =（ ）A ．2n ﹣5B ．2n ﹣3C ．2n ﹣1D ．2n+111．设a ＞0，b ＞0．若3是3a 与3b 的等比中项，则的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．12．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 5+a 6＞0，a 5a 6＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 的值是（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．10二、填空题（每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知等差数列{a n }的公差d=﹣2，a 1+a 4+a 7+…+a 97=50，那么a 3+a 6+a 9+…+a 99的值是 ．14．已知点（3，﹣1）和（﹣4，﹣3）在直线3x ﹣2y+a=0的同侧，则a 的取值范围是 ．15．不等式2x 2﹣x ﹣1＞0的解集是 ．16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinA=，b=sinB ，则a= ．三、解答题：17．若不等式ax 2+5x ﹣2＞0的解集是，求不等式ax 2﹣5x+a 2﹣1＞0的解集．18．△ABC 中，BC=7，AB=3，且=． （1）求AC 的长；（2）求∠A 的大小．19．已知{a n }是等差数列，其中a 1=25，a 4=16（1）求{a n }的通项；（2）求a 1+a 3+a 5+…+a 19值．20．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1且a 1，a 3，a 9成等比数列．（1）求数列{a n }的通项；（2）求数列{2a n }的前n 项和S n ．21．一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile 的海面上有一走私船正以10nmile/h 的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h ，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追击所需的时间和α角的正弦值．22．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2﹣a n ，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式．2017-2018学年高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．△ABC 中，a=1，b=，A=30°，则B 等于（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得，求出sinB 的值，根据B 的范围求得B 的大小．【解答】解：由正弦定理可得，∴，∴sinB=．又 0＜B ＜π，∴B= 或，故选B ．2．已知数列…，则2是这个数列的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第11项D ．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n 2﹣a n ﹣12=3从而利用等差数列通项公式a n 2=2+（n ﹣1）×3=3n ﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n 2﹣a n ﹣12=3，又∵a 12=2，∴a n 2=2+（n ﹣1）×3=3n ﹣1，令3n ﹣1=20，则n=7．故选B ．3．已知{a n }是等比数列，a 2=2，a 5=，则公比q=（ ）A ．B ．﹣2C ．2D ．【考点】等比数列．【分析】根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果．【解答】解：∵{a n }是等比数列，a 2=2，a 5=，设出等比数列的公比是q ，∴a 5=a 2•q 3，∴==，∴q=，故选：D ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 17=10，则S 19的值是（ ）A ．55B ．95C ．100D ．不确定【考点】等差数列的前n 项和；等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质，结合a 3+a 17=10求出a 10，代入前19项的和得答案．【解答】解：在等差数列{a n }中，由a 3+a 17=10，得2a 10=10，∴a 10=5．∴．故选：B ．5．命题“若x ＞1，则x ＞0”的否命题是（ ）A ．若x ≤1，则x ≤0B ．若x ≤1，则x ＞0C ．若x ＞1，则x ≤0D ．若x ＜1，则x ＜0【考点】四种命题．【分析】根据否命题的定义：“若p 则q”的否命题是：“若￢p ，则￢q”，所以应该选A ．【解答】解：根据否命题的定义，x ＞1的否定是：x ≤1；x ＞0的否定是：x ≤0，所以命题“若x ＞1，则x ＞0”的否命题是：“若x ≤1，则x ≤0”．故选A ．6．若变量x ，y 满足约束条件，则z=x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x ﹣2y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可．【解答】解：画出可行域（如图），z=x ﹣2y ⇒y=x ﹣z ，由图可知，当直线l 经过点A （1，﹣1）时，z 最大，且最大值为z max =1﹣2×（﹣1）=3．故选：B ．7．若0＜a＜b，且a+b=1，则在下列四个选项中，较大的是（）A．B．a2+b2 C．2ab D．b【考点】不等式比较大小．【分析】根据两个数的和是1，和两个数的大小关系，得到b和的大小关系，根据基本不等式得到B，C两个选项的大小关系，再比较B，D的大小．【解答】解：∵a+b=10＜a＜b所以a＜b＞所以D答案＞A答案；C答案一定不大于B答案；B：a2+b2=（1﹣b）2+b2，D：b，所以B﹣D=（1﹣b）2+b2﹣b=2b2﹣3b+1=（b﹣1）（2b﹣1），又＜b＜1，∴B﹣D=（b﹣1）（2b﹣1）＜0，即B＜D；所以D最大故选D．8．△ABC中，sinA=2sinCcosB，那么此三角形是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由三角形的内角和及诱导公式得到sinA=sin（B+C），右边利用两角和与差的正弦函数公式化简，再根据已知的等式，合并化简后，再利用两角和与差的正弦函数公式得到sin（B﹣C）=0，由B与C都为三角形的内角，可得B=C，进而得到三角形为等腰三角形．【解答】解：∵A+B+C=π，即A=π﹣（B+C），∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC．又sinA=2cosBsinC，∴sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC．变形得：sinBcosC﹣cosBsinC=0，即sin（B﹣C）=0．又B和C都为三角形内角，∴B=C，则三角形为等腰三角形．故选C．9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若=，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】根据等差数列的前n 项和公式，用a 1和d 分别表示出s 3与s 6，代入中，整理得a 1=2d ，再代入中化简求值即可．【解答】解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由等差数列的求和公式可得且d ≠0，∴，故选A ．10．等差数列{a n }的前三项依次为a ﹣1，a+1，2a+3，则此数列的第n 项a n =（ ）A ．2n ﹣5B ．2n ﹣3C ．2n ﹣1D ．2n+1【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意结合等差数列的性质求得a ，则等差数列的首项和公差可求，代入通项公式得答案．【解答】解：∵等差数列{a n }的前三项依次为a ﹣1，a+1，2a+3，∴2（a+1）=（a ﹣1）+（2a+3），解得：a=0．∴等差数列{a n }的前三项依次为﹣1，1，3，则等差数列的首项为﹣1，公差为d=2，∴a n =﹣1+（n ﹣1）×2=2n ﹣3．故选：B ．11．设a ＞0，b ＞0．若3是3a 与3b 的等比中项，则的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ． 【考点】基本不等式．【分析】利用等比中项即可得出a 与b 的关系，再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵3是3a 与3b 的等比中项，∴32=3a •3b =3a+b ，∴a+b=2．a ＞0，b ＞0．∴===2．当且仅当a=b=1时取等号．故选B ．12．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 5+a 6＞0，a 5a 6＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 的值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．10【考点】等差数列的性质；数列的求和．【分析】由已知结合等差数列的单调性可得a 5+a 6＞0，a 6＜0，由求和公式可得S 8＜0，S 7＞0，可得结论．【解答】解：∵{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 5+a 6＞0，a 5a 6＜0，∴a 5，a 6必定一正一负，结合等差数列的单调性可得a 5＞0，a 6＜0，∴S 11==11a 6＜0，S 10==5（a 5+a 6）＞0，∴使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 的值为10．故选D ．二、填空题（每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知等差数列{a n }的公差d=﹣2，a 1+a 4+a 7+…+a 97=50，那么a 3+a 6+a 9+…+a 99的值是 ﹣82 ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列的性质得a 3+a 6+a 9+…+a 99=（a 1+a 4+a 7+…+a 97）+33×2d ，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n }的公差d=﹣2，a 1+a 4+a 7+…+a 97=50，∴a 3+a 6+a 9+…+a 99=（a 1+a 4+a 7+…+a 97）+33×2d=50+33×2×（﹣2）=﹣82．故答案为：﹣82．14．已知点（3，﹣1）和（﹣4，﹣3）在直线3x ﹣2y+a=0的同侧，则a 的取值范围是 （﹣∞，﹣11）∪（6，+∞） ．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】由已知点（3，﹣1）和（﹣4，﹣3）在直线3x ﹣2y+a=0的同侧，我们将A ，B 两点坐标代入直线方程所得符号相同，则我们可以构造一个关于a 的不等式，解不等式即可得到答案．【解答】解：若（3，﹣1）和（﹣4，﹣3）在直线3x ﹣2y ﹣a=0的同侧则[3×3﹣2×（﹣1）+a]×[3×（﹣4）+2×3+a]＞0即（a+11）（a ﹣6）＞0解得a ∈（﹣∞，﹣11）∪（6，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣11）∪（6，+∞）．15．不等式2x 2﹣x ﹣1＞0的解集是 ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘同号得正的取符号法则，得到2x+1与x ﹣1同号，可化为两个不等式组，分别求出两不等式组的解集的并集即可得到原不等式的解集．【解答】解：不等式2x 2﹣x ﹣1＞0，因式分解得：（2x+1）（x ﹣1）＞0，可化为：或，解得：x ＞1或x ＜﹣，则原不等式的解集为．故答案为：16．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=，b=sinB，则a= ．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解．【解答】解：∵sinA=，b=sinB，∴由正弦定理可得：a===．故答案为：．三、解答题：17．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】由不等式的解集与方程的关系，可知，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：由已知条件可知a＜0，且是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，…由根与系数的关系得：解得a=﹣2…所以ax2﹣5x+a2﹣1＞0化为2x2+5x﹣3＜0，…化为：（2x﹣1）（x+3）＜0…解得，…所以不等式解集为…18．