用三种方式表示二次函数练习题
初中数学专题：二次函数的三种表达方式
专题：二次函数的三种表达方式一、知识要点1、一般式c bx ax y ++=2（三点式）；2、交点式))((21x x x x a y --=；3、顶点式h k x a y +-=2)(。
二、知识运用典型例题例1、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过A （0，6），B （1，0），C （3，0）；（1）求a ，b ，c 的值；（2）求抛物线的对称轴、顶点坐标；（3）当x 为何值时，函数值小于零？（4）求顶点和抛物线与x 轴两交点构成的三角形的面积；例2、（08临沂）如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。
(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由;(3)若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。
例3、（新疆06）二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于A 点．（1）根据图像确定a ，b ，c 的符号，并说明理由；（2）如果点A 的坐标为（0，－3），∠ABC ＝45°，∠ACB ＝60°，求这个二次函数的解析式．例4、（宁波07）已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点C )3,0(，O 是原点，(1)求这条抛物线的解析式；(2)设此抛物线与x 轴的交点为A ，B （A 在B 的左边），问在y 轴上是否存在点P ，使以O ，B ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，请求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由。
三、知识运用课堂训练1、已知抛物线c bx ax y ++=2过点（0，1-），且与x 轴只有一个交点（2-，0），求其解析式；2、已知一个二次函数的图象进如图所示的三个点； （1）求抛物线的对称轴； （2）平行于x 轴的直线l 的解析式为425=y ，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，在抛物线的对称轴上找点P ，使BP 的长等于直线l 与x 轴间的距离。
中考数学总复习《二次函数的三种形式》练习题附带答案
中考数学总复习《二次函数的三种形式》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与c的部分对应值如下表则下列判断中正确的是().A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=3时，y＜0D．方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根2．若b<0，则二次函数y=x2-bx-1的图象的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．将二次函数y=2x2﹣4x+1化成顶点式是（）A．y=2（x+1）2﹣1B．y=2（x﹣1）2﹣1C．y=2（x+1）2+1 D．y=2（x﹣1）2+14．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y=（x+1）2+4B．y=（x﹣1）2+4C．y=（x+1）2+2D．y=（x﹣1）2+25．二次函数y＝x2－6x＋5的图像的顶点坐标是（）A．(－3，4)B．(3，－4)C．(－1，2)D．(1，－4)6．把二次函数y=x2-4x+3化成y=a（x-h）2+k的形式是（）A．y=（x-2）2-1B．y=（x+2）2-1C．y=（x-2）2+7D．y=（x+2）2+77．抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为（）A．直线x=1B．直线x=-1C．直线x=2D．直线x=-28．已知二次函数的解析式为：y=-3（x+5）2﹣7，那么下列说法正确的是（）A．顶点的坐标是（5，-7）B．顶点的坐标是（-7，-5）C．当x=-5时，函数有最大值y=-7D．当x=-5时，函数有最小值y=-79．在平面直角坐标系中，抛物线y=-（x-2）2+1的顶点是点P，对称轴与x轴相交于点Q，以点P为圆心，PQ长为半径画⊙P，那么下列判断正确的是（）A．x轴与⊙P相离；B．x轴与⊙P相切；C．y轴与⊙P与相切；D．y轴与⊙P相交．10．若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x-2）2+k，则b、k的值分别为（）A．0，5B．0，1C．-4，5D．-4，111．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，AE⊙x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm，则右轮廓DFE 所在抛物线的解析式为（）A．y= 14（x+3）2B．y= 14（x﹣3）2C．y=﹣14（x+3）2D．y=﹣14（x﹣3）212．抛物线y=−(x−1)2−2的顶点坐标是（）A．（－1，－2）B．（－1，2）C．（1，－2）D．（1，2）二、填空题(共6题；共6分)13．将二次函数y=﹣2x2+6x﹣5化为y=a（x﹣h）2+k的形式，则y=．14．一抛物线和另一抛物线y=﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为15．已知某抛物线的顶点是(2,−1)，与y轴的交点到原点的距离为3，则该抛物线的解析式为．16．关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为.17．将二次函数y=x2﹣2x+4化成y=（x﹣h）2+k的形式，则y=．18．将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为．三、综合题(共6题；共74分)19．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连结OA，二次函数y=x2图象从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设二次函数顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短，并求出二次函数的表达式；（3）当线段PB最短时，二次函数的图象是否过点Q（a，a﹣1），并说理由．20．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，⊙AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．21．用配方法将二次函数化成y=a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴（1）y=2x2+6x﹣12（2）y=﹣0.5x2﹣3x+3．22．已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图像；（3）利用图象求当x为何值时，函数值y＜0（4）当x为何值时，y随x的增大而减小？（5）当﹣3＜x＜3时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围．23．已知二次函数y=x2−4x+3.（1）将y=x2−4x+3化成y=a(x−ℎ)2+k的形式：；（2）这个二次函数图象与x轴交点坐标为；（3）这个二次函数图象的最低点的坐标为；（4）当y<0时，x的取值范围是.24．已知二次函数y=x2﹣2x﹣3．（1）用配方法将解析式化为y=（x﹣h）2+k的形式；（2）求这个函数图象与x轴的交点坐标．参考答案1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】B12．【答案】C13．【答案】﹣2（x﹣32）2﹣1214．【答案】y=﹣2（x+2）2+115．【答案】y=(x−2)2−1或y=−12(x−2)2−116．【答案】( 32,- 14)17．【答案】（x﹣1）2+318．【答案】y=x2-8x+20．19．【答案】（1）解：设直线OA的解析式为y=kx∵A（2，4）∴2k=4，解得k=2∴线段OA所在直线的函数解析式为y=2x；（2）解：∵顶点M的横坐标为m，且在OA上移动，∴y=2m（0≤m≤2），∴M（m，2m），∴抛物线的解析式为y=（x﹣m）2+2m∴当x=2时，y=（2﹣m）2+2m=m2﹣2m+4（0≤m≤2）∴PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3（0≤m≤2）∴当m=1时，PB最短当PB最短时，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2+2；（3）解：若二次函数的图象是过点Q（a，a﹣1）则方程a﹣1=（a﹣1）2+2有解．即方程a2﹣3a+4=0有解∵⊙=（﹣3）2﹣4×1×4=﹣7＜0．∴二次函数的图象不过点Q．20．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2）将B（0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a，即a= 1 2则抛物线解析式为y= 12（x+4）（x﹣2）=12x2+x﹣4；（2）解：过M作MN⊙x轴将x=m代入抛物线得：y= 12m2+m﹣4，即M（m，12m2+m﹣4）∴MN=| 12m2+m﹣4|=﹣12m2﹣m+4，ON=﹣m∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB=4∴⊙AMB的面积为S=S⊙AMN+S梯形MNOB﹣S⊙AOB= 12×（4+m）×（﹣12m2﹣m+4）+ 12×（﹣m）×（﹣12m2﹣m+4+4）﹣12×4×4=2（﹣12m2﹣m+4）﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4当m=﹣2时，S取得最大值，最大值为4．21．【答案】（1）解：y=2x2+6x﹣12=2（x+ 32）2﹣32，则该抛物线的顶点坐标是（﹣32，﹣32）对称轴是x=﹣3 2（2）解：y=﹣0.5x2﹣3x+3=﹣12（x+3）2+ 152，则该抛物线的顶点坐标是（﹣3，152），对称轴是x=﹣322．【答案】（1）解：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即y=（x﹣1）2﹣4（2）解：由（1）可知，y=（x﹣1）2﹣4，则顶点坐标为（1，﹣4）令x=0，则y=﹣3∴与y轴交点为（0，﹣3）令y=0，则0=x2﹣2x﹣3，解得x1=﹣1，x2=3∴与x轴交点为（﹣1，0），（3，0）．列表：x…﹣10 123…y=x2﹣2x﹣3…0﹣3﹣4﹣30…（3）解：由图象知，当﹣1＜x＜3时，函数值y＜0（4）解：由图象知，当x＜1时，y随x的增大而减小（5）解：当x=﹣3时，y=9+6﹣3=12，则﹣3＜x＜3时，0＜y＜1223．【答案】（1）y＝（x－2）2－1（2）（1，0）或（3，0）（3）（2，－1）（4）1＜x＜324．【答案】（1）解：y=（x2﹣2x+1）﹣4=（x﹣1）2﹣4（2）解：令y=0，得x2﹣2x﹣3=0解得x1=3，x2=﹣1∴这条抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）。
二次函数的三种表示方式(解析版)
二次函数的三种表示方式高中必备知识点1：一般式形如下面的二次函数的形式称为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；典型考题【典型例题】已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）． （1）求抛物线的表达式．（2）已知点（m ，k ）和点（n ，k ）在此抛物线上，其中m ≠n ，请判断关于t 的方程t 2+mt +n ＝0是否有实数根，并说明理由．【答案】（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）方程有两个不相等的实数根． 【解析】（1）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，3） 9a ﹣3b +c ＝0930312a b c c b a⎧⎪-+=⎪=-⎨⎪⎪-=-⎩ 解得a ＝1，b ＝2，c ＝﹣3 ∴抛物线y ＝x 2+2x ﹣3；（2）∵点（m ，k ），（n ，k ）在此抛物线上， ∴（m ，k ），（n ，k ）是关于直线x ＝﹣1的对称点， ∴+2m n＝﹣1 即m ＝﹣n ﹣2 b 2﹣4ac ＝m 2﹣4n ＝（﹣n ﹣2）2﹣4n ＝n 2+4＞0∴此方程有两个不相等的实数根．【变式训练】抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。
(结果化成一般式)【答案】【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4把点（3，0）代入解析式，得：4a+4，即a=-1所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4故答案是y=-x2+2x+3．【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线. （1）求抛物线的解析式（化为一般式）；（2）直接写出抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.【答案】(1) ;(2)4.【解析】 （1）抛物线的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为，抛物线的解析式为；（2）顶点坐标为，且抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积，抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.高中必备知识点2：顶点式形如下面的二次函数的形式称为顶点式：y ＝a (x -h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(h ，k )．典型考题【典型例题】已知二次函数21322y x x =-++． ⑴用配方法将此二次函数化为顶点式； ⑵求出它的顶点坐标和对称轴方程．【答案】（1）()21122y x =--+；（2）（1，2），直线1x = 【解析】 （1）21322y x x =-++()21232y x x =--- ()2121132y x x =--+--()212142y x x ⎡⎤=--+-⎣⎦ ()21142y x ⎡⎤=---⎣⎦()21122y x =--+（2）∵()21122y x =--+∴顶点坐标为（1，2），对称轴方程为直线1x =.【变式训练】已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），且经过（1，﹣6），求这个二次函数的解析式． 【答案】二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2． 【解析】∵二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），∴设抛物线顶点式解析式y=a （x+1）2+2，将（1，﹣6）代入得，a （1+1）2+2=﹣6， 解得a=﹣2，所以，这个二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．【能力提升】二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．【答案】（1）322--=x x y ；（2）（1，-4）；（3）5【解析】（1）设c bx ax y ++=2，把点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，代入得 ⎪⎩⎪⎨⎧=---=++-=03343b a c b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴322--=x x y ；（2）∵4)1(3222--=--=x x x y∴函数的顶点坐标为（1，-4）； （3）∵|1-0|+|-4-0|=5∴二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点．高中必备知识点3：交点式形如下面的二次函数的形式称为交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．