△ABC中，BC=7，AB=3，且=．（1）求AC的长；（2）求∠A的大小．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由已知利用正弦定理即可得解AC的值．（2）由已知利用余弦定理可求cosA的值，结合A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：（1）由正弦定理，可得： =，可得：AC==5．（2）由余弦定理可得：cosA===﹣，由于A ∈（0°，180°），可得：A=120°．19．已知{a n }是等差数列，其中a 1=25，a 4=16（1）求{a n }的通项；（2）求a 1+a 3+a 5+…+a 19值．【考点】等差数列的前n 项和；等差数列的通项公式．【分析】（1）由题意和等差数列的通项公式可得公差，可得通项公式；（2）可得a 1+a 3+a 5+…+a 19是首项为25，且公差为﹣6的等差数列，共有10项，由等差数列的求和公式可得．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4=a 1+3d ，代值可得16=25+3d ，解得d=﹣3，∴a n =25﹣3（n ﹣1）=28﹣3n ；（2）由题意可得a 1+a 3+a 5+…+a 19是首项为25，且公差为﹣6的等差数列，共有10项，∴20．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1且a 1，a 3，a 9成等比数列．（1）求数列{a n }的通项；（2）求数列{2a n }的前n 项和S n ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）由题意得关于公差d 的方程，求出公差d 的值，即可得到数列{a n }的通项公式．（2）利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：（1）由题设知公差d ≠0，由a 1=1，a 1，a 3，a 9成等比数列，得，解得d=1，或d=0（舍去），故{a n }的通项a n =1+（n ﹣1）×1=n ；（2）由（1）得：数列{2a n }是以2为首项，以2为公差的等差数列，故S n =2n+=n （n+1）．21．一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile 的海面上有一走私船正以10nmile/h 的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h ，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追击所需的时间和α角的正弦值．【考点】解三角形的实际应用；余弦定理．【分析】由图A ，C 分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过 x 小时后在B 处追上，则有 AB=14x ，BC=10x ，∠ACB=120°从而在△ABC 中利用余弦定理可求追击所需的时间，进一步可求α角的正弦值．【解答】解：设A ，C 分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过 x 小时后在B 处追上，…则有 AB=14x ，BC=10x ，∠ACB=120°．∴（14x ）2=122+（10x ）2﹣240xcos120°…∴x=2，AB=28，BC=20，…∴．所以所需时间2小时，．…22．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2﹣a n ，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式．【考点】数列递推式；数列的应用．【分析】（1）由S n =2﹣a n ，知S 1=2﹣a 1，a n =S n ﹣S n ﹣1=（2﹣a n ）﹣（2﹣a n ﹣1），得，由此能求出数列{a n }的通项公式．（2）由b n+1=b n +a n ，且，知b n ﹣1﹣b n =（）n ﹣1，由此利用叠加法能求出． 【解答】解：（1）∵S n =2﹣a n ，∴当n=1时，S 1=2﹣a 1，∴a 1=1，当n ≥2时，S n ﹣1=2﹣a n ﹣1，∴a n =S n ﹣S n ﹣1=（2﹣a n ）﹣（2﹣a n ﹣1），得，∴数列{a n }是以a 1=1为首项，为公比的等比数列，∴数列{a n }的通项公式是．（2）由b n+1=b n +a n ，且，∴b n ﹣1﹣b n =（）n ﹣1，则，，，…，b n ﹣b n ﹣1=（）n ﹣2， 以上n 个等式叠加得：==2[1﹣（）n﹣1]=2﹣，=1，∴．∵b1。
高二上学期期中联考文科数学试卷 Word版含答案
“上杭、武平、漳平、长汀一中”四校联考-第一学期半期考 高二数学(文)试题（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. ABC ∆中，角的对边分别为，若060,3,2===B b a ，则角A 为（ ）A ．0135B ．0135或045C ．045D ．0302.设n s 是等差数列}{n a 的前n 项和，若9876=++a a a ，则=13s （ ） A ．38B ．39C ．36D ．153.不等式022>--x x 的解集是（ ） A ．)2,1(-B ．),2()1,(+∞--∞C ．),1()2(+∞⋃--∞D ．)1,2(-4.下列命题中，正确的是（ ） A ．若d c b a >>,，则bd ac > B ．若bc ac <，则b a < C ．若d c b a >>,，则d b c a ->-D ．若， 则b a <5.函数)1(2x x y -=)10(<<x 其中的最大值是（ ） A ．41B ．21 C ．1 D ．26.数列}{n a 满足211=a ，)111*+∈-=N n a a n n （，则=2017a （ ） A ．21B ．2C ．-1D ．17.ABC ∆中，角的对边分别为，若2cos cos ==abB A ，则该三角形的形状是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--03204202y y x y x ，则x y 的取值范围是（ ）A ．]23,41[B ．]73,41[C ．]23,73[D ．],23[]41,0(+∞⋃9.已知各项均为正数的等比数列中，，则其前3项的和的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．10.数列}{n a 前项和为，若21=a ， )2(121*-∈≥-=N n n a a n n ，，则=10S （ ）A ．513B ．1023C ．1026D ．103311. ABC ∆中，角的对边分别为，若满足ab c b a c 22222+=+=，的ABC ∆有两个，则边长BC 的取值范围是（ ） A ．)2,1(B ．)3,1(C ．)2,2(D ． )2,3(12.已知数列{}n a 满足11=a ，且对任意的*∈N n m ,，都有mn a a a n m n m ++=+，则=++++20173211111a a a a （ ） A ．20164032B ．20174034C ．20184032D ．20184034二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13.若1,0,0=+>>b a b a ，则ba 11+的最小值为 ______ 14. 如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了 一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角120=∠ABC ；从B 处攀登4千米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角 150=∠ADC ；从D 处再攀登8千米方到达C 处，则索道AC 的长为________千米．15.若,x y 满足，且的最大值为6，则的值为_______.16.已知数列是各项均不为零的等差数列，前项和为，且．若不等式对任意恒成立，则实数的最大值为 _．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 17.（本题满分10分） 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求18.（本题满分12分） 已知等差数列中，为其前项和，，，.（1）求的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，求数列的前项和.19．（本题满分12分）（1）已知不等式220ax x c ++>的解集为,解不等式．（2）已知当0>x 时，不等式042>+-mx x 恒成立，求m 的取值范围；20. （本题满分12分） 设△的内角，，所对的边分别为，，，且 b c C a =+21cos （1）求角的大小；（2）若1=a ，求周长P 的取值范围；21. （本题满分12分）某人为增加家庭收入，年初用49万元购买了一辆货车用于长途运输，第一年各种费用支出为6万元，以后每年都增加2万元，而每年的运输收益为25万元； （1）求车主前n 年的利润)(n f 关于年数n 的函数关系式，并判断他第几年开始获利超过15万元；（注：利润=总收入-总成本）（2）若干年后，车主准备处理这辆货车，有两种方案： 方案一：利润)(n f 最多时，以4万元出售这辆车；方案二：年平均利润最大时，以13万元出售这辆车；请你利用所学知识帮他做出决策。
2017-2018学年湖北省部分重点中学高二(上)数学期中试卷带解析答案(文科)
2017-2018学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：∃x0∈R，x02﹣5x0+6＜0，则（）A．¬p：∃x0∈R，B．¬p：∃x0∉R，C．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6＞0 D．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6≥02．（5分）已知命题p：经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x ﹣x0）表示，命题q：直线xtan+y﹣7=0的倾斜角是，则下列命题是真命题的为（）A．（¬p）∧q B．p∧q C．p∨（¬q）D．（¬P）∧（¬q）3．（5分）已知A（4，﹣3）关于直线l的对称点为B（﹣2，5），则直线l的方程是（）A．3x+4y﹣7=0 B．3x﹣4y+1=0 C．4x+3y﹣7=0 D．3x﹣4y﹣1=04．（5分）设p：a=1，q：直线l1：ax+y﹣1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y=0与直线2mx+y+2﹣m=0（m∈R）的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能6．（5分）椭圆mx2+y2=1的离心率是，则它的长轴长是（）A．1 B．1或2 C．2 D．2或47．（5分）设x，y满足约束条件，若z=x+2y的最大值和最小值的差为8，则实数m=（）A．﹣1 B．1 C．D．8．（5分）曲线x2+y2=2|x|+2|y|所围成的图形的面积为（）A．6+2πB．6+4πC．8+2πD．8+4π9．（5分）已知平面内两点A（1，2），B（﹣2，﹣2）到直线l的距离分别为2，3，则满足条件的直线l的条数为（）A．4 B．3 C．2 D．110．（5分）已知椭圆的弦AB的中点坐标为M（1，1），则直线AB的方程为（）A．x+2y﹣3=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣3=0 D．2x﹣y+1=011．（5分）已知两点A（﹣1，0），B（0，1），点P是椭圆上任意一点，则点P到直线AB的距离最大值为（）A．B．C．6 D．12．（5分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x2+y2=1和点，点B（1，1），M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过点P（1，2），并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是．14．（5分）已知圆x2+y2=16，直线l：，圆上至少有三个点到直线l的距离都是2，则m的取值范围是．15．（5分）已知直线l交椭圆C：于A，B两点，F1为椭圆的左焦点，当直线l经过右焦点时，△ABF1周长为．16．（5分）设椭圆C的两个焦点是F1、F2，过F1的直线与椭圆C交于P、Q，若|PF2|=|F1F2|，且5|PF1|=6|F1Q|，则椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知△ABC的顶点A（6，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣7=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣6=0．（1）求点C的坐标；（2）求直线BC的方程．18．（12分）为迎接2017年“双11”，“双12”购物狂欢节的来临，某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共100个，生产一个汤碗需5分钟，生产一个花瓶需7分钟，生产一个茶杯需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个汤碗可获利润5元，生产一个花瓶可获利润6元，生产一个茶杯可获利润3元．（1）使用每天生产的汤碗个数x与花瓶个数y表示每天的利润ω（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？19．（12分）矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在的直线的方程为x﹣4y=8，点T（﹣1，2）在边AD所在的直线上．（1）求边AD所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程；（3）过点P（1，2）的直线l被矩形ABCD的外接圆截得的弦长为，求直线l的方程．20．（12分）在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+mx﹣3的图象与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0，1）．当m变化时，解答下列问题：（1）以AB为直径的圆能否经过点C？说明理由；（2）过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知点是椭圆C：上的一点，椭圆的右焦点为F（1，0），斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D 三点互不重合．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值．22．（12分）已知圆M：和点，动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B，C在曲线E上，若直线AB，AC 的斜率分别是k1，k2，满足k1•k2=9，求△ABC面积的最大值．2017-2018学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：∃x0∈R，x02﹣5x0+6＜0，则（）A．¬p：∃x0∈R，B．¬p：∃x0∉R，C．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6＞0 D．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6≥0【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题p：∃x0∈R，x02﹣5x0+6＜0，则¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6≥0，故选：D．2．（5分）已知命题p：经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x ﹣x0）表示，命题q：直线xtan+y﹣7=0的倾斜角是，则下列命题是真命题的为（）A．（¬p）∧q B．p∧q C．p∨（¬q）D．（¬P）∧（¬q）【解答】解：直线的斜率不存在时，不能表示，故p是假命题；直线xtan+y﹣7=0的斜率是﹣，故倾斜角是，故q是真命题，故（￢p）∧q是真命题，故选：A．3．（5分）已知A（4，﹣3）关于直线l的对称点为B（﹣2，5），则直线l的方程是（）A．3x+4y﹣7=0 B．3x﹣4y+1=0 C．4x+3y﹣7=0 D．3x﹣4y﹣1=0【解答】解：由题意，直线AB与l的方程垂直，点A（4，﹣3），B（﹣2，5），k AB==﹣，那么直线l的方程的斜率为k=，A，B的中点的坐标在l的方程上，即中点为（1，1），∴l的方程为：y﹣1=（x﹣1），即3x﹣4y+1=0．故选：B．4．（5分）设p：a=1，q：直线l1：ax+y﹣1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：对于命题q：由a（a+2）﹣3=0，解得a=1或﹣3．a=﹣3时，两条直线重合，舍去．∴a=1．∴p是q的充要条件．故选：C．5．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y=0与直线2mx+y+2﹣m=0（m∈R）的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能【解答】解：根据题意，直线的方程为2mx+y+2﹣m=0，即m（2x﹣1）+y+2=0，则直线恒过点（，﹣2），圆x2+y2﹣4x+6y=0的标准方程为（x﹣2）2+（y+3）2=13，其圆心为（2，﹣3），半径为，分析可得点（，﹣2）在圆内，则直线与圆相交；故选：C．6．（5分）椭圆mx2+y2=1的离心率是，则它的长轴长是（）A．1 B．1或2 C．2 D．2或4【解答】解：把椭圆mx2+y2=1方程转化为：分两种情况：①椭圆的离心率则：解得：m=进一步得长轴长为4②椭圆的离心率则：长轴长为2故选：D．7．（5分）设x，y满足约束条件，若z=x+2y的最大值和最小值的差为8，则实数m=（）A．﹣1 B．1 C．D．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，3），联立，解得B（m﹣1，m），化z=x+2y，得y=﹣+．由图可知，当直线y=﹣+过A时，z有最大值为8，当直线y=﹣+过B时，z有最小值为3m﹣1，由题意，8﹣（3m﹣1）=8，解得：m=．故选：D．8．（5分）曲线x2+y2=2|x|+2|y|所围成的图形的面积为（）A．6+2πB．6+4πC．8+2πD．8+4π【解答】解：由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，当x≥0，y≥0时，解析式为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，故可得此曲线所围的力图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成，所围成的面积是2×2+4××π×=8+4π故选：D．9．（5分）已知平面内两点A（1，2），B（﹣2，﹣2）到直线l的距离分别为2，3，则满足条件的直线l的条数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：线段AB的中点M（﹣，0），|AB|==5．因此经过线段AB上的一点P，且满足|AP|：|PB|=2：3的点P且与直线AB垂直的直线满足条件．则直线AB的两侧各有一条直线满足条件．综上共有3条直线满足条件．故选：B．10．（5分）已知椭圆的弦AB的中点坐标为M（1，1），则直线AB的方程为（）A．x+2y﹣3=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣3=0 D．2x﹣y+1=0【解答】解：根据题意，设直线方程AB为y=k（x﹣1）+1，设A、B的横坐标分别为x1、x2，且AB的中点坐标为M（1，1），则有（x1+x2）=1，即x1+x2=2，将直线AB的方程代入椭圆方程中，整理得（2k2+1）x2+4k（1﹣k）x+2（1﹣k）2﹣8=0，有x1+x2=﹣，设则有﹣=2，解可得k=﹣，则直线AB方程为y=﹣（x﹣1）+1，变形可得x+2y﹣3=0；故选：A．11．（5分）已知两点A（﹣1，0），B（0，1），点P是椭圆上任意一点，则点P到直线AB的距离最大值为（）A．B．C．6 D．【解答】解：由两点A（﹣1，0 ），B（0，1），则直线AB的方程为y=x+1，由图知，直线y=x+m（m＜0）和椭圆相切于P点时，到AB的距离最大．联立方程得到，整理得25x2+32mx+16m2﹣144=0由于直线y=x+m和椭圆相切，则△=（32m）2﹣4×25×（16m2﹣144）=0解得m=﹣5由于y=x+1与直线y=x﹣5的距离为d==3，则点P到直线AB距离的最大值为：3．故选：A．12．（5分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x2+y2=1和点，点B（1，1），M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为（）A．B．C． D．【解答】解：如图，取点K（﹣2，0），连接OM、MK．∵OM=1，OA=，OK=2，∴==2，∵∠MOK=∠AOM，∴△MOK∽△AOM，∴==2，∴MK=2MA，∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|，在△MBK中，|MB|+|MK|≥|BK|，∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长，∵B（1，1），K（﹣2，0），∴|BK|==．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过点P（1，2），并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是x ﹣y+1=0或2x﹣y=0．【解答】解：直线经过原点时满足条件：直线方程为：y=2x．直线不经过原点时，设直线方程为：x﹣y=a，把点P（1，2）代入可得：1﹣2=a，解得a=﹣1．∴直线方程为：x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0或2x﹣y=0．14．（5分）已知圆x2+y2=16，直线l：，圆上至少有三个点到直线l的距离都是2，则m的取值范围是﹣4≤m≤4．【解答】解：由圆C的方程：x2+y2=16，可得圆C的圆心为原点O（0，0），半径为4；若圆上至少有三个点到直线l：y=x+m的距离等于2，则满足O到直线l的距离d≤2，∵直线l的一般方程为：x﹣y+m=0，∴d==≤2，解得﹣4≤m≤4，∴m的取值范围是﹣4≤m≤4．故答案为：﹣4≤m≤4．15．（5分）已知直线l交椭圆C：于A，B两点，F1为椭圆的左焦点，当直线l经过右焦点时，△ABF1周长为12．【解答】解：椭圆C：的a=3，由椭圆的定义可得，△AF1B的周长为c=|AB|+|AF1|+|BF1|=（|AF2|+|AF1|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=12．故答案为：12．16．（5分）设椭圆C的两个焦点是F1、F2，过F1的直线与椭圆C交于P、Q，若|PF2|=|F1F2|，且5|PF1|=6|F1Q|，则椭圆的离心率为．【解答】解：设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），由5|PF1|=6|F1Q|，设|PF1|=6k，|F1Q|=5k，|PF2|=|F1F2|=2c，过F2做F2D⊥PQ，则丨PD丨=丨DF1丨=3k，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，∴2c+6k=2a，即a﹣c=3k，①，|QF2|=2c﹣5k，由|PF2|2﹣|PD|2=|QF2|2﹣|QD|2，即（2c）2﹣（3k）2=（2c﹣5k）2﹣（8k）2，整理得：6c﹣4a=15k，②解得：a=k，c=k，则e==，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知△ABC的顶点A（6，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣7=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣6=0．（1）求点C的坐标；（2）求直线BC的方程．【解答】解：（1）依题意知：k AC=﹣2，A（6，1），∴l AC方程为：2x+y﹣13=0，联立l AC、l CM得，∴C（5，3）．（2）设B（x0，y0），AB的中点M为（，），代入2x﹣y﹣7=0，得2x0﹣y0﹣3=0，∴，∴B（0，﹣3），∴k BC=，∴直线BC的方程为y=x﹣3，即6x﹣5y﹣15=0．18．（12分）为迎接2017年“双11”，“双12”购物狂欢节的来临，某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共100个，生产一个汤碗需5分钟，生产一个花瓶需7分钟，生产一个茶杯需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个汤碗可获利润5元，生产一个花瓶可获利润6元，生产一个茶杯可获利润3元．（1）使用每天生产的汤碗个数x与花瓶个数y表示每天的利润ω（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）依题意每天生产的茶杯个数为100﹣x﹣y，所以利润ω=5x+6y+3（100﹣x﹣y）=2x+3y+300．