典型考题【典型例题】已知在平面直角坐标系中，二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的图象与 x 轴有两个交点． （1）求 k 的取值范围；（2）当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标．【答案】（1）k ＜；（2）（﹣2，0）和（0,0）.【解析】（1）∵图象与x轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴解得（2）∵k 为正整数，∴k=1．∴令y=0，得解得∴交点为（﹣2，0）和（0，0）.【变式训练】已知二次函数的图象经过点(3，－8)，对称轴是直线x＝－2，此时抛物线与x轴的两交点间距离为6.(1)求抛物线与x轴两交点坐标；(2)求抛物线的解析式．【答案】(1)(－5，0)，(1，0)；（2）y＝－x2－2x＋.【解析】(1) ∵因为抛物线对称轴为直线x=-2，且图象与x轴的两个交点的距离为6，∴点A、B到直线x=-2的距离为3，∴A为（-5，0），B为（1，0）；(2)设y＝a(x＋5)(x－1)．∵点(3，－8)在抛物线上，∴－8＝a(3＋5)(3－1)，a＝－，∴y＝－x2－2x＋.【能力提升】已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．【答案】（1）二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0），抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）图见详解；当y＜0时，1＜x＜3．【解析】（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）函数图象如图：由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．专题验收测试题1．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+1 B．y＝﹣2（x+3）2﹣5C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣5 D．y＝﹣2（x+3）2+1【答案】B【解析】解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为：y＝﹣2（x+3）2﹣5．故选：B．2．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【答案】A【解析】解：二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标为（1，3）．故选：A．3．若二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，则k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】D【解析】∵二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，∴△＝b2﹣4ac＝0，即8﹣4k（k+1）＝0，解得：k1＝1，k2＝﹣2，当k＝1时，k+1＞0，此时图象有最低点，不合题意舍去，则k的值为：﹣2．故选：D．4．已知二次函数为常数，且），（）A．若，则的增大而增大；B．若，则的增大而减小；C．若，则的增大而增大；D．若，则的增大而减小；【答案】C【解析】解：∵y=ax2+（a+2）x-1对称轴直线为，x=-=-．由a＜0得，-＞0．∴-＞-1．又∵a＜0∴抛物线开口向下．故当x＜-时，y随x增大而增大．又∵x＜-1时，则一定有x＜-．∴若a＜0，则x＜-1，y随x的增大而增大．故选：C．5．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）【答案】B【解析】解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；B、顶点坐标是（1，2），正确；C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；故选：B．6．将抛物线y＝x2﹣x+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．y＝x2+3x+6 B．y＝x2+3x C．y＝x2﹣5x+10 D．y＝x2﹣5x+4【答案】A【解析】，当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得.故选A．7．把抛物线y＝ax2+bx+c图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y＝x2+5x+6，则a﹣b+c的值为（）A．2 B．3 C．5 D．12【答案】B【解析】y＝x2+5x+6＝（x+）2﹣．则其顶点坐标是（﹣，﹣），将其右左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到（﹣）．故原抛物线的解析式是：y＝（x+）2+＝x2+x+3．所以a＝b＝1，c＝3．所以a﹣b+c＝1﹣1+3＝3．故选B．8．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（）A．若k≠1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0B．若k＜1，m＞0，则二次函数y的最大值大于0C．若k＝1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0D．若k＞1，m＜0，则二次函数y的最大值大于0【答案】B【解析】∵y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m＝﹣（x+1）2+（k﹣1）2+m，∴当x＝﹣1时，函数最大值为y＝（k﹣1）2+m，则当k＜1，m＞0时，则二次函数y的最大值大于0．故选：B．9．关于抛物线，下列说法错误．．的是（）．A．开口向上B．与轴只有一个交点C．对称轴是直线D．当时，的增大而增大【答案】B【解析】解：A、，抛物线开口向上，所以A选项的说法正确；B、当时，即，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点，所以B选项的说法错误；C、抛物线的对称轴为直线，所以C选项的说法正确；D、抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，所以D选项的说法正确．故选：B．10．将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣3（x﹣2）2+4 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣2C．y＝﹣3（x+2）2+4 D．y＝﹣3（x+2）2﹣2【答案】D【解析】将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝﹣3（x+2）2+1；再向下平移3个单位为：y＝﹣3（x+2）2+1﹣3，即y＝﹣3（x+2）2﹣2．故选D．11．已知抛物线经过点，则该抛物线的解析式为__________．【答案】【解析】解：将A、O两点坐标代入解析式得：，解得：，∴该抛物线的解析式为：y=.12．二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，则a的值为______．【答案】-1【解析】解：∵二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，∴a2-1=0，∴a=±1，∵a-1≠0，∴a≠1，∴a的值为-1．故答案为：-1．13．将二次函数y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位，得到新的二次函数的顶点式为______．【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：将抛物线y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位后，得到的抛物线的表达式为y=（x-2）2+1，故答案为：y=（x-2）2+1．14．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．【答案】y＝2（x+3）2+1【解析】抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2+1．故答案为：y＝2（x+3）2+115．在平面直角坐标系xOy 中，函数y = x2的图象经过点M (x1 , y1 ) ，N (x2 , y2 ) 两点，若- 4< x1<-2，0< x2<2 ，则y1 ____ y2 . （用“ <”，“=”或“>”号连接）【答案】>【解析】解：抛物线y=x2的对称轴为y轴，而M（x1，y1）到y轴的距离比N（x2，y2）点到y轴的距离要远，所以y1＞y2．故答案为：＞．16．小颖从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下列信息：；；；；．你认为其中正确信息的个数有______．【答案】【解析】解：抛物线的对称轴位于y轴左侧，则a、b同号，即，抛物线与y轴交于正半轴，则，所以，故错误；如图所示，当时，，所以，故正确；对称轴，，则如图所示，当时，，，，故正确；如图所示，当时，，故错误；综上所述，正确的结论是：．故答案是：．17．已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴的交点坐标为（m﹣2，0）和（2m+1，0）．（1）若x＜0时，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若y ＝1时，自变量x 有唯一的值，求二次函数的解析式． 【答案】（1）31=m （2）y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3和y ＝﹣x 2﹣16x ﹣63． 【解析】解：（1）由题意可知，二次函数图象的对称轴为x ＝2213122m m m -++-=，∵a ＝﹣1＜0，∴二次函数的图象开口向下， ∵x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴312m -≥0， 解得m ≥13，（2）由题意可知，二次函数的解析式为y ＝﹣（x ﹣312m -）2+1， ∵二次函数的图象经过点（m ﹣2，0）， ∴0＝﹣（m ﹣2﹣312m -）2+1， 解得m ＝﹣1和m ＝﹣5，∴二次函数的解析式为y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3和y ＝﹣x 2﹣16x ﹣63． 18．设二次函数y 1＝ax 2+bx +a ﹣5（a ，b 为常数，a ≠0），且2a +b ＝3． （1）若该二次函数的图象过点（﹣1，4），求该二次函数的表达式；（2）y 1的图象始终经过一个定点，若一次函数y 2＝kx +b （k 为常数，k ≠0）的图象也经过这个定点，探究实数k ，a 满足的关系式；（3）已知点P （x 0，m ）和Q （1，n ）都在函数y 1的图象上，若x 0＜1，且m ＞n ，求x 0的取值范围（用含a 的代数式表示）．【答案】（1）y ＝3x 2﹣3x ﹣2；（2）k ＝2a ﹣5；（3）x 0<．【解析】解：（1）∵函数y 1＝ax 2+bx +a ﹣5的图象经过点（﹣1，4），且2a +b ＝3 ∴，∴，∴函数y 1的表达式为y ＝3x 2﹣3x ﹣2； （2）∵2a +b ＝3∴二次函数y1＝ax2+bx+a﹣5＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，整理得，y1＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2∴当x＝1时，y1＝﹣2，∴y1恒过点（1，﹣2）∴代入y2＝kx+b得∴﹣2＝k+3﹣2a得k＝2a﹣5∴实数k，a满足的关系式：k＝2a﹣5（3）∵y1＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5∴对称轴为x＝﹣，∵x0＜1，且m＞n∴当a＞0时，对称轴x＝﹣，解得，当a＜0时，对称轴x＝﹣，解得（不符合题意，故x0不存在）故x0的取值范围为：19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A和点B（1）求该二次函数的解析式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．【答案】(1) y＝x2﹣4x﹣6；（2）对称轴为x＝2；顶点坐标是（2，﹣10）．【解析】（1）根据题意，得，解得，∴所求的二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣6．（2）又∵y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10，∴函数图象的对称轴为x＝2；顶点坐标是（2，﹣10）．20．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），C为抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）【解析】（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）．将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：解得：b＝2，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．（2）∵将x＝0代y＝x2+2x﹣3入，得y＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．∴OC＝3．∵点B的坐标为（1，0），∴OB＝1．设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．∵S△POC＝2S△BOC，∴12OC•|a|＝12OC•OB，即12×3×|a|＝2×12×3×1，解得a＝±2．当a＝2时，点P的坐标为（2，5）；当a＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，﹣3）．∴点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）．21．已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≠0）．（1）直接写出该抛物线的对称轴．（2）试说明无论a为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．【答案】（1）；（2）抛物线一定经过点.【解析】解：（1）该抛物线的对称轴为x=-;（2）可化为，当，即时，，抛物线一定经过点.22．如图，已知点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，)在抛物线y=ax2+bx+c 上.(1)求抛物线解析式；(2)在第一象限的抛物线上求一点P，使△PBC的面积为.【答案】(1)；(2)点P的坐标为(1，2)或(2，).【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将C(0，)代入，得-3a=，解得∴抛物线的解析式为(2)过点P作PD⊥x轴于D.设点，∴S四边形ACOB=S梯形PDOC+S△PBD =(=∴S△PBC=S四边形PCOB- S△BOC=整理得，解得x=1或x=2.∴点P的坐标为(1，2)或(2，)。
用三种方法表示二次函数习题及答案