（2）约束条件为整理得目标函数为ω=2x+3y+300，作出可行域，如图所示，作初始直线l0：2x+3y=0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，由得∴最优解为A（50，50），此时ωmax=550元．故每天生产汤碗50个，花瓶50个，茶杯0个时利润最大，且最大利润为550元．19．（12分）矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在的直线的方程为x﹣4y=8，点T（﹣1，2）在边AD所在的直线上．（1）求边AD所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程；（3）过点P（1，2）的直线l被矩形ABCD的外接圆截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵AB⊥AD，k AB=，∴k AD=﹣4，∵点T（﹣1，2）在边AD所在的直线上，∴直线AD的方程为y﹣2=﹣4（x+1），即4x+y+2=0，（2）联立，解得A（0，﹣2）．∵矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），即圆心为M（2，0），∴圆的半径为AM=2，∴矩形ABCD外接圆的方程（x﹣2）2+y2=8．（3）当直线斜率不存在时，直线方程为x=1，圆心M到直线l的距离d=1，∴直线l被圆截得弦长为2=2，符合题意；当直线斜率存在时，设直线为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣2k+2=0，圆心M到直线的距离为d=，解得：k=﹣，则直线为3x+4y﹣11=0，综上，直线l的方程为x=1或3x+4y﹣11=0．20．（12分）在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+mx﹣3的图象与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0，1）．当m变化时，解答下列问题：（1）以AB为直径的圆能否经过点C？说明理由；（2）过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）以AB为直径的圆不经过点C，理由如下：二次函数y=x2+mx﹣3的图象与x轴交于A，B两点，设A（x1，0），B（x2，0），则x1x2=﹣3，又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为=﹣，所以不能出现AC⊥BC的情况，以AB为直径的圆不经过点C．（2）设过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），将A，B，C三点坐标带入，得x12+Dx1+F=0，x22+Dx2+F=0，1+E+F=0．∴x1x2=﹣3=F，从而E=2，∴圆的方程为x2+y2+Dx+2y﹣3=0，令x=0，得y2+2y﹣3=0，∴y1=﹣3，y2=1，进而得到圆在y轴上截得的弦长是定值为4．21．（12分）已知点是椭圆C：上的一点，椭圆的右焦点为F（1，0），斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D 三点互不重合．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值．【解答】（1）由题意，左焦点为F′（﹣1，0），由椭圆定义可得2a=|AF|+|AF′|=+=4，解得a=2，b=，所以椭圆C的方程为+=1．（2）证明：设直线BD的方程为y=x+m，又A、B、D三点不重合，∴m≠﹣1，设D（x1，y1），B（x2，y2），则由得x2+mx+m2﹣3=0，所以△=﹣3m2+12＞0，所以﹣2＜m＜2．x1+x2=﹣m，x1x2=﹣m2﹣3，设直线AB、AD的斜率分别为：k AB、k AD，则k AD+k AB═+=+=1+（m+1）﹣，=1+（m+1）﹣，=1+（m+1）﹣，=1﹣1=0，所以k AD+k AB=0，即直线AB，AD的斜率之和为定值．22．（12分）已知圆M：和点，动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B，C在曲线E上，若直线AB，AC 的斜率分别是k1，k2，满足k1•k2=9，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）圆M：的圆心为M（0，﹣），半径为2，点N（0，），在圆M内，因为动圆P经过点N且与圆M相切，所以动圆P与圆M内切．设动圆P半径为r，则2=|PM|．因为动圆P经过点N，所以r=|PN|，|PM|+|PN|=＞|MN|，所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为2的椭圆．由a=，c=，得b2=3﹣2=1，所以曲线E的方程为：．（2）直线BC斜率为0时，不合题意；设B（x1，y1），C（x2，y2），直线BC：x=ty+m，联立方程组，得（1+3t2）y2+6mty+3m2﹣3=0，y1+y2=，y1y2=，又k1k2=9，知y1y2=9（x1﹣1）（x2﹣1）=9（ty1﹣1+m）（ty2﹣1+m）=9t2y1y2+9（m﹣1）t（y1+y2）+9（m﹣1）2．且m≠1，y1+y2=，y1y2=，代入化简得（9t2﹣1）（m+1）﹣18mt2+3（m﹣1）（1+3t2）=0，解得m=2，故直线BC过定点（2，0），由△＞0，解得t2＞1，S△ABC=|y2﹣y1|===，（当且仅当时取等号）．综上，△ABC面积的最大值为：．。
湖北省恩施土家族苗族自治州高二上学期期中数学试卷
湖北省恩施土家族苗族自治州高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在下列各数中，最大的数是（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高三上·湖南月考) 某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为，且直线与以为圆心的圆交于两点，且，则圆的方程为（）A .B .C .D .3. （2分）下列命题：① ；② ；③ ，其中真命题有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个4. （2分）在右侧程序框图中,输入N-40,按程序运行后输出的结果是（）A . 100B . 210C . 265D . 3205. （2分）(2020·辽宁模拟) 在直角坐标系中，F是椭圆：的左焦点，分别为左、右顶点，过点F作X轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接交y轴于点E，连接交于点M，若M是线段的中点，则椭圆C的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分）(2020·江门模拟) 下列四个命题：①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；②若变量x，y满足关系，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，．其中真命题的个数为（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. （2分）一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6．将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A . A与B是互斥而非对立事件B . A与B是对立事件C . B与C是互斥而非对立事件D . B与C是对立事件8. （2分）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则（）A . 9B . 6C . 7D . 89. （2分） (2015高二下·泉州期中) 下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必为正数，且方差越大，数据的离散程度越大；③将一组数据中的每个数都加上同一个常数后，方差恒不变；④在频率分布直方图中，每个长方形的面积等于相应小组的频率．其中错误的个数有（）A . 0B . 1C . 2D . 310. （2分） (2020高一下·河北期中) 如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·黑龙江模拟) 已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，点E，F在侧棱PA，PB上且PE=2EA，PF=2FB，点M为四棱锥内任一点，则M在平面EFCD上方的概率是（）A .B .C .D .12. （2分）已知命题p：，命题q： .则下列命题为真命题的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·扬州模拟) 已知，，则直线不经过第二象限的概率为________.14. （1分）(2012·江西理) 椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1 ， F2 ．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．15. （1分）已知命题p：存在x∈R，使tan x= ，命题q：x2﹣3x+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且￢q”是假命题；③命题“￢p或q”是真命题；④命题“￢p或￢q”是假命题，其中正确的是________．16. （1分） (2017高一下·淮安期末) 一组数据1，3，2，5，4的方差是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2016高二上·江北期中) 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y 轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．18. （15分） (2019高二下·吉林月考) 某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．组号分组频数频率第1组5第2组①第3组30②第4组20第5组10（1）请先求出频率分布表中位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在名学生中随机抽取名学生接受考官进行面试，求：第组至少有一名学生被考官面试的概率．19. （10分） (2019高二上·大庆月考) 已知，，其中 .（1）若，且为真，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．20. （10分） (2016高二上·翔安期中) 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．（1）求角B的大小；（2）求2sin2A+cos（A﹣C）的取值范围．21. （5分）某中学的高二年级有男同学45名，女同学30名，老师按照分层抽样的方法组建了一个5人的课外兴趣小组；（Ⅰ）求课外兴趣小组中男、女同学的人数（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定随机选出两名同学分别去做某项试验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率．22. （10分） (2016高二下·大丰期中) 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
湖北省恩施州咸丰一中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年湖北省恩施州咸丰一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={（x，y）|x+y﹣1=0}，B={（x，y）|x2+y2=1}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{（0，1），（1，0）}C．{（0，1）}D．{（1，0）}2．98与63的最大公约数为a，二进制数110011（2）化为十进制数为b，则a+b=（）A．53 B．54 C．58 D．603．在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足•＞0，则点P与圆C的位置关系是（）A．点P在圆C外部 B．点P在圆C上C．点P在圆C内部 D．不确定4．从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论中正确的是（）A．A与C互斥B．A、B、C中任何两个均互斥C．B与C互斥D．A、B、C中任何两个均不互斥5．2015年我校组织学生积极参加科技创新大赛，其中作品A获得省级奖，九位评委为作品A给出的分数如茎叶图所示，记分员算得的平均分为89，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员的计算无误，则数字x应该是（）A．3 B．2 C．1 D．06．已知sin2α=，则sin2（α+）=（）A．B．C．D．7．过A（0，1）、B（2，﹣1）两点的面积最小的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=5 C．（x+1）2+（y﹣1）2=1 D．（x+1）2+（y+2）2=108．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近于圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的（四舍五入精确到小数点后两位）的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin75°=0.1305）A．3.10 B．3.11 C．3.12 D．3.139．A为圆O：x2+y2=1上的点，B为直线l：x+y﹣2=0上的点，则线段AB长度的最小值为（）A．B．2 C．﹣1 D．110．在区间（0，1）中随机取出两个数，则两数之和不小于的概率是（）A．B．C．D．11．曲线y=与直线y=﹣x+b有两个不同的交点，则b的取值范围为（）A．﹣1＜b＜2 B．≤b＜2 C．≤b≤2 D．﹣2≤b≤212．直线x•（2t﹣1）﹣y（2t+1）+1=0（t∈R）的倾斜角为α，则α的范围是（）A．0≤α＜或＜α≤πB．≤α≤且α≠C．0≤α＜或＜α＜πD．0≤α＜二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知x 与y 之间的一组数据为：则y 与x 的回归直线方程=bx +a 必过定点 ．14．设圆x 2+y 2﹣4x ﹣5=0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是 15．根据下列程序，当a 的输入值为2，b 的输入值为﹣2时，输出值为a 、b ，则ab= ．16．已知圆O ：x 2+y 2=r 2（r ＞0），直线l ：y=x +1．若圆O 上恰有两个点到直线的距离是1，则r 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知直线l 1：（m +1）x +y +m ﹣2=0和直线l 2：2x +my ﹣1=0（m ∈R ）． （1）当l 1⊥l 2时，求实数m 的值； （2）当l 1∥l 2时，求实数m 的值．18．现有一个质地均匀的正四面体骰子，每个面上分别标有数字1、2、3、4，将这个骰子连续投掷两次，朝下一面的数字分别记为a ，b ，试计算下列事件的概率：（1）事件A ：a=b ；（2）事件B ：函数f （x ）=ax 2﹣bx +1在区间[，+∞）上为增函数．19．我校名教师参加我县“六城”同创“干部职工进网络，服务群众进社区”活动，他们的年龄均在25岁至50岁之间，按年龄分组：第一组[25，30），第二组[30，35），第三组[35，40），第四组[40，45），第五组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示：如表是年龄的频数分布表． （1）求正整数a ，b，N 的值；（2）根据频率分布直方图估计我校这N 名教师年龄的中位数和平均数； （3）从第一、二组用分层抽样的方法抽取4人，现在从这4人中任取两人接受咸丰电视台的采访，求从这4人中选取的两人年龄均在第二组的概率．20．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设AB 终点为M ，CF 中点为N ．（1）请将字母F 、G 、H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （2）证明：直线MN ∥面AEF ；（3）若正方体棱长为2，求三棱锥M ﹣AEF 的体积．21．已知函数f （x ）=x 2﹣3x +1，数列{a n }（n ∈N +）是递增的等差数列，a 1=f （x +1），a2=0，a3=f（x﹣1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n+2，求数列{}（n∈N+）的前n项和．22．在直角坐标系xOy中，B（﹣1，0），C（1，0），动点A满足=m（m＞0且m≠1）．（1）求动点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）若m=，点P为动点A的轨迹曲线上的任意一点，过点P作圆：x2+（y﹣2）2=1的切线，切点为Q．试探究平面内是否存在定点R，使为定值，若存在，请求出点R的坐标，若不存在，请说明理由．2016-2017学年湖北省恩施州咸丰一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={（x，y）|x+y﹣1=0}，B={（x，y）|x2+y2=1}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{（0，1），（1，0）}C．{（0，1）}D．{（1，0）}【考点】交集及其运算．【分析】联立A与B中的解析式，求出解即可确定出两集合的交集．【解答】解：联立得：，解得：或，则A∩B={（0，1），（1，0）}，故选：B．2．98与63的最大公约数为a，二进制数110011（2）化为十进制数为b，则a+b=（）A．53 B．54 C．58 D．60【考点】进位制．【分析】用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数，可求a，根据二进制转化为十进制的方法，我们分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到b的值，求和即可得解．【解答】解：∵由题意，98÷63=1 (35)63÷35=1…28，35÷28=1 (7)28÷7=4，∴98与63的最大公约数为7，可得：a=7，=1+1×2+0×22+0×23+1×24+1×25=51，可得：b=51，又∵110011（2）∴a+b=51+7=58．故选：C．3．在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足•＞0，则点P与圆C的位置关系是（）A．点P在圆C外部 B．点P在圆C上C．点P在圆C内部 D．不确定【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先画出图形，结合图形即可看出，只有点P在圆C外部时，才满足为锐角，从而得出．【解答】解：如图，∵只有点P在圆C外部时，∠APB为锐角；即为锐角；∴满足．故选：A．4．从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论中正确的是（）A．A与C互斥B．A、B、C中任何两个均互斥C．B与C互斥D．A、B、C中任何两个均不互斥【考点】互斥事件与对立事件．【分析】利用互斥事件定义直接求解．【解答】解：从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，∴A与C能同时发生，故A与C不是互斥事件，故A和B均错误；B与C不能同时发生，故B与C是互斥事件，故C正确，D错误．故选：C．5．2015年我校组织学生积极参加科技创新大赛，其中作品A获得省级奖，九位评委为作品A给出的分数如茎叶图所示，记分员算得的平均分为89，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员的计算无误，则数字x应该是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】茎叶图．【分析】利用茎叶图性质及平均数计算公式求解．【解答】解：由茎叶图性质得：（86+87+88+88+89+90+90+90+x+92）=89，解得x=1．故选：C．6．已知sin2α=，则sin2（α+）=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件吧要求的式子化为，从而求得结果．【解答】解：∵sin2α=，则sin2（α+）===，故选：D．7．过A（0，1）、B（2，﹣1）两点的面积最小的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=5 C．（x+1）2+（y﹣1）2=1 D．（x+1）2+（y+2）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意可知，以线段AB为直径的圆在过A和B两点的所有圆中面积最小，由A和B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点即为所求圆的圆心，然后利用两点间的距离公式求出线段AB的长，进而得到所求圆的半径，根据求出的圆心坐标和圆的半径写出所求圆的标准方程即可．【解答】解：由题意可知面积最小的圆的圆心坐标为（，），即（1，0），半径r==，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+y2=2．故选：A．8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近于圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的（四舍五入精确到小数点后两位）的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin75°=0.1305）A．3.10 B．3.11 C．3.12 D．3.13【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与k的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：k=0，S=3sin60°=，k=1，S=6×sin30°=3，k=2，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056≈3.11，退出循环，输出的值为3.11．故选：B．9．A为圆O：x2+y2=1上的点，B为直线l：x+y﹣2=0上的点，则线段AB长度的最小值为（）A．B．2 C．﹣1 D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，判断出直线和圆的位置关系；再结合草图即分析出何时线段AB有最小值，并求出其值．【解答】解：因为圆心（0，0）到直线l：x+y﹣2=0上的距离d==＞1，所以圆和直线相离．大致图象如图圆心到直线的最短距离为．故线段AB的最小值为：d﹣r=﹣1．故选：C．10．在区间（0，1）中随机取出两个数，则两数之和不小于的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据题意，设取出的两个数为x、y，分析可得“0＜x＜1，0＜y＜1”表示的区域为纵横坐标都在（0，1）之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y≥0.8表示的区域为直线x+y=0.8上方，且在0＜x＜1，0＜y＜1所表示区域内部的部分，分别计算其面积，由几何概型的计算公式可得答案【解答】解：设取出的两个数为x、y；则有0＜x＜1，0＜y＜1，其表示的区域为纵横坐标都在（0，1）之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y≥0.8表示的区域为直线x+y=0.8上方，且在0＜x＜1，0＜y＜1表示区域内部的部分，如图，易得其面积为1﹣=；则两数之和不小于0.8的概率是．故选B11．曲线y=与直线y=﹣x+b有两个不同的交点，则b的取值范围为（）A．﹣1＜b＜2 B．≤b＜2 C．≤b≤2 D．﹣2≤b≤2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】首先将曲线y=与转化为：x2+y2=2（y≥0）表示一个半圆，再由直线与圆的位置关系，即可求解．【解答】解：曲线y=与转化为：x2+y2=2（y≥0）表示一个半圆．曲线y=与直线y=﹣x+b相切时，b=2曲线y=与直线y=﹣x+b有两个不同的交点：≤b＜2故选B．12．直线x•（2t﹣1）﹣y（2t+1）+1=0（t∈R）的倾斜角为α，则α的范围是（）A．0≤α＜或＜α≤πB．≤α≤且α≠C．0≤α＜或＜α＜πD．0≤α＜【考点】直线的倾斜角．【分析】根据倾斜角、斜率的定义得到tanα=，结合函数的性质进行解答．【解答】解：∵直线x•（2t﹣1）﹣y（2t+1）+1=0（t∈R）的倾斜角为α，∴tanα==1﹣，∵y=2t+1＞1，∴0＜＜2，∴﹣1＜1﹣＜1，∴0≤α＜或＜α＜π．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知x与y之间的一组数据为：则y与x的回归直线方程=bx+a必过定点（，5）．【考点】线性回归方程．【分析】根据回归直线方程一定过样本中心点，求出这组数据的样本中心点即可．【解答】解：回归直线方程必过样本的中心点，且=×（1+2+3+4）=，=×[3+5+（6﹣m）+（6+m）]=5，∴样本中心点是（，5）；∴y与x的回归直线方程过定点（，5）．故答案为：（，5）．14．设圆x2+y2﹣4x﹣5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是x+y ﹣4=0【考点】直线与圆相交的性质；中点坐标公式；直线的一般式方程．