用三种方法表示二次函数1. 函数的三种表示方法是、、 ．2. 已知点2(1)m m +，在函数22y x x =+的图像上，则m = ．3. 有三个点坐标(11)A -，-，(02)B -，，(11)C ，． （1）求经过此三个点的抛物线的函数表达式； （2）用列表法表示此抛物线； （3）由图像法表示此抛物线．4. 抛物线2y ax bx c =++与2y x =的形状相同，对称轴是直线2x =，且顶点在直线132y x =+上． 用函数表达式表示此抛物线．5. 11个人到书店去为单位买书，每人都买了若干本，其中买书最多的人买了100本书，证明这11人中必有两人，他们买的书相差不到10本．6. 有这样的算式1111111112612203042567290++++++++． 你能正确而又迅速地算出它的结果吗？7. 已知二次函数2y x bx c =++的图像过点(0)A c ，，且关于直线2x =对称，则这个二次函数的函数表达式可能是（只要写出一个可能的表达式）．8. 完成下表：9. 两个数的和为8，这两个数的面积的最大值是 ． 10. 根据表格写出y 与x 的函数关系式,并作出图像．11. 一块矩形木板长5cm ，宽4cm ，若长，宽各锯去cm x 后，剩下的木板的面积为y cm 2，则y 与x 之间的函数关系式是什么？当剩下的木板的面积为8.75cm 2时，长，宽各锯去多少？12. 已知抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(41)-，，与y 轴交于点(03)C ，，O 是原点，（1）求这条抛物线的解析式；（2）设此抛物线与x 轴的交点为A ，B （A 在B 的左边），问在y 轴上是否存在点P ，使以O ，B ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，请求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．13. 有一个二次函数的图像，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线2x =；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3． 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式：14. 已知二次函数22y ax =-的图像经过点（1，1-）．求这个二次函数的表达式，并判断该函数图像与x 轴的交点的个数．15. 已知抛物线的对称轴是1x =，它与直线12y x k =+相交于点(11)A -，，与y 轴相交于点(03)B ，，求解下列问题： （1）求k 的值；（2）求抛物线的函数表达式； （3）求抛物线的顶点坐标．16. 目前国内最大跨径的钢管混凝土拱桥——永和大桥，是南京市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一部分（如图1），在正常情况下，位于水平上的桥拱跨度为350m ，拱高为85m ．（1）在所给的直角坐标系中（如图2），假设抛物线的表达式为2y ax b =+，请你根据上述数据求出a ，b 的值，并写出抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围，a ，b 的值保留两个有效数字）．（2）七月份汛期将要来临，当邕江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上涨4m 时，位于水面上的桥拱跨度有多少大（结果保留整数）？17. 一个长方形的周长是8cm ，一边长是cm x ，则这个长方形的面积y 与边长x 的函数关系用图像表示为（ ）图1图218. 一个三角形的一边长和这边上的高的和为20cm ，则这个三角形的面积最大可达到2cm ．19. 用长为100m 的金属丝制成一个矩形框子，则该框子的最大面积是2m ．20. （1）作出下面每个图形的对角线，并完成表格：（2）如果用n 表示多边形的边数，m 表示这个多边形的对角线条数，那么m 和n 的关系如何？ 21. 二次函数图象如图所示，试写出它的代数表达式．22. 如图，正方形ABCD 的边长为8cm ，P 为BC 上一点，Q 在CD 上，AP PQ ⊥，cm BP x =，cm CQ y =．求y 与x 的函数关系式，以及线段CQ 的长最大可达到多长．(1-23. 试写出一个开口向上，对称轴为直线2x =，并且与y 轴的交点坐标是(0)，3的抛物线的函数表达式．24. 已知抛物线562+-=x x y 的部分图象如图，则抛物线的对称轴为直线x = ，满足y ＜0的x 的取值范围是 ，将抛物线562+-=x x y 向 平移 个单位，可得到抛物线962+-=x x y ．25. 已知123A A A 、、是抛物线212y x =上的三点，112233A B A B A B 、、分别垂直于x 轴，垂 足为123B B B 、、，直线22A B 交线段13A A 于点C ．（１） 如图11－1，若123A A A 、、三点的横坐标依次为1、2、3，求线段2CA 的长； （２） 如图11－2，若将抛物线212y x =改为抛物线2112y x x =-+，123A A A 、、三点 的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段2CA 的长； （３） 若将抛物线212y x =改为抛物线2y ax bx c =++，123A A A 、、三点的横坐标为 连续整数，其他条件不变，请猜想线段2CA 的长（用a b c 、、表示，并直接写出答案）．y3A 3Ayyx图11－1 图11－2 答案： 1.解析式列表法图像法2.34-3.（1）设所求抛物线的函数式为2y ax bx c =++，由121a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，，，得212a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，，2211722248y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭． （2）略．（3）略．4.抛物线的形状与2y x =相同，1a =±．又抛物线对称轴是直线2x =，顶点在132y x =+上，顶点为(24)，．∴所求抛物线为2(2)4y x =±-+，即248y x x =-+或24y x x =-+．5.因买书买得最多的人买了100本，所以每人买书不多于100本．把1到100这100个数分成如下的91组：{}1210，，，，{}2311，，，，{}3412，，，，{}4513，，，，，{}9192100，，，，因共有11人，故至少有两个人买书的本数在上面的同一个数组中，这两个人所买的书相差不到10本． 6.解：11111111111111126129012233491022334910191.10101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=7.24y x x =-或243y x x =-+等 8.0.04，0.09 9.1610.2y x =，图略11.2920y x x =-+，1.5cm 12.（1）21234y x x =-+（2）存在，点P 的坐标：（0，4），（0，4-），（0，9），（0，9-） 13.243y x x =-+，答案不唯一 14.22y x =-，与x 轴的交点有两个 15.（1）32k =-（2）2483y x x =-+（3）11(-)， 16.解：（1）桥拱高度85OC =m ，即抛物线过点C （0，85），所以85b =．又由已知得：350AB =m ，即点A 、B 的坐标分别为（175-，0），（175，0）．解得0.0028a ≈． 所求抛物线的表达式为：20.002885y x =-+（2）所以设DE 为水位上升4m 后的桥拱跨度， 即当4y =时，有240.002885x =-+．170x =±∴．D ∴、E 两点的坐标分别为（170-，0）、（170，0）．170170340ED ≈+=∴（m ）， 答：当水位上涨4m 时，位于水面上的桥拱跨度为340m 17.A 18.50 19.62520.（1）作图略；依次填：0，2，5，9，14，20． （2）2113(3)222m n n n n =-=-． 21.设2y ax bx c =++，则09304.a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，故123.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，，223y x x ∴=-++． 22.90APQ ∠=，90APB CPQ ∴∠+∠=．又90BAP APB ∠+∠=，BAP CPQ ∴∠=∠． 又90B C ∠=∠=，∴△ABP ∽△PCQ ．AB BP PC CQ ∴=，即88x x y =-，222111(8)(4)2888y x x x x x =-+=--=--+．故当4x =时，y 有最大值2，即线段CQ 的长最大可达到2cm ． 23.243y x x =-+ 24.3x =， 15x << 25.解：（１）方法一：123A A A 、、三点的横坐标依次为1、2、3，222112233111191223.22222A B A B A B ∴=⨯==⨯==⨯=，，设直线13A A 的解析式为y kx b =+．12239.3.22k k b b k b ⎧==+⎧⎪⎪⎪∴⎨⎨=-⎪⎪=+⎩⎪⎩，， 解得∴直线13A A 的解析式为322y x =-．23522.22CB ∴=⨯-=2222512.22CA CB A B ∴=-=-=方法二：123A A A 、、三点的横坐标依次为1、2、3，222112233111191223.22222A B A B A B ∴=⨯==⨯==⨯=，，由已知可得11332113311195().22222A B A B CB A B A B ⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭∥，2222512.22CA CB A B ∴=-=-= （２）方法一：设123A A A 、、三点的横坐标依次为11n n n -+、、 则222112233111(1)(1)11(1)(1) 1.222A B n n A B n n A B n n =---+=-+=+-++，， 设直线13A A 的解析式为y kx b =+．221(1)(1)(1)121(1)(1)(1) 1.2n k b n n n k b n n ⎧-+=---+⎪⎪∴⎨⎪++=+-++⎪⎩，解得2113.22k n b n =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，∴直线13A A 的解析式为213(1)22y n x n =--+．2221313(1).2222CB n n n n n ∴=--+=-+22222213111.2222CA CB A B n n n n ∴=-=-+-+-=方法二：设123A A A 、、三点的横坐标依次为11n n n -+、、． 则222112233111(1)(1)11(1)(1) 1.222A B n n A B n n A B n n =⨯---+=-+=+-++，， 由已知可得1133211331()2A B A B CB A B A B =+∥， 22111(1)(1)1(1)(1)1222n n n n ⎡⎤=---+++-++⎢⎥⎣⎦213.22n n =-+ 22222213111.2222CA CB A B n n n n ⎛⎫∴=-=-+--+= ⎪⎝⎭ （３）当0a >时，2CA a =；当0a <时，2CA a =-．。
用三种方式表示二次函数练习
用三种方式表示二次函数练习目标导航经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．基础过关1．边长为12cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为x 的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y （cm 2）与x （cm ）之间的函数表达式为 ． 2．等边三角形的边长2x 与面积y 之间的函数表达式为 ．3．抛物线y =ax 2＋bx ＋c （c ≠0）如图所示，回答：（1）这个二次函数的表达式是 ； （2）当x = 时，y =3； （3）根据图象回答：当x 时，y ＞0．4．已知抛物线y =－x 2＋（6－2k ）x ＋2k －1与y 轴的交点位于（0，5）上方，则k 的取值范围是 ．5．两个数的和为8，若设其 中一个数为x ，积为y ，则y 与x 的函数表达式为 ，这两个数的积最大可以为 ．6．若两个数的差为3，若其中较大的数为x ，则它们的积y 与x 的函数表达式为 ，它有最 值，即当x = 时，y = ．7．抛物线y =x 2＋kx －2k 通过一个定点，这个定点的坐标为 ． 8．已知抛物线y =x 2＋x ＋b 2经过点（a ，14）和（－a ，y 1），则y 1的值是 ．3题图 11题图 12题图9．若抛物线y =ax 2＋b 不经过第三、四象限，则抛物线y =ax 2＋bx ＋c （ ）A ．开口向上，对称轴是y 轴B ．开口向下，对称轴是y 轴C ．开口向上，对称轴平行于y 轴D ．开口向下，对称轴平行于y 轴10．二次函数y =－x 2＋bx ＋c 图象的最高点是（－1，－3），则b 、c 的值是（ ）A ．b =2，c =4B ．b =2，c =4C ．b =－2，c =4D ．b =－2，c =－4．11．已知函数y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）A ．0＜－ab 2＜1 B ．0＜－ab 2＜2 C ．1＜－ab 2＜2 D ．－ab 2=112．二次函数y = ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①c ＜0；②b ＞0；③4a ＋2b＋c ＞0；④（a ＋c ）2＜b 2．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 13．有一个函数图像经过下列各点：（－2，3），（－1，0），（0，－1），（1，0），（2，3）．（1）请你描述该函数图像．（2）写出两个变量间的函数关系式．（3）你能通过表格的形式，列出两个变量的对应值，使两个变量间的关系满足（2）中的关系式吗?14．一个三角形的底边和这边上的高的和为10，这个三角形的面积最大可以达到多少? 15．正方形的周长为L，面积为S，用L表示出函数S的关系式16．某二次函数用表格表示如下：（1（2）说明x为何值时，y随x的增大而增大．（3）你能用表达式表示这个函数关系吗?能力提升17．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，P是BC上的点，PD∥AC交AB于D，PE∥AB 交AC于E，设PB为x，四边形ADPE的面积为y．求y与x之间的函数关系式．AEDB P18．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数表达式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元 （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？19．美好而难忘的初中生活即将结束了，在一次难忘同窗情的班会上，有人出了这样一道题，如果在散会后全班每两个同学之间都握一次手，那么全班同学之间共握了多少次？ 为解决该问题，我们可把该班人数n 与握手次数s 间的关系用下面的模型来表示．（1）若把n 作为点的横坐标，s 作为点的纵坐标，根据上述模型的数据，在给出的平面直角坐标系中，找出相应5个点，并用平滑的曲线连接起来．（2）根据图象中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上，如果在，写出该函数的表达式．（3）根据（2）中的表达式，求该班56名同学间共握了多少次手？聚沙成塔20．它们的位置有什么关系？ ①抛物线2112y x =--是由抛物线212y x =-怎样移动得到的？ ②抛物线21(1)2y x =-+是由抛物线212y x =-怎样移动得到的？ ③抛物线21(1)12y x =-+-是由抛物线2112y x =--怎样移动得到的？ ④抛物线21(1)12y x =-+-是由抛物线21(1)2y x =-+怎样移动得到的？⑤抛物线21(1)12y x =-+-是由抛物线212y x =-怎样移动得到的？。
2.4~2.5 二次函数y=ax2+bx+c的图象、用三种方式表示二次函数