【分析】先把圆的方程变为标准形式，得到圆心O坐标和半径，根据垂径定理可知OP与AB垂直，求出OP的斜率，即可得到哦AB的斜率，写出AB的方程即可．【解答】解：由x2+y2﹣4x﹣5=0得：（x﹣2）2+y2=9，得到圆心O（2，0），所以求出直线OP的斜率为=1，根据垂径定理可知OP⊥AB所以直线AB的斜率为﹣1，过P（3，1），所以直线AB的方程为y﹣1=﹣1（x﹣3）即x+y﹣4=0故答案为x+y﹣4=015．根据下列程序，当a的输入值为2，b的输入值为﹣2时，输出值为a、b，则ab=．【考点】程序框图．【分析】先把a与b的和赋给变量a，再把a与b的差赋给变量b，继续赋值计算，进而得到输出的a与b的值，即可得解．【解答】解：输入a=2，b=﹣2则a=a+b=2﹣2=0，b=a﹣b=0﹣（﹣2）=2故a==1b==﹣可得：ab=1×=﹣．故答案为：﹣16．已知圆O：x2+y2=r2（r＞0），直线l：y=x+1．若圆O上恰有两个点到直线的距离是1，则r的取值范围是1＜r＜1+．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，结合原点O到直线l：y=x+1的距离为，数形结合可得满足条件的r的取值范围．【解答】解：如图，∵原点O到直线l：y=x+1的距离d=．∴以O为圆心，以为半径的圆上仅有一点A到直线l的距离为1，当圆的半径r时，开始有两点满足到直线l的距离为1，到半径增大到为1+时，除直线l的右下方有两点满足条件外，左上方的B点也满足到直线l的距离为1．∴r的取值范围是1＜r＜1+．故答案为：1＜r＜1+．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知直线l1：（m+1）x+y+m﹣2=0和直线l2：2x+my﹣1=0（m∈R）．（1）当l1⊥l2时，求实数m的值；（2）当l1∥l2时，求实数m的值．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】（1）根据两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，求得m的值．（2）根据两直线平行时，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得m的值．【解答】解：（1）∵l1⊥l2，∴2（m+1）+m=0，解得m=﹣；（2）∵l1∥l2，∴，解得m=﹣2．18．现有一个质地均匀的正四面体骰子，每个面上分别标有数字1、2、3、4，将这个骰子连续投掷两次，朝下一面的数字分别记为a，b，试计算下列事件的概率：（1）事件A：a=b；（2）事件B：函数f（x）=ax2﹣bx+1在区间[，+∞）上为增函数．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）将骰子投掷一次有4种结果，所以投掷两次有16种结果，事件A：a=b包含4种结果，由古典概型的概率计算公式能求出事件A：a=b的概率．（2）先求出b，a＞0．事件B包含6种结果，由古典概型的概率计算公式能求出结果．【解答】解：（1）有一个质地均匀的正四面体骰子，每个面上分别标有数字1、2、3、4，将这个骰子连续投掷两次，朝下一面的数字分别记为a，b，将骰子投掷一次有4种结果，所以投掷两次有16种结果，事件A：a=b包含4种结果，由古典概型的概率计算公式可得：事件A：a=b的概率P（A）=．（2）∵函数f（x）=ax2﹣bx+1在区间[，+∞）上为增函数．∴，即b，a＞0．∴事件B包含6种结果由古典概型的概率计算公式可得：事件B的概率P（B）=．19．我校名教师参加我县“六城”同创“干部职工进网络，服务群众进社区”活动，他们的年龄均在25岁至50岁之间，按年龄分组：第一组[25，30），第二组[30，35），第三组[35，40），第四组[40，45），第五组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示：如表是年龄的频数分布表．（1）求正整数a，b，N的值；（2）根据频率分布直方图估计我校这N名教师年龄的中位数和平均数；（3）从第一、二组用分层抽样的方法抽取4人，现在从这4人中任取两人接受咸丰电视台的采访，求从这4人中选取的两人年龄均在第二组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布表知[25，30）内有人数为5人，由频率分布图得[25，30）内的频率为0.1，由此能求出N，由频率分布表得[30，35）和[35，40）的频率分别为0.3，0.4，由此能求出a，b．（2）设中位数为x，由频率分布直方图能求出中位数和平均数．（3）由题意在第一组抽取1人，记为A，在第二组抽取3人，记为B、C、D，利用列举法能求出从这4人中选取的两人年龄均在第二组的概率．【解答】解：（1）由频率分布表知[25，30）内有人数为5人，由频率分布图得[25，30）内的频率为0.02×5=0.1，∴N==50，由频率分布表得[30，35）和[35，40）的频率分别为0.06×5=0.3，0.08×5=0.4，∴a=0.3×50=15，b=0.4×50=20．（2）设中位数为x，由频率分布直方图得：（x﹣35）×0.08=0.1，解得x=36.25，∴中位数为36.25．平均数为：27.5×0.1+32.5×0.3+37.5×0.4+42.5×0.1+47.5×0.1=36.5．（3）由题意在第一组抽取1人，记为A，在第二组抽取3人，记为B、C、D，∴从这4人中任意抽取2人共有：AB、AC、AD、BC|BD|CD六种结果，其中2人均在第二组的有：BC、BD、CD三种结果，∴从这4人中选取的两人年龄均在第二组的概率为p=．20．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设AB终点为M，CF中点为N．（1）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）证明：直线MN∥面AEF；（3）若正方体棱长为2，求三棱锥M﹣AEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）将正方体的平面展开图还胡成该正方体的直观图，能将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处．（2）设P 为BE 中点，推导出面MNP ∥面AEF ，由此能证明MN ∥面AEF ． （3）三棱锥M ﹣AEF 的体积V M ﹣AEF =V F ﹣AEM ，由此能求出结果． 【解答】解：（1）将正方体的平面展开图还胡成该正方体的直观图， 将字母F 、G 、H 标记在正方体相应的顶点处，如右图： 证明：（2）设P 为BE 中点，连MP 、NP ， ∵N 为CF 中点，∴NP ∥EF ，NP ⊄面AEF ，EF ⊂面AEF ， ∴NP ∥面AEF ，又∵M 为AB 中点，∴MPAE ，∵MP ⊄面AEF ，AE ⊂面MNP ， ∴MP ∥面AEF ，而MP ∩NP=P ，MP 、NP ⊂面MNP ， ∴面MNP ∥面AEF ， ∵MN ⊂面MNP ， ∴MN ∥面AEF ．解：（3）∵正方体棱长为2， ∴三棱锥M ﹣AEF 的体积：V M ﹣AEF =V F ﹣AEM ==．21．已知函数f （x ）=x 2﹣3x +1，数列{a n }（n ∈N +）是递增的等差数列，a 1=f （x +1），a 2=0，a 3=f （x ﹣1）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =a n +2，求数列{}（n ∈N +）的前n 项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据等差中项的得到关于x的方程，求出x的值，再求出数列的首项和公差，问题得以解决，（2）知b n=a n+2=n，由==﹣，裂项求和即可得到数列{}）的前n项和（n∈N+【解答】解：（1）由题意：a1+a3=（x+1）3﹣3（x+1）+1+（x﹣1）3﹣3（x﹣1）+1=2a2=0，解得：x=1或x=2；若x=2，则a1=f（x+1）=1，a2=0，a3=f（x﹣1）=﹣1．（不合题意，舍去），若x=1，则a1=f（2）=﹣1，a2=0，a3=f（0）=1．∴数列{a n}的通项公式为：a n=﹣1+1×（n﹣1）=n﹣2，（2）由（1）知b n=a n+2=n，∴==﹣∴数列{}的前项和为：1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=22．在直角坐标系xOy中，B（﹣1，0），C（1，0），动点A满足=m（m＞0且m≠1）．（1）求动点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）若m=，点P为动点A的轨迹曲线上的任意一点，过点P作圆：x2+（y﹣2）2=1的切线，切点为Q．试探究平面内是否存在定点R，使为定值，若存在，请求出点R的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据动点A满足=m，根据两点间的距离公式，化简即可得到圆A的方程；（2）设P，R的坐标，利用直线和圆相切，建立方程关系，进行判断．【解答】解：（1）设A（x，y），∵动点A满足=m（m＞0且m≠1）．∴=m化简得动点的轨迹方程为：（x﹣）2+y2=表示以（，0）为圆心，为半径的圆．（2）由（1）当m=时，动点A的轨迹方程为：（x﹣2）2+y2=3，设P（x，y）∴x2+y2=4x﹣1假设在平面内存在点R（a，b）使得=λ（其中λ为正常数）∴=λ化简得：x2+y2﹣4y+3=λ2（x2+y2）﹣2aλ2x﹣2bλ2y+λ2（a2+b2），∵x2+y2=4x﹣1，∴4x﹣4y+2=λ2（4﹣2a）x﹣2bλ2y+λ2（a2+b2﹣1），对于任意满足（x﹣2）2+y2=3的P（x，y）恒成立∴解得或∴存在点R（1，1）或（，）满足题意2017年1月18日。
高二数学上学期期中试题文(4)word版本
2017—2018学年上学期高二年级期中考试文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
总分150分，考试时间120分钟第I 卷（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合｝｛3,1,2-=A ，{21,0,1,2}B =--，，则B A 中元素个数为 （ ） A. B. C. D.2.已知数列{}n a 是等比数列（1q >），162520,1a a a a =-+=，则8a =（ ） A. 165-B.165C.254D.254- 3.设函数()sin(3),2f x x x R π=-∈，则下列结论正确的是 ( )A.()f x 是最小正周期为的奇函数B. ()f x 是最小正周期为的偶函数C. ()f x 是最小正周期为23π的奇函数 D. ()f x 是最小正周期为23π的偶函数4.执行如图1所示的程序框图，输出的值为（ ） 图1A.B.C.D.5.平面向量与的夹角为23π，(2,0)a =，2||=b ，则=+|2|b a （ ）A.72 C. D.346.设,x y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为（ ）A.B.C.D.7.关于的不等式33<--a x 的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则（） A. B.C.D.8.要得到函数)34sin(π-=x y 的图像，只需将函数x y 4sin =的图像（ ）A.向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移3π个单位 D.向右平移3π个单位9.若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα-=（ ） A.3225- B.825- C.D.162510.数列{}n a 的前项和满足：n m n m S S S ++=),(*∈N n m ，且11a =．则10a =（ ） A.B.C.D.11.若0>>b a ，0<<d c ，则一定有（ ）A. a b c d <B.a b c d >C.a b d c <D.a b d c> 12.已知函数()f x 的定义域为.当0x <时，()sin f x x =；当x ππ-≤≤时，()()f x f x -=-；当2x π>时，()()f x f x π+=，则20()3f π= （ ）A.2-B.C.2D.12-第II 卷（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆224210x y x y +-++=截得的弦长为________．14.在ABC ∆中，点,M N 满足2A M M C =，BN NC =．若M N x A B y A C =+，则x y +=________．15.已知数列{}n a 中，)2(41,11-1≥+==n a a a n n ，则数列{}n a 的前9项和为________． 16.若1>>b a ，2ln,2ln ln ln ln ba rb a q b a p +=+==，，则r q p ,,的大小关系是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知sin()4x π-=,3(,)24x ππ∈（1）求cos x 的值； （2）求sin(2)3x π-的值．18.(12分)设函数|32||1|)(--+=x x x f （1）求不等式()2f x ≤的解集；（2）若存在x R ∈使得m x f ≥)(成立，求实数的取值范围.19.（12分）在ABC ∆中，222a cb +-=. （1）求；（2sin A C +的取值范围．20.(12分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为的正方形，F E ,分别为BDPC ,的中点，侧面⊥PAD 底面ABCD ，且AD PD PA 22==。