2.4~2.5 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象、用三种方式表示二次函数一、填空1.抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.2.抛物线y=21(x+3)2的顶点坐标是______. 3.将抛物线y=3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.4.在同一坐标系中，二次函数y=－21x 2，y=x 2，y=－3x 2的开口由大到小的顺序是______. 5.抛物线y=－41x 2+1，y=－41(x+1)2与抛物线y=－41(x 2+1)的_____相同，_____不同.6.已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是______.7.函数y=34x －2－3x 2有最_____值为_____. 8.如图1所示的抛物线：当x=_____时，y=0；当x<－2或x>0时， y_____0；当x 在_____范围内时，y>0；当x=_____时，y 有最大值_____.9.二次函数y=3x 2-2x+1的图像是开口方向_______,顶点是________, 对称轴是__________. 10.二次函数y=2x 2+bx+c 的顶点坐标是(1,-2),则b=_____,c=_____.11.二次函数y=ax 2+bx+c 中,a>0,b<0,c=0,则其图像的顶点是在第_____象限. 12.如果函数y=(k-3)232k k x -++kx+1是二次函数,则k 的值一定是_______.13.二次函数y=12x 2+3x+52的图像是由函数y=12x 2的图像先向_____平移____个单位,再向_____平移_____个单位得到的.14.已知二次函数y=mx 2+(m-1)x+m-1的图像有最低点,且最低点的纵坐标是零,则m=_______. 15.已知二次函数y=x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3的图像与函数y=-x 2+6x 的图 像交于y 轴一点,则m=_______.16.如图所示,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像, 试确定下列各式的符号:a____0,b____0,c_____0;a+b+c_____0,a-b+c_____0.17.函数y=(x+1)(x-2)的图像的对称轴是______,顶点为________.18.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______. 19.二次函数y=x 2+kx+1与y=x 2－x －k 的图象有一个公共点在x 轴上，则k=______.20.已知抛物线y=ax 2+bx+c ，其中a<0，b>0，c>0，则抛物线的开口方向______；抛物线与x 轴的交点是在原点的______；抛物线的对称轴在y 轴的______.21.如图1中的抛物线关于x 轴对称的抛物线的表达式为______. 22.函数y=mx 2+x －2m(m 是常数)，图象与x 轴的交点有_____个.图1图223.当m=_____时，抛物线y=mx 2+2(m+2)x+m+3的对称轴是y 轴；当m=_____时，图象与y 轴交点的纵坐标是1；当m=_____时，函数的最小值是－2.24.若二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图2所示，则直线y=abx+c 不经过_____象限. 25.二次函数y=mx 2+2x+m －4m 2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.二、选择1.抛物线y=x 2+1的图象大致是( )2.函数y=21x 2+2x+1写成y=a(x －h)2+k 的形式是（ ） A.y=21(x －1)2+2; B.y=21(x －1)2+21; C.y=21(x －1)2－3 ;D.y=21(x+2)2－1 3.若函数y=4x 2+1的函数值为5，则自变量x 的值应为( )A.1B.－1C.±1D.223 4.抛物线y=－2x 2－x+1的顶点在第_____象限（ ）A.一B.二C.三D.四5.抛物线y=21x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( ) A.y=21(x+3)2－2; B.y=21(x －3)2+2C.y=21(x －3)2－2 ;D.y=21(x+3)2+26.二次函数y=(3－m)x 2－2mx －m 的图象如图所示，则m 的取值范围是( ) A.m>0; B.m<0 ; C.m<3; D.0<m<37.不论m 取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a ≠0)的顶点都( )A.在y=x 直线上;B.在直线y=－x 上;C.在x 轴上;D.在y 轴上8.任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线y=2x 2+n ，如当n=0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是( ) A.1个; B.2个; C.3个; D.4个9.二次函数y=x 2+px+q 中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中( )A.(－1，1)B.(1，－1)C.(－1，－1)D.(1，1) 10.函数y=ax+b 的图象经过一、二、三象限，则二次函数y=ax 2+bx 的大致图象是()11.下列说法错误的是( )A.二次函数y=－2x 2中，当x=0时，y 有最大值是0B.二次函数y=4x 2中，当x>0时，y 随x 的增大而增大C.在三条抛物线y=2x 2，y=－0.5x 2，y=－x 2中，y=2x 2的图象开口最大，y=－x 2的图象开口最小D.不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点 12.若二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，则点(a+b ，ac)在()A.第一象限;B.第二象限C.第三象限;D.第四象限13.已知二次函数y=x 2+(2k+1)x+k 2－1的最小值是0，则k 的值是( )A.43; B.－43; C.45; D.－45 14.若二次函数y=x 2－2x+c 图象的顶点在x 轴上，则c 等于( )A.－1B.1C.21D.215.小颖在二次函数y=2x 2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)， (－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为( )A.y 1>y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1C.y 3>y 1>y 2D.y 3>y 2>y 1 16.物体在地球的引力作用下做自由下落运动，它的运动规律可以表示为：s=21gt 2.其中s 表示自某一高度下落的距离，t 表示下落的时间，g 是重力加速度.若某一物体从一固定高度自由下落，其运动过程中下落的距离s 和时间t 函数图象大致为( )ABCD三、解答题:1.试分别说明将抛物线：(1)y=(x+1)2；(2)y=(x －1)2；(3)y=x 2+1；(4)y=x 2－1的图象通过怎样的平移得到y=x 2的图象.2.已知一次函数y=－2x+c 与二次函数y=ax 2+bx －4的图象都经过点A(1，－1)，二次函数的对称轴直线是x=－1，请求出一次函数和二次函数的表达式.3.把8米长的钢筋，焊成一个如图4所示的框架，使其下部为矩形， 上部为半圆形.请你写出钢筋所焊成框架的面积y(平方米)与半圆的 半径x(米)之间的函数关系式.4.当一枚火箭被竖直向上发射后，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=－5t 2+150t+10表示.经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？5.已知抛物线y=ax 2(a>0)上有两点A 、B ，其横坐标分别为－1，2，请探求关于a 的取值情况，△ABO 可能是直角三角形吗？不能，说明理由；能是直角三角形，写出探求过程，并与同伴交流.6.观察图中正六边形“蜘蛛网”的变化规律：(1)完成下表：边上的小点数 1 2 3 4 5 (2)如果用n m 和n 的关系是什么？7.心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x(分钟)之间满足函数关系：y=－0.1x 2+2.6x+43(0≤x ≤30)，y 值越大表示接受能力越强.(1)x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10 分钟时，学生的接受能力是多少？几分钟时，学生的接受能力最强？ (3)结合本题针对自己的学习情况有何感受？8.有这样一道题：“已知二次函数y=ax 2+bx+c 图象过P(1，－4)，且有c=－3a ，……求证这个二次函数的图象必过定点A(－1，0).”题中“……”部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.(1)你能根据题中信息求这个二次函数表达式吗？若能，请求出；若不能，请说明理由. (2)请你根据已有信息，在原题“……”处添上一个适当的条件，把原题补充完整. 9.把抛物线y=－3(x －1)2向上平移k 个单位，所得的抛物线与x 轴交于点A(x 1，0)，B(x 2，0)，若x 12+x 22=926，请你求出k 的值.10.一个三角形的底边和这边上的高的和为10, 这个三角形的面积最大可以达到多少?11.正方形的周长为L,面积为S,用L 表示出函数S 的关系式.12.如图,△ABC 是边长为4的等边三角形,P 是BC 上的点,PD ∥AC 交AB 于D,PE ∥AB 交AC 于E,设PB 为x,四边形ADPE 的面积为y.求y 与x 之间的函数关系式.13.一个运动员练习推铅球,铅球刚出手时,离地面53米,铅球落地点离铅球刚出手时相应的地面的点10米,铅球运行中最高点离地面3米, 已知铅球走过的 路线是抛物线,求该抛物线的函数关系式.11.抛物线y=x 22的顶点在直线y=2上,求a 的值.14.如图所示,公园要造圆形的喷水池, 在水池中央垂直于水面处安装一个 柱子OA,O 恰在水面中心,OA=1.25m,由柱子顶端A 处的喷头向外喷水,水 流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下,为使水流形状较为漂亮,要求 设计成水流在离OA 距离为1m处达到距水面距离最大高度2.25m.。
中考数学《二次函数的三种形式》专项练习题及答案
中考数学《二次函数的三种形式》专项练习题及答案一、单选题1．二次函数y=-2（x-1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（-1，3）C．（1，-3）D．（-1，-3）2．二次函数y=（x+1）2-1图象的顶点坐标是( )A．（1，1）B．（1，-1）C．（-1，1）D．（-1，-1）3．抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为（）A．直线x=1B．直线x=-1C．直线x=2D．直线x=-24．二次函数y=3（x-2）2-1的图象的顶点坐标是（）A．（2，-1）B．（-2，-1）C．（2，1）D．（-2，1）5．若b＞0，则二次函数y=x2+2bx﹣1的图象的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．将抛物线y=2x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为（）A．y=2（x+2）2+3B．y=（2x﹣2）2+3C．y=（2x+2）2﹣3D．y=2（x﹣2）2+37．对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点(2，3)且抛物线经过点(3，1)，那么抛物线解析式是() A．y =-2x2 + 8x +3B．y =-2x2 –8x +3C．y = -2x2 + 8x –5D．y =-2x2 –8x +28．二次函数y＝x2－6x＋5的图像的顶点坐标是（）A．(－3，4)B．(3，－4)C．(－1，2)D．(1，－4)9．把二次函数y=x2-4x+3化成y=a（x-h）2+k的形式是（)A．y＝(x－2)2－1B．y＝(x＋2)2－1C．y＝(x－2)2＋7D．y＝(x＋2)2＋710．抛物线y=(x−2)2+1的顶点坐标是()A．(−2， −1)B．(−2， 1)C．(2， −1)D．(2， 1)11．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下列函数关系式：h=-5（t-1）2+6，则小球距离地面的最大高度是A．1米B．5米C．6米D．7米12．已知二次函数的解析式为：y=-3（x+5）2﹣7，那么下列说法正确的是（）A．顶点的坐标是（5，-7）B．顶点的坐标是（-7，-5）C．当x=-5时，函数有最大值y=-7D．当x=-5时，函数有最小值y=-7二、填空题13．将抛物线y=﹣﹣12x2﹣3x+1写成y=a（x+h）2+k的形式应为．14．如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x﹣2）2+1，那么c的值为15．将二次函数y=x2+4x﹣2配方成y=（x﹣h）2+k的形式，则y=．16．若y=x2﹣2x﹣3化为y=（x﹣m）2+k的形式（其中m，k为常数），则m+k=；当x=时，二次函数y=x2+2x﹣2有最小值．17．把二次函数y=（x﹣2）2+1化为y=x2+bx+c的形式，其中b、c为常数，则b+c=．18．将二次函数y=x2−4x+5化成y=a(x−ℎ)2+k的形式为.三、综合题19．如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．20．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∥PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和点C（0，3），对称轴为直线x=1．（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；（2）结合图象，解答下列问题：①当﹣1＜x＜2时，求函数y的取值范围．②当y＜3时，求x的取值范围．22．已知二次函数y=x2−2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？23．把下列函数化为y=a（x+m）2+k形式，并求出各函数图象的顶点坐标、对称轴、最大值或最小值：（1）y=x2﹣2x+4；（2）y=100﹣5x2．24．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，点P为抛物线上第一象限内一动点，当∥BCP面积最大时，求点P的坐标；（3）设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．参考答案1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】D11．【答案】C12．【答案】C13．【答案】y=﹣12（x+3）2+11214．【答案】515．【答案】（x+2）2﹣616．【答案】-4；-117．【答案】118．【答案】y=(x−2)2+119．【答案】（1）解：∵OM=ON=4∴M点坐标为（4，0），N点坐标为（0，4）设抛物线解析式为y=a（x﹣4）2把N（0，4）代入得16a=4，解得a= 1 4所以抛物线的解析式为y= 14（x﹣4）2= 14x2﹣2x+4（2）解：∵点A的横坐标为t ∴DM=t﹣4∴CD=2DM=2（t﹣4）=2t﹣8把x=t代入y= 14x2﹣2x+4得y= 14t2﹣2t+4∴AD= 14t2﹣2t+4∴l=2（AD+CD）=2（14t2﹣2t+4+2t﹣8）= 12t 2﹣8（t ＞4） 20．【答案】（1）解：将点B （3，0）、C （0，3）代入抛物线y=x 2+bx+c 中得： {0=9+3b +c 3=c ，解得： {b =−4c =3 ∴抛物线的解析式为y=x 2﹣4x+3．（2）解：设点M 的坐标为（m ，m 2﹣4m+3），设直线BC 的解析式为y=kx+3 把点点B （3，0）代入y=kx+3中 得：0=3k+3，解得：k=﹣1 ∴直线BC 的解析式为y=﹣x+3． ∵MN∥y 轴∴点N 的坐标为（m ，﹣m+3）．∵抛物线的解析式为y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1 ∴抛物线的对称轴为x=2 ∴点（1，0）在抛物线的图象上 ∴1＜m ＜3．∵线段MN=﹣m+3﹣（m 2﹣4m+3）=﹣m 2+3m=﹣ 12 + 94∴当m= 32 时，线段MN 取最大值，最大值为 94 ．（3）解：假设存在．设点P 的坐标为（2，n ）． 当m= 32 时，点N 的坐标为（ 32 ， 32） ∴PB= √(2−3)2+(n −0)2 = √1+n 2 ，PN= √(2−32)2+(n −32)2 ，BN= √(3−32)2+(0−32)2=3√22．∥PBN 为等腰三角形分三种情况：①当PB=PN 时，即 √1+n 2 = √(2−32)2+(n −32)2解得：n= 12此时点P 的坐标为（2， 12）；②当PB=BN 时，即 √1+n 2 = 3√22解得：n=± √142此时点P 的坐标为（2，﹣ √142 ）或（2， √142）；③当PN=BN 时，即 √(2−32)2+(n −32)2 = 3√22解得：n= 3±√172此时点P 的坐标为（2， 3−√172 ）或（2， 3+√172）．综上可知：在抛物线的对称轴l 上存在点P ，使∥PBN 是等腰三角形，点的坐标为（2， 12）、（2，﹣√142 ）、（2， √142 ）、（2， 3−√172 ）或（2， 3+√172）． 21．【答案】（1）解：根据题意得 {a −b +c =0c =3−b2a =1 ，解得 {a =−1b =2c =3，所以二次函数关系式为y=﹣x 2+2x+3，因为y=﹣（x ﹣1）2+4 所以抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）解：①当x=﹣1时，y=0；x=2时，y=3；而抛物线的顶点坐标为（1，4），且开口向下 所以当﹣1＜x ＜2时，0＜y≤4；②当y=3时，﹣x 2+2x+3=3，解得x=0或2 所以当y ＜3时，x ＜0或x ＞2．22．【答案】（1）解：∵∥=（﹣2m ）2﹣4×1×（m 2+3）=4m 2﹣4m 2﹣12=﹣12＜0∴方程x 2﹣2mx+m 2+3=0没有实数解， 即不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点； （2）解：y=x 2﹣2mx+m 2+3=（x ﹣m ）2+3∴把函数y=x 2﹣2mx+m 2+3的图象沿y 轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点．23．【答案】（1）解：y=x 2﹣2x+4=x 2﹣2x+1+3=（x ﹣1）2+3．顶点坐标是（1，﹣1），对称轴为x=1，最小值为﹣1 （2）解：y=100﹣5x 2．顶点坐标是（0，100），对称轴为x=0，最大值为10024．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣3）把C （0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x ﹣3），即y=﹣x 2+2x+3 （2）解：设直线BC 的解析式为y=kx+m把B （3，0），C （0，3）代入得 {3k +m =0m =3 ，解得 {k =−1m =3所以直线BC 的解析式为y=﹣x+3 作PM∥y 轴交BC 于M ，如图1设P（x，﹣x2+2x+3），（0＜x＜3），则M（x，﹣x+3）∴PM=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x∴S∥PCB= 12•3•PM=﹣32x2+ 92=﹣32（x﹣32）2+ 278当x= 32时，∥BCP的面积最大，此时P点坐标为（32，154）（3）解：如图2抛物线的对称轴为直线x=1当四边形BCDQ为平行四边形，设D（1，a），则Q（4，a﹣3）把Q（4，a﹣3）代入y=﹣x2+2x+3得a﹣3=﹣16+8+3，解得a=﹣2∴Q（4，﹣5）；当四边形BCQD为平行四边形时，设D（1，a），则Q（﹣2，3+a）把Q（﹣2，3+a）代入y=﹣x2+2x+3得3+a=﹣4﹣4+3，解得a=﹣8∴Q（﹣2，﹣5）；当四边形BQCD为平行四边形时，设D（1，a），则Q（2，3﹣a）把Q（2，3﹣a）代入y=﹣x2+2x+3得3﹣a=﹣4+4+3，解得a=0∴Q（2，3）综上所述，满足条件的Q点坐标为（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）或（2，3）．。
【课课练】九年级数学下册 2.5 用三种方式表示二次函数测试题
３),那 么 函 数 的 解 析 式 是 ．
(第 ３ 题 )
５．把
y＝
１２x２
－３
的
图
象
向
平
移
个
单
位
得
y＝
１ ２
(x－２)２－３
的
图
象
,再
向
平
移
个单位ຫໍສະໝຸດ 得y＝１ ２
(x－２)２＋１
的
图
象
．
６．有一根长为４０cm 的铁丝,把它弯成一个矩形框,当矩形框的长、宽各是多少时,矩形面 积最大? 最大面积是多少? 利用图象描述矩形面积的长、宽之间的关系．
∴ 球能越过网．
x＝１８ 时 ,y＝ －６１０(１８－６)２＋２．６＝０．２＞０,
∴ 球会过界．
(３)x＝０,y＝２,代入到y＝a(x－６)２＋h 得a＝２３－６h;
x＝９ 时 ,y＝２３－６h＝ (９－６)２＋h＝２＋４３h＞２．４３,
①
x＝１８ 时 ,y＝２３－６h(１８－６)２＋h＝８－３h＞０,
(第 １４ 题 )
５．用 三 种 方 式 表 示 二 次 函 数
１．(１)y＝ －x２＋１０x (２)略 (３)略 (４)① 对 称 轴 直 线 x＝５ 顶 点 坐 标 (５,２５) ②２５ ③当０＜x≤５时,y 随x 的增大而增大; 当５≤x＜１０时,y 随x 的增大而减小; 当 x＝５ 时 , y 有最大值２５．
５．用三种方式表示二次函数
１．记 住 二 次 函 数 有 三 种 表 达 方 式 ——— 列 表 法 、图 象 法 、解 析 法 ． ２．掌握用解析式法表示二次函数的三 种 表 达 式:一 般 式、顶 点 式、交
点 式 的 特 征 ,会 灵 活 运 用 适 当 的 方 法 求 二 次 函 数 的 表 达 式 ．
用三种方式表示二次函数 习题精选
用三种方式表示二次函数习题精选（一）一、基础巩固1.如图34-2-2所示，长方体的底面是边长为x cm的正方形,高为6 cm.请你用含x的代数式表示这个长方形的侧面展开图的面积S=＿＿＿.长方形的体积为V=＿＿＿，各边长的和L=＿＿＿，在上面的三个函数中，＿＿＿是关于的二次函数.m，求S与c的函数关系式.2.正方形周长是cm，面积是S23．抛物线y＝2x2的顶点坐标是________，对称轴是________，开口向________．4．抛物线y＝－x2＋2的顶点坐标是________，对称轴是________，开口向________．5．把抛物线y＝3x2沿x轴向________平移________个单位即可得到抛物线y＝3(x－1)2；把抛物线y＝3x2沿x轴向________平移________个单位即可得到抛物线y＝3(x＋2)2．6．在一块长为30 m、宽为20 m的矩形地面上修建一个正方形花台．设正方形的边长为x m，除去花台后，矩形地面的剩余面积为y m2，则y与x之间的函数关系表达式是________________________；自变量x的取值范围是________．y 有最大值或最小值吗？若有，其最大值是________，最小值是________．这个函数的图象有何特点？二、能力提高1．如图，甲、乙两船分别从相距10海里的两地A，B同时出发，甲船以2节的速度沿AB向正西方向行驶，乙船以6节的速度向正南方向行驶，直到甲船到达B地为止．设t时后，两船距离的平方为y，则(1)用函数表达式表示是：y＝________________________；(2)用表格表示：(3)用图象表示：(4)在这个问题中，自变量t的取值范围是________________________；图象的对称轴是________，顶点坐标是________；当t＜________时，y的值随t值的增大而________，当t＞________时，y的值随t值的增大而________(填“增大”或“减小”)；当t＝________时，y取得最小值为________．2．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种汽车进行测试，测得数据如下表：(1)以车速为x轴、以刹车距离为y轴建立直角坐标系，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用光滑的曲线连接这些点，得到函数的大致图象；(2)观察图象和表格，估计函数的类型并确定一个满足这些数据的函数表达式；(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5 m，请推测刹车时的速度．事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 m，BC＝12 m，点P从点A出发沿AB边向B以1 m/s的速度运动，同时点Q从点B出发，沿BC边向点C以2 m/s的速度运动，P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止运动．设经过t (s)时△PBQ的面积为S m2，则(1)用函数表达式表示是：S＝________________________________；(2)用表格表示：(3)用图象表示：(4)在这个问题中，自变量t的取值范围是________________________；图象的对称轴是________________，顶点坐标是________________；当t＜________时，S的值随t值的增大而________，当t＞________时，S的值随t值的增大而________(填“增大”或“减小”)；当t＝________时，S取得最大值为________．三、学以致用1．某产品每件的成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(台)之间的关系是y＝－x＋200．为获得最大销售利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少？2．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部住满；若每床每晚收费每提高2元，则会出现10张空床位．为了获得最大利润，每床每晚收费应提高多少元？3．心理学研究表明，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：min)之间满足函数关系；y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)．y值越大，表示接受能力越强．根据这一结论，(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10 min时，学生的接受能力是多少？(3)何时学生的接受能力最强？答案：一、基础巩固1．24x 62x8x＋24 V=62x2．221()416c s c==3．(0，0) y轴上4．(0，－2) y轴下5．右一左 26．y＝600－x2，0≤x≤20，最大值600，最小值200．二、能力提高1．(1) y＝10t2－40t＋100；(2) 略；(3) 略；(4) 0≤t≤5，直线t＝2，(2，60) ，2，减小；2，增大；2，60．2．(1) 略；(2) y＝0.002x2＋0.01x；(3) 车速为150 km/h，超速行驶．3．(1) S＝－t2＋6t；(2) 略；(3) 略；(4) 0≤t≤6；直线t＝3，(3，9) ；3，增大，3，减小；3，9．三、学以致用1．160元，1 600 元．2．5元．3．(1) 0≤x≤13，13≤x≤30；(2) 59；(3) 第13 min．。
用三种方式表示二次函数
用三种方式表示二次函数【知识要点】1．二次函数列表表示法二次函数列表法对于表中已有的自变量的每一个值，可以直接找到对应的函数值，使用起来很方便，不足之处在于很难把自变量与函数的全部对应值都列出来，且从表中也不容易发现自变量与函数值之间的对应规律．2．二次函数图象表示法3．二次函数解析式表示法二次函数解析式有三种形式：（1）一般式：()0,,,2≠++=a c b a c bx ax y 为常数；（2）顶点式：()()0,,,2≠+-=a k h a k h x a y 为常数； （3）两根式：()()()0,,,2121≠--=a x x a x x x x y 是常数．【经典例题】例1．根据下列条件，求抛物线的解析式．（1）经过点（0，-1），（1，12-），（-2，-5）； （2）经过点（-3，2），顶点是（-2，3）；（3）与x 轴两交点坐标分别为()1-、()1+，并且与y 轴交于点（0，-2）．例2． 已知抛物线q px x y ++=2与x 轴只有一个公共点，坐标为()0,2-，求此抛物线的解析式．例3．已知二次函数2y ax bx c =++的最大值是2，图像顶点在直线1y x =+上，并且图像经过点（3,-6），求,,a b c 的值．例4．抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于()0,2-A ，对称轴是直线2=x ，顶点C 到x 轴的距离是12，求此抛物线的解析式．例5．设二次函数2y ax bx c =++，当x =4时取得最大值16，且它的图象在x 轴上截得的线段长4，求其解析式。
例6．如果抛物线22(1)1y x m x m =-+-++与x 轴交于A 、B 两点，且A 点在x 轴的正半轴，B 点在x 轴的负半轴，OA 的长是a ，OB 的长是b 。
（1）求m 的取值范围。
（2）若a ：b=3：1，求m 的值，并写出抛物线的解析式。
例7．已知抛物线2y ax bx c =++与直线4y kx =+相交于点A （1，m ）、B （4，8），与x 轴交于坐标原点O 和点C ．（1）求直线和抛物线解析式．（2）在x 轴上方的抛物线是否存在D 点，使得OCD OCB S S ∆∆=．如果存在，求出所有符合条件的点；如果不存在，说明理由．。
中考数学专项复习《二次函数的三种形式》练习题带答案
中考数学专项复习《二次函数的三种形式》练习题带答案一、单选题1．二次函数y=x 2﹣2x+4化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式，下列正确的是（ ）A ．y=（x ﹣1）2+2B ．y=（x ﹣1）2+3C ．y=（x ﹣2）2+2D ．y=（x ﹣2）2+42．抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的对称轴和顶点坐标分别是（ ）．A ．x=1，（1，﹣4）B ．x=1（1，4）C ．x=﹣1，（﹣1，4）D ．x=﹣1，（﹣1，﹣4）3．把y=4x 2﹣4x+2配方成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式是（ ）A ．y=（2x ﹣1）2+1B ．y=（2x ﹣1）2+2C ．y=（x ﹣ 12）2+1D ．y=4（x ﹣ 12）2+24．若把抛物线y ＝x 2－2x ＋1先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则b 、c 的值为（ ） A ．b ＝2，c ＝－2 B ．b ＝－8，c ＝14 C ．b ＝－6，c ＝6D ．b ＝－8，c ＝185．直角坐标平面上将二次函数y=x 2-2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ） A ．（0，0）B ．（1，-1）C ．（0，-1）D ．（-1，-1）6．将二次函数y=x 2+4x ﹣8化为y=（x+m ）2+n 的形式正确的是（ ）A ．y=（x+2）2+8B ．y=（x+2）2﹣8C ．y=（x+2）2+12D ．y=（x+2）2﹣127．若b<0，则二次函数y=x 2-bx-1的图象的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．通过配方法将二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）化成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式，此二次函数可变形为（ ）A ．y=a （x+ b 2a ）2+ 4ac−b 24aB ．y=a （x ﹣ b 2a ）2+ 4ac−b 24aC ．y=a （x+ b 2a ）2+ b 2−4ac 4aD ．y=a （x ﹣ b 2a ）2+ b 2−4ac 4a9．将二次函数y=x 2﹣2x+3化为y=（x ﹣h ）2+k 的形式，结果为（ ）A ．y=（x+1）2+4B ．y=（x+1）2+2C ．y=（x ﹣1）2+4D ．y=（x ﹣1）2+210．抛物线y=﹣ 15 x 2+ 25x ﹣1，经过配方化成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式是（ ）A ．y =15(x +1)2−45B ．y =15(x −1)2+45C ．y =15(x −1)2−45D ．y =15(x +1)2+4511．如图，在 ΔABC 中 ∠B =90° ，tan ∠C =34,AB=6cm.动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动.若P,Q 两点分别从A,B 两点同时出发，在运动过程中 ΔPBQ 的最大面积是( )A ．18cm 2B ．12cm 2C ．9cm 2D ．3cm 212．如图，在平面直角坐标系中抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2（x ﹣h ）2+k ，则下列结论正确的是( )A ．h ＞0，k ＞0B ．h ＜0，k ＞0C ．h ＜0，k ＜0D ．h ＞0，k ＜0二、填空题13．二次函数 y =−x 2+2x +3 的图象与 x 轴交于 A 、 B 两点， P 为它的顶点，则S △PAB = ．14．把二次函数的表达式y=x 2﹣6x+5化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式，那么h+k= 15．将二次函数y=x 2﹣2x+4化成y=（x ﹣h ）2+k 的形式，则y= ． 16．若二次函数y=x 2+bx+5配方后为y=（x ﹣2）2+k ，则b+k= ．17．若将二次函数y=x 2﹣2x+3配方为y=（x ﹣h ）2+k 的形式，则y= ． 18．已知抛物线的表达式是y =2(x +2)2−1，那么它的顶点坐标是 ；三、综合题19．如图，抛物线的顶点M 在x 轴上，抛物线与y 轴交于点N ，且OM=ON=4，矩形ABCD 的顶点A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．20．已知二次函数y= 2x2 -4x-6.（1）用配方法将y= 2x2 -4x-6化成y=a (x-h) 2 +k的形式；并写出对称轴和顶点坐标。