高二数学上学期期中试题文(含解析)
2017－２018学年上期高二期中考试文科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分、在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的、１、中,角的对边分别为,已知,,,则( )Ａ。
Ｂ、 C、 D。
【答案】C【解析】在△ABC中, ,∴则 ,∴由正弦定理可得:故选C2。
等比数列中,若,,则( )A、64B、 -６４C、 32 D。
－32【答案】A【解析】数列是等比数列,,,即ﻭ解得ﻭ那么故选Ａ、3。
已知等差数列中,公差,,,则( )A、5或7 Ｂ、3或5 Ｃ、７或—１ D。
3或-１【答案】Ｄ【解析】在等差数列中,公差,,,得 ,解得或、故选D、4。
中,,,,则( )A、１5 Ｂ、 9 C、—１5 D、 -９【答案】B【解析】中,,,ﻭ则,如图所示;故选B、5、已知成等比数列,且曲线的顶点是,则等于( )Ａ、 5 Ｂ。
6 C、 7 D。
１2【答案】B【解析】把配方得ﻭ得到顶点坐标为,即由成等比数列,则 ,ﻭ故选Ｂ、6。
已知等差数列的公差为整数,首项为13,从第五项开始为负,则等于( )A、 -4B、－３Ｃ。
—2 D。
—1【答案】A【解析】在等差数列中,由,得 ,得 ,∵公差为整数, 。
故选A。
7、已知中,角的对边分别为,已知,,,则此三角形( )A、有一解Ｂ、有两解 C、无解 D、不确定【答案】C【解析】由正弦定理有,因此,而,因此角A的值不存在,此三角形无解。
选C、８、中,角的对边分别为,已知,则的形状是( )A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形 D。
等腰直角三角形【答案】C【解析】由,可得 ,ﻭ正弦定理,可得a即当时,的形状是等腰三角形,当时,即 ,那么,的形状是直角三角形、故选C、【点睛】本题考查正弦定理和三角形内角和定理的运用。
解题的关键是得到一定要注意分类讨论、9。
中,角的对边分别为,已知,则( )A、Ｂ、C、D。
【答案】A【解析】因为三角形内角和为,因此,由正弦定理的推论有,选Ａ。
高二数学上学期期中试题文(4)
湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2017-2018学年高二数学上学期期中试题 文本试卷共 22 题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在 试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合 A x x20，B1,0,1,2，则 A B （ ）A ． 0,1,2B ． 2C ． 1,2D ．1, ,1,22．若直线 l 1 : ax 8 y 1 0 与直线 l 2 : 2x ay 3 0 平行，则 a （A. 4B. 4C. 4 或 4D. 03．若直线 a 不平行于平面 ，则下列结论成立的是（ ）A ． 内的所有直线都与直线 a 异面B ． 内不存在与 a 平行的直线C ． 内的直线都与 a 相交D ．直线 a 与平面 有公共点4．已知圆 C 1 : ( x1) 2( y 4) 225 ，圆 C 2 : x 2y 24x 4 y 2 0 ，试判断圆 C 1 与圆 C 2 的位 置关系是（ ） A ．相离 B ．相切C ．相交D ．不能确定5．设 m , n 为两条不同的直线， , , 为三个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）A ．若 m ， n ，则 m // nB ．若 // ， ⊥ ，则⊥C ．若 m // n ， m ⊥ ，则 n ⊥D ．若 ⊥ ， ⊥ ，则//x 16．若变量 x ，y 满足约束条件x y 0，则z 2x y 的最大值为（）14 ．等差数列{a n} 中a11 ，公差d 0 ，若a2 ,a3 , a6 成等比数列，则 {a n} 的前 5 项的和为.15．17 世纪日本数学家们对空间几何体体积的求法还不太清楚，他们将体积公式“V KD 3 ”中的常 数 K 称为“立圆术”或“玉积率”，创立了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中， D 为球的直径， 类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱）、正方体也有类似的体积公式 V KD 3 ，其中，在等边圆柱中， D 表示底面圆的直径；在正方体中， D 表示棱长，假设运用 此“会玉术”，求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为 K 1 , K 2 , K 3 的大小关系是 .16．ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 是以 C 为圆心，1 为半径的圆上的任意一点，则 AP BP的取值范围是 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 10 分）某高校从“2017 年大一新生英语水平测试”的学生成绩中通过抽样获取了 80 名学生的成绩，将数据按照 [40, 50) ，[50, 60) ，…，[90,100] 分成 6 组制成了如图所示的频率分布直方图，但因工作失误遗失了 [80, 90) 的统计数据． （Ⅰ）求测试成绩分布在[80, 90) 的学生人数 a ，并补 全频率分布直方图；（Ⅱ）求测试成绩的平均分 x 的值．60 70 80 90分数18．（本小题满分 12 分）（Ⅰ）求经过点 B (6, 7) 与直线 l : 3x 2 y 120 垂直的直线 l 方程；（Ⅱ）求过点 A (2, 6) 且被圆 C : ( x 3) 2 ( y 4) 2 4 2 3 的直线 l 的方程．19．（本小题满分 12 分）已知三角函数 f ( x ) A sin(所示，其中 A0, 0,．2（Ⅰ）求三角函数 f ( x ) 解析式；x ) (x R )的部分图像如图5 612（Ⅱ）在 ABC 中， a , b , c 分别是角A ,B ,C 的对边，且 a 1 ，1f ( A)，ABC 的面积为23，求边长b,c的值．4（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（Ⅱ）当m 4 时，记动点P 的轨迹为曲线C ，记曲线C 与x 轴交于A, B 两点，直线l : x 2 上一动点G ，连G A ,G B 分别交曲线C 于F , E ,求证：直线EF 经过一定点，并求出该定点坐标。
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2016-2017学年湖北省恩施州咸丰一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={（x，y）|x+y﹣1=0}，B={（x，y）|x2+y2=1}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{（0，1），（1，0）}C．{（0，1）}D．{（1，0）} 2．（5分）98与63的最大公约数为a，二进制数110011（2）化为十进制数为b，则a+b=（）A．53 B．54 C．58 D．603．（5分）在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足•＞0，则点P与圆C的位置关系是（）A．点P在圆C外部 B．点P在圆C上C．点P在圆C内部 D．不确定4．（5分）从一批产品中取出3件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A．事件B与C互斥B．事件A与C互斥C．任何两个均不互斥D．任何两个均互斥5．（5分）2015年我校组织学生积极参加科技创新大赛，其中作品A获得省级奖，九位评委为作品A给出的分数如茎叶图所示，记分员算得的平均分为89，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员的计算无误，则数字x应该是（）A．3 B．2 C．1 D．06．（5分）已知sin2α=，则sin2（α+）=（）A．B．C．D．7．（5分）过A（0，1）、B（2，﹣1）两点的面积最小的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=5 C．（x+1）2+（y﹣1）2=1 D．（x+1）2+（y+2）2=108．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近于圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的（四舍五入精确到小数点后两位）的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin75°=0.1305）A．3.10 B．3.11 C．3.12 D．3.139．（5分）A为圆O：x2+y2=1上的点，B为直线l：x+y﹣2=0上的点，则线段AB 长度的最小值为（）A．B．2 C．﹣1 D．110．（5分）在区间（0，1）中随机取出两个数，则两数之和不小于的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）曲线y=与直线y=﹣x+b有两个不同的交点，则b的取值范围为（）A．﹣1＜b＜2 B．≤b＜2 C．≤b≤2 D．﹣2≤b≤212．（5分）直线x•（2t﹣1）﹣y（2t+1）+1=0（t∈R）的倾斜角为α，则α的范围是（）A．0≤α＜或＜α≤πB．≤α≤且α≠C．0≤α＜或＜α＜πD．0≤α＜二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知x与y之间的一组数据为：则y与x的回归直线方程y=bx+a必过定点．14．（5分）设圆x2+y2﹣4x﹣5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是15．（5分）根据下列程序，当a的输入值为2，b的输入值为﹣2时，输出值为a、b，则ab=．16．（5分）已知圆O：x2+y2=r2（r＞0），直线l：y=x+1．若圆O上恰有两个点到直线的距离是1，则r的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知直线l1：（m+1）x+y+m﹣2=0和直线l2：2x+my﹣1=0（m∈R）．（1）当l1⊥l2时，求实数m的值；（2）当l1∥l2时，求实数m的值．18．（12分）现有一个质地均匀的正四面体骰子，每个面上分别标有数字1、2、3、4，将这个骰子连续投掷两次，朝下一面的数字分别记为a，b，试计算下列事件的概率：（1）事件A：a=b；（2）事件B：函数f（x）=ax2﹣bx+1在区间[，+∞）上为增函数．19．（12分）我校名教师参加我县“六城”同创“干部职工进网络，服务群众进社区”活动，他们的年龄均在25岁至50岁之间，按年龄分组：第一组[25，30），第二组[30，35），第三组[35，40），第四组[40，45），第五组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示：如表是年龄的频数分布表．（1）求正整数a，b，N的值；（2）根据频率分布直方图估计我校这N名教师年龄的中位数和平均数；（3）从第一、二组用分层抽样的方法抽取4人，现在从这4人中任取两人接受咸丰电视台的采访，求从这4人中选取的两人年龄均在第二组的概率．20．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设AB终点为M，CF中点为N．（1）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）证明：直线MN∥面AEF；（3）若正方体棱长为2，求三棱锥M﹣AEF的体积．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣3x+1，数列{a n}（n∈N+）是递增的等差数列，a1=f（x+1），a2=0，a3=f（x﹣1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n+2，求数列{}（n∈N+）的前n项和．22．（12分）在直角坐标系xOy中，B（﹣1，0），C（1，0），动点A满足=m （m＞0且m≠1）．（1）求动点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）若m=，点P为动点A的轨迹曲线上的任意一点，过点P作圆：x2+（y ﹣2）2=1的切线，切点为Q．试探究平面内是否存在定点R，使为定值，若存在，请求出点R的坐标，若不存在，请说明理由．