中考数学《二次函数的三种形式》专项练习题(带答案)
中考数学《二次函数的三种形式》专项练习题（带答案）一、单选题1．如图，在ΔABC中，∠B=90°，tan ∠C=34,AB=6cm.动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发，在运动过程中，ΔPBQ的最大面积是()A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm22．抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x-1）2-4，则b、c的值为()A．b=2，c=﹣6B．b=2，c=0C．b=﹣6，c=8D．b=﹣6，c=23．把二次函数y=-14x2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式（）A．y=-14（x+2）2+2B．y=14（x-2）2+4C．y=-14（x+2）2+4D．y=(12x-12)2+34．若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②m>−14；③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，符合题意结论的个数是（）A．0B．1C．2D．35．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．36．对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点(2，3)且抛物线经过点(3，1)，那么抛物线解析式是() A．y =-2x2 + 8x +3B．y =-2x2 –8x +3C．y = -2x2 + 8x –5D．y =-2x2 –8x +27．若二次函数y=x2+bx+5，配方后为y=（x﹣3）2+k，则b与k的值分别为（）A．﹣6，﹣4B．﹣6，4C．6，4D．6，﹣48．函数图象过点（0，4），顶点坐标是（-2，3）的二次函数解析式( ) A．y=14（x-2）2-3B．y=14（x-2）2+3C．y=14（x+2）2+3D．y=14（x+2）2-39．用配方法求抛物线y=x2﹣4x+1的顶点坐标，配方后的结果是（）A．y=（x﹣2）2﹣3B．y=（x+2）2﹣3C．y=（x﹣2）2﹣5 D．y=（x+2）2﹣510．二次函数y=(x-1)2+2图象的顶点坐标是（）A．(1，-2)B．(1，2)C．(-1，2)D．(-1，-2)11．函数y=2x（x-3）中，二次项系数是（）A．2B．2x2C．－6D．-6x12．若二次函数y=x2−mx+6配方后为y=(x−2)2+k，则m, k 的值分别为（）A．0，6B．0，2C．4，6D．4，2二、填空题13．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是．（只需写一个）14．将抛物线y=﹣﹣12x2﹣3x+1写成y=a（x+h）2+k的形式应为．15．抛物线y=(x-1)(x+5)的对称轴是直线．16．如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x﹣2）2+1，那么c的值为17．将二次函数y=x2﹣2x化为顶点式的形式为：．18．二次函数y=x2+4x+66的最小值为三、综合题19．初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？20．已知二次函数y=−12x2+x+32．（1）将y=−12x2+x+32化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；（2）指出该二次函数的图象的顶点坐标；（3）请用描点法画出此二次函数的图象．21．抛物线y=ax+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：（1）根据上表填空：①抛物线与x轴的交点坐标是和；②抛物线经过点（－3，）；（2）试确定抛物线y=ax2+bx+c的解析式．22．对于二次函数y= 12x2﹣3x+4（1）配方成y=a（x﹣h）2+k的形式．（2）求出它的图象的顶点坐标和对称轴．（3）求出函数的最大或最小值．23．已知二次函数y=−x2+4x+5，完成下列各题：（1）将函数关系式用配方法化为y=a(x+ℎ)2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．（2）求出它的图象与坐标轴的交点坐标．（3）在直角坐标系中，画出它的图象．（4）根据图象说明：当x为何值时，y>0；当x为何值时，y<0．24．已知△OAB在直角坐标系中的位置如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，OA=OB=6，△AOB=30°．（1）求点A、B的坐标；（2）开口向上的抛物线经过原点O和点B，设其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；（3）设半径为2的△P与直线OA交于M、N两点，已知MN=2 √3，P（m，2）（m＞0），求m 的值．参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】A12．【答案】D13．【答案】y=2x2﹣114．【答案】y=﹣12（x+3）2+11215．【答案】x=-216．【答案】517．【答案】y=（x﹣1）2﹣118．【答案】220．【答案】（1）解：y=−12x2+x+32=−12(x2−2x)+32=−12(x−1)2+2（2）解：由（1）知，该二次函数的图象的顶点坐标为(1,2)（3）解：列表：x…−10123…y…0 1.52 1.50…图象如图所示：21．【答案】（1）（-2，0）；（1，0）；8（2）解：依题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-1）由点（0，-4）在函数图象上，代入得-4=a（0+2）（0-1）解得：a=2．∴y=2（x+2）（x-1）即所求抛物线解析式为y=2x2+2x-422．【答案】（1）解：y= 12x2﹣3x+4= 12（x2﹣6x）+4= 12[（x﹣3）2﹣9]+4= 12（x﹣3）2﹣12（2）解：由（1）得：图象的顶点坐标为：（3，﹣1 2）对称轴为：直线x=3（3）解：∵a= 12＞0∴函数的最小值为：﹣1 223．【答案】（1）解：y=-x2+4x+5=-（x2-4x+4）+9=-（x-2）2+9；故它的顶点坐标为（2，9）、对称轴为：x=2（2）解：图象与x轴相交是y=0，则：0=-（x-2）2+9解得x1=5，x2=-1∴这个二次函数的图象与x轴的交点坐标为（5，0），（-1，0）；当x=0时，y=5∴与y轴的交点坐标为（0，5）（3）解：画出大致图象为（4）解：-1＜x＜5时y＞0；x＜-1或x＞5时y＜024．【答案】（1）解：如图1作AC△OB于C点由OB=OA=6，得B点坐标为（6，0）由OB=OA=6，△AOB=30°，得OA=3 √3AC= 12OA=3，OC=OA•cos△AOC= √32∴A点坐标为（3 √3，3）；（2）解：如图2由其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形，得OC=BC=CE= 12OB=3即E点坐标为（3，﹣3）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2﹣3，将B点坐标代入，解得a= 13抛物线的解析式为y= 13（x﹣3）2﹣3化简得y= 13x2﹣2x；（3）解：如图3PN=2，CN= √3，PC=1△CNP=△AOB=30°NP△OBNE=2，得ON=4由勾股定理，得OE= √ON2−NE2=2 √3，即N（2 √3，2）．N向右平移2个单位得P（2 √3+2，2）N向左平移2个单位，得P（2 √3﹣2，2）m的值为2 √3+2或2 √3﹣2．。
2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--二次函数的三种形式
2023年中考九年级数学高频考点专题训练--二次函数的三种形式一、综合题1．已知二次函数y=x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）（1）当k= 12时，将这个二次函数的解析式写成顶点式；（2）求证：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根．2．求二次函数的顶点坐标和对称轴．（1）用配方法：y=3x2﹣6x+2；（2）用公式法：y=﹣5x2+80x﹣319．3．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C.（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标.4．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．5．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？6．利用配方法，把下列函数写成y=a（x﹣h）2+k的形式，并写出它们图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）y=﹣x2+6x+1（2）y=2x2﹣3x+4（3）y=﹣x2+nx（4）y=x2+px+q．7．对于二次函数y= 12x2﹣3x+4，（1）配方成y=a（x﹣h）2+k的形式．（2）求出它的图象的顶点坐标和对称轴．（3）求出函数的最大或最小值．8．已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图像；（3）利用图象求当x为何值时，函数值y＜0（4）当x为何值时，y随x的增大而减小？（5）当﹣3＜x＜3时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围．9．如图，△M的圆心M（﹣1，2），△M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣12x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是△M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF△y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．11．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F 四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN△BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM△△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN△BC，交AC于点N，连结CM，当△CMN 的面积最大时，求点M的坐标；（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l△x轴于H，交抛物线于点M，过点C作CF△l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时（与点M重合）①求点F的坐标；②求线段OD的长；③试探究在直线l上，是否存在点G，使△EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在点D的运动过程中，连接CM，若△COD△△CFM，请直接写出线段OD的长．14．如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得SΔMAP=2SΔACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．15．已知抛物线G: y=x2−2tx+3( t为常数)的顶点为P.（1）求点P的坐标；(用含t的式子表示)（2）在同一平面直角坐标系中，存在函数图象H，点A(m,n1)在图象H上，点B(m,n2)在抛物线G上，对于任意的实数m，都有点A，B关于点(m,m)对称.①当t=1 时，求图象H对应函数的解析式；②当1≤m≤t+1时，都有n1>n2成立，结合图象，求t的取值范围.16．抛物线y= 13x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线m交抛物线于P、Q两点，其中点P位于第二象限，点Q在y轴的右侧．（1）求D点坐标；（2）若△PBA= 12△OBC，求点P的坐标；（3）设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）解：把k= 12代入y=x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）得y=x2﹣2x+ 34，因为y=（x﹣1）2﹣1 4所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣1 4）（2）证明：△=（2k+1）2﹣4（k2+k）=1＞0，所以关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根2．【答案】（1）解：y=3x2﹣6x+2=3（x﹣1）2﹣1，顶点坐标为（1，﹣1），对称轴为x=1（2）解：∵a=﹣5，b=80，c=﹣319，∴﹣b2a=﹣802×(−5)=8，4ac−b2 4a = 4×(−5)×(−319)−8024×(−5)=1，∴顶点坐标为（8，1），对称轴为x=83．【答案】（1）解：用交点式函数表达式得：y=(x−1)(x−3)=x2−4x+3；故二次函数表达式为：y=x2−4x+3（2）解：①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB=PF=2，则点P坐标为(4，3)，当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P(4，3)或(0，3)；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为(2，0)设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：m+2 2，即：m+22=2，解得：m=2，故点P(2，−1)；综上：点P(4，3)或(0，3)或(2，−1)；（3）解：利用待定系数法求得直线BC的表达式为：y=−x+3，设点E坐标为(x，x2−4x+3)，则点D(x，−x+3)，S四边形AEBD =12AB(yD−yE)=−x+3−x2+4x−3=−x2+3x，∵−1<0，故四边形AEBD面积有最大值，当x=32，其最大值为94，此时点E(32，−34).4．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2），将B（0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a，即a= 1 2，则抛物线解析式为y= 12（x+4）（x﹣2）=12x2+x﹣4；（2）解：过M作MN△x轴，将x=m代入抛物线得：y= 12m2+m﹣4，即M（m，12m2+m﹣4），∴MN=| 12m2+m﹣4|=﹣12m2﹣m+4，ON=﹣m，∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB=4，∴△AMB的面积为S=S△AMN+S梯形MNOB﹣S△AOB= 12×（4+m）×（﹣12m2﹣m+4）+ 12×（﹣m）×（﹣12m2﹣m+4+4）﹣12×4×4 =2（﹣12m2﹣m+4）﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，当m=﹣2时，S取得最大值，最大值为4．5．【答案】（1）解：由图象可知其顶点坐标为（2，﹣2），故可设其函数关系式为：S=a（t﹣2）2﹣2．∵所求函数关系式的图象过（0，0），于是得：a（0﹣2）2﹣2=0，解得a= 1 2．∴所求函数关系式为：S= 12（t﹣2）2﹣2，即S= 12t2﹣2t．答：累积利润S与时间t之间的函数关系式为：S= 12t2﹣2t（2）解：把S=30代入S= 12（t﹣2）2﹣2，得12（t﹣2）2﹣2=30．解得t1=10，t2=﹣6（舍去）．答：截止到10月末公司累积利润可达30万元（3）解：把t=7代入关系式，得S= 12×72﹣2×7=10.5，把t=8代入关系式，得S= 12×82﹣2×8=16，16﹣10.5=5.5，答：第8个月公司所获利是5.5万元．6．【答案】（1）解：y=﹣x2+6x+1=﹣（x2﹣6x）+1=﹣（x﹣3）2+10，对称轴x=3，顶点坐标为：（3，10），开口向下（2）解：y=2x2﹣3x+4=2（x2﹣32x）+4=2（x﹣34）2+ 238，对称轴x= 34，顶点坐标为：（34，238），开口向上（3）解：y=﹣x2+nx=﹣（x﹣n2）2+n24，对称轴x= n2，顶点坐标为：（n2，n24），开口向下（4）解：y=x2+px+q=（x+ p2）2+4q−p24，对称轴x=﹣p2，顶点坐标为：（p2，4q−p24），开口向上7．【答案】（1）解：y= 12x2﹣3x+4 = 12（x2﹣6x）+4= 12[（x﹣3）2﹣9]+4= 12（x﹣3）2﹣12（2）解：由（1）得：图象的顶点坐标为：（3，﹣1 2），对称轴为：直线x=3（3）解：∵a= 12＞0，∴函数的最小值为：﹣1 28．【答案】（1）解：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即y=（x﹣1）2﹣4（2）解：由（1）可知，y=（x﹣1）2﹣4，则顶点坐标为（1，﹣4），令x=0，则y=﹣3，∴与y轴交点为（0，﹣3），令y=0，则0=x2﹣2x﹣3，解得x1=﹣1，x2=3，∴与x轴交点为（﹣1，0），（3，0）．列表：描点、连线：（3）解：由图象知，当﹣1＜x＜3时，函数值y＜0（4）解：由图象知，当x＜1时，y随x的增大而减小（5）解：当x=﹣3时，y=9+6﹣3=12，则﹣3＜x＜3时，0＜y＜129．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣2 9．∴抛物线的解析式为y=﹣29x2﹣49x+169（2）解：连接AM，过点M作MG△AD，垂足为G．把x=0代入y=﹣12x+4得：y=4，∴A（0，4）．将y=0代入得：0=﹣12x+4，解得x=8，∴B（8，0）．∴OA=4，OB=8．∵M（﹣1，2），A（0，4），∴MG=1，AG=2．∴tan△MAG=tan△ABO= 1 2．∴△MAG=△ABO．∵△OAB+△ABO=90°，∴△MAG+△OAB=90°，即△MAB=90°．∴l是△M的切线（3）解：∵△PFE+△FPE=90°，△FBD+△PFE=90°，∴△FPE=△FBD．∴tan△FPE= 1 2．∴PF：PE：EF= √5：2：1．∴△PEF的面积= 12PE•EF=12×2√55PF• √55PF= 15PF2．∴当PF最小时，△PEF的面积最小．设点P的坐标为（x，﹣29x2﹣49x+169），则F（x，﹣12x+4）．∴PF=（﹣12x+4）﹣（﹣29x2﹣49x+169）=﹣12x+4+29x2+ 49x﹣169=29x2﹣118x+209=29（x﹣18）2+ 7132．∴当x= 18时，PF有最小值，PF的最小值为7132．∴P（18，5532）．∴△PEF的面积的最小值为= 15×（7132）2= 5041512010．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，∴﹣1+3=﹣b，﹣1×3=c，∴b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3（2）解：∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）（3）解：设P 的纵坐标为|y P |，∵S △PAB =8，∴12AB•|y P |=8，∵AB=3+1=4，∴|y P |=4， ∴y P =±4，把y P =4代入解析式得，4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1±2 √2 ，把y P =﹣4代入解析式得，﹣4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1，∴点P 在该抛物线上滑动到（1+2 √2 ，4）或（1﹣2 √2 ，4）或（1，﹣4）时，满足S △PAB =8 11．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：y=a （x ﹣1）2+4，∵点B 的坐标为（3，0）．∴4a+4=0，∴a=﹣1，∴此抛物线的解析式为：y=﹣（x ﹣1）2+4=﹣x 2+2x+3（2）解：存在．抛物线的对称轴方程为：x=1，∵点E 的横坐标为2，∴y=﹣4+4+3=3，∴点E （2，3），∴设直线AE 的解析式为：y=kx+b ，∴{−k +b =02k +b =3， ∴{k =1b =1， ∴直线AE 的解析式为：y=x+1，∴点F （0，1），∵D （0，3），∴D 与E 关于x=1对称，作F 关于x 轴的对称点F′（0，﹣1），连接EF′交x 轴于H ，交对称轴x=1于G ，四边形DFHG 的周长即为最小，设直线EF′的解析式为：y=mx+n ，∴{n =−12m +n =3， 解得： {m =2n =−1， ∴直线EF′的解析式为：y=2x ﹣1，∴当y=0时，2x ﹣1=0，得x= 12， 即H （ 12，0）， 当x=1时，y=1，∴G （1，1）；∴DF=2，FH=F′H= √(12)2+12 = √52 ，DG= √22+12 = √5 ， ∴使D 、G ，H 、F 四点所围成的四边形周长最小值为：DF+FH+GH+DG=2+ √52 + √52+ √5 =2+2 √5（3）解：存在．∵BD= √32+32 =3 √2 ，设M （c ，0），∵MN△BD ，∴MN BD =AN AB， 即 3√2= 1+c 4 ， ∴MN= 3√24（1+c ），DM= √32+c 2 ， 要使△DNM△△BMD ，需 DM BD =MN DM，即DM 2=BD•MN ， 可得：9+c 2=3 √2 × 3√24 （1+c ）， 解得：c= 32或c=3（舍去）． 当x= 32 时，y=﹣（ 32 ﹣1）2+4= 154．∴存在，点T的坐标为（32，154）12．【答案】（1）解：∵x2﹣4x﹣12=0，∴x1=﹣2，x2=6．∴A（﹣2，0），B（6，0），又∵抛物线过点A、B、C，故设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣6），将点C的坐标代入，求得a= 1 3，∴抛物线的解析式为y= 13x2﹣43x﹣4.（2）解：设点M的坐标为（m，0），过点N作NH△x轴于点H（如图（1））．∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0），∴AB=8，AM=m+2，∵MN△BC，∴△MNA△△BCA．∴NHCO=AMAB，∴NH4=m+28，∴NH= m+2 2，∴S△CMN=S△ACM﹣S△AMN= 12•AM•CO﹣12AM•NH，= 12（m+2）（4﹣m+22）=﹣14m2+m+3，=﹣14（m﹣2）2+4．∴当m=2时，S△CMN有最大值4．此时，点M的坐标为（2，0）.（3）解：∵点D（4，k）在抛物线y= 13x2﹣43x﹣4上，∴当x=4时，k=﹣4，∴点D的坐标是（4，﹣4）．①如图（2），当AF为平行四边形的边时，AF平行且等于DE，∵D（4，﹣4），∴DE=4．∴F1（﹣6，0），F2（2，0），②如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，设F（n，0），∵点A的坐标为（﹣2，0），则平行四边形的对称中心的横坐标为：n+(−2)2，∴平行四边形的对称中心坐标为（n−22，0），∵D（4，﹣4），∴E'的横坐标为：n−22﹣4+n−22=n﹣6，E'的纵坐标为：4，∴E'的坐标为（n﹣6，4）．把E'（n﹣6，4）代入y= 13x2﹣43x﹣4，得n2﹣16n+36=0．解得n=8±2 √7．F3（8﹣2 √7，0），F4（8+2 √7，0），综上所述F1（﹣6，0），F2（2，0），F3（8﹣2 √7，0），F4（8+2 √7，0）．13．【答案】（1）解：把x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴C（0，3）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将点C的坐标代入得：﹣5a=3，解得：a=﹣3 5．∴抛物线的解析式为y=﹣35x2+125x+3（2）解：①∵CF△l，OB△l，∴CF△x轴．∴点F的纵坐标为3．将y=3代入抛物线的解析式得：﹣35x2+ 125x+3=3，解得x=0或x=4．∴点F的坐标为（4，3）．②∵点F的坐标为（4，3），∴点H的坐标为（4，0）．∵△CDE=90°，∴△CDO+△EDH=90°．∵△OCD+△CDO=90°，∴△OCD=△EDH．由旋转的性质可知：CD=DE．在Rt△OCD和Rt△HDE中，{∠OCD=∠EDH∠COD=∠DHECD=DE，∴Rt△OCD△Rt△HDE．∴CO=DH=3．又∵OH=4，∴OD=1．③如图1所示：将CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CN，则N（3，4）且四边形CDEN为正方形．∵四边形CDEN为正方形，∴△GDE=45°．设DN的解析式为y=kx+b，将点D和点N的坐标代入得：{k+b=03k+b=4，解得：k=2，b=﹣2．∴DN的解析式为y=2x﹣2．把x=4代入得：y=6，∴G（4，6）．设直线DG′的解析式为y=﹣12x+c，将点D的坐标代入得：﹣12+c=0，解得：c=12．∴直线DG′的解析式为y=﹣12x+12．将x=4代入得：y=﹣3 2．∴点G′的坐标为（4，﹣3 2）．综上所述，点G的坐标为（4，6）或（4，﹣3 2）（3）解：如图2所示：设点D的坐标为（a，0），则点M的坐标（a+3，﹣35a2﹣65a+245）．∴FM=﹣35a2﹣65a+95．∵△COD△△CFM，∴OCDO=CFFM，即3a=3+a−35a2−65a+95，整理得：14a2+33a﹣27=0，解得a= 914或a=﹣3（舍去）．∴OD= 9 14．如图3所示：设点D的坐标为（a，0），则点M的坐标（a+3，﹣35a2﹣65a+245）．∴FM= 35a2+ 65a﹣95．∵△COD△△CFM，∴OCDO=CFFM，3a=a+335a2+65a−95，整理得：4a2+3a﹣27=9，解得：a=﹣3（舍去）或a=94．∴OD= 9 4．综上所述，OD 的长为 914 或 9414．【答案】（1）解：设此抛物线的解析式为： y =ax 2+bx +c ，由题意得： {a +b +c =09a +3b +c =0c =3 ∴{a =−1b =−2c =3∴所求解析式为y =−x 2−2x +3（2）解：∵点A （1，0），点C （0，3），∴OA=1，OC=3，∵DC△AC ，OC△x 轴，∴△QOC△△COA ，∴OQ OC =OC OA ，即 OQ 3=31， ∴OQ=9，又∵点Q 在x 轴的负半轴上，∴Q （﹣9，0），设直线DC 的解析式为：y=mx+n ，则 {−9m +n =0n =3， 解之得： {m =13n =3， ∴直线DC 的解析式为： y =13x +3 ， ∵点D 是抛物线与直线DC 的交点，∴{y =13x +3y =−x 2−2x +3， 解之得： {x 1=−73y 1=209， {x 2=0y 2=3 （不合题意，应舍去）， ∴点D (−73，209) ， （3）解：如图，点M 为直线x=﹣1上一点，连接AM ，PC ，PA ，设点M （﹣1，y ），直线x=﹣1与x 轴交于点E ，∴AE=2，∵抛物线y=﹣x 2﹣2x+3的顶点为P ，对称轴为x=﹣1，∴P （﹣1，4），∴PE=4，则PM=|4﹣y|，∵S 四边形AEPC =S 四边形OEPC +S △AOC ，= 12×1×（3+4）+12×1×3 = 12（3+7） =5，又∵S 四边形AEPC =S △AEP +S △ACP ，S △AEP 12AE ×PE =12×2×4=4，∴+S △ACP =5﹣4=1，∵S △MAP =2S △ACP ，∴12×2×|4−y|=2×1 ，∴|4﹣y|=2，∴y 1=2，y 2=6，故抛物线的对称轴上存在点M 使S△MAP=2S△ACP，点M（﹣1，2）或（﹣1，6）15．【答案】（1）y=x2−2tx+3=x2−2tx+t2−t2+3=(x−t)2−t2+3∴顶点P的坐标为(t,−t2+3)；（2）解：①当t=1时，得G的解析式为：y=x2−2x+3，点B(m,n2)在G上，∴n2=m2−2m+3∵点A(m,n1)与点B关于点(m,m)对称，则点A，B到点(m,m)的距离相等，此三点横坐标相同，有n2−m=m−n1.∴(m2−2m+3)−m=m−n1整理，得n1=−m2+4m−3，由于m为任意实数，令m为自变量x，n1为y.即可得H的解析式为：y=−x2+4x−3；①关于抛物线G的性质：点B(m,n2)在G上，∴n2=m2−2tm+3由G：y=x2−2tx+3，知抛物线G开口向上，对称轴为x=t，顶点P(t,−t2+3)，且图象恒过点(0,3).∴当t≤x≤t+1时，图象G的y随着x的增大而增大.当x=t+1时，y取最大值−t2+4；当x=t时，y取最小值−t2+3；最大值比最小值大1.关于图象H的性质：∵点A(m,n1)与点B关于点(m,m)对称，有n2−m=m−n1，(m2−2tm+3)−m=m−n1，整理，得n1=−m2+2tm+2m−3所以，图象H的解析式为：y H=−x2+2tx+2x−3.=−[x−(t+1)]2+(t2+2t−2)配方，得yH∴图象H为一抛物线，开口向下，对称轴为x=t+1，顶点P(t+1,t2+2t−2)，且图象恒过点(0,−3).∴当t≤x≤t+1时，图象H的y随着x的增大而增大.当x=t+1时，y取最大值t2+2t−2；当x=t时，y取最小值y=t2+2t−3，即过Q(t,t2+2t−3)；最大值比最小值大1.情况1：当P，Q两点重合，即两个函数恰好都经过(t,t)，(t+1,t+1)时，把(t,t)代入y=x2−2tx+3得t=t2−2t⋅t+3，解得，t=−1+√132或t=−1−√132.分别对应图3，图4两种情形，由图可知，当m=t，或m=t+1时，A与B重合，即有n1=n2，不合题意，舍去；情况2：当点P在点Q下方，即t>−1+√132时，大致图象如图1，当t<−1−√132时，大致图象如图2，都有点A在点B的上方，即n1>n2成立，符合题意；情况3：当点P在点Q上方，即−1−√132<t<−1+√132时，大致图象如图5，图6，当t≤m≤t+1时，存在A在B的下方，即存在n1<n2，不符合题意，舍去；综上所述，所求t的取值范围为：t>−1+√132或t<−1−√132.16．【答案】（1）解：∵y= 13x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，∴y= 13（x+4）（x﹣2）=13（x2+2x﹣8）= 13（x+1）2﹣3．∴D（﹣1，﹣3）．（2）解：在x轴上点E（﹣2，0），连接CE，并延长CE交PB于点F，过点F作FG△x轴，垂足为G．∵点E与点B关于y轴对称，∴△OBC=△OEC．∴△OBC=△GEF．∵△PBA= 12△OBC，∴△PBA=△EFB．∴EF=EB=4．∵OE=2，OC= 8 3，∴EC= 10 3．∵GF△OC，∴△FGE△△COE．∴FGOC=EGOE=EFEC，即FG83= EG2=4103，解得：FG= 165，EG=125，∴F（﹣225，165）．设BP的解析式为y=kx+b，将点F和点B的坐标代入得：{2k+b=0−225k+b=165，解得：k=﹣12，b=1，∴直线BP的解析式为y=﹣12x+1．将y=﹣12x+1与y=13x2+ 23x﹣83联立，解得：x=﹣112，x=2（舍去），∴y= 15 4．∴P（﹣112，154）；（3）解：设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，∴﹣k+b=0，∴b=k，∴y=kx+k．由{y=kx+ky=13x2+23x−83得：13x2+（23﹣k）﹣83﹣k=0∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（32k﹣1，32k2）．假设存在这样的N点如图2，直线DN△PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3由{y=kx+k−3y=13x2+23x−83，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）．∵四边形DMPN是菱形，∴DN=DM，∴（3k）2+（3k2）2=（3k2）2+ 32k2+3）2，整理得：3k4﹣k2﹣4=0，∵k2+1＞0，∴3k2﹣4=0，解得k=± 2√33，∵k＜0，∴k=﹣2√33，∴P（﹣3 √3﹣1，6），M（﹣√3﹣1，2），N（﹣2 √3﹣1，1）．∴PM=DN=2 √7，∵PM△DN，∴四边形DMPN是平行四边形，∵DM=DN，∴四边形DMPN为菱形，∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2 √3﹣1，1）．。
北师大版九年级下 §2-5 用三种方式表示二次函数(1)解析法,列表法,图象法
初中数学课件
问题研究
已知矩形周长20cm,
并设它的一边长为 x
y
xcm,面积为ycm2.
y随x的而变化的规律是什么？ 你能分别用函数表达式，表格 和图象表示出来吗？
初中数学课件
问题剖析
函数的三种表示方
法
解析法 用函数表达式表示：
y=x(10-x)=-x2+10x
x
y
初中数学课件
列表法—用表格表示：
化而变化的?
用函数表达式表示：
y xx 2即y x2 2x.
初中数学课件
做一做
列表法—用表格表示函
数
两个数相差2,设其中较大的一个数为
x,那么它们的积y是如何随x的变化而
变化的?