2016-2017学年湖北省恩施州咸丰一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={（x，y）|x+y﹣1=0}，B={（x，y）|x2+y2=1}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{（0，1），（1，0）}C．{（0，1）}D．{（1，0）}【解答】解：联立得：，解得：或，则A∩B={（0，1），（1，0）}，故选：B．2．（5分）98与63的最大公约数为a，二进制数110011（2）化为十进制数为b，则a+b=（）A．53 B．54 C．58 D．60【解答】解：∵由题意，98÷63=1 (35)63÷35=1…28，35÷28=1 (7)28÷7=4，∴98与63的最大公约数为7，可得：a=7，又∵110011=1+1×2+0×22+0×23+1×24+1×25=51，可得：b=51，（2）∴a+b=51+7=58．故选：C．3．（5分）在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足•＞0，则点P与圆C的位置关系是（）A．点P在圆C外部 B．点P在圆C上C．点P在圆C内部 D．不确定【解答】解：如图，∵只有点P在圆C外部时，∠APB为锐角；即为锐角；∴满足．故选：A．4．（5分）从一批产品中取出3件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A．事件B与C互斥B．事件A与C互斥C．任何两个均不互斥D．任何两个均互斥【解答】解：A为{三件产品全不是次品}，指的是三件产品都是正品，B为{三件产品全是次品}，C为{三件产品不全是次品}，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件．故选：A．5．（5分）2015年我校组织学生积极参加科技创新大赛，其中作品A获得省级奖，九位评委为作品A给出的分数如茎叶图所示，记分员算得的平均分为89，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员的计算无误，则数字x应该是（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：由茎叶图性质得：（86+87+88+88+89+90+90+90+x+92）=89，解得x=1．故选：C．6．（5分）已知sin2α=，则sin2（α+）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin2α=，则sin2（α+）===，故选：D．7．（5分）过A（0，1）、B（2，﹣1）两点的面积最小的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=5 C．（x+1）2+（y﹣1）2=1 D．（x+1）2+（y+2）2=10【解答】解：由题意可知面积最小的圆的圆心坐标为（，），即（1，0），半径r==，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+y2=2．故选：A．8．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近于圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的（四舍五入精确到小数点后两位）的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin75°=0.1305）A．3.10 B．3.11 C．3.12 D．3.13【解答】解：模拟执行程序，可得：k=0，S=3sin60°=，k=1，S=6×sin30°=3，k=2，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056≈3.11，退出循环，输出的值为3.11．故选：B．9．（5分）A为圆O：x2+y2=1上的点，B为直线l：x+y﹣2=0上的点，则线段AB 长度的最小值为（）A．B．2 C．﹣1 D．1【解答】解：因为圆心（0，0）到直线l：x+y﹣2=0上的距离d==＞1，所以圆和直线相离．大致图象如图圆心到直线的最短距离为．故线段AB的最小值为：d﹣r=﹣1．故选：C．10．（5分）在区间（0，1）中随机取出两个数，则两数之和不小于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设取出的两个数为x、y；则有0＜x＜1，0＜y＜1，其表示的区域为纵横坐标都在（0，1）之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y≥0.8表示的区域为直线x+y=0.8上方，且在0＜x＜1，0＜y＜1表示区域内部的部分，如图，易得其面积为1﹣×=1﹣=；则两数之和不小于0.8的概率是．故选：D．11．（5分）曲线y=与直线y=﹣x+b有两个不同的交点，则b的取值范围为（）A．﹣1＜b＜2 B．≤b＜2 C．≤b≤2 D．﹣2≤b≤2【解答】解：曲线y=与转化为：x2+y2=2（y≥0）表示一个半圆．曲线y=与直线y=﹣x+b相切时，b=2曲线y=与直线y=﹣x+b有两个不同的交点：≤b＜2故选：B．12．（5分）直线x•（2t﹣1）﹣y（2t+1）+1=0（t∈R）的倾斜角为α，则α的范围是（）A．0≤α＜或＜α≤πB．≤α≤且α≠C．0≤α＜或＜α＜πD．0≤α＜【解答】解：∵直线x•（2t﹣1）﹣y（2t+1）+1=0（t∈R）的倾斜角为α，∴tanα==1﹣，∵y=2t+1＞1，∴0＜＜2，∴﹣1＜1﹣＜1，∴0≤α＜或＜α＜π．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知x与y之间的一组数据为：则y与x的回归直线方程y=bx+a必过定点．【解答】解：∵回归直线方程必过样本中心点，∵，∴样本中心点是（，4）∴y与x的回归直线方程y=bx+a必过定点（，4）故答案为：（，4）14．（5分）设圆x2+y2﹣4x﹣5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是x+y﹣4=0【解答】解：由x2+y2﹣4x﹣5=0得：（x﹣2）2+y2=9，得到圆心O（2，0），所以求出直线OP的斜率为=1，根据垂径定理可知OP⊥AB所以直线AB的斜率为﹣1，过P（3，1），所以直线AB的方程为y﹣1=﹣1（x﹣3）即x+y﹣4=0故答案为x+y﹣4=015．（5分）根据下列程序，当a的输入值为2，b的输入值为﹣2时，输出值为a、b，则ab=．【解答】解：输入a=2，b=﹣2则a=a+b=2﹣2=0，b=a﹣b=0﹣（﹣2）=2故a==1b==﹣可得：ab=1×=﹣．故答案为：﹣16．（5分）已知圆O：x2+y2=r2（r＞0），直线l：y=x+1．若圆O上恰有两个点到直线的距离是1，则r的取值范围是1＜r＜1+．【解答】解：如图，∵原点O到直线l：y=x+1的距离d=．∴以O为圆心，以为半径的圆上仅有一点A到直线l的距离为1，当圆的半径r时，开始有两点满足到直线l的距离为1，到半径增大到为1+时，除直线l的右下方有两点满足条件外，左上方的B点也满足到直线l的距离为1．∴r的取值范围是1＜r＜1+．故答案为：1＜r＜1+．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知直线l1：（m+1）x+y+m﹣2=0和直线l2：2x+my﹣1=0（m∈R）．（1）当l1⊥l2时，求实数m的值；（2）当l1∥l2时，求实数m的值．【解答】解：（1）∵l1⊥l2，∴2（m+1）+m=0，解得m=﹣；（2）∵l1∥l2，∴，解得m=﹣2．18．（12分）现有一个质地均匀的正四面体骰子，每个面上分别标有数字1、2、3、4，将这个骰子连续投掷两次，朝下一面的数字分别记为a，b，试计算下列事件的概率：（1）事件A：a=b；（2）事件B：函数f（x）=ax2﹣bx+1在区间[，+∞）上为增函数．【解答】解：（1）有一个质地均匀的正四面体骰子，每个面上分别标有数字1、2、3、4，将这个骰子连续投掷两次，朝下一面的数字分别记为a，b，将骰子投掷一次有4种结果，所以投掷两次有16种结果，事件A：a=b包含4种结果，由古典概型的概率计算公式可得：事件A：a=b的概率P（A）=．（2）∵函数f（x）=ax2﹣bx+1在区间[，+∞）上为增函数．∴，即b，a＞0．∴事件B包含6种结果由古典概型的概率计算公式可得：事件B的概率P（B）=．19．（12分）我校名教师参加我县“六城”同创“干部职工进网络，服务群众进社区”活动，他们的年龄均在25岁至50岁之间，按年龄分组：第一组[25，30），第二组[30，35），第三组[35，40），第四组[40，45），第五组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示：如表是年龄的频数分布表．（1）求正整数a，b，N的值；（2）根据频率分布直方图估计我校这N名教师年龄的中位数和平均数；（3）从第一、二组用分层抽样的方法抽取4人，现在从这4人中任取两人接受咸丰电视台的采访，求从这4人中选取的两人年龄均在第二组的概率．【解答】解：（1）由频率分布表知[25，30）内有人数为5人，由频率分布图得[25，30）内的频率为0.02×5=0.1，∴N==50，由频率分布表得[30，35）和[35，40）的频率分别为0.06×5=0.3，0.08×5=0.4，∴a=0.3×50=15，b=0.4×50=20．（2）设中位数为x，由频率分布直方图得：（x﹣35）×0.08=0.1，解得x=36.25，∴中位数为36.25．平均数为：27.5×0.1+32.5×0.3+37.5×0.4+42.5×0.1+47.5×0.1=36.5．（3）由题意在第一组抽取1人，记为A，在第二组抽取3人，记为B、C、D，∴从这4人中任意抽取2人共有：AB、AC、AD、BC|BD|CD六种结果，其中2人均在第二组的有：BC、BD、CD三种结果，∴从这4人中选取的两人年龄均在第二组的概率为p=．20．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设AB终点为M，CF中点为N．（1）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）证明：直线MN∥面AEF；（3）若正方体棱长为2，求三棱锥M﹣AEF的体积．【解答】解：（1）将正方体的平面展开图还胡成该正方体的直观图，将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处，如右图：证明：（2）设P为BE中点，连MP、NP，∵N为CF中点，∴NP∥EF，NP⊄面AEF，EF⊂面AEF，∴NP∥面AEF，又∵M为AB中点，∴MP AE，∵MP⊄面AEF，AE⊂面MNP，∴MP∥面AEF，而MP∩NP=P，MP、NP⊂面MNP，∴面MNP∥面AEF，∵MN⊂面MNP，∴MN∥面AEF．解：（3）∵正方体棱长为2，∴三棱锥M﹣AEF的体积：V M﹣AEF=V F﹣AEM==．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣3x+1，数列{a n}（n∈N+）是递增的等差数列，a1=f（x+1），a2=0，a3=f（x﹣1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n+2，求数列{}（n∈N+）的前n项和．【解答】解：（1）由题意：a1+a3=（x+1）3﹣3（x+1）+1+（x﹣1）3﹣3（x﹣1）+1=2a2=0，解得：x=1或x=2；若x=2，则a1=f（x+1）=1，a2=0，a3=f（x﹣1）=﹣1．（不合题意，舍去），若x=1，则a1=f（2）=﹣1，a2=0，a3=f（0）=1．∴数列{a n}的通项公式为：a n=﹣1+1×（n﹣1）=n﹣2，（2）由（1）知b n=a n+2=n，∴==﹣∴数列{}的前项和为：1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=22．（12分）在直角坐标系xOy中，B（﹣1，0），C（1，0），动点A满足=m （m＞0且m≠1）．（1）求动点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）若m=，点P为动点A的轨迹曲线上的任意一点，过点P作圆：x2+（y ﹣2）2=1的切线，切点为Q．试探究平面内是否存在定点R，使为定值，若存在，请求出点R的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设A（x，y），∵动点A满足=m（m＞0且m≠1）．∴=m化简得动点的轨迹方程为：（x﹣）2+y2=表示以（，0）为圆心，为半径的圆．（2）由（1）当m=时，动点A的轨迹方程为：（x﹣2）2+y2=3，设P（x，y）∴x2+y2=4x﹣1假设在平面内存在点R（a，b）使得=λ（其中λ为正常数）∴=λ化简得：x2+y2﹣4y+3=λ2（x2+y2）﹣2aλ2x﹣2bλ2y+λ2（a2+b2），∵x2+y2=4x﹣1，∴4x﹣4y+2=λ2（4﹣2a）x﹣2bλ2y+λ2（a2+b2﹣1），对于任意满足（x﹣2）2+y2=3的P（x，y）恒成立∴解得或∴存在点R（1，1）或（，）满足题意赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。