Y= x2-2x=(x-1)2-1
用表格表示：
x
… …
-2
-1
0
1
2
3
4
… …
y x 12 1. … 8 3 0 -1 0 3 8 …
例1、已知点A（-1，-1）在抛物线 y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上
（1）求抛物线的对称轴； （2）若点A与点B关于抛物线的对称 轴对称，问是否存在与抛物线只交于 一点B的直线？若存在，求出符合条 件的直线；若不存在，请说明理由。
初中数学课件
例2、已知抛物线y=x2-4x-12 （1）求抛物线与x轴交点A,B的坐标； （2）画出图象，若抛物线顶点为P，求 三角形PAB的面积； （3）若点Q在抛物线上，且S△QAB =2S△PAB，则Q点有几个？依次求出Q点 的坐标。
括和形象化的表达. 初中数学课件
问题探究
问题:求函数y=ax2+bx+c 的图象与坐标轴交点问题
知识点214 二次函数的三种形式(选择)
选择题（共24小题）1．（2011•台湾）用配方法将y=﹣2x2+4x+6化成y=a（x+h）2+k的形式，求a+h+k之值为何？（）A．5 B．7 C．﹣1 D．﹣2考点：二次函数的三种形式。
专题：配方法。
分析：方程式y=ax2+bx+c可化成y=a（x+）2﹣，即y=a（x+h）2+k，据此计算a+h+k．解答：解：y=﹣2x2+4x+6y=﹣2（x2﹣2x+12）+6+2y=﹣2（x﹣1）2+8∴a=﹣2，h=﹣1，k=8∴a+h+k=﹣2+（﹣1）+8=5故选A．点评：本题考查了二次函数的一般式与顶点式方程．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．2．（2010•北京）将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y=（x+1）2+4 B．y=（x﹣1）2+4 C．y=（x+1）2+2 D．y=（x﹣1）2+2考点：二次函数的三种形式。
分析：本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．解答：解：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2．故选D．点评：二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．3．（2010•安徽）若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（）A．0，5 B．0，1 C．﹣4，5 D．﹣4，1考点：二次函数的三种形式。
分析：可将y=（x﹣2）2+k的右边运用完全平方公式展开，再与y=x2+bx+5比较，即可得出b、k的值．解答：解：∵y=（x﹣2）2+k=x2﹣4x+4+k=x2﹣4x+（4+k），又∵y=x2+bx+5，∴x2﹣4x+（4+k）=x2+bx+5，∴b=﹣4，k=1．故选D．点评：本题实际上考查了两个多项式相等的条件：它们同类项的系数对应相等．4．（2009•遂宁）把二次函数y=﹣x2﹣x+3用配方法化成y=a（x﹣h）2+k的形式（）A．y=﹣（x﹣2）2+2 B．y=（x﹣2）2+4 C．y=﹣（x+2）2+4D．y=2+3考点：二次函数的三种形式。
用三种方式表示二次函数习题
用三种方式表示二次函数习题【知识要点】二次函数三种不同表示方式之间的联系和各自不同的特点.【能力要求】能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题；能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究.【基础练习】一、填空题：1. 二次函数既可以用函数表达式表示，也可以用 表示，还可以用 表示；2. 用图象表示函数的优点是 ，用表格表示函数的优点是 ，用表达式表示函数的优点是 ；3. 两个数的差是4，则这两个数的积的最小值是 ；二、解答题：已知二次函数y = - x 2 + (k +1)x +3，当x < 1时，y 随x 的增大而增大；当x > 1时，y 随x 的增大而减小.（1）写出这个二次函数的表达式；（2）用表格表示：（3）用图象表示：（4）这个二次函数有最大值还是最小值？最大（小）值是几？你是怎样得到的？【探究练习】某菜农搭建了一个横断面为抛物线形的蔬菜大棚，有关尺寸如图2-7所示.（1）现建立如图2-7所示的平面直角坐标系，试写出这条抛物线的函数表达式；（2）若这位菜农身高1.60米，则她在不弯腰的情况下，在大棚里横向活动范围有多少米（精确到0.1米）？xy5. 用三种方式表示二次函数【基础练习】一、1. 表格，图象； 2. 能直观地显示出函数的变化过程和变化趋势，能清楚、直接的显示出变量之间的数量对应关系，能较全面、完整、简明地表示出变量之间的关系；3.–4. 二、（1）y = - x 2 +2x +3；（2）略；（3）略；（4）有最大值，最大值是4.【探究练习】（1）y = - 12x 2 + 2 (-2≤x ≤2)；（2）约1.8米.。
用三种方式表达二次函数练习题-(1)
用三种方式表达二次函数练习题1、如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x﹣2）2+1，那么b，c的值分别为（）A．4，5B．4，3C．﹣4，3D．﹣4，52、将函数y=x2﹣2x﹣5变形为y=a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（）A．y=（x﹣1）2﹣5 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=（x﹣1）2﹣6 D．y=（x+1）2﹣43、将二次函数y=2x2﹣4x+7写成顶点式y=a（x+m）2+k，则a，m，k分别为多少（）A．2，2，7B．2，1，7C．2，﹣1，5D．2，﹣1，64、如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+5x+4﹣a2的图象，那么a的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣ D．±25、抛物线y=x2+bx+c图象向右平移3个单位再向下平移4个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣2x+2，则b、c的值为（）A．b=4，c=9 B．b=﹣4，c=﹣9 C．b=﹣4，c=9 D．b=﹣4，c=96、二次函数的一般形式为（）A．y=ax2+bx+c B．y=ax2+bx+c（a≠0）C．y=ax2+bx+c（b2﹣4ac≥0）D．y=ax2+bx+c（b2﹣4ac=0）7、用配方法将写成y=a（x﹣h）2+k的形式正确的是（）A．B．C．D．8、抛物线，经过配方化成y=a（x﹣h）2+k的形式是（）A．B．C．D．9、若二次函数y=x2+2x+c配方后为y=（x+h）2+7，则c、h的值分别为（）A．8、﹣1B．8、1C．6、﹣1D．6、110、已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点（2，4），且其顶点在直线y=2x+1上，则它的解析式为（）A．y=x2﹣x+2 B．y=x2﹣2x+3 C．y=x2﹣2x+5 D．y=x2﹣2x+411、把函数y=x2﹣2x﹣1化为y=（x﹣m）2+k的形式，其中m、k为常数，则m+k等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．312、若二次函数y=x2﹣2x+5配方后为y=（x+h）2+k，则h+k的值为（）A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣513、把抛物线解析式通过配方后得到的解析式是（）A． B．B．y=（x﹣1）2﹣3 C．D．14、将二次函数y=x2﹣2x﹣3化成y=（x﹣h）2+k形式，则h+k结果为（）A．﹣5 B．5 C．3 D．﹣315、将函数y=x2﹣4x+3写成y=a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（）A．y=（x﹣4）2﹣5 B．y=（x﹣4）2﹣10C．y=（x﹣4）2﹣10 D．y=（x﹣4）2﹣516、将二次函数化成y=a（x+m）2+n的形式是（）A．B． C． D．17、用配方法将二次函数y=3x2﹣4x﹣2写成形如y=a（x+m）2+n的形式，则m、n的值分别是（）A． B． C．m=2，n=6 D．m=2，n=﹣218、抛物线y=（x+2）（x﹣6）的对称轴是（）A．x=﹣2 B．x=6 C．x=2 D．x=419、二次函数y=2x2﹣12x+13经过配方化成y=a（x﹣h）2+k的形式是（）A．y=2（x+3）2+5 B．y=2（x+3）2﹣5 C．y=2（x﹣3）2+5 D．y=2（x﹣3）2﹣520、将二次函数y=x2﹣4x﹣1化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y=（x+2）2+5 B．y=（x+2）2﹣5 C．y=（x﹣2）2+5 D．y=（x﹣2）2﹣521、若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（）A．0，5 B．0，1 C．﹣4，5 D．﹣4，122、将二次函数y=﹣x2﹣4x+2化为y=a（x+m）2+k的形式，则（）A．a=﹣1，m=﹣2，k=6 B．a=﹣1，m=2，k=6 C．a=1，m=﹣2，k=﹣6 D．a=﹣1，m=2，k=﹣6 23、用配方法将写成y=a（x﹣h）2+k的形式正确的是（）A．B． C． D．24、将二次函数y=﹣2x2+6x﹣4配成顶点式为（）A． B． C． D．25、把x2﹣4x+1化成（x﹣h）2+k其中h，k是常数）形式的结果为（）A．（x﹣2）2﹣3 B．（x﹣4）2﹣15 C．（x﹣2）2+3 D．（x﹣4）2+1526、用配方法将y=x2﹣3x+2化为y=a（x﹣h）2+k的形式是．27、把一根长100cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和最小是______.28、两个数的和为4，这两个数的积最大可以达到_______.29、某二次函数用表格表示如下:（2）说明x为何值时，y随x的增大而增大；（3）你能用表达式表示这个函数关系吗?30、有一个函数图像经过下列各点：(-2，3)，(-1，0)，(0，-1)，(1，0)，(2，3).（1）请你描述该函数图像；（2）写出两个变量间的函数关系式；（3）你能通过表格的形式，列出两个变量的对应值，使两个变量间的关系满足(2)中的关系式吗? 31、在一个函数中的两个变量的对应值如下表：请你通过画图像，写出两个变量间的关系式.32、一个运动员练习推铅球，铅球刚出手时，离地面米，铅球落地点离铅球刚出手时相应的地面的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线，求该抛物线的函数关系式.33、如图，△ABC是边长为4的等边三角形，P是BC上的点，PD∥AC交AB于D，PE∥AB交AC于E，设PB为x，四边形ADPE的面积为y.求y与x之间的函数关系式.34、正方形的周长为L，面积为S，用L表示出函数S的关系式.35、一个三角形的底边和这边上的高的和为10，这个三角形的面积最大可以达到多少?。
二次函数表达式三种形式练习题
1．把二次函数y=x2﹣4x+5化成y=a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式，结果正确的是（ ）A．y=（x﹣2）2+5B．y=（x﹣2）2+1C．y=（x﹣2）2+9D．y=（x﹣1）2+12．将y=（2x﹣1）•（x+2）+1化成y=a（x+m）2+n的形式为（ ）A．B．C．D．3．与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线为（ ）A．y=1+x2 B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2D．y=2x24．二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（ ）A．y=﹣2（x+2）2+4B．y=﹣2（x﹣2）2+4C．y=2（x+2）2﹣4 D．y=2（x﹣2）2﹣45．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）A．y=﹣3（x﹣1）2+3B．y=3（x﹣1）2+3C．y=﹣3（x+1）2+3D．y=3（x+1）2+36．顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（ ）A．y=（x+6）2B．y=（x﹣6）2C．y=﹣（x+6）2D．y=﹣（x﹣6）27．已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（0，﹣4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（ ）A．y=﹣6x2+3x+4B．y=﹣2x2+3x﹣4C．y=x2+2x﹣4D．y=2x2+3x﹣48．若二次函数y=x2﹣2x+c图象的顶点在x轴上，则c等于（ ）A．﹣1 B．1C．D．29．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（ ）A．y=x2﹣x﹣2B．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2 C．y=﹣x2+x+2D．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 10．如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（ ）A．8B．14C．8或14D．﹣8或﹣14 11．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（ ）A．3.125 B．4C．2 D．0 12．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为（ ）A．或﹣B．或﹣C．2或﹣D．或﹣13．如果一条抛物线经过平移后与抛物线y=﹣x2+2重合，且顶点坐标为（4，﹣2），则它的解析式为 ．14．二次函数的图象如图所示，则其解析式为 ．15．若函数y=（m2﹣4）x4+（m﹣2）x2的图象是顶点在原点，对称轴是y轴的抛物线，则m= ．16．二次函数图象的开口向上，经过（﹣3，0）和（1，0），且顶点到x轴的距离为2，则该二次函数的解析式为 ．17．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是 ．18．二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3）、C（4，5）三点，求出抛物线解析式 ．19．二次函数图象过点（﹣3，0）、（1，0），且顶点的纵坐标为4，此函数关系式为 ．20．如图，一个二次函数的图象经过点A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C 在y轴的正半轴上，且AB=OC．则这个二次函数的解析式是 ．21．坐标平面内向上的抛物线y=a（x+2）（x﹣8）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若∠ACB=90°，则a 的值是 ．22．平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．23．已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线．（1）求m、n的值；（2）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．24．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．25．二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．26．二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．（1）求函数的关系式；（2）求函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△OA′B′的面积．27．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，且与x轴交于A（﹣2，0）．（1）求此二次函数解析式及顶点B的坐标；（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，直接写出点P的坐标．28．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D与点C关于抛物线对称轴对称，连接DB、DC，直线PD交直线BC于点P，且直线PD把△BCD分成面积相等的两部分，请直接写出直线PD的解析式．29．如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．（1）求点C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式．30．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，若点P使四边形ABPC的面积最大，求点P的坐标．1．B；2．C；3．D；4．B；5．A；6．D；7．D；8．B；9．D；10．C；11．C；12．A；13．y=-（x-4）2-2；14．y=-x2+2x+3；15．-2；16．y=x2+x-；17．y=-x2+2x+3；18．y=x2-2x-3；19．y=-x2-2x+3；20．y=-x2+x+5；21．；。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．已知函数y=ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（ ） A ．0＜－＜1 B ．0＜－＜2 C ．1＜－＜2 D ．－=1
图① 图②
2．已知抛物线y=－x 2
＋（6－2k ）x ＋2k －1与y 轴的交点位于（0，5）上方，则k 的取值范围是 ．
3．二次函数y= ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：① c
＜0；②b ＞0；③4a ＋2b ＋c ＞0；④（a ＋c ）2＜b 2．其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．抛物线y=x 2＋kx －2k 通过一个定点，这个定点的坐标为
． 5．已知抛物线y=x 2＋x ＋b 2经过点（a ，－）和（－a ，y 1），则y 1的值是 ．
6．如图，图①是棱长为a 的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n 层，第n 层的小正方体的个数记为S ，解答下列问题： （1）按照要求填表：
（2）写出当n=10时，S= ． （3）根据上表中的数据，把S 作为纵坐标，n 作为横坐标，在平面
直角坐标系中描出相应的点．
（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式．
7．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数表达式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
a b 2a b 2a b 2a b 24
1。